【数学】浙江省杭州市萧山区2017届高考模拟命题比赛数学试卷21

浙江省杭州市萧山区2017届高考模拟命题比赛数学试卷21

一、 选择题: 本大题共10小题, 每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合}32|{xxA，}01|{xxB，则BA=( )

A．{|21}xx B．}2|{xx C．}12|{xx D．}1|{xx

2.已知复数1i2iz，其中i为虚数单位，则z( )

A． 21 B．2 C．22 D．2

3. “直线l与平面内无数条直线平行”是“直线l与平面平行”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4.已知直线1xy与曲线)ln(axy相切，则a的值为( )

A． 2 B．1 C．-2 D．-1

5.函数f(x)＝xln|x|的图像大致是( )

6．在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影，由区域x－2≤0，x＋y≥0，x－3y＋4≥0中的点在直线x＋y－2＝0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|＝( )

A． 2 B．22

C．3 D．23

7．随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝2，则D(2X－3)＝( )

X 0 2 a

P 16 p 13

A． 2

B．3

C．4 D．5

8．已知平面向量ba,不共线，若对任意实数t，都有abtat)1(，则( )

A. 0ba

B. 0)(baa

C. 0)(bab D. 0)(baa

9．如图，等边三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知DAE'是ADE绕DE旋转过程中的一个图形，下列说法中，错误的是( )

A．动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上

B．异面直线A′E与BD不可能垂直

C．三棱锥A′­EFD的体积有最大值

D．恒有平面A′GF⊥平面BCED

10.已知函数),,[,2)(axaxbxxf其中0,,abR记m(a,b)为f(x)的最小值，则当m(a,b)=2时，b的取值范围为( )

A.31b B.31b C.21b

D.21b

二、 填空题: 本大题共7小题, 多空题每小题6分，单空题每小题4分， 共36分.

11.抛物线xy42的焦点坐标是_________,准线方程是___________.

12．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），其中正视图是一个正三角形，则该几何体的表面积是______2cm，体积是 ______3cm.

13． 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若cos A＝45，cos C＝513，a＝1，则sinB=_______, b＝________．

14．已知{an}是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn．若a3，a4，a8成等比数列，则a1d________0，dS4________0．（填“>、<、=”）

15．如图所示，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为________．

16．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x＋y＋a＝0与点A（0,2），若直线l上存在点M满足1022MOMA(O为坐标原点)，则实数a的取值范围是________．

17.设函数baxxxf2)(，若对任意的正实数a和实数b，总存在]2,1[0x，使得mxf)(0，则实数m的取值范围是________．

三、解答题: 本大题共5小题, 共74分．解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.

18．(本题满分14分) 已知函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋1.

（Ⅰ）求f(x)的最小正周期；

（Ⅱ）当π[0,]2x时，求f(x)的取值范围．

19．（本题满分15分）如图所示，六面体ABCDHEFG中，四边形ABCD为菱形，AE，BF，CG，DH都垂直于平面ABCD，若DA＝DH＝DB＝4，AE＝CG＝3.

（Ⅰ）求证：EG⊥DF；

（Ⅱ）求BE与平面EFGH所成角的正弦值．

20.（本题满分15分）已知函数xxxf11ln)(.

（Ⅰ）求证：当)1,0(x时，)3(2)(3xxxf；

（Ⅱ）设实数k，使得)3()(3xxkxf对)1,0(x恒成立，求k的最大值.

21.（本小题满分15分）已知椭圆)1(1222ayax，过直线:2lx上一点P作椭圆的切线，切点为A，当P点在x轴上时，切线PA的斜率为2.2

(Ⅰ) 求椭圆的方程；

(Ⅱ) 设O为坐标原点，求△POA面积的最小值.

22.（本小题满分15分）已知数列na满足：11a，221)1(naaannn．(*nN)，

证明：当*nN时，

(Ⅰ) 21)1(11naann；

(Ⅱ) 13)1(21nannn.

P

A O l

参考答案

一、 选择题

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10

答案 B C B A

A D C B B

D

二、 填空题

11. (1,0) ，1x

12. 731， 33

13.6563， 1321

14. <， <

15.18

16.]122,122[

17.]21,(

三、解答题

18．解：（Ⅰ）1cos212π3()sin21sin(2)22242xfxxx，

所以最小正周期T=π．

（Ⅱ） ππ32[,π]444x

π2sin(2)[,1]42x，

所以]232,1[)(xf

19．（Ⅰ）证明：连接AC，由AE∥CG，AE＝CG，可得四边形AEGC为平行四边形，

所以EG∥AC.

而AC⊥BD，AC⊥BF，所以EG⊥BD，EG⊥BF.

又因为BD∩BF＝B，所以EG⊥平面BDHF.

又DF⊂平面BDHF，所以EG⊥DF.

（Ⅱ）设AC∩BD＝O，EG∩HF＝P，由已知可得，平面ADHE∥平面BCGF，所以EH∥FG.同理可得EF∥HG，所以四边形EFGH为平行四边形，所以P为EG的中点．又O为AC的中点，所以OP∥AE，AE＝OP，从而OP⊥平面ABCD.又OA⊥OB，所以OA，OB，OP两两垂直．由平面几何知识，得BF＝2.如图，建立空间直角坐标系O -xyz，则B(0，2，0)，E(23，0，3)，F(0，2，2)，P(0，0，3)，

所以BE→＝(23，－2，3)，PE→＝(23，0，0)，PF→＝(0，2，－1)．

设平面EFGH的法向量为n＝(x，y，z)，

由PE→·n＝0，PF→·n＝0，可得x＝0，2y－z＝0，令y＝1，则z＝2，所以n＝(0，1，2)．

设BE与平面EFGH所成角为θ，则sin θ＝|BE→·n||BE→|·|n|＝4525.

20．解：（Ⅰ）令)3(2)()(3xxxfxg，则24212)1(2)(')('xxxxfxg.

当)1,0(x时，0)('xg，所以)(xg在（0,1）上单调递增，即0)0()(gxg

即当)1,0(x时，)3(2)(3xxxf；

（Ⅱ）由（1）知，当2k时，)3(2)(3xxxf对)1,0(x恒成立，

当k>2时，令)3()()(3xxkxfxh，则)1()(')('2xkxfxh=241)2(xkkx.

所以当420kkx时，0)('xh，因此h(x)在区间)2,0(4kk上单调递减，

当420kkx时，0)0()(hxh，即)3()(3xxkxf.

所以当k>2时，)3()(3xxkxf并非对)1,0(x恒成立.

综上，k的最大值为2.

21.解：（Ⅰ）当P点在x轴上时，P（2，0），PA：)2(22xy

012)211(1)2(2222222xxayaxxy

202a，椭圆方程为1222yx

（Ⅱ）设切线为mkxy，设),2(0yP，),(11yxA，

则02222yxmkxy0224)21(222mkmxxk12022km，

且212121,212kmykkmx，mky20

则4||20yPA，

PA直线为xyy20，A到直线PO距离4|2|20110yyxyd，

则|212212)2(|21|2|21||2122110kmkkmmkyxydPASPOA＝

|21||||2121|222kkmkmkkmk

01221)(2222SSkkkkS

228402SS，此时22k

22．证明：（Ⅰ）0)1(221naaannn111aaann， P

A O l