2015浙江中考试题研究数学精品复习课件第2讲 整式及其运算

第2讲整式及其运算1．整式的相关概念考试内容考试要求单项式概念由数与字母的组成的代数式叫做单项式(单独的一个数或一个也是单项式)．b 系数单项式中的____________________因数叫做这个单项式的系数.次数单项式中的所有字母的和叫做这个单项式的次数．多项式概念几个单项式的叫做多项式．项多项式中的每个单项式叫做多项式的项．次数一个多项式中，的项的次数叫做这个多项式的次数．整式单项式与统称为整式．同类项所含字母并且相同字母的指数也的项叫做同类项．所有的常数项都是项．2.整式的运算考试内容考试要求整式的加减合并同类项1.字母和字母的指数不变；2．相加减作为新的系数．c 添(去)括号添(去)括号：括号前面是“＋”号，添(去)括号都____________________符号；括号前面是“－”号，添(去)括号都要____________________符号．考试内容考试要求基本 思想在乘法公式的产生过程中初步感受从特殊到一般的思想．c基本方法1.求代数式的值主要用代入法，代入法分为直接代入法、间接代入法和整体代入法．，先观察式子的结构特征，确定解题思路，结合有效的数学思想：整体代入、降次、数形结合、逆向思维等，使解题更加方便快捷．1．(2017·某某)下列计算正确的是( A ．2a ＋b ＝2ab B ．(－a)2＝a2C ．a 6÷a 2＝a 3D ．a 3·a 2＝a 62．(2017·某某)下列计算正确的是( )A ．(a ＋2)(a －2)＝a 2－2B ．(a ＋1)(a －2)＝a 2＋a －2C ．(a ＋b)2＝a 2＋b 2D ．(a －b)2＝a 2－2ab ＋b 23．(2016·某某)下列图案是用长度相同的火柴棒按一定规律拼搭而成，图案①需8根火柴棒，图案②需15根火柴棒，…，按此规律，图案⑦需____________________根火柴棒．4．(2015·某某)化简：a(2－a)＋(a ＋1)(a －1)．【问题】(1)计算：(a＋3)(a－3)＋a(3a－2)－(2a－1)2；(2)完成(1)计算后回答：①此计算过程中，用到了哪些乘法公式和法则；②此计算过程中，要注意哪些问题．【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理实数相关概念、运算法则，以及要注意的问题．类型一幂的运算例1计算：(1)(a2b)3＝________；(2)(3a)2·a5＝________；(3)x5÷x3＝________．【解后感悟】(1)幂的运算法则是进行整式乘除法的基础，要熟练掌握，解题时要明确运算的类型，正确运用法则；(2)在运算的过程中，一定要注意指数、系数和符号的处理．1．(2015·某某)下列运算正确的是( )A．x2·x3＝x6B．(x3)2＝x5 C．(xy2)3＝x3y6D．x6÷x3＝x22．若3x＝4，9y＝7，则3x－2y的值为( )A.47B.74C．－3 D.27类型二 整式的加减运算例2 (1)若mn ＝m ＋3，则2mn ＋3m －5mn ＋10＝________．(2)已知(a －2)2＋|b ＋1|＝0，则代数式2a 2b －3ab 2－(a 2b －4ab 2)＝________． (3)若代数式5a －3b 的值是－2，则代数式2(a －b)＋4(2a －b)＋3的值等于________． 【解后感悟】整式的加减，实质上就是，有括号的，先去括号．只要算式中没有同类项，就是最后的结果．3．(1)化简：4a －(a －3b)＝____________________.(2)已知a ，b 互为相反数，则(4a －3b)－(3a －4b)＝____________________.(3)已知2x ＋y ＝－1，则代数式(2y ＋y 2－3)－(y 2－4x)的值为____________________． (4)(2015·某某)若单项式2x 2y a ＋b与－13x a －b y 4是同类项，则a ＝____________________，b ＝____________________. 