2015年上海市高考数学试卷文科学生版

2015年上海市高考数学试卷（文科）一、填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律零分）1．（4分）函数f（x）=1﹣3sin2x的最小正周期为．2．（4分）设全集U=R，若集合A={1，2，3，4}，B={x|2≤x≤3}，则A∩B=．3．（4分）若复数z满足3z+=1+i，其中i是虚数单位，则z=．4．（4分）设f﹣1（x）为f（x）=的反函数，则f﹣1（2）=．5．（4分）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣c2=．6．（4分）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a=．7．（4分）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p=．8．（4分）方程log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2的解为．9．（4分）若x，y满足，则目标函数z=x+2y的最大值为．10．（4分）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）．11．（4分）在（2x+）6的二项式中，常数项等于（结果用数值表示）．12．（4分）已知双曲线C1、C2的顶点重合，C1的方程为﹣y2=1，若C2的一条渐近线的斜率是C1的一条渐近线的斜率的2倍，则C2的方程为．13．（4分）已知平面向量、、满足⊥，且||，||，||}={1，2，3}，则|++|的最大值是．14．（4分）已知函数f（x）=sinx．若存在x1，x2，…，x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m ≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|=12（m ≥2，m∈N*），则m的最小值为．二、选择题（本大题共4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律零分.15．（5分）设z1、z2∈C，则“z1、z2均为实数”是“z1﹣z2是实数”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件16．（5分）下列不等式中，与不等式＜2解集相同的是（）A．（x+8）（x2+2x+3）＜2 B．x+8＜2（x2+2x+3）C．＜D．＞17．（5分）已知点A的坐标为（4，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为（）A．B．C．D．18．（5分）设P n（x n，y n）是直线2x﹣y=（n∈N*）与圆x2+y2=2在第一象限的交点，则极限=（）A．﹣1 B．﹣ C．1 D．2三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）如图，圆锥的顶点为P，底面圆为O，底面的一条直径为AB，C为半圆弧的中点，E为劣弧的中点，已知PO=2，OA=1，求三棱锥P﹣AOC的体积，并求异面直线PA和OE所成角的大小．20．（14分）已知函数f（x）=ax2+，其中a为常数（1）根据a的不同取值，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若a∈（1，3），判断函数f（x）在[1，2]上的单调性，并说明理由．21．（14分）如图，O，P，Q三地有直道相通，OP=3千米，PQ=4千米，OQ=5千米，现甲、乙两警员同时从O地出发匀速前往Q地，经过t小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）．甲的路线是OQ，速度为5千米/小时，乙的路线是OPQ，速度为8千米/小时，乙到达Q地后在原地等待．设t=t1时乙到达P地，t=t2时乙到达Q地．（1）求t1与f（t1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米，当t1≤t≤t2时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在[t1，t2]上的最大值是否超过3？说明理由．22．（16分）已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别与椭圆交于点A、B和C、D，记△AOC的面积为S．（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=|；（2）设l1：y=kx，，S=，求k的值；（3）设l1与l2的斜率之积为m，求m的值，使得无论l1和l2如何变动，面积S 保持不变．23．（18分）已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n），n∈N*．（1）若b n=3n+5，且a1=1，求{a n}的通项公式；（2）设{a n}的第n0项是最大项，即a n0≥a n（n∈N*），求证：{b n}的第n0项是最大项；（3）设a1=3λ＜0，b n=λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得对任意m，n∈N*，a n≠0，且．2015年上海市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律零分）1．（4分）函数f（x）=1﹣3sin2x的最小正周期为π．【分析】由条件利用半角公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性求得函数的最小正周期．【解答】解：∵函数f（x）=1﹣3sin2x=1﹣3=﹣+cos2x，∴函数的最小正周期为=π，故答案为：π．【点评】本题主要考查半角公式的应用，余弦函数的周期性，属于基础题．2．（4分）设全集U=R，若集合A={1，2，3，4}，B={x|2≤x≤3}，则A∩B={2，3} ．【分析】由A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：∵全集U=R，A={1，2，3，4}，B={x|2≤x≤3}，∴A∩B={2，3}，故答案为：{2，3}【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．（4分）若复数z满足3z+=1+i，其中i是虚数单位，则z=．【分析】设z=a+bi，则=a﹣bi（a，b∈R），利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解：设z=a+bi，则=a﹣bi（a，b∈R），又3z+=1+i，∴3（a+bi）+（a﹣bi）=1+i，化为4a+2bi=1+i，∴4a=1，2b=1，解得a=，b=．∴z=．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等，属于基础题．4．（4分）设f﹣1（x）为f（x）=的反函数，则f﹣1（2）=﹣．【分析】由原函数解析式把x用含有y的代数式表示，x，y互换求出原函数的反函数，则f﹣1（2）可求．【解答】解：由y=f（x）=，得，x，y互换可得，，即f﹣1（x）=．∴．故答案为：．【点评】本题考查了函数的反函数的求法，是基础的计算题．5．（4分）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣c2=16．【分析】根据增广矩阵的定义得到，是方程组的解，解方程组即可．【解答】解：由题意知，是方程组的解，即，则c1﹣c2=21﹣5=16，故答案为：16．【点评】本题主要考查增广矩阵的求解，根据条件建立方程组关系是解决本题的关键．6．（4分）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a=4．【分析】由题意可得（•a•a•sin60°）•a=16，由此求得a的值．【解答】解：由题意可得，正棱柱的底面是变长等于a的等边三角形，面积为•a•a•sin60°，正棱柱的高为a，∴（•a•a•sin60°）•a=16，∴a=4，故答案为：4．【点评】本题主要考查正棱柱的定义以及体积公式，属于基础题．7．（4分）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p= 2．【分析】利用抛物线的顶点到焦点的距离最小，即可得出结论．【解答】解：因为抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，所以=1，所以p=2．故答案为：2．【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．8．（4分）方程log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2的解为2．【分析】利用对数的运算性质化为指数类型方程，解出并验证即可．【解答】解：∵log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2，∴log2（9x﹣1﹣5）=log2[4×（3x﹣1﹣2）]，∴9x﹣1﹣5=4（3x﹣1﹣2），化为（3x）2﹣12•3x+27=0，因式分解为：（3x﹣3）（3x﹣9）=0，∴3x=3，3x=9，解得x=1或2．经过验证：x=1不满足条件，舍去．∴x=2．故答案为：2．【点评】本题考查了对数的运算性质及指数运算性质及其方程的解法，考查了计算能力，属于基础题．9．（4分）若x，y满足，则目标函数z=x+2y的最大值为3．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+2y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点B时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即B（1，1），代入目标函数z=x+2y得z=2×1+1=3故答案为：3．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．10．（4分）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为120（结果用数值表示）．【分析】根据题意，运用排除法分析，先在9名老师中选取5人，参加义务献血，由组合数公式可得其选法数目，再排除其中只有女教师的情况；即可得答案．【解答】解：根据题意，报名的有3名男老师和6名女教师，共9名老师，在9名老师中选取5人，参加义务献血，有C95=126种；其中只有女教师的有C65=6种情况；则男、女教师都有的选取方式的种数为126﹣6=120种；故答案为：120．【点评】本题考查排列、组合的运用，本题适宜用排除法（间接法），可以避免分类讨论，简化计算．11．（4分）在（2x+）6的二项式中，常数项等于240（结果用数值表示）．【分析】写出二项展开式的通项，由x的指数为0求得r值，则答案可求．【解答】解：由（2x+）6，得=．由6﹣3r=0，得r=2．∴常数项等于．故答案为：240．【点评】本题考查了二项式系数的性质，关键是对二项展开式通项的记忆与运用，是基础题．12．（4分）已知双曲线C1、C2的顶点重合，C1的方程为﹣y2=1，若C2的一条渐近线的斜率是C1的一条渐近线的斜率的2倍，则C2的方程为．【分析】求出C1的一条渐近线的斜率，可得C2的一条渐近线的斜率，利用双曲线C1、C2的顶点重合，可得C2的方程．【解答】解：C1的方程为﹣y2=1，一条渐近线的方程为y=，因为C2的一条渐近线的斜率是C1的一条渐近线的斜率的2倍，所以C2的一条渐近线的方程为y=x，因为双曲线C1、C2的顶点重合，所以C2的方程为．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．13．（4分）已知平面向量、、满足⊥，且||，||，||}={1，2，3}，则|++|的最大值是3+．【分析】分别以所在的直线为x，y轴建立直角坐标系，分类讨论：当{||，||}={1，2}，||=3，设，则x2+y2=9，则++=（1+x，2+y），有||=的最大值，其几何意义是圆x2+y2=9上点（x，y）与定点（﹣1，﹣2）的距离的最大值；其他情况同理，然后求出各种情况的最大值进行比较即可．【解答】解：分别以所在的直线为x，y轴建立直角坐标系，①当{||，||}={1，2}，||=3，则，设，则x2+y2=9，∴++=（1+x，2+y），∴||=的最大值，其几何意义是圆x2+y2=9上点（x，y）与定点（﹣1，﹣2）的距离的最大值为=3+；②且{||，||}={1，3}，||=2，则，x2+y2=4，∴++=（1+x，3+y）∴||=的最大值，其几何意义是圆x2+y2=4上点（x，y）与定点（﹣1，﹣3）的距离的最大值为2+=2+，③{||，||}={2，3}，||=1，则，设，则x2+y2=1∴++=（2+x，3+y）∴||=的最大值，其几何意义是在圆x2+y2=1上取点（x，y）与定点（﹣2，﹣3）的距离的最大值为1+=1+∵，故|++|的最大值为3+．故答案为：3+【点评】本题主要考查了向量的模的求解，解题的关键是圆的性质的应用：在圆外取一点，使得其到圆上点的距离的最大值：r+d（r为该圆的半径，d为该点与圆心的距离）．14．（4分）已知函数f（x）=sinx．若存在x1，x2，…，x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m ≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|=12（m ≥2，m∈N*），则m的最小值为8．【分析】由正弦函数的有界性可得，对任意x i，x j（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f（x）max﹣f（x）min=2，要使m取得最小值，尽可能多让x i （i=1，2，3，…，m）取得最高点，然后作图可得满足条件的最小m值．【解答】解：∵y=sinx对任意x i，x j（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f（x）max﹣f（x）min=2，要使m取得最小值，尽可能多让x i（i=1，2，3，…，m）取得最高点，考虑0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π，|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|=12，按下图取值即可满足条件，∴m的最小值为8．故答案为：8．【点评】本题考查正弦函数的图象和性质，考查分析问题和解决问题的能力，考查数学转化思想方法，正确理解对任意x i，x j（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f（x）max﹣f（x）min=2是解答该题的关键，是难题．二、选择题（本大题共4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律零分.15．（5分）设z1、z2∈C，则“z1、z2均为实数”是“z1﹣z2是实数”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合复数的有关概念进行判断即可．【解答】解：若z1、z2均为实数，则z1﹣z2是实数，即充分性成立，当z1=i，z2=i，满足z1﹣z2=0是实数，但z1、z2均为实数不成立，即必要性不成立，故“z1、z2均为实数”是“z1﹣z2是实数”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据复数的有关概念是解决本题的关键．16．（5分）下列不等式中，与不等式＜2解集相同的是（）A．（x+8）（x2+2x+3）＜2 B．x+8＜2（x2+2x+3）C．＜D．＞【分析】根据x2+2x+3=（x+1）2+2＞0，可得不等式＜2，等价于x+8＜2（x2+2x+3），从而得出结论．【解答】解：由于x2+2x+3=（x+1）2+2＞0，不等式＜2，等价于x+8＜2（x2+2x+3），故选：B．【点评】本题主要考查不等式的基本性质的应用，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．17．（5分）已知点A的坐标为（4，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为（）A．B．C．D．【分析】根据三角函数的定义，求出∠xOA的三角函数值，利用两角和差的正弦公式进行求解即可．【解答】解：∵点A的坐标为（4，1），∴设∠xOA=θ，则sinθ==，c osθ==，将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则OB的倾斜角为θ+，则|OB|=|OA|=，则点B的纵坐标为y=|OB|sin（θ+）=7（sinθcos+cosθsin）=7（×+）=+6=，故选：D．【点评】本题主要考查三角函数值的计算，根据三角函数的定义以及两角和差的正弦公式是解决本题的关键．18．（5分）设P n（x n，y n）是直线2x﹣y=（n∈N*）与圆x2+y2=2在第一象限的交点，则极限=（）A．﹣1 B．﹣ C．1 D．2【分析】当n→+∞时，直线2x﹣y=趋近于2x﹣y=1，与圆x2+y2=2在第一象限的交点无限靠近（1，1），利用圆的切线的斜率、斜率计算公式即可得出．【解答】解：当n→+∞时，直线2x﹣y=趋近于2x﹣y=1，与圆x2+y2=2在第一象限的交点无限靠近（1，1），而可看作点P n（x n，y n）与（1，1）连线的斜率，其值会无限接近圆x2+y2=2在点（1，1）处的切线的斜率，其斜率为﹣1．∴=﹣1．故选：A．【点评】本题考查了极限思想、圆的切线的斜率、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）如图，圆锥的顶点为P，底面圆为O，底面的一条直径为AB，C为半圆弧的中点，E为劣弧的中点，已知PO=2，OA=1，求三棱锥P﹣AOC的体积，并求异面直线PA和OE所成角的大小．【分析】由条件便知PO为三棱锥P﹣AOC的高，底面积S又容易得到，从而△AOC带入棱锥的体积公式即可得到该三棱锥的体积．根据条件能够得到OE∥AC，从而找到异面直线PA，OE所成角为∠PAC，可取AC中点H，连接PH，便得到PH ⊥AC，从而可在Rt△PAH中求出cos∠PAC，从而得到∠PAC．【解答】解：∵PO=2，OA=1，OC⊥AB；∴；E为劣弧的中点；∴∠BOE=45°，又∠ACO=45°；∴OE∥AC；∴∠PAC便是异面直线PA和OE所成角；在△ACP中，AC=，；如图，取AC中点H，连接PH，则PH⊥AC，AH=；∴在Rt△PAH中，cos∠PAH=；∴异面直线PA与OE所成角的大小为arccos．【点评】考查圆锥的定义，圆锥的高和母线，等弧所对的圆心角相等，能判断两直线平行，以及异面直线所成角的定义及找法、求法，能用反三角函数表示角．20．（14分）已知函数f（x）=ax2+，其中a为常数（1）根据a的不同取值，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若a∈（1，3），判断函数f（x）在[1，2]上的单调性，并说明理由．【分析】（1）根据函数的奇偶性的定义即可判断，需要分类讨论；（2）根据导数和函数的单调性的关系即可判断．【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=，显然为奇函数，当a≠0时，f（1）=a+1，f（﹣1）=a﹣1，f（1）≠f（﹣1），且f（1）+f（﹣1）≠0，所以此时f（x）为非奇非偶函数．（2）∵a∈（1，3），f（x）=ax2+，∴f′（x）=2ax﹣=，∵a∈（1，3），x∈[1，2]，∴ax＞1，∴ax3＞1，∴2ax3﹣1＞0，∴f′（x）＞0，∴函数f（x）在[1，2]上的单调递增．【点评】本题考查了函数的奇偶性和单调性，属于基础题．21．（14分）如图，O，P，Q三地有直道相通，OP=3千米，PQ=4千米，OQ=5千米，现甲、乙两警员同时从O地出发匀速前往Q地，经过t小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）．甲的路线是OQ，速度为5千米/小时，乙的路线是OPQ，速度为8千米/小时，乙到达Q地后在原地等待．设t=t1时乙到达P地，t=t2时乙到达Q地．（1）求t1与f（t1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米，当t1≤t≤t2时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在[t1，t2]上的最大值是否超过3？说明理由．【分析】（1）用OP长度除以乙的速度即可求得t1=，当乙到达P点时，可设甲到达A点，连接AP，放在△AOP中根据余弦定理即可求得AP，也就得出f（t1）；（2）求出t2=，设t，且t小时后甲到达B地，而乙到达C地，并连接BC，能够用t表示出BQ，CQ，并且知道cos，这样根据余弦定理即可求出BC，即f（t），然后求该函数的最大值，看是否超过3即可．【解答】解：（1）根据条件知，设此时甲到达A点，并连接AP，如图所示，则OA=；∴在△OAP中由余弦定理得，f（t1）=AP==（千米）；（2）可以求得，设t小时后，且，甲到达了B点，乙到达了C 点，如图所示：则BQ=5﹣5t，CQ=7﹣8t；∴在△BCQ中由余弦定理得，f（t）=BC==；即f（t）=，；设g（t）=25t2﹣42t+18，，g（t）的对称轴为t=；且；即g（t）的最大值为，则此时f（t）取最大值；即f（t）在[t1，t2]上的最大值不超过3．【点评】考查余弦定理的应用，以及二次函数在闭区间上最值的求法．22．（16分）已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别与椭圆交于点A、B和C、D，记△AOC的面积为S．（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=|；（2）设l1：y=kx，，S=，求k的值；（3）设l1与l2的斜率之积为m，求m的值，使得无论l1和l2如何变动，面积S 保持不变．【分析】（1）依题意，直线l1的方程为y=x，利用点到直线间的距离公式可求得点C到直线l1的距离d=，再利用|AB|=2|AO|=2，可证得S=|AB|d=|x1y2﹣x2y1|；（2）由（1）得：S=|x1y2﹣x2y1|=×|x1﹣y1|=，进而得到答案；（3）方法一：设直线l1的斜率为k，则直线l1的方程为y=kx，联立方程组，消去y解得x=±，可求得x1、x2、y1、y2，利用S=|x1y2﹣x2y1|=•，设=c（常数），整理得：k4﹣2mk2+m2=c2[2k4+（1+4m2）k2+2m2]，由于左右两边恒成立，可得，此时S=；方法二：设直线l1、l2的斜率分别为、，则=m，则mx1x2=﹣y1y2，变形整理，利用A（x1，y1）、C（x2，y2）在椭圆x2+2y2=1上，可求得面积S的值．【解答】解：（1）依题意，直线l1的方程为y=x，由点到直线间的距离公式得：点C到直线l1的距离d==，因为|AB|=2|AO|=2，所以S=|AB|d=|x1y2﹣x2y1|；（2）由（1）A（x1，y1），C（x2，y2），S=|x1y2﹣x2y1|=×|x1﹣y1|=．