7.4勾股定理的逆定理 导学案

学习笔记记录区_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________人教版初中数学八年级下册17.2.1勾股定理的逆定理导学案一、学习目标：1.掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、定理的概念、关系及勾股数.2.能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形.重点：灵活运用勾股定理及其逆定理解决问题.难点：灵活运用勾股定理及其逆定理解决问题.二、学习过程：课前自测1.勾股定理的内容是什么?2.求以线段a、b 为直角边的直角三角形的斜边c 的长.①a＝3，b＝4；_______②a＝2.5，b＝6；_________③a＝4，b＝7.5.________自主学习画一画：如果三角形的三边分别为2.5cm，6cm，6.5cm，它们满足关系学习笔记记录区_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________“2.52+62=6.52”，画出的三角形是直角三角形吗？换成三边分别为4cm，7.5cm，8.5cm，再试一试.由上面的几个例子，我们猜想：_____________________________________________________________________________________________.思考：把下列命题1、命题2的题设、结论分别画出来？命题1如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a 2+b 2=c 2.命题2如果三角形的三边长a，b，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形.【归纳】我们看到，命题2与命题1的题设、结论正好_____.我们把像这样的两个命题叫做____________.如果把其中一个叫做_________，那么另一个叫做它的_________.【针对练习】说出下列命题的逆命题，并判断它们是否正确.1.原命题：同位角相等，两直线平行.()逆命题：______________________.()2.原命题：对顶角相等.()逆命题：____________________.()3.原命题：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.()逆命题：学习笔记记录区___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________.()4.原命题：角平分线上的点到角的两边的距离相等.()逆命题：___________________________________________________.()合作探究在图(1)中，已知△ABC 的三边长分别为a，b，c，且满足a 2+b 2=c 2，要证△ABC 一定是直角三角形.我们可以先画一个两条直角边长分别为a，b 的Rt△A′B′C′如图(2)，如果△ABC 与Rt△A′B′C′全等，那么△ABC 就是一个直角三角形.具体问题：已知△ABC，BC=a，AC=b，AB=c，且a 2+b 2=c 2.求证：△ABC是直角三角形.【归纳】勾股定理的逆定理__________________________________________________________________.一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理_______________.典例解析例1.判断由线段a，b，c 组成的三角形是不是直角三角形：学习笔记记录区_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(1)a=15，b=8，c=17；(2)a=13，b=14，c=15.【针对练习】若△ABC 的三边a,b,c 满足a:b:c=3:4:5，是判断△ABC 的形状.例2.若△ABC 的三边a,b,c 满足a 2+b 2+c 2+50=6a+8b+10c.试判断△ABC 的形状.【针对练习】若△ABC 的三边a,b,c，且a+b=4,ab=1,c=14，试说明△ABC 是直角三角形.例3.已知△ABC 的三条边长分别为a ，b ，c ，且a =m 2−n 2，b =2mn ，c =m 2+n 2（m >n ，m ，n 是正整数）．△ABC 是直角三角形吗？请证明你的判断．_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【针对练习】已知△ABC 的三边a =m −n(m >n >0)，b =2mm ，c =m +n ．求证：△ABC 是直角三角形．例4.已知A 0,4，B 2,0，C 4,1．(1)在坐标系中描出各点，画出三角形ABC ；(2)求三角形ABC 的面积;(3)仅用无刻度的直尺作出AC 边上的高BD ，并直接写出BD 的长．（保留作图痕迹）例5.如图，在正方形ABCD 中，F 是CD 的中点，E 为BC 上一点，且CE 14CB，试判断AF 与EF 的位置关系，并说明理由．_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________达标检测1.下列各组数中，是勾股数的()A.0.3，0.4，0.5B.9，16，25C.5，12，13D.10，15，182.下面三角形中是直角三角形的有()①三角形三内角之比为1:2:3;②三角形三内角之比为3:4:5;③三角形三边之比为1:2:3;④三角形三边之比为3:4:5.A.1个B.2个C.3个D.4个3.下列命题中，逆命题为真命题的是()A.全等三角形的对应角相等B.等角对等边C.若a=b，则|a|=|b|D.若ac 2<bc 2，则a<b4.一个三角形的三边的长分别是3，4，5，则这个三角形最长边上的高是（）A.4B.3C.2.5D.2.44.已知一个三角形的三边长分别为2、3、13则这个三角形的面积是_____.5若△ABC 的三边a、b、c 满足(a-b)(a 2+b 2-c 2)=0，则△ABC 是__________________________.6.命题“如果a+b=0，那么a=0,b=0”的逆命题是学习笔记记录区______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________,它是____命题.7.根据下列条件，分别判断以a ，b ，c 为边的三角形是不是直角三角形．(1)a =7，b =8，c =10．(2)a =35，b =12，c =37．(3)a =41，b =4，c =5．(4)a =3n ，b =4n ，c =5n （n 为正整数）(5)a:b:c =5:12:13．8.说出下列命题的逆命题.这些逆命题成立吗？(1)两条直线平行，内错角相等；(2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；(3)全等三角形的对应角相等.9．已知△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对边长分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 三边满足a −9+b −12+c −15=0，试判断△ABC 的形状．学习笔记记录区_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________10.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，△ABC 的顶点都在格点上．(1)求∠BAC 的度数；(2)求△ABC的面积．。

§ 勾股定理的逆定理 第1课时学习目标：1．了解勾股定理的逆定理的由来，掌握勾股定理的逆定理，并能初步运用勾股定理的逆定理判定直角三角形。

2．通过的具体例子，了解逆命题、逆定理的概念，知道原命题成立其逆命题不一定成立。

一、自主探究二、小组合作交流，课内展示：阅读教材（73-74页）相关内容，思考，讨论，合作交流后完成下列问题：请同学们根据猜想写出勾股定理的逆命题：命题2： 。

请同学们通过阅读回答下列问题：1.命题1的题设是 ，结论是 .命题2的题设是 ，结论是 .2.原命题与逆命题的关系是什么？3.请同学们再举出一些互逆命题，并思考：是否原命题正确，它的逆命题也正确呢？4.通过讨论大家会发现原命题正确，其逆命题不一定正确。

