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Electronic Technology •电子技术Electronic Technology & Software Engineering 电子技术与软件工程• 79【关键词】永磁调速器 温度场 损耗 三维有限元法 电磁场本文以一台500kW 永磁调速器为例，建立永磁调速器的电磁场与温度场耦合求解的三维数学模型和物理模型。
结合工程实际确定了基本假设和边界条件，采用有限元法确定铜盘、永磁体温度分布规律，确定了永磁调速器的最高温升区域。
1 解析模型1.1 电磁场的数学模型（1）其中：β为材料的磁阻率；n 为Г2和Г3的法线方向；μ0为空气的磁导率；1.2 温度场的数学模型永磁调速器涡流及温度场的耦合分析与计算文/赫胜男边值问题方程为：（2）其中：Г为样机的边界，为逆时针方向；T 0为已知表面温度；q 0为已知热流密度；α，T f 分别是换热系数和换热面温度。
2 磁场有限元模型永磁调速器为单组盘式结构，永磁材料选用钕铁硼永磁体，铜盘选用黄铜H62规格，永磁体磁极数为28个，铜盘内半径210mm ，外半径390mm ，厚度6mm ；铝盘内半径45mm ，外半径342mm ，厚度32mm ；气隙宽度3mm 。
3 永磁调速器温度场有限元模型永磁调速器的热源主要以铜盘上的涡流损耗为主，铜盘上热源的生成率可以通过下面的公式得到，其中P s 为永磁调速器的涡流损耗，V Cu 为铜盘体积。
（3）4 三维温度场有限元分析结果首先计算永磁调速器既定滑差与气隙下的涡流损耗功率，并以此为热源载荷，导入ANSYS Workbench 瞬态热分析模块，导入载荷等步骤可计算永磁调速器的温度场。
将ANSYS Maxwell 仿真得到的涡流场作为激励源，耦合到ANSYS Workbench 中作为主要热源，在设置铜盘的对流系数和辐射散热系数，设置起始时间步为0.01s ，最大时间步为0.1s ，结束时间为200s ，计算到2400步收敛。
hfss时域求解技巧HFSS是一款非常强大的电磁仿真软件，主要用于电磁场的分析和设计。
在HFSS中，频域求解是最常用的求解方法，但有时候我们也需要进行时域求解。
本文将介绍一些HFSS中时域求解的技巧，帮助您更好地使用HFSS进行时域仿真。
1.选择合适的时域求解器：HFSS中有两种常用的时域求解器，分别是Transient Solver和FullWave SP Solver。
Transient Solver适用于具有大量非线性和瞬态效应的问题，而FullWave SP Solver适用于具有大量线性和稳态效应的问题。
根据具体的仿真需求选择合适的求解器可以提高求解效率和精度。
2.优化网格划分：网格划分对于求解结果的准确性和计算效率都有很大的影响。
在进行时域求解时，网格划分的优化尤为重要。
可以通过增加网格密度、使用更小的网格尺寸等方式来优化网格划分，在保证计算资源充足的情况下，尽量提高网格划分的精度。
3.选择合适的时间步长：在进行时域求解时，时间步长的选择也非常重要。
时间步长决定了时间域仿真的精度和计算效率。
通常情况下，较小的时间步长可以提高仿真的精度，但也会增加计算量。
因此，需要在精度和计算效率之间进行权衡。
可以尝试不同的时间步长进行仿真，并选择最佳的时间步长。
4.使用自适应时间步长控制：自适应时间步长控制可以根据仿真过程中的电磁场变化情况动态地调整时间步长，从而提高仿真的效率和精度。