所以|x1﹣y1|=，由x12+2y12=1，解得A（，﹣）或（，﹣）或（﹣，）或（﹣，），由k=，得k=﹣1或﹣；（3）方法一：设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为，直线l1的方程为y=kx，联立方程组，消去y解得x=±，根据对称性，设x1=，则y1=，同理可得x2=，y2=，所以S=|x1y2﹣x2y1|=•，设=c（常数），所以（m﹣k2）2=c2（1+2k2）（k2+2m2），整理得：k4﹣2mk2+m2=c2[2k4+（1+4m2）k2+2m2]，由于左右两边恒成立，所以只能是，所以，此时S=，综上所述，m=﹣，S=．方法二：设直线l1、l2的斜率分别为、，则=m，所以mx1x2=y1y2，∴m2==mx1x2y1y2，∵A（x1，y1）、C（x2，y2）在椭圆x2+2y2=1上，∴（）（）=+4+2（+）=1，即（+4m）x1x2y1y2+2（+）=1，所以+﹣2x1x2y1y2=（x1y2﹣x2y1）2=[1﹣（4m+）x1x2y1y2]﹣2x1x2y1y2=﹣（2m++2）x1x2y1y2，是常数，所以|x1y2﹣x2y1|是常数，所以令2m++2=0即可，所以，m=﹣，S=．综上所述，m=﹣，S=．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，考查方程思想、等价转化思想与综合运算能力，属于难题．23．（18分）已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n），n∈N*．（1）若b n=3n+5，且a1=1，求{a n}的通项公式；（2）设{a n}的第n0项是最大项，即a n0≥a n（n∈N*），求证：{b n}的第n0项是最大项；（3）设a1=3λ＜0，b n=λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得对任意m，n∈N*，a n≠0，且．【分析】（1）把b n=3n+5代入已知递推式可得a n+1﹣a n=6，由此得到{a n}是等差数列，则a n可求；（2）由a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1，结合递推式累加得到a n=2b n+a1﹣2b1，求得，进一步得到得答案；（3）由（2）可得，然后分﹣1＜λ＜0，λ=﹣1，λ＜﹣1三种情况求得a n的最大值M和最小值m，再由∈（）列式求得λ的范围．﹣a n=2（b n+1﹣b n），b n=3n+5，【解答】（1）解：∵a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n）=2（3n+8﹣3n﹣5）=6，∴a n+1∴{a n}是等差数列，首项为a1=1，公差为6，则a n=1+（n﹣1）×6=6n﹣5；（2）∵a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2（b n﹣b n﹣1）+2（b n﹣1﹣b n﹣2）+…+2（b2﹣b1）+a1=2b n+a1﹣2b1，∴，∴．∴数列{b n}的第n0项是最大项；（3）由（2）可得，①当﹣1＜λ＜0时，单调递减，有最大值；单调递增，有最小值m=a1=3λ＜0，∴的最小值为，最大值为，则，解得．∴λ∈（）．②当λ=﹣1时，a2n=1，a2n﹣1=﹣3，∴M=3，m=﹣1，不满足条件．③当λ＜﹣1时，当n→+∞时，a2n→+∞，无最大值；→﹣∞，无最小值．当n→+∞时，a2n﹣1综上所述，λ∈（﹣，0）时满足条件．【点评】本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了数列的函数特性，训练了累加法求数列的通项公式，对（3）的求解运用了极限思想方法，是中档题．。

2015年上海高考数学（文科）试题（完整版）一、填空题（本大题共14小题，每题4分，满分56分）1、函数()x x f 2sin 31-=的最小正周期为2、设全集U=R ，若集合{}4,3,2,1=A ，{}32|≤≤=x x B ，则=B C A U 3、若复数z 满足i z z +=+13_，其中i 为虚数单位，则z= 4、设()x f 1-为()12+=x xx f 的反函数，则()=--21f 5、若线性方程组的增广矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛211302c c ，解为⎩⎨⎧==53y x ，则=-21c c 6、若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为316，则=a 7、抛物线()022>=p px y 上的动点Q 到其焦点距离的最小值为1，则=p 8、方程()()223log 59log 1212+-=---x x 的解为9、若y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-020y y x y x ，则目标函数()y x x f 2+=的最大值为10、在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）11、在6212⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的二项展开式中，常数项等于 （结果用数值表示）12、已知双曲线1C 、2C 的顶点重合，1C 的方程为1422=-y x ，若2C 的一条渐近线的斜率是1C 的一条渐近线的斜率的2倍，则2C 的方程为13、已知平面向量c b a ,,满足b a ⊥，且{}{}3,2,1,,=c b a ，则c b a ++的最大值为 14、已知函数()x x f sin =，存在m x x x ,,21，满足π6021≤<<<≤m x x x ，且()()()()()()()*-∈≥=-++-+-N m m x f x f x f x f x f x f m m ,2,1213221 ，则m 的最小值为二、选择题（本大题共4小题，每题5分，满分20分）15、设C z z ∈21,，则“21z 、z 均为实数”是“21z z -为实数”的（ ） A 、充分非必要条件 B 、必要非充分条件 C 、充要条件下 D 、既不充分也不必要条件16、下列不等式中，与不等式23282<+++x x x 解集相同的是（ ）A 、()()23282<+++x x xB 、 ()()32282++<+x x xC 、823212+<++x x x D 、218322>+++x x x 17、已知点A 的坐标为()1,34，将OA 坐标原点O 逆时针方向旋转3π至OB ，则B 点的纵坐标为（ ）A 、233 B 、235 C 、211 D 、21318、设()n n n y x P ,是直线()*∈+=-N n n ny x 12与圆222=+y x 在第一象限的交点，则极限=--∞→11limn n n x y （ ） A 、1- B 、21- C 、1 D 、2三、解答题（本题共5大题，满分74分）19、（本题满分12分）如图，圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，底面的一条直径为AB ，C 为半圆弧B A的中点，E为劣弧C B的中点，已知PO=2，OA=1，求三棱锥P —AOC 的体积，并求异面直线PA 与OE 所成角。

2015 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试上海•数学试卷（文史类）考生注意：1. 本试卷共4页，23道试题，满分150分. 考试时间120分钟.2. 本考试分设试卷和答题纸. 试卷包括试题与答题要求. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.3. 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1. 函数()213sin f x x =-的最小正周期为 .2. 设全集U R =，若集合{}{}1,2,3,4,|23A B x x ==≤≤，则U A B =ð .3. 若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z = .4. 若()1f x -为()21xf x x =+的反函数，则()12f -= .5. 若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，解为35x y =⎧⎨=⎩，则12c c -= .6. 若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为，则a = .7. 抛物线()220y px p =>上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = .8.方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为 .9. 若,x y 满足020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2fx y =+的最大值为 .10. 在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方法的种数为 .（结果用数值表示）11. 在6212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项等于 .（结果用数值表示）12. 已知双曲线1C 、2C 的顶点重合，1C 的方程为2214x y -=.若2C 的一条渐近线的斜率是1C 放入一条渐近线的斜率的2倍，则2C 的方程为 .13.已知平面向量,,a b c 满足a b ⊥，且{}{},,1,2,3a b c =，则a b c ++的最大值是 .14.已知函数()sin f x x =，若12,,,m x x x 存在满足1206m x x x π≤<<<≤，且()()()()()()()*12231122,m m f x f x f x f x f x f x m m N --+-++-=≥∈，则m 的最小值为 .二、选择题（本大题共有4题，满分20分）考生应在答题纸相应编号位置填涂，每题只有一个正确选项，选对得5分，否则一律得零分.15.设12,z z C ∈，则“1z 、2z 均为实数”是“12z z -是实数”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件16. 下列不等式中，与不等式28223x x x +<++解集相同的是（ ）A.()()28232x x x +++<B. ()28223x x x +<++C. 212238x x x <+++ D. 223182x x x ++>+17.已知点A 的坐标为()，将OA 绕坐标原点O逆时针转3π至OB ，则B 的纵坐标为（ ）B.C.112D.13218.设(),n n n P x y 是直线()*21nx y n N n -=∈+与圆222x y +=在第一象限的交点，则极限1lim 1n n ny x →∞-=-（ ） A. 1-B.12-C.1D.2三、解答题（本题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. （本题满分12分）如图，圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，底面的一条直径为AB ，C 为半圆弧AB 的中点，E 为劣弧CB 的中点. 已知2PO =，1OA =. 求三棱锥P AOC -的体积，并求异面直线PA 与OE 所成的角的大小.20. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数()21f x ax x=+，其中a 为常数. （1）根据a 的不同取值，判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由； （2）若()1,3a ∈，判断函数()f x 在[]1,2上的单调性，并说明理由.21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分如图，,,O P Q 三地有直道相通，3OP =千米，4PQ =千米，5OQ =千米. 现甲、乙两警员同时从O 地出发匀速前往Q 地，经过t 小时，他们之间的距离为()f t （单位：千米），甲的路线是OQ ，速度为5千米/小时，乙的路线是OPQ ，速度为8千米/小时，乙到达Q 地后在原地等待，设1t t =时，乙到达P 地；2t t =时，乙到达Q 地. （1）求1t 与1()f t 的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米，当12t t t ≤≤时， 求()f t 的表达式，并判断()f t 在[]12,t t 上的最大值是否超过3？说明理由.AB EPQO22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知椭圆2221x y +=，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于点A B 、和C D 、，记AO C 的面积为S .（1）设()()1122,,,A x y C x y ，用A C 、的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明122112S x y x y =-； （2）设1:l y kx =，C ⎝⎭，13S =，求k 的值； （3）设1l 与2l 的斜率之积为m ，求m 的值，并使得无论1l 与2l 如何变动，面积S 保持不变.23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分 已知数列{}n a 与{}n b 满足()*112,N n n n n a a b b n ++-=-∈. （1）若35n b n =+，且11a =，求{}n a 的通项公式；（2）设{}n a 的第0n 项是最大项，即()0*N n n a a n ≥∈，求证：{}n b 的第0n 项是最大项； （3）设()*130,N n n a b n λλ=<=∈，求λ的取值范围，使得对任意*,N ,0n m n a ∈≠，且1,66m n a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.。

【解析】()1f x =【提示】由条件利用半角公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性求得函数的最小正周期【考点】二倍角公式，三角函数的周期【答案】{}1,4 【解析】{UB x =<{}1,4UAB =【提示】由A 与B ，找出两集合的交集即可. 【考点】集合交集及其基本运算11【解析】()2f x =【提示】由原函数解析式把【考点】反函数.1sin 60=162a a ⎫⎪⎭【考点】立体几何的基本运算. 【解析】抛物线上的动点到焦点的距离等于动点到准线的距离【解析】12log (9x -且又2log (95)-1433x --+g【解析】条件要求男、女教师都有142332363636C +C C +C C 4515=+数目，再排除其中只有女教师的情况；即可得答案. 242246621(2)()C 2240x x ==. 求得r 值，则答案可求. 【解析】双曲线又C【解析】2a b c ++222a b c =++222a b a c b c +++22222a b c a c b c =++++2222()a b c c a b ++++,142cosc a b c a b c a b<+>=+++,1465cosc a b c a b<+>=++.2a b c ++的最大值为1465+. a b c ++的最大值为【提示】分别以a b ，所在的直线为【考点】平面向量的基本运算【解析】()sin 1f x x =当且仅当223())()f x x f x -+-m x ，满足120x x <<L 11【解析】22x x ++直接可得82(x +<它们的解集是相同的3112n b a +-)n λ-，。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷(文史类)（满分150分，考试时间120分钟）考生注意1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一．填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律零分）1.函数x x f 2sin 31)(-=的最小正周期为 .2.设全集R=U .若集合}4,3,2,1{=A ，}32|{<≤=x x B ，则=)(B C A U .3.若复数z 满足i z z +=+13，其中i 是虚数单位，则=z .4.设)(1x f-为12)(+=x x x f 的反函数，则=-)2(1f . 5.若线性方程组的增广矩阵为 ⎝⎛02 13 ⎪⎪⎭⎫21c c 解为⎩⎨⎧==53y x ，则=-21c c .6.若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为316，则=a .7.抛物线)0(22>=p px y 上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则=p .8. 方程2)23(log )59(log 1212+-=---x x 的解为 .9.若y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-020y y x y x ，则目标函数y x z 2+=的最大值为 .10. 在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）.11.在62)12(x x +的二项式中，常数项等于 （结果用数值表示）.12.已知双曲线1C 、2C 的顶点重合，1C 的方程为1422=-y x ，若2C 的一条渐近线的斜率是1C 的一条渐近线的斜率的2倍，则2C 的方程为 .13.已知平面向量a 、b 、c 满足b a ⊥，且}3,2,1{|}||,||,{|=c b a ，则||c b a ++的最大值是 .14.已知函数x x f sin )(=.若存在1x ，2x ，⋅⋅⋅，m x 满足π6021≤<⋅⋅⋅<<≤m x x x ，且12|)()(||)()(||)()(|13221=-+⋅⋅⋅+-+--m m x f x f x f x f x f x f ),2(*∈≥N m m ，则m 的最小值为 .二．选择题（本大题共4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律零分.15. 设1z 、C ∈2z ，则“1z 、2z 均为实数”是“21z z -是实数”的（ ）. A. 充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 16. 下列不等式中，与不等式23282<+++x x x 解集相同的是（ ）.A. 2)32)(8(2<+++x x x B. )32(282++<+x x xC. 823212+<++x x x D.218322>+++x x x 17. 已知点 A 的坐标为)1,34(，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π至OB ，则点B 的纵坐标为（ ）.A.233 B. 235 C.211 D. 21318. 设),(n n n y x P 是直线)(12*∈+=-N n n ny x 与圆222=+y x 在第一象限的交点，则极限=--∞→11limn n n x y ( ).A. 1-B. 21-C. 1D. 2三．解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分12分）如图，圆锥的顶点为P ，底面的一条直径为AB ，C 为半圆弧AB 的中点，E 为劣弧CB 的中点.已知2=PO ，1=OA ，求三棱锥AOC P -的体积，并求异面直线PA 与OE 所成角的大小.20.（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.已知函数xax x f 1)(2+=，其中a 为实数. （1）根据a 的不同取值，判断函数)(x f 的奇偶性，并说明理由； （2）若)3,1(∈a ，判断函数)(x f 在]2,1[上的单调性，并说明理由. 21.（本小题14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.如图，Q P O ,,三地有直道相通，5=OQ 千米，3=OP 千米，4=PQ 千米.现甲、乙两警员同时从O 地出发匀速前往Q 地，经过t 小时，他们之间的距离为)(t f （单位：千米）.甲的路线是OQ ，速度为5千米/小时，乙的路线是OPQ ，速度为8千米/小时.乙到达Q 地后原地等待.设1t t =时乙到达P 地；2t t =时，乙到达Q 地. （1）求1t 与)(1t f 的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当21t t t ≤≤时，求)(t f 的表达式，并判断)(t f 在],[21t t 上得最大值是否超过3？说明理由.22.（本题满分14分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分.已知椭圆1222=+y x ，过原点的两条直线1l 和2l 分别于椭圆交于A 、B 和C 、D ，设AOC ∆的面积为S .（1）设),(11y x A ，),(22y x C ，用A 、C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明||21221y x y x S -=；（2）设kx y l =:1，)33,33(C ，31=S ，求k 的值；（3）设1l 与2l 的斜率之积为m ，求m 的值，使得无论1l 与2l 如何变动，面积S 保持不变. 23.（本题满分16分）本题共3小题.第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分.已知数列}{n a 与}{n b 满足)(211n n n n b b a a -=-++，*∈N n .（1）若53+=n b n ，且11=a ，求数列}{n a 的通项公式；（2）设}{n a 的第0n 项是最大项，即)N (0*∈≥n a a n n ，求证：数列}{n b 的第0n 项是最大项；（3）设130a λ=<，n n b λ=)N (*∈n ，求λ的取值范围，使得对任意m ，*∈N n ，0n a ≠，且1(,6)6m na a .2015年上海市文科试题一．填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律零分）1.函数x x f 2sin 31)(-=的最小正周期为 .【答案】π【解析】因为x x 2cos 1sin 22-=，所以x x x f 2cos 2321)2cos 1(231)(+-=--=，所以函数)(x f 的最小正周期为ππ=22. 