类型三 整式的混合运算与求值例3(1)(2x)3·(－2y 3)÷(－16xy 2)＝________；(2)已知x 2－4x ＋3＝0，则(x －1)2－2(1＋x)＝________； (3)已知m ＋n ＝－3，mn ＝5，则(2－m)(2－n)的值为________；(4)长方形的长为a cm ，宽为b cm ，若长增加了2cm ，面积比原来增加了________cm 2. 【解后感悟】(1)对于整式的加、减、乘、除、乘方运算，要充分理解其运算法则，注意运算顺序，正确应用乘法公式以及整体和分类等数学思想．(2)在应用乘法公式时，要充分理解乘法公式的结构特点，分析是否符合乘法公式的条件．4．(1)先化简，再求值：(4ab 3－8a 2b 2)÷4ab＋(2a ＋b)(2a －b)，其中a ＝2，b ＝1.(2)化简：2[(m －1)m ＋m(m ＋1)][(m －1)m －m(m ＋1)]．若m 是任意整数，请观察化简后的结果，你发现原式表示一个什么数？类型四 乘法公式例4 (1)已知a ＋b ＝10，a －b ＝8，则a 2－b 2＝________； (2)若a 2＋b 2＝2，a ＋b ＝3，则ab 的值为________；(3)已知a ＝1，b ＝－12，则a(a －3b)＋(a ＋b)2－a(a －b)＝________．【解后感悟】对于整式乘法运算，能用乘法公式要充分运用公式；在应用时，要充分理解乘法公式的结构特点，分析是否符合乘法公式的条件．5．(2016·)如图中的四边形均为矩形，根据图形，写出一个正确的等式：____________________.6．化简：(1)(2017·某某)(m ＋2)(m －2)－m3×3m ；(2)(2017·某某)(1＋a)(1－a)＋a(a －2)；(3)(2015·某某)(x ＋1)2－x(x ＋1)．类型五 整式运算的应用及规律型问题例5 (2016·某某)如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n 个图案中有个涂有阴影的小正方形(用含有n 的代数式表示)．【解后感悟】解决整式的规律性问题应充分发挥数形结合的作用，从分析图形的结构入手，分析图形结构的形成过程，从简单到复杂，进行归纳猜想，从而获得隐含的数学规律，并用代数式进行描述．7．(1)(2017·某某)如图，从边长为(a ＋3)的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形(不重叠无缝隙)，则拼成的长方形的另一边长是____________________．(2)一个大正方形和四个全等的小正方形按图1，2两种方式摆放，则图2的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是____________________(用a 、b 的代数式表示)．【阅读理解题】(2015·某某)如图，多边形的各顶点都在方格纸的格点(横竖格子线的交错点)上，这样的多边形称为格点多边形，它的面积S 可用公式S ＝a ＋12b －1(a 是多边形内的格点数，b 是多边形边界上的格点数)计算，这个公式称为“皮克定理”．现用一X 方格纸共有200个格点，画有一个格点多边形，它的面积S ＝40.(1)这个格点多边形边界上的格点数b ＝________(用含a 的代数式表示)； (2)设该格点多边形外的格点数为c ，则c －a ＝________．【方法与对策】本题需要先通过阅读掌握新定义方法，再利用类似方法解决问题．关键是观察问题，分析问题，解决问题的能力．该题型是中考命题的一种方式．【幂的运算的常见错误】计算：(1)x 3·x 5； (2)x 4·x 4； (3)(am ＋1)2；(4)(－2a 2·b)2； (5)(m －n)6÷(n －m)3.参考答案第2讲 整式及其运算【考点概要】1．乘积 字母 数字 指数的 和 次数最高 多项式 相同 相同 同类 2.系数 不改变 改变 am ＋n a mn a n b n am －n系数 指数 相加 ma ＋mb ＋mc 相加 ma ＋mb ＋na ＋nb指数 相加 a 2－b 2a 2±2ab ＋b 2【考题体验】 1．B2.D －1. 