--等差数列习题课

2.3.3 等差数列(习题课)-----学案 一、学习目标 1．掌握a n 与S n 的关系并会应用．(难点)2．掌握等差数列前n 项和的性质及应用．(重点)3．会求等差数列前n 项和的最值．(重点、易错点)二、自主学习教材整理 等差数列前n 项和的性质阅读教材P 44例3～P 45，完成下列问题．1．S n 与a n 的关系a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1S n －S n －1.n ≥2 2．等差数列前n 项和的性质(1)等差数列{a n }中，其前n 项和为S n ，则{a n }中连续的n 项和构成的数列S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n ，…构成等差数列．(2)数列{a n }是等差数列⇔S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数)．3．等差数列前n 项和S n 的最值(1)若a 1<0，d >0，则数列的前面若干项为负数项(或0)，所以将这些项相加即得{S n }的最小值．(2)若a 1>0，d <0，则数列的前面若干项为正数项(或0)，所以将这些项相加即得{S n }的最大值．特别地，若a 1>0，d >0，则S 1是{S n }的最小值；若a 1<0，d <0，则S 1是{S n }的最大值． 做一做：1．下列说法中正确的有________(填序号)．(1)若S n 为等差数列{a n } 的前n 项和，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列． (2)在等差数列{a n }中，当项数m 为偶数2n 时，则S 偶－S 奇＝a n ＋1.(3)若a 1>0，d <0，则等差数列中所有正项之和最大．(4)在等差数列中，S n 是其前n 项和，则有S 2n －1＝(2n －1)a n .【解析】 (1)正确．因为由等差数列前n 项和公式知S n n ＝d 2n ＋a 1－12d ，所以数列S n n为等差数列．(2)错误．当项数m 为偶数2n 时，则S 偶－S 奇＝nd .(3)正确．由实数的运算可知该说法正确．(4)正确．因为S 2n －1＝a 1＋a 2n －12n －12＝2n －12[a n ＋(1－n )d ＋a n ＋(n －1)d ]＝(2n －1)a n .【★答案★】 (1)(3)(4)三、合作探究探究1：由数列的前n 项和S n 求a n例1. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋12n ，求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？【精彩点拨】【自主解答】 根据S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n 与S n －1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1(n >1)，可知，当n >1时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋12n －(n －1)2＋12(n －1)＝2n －12，① 当n ＝1时，a 1＝S 1＝12＋12×1＝32，也满足①式． ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －12. 由此可知：数列{a n }是以32为首项，以2为公差的等差数列． 归纳总结1．已知前n 项和S n 求通项a n ，先由n ＝1时，a 1＝S 1求得a 1，再由n ≥2时，a n ＝S n －S n －1求a n ，最后验证a 1是否符合a n ，若符合则统一用一个解析式表示．2．由数列的前n 项和S n 求a n 的方法，不仅适用于等差数列，它也适用于其他数列．探究2：等差数列前n 项和的性质应用例2. (1)在等差数列{a n }中，若S 4＝1，S 8＝4，则a 17＋a 18＋a 19＋a 20的值为( )A ．9B ．12C ．16D ．17(2)等差数列{a n }共有2n ＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n 等于________．(3)已知{a n }，{b n }均为等差数列，其前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝2n ＋2n ＋3，则a 5b 5＝________. 【精彩点拨】 (1)解决本题关键是能发现S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12，a 17＋a 18＋a 19＋a 20能构成等差数列．(2)利用等差数列奇偶项和的性质求解，或利用“基本量法”求解．(3)解决本题关键是如何将a n 转化为用等差数列的前(2n －1)项的和表示．【自主解答】 (1)由题意知：S 4＝1，S 8－S 4＝3，而S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12，S 20－S 16成等差数列．即1,3,5,7,9，a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝S 20－S 16＝9.(2)法一：(巧用性质)因为等差数列共有2n ＋1项，所以S 奇－S 偶＝a n ＋1＝S 2n ＋12n ＋1即132－120＝132＋1202n ＋1，解得n ＝10. 法二：(基本量思想)可设等差数列的首项为a 1，公差为d .依题意可列方程组⎩⎨⎧ n ＋1a 1＋n n＋12×2d ＝132，na 2＋n －1n 2×2d ＝120，即⎩⎪⎨⎪⎧n ＋1a 1＋nd ＝132，n a 1＋nd ＝120，所以n ＋1n ＝132120，即n ＝10. (3)由等差数列的性质，知a 5b 5＝a 1＋a 92b 1＋b 92＝a 1＋a 92×9b 1＋b 92×9＝S 9T 9＝2×9＋29＋3＝53. 【★答案★】 (1)A (2)10 (3)53探究3：等差数列前n 项和S n 的函数特征探究1 将首项为a 1＝2，公差d ＝3的等差数列的前n 项和看作关于n 的函数，那么这个函数有什么结构特征？如果一个数列的前n 项和为S n ＝3n 2＋n ，那么这个数列是等差数列吗？上述结论推广到一般情况成立吗？【提示】 首项为2，公差为3的等差数列的前n 项和为S n ＝2n ＋n n －1×32＝32n 2＋12n ， 显然S n 是关于n 的二次型函数． 且常数项为0，二次项系数为d 2，一次项系数为a 1－d 2；如果一个数列的前n 项和为S n ＝3n 2＋n ，那么当n ＝1时，S 1＝a 1＝4.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n －2，则该数列的通项公式为a n ＝6n －2，所以该数列为等差数列，事实上对于任何一个等差数列的前n 项和都是关于n 的二次型函数，且常数项为0，反之，一个数列的前n 项和具备上述特征，该数列一定是等差数列．探究2 已知一个数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2－5n ，试画出S n 关于n 的函数图象．你能说明数列{a n }的单调性吗？该数列前n 项和有最值吗？【提示】 S n ＝n 2－5n ＝⎝⎛⎭⎫n －522－254，它的图象是分布在函数y ＝x 2－5x 的图象上的离散的点，由图象的开口方向可知该数列是递增数列，图象开始下降说明了{a n }前n 项为负数．由S n 的图象可知，S n 有最小值且当n ＝2或3时，S n 最小，最小值为－6，即数列{a n }前2项或前3项和最小．例3. 数列{a n }的前n 项和S n ＝33n －n 2，(1)求{a n }的通项公式；(2)问{a n }的前多少项和最大；(3)设b n ＝|a n |，求数列{b n }的前n 项和S ′n .【精彩点拨】 (1)利用S n 与a n 的关系求通项，也可由S n 的结构特征求a 1，d ，从而求出通项．(2)利用S n 的函数特征求最值，也可以用通项公式找到通项的变号点求解．(3)利用a n 判断哪些项是正数，哪些项是负数，再求解，也可以利用S n 的函数特征判断项的正负求解．【自主解答】 (1)法一：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝34－2n ，又当n ＝1时，a 1＝S 1＝32＝34－2×1满足a n ＝34－2n .故{a n }的通项公式为a n ＝34－2n .法二：由S n ＝－n 2＋33n 知S n 是关于n 的缺常数项的二次型函数，所以{a n }是等差数列，由S n 的结构特征知⎩⎨⎧ d 2＝－1，a 1－d 2＝33，解得a 1＝32，d ＝－2，所以a n ＝34－2n .(2)法一：令a n ≥0，得34－2n ≥0，所以n ≤17，故数列{a n }的前17项大于或等于零．又a 17＝0，故数列{a n }的前16项或前17项的和最大．法二：由y ＝－x 2＋33x 的对称轴为x ＝332. 距离332最近的整数为16,17.由S n ＝－n 2＋33n 的 图象可知：当n ≤17时，a n ≥0，当n ≥18时，a n <0，故数列{a n }的前16项或前17项的和最大．(3)由(2)知，当n ≤17时，a n ≥0；当n ≥18时，a n <0.所以当n ≤17时，S n ′＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝33n －n 2.当n ≥18时，S n ′＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 17|＋|a 18|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 17－(a 18＋a 19＋…＋a n )＝S 17－(S n －S 17)＝2S 17－S n ＝n 2－33n ＋544.故S n ′＝⎩⎪⎨⎪⎧ 33n －n 2n ≤17，n 2－33n ＋544n ≥18. 归纳总结1．在等差数列中，求S n 的最小(大)值的方法：(1)利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第一项起到分界点该项的各项和为最大(小)．(2)借助二次函数的图象及性质求最值．2．寻求正、负项分界点的方法：(1)寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0来寻找． (2)利用到y ＝ax 2＋bx (a ≠0)的对称轴距离最近的左侧的一个正数或离对称轴最近且关于对称轴对称的两个整数对应项即为正、负项的分界点．3．求解数列{|a n |}的前n 项和，应先判断{a n }的各项的正负，然后去掉绝对值号，转化为等差数列的求和问题． 四、学以致用1．已知下面各数列{a n }的前n 项和S n 的公式，求{a n }的通项公式．(1)S n ＝2n 2－3n ；(2)S n ＝3n －2.【解】 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×12－3×1＝－1；当n ≥2时，S n －1＝2(n －1)2－3(n －1)＝2n 2－7n ＋5，则a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－(2n 2－7n ＋5)＝2n 2－3n －2n 2＋7n －5＝4n －5.此时若n ＝1，a n ＝4n －5＝4×1－5＝－1＝a 1，故a n ＝4n －5.(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝31－2＝1；当n ≥2时，S n －1＝3n －1－2，则a n ＝S n －S n －1＝(3n －2)－(3n －1－2)＝3n －3n －1＝3·3n －1－3n －1＝2·3n －1.此时若n ＝1，a n ＝2·3n －1＝2·31－1＝2≠a 1，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2·3n －1，n ≥2. 2．(1)等差数列{a n }中，a 2＋a 7＋a 12＝24，则S 13＝________.(2)等差数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为________． 【解析】 (1)由a 2＋a 7＋a 12＝24，得a 7＝8，所以S 13＝a 1＋a 132×13＝a 7·13＝104. (2)因为a n ＝2n ＋1，所以a 1＝3.所以S n ＝n 3＋2n ＋12＝n 2＋2n ，所以S n n＝n ＋2， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为1，首项为3的等差数列，所以前10项和为3×10＋10×92×1＝75. 【★答案★】 (1)104 (2)753．在等差数列中，a 10＝23，a 25＝－22.(1)该数列第几项开始为负；(2)求数列{|a n |}的前n 项和．【解】 设等差数列{a n }中，公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 25－a 10＝15d ＝－45，23＝a 1＋10－1×d ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝50，d ＝－3. (1)设第n 项开始为负，a n ＝50－3(n －1)＝53－3n <0，∴n >533，∴从第18项开始为负． (2)|a n |＝|53－3n |＝⎩⎪⎨⎪⎧ 53－3n 1<n ≤17，3n －53n >17.当n ≤17时，S n ′＝－32n 2＋1032n ；当n >17时， S n ′＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 17－(a 18＋a 19＋…＋a n )，S n ′＝－⎝⎛⎭⎫－32n 2＋1032n ＋2S 17＝32n 2－1032n ＋884，∴S n ′＝⎩⎨⎧ －32n 2＋1032n n ≤17，32n 2－1032n ＋884n >17.五、自主小测1．设{a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和．若S 10＝S 11，则a 1＝( )A ．18B ．20C ．22D ．242．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为( )A ．5B ．4C ．3D ．23．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a n ＝________.4．数列{a n }为等差数列，它的前n 项和为S n ，若S n ＝(n ＋1)2＋λ，则λ的值为________．5．已知数列{a n }的前n 项和公式为S n ＝2n 2－30n .(1)求数列 {a n }的通项a n ；(2)求S n 的最小值及对应的n 值.参考★答案★1.【解析】 由S 10＝S 11，得a 11＝S 11－S 10＝0，a 1＝a 11＋(1－11)d ＝0＋(－10)×(－2)＝20.【★答案★】 B2.【解析】 由题意得S 偶－S 奇＝5d ＝15，∴d ＝3.或由解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋20d ＝15，5a 1＋25d ＝30，求得d ＝3，故选C. 【★答案★】 C3.【解析】 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1，又因为a 1＝1适合a n ＝2n －1.所以a n ＝2n －1.【★答案★】 2n －14.【解析】 等差数列前n 项和S n 的形式为S n ＝an 2＋bn ，∴λ＝－1.【★答案★】 －15.【解】 (1)∵S n ＝2n 2－30n ，∴当n ＝1时，a 1＝S 1＝－28. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－30n )－[2(n －1)2－30(n －1)]＝4n －32. ∵n ＝1也适合，∴a n ＝4n －32，n ∈N *.(2)法一：S n ＝2n 2－30n ＝2⎝⎛⎭⎫n －1522－2252∴当n ＝7或8时，S n 最小，且最小值为S 7＝S 8＝－112. 法二：∵a n ＝4n －32，∴a 1<a 2<…<a 7<0，a 8＝0，当n ≥9时，a n >0. ∴当n ＝7或8时，S n 最小，且最小值为S 7＝S 8＝－112.。

