2020年九年级数学中考压轴题专项综合训练：《反比例函数》含答案

2020届初三数学中考复习 反比例函数 专题训练题D.在公式A =n r 2中，r 与A 成正比例5. 如果点A(-2, y i ) , B(- 1, y 2), C(2, y»都在反比例函数象上，那么y i , y 2, y 3的大小关系是（） 1.F 列函数是反比例函数的是（）A. 1 1 1y = 3X B . y * C . y =x +1 2 D . y =——1 x2. 3 已知两点P i （x i,y i ） ,P 2（X 2,y 2）在反比例函数y =-的图象上，当X i >X 2>0时, XF 列结论正确的是（） A. 在xy =-3中，y 与1成反比例B. 在y = 2x + 1中，y 与x 成正比例C. 1 在y =- 2凶中，y 与x 成正比例y =；(k < 0)的图ZVA. y i V y 2< 0 B . y 2< y i V 0 C . 0v y i V y D . 0v y ?v y iA. y1< y3< y2 B . y3< 屮 < y C.屮 < y < y D . y3< y2< 小k6. 如图，反比例函数y = x （x v 0）的图象经过点P,则k 的值为（）ZV7. 对于反比例函数y = -f 图象对称性的叙述错误的是（）ZV C.关于直线y =-x 对称 D .关于x 轴对称18. 如图，正比例函数y =x 与反比例函数y = -的图象相交于A, B 两点，BC 丄x X轴于点。

，则厶ABC 的面积为（）9. 已知甲、乙两地相距20千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶时间 t （单位：小时）关于速度v （单位：千米/小时）的函数表达式是（）20v10At =20v B . t = v C . t = 20 D . t 飞 10. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P （kPa ） 是A. — 6 B . — 5 C . 6A.关于原点对称B .关于直线y = x 对称A. 1 C. D.2气体体积V（m i）的反比例函数，其图象如图所示.当气球内的气压大于120 kPa 时，气球将爆炸.为了安全起见，气球的体积应（）5 3 5 3 4 34 3A.不小于4 m B •小于4 m C •不小于5 m D •小于5 m 11. 已知函数y = （n + 2）xn 2+ n —3（n 是常数），当n = 函数.k12. 若反比例函数y =-的图象经过点（2 , - 1），贝S 该反比例函数的图象在第 X象限.13. 已知y 与x 成反比例，并且当x = 2时，y =— 1,则当y = 3时，x 的值是k14. 函数y = -，当x = 4时，y = 5,则函数的表达式为 ___________ ，当x = — 2 x时，y= _____ .15. 下列函数：①y =— 金;②y = x ;③y =卞;1;④xy = — 3;⑤丫二灵乂一〔其 中是反比例函数的有_______________ .（填序号）16. 一定质量的氧气，它的密度 p kg/m 3是它的体积V m 的反比例函数.当V =10 m 3时，p = 1.43 kg/m 3，贝卩p 与V 的函数表达式是 ____________ .17. 某人对地面的压强与他和地面接触面积的函数关系如图所示.若某一沼泽 地地面能承受的压强不超过 300 N /卅，那么此人必须站立在面积至少 ________ m 的.时，此函数是反比例P(kl h a)木板上才不至于下陷.（木板的重量忽略不计）1L/'tN/m5)K604020i ■■一i一L J 1—Ji■- 1 ・»O20 4Q 60旳丫血」3丿18. 随着城镇建设发展，许多购物超市相继建成.经研究，我们可以尝试建立一个简单的数学模拟，初步探讨超市对人们购物的吸引力.用S(单位：次)表示人们每季度到超市的平均购物次数，d(单位：千米)表示人们居住地与购物超市的距离，在超市规模大小一定的情况下(忽略其他因素)，S与d2成反比.(1) 经调查，小明家距离某超市d= 1千米，每季度去购物的平均次数S= 50次，则S关于d的函数表达式为 __________ ;(2) 若小星家距离这个超市5千米，估计他家每季度去购物的平均次数为______ 次.k19. 如图，点P, Q是反比例函数y = x图象上的两点，PA^y轴于点A, QNLx轴于点N,作PM Lx轴于点M QBLy轴于点B,连结PB, QM △ ABP的面积记为S , △ QMN 勺面积记为S ,贝S S S.(填“〉”、“v” 或“ = ”)20. 给出下列四个关于是否成反比例的命题，判断它们的真假.(1) 面积一定的等腰三角形的底边长和底边上的高成反比例；(2) 面积一定的菱形的两条对角线长成反比例；(3) 面积一定的矩形的两条对角线长成反比例；(4) 面积一定的直角三角形的两直角边长成反比例.21. 由物理学知识我们知道：物体在力F的方向上发生位移S做的功为W即W=FS,若W 100焦耳，求：(1)F与S的关系式；⑵当F=4牛顿时，求S的值.(1)图象的另一支位于哪个象限？常数n的取值范围是什么?⑵在图象上取一点P,分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点Q, R,四边形PQOR勺面积为3,求n的值.23. 如图，在平面直角坐标系中，△ ABC勺边AB//x轴，点A在双曲线y=jxkv 0)上，点B在双曲线y = -(x >0)上，边AC的中点D在x轴上，△ ABC的面积x为8,求k的值.22.如图是反比例函数y= 的图象的一支，根据图象回答下列问题:L _____Q o24. 某商场出售一批名牌衬衣，衬衣进价为60元/件，在营销中发现，该衬衣的日销售量y(件)是日销售单价x元/件的反比例函数，且当售价定为100元/件时，每日可售出30件.(1) 请写出y关于x的函数表达式；(2) 该商场计划经营此种衬衣的日销售利润为1800元，则其售价应为多少元？25. 心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化.开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散.经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x(分钟)的变化规律如下图所示(其中AB, BC分别为线段，CD 为双曲线的一部分)：(1) 开始上课后第5分钟时与第30分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？(2) —道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36,那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？答案：1---10 ACDBB ADABC11. 112.13.14. y 20x-1015.①③④⑤14.316. P=~V~17. 25018. (1) S =疋⑵219. =20.解：(1)(2)(4)是真命题100(2) S = 25 22. 解：（1）图象的另一支位于第四象限，n v — 3 (2)n = — 6 k k 5 23. 解：设B(a , )，丁 AB// x 轴，.••点A 的纵坐标为，在y =-中, a ax k 5a 5a k 将y = a 代入，得xr 」A （R ，a ）， 1 v D 为AC 的中点， • • ^^八ABD — 2^S^ABC ^~ 4 , 解得k — — 3 k 24. 解：（1）设函数表达式为y — x （k 工0） .v 当售价定为100元/件时， ZV k 每日可售出 30件，• 30 —100，二 k — 3000, • y 关于x 的函数表达式为y — 3000件25. 解：（1）设线段AB 所在的直线的表达式为y 1 — k 〔x + 20,把B （10, 40）代入得，k 1 — 2, • y 1 — 2x + 20.设C , D 所在双曲线的表达式为 y 2—~~,把C(25, 40)ZV代入得，k 2 — 1000, • y 2— 1000,当 X 1 — 5 时，y 1 — 2X 5+ 20— 30,当 X 2— 30 时, x 21. 解: (1) F 5a AA a —R ， 1 5a k • 2(a —匸)•(—a —4, y(x — 60) — 1800, 3000 厂(x - 6°) —1800，1000 100y2—莎T, •y1V y2, •••第30分钟注意力更集中T 27.8- 8= 19.8> 19,.••经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下 讲解完这道题目 ⑵令 y i = 36,二 36=2x + 20, /.x i = 8,令 y = 36,二 36= 1000 ••• x 2=障 27.8 36。

2020-2021 备战中考数学——反比例函数的综合压轴题专题复习含答案一、反比例函数1．平行四边形 ABCD的两个顶点 A、 C 在反比例函数 y= （ k≠0）图象上，点 B、 D 在 x 轴上，且 B 、 D 两点关于原点对称， AD 交 y 轴于 P 点（1）已知点 A 的坐标是（ 2， 3），求 k 的值及 C 点的坐标；（2）在（ 1）的条件下，若△ APO 的面积为 2，求点 D 到直线 AC 的距离．【答案】（1）解：∵点 A 的坐标是（ 2， 3），平行四边形ABCD 的两个顶点A、 C 在反比例函数 y=（k≠0）图象上，点B、D 在x 轴上，且B、 D 两点关于原点对称，∴3=，点 C与点 A 关于原点 O对称，∴k=6， C（﹣ 2，﹣ 3 ），即 k 的值是 6， C 点的坐标是（﹣2，﹣ 3）；（ 2 ）解：过点A作AN⊥ y轴于点N ，过点D作DM ⊥ AC ，如图，∵点 A（ 2， 3）， k=6，∴A N=2，∵△ APO 的面积为2，∴，即，得 OP=2，∴点 P（ 0， 2），设过点 A（ 2， 3）， P（ 0， 2）的直线解析式为y=kx+b，，得，∴过点 A（ 2， 3）， P（ 0， 2）的直线解析式为 y=0.5x+2，当 y=0 时， 0=0.5x+2，得 x=﹣ 4，∴点 D 的坐标为（﹣ 4， 0），设过点 A（ 2， 3）， B（﹣ 2，﹣ 3）的直线解析式为y=mx+b ，则，得，∴过点 A（ 2， 3）， C（﹣ 2，﹣ 3）的直线解析式为y=1.5x，∴点 D 到直线 AC 的直线得距离为：=．【解析】【分析】（ 1）根据点A的坐标是（ 2， 3），平行四边形ABCD 的两个顶点A、 C在反比例函数y=（k≠0）图象上，点B、 D 在 x 轴上，且B、 D 两点关于原点对称，可以求得 k 的值和点 C 的坐标；（ 2）根据△ APO 的面积为2，可以求得OP 的长，从而可以求得点 P 的坐标，进而可以求得直线AP 的解析式，从而可以求得点 D 的坐标，再根据点到直线的距离公式可以求得点 D 到直线 AC 的距离．2．如图，已知直线 y=ax+b 与双曲线 y= （ x＞ 0）交于 A（x1， y 1）， B（ x2， y2）两点（ A 与 B 不重合），直线 AB 与 x 轴交于 P（ x0， 0 ），与 y 轴交于点C．（1）若 A， B 两点坐标分别为（ 1， 3），（ 3， y2），求点 P 的坐标．（2）若 b=y1+1，点 P 的坐标为（ 6，0），且 AB=BP，求 A， B 两点的坐标．（3）结合（ 1），（ 2）中的结果，猜想并用等式表示x1， x2， x0之间的关系（不要求证明）．【答案】（1）解：∵直线 y=ax+b 与双曲线y=（x＞0）交于A（1，3），∴ k=1×3=3，∴y=，∵B（ 3，y2）在反比例函数的图象上，∴y2= =1，∴B（ 3，1），∵直线 y=ax+b 经过 A、B 两点，∴解得，∴直线为 y=﹣x+4，令 y=0，则 x=4，∴P（ 4， O）（2）解：如图，作 AD⊥ y 轴于 D， AE⊥ x 轴于 E，BF⊥ x 轴于 F， BG⊥ y 轴于 G， AE、BG交于 H，则 AD∥ BG∥ x 轴， AE∥ BF∥ y 轴，∴=，==，∵b=y1+1，AB=BP，∴=，== ，∴B（，y1）∵A，B 两点都是反比例函数图象上的点，∴x1?y1=? y1，解得 x1=2，代入=，解得y1=2，∴A（2， 2）， B（ 4，1）（3）解：根据（1），（ 2）中的结果，猜想：x1， x2， x0之间的关系为x1 +x2=x0【解析】【分析】（ 1）先把 A（ 1 ， 3））， B（ 3， y2）代入 y= 求得反比例函数的解析式，进而求得 B 的坐标，然后把 A、B 代入 y=ax+b 利用待定系数法即可求得直线的解析式，继而即可求得P 的坐标；（ 2）作 AD⊥ y 轴于 D， AE⊥ x 轴于 E， BF⊥x 轴于 F，BG⊥ y 轴于 G， AE、BG 交于 H，则 AD∥ BG∥ x 轴， AE∥ BF∥ y 轴，得出=，==，根据题意得出=，==，从而求得B（，y1），然后根据k=xy 得出 x1?y1=? y1，求得 x1=2，代入= ，解得 y1=2，即可求得A、B 的坐标；（ 3）合（ 1），（ 2）中的结果，猜想 x1+x2=x0．3．如图直角坐标系中，矩形ABCD的边 BC 在 x 轴上，点B， D 的坐标分别为B（1， 0），D（ 3， 3）．（1）点 C的坐标 ________；（ 2）若反比例函数y=（k≠0）的图象经过直线m），求 m 的值及反比例函数的解析式；（3）若（ 2）中的反比例函数的图象与CD 相交于点AC 上的点F，连接E，且点EF，在直线E 的坐标为（AB 上找一点2 ，P，使得 S△PEF=S△CEF，求点 P 的坐标．【答案】（1）（ 3， 0）（2）解：∵ AB=CD=3， OB=1，∴A 的坐标为（ 1， 3），又 C（3， 0），设直线 AC 的解析式为y=ax+b，则，解得：，∴直线 AC 的解析式为y=﹣x+．∵点 E（ 2， m）在直线AC 上，∴m= ﹣× 2+=，∴点 E（ 2，）．∵反比例函数y=的图象经过点E，∴k=2 × =3，∴反比例函数的解析式为y=（3）解：延长 FC 至 M ，使 CM=CF，连接 EM，则 S△EFM=△）．S EFC， M（ 3，﹣ 0.5在 y= 中，当 x=3 时， y=1，∴F（3， 1）．过点 M 作直线 MP∥ EF交直线 AB 于 P，则 S△PEF=S△MEF．设直线 EF的解析式为y=a'x+b'，∴，解得，∴y=﹣ x+ ．设直线 PM 的解析式为y=﹣x+c，代入 M（ 3，﹣ 0.5），得： c=1，∴y=﹣ x+1．当 x=1 时， y=0.5，∴点 P（ 1， 0.5）．同理可得点P（ 1， 3.5）．∴点 P 坐标为（ 1， 0.5）或（ 1， 3.5）．【解析】【解答】解：（1）∵ D（ 3， 3），∴OC=3，∴C（3，0）．故答案为（ 3， 0）；【分析】（ 1）由 D 的横坐标为3，得到线段OC=3，即可确定出 C 的坐标；（ 2）由矩形的对边相等，得到AB=CD，由 D 的纵坐标确定出CD的长，即为AB 的长，再由 B 的坐标确定出 OB 的长，再由 A 为第一象限角，确定出 A 的坐标，由 A 与 C 的坐标确定出直线AC 的解析式，将 E 坐标代入直线AC 解析式中，求出m 的值，确定出 E 的坐标，代入反比例解析式中求出k 的值，即可确定出反比例解析式；（3）延长FC 至 M ，使CM= CF，连接EM，则 S△EFM= S△EFC， M （ 3，﹣ 0.5）．求出F（ 3，1），过点M 作直线 MP∥ EF交直线AB 于 P，利用平行线间的距离处处相等得到高相等，再利用同底等高得到．此时直线 EF 与直线PM 的斜率相同，由 F 的横坐标与 C 横坐标相同求出 F的横坐标，代入反比例解析式中，确定出 F 坐标，由 E 与 F 坐标确定出直线 EF 斜率，即为直线 PM的斜率，再由 M 坐标，确定出直线 PM 解析式，由 P 横坐标与 B 横坐标相同，将横坐标代入直线PM 解析式中求出 y 的值，即为 P 的纵坐标，进而确定出此时 P 的坐 B标．4．阅读理解：配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值。

2020年中考数学试题《反比例函数》试题精编含答案1．（2020•兰州）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象相交于A（1，5），B（m，1）两点，与x轴，y轴分别交于点C，D，连接OA，OB．（1）求反比例函数y＝（k≠0，x＞0）和一次函数y＝ax+b（a≠0）的表达式；（2）求△AOB的面积．2．（2020•德阳）如图，一次函数y1＝ax+b与反比例函数y2＝的图象交于A、B两点．点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1．（1）求a，b的值．（2）在反比例y2＝第三象限的图象上找一点P，使点P到直线AB的距离最短，求点P的坐标．3．（2020•鞍山）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+1的图象与x轴，y轴的交点分别为点A，点B，与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于C，D两点，CE⊥x轴于点E，连接DE，AC＝3．（1）求反比例函数的解析式；（2）求△CDE的面积．4．（2020•盘锦）如图，A、B两点的坐标分别为（﹣2，0），（0，3），将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BC，过点C作CD⊥OB，垂足为D，反比例函数y＝的图象经过点C．（1）直接写出点C的坐标，并求反比例函数的解析式；（2）点P在反比例函数y＝的图象上，当△PCD的面积为3时，求点P的坐标．5．（2020•赤峰）阅读理解：材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三数组”．材料二：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为x1，x2，则有x1+x2＝﹣，x1•x2＝．问题解决：（1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数；（2）若x1，x2是关于x的方程ax2+bx+c＝0（a，b，c均不为0）的两根，x3是关于x的方程bx+c＝0（b，c均不为0）的解．求证：x1，x2，x3可以构成“和谐三数组”；（3）若A（m，y1），B（m+1，y2），C（m+3，y3）三个点均在反比例函数y＝的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值．6．（2020•河池）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣1，2）．（1）将点A向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点B，则点B的坐标是．（2）点C与点A关于原点O对称，则点C的坐标是．（3）反比例函数的图象经过点B，则它的解析式是．（4）一次函数的图象经过A，C两点，则它的解析式是．7．（2020•广州）已知反比例函数y＝的图象分别位于第二、第四象限，化简：﹣+．8．（2020•大庆）如图，反比例函数y＝与一次函数y＝﹣x﹣（k+1）的图象在第二象限的交点为A，在第四象限的交点为C，直线AO（O为坐标原点）与函数y＝的图象交于另一点B．过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两直线相交于点E，△AEB 的面积为6．