【知识引擎】【解析】(1)2a —10；(2)①完全平方公式、平方差公式，去括号、合并同类项等；②去括号时，要注意变号等．【例题精析】例1 (1)a 6b 3；(2)9a 7；(3)x 2例2 (1)1；(2)－2；(3)－1. 例3 (1)x 2y (2)－4 (3)15 (4)2b例4 (1)80；(2)72；(3)54.例5 由图可得，第1个图案涂有阴影的小正方形的个数为5，第2个图案涂有阴影的小正方形的个数为5×2－1＝9，第3个图案涂有阴影的小正方形的个数为5×3－2＝13，…，第n 个图案涂有阴影的小正方形的个数为5n －(n －1)＝4n ＋1.故答案为：4n ＋1.【变式拓展】1．C 2.A 3.(1)3a ＋3b (2)0 (3)－5 (4)3 1 4.(1)原式＝2a(2a －b)，将a ＝2，b ＝1代入得12.(2)原式＝2(m 2－m ＋m 2＋m)(m 2－m －m 2－m)＝－8m 3.原式＝(－2m)3，表示3个－2m 相乘的数．(答案不唯一) 5.m(a ＋b ＋c)＝am ＋bm ＋cm6．(1)－4； (2)1－2a ； (3)x ＋1. 7.(1)a ＋6(2)ab 【热点题型】【分析与解】(1)∵S＝a ＋12b －1，且S ＝40，∴a ＋12b －1＝40，整理得：b ＝82－2a ；(2)∵a 是多边形内的格点数，b 是多边形边界上的格点数，总格点数为200，∴边界上的格点数与多边形内的格点数的和为b ＋a ＝82－2a ＋a ＝82－a ，∴多边形外的格点数c ＝200－(82－a)＝118＋a ，∴c －a ＝118＋a －a ＝118.【错误警示】 (1)x 3·x 5＝x 3＋5＝x 8； (2)x 4·x 4＝x4＋4＝x 8；(3)(am ＋1)2＝a(m ＋1)×2＝a2m ＋2； (4)(－2a 2b)2＝(－2)2a 4b 2＝4a 4b 2； (5)(m －n)6÷(n －m)3＝(n －m)6÷(n －m)3＝(n －m)3.。

第2讲整式及因式分解考标要求考查角度1.明确字母表示数的真实内涵及其规范的书写格式，能用代数式探索有关的规律．2．会用语言文字叙述代数式的意义，同时掌握求代数式的值的方法．3．理解同类项的概念，掌握合并同类项的法则和去括号的法则以及乘法公式，能准确地进行整式的加、减、乘、除、乘方等混合运算．4．能对多项式进行因式分解.整式作为初中数学的基础内容之一，在中考试题中多以填空题和选择题的形式命题，重点考查其基本概念及运算法则，同时也会设计一些新颖的探索与数、式有关的规律性问题.知识梳理一、整式的有关概念1．整式整式是单项式与__________的统称．2．单项式单项式是指由数字或字母的乘积组成的式子；单项式中的________因数叫做单项式的系数；单项式中所有字母指数的____叫做单项式的次数．3．多项式几个单项式的______叫做多项式；多项式中，每一个________叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项；多项式中__________项的次数就是这个多项式的次数．二、整数指数幂的运算正整数指数幂的运算法则：a m·a n＝______，(a m)n＝______，(ab)n＝a n b n，a ma n＝a m－n(m，n是正整数)．三、同类项与合并同类项1．同类项所含字母相同，并且相同字母的______也分别相同的项叫做同类项．2．合并同类项把多项式中的同类项合并成一项叫做____________，合并的法则是系数相加，所得的结果作为合并后的______，字母和字母的指数不变．四、求代数式的值1．代数式的值一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算关系计算出的结果就叫做代数式的值．2．求代数式的值的基本步骤(1)代入：一般情况下，先对代数式进行化简，再将数值代入；(2)计算：按代数式指明的运算关系计算出结果．五、整式的运算1．整式的加减(1)整式的加减实质就是合并同类项；(2)整式加减的步骤：有括号，先去括号；有同类项，再合并同类项．注意去括号时，如果括号前面是负号，括号里各项的符号要______．2．整式的乘除(1)整式的乘法．