第06课 等差数列1. 等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.2. 等差中项：由三个数b A a ，，组成的等差数列可以看成最简单的等差数列. 这时，A 叫做b a 与的等差中项.3. 等差数列的通项公式：一般地，如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，可以得到等差数列的通项公式为：()d n a a n 11-+=4. 等差数列的性质：（1）通项公式的推广：()d m n a a m n -+= ()*N m n ∈，. （2）若{}n a 为等差数列，且n m l k +=+ ()*N m n l k ∈，，，，则n m l k a a a a +=+.（3）若{}n a 为等差数列，公差为d ，则{}n a 2也是等差数列，公差为d 2.（4）若{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}n n qb pa +是等差数列.（5）若{}n a 为等差数列，则()*2N m k a a a m k m k k ∈⋅⋅⋅++，，，，组成公差为md 的等差数列.5.例1. 下列说法，正确的是___________（1）若{}n a 为等差数列，则{}n a 2也为等差数列； （2）若{}n a 为等差数列，则{}1++n n a a 为等差数列；（3）若正数数列{}n a 满足()5312252-=-n n a n ，则数列{}n a 是等差数列；（4）若数列{}n a 的通项公式为n n a n +=2，则数列{}n a 为等差数列.例2. 等差数列{}n a 中，13573==a a ，，求其通项公式.例3. 已知单调递增的等差数列{}n a 的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列的通项公式.例4. 等差数列{a n }中, 3(a 3+a 5) +2(a 7+a 10+a 13) =24, 则a 4+a 10等于( )A. 3B. 4C. 5D. 12例5. 在数列{a n }中, a 1=2, a n+1=a n +2n +1.(1) 求证: 数列{a n -2n }为等差数列;(2) 设数列{b n }满足b n =2log 2(a n +1-n), 求{b n }的通项公式.【课堂训练】1. 在等差数列{a n }中, a 2=2, a 3=4, 则a 10=( )A. 12B. 14C. 16D. 182. 等差数列{a n }的首项为70, 公差为-9, 则这个数列中绝对值最小的一项为( )A. a 8B. a 9C. a 10D. a 113. 在数列{a n }中, a 1=15, 3a n+1=3a n -2, 则该数列中相邻两项乘积为负值的项是() A. a 21和a 22 B. a 22和a 23C. a 23和a 24D. a 24和a 254. 等差数列{a n }中, a 5+a 6=4, 则()1021222log 2a a a⋅⋅⋅⋅=( )A. 10B. 20C. 40D. 2+log 255. 等差数列{a n }中, a 1+a 5=10, a 4=7, 则数列{a n }的公差为( )A. 1B. 2C. 3D. 46. 已知{a n }为等差数列, a 1+a 3+a 5=105, a 2+a 4+a 6=99, 则a 20等于( )A. -1B. 1C. 3D. 77. 如果一个数列的前3项分别是1, 2, 3, 下列结论中正确的是( )A. 它一定是等差数列B. 它一定是递增数列C. 通项公式是a n =nD. 以上结论都不一定对8. 一个首项为23, 公差为整数的等差数列中, 前6项均为正数, 从第7项起为负数, 则公差d 为( )A. -2B. -3C. -4D. -59. 设数列{a n }, {b n }都是等差数列, 且a 1=25, b 1=75, a 2+b 2=100, 那么数列{a n +b n }的第37项为( )A. 0B. 37C. 100D. -3710. 已知递减的等差数列{a n }满足9212a a =, 则a 5=( )A. -1B. 0C. -1或0D. 4或511. 在等差数列{a n }中, 首项a 1=0, 公差d≠0, 若a k =a 1+a 2+a 3+…+a 7, 则k=( )A. 21B. 22C. 23D. 2412. nn n a a a 311+=+, a 1=2, 则a 4为( ) A.78 B. 58 C. 516 D. 19213. 设数列{a n }是公差不为零的等差数列, 且a 20=22, |a 11|=|a 51|, 则a n = .14. 在等差数列{}n a 中，已知9852=++a a a ，21753-=a a a ，求数列的通项公式.15. 已知数列{log 2(a n -1) }(n ∈N *) 为等差数列, 且a 1=3, a 3=9, 求数列{a n }的通项公式.16. 已知等差数列{a n }中, a 1=a, 公差d=1, 若b n =122+-n n a a(n ∈N *), 试判断数列{b n }是否为等差数列, 并证明你的结论.【强化训练】1. 已知数列{a n }满足a 1=2, a n+1-a n =a n+1a n , 那么a 31等于( ) A. 583-B. 592-C. 301-D. 602-2. 已知数列{a n }中, a 3=2, a 5=1, 若⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n a 11是等差数列, 则a 11等于( ) A. 0 B.61 C. 31 D. 21 3. 若lg 2, lg(2x -1), lg(2x +3) 成等差数列, 则x 的值为( )A. 1B. 0或32C. 32D. log 254. 已知函数f(x)是R 上的单调增函数且为奇函数, 数列{a n }是等差数列, a 3> 0, 则f(a 1) +f(a 3) + f(a 5)的值( )A. 恒为正数B. 恒为负数C. 恒为0D. 可正可负5. 如果有穷数列a 1, a 2, …, a m (m 为正整数) 满足条件: a 1=a m , a 2=a m-1, …, a m =a 1, 则称其为“对称” 数列. 例如, 数列1, 2, 5, 2, 1与数列8, 4, 2, 4, 8都是“对称” 数列. 已知在21项的“对称” 数列{c n }中, c 11, c 12, …, c 21是 以1为首项, 2为公差的等差数列, 则c 2= .6. 数列{a n }是公差为正数的等差数列, a 1=f(x-1), a 2=0, a 3=f(x+1), 其中f(x) =x 2-4x+2, 则数列{a n }的通项公式a n = .7. 在数列{a n }中, a 1=3, 且对任意大于1的正整数n, 点()1-n n a a ，在直线x-y-3=0上, 则a n = .8. 已知无穷等差数列{a n }中, 首项a 1=3, 公差d=-5, 依次取出序号能被4除余3的项组成数列{b n }.(1) 求b 1和b 2;(2) 求{b n}的通项公式;(3) {b n}中的第503项是{a n}中的第几项?。

习题课——等差数列习题课课时过关·能力提升1在等差数列{a n }中,已知a 1=13,a 1+a 6=4,a n =37,则n 等于() A.50B.49C.56D.51d ,因为a 1+a 6=2a 1+5d=4,a 1=13,所以d=23,所以a n =13+(n-1)×23=37,所以n=56.2在数列{a n }中,已知a 1=15,3a n+1=3a n -2,则该数列中相邻两项的乘积为负值的项是() A.a 21和a 22 B.a 22和a 23 C.a 23和a 24D.a 24和a 25a n+1=a n -23,所以数列{a n }是公差为-23的等差数列.所以a n =15+(n-1)×(-23).因为a 23=13,a 24=-13,所以a 23a 24<0.3已知在等差数列{a n }中,|a 3|=|a 9|,公差d<0,则使数列{a n }的前n 项和S n 取得最大值的自然数n 是()A .4或5B .5或6C .6或7D .不存在d<0,∴a 9<a 3,∵|a 3|=|a 9|,∴a 3=-a 9,∴a 3+a 9=0. 又a 3+a 9=2a 6=0,∴a 5>0.即前5项或前6项的和最大.4若数列{a n }是等差数列,首项a 1>0,a 2 003+a 2 004>0,a 2 003·a 2 004<0,则使前n 项和S n >0成立的最大正整数n 是() A.4 005B.4 006C.4 007D.4 008a 1>0,a 2003+a 2004>0,a 2003·a 2004<0,且数列{a n }为等差数列,所以数列{a n }是首项为正数,公差为负数的递减的等差数列,且a 2003是绝对值最小的正数,a 2004是绝对值最小的负数(第一个负数),且|a 2003|>|a 2004|.因为在等差数列{a n }中,a 2003+a 2004=a 1+a 4006>0,所以S 4006=4006(a 1+a 4006)2>0.所以使S n >0成立的最大正整数n 是4006.5已知数列{a n }的通项a n =11-2n ,则|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a 10|=() A.25 B.50 C.52 D.1006已知f (n+1)=f (n )-14(n ∈N +),且f (2)=2,则f (101)=.a n =f (n ),则a n+1-a n =-14,∴数列{a n }为等差数列,且a 2=2.∴a n =a 2-14(n-2)=10-a 4.∴f (101)=a 101=-914. -9147设f (x )+f (1-x )=6,则f (-5)+f (-4)+…+f (0)+f (1)+…+f (6)=.S=f (-5)+f (-4)+…+f (0)+f (1)+…+f (6),①即S=f (6)+f (5)+…+f (1)+f (0)+…+f (-5).②则①+②得2S=[f (-5)+f (6)]+[f (-4)+f (5)]+…+[f (0)+f (1)]+[f (1)+f (0)]+…+[f (6)+f (-5)]=12×6=72.故S=36.8“等和数列”的定义:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都等于同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列{a n }是等和数列,且a 1=2,公和为5,那么a 18的值为.,可得a n +a n+1=5,所以a n+1+a n+2=5.所以a n+2-a n =0.因为a 1=2,所以a 2=5-a 1=3.所以当n 为偶数时,a n =3;当n 为奇数时,a n =2.所以a 18=3.9在等差数列{a n }中,其前n 项和为100,其后的2n 项和为500,则紧随其后的3n 项和为.,知S n =100,S 3n -S n =500,又S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ,…成等差数列,且公差为100.故S 6n -S 3n =(S 6n -S 5n )+(S 5n -S 4n )+(S 4n -S 3n )=600+500+400=1500.10在等差数列{a n }中,a 16+a 17+a 18=a 9=-18,其前n 项和为S n , (1)求S n 的最小值,并求出S n 取最小值时n 的值; (2)求T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |.因为a 16+a 17+a 18=a 9=-18,所以a 17=-6.又a 9=-18, 所以d=a 17-a 917-9=32.首项a 1=a 9-8d=-30.所以a n =32n-632. 若前n 项和S n 最小,则{a a ≤0,a a +1≥0,即{3a2-632≤0,32(a +1)-632≥0,所以n=20或n=21.故当n=20或n=21时,S n 取最小值. 最小值为S 20=S 21=-315. (2)由a n =32n-632≤0,得n ≤21.所以当n ≤21时,T n =-S n =34(41n-n 2), 当n>21时,T n =-a 1-a 2-…-a 21+a 22+…+a n=S n -2S 21=34(n 2-41n )+630.★11设数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,a n=a aa+2(n-1)(n∈N+).(1)求数列{a n}的通项公式a n;(2)是否存在正整数n,使得a11+a22+…+a aa-(n-1)2=2 015?若存在,求出n的值;若不存在,说明理由.S n=na n-2(n-1)n.n≥2时,a n=S n-S n-1=na n-2(n-1)n-(n-1)·a n-1+2(n-2)(n-1).∴a n-a n-1=4.∴数列{a n}为a1=1,d=4的等差数列.∴a n=1+(n-1)4=4n-3.(2)由(1),得S n=n(4n-3)-2(n-1)n=(2n-1)n.∴a aa=2n-1.故a11+a22+…+a aa=n2,∴n2-(n-1)2=2015,解得n=1008.故存在n=1008满足题意.★12设数列{a n}的前n项和为S n,点(a,a aa)(n∈N+)均在函数y=3x-2的图象上, (1)求证:数列{a n}为等差数列;(2)T n是数列{3a a a a+1}的前n项和,求证:37≤T n<12.由题意得,a aa=3n-2,即S n=3n2-2n,当n≥2时,a n=S n-S n-1=(3n2-2n)-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5;当n=1时,a1=S1=1.所以a n=6n-5(n∈N+).又a n-a n-1=6n-5-[6(n-1)-5]=6,故{a n}是等差数列.(2)由(1)知,设b n=3a a a a+1,则b n=3a a a a+1=3(6a-5)[6(a+1)-5]=1 2(16a-5-16a+1),故T n =12[(1-17)+(17-113)+…+(16a -5-16a +1)]=12(1-16a +1),又n ∈N +,所以0<16a +1≤17,故37≤T n <12.。