【考点定位】函数的周期，二倍角的余弦公式. 2.设全集R=U .若集合}4,3,2,1{=A ，}32|{<≤=x x B ，则=)(B C A U .【答案】}4,1{【考点定位】集合的运算.3.若复数z 满足i z z +=+13，其中i 是虚数单位，则=z .【答案】i 2141+【考点定位】复数的概念，复数的运算. 4.设)(1x f-为12)(+=x x x f 的反函数，则=-)2(1f .【答案】32-【解析】因为)(1x f -为12)(+=x x x f 的反函数，212=+x x，解得32-=x ，所以32)2(1-=-f .【考点定位】反函数，函数的值. 5.若线性方程组的增广矩阵为 ⎝⎛02 13 ⎪⎪⎭⎫21c c 解为⎩⎨⎧==53y x ，则=-21c c . 【答案】16【解析】由题意，⎩⎨⎧==53y x 是方程组⎩⎨⎧==+2132c y c y x 的解，所以⎩⎨⎧==52121c c ，所以1652121=-=-c c .【考点定位】增广矩阵，线性方程组的解法.6.若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为316，则=a . 【答案】4【解析】依题意，3162321=⨯⨯⨯⨯a a a ，解得4=a . 【考点定位】等边三角形的性质，正三棱柱的性质.7.抛物线)0(22>=p px y 上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则=p .【答案】2【解析】依题意，点Q 为坐标原点，所以12=p，即2=p . 【考点定位】抛物线的性质，最值. 8. 方程2)23(log )59(log 1212+-=---x x 的解为 .【答案】2【考点定位】对数方程.9.若y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-020y y x y x ，则目标函数y x z 2+=的最大值为 .【答案】3【考点定位】不等式组表示的平面区域，简单的线性规划.10. 在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）. 【答案】120【考点定位】组合，分类计数原理. 11.在62)12(x x +的二项式中，常数项等于 （结果用数值表示）. 【答案】240【解析】由r r r r rr r x C xx C T 366626612)1()2(---+⋅⋅=⋅⋅=，令036=-r ，所以2=r ，所以常数项为2402426=⋅C .【考点定位】二项式定理.12.已知双曲线1C 、2C 的顶点重合，1C 的方程为1422=-y x ，若2C 的一条渐近线的斜率是1C 的一条渐近线的斜率的2倍，则2C 的方程为 .【答案】14422=-y x 【考点定位】双曲线的性质，直线的斜率.13.已知平面向量a 、b 、c 满足b a ⊥，且}3,2,1{|}||,||,{|=c b a ，则||c b a ++的最大值是 . 【答案】53+【考点定位】平向量的模，向量垂直.14.已知函数x x f sin )(=.若存在1x ，2x ，⋅⋅⋅，m x 满足π6021≤<⋅⋅⋅<<≤m x x x ，且12|)()(||)()(||)()(|13221=-+⋅⋅⋅+-+--m m x f x f x f x f x f x f ),2(*∈≥N m m ，则m 的最小值为 . 【答案】8【解析】因为函数x x f sin )(=对任意i x ，j x ),,3,2,1,(m j i ⋅⋅⋅=，2)()(|)()(|min max =-≤-x f x f x f x f j i ，欲使m 取得最小值，尽可能多的让),,3,2,1(m i x i ⋅⋅⋅=取得最高点，考虑π6021≤<⋅⋅⋅<<≤m x x x ，12|)()(||)()(||)()(|13221=-+⋅⋅⋅+-+--m m x f x f x f x f x f x f ),2(*∈≥N m m 按下图取值满足条件，所以m 的最小值为8.【考点定位】正弦函数的性质，最值.二．选择题（本大题共4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律零分.15. 设1z 、C ∈2z ，则“1z 、2z 均为实数”是“21z z -是实数”的（ ）.A. 充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】A【考点定位】复数的概念，充分条件、必要条件的判定.16. 下列不等式中，与不等式23282<+++x x x 解集相同的是（ ）. A. 2)32)(8(2<+++x x x B. )32(282++<+x x xC. 823212+<++x x x D. 218322>+++x x x 【答案】B【解析】因为022)1(3222>≥++=++x x x ，8+x 可能是正数、负数或零，所以由)32(282++<+x x x 可得23282<+++x x x ，所以不等式23282<+++x x x 解集相同的是)32(282++<+x x x ，选B.【考点定位】同解不等式的判断.17. 已知点 A 的坐标为)1,34(，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π至OB ，则点B 的纵坐标为（ ）.A.233B. 235 C.211 D. 213 【答案】D【考点定位】三角函数的定义，和角的正切公式，两点间距离公式.18. 设),(n n n y x P 是直线)(12*∈+=-N n n n y x 与圆222=+y x 在第一象限的交点，则极限=--∞→11lim n n n x y ( ). A. 1- B. 21-C. 1D. 2【答案】A【解析】因为),(n n n y x P 是直线)(12*∈+=-N n n n y x 与圆222=+y x 在第一象限的交点， 而11--n n x y 是经过点),(n n n y x P 与)1,1(A 的直线的斜率，由于点)1,1(A 在圆222=+y x 上. 因为1=OA k ，所以11lim --∞→n n n x y 11-=-=OAk . 【考点定位】圆的切线，极限.三．解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分12分）如图，圆锥的顶点为P ，底面的一条直径为AB ，C 为半圆弧AB 的中点，E 为劣弧CB 的中点.已知2=PO ，1=OA ，求三棱锥AOC P -的体积，并求异面直线PA 与OE 所成角的大小.【答案】1010arccos【考点定位】圆锥的性质，异面直线的夹角.21.（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.已知函数xax x f 1)(2+=，其中a 为实数. （1）根据a 的不同取值，判断函数)(x f 的奇偶性，并说明理由；（2）若)3,1(∈a ，判断函数)(x f 在]2,1[上的单调性，并说明理由.【答案】（1）)(x f 是非奇非偶函数；（2）函数)(x f 在]2,1[上单调递增.【考点定位】函数的奇偶性、单调性.21.（本小题14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分. 如图，Q P O ,,三地有直道相通，5=OQ 千米，3=OP 千米，4=PQ 千米.现甲、乙两警员同时从O 地出发匀速前往Q 地，经过t 小时，他们之间的距离为)(t f （单位：千米）.甲的路线是OQ ，速度为5千米/小时，乙的路线是OPQ ，速度为8千米/小时.乙到达Q 地后原地等待.设1t t =时乙到达P 地；2t t =时，乙到达Q 地.（1）求1t 与)(1t f 的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当21t t t ≤≤时，求)(t f 的表达式，并判断)(t f 在],[21t t 上得最大值是否超过3？说明理由.【答案】（1）h 83，8413千米；（2）不超过了3千米. 【解析】（1）根据条件知831=t ，设此时甲到达A 点，并连接AP ，如图所示，则815835=⨯=OA ， 所以在OAP ∆中，由余弦定理得8413534459)815(cos 2)(2221=⋅-+=∠⋅⋅-+==AOP OP OA OP OA AP t f （千米）.（2）可求得872=t ，设t 小时后，且8783≤≤t ，甲到达了B 点，乙到达了C 点，如图所示，所以t BQ 55-=，t CQ 87-=，所以在BCQ ∆中，由余弦定理18422554)87)(55(2)87()55()(222+-=⋅----+-==t t t t t t BC t f ， 所以184225)(2+-=t t t f ，8783≤≤t ， 设184225)(2+-=t t t g ，8783≤≤t ， 因为函数)(t g 的对称轴为]87,83[2521∈=t ，且64369)83(=g ，6425)87(=g ，所以)(t g 得最大值为64369，此时)(t f 的最大值为38413<， 所以)(t f 在],[21t t 上得最大值不超过3.【考点定位】余弦定理的实际运用，函数的值域.22.（本题满分14分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分.已知椭圆1222=+y x ，过原点的两条直线1l 和2l 分别于椭圆交于A 、B 和C 、D ，设AOC ∆的面积为S .（1）设),(11y x A ，),(22y x C ，用A 、C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明||21221y x y x S -=；（2）设kx y l =:1，)33,33(C ，31=S ，求k 的值； （3）设1l 与2l 的斜率之积为m ，求m 的值，使得无论1l 与2l 如何变动，面积S 保持不变.【答案】（1）详见解析；（2）1-=k 或51-=k ；（3）21-=m .（3）设kx y l =:1，则x k m y l =:2，设),(11y x A ，),(22y x C ， 由⎩⎨⎧=+=1222y x kx y ，的221211k x +=， 同理2222222)(211m k k k m x +=+=，由（1）知，||||||21||21||2121212111221x x k m k kx x k mx x y x y x S ⋅-⋅=⋅-⋅=-= 22222212||mk k m k +⋅+-=， 整理得0)18()2164()18(22222242=-++++-m S k m m S S k S ，由题意知S 与k 无关， 则⎪⎩⎪⎨⎧=++=-021*********m m S S S ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==21812m S . 所以21-=m . 【考点定位】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.23.（本题满分16分）本题共3小题.第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分.已知数列}{n a 与}{n b 满足)(211n n n n b b a a -=-++，*∈N n .（1）若53+=n b n ，且11=a ，求数列}{n a 的通项公式；（2）设}{n a 的第0n 项是最大项，即)N (0*∈≥n a a n n ，求证：数列}{n b 的第0n 项是最大项；（3）设130a λ=<，n n b λ=)N (*∈n ，求λ的取值范围，使得对任意m ，*∈N n ，0n a ≠，且 1(,6)6m na a ∈. 【答案】（1）56-=n a n ；（2）详见解析；（3）)0,41(-. 【解析】（1）因为)(211n n n n b b a a -=-++，53+=n b n ，所以)(211n n n n b b a a -=-++6)5383(2=--+=n n ，所以}{n a 是等差数列，首项为11=a ，公差为6，即56-=n a n .（2）由)(211n n n n b b a a -=-++，得n n n n b a b a 2211-=-++，所以}2{n n b a -为常数列，1122b a b a n n -=-，即1122b a b a n n -+=，因为n n a a ≥0，*∈N n ，所以111122220b a b b a b n n -+≥-+，即n n b b ≥0，所以}{n b 的第0n 项是最大项.【考点定位】数列的递推公式，等差数列的性质，常数列，数列的最大项，指数函数的单调性.。

2015年上海市高考数学试卷（文科）一、填空题（本大题共14小题,满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律零分）1．（4分）函数f（x）=1﹣3sin2x的最小正周期为．2．（4分）设全集U=R,若集合A={1,2,3,4},B={x|2≤x≤3},则A∩B=．3．（4分）若复数z满足3z+=1+i,其中i是虚数单位,则z=．4．（4分）设f﹣1（x）为f（x）=的反函数,则f﹣1（2）=．5．（4分）若线性方程组的增广矩阵为解为,则c1﹣c2=．6．（4分）若正三棱柱的所有棱长均为a,且其体积为16,则a=．7．（4分）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1,则p=．8．（4分）方程log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2的解为．9．（4分）若x,y满足,则目标函数z=x+2y的最大值为．10．（4分）在报名的3名男老师和6名女教师中,选取5人参加义务献血,要求男、女教师都有,则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）．11．（4分）在（2x+）6的二项式中,常数项等于（结果用数值表示）．12．（4分）已知双曲线C1、C2的顶点重合,C1的方程为﹣y2=1,若C2的一条渐近线的斜率是C1的一条渐近线的斜率的2倍,则C2的方程为．13．（4分）已知平面向量、、满足⊥,且{||,||,||}={1,2,3},则|++|的最大值是．14．（4分）已知函数f（x）=sinx．若存在x1,x2,…,x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π,且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|=12（m≥2,m ∈N*）,则m的最小值为．二、选择题（本大题共4小题,满分20分）每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律零分. 15．（5分）设z1、z2∈C,则“z1、z2均为实数”是“z1﹣z2是实数”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件16．（5分）下列不等式中,与不等式＜2解集相同的是（）A．（x+8）（x2+2x+3）＜2 B．x+8＜2（x2+2x+3）C．＜D．＞17．（5分）已知点A的坐标为（4,1）,将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB,则点B的纵坐标为（）A．B．C．D．18．（5分）设P n（x n,y n）是直线2x﹣y=（n∈N*）与圆x2+y2=2在第一象限的交点,则极限=（）A．﹣1 B．﹣ C．1 D．2三、解答题（本大题共有5题,满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）如图,圆锥的顶点为P,底面圆为O,底面的一条直径为AB,C为半圆弧的中点,E为劣弧的中点,已知PO=2,OA=1,求三棱锥P﹣AOC的体积,并求异面直线PA和OE所成角的大小．20．（14分）已知函数f（x）=ax2+,其中a为常数（1）根据a的不同取值,判断函数f（x）的奇偶性,并说明理由；（2）若a∈（1,3）,判断函数f（x）在[1,2]上的单调性,并说明理由．21．（14分）如图,O,P,Q三地有直道相通,OP=3千米,PQ=4千米,OQ=5千米,现甲、乙两警员同时从O地出发匀速前往Q地,经过t小时,他们之间的距离为f（t）（单位:千米）．甲的路线是OQ,速度为5千米/小时,乙的路线是OPQ,速度为8千米/小时,乙到达Q地后在原地等待．设t=t1时乙到达P地,t=t2时乙到达Q地．（1）求t1与f（t1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米,当t1≤t≤t2时,求f（t）的表达式,并判断f（t）在[t1,t2]上的最大值是否超过3？说明理由．22．（16分）已知椭圆x2+2y2=1,过原点的两条直线l1和l2分别与椭圆交于点A、B和C、D,记△AOC的面积为S．（1）设A（x1,y1）,C（x2,y2）,用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离,并证明S=|；（2）设l1:y=kx,,S=,求k的值；（3）设l1与l2的斜率之积为m,求m的值,使得无论l1和l2如何变动,面积S保持不变．23．（18分）已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n）,n∈N*．（1）若b n=3n+5,且a1=1,求{a n}的通项公式；（2）设{a n}的第n0项是最大项,即a n0≥a n（n∈N*）,求证:{b n}的第n0项是最大项；（3）设a1=3λ＜0,b n=λn（n∈N*）,求λ的取值范围,使得对任意m,n∈N*,a n≠0,且．2015年上海市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题,满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律零分）1．（4分）（2015•上海）函数f（x）=1﹣3sin2x的最小正周期为π．【分析】由条件利用半角公式化简函数的解析式,再利用余弦函数的周期性求得函数的最小正周期．【解答】解:∵函数f（x）=1﹣3sin2x=1﹣3=﹣+cos2x,∴函数的最小正周期为=π,故答案为:π．【点评】本题主要考查半角公式的应用,余弦函数的周期性,属于基础题．2．（4分）（2015•上海）设全集U=R,若集合A={1,2,3,4},B={x|2≤x≤3},则A∩B= {2,3} ．【分析】由A与B,找出两集合的交集即可．【解答】解:∵全集U=R,A={1,2,3,4},B={x|2≤x≤3},∴A∩B={2,3},故答案为:{2,3}【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．（4分）（2015•上海）若复数z满足3z+=1+i,其中i是虚数单位,则z=．【分析】设z=a+bi,则=a﹣bi（a,b∈R）,利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解:设z=a+bi,则=a﹣bi（a,b∈R）,又3z+=1+i,∴3（a+bi）+（a﹣bi）=1+i,化为4a+2bi=1+i,∴4a=1,2b=1,解得a=,b=．∴z=．故答案为:．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等,属于基础题．4．（4分）（2015•上海）设f﹣1（x）为f（x）=的反函数,则f﹣1（2）=﹣．【分析】由原函数解析式把x用含有y的代数式表示,x,y互换求出原函数的反函数,则f﹣1（2）可求．【解答】解:由y=f（x）=,得,x,y互换可得,,即f﹣1（x）=．∴．故答案为:．【点评】本题考查了函数的反函数的求法,是基础的计算题．5．（4分）（2015•上海）若线性方程组的增广矩阵为解为,则c1﹣c2=16．【分析】根据增广矩阵的定义得到,是方程组的解,解方程组即可．【解答】解:由题意知,是方程组的解,即,则c1﹣c2=21﹣5=16,故答案为:16．【点评】本题主要考查增广矩阵的求解,根据条件建立方程组关系是解决本题的关键．6．（4分）（2015•上海）若正三棱柱的所有棱长均为a,且其体积为16,则a= 4．【分析】由题意可得（•a•a•sin60°）•a=16,由此求得a的值．【解答】解:由题意可得,正棱柱的底面是变长等于a的等边三角形,面积为•a•a•sin60°,正棱柱的高为a,∴（•a•a•sin60°）•a=16,∴a=4,故答案为:4．【点评】本题主要考查正棱柱的定义以及体积公式,属于基础题．7．（4分）（2015•上海）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1,则p=2．【分析】利用抛物线的顶点到焦点的距离最小,即可得出结论．【解答】解:因为抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1,所以=1,所以p=2．故答案为:2．【点评】本题考查抛物线的方程与性质,考查学生的计算能力,比较基础．8．（4分）（2015•上海）方程log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2的解为2．【分析】利用对数的运算性质化为指数类型方程,解出并验证即可．【解答】解:∵log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2,∴log2（9x﹣1﹣5）=log2[4×（3x ﹣1﹣2）],∴9x﹣1﹣5=4（3x﹣1﹣2）,化为（3x）2﹣12•3x+27=0,因式分解为:（3x﹣3）（3x﹣9）=0,∴3x=3,3x=9,解得x=1或2．经过验证:x=1不满足条件,舍去．∴x=2．故答案为:2．【点评】本题考查了对数的运算性质及指数运算性质及其方程的解法,考查了计算能力,属于基础题．9．（4分）（2015•上海）若x,y满足,则目标函数z=x+2y的最大值为3．【分析】作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即可求z的最大值．【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:（阴影部分）．由z=x+2y得y=﹣x+z,平移直线y=﹣x+z,由图象可知当直线y=﹣x+z经过点B时,直线y=﹣x+z的截距最大,此时z最大．由,解得,即B（1,1）,代入目标函数z=x+2y得z=2×1+1=3故答案为:3．【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值,利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．10．（4分）（2015•上海）在报名的3名男老师和6名女教师中,选取5人参加义务献血,要求男、女教师都有,则不同的选取方式的种数为120（结果用数值表示）．【分析】根据题意,运用排除法分析,先在9名老师中选取5人,参加义务献血,由组合数公式可得其选法数目,再排除其中只有女教师的情况；即可得答案．【解答】解:根据题意,报名的有3名男老师和6名女教师,共9名老师,在9名老师中选取5人,参加义务献血,有C95=126种；其中只有女教师的有C65=6种情况；则男、女教师都有的选取方式的种数为126﹣6=120种；故答案为:120．