（1）求反比例函数y＝的表达式；（2）求点A，C的坐标和△AOC的面积．9．（2020•雅安）如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y＝（m为常数且m≠0）的图象在第二象限交于点C，CD⊥x轴，垂足为D，若OB＝2OA＝3OD＝6．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求两个函数图象的另一个交点E的坐标；（3）请观察图象，直接写出不等式kx+b≤的解集．10．（2020•昆明）为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒，她完成3间办公室和2间教室的药物喷洒要19min；完成2间办公室和1间教室的药物喷洒要11min．（1）校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要多少时间？（2）消毒药物在一间教室内空气中的浓度y（单位：mg/m3）与时间x（单位：min）的函数关系如图所示：校医进行药物喷洒时y与x的函数关系式为y＝2x，药物喷洒完成后y与x成反比例函数关系，两个函数图象的交点为A（m，n）．当教室空气中的药物浓度不高于1mg/m3时，对人体健康无危害，校医依次对一班至十一班教室（共11间）进行药物喷洒消毒，当她把最后一间教室药物喷洒完成后，一班学生能否进入教室？请通过计算说明．11．（2020•吉林）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A，B在函数y＝（x＞0）的图象上（点B的横坐标大于点A的横坐标），点A的坐标为（2，4），过点A作AD ⊥x轴于点D，过点B作BC⊥x轴于点C，连接OA，AB．（1）求k的值．（2）若D为OC中点，求四边形OABC的面积．12．（2020•恩施州）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝ax﹣3a（a≠0）与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与双曲线y＝（x＞0）的一个交点为C，且BC＝AC．（1）求点A的坐标；（2）当S△AOC＝3时，求a和k的值．13．（2020•玉林）南宁至玉林高速铁路已于去年开工建设．玉林良睦隧道是全线控制性工程，首期打通共有土石方总量为600千立方米，设计划平均每天挖掘土石方x千立方米，总需用时间y天，且完成首期工程限定时间不超过600天．（1）求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）由于工程进度的需要，实际平均每天挖掘土石方比原计划多0.2千立方米，工期比原计划提前了100天完成，求实际挖掘了多少天才能完成首期工程？14．（2020•呼和浩特）已知自变量x与因变量y1的对应关系如表呈现的规律．x…﹣2﹣1012…y1…12111098…（1）直接写出函数解析式及其图象与x轴和y轴的交点M，N的坐标；（2）设反比例函数y2＝（k＞0）的图象与（1）求得的函数的图象交于A，B两点，O 为坐标原点且S△AOB＝30，求反比例函数解析式；已知a≠0，点（a，y2）与（a，y1）分别在反比例函数与（1）求得的函数的图象上，直接写出y2与y1的大小关系．15．（2020•广州）如图，平面直角坐标系xOy中，▱OABC的边OC在x轴上，对角线AC，OB交于点M，函数y＝（x＞0）的图象经过点A（3，4）和点M．（1）求k的值和点M的坐标；（2）求▱OABC的周长．16．（2020•郴州）为了探索函数y＝x+（x＞0）的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法．列表：x…12345…y…2…描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图1所示：（1）如图1，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象；（2）已知点（x1，y1），（x2，y2）在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题：若0＜x1＜x2≤1，则y1y2；若1＜x1＜x2，则y1y2；若x1•x2＝1，则y1y2（填“＞”，“＝”或“＜”）．（3）某农户要建造一个图2所示的长方体形无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为1千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米．设水池底面一边的长为x米，水池总造价为y千元．①请写出y与x的函数关系式；②若该农户预算不超过3.5千元，则水池底面一边的长x应控制在什么范围内？17．（2020•常州）如图，正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（a，4）．点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C，交正比例函数的图象于点D．（1）求a的值及正比例函数y＝kx的表达式；（2）若BD＝10，求△ACD的面积．18．（2020•荆州）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数y＝的图象与性质共探究过程如下：（1）绘制函数图象，如图1．列表：下表是x与y的几组对应值，其中m＝；x…﹣3﹣2﹣1﹣123…y…12442m…描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出了各点；连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整；（2）通过观察图1，写出该函数的两条性质；①；②；（3）①观察发现：如图2．若直线y＝2交函数y＝的图象于A，B两点，连接OA，过点B作BC∥OA交x轴于C．则S四边形OABC＝；②探究思考：将①中“直线y＝2”改为“直线y＝a（a＞0）”，其他条件不变，则S四边形OABC＝；③类比猜想：若直线y＝a（a＞0）交函数y＝（k＞0）的图象于A，B两点，连接OA，过点B作BC∥OA交x轴于C，则S四边形OABC＝．19．（2020•黄冈）已知：如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y 轴正半轴交于点C，与x轴负半轴交于点D，OB＝，tan∠DOB＝．（1）求反比例函数的解析式；（2）当S△ACO＝S△OCD时，求点C的坐标．20．（2020•徐州）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，﹣4）、B（2，0），交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点C（3，a），点P在反比例函数的图象上，横坐标为n（0＜n＜3），PQ∥y轴交直线AB于点Q，D是y轴上任意一点，连接PD、QD．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）求△DPQ面积的最大值．21．（2020•淄博）如图，在直角坐标系中，直线y1＝ax+b与双曲线y2＝（k≠0）分别相交于第二、四象限内的A（m，4），B（6，n）两点，与x轴相交于C点．已知OC＝3，tan∠ACO＝．（1）求y1，y2对应的函数表达式；（2）求△AOB的面积；（3）直接写出当x＜0时，不等式ax+b＞的解集．22．（2020•宜宾）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝（x＜0）的图象相交于点A（﹣3，n），B（﹣1，﹣3）两点，过点A作AC⊥OP于点C．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）求四边形ABOC的面积．23．（2020•天水）如图所示，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于第二、四象限的点A（﹣2，a）和点B（b，﹣1），过A点作x轴的垂线，垂足为点C，△AOC的面积为4．（1）分别求出a和b的值；（2）结合图象直接写出mx+n＞中x的取值范围；（3）在y轴上取点P，使PB﹣P A取得最大值时，求出点P的坐标．24．（2020•咸宁）如图，已知一次函数y1＝kx+b与反比例函数y2＝的图象在第一、三象限分别交于A（6，1），B（a，﹣3）两点，连接OA，OB．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）△AOB的面积为；（3）直接写出y1＞y2时x的取值范围．25．（2020•岳阳）如图，一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y＝（k为常数且k≠0）的图象相交于A（﹣1，m），B两点．（1）求反比例函数的表达式；（2）将一次函数y＝x+5的图象沿y轴向下平移b个单位（b＞0），使平移后的图象与反比例函数y＝的图象有且只有一个交点，求b的值．26．（2020•攀枝花）如图，过直线y＝kx+上一点P作PD⊥x轴于点D，线段PD交函数y ＝（x＞0）的图象于点C，点C为线段PD的中点，点C关于直线y＝x的对称点C'的坐标为（1，3）．（1）求k、m的值；（2）求直线y＝kx+与函数y＝（x＞0）图象的交点坐标；（3）直接写出不等式＞kx+（x＞0）的解集．27．（2020•湘潭）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（3，4）．（1）求过点B的反比例函数y＝的解析式；（2）连接OB，过点B作BD⊥OB交x轴于点D，求直线BD的解析式．28．（2020•临沂）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R （单位：Ω）是反比例函数关系．当R＝4Ω时，I＝9A．（1）写出I关于R的函数解析式；（2）完成下表，并在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象；R/Ω……I/A……（3）如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过10A，那么用电器可变电阻应控制在什么范围内？29．（2020•襄阳）如图，反比例函数y1＝（x＞0）和一次函数y2＝kx+b的图象都经过点A （1，4）和点B（n，2）．（1）m＝，n＝；（2）求一次函数的解析式，并直接写出y1＜y2时x的取值范围；（3）若点P是反比例函数y1＝（x＞0）的图象上一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，则△POM的面积为．30．（2020•江西）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，顶点A，B都在反比例函数y＝（x ＞0）的图象上，直线AC⊥x轴，垂足为D，连结OA，OC，并延长OC交AB于点E，当AB＝2OA时，点E恰为AB的中点，若∠AOD＝45°，OA＝2．（1）求反比例函数的解析式；（2）求∠EOD的度数．31．（2020•菏泽）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（1，2），B（n，﹣1）两点．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）直线AB交x轴于点C，点P是x轴上的点，若△ACP的面积是4，求点P的坐标．32．（2020•南京）已知反比例函数y＝的图象经过点（﹣2，﹣1）．（1）求k的值．（2）完成下面的解答．解不等式组解：解不等式①，得．根据函数y＝的图象，得不等式②的解集．把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．从图中可以找出两个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集．33．（2020•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y＝x+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A，B两点，且点A的坐标为（a，6）．（1）求该一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积．34．（2020•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（4，），点B在y轴的负半轴上，AB交x轴于点C，C为线段AB的中点．（1）m＝，点C的坐标为；（2）若点D为线段AB上的一个动点，过点D作DE∥y轴，交反比例函数图象于点E，求△ODE面积的最大值．35．（2020•泰安）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A （3，a），点B（14﹣2a，2）．（1）求反比例函数的表达式；（2）若一次函数图象与y轴交于点C，点D为点C关于原点O的对称点，求△ACD的面积．36．（2020•枣庄）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+5和y＝﹣2x的图象相交于点A，反比例函数y＝的图象经过点A．（1）求反比例函数的表达式；（2）设一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y＝的图象的另一个交点为B，连接OB，求△ABO的面积．37．（2020•凉山州）如图，已知直线l：y＝﹣x+5．（1）当反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象与直线l在第一象限内至少有一个交点时，求k的取值范围．（2）若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象与直线l在第一象限内相交于点A（x1，y1）、B（x2，y2），当x2﹣x1＝3时，求k的值，并根据图象写出此时关于x的不等式﹣x+5＜的解集．38．（2020•济宁）在△ABC中，BC边的长为x，BC边上的高为y，△ABC的面积为2．（1）y关于x的函数关系式是，x的取值范围是；（2）在平面直角坐标系中画出该函数图象；（3）将直线y＝﹣x+3向上平移a（a＞0）个单位长度后与上述函数图象有且只有一个交点，请求出此时a的值．39．（2020•聊城）如图，已知反比例函数y＝的图象与直线y＝ax+b相交于点A（﹣2，3），B（1，m）．（1）求出直线y＝ax+b的表达式；（2）在x轴上有一点P使得△P AB的面积为18，求出点P的坐标．40．（2020•乐山）如图，已知点A（﹣2，﹣2）在双曲线y＝上，过点A的直线与双曲线的另一支交于点B（1，a）．（1）求直线AB的解析式；（2）过点B作BC⊥x轴于点C，连结AC，过点C作CD⊥AB于点D．求线段CD的长．1．【解答】解：（1）将点A（1，5）代入y＝（k≠0，x＞0）得：5＝，解得k＝5，故反比例函数的表达式为：y＝，将点B（m，1）代入y＝得：m＝5，故点B（5，1），将点A（1，5），B（5，1）代入y＝ax+b得，解得，故一次函数表达式为：y＝﹣x+6；（2）由一次函数y＝﹣x+6可知，D（0，6），则△AOB的面积＝△BOD的面积﹣△AOD的面积＝6×5﹣＝12．2．【解答】解：（1）∵一次函数y1＝ax+b与反比例函数y2＝的图象交于A、B两点．点A 的横坐标为2，点B的纵坐标为1，∴A（2，2），B（4，1），则有，解得．（2）过点P作直线PM∥AB，当直线PM与反比例函数只有一个交点时，点P到直线AB的距离最短，设直线PM的解析式为y＝﹣x+n，由，消去y得到，x2﹣2nx+8＝0，由题意得，△＝0，∴4n2﹣32＝0，∴n＝﹣2或2（舍弃），解得，∴P（﹣2，﹣）．3．【解答】解：（1）∵一次函数y＝x+1与x轴和y轴分别交于点A和点B，∴∠CAE＝45°，即△CAE为等腰直角三角形，∴AE＝CE，∵AC＝，即，解得：AE＝CE＝3，在y＝x+1中，令y＝0，则x＝﹣1，∴A（﹣1，0），令y＝3，得到x＝2，∴OE＝2，CE＝3，∴C（2，3），∴k＝2×3＝6，∴反比例函数表达式为：，（2）联立：，解得：x＝2或﹣3，当x＝﹣3时，y＝﹣2，∴点D的坐标为（﹣3，﹣2），∴S△CDE＝×3×[2﹣（﹣3）]＝．4．【解答】解：（1）∵将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BC，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∵CD⊥OB，∴∠CDB＝∠AOB＝∠ABC＝90°，∴∠ABO+∠CBD＝∠CBD+∠DCB＝90°，∴∠ABO＝∠DCB，∴△ABO≌△BCD（AAS），∴CD＝OB＝3，BD＝OA＝2，∴OD＝3﹣2＝1，∴C点的坐标为（3，1），∴k＝3×1＝3，∴反比例函数的解析式为：；（2）设P（，m），∵CD⊥y轴，CD＝3，由△PCD的面积为3得：CD•|m﹣1|＝3，∴×3|m﹣1|＝3，∴m﹣1＝±2，∴m＝3或m＝﹣1，当m＝3时，＝1，当m＝﹣1时，＝﹣3，∴点P的坐标为（1，3）或（﹣3，﹣1）．5．【解答】解：（1）根据题意得，能构成“和谐三数组”的实数有，，，；理由：的倒数为2，的倒数为3，的倒数为5，而2+3＝5，∴能构成“和谐三数组”，故答案为：如；（2）证明：∵x1，x2是关于x的方程ax2+bx+c＝0（a，b，c均不为0）的两根，∴x1+x2＝﹣，x1•x2＝，∴+＝＝﹣，∵x3是关于x的方程bx+c＝0（b，c均不为0）的解，∴x3＝﹣，∴＝﹣，∴+＝，∴x1，x2，x3可以构成“和谐三数组”；（3）A（m，y1），B（m+1，y2），C（m+3，y3）三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，∵A（m，y1），B（m+1，y2），C（m+3，y3）三个点均在反比例函数y＝的图象上，∴y1＝，y2＝，y3＝，∴＝，＝，＝，∵A（m，y1），B（m+1，y2），C（m+3，y3）三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，∴①+＝，∴+＝，∴m＝2，②+＝，∴+＝，∴m＝﹣4，③+＝，∴+＝，∴m＝﹣2，即满足条件的实数m的值为2或﹣4或﹣2．6．【解答】解：（1）将点A向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点B，则点B的坐标是（2，3）；（2）点C与点A关于原点O对称，则点C的坐标是（1，﹣2）；（3）设反比例函数解析式为y＝，把B（2，3）代入得：k＝6，∴反比例函数解析式为y＝；（4）设一次函数解析式为y＝mx+n，把A（﹣1，2）与C（1，﹣2）代入得：，解得：，则一次函数解析式为y＝﹣2x．故答案为：（1）（2，3）；（2）（1，﹣2）；（3）y＝；（4）y＝﹣2x．7．【解答】解：∵反比例函数y＝的图象分别位于第二、第四象限，∴k＜0，∴k﹣1＜0，∴﹣+＝+＝k+4+＝k+4+|k﹣1|＝k+4﹣k+1＝5．8．【解答】解：（1）设AE交x轴于M．