在HFSS中，可以设置自适应时间步长控制选项，如自适应步长控制算法和步长变化范围等。
通过合理设置这些参数，可以在保证精度的同时提高计算效率。
5.合理设置边界条件：边界条件的设置对于时域仿真的准确性和收敛性也非常重要。
在HFSS中，可以使用Absorbing Boundary Condition (ABC)或Perfectly Matched Layer (PML)等边界条件来吸收边界反射，并提高仿真的准确性。
根据具体的仿真情况选择合适的边界条件，并合理设置边界条件的参数。
ANSYSapdl命令流笔记16-------耦合场分析基础耦合场分析概述前⾔耦合场分析，也称为多物理场分析，分析不同的物理场的相互作⽤以解决⼀个全局性的⼯程问题。
例如，当⼀个场分析的输⼊依赖于从另⼀个分析的结果，那么分析就会被耦合。
耦合⽅式有：单向耦合：前⼀个分析的结果作为载荷施加给下⼀个分析，⽽下⼀个分析的结果不会影响前⼀个场的分析结果。
例如，在热应⼒问题中，温度场会在结构场中引⼊热应变，但是结构应变通常不会影响温度分布。
因此，⽆需在两个现场解决⽅案之间进⾏迭代。
双向耦合：两个物理场的结果会相互影响。
例如，⾮线性材料的感应加热中，谐波电磁分析计算出焦⽿热，该热在瞬态热分析中⽤于随时间变化的温度解，⽽温度的变化会反过来影响电磁场材料属性的变化，从⽽改变电磁分析结果。
⼀、耦合场分析类型1.直接耦合场分析直接⽅法通常只包含⼀个分析，它使⽤⼀个包含所有必需⾃由度的耦合单元类型，通过计算包含所需物理量的单元矩阵或单元载荷向量的⽅式进⾏耦合。
具有直接耦合功能的单元有：SOLID5 ---------3-D 耦合场实体单元 (电磁矩阵的推导，耦合效应)PLANE13---------⼆维耦合场实体单元 (电磁矩阵的推导，耦合效应)FLUID29 ---------⼆维声学流体 单元(声学矩阵的推导)FLUID30 ---------3-D 8 节点声学流体单元 (声学矩阵的推导)LINK68------------热电耦合杆单元SOLID98----------四⾯体耦合场实体单元 (电磁矩阵的推导，耦合效应)FLUID116---------热流体耦合管单元CIRCU124--------电路单元TRANS126-------机电转换器单元(电容计算，耦合机电⽅法)SHELL157--------热电耦合壳单元FLUID220---------3-D 20 节点声学流体单元FLUID221---------3-D 10 节点声学流体单元PLANE222--------⼆维 4 节点耦合场实体单元PLANE223--------⼆维 8 节点耦合场实体单元SOLID226---------3-D 20 节点耦合场实体单元SOLID227---------3-D 10 节点耦合场实体单元PLANE233--------⼆维 8 节点电磁耦合单元(电磁矩阵的推导，电磁场评估)SOLID236--------3-D 20 节点电磁耦合单元(电磁矩阵的推导，电磁场评估)SOLID237--------3-D 10 节点电磁耦合单元(电磁矩阵的推导，电磁场评估)优点：1.允许解决通常的有限元⽆法解决的问题。
瞬态电磁场求解的有限元方法随着现代电器电子技术的不断发展，电磁场问题日益成为学术研究和实际应用的热点。
近年来，有限元方法在求解电磁场问题中得到越来越广泛的应用。
本文将重点介绍瞬态电磁场求解的有限元方法。
一、瞬态电磁场的特点瞬态电磁场指随时间而变化的电磁场，其特点是具有瞬时响应、非线性和时间依赖性。
