上海市嘉定区高三第一次质量调研文科数学试卷.pdf

嘉定区2020学年高三年级第一次质量调研测试数 学 试 卷考生注意：1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码． 2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分．3．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．已知集合{}4,2,0=A ，()∞+=，0B ，则=B A ____________． 2．抛物线x y 42=的焦点坐标为____________．3．不等式014≤xx 的解为____________．4．已知复数z 满足()2i 1=⋅+z （i 为虚数单位），则=z ___________． 5．已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边经过点)4,3(P ，则=+)2πtan(α____________． 6．设函数)12)(1>-=+a ax f x （的反函数为)(1x fy -=，若()121f -=，则=)2(f ____________．7．设各项均为正数的无穷等比数列{}n a 满足：121321=+=a a a ，，则数列{}n a 2的各项的和为____________．8．在ABC △中，9034A AB AC ∠=︒==，，，将ABC △绕边AC 所在直线旋转一周得到几何体Γ，则Γ的侧面积为____________． 9．在ABC △中，2,1==AC AB ，3261+=，则=⋅BC AE ____________． 10．甲和乙等五名志愿者参加进博会A 、B 、C 、D 四个不同的岗位服务，每人一个岗位，每个岗位至少一人，且甲和乙不在同一岗位服务，则共有_______种不同的参加方法（结果用数值表示）．11．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，首项01>a ，公差0<d ，若对任意的*N ∈n ，总存在*N ∈k ，使n k S k S )12(12-=-，则n k 3-的最小值为_____________．12．已知函数x a x x x f 3||)(+-=．若存在]4,3[-∈a ，使得关于x 的方程)()(a tf x f =有三个不相等的实数根，则实数t 的取值范围是____________．二．选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．已知0≠x ，*N ∈n ，则“2=n ”是“nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1的二项展开式中存在常数项”的（ ）．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件14．已知R ∈b a 、，且b a >，则下列不等式恒成立的是 （ ）．ABC1A 1C 1D 1B D 1A 1D 1C ABD C1B A ．ba 11< B ．b a ln ln > C ．22b a > D ．b a 22> 15．过双曲线12222=-by a x C ： （0,0>>b a ）的右顶点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于点A ．若以C 的右焦点为圆心、以2为半径的圆经过O A 、两点（O 为坐标原点），则双曲线C 的方程为 （ ）．A ．1322=-y x B ．1322=-y x C ．12222=-y x D ．16222=-y x 16．如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，点P 是该正方体棱上一点．若满足m PC PB =+1||（0>m ）的点P 的个数为4，则m 的取值范围是 （ ）．A ．]4,22[B ．]322,4[+C ．]24,4[D ．]24322[，+三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，正四棱柱1111D C B A ABCD -的底面边长为2，41=D A ．（1）求该正四棱柱的表面积和体积；（2）求异面直线D A 1与AC 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）．18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数)(cos )(x x f ω= （0>ω）的最小正周期为π．（1）求ω的值及函数)()4π(3)(x f x f x g --=，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2π,0x 的值域；（2）在ABC △中，内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，若⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2π,0A ， 21)(-=A f ，ABC △的面积为33，2=-c b ，求a 的值．19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况．在一般情况下，隧道内的车流速度v （单位：千米/小时）和车流密度x （单位：辆/千米）满足关系式：⎪⎩⎪⎨⎧≤<--≤<=12020,14060,20050x x kx v ，（R ∈k ）． 研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时．（1）若车流速度v 不小于40千米/小时，求车流密度x 的取值范围；（2）隧道内的车流量y （单位时间内通过隧道的车辆数,单位：辆/小时）满足v x y ⋅=， 求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）．20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆)0(12222>>=+Γb a by a x ：的长轴长为6，且经过点）3,23(Q ．A 为左顶点，B 为下顶点，椭圆上的点P 在第一象限，PA 交y 轴于点C ，PB 交x 轴于点D ．（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）若02=+，求线段AP 的长；（3）试问：四边形ABDC 的面积是否为定值？若是，理由．21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）若项数为k 的有穷数列{}n a 满足：k a a a a <⋅⋅⋅<<<≤3210()3,*≥∈k k N ，且对任意的()1i j i j k ≤≤≤、，j i a a +与i j a a -至少有一个是数列{}n a 中的项，则称数列{}n a 具有性质P ．（1）判断数列8,4,2,1是否具有性质P ，并说明理由；（2）设项数为()*,3k k k ∈≥N 的数列{}n a 具有性质P ，求证：)(2121k k k a a a a ka ++⋅⋅⋅++=-；（3）若项数为()*,3k k k ∈≥N 的数列{}n a 具有性质P ，写出一个当4=k 时，{}n a 不是等差数列的例子，并证明当4>k 时，数列{}n a 是等差数列.嘉定区2020学年高三年级第一次质量调研测试数 学 试 卷考生注意：1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码． 2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分．3．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．已知集合{}4,2,0=A ，()∞+=，0B ，则=B A ____________． 【答案】{}4,2【解析】由题意得，=B A {}4,22．抛物线x y 42=的焦点坐标为____________． 【答案】()0,1【解析】由抛物线性质得，焦点坐标()0,1 3．不等式014≤xx 的解为____________．【答案】22≤≤-x【解析】由240x -≤得，22≤≤-x4．已知复数z 满足()2i 1=⋅+z （i 为虚数单位），则=z ___________． 【答案】2 【解析】由()()()1i 21i 1+i 1+i i 21z -===--得，=z 2 5．已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边经过点)4,3(P ，则=+)2πtan(α____________．