等差数列习题课一、选择题(每小题5分，共30分，多选题全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)1．等差数列{}a n 中，a 1＋a 4＋a 7＝39，a 2＋a 5＋a 8＝33，则a 6的值为( ) A ．10 B ．9 C ．8 D ．7【解析】选B.因为等差数列{}a n 中，a 1＋a 4＋a 7＝39，a 2＋a 5＋a 8＝33，所以2(a 2＋a 5＋a 8)＝(a 1＋a 4＋a 7)＋(a 3＋a 6＋a 9)，所以a 3＋a 6＋a 9＝27，所以3a 6＝27，所以a 6＝9.2．已知等差数列{a n }的公差d≠0，S n 是其前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝－15，a 2＋a 4＋a 6＝－21，则18 S 3的值是( )A ．－5B ．－58C ．－98D ．－18【解析】选C.由等差数列性质知3a 3＝－15，3a 4＝－21， 故a 3＝－5，a 4＝－7，则a 2＝－3. 则18 S 3＝18 ×3（a 1＋a 3）2 ＝3a 28 ＝－98 .3．在数列{}a n 中，a 1＝3，且对任意大于1的正整数n ，点(a n ，a n －1 )在直线x －y － 3 ＝0上，则( ) A ．a n ＝3nB ．a n ＝3nC ．a n ＝n － 3D ．a n ＝3n 2【解析】选D.因为点(a n ，a n －1 )在直线x －y － 3 ＝0上，所以a n －a n －1＝ 3 ，所以数列{}a n 是首项为 3 ，公差为 3 的等差数列．所以数列{}a n 的通项公式为 a n ＝ 3 ＋(n －1)·3 ＝ 3 n. 所以a n ＝3n 2.4．若数列{a n }的通项a n ＝2n －6，设b n ＝|a n |，则数列{b n }的前7项和为( ) A ．14 B ．24 C ．26 D ．28【解析】选C.当n≤3时，a n ≤0，b n ＝|a n |＝－a n ＝6－2n ，即b 1＝4，b 2＝2，b 3＝0.当n>3时，a n >0，b n ＝|a n |＝a n ＝2n －6， 即b 4＝2，b 5＝4，b 6＝6，b 7＝8.所以数列{b n }的前7项和为4＋2＋0＋2＋4＋6＋8＝26.5．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1 的前100项和为( )A ．100101B ．99101C ．99100D ．101100【解析】选A.因为a 5＝5，S 5＝15，所以5（a 1＋5）2 ＝15，所以a 1＝1.所以d ＝a 5－a 15－1＝1，所以a n ＝n.所以1a n a n ＋1 ＝1n （n ＋1） ＝1n －1n ＋1.则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1 的前100项的和为：T 100＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13 ＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1100－1101 ＝1－1101 ＝100101 .6．(多选题)等差数列{a n }中，a na 2n是一个与n 无关的常数，则该常数的可能值为( )A ．1B ．12 C ．2 D ．3【解析】选AB.本题考查等差数列．设等差数列{a n }的公差为d ，则a na 2n＝a 1－d ＋dna 1－d ＋2dn为常数，则a 1＝d 或d ＝0，a n a 2n ＝12 或1.二、填空题(每小题5分，共10分)7．在等差数列{a n }中，a 2＝3，a 3＋a 4＝9，则a 1a 6＝______．【解析】因为a 2＝3，a 3＋a 4＝9，所以a 2＋a 3＋a 4＝12，即3a 3＝12，故a 3＝4，a 4＝5，所以a n ＝n ＋1，所以a 1a 6＝2×7＝14. 答案：148．已知数列{a n }满足a n ＝11－2n ，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 8|＝________． 【解析】原式＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)－(a 6＋a 7＋a 8) ＝(9＋7＋5＋3＋1)－(－1－3－5)＝34. 答案：34三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知数列{a n }中，a 7＝6，a 10＝－3，S n 为等差数列{a n }的前n 项和． (1)求数列{a n }的通项公式及S n 的最大值； (2)求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 19|＋|a 20|的值． 【解析】(1)因为a 7＝6，a 10＝－3，故⎩⎨⎧a 1＋6d ＝6a 1＋9d ＝－3，解得a 1＝24，d ＝－3，则a n ＝－3n ＋27， 数列的前n 项和公式为：S n ＝n×24＋n （n －1）2 ×(－3)＝－32 n 2＋512 n ， 注意到数列{a n }单调递减，且a 8>0，a 9＝0， 所以S n 的最大值＝S 8＝S 9＝108.(2)因为|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 19|＋|a 20|＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 9－(a 10＋a 11＋…＋a 20)， 所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 9－(a 10＋a 11＋…＋a 20)＝2S 9－S 20，由于S 9＝108，S 20＝－90，即|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 19|＋|a 20|＝306.10．已知S n 为各项均为正数的数列{a n }的前n 项和，a 1∈(0，2)，a 2n ＋3a n ＋2＝6S n .(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1 ，数列{b n }的前n 项和为T n ，若对任意n ∈N *，t≤4T n 恒成立，求实数t 的最大值．【解析】(1)①当n ＝1时，a 21 ＋3a 1＋2＝6S 1＝6a 1， 即a 21 －3a 1＋2＝0，又因为a 1∈(0，2)，解得a 1＝1. ②对任意n ∈N *，由a 2n ＋3a n ＋2＝6S n 知 a 2n ＋1 ＋3a n ＋1＋2＝6S n ＋1，两式相减，得a 2n ＋1 －a 2n ＋3(a n ＋1－a n )＝6a n ＋1，即(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －3)＝0，由a n >0得a n ＋1－a n －3＝0，即a n ＋1－a n ＝3， 所以{a n }是首项为1，公差为3的等差数列，所以a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2. (2)由a n ＝3n －2得b n ＝1a n a n ＋1 ＝1（3n －2）（3n ＋1）＝13 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13n －2－13n ＋1 ， 所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝13 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13n －2－13n ＋1 ＝13 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－13n ＋1 ＝n 3n ＋1 . 因为T n ＋1－T n ＝n ＋13（n ＋1）＋1 －n 3n ＋1＝1（3n ＋1）（3n ＋4）>0，所以T n ＋1>T n ，即数列{T n }是递增数列， 所以t≤4T n ，t 4 ≤T n ，t 4 ≤T 1＝14 ，t≤1， 所以实数t 的最大值是1.(35分钟 70分)一、选择题(每小题5分，共20分，多选题全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)1．已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，若a n ＝1n ＋n ＋1，S n ＝10，则n ＝( ) A ．90 B ．119 C ．120 D ．121【解析】选C.因为a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1 －n ，所以S n ＝⎝⎛⎭⎫2－1 ＋⎝⎛⎭⎫3－2 ＋…＋(n ＋1 －n )＝n ＋1 －1＝10，故n ＋1＝121 ，故n ＝120.2．已知数列{a n }是等差数列，a 1＜0，a 8＋a 9＞0，a 8·a 9＜0.则使S n ＞0的n 的最小值为( )A ．8B ．9C ．15D ．16【解析】选D.因为等差数列{a n }，首项a 1<0，a 8＋a 9>0，a 8·a 9<0，所以a 8<0，a 9>0， 由S n ＝12 n(a 1＋a n )，可得S 15＝15a 8<0，S 16＝16（a 1＋a 16）2 ＝8(a 8＋a 9)>0，所以使前n 项和S n >0成立的最小自然数n 的值为16.3．已知函数f(x)是(－1，＋∞)上的单调函数，且函数y ＝f(x －2)的图象关于直线x ＝1对称，若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f(a 50)＝f(a 51)，则数列{a n }的前100项的和为( )A ．－200B ．－100C ．0D ．－50【解析】选B.因为函数y ＝f(x －2)的图象关于直线x ＝1对称，则函数f(x)的图象关于直线x ＝－1对称，又因为函数f(x)是(－1，＋∞)上的单调函数，{a n }是公差不为0的等差数列，f(a 50)＝f(a 51)，所以a 50＋a 51＝－2，S 100＝100（a 1＋a 100）2＝50(a 50＋a 51)＝－100. 4．(多选题)设{a n }(n ∈N *)是等差数列，S n 是其前n 项的和，且S 5＜S 6，S 6＝S 7＞S 8，则下列结论正确的是( ) A ．d ＜0 B ．a 7＝0C ．S 9＞S 5D ．S 6与S 7均为S n 的最大值【解析】选ABD.由S 5＜S 6得a 1＋a 2＋…＋a 5＜a 1＋a 2＋…＋a 5＋a 6，即a 6＞0，又因为S 6＝S 7，所以a 1＋a 2＋…＋a 6＝a 1＋a 2＋…＋a 6＋a 7， 所以a 7＝0，故B 正确；同理由S 7＞S 8，得a 8＜0，因为d ＝a 7－a 6＜0，故A 正确；而C 选项S 9＞S 5，即a 6＋a 7＋a 8＋a 9＞0，可得2(a 7＋a 8)＞0，由结论a 7＝0，a 8＜0，显然C 选项是错误的．因为S 5＜S 6，S 6＝S 7＞S 8，所以S 6与S 7均为S n 的最大值，故D 正确． 二、填空题(每小题5分，共20分)5．在等差数列{}a n 中，S n 为其前n 项的和，若S 4＝12，S 8＝40，则S 16＝________. 【解析】设等差数列的公差为d ， 则⎩⎪⎨⎪⎧S 4＝4a 1＋4×32d ＝12S 8＝8a 1＋8×72d ＝40，解得a 1＝32 ，d ＝1，所以S 16＝16×32 ＋16×152 ×1＝144. 答案：1446．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，满足a 2＋a 8＝6，S 5＝－5，则a 6＝________，S n 的最小值为________．【解析】依题意得：⎩⎨⎧2a 1＋8d ＝6，5a 1＋10d ＝－5，解得⎩⎨⎧a 1＝－5，d ＝2，所以a 6＝－5＋10＝5，S n ＝－5n ＋n （n －1）2 ×2＝n 2－6n ， 当n ＝3时，S n 的最小值为－9. 答案：5 －97．已知数列{a n }中a 1＝1，a 2＝2，当整数n>1时，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)都成立，则S 15＝________．【解析】因为数列{a n }中，当整数n>1时， S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)都成立⇔S n ＋1－S n ＝S n －S n －1＋2⇔a n ＋1－a n ＝2(n>1).所以当n≥2时，{a n }是以2为首项，2为公差的等差数列． 所以S 15＝14a 2＋14×132 ×2＋a 1＝14×2＋14×132 ×2＋1＝211. 答案：2118．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若1≤a 1≤3，3≤a 1＋S 3≤6，则a 2a 1的取值范围是________．【解析】在等差数列{a n }中，a 1＋a 3＝2a 2， 所以S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝3a 2， 又3≤a 1＋S 3≤6，所以3≤a 1＋3a 2≤6. 由1≤a 1≤3得13 ≤1a 1≤1.所以1≤a 1＋3a 2a 1≤6，即1≤1＋3a 2a 1≤6，所以0≤a 2a 1 ≤53 .即a 2a 1的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，53 .答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，53三、解答题(每小题10分，共30分)9．已知数列{a n }，a n ∈N *，S n 是其前n 项和，S n ＝18 (a n ＋2)2. (1)求证：{a n }是等差数列；(2)设b n ＝12 a n －30，求数列{b n }的前n 项和的最小值． 【解析】(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝18 (a 1＋2)2， 解得a 1＝2.当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝18 (a n ＋2)2－18 (a n －1＋2)2，即8a n ＝(a n ＋2)2－(a n －1＋2)2， 整理得(a n －2)2－(a n －1＋2)2＝0， 即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－4)＝0. 因为a n ∈N *，所以a n ＋a n －1>0，所以a n －a n －1－4＝0，即a n －a n －1＝4(n≥2). 故数列{a n }是以2为首项，4为公差的等差数列． (2)设数列{b n }的前n 项和为T n ，因为b n ＝12 a n －30，且由(1)知，a n ＝2＋(n －1)×4＝4n －2(n ∈N *)， 所以b n ＝12 (4n －2)－30＝2n －31.故数列{b n }是单调递增的等差数列． 令2n －31＝0，得n ＝1512 .因为n ∈N *，所以当n≤15时，b n <0；当n≥16时，b n >0，即b 1<b 2<…<b 15<0<b 16<b 17<….故当n ＝15时，T n 取得最小值，最小值为T 15＝－29－12 ×15＝－225. 10．已知等差数列{a n }(n ∈N *)满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n . (1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝1a 2n －1 ，求数列{b n }的前n 项和T n .【解析】(1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 由于a 3＝7，a 5＋a 7＝26，所以a 1＋2d ＝7，2a 1＋10d ＝26，解得a 1＝3，d ＝2. 所以a n ＝2n ＋1，S n ＝n(n ＋2)(n ∈N *).(2)因为a n ＝2n ＋1，所以a 2n －1＝4n(n ＋1)，所以b n ＝14n （n ＋1） ＝14 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1n ＋1 . 故T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝14 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝14 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－1n ＋1 ＝n 4（n ＋1） ，所以数列{b n }的前n 项和T n ＝n 4n ＋1 (n ∈N *). 【补偿训练】数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设H n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求H n . 【解析】(1)因为a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0. 所以a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＝…＝a 2－a 1.所以{a n }是等差数列且a 1＝8，a 4＝2，所以d ＝－2，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝10－2n.故a n ＝10－2n(n ∈N *).(2)因为a n ＝10－2n ，令a n ＝0，得n ＝5.当n>5时，a n <0；当n ＝5时，a n ＝0；当n<5时，a n >0.设S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n .所以当n>5时，H n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－(a 6＋a 7＋…＋a n )＝S 5－(S n －S 5)＝2S 5－S n ＝n 2－9n ＋40，当n≤5时，H n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝9n －n 2.所以H n ＝⎩⎨⎧9n －n 2，n≤5，n 2－9n ＋40，n>5 (n ∈N *).11．数列{a n }满足a 1＝12 ，a n ＋1＝12－a n(n ∈N *). (1)求证：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n －1 为等差数列，并求出{a n }的通项公式． (2)设b n ＝1a n－1，数列{b n }的前n 项和为B n ，对任意n≥2都有B 3n －B n >m 20 成立，求正整数m 的最大值．【解析】(1)因为a n ＋1＝12－a n， 所以1a n ＋1－1 ＝112－a n－1 ＝2－a n a n －1＝－1＋1a n －1 ， 即1a n ＋1－1 －1a n －1＝－1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n －1 是首项为－2，公差为－1的等差数列，1a n －1＝－2＋(n －1)×(－1)＝－(n ＋1)，所以a n ＝nn ＋1 .(2)b n ＝n ＋1n －1＝1n ，令C n ＝B 3n －B n ＝1n ＋1 ＋1n ＋2 ＋…＋13n ，所以C n ＋1－C n ＝1n ＋2 ＋1n ＋3 ＋…＋13（n ＋1） － 1n ＋1 －…－13n ＝－1n ＋1 ＋13n ＋2 ＋13n ＋3 ＋13n ＋1＝13n ＋2 －23n ＋3 ＋13n ＋1 >23n ＋3 －23n ＋3 ＝0，所以C n ＋1－C n >0，{C n }为单调递增数列，又因为n≥2，所以(B 3n －B n )min ＝B 6－B 2＝13 ＋14 ＋15 ＋16 ＝1920 ，m 20 <1920 ，m<19. 又因为m ∈N *，所以m 的最大值为18.。