【点评】本题考查排列、组合的运用,本题适宜用排除法（间接法）,可以避免分类讨论,简化计算．11．（4分）（2015•上海）在（2x+）6的二项式中,常数项等于240（结果用数值表示）．【分析】写出二项展开式的通项,由x的指数为0求得r值,则答案可求．【解答】解:由（2x+）6,得=．由6﹣3r=0,得r=2．∴常数项等于．故答案为:240．【点评】本题考查了二项式系数的性质,关键是对二项展开式通项的记忆与运用,是基础题．12．（4分）（2015•上海）已知双曲线C1、C2的顶点重合,C1的方程为﹣y2=1,若C2的一条渐近线的斜率是C1的一条渐近线的斜率的2倍,则C2的方程为．【分析】求出C1的一条渐近线的斜率,可得C2的一条渐近线的斜率,利用双曲线C1、C2的顶点重合,可得C2的方程．【解答】解:C1的方程为﹣y2=1,一条渐近线的方程为y=,因为C2的一条渐近线的斜率是C1的一条渐近线的斜率的2倍,所以C2的一条渐近线的方程为y=x,因为双曲线C1、C2的顶点重合,所以C2的方程为．故答案为:．【点评】本题考查双曲线的方程与性质,考查学生的计算能力,比较基础．13．（4分）（2015•上海）已知平面向量、、满足⊥,且{||,||,||}={1,2,3},则|++|的最大值是3+．【分析】分别以所在的直线为x,y轴建立直角坐标系,分类讨论:当{||,||}={1,2},||=3,设,则x2+y2=9,则++=（1+x,2+y）,有||=的最大值,其几何意义是圆x2+y2=9上点（x,y）与定点（﹣1,﹣2）的距离的最大值；其他情况同理,然后求出各种情况的最大值进行比较即可．【解答】解:分别以所在的直线为x,y轴建立直角坐标系,①当{||,||}={1,2},||=3,则,设,则x2+y2=9,∴++=（1+x,2+y）,∴||=的最大值,其几何意义是圆x2+y2=9上点（x,y）与定点（﹣1,﹣2）的距离的最大值为=3+；②且{||,||}={1,3},||=2,则,x2+y2=4,∴++=（1+x,3+y）∴||=的最大值,其几何意义是圆x2+y2=4上点（x,y）与定点（﹣1,﹣3）的距离的最大值为2+=2+,③{||,||}={2,3},||=1,则,设,则x2+y2=1∴++=（2+x,3+y）∴||=的最大值,其几何意义是在圆x2+y2=1上取点（x,y）与定点（﹣2,﹣3）的距离的最大值为1+=1+∵,故|++|的最大值为3+．故答案为:3+【点评】本题主要考查了向量的模的求解,解题的关键是圆的性质的应用:在圆外取一点,使得其到圆上点的距离的最大值:r+d（r为该圆的半径,d为该点与圆心的距离）．14．（4分）（2015•上海）已知函数f（x）=sinx．若存在x1,x2,…,x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π,且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|=12（m≥2,m∈N*）,则m的最小值为8．【分析】由正弦函数的有界性可得,对任意x i,x j（i,j=1,2,3,…,m）,都有|f（x i）﹣f （x j）|≤f（x）max﹣f（x）min=2,要使m取得最小值,尽可能多让x i（i=1,2,3,…,m）取得最高点,然后作图可得满足条件的最小m值．【解答】解:∵y=sinx对任意x i,x j（i,j=1,2,3,…,m）,都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f（x）max﹣f（x）min=2,要使m取得最小值,尽可能多让x i（i=1,2,3,…,m）取得最高点,考虑0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π,|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|=12,按下图取值即可满足条件,∴m的最小值为8．故答案为:8．【点评】本题考查正弦函数的图象和性质,考查分析问题和解决问题的能力,考查数学转化思想方法,正确理解对任意x i,x j（i,j=1,2,3,…,m）,都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f（x）max﹣f（x）min=2是解答该题的关键,是难题．二、选择题（本大题共4小题,满分20分）每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律零分. 15．（5分）（2015•上海）设z1、z2∈C,则“z1、z2均为实数”是“z1﹣z2是实数”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合复数的有关概念进行判断即可．【解答】解:若z1、z2均为实数,则z1﹣z2是实数,即充分性成立,当z1=i,z2=i,满足z1﹣z2=0是实数,但z1、z2均为实数不成立,即必要性不成立,故“z1、z2均为实数”是“z1﹣z2是实数”的充分不必要条件,故选:A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据复数的有关概念是解决本题的关键．16．（5分）（2015•上海）下列不等式中,与不等式＜2解集相同的是（）A．（x+8）（x2+2x+3）＜2 B．x+8＜2（x2+2x+3）C．＜D．＞【分析】根据x2+2x+3=（x+1）2+2＞0,可得不等式＜2,等价于x+8＜2（x2+2x+3）,从而得出结论．【解答】解:由于x2+2x+3=（x+1）2+2＞0,不等式＜2,等价于x+8＜2（x2+2x+3）,故选:B．【点评】本题主要考查不等式的基本性质的应用,体现了等价转化的数学思想,属于基础题．17．（5分）（2015•上海）已知点A的坐标为（4,1）,将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB,则点B的纵坐标为（）A．B．C．D．【分析】根据三角函数的定义,求出∠xOA的三角函数值,利用两角和差的正弦公式进行求解即可．【解答】解:∵点A的坐标为（4,1）,∴设∠xOA=θ,则sinθ==,cosθ==,将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB,则OB的倾斜角为θ+,则|OB|=|OA|=,则点B的纵坐标为y=|OB|sin（θ+）=7（sinθcos+cosθsin）=7（×+）=+6=,故选:D．【点评】本题主要考查三角函数值的计算,根据三角函数的定义以及两角和差的正弦公式是解决本题的关键．18．（5分）（2015•上海）设P n（x n,y n）是直线2x﹣y=（n∈N*）与圆x2+y2=2在第一象限的交点,则极限=（）A．﹣1 B．﹣ C．1 D．2【分析】当n→+∞时,直线2x﹣y=趋近于2x﹣y=1,与圆x2+y2=2在第一象限的交点无限靠近（1,1）,利用圆的切线的斜率、斜率计算公式即可得出．【解答】解:当n→+∞时,直线2x﹣y=趋近于2x﹣y=1,与圆x2+y2=2在第一象限的交点无限靠近（1,1）,而可看作点P n（x n,y n）与（1,1）连线的斜率,其值会无限接近圆x2+y2=2在点（1,1）处的切线的斜率,其斜率为﹣1．∴=﹣1．故选:A．【点评】本题考查了极限思想、圆的切线的斜率、斜率计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题．三、解答题（本大题共有5题,满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）（2015•上海）如图,圆锥的顶点为P,底面圆为O,底面的一条直径为AB,C为半圆弧的中点,E为劣弧的中点,已知PO=2,OA=1,求三棱锥P﹣AOC的体积,并求异面直线PA和OE所成角的大小．又容易得到,从而带【分析】由条件便知PO为三棱锥P﹣AOC的高,底面积S△AOC入棱锥的体积公式即可得到该三棱锥的体积．根据条件能够得到OE∥AC,从而找到异面直线PA,OE所成角为∠PAC,可取AC中点H,连接PH,便得到PH⊥AC,从而可在Rt△PAH中求出cos∠PAC,从而得到∠PAC．【解答】解:∵PO=2,OA=1,OC⊥AB；∴；E为劣弧的中点；∴∠BOE=45°,又∠ACO=45°；∴OE∥AC；∴∠PAC便是异面直线PA和OE所成角；在△ACP中,AC=,；如图,取AC中点H,连接PH,则PH⊥AC,AH=；∴在Rt△PAH中,cos∠PAH=；∴异面直线PA与OE所成角的大小为arccos．【点评】考查圆锥的定义,圆锥的高和母线,等弧所对的圆心角相等,能判断两直线平行,以及异面直线所成角的定义及找法、求法,能用反三角函数表示角．20．（14分）（2015•上海）已知函数f（x）=ax2+,其中a为常数（1）根据a的不同取值,判断函数f（x）的奇偶性,并说明理由；（2）若a∈（1,3）,判断函数f（x）在[1,2]上的单调性,并说明理由．【分析】（1）根据函数的奇偶性的定义即可判断,需要分类讨论；（2）根据导数和函数的单调性的关系即可判断．【解答】解:（1）当a=0时,f（x）=,显然为奇函数,当a≠0时,f（1）=a+1,f（﹣1）=a﹣1,f（1）≠f（﹣1）,且f（1）+f（﹣1）≠0,所以此时f（x）为非奇非偶函数．（2）∵a∈（1,3）,f（x）=ax2+,∴f′（x）=2ax﹣=,∵a∈（1,3）,x∈[1,2],∴ax＞1,∴ax3＞1,∴2ax3﹣1＞0,∴f′（x）＞0,∴函数f（x）在[1,2]上的单调递增．【点评】本题考查了函数的奇偶性和单调性,属于基础题．21．（14分）（2015•上海）如图,O,P,Q三地有直道相通,OP=3千米,PQ=4千米,OQ=5千米,现甲、乙两警员同时从O地出发匀速前往Q地,经过t小时,他们之间的距离为f（t）（单位:千米）．甲的路线是OQ,速度为5千米/小时,乙的路线是OPQ,速度为8千米/小时,乙到达Q地后在原地等待．设t=t1时乙到达P地,t=t2时乙到达Q 地．（1）求t1与f（t1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米,当t1≤t≤t2时,求f（t）的表达式,并判断f（t）在[t1,t2]上的最大值是否超过3？说明理由．【分析】（1）用OP长度除以乙的速度即可求得t1=,当乙到达P点时,可设甲到达A点,连接AP,放在△AOP中根据余弦定理即可求得AP,也就得出f（t1）；（2）求出t2=,设t,且t小时后甲到达B地,而乙到达C地,并连接BC,能够用t表示出BQ,CQ,并且知道cos,这样根据余弦定理即可求出BC,即f（t）,然后求该函数的最大值,看是否超过3即可．【解答】解:（1）根据条件知,设此时甲到达A点,并连接AP,如图所示,则OA=；∴在△OAP中由余弦定理得,f（t1）=AP==（千米）；（2）可以求得,设t小时后,且,甲到达了B点,乙到达了C点,如图所示:则BQ=5﹣5t,CQ=7﹣8t；∴在△BCQ中由余弦定理得,f（t）=BC==；即f（t）=,；设g（t）=25t2﹣42t+18,,g（t）的对称轴为t=；且；即g（t）的最大值为,则此时f（t）取最大值；即f（t）在[t1,t2]上的最大值不超过3．【点评】考查余弦定理的应用,以及二次函数在闭区间上最值的求法．22．（16分）（2015•上海）已知椭圆x2+2y2=1,过原点的两条直线l1和l2分别与椭圆交于点A、B和C、D,记△AOC的面积为S．（1）设A（x1,y1）,C（x2,y2）,用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离,并证明S=|；（2）设l1:y=kx,,S=,求k的值；（3）设l1与l2的斜率之积为m,求m的值,使得无论l1和l2如何变动,面积S保持不变．【分析】（1）依题意,直线l1的方程为y=x,利用点到直线间的距离公式可求得点C到直线l1的距离d=,再利用|AB|=2|AO|=2,可证得S=|AB|d=|x1y2﹣x2y1|；（2）由（1）得:S=|x1y2﹣x2y1|=×|x1﹣y1|=,进而得到答案；（3）方法一:设直线l1的斜率为k,则直线l1的方程为y=kx,联立方程组,消去y解得x=±,可求得x1、x2、y1、y2,利用S=|x1y2﹣x2y1|=•,设=c（常数）,整理得:k4﹣2mk2+m2=c2[2k4+（1+4m2）k2+2m2],由于左右两边恒成立,可得,此时S=；方法二:设直线l1、l2的斜率分别为、,则=m,则mx1x2=﹣y1y2,变形整理,利用A（x1,y1）、C（x2,y2）在椭圆x2+2y2=1上,可求得面积S的值．【解答】解:（1）依题意,直线l1的方程为y=x,由点到直线间的距离公式得:点C到直线l1的距离d==,因为|AB|=2|AO|=2,所以S=|AB|d=|x1y2﹣x2y1|；（2）由（1）A（x1,y1）,C（x2,y2）,S=|x1y2﹣x2y1|=×|x1﹣y1|=．所以|x1﹣y1|=,由x12+2y12=1,解得A（,﹣）或（,﹣）或（﹣,）或（﹣,）,由k=,得k=﹣1或﹣；（3）方法一:设直线l1的斜率为k,则直线l2的斜率为,直线l1的方程为y=kx,联立方程组,消去y解得x=±,根据对称性,设x1=,则y1=,同理可得x2=,y2=,所以S=|x1y2﹣x2y1|=•,设=c（常数）,所以（m﹣k2）2=c2（1+2k2）（k2+2m2）,整理得:k4﹣2mk2+m2=c2[2k4+（1+4m2）k2+2m2],由于左右两边恒成立,所以只能是,所以,此时S=,综上所述,m=﹣,S=．方法二:设直线l1、l2的斜率分别为、,则=m,所以mx1x2=y1y2,∴m2==mx1x2y1y2,∵A（x1,y1）、C（x2,y2）在椭圆x2+2y2=1上,∴（）（）=+4+2（+）=1,即（+4m）x1x2y1y2+2（+）=1,所以+﹣2x1x2y1y2=（x1y2﹣x2y1）2=[1﹣（4m+）x1x2y1y2]﹣2x1x2y1y2=﹣（2m++2）x1x2y1y2,是常数,所以|x1y2﹣x2y1|是常数,所以令2m++2=0即可,所以,m=﹣,S=．综上所述,m=﹣,S=．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合应用,考查方程思想、等价转化思想与综合运算能力,属于难题．23．（18分）（2015•上海）已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n）,n∈N*．（1）若b n=3n+5,且a1=1,求{a n}的通项公式；（2）设{a n}的第n0项是最大项,即a n0≥a n（n∈N*）,求证:{b n}的第n0项是最大项；（3）设a1=3λ＜0,b n=λn（n∈N*）,求λ的取值范围,使得对任意m,n∈N*,a n≠0,且．【分析】（1）把b n=3n+5代入已知递推式可得a n+1﹣a n=6,由此得到{a n}是等差数列,则a n可求；（2）由a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1,结合递推式累加得到a n=2b n+a1﹣2b1,求得,进一步得到得答案；（3）由（2）可得,然后分﹣1＜λ＜0,λ=﹣1,λ＜﹣1三种情况求得a n 的最大值M和最小值m,再由∈（）列式求得λ的范围．﹣a n=2（b n+1﹣b n）,b n=3n+5,【解答】（1）解:∵a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n）=2（3n+8﹣3n﹣5）=6,∴a n+1∴{a n}是等差数列,首项为a1=1,公差为6,则a n=1+（n﹣1）×6=6n﹣5；（2）∵a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2（b n﹣b n﹣1）+2（b n﹣1﹣b n﹣2）+…+2（b2﹣b1）+a1=2b n+a1﹣2b1,∴,∴．∴数列{b n}的第n0项是最大项；（3）由（2）可得,①当﹣1＜λ＜0时,单调递减,有最大值；单调递增,有最小值m=a1=3λ＜0,∴的最小值为,最大值为,则,解得．∴λ∈（）．②当λ=﹣1时,a2n=1,a2n﹣1=﹣3,∴M=3,m=﹣1,不满足条件．③当λ＜﹣1时,当n→+∞时,a2n→+∞,无最大值；→﹣∞,无最小值．当n→+∞时,a2n﹣1综上所述,λ∈（﹣,0）时满足条件．【点评】本题考查了数列递推式,考查了等差关系的确定,考查了数列的函数特性,训练了累加法求数列的通项公式,对（3）的求解运用了极限思想方法,是中档题．参与本试卷答题和审题的老师有:caoqz；sllwyn；沂蒙松；sxs123；maths；刘长柏；danbo7801；吕静；wkl197822；whgcn；wfy814（排名不分先后）菁优网2017年3月17日。

2015年上海高考数学（文科）试题一、填空题（本大题共14小题，每题4分，满分56分）1、函数()x x f 2sin 31-=的最小正周期为 _________.2、设全集U R =，若集合{}4,3,2,1=A ，{}32|≤≤=x x B ，则=B C A U _________.3、若复数z 满足i z z +=+13_，其中i 为虚数单位，则z =___________.4、设()x f 1-为()12+=x x x f 的反函数，则()=-21f ___________.5、若线性方程组的增广矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛211302c c ，解为⎩⎨⎧==53y x ，则=-21c c ___________.6、若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为316，则=a ___________.7、抛物线()022>=p px y 上的动点Q 到其焦点距离的最小值为1，则=p ___________.8、方程()()223log 59log 1212+-=---x x 的解为___________.9、若y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-020y y x y x ，则目标函数()y x x f 2+=的最大值为___________.10、在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）11、在6212⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的二项展开式中，常数项等于 （结果用数值表示）.12、已知双曲线1C 、2C 的顶点重合，1C 的方程为1422=-y x ，若2C 的一条渐近线的斜率是1C 的一条渐近线的斜率的2倍，则2C 的方程为___________.13、已知平面向量,,满足b a ⊥，且}{}3,2,1=++的最大值 为___________.14、已知函数()x x f sin =，存在m x x x ,,21，满足π6021≤<<<≤m x x x ，且()()()()()()()*-∈≥=-++-+-N m m x f x f x f x f x f x f m m ,2,1213221 ，则m 的最小值为____.二、选择题（本大题共4小题，每题5分，满分20分）15、设C z z ∈21,，则“21z 、z 均为实数”是“21z z -为实数”的（ ）A 、充分非必要条件B 、必要非充分条件C 、充要条件下D 、既不充分也不必要条件16、下列不等式中，与不等式23282<+++x x x 解集相同的是（ ）A 、()()23282<+++x x xB 、 ()()32282++<+x x xC 、823212+<++x x xD 、218322>+++x x x17、已知点A 的坐标为()1,34，将OA 坐标原点O 逆时针方向旋转3π至OB ，则B 点的纵坐标为（ ）A 、233B 、235C 、211D 、213 18、设()n n n y x P ,是直线()*∈+=-N n n n y x 12与圆222=+y x 在第一象限的交点，则极限=--∞→11lim n nn x y （ ）A 、1-B 、21-C 、1D 、2三、解答题（本题共5大题，满分74分）19、（本题满分12分）如图，圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，底面的一条直径为AB ，C 为半圆弧AB 的中点，E 为劣弧BC 的中点，已知2PO =，1OA =，求三棱锥P AOC -的体积，并求异面直线PA 与OE 所成角。