【答案】43-【解析】因为终边经过点)4,3(P ，所以4tan 3α==+)2πtan(α3cot 4α-=-6．设函数)12)(1>-=+a ax f x （的反函数为)(1x fy -=，若()121f -=，则=)2(f ____________． 【答案】6【解析】根据反函数定义得，若()121f-=，则(1)2f =所以1122,2aa +-==所以3(2)226f =-=7．设各项均为正数的无穷等比数列{}n a 满足：121321=+=a a a ，，则数列{}n a 2的各项的和为____________． 【答案】32【解析】设等比数列公比为q ，则由121321=+=a a a ，得()21221210a q q q q +=⇒+-= 解得12q =或1q =- 又因为数列{}n a 各项均为正数，所以12q =，即112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭所以数列{}n a 2的各项的和为1221314=-8．在ABC △中，9034A AB AC ∠=︒==，，，将ABC △绕边AC 所在直线旋转一周得到几何体Γ，则Γ的侧面积为____________． 【答案】15π【解析】因为9034A AB AC ∠=︒==，，所以旋转后的圆锥母线的长为5，底面半径为3 所以此面积为5315S ππ=⨯⨯=9．在ABC △中，2,1==AC AB ，CA CB CE 3261+=，则=⋅BC AE ____________． 【答案】21【解析】特殊化ABC △以A 为直角的直角三角形建系得，()()()()0,0,0,1,2,0,,A B C E x y由CA CB CE 3261+=得，11,36x y ==所以=⋅BC AE 21 10．甲和乙等五名志愿者参加进博会A 、B 、C 、D 四个不同的岗位服务，每人一个岗位，每个岗位至少一人，且甲和乙不在同一岗位服务，则共有_______种不同的参加方法（结果用数值表示）． 【答案】216【解析】由题意得，每个岗位至少一人的情况有2454C P 种甲和乙不在同一岗位服务有44P 种所以共有244544216C P P -=种11．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，首项01>a ，公差0<d ，若对任意的*N ∈n ，总存在*N ∈k ，使n k S k S )12(12-=-，则n k 3-的最小值为_____________．【答案】8- 【解析】由题意得n k S k a a k )122))(12121-=+--（（，则得 n kS k a k )122)12-=⋅-（（，即 n k S a =．令2=n 得 2S a k =，即 d a d k a +=-+112)1(（*），即得 da k 12=-． 因为首项01>a ，公差0<d ，则得 021<=-da k ，即 2<k ． 又因为 *N ∈k ，所以 1=k ，代入（*）得1a d -=． 当1a d -=时，由n k S a =得 2)1()1(1111a n n na a k a --=--，即 12)2)(1(+--=n n k ，所以 2292132+-=-n n n k ，即 277292132-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-=-n n k ， 因此当4=n 或5时，n k 3-的最小值为 8-12．已知函数x a x x x f 3||)(+-=．若存在]4,3[-∈a ，使得关于x 的方程)()(a tf x f =有三个不相等的实数根，则实数t 的取值范围是____________． 【答案】⎪⎭⎫ ⎝⎛4849,1 【解析】【法一】由题意得⎪⎩⎪⎨⎧<++-≥-+=ax x a x a x x a x x f ,)3(,,)3()(22，且关于x 的方程at x f 3)(=有三个不相等的实数根． （1）当33≤≤-a 时，2323+≤≤--a a a ，且23023+≤≤--a a ，可知)(x f 在),(∞+-∞上是增函数，此时关于x 的方程at x f 3)(=不可能有三个不相等的实数解；（2）当43≤<a 时，a a a <+<--<23230， 可知)(x f 在区间⎥⎦⎤ ⎝⎛+∞-23,a 、),[∞+a 上分别是 增函数，而在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡+a a ,23上是减函数（如右图所示），当且仅当4)3(332+<<a at a 时，方程at x f 3)(=有三个不相等的实数解．即⎪⎭⎫⎝⎛++=+<<6912112)3(12a a a a t ．令a a a g 9)(+=，则)(a g 在]4,3(∈a 时是增函数，则得425)4()(max ==g a g ． 所以，所求实数t 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛4849,1．【法二】at x a x x 33||=+-33||-=-xata x ①0>at ：由图得0>a3)3(332=++-⇒-=+-at x a x xata x 214312012)3(2++=⇒=-+=∆a a t at a 484921163124=++<∴t at x xat=⇒=-033 48491<<⇒<∴t at a②0<at ：由图得0<a3)3(332=---⇒-=-at x a x xat a x 214312012)3(2+--=⇒=+-=∆a a t at a 121123123=++--<∴t t at a <⇒>∴1，矛盾48491<<∴t 二．选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．已知0≠x ，*N ∈n ，则“2=n ”是“nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1的二项展开式中存在常数项”的（ ）．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件 【答案】A【解析】因为二项式n x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1通项为211(0)n rr r r r nr n n T C x C x r n x --+⎛⎫==≤≤ ⎪⎝⎭所以nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1的二项式展开式中存在常数项2n r n ⇔=⇔为正偶数，因为2n n =⇒为正偶数，n 为正偶数推不出2n =所以“2=n ”是“nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1的二项展开式中存在常数项”的充分非必要条件14．已知R ∈b a 、，且b a >，则下列不等式恒成立的是 （ ）．A ．ba 11< B ．b a ln ln > C ．22b a > D ．b a 22> 【答案】D【解析】由不等式性质得，b a 22>恒成立，故选D15．过双曲线12222=-by a x C ： （0,0>>b a ）的右顶点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于点A ．若以C 的右焦点为圆心、以2为半径的圆经过O A 、两点（O 为坐标原点），则双曲线C 的方程为 （ ）．A ．1322=-y x B ．1322=-y x C ．12222=-y x D ．16222=-y x1A 1D 1C ABD C1B 1A 1D 1C ABDC1B 22 22442424 322+ 322+【答案】B【解析】因为以C 的右焦点为圆心、半径为2的圆经过两点,A O （O 为坐标原点），所以半径2R c ==，圆的标准方程为22(2)4x y -+=因为(,0),,bA a y a b a=⋅=即(,)B a b 则22(2)4a b -+= 即22444a a b -++= 即240,c a -=即44a = 则21,413a b ==-= 则双曲线C 的方程为2213yx -=，故答案选B16．如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，点P 是该正方体棱上一点．若满足m PC PB =+1||（0>m ）的点P 的个数为4，则m 的取值范围是 （ ）．A ．]4,22[B ．]322,4[+C ．]24,4[D ．]24322[，+ 【答案】B【解析】先计算正方体的8个顶点到B 、1C 两点的距离 （如右图所示），则得：（1）当点P 分别在棱1BB 、BC 、1CC 、11C B 上运动时，m 的取值范围是]422[，；（2）当点P 分别在棱11D C 、AB 上运动时，m 的取值范围是]32222[+，；（3）当点P 分别在棱11B A 、CD 上运动时，m 的取值范围是]244[，； （4）当点P 分别在棱11D A 、1DD 、AD 、1AA 上运动时，m 的取值范围是]24322[，+．