第34卷第1期2004年1月 东南大学学报(自然科学版)JOURNAL OF SOU THEAST UNIV ERSITY (Natural Science Edition )Vol 134No 11Jan.2004一种新型三自由度液压伺服关节的动力学模型朱兴龙1,2 周骥平2 罗 翔1 颜景平1(1东南大学机械工程系,南京210096)(2扬州大学机械工程学院,扬州225009)摘要:建立了一种新型三自由度液压伺服关节的动力学空间模型,提出了一种自适应控制补偿方法,该方法能够消除死区造成的位置跟踪误差.利用Matlab 对该动力学模型进行了仿真试验研究,仿真试验结果表明,死区对位置跟踪误差有直接影响,该关节的动力学系统是稳定的,采用自适应控制补偿方法,可以使位置跟踪精度误差小于011%,且系统输出无超调.同时,系统对负载变化不敏感,具有较强的鲁棒性.关键词:液压伺服关节;三自由度;动力学模型;自适应控制;机器人中图分类号:TH112 文献标识码:A 文章编号:1001-0505(2004)0120032206Dynamic modeling of a novel hydraulic servowith three degrees of freedom jointZhu Xinglong 1,2 Zhou Jiping 2 Luo Xiang 1 Yan Jingping 1(1Department of Mechanical Engineering ,Southeast University ,Nanjing 210096,China )(2College of Mechanical Engineering ,Yangzhou University ,Yangzhou 225009,China )Abstract :An adaptive control compensation method that enables position tracking error due to the dead zone to be eliminated is presented.By Matlab ,the simulation testing results show the dynamic system of the novel hydraulic servo joint is steady.The position tracking error is influenced directly by the dead zone.Adopting the adaptive control compensation method enables the position tracking error of less than of 011%and implements the system output without overshooting.Simultaneously ,the robustness of the system is very strong because the system output is not sensitive to loading 2change.K ey w ords :hydraulic servo joint ;three degrees of freedom ;dynamic model ;adaptive control ;robot收稿日期:2003205223.基金项目:国家计委211资助项目(2102002001)、江苏省自然科学基金资助项目(B K2002405).作者简介:朱兴龙(1964—),男,博士生,xinglongzhu @ ;颜景平(联系人),男,教授,博士生导师.在机器人操作臂的精确控制过程中[1,2],操作臂的动力学问题是不可回避的问题,因此动力学模型在机器人操作臂的设计和控制中具有十分重要的作用.文献[3]讨论了以齿轮传动的机器人操作臂的动力学操作能力对关节动态特性的影响,文献[4,5]采用拉格朗日方程建立了操作臂各关节驱动的力矩方程,文献[1～3]在仿真实验中均采用平面二自由度操作臂进行仿真计算.本文在文献[6]的基础上,考虑死区、饱和非线性环节及工作负载对系统的影响,建立了该关节的动力学空间模型,并针对液压伺服阀口采用正重叠设计而造成的死区非线性,致使关节在位置跟踪过程中存在着位置跟踪误差的问题,提出了用自适应控制补偿方法,消除位置跟踪误差.1 数学模型根据图1所示结构分析,第3自由度的摆动缸体安装在机器人的本体上,并取此自由度的旋转中心作为绝对坐标原点O 1,第3自由度旋转部分为一球体,因此可认为质量集中在O 1处,由于球体的回转半径较小,且速度较低,动能可忽略不计.设该关节连杆长度为l 1,第1、第2自由度的质量分别为m 1,m 2,且集中在N 1,N 2点处,距O 1分别为l m 1,l m 2,负载质量为m 3,集中在N 3点处,距O 2为l m 3,O 2为负载坐标系的原点,3个自由度的转角分别为α1,α2,α3,见图1(b ).图1(c )为关节结构简图.图1 空间关系分析111 几何计算为简便,令s α1=sin α1,s α2=sin α2,s α3=sin α3,c α1=cos α1,c α2=cos α2,c α3=cos α3.