一．填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律零分）1.函数xxf2sin31)(-=的最小正周期为 .【答案】π2.设全集R=U.若集合}4,3,2,1{=A，}32|{<≤=xxB，则=)(BCAU.【答案】}4,1{【解析】因为}32|{<≤=xxB，所以2|{<=xxBCU或}3≥x，又因为}4,3,2,1{=A，所以}4,1{)(=BCAU.【考点定位】集合的运算.3.若复数z满足izz+=+13，其中i是虚数单位，则=z .【答案】i2141+【解析】设),(R∈+=babiaz，则bia-=，因为izz+=+13，所以ibiabia+=-++1)(3，即ibia+=+124，所以⎩⎨⎧==1214ba，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2141ba，所以iz2141+=.【考点定位】复数的概念，复数的运算.4.设)(1xf-为12)(+=xxxf的反函数，则=-)2(1f .【答案】32-5.若线性方程组的增广矩阵为⎝⎛213⎪⎪⎭⎫21cc解为⎩⎨⎧==53yx，则=-21cc .【答案】166.若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为316，则=a .【答案】4【解析】依题意，3162321=⨯⨯⨯⨯aaa，解得4=a.【考点定位】等边三角形的性质，正三棱柱的性质.7.抛物线)0(22>=ppxy上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则=p . 【答案】2【解析】依题意，点Q为坐标原点，所以12=p，即2=p.【考点定位】抛物线的性质，最值.8. 方程2)23(log)59(log1212+-=---xx的解为 .【答案】2【考点定位】对数方程.【名师点睛】利用24log2=，)0,0(logloglog>>=+nmmnnmaaa将已知方程变形同底数2的两个对数式相等，再根据真数相等得到关于x的指数方程，再利用换元法求解.与对数有关的问题，应注意对数的真数大于零.9.若yx,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-2yyxyx，则目标函数yxz2+=的最大值为 .【答案】3【考点定位】不等式组表示的平面区域，简单的线性规划.10. 在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）. 【答案】120【考点定位】组合，分类计数原理.11.在62)12(x x +的二项式中，常数项等于 （结果用数值表示）. 【答案】240【解析】由rr r r rr r x C xx C T 366626612)1()2(---+⋅⋅=⋅⋅=，令036=-r ，所以2=r ，所以常数项为2402426=⋅C .【考点定位】二项式定理.【名师点睛】求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)．12.已知双曲线1C 、2C 的顶点重合，1C 的方程为1422=-y x ，若2C 的一条渐近线的斜率是1C 的一条渐近线的斜率的2倍，则2C 的方程为 .【答案】14422=-y x【考点定位】双曲线的性质，直线的斜率.13.已知平面向量a 、b 、c 满足b a ⊥，且}3,2,1{|}||,||,{|=c b a ，则||c b a ++的最大值是 . 【答案】53+【考点定位】平向量的模，向量垂直.【名师点睛】本题考查分析转化能力.设向量a 、b 、c 的坐标，用坐标表示++，利用辅助角公式求三角函数的最值.即可求得||++的最大值.14.已知函数x x f sin )(=.若存在1x ，2x ，⋅⋅⋅，m x 满足π6021≤<⋅⋅⋅<<≤m x x x ，且12|)()(||)()(||)()(|13221=-+⋅⋅⋅+-+--m m x f x f x f x f x f x f ),2(*∈≥N m m ，则m 的最小值为 .【答案】8二．选择题（本大题共4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律零分.15. 设1z 、C ∈2z ，则“1z 、2z 均为实数”是“21z z -是实数”的（ ）. A. 充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 【答案】A【解析】设),(11111R ∈+=b a i b a z ，),(22222R ∈+=b a i b a z ，若1z 、2z 均为实数，则021==b b ，所以21212121)(a a i b b a a z z -=-+-=-是实数；【考点定位】复数的概念，充分条件、必要条件的判定.16. 下列不等式中，与不等式23282<+++x x x 解集相同的是（ ）.A. 2)32)(8(2<+++x x x B. )32(282++<+x x xC. 823212+<++x x x D. 218322>+++x x x 【答案】B17. 已知点 A 的坐标为)1,34(，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π至OB ，则点B 的纵坐标为（ ）.A.233 B. 235 C.211 D. 213 【答案】D因为491)34(2222=+=+n m ，所以491692722=+n n ，所以213=n 或213-=n （舍去），所以点B 的纵坐标为213. 【考点定位】三角函数的定义，和角的正切公式，两点间距离公式.18. 设),(n n n y x P 是直线)(12*∈+=-N n n ny x 与圆222=+y x 在第一象限的交点，则极限=--∞→11limn n n x y ( ).A. 1-B. 21-C. 1D. 2 【答案】A三．解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分12分）如图，圆锥的顶点为P ，底面的一条直径为AB ，C 为半圆弧AB 的中点，E 为劣弧CB 的中点.已知2=PO ，1=OA ，求三棱锥AOC P -的体积，并求异面直线PA 与OE 所成角的大小.【答案】1010arccos【考点定位】圆锥的性质，异面直线的夹角.20.（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分. 已知函数xax x f 1)(2+=，其中a 为实数. （1）根据a 的不同取值，判断函数)(x f 的奇偶性，并说明理由； （2）若)3,1(∈a ，判断函数)(x f 在]2,1[上的单调性，并说明理由. 【答案】（1）)(x f 是非奇非偶函数；（2）函数)(x f 在]2,1[上单调递增. 【解析】（1）当0=a 时，xx f 1)(=，显然是奇函数； 当0≠a 时，1)1(+=a f ，1)1(-=-a f ，)1()1(-≠f f 且0)1()1(≠-+f f ， 所以此时)(x f 是非奇非偶函数.【考点定位】函数的奇偶性、单调性.21.（本小题14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.如图，C B A ,,三地有直道相通，5=AB 千米，3=AC 千米，4=BC 千米.现甲、乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为)(t f （单位：千米）.甲的路线是AB ，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB ，速度为8千米/小时.乙到达B 地后原地等待.设1t t =时乙到达C 地. （1）求1t 与)(1t f 的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当11≤≤t t 时，求)(t f 的表达式，并判断)(t f 在]1,[1t 上得最大值是否超过3？说明理由.【答案】（1）h 83，8413千米；（2）超过了3千米. 【解析】（1）h v AC t 831==乙，设此时甲运动到点P ，则8151==t v AP 甲千米，所以=⋅⋅-+==A AP AC AP AC PC t f cos 2)(22184135381532)815(322=⨯⨯⨯-+=千米.【考点定位】余弦定理的实际运用，函数的值域.【名师点睛】分段函数是一类重要的函数模型．解决分段函数问题，关键抓住在不同的段内研究问题，分段函数的值域，先求各段函数的值域，再求并集.22.（本题满分14分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分.已知椭圆1222=+y x ，过原点的两条直线1l 和2l 分别于椭圆交于A 、B 和C 、D ，设AOC ∆的面积为S .（1）设),(11y x A ，),(22y x C ，用A 、C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明||21221y x y x S -=；（2）设kx y l =:1，)33,33(C ，31=S ，求k 的值；（3）设1l 与2l 的斜率之积为m ，求m 的值，使得无论1l 与2l 如何变动，面积S 保持不变.【答案】（1）详见解析；（2）1-=k 或51-=k ；（3）21-=m .由（1）得2111221216|1|3|3333|21||21kk kx x y x y x S +-=-=-=由题意知31216|1|32=+-k k ，解得1-=k 或51-=k . （3）设kx y l =:1，则x kmy l =:2，设),(11y x A ，),(22y x C ，由⎩⎨⎧=+=1222yxkxy，的221211kx+=，同理2222222)(211mkkkmx+=+=，由（1）知，||||||21||21||2121212111221xxkmkkxxkmxxyxyxS⋅-⋅=⋅-⋅=-=22222212||mkkmk+⋅+-=，整理得0)18()2164()18(22222242=-++++-mSkmmSSkS，由题意知S与k无关，则⎪⎩⎪⎨⎧=++=-2164182222mmSSS，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==21812mS.所以21-=m.【考点定位】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.23.（本题满分16分）本题共3小题.第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分.已知数列}{na与}{nb满足)(211nnnnbbaa-=-++，*∈Nn.（1）若53+=n b n ，且11=a ，求数列}{n a 的通项公式；（2）设}{n a 的第0n 项是最大项，即)N (0*∈≥n a a n n ，求证：数列}{n b 的第0n 项是最大项；（3）设130a λ=<，n n b λ=)N (*∈n ，求λ的取值范围，使得对任意m ，*∈N n ，0n a ≠，且1(,6)6m na a ∈. 【答案】（1）56-=n a n ；（2）详见解析；（3）)0,4(-.（3）因为n n b λ=，所以)(211nn n n a a λλ-=-++，当2≥n 时，112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-+⋅⋅⋅+-+-=--- λλλλλλλ3)(2(2)(22211+-+⋅⋅⋅+-+-=---n n n nλλ+=n 2，由指数函数的单调性知，}{n a 的最大值为0222<+=λλa ，最小值为λ31=a ， 由题意，nma a 的最大值及最小值分别是12321+=λa a 及31212+=λa a ，由61312>+λ及6123<+λ，解得041<<-λ， 综上所述，λ的取值范围是)0,41(-.【考点定位】数列的递推公式，等差数列的性质，常数列，数列的最大项，指数函数的单调性.。

2015年上海市高考数学试卷（文科）一、填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律零分）1．（4分）函数f （）=1﹣3sin 2的最小正周期为 ．2．（4分）设全集U=R ，若集合A={1，2，3，4}，B={|2≤≤3}，则A ∩B= ．3．（4分）若复数满足3+=1+i ，其中i 是虚数单位，则= ．4．（4分）设f ﹣1（）为f （）=的反函数，则f ﹣1（2）= ．5．（4分）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c 1﹣c 2= ．6．（4分）若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为16，则a= ． 7．（4分）抛物线y 2=2p （p ＞0）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p= ．8．（4分）方程log 2（9﹣1﹣5）=log 2（3﹣1﹣2）+2的解为 ．9．（4分）若，y 满足，则目标函数=+2y 的最大值为 ．10．（4分）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）．11．（4分）在（2+）6的二项式中，常数项等于 （结果用数值表示）．12．（4分）已知双曲线C 1、C 2的顶点重合，C 1的方程为﹣y 2=1，若C 2的一条渐近线的斜率是C 1的一条渐近线的斜率的2倍，则C 2的方程为 ．13．（4分）已知平面向量、、满足⊥，且||，||，||}={1，2，3}，则|++|的最大值是 ．14．（4分）已知函数f （）=sin ．若存在1，2，…，m 满足0≤1＜2＜…＜m ≤6π，且|f （1）﹣f （2）|+|f （2）﹣f （3）|+…+|f （m ﹣1）﹣f （m ）|=12（m ≥2，m∈N *），则m 的最小值为 ．二、选择题（本大题共4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律零分.15．（5分）设1、2∈C ，则“1、2均为实数”是“1﹣2是实数”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件16．（5分）下列不等式中，与不等式＜2解集相同的是（ ） A ．（+8）（2+2+3）＜2 B ．+8＜2（2+2+3）C ．＜D ．＞17．（5分）已知点A 的坐标为（4，1），将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转至OB ，则点B 的纵坐标为（ ）A ．B ．C ．D ．18．（5分）设 P n （n ，y n ）是直线2﹣y=（n ∈N *）与圆2+y 2=2在第一象限的交点，则极限=（ ） A ．﹣1B ．﹣C ．1D ．2 三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）如图，圆锥的顶点为P ，底面圆为O ，底面的一条直径为AB ，C 为半圆弧的中点，E 为劣弧的中点，已知PO=2，OA=1，求三棱锥P ﹣AOC 的体积，并求异面直线PA 和OE 所成角的大小．20．（14分）已知函数f （）=a 2+，其中a 为常数（1）根据a 的不同取值，判断函数f （）的奇偶性，并说明理由；（2）若a ∈（1，3），判断函数f （）在[1，2]上的单调性，并说明理由．21．（14分）如图，O ，P ，Q 三地有直道相通，OP=3千米，PQ=4千米，OQ=5千米，现甲、乙两警员同时从O 地出发匀速前往Q 地，经过t 小时，他们之间的距离为f （t ）（单位：千米）．甲的路线是OQ ，速度为5千米/小时，乙的路线是OPQ ，速度为8千米/小时，乙到达Q 地后在原地等待．设t=t 1时乙到达P 地，t=t 2时乙到达Q 地．（1）求t 1与f （t 1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米，当t 1≤t ≤t 2时，求f （t ）的表达式，并判断f （t ）在[t 1，t 2]上的最大值是否超过3？说明理由．22．（16分）已知椭圆2+2y 2=1，过原点的两条直线l 1和l 2分别与椭圆交于点A 、B 和C 、D ，记△AOC 的面积为S ．（1）设A （1，y 1），C （2，y 2），用A 、C 的坐标表示点C 到直线l 1的距离，并证明S=|；（2）设l 1：y=，，S=，求的值；（3）设l 1与l 2的斜率之积为m ，求m 的值，使得无论l 1和l 2如何变动，面积S 保持不变．23．（18分）已知数列{a n }与{b n }满足a n+1﹣a n =2（b n+1﹣b n ），n ∈N *．（1）若b n =3n+5，且a 1=1，求{a n }的通项公式；（2）设{a n }的第n 0项是最大项，即a n0≥a n （n ∈N*），求证：{b n }的第n 0项是最大项；（3）设a 1=3λ＜0，b n =λn （n ∈N *），求λ的取值范围，使得对任意m ，n ∈N *，a n ≠0，且．2015年上海市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律零分）1．（4分）函数f（）=1﹣3sin2的最小正周期为π．【分析】由条件利用半角公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性求得函数的最小正周期．【解答】解：∵函数f（）=1﹣3sin2=1﹣3=﹣+cos2，∴函数的最小正周期为=π，故答案为：π．【点评】本题主要考查半角公式的应用，余弦函数的周期性，属于基础题．2．（4分）设全集U=R，若集合A={1，2，3，4}，B={|2≤≤3}，则A∩B= {2，3} ．【分析】由A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：∵全集U=R，A={1，2，3，4}，B={|2≤≤3}，∴A∩B={2，3}，故答案为：{2，3}【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．（4分）若复数满足3+=1+i，其中i是虚数单位，则= ．【分析】设=a+bi，则=a﹣bi（a，b∈R），利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解：设=a+bi，则=a﹣bi（a，b∈R），又3+=1+i ，∴3（a+bi ）+（a ﹣bi ）=1+i ，化为4a+2bi=1+i ，∴4a=1，2b=1，解得a=，b=．∴=． 故答案为：． 【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等，属于基础题．4．（4分）设f ﹣1（）为f （）=的反函数，则f ﹣1（2）= ﹣ ．【分析】由原函数解析式把用含有y 的代数式表示，，y 互换求出原函数的反函数，则f ﹣1（2）可求．【解答】解：由y=f （）=，得， ，y 互换可得，，即f ﹣1（）=． ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查了函数的反函数的求法，是基础的计算题．5．（4分）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c 1﹣c 2= 16 ．【分析】根据增广矩阵的定义得到，是方程组的解，解方程组即可．【解答】解：由题意知，是方程组的解， 即，则c 1﹣c 2=21﹣5=16，故答案为：16．【点评】本题主要考查增广矩阵的求解，根据条件建立方程组关系是解决本题的关键．6．（4分）若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为16，则a= 4 ． 【分析】由题意可得（•a •a •sin60°）•a=16，由此求得a 的值．【解答】解：由题意可得，正棱柱的底面是变长等于a 的等边三角形，面积为•a •a •sin60°，正棱柱的高为a ， ∴（•a •a •sin60°）•a=16，∴a=4，故答案为：4．【点评】本题主要考查正棱柱的定义以及体积公式，属于基础题．7．（4分）抛物线y 2=2p （p ＞0）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p= 2 ．【分析】利用抛物线的顶点到焦点的距离最小，即可得出结论．【解答】解：因为抛物线y 2=2p （p ＞0）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1， 所以=1，所以p=2．故答案为：2．【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．8．（4分）方程log 2（9﹣1﹣5）=log 2（3﹣1﹣2）+2的解为 2 ．【分析】利用对数的运算性质化为指数类型方程，解出并验证即可．【解答】解：∵log 2（9﹣1﹣5）=log 2（3﹣1﹣2）+2，∴log 2（9﹣1﹣5）=log 2[4×（3﹣1﹣2）]，∴9﹣1﹣5=4（3﹣1﹣2），化为（3）2﹣12•3+27=0，因式分解为：（3﹣3）（3﹣9）=0，∴3=3，3=9，解得=1或2．经过验证：=1不满足条件，舍去．∴=2．故答案为：2．【点评】本题考查了对数的运算性质及指数运算性质及其方程的解法，考查了计算能力，属于基础题．9．（4分）若，y 满足，则目标函数=+2y 的最大值为 3 ．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由=+2y 得y=﹣+，平移直线y=﹣+，由图象可知当直线y=﹣+经过点B 时，直线y=﹣+的截距最大， 此时最大．由，解得，即B（1，1），代入目标函数=+2y得=2×1+1=3故答案为：3．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．10．（4分）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为120 （结果用数值表示）．【分析】根据题意，运用排除法分析，先在9名老师中选取5人，参加义务献血，由组合数公式可得其选法数目，再排除其中只有女教师的情况；即可得答案．【解答】解：根据题意，报名的有3名男老师和6名女教师，共9名老师，5=126种；在9名老师中选取5人，参加义务献血，有C95=6种情况；其中只有女教师的有C6则男、女教师都有的选取方式的种数为126﹣6=120种；故答案为：120．【点评】本题考查排列、组合的运用，本题适宜用排除法（间接法），可以避免分类讨论，简化计算．11．（4分）在（2+）6的二项式中，常数项等于240 （结果用数值表示）．【分析】写出二项展开式的通项，由的指数为0求得r值，则答案可求．【解答】解：由（2+）6，得=．由6﹣3r=0，得r=2． ∴常数项等于． 故答案为：240．【点评】本题考查了二项式系数的性质，关键是对二项展开式通项的记忆与运用，是基础题．12．（4分）已知双曲线C 1、C 2的顶点重合，C 1的方程为﹣y 2=1，若C 2的一条渐近线的斜率是C 1的一条渐近线的斜率的2倍，则C 2的方程为．【分析】求出C 1的一条渐近线的斜率，可得C 2的一条渐近线的斜率，利用双曲线C 1、C 2的顶点重合，可得C 2的方程．【解答】解：C 1的方程为﹣y 2=1，一条渐近线的方程为y=，因为C 2的一条渐近线的斜率是C 1的一条渐近线的斜率的2倍，所以C 2的一条渐近线的方程为y=，因为双曲线C 1、C 2的顶点重合，所以C 2的方程为． 故答案为：． 【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．13．（4分）已知平面向量、、满足⊥，且||，||，||}={1，2，3}，则|++|的最大值是 3+ ．【分析】分别以所在的直线为，y轴建立直角坐标系，分类讨论：当{||，||}={1，2}，||=3，设，则2+y2=9，则++=（1+，2+y），有||=的最大值，其几何意义是圆2+y2=9上点（，y）与定点（﹣1，﹣2）的距离的最大值；其他情况同理，然后求出各种情况的最大值进行比较即可．【解答】解：分别以所在的直线为，y轴建立直角坐标系，①当{||，||}={1，2}，||=3，则，设，则2+y2=9，∴++=（1+，2+y），∴||=的最大值，其几何意义是圆2+y2=9上点（，y）与定点（﹣1，﹣2）的距离的最大值为=3+；②且{||，||}={1，3}，||=2，则，2+y2=4，∴++=（1+，3+y）∴||=的最大值，其几何意义是圆2+y2=4上点（，y）与定点（﹣1，﹣3）的距离的最大值为2+=2+，③{||，||}={2，3}，||=1，则，设，则2+y2=1∴++=（2+，3+y）∴||=的最大值，其几何意义是在圆2+y2=1上取点（，y）与定点（﹣2，﹣3）的距离的最大值为1+=1+∵，故|++|的最大值为3+．故答案为：3+【点评】本题主要考查了向量的模的求解，解题的关键是圆的性质的应用：在圆外取一点，使得其到圆上点的距离的最大值：r+d（r为该圆的半径，d为该点与圆心的距离）．14．（4分）已知函数f （）=sin ．若存在1，2，…，m 满足0≤1＜2＜…＜m ≤6π，且|f （1）﹣f （2）|+|f （2）﹣f （3）|+…+|f （m ﹣1）﹣f （m ）|=12（m ≥2，m ∈N *），则m 的最小值为 8 ．【分析】由正弦函数的有界性可得，对任意i ，j （i ，j=1，2，3，…，m ），都有|f （i ）﹣f （j ）|≤f （）ma ﹣f （）min =2，要使m 取得最小值，尽可能多让i（i=1，2，3，…，m ）取得最高点，然后作图可得满足条件的最小m 值． 【解答】解：∵y=sin 对任意i ，j （i ，j=1，2，3，…，m ），都有|f （i ）﹣f （j ）|≤f （）ma ﹣f （）min =2，要使m 取得最小值，尽可能多让i （i=1，2，3，…，m ）取得最高点， 考虑0≤1＜2＜…＜m ≤6π，|f （1）﹣f （2）|+|f （2）﹣f （3）|+…+|f （m ﹣1）﹣f （m ）|=12，按下图取值即可满足条件，∴m 的最小值为8． 故答案为：8．【点评】本题考查正弦函数的图象和性质，考查分析问题和解决问题的能力，考查数学转化思想方法，正确理解对任意i ，j （i ，j=1，2，3，…，m ），都有|f （i ）﹣f （j ）|≤f （）ma ﹣f （）min =2是解答该题的关键，是难题．