习题课 等差数列的性质的综合问题答案一、等差数列的实际应用例1 《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立夏的日影子长为( )A ．15.5尺B ．12.5尺C ．9.5尺D ．6.5尺答案 D解析 设该等差数列为{a n }，冬至、小寒、大寒、…芒种的日影子长分别记为a 1，a 2，a 3，…，a 12，公差为d ，由题意可得，a 1＋a 4＋a 7＝37.5，即a 4＝12.5，又a 12＝4.5，所以d ＝a 12－a 412－4＝－1. 所以立夏的日影子长为a 10＝a 4＋6d ＝12.5－6＝6.5(尺)．反思感悟 解决等差数列实际应用问题的步骤及注意点(1)解答数列实际应用问题的基本步骤：①审题，即仔细阅读材料，认真理解题意；②建模，即将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题；③判型，即判断该数列是否为等差数列；④求解，即求出该问题的数学解；⑤还原，即将所求结果还原到实际问题中．(2)在利用数列方法解决实际问题时，一定要弄清首项、项数等关键问题．跟踪训练1 假设某市2020年新建住房400万平方米，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积均比上一年增加50万平方米．那么该市在________年新建住房的面积开始大于820万平方米． 答案 2029解析 设n 年后该市新建住房的面积为a n 万平方米．由题意，得{a n }是等差数列，首项a 1＝450，公差d＝50，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝400＋50n .令400＋50n >820，解得n >425.由于n ∈N *，则n ≥9.所以该市在2029年新建住房的面积开始大于820万平方米．二、等差数列中项的设法例2 (1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数；(2)四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．解 (1)设这三个数依次为a －d ，a ，a ＋d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ (a －d )＋a ＋(a ＋d )＝9，(a －d )a ＝6(a ＋d )， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，d ＝－1， 所以这三个数为4,3,2.(2)设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d (公差为2d )，依题意得2a ＝2且(a －3d )(a ＋3d )＝－8，即a ＝1，a 2－9d 2＝－8，所以d 2＝1，所以d ＝1或d ＝－1.又四个数成递增等差数列，所以d >0，所以d ＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.反思感悟 等差数列的设项方法和技巧(1)当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a 1，公差为d ，利用已知条件建立方程(组)求出a 1和d ，即可确定此等差数列的通项公式．(2)当已知数列有3项时，可设为a －d ，a ，a ＋d ，此时公差为d .若有5项、7项、…时，可同理设出．(3)当已知数列有4项时，可设为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，此时公差为2d .若有6项、8项、…时，可同理设出．跟踪训练2 已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为859，求这5个数． 解 设第三个数为a ，公差为d ，则这5个数分别为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d .由已知有⎩⎪⎨⎪⎧ (a －2d )＋(a －d )＋a ＋(a ＋d )＋(a ＋2d )＝5，(a －2d )2＋(a －d )2＋a 2＋(a ＋d )2＋(a ＋2d )2＝859， 整理得⎩⎪⎨⎪⎧ 5a ＝5，5a 2＋10d 2＝859. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，d ＝±23. 当d ＝23时，这5个数分别是－13，13，1，53，73； 当d ＝－23时，这5个数分别是73，53，1，13，－13. 综上，这5个数分别是－13，13，1，53，73或73，53，1，13，－13. 三、等差数列的综合应用例3 若关于x 的方程x 2－x ＋m ＝0和x 2－x ＋n ＝0(m ，n ∈R ，且m ≠n )的四个根组成首项为14的等差数列，则数列的公差d ＝________，m ＋n 的值为________．答案 16 3172解析 设x 2－x ＋m ＝0，x 2－x ＋n ＝0的根分别为x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＝x 3＋x 4＝1(且1－4m >0,1－4n >0)．设数列的首项为x 1，则根据等差数列的性质，数列的第4项为x 2.由题意知x 1＝14， ∴x 2＝34，数列的公差d ＝34－144－1＝16， ∴数列的中间两项分别为14＋16＝512，512＋16＝712. ∴x 1·x 2＝m ＝316，x 3·x 4＝n ＝512×712＝35144. ∴m ＋n ＝316＋35144＝3172. 反思感悟 解决数列综合问题的方法策略(1)结合等差数列的性质或利用等差中项．(2)利用通项公式，得到一个以首项a 1和公差d 为未知数的方程或不等式．(3)利用函数或不等式的有关方法解决．跟踪训练3 已知等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝39，a 2＋a 5＋a 8＝33，则a 3＋a 6＋a 9＝________. 答案 27解析 方法一 由性质可知，数列a 1＋a 4＋a 7，a 2＋a 5＋a 8，a 3＋a 6＋a 9是等差数列，所以2(a 2＋a 5＋a 8)＝(a 1＋a 4＋a 7)＋(a 3＋a 6＋a 9)，则a 3＋a 6＋a 9＝2×33－39＝27.方法二 设等差数列{a n }的公差为d ，则(a 2＋a 5＋a 8)－(a 1＋a 4＋a 7)＝(a 2－a 1)＋(a 5－a 4)＋(a 8－a 7)＝3d ＝－6， 解得d ＝－2，所以a 3＋a 6＋a 9＝a 2＋d ＋a 5＋d ＋a 8＋d ＝27.1．知识清单：(1)等差数列的实际应用．(2)等差数列中项的设法．(3)等差数列的综合应用．2．方法归纳：解方程组法．3．常见误区：对等差数列的性质不理解而致错．1．已知等差数列1，a 1，a 2,9，则a 2－a 1的值为( )A ．8B ．－8C ．±8 D.83答案 D解析 根据等差数列1，a 1，a 2,9知，1和9是该数列的第一项和第四项，所以a 2－a 1＝9－14－1＝83. 2．在等差数列{a n }中，a 2＋a 5＝10，a 3＋a 6＝14，则a 5＋a 8等于( )A ．12B ．22C ．24D ．34答案 B解析 设数列{a n }的公差为d ，则d ＝a 3＋a 6－()a 2＋a 52＝14－102＝2， 故a 5＋a 8＝a 5＋a 2＋6d ＝10＋6×2＝22.3．由公差d ≠0的等差数列a 1，a 2，…，a n 组成一个新的数列a 1＋a 3，a 2＋a 4，a 3＋a 5，…，下列说法正确的是( )A ．新数列不是等差数列B ．新数列是公差为d 的等差数列C ．新数列是公差为2d 的等差数列D ．新数列是公差为3d 的等差数列答案 C解析 因为(a n ＋1＋a n ＋3)－(a n ＋a n ＋2)＝(a n ＋1－a n )＋(a n ＋3－a n ＋2)＝2d ，所以数列a 1＋a 3，a 2＋a 4，a 3＋a 5，…是公差为2d 的等差数列．4．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)．这个问题中，乙所得为________钱．答案 76解析 由题意，设这五人所得钱分别为a ＋2d ，a ＋d ，a ，a －d ，a －2d ，则a ＋2d ＋a ＋d ＝a ＋a －d ＋a －2d ，且5a ＝5，所以a ＝1，d ＝16， 所以乙所得为a ＋d ＝76(钱)．1．已知各项不为0的等差数列{a n }满足a 6－a 27＋a 8＝0，则a 7等于( )A ．1B ．8C ．4D ．2答案 D解析 因为各项不为0的等差数列{a n }满足a 6－a 27＋a 8＝0， 所以2a 7－a 27＝0，解得a 7＝2或a 7＝0(舍去)．2．已知数列{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，那么数列{a n ＋b n }的第37项为( )A ．0B ．37C ．100D ．－37答案 C解析 设等差数列{a n }，{b n }的公差分别为d 1，d 2，则(a n ＋1＋b n ＋1)－(a n ＋b n )＝(a n ＋1－a n )＋(b n ＋1－b n )＝d 1＋d 2，所以数列{a n ＋b n }仍然是等差数列．又d 1＋d 2＝(a 2＋b 2)－(a 1＋b 1)＝100－(25＋75)＝0，所以a 37＋b 37＝a 1＋b 1＝100.3．已知等差数列{a n }的首项是2，公差为d (d ∈Z )，且{a n }中有一项是14，则d 的取值的个数为( )A ．3B ．4C ．6D ．7答案 C解析 等差数列{a n }的首项是2，公差为d (d ∈Z )，有一项是14，∴设第n 项为14，有a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋(n －1)d ＝14，即(n －1)d ＝12，由n ∈N *知，n －1>0，n －1∈N *，而12＝1×12＝2×6＝3×4，∴d 的取值有1,2,3,4,6,12.4．若三个数成等差数列，它们的和为12，积为－36，则这三个数的平方和为( )A ．98B ．88C ．78D ．68答案 A解析 设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a －d ＋a ＋a ＋d ＝12，(a －d )a (a ＋d )＝－36，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，d ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，d ＝－5.∴这三个数为－1,4,9或9,4，－1.∴它们的平方和为98.5．已知等差数列{a n }中，a 2＋a 5＋a 8＝9，那么关于x 的方程x 2＋(a 4＋a 6)x ＋10＝0( )A ．无实根B ．有两个相等的实根C ．有两个不等的实根D ．不能确定有无实根答案 A解析 因为a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝2a 5，a 2＋a 5＋a 8＝3a 5＝9，所以a 5＝3，则方程为x 2＋6x ＋10＝0，因为Δ＝62－4×10＝－4<0，所以方程无实根．6．(多选)已知等差数列{a n }中，a 1＝3，公差为d (d ∈N *)，若2 021是该数列的一项，则公差d 不可能是( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 BCD解析 由2 021是该数列的一项，得2 021＝3＋(n －1)d ，所以n ＝2 018d＋1，因为d ∈N *，所以d 是2 018的约数，故d 不可能是3,4和5.7．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为________．答案 －21解析 设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a －d ＋a ＋a ＋d ＝9，(a －d )2＋a 2＋(a ＋d )2＝59. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，d ＝－4. ∴这三个数为－1,3,7或7,3，－1.∴它们的积为－21.8．若a ，b ，c 成等差数列，则二次函数y ＝ax 2－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点的个数为________． 答案 1或2解析 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ，∴Δ＝4b 2－4ac ＝(a ＋c )2－4ac ＝(a －c )2≥0.∴二次函数y ＝ax 2－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点个数为1或2.9．四个数成递减等差数列，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40.求这四个数．解 设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d (公差为2d )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝26，a 2－d 2＝40， 解得⎩⎨⎧ a ＝132，d ＝32或⎩⎨⎧ a ＝132，d ＝－32. 又四个数成递减等差数列，所以d <0， 所以d ＝－32， 故所求的四个数为11,8,5,2.10．已知数列{a n }满足a n ＋1＝1＋a n 3－a n(n ∈N *)，且a 1＝0. (1)求a 2，a 3；(2)是否存在一个实数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －λ为等差数列，请说明理由． 解 (1)因为a 1＝0，a n ＋1＝1＋a n 3－a n(n ∈N *)， 所以a 2＝1＋a 13－a 1＝13，a 3＝1＋a 23－a 2＝12. (2)假设存在一个实数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －λ为等差数列，所以2a 2－λ＝1a 1－λ＋1a 3－λ，即213－λ＝10－λ＋112－λ，解得λ＝1.因为1a n ＋1－1－1a n －1＝11＋a n 3－a n－1－1a n －1 ＝3－a n 2(a n －1)－1a n －1＝1－a n 2(a n －1)＝－12， 又1a 1－1＝－1，所以存在一个实数λ＝1，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －λ是首项为－1，公差为－12的等差数列．11．设等差数列的公差为d ，若数列{}12n a a 为递减数列，则( ) A ．d >0B ．d <0C ．a 1d >0D ．a 1d <0 答案 D解析 由数列{}12n a a 为递减数列，得11122n n a a a a <－，再由指数函数性质得a 1a n －1>a 1a n ，由等差数列的公差为d 知，a n －a n －1＝d ，所以a 1a n －1>a 1a n ⇒a 1a n －a 1a n －1<0⇒a 1(a n －a n －1)<0⇒a 1d <0.12．已知在数列{a n }中，a 2＝32，a 5＝98，且⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是等差数列，则a 7等于( ) A.109 B.1011 C.1211 D.1312答案 D解析 设b n ＝1a n －1，则{b n }为等差数列， 因为a 2＝32，a 5＝98，所以b 2＝2，b 5＝8， 所以数列{b n }的公差d ＝b 5－b 23＝2， 所以b 7＝b 5＋2d ＝8＋4＝12，即1a 7－1＝12， 所以a 7＝1312. 13．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17等于较小的两份之和，则最小的一份为( ) A.53B.103C.56D.116 答案 A解析 设五个人所分得的面包个数为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，其中d >0，则(a －2d )＋(a －d )＋a ＋(a ＋d )＋(a ＋2d )＝5a ＝100，∴a ＝20.由17(a ＋a ＋d ＋a ＋2d )＝a －2d ＋a －d ， 得3a ＋3d ＝7(2a －3d )，∴24d ＝11a ，∴d ＝556， ∴最小的一份为a －2d ＝20－1106＝53. 14．在等差数列{a n }中，a 2＝3，若从第5项开始为负数，则公差d 的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎭⎫－32，－1 解析 ∵等差数列{a n }从第5项开始为负数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 5<0，a 4≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋3d <0，a 2＋2d ≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧3＋3d <0，3＋2d ≥0， 解得－32≤d <－1.15．一个三角形的三个内角A ，B ，C 成等差数列，其三边a ，b ，c 也成等差数列，则该三角形的形状为________． 答案 等边三角形解析 由三边成等差数列，得2b ＝a ＋c ，三角形的三个内角A ，B ，C 成等差数列，则2B ＝A ＋C 且A ＋B ＋C ＝π，得B ＝π3. 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 60°，即⎝⎛⎭⎫a ＋c 22＝a 2＋c 2－ac .即(a ＋c )2＝4a 2＋4c 2－4ac ，整理得a 2＋c 2－2ac ＝0，即(a －c )2＝0，所以a ＝c .所以在三角形中A ＝C ，B ＝π3，则A ＝C ＝B ＝π3. 所以该三角形为等边三角形．16．有一批电视机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售．甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台单价为760元，以此类推，每多买一台则所购买各台的单价均减少20元，但每台最少不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售．某单位需购买一批此类电视机，则去哪一家商场购买花费较少？解 设某单位需购买电视机n 台．在甲商场购买时，所买电视机的售价构成等差数列{a n }，a n ＝780＋(n －1)×(－20)＝－20n ＋800，由a n ＝－20n ＋800≥440，得n ≤18，即购买台数不超过18台时，每台售价(800－20n )元；购买台数超过18台时，每台售价440元．到乙商场购买时，每台售价为800×75%＝600(元)．比较在甲、乙两家家电商场的费用(800－20n )n －600n ＝20n (10－n )．当n ＜10时，(800－20n )n ＞600n ，到乙商场购买花费较少；当n ＝10时，(800－20n )n ＝600n ，到甲、乙商场购买花费相同；当10＜n ≤18时，(800－20n )n ＜600n ，到甲商场购买花费较少；当n ＞18时，440n ＜600n ，到甲商场购买花费较少．因此，当购买电视机台数少于10台时，到乙商场购买花费较少；当购买电视机10台时，到两家商场购买花费相同；当购买电视机台数多于10台时，到甲商场购买花费较少．。