由题意得，点A与点B关于原点对称，即OA＝OB，∵OM∥EB，∴△AMO∽△AEB，∴＝（）2＝，又△AEB的面积为6，∴S△AOM＝S△ABE＝×6＝＝|k|，∴k＝﹣3，k＝3（舍去），∴反比例函数的关系式为y＝﹣；（2）由k＝﹣3可得一次函数y＝﹣x+2，由题意得，，解得，，，又A在第二象限，点C在第四象限，∴点A（﹣1，3），点C（3，﹣1），一次函数y＝﹣x+2与y轴的交点N的坐标为（0，2），∴S△AOC＝S△CON+S△AON＝×2×（1+3）＝4．9．【解答】解：（1）∵OB＝2OA＝3OD＝6，∴OB＝6，OA＝3，OD＝2，∵CD⊥OA，∴DC∥OB，∴＝，∴＝，∴CD＝10，∴点C坐标是（﹣2，10），∵B（0，6），A（3，0），∴，解得，∴一次函数为y＝﹣2x+6．∵反比例函数y＝经过点C（﹣2，10），∴m＝﹣20，∴反比例函数解析式为y＝﹣．（2）由解得或，∴E的坐标为（5，﹣4）．（3）由图象可知kx+b≤的解集是：﹣2≤x＜0或x≥5．10．【解答】解：（1）设完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要xmin和ymin，则，解得，故校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要3min和5min；（2）一间教室的药物喷洒时间为5min，则11个房间需要55min，当x＝5时，y＝2x＝10，故点A（5，10），设反比例函数表达式为：y＝，将点A的坐标代入上式并解得：k＝50，故反比例函数表达式为y＝，当x＝55时，y＝＜1，故一班学生能安全进入教室．11．【解答】解：（1）将点A的坐标为（2，4）代入y＝（x＞0），可得k＝xy＝2×4＝8，∴k的值为8；（2）∵k的值为8，∴函数y＝的解析式为y＝，∵D为OC中点，OD＝2，∴OC＝4，∴点B的横坐标为4，将x＝4代入y＝，可得y＝2，∴点B的坐标为（4，2），∴S四边形OABC＝S△AOD+S四边形ABCD＝＝10．12．【解答】解：（1）由题意得：令y＝ax﹣3a（a≠0）中y＝0，即ax﹣3a＝0，解得x＝3，∴点A的坐标为（3，0），故答案为（3，0）．（2）过C点作y轴的垂线交y轴于M点，作x轴的垂线交x轴于N点，如下图所示：显然，CM∥OA，∴∠BCM＝∠BAO，且∠ABO＝∠CBO，∴△BCM∽△BAO，∴，即：，∴CM＝1，又即：，∴CN＝2，∴C点的坐标为（1，2），故反比例函数的k＝1×2＝2，再将点C（1，2）代入一次函数y＝ax﹣3a（a≠0）中，即2＝a﹣3a，解得a＝﹣1，∴当S△AOC＝3时，a＝﹣1，k＝2．13．【解答】解：（1）根据题意可得：y＝，∵y≤600，∴x≥1；（2）设实际挖掘了m天才能完成首期工程，根据题意可得：﹣＝0.2，解得：m＝﹣600（舍）或500，检验得：m＝500是原方程的根，答：实际挖掘了500天才能完成首期工程．14．【解答】解：（1）根据表格中数据发现：y1和x的和为10，∴y1＝10﹣x，且当x＝0时，y1＝10，令y1＝0，x＝10，∴M（10，0），N（0，10）；（2）设A（m，10﹣m），B（n，10﹣n），分别过A和B作x轴的垂线，垂足为C和D，∵点A和点B都在反比例函数图象上，∴S△AOB＝S△AOM﹣S△OBM＝×10×（10﹣m）﹣×10×（10﹣n）＝30，化简得：n﹣m＝6，联立，得：x2﹣10x+k＝0，∴m+n＝10，mn＝k，∴n﹣m＝，则，解得：k＝16，∴反比例函数解析式为：，解x2﹣10x+16＝0，得：x＝2或8，∴A（2，8），B（8，2），∵（a，y2）在反比例函数上，（a，y1）在一次函数y＝10﹣x上，∴当a＜0或2＜a＜8时，y2＜y1；当0＜a＜2或a＞8时，y2＞y1；当a＝2或8时，y2＝y1．15．【解答】解：（1）∵点A（3，4）在y＝上，∴k＝12，∵四边形OABC是平行四边形，∴AM＝MC，∴点M的纵坐标为2，∵点M在y＝的图象上，∴M（6，2）．（2）∵AM＝MC，A（3，4），M（6，2）∴C（9，0），∴OC＝9，OA＝＝5，∴平行四边形OABC的周长为2×（5+9）＝28．16．【解答】解：（1）函数图象如图所示：（2）若0＜x1＜x2≤1，则y1＞y2；若1＜x1＜x2，则y1＜y2，若x1•x2＝1，则y1＝y2．故答案为＞，＜，＝．（3）①由题意，y＝1+（2x+）×0.5＝1+x+（x＞0）．②由题意1+x+≤3.5，∵x＞0，可得2x2﹣5x+2≤0，解得：≤x≤2∴水池底面一边的长x应控制在≤x≤2的范围内．解法二：利用图象法，直接得出结论．17．【解答】解：（1）把点A（a，4）代入反比例函数y＝（x＞0）得，a＝＝2，∴点A（2，4），代入y＝kx得，k＝2，∴正比例函数的关系式为y＝2x；（2）当BD＝10＝y时，代入y＝2x得，x＝5，∴OB＝5，当x＝5代入y＝得，y＝，即BC＝，∴CD＝BD﹣BC＝10﹣＝，∴S△ACD＝××（5﹣2）＝12.6．18．【解答】解：（1）当x＜0时，xy＝﹣2，而当x＞0时，xy＝2，∴m＝1，故答案为：1；补全图象如图所示：（2）故答案为：①函数的图象关于y轴对称，②当x＜0时，y随x的增大而增大，当x ＞0时，y随x的增大而减小；（3）如图，①由A，B两点关于y轴对称，由题意可得四边形OABC是平行四边形，且S四边形OABC＝4S△OAM＝4×|k|＝2|k|＝4，②同①可知：S四边形OABC＝2|k|＝4，③S四边形OABC＝2|k|＝2k，故答案为：4，4，2k．19．【解答】解：过点B、A作BM⊥x轴，AN⊥x轴，垂足为点M，N，（1）在Rt△BOM中，OB＝，tan∠DOB＝．∵BM＝1，OM＝2，∴点B（﹣2，﹣1），∴k＝（﹣2）×（﹣1）＝2，∴反比例函数的关系式为y＝；（2）∵S△ACO＝S△OCD，∴OD＝2AN，又∵△ANC∽△DOC，∴＝＝＝，设AN＝a，CN＝b，则OD＝2a，OC＝2b，∵S△OAN＝|k|＝1＝ON•AN＝×3b×a，∴ab＝①，由△BMD∽△CNA得，∴＝，即＝，也就是a＝②，由①②可求得b＝1，b＝﹣（舍去），∴OC＝2b＝2，∴点C（0，2）．20．【解答】解：（1）把A（0，﹣4）、B（2，0）代入一次函数y＝kx+b得，，解得，，∴一次函数的关系式为y＝2x﹣4，当x＝3时，y＝2×3﹣4＝2，∴点C（3，2），∵点C在反比例函数的图象上，∴k＝3×2＝6，∴反比例函数的关系式为y＝，答：一次函数的关系式为y＝2x﹣4，反比例函数的关系式为y＝；（2）点P在反比例函数的图象上，点Q在一次函数的图象上，∴点P（n，），点Q（n，2n﹣4），∴PQ＝﹣（2n﹣4），∴S△PDQ＝n[﹣（2n﹣4）]＝﹣n2+2n+3＝﹣（n﹣1）2+4，∵﹣1＜0，∴当n＝1时，S最大＝4，答：△DPQ面积的最大值是4．21．【解答】解：（1）设直线y1＝ax+b与y轴交于点D，在Rt△OCD中，OC＝3，tan∠ACO＝．∴OD＝2，即点D（0，2），把点D（0，2），C（3，0）代入直线y1＝ax+b得，b＝2，3a+b＝0，解得，a＝﹣，∴直线的关系式为y1＝﹣x+2；把A（m，4），B（6，n）代入y1＝﹣x+2得，m＝﹣3，n＝﹣2，∴A（﹣3，4），B（6，﹣2），∴k＝﹣3×4＝﹣12，∴反比例函数的关系式为y2＝﹣，因此y1＝﹣x+2，y2＝﹣；（2）由S△AOB＝S△AOC+S△BOC，＝×3×4+×3×2，＝9．（3）由图象可知，当x＜0时，不等式ax+b＞的解集为x＜﹣3．22．【解答】解：（1）B（﹣1，﹣3）代入y＝得，m＝3，∴反比例函数的关系式为y＝；把A（﹣3，n）代入y＝得，n＝﹣1∴点A（﹣3，﹣1）；把点A（﹣3，﹣1），B（﹣1，﹣3）代入一次函数y＝kx+b得，，解得：，∴一次函数的关系式为：y＝﹣x﹣4；答：一次函数的关系式为y＝﹣x﹣4，反比例函数的关系式为y＝；（2）如图，过点B作BM⊥OP，垂足为M，由题意可知，OM＝1，BM＝3，AC＝1，MC＝OC﹣OM＝3﹣1＝2，∴S四边形ABOC＝S△BOM+S梯形ACMB，＝+×（1+3）×2，＝．23．【解答】解：（1）∵△AOC的面积为4，∴|k|＝4，解得，k＝﹣8，或k＝8（不符合题意舍去），∴反比例函数的关系式为y＝﹣，把点A（﹣2，a）和点B（b，﹣1）代入y＝﹣得，a＝4，b＝8；答：a＝4，b＝8；（2）根据一次函数与反比例函数的图象可知，不等式mx+n＞的解集为x＜﹣2或0＜x ＜8；（3）∵点A（﹣2，4）关于y轴的对称点A′（2，4），又B（8，﹣1），则直线A′B与y轴的交点即为所求的点P，设直线A′B的关系式为y＝cx+d，则有，解得，，∴直线A′B的关系式为y＝﹣x+，∴直线y＝﹣x+与y轴的交点坐标为（0，），即点P的坐标为（0，）．24．【解答】解：（1）把A（6，1）代入y2＝中，解得：m＝6，故反比例函数的解析式为y2＝；把B（a，﹣3）代入y2＝，解得a＝﹣2，故B（﹣2，﹣3），把A（6，1），B（﹣2，﹣3）代入y1＝kx+b，得，解得：，故一次函数解析式为y1＝x﹣2；（2）如图，设一次函数y1＝x﹣2与x轴交于点C，令y＝0，得x＝4．∴点C的坐标是（4，0），∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×4×1+×4×3＝8．故答案为8；（3）由图象可知，当﹣2＜x＜0或x＞6时，直线y1＝kx+b落在双曲线y2＝上方，即y1＞y2，所以y1＞y2时x的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞6．25．【解答】解：（1）∵一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y＝（k为常数且k≠0）的图象相交于A（﹣1，m），∴m＝4，∴k＝﹣1×4＝﹣4，∴反比例函数解析式为：y＝﹣；（2）∵一次函数y＝x+5的图象沿y轴向下平移b个单位（b＞0），∴y＝x+5﹣b，∵平移后的图象与反比例函数y＝的图象有且只有一个交点，∴x+5﹣b＝﹣，∴x2+（5﹣b）x+4＝0，∵△＝（5﹣b）2﹣16＝0，解得b＝9或1，答：b的值为9或1．26．【解答】解：（1）∵C′的坐标为（1，3），代入y＝（x＞0）中，得：m＝1×3＝3，∵C和C′关于直线y＝x对称，∴点C的坐标为（3，1），∵点C为PD中点，∴点P（3，2），将点P代入y＝kx+，∴解得：k＝；∴k和m的值分别为：3，；（2）联立：，得：x2+x﹣6＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣3（舍），∴直线y＝kx+与函数y＝（x＞0）图象的交点坐标为（2，）；（3）∵两个函数的交点为：（2，），由图象可知：当0＜x＜2时，反比例函数图象在一次函数图象上面，∴不等式（x＞0）的解集为：0＜x＜2．27．【解答】解：（1）过点A作AE⊥x轴，过B作BF⊥x轴，垂足分别为E，F，如图，∵A（3，4），∴OE＝3，AE＝4，∴，∵四边形OABC是菱形，∴AO＝AB＝OC＝5，AB∥x轴，∴EF＝AB＝5，∴OF＝OE+EF＝3+5＝8，∴B（8，4）．设过B点的反比例函数解析式为，把B点坐标代入得，k＝32，∴反比例函数解析式为；（2）∵OB⊥BD，∴∠OBD＝90°，∴∠OBF+∠DBF＝90°，∵∠DBF+∠BDF＝90°，∴∠OBF＝∠BDF，又∠OFB＝∠BFD＝90°，∴△OBF～△BDF，∴，∴，解得，DF＝2，∴OD＝OF+DF＝8+2＝10，∴D（10，0）．设BD所在直线解析式为y＝kx+b，把B（8，4），D（10，0）分别代入，得：，解得，，∴直线BD的解析式为y＝﹣2x+20．28．【解答】解：（1）电流I是电阻R的反比例函数，设I＝，∵R＝4Ω时，I＝9A∴9＝，解得k＝4×9＝36，∴I＝（R＞0）；（2）列表如下：R/Ω…3456891012…I/A…1297.26 4.54 3.63…（3）∵I≤10，I＝，∴≤10，∴R≥3.6，即用电器可变电阻应控制在不低于3.6欧的范围内．29．【解答】解：（1）∵把A（1，4）代入y1＝（x＞0）得：m＝1×4＝4，∴y＝，∵把B（n，2）代入y＝得：2＝，解得n＝2；故答案为4，2；（2）把A（1，4）、B（2，2）代入y2＝kx+b得：，解得：k＝﹣2，b＝6，即一次函数的解析式是y＝﹣2x+6．由图象可知：y1＜y2时x的取值范围是1＜x＜2；（3）∵点P是反比例函数y1＝（x＞0）的图象上一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，∴S△POM＝|m|＝＝2，故答案为2．30．【解答】解：（1）∵直线AC⊥x轴，垂足为D，∠AOD＝45°，∴△AOD是等腰直角三角形，∵OA＝2，∴OD＝AD＝2，∴A（2，2），∵顶点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴k＝2×2＝4，∴反比例函数的解析式为y＝（x＞0）；（2）∵AB＝2OA，点E恰为AB的中点，∴OA＝AE，∴∠AOE＝∠AEO，∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴CE＝AE＝BE，∴∠ECB＝∠EBC，∵∠AEO＝∠ECB+∠EBC＝2∠EBC，∵BC∥x轴，∴∠EOD＝∠ECB，∴∠AOE＝2∠EOD，∵∠AOD＝45°，∴∠EOD＝15°．31．【解答】解：（1）将点A（1，2）代入y＝，得：m＝2，∴y＝，当y＝﹣1时，x＝﹣2，∴B（﹣2，﹣1），将A（1，2）、B（﹣2，﹣1）代入y＝kx+b，得：，解得，∴y＝x+1；∴一次函数解析式为y＝x+1，反比例函数解析式为y＝；（2）在y＝x+1中，当y＝0时，x+1＝0，解得x＝﹣1，∴C（﹣1，0），设P（m，0），则PC＝|﹣1﹣m|，∵S△ACP＝•PC•y A＝4，∴×|﹣1﹣m|×2＝4，解得m＝3或m＝﹣5，∴点P的坐标为（3，0）或（﹣5，0）．32．【解答】解：（1）∵反比例函数y＝的图象经过点（﹣2，﹣1），∴k＝（﹣2）×（﹣1）＝2；（2）解不等式组解：解不等式①，得x＜1．根据函数y＝的图象，得不等式②的解集0＜x＜2．把不等式①和②的解集在数轴上表示为：∴不等式组的解集为0＜x＜1，故答案为：x＜1，0＜x＜2，0＜x＜1．33．【解答】解：（1）如图，∵点A（a，6）在反比例函数y＝的图象上，∴6a＝12，∴a＝2，∴A（2，6），把A（2，6）代入一次函数y＝x+b中得：＝6，∴b＝3，∴该一次函数的解析式为：y＝x+3；（2）由得：，，∴B（﹣4，﹣3），当x＝0时，y＝3，即OC＝3，∴△AOB的面积＝S△ACO+S△BCO＝＝9．34．【解答】解：（1）∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（4，），∴m＝＝6，∵AB交x轴于点C，C为线段AB的中点．∴C（2，0）；故答案为6，（2，0）；（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，把A（4，），C（2，0）代入得，解得，∴直线AB的解析式为y＝x﹣；∵点D为线段AB上的一个动点，∴设D（x，x﹣）（0＜x≤4），∵DE∥y轴，∴E（x，），∴S△ODE＝x•（﹣x+）＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣1）2+，∴当x＝1时，△ODE的面积的最大值为．35．【解答】解：（1）∵点A（3，a），点B（14﹣2a，2）在反比例函数上，∴3×a＝（14﹣2a）×2，解得：a＝4，则m＝3×4＝12，故反比例函数的表达式为：y＝；（2）∵a＝4，故点A、B的坐标分别为（3，4）、（6，2），设直线AB的表达式为：y＝kx+b，则，解得，故一次函数的表达式为：y＝﹣x+6；当x＝0时，y＝6，故点C（0，6），故OC＝6，而点D为点C关于原点O的对称点，则CD＝2OC＝12，△ACD的面积＝×CD•x A＝×12×3＝18．36．【解答】解：（1）联立y＝x+5①和y＝﹣2x并解得：，故点A（﹣2，4），将点A的坐标代入反比例函数表达式得：4＝，解得：k＝﹣8，故反比例函数表达式为：y＝﹣②；（2）联立①②并解得：x＝﹣2或﹣8，当x＝﹣8时，y＝x+5＝1，故点B（﹣8，1），设y＝x+5交x轴于点C，令y＝0，则x+5＝0，∴x＝﹣10，∴C（﹣10，0），过点A、B分别作x轴的垂线交x轴于点M、N，则S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝OC•AM OC•BN＝．37．【解答】解：（1）将直线l的表达式与反比例函数表达式联立并整理得：x2﹣5x+k＝0，由题意得：△＝25﹣4k≥0，解得：k≤，故k的取值范围0＜k≤；（2）设点A（m，﹣m+5），而x2﹣x1＝3，则点B（m+3，﹣m+2），点A、B都在反比例函数上，故m（﹣m+5）＝（m+3）（﹣m+2），解得：m＝1，故点A、B的坐标分别为（1，4）、（4，1）；将点A的坐标代入反比例函数表达式并解得：k＝4×1＝4，观察函数图象知，当﹣x+5＜时，0＜x＜1或x＞4．38．【解答】解：（1）∵在△ABC中，BC边的长为x，BC边上的高为y，△ABC的面积为2，∴xy＝2，∴xy＝4，∴y关于x的函数关系式是y＝，x的取值范围为x＞0，故答案为：y＝，x＞0；（2）在平面直角坐标系中画出该函数图象如图所示；（3）将直线y＝﹣x+3向上平移a（a＞0）个单位长度后解析式为y＝﹣x+3+a，解，整理得，x2﹣（3+a）x+4＝0，∵平移后的直线与反比例函数图象有且只有一个交点，∴△＝（3+a）2﹣16＝0，解得a＝1，a＝﹣7（不合题意舍去），故此时a的值为1．39．【解答】解：（1）将点A的坐标代入反比例函数表达式并解得：k＝﹣2×3＝﹣6，故反比例函数表达式为：y＝﹣，将点B的坐标代入上式并解得：m＝﹣6，故点B（1，﹣6），将点A、B的坐标代入一次函数表达式得，解得，故直线的表达式为：y＝﹣3x﹣3；（2）连接AP、BP，设直线与x轴的交点为E，当y＝0时，x＝﹣1，故点E（﹣1，0），分别过点A、B作x轴的垂线AC、BD，垂足分别为C、D，则S△P AB＝PE•CA+PE•BD＝PE PE＝PE＝18，解得：PE＝4，故点P的坐标为（3，0）或（﹣5，0）．40．【解答】解：（1）将点A（﹣2，﹣2）代入，得k＝4，即，将B（1，a）代入，得a＝4，即B（1，4），设直线AB的解析式为y＝mx+n，将A（﹣2，﹣2）、B（1，4）代入y＝mx+n，得，解得，∴直线AB的解析式为y＝2x+2；（2）∵A（﹣2，﹣2）、B（1，4），∴，∵，∴．。

