概率论与数理统计综合练习册

概率论与数理统计练习册答案第一章概率论的基本概念一、选择题4. 答案：（C ）注:C 成立的条件:A 与B 互不相容.5. 答案：（C ）注:C 成立的条件:A 与B 互不相容,即AB φ=.6. 答案：（D ）注:由C 得出A+B=Ω. 8. 答案：（D ）注：选项B 由于11111()1()1()1()1(1())nn n n n i i i i i i i i i i P A P A P A P A P A ======-=-==-=--∑∑∏∏9.答案：（C ）注：古典概型中事件A 发生的概率为()()()N A P A N =Ω. 10.答案：（A ）解：用A 来表示事件“此r 个人中至少有某两个人生日相同”，考虑A的对立事件A “此r 个人的生日各不相同”利用上一题的结论可知365365!()365365r r r rC r P P A ?==，故365()1365rrP P A =-.12.答案：（B ）解：“事件A 与B 同时发生时,事件C 也随之发生”，说明AB C ?，故()()P AB P C ≤；而()()()()1,P A B P A P B P AB ?=+-≤ 故()()1()()P A P B P AB P C +-≤≤.13.答案：（D ）解：由(|)()1P A B P A B +=可知2()()()1()()()1()()()(1())()(1()()())1()(1())()(1())()(1()()())()(1())()()()()()()(())()()()P AB P AB P AB P A B P B P B P B P B P AB P B P B P A P B P AB P B P B P AB P B P B P A P B P AB P B P B P AB P AB P B P B P A P B P B P B P AB P B -?+=+--+--+==-?-+--+=-?-+--+=2(())()()()P B P AB P A P B -?=故A 与B 独立. .16.答案：（B ）解：所求的概率为()1()1()()()()()()()11111100444161638P ABC P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC =-??=---+++-=---+++-= 注：0()()0()0ABC AB P ABC P AB P ABC ??≤≤=?=. 17.答案：（A ）解：用A 表示事件“取到白球”，用i B 表示事件“取到第i 箱”1.2.3i =，则由全概率公式知112233()()(|)()(|)()(|)11131553353638120P A P B P A B P B P A B P B P A B =++=++=.18.答案：（C ）解：用A 表示事件“取到白球”，用i B 表示事件“取到第i 类箱子” 1.2.3i =，则由全概率公式知112233()()(|)()(|)()(|)213212765636515P A P B P A B P B P A B P B P A B =++=++=.19.答案：（C ）解：即求条件概率2(|)P B A .由Bayes 公式知3263222711223315()(|)5(|)()(|)()(|)()(|)7P B P A B P B A P B P A B P B P A B P B P A B ===++. 二、填空题2.;ABC ABC ABC ABC ABC 或AB BC AC3．0.3，0.5 解：若A 与B 互斥，则P （A+B ）=P （A ）+P （B ），于是 P （B ）=P （A+B ）-P （A ）=0.7-0.4=0.3；若A 与B 独立，则P （AB ）=P （A ）P （B ），于是由P （A+B ）=P （A ）+P （B ）-P （AB ）=P （A ）+P （B ）-P （A ）P （B ），得()()0.70.4()0.51()10.4P A B P A P B P A +--===--.4.0.7 解：由题设P （AB ）=P （A ）P （B|A ）=0.4，于是P （AUB ）=P （A ）+P （B ）-P （AB ）=0.5+0.6-0.4=0.7.解：因为P （AUB ）=P （A ）+P （B ）-P （AB ），又()()()P AB P AB P A +=，所以()()()0.60.30.3P AB P A B P B =-=-= .6.0.6 解：由题设P （A ）=0.7，P （AB ）=0.3，利用公式AB AB A +=知()()()P AB P A P AB =-=0.7-0.3=0.4，故()1()10.40.6P AB P AB =-=-=. 7.7/12 解：因为P （AB ）=0，所以P （ABC ）=0，于是()()1()1[()()()()()()()]13/42/67/12P ABC P A B C P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ==-=-++---+=-+= . 10.11260解：这是一个古典概型问题，将七个字母任一种可能排列作为基本事件，则全部事件数为7！，而有利的基本事件数为12121114=，故所求的概率为417!1260=. 11.3/7 解：设事件A={抽取的产品为工厂A 生产的}，B={抽取的产品为工厂B 生产的}，C={抽取的是次品}，则P （A ）=0.6，P （B ）=0.4，P （C|A ）=0.01，P （C|B ）=0.02，故有贝叶斯公式知()()(|)0.60.013(|)()()(|)()(|)0.60.010.40.027P AC P A P C A P A C P C P A P C A P B P C B ?====+?+?. 12.6/11解：设A={甲射击}，B={乙射击}，C={目标被击中}，则P （A ）=P （B ）=1/2，P （C|A ）=0.6，P （C|B ）=0.5，故()()(|)0.50.66 (|)()()(|)()(|)0.50.60.50.511P AC P A P C A P A C P C P A P C A P B P C B ?====+?+?. 四、 )(,21)|(,31)|(,41)(B A P B A P A B P A P ?===求。