等差数列习题课教案第一章：等差数列的概念与性质1.1 等差数列的定义引导学生复习数列的概念，引入等差数列的定义。

通过示例，让学生理解等差数列的特点，即相邻两项的差是常数。

1.2 等差数列的性质引导学生探究等差数列的性质，如相邻两项的差是常数，第n项的公式等。

通过练习题，让学生掌握等差数列的性质，并能够运用性质解决问题。

第二章：等差数列的通项公式2.1 等差数列的通项公式推导引导学生复习数列的通项公式，引入等差数列的通项公式推导过程。

通过示例，让学生理解等差数列通项公式的推导过程，并能运用通项公式求解等差数列的第n项。

2.2 等差数列的通项公式应用引导学生运用等差数列的通项公式解决实际问题，如求等差数列的前n项和、某项的值等。

通过练习题，让学生熟练掌握等差数列的通项公式，并能够灵活运用。

第三章：等差数列的前n项和3.1 等差数列前n项和的公式引导学生复习数列的前n项和的概念，引入等差数列前n项和的公式。

通过示例，让学生理解等差数列前n项和的公式，并能运用公式计算等差数列的前n项和。

引导学生探究等差数列前n项和的性质，如前n项和的公式中的参数关系等。

通过练习题，让学生掌握等差数列前n项和的性质，并能够运用性质解决问题。

第四章：等差数列的求和公式4.1 等差数列求和公式的推导引导学生复习数列的求和公式，引入等差数列求和公式的推导过程。

通过示例，让学生理解等差数列求和公式的推导过程，并能运用求和公式计算等差数列的和。

4.2 等差数列求和公式的应用引导学生运用等差数列求和公式解决实际问题，如求等差数列的和、某项的值等。

通过练习题，让学生熟练掌握等差数列求和公式，并能够灵活运用。

第五章：等差数列的综合应用5.1 等差数列在实际问题中的应用引导学生运用等差数列的知识解决实际问题，如人口增长模型、物体运动等。

通过示例，让学生理解等差数列在实际问题中的应用，并能够解决实际问题。

5.2 等差数列的综合练习提供一些综合性的练习题，让学生综合运用等差数列的知识解决问题。

习题课 等差数列前n 项和性质的综合问题学习目标 1.掌握总项数为奇数项或偶数项时前n 项和的特点.2.掌握含绝对值的等差数列的前n 项和的求法．一、等差数列中奇、偶项的和问题1 我们知道等差数列前n 项和公式中的n 表示等差数列的项数，你能利用公式表示S 2n ，S 2n －1吗？提示 S 2n ＝2n (a 1＋a 2n )2＝n (a 1＋a 2n )，S 2n －1＝(2n －1)(a 1＋a 2n －1)2，由等差数列的性质m ＋n ＝p＋q ⇒a m ＋a n ＝a p ＋a q 可知，a 1＋a 2n ＝a n ＋a n ＋1，a 1＋a 2n －1＝2a n ，即S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)，S 2n －1＝(2n －1)a n ，发现总项数为偶数项时，其和可用中间两项表示，总项数为奇数项时，其和可用中间一项表示．问题2 当总项数为2n 项时，其奇数项和S 奇与偶数项和S 偶有何特点？ 提示 S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝n (a 1＋a 2n －1)2＝na n ， S 偶＝a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝n (a 2＋a 2n )2＝na n ＋1，则有S 偶－S 奇＝na n ＋1－na n ＝n (a n ＋1－a n )＝nd ， S 偶S 奇＝na n ＋1na n＝a n ＋1a n .问题3 当总项数为2n －1项时，其奇数项和S 奇与偶数项和S 偶有何特点？ 提示 S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝n (a 1＋a 2n －1)2＝na n ， S 偶＝a 2＋a 4＋…＋a 2n －2＝(n －1)(a 2＋a 2n －2)2＝(n －1)a n ，则有S 奇－S 偶＝a n ，S 奇S 偶＝nn －1.知识梳理1．若等差数列{a n }的项数为2n ，则S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)，S 偶－S 奇＝nd ，S 偶S 奇＝a n ＋1a n .2．若等差数列{a n }的项数为2n ＋1，则S 2n ＋1＝(2n ＋1)·a n ＋1，S 偶－S 奇＝－a n ＋1，S 偶S 奇＝n n ＋1. 3．设两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.注意点：(1)总项数为奇数时，其中间项的下标是1和总项数的平均数；(2)总项数为偶数时，其中间有两项，中间第一项的下标为总项数的一半．例1 (1)在等差数列{a n }中，S 10＝120，且在这10项中，S 奇S 偶＝1113，则公差d ＝________.答案 2 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝120，S奇S偶＝1113，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝55，S 偶＝65， 所以S 偶－S 奇＝5d ＝10，所以d ＝2.(2)有两个等差数列{a n }，{b n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝7n ＋2n ＋3，求a 5b 5.解 方法一 设等差数列{a n }，{b n }的公差分别为d 1，d 2， 则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝na 1＋n (n －1)2d 1nb 1＋n (n －1)2d 2＝a 1＋n －12d1b 1＋n －12d2，则有a 1＋n －12d1b 1＋n －12d2＝7n ＋2n ＋3，①又由于a 5b 5＝a 1＋4d 1b 1＋4d 2，②观察①②，可在①中取n ＝9，得a 1＋4d 1b 1＋4d 2＝7×9＋29＋3＝6512.故a 5b 5＝6512.方法二 设{a n }，{b n }的前n 项和分别为A n ，B n ， 则有A n B n ＝7n ＋2n ＋3，其中A n ＝(a 1＋a n )n 2，由于a 1＋a 9＝2a 5.即a 1＋a 92＝a 5，故A 9＝(a 1＋a 9)·92＝a 5×9.同理B 9＝b 5×9. 故A 9B 9＝a 5×9b 5×9. 故a 5b 5＝A 9B 9＝7×9＋29＋3＝6512. 方法三 设{a n }，{b n }的前n 项和分别为A n ，B n ， 因为等差数列的前n 项和为S n ＝an 2＋bn ＝an ⎝⎛⎭⎫n ＋b a ， 根据已知，可令A n ＝(7n ＋2)kn ，B n ＝(n ＋3)kn (k ≠0)． 所以a 5＝A 5－A 4＝(7×5＋2)k ×5－(7×4＋2)k ×4＝65k ， b 5＝B 5－B 4＝(5＋3)k ×5－(4＋3)k ×4＝12k . 所以a 5b 5＝65k 12k ＝6512.方法四 设{a n }，{b n }的前n 项和分别为A n ，B n ，由A 2n －1B 2n －1＝a n b n ，有a 5b 5＝A 9B 9＝7×9＋29＋3＝6512.反思感悟 一般地，求等差数列奇、偶项的和需注意：如果已知和，能判断它的中间项是哪一项或哪两项；如果已知某一项或某两项，能判断它是多少项和的中间项．跟踪训练1 (1)等差数列共有2n ＋1项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120，则n 等于( )A ．6B ．8C ．10D ．12 答案 C解析 ∵S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝132，S 偶＝a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝120， ∴S 奇－S 偶＝a 2n ＋1－nd ＝a n ＋1＝12， ∴S 2n ＋1＝S 奇＋S 偶＝252＝()2n ＋1()a 1＋a 2n ＋12＝()2n ＋1an ＋1＝12()2n ＋1，解得n ＝10.(2)已知数列{a n }是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是50，偶数项的和为34，若它的末项比首项小28，则该数列的公差是________． 答案 －4解析 设等差数列{a n }的项数为2m ， ∵末项与首项的差为－28， ∴a 2m －a 1＝(2m －1)d ＝－28，① ∵S 奇＝50，S 偶＝34，∴S 偶－S 奇＝34－50＝－16＝md ，② 由①②得d ＝－4.(3)若等差数列{}a n ，{}b n 的前n 项和分别为S n ，T n ，a n b n ＝n ＋1n ，则S 9T 9＝________.答案 65解析 由等差数列前奇数项和性质，得S 9T 9＝9a 59b 5＝a 5b 5＝5＋15＝65.二、含绝对值的等差数列的前n 项和问题4 已知等差数列a n ＝2n －9，求{|a n |}的前n 项和． 提示 设{a n }的前n 项和为S n ，{|a n |}的前n 项和为T n . 则当n ≤4时，T n ＝－S n ＝－n 2＋8n ，当n ≥5时，T n ＝(－a 1)＋(－a 2)＋(－a 3)＋(－a 4)＋a 5＋a 6＋…＋a n ＝－S 4＋(S n －S 4)＝S n －2S 4＝n 2－8n ＋32.∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2＋8n ，n ≤4，n 2－8n ＋32，n ≥5.知识梳理1．若一个等差数列a 1<0，d >0，且a k ≤0，a k ＋1>0，则其绝对值的前n 项和为T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－S n ，1≤n ≤k ，S n －2S k ，n >k ，n ∈N *. 2．若一个等差数列a 1>0，d <0，且a k ≥0，a k ＋1<0，则其绝对值的前n 项和为T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S n ，1≤n ≤k ，－S n ＋2S k ，n >k ，n ∈N *. 注意点：(1)要先去掉绝对值才能求和；(2)找准分界点是解决此类问题的关键．例2 数列{a n }的前n 项和S n ＝100n －n 2(n ∈N *)． (1)判断{a n }是不是等差数列，若是，求其首项、公差； (2)设b n ＝|a n |，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(100n －n 2)－[100(n －1)－(n －1)2]＝101－2n . ∵a 1＝S 1＝100×1－12＝99，满足上式， ∴a n ＝101－2n (n ∈N *)． 又a n ＋1－a n ＝－2为常数，∴数列{a n }是首项为99，公差为－2的等差数列． (2)令a n ＝101－2n ≥0，得n ≤50.5， ∵n ∈N *，∴n ≤50(n ∈N *)．①当1≤n ≤50时，a n >0，此时b n ＝|a n |＝a n ， ∴数列{b n }的前n 项和T n ＝100n －n 2. ②当n ≥51时，a n <0，此时b n ＝|a n |＝－a n ， 由b 51＋b 52＋…＋b n ＝－(a 51＋a 52＋…＋a n ) ＝－(S n －S 50)＝S 50－S n ，得数列{b n }的前n 项和T n ＝S 50＋(S 50－S n )＝2S 50－S n ＝2×2 500－(100n －n 2)＝5 000－100n ＋n 2.由①②得数列{b n }的前n 项和为T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧100n －n 2，1≤n ≤50，5 000－100n ＋n 2，n ≥51，n ∈N *.延伸探究 本例中若a n ＝2n －101，求数列{b n }的前n 项和． 解 由本例可知，当1≤n ≤50时，a n <0，此时b n ＝－a n ， 数列{}b n 的前n 项和T n ＝－n 2＋100n ，当n ≥51时，a n >0，b 51＋b 52＋…＋b n ＝a 51＋a 52＋…＋a n . 数列{}b n 的前n 项和T n ＝－S 50＋S n －S 50＝n 2－100n ＋5 000，综上，T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2＋100n ，1≤n ≤50，n 2－100n ＋5 000，n ≥51，n ∈N *.反思感悟 已知等差数列{a n }，求绝对值数列{|a n |}的有关问题是一种常见的题型，解决此类问题的核心便是去掉绝对值，此时应从其通项公式入手，分析哪些项是正的，哪些项是负的，即找出正、负项的“分界点”．跟踪训练2 在等差数列{a n }中，a 10＝23，a 25＝－22. (1)数列{a n }前多少项和最大？ (2)求{|a n |}的前n 项和S n .解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋9d ＝23，a 1＋24d ＝－22，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝50，d ＝－3，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3n ＋53.令a n >0，得n <533，∴当n ≤17时，a n >0；当n ≥18时，a n <0，∴数列{a n }的前17项和最大． (2)当n ≤17时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－32n 2＋1032n .当n ≥18，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝a 1＋a 2＋…＋a 17－a 18－a 19－…－a n ＝2(a 1＋a 2＋…＋a 17)－(a 1＋a 2＋…＋a n ) ＝2⎝⎛⎭⎫－32×172＋1032×17－⎝⎛⎭⎫－32n 2＋1032n ＝32n 2－1032n ＋884. ∴S n＝⎩⎨⎧－32n 2＋1032n ，n ≤17，n ∈N *，32n 2－1032n ＋884，n ≥18，n ∈N *.1．