2020年九年级数学中考压轴题专项综合训练：《反比例函数》1．如图，四边形ABCD是以坐标原点O为对称中心的矩形，A（1，3），B（﹣3，﹣1），该矩形的边与坐标轴分别交于点E、F、G、H，连接EC．（1）直接写出点C的坐标；（2）判断点（1，﹣1.2）在矩形ABCD的内部还是外部；（3）求四边形ECHO的面积；（4）如果反比例函数的图象过点A，那么它是否一定过点D？请说明理由．解：（1）∵A、C关于原点对称，A（1，3），∴C（﹣1，﹣3）．（2）∵B、D关于原点对称，B（﹣3，﹣1），∴D（3，1），设直线CD的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线CD的解析式为y＝x﹣2，∵x＝1时，y＝﹣1，﹣12＜﹣1，∴点（1，﹣1.2）在直线CD的下方，∴点（1，﹣1.2）在矩形ABCD的外部．（3）∵直线CD的解析式为y＝x﹣2，∴H（0，﹣2），F（2，0），∵E 、F 关于原点对称，∴E （﹣2，0），连接OC ，∴S 四边形ECHO ＝S △EOC +S △OHC ＝×2×3+×2×1＝4．（4）一定过点D ．理由：∵过点A （1，3）的反比例函数的解析式为y ＝，∵x ＝3时，y ＝1，∴D （3，1）也在反比例函数的图象上．2．如图，直线y 1═﹣x +1与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，与反比例函数y 2＝（x ＜0）的图象交于点P ，过点P ，作PB ⊥x 轴于点B ，且AC ＝BC（1）求反比例函数y 2的解析式；（2）反比例函数y 2图象上是否存在点D ，使四边形BCPD 为菱形？如果存在，求出点D 的坐标；如果不存在，说明理由．解：（1）∵一次函数y＝﹣x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，1∴A（4，0），C（0，1），又∵AC＝BC，CO⊥AB，∴O是AB的中点，即OA＝OB＝4，且BP＝2OC＝2，∴P的坐标是（﹣4，2），将P（﹣4，2）代入y＝，得m＝﹣8，2＝﹣；即反比例函数的解析式为y2（2）假设存在这样的点D，使四边形BCPD为菱形，如图，连接DC，与PB交于点E．∵四边形BCPD是菱形，∴CE＝DE＝4，∴CD＝8，将x＝﹣8代入反比例函数解析式y＝﹣，得y＝1，∴D的坐标是（﹣8，1），即反比例函数的图象上存在点D使四边形BCPD是菱形，此时D的坐标是（﹣8，1）．3．如图，一次函数y 1＝﹣x +b 的图象与反比例函数y 2＝（k ≠0）的图象交于A ，B 两点，与x 轴、y 轴分别交于C ，D 两点．已知：点B 的坐标为（，﹣2）．（1）求该反比例函数的解析式和点D 的坐标；（2）点M 在CA 延长线上，且AM ＝AC ，连接OM ，OB ，求△MOB 的面积．解：（1）∵反比例函数y 2＝（k ≠0）的图象经过点B （，﹣2）．∴k ＝﹣2×＝﹣3，∴反比例函数为y 2＝﹣；∵一次函数y 1＝﹣x +b 的图象经过点B （，﹣2），∴﹣2＝﹣×+b ，解得b ＝﹣1，∴y 1＝﹣x ﹣1，当x ＝0时，y ＝﹣1，∴D （0，﹣1）；（2）连接OM ，OB ， 解方程组，可得，，∴A （﹣3，1），B （，﹣2），∵直线AB ：y 1＝﹣x ﹣1，当y ＝0时，x ＝﹣，∴C（﹣，0），∴S△COD ＝S△BOD，∵MA＝AC，∴S△MAO ＝S△ACO，∴S△MOB ＝2S△AOD＝2××|y D|×|x A|＝2××1×3＝3．4．已知：如图，正比例函数y＝ax的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（3，2）．（1）求正比例函数和反比例函数的表达式；（2）M（m，n）是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m＜3过点M作直线MN∥x轴，交y轴于点B，过点A作直线AC∥y轴交x轴于点C，交直线MB于点D．当四边形OADM 的面积为6时，请判断线段BM与DM的大小关系，并说明理由．解：（1）∵正比例函数y＝ax的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（3，2）．∴2＝3a，2＝∴a＝，k＝6∴正比例函数表达式：y ＝x ，反比例函数的表达式：y ＝（2）BM ＝MD∵直线MN ∥x 轴，直线AC ∥y 轴∴四边形BDCO 是平行四边形且∠BOC ＝90°∴▱BDCO 为矩形∴BD ＝OC ＝3∵M （m ，n ）是反比例函数图象上的一动点∴mn ＝6即S △BMO ＝3∵S △AOC ＝OC ×AC ＝3，且S OADM ＝6∴S BDCO ＝S △AOC +S △BMO +S OADM ＝12且S BDCO ＝OC ×BO∴12＝3×OB∴OB ＝4∴n ＝4即m ＝∴BM ＝且BD ＝3∴DM ＝∴BM ＝DM5．如图，已知，点O 为坐标原点，点C 在x 轴的正半轴上．在▱AOCB 中，边AO ＝2，OC ＝4，∠AOC ＝60°，∠AOC 的角平分线交AB 于点D ．点P 从点O 出发，以每秒个单位长度的速度沿射线OD 方向移动：同时点Q 从点O 出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线OC 方向移动，连结QP ，BQ ，BP ，设移动时间t 秒．（1）求B ，D 两点的坐标；（2）若反比例函数y ＝（k ≠0）的图象的一个分支过点P ，且经过BQ 的中点，求k 的值；（3）当t 为何值时，△PQB 是直角三角形．解：（1）如图1中，作AH⊥OC于H．在Rt△AOH中，∵OA＝2，∠AOH＝60°，∴OH＝OA＝1，AH＝，∴A（1，），∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝OC＝4，AB∥OC，∴∠ADO＝∠DOC，∵∠AOD＝∠DOC，∴∠AOD＝∠ADO，∴AO＝AD＝2，∴D（3，），B（5，）．（2）如图2中，设BQ的中点为T，作BM⊥x轴于M，TN⊥x轴于N．由题意P（t，t），BM＝，∵QT＝TB，TN∥BM，∴QN＝NM，∴TM＝BM＝，∵P、T在y＝上，根据横坐标与纵坐标的乘积相等可得T（t2，），∴（2t+5）＝t2∴3t2﹣2t﹣5＝0，∴t＝或﹣1（舍弃），∴T（，），∴k＝．（3）由题意P（t，t），Q（2t，0），B（5，），∴PB2＝（t﹣5）2+（t﹣）2，BQ2＝（5﹣2t）2+3，PQ2＝（t）2+（t）2，①当PB为斜边时，（t﹣5）2+（t﹣）2＝（5﹣2t）2+3+（t）2+（t）2，解得t＝1或0（舍弃）．②当PQ为斜边时，（t﹣5）2+（t﹣）2+（5﹣2t）2+3＝（t）2+（t）2，解得t＝4或．③当BQ为斜边时，（t﹣5）2+（t﹣）2+（t）2+（t）2＝（5﹣2t）2+3，解得t＝0（不合题意）综上所述，满足条件的t的值为1或4或．6．如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴正半轴上，以OB为对角线作正方形OABC，一次函数y＝kx+b的图象过A、B两点，反比例函数y＝（x＞0）的图象过线段AB的中点M，点M的坐标为（3，1）．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）设反比例函数的图象与直线AB的另一个交点为N，点D是线段MN上一点，过点D 作DE⊥x轴于点E，连接OD，若△ODE的面积为S，求S的取值范围．解：（1）设A（a，b）∵OABC是正方形，OB为对角线∴B（2a，0）∵M（3，1）是AB的中点∴b＝2，a＝2∴解得：∴解析式y＝﹣x+4∵反比例函数y＝（x＞0）的图象过M点∴m＝3×1＝3∴反比例函数解析式：y＝（2）∵反比例函数的图象与直线AB的另一个交点为N，∴∴x1＝1，x2＝3（舍去）∴N（1，3）设D（x，﹣x+4）∴S△ODE＝×x×（﹣x+4）＝﹣x2+2x（1≤x≤3）∴≤S△ODE≤27．如图，四边形ABCD是正方形，点A的坐标是（0，1），点B的坐标是（0，﹣2），反比例函数y＝的图象经过点C，一次函数y＝ax+b的图象经过A、C两点，两函数图象的另一个交点E的坐标是（m，3）．（1）分别求出一次函数与反比例函数的解析式．（2）求出m的值，并根据图象回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值．（3）若点P是反比例函数图象上的一点，△AOP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，求点P坐标．解：（1）∵点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（0，﹣2），∴AB＝1+2＝3，∵四边形ABCD为正方形，∴BC＝AB＝3，∴C（3，﹣2），把C（3，﹣2）代入y＝，得k＝3×（﹣2）＝﹣6，∴反比例函数解析式为y＝﹣；把C（3，﹣2），A（0，1）代入y＝ax+b，得，解得，∴一次函数解析式为y＝﹣x+1；（2）∵反比例函数y＝﹣的图象过点E（m，3），∴m＝﹣2，∴E点的坐标为（﹣2，3）；由图象可知，当x＜﹣2或0＜x＜3时，一次函数落在反比例函数图象上方，即当x＜﹣2或0＜x＜3时，一次函数的值大于反比例函数的值；（3）设P（t，﹣），∵△AOP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，∴×1×|t|＝3×3，解得t＝18或t＝﹣18，∴P点坐标为（18，﹣）或（﹣18，）．8．如图所示，一次函数y＝kx+b交y轴于点D，交x轴于点E，且与反比例函数y＝的图象交于A（2，3）．B（﹣3，n）两点．（1）分别求出一次函数与反比例函数的表达式．（2）过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AF⊥y轴于点F，求四边形AFCB的面积S；（3）当kx+b＜时，x的取值范围是x＜﹣3或0＜x＜2．．解：（1）∵点A（2，3）在y＝上，∴m＝6，∴y＝，∵B（﹣3，n）在y＝上，∴n＝﹣2，∴B（﹣3，﹣2），把A、B两点坐标代入y＝kx+b，则有，解得，∴y＝x+1．（2）连接CD．由题意F（0，3），D（0，1），C（﹣3，0），∴S△AFCB ＝S△ADF+S△CDF+S△BCD＝×3×2+×2×3+×2×3＝8．（3）观察图象可知，当kx+b＜时，x的取值范围是x＜﹣3或0＜x＜2．故答案为x＜﹣3或0＜x＜2．9．如图：直线y＝x与反比例函数y＝（k＞0）的图象在第一象限内交于点A（2，m）．（1）求m、k的值；（2）点B在y轴负半轴上，若△AOB的面积为2，求AB所在直线的函数表达式；（3）将△AOB沿直线AB向上平移，平移后A、O、B的对应点分别为A'、O'、B'，当点O'恰好落在反比例函数y＝的图象上时，求点A'的坐标．解：（1）∵直线y＝x经过A（2，m），∴m＝2，∴A（2，2），∵A在y＝的图象上，∴k＝4．（2）设B（0，n），由题意：×（﹣n）×2＝2，∴n＝﹣2，∴B（0，﹣2），设直线AB的解析式为y＝k′x+b，则有，∴，∴直线AB的解析式为y＝2x﹣2．（3）当点O'恰好落在反比例函数y＝的图象上时，点A'的坐标（2+，2+2）．10．如图1，在平面直角坐标系中，A点的坐标为（m，3），AB⊥x轴于点B，tan∠OAB＝，反比例函数y1＝的图象的一支经过AO的中点C，且与AB交于点D．（1）求反比例函数解析式；（2）设直线OA的解析式为y2＝nx，请直接写出y1＜y2时，自变量x的取值范围﹣2＜x＜0或x＞2 ．（3）如图2，若函数y＝3x与y1＝的图象的另一支交于点M，求△OMB与四边形OCDB的面积的比值．解：（1）在Rt △AOB 中，∵AB ＝3，∠ABO ＝90°，∴tan ∠OAB ＝＝，∴OB ＝4，∴点A （4，3），∵点C 是OA 中点，∴点C 坐标（2，），∵反比例函数y 1＝的图象的一支经过点C ，∴k ＝3，∴反比例函数解析式为y 1＝．（2）如图1，由反比例函数图象的对称性质得到点C 关于原点对称的C ′的坐标为（﹣2，﹣），结合图象得到：当y 1＜y 2时，自变量x 的取值范围是﹣2＜x ＜0或x ＞2．故答案是：﹣2＜x ＜0或x ＞2．（3）由解得或， ∵点M 在第三象限，∴点M 坐标（﹣1，﹣3），∵点D 坐标（4，），∴S△OBM ＝×4×3＝6，S四边形OBDC＝S△AOB﹣S△ACD＝×4×3﹣×2×＝，∴三角形OMB与四边形OCDB的面积的比＝6：＝8：5．11．如图，直线y＝ax+2与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，b）．将线段AB 先向右平移1个单位长度、再向上平移t（t＞0）个单位长度，得到对应线段CD，反比例函数y＝（x＞0）的图象恰好经过C、D两点，连接AC、BD．（1）求a和b的值；（2）求反比例函数的表达式及四边形ABDC的面积；（3）点N在x轴正半轴上，点M是反比例函数y＝（x＞0）的图象上的一个点，若△CMN是以CM为直角边的等腰直角三角形时，求所有满足条件的点M的坐标．解：（1）将点A（1，0）代入y＝ax+2，得0＝a+2．∴a＝﹣2．∴直线的解析式为y＝﹣2x+2．将x＝0代入上式，得y＝2．∴b＝2．（2）由（1）知，b＝2，∴B（0，2），由平移可得：点C（2，t）、D（1，2+t）．将点C（2，t）、D（1，2+t）分别代入y＝，得∴．∴反比例函数的解析式为y＝，点C（2，2）、点D（1，4）．如图1，连接BC、AD．∵B（0，2）、C（2，2），∴BC∥x轴，BC＝2．∵A（1，0）、D（1，4），∴AD⊥x轴，AD＝4．∴BC⊥AD．＝×BC×AD＝×2×4＝4．∴S四边形ABDC（3）①当∠NCM＝90°、CM＝CN时，如图2，过点C作直线l∥x轴，交y轴于点G．过点M作MF⊥直线l于点F，交x轴于点H．过点N作NE⊥直线l于点E．∵∠MCN＝90°，∴∠MCF+∠NCE＝90°．∵NE⊥直线l于点E，∴∠ENC+∠NCE＝90°．∴∠MCF＝∠ENC．又∵∠MFC＝∠NEC＝90°，CN＝CM，∴△NEC≌△CFM（AAS）．∴CF＝EN＝2，FM＝CE．∴FG＝CG+CF＝2+2＝4．∴x M＝4．将x＝4代入y＝，得y＝1．∴点M（4，1）；②当∠NMC ＝90°、MC ＝MN 时，如图3，过点C 作直线l ⊥y 轴与点F ，则CF ＝x C ＝2．过点M 作MG ⊥x 轴于点G ，MG 交直线l 与点E ，则MG ⊥直线l 于点E ，EG ＝y C ＝2． ∵∠CMN ＝90°，∴∠CME +∠NMG ＝90°．∵ME ⊥直线l 于点E ，∴∠ECM +∠CME ＝90°．∴∠NMG ＝∠ECM ．又∵∠CEM ＝∠NGM ＝90°，CM ＝MN ，∴△CEM ≌△MGN （AAS ）．∴CE ＝MG ，EM ＝NG ．设CE ＝MG ＝n ，则y M ＝n ，x M ＝CF +CE ＝2+n ．∴点M （2+n ，n ）．将点M （2+n ，n ）代入y ＝，得n ＝． 解得n 1＝﹣1，n 2＝﹣﹣1（因为点M 在第一象限，所以n 大于0，所以舍去）． ∴x M ＝2+n ＝+1． ∴点M （+1，﹣1）．综合①②可知：点M 的坐标为（4，1）或（+1，﹣1）．12．如图，在平面直角坐标系中，已知A（3，﹣3）、B（6，0），且OA＝OB．（1）若△OA′B′与△OAB关于原点O成中心对称，则点A、B的对称点A′、B'的坐标分别为A′（﹣3，3），B′（﹣6，0）；（2）若将△OAB沿x轴向左平移m个单位，此时点A恰好落在反比例函数y＝的图象上，求m的值；（3）若△OAB绕点O按逆时针方向旋转α°（0＜α＜90）；①当α＝30时点B恰好落在反比例函数y＝的图象上，求k的值；②问点A、B能否同时落在①中的反比例函数的图象上，若能，直接写出α的值，若不能，请说明理由．解：（1）∵△OA′B′与△OAB关于原点O成中心对称，且A（3，﹣3）、B（6，0），∴A'（﹣3，3），B'（﹣6，0）故答案为（﹣3，3），（﹣6，0）（2）∵将△OAB沿x轴向左平移m个单位，∴点A平移后的坐标为（3﹣m，﹣3）∴﹣3＝m＝5（3）①设点B逆时针旋转30°后对应点为B1．如图：过点B1作B1C⊥OB∵旋转∴OB1＝6，∠COB1＝30°∴B1C＝3，OC＝OB1＝3∴B1（3，3）∴3＝∴k＝9∴解析式为y＝②α＝60°如图2，过点A作AD⊥OB，∵A（3，﹣3）∴OD＝3，DA＝3∵tan∠BOA＝＝∴∠AOB ＝30°设点A 逆时针旋转60°后对应点为A 1．∴∠A 1OB ＝30°，且OA ＝OB ＝6＝OA 1．∴A 1（3，3）设点B 逆时针旋转60°后对应点为B 2．∴∠B 2OB ＝60°，且OB 2＝OB ＝6∴B 2（3，3） 当x ＝3时，y ＝＝3，当x ＝3时，y ＝＝3∴点A 1，点B 2在反比例y ＝的图象上 ∴将△OAB 绕点O 按逆时针方向旋转60°时，点A 、B 能同时落在反比例函数的图象上．13．阅读理解：若点P 是△ABC 内部或边上的点（顶点除外），在△PAB ，△PBC ，△PCA 中，若至少有一个三角形与△ABC 相似，则称点P 是△ABC 的相似特征点．例如：如图1，点P 在△ABC 的内部，∠PBC ＝∠A ，∠PCB ＝∠ABC ，则△BCP ∽△ABC ，故点P 为△ABC 的相似特征点．问题解决：在平面直角坐标系中，点M 是双曲线C ：y ＝（x ＞0）上的任意一点，点N 是x 轴正半轴上的任意一点．（1）如图2，在Rt △ONM 中，∠ONM ＝90°，点N （，0）点P 是△ONM 内一点，且∠PON ＝∠M ，NP ⊥OP ，垂足为P ，试说明点P 是△ONM 的相似特征点，并求出点P 的坐标；（2）如图3，点N 的坐标是（2，0）时，且∠MON ＝30°，连接MN ，求△MON 的相似特征点的坐标；（3）当△MON 无相似持征点时，请直接写出这两点M ，N 的坐标；（4）在△MON 中，点M 的横坐标为m （m ＞0），点N 的模坐标为n ，点P 在线段OM 上，且∠PNO ＝∠M ，试用含m ，n 的式子表示点P 的坐标．解：（1）∵∠PON＝∠M，∠OPN＝∠MNO＝90°，∴△OPN∽△MNO，∴点P是△MON的自相似点；如图2中，过P作PD⊥x轴于D，则tan∠POD＝tan∠OMN＝＝，∴∠POD＝∠OMN＝30°，∴OP＝ON×cos30°＝，∴OD＝OP cos30°＝，PD＝OP•sin30°，∴P（，）；（2）作MH⊥x轴于H，如图3所示：由题意点M的坐标是（3，），点N的坐标是（2，0），∴OM＝＝2，直线OM的解析式为y＝x，ON＝2，∠MOH＝30°，分两种情况：①如图3所示：∵P是△MON的相似点，∴△PON∽△NOM，作PQ⊥x轴于Q，∴PO＝PN，OQ＝ON＝1，∵P的横坐标为1，∴y＝×1＝∴P（1，）；②如图4所示：由勾股定理得：MN＝＝2，∵P是△MON的相似点，∴△PNM∽△NOM，∴＝，即＝，解得：PN＝，即P的纵坐标为，代入y＝x得：＝x，解得：x＝2，∴P（2，）；综上所述：△MON的自相似点的坐标为（1，）或（2，）；（3）存在点M和点N，使△MON无自相似点，M（，3），N（2 ，0）；理由如下：∵M（，3），N（2，0），∴OM＝2＝ON，∠MON＝60°，∴△MON是等边三角形，∵点P在△MON的内部，∴∠PON≠∠OMN，∠PNO≠∠MON，∴存在点M和点N，使△MON无自相似点．（4）如图5中，作PH⊥x轴于H，MF⊥x轴于F．∵M（m，），N（n，0），∴ON＝n，OM＝，∵∠PON＝∠ONP＝∠OMN，∴△ONP∽△OMN，∴ON2＝OP•OM，∴OP＝，∵PH∥MF，∴＝＝，∴PH＝，OH＝，∴P（，）．14．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A、C分别在坐标轴上，OA＝2，OC＝4，直线y＝﹣x+3交AB，BC分别于点M，N，反比例函数y＝的图象经过点M，N．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P在y轴上，且△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标解：（1）∵B （4，2），四边形OABC 是矩形， ∴OA ＝BC ＝2，将y ＝2代入y ＝﹣x +3得：x ＝2， ∴M （2，2），把M 的坐标代入y ＝得：k ＝4， ∴反比例函数的解析式是y ＝；（2）把x ＝4代入y ＝得：y ＝1， 即CN ＝1，∵S 四边形BMON ＝S 矩形OABC ﹣S △AOM ﹣S △CON ＝4×2﹣×2×2﹣×4×1＝4， 由题意得：OP ×AM ＝4， ∵AM ＝2， ∴OP ＝4，∴点P 的坐标是（0，4）或（0，﹣4）．15．已知点P 的坐标为（m ，0），点Q 在x 轴上（不与P 重合），以PQ 为边，∠PQM ＝60°作菱形PQMN ，使点M 落在反比例函数y ＝﹣的图象上．（1）如图所示，若点P 的坐标为（1，0），求出图中点M 的坐标；（2）当P （1，0）时，在（1）图中已经画出一个符合条件的菱形PQMN ，请您在原图上画出另一个符合条件的菱形PQ 1M 1N 1，并求点M 1的坐标；（3）随着m 的取值不同，这样的菱形还可以画出三个和四个，当符合上述条件的菱形刚好能画出三个时，请直接写出点M 的坐标．