由几何直观可知，点P 在正方体的每一条棱上运动时，它所在的位置与m 的值是一一对应的，则当m PC PB =+1||（0>m ）的点P 的个数为4时，则m 的取值范围是]322,4[+．ABC1A 1C 1D 1B DABC 1A 1C 1D 1B D三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，正四棱柱1111D C B A ABCD -的底面边长为2，41=D A ．（1）求该正四棱柱的表面积和体积；（2）求异面直线D A 1与AC 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）．【解析】（1）由题意得 322211=-=AD D A AA则该正四棱柱的表面积为31684322222+=⋅⋅+⋅=全S ，体积为 383222=⋅=V ．（2）联结111,DC C A ，则AC ∥11C A ，所以直线D A 1与11C A 所成的角就是异面直线D A 1与AC 所成的角．在11DC A △中，22,321111===C A DC D A , 由余弦定理得1112121121112cos C A D A DC C A D A C DA ⨯⨯-+=∠ 4222424)22(4222=⨯⨯-+=，则得42arccos 11=∠C DA ，所以，异面直线D A 1与AC 所成的角的大小42arccos． 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数)(cos )(x x f ω= （0>ω）的最小正周期为π．（1）求ω的值及函数)()4π(3)(x f x f x g --=，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2π,0x 的值域；（2）在ABC △中，内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，若⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2π,0A ， 21)(-=A f ，ABC △的面积为33，2=-c b ，求a 的值．【解析】（1）因为函数)(cos )(x x f ω=的最小正周期为π，由 π||π2==ωT ，2||=ω， 又因为0>ω，所以2=ω． 此时x x f 2cos )(=，则得 x x x g 2cos 4π2cos 3)(-⎪⎭⎫⎝⎛-=，即 x x x g 2cos 2sin 3)(-=，即)6π2sin(2)(-=x x g ． 当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2π,0x 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-65π,6π6π2x ，[]2,1)6π2sin(2-∈-x ， 所以所求函数的值域为[]2,1-．（2）由题意得 212cos -=A ．因为⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2π,0A ，则得 ()π,02∈A ，所以 32π2=A ，解得 3π=A ． 因为ABC △的面积为33，则得 33sin 21=A bc ，即 333πsin 21=bc ， 即 12=bc ．又因为 2=-c b ，由余弦定理，得 bc c b A bc c b a -+=-+=2222cos 2bc c b +-=2)(41222=+=，所以 4=a ．19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况．在一般情况下，隧道内的车流速度v （单位：千米/小时）和车流密度x （单位：辆/千米）满足关系式：⎪⎩⎪⎨⎧≤<--≤<=12020,14060,20050x x kx v ，（R ∈k ）． 研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时．（1）若车流速度v 不小于40千米/小时，求车流密度x 的取值范围；（2）隧道内的车流量y （单位时间内通过隧道的车辆数,单位：辆/小时）满足v x y ⋅=， 求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）．【解析】（1）由题意知 当120=x （辆/千米）时，0=v （千米/小时），代入 x kv --=14060 得 120140600--=k ，解得 1200=k ，所以 ⎪⎩⎪⎨⎧≤<--≤<=.12020,140120060,20050x x x v ，当200≤<x 时，4050≥=v ，符合题意； 当12020≤<x 时，令 40140120060≥--x，解得 80≤x ，所以 8020≤<x ．综上，800≤<x ．答：若车流速度v 不小于40千米/小时，则车流密度x 的取值范围是]80,20(．（2）由题意得 ⎪⎩⎪⎨⎧≤<--≤<=.12020,140120060,20050x x xx x x y ，当200≤<x 时，x y 50=为增函数，所以10005020=⨯≤y ，等号当且仅当20=x 成立； 当12020≤<x 时，⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--=x x x x x x y 1402060140120060⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+=x x x 1402800)140(2060 ⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=x x 14028002060()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=x x 140280014016060 ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯--≤x x 1402800140216060()74016060-=3250≈，即 3250≤y ，等号当且仅当xx -=-1402800140，即]120,20(87720140∈≈-=x 成立． 综上，y 的最大值约为3250，此时x 约为87．答：隧道内车流量的最大值约为3250辆/小时，此时车流密度约为87辆/千米．20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆)0(12222>>=+Γb a by a x ：的长轴长为6，且经过点）3,23(Q ．A 为左顶点，B 为下顶点，椭圆上的点P 在第一象限，PA 交y 轴于点C ，PB 交x 轴于点D ．（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）若02=+，求线段AP 的长；（3）试问：四边形ABDC 的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【解析】（1）解：由题意得 62=a ，解得 3=a 分把点Q 的坐标代入椭圆C 的方程 12222=+b y a x ，得134922=+b a ，由于 3=a ，解得 2=b ．所以所求的椭圆的标准方程为 14922=+y x ． （2）解：因为02 =+OC OB ， 则得 )1,0(21=-=OB OC ，即)1,0(C ，又因为 )0,3(-A ，所以直线AP 的方程为 )3(31+=x y ．由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=149)3(3122y x x y 解得 ⎩⎨⎧=-=03y x （舍去）或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==15241527y x ，即得 ），（15241527P ．所以 ()151024152431527||22=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=AP ， 即线段AP 的长为151024． （3）【解法一】由题意知，直线PB 的斜率存在，可设直线2-=kx y PB ： （32>k ）． 令0=y ，得)0,2kD （．由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=149,222y x kx y 得 036)94(22=-+kx x k ，解得 0=x （舍去）或29436k k x +=， 所以 2294818kk y +-=，即)94818,9436222k k k k P +-+（． 