知识清单：(1)等差数列中奇、偶项的和． (2)含绝对值的等差数列的前n 项和．2．方法归纳：公式法、整体代换法、分类讨论法．3．常见误区：求数列{|a n |}的前n 项和时不讨论，最后不用分段函数表示．1．一个等差数列共有10项，其偶数项之和是15，奇数项之和是12.5，则它的首项与公差分别是( ) A ．0.5,0.5 B ．0.5,1 C ．0.5,2 D ．1,0.5答案 A解析 由于项数为10，故S 偶－S 奇＝15－12.5＝5d ， ∴d ＝0.5，由15＋12.5＝10a 1＋10×92×0.5，得a 1＝0.5.2．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于( )A ．1B ．－1C ．2 D.12答案 A解析 由于S 2n －1＝(2n －1)a n ， 则S 9S 5＝9a 55a 3＝95×59＝1. 3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *.若S 12>0，S 13<0，则数列{|a n |}的最小项是( ) A ．第6项 B ．第7项 C ．第12项 D ．第13项 答案 B解析 由题意得，S 12>0，S 13<0及S 12＝6(a 1＋a 12)＝6(a 6＋a 7)，S 13＝13a 7，得a 6＋a 7>0，a 7<0，所以a 6>0，a 6>|a 7|，且公差d <0，所以|a 7|最小．4．记S n 为等差数列{}a n 的前n 项和，已知a 1＝－9，S 5＝－25，b n ＝||a n ，{}b n 的前n 项和为T n ，则T 10＝________. 答案 50解析 设等差数列{}a n 的公差为d ，∵a 1＝－9，S 5＝－25.∴－9×5＋5×42×d ＝－25，解得d ＝2.∴a n ＝－9＋2(n －1)＝2n －11. ∵b n ＝||a n ，所以b n ＝||2n －11，∴T 10＝||－9＋||－7＋||－5＋||－3＋||－1＋1＋3＋5＋7＋9＝2()1＋3＋5＋7＋9＝50.课时对点练1．在等差数列{}a n 中，a 2＋a 4＋a 6＝－3，a 3＋a 5＋a 7＝6，则{}a n 的前8项的和为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 答案 B解析 由等差中项的性质可知a 2＋a 4＋a 6＝3a 4＝－3，所以a 4＝－1，同理a 5＝2，所以a 4＋a 5＝1，S 8＝4(a 4＋a 5)＝4.2．已知等差数列{}a n 的前n 项和为S n ,2()a 1＋a 3＋a 5＋3()a 8＋a 10＝60，则S 11的值为( ) A ．33 B ．44 C ．55 D ．66 答案 C解析 ∵S n 是等差数列{}a n 的前n 项和， 2()a 1＋a 3＋a 5＋3()a 8＋a 10＝60，∴2()a 1＋a 1＋2d ＋a 1＋4d ＋3()a 1＋7d ＋a 1＋9d ＝60，解得a 1＋5d ＝5，∴a 6＝5，∴S 11＝112()a 1＋a 11＝112×2a 6＝11a 6＝55. 3．等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若a n b n ＝2n 3n ＋1，则S 21T 21的值为( )A.1315B.2335C.1117D.49 答案 C解析 S 21T 21＝21(a 1＋a 21)2÷21(b 1＋b 21)2＝a 1＋a 21b 1＋b 21＝a 11b 11＝2×113×11＋1＝1117.4．已知等差数列{}a n 的通项公式为a n ＝5－n ，则||a 1＋||a 2＋…＋||a 10等于( )A ．24B ．25C ．26D ．27 答案 B解析 因为a n ＝5－n ，所以当n ≤5时，a n ≥0，当n ≥6时，a n <0； 因此||a 1＋||a 2＋…＋||a 10＝()a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5－()a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10 ＝()4＋3＋2＋1＋0＋()1＋2＋3＋4＋5＝10＋15＝25.5．设等差数列{}a n 和{}b n 的前n 项和分别为S n 和T n ，且S n T n ＝3n －t 5n ＋3，若a 7b 3＋b 11＝14，则t 等于( )A ．5B ．6C ．22 D.512答案 A解析 由题意可得a 7＝S 1313，b 3＋b 11＝2b 7＝2T 1313，则a 7b 3＋b 11＝S 132T 13＝3×13－t 2×()5×13＋3＝14，解得t ＝5.6．(多选)设等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，当首项a 1和公差d 变化时，若a 1＋a 8＋a 15是定值，则下列各项中为定值的是( ) A ．a 7 B ．a 8 C ．S 15 D ．S 16 答案 BC解析 由于a 1＋a 15＝2a 8，故a 1＋a 8＋a 15是定值可得a 8是定值，S 15＝12×15×(a 1＋a 15)＝15a 8，故S 15为定值．7．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是________，项数是________． 答案 11 7解析 设等差数列{a n }的项数为2n ＋1(n ∈N *)， S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1 ＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2＝(n ＋1)a n ＋1，S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝n (a 2＋a 2n )2＝na n ＋1，所以S 奇S 偶＝n ＋1n ＝4433，解得n ＝3，所以项数2n ＋1＝7，S 奇－S 偶＝a n ＋1， 即a 4＝44－33＝11，为所求的中间项．8．已知在等差数列{a n }中，公差d ＝1，且前100项和为148，则前100项中的所有偶数项的和为________． 答案 99解析 由题意，得S 奇＋S 偶＝148， S 偶－S 奇＝50d ＝50， 解得S 偶＝99.9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，且S 12＞0，S 13＜0. (1)求公差d 的取值范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由． 解 (1)∵a 3＝12，∴a 1＝12－2d . ∵S 12＞0，S 13＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 12a 1＋66d >0，13a 1＋78d <0，即⎩⎪⎨⎪⎧24＋7d ＞0，3＋d ＜0，∴－247＜d ＜－3.即d 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－247，－3. (2)∵S 12＞0，S 13＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 12>0，a 1＋a 13<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 6＋a 7>0，a 7<0，∴a 6＞0， 又由(1)知d ＜0.∴数列前6项为正，从第7项起为负． ∴数列前6项和最大．10．在数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求T n .解 (1)∵a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0，∴a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，∴{a n }是等差数列，又∵a 1＝8，a 4＝2，∴d ＝－2，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝10－2n ，n ∈N *.(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ＝8n ＋n (n －1)2×(－2)＝9n －n 2.∵a n ＝10－2n ，令a n ＝0，得n ＝5.当n >5时，a n <0；当n ＝5时，a n ＝0；当n <5时，a n >0.∴当n ≤5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝9n －n 2.当n >5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－(a 6＋a 7＋…＋a n )＝S 5－(S n －S 5)＝2S 5－S n＝2×(9×5－25)－9n ＋n 2＝n 2－9n ＋40，∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 9n －n 2，n ≤5，n ∈N *，n 2－9n ＋40，n ≥6，n ∈N *.11．若数列{a n }的前n 项和是S n ＝n 2－4n ＋2，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|等于() A ．15 B ．35 C ．66 D ．100答案 C解析 易得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －5，n ≥2.|a 1|＝1，|a 2|＝1，|a 3|＝1，令a n >0，则2n －5>0，∴n ≥3.∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝1＋1＋a 3＋…＋a 10＝2＋(S 10－S 2)＝2＋[(102－4×10＋2)－(22－4×2＋2)]＝66.12．已知等差数列{}a n 和{}b n 的前n 项和分别为S n 和T n ，且满足S n T n ＝2n ＋13n ＋2，则a 6b 4等于( ) A.32 B.23 C.1314D ．1 答案 D解析 由题意，令S n ＝kn (2n ＋1)，T n ＝kn (3n ＋2)，∴a 6b 4＝S 6－S 5T 4－T 3＝78k －55k 56k －33k＝1. 13．已知S n ，T n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，且S n T n ＝2n ＋14n －2(n ∈N *)，则a 10b 3＋b 18＋a 11b 6＋b 15＝________.答案 4178 解析 因为b 3＋b 18＝b 6＋b 15＝b 10＋b 11，所以a 10b 3＋b 18＋a 11b 6＋b 15＝a 10＋a 11b 10＋b 11＝10(a 10＋a 11)10(b 10＋b 11)＝S 20T 20＝2×20＋14×20－2＝4178. 14．已知一个有11项且各项都不为零的等差数列，那么其奇数项的和与偶数项的和之比为________．答案 65解析 由题意，得等差数列共有11项，所以奇数项的和为S 奇＝6(a 1＋a 11)2＝6a 6，其偶数项的和为S 偶＝5(a 2＋a 10)2＝5a 6， 所以其奇数项的和与偶数项的和之比为65.15．《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功疾，初日织六尺，今一月织十一匹三丈(1匹＝40尺，一丈＝10尺)，问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织6尺，一月织了十一匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，记该女子一个月中的第n 天所织布的尺数为a n ，则a 1＋a 3＋…＋a 29a 2＋a 4＋…＋a 30的值为( ) A.1415 B.1617 C.2324 D.23答案 C解析 由题意，得数列{}a n 为等差数列，a 1＝6，S 30＝11×40＋3×10＝470，设数列{}a n 的公差为d ，由等差数列前n 项和公式，得S 30＝30×6＋30×()30－12d ＝470，解得d ＝23， 所以a n ＝6＋()n －1×23＝23n ＋163， a 1＋a 3＋…＋a 29＝()a 1＋a 29×152＝15a 15，a 2＋a 4＋…＋a 30＝()a 2＋a 30×152＝15a 16，所以a 1＋a 3＋…＋a 29a 2＋a 4＋…＋a 30＝a 15a 16＝23×15＋16323×16＋163＝2324. 16．已知数列{}a n 的首项a 1＝1，前n 项和为S n ，且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为2的等差数列． (1)求数列{}a n 的通项公式；(2)若b n ＝(－1)n a n ，求数列{}b n 的前n 项和T n .解 (1)因为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为2的等差数列，且S 11＝a 1＝1，所以S n n ＝1＋()n －1×2＝2n －1，所以S n ＝2n 2－n ，又因为a n ＝S n －S n －1()n ≥2，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －3， 又因为a 1＝1符合n ≥2的情况，所以a n ＝4n －3.(2)因为b n ＝()－1n a n ＝()－1n()4n －3， 当n 为偶数时，T n ＝()－1＋5＋()－9＋13＋…＋[－()4n －7]＋()4n －3，所以T n ＝[()－1＋5]＋[()－9＋13]＋…＋{[－(4n －7)]＋(4n －3)}＝4×n 2＝2n ， 当n 为奇数时，T n ＝T n －1＋b n ＝2()n －1＋[－(4n －3)]＝1－2n ， 综上可知，T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2n ，n 为偶数，1－2n ，n 为奇数.。