第六章 样本及抽样分布一、选择题1. 设12,,,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本,则12,,,n X X X 必然满足( )A.独立但分布不同;B.分布相同但不相互独立; C 独立同分布; D.不能确定 2．下列关于“统计量”的描述中，不正确的是（ ）. A ．统计量为随机变量 B. 统计量是样本的函数C. 统计量表达式中不含有参数D. 估计量是统计量3下列关于统计学“四大分布”的判断中，错误的是（ ）. A. 若12~(,),F F n n 则211~(,)F n n FB ．若2~(),~(1,)T t n T F n 则C ．若)1(~),1,0(~22x X N X 则D ．在正态总体下2212()~(1)nii Xx n μσ=--∑4． 设2,i i X S 表示来自总体2(,)i i N μσ的容量为i n 的样本均值和样本方差)2,1(=i ，且两总体相互独立，则下列不正确的是（ ）.A. 2221122212~(1,1)SF n n S σσ--B.(~(0,1)X X NC.)(~/11111n t n S X μ- D.2222222(1)~(1)n S x n σ--5. 设12,,,n X X X 是来自总体的样本,则211()1ni i X X n =--∑是( ).A.样本矩B. 二阶原点矩C. 二阶中心矩D.统计量 612,,,n X X X 是来自正态总体)1,0(N 的样本,2,S X 分别为样本均值与样本方差,则( ).A. )1,0(~N XB. ~(0,1)nX NC.221~()ni i X x n =∑ D.~(1)Xt n S-7. 给定一组样本观测值129,,,X X X 且得∑∑====91291,285,45i i i i X X 则样本方差2S 的观测值为 ( ).A. 7.5B.60C.320D. 265 8设X 服从)(n t 分布, a X P =>}|{|λ，则}{λ-<X P 为( ).A.a 21B. a 2C. a +21 D. a 211- 9设12,,,n x x x 是来自正态总体2(0,2)N 的简单随机样本，若298762543221)()()2(X X X X c X X X b X X a Y ++++++++=服从2x 分布，则c b a ,,的值分别为（ ）.A.161,121,81 B. 161,121,201 C. 31,31,31 D. 41,31,2110设随机变量X 和Y 相互独立,且都服从正态分布2(0,3)N ,设921,,,X X X 和921,,,Y Y Y 分别是来自两总体的简单随机样本,则统计量9iXU =∑( ).A. )9(tB. )8(tC. )81,0(ND. )9,0(N二、填空题1．在数理统计中， 称为样本. 2．我们通常所说的样本称为简单随机样本，它具有的两个特点是 .3．设随机变量n X X X ,,,21 相互独立且服从相同的分布，2,σμ==DX EX ，令∑==ni i X n X 11，则EX =；.DX =4.),,,(1021X X X 是来自总体)3.0,0(~2N X 的一个样本，则=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥∑=101244.1i i X P .5．已知样本1621,,,X X X 取自正态分布总体)1,2(N ，X 为样本均值，已知5.0}{=≥λX P ，则=λ .10．6设总体),(~2σμN X ，X 是样本均值，2n S 是样本方差，n 为样本容量，则常用的随机变量22)1(σn S n -服从 分布.第七章 参数估计一、选择题1. 设总体),(~2σμN X ，n X X ,,1 为抽取样本，则∑=-ni i X X n 12)(1是（ ）.)(A μ的无偏估计 )(B 2σ的无偏估计 )(C μ的矩估计 )(D 2σ的矩估计2 设X 在[0，a]上服从均匀分布，0>a 是未知参数，对于容量为n 的样本n X X ,,1 ，a 的最大似然估计为（ ）（A ）},,,max{21n X X X （B ）∑=ni i X n 11（C ）},,,min{},,,max{2121n n X X X X X X - （D ）∑=+ni i X n 111；3 设总体分布为),(2σμN ，2,σμ为未知参数，则2σ的最大似然估计量为（ ）.（A ）∑=-n i i X X n 12)(1 （B ）∑=--n i i X X n 12)(11 （C ）∑=-n i i X n 12)(1μ （D ）∑=--n i iX n 12)(11μ 4 设总体分布为),(2σμN ，μ已知，则2σ的最大似然估计量为（ ）. （A ）2S （B ）21S nn - （C ）∑=-n i i X n 12)(1μ （D ）∑=--n i i X n 12)(11μ 5 321,,X X X 设为来自总体X 的样本，下列关于)(X E 的无偏估计中，最有效的为（ ）.（A ）)(2121X X + （B ）)(31321X X X ++ （C ）)(41321X X X ++ （D ）)313232321X X X -+6 设)2(,,,21≥n X X X n 是正态分布),(2σμN 的一个样本，若统计量∑-=+-1121)(n i i i X X K 为2σ的无偏估计，则K 的值应该为（ ）（A ）n 21 （B ）121-n （C ）221-n （D ）11-n 7. 设θ为总体X 的未知参数，21,θθ是统计量，()21,θθ为θ的置信度为)10(1<<-a a 的置信区间，则下式中不能恒成的是（ ）.A. a P -=<<1}{21θθθB. a P P =<+>}{}{12θθθθC. a P -≥<1}{2θθD. 2}{}{12aP P =<+>θθθθ 8 设),(~2σμN X 且2σ未知，若样本容量为n ，且分位数均指定为“上侧分位数”时，则μ的95%的置信区间为（ ）A. )(025.0u n X σ±B. ))1((05.0-±n t n S XC. ))((025.0n t nS X ±D. ))1((025.0-±n t nS X9 设22,),,(~σμσμN X 均未知，当样本容量为n 时，2σ的95%的置信区间为（ ）A. ))1()1(,)1()1((2025.022975.02----n x S n n x S nB. ))1()1(,)1()1((2975.022025.02----n x S n n x S nC. ))1()1(,)1()1((2975.022025.02----n t S n n t S n D. ))1((025.0-±n t nS X 二、填空题1. 点估计常用的两种方法是： 和 .2. 若X 是离散型随机变量，分布律是{}(;)P X x P x θ==，（θ是待估计参数），则似然函数是 ，X 是连续型随机变量，概率密度是(;)f x θ，则似然函数是 .3. 设总体X 的概率分布列为：X 0 1 2 3P p 2 2 p (1-p ) p 2 1-2p其中p (2/10<<p ) 是未知参数. 利用总体X 的如下样本值： 1， 3， 0， 2， 3， 3， 1， 3 则p 的矩估计值为__ ___，极大似然估计值为 . 4. 设总体X 的一个样本如下：1.70，1.75，1.70，1.65，1.75 则该样本的数学期望)(X E 和方差)(X D 的矩估计值分别_ ___.5. 设总体X 的密度函数为：⎩⎨⎧+=0)1()(λλx x f 其他10<<x ，设n X X ,,1 是X 的样本，则λ的矩估计量为 ，最大似然估计量为 .6. 假设总体),(~2σμN X ，且∑==ni i X n X 11，n X X X ,,,21 为总体X 的一个样本，则X 是 的无偏估计.7 设总体),(~2σμN X ，n X X X ,,,21 为总体X 的一个样本，则常数k= , 使∑=-ni i X X k 1为σ 的无偏估计量.8 从一大批电子管中随机抽取100只，抽取的电子管的平均寿命为1000小时，样本均方差为40=S .设电子管寿命分布未知，以置信度为95.0，则整批电子管平均寿命μ的置信区间为（给定96.1,645.1025.005.0==Z Z ） . 9设总体),(~2σμN X ，2,σμ为未知参数，则μ的置信度为1α－的置信区间为.10 某车间生产滚珠，从长期实践可以认为滚珠的直径服从正态分布，且直径的方差为04.02=σ，从某天生产的产品中随机抽取9个，测得直径平均值为15毫米，给定05.0=α则滚珠的平均直径的区间估计为 .)96.1,645.1(025.005.0==Z Z 11. 某车间生产滚珠，从某天生产的产品中抽取6个，测得直径为：14.6 15.1 14.9 14.8 15.2 15.1已知原来直径服从)06.0,(N μ，则该天生产的滚珠直径的置信区间为 ，（05.0=α，645.105.0=Z ，96.1025.0=Z ）.12. 某矿地矿石含少量元素服从正态分布，现在抽样进行调查，共抽取12个子样算得2.0=S ，则σ的置信区间为 （1.0=α，68.19)11(22=αχ，57.4)11(221=-αχ）.第八章 假设检验一、选择题1. 关于检验的拒绝域W,置信水平α,及所谓的“小概率事件”,下列叙述错误的是( ). A. α的值即是对究竟多大概率才算“小”概率的量化描述 B ．事件021|),,,{(H W X X X n ∈ 为真}即为一个小概率事件C ．设W 是样本空间的某个子集，指的是事件120{(,,,)|}n X X X H 为真D ．确定恰当的W 是任何检验的本质问题2. 设总体22),,(~σσμN X 未知,通过样本n X X X ,,,21 检验假设00:μμ=H ,要采用检验估计量( ).A.nX /0σμ- B.nS X /0μ- C.nS X /μ- D.nX /σμ-3. 样本n X X X ,,,21 来自总体)12,(2μN ,检验100:0≤μH ,采用统计量( ). A.nX /12μ- B.nX /12100- C.1/100--n S X D.nS X /μ-4设总体22),,(~σσμN X 未知,通过样本n X X X ,,,21 检验假设00:μμ=H ,此问题 拒绝域形式为 .A.}C >B. }/100{C nS X <- C. }10/100{C S X >- D. }{C X >5．设n X X X ,,,21 为来自总体)3,(2μN 的样本，对于100:0=μH 检验的拒绝域可以形 如（ ）.A ．}{C X >-μ B. {100}X C ->C. }C >D. {100}X C -<6、 样本来自正态总体),(2σμN ,μ未知,要检验100:20=σH ,则采用统计量为( ).A.22)1(σS n - B. 100)1(2S n - C. n X 100μ- D. 1002nS7、设总体分布为),(2σμN ,若μ已知,则要检验100:20≥σH ,应采用统计量( ).A.nS X /μ- B.22)1(σSn - C.100)(21∑=-ni iXμ D.100)(21∑=-ni iX X二、填空题1. 为了校正试用的普通天平, 把在该天平上称量为100克的10个试样在计量标准天平上进 行称量,得如下结果:99.3, 98.7, 100.5, 101,2, 98.399.7 99.5 102.1 100.5, 99.2 假设在天平上称量的结果服从正态分布,为检验普通天平与标准天平有无显著差异,0H 为 .2．设样本2521,,,X X X 来自总体μμ),9,(N 未知.对于检验00:μμ=H ，01:μμ=H ， 取拒绝域形如k X ≥-0μ，若取05.0=a ，则k 值为 .第六章 样本及抽样分布答案一、选择题1. ( C )2.（C ） 注：统计量是指不含有任何未知参数的样本的函数3.（D ）对于答案D,由于~(0,1),1,2,,i X N i n μσ-=，且相互独立，根据2χ分布的定义有2212()~()nii Xx n μσ=-∑4.(C) 注：1~(1)X t n -才是正确的.5.(D)6C) 注：1~(0,)X N n~(1)t n -才是正确的{}{}12121211P X P X -≤=-≤-(({}2121121P X =-≤-=Φ- 7.(A) ()9922221192859257.591918iii i XX XX S ==--⨯-⨯====--∑∑8.(A) 9.(B) 解：由题意可知122~(0,20)X X N +，345~(0,12)X X X N ++，6789~(0,16)X X X X N +++，且相互独立，因此()()()()22212345678922~3201216X X X X X X X X X χ++++++++，即111,,201216a b c === 10(A) 解：()99211~(0,9)9~0,1ii i i XN X N ==⇒∑∑，()92219~9i i Y χ=∑由t()9t 二、填空题1．与总体同分布，且相互独立的一组随机变量 2.代表性和独立性 3.μ，2nσ4. 0.15.26.2(1)n χ-第七章 参数估计一、选择题1.答案： D.[解] 因为)()(222X E X E -=σ，∑===n i i X n A X E 12221)(ˆ，∑===n i i X n A X E 111)(ˆ， 所以，∑=-=-=ni i X X n X E X E 12222)(1)(ˆ)(ˆˆσ. 2.答案： A.[解]因为似然函数n i in X a a L )max (11)(≤=，当i i X a max =时，)(a L 最大， 所以，a 的最大似然估计为},,,max{21n X X X . 3 答案 A .[解]似然函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∏=2212)(21exp 21),(μσσπσμi ni x L ， 由0ln ,0ln 2=∂∂=∂∂L L σμ，得22A =∧σ. 4. 答案 C.[解]在上面第5题中用μ取代X 即可.5答案 B.6.答案 C. 7答案 D. 8.答案 D. 9.答案 B.二、填空题：1. 矩估计和最大似然估计；2.∏iix p );(θ，∏iix f );(θ；. 341, 0.2828； [解] （1） p 的矩估计值28/1681===∑=i iXX ，令X p X E =-=43)(，得p 的矩估计为 4/14/)3(ˆ=-=X p. （2）似然函数为4281)]3()[2()]1()[0()()(=======∏=X P X P X P X P x X P p L i i42)21()1(4p p p --=)21ln(4)1ln(2ln 64ln )(ln p p p p L -+-++=令 0218126])(ln [=----='pp p p L ， 0314122=+-⇒p p 12/)137(±=⇒p . 由 2/10<<p ，故12/)137(+=p 舍去 所以p 的极大似然估计值为 .2828.012/)137(ˆ=-=p4、 1.71，0.00138；[解] 由矩估计有：nXX E X X Eii∑==22)(ˆ,)(ˆ，又因为22)]([)()(X E X E X D -=，所以71.1575.165.17.175.17.1)(ˆ=++++==X X E且00138.0)(1)(ˆ12=-=∑=n i i X X n X D .5、XX --=112ˆλ, ∑∑==+-=ni ini iXX n 11ln ln ˆλ；[解] （1）λ的矩估计为：210121)1()(21++=++=+⋅=+⎰λλλλλλλx dx x x X E 样本的一阶原点矩为：∑==ni i x n X 11所以有：XX X --=⇒=++112ˆ21λλλ （2）λ的最大似然估计为：λλλλλ)()1()1(),,(111∏∏==+=+=ni i nni i n X X X X L ；∏=++=ni i X n L 1ln )1ln(ln λλ0ln 1ln 1=++=∑=ni i X nd L d λλ 得：∑∑==+-=ni ini iXX n 11ln ln ˆλ.6、μ；[解]μμ===∑=nn X E n X E n i i 1)(1)(.7、)1(2-n n π；[解]注意到n X X X ,,,21 的相互独立性，()n i i X X n X X nX X ---+--=- )1(121 21)(,0)(σnn X X D X X E i i -=-=-所以，)1,0(~2σnn N X X i --， dz enn z X X E nn z i 2212121|||)(|σσπ--∞+∞-⎰-=-dz e nn znn z 221201212σσπ--∞+⎰-=σπnn 122-=因为：⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑∑==n i i n i i X X E k X X k E 11||||σσπ=-=nn kn122 所以，)1(2-=n n k π.8、. [992.16，1007.84]；[解] 这是分布未知，样本容量较大，均值的区间估计，所以有：05.0,40,1000=α==S X ，96.1025.0=Zμ的95%的置信区间是：]84.1007,16.992[],[025.0025.0=+-Z nSX Z n S X . 9、22((1),(1))X n X n αα--+-； [解]这是2σ为未知的情形，所以)1(~/--n t nS X μ.10、 [14.869，15.131]；[解] 这是方差已知均值的区间估计，所以区间为：],[22αασ+σ-Z n x Z n x 由题意得：905.004.0152==α=σ=n x ，代入计算可得：]96.192.015,96.192.015[⨯+⨯-， 化间得：]131.15,869.14[. 11、 [14.754，15.146]；[解] 这是方差已知，均值的区间估计，所以有：置信区间为：],[22αασ+σ-Z n X Z n X 由题得：95.14)1.152.158.149.141.156.14(61=+++++=X 696.105.0025.0===αn Z 代入即得：]96.1606.095.14,96.1606.095.14[⨯-⨯- 所以为：]146.15,754.14[ 12、. [0.15，0.31]； [解] 由2222221)1(ααχσχ≤-≤-S n 得： 2222)1(αχσS n -≥，22122)1(αχσ--≤S n所以σ的置信区间为：[)11()1(222αχS n -，)11()1(2212αχ--S n ] ， 将12=n ，2.0=S 代入得 [15.0，31.0].第八章 假设检验一、选择题1.C 、2.B 、3.B 、4.C 、5.B 、6.B 、7.C 、8.B 二、填空题 1.100=μ 2. 1.176概率论与数理统计习题及答案习题一1．略.见教材习题参考答案.2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件：（1）A发生，B，C都不发生；（2）A与B发生，C不发生；（3）A，B，C都发生；（4）A，B，C至少有一个发生；（5）A，B，C都不发生；（6）A，B，C不都发生；（7）A，B，C至多有2个发生；（8）A，B，C至少有2个发生.【解】（1）A BC（2）AB C（3）ABC（4）A∪B∪C=AB C∪A B C∪A BC∪A BC∪A B C∪AB C∪ABC=ABC(5) ABC=A B C(6) ABC(7) A BC∪A B C∪AB C∪AB C∪A BC∪A B C∪ABC=ABC=A∪B∪C(8) AB∪BC∪CA=AB C∪A B C∪A BC∪ABC3.略.见教材习题参考答案4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A-B)=0.3，求P（AB）.【解】P（AB）=1-P（AB）=1-[P(A)-P(A-B)]=1-[0.7-0.3]=0.65.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求：（1）在什么条件下P（AB）取到最大值？（2）在什么条件下P（AB）取到最小值？【解】（1）当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6.（2）当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3.6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.【解】P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)=14+14+13-112=347.从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？【解】p=5332131313131352C C C C/C8.对一个五人学习小组考虑生日问题：（1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率； （3） 求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】（1） 设A 1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故 P （A 1）=517=（17）5（亦可用独立性求解，下同） （2） 设A 2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故P （A 2）=5567=(67)5(3) 设A 3={五个人的生日不都在星期日}P （A 3）=1-P (A 1)=1-(17)59.略.见教材习题参考答案.10.一批产品共N 件，其中M 件正品.从中随机地取出n 件（n <N ）.试求其中恰有m 件（m ≤M ）正品（记为A ）的概率.如果： （1） n 件是同时取出的；（2） n 件是无放回逐件取出的； （3） n 件是有放回逐件取出的.【解】（1） P （A ）=C C /C m n m nM N M N --(2) 由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有P nN 种，n 次抽取中有m次为正品的组合数为C m n 种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从M 件正品中取m 件的排列数有P m M 种，从N -M 件次品中取n -m 件的排列数为P n mN M --种，故P （A ）=C P PP m m n mn M N M n N--由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成P （A ）=C C C m n mM N Mn N--可以看出，用第二种方法简便得多.