二、选择题（本大题共4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律零分.15．（5分）设1、2∈C ，则“1、2均为实数”是“1﹣2是实数”的（ ） A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合复数的有关概念进行判断即可． 【解答】解：若1、2均为实数，则1﹣2是实数，即充分性成立，当1=i ，2=i ，满足1﹣2=0是实数，但1、2均为实数不成立，即必要性不成立， 故“1、2均为实数”是“1﹣2是实数”的充分不必要条件， 故选：A ．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据复数的有关概念是解决本题的关键．16．（5分）下列不等式中，与不等式＜2解集相同的是（ ）A ．（+8）（2+2+3）＜2B ．+8＜2（2+2+3）C ．＜D ．＞【分析】根据2+2+3=（+1）2+2＞0，可得不等式＜2，等价于+8＜2（2+2+3），从而得出结论．【解答】解：由于2+2+3=（+1）2+2＞0，不等式＜2，等价于+8＜2（2+2+3）， 故选：B ．【点评】本题主要考查不等式的基本性质的应用，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．17．（5分）已知点A 的坐标为（4，1），将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转至OB ，则点B 的纵坐标为（ ） A ．B ．C ．D ．【分析】根据三角函数的定义，求出∠OA 的三角函数值，利用两角和差的正弦公式进行求解即可．【解答】解：∵点 A 的坐标为（4，1），∴设∠OA=θ，则sin θ==，cos θ==，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转至OB ，则OB 的倾斜角为θ+，则|OB|=|OA|=，则点B 的纵坐标为y=|OB|sin （θ+）=7（sin θcos+cos θsin）=7（×+）=+6=，故选：D ．【点评】本题主要考查三角函数值的计算，根据三角函数的定义以及两角和差的正弦公式是解决本题的关键．18．（5分）设 P n （n ，y n ）是直线2﹣y=（n ∈N *）与圆2+y 2=2在第一象限的交点，则极限=（ ） A ．﹣1B ．﹣C ．1D ．2【分析】当n →+∞时，直线2﹣y=趋近于2﹣y=1，与圆2+y 2=2在第一象限的交点无限靠近（1，1），利用圆的切线的斜率、斜率计算公式即可得出．【解答】解：当n →+∞时，直线2﹣y=趋近于2﹣y=1，与圆2+y 2=2在第一象限的交点无限靠近（1，1），而可看作点Pn （n，yn）与（1，1）连线的斜率，其值会无限接近圆2+y2=2在点（1，1）处的切线的斜率，其斜率为﹣1．∴=﹣1．故选：A．【点评】本题考查了极限思想、圆的切线的斜率、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）如图，圆锥的顶点为P，底面圆为O，底面的一条直径为AB，C 为半圆弧的中点，E为劣弧的中点，已知PO=2，OA=1，求三棱锥P﹣AOC的体积，并求异面直线PA和OE所成角的大小．【分析】由条件便知PO为三棱锥P﹣AOC的高，底面积S△AOC又容易得到，从而带入棱锥的体积公式即可得到该三棱锥的体积．根据条件能够得到OE∥AC，从而找到异面直线PA，OE所成角为∠PAC，可取AC中点H，连接PH，便得到PH⊥AC，从而可在Rt△PAH中求出cos∠PAC，从而得到∠PAC．【解答】解：∵PO=2，OA=1，OC⊥AB；∴；E为劣弧的中点；∴∠BOE=45°，又∠ACO=45°；∴OE∥AC；∴∠PAC便是异面直线PA和OE所成角；在△ACP中，AC=，；如图，取AC中点H，连接PH，则PH⊥AC，AH=；∴在Rt△PAH中，cos∠PAH=；∴异面直线PA与OE所成角的大小为arccos．【点评】考查圆锥的定义，圆锥的高和母线，等弧所对的圆心角相等，能判断两直线平行，以及异面直线所成角的定义及找法、求法，能用反三角函数表示角．20．（14分）已知函数f（）=a2+，其中a为常数（1）根据a的不同取值，判断函数f（）的奇偶性，并说明理由；（2）若a∈（1，3），判断函数f（）在[1，2]上的单调性，并说明理由．【分析】（1）根据函数的奇偶性的定义即可判断，需要分类讨论；（2）根据导数和函数的单调性的关系即可判断．【解答】解：（1）当a=0时，f（）=，显然为奇函数，当a≠0时，f（1）=a+1，f（﹣1）=a﹣1，f（1）≠f（﹣1），且f（1）+f（﹣1）≠0，所以此时f （）为非奇非偶函数． （2）∵a ∈（1，3），f （）=a 2+， ∴f ′（）=2a ﹣=，∵a ∈（1，3），∈[1，2]， ∴a ＞1， ∴a 3＞1， ∴2a 3﹣1＞0， ∴f ′（）＞0，∴函数f （）在[1，2]上的单调递增．【点评】本题考查了函数的奇偶性和单调性，属于基础题．21．（14分）如图，O ，P ，Q 三地有直道相通，OP=3千米，PQ=4千米，OQ=5千米，现甲、乙两警员同时从O 地出发匀速前往Q 地，经过t 小时，他们之间的距离为f （t ）（单位：千米）．甲的路线是OQ ，速度为5千米/小时，乙的路线是OPQ ，速度为8千米/小时，乙到达Q 地后在原地等待．设t=t 1时乙到达P 地，t=t 2时乙到达Q 地． （1）求t 1与f （t 1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米，当t 1≤t ≤t 2时，求f （t ）的表达式，并判断f （t ）在[t 1，t 2]上的最大值是否超过3？说明理由．【分析】（1）用OP 长度除以乙的速度即可求得t 1=，当乙到达P 点时，可设甲到达A点，连接AP，放在△AOP中根据余弦定理即可求得AP，也就得出f（t）；1=，设t，且t小时后甲到达B地，而乙到达C地，（2）求出t2并连接BC，能够用t表示出BQ，CQ，并且知道cos，这样根据余弦定理即可求出BC，即f（t），然后求该函数的最大值，看是否超过3即可．【解答】解：（1）根据条件知，设此时甲到达A点，并连接AP，如图所示，则OA=；∴在△OAP中由余弦定理得，f（t）1=AP==（千米）；（2）可以求得，设t小时后，且，甲到达了B点，乙到达了C点，如图所示：则BQ=5﹣5t，CQ=7﹣8t；∴在△BCQ中由余弦定理得，f（t）=BC==；即f （t ）=，；设g （t ）=25t 2﹣42t+18，，g （t ）的对称轴为t=；且；即g （t ）的最大值为，则此时f （t ）取最大值；即f （t ）在[t 1，t 2]上的最大值不超过3．【点评】考查余弦定理的应用，以及二次函数在闭区间上最值的求法．22．（16分）已知椭圆2+2y 2=1，过原点的两条直线l 1和l 2分别与椭圆交于点A 、B 和C 、D ，记△AOC 的面积为S ．（1）设A （1，y 1），C （2，y 2），用A 、C 的坐标表示点C 到直线l 1的距离，并证明S=|；（2）设l 1：y=，，S=，求的值；（3）设l 1与l 2的斜率之积为m ，求m 的值，使得无论l 1和l 2如何变动，面积S 保持不变．【分析】（1）依题意，直线l 1的方程为y=，利用点到直线间的距离公式可求得点C到直线l 1的距离d=，再利用|AB|=2|AO|=2，可证得S=|AB|d=|1y 2﹣2y 1|；（2）由（1）得：S=|1y 2﹣2y 1|=×|1﹣y 1|=，进而得到答案；（3）方法一：设直线l 1的斜率为，则直线l 1的方程为y=，联立方程组，消去y 解得=±，可求得1、2、y 1、y 2，利用S=|1y 2﹣2y 1|=•，设=c （常数），整理得：4﹣2m 2+m 2=c 2[24+（1+4m 2）2+2m 2]，由于左右两边恒成立，可得，此时S=；方法二：设直线l 1、l 2的斜率分别为、，则=m ，则m 12=﹣y 1y 2，变形整理，利用A （1，y 1）、C （2，y 2）在椭圆2+2y 2=1上，可求得面积S 的值． 【解答】解：（1）依题意，直线l 1的方程为y=，由点到直线间的距离公式得：点C 到直线l 1的距离d==，因为|AB|=2|AO|=2，所以S=|AB|d=|1y 2﹣2y 1|；（2）由（1）A （1，y 1），C （2，y 2）， S=|1y 2﹣2y 1|=×|1﹣y 1|=．所以|1﹣y 1|=，由12+2y 12=1， 解得A （，﹣）或（，﹣）或（﹣，）或（﹣，），由=，得=﹣1或﹣；（3）方法一：设直线l 1的斜率为，则直线l 2的斜率为，直线l 1的方程为y=， 联立方程组，消去y 解得=±，根据对称性，设1=，则y 1=，同理可得2=，y 2=，所以S=|1y 2﹣2y 1|=•，设=c （常数），所以（m ﹣2）2=c 2（1+22）（2+2m 2）， 整理得：4﹣2m 2+m 2=c 2[24+（1+4m 2）2+2m 2]，由于左右两边恒成立，所以只能是，所以，此时S=，综上所述，m=﹣，S=．方法二：设直线l 1、l 2的斜率分别为、，则=m ， 所以m 12=y 1y 2，∴m 2==m 12y 1y 2，∵A （1，y 1）、C （2，y 2）在椭圆2+2y 2=1上，∴（）（）=+4+2（+）=1， 即（+4m ）12y 1y 2+2（+）=1，所以+﹣212y 1y 2=（1y 2﹣2y 1）2=[1﹣（4m+）12y 1y 2]﹣212y 1y 2=﹣（2m++2）12y 1y 2，是常数，所以|1y 2﹣2y 1|是常数，所以令2m++2=0即可，所以，m=﹣，S=．综上所述，m=﹣，S=． 【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，考查方程思想、等价转化思想与综合运算能力，属于难题．23．（18分）已知数列{a n }与{b n }满足a n+1﹣a n =2（b n+1﹣b n ），n ∈N *．（1）若b n =3n+5，且a 1=1，求{a n }的通项公式；（2）设{a n }的第n 0项是最大项，即a n0≥a n （n ∈N*），求证：{b n }的第n 0项是最大项；（3）设a 1=3λ＜0，b n =λn （n ∈N *），求λ的取值范围，使得对任意m ，n ∈N *，a n ≠0，且．【分析】（1）把b n =3n+5代入已知递推式可得a n+1﹣a n =6，由此得到{a n }是等差数列，则a n 可求；（2）由a n =（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a 1，结合递推式累加得到a n =2b n +a 1﹣2b 1，求得，进一步得到得答案；（3）由（2）可得，然后分﹣1＜λ＜0，λ=﹣1，λ＜﹣1三种情况求得a n 的最大值M 和最小值m ，再由∈（）列式求得λ的范围． 【解答】（1）解：∵a n+1﹣a n =2（b n+1﹣b n ），b n =3n+5，∴a n+1﹣a n =2（b n+1﹣b n ）=2（3n+8﹣3n ﹣5）=6，∴{a n }是等差数列，首项为a 1=1，公差为6，则a n =1+（n ﹣1）×6=6n ﹣5；（2）∵a n =（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a 1=2（b n ﹣b n ﹣1）+2（b n ﹣1﹣b n ﹣2）+…+2（b 2﹣b 1）+a 1=2b n +a 1﹣2b 1， ∴， ∴．∴数列{bn }的第n项是最大项；（3）由（2）可得，①当﹣1＜λ＜0时，单调递减，有最大值；单调递增，有最小值m=a1=3λ＜0，∴的最小值为，最大值为，则，解得．∴λ∈（）．②当λ=﹣1时，a2n =1，a2n﹣1=﹣3，∴M=3，m=﹣1，不满足条件．③当λ＜﹣1时，当n→+∞时，a2n→+∞，无最大值；当n→+∞时，a2n﹣1→﹣∞，无最小值．综上所述，λ∈（﹣，0）时满足条件．【点评】本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了数列的函数特性，训练了累加法求数列的通项公式，对（3）的求解运用了极限思想方法，是中档题．。

2015年上海市高考数学试卷（文科）一、填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律零分）1．（4分）函数f（x）=1﹣3sin2x的最小正周期为．2．（4分）设全集U=R，若集合A={1，2，3，4}，B={x|2≤x≤3}，则A∩B=．3．（4分）若复数z满足3z+=1+i，其中i是虚数单位，则z=．4．（4分）设f﹣1（x）为f（x）=的反函数，则f﹣1（2）=．5．（4分）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣c2=．6．（4分）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a=．7．（4分）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p=．8．（4分）方程log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2的解为．9．（4分）若x，y满足，则目标函数z=x+2y的最大值为．10．（4分）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）．11．（4分）在（2x+）6的二项式中，常数项等于（结果用数值表示）．12．（4分）已知双曲线C1、C2的顶点重合，C1的方程为﹣y2=1，若C2的一条渐近线的斜率是C1的一条渐近线的斜率的2倍，则C2的方程为．13．（4分）已知平面向量、、满足⊥，且||，||，||}={1，2，3}，则|++|的最大值是．14．（4分）已知函数f（x）=sinx．若存在x1，x2，…，x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m ≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|=12（m ≥2，m∈N*），则m的最小值为．二、选择题（本大题共4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律零分.15．（5分）设z1、z2∈C，则“z1、z2均为实数”是“z1﹣z2是实数”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件16．（5分）下列不等式中，与不等式＜2解集相同的是（）A．（x+8）（x2+2x+3）＜2 B．x+8＜2（x2+2x+3）C．＜D．＞17．（5分）已知点A的坐标为（4，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为（）A．B．C．D．18．（5分）设P n（x n，y n）是直线2x﹣y=（n∈N*）与圆x2+y2=2在第一象限的交点，则极限=（）A．﹣1 B．﹣ C．1 D．2三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）如图，圆锥的顶点为P，底面圆为O，底面的一条直径为AB，C为半圆弧的中点，E为劣弧的中点，已知PO=2，OA=1，求三棱锥P﹣AOC的体积，并求异面直线PA和OE所成角的大小．20．（14分）已知函数f（x）=ax2+，其中a为常数（1）根据a的不同取值，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若a∈（1，3），判断函数f（x）在[1，2]上的单调性，并说明理由．21．（14分）如图，O，P，Q三地有直道相通，OP=3千米，PQ=4千米，OQ=5千米，现甲、乙两警员同时从O地出发匀速前往Q地，经过t小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）．甲的路线是OQ，速度为5千米/小时，乙的路线是OPQ，速度为8千米/小时，乙到达Q地后在原地等待．设t=t1时乙到达P地，t=t2时乙到达Q地．（1）求t1与f（t1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米，当t1≤t≤t2时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在[t1，t2]上的最大值是否超过3？说明理由．22．（16分）已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别与椭圆交于点A、B和C、D，记△AOC的面积为S．（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=|；（2）设l1：y=kx，，S=，求k的值；（3）设l1与l2的斜率之积为m，求m的值，使得无论l1和l2如何变动，面积S 保持不变．23．（18分）已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n），n∈N*．（1）若b n=3n+5，且a1=1，求{a n}的通项公式；（2）设{a n}的第n0项是最大项，即a n0≥a n（n∈N*），求证：{b n}的第n0项是最大项；（3）设a1=3λ＜0，b n=λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得对任意m，n∈N*，a n≠0，且．2015年上海市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律零分）1．（4分）函数f（x）=1﹣3sin2x的最小正周期为π．【分析】由条件利用半角公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性求得函数的最小正周期．【解答】解：∵函数f（x）=1﹣3sin2x=1﹣3=﹣+cos2x，∴函数的最小正周期为=π，故答案为：π．【点评】本题主要考查半角公式的应用，余弦函数的周期性，属于基础题．2．（4分）设全集U=R，若集合A={1，2，3，4}，B={x|2≤x≤3}，则A∩B={2，3} ．【分析】由A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：∵全集U=R，A={1，2，3，4}，B={x|2≤x≤3}，∴A∩B={2，3}，故答案为：{2，3}【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．（4分）若复数z满足3z+=1+i，其中i是虚数单位，则z=．【分析】设z=a+bi，则=a﹣bi（a，b∈R），利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解：设z=a+bi，则=a﹣bi（a，b∈R），又3z+=1+i，∴3（a+bi）+（a﹣bi）=1+i，化为4a+2bi=1+i，∴4a=1，2b=1，解得a=，b=．∴z=．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等，属于基础题．4．（4分）设f﹣1（x）为f（x）=的反函数，则f﹣1（2）=﹣．【分析】由原函数解析式把x用含有y的代数式表示，x，y互换求出原函数的反函数，则f﹣1（2）可求．【解答】解：由y=f（x）=，得，x，y互换可得，，即f﹣1（x）=．∴．故答案为：．【点评】本题考查了函数的反函数的求法，是基础的计算题．5．（4分）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣c2=16．【分析】根据增广矩阵的定义得到，是方程组的解，解方程组即可．【解答】解：由题意知，是方程组的解，即，则c1﹣c2=21﹣5=16，故答案为：16．【点评】本题主要考查增广矩阵的求解，根据条件建立方程组关系是解决本题的关键．6．（4分）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a=4．【分析】由题意可得（•a•a•sin60°）•a=16，由此求得a的值．【解答】解：由题意可得，正棱柱的底面是变长等于a的等边三角形，面积为•a•a•sin60°，正棱柱的高为a，∴（•a•a•sin60°）•a=16，∴a=4，故答案为：4．【点评】本题主要考查正棱柱的定义以及体积公式，属于基础题．7．（4分）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p= 2．【分析】利用抛物线的顶点到焦点的距离最小，即可得出结论．【解答】解：因为抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，所以=1，所以p=2．故答案为：2．【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．8．（4分）方程log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2的解为2．【分析】利用对数的运算性质化为指数类型方程，解出并验证即可．【解答】解：∵log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2，∴log2（9x﹣1﹣5）=log2[4×（3x﹣1﹣2）]，∴9x﹣1﹣5=4（3x﹣1﹣2），化为（3x）2﹣12•3x+27=0，因式分解为：（3x﹣3）（3x﹣9）=0，∴3x=3，3x=9，解得x=1或2．经过验证：x=1不满足条件，舍去．∴x=2．故答案为：2．【点评】本题考查了对数的运算性质及指数运算性质及其方程的解法，考查了计算能力，属于基础题．9．（4分）若x，y满足，则目标函数z=x+2y的最大值为3．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+2y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点B时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即B（1，1），代入目标函数z=x+2y得z=2×1+1=3故答案为：3．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．10．（4分）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为120（结果用数值表示）．【分析】根据题意，运用排除法分析，先在9名老师中选取5人，参加义务献血，由组合数公式可得其选法数目，再排除其中只有女教师的情况；即可得答案．【解答】解：根据题意，报名的有3名男老师和6名女教师，共9名老师，在9名老师中选取5人，参加义务献血，有C95=126种；其中只有女教师的有C65=6种情况；则男、女教师都有的选取方式的种数为126﹣6=120种；故答案为：120．【点评】本题考查排列、组合的运用，本题适宜用排除法（间接法），可以避免分类讨论，简化计算．11．（4分）在（2x+）6的二项式中，常数项等于240（结果用数值表示）．【分析】写出二项展开式的通项，由x的指数为0求得r值，则答案可求．【解答】解：由（2x+）6，得=．由6﹣3r=0，得r=2．∴常数项等于．故答案为：240．【点评】本题考查了二项式系数的性质，关键是对二项展开式通项的记忆与运用，是基础题．