于是直线AP 的方程为)3(3413694818222+⨯+++-=x k k k k y ，即 )3()233)23(2++-=x k k y （． 令0=x ,得23)23(2+-=k k y ，即⎪⎭⎫⎝⎛+-23)23(2,0k k C ．所以四边形ABDC 的面积等于||||21BC AD ⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=223)23(23221k k k 623122321=+⋅+⋅=k k k k ， 即四边形ABDC 的面积为定值．【解法二】由题意知，设),(00y x P （20,3000<<<<y x ）， 则直线PB 的方程为 )0(2200-+=+x x y y ，即2200-⋅+=x x y y ．令0=y ，得)0,2200+y x D （． 又直线PA 的方程为)3(300++=x x y y ， 令0=x ,得3300+=x y y ，即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+33,000x y C ． 所以四边形ABDC 的面积等于||||21BC AD ⨯⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅=233322210000x y y x )2()3)632(2100200+⋅+++⋅=y x y x （ )2()33636241294210000002020+⋅++++++⋅=y x y x y x y x （ （*） 因为点P 在椭圆Γ上，则得 1492020=+y x ，所以 20204369x y -=，代入（*）得 6)2()3)2()36)2()336362412942100000000002020=+⋅++⋅+=+⋅++++++⋅y x y x y x y x y x y x （（（，即四边形ABDC 的面积为定值．21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）若项数为k 的有穷数列{}n a 满足：k a a a a <⋅⋅⋅<<<≤3210()3,*≥∈k k N ，且对任意的()1i j i j k ≤≤≤、，j i a a +与i j a a -至少有一个是数列{}n a 中的项，则称数列{}n a 具有性质P ．（1）判断数列8,4,2,1是否具有性质P ，并说明理由；（2）设项数为()*,3k k k ∈≥N 的数列{}n a 具有性质P ，求证：)(2121k k k a a a a ka ++⋅⋅⋅++=-；（3）若项数为()*,3k k k ∈≥N 的数列{}n a 具有性质P ，写出一个当4=k 时，{}n a 不是等差数列的例子，并证明当4>k 时，数列{}n a 是等差数列． 【解析】（1）数列8,4,2,1不具有性质P ．因为84210<<<≤，但是514=+、314=-，它们均不是数列8,4,2,1中的项， 所以数列8,4,2,1不具有性质P ．（2）证明：因为M a a k k ∉+，所以M a a k k ∈-，即 M ∈0，所以01=a ． 设k i ≤≤2，因为M a a i k ∉+，所以M a a i k ∈-．则得12210a a a a a a a a a a k k k k k k k k -<-<⋅⋅⋅<-<-<-=--． 因为12310k k a a a a a -≤<<<⋅⋅⋅<<，所以1k k a a a -=，12k k a a a --=，23k k a a a --=，…….，21k k a a a --=，1k k a a a -=， 将上面的式子相加得k k k k k k a a a a a a a a a a ka +⋅⋅⋅+++=++⋅⋅⋅+++----13211221)(，所以 )(2121k k k a a a a ka ++⋅⋅⋅++=-．（3）数列5,4,1,0具有性质P ，但该数列不是等差数列．（答案不惟一）下面证明当4>k ，即5≥k 时，数列{}n a 是等差数列． 由（2）得 01=a ． ①设2i k ≤≤，由（2）知 12210a a a a a a a a a a k k k k k k k k -<-<⋅⋅⋅<-<-<-=--． 因为12310k k a a a a a -≤<<<⋅⋅⋅<<，所以1k k a a a -=，12k k a a a --=，23k k a a a --=，…….，21k k a a a --=，1k k a a a -=， 因此 ()111k k i i a a a i k -+-=≤≤-． (*) ②设23-≤≤k i ，则112k i k k a a a a a --+>+=，所以1k i a a M -+∉，得1k i a a M --∈． 由111213320k k k k k k k a a a a a a a a a ------=-<-<⋅⋅⋅<-<-= 及123320k k a a a a a --≤<<<⋅⋅⋅<<，可得 111k k a a a ---=，122k k a a a ---=，133k k a a a ---=，…….，133k k a a a ---=． 所以 )31(1-≤≤=---k i a a a i i k k ．因为5k ≥，由上知，111k k a a a ---=，且 122k k a a a ---=， 所以111k k a a a ---=，且122k k a a a ---=，所以)11(1-≤≤=---k i a a a i i k k ． (**) 由(*)知 ()111k k i i a a a i k -+-=≤≤-， 两式相减得()1111k k i i a a a a i k -+-=-≤≤-，所以当4>k 时，123,,,,k a a a a ⋅⋅⋅是等差数列．已知实数s t、21 =⎭则实数t的取值范围是s的取值范围是。

2023-2024学年上海嘉定区高三年级第一次质量调研数学试卷(考试时间120分钟，满分150分)一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，前六题每题得4分，后六题每题得5分.1.不等式260x x --<的解集为.2.已知()2,1a = ，()1,2b =- ，则23a b +=.3.函数sin πy x =的最小正周期为.4.已知tan 2α=，则πtan 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭.5.双曲线22145x y -=的离心率为.6.已知事件A 和B 独立，()14P A =,()113P B =,则()P A B = .7.已知实数a 、b 满足6ab =-，则22a b +的最小值为.8.已知()612x +的二项展开式中系数最大的项为．9.关于x 的方程232=x x mx -+有三个不同的实数解，则实数m 的值为.10.已知11个大小相同的球，其中3个是红球，3个是黑球，5个是白球，从中随机取出4个形成一组，其中三种颜色都有的概率为.11.已知复平面上一个动点Z 对应复数z ,若4i 2z -≤,其中i 是虚数单位，则向量OZ扫过的面积为.12.正四棱台1111ABCD A B C D -,3AB =,111A B =,12AA =,M 是11C D 的中点，在直线1AA 、BC 上各取一个点P 、Q ，使得M 、P 、Q 三点共线，则线段PQ 的长度为.二．选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，前两题每题得4分，后两题每题得5分.13.直线倾斜角的取值范围为……（）A.π02⎡⎫⎪⎢⎣⎭， B.π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C.[)0,π D.[]0,π14.两位跳水运动员甲和乙，某次比赛中的得分如下表所示，则正确的选项为……（）第一跳第二跳第三跳第四跳第五跳甲85.59686.475.994.4乙79.58095.794.0586.4A.甲和乙的中位数相等，甲的均分小于乙B.甲的均分大于乙，甲的方差大于乙C.甲的均分大于乙，甲的方差等于乙D.甲的均分大于乙，甲的方差小于乙15.已知等差数列{}n a ，公差为d ，12()f x x a x a =-+-，则下列命题正确的是……（）A.函数()y f x =（x ∈R ）可能是奇函数B.若函数()y f x =（x ∈R ）是偶函数，则0d =C.若0d =，则函数()y f x =（x ∈R ）是偶函数D.若0d ≠，则函数()y f x =（x ∈R ）的图像是轴对称图形16.已知四面体ABCD ,AB BC =,AD CD =.