（3） 由于是有放回的抽取，每次都有N 种取法，故所有可能的取法总数为N n 种，n次抽取中有m 次为正品的组合数为C m n 种，对于固定的一种正、次品的抽取次序，m 次取得正品，都有M 种取法，共有M m 种取法，n -m 次取得次品，每次都有N -M 种取法，共有（N -M ）n -m 种取法，故()C ()/m m n mn n P A M N M N -=- 此题也可用贝努里概型，共做了n 重贝努里试验，每次取得正品的概率为MN，则取得m 件正品的概率为()C 1m n mm n M M P A N N -⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11.略.见教材习题参考答案.12. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上，每个部件用3只铆钉.其中有3个铆钉强度太弱.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少？ 【解】设A ={发生一个部件强度太弱}133103501()C C /C 1960P A ==13.一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，计算至少有两个是白球的概率. 【解】 设A i ={恰有i 个白球}（i =2,3），显然A 2与A 3互斥.213434233377C C C 184(),()C 35C 35P A P A ====故 232322()()()35P A A P A P A =+=14.（1） 两粒都发芽的概率； （2） 至少有一粒发芽的概率； （3） 恰有一粒发芽的概率.【解】设A i ={第i 批种子中的一粒发芽}，（i =1,2）(1) 1212()()()0.70.80.56P A A P A P A ==⨯= (2) 12()0.70.80.70.80.94P A A =+-⨯=(3) 2112()0.80.30.20.70.38P A A A A =⨯+⨯=15.掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停止.（1） 问正好在第6次停止的概率；（2） 问正好在第6次停止的情况下，第5次也是出现正面的概率.【解】（1） 223151115()()22232p C == (2) 1342111C ()()22245/325p == 16.【解】 设A i ={甲进i 球}，i =0,1,2,3,B i ={乙进i 球},i =0,1,2,3,则33312123330()(0.3)(0.4)C 0.7(0.3)C 0.6(0.4)i i i P A B ==+⨯⨯+22223333C (0.7)0.3C (0.6)0.4+(0.7)(0.6)⨯=0.3207617．从5双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率.【解】 4111152222410C C C C C 131C 21p =-= 18.某地某天下雪的概率为0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求：（1） 在下雨条件下下雪的概率；（2） 这天下雨或下雪的概率. 【解】 设A ={下雨}，B ={下雪}.（1） ()0.1()0.2()0.5P AB p B A P A === （2） ()()()()0.30.50.10.7p A B P A P B P AB =+-=+-=19.已知一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男为女是等可能的）.【解】 设A ={其中一个为女孩}，B ={至少有一个男孩}，样本点总数为23=8，故()6/86()()7/87P AB P B A P A ===或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7.6()7P B A =20.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）.【解】 设A ={此人是男人}，B ={此人是色盲}，则由贝叶斯公式()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.50.05200.50.050.50.002521⨯==⨯+⨯21.两人约定上午9∶00~10∶00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率.题21图 题22图【解】设两人到达时刻为x,y ,则0≤x ,y ≤60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于|x -y |>30.如图阴影部分所示.22301604P ==22.从（0，1）中随机地取两个数，求：（1） 两个数之和小于65的概率； （2） 两个数之积小于14的概率.【解】 设两数为x ,y ，则0<x ,y <1. （1） x +y <65. 11441725510.68125p =-==(2) xy =<14.1111244111d d ln 242x p x y ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭⎰⎰23.设P （A ）=0.3,P (B )=0.4,P (A B )=0.5，求P （B ｜A ∪B ） 【解】 ()()()()()()()()P AB P A P AB P B AB P A B P A P B P AB -==+- 0.70.510.70.60.54-==+-24.在一个盒中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率.【解】 设A i ={第一次取出的3个球中有i 个新球}，i =0,1,2,3.B ={第二次取出的3球均为新球}由全概率公式，有3()()()i i i P B P B A P A ==∑33123213336996896796333333331515151515151515C C C C C C C C C C C C C C C C C C =•+•+•+•0.089=25. 按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问： （1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？ （2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？【解】设A ={被调查学生是努力学习的}，则A ={被调查学生是不努力学习的}.由题意知P（A ）=0.8，P （A ）=0.2，又设B ={被调查学生考试及格}.由题意知P （B |A ）=0.9，P （B |A ）=0.9，故由贝叶斯公式知（1）()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.20.110.027020.80.90.20.137⨯===⨯+⨯即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702%(2) ()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.80.140.30770.80.10.20.913⨯===⨯+⨯即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.26. 将两信息分别编码为A 和B 传递出来，接收站收到时，A 被误收作B 的概率为0.02，而B 被误收作AA 与B 传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是A ，试问原发信息是A 的概率是多少？【解】 设A ={原发信息是A }，则={原发信息是B }C ={收到信息是A }，则={收到信息是B } 由贝叶斯公式，得()()()()()()()P A P C A P A C P A P C A P A P C A =+2/30.980.994922/30.981/30.01⨯==⨯+⨯27.在已有两个球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球，若发现这球为白球，试求箱子中原有一白球的概率（箱中原有什么球是等可能的颜色只有黑、白两种） 【解】设A i ={箱中原有i 个白球}（i =0,1,2），由题设条件知P （A i ）=13,i =0,1,2.又设B ={抽出一球为白球}.由贝叶斯公式知11112()()()()()()()i i i P B A P A P A B P A B P B P B A P A ===∑ 2/31/311/31/32/31/311/33⨯==⨯+⨯+⨯28.某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.【解】 设A ={产品确为合格品}，B ={产品被认为是合格品}由贝叶斯公式得()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.960.980.9980.960.980.040.05⨯==⨯+⨯29.某保险公司把被保险人分为三类：“谨慎的”，“一般的”，“冒失的”“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？【解】 设A ={该客户是“谨慎的”}，B ={该客户是“一般的”}，C ={该客户是“冒失的”}，D ={该客户在一年内出了事故} 则由贝叶斯公式得()()(|)(|)()()(|)()(|)()(|)P AD P A P D A P A D P D P A P D A P B P D B P C P D C ==++0.20.050.0570.20.050.50.150.30.3⨯==⨯+⨯+⨯30.加工某一零件需要经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率. 【解】设A i ={第i 道工序出次品}（i =1,2,3,4）.412341()1()i i P A P A A A A ==-12341()()()()P A P A P A P A =-10.980.970.950.970.124=-⨯⨯⨯= 31.设每次射击的命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9?【解】设必须进行n 次独立射击.1(0.8)0.9n -≥即为 (0.8)0.1n≤ 故 n ≥11 至少必须进行11次独立射击.32.证明：若P （A ｜B ）=P (A ｜B )，则A ，B 相互独立.【证】 (|)(|)P A B P A B =即()()()()P AB P AB P B P B =亦即 ()()()()P AB P B P AB P B =()[1()][()()]()P AB P B P A P AB P B -=-因此 ()()()P AB P A P B = 故A 与B 相互独立.33.三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为15，13，14，求将此密码破译出的概率.【解】 设A i ={第i 人能破译}（i =1,2,3），则31231231()1()1()()()i i P A P A A A P A P A P A ==-=-42310.6534=-⨯⨯= 34.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率. 【解】设A ={飞机被击落}，B i ={恰有i 人击中飞机}，i =0,1,2,3由全概率公式，得3()(|)()i i i P A P A B P B ==∑=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7 =0.45835.已知某种疾病患者的痊愈率为25%，为试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，且规定若10个病人中至少有四人治好则认为这种药有效，反之则认为无效，求： （1） 虽然新药有效，且把治愈率提高到35%，但通过试验被否定的概率. （2） 新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率. 【解】（1） 310110C(0.35)(0.65)0.5138k k k k p -===∑(2) 10102104C(0.25)(0.75)0.2241kk k k p -===∑36.一架升降机开始时有6位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率：（1） A =“某指定的一层有两位乘客离开”；（2） B =“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”； （3） C =“恰有两位乘客在同一层离开”； （4） D =“至少有两位乘客在同一层离开”.【解】 由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开，故所有可能结果为106种.（1） 2466C 9()10P A =，也可由6重贝努里模型：224619()C ()()1010P A =（2） 6个人在十层中任意六层离开，故6106P ()10P B =（3） 由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有110C 种可能结果，再从六人中选二人在该层离开，有26C 种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情况，因此可包含以下三种离开方式：①4人中有3个人在同一层离开，另一人在其余8层中任一层离开，共有131948C C C 种可能结果；②4人同时离开，有19C 种可能结果；③4个人都不在同一层离开，有49P 种可能结果，故1213114610694899()C C (C C C C P )/10P C =++ （4） D=B .故6106P ()1()110P D P B =-=-37. n 个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率： （1） 甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率； （2） 甲、乙、丙三人坐在一起的概率；（3） 如果n 个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率. 【解】 （1） 111p n =- (2) 23!(3)!,3(1)!n p n n -=>-(3) 12(1)!13!(2)!;,3!!n n p p n n n n --''===≥ 38.将线段[0，a ]任意折成三折，试求这三折线段能构成三角形的概率【解】 设这三段长分别为x ,y ,a -x -y .则基本事件集为由0<x <a ,0<y <a ,0<a -x -y <a 所构成的图形，有利事件集为由()()x y a x y x a x y y y a x y x+>--⎡⎢+-->⎢⎢+-->⎣ 构成的图形，即02022a x a y ax y a ⎡<<⎢⎢⎢<<⎢⎢⎢<+<⎢⎣ 如图阴影部分所示，故所求概率为14p =. 39. 某人有n 把钥匙，其中只有一把能开他的门.他逐个将它们去试开（抽样是无放回的）.证明试开k 次（k =1,2,…,n ）才能把门打开的概率与k 无关.【证】 11P 1,1,2,,P k n k n p k n n--===40.把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体，在这些小立方体中，随机地取出一个，试求它有i 面涂有颜色的概率P （A i ）（i =0,1,2,3）. 【解】 设A i ={小立方体有i 面涂有颜色}，i =0,1,2,3.在1千个小立方体中，只有位于原立方体的角上的小立方体是三面有色的，这样的小立方体共有8个.只有位于原立方体的棱上（除去八个角外）的小立方体是两面涂色的，这样的小立方体共有12×8=96个.同理，原立方体的六个面上（除去棱）的小立方体是一面涂色的，共有8×8×6=384个.其余1000-（8+96+384）=512个内部的小立方体是无色的，故所求概率为01512384()0.512,()0.38410001000P A P A ====, 24968()0.096,()0.00810001000P A P A ====.41.对任意的随机事件A ，B ，C ，试证P （AB ）+P （AC ）-P （BC ）≤P (A ). 【证】 ()[()]()P A P A BC P AB AC ≥=()()()P AB P AC P ABC =+- ()()()P AB P AC P BC ≥+-42.将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯中球的最大个数分别为1，2，3的概率. 【解】 设i A ={杯中球的最大个数为i },i =1,2,3.将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有43种，杯中球的最大个数为1时，每个杯中最多放一球，故3413C 3!3()48P A ==而杯中球的最大个数为3，即三个球全放入一个杯中，故1433C 1()416P A ==因此 213319()1()()181616P A P A P A =--=--= 或 12143323C C C 9()416P A == 43.将一枚均匀硬币掷2n 次，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】掷2n 次硬币，可能出现：A ={正面次数多于反面次数}，B ={正面次数少于反面次数}，C ={正面次数等于反面次数}，A ，B ，C 两两互斥.可用对称性来解决.由于硬币是均匀的，故P （A ）=P （B ）.所以1()()2P C P A -=由2n 重贝努里试验中正面出现n 次的概率为211()()()22n n nn P C C =故 2211()[1C ]22nn n P A =-44.掷n 次均匀硬币，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】设A ={出现正面次数多于反面次数}，B ={出现反面次数多于正面次数}，由对称性知P （A ）=P （B ）（1） 当n 为奇数时，正、反面次数不会相等.由P （A ）+P （B ）=1得P （A ）=P （B ）=0.5(2) 当n 为偶数时，由上题知211()[1C ()]22nn n P A =-45.设甲掷均匀硬币n +1次，乙掷n 次，求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率.【解】 令甲正=甲掷出的正面次数，甲反=甲掷出的反面次数.乙正=乙掷出的正面次数，乙反=乙掷出的反面次数. 显然有>正正（甲乙）=（甲正≤乙正）=（n +1-甲反≤n -乙反） =（甲反≥1+乙反）=（甲反>乙反）由对称性知P （甲正>乙正）=P （甲反>乙反） 因此P (甲正>乙正)=1246.证明“确定的原则”（Sure -thing ）：若P （A |C ）≥P (B |C ),P (A |C )≥P (B |C )，则P （A ）≥P (B ).【证】由P （A |C ）≥P (B |C ),得()(),()()P AC P BC P C P C ≥即有 ()()P AC P BC ≥ 同理由 (|)(|),P A C P B C ≥ 得 ()(),P AC P BC ≥故 ()()()()()()P A P AC P AC P BC P BC P B =+≥+= 47.一列火车共有n 节车厢，有k (k ≥n )个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少有一个旅客的概率.【解】 设A i ={第i 节车厢是空的}，（i =1,…,n ）,则121(1)1()(1)2()(1)1()(1)n k ki kki j ki i i n P A n nP A A n n P A A A n--==-=--=-其中i 1,i 2,…,i n -1是1，2，…，n 中的任n -1个. 显然n 节车厢全空的概率是零，于是2112111122111111123111()(1)C (1)2()C (1)1()C (1)0()(1)n n nk ki n i ki j n i j nn kn i i i n i i i nn nn i ni S P A n n n S P A A n n S P A A A nS P A S S S S --=≤<≤--≤<<≤+===-=-==--==-==-+-+-∑∑∑121121C (1)C (1)(1)C (1)kkn n kn n n n nnn--=---++--故所求概率为121121()1C (1)C (1)nk i i n ni P A n n=-=--+--+111(1)C (1)n n kn n n+----48.设随机试验中，某一事件A 出现的概率为ε>0.试证明：不论ε>0如何小，只要不断地独立地重复做此试验，则A 迟早会出现的概率为1. 【证】在前n 次试验中，A 至少出现一次的概率为1(1)1()n n ε--→→∞49.袋中装有m 只正品硬币，n 只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）.在袋中任取一只，将它投掷r 次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？ 【解】设A ={投掷硬币r 次都得到国徽}B ={这只硬币为正品} 由题知 (),()m nP B P B m n m n==++ 1(|),(|)12r P A B P A B ==则由贝叶斯公式知()()(|)(|)()()(|)()(|)P AB P B P A B P B A P A P B P A B P B P A B ==+ 121212r rrm m m n m n m n m n m n+==++++ 50.巴拿赫（Banach ）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N 根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r 根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有r 根的概率又有多少？ 【解】以B 1、B 2记火柴取自不同两盒的事件，则有121()()2P B P B ==.（1）发现一盒已空，另一盒恰剩r 根，说明已取了2n -r 次，设n 次取自B 1盒（已空），n -r 次取自B 2盒，第2n -r +1次拿起B 1，发现已空。