解：（1）如图，∵四边形PQMN 是菱形， ∴PN ∥QM ，MN ∥PQ ， ∴∠OPN ＝∠PQM ＝60°， ∵P （1，0），∴OP ＝1，PN ＝PQ ＝MN ＝2OP ＝2，OM ＝OP ＝∴M （2，﹣）．（2）如下图中，∵四边形PQ 1M 1N 1是菱形， ∴Q 1P ＝Q 1M 1， ∵∠PQ 1M 1＝60°， ∴△PQ 1M 1是等边三角形， ∴∠Q 1PM 1＝60°， ∴直线PM 1的解析式为y ＝﹣x +，由解得或，∴M1（﹣1，2）．（3）如下图，当过点P与x轴的夹角为60°的直线与反比例函数的交点的个数只有3个时，满足条件的菱形只有3个．设直线PM1的解析式为y＝x+b，由，消去y得到：x2+bx+2＝0，由题意：△＝0，∴b＝±2，当b＝﹣2时，可得y＝x﹣2，由：，解得，∴M1（，﹣），由解得或，∴M2（+2，﹣2），M2（﹣2，+2），当b＝2时，同法可得满足条件的点M的坐标为（﹣，）或（﹣﹣2，2﹣）或（﹣+2，﹣2﹣）．16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（x ＞0，m≠0）的图象交于点C，与x轴、y轴分别交于点D、B，已知OB＝3，点C的横坐标为4，cos∠0BD＝（1）求一次函数及反比例函数的表达式；（2）将一次函数图象向下平移，使其经过原点O，与反比例函数图象在第四象限内的交点为A，连接AC，求四边形OACB的面积．解：（1）∵OB＝3，∴B（0，3），∵cos∠0BD＝，∴∠OBD＝45°，∴△OBD是等腰直角三角形，∴OD＝OD＝3，∴D（3，0），将点D，B代入y＝kx+b得，，解得：，∴一次函数的表达式为：y＝﹣x+3；∴C（4，﹣1），∵点C在反比例函数y＝（x＞0，m≠0）的图象上，∴m＝﹣1×4＝﹣4，∴反比例函数的解析式为：y＝﹣；（2）由平移可得直线OA的解析式为：y＝﹣x，∴，解得：，，∴A（2，﹣2），过A 作AE ⊥x 轴交BC 于E ，则AE ＝OB ＝3，∴S 四边形OACB ＝S 四边形OAEB +S △ACE ＝OB •x A +AE •（x C ﹣x A ）＝3×2+（4﹣2）＝9．17．如图，在平面直角坐标系xOy 内，函数y ＝x 的图象与反比例函数y ＝（k ≠0）图象有公共点A ，点A 的坐标为（4，a ），AB ⊥x 轴，垂足为点B ． （1）求反比例函数的解析式；（2）点C 是第一象限内直线OA 上一点，过点C 作直线CD ∥AB ，与反比例函数y ＝（k ≠0）的图象交于点D ，且点C 在点D 的上方，CD ＝AB ，求点D 的坐标．解：（1）∵点A 在函数y ＝的图象上，点A 的坐标为（4，a ），∴a ＝2，∴点A 坐标为（4，2）．∵点A 在反比例函数y ＝（k ≠0）的图象上， ∴2＝，解得k ＝8．∴反比例函数的解析式为y ＝． （2）∵AB ⊥x 轴，点A 坐标为（4，2）， ∴AB ＝2．∵点C 为第一象限内直线y ＝x 上一点，∴设点C坐标为（m，m）（m＞0）．又∵CD∥AB，且点D在反比例函数y＝的图象上，∴设点D坐标为（m，）．∵点C在点D的上方，可得CD＝m﹣．∵CD＝AB，∴m﹣＝×2，∴解得m＝8或m＝﹣2．∵m＞0，∴m＝8．∴点D的坐标为（8，1）．18．如图，在平面直角坐标系中，OA⊥OB，AB⊥x轴于点C，点A（﹣，1）在反比例函数y＝的图象上．（1）求反比例函数y＝的表达式；（2）在x轴的正半轴上存在一点P，使得S△AOP ＝S△AOB，求点P的坐标；（3）若将△AOB绕点B按顺时针方向旋转60°得到△BDE，直接写出点E的坐标，并判断点E是否在该反比例函数的图象上，并说明理由．解：（1）把A（﹣，1）代入反比例函数y＝，则k＝﹣，∴反比例函数y＝﹣；（2）设P（m，0），m＞0，从点A（﹣，1）的坐标，tan∠AOC＝，∴∠AOC＝30°，∵OA⊥OB，AB⊥x轴，∴∠ABO＝30°，∴OB＝2OC＝2，S△AOP＝•OP•AC＝m，S△AOB＝AO•BO＝×2＝2，S△AOP ＝S△AOB，∴m＝4，∴点P的坐标为（4，0）；（3）△AOB绕点B按顺时针方向旋转60°得到△BDE，∴∠OBE＝60°﹣30°＝30°，如下图，连接OE，∵AB＝BE，BO＝BO，∠BOA＝∠BOE＝30°，∴△BOA≌△BOE，∴AO＝EO，而OA⊥OB，∴A、O、E在一条直线上，∴点E是点A关于原点的对称点，∴E（，﹣1），也在反比例函数上．19．如图，直线y＝k1x（x≥0）与双曲线y＝（x＞0）相交于点P（1，3）．已知点A （3，0），B（0，2），连接AB，将Rt△AOB沿OP方向平移，使点O移动到点P，得到△A'PB'．过点A'作A'C∥y轴交双曲线于点C．（1）求k1与k2的值；（2）求直线PC的解析式；（3）直接写出线段AB扫过的面积．解：（1）将点P（1，3）代入直线y＝k1x得，k1＝3，将P（1，3）代入双曲线y＝得，k2＝1×3＝3，（2）∵A（3，0），B（0，2），∴AO＝3，BO＝2，由平移知，A'（4，3），B'（1，5），∵A'C∥y轴交双曲线于点C，∴C点的横坐标为1+3＝4，当x＝4时，y＝，∴C（4，），设直线PC的解析式为y＝kx+b，把点P（1，3），C（4，）代入得，，∴，（3）如图，延长A'C交x轴于D，过点B'作B'E⊥y轴于E，∴A'D＝3，B'E＝1，由平移得，△AOB≌△A'PB'，∴线段AB扫过的面积为S▱POBB'+S▱AOPA'＝BO×B'E+AO×A'D＝2×1+3×3＝11．20．如图，一次函数y＝kx﹣2（k≠0）的图象与y轴交于点A，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点B（3，b）．点C是线段AB上的动点（与点A、B不重合），过点C且平行于y轴的直线CD交这个反比例函数的图象于点D，O为坐标原点．（1）求△OCD面积为时，点D的坐标；（2）求△OCD面积的最大值；（3）当△OCD面积最大时，以点O为圆心，r为半径画⊙O，是否存在r的值，使得A、B、C、D四个点中恰好有2个在圆内？如果存在，求出r的取值范围；如果不存在，请说明理由．解：（1）∵点B（3，b）在反比例函数y＝的图象上，∴3b＝3，∴b＝1，∴B（3，1），∵点B（3，1）在一次函数y＝kx﹣2（k≠0）的图象上，∴3k﹣2＝1，∴k＝1，∴直线AB的解析式为y＝x﹣2，设点C的坐标为（m，m﹣2）（0＜m＜3），∵C且平行于y轴的直线CD交这个反比例函数的图象于点D，∴D（m，），∴CD＝﹣（m﹣2）＝+2﹣m，＝CD•m＝（+2﹣m）×m＝﹣（m2﹣2m﹣3），∴S△OCD∵△OCD面积为，∴﹣（m2﹣2m﹣3）＝，∴m＝0（舍）或m＝2，∴D（2，），（2）由（1）知，S＝﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣（m﹣1）2+2，△OCD∵0＜m＜3，∴m＝1时，△OCD面积的最大值为2．（3）存在，理由：∵直线AB的解析式为y＝x﹣2，∴A（0，﹣2），∴OA＝2，由（1）知，B（3，1），∴OB＝＝由（2）知，m＝1，∴C（1，﹣1），D（1，3），∴OC＝＝，OD＝＝，∴OC＜OA＜OB＝OD，∵以点O为圆心，r为半径画⊙O，使得A、B、C、D四个点中恰好有2个在圆内．∴2＜r≤．。

精选文档6662020 年数学中考压轴题专项训练：反比率函数的综合1．已知一次函数y＝ kx﹣（2k+1）的图象与x 轴和 y 轴分别交于A、 B两点，与反比率函数y＝﹣的图象分别交于C、 D两点．（1）如图 1，当k＝ 1，点P在线段AB上（不与点A、B重合）时，过点P作x轴和y轴的垂线，垂足为 M、 N．当矩形 OMPN的面积为2时，求出点 P 的地点；（ 2）如图 2，当k＝ 1 时，在x轴上能否存在点E，使得以 A、B、E 为极点的三角形与△BOC相像？若存在，求出点E的坐标；若不存在，说明原因；（3）若某个等腰三角形的一条边长为 5，另两条边长恰巧是两个函数图象的交点横坐标，求k 的值．解：（ 1）当k＝ 1，则一次函数分析式为：y＝x﹣ 3，反比率函数分析式为：y＝﹣，∵点 P在线段 AB上∴设点 P（ a， a﹣3）， a＞0， a﹣3＜0，∴PN＝a， PM＝3﹣ a，∵矩形 OMPN的面积为2，∴a×（3﹣ a）＝2，∴a＝1或2，∴点 P（1，﹣2）或（2，﹣1）（2）∵一次函数y＝x﹣3 与x轴和y轴分别交于A、B两点，∴点 A（3，0），点 B（0，﹣3）∴ OA＝3＝ OB，∴∠ OAB＝∠ OBA＝45°， AB＝3，∵ x﹣3＝﹣∴ x＝1或2，∴点 C（1，﹣2），点 D（2，﹣1）∴BC＝＝，设点 E（ x，0），∵以 A、 B、 E 为极点的三角形与△BOC相像，且∠ CBO＝∠ BAE＝45°，∴，或，∴，或＝，∴ x＝1，或 x＝﹣6，∴点 E（1，0）或（﹣6，0）（ 3）∵﹣＝kx﹣（2k+1），∴ x＝1， x ＝，∴两个函数图象的交点横坐标分别为 1，，∵某个等腰三角形的一条边长为5，另两条边长恰巧是两个函数图象的交点横坐标，∴1＝，或5＝∴k＝2．如图，已知直线y＝ kx+b 与反比率函数y＝（x＞0）的图象交于A（1，4）、B（4，1）两点，与 x 轴交于 C点．（1）求一次函数与反比率函数的分析式；（2）依据图象直接回答：在第一象限内，当x取何值时，一次函数值大于反比率函数值？（ 3）点P 是y＝（＞ 0）图象上的一个动点，作⊥轴于Q点，连结，当x PQ x PCS△CPQ＝S△CAO时，求点 P 的坐标．解：（ 1）把A（ 1， 4）代入y＝（x＞0），得m＝1×4＝4，∴反比率函数为y＝；把（1， 4）和（ 4， 1）代入y ＝+b得，A B kx解得：，∴一次函数为y＝﹣ x+5．（2）依据图象得：当 1＜x＜ 4 时，一次函数值大于反比率函数值；（3）设P（m，），由一次函数y＝﹣ x+5可知 C（5，0），∴S＝＝10，△CAO∵S△CPQ＝ S△CAO，∴S△CPQ＝5，∴|5 ﹣m| ? ＝ 5，解得 m＝或m＝﹣（舍去），∴P（，）．3．如图，直线y ＝+ （＞0）与抛物线y＝2订交于点（，y1），（，y2）两点，kx b b x A x1 B x2与x 轴正半轴订交于点，于y轴订交于点，设△的面积为，且+8＝ 0．D C OCD S kS（1）求b的值．（2）求证：点（y1，y2）在反比率函数y＝的图象上．（1）解：∵直线y＝kx +b（b＞ 0）与x轴正半轴订交于点D，于y轴订交于点C，∴ D（0， b）， C（﹣，0）∴由题意得 OD＝b， OC＝﹣，∴ S＝∴k（?）+8＝0，∴b＝4（ b＞0）；（ 2）证明：∵，∴，∴ x1?x2＝﹣16∴，∴点（ y1， y2）在反比率函数y＝的图象上．AB⊥x 轴于点B，连结4．如图，双曲线y＝上的一点A（ m，n），此中n＞ m＞0，过点A作OA．（1）已知△AOB的面积是 3，求k的值；（2）将△AOB绕点A逆时针旋转 90°获得△ACD，且点O的对应点C恰巧落在该双曲线上，求的值．解：（ 1）∵双曲线y＝上的一点A（ m， n），过点 A作 AB⊥ x 轴于点 B，∴AB＝n， OB＝ m，又∵△ AOB的面积是3，∴mn＝3，∴mn＝6，∵点 A在双曲线 y＝上，∴k＝ mn＝6；（2）如图，延伸DC交x轴于E，由旋转可得△AOB≌△ACD，∠BAD＝90°，∴ AD＝AB＝ n， CD＝ OB＝ m，∠ADC＝90°，∵ AB⊥x 轴，∴∠ ABE＝90°，∴四边形 ABED是矩形，∴∠ DEB＝90°，∴ DE＝AB＝ n， CE＝ n﹣ m，OE＝ m+n，∴ C（ m+n， n﹣ m），∵点 A， C都在双曲线上，∴ mn＝（ m+n）（n﹣ m），2 2即 m+mn﹣ n ＝0，方程两边同时除以 n2，得+﹣1＝0，解得＝，∵ n＞ m＞0，∴＝．5．在平面直角坐标系xOy 中，对于点（，）和实数k（＞ 0），给出以下定义：当+ P a b k ka b＞ 0 时，将以点P为圆心，ka+b为半径的圆，称为点P 的 k 倍有关圆．比如，在如图 1 中，点P（ 1， 1）的 1 倍有关圆为以点P 为圆心，2为半径的圆．（ 1）在点P1（2，1）， P2（1，﹣3）中，存在1倍有关圆的点是P1，该点的 1 倍有关圆半径为3．（ 2）如图 2，若是x 轴正半轴上的动点，点N在第一象限内，且知足∠＝30°，判M MON断直线与点的倍有关圆的地点关系，并证明．ON M（ 3）如图 3，已知点 A 的（0，3）， B（1，m），反比率函数y＝的图象经过点B，直线l与直线AB对于y 轴对称．①若点C在直线l上，则点C的3 倍有关圆的半径为3．②点D在直线AB上，点D的倍有关圆的半径为R，若点D在运动过程中，以点D为圆心， hR为半径的圆与反比率函数y＝的图象最多有两个公共点，直接写出h 的最大值．解：（ 1）由题意知，k＝1，针对于 P1（2，1）， a＝2， b＝1，∴ka+b＝2+1＝3＞0，∴点 P1（2，1）的1倍有关圆为以点P 为圆心，3为半径的圆，针对于 P2（1，﹣3），a＝1， b＝﹣3，∴ ka+b＝1﹣3＝﹣2＜0，∴点 P2（1，﹣3）不存在1倍有关圆故答案为： P1；3；（ 2）如图 2 中，结论：直线ON与点 M的倍有关圆的地点关系是相切．原因：设点M的坐标为（ n，0），过 M点作 MP⊥ ON于点 P，∴点 M的倍有关圆半径为n．∴OM＝n．∵MP⊥ON，∴∠ OPM＝90°，∵∠ MON＝30°，∴ MP＝ OM＝ n，∴点 M的倍有关圆的半径为 MP，∴直线 ON与点 M的倍有关圆相切；（ 3）①如图 3 中，记直线AB与 x 轴的交点为E，直线 l 与 x 轴的交点为 F，∵ B（1， m）在反比率函数y＝的图象上，∴m＝6，∴B（1，6）∵ A（0，3），∴直线 AB的分析式为 y＝3x+3，令 y＝0，则3x+3＝0，∴x＝﹣1，∴E（﹣1，0），∵直线 l 是直线 AB对于 y 轴对称，∴点 F 与点 E 对于 y 轴对称，∴ F（1，0），∴直线 l 的分析式为y＝﹣3x+3，∵点 C在直线 l 上，∴设 C（ c，﹣3c+3），由题意知， k＝3，∴3c+（﹣ 3c+3）＝ 3，∴点 C的3倍有关圆的半径是3，故答案为： 3；②∵点 D在直线 AB上，设 D（ d，3d+3），由题意知， k＝，∴ R＝ d+（3d +3）＝d+3＞0，∴ d＞﹣．6．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+2与 x 轴、 y 轴分别交于A，B 两点，与反比率函数 y＝（ 1）求反比率函数的图象交于点y＝M，且 B为的表达式；AM的中点．（ 2）过 B 做x 轴的平行线，交反比率函数 y＝图象于点C，连结MC， AC．求△ AMC的面积．解：（ 1）过点M作MH⊥y轴，垂足为H．∵AB＝MB，∠ MHB＝∠ AOB，∠ MBH＝∠ABO，∴△ ABO≌△ MBH（ AAS），∴BH＝BO， MH＝AO，∵直线 y＝2x+2与 x 轴， y 轴分别交于A， B两点，∴当 y＝0时， x＝﹣1．当 x＝0时， y＝2．∴A（﹣1，0），B（0，2）．∴BH＝BO＝2， MH＝ AO＝1．∴M（1，4）．把 M（1，4）代入中，得k＝4．∴反比率函数的分析式为．（ 2）∵AB＝BM，∴S△ABC＝ S△BCM．∵点 C在反比率函数图象上，且BC∥ x 轴，∴点 C纵坐标为2．把 y＝2代入，得x＝2．∴点 C坐标为（2，2），∴，∴S△AMC＝4．7．已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，点（0， 2），正方形的极点B在函数yA OABC＝（ k≠0，x＜0）的图象上，直线 l：y＝﹣ x+b 与函数 y＝（ k≠0，x＜0）的图象交于点 D，与 x 轴交于点 E．（1）求k的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．①当一次函数y ＝﹣ + b 的图象经过点 A 时，直接写出△ 内的整点的坐标；xDCE②若△内的整点个数恰有6 个，联合图象，求b 的取值范围．DCE解：（ 1）依题意知： B （﹣ 2， 2），∴反比率函数分析式为y ＝﹣ ．∴ k 的值为﹣ 4；（ 2）①∵一次函数 y ＝﹣ x +b 的图象经过点 A ， ∴b ＝ 2，∴一次函数的分析式为y ＝﹣ x +2，解得，， ，∴D （1﹣ ，1+ ），E （ 2， 0），∴△ DCE 内的整点的坐标为（﹣ 1， 1），（﹣ 1， 2），（ 0，1）；②当 ＝2 时，△内有 3 个整点，当 ＝3 时，△ 内有 6 个整点，bDCEbDCE∴b 的取值范围是 2＜ ≤3．b8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数 y ＝ （ ＜0）的图象经过点 （﹣ 1， 6）．xA（ 1）求 k 的值；（ 2）已知点 （ ，﹣ 2 ）（ ＜ 0），过点P 作平行于 x 轴的直线，交直线 y ＝﹣ 2 ﹣ 2 于P a a a x点 M ，交函数 y ＝ （ x ＜0）的图象于点 N ．①当 a ＝﹣ 1 时，求线段 PM 和 PN 的长；②若 PN ≥ 2PM ，联合函数的图象，直接写出 a 的取值范围．解：（ 1）∵函数y＝（x＜0）的图象经过点A（﹣1，6）．∴ k＝﹣1×6＝﹣6．（ 2）①当a＝﹣ 1 时，点P的坐标为（﹣1， 2）．∵直线 y＝﹣2x﹣2，反比率函数的分析式为y＝﹣，PN∥ x轴，∴把 y＝2代入 y＝﹣2x﹣2，求得 x＝﹣2，代入 y＝﹣求得x＝﹣3，∴ M（﹣2，2），N（﹣3，2），∴ PM＝1， PN＝2．②∵当 a＝﹣1或 a＝﹣3时， PN＝2PM，∴依据图象PN≥2PM， a 的取值范围为a≤﹣3或﹣1≤a＜0．9．如图，已知点D在反比率函数 y＝的图象上，过点D作 DB⊥ y 轴，垂足为B（0，3），直线 y＝ kx+b 经过点 A（5，0），与 y 轴交于点 C，且 BD＝ OC，OC： OA＝2：5．（ 1）求反比率函数y＝和一次函数y＝ kx+b 的表达式；（ 2）连结AD，求∠DAC的正弦值．解：（ 1）∵BD＝OC，OC：OA＝ 2： 5，点A（5， 0），点B（ 0， 3），∴OA＝5， OC＝ BD＝2， OB＝3，又∵点 C在 y 轴负半轴，点 D在第二象限，∴点 C的坐标为（0，﹣2），点 D的坐标为（﹣2， 3）．∵点 D（﹣2，3）在反比率函数的图象上，∴ a＝﹣2×3＝﹣6，∴反比率函数的表达式为．将 A（5，0）、 C（0，﹣2）代入 y＝ kx+b，得，解得：，∴一次函数的表达式为．（2）∵OA＝BC＝ 5，OC＝BD＝ 2，∠DBC＝∠AOC＝90°，∴△ BDC≌△ OCA（ SAS），∴∠ DCB＝∠ OAC， DC＝ CA，∴∠ DCA＝90°，∴△DCA是等腰直角三角形，∴∠ DAC＝45°，∴．10．如图，A为反比率函数y＝（此中x＞0）图象上的一点，在x 轴正半轴上有一点B，OB＝4．连结 OA、 AB，且 OA＝ AB＝2．（ 1）求k的值；（2）过点B作BC⊥OB，交反比率函数y＝（x＞ 0）的图象于点C．①连结 AC，求△ ABC的面积；②在图上连结OC交 AB于点 D，求的值．解：（ 1）过点A作AH⊥x轴，垂足为点H， AH交 OC于点 M，以下图．∵OA＝AB， AH⊥OB，∴ OH＝BH＝ OB＝2，∴AH＝＝＝6，∴点 A的坐标为（2，6）．∵A 为反比率函数 y＝图象上的一点，∴ k＝2×6＝12；（ 2）①∵BC⊥x轴，OB＝4，点C在反比率函数y＝上，∴BC＝＝3．∵AH⊥OB，∴ AH∥BC，∴点 A到 BC的距离＝ BH＝2，∴S＝×3×2＝3；△ABC②∵ BC⊥ x 轴， OB＝4，点 C在反比率函数y＝上，∴BC＝＝3．∵AH∥BC， OH＝BH，∴ MH＝ BC＝，∴AM＝AH﹣ MH＝．∵AM∥BC，∴△ ADM∽△ BDC，∴＝．11．如图，反比率函数y ＝的图象与一次函数y＝+1 的图象订交于点（2， 3）和点．