分别对于下列三个条件:①AD BC ⊥；②AC BD =；③2222AB CD AC BD +=+,是AB CD ⊥的充要条件的共有几个……（）A.0B.1C.2D.3三．解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．已知三角形ABC ，1CA CB ⋅=- ，三角形的面积12S =，（1）求角C 的值；（2）若3sin cos 4A A =，求c .18．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2n S n n =+，其中n N ∈,1n ≥.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n H .19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．中国历史悠久，积累了许多房屋建筑的经验.房梁为柱体，或取整根树干而制为圆柱形状，或作适当裁减而制为长方体形状，例如下图所示.（图片引自梁思成《营造法式.注释》卷五）材质确定的梁的承重能力取决于截面形状，现代工程科学常用抗弯截面系数W 来刻画梁的承重能力.对于两个截面积相同的梁，称W 较大的梁的截面形状更好.三种不同截面形状的梁的抗弯截面系数公式，如下表所列，圆形截面正方形截面矩形截面条件r 为圆半径a 为正方形边长h 为矩形的长，b 为矩形的宽，h b>抗弯截面系数31π4W r =3216W a =2316W bh =（1）假设上表中的三种梁的截面面积相等，请问哪一种梁的截面形状最好？并具体说明；（2）宋朝学者李诫在《营造法式》中提出了矩形截面的梁的截面长宽之比应定为3:2的观点.考虑梁取材于圆柱形的树木，设矩形截面的外接圆的直径为常数D ,如下图所示,请问:h b 为何值时，其抗弯截面系数取得最大值，并据此分析李诫的观点是否合理.20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．抛物线24y x =上有一动点(),P s t ，0t >.过点P 作抛物线的切线l ，再过点P 作直线m ，使得m l ⊥，直线m 和抛物线的另一个交点为Q .（1）当1s =时，求切线l 的直线方程；（2）当直线l 与抛物线准线的交点在x 轴上时，求三角形OPQ 的面积（点O 是坐标原点）；（3）求出线段PQ 关于s 的表达式，并求PQ 的最小值.21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．已知()e x x f x =，()ln xg x x=.（1）求函数()y f x =、()y g x =的单调区间和极值；（2）请严格证明曲线()y f x =、()y g x =有唯一交点；（3）对于常数10,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若直线y a =和曲线()y f x =、()y g x =共有三个不同交点()1,x a 、()2,x a 、()3,x a ，其中123x x x <<，求证：1x 、2x 、3x 成等比数列.2023-2024学年第一学期高三年级质量调研数学参考答案一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，前六题每题得4分，后六题每题得5分.(1)()2,3-(2)()1,8(3)2(4)12-(5)32(6)152(7)12(8)4240x (9)3-(10)611(11)83(12)275二．选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，前两题每题得4分，后两题每题得5分.(13)C(14)B(15)D(16)C三．解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．解（1）1cos 1CA CB ab C ⋅=-⇒=-，1sin 12S ab C =⇒=，两式相除得：tan 1C =-，所以3π4C =.(2)sin cos sin 222A A A =⇒=，所以π6A =或π3(舍)，所以π6A =所以π12B =，62sin 4B =由正弦定理得，sin sin a c C A =，sin sin b c C B=,所以22sin sin sin abc C A B=,由（1）ab =，所以22c =即c =18．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分.解(1)()()221112n n S n n S n n n -=+⇒=-+-≥()122n n n a S S n n -=-=≥，又112a S ==，所以2n a n =.(2)1111141n n a a n n +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，所以n H 111111142231n n ⎛⎫=-+-- ⎪+⎝⎭+……+，所以()1114141n nH n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭=.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．解：(1)假设截面面积均为正常数S，31π=44S W r r ===，321666S W a a ===，23166S W bh h ==，所以326W W =>==，又因为3<π，所以，所以21W W >，综上，321W W W >>，于是矩形截面的梁的截面形状最好.(2)()()322223110666b D b W bh b D b b -+==-=>,导函数22336b D W -+'=，所以当b =时，3W 取到最大值，此时h =: 2.83:2h b =≈，:3:2h b =的结论与抗弯系数理论的结论不同，但比较接近，是合理的，应肯定李诫从实践中总结的经验的实用价值.20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．解（1）因为0st >，所以(),P s t在曲线y =y '=l，所以l的直线方程为)y x s -=-，将1s =代入，则l 的直线方程为1y x =+.(2)设()22,Q x y ，将()1,0-代入方程)y x s -=-，得1s =，而直线m的方程为)y x s -=-，将1s =代入，则直线m 的方程为3y x =-+，联立24y x =，则24120y y +-=，由韦达定理得124y y +=-，而12y t ===，所以26y =-，所以三角形OPQ 的面积()1326122S =⋅⋅--=⎡⎤⎣⎦.(3)设()22,Q x y，)y x s -=-联立方程24y x =，得2840y y s +--=，因为t =，所以2y =-,所以244x s s=++，因为(,P s,44,Q s s ⎛++- ⎝,所以()322116s PQ s +=.对于2133231s u s s s -+==+，55233321213332s u s s s ---⎛⎫'=-+=-- ⎪⎝⎭，因为2s =，0u '=；02s <<，0u '<；2s >，0u '>，所以2133min 22u -=+，2316=PQ u ，()213332min 131622163210842=PQ -⎛⎫+=+++= ⎪⎝⎭，min PQ =.21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．解（1）对于()y f x =，()1xx f x e -'=，对于()y g x =，()21ln xg x x -'=，严格增区间(],1-∞；严格减区间[)1+∞，；严格增区间(]0e ，；严格减区间[)e +∞，；1x <1x =1x >()0f x '>()0f x '=()0f x '>极大值0e x <<e x =e x >()0g x '>()0g x '=()0g x '>极大值极大值为1e极大值为1e（2）对于函数()()y f x g x =-，()0,x ∈+∞，设()()()h x f x g x =-，()211ln e x x xh x x--'=-，当[]1,e x ∈时，()0h x '<，严格递减，()()111110e h h e e e e -⎛⎫=⋅-< ⎪⎝⎭，存在一个零点0x ；当()0,1x ∈时，()0f x >，()0g x <，()()()0h x f x g x =->，无零点；当()e,+x ∈∞时，由（1）得1()e g x <，ln 1xx<，所以1ln x x e <<<，所以()()ln ()f x f x g x <=，所以()()()0h x f x g x =-<，无零点；综上所述，曲线()y f x =、()y g x =有唯一交点，且横坐标()01,x e ∈.