概率论与数理统计综合练习（文科各专业本、专科）一、选择题1.设()0P A >，()0P B >，则下列公式正确的是（ ） A.()()()1P A B P A P B -=-⎡⎤⎣⎦ B.()()()P AB P A P B =⋅ C.()()()P AB P B P A B =D.()()P A B P B A =2.对于任意两个事件,A B ，则()() P A B -= A.()()P A P B - B.()()P A P AB - C.()()P A P B ⋅D.()()()P A P B P AB -+3.事件,A B 是两个相互独立的随机事件，且()P A p =，()P B q =，()01,01p q <<<<，则()P A B ⋃() = A.p q +B.()()11p q --C.p q pq +-D.()1p q -4.设,A B 是两个互不相容的随机事件,()0P A >，()0P B >，则() A.()()1P A P B =- B.()()()=P AB P A P BC.()=1P A B ⋃D. ()=1P AB5.设()=0P AB ，则（ ） A.A 和B 没有关系B.A 和B 独立C.()0P A =或()=0P BD.()()P A B P A -=6.设A 和B 是对立事件，则（ ） A.A 和B 没有关系B.A 和B 独立C.()0P A =或()=0P BD.()()P A B P A -=7.设A 和B 为两个相互独立的随机事件，()=0.5P A ，()=0.6P B ，则()=P A B ⋃（ ） A.0.6B.0.7C.0.8D.0.98.口袋中有4个白球，2个黑球，从中随机地取出3个球，则取得2个白球、1个黑球的概率是() A.0.3B.0.4C.0.5D.0.69.若函数()y f x =是一随机变量X 的概率密度，则一定成立的是（ ）A.()f x 的定义域为[]0,1B.()f x 的值域为[]0,1 C.()f x 在(),-∞+∞内连续 D.()f x 为非负10.设随机变量ξ服从()2,N μσ（其中2,μσ已知，且0σ>），如果{}12P k ξ<=，则k =（ ） A.0B.μC.μσD.2μσ11.若()1F x ，()2F x 为分布函数，下列说法正确的是（ ） A.()()()12F x F x F x =+是分布函数 B.()()121F F -∞=-∞= C.()()121F F +∞=+∞=D.()()1122a F x a F x +不是分布函数12.若连续型随机变量ξ的分布函数()20, 0, 061, 6x F x Ax x x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩，则必有() A =A.6B.1/6C.1/18D.1/3613.设离散型随机变量X 的分布律表如下，则常数c =（ ）题13表A.12B.4C.13D.1614.设随机变量X 的分布律为{}15k P X k ==，1,2,3,4,5k =，则15=22P X ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭()A.15B.25C.35D.4515.设随机变量X 的分布律为{},1,2,3,4,5P X k a k ===，则3{3}2P X <≤=( ) A.15B.25C.35D.4516.设离散型随机变量X 的分布函数()2, 2351, 3F x x x⎪⎪=-≤<⎨⎪≤⎪⎩，则X 的分布律为()17.设随机变量X 的分布律为{}15k P X k ==，1,2,3,4,5k =，则15=22P X ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭()A.45B.25C.35D.1518.设连续型随机变量X 的概率密度为()1, 00, 0x e x F x x -⎧->=⎨≤⎩，则{}()0.1 P X ≤=A.0.11e -+B.0.11e -C.0.11e --D.0.11e +19.设二维随机变量(),X Y 的联合概率密度函数是(),x y ϕ，则关于X 的边缘分布函数()=X F x （ ）A.(),xx y dx ϕ-∞⎰B.(){},x x y dy dx ϕ+∞-∞-∞⎰⎰C.(),x ϕ+∞D.(),xx y dy ϕ-∞⎰20.设(,)X Y 的联合分布律表如下，则()()1 P XY ==A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4 21.设离散型随机变量X 的分布律如下，则()=E X （ ）A.-0.2B.0.1C.0.2D.-0.122.已知随机变量X 的分布函数为(), 0441, 4x F x x x ⎪⎪=<≤⎨⎪>⎪⎩，则()=E X （ ）A.2B.4C.1D.323.设随机变量ξ服从区间()1,3上的均匀分布，则()=E ξ（ ） A.0B.1C.2D.324.设(){}20, 0, 011, 1x F x P x X x x x <⎧⎪=≤=≤≤⎨⎪>⎩，则()() E X =A.13x dx ⎰B.122x dx ⎰C.12x dx ⎰D.202x dx -∞⎰25.下面的数学期望与方差都存在，当随机变量,ξη相互独立时，下列中错误的是（ ）A.()()()E E E ξηξη=B.()()()D D D ξηξη±=+C.()()()D D D ξηξη=D.()cov ,0ξη=26.下列关于协方差的性质，错误的是（ ） A.cov(,)()X X D X =B. cov(,)cov(,)aX aY a Y X =(其中a 为常数)C. cov(,)cov(,)X Y Y X =D. cov(,)0C X =(其中C 为任意常数)27.设随机变量X 服从区间()1,3-的均匀分布，则()E x =（ ） A.12B.34C. 1D.4328.设随机变量X 服从区间()1,3-的均匀分布，则()() D x = A.12B.34C. 1D.4329.设随机变量X ()10,0.4B ，则()() D x =A.1B. 1.2C. 2.4D. 430.下面的数学期望与方差都存在，当随机变量,ξη相互独立时，下列中错误的是()A.()()()E E E ξηξη=B.()()()D D D ξηξη±=+C.()()()D D D ξηξη=D.()cov ,0ξη=二．填空题1. 设C B A ,,为三个事件，请用C B A ,,的运算关系表示下列事件： （1） A ，B ，C 都发生 ； （2）B A ,发生而C 不发生 ； （3）A 发生而B ，C 都不发生 ； （4） A ，B ，C 至少有一个发生 ； （5） A ，B ，C 都不发生 ； （6） A ，B ，C 不都发生 ； （7） A ，B ，C 至多有2个发生 ； （8） A ，B ，C 至少有2个发生 .2．设B A ,为两个事件，且5.0)()(,7.0)(===⋃B P A P B A P ，则=)(B A P ，=)|(B A P 。