x A B（1）求反比率函数的分析式和点B 的坐标；（2）连结OA，OB，求△AOB的面积．（ 3）联合图象，请直接写出使反比率函数值小于一次函数值的自变量x 的取值范围．解：（ 1）把A（ 2， 3）代入得，∴ k＝6．∴反比率函数的分析式为．联立解得或，∴点 B的坐标为（﹣3，﹣2）．（2）设直线AB与y轴交于点C．可知 C点的坐标为（0，1），∴ OC＝1．∴．（ 3）当﹣ 3＜x＜ 0 或x＞2 时，反比率函数值小于一次函数值．12．如图1，直线y＝ x 与双曲线y＝交于A，B 两点，依据中心对称性能够得悉OA＝ OB．（ 1）如图2，直线y＝2x+1与双曲线y＝交于A， B 两点，与坐标轴交点C， D 两点，试证明：AC＝ BD；（ 2）如图3，直线y＝ ax+b 与双曲线y＝交于A， B 两点，与坐标轴交点C， D 两点，试问： AC＝ BD还建立吗？（ 3）假如直线y＝x+3与双曲线y＝交于 A，B两点，与坐标轴交点C，D两点，若DB+DC≤ 5，求出k 的取值范围．解：（ 1）如图 1 中，作AE⊥x轴于E，BF⊥y轴于F，连结EF，AF，BE．∵AE∥y 轴，∴S＝S＝，△AOE△ AEF∵BF∥x 轴，∴S＝S＝，△BEF△ OBF∴S＝S，△AEF△ BEF∴AB∥EF，∴四边形 ACFE，四边形 BDEF都是平行四边形，∴AC＝EF， BD＝EF，∴AC＝BD．（2）如图 1 中，如图 1 中，作AE⊥x轴于E，BF⊥y轴于F，连结EF，AF，BE．∵ AE∥y 轴，∴S△＝S△＝，AOE AEF∵BF∥x 轴，∴S△＝S△＝，BEF OBF∴S△＝S△，AEF BEF∴AB∥EF，∴四边形 ACFE，四边形 BDEF都是平行四边形，∴AC＝EF， BD＝EF，∴AC＝BD．（ 3）如图 2 中，∵直线 y ＝ x +3 与坐标轴交于C ，D ，∴ C （ 0， 3）， D （ 3， 0），∴ OC ＝OD ＝ 3， CD ＝ 3 ， ∵ CD +BD ≤ 5 ，∴ BD ≤2 ，当 BD ＝2 时，∵∠ CDO ＝ 45°， ∴ B （ 1， 2），此时 k ＝ 2，察看图象可知，当 k ≤ 2 时， CD +BD ≤ 5 ，13．综合与研究如图 1，平面直角坐标系中，直线l ： y＝ 2 +4 分别与 x 轴、 y 轴交于点 ， ．双曲线yxA B＝ （ x ＞ 0）与直线l 交于点（ ，6）．E n（ 1）求 k 的值；（ 2）在图 1 中以线段为边作矩形，使极点在第一象限、极点 D 在 y 轴负半轴ABABCDC上．线段交 x 轴于点 ．直接写出点， ， 的坐标；CDGA D G（ 3）如图 2，在（ 2）题的条件下，已知点 P 是双曲线 y ＝（ x ＞ 0）上的一个动点，过点P 作 x 轴的平行线分别交线段 ，于点，．AB CD M N请从以下 A ， B 两组题中任选一组题作答．我选择 ① 组题．A ．①当四边形 AGNM 的面积为 5 时，求点 P 的坐标；②在①的条件下，连结PB ， PD ．坐标平面内能否存在点 Q （不与点 P 重合），使以 B ， D ，Q 为极点的三角形与△ PBD 全等？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明原因．B ．①当四边形 AGNM 成为菱形时，求点 P 的坐标；②在①的条件下，连结PB， PD．坐标平面内能否存在点Q（不与点 P 重合），使以 B， D，Q为极点的三角形与△PBD全等？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明原因．解：（ 1）由已知可得A（﹣2，0）， B（0，4）， E（1，6），∴ k＝6；（ 2）∵AB⊥BC，∴ BC的分析式为 y＝﹣x+4，联立，∴ C（2，3），∵CD＝AB＝2，∴ D（0，﹣1），∴ CD的分析式为 y＝2x﹣1，∴G（，0）；（3）A①设P（m，），∵ MN∥x 轴，∴M（﹣2，），N（+，），∴MN＝，∵四边形 AGNM的面积为5，∴×＝5，∴m＝3，∴P（3，2）；② Q（3，1）、 Q（﹣3，1）、 Q（﹣3，2）时 B， D， Q为极点的三角形与△PBD全等．B①∵四边形AGNM成为菱形，MN＝ AM，∴＝∴ m＝∴ P（，，）；② Q（﹣，）、Q（， 3﹣）、Q（﹣， 3﹣）时B， D， Q 为极点的三角形与△PBD全等．14．如图，直线AB与反比率函数y＝（x＞0）的图象交于点A，已知点A（3，4）， B（0，﹣ 2），点C是反比率函数y＝（ x＞0）的图象上的一个动点，过点C作x 轴的垂线，交直线 AB于点 D．（1）求反比率函数的分析式；（2），求△ ABC的面积；（3）在点C运动的过程中，能否存在点C，使BC＝AC？若存在，恳求出点C的坐标；若不存在，请说明原因．解：（ 1）∵反比率函数y＝（x＞0）的图象经过点A（3，4），∴k＝ xy＝3×4＝12，∴反比率函数的分析式为： y＝；（2）作AE⊥y轴于点E，交CD于点F，则 BE∥CD，∴＝＝，∵点 A的坐标为（3，4），∴EF＝1， FA＝2，∴点 F 的横坐标为1，∴点 C的坐标为（1，12），设直线 AB的分析式为： y＝ kx+b，则，解得，，∴直线 AB的分析式为： y＝2x﹣2，则点 D的坐标为：（1，0），即 CD＝12，∴△ ABC的面积＝× 12× 1+× 12× 2＝18；（ 3）不存在，原因以下：设点C的坐标为（ m，），∵BC＝AC，222+（2，∴ m+（+2）＝（ 3﹣m）﹣ 4）2整理得， 6m﹣ 21m+144＝ 0，△＝ 212﹣ 4× 6× 144＜0，则此方程无解，∴点 C不存在．15．如图，在平面直角坐标系第一象限中，已知点 A 坐标为（1，0），点 D坐标为（1， 3），点G 坐标为（ 1，1），动点E从点出发，以每秒 1 个单位长度的速度匀速向点D方向运G动，与此同时， x 轴上动点 B 从点 A出发，以同样的速度向右运动，两动点运动时间为t（ 0＜t＜ 2），以AD、AB分别为边作矩形ABCD，过点 E 作双曲线交线段BC于点 F，作 CD中点 M，连结 BE、 EF、 EM、 FM．（1）当t＝ 1 时，求点F的坐标．（2）若BE均分∠AEF，则t的值为多少？（3）若∠EMF为直角，则t的值为多少？解：（ 1）当t＝ 1 时，EG＝1×1＝1＝ AB∴点 E（1，2）设双曲线分析式：y＝∴ k＝1×2＝2∴双曲线分析式：y＝∵OB＝OA+AB＝2，∴当x＝2时，y＝1，∴点 F（2，1）（ 2）∵EG＝AB＝t，∴点 E（1，1+t ），点 B（1+t ，0）设双曲线分析式： y＝∴ m＝1+t∴双曲线分析式：y＝当 x＝1+t 时， y＝1∴点 F（1+t ，1）∵BE均分∠ AEF∴∠ AEB＝∠ BEF，∵AD∥BC∴∠ AEB＝∠ EBF＝∠ BEF∴EF＝BF＝1∴＝t ＝1∴t ＝（ 3）延伸EM，BC交于点N，∵EG＝AB＝ t ，∴点 E（1，1+t ），点 B（1+t ，0）∴DE＝AD﹣ AE＝3﹣（1+t ）＝2﹣ t ，设双曲线分析式： y＝∴n＝1+t∴双曲线分析式：y＝当 x＝1+t 时， y＝1∴点 F（1+t ，1）∵AD∥BC，∴∠ ADC＝∠ NCD，∠ DEM＝∠ MNC，且 DM＝ CM，∴△ DEM≌△ CNM（ AAS）∴EM＝MN， DE＝CN＝2﹣ t ，∵ CF＝BC﹣ BF＝2∴NF＝CF+CN＝2﹣ t +2＝4﹣ t ，∵∠ EMF为直角，∴∠ EMF＝∠ NMF＝90°，且 EM＝ MN， MF＝ MF，∴△ EMF≌△ NMF（ SAS），∴EF＝NF，∴t ＝4﹣ t∴ t ＝4﹣4。

2020-2021中考数学压轴题专题反比例函数的经典综合题及答案一、反比例函数1．如图，反比例函数y1= 的图象与一次函数y2= x的图象交于点A、B，点B的横坐标是4，点P（1，m）在反比例函数y1= 的图象上．（1）求反比例函数的表达式；（2）观察图象回答：当x为何范围时，y1＞y2；（3）求△PAB的面积．【答案】（1）解：把x=4代入y2= x，得到点B的坐标为（4，1），把点B（4，1）代入y1= ，得k=4．反比例函数的表达式为y1=（2）解：∵点A与点B关于原点对称，∴A的坐标为（﹣4，﹣1），观察图象得，当x＜﹣4或0＜x＜4时，y1＞y2（3）解：过点A作AR⊥y轴于R，过点P作PS⊥y轴于S，连接PO，设AP与y轴交于点C，如图，∵点A与点B关于原点对称，∴OA=OB，∴S△AOP=S△BOP，∴S△PAB=2S△AOP．y1= 中，当x=1时，y=4，∴P（1，4）．设直线AP的函数关系式为y=mx+n，把点A（﹣4，﹣1）、P（1，4）代入y=mx+n，则，解得．故直线AP的函数关系式为y=x+3，则点C的坐标（0，3），OC=3，∴S△AOP=S△AOC+S△POC= OC•AR+ OC•PS= ×3×4+ ×3×1= ，∴S△PAB=2S△AOP=15．【解析】【分析】（1）把x=4代入y2= x，得到点B的坐标，再把点B的坐标代入y1=，求出k的值，即可得到反比例函数的表达式；（2）观察图象可知，反比例函数的图象在一次函数图象上方的部分对应的自变量的取值范围就是不等式y1＞y2的解集；（3）过点A作AR⊥y轴于R，过点P作PS⊥y轴于S，连接PO，设AP与y轴交于点C，由点A与点B关于原点对称，得出OA=OB，那么S△AOP=S△BOP，S△PAB=2S△AOP．求出P点坐标，利用待定系数法求出直线AP的函数关系式，得到点C的坐标，根据S△AOP=S△AOC+S△POC求出S△AOP= ，则S△PAB=2S△AOP=15．2．已知反比例函数y= 的图象经过点A（﹣，1）．（1）试确定此反比例函数的解析式；（2）点O是坐标原点，将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB．判断点B是否在此反比例函数的图象上，并说明理由；（3）已知点P（m， m+6）也在此反比例函数的图象上（其中m＜0），过P点作x轴的垂线，交x轴于点M．若线段PM上存在一点Q，使得△OQM的面积是，设Q点的纵坐标为n，求n2﹣2 n+9的值．【答案】（1）解：由题意得1= ，解得k=﹣，∴反比例函数的解析式为y=﹣（2）解：过点A作x轴的垂线交x轴于点C．在Rt△AOC中，OC= ，AC=1，∴OA= =2，∠AOC=30°，∵将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB，∴∠AOB=30°，OB=OA=2，∴∠BOC=60°．过点B作x轴的垂线交x轴于点D．在Rt△BOD中，BD=OB•sin∠BOD= ，OD= OB=1，∴B点坐标为（﹣1，），将x=﹣1代入y=﹣中，得y= ，∴点B（﹣1，）在反比例函数y=﹣的图象上（3）解：由y=﹣得xy=﹣，∵点P（m， m+6）在反比例函数y=﹣的图象上，其中m＜0，∴m（ m+6）=﹣，∴m2+2 m+1=0，∵PQ⊥x轴，∴Q点的坐标为（m，n）．∵△OQM的面积是，∴OM•QM= ，∵m＜0，∴mn=﹣1，∴m2n2+2 mn2+n2=0，∴n2﹣2 n=﹣1，∴n2﹣2 n+9=8．【解析】【分析】（1）由于反比例函数y= 的图象经过点A（﹣，1），运用待定系数法即可求出此反比例函数的解析式；（2）首先由点A的坐标，可求出OA的长度，∠AOC的大小，然后根据旋转的性质得出∠AOB=30°，OB=OA，再求出点B的坐标，进而判断点B是否在此反比例函数的图象上；（3）把点P（m， m+6）代入反比例函数的解析式，得到关于m的一元二次方程；根据题意，可得Q点的坐标为（m，n），再由△OQM的面积是，根据三角形的面积公式及m＜0，得出mn的值，最后将所求的代数式变形，把mn的值代入，即可求出n2﹣2 n+9的值．3．如图，点P（x，y1）与Q（x，y2）分别是两个函数图象C1与C2上的任一点．当a≤x≤b 时，有﹣1≤y1﹣y2≤1成立，则称这两个函数在a≤x≤b上是“相邻函数”，否则称它们在a≤x≤b 上是“非相邻函数”．例如，点P（x，y1）与Q （x，y2）分别是两个函数y=3x+1与y=2x﹣1图象上的任一点，当﹣3≤x≤﹣1时，y1﹣y2=（3x+1）﹣（2x﹣1）=x+2，通过构造函数y=x+2并研究它在﹣3≤x≤﹣1上的性质，得到该函数值的范围是﹣1≤y≤1，所以﹣1≤y1﹣y2≤1成立，因此这两个函数在﹣3≤x≤﹣1上是“相邻函数”．（1）判断函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是否为“相邻函数”，并说明理由；（2）若函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”，求a的取值范围；（3）若函数y= 与y=﹣2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”，直接写出a的最大值与最小值．【答案】（1）解：是“相邻函数”，理由如下：y1﹣y2=（3x+2）﹣（2x+1）=x+1，构造函数y=x+1，∵y=x+1在﹣2≤x≤0，是随着x的增大而增大，∴当x=0时，函数有最大值1，当x=﹣2时，函数有最小值﹣1，即﹣1≤y≤1，∴﹣1≤y1﹣y2≤1，即函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是“相邻函数”（2）解：y1﹣y2=（x2﹣x）﹣（x﹣a）=x2﹣2x+a，构造函数y=x2﹣2x+a，∵y=x2﹣2x+a=（x﹣1）2+（a﹣1），∴顶点坐标为：（1，a﹣1），又∵抛物线y=x2﹣2x+a的开口向上，∴当x=1时，函数有最小值a﹣1，当x=0或x=2时，函数有最大值a，即a﹣1≤y≤a，∵函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”，∴﹣1≤y1﹣y2≤1，即，∴0≤a≤1（3）解：y1﹣y2= ﹣（﹣2x+4）= +2x﹣4，构造函数y= +2x﹣4，∵y= +2x﹣4∴当x=1时，函数有最小值a﹣2，当x=2时，函数有最大值，即a﹣2≤y≤ ，∵函数y= 与y=﹣2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”，∴﹣1≤y1﹣y2≤1，即，∴1≤a≤2；∴a的最大值是2，a的最小值1【解析】【分析】（1）y1﹣y2=（3x+2）﹣（2x+1）=x+1，构造函数y=x+1，因为y=x+1在﹣2≤x≤0，是随着x的增大而增大，所以当x=0时，函数有最大值1，当x=﹣2时，函数有最小值﹣1，即﹣1≤y≤1，所以﹣1≤y1﹣y2≤1，即函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是“相邻函数”；（2）y1﹣y2=（x2﹣x）﹣（x﹣a）=x2﹣2x+a，构造函数y=x2﹣2x+a，因为y=x2﹣2x+a=（x﹣1）2+（a﹣1），所以顶点坐标为：（1，a﹣1），又抛物线y=x2﹣2x+a的开口向上，所以当x=1时，函数有最小值a﹣1，当x=0或x=2时，函数有最大值a，即a﹣1≤y≤a，因为函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”，所以﹣1≤y1﹣y2≤1，即0≤a≤1；（3）当x=1时，函数有最小值a﹣2，当x=2时，函数有最大值，因为函数y=与y=﹣2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”，﹣1≤y1﹣y2≤1，即1≤a≤2，所以a的最大值是2，a 的最小值1.4．如图，已知A是双曲线y= （k＞0）在第一象限内的一点，O为坐标原点，直线OA交双曲线于另一点C，当OA在第一象限的角平分线上时，将OA向上平移个单位后，与双曲线在第一象限交于点M，交y轴于点N，若 =2，（1）求直线MN的解析式；（2）求k的值．【答案】（1）解：∵OA在第一象限的角平分线上，∴直线OA的解析式为y=x，∴将OA向上平移个单位后，N（0，），可设直线MN的解析式为y=x+b，把N（0，）代入，可得b= ，∴直线MN的解析式为y=x+（2）解：如图所示，过A作AB⊥y轴于B，过M作MD⊥y轴于D，则∠MDN=∠ABO=90°，由平移可得，∠MND=∠AOB=45°，∴△MDN∽△ABO，∴ = =2，设A（a，a），则AB=a，∴MD= a=DN，∴DO= a+ ，∴M（ a， a+ ），∵双曲线经过点A，M，∴k=a×a= a×（ a+ ），解得a=1，∴k=1．【解析】【分析】（1）第一三象限角平分线为y=x,向上平移为y=x+b,可求出N点坐标，代入y=x+b，即可求出;（2）通过作垂线构造相似三角形，即△MDN∽△ABO，把A、M坐标代入解析式即可求出a,进而求出k.5．如图，正比例函数和反比例函数的图象都经过点A（3，3），把直线OA向下平移后，与反比例函数的图象交于点B（6，m），与x轴、y轴分别交于C、D两点．（1）求m的值；（2）求过A、B、D三点的抛物线的解析式；（3）若点E是抛物线上的一个动点，是否存在点E，使四边形OECD的面积S1，是四边形OACD面积S的？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：∵反比例函数的图象都经过点A（3，3），∴经过点A的反比例函数解析式为：y= ，而直线OA向下平移后，与反比例函数的图象交于点B（6，m），∴m=（2）解：∵直线OA向下平移后，与反比例函数的图象交于点B（6，），与x轴、y轴分别交于C、D两点，而这些OA的解析式为y=x，设直线CD的解析式为y=x+b代入B的坐标得： =6+b，∴b=﹣4.5，∴直线OC的解析式为y=x﹣4.5，∴C、D的坐标分别为（4.5，0），（0，﹣4.5），设过A、B、D三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，分别把A、B、D的坐标代入其中得：解之得：a=﹣0.5，b=4，c=﹣4.5∴y=﹣0.5x2+4x﹣4.5（3）解：如图，设E的横坐标为x，∴其纵坐标为﹣0.5x2+4x﹣4.5，∴S1= （﹣0.5x2+4x﹣4.5+OD）×OC，= （﹣0.5x2+4x﹣4.5+4.5）×4.5，= （﹣0.5x2+4x）×4.5，而S= （3+OD）×OC= （3+4.5）×4.5= ，∴（﹣0.5x2+4x）×4.5= ，解之得x=4± ，∴这样的E点存在，坐标为（4﹣，0.5），（4+ ，0.5）．【解析】【分析】（1）先根据点A的坐标求得反比例函数的解析式，又点B在反比例函数图像上，代入即可求得m的值；（2）先根据点A的坐标求得直线OA的解析式，再结合点B的坐标求得直线CD的解析式，从而可求得点C、D的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；（3）先设出抛物线上E点的坐标，从而表示出面积S1，再求得面积S 的值，令其相等可得到关于x的二元一次方程，方程有解则点E存在，并可求得点E的坐标.6．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C，D两点，坐标轴交于A、B两点，连结OC，OD（O是坐标原点）.（1）利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值；（2）求△DOC的面积.（3）双曲线上是否存在一点P，使得△POC和△POD的面积相等？若存在，给出证明并求出点P的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）解：将C(1，4)代入反比例函数解析式可得：k=4，则反比例函数解析式为：，将D(4，m)代入反比例函数解析式可得：m=1（2）解：根据点C和点D的坐标得出一次函数的解析式为：y=－x+5则点A的坐标为(0，5)，点B的坐标为(5，0)∴S△DOC=5×5÷2－5×1÷2－5×1÷2=7.5（3）解：双曲线上存在点P(2,2),使得S△POC=S△POD，理由如下：∵C点坐标为：(1,4),D点坐标为：(4,1)，∴OD=OC=，∴当点P在∠COD的平分线上时，∠COP=∠POD，又OP=OP，∴△POC≌△POD，∴S△POC=S△POD.∵C点坐标为：(1,4),D点坐标为：(4,1)，可得∠COB=∠DOA，又∵这个点是∠COD的平分线与双曲线的y=交点，∴∠BOP=∠POA，∴P点横纵坐标坐标相等，即xy=4，x2=4，∴x=±2，∵x>0，∴x=2，y=2，故P点坐标为(2,2)，使得△POC和△POD的面积相等利用点CD关于直线y=x对称,P(2,2)或P(−2,−2).答：存在，P(2，2)或P(-2，-2)【解析】【分析】（1）观察图像，根据点C的坐标可求出函数解析式及m的值。