对于瞬态电磁场问题的求解，往往需要采用时域方法，即将时间作为独立变量进行计算。
在这种情况下，有限元方法是一种比较常用的数值方法。
二、有限元方法的基本原理有限元方法是一种数值计算方法，它将有限大的问题分成无限小的单元，通过单元间的相互作用得到整个问题的解。
有限元方法的核心是建立有限元模型，即将实际问题所描述的连续空间离散化为有限个节点和元素。
对于瞬态电磁场问题，有限元方法的求解过程可以分为以下几个步骤：1.建立有限元模型；2.选择适当的时间步长和时间积分格式；3.求解线性方程组；4.计算感兴趣的电磁量。
三、有限元模型的建立有限元模型的建立是求解瞬态电磁场问题的第一步。
一般来说，有限元模型包括几何模型、网格模型和物理模型。
几何模型是对实际问题的几何形状进行描述，通常采用CAD软件进行建模。
网格模型是将几何模型离散化，它由许多节点和单元组成，通常采用Tetrahedron模型。
物理模型则是对问题的物理性质进行描述，包括材料性质和边界条件。
四、时间步长和时间积分格式的选择时间步长和时间积分格式的选择是求解瞬态电磁场问题的关键。
时间步长应该足够小，以满足数值稳定性条件。
一般来说，时间步长的选择与有限元网格大小相关，通常采用自适应时间步长算法。
时间积分格式的选择也很重要。
常用的时间积分格式有欧拉格式、中点格式和四阶龙格-库塔格式等。
不同的时间积分格式有不同的精度和稳定性，应根据具体问题情况进行选择。
五、线性方程组的求解有限元方法最终要求解的是一个大的线性方程组。
通常采用迭代法求解线性方程组，包括共轭梯度法、GMRES法等。
油浸式三相电力变压器电磁场及温度场的瞬态仿真分析本文研究模拟S7-10kV级以下，额定容量为630kVA的三相油浸式电力变压器在瞬态启动过程中铁芯与绕组在各相峰值时刻电磁场的分布状态以及其所产生的损耗作为内热源，来模拟铁芯与绕组温度场的分布情况。
目前国内外学者只针对变压器电磁场和温度场来单独进行研究，或是只给定绕组电流密度来模拟变压器的温升情况。
本文通过对模拟电力变压器正常运行过程中产生的损耗来转化为变压器的内热源，从而分析其温度场的分布情况，这样可以更准确的与实验结果相校核，从而探索出影响变压器温升值的根本因素。
本文通过ANSYS Workbench14.0有限元分析软件中的ANSOFT Maxwelll和Transient Thermal模块来分别模拟变压器铁芯与绕组在各相峰值时刻的电磁场分布情况与温度场分布情况。
首先对变压器分别进行空载、负载系数为0.5、负载系数为1三种不同负载运行工况下的电磁场模拟，分析其瞬态启动过程中产生的感生电压、负载电流波形的变化，并研究铁芯与绕组在各相峰值时刻的磁感应分布（B）特性、磁场分布（H）特性、电流密度分布（J）特性等。
然后将结果集成到Transient Thermal 模块来计算铁芯与绕组的损耗，并模拟其温度场从瞬态到稳态过程的分布情况，以及铁芯与绕组最大温差值的变化特性。
通过分别对变压器在空载、负载系数为0.5、负载系数为1工况下进行电磁场模拟，结果表明三相中一次侧电压与对应二次侧感生电压值之比为25：1；在空载工况和负载系数为1工况下的两次模拟结果显示，空载电流远远小于初级额定电流的5%～8%；空载工况下会产生励磁涌流现象其最高电流可达到稳态电流的6～8倍，而大容量变压器可达到几十倍以上。
通过以上结论可知模拟的结果符合实际情况，满足变压器仿真要求。