一、等差数列1、数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n ｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。

例1．根据数列前4项，写出它的通项公式： （1）1，3，5，7……；（2）2212-，2313-，2414-，2515-；（3）11*2-，12*3，13*4-，14*5。

解析：（1）n a =21n -； （2）n a = 2(1)11n n +-+； （3）n a = (1)(1)n n n -+。

点评：每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号到另一个数集的对应关系，这对考生的归纳推理能力有较高的要求。

如（1）已知*2()156n na n N n =∈+，则在数列{}n a 的最大项为__ ；（2）数列}{n a 的通项为1+=bn ana n ，其中b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为___；（3）已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围；2、等差数列的判断方法：定义法1(n n a a d d +-=为常数）或11(2)n n n n a a a a n +--=-≥。

例2．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n =n 2，则{a n }是（ ）A.等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列 答案：B ； 解法一：a n =⎩⎨⎧≥-==⇒⎩⎨⎧≥-=-)2( 12)1( 1)2( )1( 11n n n a n S S n S n n n∴a n =2n －1（n ∈N ）又a n +1－a n =2为常数，12121-+=+n n a a n n ≠常数 ∴{a n }是等差数列，但不是等比数列.解法二：如果一个数列的和是一个没有常数项的关于n 的二次函数，则这个数列一定是等差数列。

习题课(一) 等差数列、等比数列的综合一、选择题1．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，S n＝2a n＋1，则S n＝( )A．2n－1B．n－1C.n－1D．解析：选B　因为a n＋1＝S n＋1－S n，所以由S n＝2a n＋1，得S n＝2(S n＋1－S n)，整理得3S n＝2S n＋1，所以＝，所以数列{S n}是以S1＝a1＝1为首项，为公比的等比数列，故S n ＝n－1.2．已知数列{a n}，a1＝2，a n＋1－2a n＝0，b n＝log2a n，则数列{b n}的前10项和等于( )A．130 B．120 C．55 D．50解析：选C　在数列{a n}中，a1＝2，a n＋1－2a n＝0，即＝2，所以数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列．所以a n＝2×2n－1＝2n.所以b n＝log22n＝n.则数列{b n}的前10项和为1＋2＋…＋10＝55.故选C.3．[多选]已知数列{a n}的前n项和S n＝n2－9n，第k项满足5＜a k＜9，则k可以是( )A．9 B．8 C．7 D．6解析：选AB　∵S n＝n2－9n，∴当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2n－10.又a1＝S1＝－8，符合上式．∴a n＝2n－10(n∈N*)，∴5＜2k－10＜9，解得7.5＜k＜9.5，∴k＝8或9.故选A、B.4．在数列{a n}中，已知S n＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n－1(4n－3)，则S15＋S22－S31的值为( )A．13 B．－76 C．46 D．76解析：选B　∵S15＝(－4)×7＋(－1)14(4×15－3)＝29，S22＝(－4)×11＝－44，S31＝(－4)×15＋(－1)30(4×31－3)＝61，∴S15＋S22－S31＝29－44－61＝－76.5．已知数列{a n}是递增的等比数列，且a4a6－2a＋a2a4＝144，则a5－a3＝( ) A．6 B．8 C．10 D．12解析：选D　∵{a n}是递增的等比数列，∴由a4a6－2a＋a2a4＝144，a5－a3>0可得a－2a3a5＋a＝144，(a5－a3)2＝144，∴a5－a3＝12，故选D.6．已知各项均不为0的等差数列{a n}满足a3－2a＋3a7＝0，数列{b n}是等比数列，且b6＝a6，则b1b7b10等于( )A．1 B．2 C．4 D．8解析：选D　根据等差数列的性质，得a3＋a7＝2a5，a5＋a7＝2a6.又a3－2a＋3a7＝0，所以2a5＋2a7－2a＝0，即2a6＝a，解得a6＝2或a6＝0(舍去)，所以b6＝a6＝2，则b1b7b10＝b2b6b10＝b＝8.二、填空题7．对于项数为m(m≥3)的有穷数列{a n}，若存在项数为m＋1的等比数列{b n}，使得b k＜a k＜b k＋1，其中k＝1,2，…，m，则称数列{b n}为{a n}的“等比分割数列”．已知数列7,14,38,60，则该数列的一个“等比分割数列”可以是______．(写出满足条件的一个各项为整数的数列即可)解析：取一个首项为6，公比为2的数列即满足b k＜a k＜b k＋1，其中k＝1,2，…，m.答案：6,12,24,48,968．已知首项都是1的两个数列{a n}，{b n}(b n≠0，n∈N*)满足a n b n＋1－a n＋1b n＋2b n＋1·b n＝0.若b n＝3n－1，则数列{a n}的前n项和S n＝________.解析：因为a n b n＋1－a n＋1b n＋2b n＋1b n＝0，b n≠0，所以－＝2，所以数列是以＝1为首项，2为公差的等差数列，故＝2n－1.由b n＝3n－1，得a n＝(2n－1)3n－1，于是数列{a n}的前n项和S n＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n－1)×3n－1,3S n＝1×31＋3×32＋…＋(2n－3)×3n－1＋(2n－1)×3n，两式相减得－2S n＝1＋2×(31＋32＋…＋3n－1)－(2n－1)×3n＝－2－(2n－2)3n，所以S n＝(n－1)3n＋1.答案：(n－1)3n＋1三、解答题9．已知数列{a n}的前n项和为S n，a n＝3S n＋1(n∈N*)．(1)求a1，a2；(2)求数列{a n}的通项公式．解：(1)由a n＝3S n＋1，得a n＋1＝3S n＋1＋1，两式相减，得a n＋1－a n＝3(S n＋1－S n)＝3a n＋1，即＝－.又a1＝3S1＋1＝3a1＋1，得a1＝－，所以a2＝－×＝.(2)由(1)知，数列{a n}是首项为－，公比为－的等比数列，所以a n＝×n－1＝n.10．已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1＝a，a≠0，前n项和为S n，且，，成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设数列的前n项和为A n，若A2 021＝，求实数a的值．解：(1)设等差数列{a n}的公差为d，由2＝·，即a＝a1·a4，得(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)．因为d≠0，所以d＝a1＝a，所以a n＝a＋(n－1)a＝na.(2)因为S n＝＝，所以＝，所以A n＝＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝.又A2 019＝＝，所以a＝2.11．(2021·全国乙卷)设{a n}是首项为1的等比数列，数列{b n}满足b n＝.已知a1,3a2,9a3成等差数列．(1)求{a n}和{b n}的通项公式．(2)记S n和T n分别为{a n}和{b n}的前n项和．证明：T n<.解：(1)设等比数列{a n}的公比为q.∵a1,3a2,9a3成等差数列，∴6a2＝a1＋9a3，即6q＝1＋9q2，解得q＝.∴a n＝n－1，∴b n＝＝n n.(2)证明：由(1)得，S n＝＝＝＝－×n－1.T n＝1×1＋2×2＋3×3＋…＋n n， ①则T n＝1×2＋2×3＋3×4＋…＋n n＋1.　②①－②，得T n＝1＋2＋3＋…＋n－n n＋1＝－n n＋1＝－×n，∴T n＝－×n.∵＝－×n－1＝－×n，且3＋2n>3，∴当n为正整数时，T n<.。