(3)因为()y f x =在()0,1上严格单调递增，值域为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以y a =和()y f x =在()0,1x ∈上有一个交点，同理y a =和()y f x =在()1,+∞上有另一个交点；因为()y g x =在()1,e 上严格单调递增，值域为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以y a =和()y g x =在()1,e 上有一个交点，同理y a =和()y g x =在(),e +∞上有另一个交点，由题意，共有三个不同交点，则上述四个交点中有两个重合，于是y a =和()y f x =交点横坐标为1x 、2x ，y a =和()y g x =交点横坐标为2x 、3x ，其中()10,1x ∈，()21,x e ∈，()3,x e ∈+∞，由题意12312223ln ln x x x x x x e e x x ===，而222ln 2ln ln x x x x e=，因为()10,1x ∈、()2ln 0,1x ∈，又因为()y f x =在()0,1上严格单调递增，所以12ln x x =即12x x e =，同理23ln x x =，综上，113322ln x x x e x x x ==，所以1x 、2x 、3x 成等比数列.。

嘉定区2010学年高三年级第一次质量调研 数学试卷（文）参考答案与评分标准一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．答案：1．因i a a ai i )1(1)1)(1(-++=-+是实数，所以=a 1． 2．答案：]2,0[．由022≥-x x ，得022≤-x x ，所以]2,0[∈x ． 3．答案：1．112+=a a ，314+=a a ，由已知得4122a a a =，即)3()1(1121+=+a a a ，解得11=a ． 4．答案：257-．由532sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+θπ，得53cos =θ，所以2571cos 22cos 2-=-=θθ．5．答案：2-．解法一：函数x x f -=)(的反函数为21)(x x f =-（0≤x ），由4)(1=-x f 得42=x ，因为0<x ，故2-=x ．解法二：由4)(1=-x f ，得2)4(-==f x ．6．答案：5arctan ．因为BC ∥AD ，所以BC D 1∠就是异面直线1BD 与AD 所成的角，连结C D 1，在直角三角形BC D 1中，0190=∠BCD ，1=BC ，51=C D ，所以5tan 11==∠BCCD BC D ． 7．答案：3π（或060）． 设a 与b 的夹角为θ，由2)(=+⋅b a a ，得22=⋅+b a a ，即2cos 21=+θ，21cos =θ．8．答案：2．9)21(x -展开式的第3项为288)2(2293=-=x C T ，解得23=x ，所以232132132lim 323232lim 111lim 22=-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→∞→∞→nn nn n n x x x ．9．答案：1．三阶行列式xa x 1214532+中元素3的余子式为xa x x f 21)(+=，由0)(<x f 得022<-+ax x ，由题意得a b -=+-1，所以1=+b a ． 10．答案：16．1=a ，满足3≤a ，于是4211==+b ；2=a ，满足3≤a ，8212==+b ；3=a ，满足3≤a ，则16213==+b ；4=a ，不满足3≤a ，则输出b ，16=b ．11．答案：21．21210105)(3101337===C C C A P ． 12．答案：32π．由题意，61cos 2>θ且21sin 2>θ，⎩⎨⎧==+2cos 34ab b a θ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅-=+2111sin 211a b a b θ，所以θθsin 2cos 32-=，3tan -=θ，因⎪⎭⎫⎝⎛∈ππθ,2，32πθ=．13．答案：1±．因为)(x f 是奇函数，所以0)()(=-+x f x f ，即0212212=⋅+-+⋅+---xxx x k k k k ， 0212212=+-⋅+⋅+-x x x x k k k k ，0)2)(21()12)(1(22=+⋅++-xx x k k k ，所以12=k ，1±=k ． 14．答案：100．])1[()1()1()1()1()1()(22221n n n n n f n f a n n n n -+-=+⋅-+⋅-=++=-，)12()1(+-=n n ，所以201)199(9)7(5)3(100321+-+++-++-=++++ a a a a 100502=⨯=．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．C ．16．A ．17．D ．18．B ．15．因为A 、B 是三角形内角，所以A 、),0(π∈B ，在),0(π上，x y cos =是减函数． 16．①错．不在同一直线上的三点才能确定一个平面；②错．四边相等的四边形也可以是空间四边形；③错．如果三棱锥的底面是等边三角形，一条侧棱垂直于底面且长度等于底面边长，则三个侧面都是等腰三角形；④错．若这两点是球的直径的两个端点，过这两点可作无数个大圆．17．作出函数xy 2=与2x y =，可发现两函数图像在第二象限有一个交点，在第一象限有两个交点（第一象限的两个交点是)4,2(和)16,4(）． 18．若取1x 、2x 为区间]4,2[的两个`端点，则22)()(21=x f x f ．若22>C ，取21=x ，2)(1=x f ，对任意]4,2[2∈x ，4)(2≤x f ，于是22)(2)()(221≤=x f x f x f ；若22<C ，取41=x ，4)(1=x f ，对任意]4,2[2∈x ，2)(2≥x f ，于是22)(4)()(221≥=x f x f x f ．所以22=C ．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）解：设半圆的半径为r ，在△ABC 中，090=∠ACB ，030=∠ABC ，3=BC ， 连结OM ，则AB OM ⊥，……（2分） 设r OM =，则r OB 2=，…………（4分） 因为OB OC BC +=，所以r BC 3=，即33=r ．………………（6分）130tan 0=⋅=BC AC ．阴影部分绕直线BC 旋转一周所得旋转体为底面半径1=AC ，高3=BC 的圆锥中间挖掉一个半径33=r 的球．………………（8分） 所以，圆锥V V =球V -πππ27353334313132=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅-⋅⋅⋅=．…………（12分） 20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．解：（1）由a ∥b的充要条件知，存在非零实数λ，使得a b ⋅=λ， 即⎩⎨⎧=⋅=λλx x cos sin 1，所以1cos sin =x x ，212sin =x ，…………（3分）6)1(2ππ⋅-+=k k x ，Z k ∈．所以x 的集合是⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⋅-+=Z k k x x k ,12)1(2ππ．………………（6分）（也可写成⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x Z k k x x ,125,12ππππ ） （2）2)cos (sin 2cos sin )1(cos )1(sin ||)(22222++++=+++=+=x x x x x x b a x f3)cos (sin 2++=x x 34sin 22+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πx ，…………（9分）因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,2ππx ，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈+43,44πππx ，……（10分） 所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+1,224sin πx ，……………（12分） 所以函数)(x f 的值域为]223,1[+．