取直角坐标系O 1x 1y 1z 1,则N 1,N 2,O 2点的坐标 N 1=x m 1,y m 1,z m 1T=l m 1c α1c α2,c α1s α2,s α1TN 2=x m 2,y m 2,z m 2T =l m 2c α1c α2,c α1s α2,s α1TO 2=x l ,y l ,z lT=l 1c α1c α2,c α1s α2,s α1T(1)负载坐标系取为O 2x 2y 2z 2,坐标原点O 2取在关节连杆末端,x 2与连杆轴线重合,y 2垂直于O 1O 2P 1平面,P 1为连杆末端在O 1x 1y 1平面上的正投影,z 2的方向按右手原则确定,设负载在O 2x 2y 2z 2方位为α0,β0,则N 3点相对于O 2x 2y 2z 2的坐标为 O 2N 3=O 2x m 3,O 2y m 3,O 2z m 3T=x 3,y 3,z 3T=l m 3c α0c β0,c α0s β0,s α0T(2)由式(1)、(2),经旋转、平移变换可得N 3点相对于O 1x 1y 1z 1的坐标 N 3=x m 3y m 3z m 3=c α1c α2-s α1c α2s α3-s α2c α3-s α1c α2c α3+s α2s α3c α1s α2s α1s α2s α3+c α2c α3-s α1s α2c α3-c α2s α3s α1c α1s α3c α1c α3x 3y 3z 3+l 1c α1c α2c α1c α2c α1(3)112 拉格朗日函数由式(1)～(3)可得m 1,m 2,m 3的速度v m 1,v m 2,v m 3以及系统的动能K 和势能P ,即v 2m 1=l 2m 1( α21+ α22c 2α1)v 2m 2=l 2m 2( α21+ α22c 2α1)v 2m 3= x 2m 3+ y 2m 3+ z 2m 3=(v 211+v 221+v 231) α21+(v 212+v 222) α22+(v 213+v 223+v 233) α23+ 2(v 11v 12+v 21v 22) α1 α2+2(v 12v 13+v 22v 23) α2 α3+2(v 11v 13+v 21v 23+v 31v 33) α1 α3(4)式中, α1, α2, α3为角速度; v 11=-(x 3+l 1)s α1c α2-y 3c α1c α2s α3-z 3c α1c α2c α3v 12=-(x 3+l 1)c α1s α2-y 3(c α2c α3-s α1s α2s α3)+z 3(c α2s α3+s α1s α2c α3)v 13=y 3(s α2s α3-s α1c α2s α3)+z 3(s α2s α3+s α1c α2s α3)v 21=-(x 3+l 1)s α1s α2-y 3c α1s α2s α3-z 3c α1s α2c α3v 22=(x 3+l 1)c α1c α2-y 3(s α2c α3+s α1c α2s α3)+z 3(s α2s α3-s α1c α2c α3)v 23=-y 3(c α2s α3+s α1s α2c α3)-z 3(c α2c α3-s α1s α2s α3)33第1期朱兴龙,等:一种新型三自由度液压伺服关节的动力学模型v 31=(x 3+l 1)c α1-y 3s α1s α3-z 3s α1c α3v 33=y 3c α1c α3-z 3c α1s α3 K =∑3i =1Ki=∑3i =112m i v 2m iP =∑3i =1Pi=∑3i =1m igzm i(5)由式(5)得拉格朗日函数 L =K -P =∑3i =1mi12v 2m i-gz i =12m 3α1 α2α3T∑3i =1v2i 1+∑2i =1m i m 3l 2m i ∑2i =1vi 1v i 2∑3i =1vi 1v i 3∑2i =1vi 1v i 2∑2i =1v 2i 2+∑2i =1m im 3l 2m i c 2α1∑2i =1vi 2v i 3∑3i =1vi 1v i 3∑2i =1vi 2v i 3∑3i =1v 2i 3α1 α2 α3-g∑2i =1m i lm i+m 3(l 1+x 3)s α1+m 3(y 3s α3+z 3c α3)c α1 (6)113 数学模型由式(6)得力矩方程 T 1T 2T 3=d d t 5L 5 α1-5L5α1d d t 5L 5 α2-5L5α2d d t 5L 5 α3-5L5α3=D 11D 12D 13D 21D 22D 23D 31D 32D 33¨α1¨α2¨α3+D 14D 15D 16D 24D 25D 26D 34D 35D 36α21 α22 α32+ D 17D 18D 19D 27D 28D 29D 37D 38D 39 α1 α2α2 α2 α1 α3+D 10D 20D 30(7)式中,D ij (i ,j =1,2,3),当i =j 时为第i 个自由度的有效转动惯量,i ≠j 时为第i 个自由度与第j 个自由度之间的耦合转动惯量;D i 0表示第i 自由度的重力矩;D ij (i =1,2,3;j =4,5,6)表示各自由度向心力系数;D ij (i =1,2,3;j =7,8,9)表示各自由度哥氏力系数.