《概率论与数理统计》练习册（2010年版）参考答案第一章 概率论的基本概念第一节 一、选择题.1、D ；2、A ；3、C ；4、D ；5、B . 二、解答题.1、（1）、C B A D ++=；（2）、C B A E =；（3）、C B A C B A C B A F ++=；（4）、=G C B A C B A C B A C B A +++.第二节 一、填空题.1、0.3；2、5.0；3、1p -；4、0.3；5、0.6；6、32；7、2113；8、158；9、2517；10、0.25. 二、选择题.1、B ；2、D ；3、B ；4、A . 三、解答题.1、307)(,157)(21==A P A P .2、21)(51025231533123822=++=C C C C C C C C P . 3、1133123831234=+C C C C .第三节 一、填空题.1、0.7；2、73；3、2；4、12053，5320. 二、选择题.1、B ；2、A ；3、C ；4、D . 三、解答题.1、令A 表示取出的球是白球，i B 表示从第i 个箱子中取球)2,1(=i ，则21}{}{,204}|{,108}|{2121====B P B P B A P B A P ，故21}{=A P . 2、设A 表示取到的是次品，i B 表示取到的零件是由甲（=i 1）、乙（=i 2）、丙（=i 3）机床提供的， 则由已知条件得18.05.01.03.03.02.02.0}{=⨯+⨯+⨯=A P （1）82.0}{=A P ；（2）5.0}|{2=A B P .3、记事件A =“小孩说谎”，B =“小孩可信”，设()0.8P B =,()0.1P A B =,()0.5P A B =.由贝叶斯公式，小孩第一次说谎之后，()0.444P B A =；第二次说谎之后，()0.138P B A =. 第四节 一、填空题.1、23；2、0.5；3、0.8704；4、1(1)n p --,1(1)(1)n n p np p --+-；5、4353或；6、0.75. 二、选择题.1、A ；2、C ；3、D ；4、B ；5、A ；6、C . 三、解答题.1、令i A 表示第i 个灯泡可使用1000个小时以上，则2.0)(=i A P ，3,2,1=i ，104.02.0)2.01(2.0)(2133321321321321=⋅-+=+++C A A A A A A A A A A A A P .2、432222)1)(21(1r r r r r r +-=-+--.3、设事件A 表示“飞机被击落”，i B 表示“飞机被i 个人击中”),3,2,1,0(=i ，1C 表示“甲击中”，2C 表示“乙击中”，3C 表示“丙击中”.则由概率加法公式、乘法公式和事件的独立性得09.0)()(3210==C C C P B P ，14.0)(,41.0)(,36.0)(321===B P B P B P .由题意有,1)|(,6.0)|(,2.0)|(,0)|(3210====B A P B A P B A P B A P 由全概率公式得458.0)(=A P .4、记i A 表示甲第i 次掷6点，i B 表示乙第i 次掷6点，1,2,i =⋅⋅⋅.记B A ,分别表示甲、乙取胜，则15()(),()(),(1,2,)66i i i i P A P B P A P B i =====⋅⋅⋅，且111211223A A A B A A B A B A =+++⋅⋅⋅，由独立性和加法公式，有116)(=A P ，从而115)(1)(=-=A P B P .第二章 随机变量第一节 一、填空题. 1、2516. 二、选择题. 1、A ；2、C . 三、解答题.1、（1）不是分布函数，因为2)(lim 1=+∞→x F x .（2）不是分布函数，因为)(2x F 在),2(ππ是单调减少的. （3）是分布函数，符合分布函数的三条性质.2、由题意知2132,1=-=+a b a ，所以61=a ，65=b .于是61}1{=-=X P ，21}2{,1}1{====X P X P .3、由1)(lim =+∞→x F x 得1=A ；由于)(x F 是连续函数，111lim20=+→x x ，故0=B ，从而0=C .4、X 的取值i 只有1,0两个值，以j ω记掷骰子出现j 点（1,2,,6j =⋅⋅⋅）事件，所以21}{)0(,61)(531=⋃⋃===ωωωωP X P P j ，21)1(==X P ，故⎪⎩⎪⎨⎧=1210)(x F ， 1100≥<≤<x x x第二节一、填空题.1、14；2、12；3、2；4、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=,1,5.0,2.0,0)(x F .3,32,21,1≥<≤<≤<x x x x ；5、2719.二、选择题.1、C ；2、D . 三、解答题.分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=1918891550)(x F .2,21,10,0≥<≤<≤<x x x x 36}2{}1{}2521{==+==≤<X P X P X P .2、41}1{,42}0{,41}1{=====-=X P X P X P . 3、设所需抽取次数为随机变量X .(1)设k A 表示第k 次取得正品()4,3,2,1=k ，m B 表示第m 次取得次品()3,2,1=m .则,107)(}1{1===A P X P ,307)(}2{21===A B P X P 1201}4{,1207}3{====X P X P .所以同理可得：（3）X 的概率分布为：第三节 一、填空题.1、141；2、0>；3、4；4、1，12；5、1,0211,02xx e x e x -⎧<⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩；6、0.2. 二、选择题.1、B ；2、C ；3、A ；4、D .三、解答题.1、设电子元件的使用寿命为X ，i A 表示第i 个电子元件能使用200小时.则312006006001}200{)(-∞+-==>=⎰e dx e X P A P xi ，eA A A P a 11}{1321-=-=.2、（1）由0)(,1)(=-∞=+∞F F 得π1,21==B A . （2）21)1()1(}11{=--=<<-F F X P . （3）)1(1)()(2x x F x f +='=π.3、（1）ππ1,11)(112===-=⎰⎰-+∞∞-A A dx xA dx x f ；（2）3111}21|{|21212=-=<⎰-dx xX P π；（3）⎪⎩⎪⎨⎧+==⎰∞-1arcsin 1210)()(x dx x f x F x，.1,11,1≥<≤--<x x x4、设1A 表示电压不超过200V ，2A 表示电压在200V ～240V 之间，3A 表示电压超过240V ，B 表示电子元件损坏，则,212.0)8.0(1)25220200(}200{)(1=Φ-=-Φ=≤=X P A P 576.0)8.0()8.0(}240200{)(2=-Φ-Φ=≤<=X P A P ，}240{)(3>=X P A P =212.0)8.0(1=Φ-，,2.0)|(,001.0)|(,1.0)|(321===A B P A B P A B P （1）1()0.0642;P P B ==（2）220.5760.001(|)0.0090.0642PP A B ⨯==≈.5、若)(x f 为概率密度，则必有,0)(≥x f 故02>++c bx ax 。