①单项式与单项式相乘：把______、__________分别相乘，作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．②单项式与多项式相乘：m (a ＋b ＋c )＝ma ＋mb ＋mc ．③多项式与多项式相乘：(m ＋n )(a ＋b )＝ma ＋mb ＋na ＋nB ． (2)整式的除法．①单项式除以单项式：把系数、同底数幂相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的______作为商的一个因式．②多项式除以单项式：(a ＋b )÷m ＝a ÷m ＋b ÷m . 3．乘法公式(1)平方差公式：(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2；(2)完全平方公式：(a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2. 六、因式分解1．因式分解的概念把一个多项式化成几个整式的____的形式，叫做多项式的因式分解． 2．因式分解的方法 (1)提公因式法．公因式的确定：第一，确定系数(取各项整数系数的最大公约数)；第二，确定字母或因式底数(取各项的相同字母)；第三，确定字母或因式的指数(取各相同字母的最低次幂)．(2)运用公式法．①运用平方差公式：a 2－b 2＝__________.②运用完全平方公式：a 2±2ab ＋b 2＝________. 3．因式分解的一般步骤一提(提取公因式法)；二套(套公式法)．一直分解到不能分解为止． 自主测试1．(2012福建福州)下列计算正确的是( )A ．a ＋a ＝2aB ．b 3·b 3＝2b 3C ．a 3÷a ＝a 3D ．(a 5)2＝a 72．下列各式中，与x 2y 是同类项的是( )A ．xy 2B ．2xyC ．－x 2yD ．3x 2y 23．(2012四川绵阳)图(1)是一个长为2m ，宽为2n (m ＞n )的长方形，用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图(2)那样拼成一个正方形，则中间空白部分的面积是( )A ．2mnB ．(m ＋n )2C ．(m －n )2D ．m 2－n 24．(2012四川宜宾)分解因式：3m 2－6mn ＋3n 2＝__________.5．单项式－3π5m 2n 的系数是______，次数是______．考点一、整数指数幂的运算【例1】 (2012湖南郴州)下列计算正确的是( )A ．a 2·a 3＝a 6B ．a ＋a ＝a 2C ．(a 2)3＝a 6D ．a 8÷a 2＝a 4解析：A 项是同底数幂的乘法，a 2·a 3＝a 2＋3＝a 5，故A 项错误；B 项是整式的加减运算，a ＋a ＝2a ，故B 项错误；C 项是幂的乘方，(a 2)3＝a 2×3＝a 6，故C 项正确；D 项是同底数幂的除法，a 8÷a 2＝a 8－2＝a 6，故D 项错误．答案：C方法总结 幂的运算问题除了注意底数不变外，还要弄清幂与幂之间的运算是乘、除还是乘方，以便确定结果的指数是相加、相减还是相乘．触类旁通1下列运算中，正确的是( )A ．x 3·x 2＝x 5B ．x ＋x 2＝x3C ．2x 3÷x 2＝xD ．⎝ ⎛⎭⎪⎫x 23＝x 32考点二、同类项与合并同类项【例2】 单项式－13x a ＋b y a －1与3x 2y 是同类项，则a －b 的值为( )A ．2B ．0C ．－2D ．1解析：本题主要考查了同类项的概念及方程组的解法，由－13x a ＋b y a －1与3x 2y 是同类项，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，a －1＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝0.所以a －b ＝2－0＝2. 答案：A方法总结 1.同类项必须具备以下两个条件：(1)所含字母相同；(2)相同字母的指数分别相同．二者必须同时具备，缺一不可；2．同类项与项的系数无关，与项中字母的排列顺序无关，如xy 2与－y 2x 也是同类项． 