其中 D 11=m 1l 2m 1+m 2l 2m 2+m 3[(x 3+l 1)2+(y 3s α3+z 3c α3)2]D 12=m 3[(x 3+l 1)s α1+(y 3s α3+z 3c α3)c α1](y 3c α3-z 3s α3)D 13=m 3(x 3+l 1)(y 3c α3-z 3s α3)D 15=015{m 3[(x 3+l 1)2-(y 3s α3+z 3c α3)2]+(m 1l 2m 1+m 2l 2m 2)}sin2α1+(x 3+l 1)(y 3s α3+z 3c α3)cos2α1D 16=-m 3(x 3+l 1)(y 3s α3+z 3c α3)D 18=-2m 3[(x 3+l 1)s α1+(y 3s α3+z 3c α3)c α1](y 3s α3+z 3c α3)D 19=2m 3(y 3s α3+z 3c α3)(y 3c α3-z 3s α3)D 10=g{[(m 1l m 1+m 2l m 2+m 3(x 3+l 1)]c α1-m 3(y 3s α3+z 3c α3)s α1}D 21=(x 3+l 1)(y 3c α3-z 3s α3)s α1+[015(y 23-z 23)sin2α3+y 3z 3cos2α3]c α1D 22=(m 1l 2m 1+m 2l 2m 2)c 2α1+m 3{[(x 3+l 1)c α1-(y 3s α3+z 3c α3)s α1]2+(y 3c α3-z 3s α3)2}D 23=m 3[(y 23+z 23)s α1-(x 3+l 1)(y 3s α3+z 3c α3)c α1]D 24=m 3(x 3+l 1)(y 3c α3-z 3s α3)c α1+[015(y 23-z 23)sin2α3-y 3z 3cos2α3]s α143东南大学学报(自然科学版) 第34卷 D 26=-m 3(x 3+l 1)(y 3c α3-z 3s α3)c α1D 27={m 3[(y 3s α3+z 3c α3)2-(x 3+l 1)2]-m 1l 2m 1-m 2l 2m 2}sin2α1-2m 3(x 3+l 1)(y 3s α3+z 3c α3)cos2α1D 28=-2m 3[(x 3+l 1)(y 3c α3-z 3s α3)s α1+015(y 23-z 23)sin2α3c α1+y 3z 3cos2α3c α1]c α1D 29=2m 3(y 3c α3-z 3s α3)2c α1D 31=m 3(x 3+l 1)(y 3c α3-z 3s α3)D 32=-m 3(x 3+l 1)(y 3s α3+z 3c α3)c α1+(y 23+z 23)s α1D 33=m 3(y 23+z 23)D 34=-m 3[015(y 23-z 23)sin2α3+y 3z 3cos2α3]D 35=m 3[(x 3+l 1)(y 3c α3-z 3s α3)s α1+015(y 23-z 23)sin2α3c α1+y 3z 3cos2α3c α1]c α1D 37=2m 3(y 3s α3+z 3c α3)[(x 3+l 1)s α1+(y 3s α3+z 3c α3)c α1]D 30=m 3g (y 3c α3-z 3s α3)c α1其余系数为0.通过对文献[6]的工作原理分析,得系统的控制方框图如图2所示.在图2中,r 1i 为随动阀套半径,r 2i为叶片半径,r 3i 为伺服阀芯半径,p s 为系统压力,p 1i 为工作腔压力,p 2i 为回油腔压力,V 1i 为工作腔体积,V 2i 为回油腔体积,q 1i 为进入工作腔的流量,q 2i 为回油腔流量,q L i 为泄漏流量,θi 为电机输入角度.图2 控制系统方块图设伺服阀芯工作在某一稳态位置,由液压传动原理,知 τi =(p 1i -p 2i )∫r2ir1iB i r i d riT f i =B f (r 22i +r 21i ) αi q 1i =c d r 3i θv i a i 2(p s -p 1i )/ρ=c 1i θv i -c 2i p 1i q 2i =-c d r 3i θv i a i2p 2i /ρ=-c 3i θv i -c 4i p 2iθv i =0θi ≤θdead iθi -αi θdead i <θi <θmax i θmax i θi ≥θmax iq 1i =q L i +V 1i K Ep 1i +[π(r 22i -r 21i )B i -δi ] αiq 2i =-q L i +V 2i K Ep 2i -[π(r 22i -r 21i )B i -δi ] αiq L i =-K p (p 1i -p 2i )(8)式中,τi 为摆动缸输出力矩;T f i 为输出轴所受阻尼力矩;B i 为摆动缸体长度;a i 为伺服阀口宽度;δi 为叶53第1期朱兴龙,等:一种新型三自由度液压伺服关节的动力学模型片及挡块的体积;θv i 为阀口开度;θdead i 为阀口正重叠量,θmax i 为最大阀口开度;c d 为流量系数;ρ为油液密度,c 1i ,c 3i 为液流增益;c 2i ,c 4i 为液流压力系数;B f 为摩擦降落特性系数;K E 为油液体积弹性模量;K p 为漏损系数(i =1,2,3,分别表示x ,y ,z 轴旋转的自由度).