那勾股定理的逆命题正确吗？命题的真假如何判断？5.已知：如图1，△ABC 中，AB=c,AC=b,BC=a, 且a 2+b 2=c 2 .求证：∠C=90°.分析：在图1中，△ABC 的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，如果△ABC 是直角三角形，它应该与直角边是 和 的直角三角形 。

实际情况是这样吗？我们不妨构造．．一个Rt △C B A ''',使C B ''=a ，C A ''=b, ∠C '=90°(如图2),再将画好的△C B A '''剪下,放到△ABC 上，请同学们观察，它们是否能够重合？试一试吧！(图1) (图2)学生活动：拿出事先准备好的纸片、剪刀，实验、领会、感悟.讨论结果：（1）它们 重合；（2）证明：一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理。

6．每个命题都有逆命题，是不是每个定理都有逆定理呢？请举例说明。

三、课内巩固练习：2.在△ABC 中，AB=3，AC=4，BC=5，则∠ =90°.3.写出下列定理的逆命题，并判断它是否有逆定理。

7.4 勾股定理的逆定理◆学习目标：1、经历直角三角形判别条件的探究过程，体会命题、定理的互逆性.2、探索并掌握直角三角形判别思想，会应用勾股定理的逆定理解决实际问题. ◆学习重点：理解并掌握勾股定理的逆定理，并会应用.◆学习难点：探索并掌握直角三角形判别思想，会应用勾股定理的逆定理解决实际问题.学习过程◆ 新知必备1、已知：a 、b 、c 分别是直角三角形的三边，c 为斜边，求出未知数。

（1）a=3，b =4，则c= ，（2）a=8，c=4，则b=（3）a=5，c=3，则b= ，（4）b=30，c=50，则b=2、怎样确定一个三角形是直角三角形？口述勾股定理，思考：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，是否能判定这个三角形是直角三角形呢？◆ 探索新知已知一个三角形的三边长分别为3厘米、4厘米和5厘米，请你使用尺规作图作出这个三角形。

用量角量去量一下三角形的三个内角，并确定三角形的形状总结：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

即若三角形三边a,b,c 满足222c b a =+（222a c b =+或222b c a =+），则此三角形是直角三角形。

◆ 学会应用例1 在下列各题中，a,b,c 分别是△ABC 的三条边的长，判断△ABC 是不是直角三角形：（1）3,2,1===c b a （2）4,3,2===c b a （3）x c x b x a 5,4,3===注意：我们把能够成为直角三角形三条边长的三个正整数称为勾股数组。

思考：在纸上画一个角，如果只用一把带有刻度的直尺，你怎样来判定画出的是否是直角。

◆ 当堂演练完成书本59页的练习1、2 60页习题 1、21、下列各组数，不是勾股数的为（ ）A 、3:4:5B 、5:12:13C 、9:12:152、一个三角形三边之比为3:4:5，则此三角形是 。

为什么？3、三角形的三边长a 、b 、c 满足ab c b a 2)(22=-+，则此三角形是4、一个三角形的三边之比为13:12:5，且周长为60cm ，则它的面积是 2cm5、已知在⊿ABC 中，AB=AC=5，BC=6，求⊿ABC 的面积6、一个三角形的三边长分别为15，20，25，那么它的最长边上的高◆ 小结本节课你所学到的知识有：方法有：你仍有不明白或感到困惑的地方：◆ 当堂检测1、⊿ABC 中，如果三边满足关系2BC =2AB 2AC -，则⊿ABC 的直角是2、在⊿ABC 中，若5,7,252222==-=+c b a b a ，此三角形是3、已知：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？（1）a=3，b=22，c=5； （2）a=5，b=7，c=9；（3）a=2，b=3，c=7； （4）a=5，b=62，c=1。

勾股定理的逆定理导学案学习目标：1.了解勾股定理逆定理的由来，掌握勾股定理逆定理，理解勾股定理的逆定理的证明方法和证明过程。

2.能初步运用勾股定理的逆定理来判定一个三角形是直角三角形。

重、难点：掌握勾股定理的逆定理及其证明。

一、自主探索：1.情境引入。

据说古埃及人用下图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结、4个结、5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．你知道为什么吗？请自学课本112页——114页的内容，认真完成以下内容。

勾股定理：直角三角形的平方和等于。

它的题设是，结论是。

逆命题是：。

它的题设是，结论是。

那么这个命题是命题。

下面请大家试着写出它的证明。

____________________________________________________________,___________,_____'''_________''__,__________''a ''b '',90''''.90.90.c b a b a c 2222∴≅∴===∆∆====︒=∠∆︒=∠︒=∠=+===∆ 中，和在即，则，，使证明：作角形对应角相等来证明提示：可以利用全等三求证：，，，中，已知：在C B A ABC B A B A C B C A C C B A C C AC BC AB ABC2.自学检测：所对的角是直角。

则此三角形为满足长为若一个三角形的三条边_____________,,a c,b,a,222c b =- 所对的角是直角。

则此三角形为中，在____________,__________,5,4,3===∆AC BC AB ABC的形状，并说明理由。

，请判断，，中，在ABC ABC ∆===∆3c 2b 1a二、合作提升学生完成“自学检测”后，分组讨论展示在“自学检测”中遇到的问题，尝试总结出利用勾股定理逆定理判定三角形是直角三角形的方法步骤。