等差数列习题课一、学习目标：1、进一步了解等差数列的定义，通项公式以及前n 项和公式；2、理解等差数列的性质，等差数列前n 项和公式的性质应用；3、等差数列通项公式、前n 项和公式的应用。

二、重难点：对等差数列通项公式、前n 项和公式的考查是本课时的重点和难点。

三、课内探究：1、已知S n ,求a n 类型。

例1、已知数列{n a }的前n 项和为2320522n S n n =-+,求数列{n a }的通项公式a n .变式训练：已知数列{n a }的前n 项和为S n ，当n N +时，满足S n =-3n 2+6n, 求数列{n a }的通项公式a n .2、求数列{|a n |}的前n 项和问题。

例2、在等差数列{n a }中，a 1=-60,a 17=-12, 求数列{|a n |}的前n 项和.变式训练：在等差数列{n a }中，S 2=16，S 4=24，求数列{|a n |}的前n 项和A n .3、两个等差数列前n 项和之比问题。

例3、有两个等差数列{a n }、{b n },其前n 项和分别为S n , T n ,若n n S T =723n n ++，求55a b 。

4、等差数列的应用。

例4、从4月1日开始，有一新款服装投入某商场销售。

4月一日该款服装售出10件，第二天售出25件，第三天售出40件，以后每天售出的件数分别递增15件，直到4月12号销售量达到最大，然后，每天售出的件数分别递减10件，（1）记从4月1日起该款服装日销售量为a n ,销售天数为n(1≤n ≤30),求a n 与n 的关系；（2）求4月份该款服装的总销售量；（3）按规律，当该商场销售此服装超过1200件时，社会上就开始流行，当此服装的销售量连续下降，且日销售量低于100件时，则此服装在社会上不再流行，试问，该款服装在社会上流行是否会超过10天？说明理由。

变式训练：甲乙两物体分别从相距70m 的两处同时相向运动，甲第一分钟走2m,以后每分钟比前1分钟多走1m ，乙每分钟走5m,(1) 甲乙开始运动后几分钟第一次相遇？(2) 如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m ，乙继续每分钟走5m,那么开始运动后几分钟第二次相遇？。

课题：6.2.2 等差数列的前n项和【学习目标】1、掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；2、会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题. 学习重点：等差数列的前n项和公式.学习难点：等差数列前n项和的两个公式的应用.【预习案】【使用说明和学法指导】,的一个通项公式为B.4-已知等差数列{}n a，则na= .52，27(k+1.认真阅读教材P13-16，对照学习目标，有困难或疑问请用红笔标注，并完成预习案；2.将预习中不能解决的问题标出来，并写到后面“我的疑惑”处. （1） 相关知识： 1、等差数列的定义： 2、等差数列的通项公式： 3、等差数列的性质： 二、教材助读：1、等差数列前n 项和的公式一： ；2、等差数列前n 项和的公式二： ；3、等差数列前n 项和的公式一、二分别在什么时候可以用？ 三、预习自测：1、根据下列各题中的条件，求相应的等差数列{}n a 的前n 项和n S ：⑴184188a a n =-=-=，，； ⑵114.50.715a d n ===，，⑶1423321=-==n a a n ，，； ⑷10152-===n a n d ，，.2、已知数列{}n a 是等差数列，且15S =90，则51a a += ；3、在等差数列-4,1,6,11，…中，前多少项的和是77？【我的疑惑】【探究案】一、质疑探究探究点一：等差数列前n 项和公式的推导问题：某工厂的仓库里堆放着一批钢管，最上一层4根，以下每层比上层多一根，共堆放了7层，求钢管总数.思考： ① 如何求首项为1a ，第n 项为n a 的等差数列{}n a 的前n 项的和?② 如何求首项为1a ，公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项的和?规律方法总结：倒序求和法探究点二：等差数列前n 项和公式的应用例1、一个堆放铅笔的V 形架的最下面一层防一支铅笔，往上每一层都比下面一层多放一支，最上面放有120支，这个V 形架上共放有多少支铅笔？ 方法一： 方法二：规律方法总结：1. 用1()2n n n a a S +=，必须已知三个条件： . 2. 用1(1)2n n n dS na -=+，必须已知三个条件： .变式：在等差数列-5，-1,3,7，…中，前多少项的和是345？规律方法总结：在等差数列前n 项和公式中有四个量，知道其中三个可以求出第四个. 二、归纳梳理、整合内化【训练案】一、当堂检测1. 在等差数列{}n a 中，10120S =，那么110a a +=（ ）. A. 12 B. 24 C. 36 D. 482. 在50和350之间，所有末位数字是1的整数之和是（ ）. A ．5880 B ．5684 C ．4877 D ．45663.在等差数列{}n a 中，12a =，1d =-，则8S = .4.在等差数列{}n a 中，125a =，533a =，则6S = .5.有多少个三位正整数是6的倍数？求它们的和.二、作业：教材P17习题3、4、5 【我的收获】（反思静悟、体验成功）。

等差数列习题课教案第一章：等差数列的概念与性质1.1 等差数列的定义引导学生回顾数列的概念，引出等差数列的定义。

通过示例，让学生理解等差数列的特点，即相邻两项的差是常数。

1.2 等差数列的性质探讨等差数列的通项公式，引导学生通过观察、归纳得出公式。

引导学生理解等差数列的性质，如公差、首项、末项等，并学会运用性质解决问题。

第二章：等差数列的求和2.1 等差数列的前n项和公式引导学生通过观察、归纳等差数列的前n项和公式。

通过例题，让学生学会运用前n项和公式计算等差数列的和。

2.2 等差数列的求和性质引导学生探讨等差数列的求和性质，如分组求和、错位相减等。

通过例题，让学生学会运用求和性质简化计算过程。

第三章：等差数列的通项公式3.1 等差数列的通项公式推导引导学生回顾等差数列的性质，引导学生通过观察、归纳等差数列的通项公式。

通过示例，让学生理解通项公式的含义，并学会运用通项公式解决问题。

3.2 等差数列的通项公式的应用引导学生学会运用通项公式求等差数列的第n项、首项、末项等。

通过例题，让学生学会运用通项公式解决实际问题。

第四章：等差数列的综合应用4.1 等差数列与函数的关系引导学生理解等差数列与一次函数、二次函数等函数的关系。

通过例题，让学生学会运用函数的知识解决等差数列问题。

4.2 等差数列在实际问题中的应用引导学生学会将等差数列的知识应用到实际问题中，如人口增长、物体运动等。

通过例题，让学生学会运用等差数列解决实际问题。

第五章：等差数列的练习题讲解5.1 选择题练习给出选择题，让学生独立完成，并通过讲解答案，帮助学生巩固等差数列的知识。

5.2 填空题练习给出填空题，让学生独立完成，并通过讲解答案，帮助学生巩固等差数列的知识。

5.3 解答题练习给出解答题，让学生独立完成，并通过讲解答案，帮助学生巩固等差数列的知识。

第六章：等差数列的图像与性质6.1 等差数列的图像引导学生回顾数列图像的概念，引出等差数列的图像。

数学人教B必修5第二章2.2 等差数列习题课——等差数列习题课1．进一步了解等差数列的定义，通项公式以及前n项和公式．2．理解等差数列的性质，等差数列前n项和公式的性质的应用．3．掌握等差数列前n项和之比的问题，及其实际应用．题型一已知S n求a n【例1】已知数列{a n}的前n项和S n＝－错误!n2＋错误!n，求数列｛a n}的通项公式a n.分析：求a1→错误!→错误!→错误!反思：数列｛a n｝的前n项和S n与通项a n的关系已知数列{a n｝的通项就可以求数列{a n}的前n项和S n；反过来，若已知前n项和S n也可以求数列{a n}的通项公式a n。

∵S n＝a1＋a2＋a3＋…＋a n，∴S n－1＝a1＋a2＋a3＋…＋a n－1(n≥2)．在n≥2的条件下，把上面两式相减可得：a n＝S n－S n－1（n≥2），当n＝1时,a1＝S1,所以a n与S n有如下关系：a n＝错误!注意：a n＝S n－S n－1并非对所有的n∈N＋都成立,而只对n≥2的正整数成立．由S n求通项公式a n时,要分n＝1和n≥2两种情况,然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示．题型二数列｛｜a n|｝的求和问题【例2】在等差数列｛a n｝中，a1＝－60,a17＝－12，求数列｛｜a n｜｝的前n项和．分析：先分清哪些项是负的，然后再分段求出前n项的绝对值之和．反思：等差数列各项取绝对值后组成的数列{|a n|}的前n项和，可分为以下情形：（1)等差数列｛a n}的各项都为非负数，这种情形中数列{|a n｜｝就等于数列｛a n}，可以直接求解．(2）在等差数列{a n}中，a1＞0,d＜0，这种数列只有前边有限项为非负数，从某项开始其余所有项都为负数，可把数列{a n｝分成两段处理．(3)在等差数列｛a n}中，a1＜0，d＞0，这种数列只有前边有限项为负数，其余都为非负数，同样可以把数列｛a n｝分成两段处理．总之，解决此类问题的关键是找到数列{a n}的正负分界点．题型三等差数列前n项和的比值问题【例3】等差数列{a n},{b n｝的前n项和分别为S n，T n，若错误!＝错误!，求错误!.分析：本题可把“项比”转化成“和比",也可把“和比”转化为“项比”．反思：本题的关键是建立通项和前n项和的内在联系，解法一侧重于待定系数法，而解法二应用整体代换思想．1已知在等差数列{a n}中,a7＋a9＝16,a4＝1,则a12的值是( )．A．15 B．30 C．31 D．642等差数列｛a n}的前n项和为S n，若S2＝2，S4＝10，则S6等于( ）．A．12 B．18 C．24 D．423若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有( )．A．13项B．12项C．11项D．10项4设2a＝3,2b＝x,2c＝12,且a，b，c成等差数列，则x的值为________．5设等差数列{a n}满足a3＝5,a10＝－9.(1）求{a n}的通项公式；(2)求｛a n｝的前n项和S n及使得S n最大的序号n的值．答案：典型例题·领悟【例1】解：a1＝S1＝－错误!×12＋错误!×1＝101。