12．（4分）已知双曲线C1、C2的顶点重合，C1的方程为﹣y2=1，若C2的一条渐近线的斜率是C1的一条渐近线的斜率的2倍，则C2的方程为．【分析】求出C1的一条渐近线的斜率，可得C2的一条渐近线的斜率，利用双曲线C1、C2的顶点重合，可得C2的方程．【解答】解：C1的方程为﹣y2=1，一条渐近线的方程为y=，因为C2的一条渐近线的斜率是C1的一条渐近线的斜率的2倍，所以C2的一条渐近线的方程为y=x，因为双曲线C1、C2的顶点重合，所以C2的方程为．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．13．（4分）已知平面向量、、满足⊥，且||，||，||}={1，2，3}，则|++|的最大值是3+．【分析】分别以所在的直线为x，y轴建立直角坐标系，分类讨论：当{||，||}={1，2}，||=3，设，则x2+y2=9，则++=（1+x，2+y），有||=的最大值，其几何意义是圆x2+y2=9上点（x，y）与定点（﹣1，﹣2）的距离的最大值；其他情况同理，然后求出各种情况的最大值进行比较即可．【解答】解：分别以所在的直线为x，y轴建立直角坐标系，①当{||，||}={1，2}，||=3，则，设，则x2+y2=9，∴++=（1+x，2+y），∴||=的最大值，其几何意义是圆x2+y2=9上点（x，y）与定点（﹣1，﹣2）的距离的最大值为=3+；②且{||，||}={1，3}，||=2，则，x2+y2=4，∴++=（1+x，3+y）∴||=的最大值，其几何意义是圆x2+y2=4上点（x，y）与定点（﹣1，﹣3）的距离的最大值为2+=2+，③{||，||}={2，3}，||=1，则，设，则x2+y2=1∴++=（2+x，3+y）∴||=的最大值，其几何意义是在圆x2+y2=1上取点（x，y）与定点（﹣2，﹣3）的距离的最大值为1+=1+∵，故|++|的最大值为3+．故答案为：3+【点评】本题主要考查了向量的模的求解，解题的关键是圆的性质的应用：在圆外取一点，使得其到圆上点的距离的最大值：r+d（r为该圆的半径，d为该点与圆心的距离）．14．（4分）已知函数f（x）=sinx．若存在x1，x2，…，x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m ≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|=12（m ≥2，m∈N*），则m的最小值为8．【分析】由正弦函数的有界性可得，对任意x i，x j（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f（x）max﹣f（x）min=2，要使m取得最小值，尽可能多让x i （i=1，2，3，…，m）取得最高点，然后作图可得满足条件的最小m值．【解答】解：∵y=sinx对任意x i，x j（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f（x）max﹣f（x）min=2，要使m取得最小值，尽可能多让x i（i=1，2，3，…，m）取得最高点，考虑0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π，|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|=12，按下图取值即可满足条件，∴m的最小值为8．故答案为：8．【点评】本题考查正弦函数的图象和性质，考查分析问题和解决问题的能力，考查数学转化思想方法，正确理解对任意x i，x j（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f（x）max﹣f（x）min=2是解答该题的关键，是难题．二、选择题（本大题共4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律零分.15．（5分）设z1、z2∈C，则“z1、z2均为实数”是“z1﹣z2是实数”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合复数的有关概念进行判断即可．【解答】解：若z1、z2均为实数，则z1﹣z2是实数，即充分性成立，当z1=i，z2=i，满足z1﹣z2=0是实数，但z1、z2均为实数不成立，即必要性不成立，故“z1、z2均为实数”是“z1﹣z2是实数”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据复数的有关概念是解决本题的关键．16．（5分）下列不等式中，与不等式＜2解集相同的是（）A．（x+8）（x2+2x+3）＜2 B．x+8＜2（x2+2x+3）C．＜D．＞【分析】根据x2+2x+3=（x+1）2+2＞0，可得不等式＜2，等价于x+8＜2（x2+2x+3），从而得出结论．【解答】解：由于x2+2x+3=（x+1）2+2＞0，不等式＜2，等价于x+8＜2（x2+2x+3），故选：B．【点评】本题主要考查不等式的基本性质的应用，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．17．（5分）已知点A的坐标为（4，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为（）A．B．C．D．【分析】根据三角函数的定义，求出∠xOA的三角函数值，利用两角和差的正弦公式进行求解即可．【解答】解：∵点A的坐标为（4，1），∴设∠xOA=θ，则sinθ==，cosθ==，将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则OB的倾斜角为θ+，则|OB|=|OA|=，则点B的纵坐标为y=|OB|sin（θ+）=7（sinθcos+cosθsin）=7（×+）=+6=，故选：D．【点评】本题主要考查三角函数值的计算，根据三角函数的定义以及两角和差的正弦公式是解决本题的关键．18．（5分）设P n（x n，y n）是直线2x﹣y=（n∈N*）与圆x2+y2=2在第一象限的交点，则极限=（）A．﹣1 B．﹣ C．1 D．2【分析】当n→+∞时，直线2x﹣y=趋近于2x﹣y=1，与圆x2+y2=2在第一象限的交点无限靠近（1，1），利用圆的切线的斜率、斜率计算公式即可得出．【解答】解：当n→+∞时，直线2x﹣y=趋近于2x﹣y=1，与圆x2+y2=2在第一象限的交点无限靠近（1，1），而可看作点P n（x n，y n）与（1，1）连线的斜率，其值会无限接近圆x2+y2=2在点（1，1）处的切线的斜率，其斜率为﹣1．∴=﹣1．故选：A．【点评】本题考查了极限思想、圆的切线的斜率、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）如图，圆锥的顶点为P，底面圆为O，底面的一条直径为AB，C为半圆弧的中点，E为劣弧的中点，已知PO=2，OA=1，求三棱锥P﹣AOC的体积，并求异面直线PA和OE所成角的大小．【分析】由条件便知PO为三棱锥P﹣AOC的高，底面积S又容易得到，从而△AOC带入棱锥的体积公式即可得到该三棱锥的体积．根据条件能够得到OE∥AC，从而找到异面直线PA，OE所成角为∠PAC，可取AC中点H，连接PH，便得到PH ⊥AC，从而可在Rt△PAH中求出cos∠PAC，从而得到∠PAC．【解答】解：∵PO=2，OA=1，OC⊥AB；∴；E为劣弧的中点；∴∠BOE=45°，又∠ACO=45°；∴OE∥AC；∴∠PAC便是异面直线PA和OE所成角；在△ACP中，AC=，；如图，取AC中点H，连接PH，则PH⊥AC，AH=；∴在Rt△PAH中，cos∠PAH=；∴异面直线PA与OE所成角的大小为arccos．【点评】考查圆锥的定义，圆锥的高和母线，等弧所对的圆心角相等，能判断两直线平行，以及异面直线所成角的定义及找法、求法，能用反三角函数表示角．20．（14分）已知函数f（x）=ax2+，其中a为常数（1）根据a的不同取值，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若a∈（1，3），判断函数f（x）在[1，2]上的单调性，并说明理由．【分析】（1）根据函数的奇偶性的定义即可判断，需要分类讨论；（2）根据导数和函数的单调性的关系即可判断．【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=，显然为奇函数，当a≠0时，f（1）=a+1，f（﹣1）=a﹣1，f（1）≠f（﹣1），且f（1）+f（﹣1）≠0，所以此时f（x）为非奇非偶函数．（2）∵a∈（1，3），f（x）=ax2+，∴f′（x）=2ax﹣=，∵a∈（1，3），x∈[1，2]，∴ax＞1，∴ax3＞1，∴2ax3﹣1＞0，∴f′（x）＞0，∴函数f（x）在[1，2]上的单调递增．【点评】本题考查了函数的奇偶性和单调性，属于基础题．21．（14分）如图，O，P，Q三地有直道相通，OP=3千米，PQ=4千米，OQ=5千米，现甲、乙两警员同时从O地出发匀速前往Q地，经过t小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）．甲的路线是OQ，速度为5千米/小时，乙的路线是OPQ，速度为8千米/小时，乙到达Q地后在原地等待．设t=t1时乙到达P地，t=t2时乙到达Q地．（1）求t1与f（t1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米，当t1≤t≤t2时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在[t1，t2]上的最大值是否超过3？说明理由．【分析】（1）用OP长度除以乙的速度即可求得t1=，当乙到达P点时，可设甲到达A点，连接AP，放在△AOP中根据余弦定理即可求得AP，也就得出f（t1）；（2）求出t2=，设t，且t小时后甲到达B地，而乙到达C地，并连接BC，能够用t表示出BQ，CQ，并且知道cos，这样根据余弦定理即可求出BC，即f（t），然后求该函数的最大值，看是否超过3即可．【解答】解：（1）根据条件知，设此时甲到达A点，并连接AP，如图所示，则OA=；∴在△OAP中由余弦定理得，f（t1）=AP==（千米）；（2）可以求得，设t小时后，且，甲到达了B点，乙到达了C 点，如图所示：则BQ=5﹣5t，CQ=7﹣8t；∴在△BCQ中由余弦定理得，f（t）=BC==；即f（t）=，；设g（t）=25t2﹣42t+18，，g（t）的对称轴为t=；且；即g（t）的最大值为，则此时f（t）取最大值；即f（t）在[t1，t2]上的最大值不超过3．【点评】考查余弦定理的应用，以及二次函数在闭区间上最值的求法．22．（16分）已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别与椭圆交于点A、B和C、D，记△AOC的面积为S．（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=|；（2）设l1：y=kx，，S=，求k的值；（3）设l1与l2的斜率之积为m，求m的值，使得无论l1和l2如何变动，面积S 保持不变．【分析】（1）依题意，直线l1的方程为y=x，利用点到直线间的距离公式可求得点C到直线l1的距离d=，再利用|AB|=2|AO|=2，可证得S=|AB|d=|x1y2﹣x2y1|；（2）由（1）得：S=|x1y2﹣x2y1|=×|x1﹣y1|=，进而得到答案；（3）方法一：设直线l1的斜率为k，则直线l1的方程为y=kx，联立方程组，消去y解得x=±，可求得x1、x2、y1、y2，利用S=|x1y2﹣x2y1|=•，设=c（常数），整理得：k4﹣2mk2+m2=c2[2k4+（1+4m2）k2+2m2]，由于左右两边恒成立，可得，此时S=；方法二：设直线l1、l2的斜率分别为、，则=m，则mx1x2=﹣y1y2，变形整理，利用A（x1，y1）、C（x2，y2）在椭圆x2+2y2=1上，可求得面积S的值．【解答】解：（1）依题意，直线l1的方程为y=x，由点到直线间的距离公式得：点C到直线l1的距离d==，因为|AB|=2|AO|=2，所以S=|AB|d=|x1y2﹣x2y1|；（2）由（1）A（x1，y1），C（x2，y2），S=|x1y2﹣x2y1|=×|x1﹣y1|=．所以|x1﹣y1|=，由x12+2y12=1，解得A（，﹣）或（，﹣）或（﹣，）或（﹣，），由k=，得k=﹣1或﹣；（3）方法一：设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为，直线l1的方程为y=kx，联立方程组，消去y解得x=±，根据对称性，设x1=，则y1=，同理可得x2=，y2=，所以S=|x1y2﹣x2y1|=•，设=c（常数），所以（m﹣k2）2=c2（1+2k2）（k2+2m2），整理得：k4﹣2mk2+m2=c2[2k4+（1+4m2）k2+2m2]，由于左右两边恒成立，所以只能是，所以，此时S=，综上所述，m=﹣，S=．方法二：设直线l1、l2的斜率分别为、，则=m，所以mx1x2=y1y2，∴m2==mx1x2y1y2，∵A（x1，y1）、C（x2，y2）在椭圆x2+2y2=1上，∴（）（）=+4+2（+）=1，即（+4m）x1x2y1y2+2（+）=1，所以+﹣2x1x2y1y2=（x1y2﹣x2y1）2=[1﹣（4m+）x1x2y1y2]﹣2x1x2y1y2=﹣（2m++2）x1x2y1y2，是常数，所以|x1y2﹣x2y1|是常数，所以令2m++2=0即可，所以，m=﹣，S=．综上所述，m=﹣，S=．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，考查方程思想、等价转化思想与综合运算能力，属于难题．23．（18分）已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n），n∈N*．（1）若b n=3n+5，且a1=1，求{a n}的通项公式；（2）设{a n}的第n0项是最大项，即a n0≥a n（n∈N*），求证：{b n}的第n0项是最大项；（3）设a1=3λ＜0，b n=λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得对任意m，n∈N*，a n≠0，且．【分析】（1）把b n=3n+5代入已知递推式可得a n+1﹣a n=6，由此得到{a n}是等差数列，则a n可求；（2）由a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1，结合递推式累加得到a n=2b n+a1﹣2b1，求得，进一步得到得答案；（3）由（2）可得，然后分﹣1＜λ＜0，λ=﹣1，λ＜﹣1三种情况求得a n的最大值M和最小值m，再由∈（）列式求得λ的范围．﹣a n=2（b n+1﹣b n），b n=3n+5，【解答】（1）解：∵a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n）=2（3n+8﹣3n﹣5）=6，∴a n+1∴{a n}是等差数列，首项为a1=1，公差为6，则a n=1+（n﹣1）×6=6n﹣5；（2）∵a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2（b n﹣b n﹣1）+2（b n﹣1﹣b n﹣2）+…+2（b2﹣b1）+a1=2b n+a1﹣2b1，∴，∴．∴数列{b n}的第n0项是最大项；（3）由（2）可得，①当﹣1＜λ＜0时，单调递减，有最大值；单调递增，有最小值m=a1=3λ＜0，∴的最小值为，最大值为，则，解得．∴λ∈（）．②当λ=﹣1时，a2n=1，a2n﹣1=﹣3，∴M=3，m=﹣1，不满足条件．③当λ＜﹣1时，当n→+∞时，a2n→+∞，无最大值；→﹣∞，无最小值．当n→+∞时，a2n﹣1综上所述，λ∈（﹣，0）时满足条件．【点评】本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了数列的函数特性，训练了累加法求数列的通项公式，对（3）的求解运用了极限思想方法，是中档题．。

绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）文科数学注意事项:1.本试卷共6页,23道试题,满分150分.考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上,在试卷上作答一律不得分.3.答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号,并将核对后的条形码贴在指定位置上.一、填空题：本大题共有14题,满分56分.直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．函数213sin f x =x -（）的最小正周期为 . 2．设全集=U R .若集合={1,2,3,4}A ，{23}B x x =≤≤，则U A B ð= . 3．若复数z 满足31i z z +=+，其中i 为虚数单位，则z = .4．设-1f x （）为=21x f x x +（）的反函数，则=-12f （） .5．若线性方程组的增广矩阵为122301c c 骣琪琪桫、解为35x y ì=ïí=ïî，，则12c c -= . 6．若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为，则a= .7．抛物线2=2>0y px p （）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = .8．方程1122log (95)log (32)2x x ---=-+的解为 .9．若x ，y 满足0,2,0,x y x y y ì-ïï+íïïî≥≤≥则目标函数2f x y =+的最大值为 .10．在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）.11．在621(2)x x+的二项展开式中，常数项等于 （结果用数值表示）.12．已知双曲线1C 、2C 的顶点重合，1C 的方程为22=14x y -.若2C 的一条渐近线的斜率是1C 的一条渐近线的斜率的2倍，则2C 的方程为 .13．已知平面向量a ，b ，c 满足a ⊥b ，且{|a |，|b |，|c |}={1,2,3}，则|a +b +c |的最大值是 .14．已知函数()sin f x x =.若存在12,,m x x x 满足1206πm x x x ≤＜＜＜≤，且1|f x （）223-1|||++||=122,m m f x f x f x f x f x m m -+--?*N （）（）（）（）（）（≥），则m 的最小值为 .二、选择题：本大题共有4小题,满分20分.每题有且只有一个正确答案,将正确答案填在题后括号内,选对得5分,否则一律得零分.15．设12,z z ÎC ，则“12,z z 均为实数”是“12z z -是实数”的( )A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充要条件D .既非充分又非必要条件16．下列不等式中，与不等式2+8<223x x x ++解集相同的是( )A .2(+8)(+2+3)<2x x xB .2+8<2(+2+3)x x xC .212<23+8x x x ++ D .2231>+82x x x ++17．已知点A的坐标为（），将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转π3至OB ，则点B 的纵坐标为( )ABC .112D .13218．设(),n n n P x y 是直线2()1nx y n n -=?+*N 与圆222x y +=在第一象限的交点，则极限1lim 1n n n y x -=-( )A .1-B .12- C .1 D .2三、解答题：本大题共有5题,满分74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 19.（本小题满分12分）如图，圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，底面的一条直径为AB ，C 为半圆弧AB 的中点，E 为劣弧CB 的中点，已知2PO =，1OA =，求三棱锥P AOC -的体积，并求异面直线PA 与OE 所成的角的大小.20.（本小题满分14分）已知函数21()f x ax x=+，其中a 为常数. （Ⅰ）根据a 的不同取值，判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由； （Ⅱ）若(1,3)a Î，判断函数()f x 在[1,2]上的单调性，并说明理由.21.（本小题满分14分）如图，O ，P ，Q 三地有直道相通，3OP =千米，4PQ =千米，5OQ =千米.现甲、姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无------------------------------------乙两警员同时从O 地出发匀速前往Q 地，经过t 小时，他们之间的距离为()f t （单位：千米）.甲的路线是OQ ，速度为5千米/小时，乙的路线是OPQ ，速度为8千米/小时.乙到达Q 地后在原地等待.设1t t =时，乙到达P 地；2t t =时，乙到达Q 地. （Ⅰ）求1t 与1()f t 的值；（Ⅱ）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当12t t t ≤≤时，求()f t 的表达式，并判断()f t 在12[,]t t 上的最大值是否超过3？说明理由.22.（本小题满分16分）已知椭圆2221x y +=，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于点A ，B 和C ，D .记△AOC 的面积为S .（Ⅰ）设11(,)A x y ，22(,)C x y .用A ，C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明12211||2S x y x y =-；（Ⅱ）设1:l y kx =，C ，13S =，求k 的值； （Ⅲ）设1l 与2l 的斜率之积为m .求m 的值，使得无论1l 与2l 如何变动，面积S 保持不变.23.（本小题满分18分）已知数列{}n a 与{}n b 满足112()n n n n a a b b ++-=-，n Î*N .（Ⅰ）若35n b n =+，且11a =，求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设{}n a 的第0n 项是最大项，即0()n n a a n Î*N ≥.求证：{}n b 的第0n 项是最大项；（Ⅲ）设130a l =＜，()n n b n l =?*N .求l 的取值范围，使得对任意m ，n Î*N ，0n a ¹，且1(,6)6m n a a Î.2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）文科数学答案解析1235c c ⎡⎤⎤⎡⎤=⎢⎥⎥⎢⎥⎦⎣⎦⎣⎦【提示】根据增广矩阵的定义得到【解析】正三棱柱的体积为14330x -+=30=，即得【提示】利用对数的运算性质化为指数类型方程，解出并验证即可【考点】对数方程.【考点】二元线性规划求目标函数最值.10.【答案】120122，2(m f x -++2m x ，，满足6m x <<≤27811π0,π,22x x x ===，，。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）文 2015年上海市文科试题 一．填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律零分） 1.函数的最小正周期为. 2.设全集.若集合，，则. 3.若复数满足，其中是虚数单位，则. 4.设为的反函数，则. 5.若线性方程组的增广矩阵为解为，则. 6.若正三棱柱的所有棱长均为，且其体积为，则. 7.抛物线上的懂点到焦点的距离的最小值为1，则. 8. 方程的解为. 9.若满足，则目标函数的最大值为. 10. 在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）. 11.在的二项式中，常数项等于（结果用数值表示）. 12.已知双曲线、的顶点重合，的方程为，若的一条渐近线的斜率是的一条渐近线的斜率的2倍，则的方程为. 13.已知平面向量、、满足，且，则的最大值是. 14.已知函数 .若存在，，，满足，且，则的最小值为. 二．选择题（本大题共4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律零分. 15. 设、，则“、均为实数”是“是实数”的（）.A. 充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件 16. 下列不等式中，与不等式解集相同的是（）. A. B. C. D. 17. 已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的纵坐标为（）. A. B. C. D. 18. 设时直线与圆在第一象限的交点，则极限( ). A. B. C. D.。