决战2020中考数学压轴题综合提升训练：《反比例函数》1．如图，反比例函数y1＝和一次函数y2＝mx+n相交于点A（1，3），B（﹣3，a），（1）求一次函数和反比例函数解析式；（2）连接OA，试问在x轴上是否存在点P，使得△OAP为以OA为腰的等腰三角形，若存在，直接写出满足题意的点P的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）∵点A（1，3）在反比例函数y1＝的图象上，∴k＝1×3＝3，∴反比例函数的解析式为y1＝，∵点B（﹣3，a）在反比例函数y1＝的图象上，∴﹣3a＝3，∴a＝﹣1，∴B（﹣3，﹣1），∵点A（1，3），B（﹣3，﹣1）在一次函数y2＝mx+n的图象上，∴，∴，∴一次函数的解析式为y2＝x+2；（2）如图，∵△OAP为以OA为腰的等腰三角形，∴①当OA＝OP时，∵A（1，3），∴OA＝，∵OP＝，∵点P在x轴上，∴P（﹣，0）或（，0），②当OA＝AP时，则点A是线段OP的垂直平分线上，∵A（1，3），∴P（2，0），即：在x轴上存在点P，使得△OAP为以OA为腰的等腰三角形，此时，点P的坐标为（﹣，0）或（2，0）或（，0）．2．在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象G经过点A（3，2），直线l：y ＝kx﹣1（k≠0）与y轴交于点B，与图象G交于点C．（1）求m的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A，C之间的部分与线段BA，BC围成的区域（不含边界）为W．①当直线l过点（2，0）时，直接写出区域W内的整点个数；②若区域W内的整点不少于4个，结合函数图象，求k的取值范围．解：（1）把A（3，2）代入y＝得m＝3×2＝6，（2）①当直线l过点（2，0）时，直线解析式为y＝x﹣1，解方程＝x﹣1得x 1＝1﹣（舍去），x2＝1+，则C（1+，），而B（0，﹣1），如图1所示，区域W内的整点有（3，1）一个；②如图2，直线l在AB的下方时，直线l：y＝kx﹣1过（6，1）时，1＝6k﹣1，解得k ＝，当直线在OA的上方时，直线经过（1，4）时，4＝k﹣1，解得k＝5，观察图象可知：当k≤或k≥5时，区域W内的整点不少于4个．3．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（6，0），B（4，3），C（0，3）．动点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿边OA向终点A运动；动点Q从点B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿边BC向终点C运动，设运动的时间为t秒，PQ2＝y．（1）直接写出y关于t的函数解析式及t的取值范围：；（2）当PQ＝时，求t的值；（3）连接OB交PQ于点D，若双曲线y＝经过点D，问k的值是否变化？若不变化，请求出k的值；若变化，请说明理由．解：（1）过点P作PE⊥BC于点E，如图1所示．当运动时间为t秒时（0≤t≤4）时，点P的坐标为（t，0），点Q的坐标为（4﹣t，3），∴PE＝3，EQ＝|4﹣t﹣t|＝|4﹣t|，∴PQ2＝PE2+EQ2＝32+|4﹣t|2＝t2﹣20t+25，∴y关于t的函数解析式及t的取值范围：；故答案为：．（2）当时，整理，得5t2﹣16t+12＝0，解得：t1＝2，．（3）经过点D的双曲线的k值不变．连接OB，交PQ于点D，过点D作DF⊥OA于点F，如图2所示．∵OC＝3，BC＝4，∴．∵BQ∥OP，∴△BDQ∽△ODP，∴，∴OD＝3．∵CB∥OA，∴∠DOF＝∠OBC．在Rt△OBC中，，，∴，，∴点D的坐标为，∴经过点D的双曲线的k值为．4．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（﹣3，m+8），B （n，﹣6）两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）若P（x1，y1），Q（x2，y2）是该反比例函数图象上的两点，且当x1＜x2时，y1＞y2，指出点P、Q各位于哪个象限？解：（1）将A（﹣3，m+8）代入反比例函数y＝得﹣3（m+8）＝m，解得m＝﹣6，∴点A的坐标为（﹣3，2），反比例函数解析式为y＝﹣，将点B（n，﹣6）代入y＝﹣得﹣6n＝﹣6，解得n＝1，∴点B的坐标为（1，﹣6），将点A（﹣3，2），B（1，﹣6）代入y＝kx+b得，解得，∴一次函数解析式为y＝﹣2x﹣4；（2）设AB与x轴相交于点C，如图，当﹣2x﹣4＝0，解得x＝﹣2，则点C的坐标为（﹣2，0），∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC，＝×2×2+×2×6，＝2+6，＝8；（3）∵当x1＜x2时，y1＞y2，∴点P和点Q不在同一象限，∴P在第二象限，Q在第四象限．5．如图，平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣1的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y＝的图象交于点C，D，CE⊥x轴于点E，＝．（1）求反比例函数的表达式与点D的坐标；（2）以CE为边作▱ECMN，点M在一次函数y＝x﹣1的图象上，设点M的横坐标为a，当边MN与反比例函数y＝的图象有公共点时，求a的取值范围．解：（1）由题意A（1，0），B（0，﹣1），∴OA＝OB＝1，∴∠OAB＝∠CAE＝45°∵AE＝3OA，∴AE＝3，∵EC⊥x轴，∴∠AEC＝90°，∴∠EAC＝∠ACE＝45°，∴EC＝AE＝3，∴C（4，3），∵反比例函数y＝经过点C（4，3），∴k＝12，由，解得或，∴D（﹣3，﹣4）．（2）如图，设M（a，a﹣1）．当点N在反比例函数的图象上时，N（a，），∵四边形ECMN是平行四边形，∴MN＝EC＝3，∴|a﹣1﹣|＝3，解得a＝6或﹣2或﹣1±（舍弃），∴M（6，5）或（﹣2，﹣3），观察图象可知：当边MN与反比例函数y＝的图象有公共点时4＜a≤6或﹣3≤a≤﹣2．6．如图，一次函数y＝kx+2的图象与y轴交于点A，正方形ABCD的顶点B在x轴上，点D在直线y＝kx+2上，且AO＝OB，反比例函数y＝（x＞0）经过点C．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）点P是x轴上一动点，当△PCD的周长最小时，求出P点的坐标；（3）在（2）的条件下，以点C、D、P为顶点作平行四边形，直接写出第四个顶点M 的坐标．解：（1）设一次函数y＝kx+2的图象与x轴交于点E，连接BD，如图1所示．当x＝0时，y＝kx+2＝2，∴OA＝2．∵四边形ABCD为正方形，OA＝OB，∴∠BAE＝90°，∠OAB＝∠OBA＝45°，∴∠OAE＝∠OEA＝45°，∴OE＝2，点E的坐标为（﹣2，0）．将E（﹣2，0）代入y＝kx+2，得：﹣2k+2＝0，解得：k＝1，∴一次函数的解析式为y＝x+2．∵∠OBD＝∠ABD+∠OBA＝90°，∴BD∥OA．∵OE＝OB＝2，∴BD＝2OA＝4，∴点D的坐标为（2，4）．∵四边形ABCD为正方形，∴点C的坐标为（2+2﹣0，0+4﹣2），即（4，2）．∵反比例函数y＝（x＞0）经过点C，∴n＝4×2＝8，∴反比例函数解析式为y＝．（2）作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时△PCD的周长取最小值，如图2所示．∵点D的坐标为（2，4），∴点D′的坐标为（2，﹣4）．设直线CD′的解析式为y＝ax+b（a≠0），将C（4，2），D′（2，﹣4）代入y＝ax+b，得：，解得：，∴直线CD′的解析式为y＝3x﹣10．当y＝0时，3x﹣10＝0，解得：x＝，∴当△PCD的周长最小时，P点的坐标为（，0）．（3）设点M的坐标为（x，y），分三种情况考虑，如图3所示．①当DP为对角线时，，解得：，∴点M1的坐标为（，2）；②当CD为对角线时，，解得：，∴点M2的坐标为（，6）；③当CP为对角线时，，解得：，∴点M3的坐标为（，﹣2）．综上所述：以点C、D、P为顶点作平行四边形，第四个顶点M的坐标为（，2），（，6）或（，﹣2）．7．如图在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x﹣4的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（1，n），B（m，2）（1）求反比例函数关系式及m的值；（2）若x轴正半轴上有一点M满足△MAB的面积为16，求点M的坐标；（3）根据函数图象直接写出关于x的不等式在＜﹣2x﹣4的解集解：（1）∵一次函数y＝﹣2x﹣4的图象过点A（1，n），B（m，2）∴n＝﹣2﹣4，2＝﹣2m﹣4∴n＝﹣6，m＝﹣3，∴A（1，﹣6）把A（1，﹣6）代入y＝得，k＝﹣6，∴反比例函数关系式为y＝﹣；（2）设直线AB与x轴交于N点，则N（﹣2，0），设M（m，0），m＞0，∵S△MAB＝S△BMN+S△AMN，△MAB的面积为16，∴|m+2|×（2+6）＝16，解得m＝2或﹣6（不合题意舍去），∴M（2，0）；（3）由图象可知：不等式在＜﹣2x﹣4的解集是x＜﹣3或0＜x＜1．8．如图，在平面直角坐标系中，点A（3，5）与点C关于原点O对称，分别过点A、C 作y轴的平行线，与反比例函数的图象交于点B、D，连结AD、BC，AD与x轴交于点E（﹣2，0）．（1）求直线AD对应的函数关系式；（2）求k的值；（3）直接写出阴影部分图形的面积之和．解：（1）设直线AD对应的函数关系式为y＝ax+b．∵直线AD过点A（3，5），E（﹣2，0），∴解得∴直线AD的解析式为y＝x+2．（2）∵点A（3，5）关于原点O的对称点为点C，∴点C的坐标为（﹣3，﹣5），∵CD∥y轴，∴设点D的坐标为（﹣3，a），∴a＝﹣3+2＝﹣1，∴点D的坐标为（﹣3，﹣1），∵反比例函数y＝的图象经过点D，∴k＝﹣3×（﹣1）＝3；（3）如图：∵点A和点C关于原点对称，∴阴影部分的面积等于平行四边形CDGF的面积，∴S阴影＝4×3＝12．9．如图，一次函数y＝kx+b的图象分别与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点A（4，3），与y轴的负半轴交于点B，且OA＝OB．（1）求函数y＝kx+b和y＝的表达式；（2）已知点C（0，8），试在该一次函数图象上确定一点M，使得MB＝MC，求此时点M的坐标．解：（1）把点A（4，3）代入函数得：a＝3×4＝12，∴y＝，OA＝5，∵OA＝OB，∴OB＝5，∴点B的坐标为（0，﹣5），把B（0，﹣5），A（4，3）代入y＝kx+b得：∴y＝2x﹣5；（2）作MD⊥y轴．∵点M在一次函数y＝2x﹣5上，∴设点M的坐标为（x，2x﹣5）．∵MB＝MC，∴CD＝BD，∴x2+（8﹣2x+5）2＝x2+（﹣5﹣2x+5）2∴8﹣（2x﹣5）＝2x﹣5+5解得：x＝∴2x﹣5＝，∴点M的坐标为（，）．10．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B在反比例函数y＝（k≠0）的第一象限内的图象上，OA＝3，OC＝5，动点P在x轴的上方，且满足S△＝S矩形OABC．PAO（1）若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；（2）连接PO、PA，求PO+PA的最小值；（3）若点Q是平面内一点，使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，则请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标．解：（1）由题意，可知：点B的坐标为（3，5）．∵点B在反比例函数y＝（k≠0）的第一象限内的图象上，∴k＝3×5＝15，∴反比例函数的解析式为y＝．∵S△PAO＝S矩形OABC，∴×3×y P＝×3×5，∴y P＝3．当y＝3时，＝3，解得：x＝5，∴当点P在这个反比例函数的图象上时，点P的坐标为（5，3）．（2）由（1）可知：点P在直线y＝3上，作点O关于直线y＝3的对称点O′，连接AO′交直线y＝3于点P，此时PO+PA取得最小值，如图1所示．∵点O的坐标为（0，0），∴点O′的坐标为（0，6）．∵点A的坐标为（3，0），∴AO′＝＝3，∴PO+PA的最小值为3．（3）∵AB∥y轴，AB＝5，点P的纵坐标为3，∴AB不能为对角线，只能为边．设点P的坐标为（m，3），分两种情况考虑，如图2所示：①当点Q在点P的上方时，AP＝AB＝5，即（m﹣3）2+（3﹣0）2＝25，解得：m1＝﹣1，m2＝7，∴点P1的坐标为（﹣1，3），点P2的坐标为（7，3）．又∵PQ＝5，且PQ∥AB∥y轴，∴点Q1的坐标为（﹣1，8），点Q2的坐标为（7，8）；②当点Q在点P的下方时，BP＝AB＝5，即（m﹣3）2+（3﹣5）2＝25，解得：m3＝3﹣，m4＝3+，同理，可得出：点Q3的坐标为（3﹣，﹣2），点Q4的坐标为（3+，﹣2）．综上所述：当以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形时，点Q的坐标为（﹣1，8），（7，8），（3﹣，﹣2）或（3+，﹣2）．11．如图，已知C，D是反比例函数y＝图象在第一象限内的分支上的两点，直线CD分别交x轴、y轴于A，B两点，设C，D的坐标分别是（x1，y1）、（x2，y2），且x1＜x2，连接OC、OD．（1）若x1+y1＝x2+y2，求证：OC＝OD；（2）tan∠BOC＝，OC＝，求点C的坐标；（3）在（2）的条件下，若∠BOC＝∠AOD，求直线CD的解析式．（1）证明：∵C，D是反比例函数y＝图象在第一象限内的分支上的两点，∴y1＝，y2＝．∵x1+y1＝x2+y2，即x1+＝x2+，∴x1﹣x2＝．又∵x1＜x2，∴＝1，∴＝x2＝y1，＝x1＝y2．∴OC＝＝，OD＝＝，∴OC＝OD．（2）解：∵tan∠BOC＝，∴＝．又∵OC＝，∴+＝10，∴x1＝1，y1＝3或x1＝﹣1，y1＝﹣3．∵点C在第一象限，∴点C的坐标为（1，3）．（3）解：∵∠BOC＝∠AOD，∴tan∠AOD＝，∴＝．∵点C（1，3）在反比例函数y＝的图象上，∴m＝1×3＝3，∴x2•y2＝3，∴x2＝3，y2＝1或x2＝﹣3，y2＝﹣1．∵点D在第一象限，∴点D的坐标为（3，1）．设直线CD的解析式为y＝kx+b（k≠0），将C（1，3），D（3，1）代入y＝kx+b，得：，解得：，∴直线CD的解析式为y＝﹣x+4．12．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴、y轴上，D是对角线的交点，若反比例函数y＝的图象经过点D，且与矩形OABC的两边AB，BC分别交于点E，F．（1）若D的坐标为（4，2）①则OA的长是8 ，AB的长是 4 ；②请判断EF是否与AC平行，井说明理由；③在x轴上是否存在一点P．使PD+PE的值最小，若存在，请求出点P的坐标及此时PD+PE的长；若不存在．请说明理由．（2）若点D的坐标为（m，n），且m＞0，n＞0，求的值．解：（1）①∵点D的坐标为（4，2），∴点B的坐标为（8，4），∴OA＝8，AB＝4．故答案为：8；4．②EF∥AC，理由如下：∵反比例函数y＝的图象经过点D（4，2），∴k＝4×2＝8．∵点B的坐标为（8，4），BC∥x轴，AB∥y轴，∴点F的坐标为（2，4），点E的坐标为（8，1），∴BF＝6，BE＝3，∴＝，＝，∴＝．∵∠ABC＝∠EBF，∴△ABC∽△EBF，∴∠BCA＝∠BFE，∴EF∥AC．③作点E关于x轴对称的点E′，连接DE′交x轴于点P，此时PD+PE的值最小，如图所示．∵点E的坐标为（8，1），∴点E′的坐标为（8，﹣1），∴DE′＝＝5．设直线DE′的解析式为y＝ax+b（a≠0），将D（4，2），E′（8，﹣1）代入y＝ax+b，得：，解得：，∴直线DE′的解析式为y＝﹣x+5．当y＝0时，﹣x+5＝0，解得：x＝，∴当点P的坐标为（，0）时，PD+PE的值最小，最小值为5．（2）∵点D的坐标为（m，n），∴点B的坐标为（2m，2n）．∵反比例函数y＝的图象经过点D（m，n），∴k＝mn，∴点F的坐标为（m，2n），点E的坐标为（2m，n），∴BF＝m，BE＝n，∴＝，＝，∴＝．又∵∠ABC＝∠EBF，∴△ABC∽△EBF，∴＝＝．13．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象交于A （﹣3，1），B（1，n）两点．（1）求反比例函数和一次函数解析式；（2）结合图象直接写出不等式﹣kx﹣b＞0的解．解：（1）∵点A（﹣3，1）在反比例函数y＝（m≠0）的图象上，∴m＝（﹣3）×1＝﹣3，∴反比例函数的表达式为y＝﹣，∵点B（1，n）也在反比例函数y＝﹣的图象上，∴n＝﹣＝﹣3，即B（1，﹣3），把点A（﹣3，1），点B（1，﹣3）代入一次函数y＝kx+b中，得，解得，∴一次函数的表达式为y＝﹣x﹣2；（2）如图所示，当＞kx+b时，x的取值范围是﹣3＜x＜0或x＞1，所以不等式﹣kx﹣b＞0的解是：﹣3＜x＜0或x＞1．14．如图，在平面直角坐标系xOy内，函数y＝的图象与反比例函数y＝（k≠0）图象有公共点A，点A的坐标为（8，a），AB⊥x轴，垂足为点B．（1）求反比例函数的解析式；（2）点P在线段OB上，若AP＝BP+2，求线段OP的长；（3）点D为射线OA上一点，在（2）的条件下，若S△ODP＝S△ABO，求点D的坐标．解：（1）∵函数y＝的图象过点A（8，a），∴a＝×8＝4，∴点A的坐标为（8，4），∵反比例函数y＝（k≠0）图象过点A（8，4），∴4＝，得k＝32，∴反比例函数的解析式为y＝；（2）设BP＝b，则AP＝b+2，∵点A（8，4），AB⊥x轴于点B，∴AB＝4，∠ABP＝90°，∴b2+42＝（b+2）2，解得，b＝3，∴OP＝8﹣3＝5，即线段OP的长是5；（3）设点D的坐标为（d，d），∵点A（8，4），点B（8，0），点P（5，0），S△ODP＝S△ABO，∴，解得，d＝，∴d＝，∴点D的坐标为（，）．15．阅读理解：如图（1），在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标是（1，2），点B的坐标是（3，4），过点A、点B作平行于x轴、y轴的直线相交于点C，得到Rt△ABC，由勾股定理可得，线段AB＝＝．得出结论：（1）若A点的坐标为（x1，y1），B点的坐标为（x2，y2）请你直接用A、B两点的坐标表示A、B两点间的距离；应用结论：（2）若点P在y轴上运动，试求当PA＝PB时，点P的坐标．（3）如图（2）若双曲线L1：y＝（x＞0）经过A（1，2）点，将线段OA绕点O旋转，使点A恰好落在双曲线L2：y＝﹣（x＞0）上的点D处，试求A、D两点间的距离．解：（1）∵A点的坐标为（x1，y1），B点的坐标为（x2，y2），∴根据两点间的距离公式得，AB＝；（2）设点P（0，a），∵A的坐标是（1，2），点B的坐标是（3，4），∵PA＝，PB＝，∵PA＝PB，∴＝，∴a＝5，∴P（0，5）；（3）∵双曲线L1：y＝（x＞0）经过A（1，2）点，∴OA＝，k＝1×2＝2，∴双曲线L1：y＝（x＞0），双曲线L2：y＝﹣（x＞0），设点D坐标为（m，﹣）（m＞0），∴OD＝，由旋转知，OA＝OD，∴＝，∴m＝±1或m＝±2，∵m＞0，∴m＝1或m＝2，∴D（1，﹣2）或（2，﹣1）．∵A（1，2），∴AD＝4或．。