第一章 概率论的基本概念习题一 随机试验、随机事件一、判断题1.()A B B A =⋃- （ ）2.C B A C B A =⋃ （ ）3.()φ=B A AB （ ）4.若C B C A ⋃=⋃，则B A = （ ）5.若B A ⊂，则AB A = （ ）6.若A C AB ⊂=,φ,则φ=BC （ ）7.袋中有1个白球，3个红球，今随机取出3个，则（1）事件“含有红球”为必然事件； （ ）（2）事件“不含白球”为不可能事件； （ ）（3）事件“含有白球”为随机事件； （ ）8.互斥事件必为互逆事件 （ ）二、填空题1. 一次掷两颗骰子，（1）若观察两颗骰子各自出现的点数搭配情况，这个随机试验的样本空间为 ；（2）若观察两颗骰子的点数之和，则这个随机试验的样本空间为 。

2.化简事件()()()=⋃⋃⋃B A B A B A 。

3.设A,B,C 为三事件，用A,B,C 交并补关系表示下列事件：（1）A 不发生，B 与C 都发生可表示为 ；（2）A 与B 都不发生，而C 发生可表示为 ；（3）A 发生，但B 与C 可能发生也可能不发生可表示为 ；（4）A,B,C 都发生或不发生可表示为 ；（5）A,B,C 中至少有一个发生可表示为 ；（6）A,B,C 中至多有一个发生可表示为 ；（7）A,B,C 中恰有一个发生可表示为 ；（8）A,B,C 中至少有两个发生可表示为 ；（9）A,B,C 中至多有两个发生可表示为 ；（10）A,B,C 中恰有两个发生可表示为 ；三、选择题1.对飞机进行两次射击，每次射一弹，设A 表示“恰有一弹击中飞机”，B 表示“至少有一弹击中飞机”，C 表示“两弹都击中飞机”，D 表示“两弹都没击中飞机”，则下列说法中错误的是（ ）。

A 、A 与D 是互不相容的B 、A 与C 是相容的C 、B 与C 是相容的D 、B 与D 是相互对应的事件2.下列关系中能导出“A 发生则B 与C 同时发生”的有（ ）A 、A ABC =；B 、AC B A =⋃⋃； C 、A BC ⊂ ；D 、C B A ⊂⊂四、写出下列随机试验的样本空间1.记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）；2.一个口袋中有5个外形相同的球，编号分别为1、2、3、4、5，从中同时取出3个球；3.某人射击一个目标，若击中目标，射击就停止，记录射击的次数。

院（系） 班 姓名 学号第一章 概率论的基本概念 练习1.1 随机试验与随机事件一、填空题1.样本空间是 .2.样本空间中各个基本事件之间是 关系.3.对立事件____ 不相容事件；不相容事件 对立事件.(填一定是，不是，不一定是)4.对立事件A 与A 在每一次试验中 发生.5.设随机事件A 与B ，若AB ＝A B ，则A 与B 的关系为___________6.设A ，B 为任意两个随机事件，请把下列事件化为最简式： （1）(A B)(A B)(A B)(A B)=______； （2）ABAB AB A B AB=______－；二、写出以下随机试验的样本空间：1.从两名男乒乓球选手B A ,和三名女乒乓球选手,,C D E 中选拔一对选手参加男女混合双打，观察选择结果。

2.10件产品中有4件次品，其余全是正品，从这10件产品中连续抽取产品，每次一件，直到抽到次品为止，记录抽出的正品件数。

三、有三位学生参加高考，以i A 表示第i 人考取（1,2,3i =）.试用i A 表示以下事实： 1.至少有一个考取；2.至多有两人考取；3.恰好有两人落榜。

四、投掷一枚硬币5次，问下列事件A 的逆事件A 是怎样的事件？1. A 表示至少出现3次正面；2. A 表示至多出现3次正面；3. A 表示至少出现3次反面。

五、袋中有十个球，分别编有1至10共十个号码，从其中任取一个球，设事件A 表示“取得的球的号码是偶数”， 事件B 表示“取得的球的号码是奇数”， 事件C 表示“取得的球的号码小于5”，则,,,,,C A C AC A C A B AB ⋃-⋃分别表示什么事件？六、在某系的学生中任选一名学生，令事件A 表示“被选出者是女生”；事件B 表示“被选出者是三年级学生”；事件C 表示“被选出者是会弹钢琴”。

（1）说出事件C AB 的含义；（2）什么时候有恒等式C C B A = ; (3) 什么时候有关系式B C ⊆正确; （4）什么时候有等式B A =成立。

第一章 概率论的基本概念基础训练I一、选择题1. 以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为：（ D ）。

A ）甲种产品滞销，乙种产品畅销；B ）甲乙产品均畅销；C ）甲种产品滞销；D ）甲产品滞销或乙种产品畅销.2、设A ,B ,C 是三个事件，则C B A ⋃⋃表示（ C ）。

A ） A ,B ,C 都发生； B ） A ,B ,C 都不发生；C ） A ,B ,C 至少有一个发生；D ） A ,B ,C 不多于一个发生3、对于任意事件B A ,，有=-)(B A P （ C ）。

A ）)()(B P A P -； B ）)()()(AB P B P A P +-；C ）)()(AB P A P -；D ）)()()(AB P B P A P -+。

4、已知5个人进行不放回抽签测试，袋中5道试题（3道易题，2道难题），问第3个人抽中易题的概率是( A ) 。

A ） 3/5；B ）3/4；C ）2/4；D ）3/10.5、抛一枚硬币，反复掷4次，则恰有3次出现正面的概率是（ D ）。

A ） 1/16B ） 1/8C ） 1/10D ） 1/46、设()0.8P A =，()0.7P B =，(|)0.8P A B =，则下列结论正确的有（ A ）。

A ）B A ,相互独立； B ）B A ,互不相容；C ）A B ⊃；D ）)()()(B P A P B A P +=⋃。

二、填空题1.设C B A ,,是随机事件，则事件“A 、B 都不发生，C 发生”表示为C B A , “C B A ,,至少有两个发生”表示成BC AC AB ⋃⋃ 。

2.设A 、B 互不相容，4.0)(=A P ，7.0)(=⋃B A P ，则=)(B P 0.3 ；3. 某市有50%住户订日报，有65%住户订晚报，有85%的住户至少订这两种报纸中的一种，则同时订这两种的住户百分比是：30%；4.设4/1)()()(===C P B P A P ,0)()(==BC P AB P ,8/1)(=AC P ，则C B A 、、三件事至少有一个发生的概率为：5/8；5. 若A 、B 互不相容,且,0)(>A P 则=)/(A B P 0 ；若A 、B 相互独立，,且,0)(>A P 则=)/(A B P )(B P 。

概率论与数理统计练习册练习⼀随机事件的概念和概率的定义⼀、选择题：1.设A 、B 、C 为任意三个事件,⽤A 、B 、C 表⽰“⾄多有三个事件发⽣”为 ( ) A A B C ++ B ABCCABC ABC ABC ++ D Ω2.在某学校学⽣中任选⼀名学⽣,设事件A =“选出的学⽣是男⽣”;B =“选出的学⽣是三年级学⽣”;C =“选出的学⽣是篮球运动员”.则ABC 的含义是 ( )A 选出的学⽣是三年级男⽣B 选出的学⽣是三年级男⼦篮球运动员C 选出的学⽣是男⼦篮球运动员D 选出的学⽣是三年级篮球运动员3.在掷骰⼦的试验中,观察其出现的点数,记A =“掷出偶数”;B =“掷出奇数点”;C =“掷出的点数⼩于5”;D =“掷出1点”.则下述关系错误的是 ( )A B A = B A 与D 互不相容 C C D = D A B Ω=+ 4.某事件的概率为0.2,如果试验5次,则该事件 ( ) A ⼀定会出现1次 B ⼀定会出现5次 C ⾄少会出现1次 D 出现的次数不确定5.对⼀个有限总体进⾏有放回抽样时,各次抽样的结果是 ( )A 相互独⽴B 相容的C 互为逆事件D 不相容但⾮逆事件 6. 若()p A =0.5 .()0.5p B =,则()p A B += ( )A 0.25B 1C 0.75D 不确定7.某射⼿向⼀⽬标射击两次，A i 表⽰事件“第i 次射击命中⽬标”，i =1，2，B 表⽰事件“仅第⼀次射击命中⽬标”，则B =（）A ．A 1A 2B ．21A AC ．21A AD ．21A A8.从⼀批产品中随机抽两次，每次抽1件。

以A 表⽰事件“两次都抽得正品”，B 表⽰事件“⾄少抽得⼀件次品”，则下列关系式中正确的是（） A ．A ?B B ．B ?AC ．A=BD ．A=B9.从标号为1，2，…，101的101个灯泡中任取⼀个，则取得标号为偶数的灯泡的概率为（） A ．10150 B ．10151 C ．10050 D ．10051 10.设A 为随机事件，则下列命题中错误．．的是（） A ．A 与A 互为对⽴事件 B ．A 与A 互不相容 C ．Ω=?A A D ．A A =⼆、填空题：1. 在⼗个数字0、1、2.….9中任取四个数（不重复），则能够排成⼀个四位数的偶数的概率为2. ⼀个⼩组有10个学⽣，则这个⼩组10个学⽣都不同⽣⽇的概率是（设⼀年365天）3. 设袋中有五只⽩球，3只⿊球。

