存在性问题专题

存在性问题专题 初二十班 王文周 存在性问题专题

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一、概述

1.概述：存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，是近几年来各地中考的“热点”。这类题目解法的一般思路是：假设存在→推理论证→得出结论。若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出矛盾，就做出不存在的判断。

由于“存在性”问题的结论有两种可能，所以具有开放的特征，在假设存在性以后进行的推理或计算，对基础知识，基本技能提出了较高要求，并具备较强的探索性，正确、完整地解答这类问题，是对我们知识、能力的一次全面的考验。

2.分类：存在性问题按定性可分为：(1)肯定性存在问题

(2)否定性存在问题

(3)讨论性存在问题

二、例题分析

例1. 若关于的一元二次方程有两个实数根，xxmxmm22319200()

又已知、、分别是△的∠、∠、∠的对边，∠°，且，abcABCABCCB9035cos

bamRt3，是否存在整数，使上述一元二次方程两个实数根的平方和等于

△的斜边的平方？若存在，求出满足条件的的值，若不存在，请说明ABCcm

理由。

分析：这个题目题设较长，分析时要抓住关键，假设存在这样的m，满足的条件有m是整数，一元二次方程两个实数根的平方和等于Rt△ABC斜边c的平方，隐含条件判别式Δ≥0等，这时会发现先 初二十班 王文周 存在性问题专题

第 3 页 共 8 页 抓住Rt△ABC的斜边为c这个突破口，利用题设条件，运用勾股定理并不难解决。

解：在△中，∠°，∵RtABCCB9035cos

∴设a=3k，c=5k，则由勾股定理有b=4k，

33343kkkab∴，∴，∵

∴，，abc91215

设一元二次方程的两个实数根为，xmxmmxx2212319200()

则有：，xxmxxmm1212231920()

∴xxxxxxmmm122212212222312920()[()]()

736312mm

由，xxcc1222215

有，即73631225736256022mmmm

∴，mm124647

∵不是整数，应舍去，m647

当时，m40

∴存在整数m=4，使方程两个实数根的平方和等于Rt△ABC的斜边c的平方。

例2. 如图：已知在同一坐标系中，直线与轴交于点，抛物ykxkyP22

线与轴交于，，，两点，是抛物线的顶点yxkxkxAxBxC21221400()()() 初二十班 王文周 存在性问题专题

第 4 页 共 8 页 （1）求二次函数的最小值（用含k的代数式表示）

（2）若点A在点B的左侧，且x1·x2<0

①当k取何值时，直线通过点B；

②是否存在实数k，使S△ABP=S△ABC？如果存在，求出抛物线的解析式；如果不存在，请说明理由。

分析：本题存在探究性体现在第（2）问的后半部分。认真观察图形，要使S△ABP=S△ABC，由于AB=AB，因此，只需两个三角形同底上的高相等就可以。OP显然是△ABP的高线，而△ABC的高线，需由C作AB的垂线段，在两个高的长中含有字母k，就不难找到满足条件的k值。

解：()()()11044414122∵，∴×最小值aykkk

()()()()2214222由，得：yxkxkyxxk

①当时，，yxxk02212 ∵点A在点B左侧，

∴，又∵，∴，xxxxxx121212000 ∴A（2k，0），B（2，0），

将，代入直线Bykxk()2022 得：，∴222043kkk

∴当时，直线过点kB43

（2）过点C作CD⊥AB于点D

则CDkk|()|()1122

∵直线交轴于，，ykxkyPk22022() ∴OPk22

若，则··△△SSABOPABCDABPABC1212 ∴OP=CD ∴2212kk() 初二十班 王文周 存在性问题专题

第 5 页 共 8 页 解得：，kk12122 由图象知，，∴取kk012

∴当时，△△kSSABPABC12

此时，抛物线解析式为：yxx22

例3. 如图，在平面直角坐标系O—XY中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A和B，且12a+5c=0。

（1）求抛物线的解析式；

（2）如果点P由点A沿AB边以2cm/秒的速度向点B移动，同时点Q由点B开始沿BC边以1cm/秒的速度向点C移动，那么：

①移动开始后第t秒时，设S=PQ2（cm2），试写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；

②当S取最小值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点R的坐标；若不存在，请说明理由。

解：（1）根据题意，A（0，－2），B（2，－2）

根据题意：∴2242125056532cabcacabc ∴抛物线的解析式为：yxx565322

（2）①移动开始后第t秒时，AP=2t，BQ=t

∴P（2t，－2），Q（2，t－2） 初二十班 王文周 存在性问题专题

第 6 页 共 8 页 ∵，∴SPQStt2222222()()即Sttt584012()

②当取得最小值时，St45

∴，，，PQ()()852265

假设在抛物线上存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形，

若以PR为一条对角线，使四边形PBRQ为平行四边形

∴BPQR28525

∴，∴，，22512512565R()

经检验，在抛物线上，R()12565

若为PB为一条对角线，使四边形PRBQ为平行四边形

∵BQtPR45

∴245145

∴，，经检验，不在抛物线上RR()()8514585145

综上所述，当最小时，抛物线上存在点，，使得以、、、SRPBQR()12565

为顶点的四边形是平行四边形。

例5. 如图：二次函数的图象与轴相交于、两点，点在原yxbxcxABA2

点左边，点在原点右边，点，在抛物线上，，∠BPmABPAO()tan1225

（1）求m的值； 初二十班 王文周 存在性问题专题

第 7 页 共 8 页 （2）求二次函数的解析式；

（3）在x轴下方的抛物线上有一动点D，是否存在点D，使△DAO的面积等于△PAO的面积？若存在，求出D点坐标；若不存在，说明理由。

解：（1）作PH⊥x轴于H，在Rt△PAH中

∵∠tanPAOPHAH25 ∵，∴PHmAHm52 ∵P（1，m）在抛物线上，m=1+b+c，

设，，，，∵AxBxAB()()12002

∴||xx212 ∴()xxxx1221242

令，得：yxbxc002 ∴，，∴xxbxxcbc1212242

∵±±xbbcb24222 且，∴，xxxbxb12122222 ∵OH=1，∴AH－AO=1

∵，AHmAOxb52221

∴52221mb 由：得：mbcmbbcmbc1522214224254521252 b4()舍去

∴m2425

()24521252yxx

（3）假设在x轴下方的抛物线上存在点D（x0，y0），

使，则有：△△SSDAOPAO

SAOySAOPHDAOPAO△△·，·12120|||||||| 初二十班 王文周 存在性问题专题

第 8 页 共 8 页 ∴，||||yPHm02425

∴，代入，得：yyxx00020242545215

xxxx020124521524253515，解得：，

∴满足条件的点有两个：

DD()()352425152425，或，

三、专题总结

我们了解了怎样去解答存在性问题，即假设其存在，再根据具体的条件去证明，如果和假设相符合则成立，不符合就不成立。在具体的选择填空时，我们可以假设其成立和不成立两种情况，用学过的公式定理去将其推翻或符合，需要拥有具体问题具体分析其假设的状态。