………………（14分）21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 解：（1）由已知，当0=x 时，8)(=x C ，即85=k，所以40=k ，……（1分） 所以5340)(+=x x C ，…………（2分）又加装隔热层的费用为x x C 6)(1=．所以5380066534020)()(20)(1++=++⨯=+⋅=x x x x x C x C x f ，…………（5分） )(x f 定义域为]10,0[．…………（6分）（2）10380062103538003563538006538006)(-⨯≥-⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=x x x x x x x f70=，…………（10分）当且仅当⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+353800356x x ，18800352=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x ，32035=+x ，即5=x 时取等号．…………（13分） 所以当隔热层加装厚度为5厘米时，总费用)(x f 最小．最小总费用为70万元．…（14分）22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分6分．解：（1）1=m 时，1)(2+=x x f ，因为01=a ，所以1)0()(12===f a f a ，2)(23==a f a ，5)(34==a f a ．…………（3分，每求对一项得1分）（2）m x x f +=2)(，则m a =2，m m a +=23，m m m m m m m a +++=++=2342242)(，…………（5分） 如果2a ，3a ，4a 成等差数列，则)()2(22342m m m m m m m m m +-+++=-+，02234=-+m m m ，……（6分） 若0=m ，则0432===a a a ，不合题意，故0≠m ．所以，0122=-+m m ，所以21282±-=±-=m ．…………（8分） 当21+-=m 时，公差==-+=-=2223m m m m a a d 223-，…………（9分） 当21--=m 时，公差2232+==m d ．………………（10分） （3）11=b ，n n n b m m b b 22)(21=-+=+，…………（12分）所以}{n b 是首项为1，公比为2的等比数列，12-=n n b ，…………（13分）201012>-=n n S ，20112>n ，10>n ．…………（15分）所以，使2010>n S 成立的最小正整数n 的值为11．…………（16分）23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分7分．23．解：（1）设),(y x P 为图像2C 上任意一点，P 关于点A 对称的点为),(y x P '''，则12='+x x ，22='+y y ，于是x x -='2，y y -='4，…………（2分） 因为),(y x P '''在1C 上，所以x a x y '+'='，即x a x y -+-=-224，22-++=x ax y ．所以22)(-++=x ax x g ．…………（5分） （2）由a x g =)(得a x ax =-++22，整理得0)43(2=-+-a ax x ① ………（7分）若2=x 是方程①的解，则0=a ，此时方程①有两个实数解2=x 和2-=x ，原方程有且仅有一个实数解2-=x ；…………（8分）若2=x 不是方程①的解，则由△016122=+-=a a ，解得526±=a ．……（9分） 所以，当0=a 时，方程的解为2-=x ； …………（10分） 当=a 526+时，方程的解为53+=x ； …………（11分）当=a 526-时，方程的解为53-=x ． …………（12分） （3）设1x 、),2[2∞+∈x ，且21x x <，因为函数)(x f 在区间),2[∞+上是增函数，所以0)()(12>-x f x f ．……（14分）0)()()()(212112212112112212>-⋅-=-+-=--+=-x x a x x x x x x x x a x x x ax x a x x f x f ， 因为012>-x x ，021>x x ，所以021>-a x x ，即21x x a <，…………（16分） 而421>x x ，所以4≤a ． …………（17分） 因此a 的取值范围是]4,(-∞．…………（18分）。

2021学年嘉定区高三年级第一次质量调研数学试卷考生注意：1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码．2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分．3．本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟．1．设i 是虚数单位，则=-+iii 123__________． 2．函数xx y -+-=21)1lg(的定义域是________________． 3．已知直线l 垂直于直线0532=+-y x ，则直线l 的一个法向量=n___________． 4．已知24=a ，a x =lg ，则=x ____________．5．为了解300名学生的视力情况，采用系统抽样的方法从中抽取容量为20的样本，则分段的间隔为______________．6．若椭圆122=+y mx 的一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则=m __________． 7．若圆锥的侧面积是底面积的4倍，则其母线与轴所成角的大小是____________（结果用反三角函数值表示）． 8．将函数xx x f 2sin 12cos 3)(=的图像向左平移m （0>m ）个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则m 的最小值为______________．9．设无穷等比数列}{n a 的公比为q ．若1242)(lim a a a a n n =+++∞→ ，则=q ________．10．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知A c C a cos 2cos 3=，31tan =A ，则=B ___________． 11．甲、乙、丙三位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率是___________．12．设正数a 、b 满足ab b a =+32，则b a +的最小值是____________．13．若函数)(x f 满足：①在定义域D 内是单调函数；②存在D b a ⊆],[（b a <），使)(x f 在],[b a 上的值域为],[a b --，那么)(x f y =叫做对称函数．现有k x x f --=1)(是对称函数，则实数k 的取值范围是_______________．14．设数列}{n a 是等差数列，其首项11=a ，公差0<d ，}{n a 的前n 项和为n S ，且对任意n *N ∈，总存在m *N ∈，使得m n a S =．则=d _________．15．“10<<x ”是“1)1(log 2<+x ”的…………………………………………………（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件16．设a 、b 是关于t 的方程0sin cos 2=-θθt t 的两个不相等实根，则过),(2a a A 、),(2b b B 两点的直线与双曲线1sin cos 2222=-θθy x 的公共点个数是…………………（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．017．定义在区间),1[∞+上的函数)(x f 满足：①)(2)2(x f x f =；②当42≤≤x 时，|3|1)(--=x x f ，则集合)}34()({f x f x S ==中的最小元素是……………………（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．818．如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点， 角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在],0[π上的图像大致为………………………………………………………（ ）A ．