3．根据同类项概念，相同字母的指数相同，列方程(组)是解此类题的一般方法．触类旁通2如果3x 2n －1y m 与－5x m y 3是同类项，则m 和n 的取值是( ) A ．3和－2 B ．－3和2 C ．3和2 D ．－3和－2 考点三、整式的运算【例3】 先化简，再求值：(a ＋b )(a －b )＋(a ＋b )2－2a 2，其中a ＝3，b ＝－13.解：(a ＋b )(a －b )＋(a ＋b )2－2a 2＝a 2－b 2＋a 2＋2ab ＋b 2－2a 2＝2ab ，当a ＝3，b ＝－13时，2ab ＝2×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－2. 方法总结 整式的乘法法则和除法法则是整式运算的依据，必须在理解的基础上加强记忆，并在运算时灵活运用法则进行计算．使用乘法公式时，要认清公式中a ，b 所表示的两个数及公式的结构特征，注意套用公式．触类旁通3 已知2x －1＝3，求代数式(x －3)2＋2x (3＋x )－7的值． 考点四、因式分解【例4】 (2012湖南常德)分解因式：m 2－n 2＝__________. 答案：(m ＋n )(m －n )方法总结 (1)因式分解时有公因式的要先提取公因式，再考虑是否应用公式法或其他方法继续分解．(2)提取公因式时，若括号内合并的项有公因式，应再次提取；注意符号的变换y －x ＝－(x －y )，(y －x )2＝(x －y )2.(3)应用公式法因式分解时，要牢记平方差公式和完全平方公式及其特点． (4)因式分解要分解到每一个多项式不能分解为止．1．(2012湖南常德)下列运算中，结果正确的是( )A ．a 3·a 4＝a 12B ．a 10÷a 2＝a 5C ．a 2＋a 3＝a 5D ．4a －a ＝3a 2．(2012湖南益阳)下列计算正确的是( )A ．2a ＋3b ＝5abB ．(x ＋2)2＝x 2＋4C ．(ab 3)2＝ab 6D ．(－1)0＝13．(2012湖南湘潭)因式分解：m 2－mn ＝__________.4．(2012湖南益阳)写出一个在实数范围内能用平方差公式分解因式的多项式：__________.5．(2012湖南怀化)当x ＝1，y ＝15时，3x (2x ＋y )－2x (x －y )＝__________.6．(2012湖南株洲)一组数据为：x ，－2x 2,4x 3，－8x 4，…观察其规律，推断第n 个数据应为__________．1．将代数式x 2＋4x －1化成(x ＋p )2＋q 的形式为( )A ．(x －2)2＋3B ．(x ＋2)2－4C ．(x ＋2)2－5D ．(x ＋2)2＋42．如图所示，在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形(a ＞b )，把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，验证了公式( )A ．(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2B ．(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2C ．a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )D ．(a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 23．多项式__________与m 2＋m －2的和是m 2－2m .4．若3x m ＋5y 2与x 3y n 的和是单项式，则n m＝__________.5．若m －n ＝2，m ＋n ＝5，则m 2－n 2的值为__________．6．若2x ＝3,4y ＝5，则2x －2y的值为__________．7．给出3个整式：x 2,2x ＋1，x 2－2x .(1)从上面3个整式中，选择你喜欢的两个整式进行加法运算，若结果能因式分解，请将其因式分解；(2)从上面3个整式中，任意选择两个整式进行加法运算，其结果能因式分解的概率是多少？