模拟分析铁芯和绕组在各相峰值时刻的电磁场分布情况，中间B相的磁场强度相较于A、C两相变化范围小，绕组的磁场矢量变化形式整体呈锥形分布，最大磁场强度出现在铁芯横向与纵向交汇处；随着负载系数的增大，绕组的磁场强度随之成倍数增加；三种工况下铁芯各相的磁感应分布均匀，随着负载系数的变化，铁芯表面的磁感应均值和最大值变化不大，负载系数对铁芯表面磁感应强度没有影响。
有限源瞬变电磁法正演模拟研究胡代明;郝晋荣;苏本玉【摘要】针对现有物探工作人员施工效率低、瞬变电磁法资料解释能力有限的问题,以中心回线有限源激发的磁源为例,研究了基于COMSOL MULTIPHYSICS瞬变电磁法不同物理模型的正演过程。
并通过对比分析数值解与理论解,验证了使用COMSOL MULTIPHYSICS进行瞬变电磁法正演的可行性。
结合模型实例,给出基本建模思路和操作技术,方便快捷地模拟出了低阻球体周围磁场的空间分布规律,分析不同埋深低阻层的归一化感应电动势曲线,并验证了电磁波在地下空间中的传播规律。
这为野外矿井生产与工程勘探提供一定的理论指导依据,结合反演理论,有助于方便实时解释异常体的位置和规模。
COMSOL MULTIPHYSICS丰富的后处理功能使得结果直观、形象,将为工作人员提供良好的正演环境。
【期刊名称】《能源与环保》【年(卷),期】2017(039)002【总页数】5页(P36-39,45)【关键词】中心回线瞬变电磁法 COMSOL MULTIPHYSICS 数值解正演模拟【作者】胡代明;郝晋荣;苏本玉【作者单位】[1]中国科学技术大学地球和空间科学学院,安徽合肥230026;[2]中国矿业大学资源与地球科学学院,江苏徐州221116【正文语种】中文【中图分类】P631.325瞬变电磁法是电磁法分支中比较先进的地球物理勘探方法。
在20世纪50年代，原苏联地球物理学家完成了一维瞬变电磁正演的理论推导；70年代，一大批西方学者开始尝试二维、三维正演模拟研究；Sanfilipo和Hohmann学者首次通过时域积分方程法进行三维正演数值模拟[1-2]；Newman和Hohmann学者先得到电磁场频率域响应，再用余弦变换求得瞬变电磁场时间域响应[3-4]；Endo和Noguchi通过算法，利用坐标变换方法将物理域转换至求解域，解决了带地形模型的三维正演[5]；2003年，王华军利用有限单元法实现 2.5维瞬变电磁法正演模拟[6]；2006年，熊彬实现了电导率均匀分块的2.5维有限元模拟[7]；2011年，李建慧博士采用矢量有限元法进行中心回线瞬变电磁场的数值模拟[8]。
maxwell瞬态耦合案例
Maxwell瞬态耦合案例涉及到的是磁场、电场和电路的瞬态分析，因此是涉及多个物理场以及时间变化的复杂分析。
Maxwell提供了一种强大的解决方案，能够解决这些复杂的物理场问题。
以一个简单的电感器为例，电感器在通电的瞬间，电流会发生变化，这导致磁场也发生变化。
磁场的变化反过来又会影响电流，这是一个瞬态的电磁耦合过程。
在这个过程中，可以使用Maxwell进行瞬态耦合分析。
具体步骤如下：
1. 建立模型：在Maxwell中建立电感器的3D模型，包括线圈、铁芯等。
2. 设置材料属性：为模型中的各个部分设置相应的材料属性，如导磁率、电导率等。
3. 设定边界条件和初始条件：根据问题的实际情况，设定相应的边界条件和初始条件。
例如，设定初始时刻的电流分布等。
4. 进行求解：使用Maxwell的瞬态求解器进行求解。
可以设定时间步长和总时间，进行长时间范围的瞬态分析。
5. 结果分析：查看求解结果，包括电流分布、磁场分布、能量损耗等。
通过这个案例，可以了解到Maxwell在瞬态耦合分析中的强大功能和应用。