第一章 随机事件与概率 § 随机试验 随机事件 一、选择题1. 设B 表示事件“甲种产品畅销”,C 表示事件“乙种产品滞销”,则依题意得A=BC .于是对立事件 {}A B C ==甲产品滞销或乙产品畅销,故选D.2. 由A B B A B B A AB =⇔⊂⇔⊂⇔=Φ,故选D.也可由文氏图表示得出. 二 写出下列随机试验的样本空间1. {}3,420，，2 []0,100 3. z y x z y x z y x z y x ,,},1,0,0,0|),,{(=++>>>=Ω分别表示折后三段长度;三、1任意抛掷一枚骰子可以看作是一次随机试验,易知共有6个不同的结果.设试验的样本点 ""1,2,3,4,5,6i i i ω==出点点， ；则{}246,,A ωωω=,{}36,B ωω=2{}135,,A ωωω=,{}1245,,,B ωωωω=,{}2346,,,A B ωωωω=,{}6AB ω=,{}15,AB ωω=四、1ABC ；2ABC ；3“A B C 、、不都发生”就是“A B C 、、都发生”的对立事件,所以应记为ABC ；4A B C ；5“A B C 、、中最多有一事件发生”就是“A B C 、、中至少有二事件发生”的对立事件,所以应记为：AB AC BC .又这个事件也就是“A B C 、、中至少有二事件不发生”,即为三事件AB AC BC 、、的并,所以也可以记为AB ACBC .§ 随机事件的概率 一、填空题1. 试验的样本空间包含样本点数为10本书的全排列10,设{}A =指定的3本书放在一起,所以A 中包含的样本点数为8!3!⋅,即把指定的3本书捆在一起看做整体,与其他三本书全排,然后这指定的3本书再全排;故8!3!1()10!15P A ⋅==; 2. 样本空间样本点7!5040n ==,设事件A 表示这7个字母恰好组成单词SCIENCE,则因为C 及C, E 及E 是两两相同的,所以A 包含的样本点数是2!2!4A =⨯=,故2!2!1()7!1260P A ⋅==二、求解下列概率1. 1 25280.36C C ≈; 2 1515373766885!0.3756!C C C A C A == 2. 412410.427112A -≈3. 由图所示,样本点为随机点M 落在半圆202 ()y ax x a <<-为正常数内,所以样本空间测度可以用半圆的面积S 表示;设事件A 表示远点O 与随机点M 的连线OM 与x 轴的夹角小于4π,则A 的测度即为阴影部分面积s , 所以2221142()22a a s P A S aπππ+===+ §概率的性质 一． 填空题 1．; 2. 1p -; 3. 16; 4. 712二． 选择题1. C;2. A;3. D;4. B;5. B. 三． 解答题解：因为,AB A AB ⊆⊆所以由概率的性质可知：()()().P AB P A P A B ≤≤又因为()0,P AB ≥所以可得 ()()(),P AB P A P B ≤+于是我们就有()P AB ≤ ()()P A P A B ≤()()P A P B ≤+.如果,A B ⊆则,AB A = ()()P AB P A =； 如果,B A ⊆则,AB A =这时有()().P A P A B =如果,AB φ=则(0,P AB =）这时有()()().P A B P A P B =+§ 条件概率与事件的独立性aa2a1.1图一． 填空题 1.23；2. 0.3、；3. 23；4. 14； 5. 2； 5. 因为AB AB =,所以()(),()()AB AB AABB AB AB AB AB φ====,则有,AB A B A B φ=+=+=Ω,因为,AB A B φ=+=Ω且所以A 与B 是对立事件,即A B A B ==，;所以,()()1,P A B P A B ==于是()()2P A B P A B +=二． 选择题1. D ；2. B ；3. A ；4. D ；5. B1． 已知()()1,P A B P A B +=又()()1,P A B P A B +=所以()(),P A B P A B =于是得()()()()P AB P AB P B P B =,注意到()()(),()1(),P AB P A P AB P B P B =-=-代入上式并整理后可得()()()P AB P A P B =;由此可知,答案D; 三． 解答题 1.33105，； 2. 2n§ 全概率公式和逆概率Bayes 公式 解答题 1. 2. 1；23.10.943；20.848§ 贝努利概型与二项概率公式 一． 填空题1. 11(1),(1)(1)n n n p p np p ----+-；2.23二． 解答题 1. .2. 0.94n,222(0.94)(0.06)n n n C --,11(0.94)(0.06)(0.94)n n n ---3.1,2,3章节测验一． 填空题 1.825； 2. 对立；3. 0.7； 4. 84217，二． 选择题 三、解答题 1.1； 22232. .0038 四、证明题略; 随机变量 分布函数一、填空题1.)(1a F -；)1()1(--F F ；)()()(b F a F b F -；2. 1,12a b ==/π；3.121--e二、选择题1、D ；2、A ； 三、计算题1.所以得随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=5,154,10443,1013,0)(x x x x x F2.解：1由条件知,当1-<x 时,0)(=x F ； 由于81}1{=-=X P ,则81}1{)1(=-≤=-X P F ； 从而有 8581411}1{}1{1}11{=--=-=-=-=<<-X P X P X P ；由已知条件当11<<-x 时,有 )1(}111{+=<<-≤<-x k X x X P ； 而1}1111{=<<-≤<-X X P ,则21=k 于是,对于11<<-X 有}111{}11{}11,1{}1{<<-≤<-⋅<<-=<<-≤<-=≤<-X x X P X P X x X P x X P 16)1(52185+=+⨯=x x 所以 167516)1(581}1{}1{)(+=++=≤<-+-≤=x x x X P X P x F 当1≥x 时,1)(=x F ,从而⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-+-<=1,111,16751,0)(x x x x x F2略;离散型与连续性随机变量的概率分布 一、填空题1．3827；2.2二、选择题； ；三、计算题1.12,1==B A ；2⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤--<≤<=2,121,12210,20,0)(22x x x x x x x x F ；343 2.略;常用的几个随机变量的概率分布 一、填空题1.649；2.232-e ；3.2.0 二、计算题 1、43；2、352.0；3、5167.0；4、19270.01)5.1()5.2(=-Φ+Φ；229.3=d随机向量及其分布函数 边际分布 一、填空题1、(,)(,)(,)(,)F b b F a b F b a F a a --+；(,)(,)F b b F a b -；2、0；1 二、计算题1、12,2,12πππ===C B A ；2161； 3R x x x F X ∈+=),2arctan 2(1)(ππ,R y yy F Y ∈+=),3arctan 2(1)(ππ 2、1⎩⎨⎧≤>-=-0,00,1)(2x x e x F x X ,⎩⎨⎧≤>-=-0,00,1)(y y e y F y Y ,；242---e e;3、⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤≤-+<=2,120),cos 1(sin 210,0)(ππx x x x x x F X ,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤≤-+<=2,120),cos 1(sin 210,0)(ππy y y y y y F Y二维离散型与连续性随机向量的概率分布一、填空题1、87；2、∑+∞=1j ij p ,∑+∞=1i ij p ；3、41；4、41二、计算题1、1=c ；⎩⎨⎧≤>=-0,00,)(x x e x f xX ；⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=0,00,)1(1)(2y y y y f Y2、16,(,)(,)0,x y Df x y ∈⎧=⎨⎩其它；226(),01()0,X x x x f x ⎧-<<=⎨⎩其它；),01()0,Y y y f y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它3、条件分布 随机变量的独立性一、选择题1、B ；2、A ；3、D ；4、C ；5、D 二、计算题1、2、||2,012,01(|),(|)0,0,X Y Y X x x y y f x y f y x ≤≤≤≤⎧⎧==⎨⎨⎩⎩其它其它 3、18=c ；241}2{=<X Y P ；3不独立; 4、)1(11121Φ-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--e π 随机变量函数的概率分布一、填空题1、2、1,01()0,Y y f y ≤≤⎧=⎨⎩其它二、选择题1、B ；2、D ； 三、计算题1、⎩⎨⎧<<=else y y f ,010,1)(；2、⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<-<=--1,)1(10,10,0)(z e e z e z z f z zZ3、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<≤=1,110,21,0)(z z z z f Z ；⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-<<≤=1,21110,20,0)(z zz z z z F Z 第二章测验一、填空题1、41；2、34；3、0；4、2.0 二、选择题1、C ；2、A ；3、B 三、计算题1、~(3,0.4)X B ,则随机变量的概率函数为其分布函数为：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<=3,132,12511721,1258110,125270,0)(x x x x x x F2、124=A ；2⎩⎨⎧≤≤-=其它,010),1(12)(2x x x x f X ,⎩⎨⎧≤≤-=其它,010),1(12)(2y y y x f X ；3不独立；4⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=⎪⎩⎪⎨⎧<<<<--=其它其它,010,10,2)|(,,010,10,)1()1(2)|(2|2|y x x y x y f y x y x y x f X Y Y X ;3、1⎩⎨⎧≤>=-0,00,)(z z ze z f z Z ；2⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=0,00,)1(1)(2z z z z f Z第三章 随机变量的数字特征数学期望 一 、填空题1、13,23,3524 ； 2、21,0.2 3、 2 ,4796二、计算题1. 解： 11211()(1)(1)1k k k k k a a a E X k k a a a -+∞+∞+==⎛⎫== ⎪+++⎝⎭∑∑ 根据公式()''12111(1)11k k k k x kx x x x x +∞+∞-==⎛⎫⎛⎫===< ⎪ ⎪-⎝⎭-⎝⎭∑∑ 得到221()(1)11a E X a a a a ==+⎛⎫- ⎪+⎝⎭2． 0 ；3．:2a4. 2/3,4/3 ,-2/3,8/5 ； 5．4/5,3/5,1/2,16/15 方差一、填空题1. 0.49 ；2. 1/6 ；3. 8/9 ；4. 8 , 二、计算题 1.： , 提示： 设0,1,i i X i ⎧=⎨⎩部件个不需要调整部件个需要调整则123,,X X X 相互独立,并且123X X X X =++,显然1(1,0.1),X B2(1,0.2),X B 3(1,0.3)X B2.：1/3,1/3 ； 3．： 16/3 ,28三、 证明题提示： [][]22()())D XY E XY E XY E XY EX EY =-=-[]2)E XY YEX YEX EX EY =-+-[]2()()E Y X EX EX Y EY DX DY =-+-≥ 协方差与相关系数 一、 选择题 1. A ； ； 二、 计算题1. ()()0E X E Y ==,()()0.75D X D Y ==, 0XY ρ=, () 1.5D X Y += X 与Y 不独立2. 0 ,0提示：111()0Y y f y π⎧=-≤≤⎪=⎨⎪⎩⎰其它 1211()10E Y yy dy π-=-=⎰()0.25D Y =同理可得()()0E X E Y ==,()()0.25D X D Y ==221(,)()0x y xyCov X Y E XY dxdy π+≤===⎰⎰3. ：2222a b a b-+ 矩与协方差矩阵1. 33321132v v v v μ=-+2.1,,, ；2 ；340.210.020.020.24-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦第三章 测验 一、 填空题1． ； 2. 1 ,； 3． ab二、 选择题 1．B ； ；三、 计算题1.解：设X 表示该学徒工加工的零件中报废的个数,又设 0,1,i i X i ⎧=⎨⎩第个零件未报废第个零件报废则由题设知1111iX i i i ⎡⎤⎢⎥⎢⎥++⎣⎦于是有 101i i X X ==∑ 且1()(1,2,,10)1i E X i i ==+从而1010101111111()()() 2.0212311i i i i i E X E XE X i =======+++=+∑∑∑ 2.： 10分25秒提示：设乘客到达车站的时间为X ,由题意可知X 为0,60上的均匀分布,根据发车时间可以得到等候时间Y ,且Y 是关于X 的函数10010301030()553055705560X X X X Y g X X X XX -<≤⎧⎪-<≤⎪==⎨-<≤⎪⎪-<≤⎩3. 0,0第四章习题切比雪夫不等式 随机变量序列的收敛性 1．解：由切比雪夫不等式知,2221(37)(|5|2)12221(|5|8)832P X P X P X <<=-<≥-=->≤=2．解：设X 为在n 次试验中事件A 出现的次数,则~(,)X B n p ,Xn为频率． 21110.750.25()()0.750.75,()()X X E E X n D D X n n n n n n⨯==⨯⨯=== 由题意知{0.70.8}0.9,XP n<<≥而由切比雪夫不等式有20.750.25{|0.75|0.05}10.05X n P n ⨯-<≥- 所以有20.750.2510.90.05n ⨯-=,得750n =大数定理1． 证：有题设知n n=2,3,…的概率分布为：故n 的数学期望为()012101n -)(n =⨯+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯+⨯=nn n n X EX n 的方差为()(22222121()[()]012n nn D X E X E X n n n⎛⎫=-=⨯+⨯-+⨯= ⎪⎝⎭故∑==Nnn X NX 11的数学期望 ()()01111==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑==Nnn Nn n X E N X NE X E方差()()NN X D N X ND X D Nn Nn n Nn n 2211112121===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑===在利用车比雪夫不等式得(){}()0222−−−−→−≤≤≥-+∞→N N X D XE X P εεε因此,X 1,X 2,…,X n ,…服从大数定理;2．证：由于X 1,X 2,…,X n 相互独立,且()i i E X μ=,()i D X 存在,令 n 11ni i X X n ==∑则 ()()k k 111111n nn nki i i EX E X E X n n n μ===⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑∑有限;()()k k 211110n n n ni i D X D X D X n n →∞==⎛⎫==−−−→ ⎪⎝⎭∑∑故由车比雪夫不等式知,0>∀ε; ()()()()1222111nknn k n n D XD X P XE X n εεε→∞=-≤≥-=-−−−→∑即 1111lim {||}1n ni i n i i P X n n με→+∞==-<=∑∑中心极限定理1．解：设X 为抽取的100件中次品的件数,则(100,0.2)XB ,()1000.220,()200.816E X D X =⨯==⨯=则18202025201205{1825}{}{}444244(1.25)(0.5)(1.25)(0.5)10.89440.691510.5859X X P X P P ----<<=<<=-<<=Φ-Φ-=Φ+Φ-=+-=2．解：1 设X 为一年中死亡的人数,则(,)XB n p ,其中n =10000,p =保险公司亏本则必须1000X>120000,即X>120 P{保险公司亏本}={120}P X >=P >=7.769}P >1(7.769)0≈-Φ=2P{保险公司获利不少于40000元}{120000100040000}{80}(2.59)0.995P X P X P -≥=≤=≤=Φ=3．解：设X i ={每个加数的舍入误差},则X i ~ U, ,()0i =X E ,()121i =X D ,i = 1, 2, …故由独立同分布中心极限定理知X 1,X 2,…服从中心极限定理;1[][][]802.10)9099.01(2)4.31(121)4.31(21)4.31()4.31(11211500015001512115000150012115000150015-1151511511515001150011500115001=-⨯=Φ-=-Φ-=-Φ-Φ-≈⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-≤⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-≤⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯--=⎪⎭⎫⎝⎛≤≤--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>∑∑∑∑====i i i i i i i i X P X P X P X P 21{||10}0.9n i i P X =<≥∑,|0.9n i X P ⎧⎫⎪⎪⎪<≥⎨⎪⎪⎩∑由中心极限定理得,210.9,0.95Φ-≥Φ≥,所以1.65≥,解得440n =．第四章 测验一、填空题 1．1/4；211k-． 2．221n σε-．提示：利用切比雪夫不等式估计． 3．1/12 4．0． 5．． 6．()x Φ． 二、选择题1．A 2．C 3 D ．三、应用题1．解：设X 为1000次中事件A 出现的次数,则(1000,0.5)X B()500,()5000.5250E X D X ==⨯=25039{400600}{|500|100}10.9751000040P X P X <<=-<≥-==2．解：设至少要掷n 次,有题设条件知应有()9.06.04.0≥<<n X P其中∑==nii X nX 1n1, i=1,2,…独立同分布,且()()5.001i i ====X P X P , 5.0)(i =X E ,25.05.05.0)(i =⨯=X D1 用切比雪夫不等式确定()()()2n 1.011.05.06.04.0nn X D X P X P -><-=<<而()nnX D n X n D X D ni ni i ni 25.05.0111)(12212n ===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑==即要求90.01.025.012≥-n即)次(2501.025.03=≥n 即至少应掷250次才能满足要求; 2用中心极限定理确定()0.40.60.50.50.5210.90555n n X P X P n n n n n n ⎛⎫<<=<<⎛⎫⎛⎫⎛⎫=Φ-Φ-=Φ-≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得10.900.9552n ⎛⎫+Φ≥= ⎪ ⎪⎝⎭查标准正态分布表的645.15≥n ,225.8645.15=⨯≥n所以6865.67225.82≈=≥n即在这种情况下至少应掷68次才能满足要求; 3．解：设X 为每天去阅览室上自习的人数; 则有(12000,0.08),()120000.08960,()9600.92883.2X B E X D X =⨯==⨯=1{880}1{880}9608809601{}883.2883.21( 2.692)(2.692)0.996P X P X X P >=-≤--=-≤≈-Φ-=Φ= 2设总座位数为n960960{}0.8,{}0.8883.2883.2X n P X n P --<=≤=由中心极限定理知, 960()0.8883.2n -Φ=,查表得960883.2n -=,986n =,所以应增添986-880=105个座位; 4．解：令n 为该药店需准备的治胃药的瓶数 X 为在这段时间内购买该药的老人数则由题意知(2000,0.3)XB ,()20000.3600,()6000.7E X D X =⨯==⨯{}0.99600600{}0.99420420P X n X n P ≤=--≤=由中心极限定理知, 600()0.99420n -Φ≈,查表得6002.33420n -=,所以648n ≈四、证明题1．证明：设则有,11,()()(1)4nn k k k k k k k M X E X p D X p p ====-≤∑ 11111()()().nknn n k k k k k pM E E X E X n n n n======∑∑∑12221111114()()().4nnnn k k k k k M D D X D X n n n nn=====≤≤∑∑∑ 由切比雪夫不等式得,1222()111{||}4nn nM D M p p p n P n n n εεε++-≤-≤-<,所以当n →+∞时121{||}1n nM p p p P n nε++≤-<≤,即12{||}1n n M p p p P n nε++-<=．2．证：因为12,,,n X X X 相互独立且同分布,所以21X ,22X ,…,2n X 相互独立且同分布,且有相同的数学期望与方差：()22a X E i =,()()()[]()0a -22242242≠=-==σa X E X E X D ii i满足独立分布中心极限定理条件,所以∑=nii X 12近似服从正太分布()22,σn na N,即∑==ni i nX n Y 121近似服从⎥⎦⎤⎢⎣⎡-n a a a N 2242)(, 第五章 数理统计的基本概念总体 样本 统计量 一、选择题 1.D2.A ()9922221192859257.591918iii i XX XX S ==--⨯-⨯====--∑∑3. D二、应用题1. 5,2.551251511()(,,...)(),,...0,i X i i b a f x x x f x a x x b=⎧⎪-==<<⎨⎪⎩∏其它3.0,11,124()3,2341,3x x F x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩抽样分布 一、选择题 1.C 注：1~(1)t n -才是正确的.2.B 根据()()2221~1n S n χσ--得到()221()~1ni i X X n χ=--∑ 3.A 解：()99211~(0,9)9~0,1ii i i XN X N ==⇒∑∑,()92219~9i i Y χ=∑由t()9t 二、应用题 1. (1,1)F n -2. 13~(10,)2X N 23.