B ．C ．D ．19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分满分7分．O AMP已知R ∈x ，向量)cos ,2(sin x x a =，)cos 2,1(x b = ，b a x f ⋅=)(．（1）求)(x f 的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，12cos 4cos 5242+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛απααf ，求ααsin cos -的值．20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，︒=∠90BAC ，21===AA AC AB ，点E 、F 分别为棱AC 与11B A 的中点．（1）求三棱锥11EFC A -的体积；（2）求异面直线C A 1与EF 所成角的大小．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知点)2,0(-A ，椭圆E ：12222=+by a x （0>>b a ）的长轴长为4，F 是椭圆的右焦点，直线AF 的一个方向向量为)2,3(=d，O 为坐标原点．（1）求椭圆E 的方程；（2）设过点A 的动直线l 与椭圆E 相交于P 、Q 两点，当△OPQ 的面积S 最大时，求l 的方程． 22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．已知函数xxk x f -⋅+=22)(（R ∈x ）．F C AE B A 1C 1B 1（1）判断函数)(x f 的奇偶性，并说明理由；（2）设0>k ，问函数)(x f 的图像是否关于某直线m x =成轴对称图形，如果是，求出m 的值；如果不是，请说明理由；（可利用真命题：“函数)(x g 的图像关于某直线m x =成轴对称图形”的充要条件为“函数)(x m g +是偶函数”）（3）设1-=k ，函数a a x h x x 3422)(1--⋅=-，若函数)(x f 与)(x h 的图像有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围． 23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知数列}{n a 、}{n b 的各项均为正数，且对任意*N ∈n ，都有n a ，n b ，1+n a 成等差数列，n b ，1+n a ，1+n b 成等比数列，且101=a ，152=a ．（1）求证：数列}{n b 是等差数列； （2）求数列}{n a 、}{n b 的通项公式； （3）设n n a a a S 11121+++=，如果对任意*N ∈n ，不等式nn n a b S a -<⋅22恒成立，求实数a 的取值范围．2014学年嘉定区高三年级第一次质量调研数学试卷参考答案与评分标准一．填空题（每题4分，满分56分）1．1- 2．)2,1( 3．)2,3( 4．105．15 6．21 7．41arcsin 8．3π9．215- 10．43π 11．4312．625+ 13．⎪⎭⎫⎢⎣⎡45,1 14．1-第14题详解：d n n n d n n na S n 2)1(2)1(1-+=-+=，因为对任意*N ∈n ，存在*N ∈m ，使得m n a S =，即d m d n n n )1(12)1(-+=-+，取2=n ，得d m d )1(1-=+，d m 12+=， 因为0<d ，所以2<m ，故1=m ，1-=d ．二．选择题（每题5分，满分20分）15．A 16．D 17．C 18．B三．解答题（本大题满分74分）注：解答题评分标准所给的是各步骤的累加分，与参考答案不同的解法可酌情给分． 19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分满分7分． （1）142sin 212cos 2sin cos 22sin )(2+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=+=πx x x x x x f ，……（2分）由224222πππππ+≤+≤-k x k （Z ∈k ）， …………（4分）得)(x f 的单调递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-8,83ππππk k （Z ∈k ）． …………（5分） （2）由已知得，12cos 4cos 52414sin 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎭⎫⎝⎛+απαπα，…………（2分） 即απαπα2cos 4cos 544sin ⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+， ………………（3分） 所以，)sin )(cos sin )(cos sin (cos 54cos sin αααααααα+--=+，………（4分）若0cos sin =+αα，则1tan -=α，所以2sin cos -=-αα；……………（5分）若0cos sin ≠+αα，则1)sin (cos 542=-αα，25sin cos -=-αα．…………（6分）综上，ααsin cos -的值为2-或25-． …………（7分）（分类得到2个答案，不写最后一步可不扣分）20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分． （1）3221313111111111111=⋅⋅⋅⋅=⋅==∆--AA F A C A AA S V V FC A FC A E EFC A ． ……（5分） （参考答案只给出最后结果，如果结果错误，可视中间步骤适当给分）（2）取1AA 中点G ，联结EG ，FG ，则EG ∥C A 1， ………（1分） 所以，FEG ∠是异面直线C A 1与EF 所成的角（或其补角）， …………（2分） 在△EFG 中，2==FG EG ，6=EF ， ………………………（4分） 所以，232cos 222=⋅⋅-+=∠EG EF FG EF EG FEG ，故6π=∠FEG ． ……（6分）所以，异面直线C A 1与EF 所成角的大小为6π． ………………………（7分）21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． （1）设)0,(c F ，直线AF 的点方向式方程为223+=y x ， ………………（2分）令0=y ，得3=x ，即3=c ， ………………………………………（3分）由已知，2=a ，所以1222=-=c a b ． ………………………………………（5分）所以椭圆E 的方程为1422=+y x ． ………………………………………（6分） （2）由题意，设直线l 的方程为2-=kx y ，将2-=kx y 代入1422=+y x ，得01216)14(22=+-+kx x k ， …………（1分） 当△0)34(162>-=k ，即432>k 时，直线l 与椭圆E 相交， ……………（2分）设),(11y x P ，),(22y x Q ，则1416221+=+k k x x ，1412221+=k x x ， ………（3分） 所以]4))[(1())(1()()(||2122122212221221x x x x k x x k y y x x PQ -++=-+=-+-=34141414481416)1(2222222-⋅++=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅+=k k k k k k k ， 又点O 到直线l 的距离122+=k d ，所以△OPQ 的面积14344||2122+-=⋅=k k d PQ S ． 设t k =-342，则0>t ，tt t t S 44442+=+=， ………………（5分） 因为44≥+tt ，所以1≤S ，当且仅当2=t ，即27±=k 时，S 取最大值1．……（7分）所以，当△OPQ 的面积S 最大时，直线l 的方程为227-±=x y ． ……………（8分） （直线方程用其他形式也可以）小题满分8分． （1）x xk x f 22)(⋅+=--，若)(x f 是偶函数，则)()(x f x f =-，即x x x x k k --⋅+=⋅+2222， …………（1分） 所以0)22)(1(=---xxk 对任意实数x 成立，所以1=k ； …………………（2分） 若)(x f 是奇函数，则)()(x f x f -=-，即x x x x k k --⋅--=⋅+2222，………（3分） 所以0)22)(1(=++-xxk 对任意实数x 成立，所以1-=k 。