在具体应用中，还需要根据实际情况进行调整和优化。
瞬态电磁-温度场耦合计算中自适应时间步长研究张宇娇;汪振亮;徐彬昭;黄雄峰;智李【摘要】瞬态温度场响应时间比电磁场长,在采用有限元法求解瞬态电磁-温度场顺序耦合时,若采用统一计算时间步长会导致温度场求解次数过多而增加计算时间.该文提出自适应时间步长耦合方法,采用指数平滑法预测电磁-温度场耦合时间间隔,并在两个相邻的耦合时间节点间,根据响应特征值和预测-校正法计算电磁场、温度场最佳离散步长.与传统等步长耦合方法对比,电磁、温度场均使用最佳的离散步长,同时避免了温度场的过频计算,减少了计算时间.最后,以通电铜导环为例,采用自适应时间步长耦合计算铜导体在交流电流作用下的瞬态温升,与传统等步长耦合方法相比,计算相对误差在 1%以内,总计算时间减少 26.6%,证明了该方法的有效性.【期刊名称】《电工技术学报》【年(卷),期】2018(033)019【总页数】8页(P4468-4475)【关键词】有限元法;电磁-温度场耦合;自适应时间步长;指数平滑预测;响应特征值【作者】张宇娇;汪振亮;徐彬昭;黄雄峰;智李【作者单位】三峡大学梯级水电站运行与控制湖北省重点实验室宜昌 443002;三峡大学梯级水电站运行与控制湖北省重点实验室宜昌 443002;三峡大学梯级水电站运行与控制湖北省重点实验室宜昌 443002;三峡大学梯级水电站运行与控制湖北省重点实验室宜昌 443002;三峡大学梯级水电站运行与控制湖北省重点实验室宜昌 443002【正文语种】中文【中图分类】TM155在线圈发射装置、继电器、电机等设备中，运行时产生过高的温升将影响金属导体的导电性、绝缘材料的介电性能，甚至会使材料出现破坏性的热膨胀，严重影响设备的安全运行[1-8]。
近年来，国内外学者针对电磁装备开展了大量关于电磁与热耦合问题求解方法的研究[9-11]。
采用有限元法分析上述问题时，瞬变的大电流使得导体温度在较短时间内迅速增加，因而在计算过程中不仅要考虑电磁场对温度场的影响，还需考虑温度变化对电磁场材料导电性能的影响，为此需要建立瞬态电磁-温度场强耦合模型。
目前采用顺序耦合的方法求解瞬态电磁-温度场强耦合模型时，电磁场和温度场往往采用相同的时间步长[3-5]。
然而在求解过程中，温度场响应较电磁场慢，若采用相同的时间步长计算，使得温度场求解次数过于频繁，增加了求解时间。
针对两物理场顺序耦合时响应时间不同的问题，文献[12]根据现有软件，提出代码耦合的概念，对各物理场采用不同的时间离散策略，并在时间的耦合点上进行载荷的传递。
文献[13]针对线性系统采用不同时间步长计算，并提出时间积分算法进行了稳定性分析。
文献[14]提出在流-固耦合时，对流体区域和固体区域采用不同时间步长的DFMT-SCSS（sub-cycled conventional staggered scheme）算法，选取固体求解区域时间步长为流体求解区域的倍数。
文献[15]提出电磁场计算自适应时间步长计算方法。
文献[16]针对微波加热问题，采用自适应时间步长计算温度场。
文献[17]针对两物理场顺序耦合问题，采用自适应时间步长算法使两物理场获取相同的时间步长。
然而上述方法在计算两物理场耦合时，即使提到了自适应时间步长，但最终各物理场仍然采用等步长计算，无法体现各物理场时间常数不同且实时变化的特点，造成两物理场未获得最佳离散策略的缺陷。
针对上述研究缺陷，本文提出电磁场与温度场耦合计算中自适应时间步长概念，即各物理场采用自适应时间步长算法获取最佳离散时策略，并在预测的耦合时间节点上进行自适应耦合。