第五章 测验一、选择题 1. C2.C 注：统计量是指不含有任何未知参数的样本的函数 3D对于答案D,由于~(0,1),1,2,,i X N i n μσ-=,且相互独立,根据2χ分布的定义有2212()~()nii Xx n μσ=-∑4.C 注：1~(0,)X N n~(1)t n -才是正确的5.C 12345{max(,,,,)15}P X X X X X >123451{max(,,,,)15}P X X X X X =-≤ ()15115,,15P X X =-≤≤=5)]5.1([1Φ- 二、填空题 1.μ,2nσ2.1nii Xn=∑()2111n i i X X n =--∑,11i n k i X n =∑,()11nk i i X X n =-∑ 3. ,pqp n4. 252(1)n χ-三、应用题1.(1)21211(,,...)()!!n n knn n ni i f x x x e e k k λλλλ+--====∏∏2. 0.13.(1)t n -第六章 参数估计参数的点估计 一、选择题二、解答题 1.解 1()()∑∑∞=-∞=-===1111}{x x x p p x x X xP X E ∑∞='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==11x x q q p q dq dpp1=()p q -=1 用X 代替()X E ,则得p 的矩估计量Xp 1=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑=n i i X n X 112分布参数p 的似然函数()()∏∏=-=-===ni x i n i p p x X P p L i 1111}{()∑-=-=ni i nx np p 11取对数 ()()p n x p n p L n i i -⎪⎭⎫⎝⎛-+=∑=1ln ln ln 1解似然方程 ()011ln 1=⎪⎭⎫⎝⎛---=∑=n i i n x p p n dp p L d得p 的极大似然估计量 Xp 1=⎪⎭⎫⎝⎛=∑=n i i X n X 112.解 1()()()26;32θθθθθ=-==⎰⎰∞+∞-dx x x dx x xf X E ,用∑==ni i X n X 11代替总体均值()X E ,则得参数θ的矩估计量为.2X =θ2()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛===∑=n i i X n D X D X D D 11442θ()()()∑====ni iX D nX nD nX D n122444因为()()()()⎰∞+∞-⎪⎭⎫⎝⎛-=-=22222;][θθdx x f x X E XE X D ()⎰=--=θθθθθ022332046　dx x x 所以 ()nn D 520422θθθ==3.解 取()()∑-=+-=112121,,,,n i i i n X X C X X X ϕ由定义()]()⎢⎢⎣⎡⎢⎣⎡=⎥⎦⎤-=∑-=+112121,,,n i i i n X X C E X X X E ϕ()∑-=+=-1121n i i i X X E C][=+-∑-=++1121212n i i i i i X X X X E C ()()()][∑-=++=+-1121212n i i i i i X E X X E X E C()()()()][=+-∑-=++1121212n i iii i X E X E X E XE C ()()()][∑-=+=+-1122212n i ii X E X E X E C()()21122221σσσσ=-=+∑-=n i n C C所以 ()121-=n C参数的区间估计 一、选择题1. C2. A一个总体均值的估计1.解 由于,99.01=-α 故,31,01.0=-=n 又α查t 分布表得()0.0123 5.841,t =又%,03.0%,34.8==s x 故得μ的99%的置信区间为][%428.8%,252.8)%403.0841.534.8()%,403.0841.534.8( =⎢⎣⎡⎥⎦⎤⨯+⨯- 2.解 计算得样本均值16,0171.0,125.22===n s x10.120.10,1.645,0.01,u ασ=== 总体均值μ的90%的置信区间为]22 2.121, 2.129x u x u αα⎡⎤⎡-+=⎢⎣⎢⎣2.151,10.0=-=n α查t 分布表得()0.1215 1.753t =()753.11510.0=t ,总体均值μ的90%的置信区间为((]2211 2.117, 2.133x t n x t n αα⎡⎤⎡--+-=⎢⎣⎢⎣3.解：计算得265,3000,0.05x s α===, n -1=7,查t 分布表得()0.1027 1.895t =,计算得株高绝对降低值μ的95%的置信下限为(2128.298x t n α--=. 4.解 每20.10hm 的平均蓄积量为315m ,以及全林地的总蓄积量375000m ,估计精度为0.9505A =5. ,一个总体方差与频率的估计1.解 由样本资料计算得3750.60=x ,3846.02=s ,6202.0=s ,又由于05.0=α,025.02=α,975.021=-α,151=-n 查2χ分布表得临界值,488.27)15(2025.0=χ,262.6)15(2975.0=χ从而2σ及σ的置信概率为%95的置信区间分别为,与,.2. 解 1由于,14=n ,05.0=α查t 分布表得()0.05213 2.16,t =又67.1,7.8==s x ,故得总体均值μ的95%的置信的区间为((]22117.736,9.664x t n x t n αα⎡⎤⎡--+-=⎢⎣⎢⎣2由于,10.0=α 05.0=２α,,95.021=-α,131=-n 查2χ分布表得()362.2213205.0=χ,()892.513295.0=χ,故得总体方差2σ的90%的置信区间为()()()()][153.6,621.111,112212222=⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-----n S n n S n ααχχ 3. 解,41,95.021,05.02,10.0=-=-==n ααα查2χ分布表得(),488.94205.0=χ ()711.04295.0=χ,又计算得1.21=x ,505.82=s ,故得该地年平均气温方差2σ的90%的置信区间为()()()()][85.47,58.311,112212222=⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-----n s n n s n ααχχ 4. 解 造林成活率的置信区间为[0.8754,0.9369] 两个总体均值差的估计1. 解 由于182,05.021=-+=n n α,查t 分布表得临界值()0.05218 2.101.t =又,8.126,06.14,1021====y x n n ,96.71,93.162221==s s 从而求得21μμ-的置信概率为95%的置信区间为,.即以95%的概率保证每块试验田甲稻种的平均产量比乙稻种的平均产量高7.536kg 到20.064kg.2.解由样本值计算得5,5,27,4.24221=====A B A n n y x σ,82=Bσ,05.0=α,,96.105.0=u 故21μμ-的95%的置信区间为()()]5.76,0.56A B A B x y x y ⎡⎢⎡---+=-⎣⎢⎣3.解由样本值计算得222211.10,875.75,30.11,44.81====B B A A s y s x ,,91=n ,82=n ,05.0=α 查t 分布表得()0.05215 2.131,t =故得B A μμ-的95%的置信区间为4. ,两个总体方差比的估计解 ,025.02,05.0,911===-=-ααB A n n 查F 分布表得()=--1,12B A n n F α()(),03.49,91,1025.02==--F n n F A B α故 2221σσ的95%的置信区间为：()()][⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤----6008.3,2217.01,1·,1,11·222222 n n F s s n n F s s A B BA B AB A αα第六章 测验一、选择题二、填空题 1.12α=2.21ˆ2X θ-= 3. ][588.5,412.4 4. 21;1λλ 5. ()0.351t n k -=三、计算题1.解 因为X ～N (),4,2μ所以(),9492222χχ～S =于是, ⎩⎨⎧=⎭⎬⎫>=>1.0169169}{22σS P a S P 查2χ分布表得,684.14169=a所以.105.26≈a ()(()(12212222 5.58,16.71.A B A B x y t n n x y t n n αα⎡--+-⎢⎣⎡⎤⎤-++-=-⎢⎥⎥⎦⎦⎣2.解 1()()λλλ-==∏∏==ex x f x x x f n i ni ix in i1121!;,,, ∏=-∑==ni i x n x eni i 1!·1λλ；2()()()λλλnn S E nX D X E n 1,,2-===. 3.解 因为X ～N()22,30　,于是()(),)21(,30)162(,3022　＝N ～N X 从而()1,02130　～N X U -=,故 }{⎩⎨⎧⎭⎬⎫-<-<-=<<2/130312/1302/130293129X P X P()()()9545.0197725.0212222221302=-⨯=⎩⎨⎧-Φ=-Φ-Φ=⎭⎬⎫<-<-=X P4.解 1178320,314022====b x σμ ；219813322==s σ5.解 设施肥与不施肥的收获量分别为总体,,Y X 且X ～N ()，，21σμY ～N)(~22σμ，N Y ,计算可得,1738.1,9227.0,7.9,4.11222221====s s y x 又,05.0,162,10,82121==-+==αn n n n 查t 分布表得临界值()0.05216 2.12,t =从而计算均值差21μμ-的95%的置信区间为()()][.7773.2,6227.016810181738.199227.0712.27.94.11,16810181738.199227.0712.27.94.112222=⎥⎦⎤⨯⨯⨯+⨯+-⎢⎣⎡⨯⨯⨯+⨯--故在置信概率下,每201亩水稻平均收获量施肥比不施肥的增产到斤.第七章 假设检验假设检验概念和原理 一、填空题：1、概率很小的事件在一次试验抽样中是不至于发生的;2、0H 为真,通过一次抽样拒绝0H 所犯错误； 0H 为假,通过一次抽样接受0H 所犯错误; 二、选择题 1、B ；2、D;三、应用计算题1、解：{}1232|1258P x x x p α=++≥=={}1232|14364P x x x pβ=++<==2、解：1、0.62c ==2、因c u α= 故拒绝原假设00:0H μμ==;3、{}1.15P x P α⎫=≥=≥[]3.6412(3.64)10.0003P ⎫⎪=≥=-Φ-=⎬⎪⎭一个总体参数的假设检验 一、填空题：1、X U =12(,,):1n X x x u α⎧⎫⎪⎪=≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭;3、1(,,):n R x x u p α⎧⎫⎪⎪=≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭二、选择题1．A 3. B 三、应用计算题1、1若根据以往资料已知σ=14 ；2σ未知; 解：101:500:500H H μμ=↔≠ 0.452x u ===因 20.452 1.96u u α=<= 故接受原假设0H . 从而包装机工作正常; 2.先检验标准差 0010:=15:H H σσσσ≥↔< 22222(1)(101)1610.2415n S χσ--=== 22110.24 3.325(1)n αχχ-=<=- 故拒绝原假设00:=15H σσ≥其次检验01:500:500H H μμ=↔≠ 0.395x T ===因2T 0.395 2.262(1)t n α=<=- 故接受原假设0:500H μ= 所以,综合上述两个检验可知包装机工作正常;2、解：0010:=0.3:=0.3H H σσσσ≤↔<22222(1)(251)(0.36)0.3456(0.3)n S χσ--=== 220.345636.415(1)n αχχ=<=- 故接受原假设;标准差没有明显增大;3、解：0010:0.9:0.9H p p H p p ≤=↔>= 4400.88500W ==1.49U ===-0.050.011.645, 2.33u u ==0.05 1.645U u <= 0.01 2.33U u <= 故两个水平下均接受原假设;两个总体参数的假设检验 一、填空题 1、等方差; 2、22122212S S F σσ=服从12(1,1)F n n --.分布;3、U =, 其中112212n W n W W n n +=+;二、选择题 1、 B 2. A 三、应用计算题1、解：012112::H H μμμμ=↔≠X YT =0.206==-因20.206 2.131(15)T t α=<= 故接受原假设;2、解：检验012112::H H μμμμ=↔≠1.5X Y U ==-因21.5 1.96U u α=<= 故接受原假设即认为两种工艺下细纱强力无显著差异; 3、解：012112::H p p H p p ≤↔>1202000.1W == 2152000.75W ==112212350.07500nW n W W n n +===+5.97U ==因 5.97 1.645U u α=>= 故拒绝原假设,即认为乙厂产品的合格率显著低于甲厂; 非参数假设检验 一、填空题 1、1m k --2、由抽样检验某种科学科学理论假设是否相符合;3、(1)(1)r c --; 二、选择题 1. A ；2. C 三、应用计算题1、解：0:H 该盒中的白球与黑球球的个数相等;记总体X 表示首次出现白球时所需摸球次数,则X 服从几何分布{}1(1)k P X k p p -==-,1,2,k=其中p 表示从盒中任摸一球为白球的概率;若何种黑球白球个数相等,则此时12p = 从而{}1112p P X ===, {}2214p P X === ,{}3318p P X === {}44116p P X ===,{}552116kk P X +∞-=≥==∑2521() 3.2i i i i v np np χ=-=∑2(4)9.488αχ= 223.29.488(4)αχχ<= 则接受原假设;2、解：0:H X 的概率密度为()2f x x = (01)x <≤{}100.250.0625p P X =<≤=,{}20.250.50.1875p P X =<≤={}30.50.750.3125p P X =<≤=,{}40.7510.4375p P X =<≤= 2421()64 1.82935i i i i v np np χ=-==∑ 2(3)7.815αχ= 因221.8297.815(3)αχχ<=故接受原假设即认为X 的概率密度为()2f x x = (01)x <≤; 3、解：0:H 公民对这项提案的态度与性别相互独立223211()2173.7ij ij i j ijn e e χ==-==∑∑因222173.7 5.991(2)αχχ>= 故拒绝0H ,即认为公民对这项提案的态度与性别不独立;4、略;第七章 测验一、填空题每小题4分,共20分1、12(,,):2n X R x x u α⎧⎫⎪⎪=≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭2、X T =3、222(1)n S χσ-=；2χ；4、2122S F S =；(){}222211221212,,:,n R x x S S F S S F αα-=≥≤或；5、 =14α； 916β=．二、选择题每空4分,共20分1、A ；2、C ；3、B ；4、C ；5、A三、应用题共60分1、解：检验01:70:70H H μμ=↔≠ 1.4x T ===因2T 1.4 2.02(1)t n α=<=- 故接受原假设0:70H μ= 2、解： 001:=8:8H H σσσ=↔≠ 2220(1)(101)75.73310.6564n S χσ--⨯===221210.65 2.7(1)n αχχ-=>=- 故拒绝原假设00:=8H σσ=3、解：先检验2222012112::H H σσσσ=↔≠2122 3.3251.492.225S F S ==2212S S > 查表的212((1),(1)) 5.35F n n α--=因2121.49 5.35((1),(1))F F n n α=<=--故可认为方差相等; 其次检验012112::H H μμμμ≤↔>X YT =3.52=-因 3.52 2.552(18)T t α=-<= 故接受原假设012:H μμ≤ 4、解：0010:0.2:H p p H p p ≤=↔>,3.5U ===因 3.5 1.645U u α=>= 故拒绝原假设; 5、解：（1）1.026α= （2）0.0132β=第八章 方差分析与回归分析方差分析的概念与基本思想 一、名词解释1. 因素：影响试验指标变化的原因;2. 水平：因素所设置的不同等级3. 单因素试验：在试验中仅考察一个因素的试验4. 多因素试验：在试验中考察两个或两个以上因素的试验,这类试验一般可用因素的数目来命名5. 处理：一个试验中所考察因素不同水平的组合6. 处理效应组间误差：试验中所考虑且加以控制的因素不同水平对试验指标的影响7. 随机误差：试验中为考虑或未控制的随机因素所造成的试验指标的变异 二、问答题1. 单因素试验中,因素的每一个水平即为一个处理,试验有几个水平,就相应地有几个处理；多因素试验中,处理的数目是各因素水平的乘积;例如,三因素试验中,A 因素有a 个水平,B 因素有b 个水平,C 因素有c 个水平,则处理数为abc 个;2. 方差分析的基本思想：将测量数据的总变异按照变异来源分解为处理效应和随机误差,利用数理统计的相关原理建立适当的统计量,在一定显著性水平下比较处理效应和随机误差,从而检验处理效应是否显著; 单因素方差分析 一、填空题1. 平方根变换,角度弧度反正弦变换,对数变换；2. 最小显著差数法,最小显著极差法；新复极差法,q 法；3. 总平方和,随机误差平方和,组间平方和; 二、计算题 1.2.解：112229i n r i j i j T X ====∑∑,211199327in rij i j X ===∑∑, ()222112229199327589.3625in rT ij i j T SS X n ===-=-=∑∑()()222122291200704219024174724495.36525ri A i iT T SS n n ==-=+++-=∑589.36495.3694e T A SS SS SS =-=-=方差分析表如下：因为0.01=26.35 4.43(4,20)F F >=,所以,当显著性水平=0.01α,5个温度对产量的影响有显著差异;3.该题属于单因素4水平等重复试验的方差分析;其方差分析表如下：多重比较省略;4.母猪对仔猪体重存在极显著的影响作用; 双因素方差分析1.F 检验结果表明,品种和室温对家兔血糖值的影响均达极显著水平; 2.; 回归分析的基本概念1.如何用数学语言描述相关关系相关关系就是一个或一些变量X 与另一个或一些变量Y 之间有密切关系,但还没有确切到由其中一个可以唯一确定另一个的程度,其数学语言描述可为：如果给定变量X 任意一个具体取值0x ,存在变量Y 的一个概率分布与其对应,并且该概率分布随0x 的不同而不同；同时给定变量Y 任意一个具体取值0y ,存在变量X 的一个概率分布与其对应,并且该概率分布随0y 的不同而不同,则称X 与Y 之间具有相关关系;相关关系是两个随机变量之间的平行相依关系;2.什么是回归关系回归关系与相关关系有何联系回归关系是指在相关关系中,如果X 容易测定或可人为控制,就将X 看成为非随机变量,并记为x 称为预报因子,这时x 与Y 称为预报量之间的关系称为回归关系; 回归关系是相关关系的简化,是变量之间的因果关系;一元线性回归模型的建立与检验 一、填空题 1.()211ˆ2n i i i Y y n =--∑; 2.01ˆˆy x ββ=- , ()()()1121ˆ=ni i xy i n xxi i x x Y Y L L x x β==--=-∑∑; 二、应用题1. 解：21111211113755.68,11xx i i i i L x x ==⎛⎫=-= ⎪⎝⎭∑∑11111111118708.58,11xy i i i i i i i L x y x y ===⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑2111121116050.58311yy i i i i L y y ==⎛⎫=-= ⎪⎝⎭∑∑1先求回归方程,由于1=0.633,xy xxL L β=01=-38.97,y x ββ-=所以Y 关于x 的回归方程为ˆy0.633-38.97,x = 2用相关系数检验法计算样本相关系数00.955r ==因为()0.0190.7348,r =而()00.019,r r >故可认为Y 与x 的线性相关关系是极显著的 3把0200x =代入回归直线方程,得ˆ0.633200-38.9787.63y=⨯=, 2. 略; 3. 证明略;预测、控制与残差分析（1） 解：211112211113675051013104.55,1111xx i i i i L x x ==⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭∑∑11111111111139105102143988.18,1111xy i i i i i i i L x y x y ===⎛⎫⎛⎫=-=-⨯⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑2111122111154222141258.731111yy i i i i L y y ==⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭∑∑1先求回归方程,由于13988.18=0.304,13104.55xy xxL L β==01214510=0.304 5.36,1111y x ββ-=-⨯= 所以Y 关于x 的回归方程为ˆy5.360.304,x =+ 在检验,用相关系数检验法计算样本相关系数00.982r ===取=0.01α,查相关系数检验表得,()0.0190.7348,r =由于()00.019,r r >故可认为Y 与x 的线性相关关系是极显著的;2把075x =代入回归直线方程,得ˆ 5.360.3047528.16y=+⨯=, ˆ 2.301σ==,0.05(9) 2.626t =， 故当075x s =时,腐蚀深度Y 的95%预测区间为[]28.16 2.262 2.301 1.074,28.16 2.262 2.301 1.074,-⨯⨯+⨯⨯即 []22.57.7，335. 3要使腐蚀深度在1020m μ之间,即1210,20,y y Y ==的取值在区间[]1020，内时,则由方程组10112012ˆ2ˆ2,y x y x ββσββσ=+-⎧⎨=++⎩ 解得()()()()1101220111ˆ210 5.362 2.30130.40,0.30411ˆ220 5.362 2.30133.02.0.304x y x y βσββσβ=-+=⨯-+⨯==--=⨯--⨯=可线性化的一元非线性回归 一、填空题011ln ,ln ,ln ,Y Y x x ββββ''''====；00111ln ,,ln ,Y Y x xββββ''''====；ln ,lg Y Y x x ''==;二、解答题解：做散点图如右图;由于Y 与x 散点图呈指数曲线形状,于是有•,x Y e βαε=()2ln 0,N εσ两边取对数,令ln ,ln ,,,ln Y Y a b x x αβεε'''=====模型转化为线性模型()2,0,Y a bx N εεσ''''=++对所给数据进行形影变换得到10ˆˆ0.29768,8.164585ββ=-= 所以Y '对x '的样本回归方程为 8.164585-0.29768Y x ''=用t 检验法检验'Y 对'x 的回归效果是否显著,取显著性水平为,可得()0.02532.36938 2.3060t t ==>=即线性回归效果是显著的;代回原变量,得曲线回归方程()0.29768ˆˆexp 3514.26x yy e -'== 第八章 测验一、选择题1、A ；2、C ；3、B ；4、D 二、填空题1. 正态 ,独立, 等方差 ;2. ()201,~0,Y x N ββεεσ=++;3. ˆr β=三、解答题 1.提示与解答：方差分析结果表明,农药的杀虫效果是极显著的;2. 提示与解答：一元线性回归方程建立、检验、应用. 销售费用Y 与销售收入x 之间的经验回归方程为ˆ 3.140.108Yx =+ 销售费用Y 与销售收入x 之间的线性回归关系是显著的;。