因此,系统的动力学模型由方程(7)和(8)构成.2 仿真试验211 仿真曲线 由方程(7)、(8),采用Matlab 进行仿真[7],系统压力P s =5MPa ,l 1=014m ,l m 1=012m ,l m 2=011m ,l m 3=014m ,m 1=1kg ,m 2=2kg ,m 3=12kg ,α0=45°,β0=45°,B f =8kN ・s/m ,ρ=845kg/m 3,K E =115GPa ,K p =0.02cm 5/(N ・s ),c d =0162,关节结构参数见表1,仿真曲线如图3所示.表1 系统输入及关节结构参数自由度θi /(°)θdead i /(°)θmax i /(°)r 1i /m R 2i /m R 3i /m B i /m a i /m V 1i /cm3V 2i /cm3δi /cm3340612010201040101010401016565202606120102010401010104010165652015061201020103010101080101454530图3 仿真曲线212 仿真结果分析1)动力学模型 由图3仿真曲线知,模型的动态响应曲线都能收敛,说明系统是稳定的.2)死区的影响 从图3仿真曲线还可以看出,由于死区的存在,系统存在位置跟踪误差,从而不能实现操作臂的精确控制.第1,2,3自由度,在不同输入角度的情况下,输出角度也不一样,其输出结果见表2.为此,提出了消除位置跟踪误差的补偿方法:消除位置跟踪误差就是为了减小随动阀套(输出轴)跟踪伺服阀芯的位置误差,提高位置跟踪精度,因此在输出轴上安装了一个磁性编码器,通过磁性编码器读出组件检测随动阀套转过的实际角度,然后与系统的参考模型的输出角度比较,采用自适应控制补偿算表2 仿真输出结果比较输入/(°)无补偿输出/(°)有补偿输出/(°)输入/(°)无补偿输出/(°)有补偿输出/(°)503914374919915544180854199560511100601000655610006510004030170040100045361018441999法[8]处理得到补偿角度,将补偿角度再送给电机,从而保证随动阀套完成希望转过的角度.从图3的仿真曲线(虚线)和表2可知,该方法不但可以消除位置跟踪误差,而且能到达期望的位置.3)负载影响 尽管负载质量(m 3=12kg )是固定的,但由于3个自由度同时旋转,负载力矩是变化的,图3中的响应曲线能收敛到期望位置,表明系统具有较强的鲁棒性.3 结 论建立了一种新型三自由度液压伺服关节的动力学模型,死区对位置跟踪误差有直接的影响,采用自适应控制补偿方法可以消除结构死区带来的位置跟踪误差,从而能够实现对操作臂的精确控制.通过仿真试63东南大学学报(自然科学版) 第34卷 验研究结果表明该关节的动力学系统是稳定的,同时,由于负载变化系统的不敏感性,所以系统具有较强的鲁棒性.最后,还可以发现采用自适应补偿方法,在跟随过程中系统输出无超调现象,这对操作臂的控制是非常有利的.参考文献(R eferences)[1]Morel Guillaume ,Iagnemma K arl ,Dubowsky Steven.The precise control of manipulators with high joint 2friction using baseforce/torque sensing [J ].A utom atica ,2000,36(7):931941.[2]Bauchspiess Adolfo ,Alfaro Sadek C Absi ,Dobrzanski Leszek A.Predictive sensor guided robotic manipulators in automatedwelding cells [J ].Journal of M aterials Processing Technology ,2001,109(1):1319.[3]K ōvecseds J ∏zsef ,Fenton Robert G ,Cleghorn William L.E ffects of joint dynamics on the dynamic manipulability of gearedrobot manipulators [J ].Mechat ronics ,2001,11(1):4358.[4]Ham C ,Qu Z ,Johnson R.Robust fuzzy control for robot manipulators [J ].Cont rol Theory A ppl ,2000,147(2):212216.[5]Murakami Toshiyuki ,Yu Fangming ,Ohnishi K ouhei.Torque sensorless control in multidegree 2of 2freedom manipulator [J ].I EEE T ransactions on Indust rial Elect ronics 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