最后以通电铜导环热分析为例，在电流初始值为零时，对铜导块施加最大值为10 000 A、0 Hz交流电，计算0.1 s内铜导体温度变化。
与传统的电磁-温度场等步长计算方法相比，计算时间减少20%，误差在1%以内，证明了该方法的有效性。
如图1所示，在tn时刻，首先通过指数平滑法预测下一耦合时间点tn+1。
然后在两耦合时间节点间，通过预测-校正法和响应特征值计算电磁场和温度场最佳离散步长，得到tn ~tn+1时间段内电磁场和温度场最佳时间离散步长为和。
电磁场、温度场分别采用、计算至耦合时间节点。
设有一物理场量u在区域W和边界G上满足一阶物理方程，即在区域W内（1）在边界G上（2）式中，A为求解区域W内满足微分算子；B为求解边界G上满足微分算子。
对区域离散，采用伽辽金或最小位能原理等，将式（2）和式（3）改写成有限元格式，即（3）式中，C为阻尼矩阵；K为系数矩阵；P为载荷矩阵。
对式（3）采用两点循环公式求解得式中，；；；q为积分参数，q =0、1/2、1分别为向前差分公式、中心差分公式和向后差分公式。
采用数值方法求解式（4）时，当载荷P或计算结果u变化较快时，为保证稳定性，需选取较小时间步长进行计算。
而当P或u变化较慢时，为节省计算时间，可选取较长步长计算。
求解中若采用恒定时间步长，则无法根据P或u的变化调整步长大小，通常为了保证稳定性，统一采用较小时间步长，导致计算时间增加[18]。
为此提出时间步长自适应控制算法，即根据载荷变化率及计算结果自动调整时间步长[16,19]。
在满足计算精度及稳定性的前提下减少计算时间。
如图2所示，首先由载荷离散误差确定时间步长为Dt1n+1，再由计算稳定性可确定离散步长为Dt2n+1，由此得出Tn时刻最大时间步长Dtn+1为在较小的离散时间段t∈(tn-1,tn)内，不考虑载荷正负号变化，式（4）中载荷矩阵P采用线性插值，等效载荷采用斜坡加载，如图3所示。
由载荷离散产生的误差为[16]式中，为第n个时间步内产生的离散误差。
对式（6）采用梯形公式积分，得到离散误差近似为[15]根据式（7），载荷离散误差近似正比于Dt2，可将下一步步长计算分为如下两步[16]：1）步长预测。
根据第n步计算误差，预测第n+1步步长。
式中，为安全系数，=0.9；为允许最大误差。
2）步长校正。
判断当第n+1步时间步长所产生误差是否满足<。
如果不满足，则采用式（9）进行修正迭代计算，直至满足<。
式中，为安全系数，=0.75。
J. R. Hughes[20]提出根据响应特征值确定计算稳定时间步长Dtn+1的方法，定义Dtn+1l为振荡限制条件。
当Dtn+1l>>1时系统处于振荡状态。
为保证计算稳定性，可取最大步长满足（10）（11）式中，f为稳定系数，f<1；Δun为tn-1到tn时间段场量u的变化。
电磁-温度场自适应时间步长耦合整体流程如图4所示，主要包括以下四个步骤，其中步骤1和步骤2属于初始化部分。
1）参数初始化。
建立电磁场和温度场计算有限元模型，并给定材料参数及载荷。
2）耦合时间点确定。
首先电磁-温度场采用较小步长耦合三次，用来获取温度场触发热量Qpre的预测数据。
然后采用指数平滑法预测温度场触发热量，通过触发热量判断耦合时间节点。
3）电磁场自适应步长计算。
获取电磁场自适应时间步长，启动电磁场计算，当电磁场累积热量达到温度场触发热量时，启动温度场计算。
4）温度场自适应时间步长计算。