参考答案 【知识梳理】一、1.多项式 2.数字 和 3．和 单项式 次数最高二、a m ＋n a mn三、1.指数 2.合并同类项 系数 五、1.(2)变号2．(1)①系数 同底数幂 (2)①指数 六、1.积2．(2)①(a ＋b )(a －b ) ②(a ±b )2导学必备知识 自主测试1．A a ＋a ＝2a ，A 项正确；b 3·b 3＝b 6，B 项错误；a 3÷a ＝a 2，C 项错误；(a 5)2＝a 10，D 项错误．2．C 只有C 选项中相同字母的指数与x 2y 分别相同．3．C 因为长方形的长为2m ，宽为2n (m ＞n )，则小长方形的长为m ，宽为n ，小正方形的边长为(m －n )，所以面积是(m －n )2.4．3(m －n )2 原式＝3(m 2－2mn ＋n 2)＝3(m －n )2.5．－3π53探究考点方法触类旁通1.A A 项是同底数幂相乘，x 3·x 2＝x3＋2＝x 5，B 项中的两项不是同类项，不能合并，C 项是单项式相除，2x 3÷x 2＝(2÷1)x 3－2＝2x ，D 项⎝ ⎛⎭⎪⎫x 23＝x 323＝x38.触类旁通 2.C 此题考查同类项概念和二元一次方程组的解法，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 2n －1＝m ，m ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝2. 触类旁通3.分析：本题需先把2x －1＝3进行整理，得出x 的值，把代数式进行化简，再把x 的值代入即可求出结果．解：由2x －1＝3得x ＝2，又(x －3)2＋2x (3＋x )－7＝x 2－6x ＋9＋6x ＋2x 2－7＝3x 2＋2，∴当x ＝2时，原式＝14.品鉴经典考题1．D a 3·a 4＝a 7，所以A 项不正确；a 10÷a 2＝a 8，所以B 项不正确；a 2与a 3不是同类项，不能合并，所以C 项不正确；4a －a ＝3a ，D 项正确．2．D 2a 与3b 不能合并，A 项不正确；(x ＋2)2＝x 2＋4x ＋4，B 项不正确；(ab 3)2＝a 2b 6，C 项不正确；由任何一个不等于零的数的零次幂等于1，知D 项正确．3．m (m －n ) m 2－mn ＝m (m －n )．4．答案不唯一，如x 2－1.5．5 3x (2x ＋y )－2x (x －y )＝6x 2＋3xy －2x 2＋2xy ＝4x 2＋5xy .当x ＝1，y ＝15时，原式＝4×12＋5×1×15＝4＋1＝5.6．(－2)n －1x n x 的系数为1＝(－2)1－1，次数为1；－2x 2的系数为－2＝(－2)2－1，次数为2；4x 3的系数为4＝(－2)3－1，次数为3；－8x 4的系数为－8＝(－2)4－1，次数为4；….所以第n 个数据的系数为(－2)n －1，次数为n ，即(－2)n －1x n.研习预测试题1．C x 2＋4x －1＝(x 2＋4x ＋4)－4－1＝(x ＋2)2－5.2．C 因为第一个图是一个大的正方形挖去了一个小的正方形，其面积表达式为a 2－b 2.第二个图是一个梯形，下底为2a ，上底为2b ，高为(a －b )，其面积为12(2a ＋2b )(a －b )＝(a＋b )(a －b )，所以两个图验证了公式：a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )．3．2－3m 由题意得此多项式为(m 2－2m )－(m 2＋m －2)＝m 2－2m －m 2－m ＋2＝2－3m . 4.14 由题意得m ＋5＝3，n ＝2，所以m ＝－2，所以n m ＝2－2＝122＝14. 5．10 m 2－n 2＝(m ＋n )(m －n )＝5×2＝10. 6.35 2x －2y ＝2x ÷22y ＝2x ÷4y ＝3÷5＝35. 7．解：(1)x 2＋(2x ＋1)＝x 2＋2x ＋1＝(x ＋1)2或x 2＋(x 2－2x )＝2x 2－2x ＝2x (x －1)或(2x＋1)＋(x 2－2x )＝2x ＋1＋x 2－2x ＝x 2＋1.(2)由(1)可知，概率为23.。