2015上海高考数学（文）试题及答案满分:班级：_________ 姓名：_________ 考号：_________一、单选题（共4小题）1.设、，则“、均为实数”是“是实数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件2.下列不等式中，与不等式解集相同的是（）A．B．C．D．3.已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的纵坐标为（）A．B．C．D．4.设是直线与圆在第一象限的交点，则极限（）A．B．C．D．二、填空题（共14小题）5.函数的最小正周期为____________.6.设全集.若集合，，则__________.7.若复数满足，其中是虚数单位，则________.8.设为的反函数，则___________.9.若线性方程组的增广矩阵为解为，则__________.10.若正三棱柱的所有棱长均为，且其体积为，则___________.11.抛物线上的动点到焦点的距离的最小值为1，则_________.12.方程的解为___________.13.若满足，则目标函数的最大值为___________14.在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）.15.在的二项展开式中，常数项等于（结果用数值表示）.16.已知双曲线、的顶点重合，的方程为，若的一条渐近线的斜率是的一条渐近线的斜率的2倍，则的方程为17.已知平面向量、、满足，且，则的最大值是______.18.已知函数.若存在，，，满足，且，则的最小值为三、解答题（共5小题）19.如图，圆锥的顶点为，底面圆为，底面的一条直径为，为半圆弧的中点，为劣弧的中点，已知.求三棱锥的体积，并求异面直线和所成角的大小.20.已知函数，其中为常数（1）根据的不同取值，判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）若，判断函数在上的单调性，并说明理由.21.如图，三地有直道相通，千米，千米，千米，现甲、乙两警员同时从地出发匀速前往地，经过小时，他们之间的距离为（单位：千米）.甲的路线是，速度为千米/小时，乙的路线是，速度为千米/小时，乙到达Q地后在原地等待.设时，乙到达地，时，乙到达地.（1）求与的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米，当时，求的表达式，并判断在上的最大值是否超过3？说明理由.22.已知椭圆，过原点的两条直线和分别与椭圆交于点、和、，记的面积为.（1）设，用、的坐标表示点到直线的距离，并证明；（2）设，，，求的值;（3）设与的斜率之积为，求的值，使得无论和如何变动，面积保持不变.23.已知数列与满足.（1）若且,求的通项公式;（2）设的第项是最大项,即,求证:的第项是最大项;（3）设,,求的取值范围,使得对任意，，且答案部分1.考点:充分条件与必要条件复数的加减试题解析:若、均为实数，则必为实数，故充分性成立；反之，则不一定成立，如时，是实数，但、不是实数.故选A.答案:A2.考点:不等式的性质试题解析:因为,由不等式性质原不等式两边同乘以，得,故选B.答案:B3.考点:两角和与差的三角函数试题解析:如下图：设,则,由题意求得.又.因,所以点B的纵坐标为.故选D.答案:D4.考点:数列极限试题解析:当时,且，而由,得所以而则为该圆在（1，1）处切线的斜率，又且故.故选A.答案:A5.考点:三角函数的图像与性质倍角公式试题解析:因为, 所以的最小正周期为.答案:6.考点:集合的运算试题解析:，所以答案:7.考点:复数综合运算试题解析:设,则,所以,.故.答案:8.考点:反函数试题解析:根据反函数的知识知，若适合,则适合. 由，得.故.答案:9.考点:矩阵试题解析:因为方程组的解为，将之分别代入则有，所以16.答案:1610.考点:空间几何体的表面积与体积试题解析:若正三棱柱的所有棱长均为,则其体积为,由,解得.答案:411.考点:抛物线试题解析:根据抛物线定义，抛物线上的点满足到焦点距离等于到准线的距离，故可转化为抛物线上的动点Q到准线的距离最小即可，故此点应为抛物线的顶点（0，0）.由，故.答案:212.考点:指数与指数函数对数与对数函数试题解析:原方程可化为，由对数函数的单调性知即，设，则,解得，，故而当时，原方程无意义，应舍去，故其解为.答案:213.考点:线性规划试题解析:结合如图所示的线性规划知识知，目标函数在点处取得最大值，.答案:314.考点:组合与组合的运用试题解析:9名教师中选取5人，共有种，不符合题意的选取办法，即只从6名女教师中选取5人，有种，故符合要求的选取种数为120种.答案:12015.考点:二项式定理与性质试题解析:由二项式定理的通项公式得,解,得.故其常数项为.答案:24016.考点:双曲线试题解析:双曲线的渐近线方程为，顶点为. 故双曲线的渐近线方程为,顶点为，所以双曲线的方程为.答案:17.考点:平面向量的几何运算试题解析:分三种情况考虑：（1）时，的最大值如图所示为.（1）时，的最大值如图所示为.（1）时，的最大值如图所示为.三者比较大小后知应选.答案:18.考点:三角函数的图像与性质试题解析:结合正弦函数的图像（如下图），欲的值最小，需最大，故按如下图所示取点符合要求,即,,,,,,,.此时.而当时，因的最大值是2，结合，故其总和达不到12.故的最小值是8.答案:819.考点:空间的角空间几何体的表面积与体积试题解析:解：.因为，所以∠PAC为异面直线PA与OE所成的角或其补角.由PO=2,OA=OC=1,得PA=PC=，AC.在△PAC中，由余弦定理得,故异面直线PA与OE所成角的大小为.答案:三棱锥的体积；异面直线和所成角的大小为20.考点:函数的奇偶性函数的单调性与最值试题解析:(1)的定义域为关于原点对称.,当时,故为奇函数.当时，由,知且,故既不是奇函数也不是偶函数.(2)设,则,由得,,,又,所以得从而,即.故当时,在上单调递增.答案:见解析21.考点:余弦定理分段函数，抽象函数与复合函数试题解析:(1).设乙到时甲所在地为,则千米,在中,, 所以（千米）.(2).如图建立平面直角坐标系，设经过小时，甲，乙所在位置分别为.当时，,.在上的最大值是，不超过3.答案:（1）；（2）见解析22.考点:圆锥曲线综合试题解析:(1)证明：直线：，点C到的距离.因为,所以.(2)解：由,得.由（1），得.由题意得，解得或-1.（3）设则. 设.由得.同理.由（1），整理得.由题意知与无关,则得所以.答案:（1）见解析（2）（3）23.考点:数列综合应用试题解析:(1)由，得，故是首项为1，公差为6的等差数列，所以的通项公式是(2)由，得，所以为常数列，，即，因为所以即，故的第项是最大项.(3)因为，所以，当时，=当时，符合上式.所以，因为且对任意，故，特别地，于是.此时对任意，.当时，,,由指数函数的单调性知，的最大值为，最小值为.由题意,的最大值及最小值分别为及.由及，解得.综上所述，的取值范围为.答案:（1）（2）见解析（3）的取值范围。

数学试卷 第1页（共6页） 数学试卷 第2页（共6页） 数学试卷 第3页（共6页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）文科数学注意事项:1.本试卷共6页,23道试题,满分150分.考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上,在试卷上作答一律不得分.3.答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号,并将核对后的条形码贴在指定位置上.一、填空题：本大题共有14题,满分56分.直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．函数213sin f x =x -（）的最小正周期为 . 2．设全集=U R .若集合={1,2,3,4}A ，{23}B x x =≤≤，则U A B I ð= . 3．若复数z 满足31i z z +=+，其中i 为虚数单位，则z = .4．设-1f x （）为=21x f x x +（）的反函数，则=-12f （） .5．若线性方程组的增广矩阵为122301c c 骣琪琪桫、解为35x y ì=ïí=ïî，，则12c c -= . 6．若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为，则a= .7．抛物线2=2>0y px p （）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = .8．方程1122log (95)log (32)2x x ---=-+的解为 . 9．若x ，y 满足0,2,0,x y x y y ì-ïï+íïïî≥≤≥则目标函数2f x y =+的最大值为 .10．在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）. 11．在621(2)x x +的二项展开式中，常数项等于 （结果用数值表示）.12．已知双曲线1C 、2C 的顶点重合，1C 的方程为22=14x y -.若2C 的一条渐近线的斜率是1C 的一条渐近线的斜率的2倍，则2C 的方程为 .13．已知平面向量a ，b ，c 满足a ⊥b ，且{|a |，|b |，|c |}={1,2,3}，则|a +b +c |的最大值是 .14．已知函数()sin f x x =.若存在12,,m x x x L 满足1206πm x x x L ≤＜＜＜≤，且1|f x （）223-1|||++||=122,m m f x f x f x f x f x m m -+--?*N L （）（）（）（）（）（≥），则m 的最小值为 .二、选择题：本大题共有4小题,满分20分.每题有且只有一个正确答案,将正确答案填在题后括号内,选对得5分,否则一律得零分.15．设12,z z ÎC ，则“12,z z 均为实数”是“12z z -是实数”的( )A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充要条件D .既非充分又非必要条件16．下列不等式中，与不等式2+8<223x x x ++解集相同的是( )A .2(+8)(+2+3)<2x x xB .2+8<2(+2+3)x x xC .212<23+8x x x ++ D .2231>+82x x x ++17．已知点A的坐标为（），将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转π3至OB ，则点B 的纵坐标为 ( )ABC .112D .13218．设(),n n n P x y 是直线2()1nx y n n -=?+*N 与圆222x y +=在第一象限的交点，则极限1lim1n nn y x -=-( )A .1-B .12-C .1D .2三、解答题：本大题共有5题,满分74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.19.（本小题满分12分） 如图，圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，底面的一条直径为AB ，C 为半圆弧»AB 的中点，E 为劣弧»CB的中点，已知2PO =，1OA =，求三棱锥P AOC -的体积，并求异面直线PA 与OE 所成的角的大小.20.（本小题满分14分）已知函数21()f x ax x=+，其中a 为常数. （Ⅰ）根据a 的不同取值，判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由； （Ⅱ）若(1,3)a Î，判断函数()f x 在[1,2]上的单调性，并说明理由.姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第4页（共6页） 数学试卷 第5页（共6页） 数学试卷 第6页（共6页）21.（本小题满分14分）如图，O ，P ，Q 三地有直道相通，3OP =千米，4PQ =千米，5OQ =千米.现甲、乙两警员同时从O 地出发匀速前往Q 地，经过t 小时，他们之间的距离为()f t （单位：千米）.甲的路线是OQ ，速度为5千米/小时，乙的路线是OPQ ，速度为8千米/小时.乙到达Q 地后在原地等待.设1t t =时，乙到达P 地；2t t =时，乙到达Q 地. （Ⅰ）求1t 与1()f t 的值；（Ⅱ）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当12t t t ≤≤时，求()f t 的表达式，并判断()f t 在12[,]t t 上的最大值是否超过3？说明理由.22.（本小题满分16分）已知椭圆2221x y +=，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于点A ，B 和C ，D .记△AOC 的面积为S .（Ⅰ）设11(,)A x y ，22(,)C x y .用A ，C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明12211||2S x y x y =-；（Ⅱ）设1:l y kx =，C ，13S =，求k 的值； （Ⅲ）设1l 与2l 的斜率之积为m .求m 的值，使得无论1l 与2l 如何变动，面积S 保持不变.23.（本小题满分18分）已知数列{}n a 与{}n b 满足112()n n n n a a b b ++-=-，n Î*N . （Ⅰ）若35n b n =+，且11a =，求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设{}n a 的第0n 项是最大项，即0()n n a a n Î*N ≥.求证：{}n b 的第0n 项是最大项；（Ⅲ）设130a l =＜，()n n b n l =?*N .求l 的取值范围，使得对任意m ，n Î*N ，0n a ¹，且1(,6)6m n a a Î.。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）文2015年上海市文科试题一．填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律零分）1.函数x x f 2sin 31)(-=的最小正周期为.2.设全集R =U .若集合}4,3,2,1{=A ，}32|{<≤=x x B ，则=)(B C A U .3.若复数z 满足i z z +=+13，其中i 是虚数单位，则=z .4.设)(1x f-为12)(+=x x x f 的反函数，则=-)2(1f . 5.若线性方程组的增广矩阵为⎝⎛0213⎪⎪⎭⎫21c c 解为⎩⎨⎧==53y x ，则=-21c c . 6.若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为316，则=a .7.抛物线)0(22>=p px y 上的懂点Q 到焦点的距离的最小值为1，则=p . 8. 方程2)23(log )59(log 1212+-=---x x 的解为.9.若y x ,满足020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2f x y =+的最大值为.10. 在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）. 11.在62)12(x x +的二项式中，常数项等于 （结果用数值表示）. 12.已知双曲线1C 、2C 的顶点重合，1C 的方程为1422=-y x ，若2C 的一条渐近线的斜率是1C 的一条渐近线的斜率的2倍，则2C 的方程为13.已知平面向量、、满足⊥，且}3,2,1{|}||,||,{|=，则||++的最大值是14.已知函数x x f s i n )(=.若存在1x ，2x ，⋅⋅⋅，m x 满足π6021≤<⋅⋅⋅<<≤m x x x ，且12|)()(||)()(||)()(|13221=-+⋅⋅⋅+-+--m m x f x f x f x f x f x f ),12(*∈≥N m m ，则m 的最小值为二．选择题（本大题共4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律零分.15. 设1z 、C ∈2z ，则“1z 、2z 均为实数”是“21z z -是实数”的（ ）. A. 充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 16. 下列不等式中，与不等式23282<+++x x x 解集相同的是（ ）. A. 2)32)(8(2<+++x x x B. )32(282++<+x x xC. 823212+<++x x x D. 218322>+++x x x 17. 已知点 A 的坐标为)1,34(，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π至OB ，则点B 的纵坐标为（ ）. A.233 B. 235 C.211 D. 213 18. 设),(n n n y x P 是直线)(12*∈+=-N n n ny x 与圆222=+y x 在第一象限的交点，则极限=--∞→11limn n n x y ( ).A. 1-B. 21-C. 1D. 2三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19.(本题满分12分)如图，圆锥的顶点为P ，底面圆为O ，底面的一条直径为AB ，C 为半圆弧AB 的中点，E 为劣弧CB 的中点，已知2,1PO OA ==，求三棱锥P AOC -的体积，并求异面直线PA 和OE 所成角的大小. 20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数21()f x ax x=+，其中a 为常数 (1)根据a 的不同取值，判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由； (2)若(1,3)a ∈，判断函数()f x 在[1,2]上的单调性，并说明理由.21. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，,,O P Q 三地有直道相通，3OP =千米，4PQ =千米，5OQ =千米，现甲、乙两警员同时从O 地出发匀速前往Q 地，经过t 小时，他们之间的距离为()f t （单位：千米）.甲的路线是OQ ，速度为5千米/小时，乙的路线是OPQ ，速度为8千米/小时，乙到达Q 地后在原地等待.设1t t =时，乙到达P 地，2t t =时，乙到达Q 地.(1)求1t 与1()f t 的值；(2)已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米，当12t t t ≤≤时，求()f t 的表达式，并判断()f t 在12[,]t t 上的最大值是否超过3？说明理由.22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知椭圆2221x y +=，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于点A 、B 和C 、D ，记AOC ∆的面积为S .(1)设1122(,),(,)A x y C x y ，用A 、C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明122112S x y x y =-；（2）设1:l y kx =，33C ⎛⎝⎭，13S =，求k 的值; (3)设1l 与2l 的斜率之积为m ，求m 的值，使得无论1l 和2l 如何变动，面积S 保持不变.23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分, 第3小题满分8分.已知数列{}n a 与{}n b 满足112(),*n n n n a a b b n N ++-=-∈. (1)若35,n b n =+且11a =,求{}n a 的通项公式;(2)设{}n a 的第0n 项是最大项,即0(*)n n a a n N ≥∈,求证:{}n b 的第0n 项是最大项;(3)设130a λ=<,(*)nn b n N λ=∈,求λ的取值范围,使得对任意,*m n N ∈，0n a ≠，且1,66m n a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭答案 一、（第1题至第14题）1. π2.{1.4}3.1142i + 4. 23- 5.16 6. 4 7. 2 8. 2 9. 3 10. 120 11.240 12. 22144x y -=13. 3 14.8 二、（第15题至第18题）15 .A 16.B 17.D 18.A 三、（第19题至第23题） 19.[解] 1112323P AOC V -=⨯⨯= 因为AC OE ,所以PAC ∠为异面直线PA 与OE 所成的角或其补角由2,1PO OA OC ===,得PA PC ==AC =在PAC中，由余弦定理得cos PAC ∠=,故异面直线PA 与OE所成的角的大小为 20.[解]（1）()f x 的定义域为{0,}x x x R ≠∈,关于原点对称，2211()()f x a x ax x x-=-+=--， 当0a =时，()()f x f x -=-为奇函数当0a ≠时，由(1)1,(1)1f a f a =+-=-，知(1)(1)f f -≠-，故()f x 即不是奇函数也不是偶函数。