获取温度场最适应步长，将电磁场计算平均热功率作为载荷加至温度场，当温度场计算完毕后，更新电磁场节点温度，并进行下一时间步长的温度场触发热量计算。
反复迭代计算至最终时间。
对于瞬态电磁-温度场顺序耦合，本文提出根据累积热量判断电磁-温度场耦合时间节点。
假设tn时刻输入电流密度为Jn。
为控制两场耦合的非平衡误差[17]，根据材料电阻率随温度变化特点，确定电磁场计算过程中允许的温度变化最大值，再通过指数平滑法预测累积发热量Qpre，最后启动电磁场计算，当tn+1时刻电磁场累积热量达到Qpre时，tn+1即为电磁-温度场耦合时间点。
2.1.1 最大温度变化计算线性材料热功率与电流密度的关系为（13）式中，V为单元体积，m3；Pn为tn时刻发热功率，W；Jn为tn时刻电流密度，A/m2；为电阻率，W·m；a为电阻随温度变化率，W·m/℃；为0℃时电阻率。
当输入热功率为Pn，由温度变化引起的功率计算误差应满足当式（14）取等号时，可得出tn时刻温度允许变化的最大值。
2.1.2 温度场触发热量计算根据tn时刻允许最大温度变化，由tn、tn-1、tn-2时刻输入热量及温度变化预测tn+1时刻温度场触发热量。
1）计算各时刻输入热量及温度变化，见表1。
2）计算各时刻温度随热量变化率，见表2。
3）温度场触发热量计算。
采用指数平滑方法预测tn+1时刻温度场变化率Kn+1为[21]温度场触发热量为（16）2.1.3 耦合时间判断当tn+1时刻电磁场累积热量满足以下条件之一时，tn+1为电磁-温度场耦合时间点，启动温度场计算。
1）单元最大热量变化达到单元预测热量阈值时自动启动温度场计算，即（17）2）总体热量变化达到预测阈值时自动启动温度场计算，即（18）式中，为自然系数，控制计算的精度。
根据似稳条件忽略位移电流，时变电磁场方程可写为式（19）形式的矢量磁位方程。
式中，W1为导体区域；W2为非导体区域；A为矢量磁位，Wb/m；V为电位，V；s为电导率，S/m；m为磁导率，H/m；Js为源电流密度，A/m2；为导体在磁场中运动速度，m。
采用伽辽金法将式（19）写成有限元格式[22]，即（20）式中，；R为电磁场阻尼矩阵；S为电磁场系数矩阵；J为磁场载荷矩阵。
采用上文中自适应时间步长算法，可得tn时刻电磁场最佳离散时间步长为。
在只考虑热传导和对流条件下，温度场导热微分方程可写成[19]式中，为密度，kg/m3；为比热容，J/(kg·K)；为发热功率，W。
初始及边界条件为式中，为初始温度分布；Ta为环境温度；为边界温度分布；为恒定温度边界条件；为散热量边界条件；q为边界发热功率；h为边界对流换热系数。
采用伽辽金法将式（21）和式（22）形成有限元格式，即（23）式中，C为温度场比热矩阵；K为温度场导热矩阵；P为能量载荷矩阵。
同理，采用第2节中自适应时间步长算法，可得tn时刻温度场最适合离散步长为DtnT。
然而实际计算温度场时，还需考虑DtnT与耦合时间间隔Dt（Dt=tn+1-tn）的大小。
可采用如下方式计算实际温度场离散步长DtT：1）当时，在tn~tn+1时间段内温度场离散步长DtT=Dt。
2）当时，在tn~tn+1时间段内温度场离散步长Dt为（24）式中，[ ]为取整符号，取大于或等于某数的最小整数。
本节以铜导环电磁-热分析为例说明自适应时间步长在电磁-温度场耦合中的应用。
如图5a所示，将一长度为10 mm、厚度为2 mm的铜导环置于空气中，铜导环的上下及内外表面对流换热系数均为5 W/(m2·K)。
对铜导环施加电流i=104sin(100πt)（单位：A），持续时间0.1 s，分析铜环的温度变化。