2020年中考数学选择填空压轴题汇编：反比例函数图像综合1.（2020湖北孝感）如图，已知菱形ABCD的对角线相交于坐标原点O，四个顶点分别在双曲线y和y（k＜0）上，，平行于x轴的直线与两双曲线分别交于点E，F，连接OE，OF，则△OEF的面积为．【解答】解：作AM⊥x轴于M，DN⊥x轴于N，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOM+∠DON＝∠ODN+DON＝90°，∴∠AOM＝∠ODN，∵∠AMO＝∠OND＝90°，∴△AOM∽△ODN，∴（）2，∵A点在双曲线y，，∴S△AOM4＝2，，∴（）2，∴S△ODN，∵D点在双曲线y（k＜0）上，∴|k|，∴k＝﹣9，∵平行于x轴的直线与两双曲线分别交于点E，F，∴S△OEF，故答案为．2.（2020湖南郴州）在平面直角坐标系中，点A是双曲线y1（x＞0）上任意一点，连接AO，过点O作AO的垂线与双曲线y2（x＜0）交于点B，连接AB，已知2，则（）A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2【解答】解：作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，∵点A是双曲线y1（x＞0）上的点，点B是双曲线y2（x＜0）上的点，∴S△AOD|k1|k1，S△BOE|k2|k2，∵∠AOB＝90°，∴∠BOE+∠AOD＝90°，∵∠AOD+∠OAD＝90°，∴∠BOE＝∠OAD，∠BEO＝∠OAD＝90°，∴△BOE∽△OAD，∴（）2，∴22，∴4，故选：B．3.（2020江苏常州）如图，点D是▱OABC内一点，CD与x轴平行，BD与y轴平行，BD，∠ADB＝135°，S△ABD＝2．若反比例函数y（x＞0）的图象经过A、D两点，则k的值是（）A．2B．4 C．3D．6【解答】解：作AM⊥y轴于M，延长BD，交AM于E，设BC与y轴的交点为N，∵四边形OABC是平行四边形，∴OA∥BC，OA＝BC，∴∠AOM＝∠CNM，∵BD∥y轴，∴∠CBD＝∠CNM，∴∠AOM＝∠CBD，∵CD与x轴平行，BD与y轴平行，∴∠CDB＝90°，BE⊥AM，∴∠CDB＝∠AMO，∴△AOM≌△CBD（AAS），∴OM＝BD，∵S△ABD2，BD，∴AE＝2，∵∠ADB＝135°，∴∠ADE＝45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE＝AE＝2，∴D的纵坐标为3，设A（m，），则D（m﹣2，3），∵反比例函数y（x＞0）的图象经过A、D两点，∴k m＝（m﹣2）×3，解得m＝3，∴k m＝6．故选：D．4.（2020江苏淮安）如图，等腰△ABC的两个顶点A（﹣1，﹣4）、B（﹣4，﹣1）在反比例函数y（x＜0）的图象上，AC＝BC．过点C作边AB的垂线交反比例函数y（x＜0）的图象于点D，动点P从点D 出发，沿射线CD方向运动3个单位长度，到达反比例函数y（x＞0）图象上一点，则k2＝ 1 ．【解答】解：把A（﹣1，﹣4）代入y中得，k1＝4，∴反比例函数y为，∵A（﹣1，﹣4）、B（﹣4，﹣1），∴AB的垂直平分线为y＝x，联立方程驵，解得，或，∵AC＝BC，CD⊥AB，∴CD是AB的垂直平分线，∵CD与反比例函数y（x＜0）的图象于点D，∴D（﹣2，﹣2），∵动点P从点D出发，沿射线CD方向运动3个单位长度，到达反比例函数y（x＞0）图象上一点，∴设移动后的点P的坐标为（m，m）（m＞﹣2），则，∴x＝1，∴P（1，1），把P（1，1）代入y（x＞0）中，得k2＝1，故答案为：1．5．（2020江苏苏州）如图，平行四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点D（3，2）在对角线OB上，反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象经过C、D两点．已知平行四边形OABC的面积是，则点B的坐标为（）A．（4，）B．（，3）C．（5，）D．（，）【解答】解：∵反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象经过点D（3，2），∴2，∴k＝6，∴反比例函数y，设OB的解析式为y＝mx+b，∵OB经过点O（0，0）、D（3，2），∴，解得：，∴OB的解析式为y x，∵反比例函数y经过点C，∴设C（a，），且a＞0，∵四边形OABC是平行四边形，∴BC∥OA，S平行四边形OABC＝2S△OBC，∴点B的纵坐标为，∵OB的解析式为y x，∴B（，），∴BC a，∴S△OBC（a），∴2（a），解得：a＝2，∴B（，3），故选：B．6.（2020江苏徐州）如图，在平面直角坐标系中，函数y（x＞0）与y＝x﹣1的图象交于点P（a，b），则代数式的值为（）A．B．C．D．【解答】解：法一：由题意得，，解得，或（舍去），∴点P（，），即：a，b，∴；法二：由题意得，函数y（x＞0）与y＝x﹣1的图象交于点P（a，b），∴ab＝4，b＝a﹣1，∴；故选：C．7.（2020江苏盐城）如图，已知点A（5，2）、B（5，4）、C（8，1）．直线l⊥x轴，垂足为点M（m，0）．其中m，若△A′B′C′与△ABC关于直线l对称，且△A′B′C′有两个顶点在函数y（k≠0）的图象上，则k的值为﹣6或﹣4 ．【解答】解：∵点A（5，2）、B（5，4）、C（8，1），直线l⊥x轴，垂足为点M（m，0）．其中m，△A′B′C′与△ABC关于直线l对称，∴A′（2m﹣5，2），B′（2m﹣5，4），C′（2m﹣8，1），∵A′、B′的横坐标相同，∴在函数y（k≠0）的图象上的两点为，A′、C′或B′、C′，当A′、C′在函数y（k≠0）的图象上时，则k＝2（2m﹣5）＝2m﹣8，解得m＝1，∴k＝﹣6；当B′、C′在函数y（k≠0）的图象上时，则k＝4（2m﹣5）＝2m﹣8，解得m＝2，∴k＝﹣4，综上，k的值为﹣6或﹣4，故答案为﹣6或﹣4．8.（2020辽宁辽阳）如图，在△ABC中，AB＝AC，点A在反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象上，点B，C在x轴上，OC OB，延长AC交y轴于点D，连接BD，若△BCD的面积等于1，则k的值为 3 ．【解答】解：作AE⊥BC于E，连接OA，∵AB＝AC，∴CE＝BE，∵OC OB，∴OC CE，∵AE∥OD，∴△COD∽△CEA，∴（）2＝4，∵△BCD的面积等于1，OC OB，∴S△COD S△BCD，∴S△CEA＝41，∵OC CE，∴S△AOC S△CEA，∴S△AOE1，∵S△AOE k（k＞0），∴k＝3，故答案为3．9.（2020辽宁营口）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的边OA在x轴正半轴上，其中∠OAB＝90°，AO＝AB，点C为斜边OB的中点，反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象过点C且交线段AB于点D，连接CD，OD，若S△OCD，则k的值为（）A．3 B．C．2 D．1 【解答】解：根据题意设B（m，m），则A（m，0），∵点C为斜边OB的中点，∴C（，），∵反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象过点C，∴k•，∵∠OAB＝90°，∴D的横坐标为m，∵反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象过点D，∴D的纵坐标为，作CE⊥x轴于E，∵S△COD＝S△COE+S梯形ADCE﹣S△AOD＝S梯形ADCE，S△OCD，∴（AD+CE）•AE，即（）•（m m），∴1，∴k2，故选：C．10．（2020四川乐山）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x与双曲线y交于A、B两点，P是以点C （2，2）为圆心，半径长1的圆上一动点，连结AP，Q为AP的中点．若线段OQ长度的最大值为2，则k 的值为（）A．B．C．﹣2 D．【解答】解：点O是AB的中点，则OQ是△ABP的中位线，当B、C、P三点共线时，PB最大，则OQ BP最大，而OQ的最大值为2，故BP的最大值为4，则BC＝BP﹣PC＝4﹣1＝3，设点B（m，﹣m），则（m﹣2）2+（﹣m﹣2）2＝32，解得：m2，∴k＝m（﹣m），故选：A．11．（2020四川凉山州）如图，矩形OABC的面积为，对角线OB与双曲线y（k＞0，x＞0）相交于点D，且OB：OD＝5：3，则k的值为12 ．【解答】解：设D的坐标是（3m，3n），则B的坐标是（5m，5n）．∵矩形OABC的面积为，∴5m•5n，∴mn．把D的坐标代入函数解析式得：3n，∴k＝9mn＝912．故答案为12．12．（2020浙江湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，Rt△OAB的直角顶点B在x轴的正半轴上，点A在第一象限，反比例函数y（x＞0）的图象经过OA的中点C．交AB于点D，连结CD．若△ACD的面积是2，则k的值是．【解答】解：连接OD，过C作CE∥AB，交x轴于E，∵∠ABO＝90°，反比例函数y（x＞0）的图象经过OA的中点C，∴S△COE＝S△BOD，S△ACD＝S△OCD＝2，∵CE∥AB，∴△OCE∽△OAB，∴，∴4S△OCE＝S△OAB，∴4k＝2+2k，∴k，故答案为：．13．（2020浙江宁波）如图，经过原点O的直线与反比例函数y（a＞0）的图象交于A，D两点（点A在第一象限），点B，C，E在反比例函数y（b＜0）的图象上，AB∥y轴，AE∥CD∥x轴，五边形ABCDE 的面积为56，四边形ABCD的面积为32，则a﹣b的值为24 ，的值为．【解答】解：如图，连接AC，OE，OC，OB，延长AB交DC的延长线于T，设AB交x轴于K．由题意A，D关于原点对称，∴A，D的纵坐标的绝对值相等，∵AE∥CD，∴E，C的纵坐标的绝对值相等，∵E，C在反比例函数y的图象上，∴E，C关于原点对称，∴E，O，C共线，∵OE＝OC，OA＝OD，∴四边形ACDE是平行四边形，∴S△ADE＝S△ADC＝S五边形ABCDE﹣S四边形ABCD＝56﹣32＝24，∴S△AOE＝S△DEO＝12，∴a b＝12，∴a﹣b＝24，∵S△AOC＝S△AOB＝12，∴BC∥AD，∴，∵S△ACB＝32﹣24＝8，∴S△ADC：S△ABC＝24：8＝1：3，∴BC：AD＝1：3，∴TB：TA＝1：3，设BT＝a，则AT＝3a，AK＝TK＝1.5k，BK＝0.5k，∴AK：BK＝3：1，∴，∴．故答案为24，．14．（2020重庆A卷）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AE．若AD平分∠OAE，反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象经过AE上的两点A，F，且AF＝EF，△ABE的面积为18，则k的值为（）A．6 B．12 C．18 D．24【解答】解：如图，连接BD，OF，过点A作AN⊥OE于N，过点F作FM⊥OE于M．∵AN∥FM，AF＝FE，∴MN＝ME，∴FM AN，∵A，F在反比例函数的图象上，∴S△AON＝S△FOM，∴•ON•AN•OM•FM，∴ON OM，∴ON＝MN＝EM，∴ME OE，∴S△FME S△FOE，∵AD平分∠OAE，∴∠OAD＝∠EAD，∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA＝∠DAE，∴AE∥BD，∴S△ABE＝S△AOE，∴S△AOE＝18，∵AF＝EF，∴S△EOF S△AOE＝9，∴S△FME S△EOF＝3，∴S△FOM＝S△FOE﹣S△FME＝9﹣3＝6，∴k＝12．故选：B．15．（2020重庆B卷）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D（﹣2，3），AD＝5，若反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象经过点B，则k的值为（）A．B．8 C．10 D．【解答】解：过D作DE⊥x轴于E，过B作BF⊥x轴，BH⊥y轴，∴∠BHC＝90°，∵点D（﹣2，3），AD＝5，∴DE＝3，∴AE4，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∴∠BCD＝∠ADC＝90°，∴∠DCP+∠BCH＝∠BCH+∠CBH＝90°，∴∠CBH＝∠DCH，∵∠DCG+∠CPD＝∠APO+∠DAE＝90°，∠CPD＝∠APO，∴∠DCP＝∠DAE，∴∠CBH＝∠DAE，∵∠AED＝∠BHC＝90°，∴△ADE≌△BCH（AAS），∴BH＝AE＝4，∵OE＝2，∴OA＝2，∴AF＝2，∵∠APO+∠PAO＝∠BAF+∠PAO＝90°，∴∠APO＝∠BAF，∴△APO∽△BAF，∴，∴，∴BF，∴B（4，），∴k，故选：D．。

2020年中考数学压轴题训练：《反比例函数》1．如图，A为反比例函数y＝（其中x＞0）图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，OB＝4．连接OA、AB，且OA＝AB＝2．（1）求k的值；（2）过点B作BC⊥OB，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点C．①连接AC，求△ABC的面积；②在图上连接OC交AB于点D，求的值．2．如图1，直线y＝x与双曲线y＝交于A，B两点，根据中心对称性可以得知OA＝OB．（1）如图2，直线y＝2x+1与双曲线y＝交于A，B两点，与坐标轴交点C，D两点，试证明：AC＝BD；（2）如图3，直线y＝ax+b与双曲线y＝交于A，B两点，与坐标轴交点C，D两点，试问：AC＝BD还成立吗？（3）如果直线y＝x+3与双曲线y＝交于A，B两点，与坐标轴交点C，D两点，若DB+DC≤5，求出k的取值范围．3．综合与探究如图1，平面直角坐标系中，直线l：y＝2x+4分别与x轴、y轴交于点A，B．双曲线y ＝（x＞0）与直线l交于点E（n，6）．（1）求k的值；（2）在图1中以线段AB为边作矩形ABCD，使顶点C在第一象限、顶点D在y轴负半轴上．线段CD交x轴于点G．直接写出点A，D，G的坐标；（3）如图2，在（2）题的条件下，已知点P是双曲线y＝（x＞0）上的一个动点，过点P作x轴的平行线分别交线段AB，CD于点M，N．请从下列A，B两组题中任选一组题作答．我选择①组题．A．①当四边形AGNM的面积为5时，求点P的坐标；②在①的条件下，连接PB，PD．坐标平面内是否存在点Q（不与点P重合），使以B，D，Q为顶点的三角形与△PBD全等？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．B．①当四边形AGNM成为菱形时，求点P的坐标；②在①的条件下，连接PB，PD．坐标平面内是否存在点Q（不与点P重合），使以B，D，Q为顶点的三角形与△PBD全等？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．4．如图，直线AB与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，已知点A（3，4），B（0，﹣2），点C是反比例函数y＝（x＞0）的图象上的一个动点，过点C作x轴的垂线，交直线AB于点D．（1）求反比例函数的解析式；（2），求△ABC的面积；（3）在点C运动的过程中，是否存在点C，使BC＝AC？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的对角线BD经过原点O，与AC交于点P，AB⊥y轴于点E，点D的坐标为（﹣6，3），反比例函数y＝的图象恰好经过B，P 两点．（1）求k的值及AC所在直线的表达式；（2）求证：△OEB∽△APD；（3）求cos∠ACB的值．6．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（6，0），B （4，3），C（0，3）．动点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿边OA向终点A 运动；动点Q从点B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿边BC向终点C运动，设运动的时间为t秒，PQ2＝y．（1）直接写出y关于t的函数解析式及t的取值范围：；（2）当PQ＝时，求t的值；（3）连接OB交PQ于点D，若双曲线y＝经过点D，问k的值是否变化？若不变化，请求出k的值；若变化，请说明理由．7．如图，已知点D在反比例函数y＝的图象上，过点D作DB⊥y轴，垂足为B（0，3），直线y＝kx+b经过点A（5，0），与y轴交于点C，且BD＝OC，OC：OA＝2：5．（1）求反比例函数y＝和一次函数y＝kx+b的表达式；（2）连结AD，求∠DAC的正弦值．8．如图，一次函数y1＝x+4的图象与反比例函数y2＝的图象交于A（﹣1，a），B两点，与x轴交于点C．（1）求k．（2）根据图象直接写出y1＞y2时，x的取值范围．（3）若反比例函数y2＝与一次函数y1＝x+4的图象总有交点，求k的取值．9．如图，△OA1B1，△AA2B2，△A2A3B3，是分别以A1，A2，A3，…为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点C1（x1，y1），C2（x2，y2），C3（x3，y3），…均在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，易求得y1＝2；y2＝2﹣2；y3＝2﹣2；…（1）请直接写出y4＝．（2）根据上述规律猜想y n＝．（n是正整数，用含n的式子表示，不用说理）（3）利用（2）的结论求y1+y2+…+y10的值．10．如图，已知反比例函数y＝的图象经过点A（﹣，b），过点A作x轴的垂线，垂足为B，△AOB的面积是．（1）求k和b的值；（2）若一次函数y＝ax+1的图象经过点A，且与x轴交于点C，求△AOC的面积．11．我们知道：抛物线y＝a（x+m）2+n（其中a，m、n是常数，且a≠0）可以由抛物线y ＝ax2平移得到；类似的：y＝+n（其中k，m，n是常数，且k≠0）的图象也可以由反比例函数y＝的图象平移得到．如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，矩形OABC 的顶点A，C的坐标分别为（9，0），（0，3），点D是OA的中点．连接OB，CD交于点E，函数y＝+n的图象经过B，E两点．（1）求此函数的解析式；（2）过线段BE中点M的一条直线与此函数的图象交于P，Q两点（P在线段BC上方），若四边形BPEQ面积为16，求点P的坐标．12．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝﹣的图象交于A（﹣1，m），B（n，﹣3）两点，一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于点C．（1）求一次函数的解析式；（2）若反比例函数y＝﹣，当y≤﹣2时，x的取值范围是．（3）根据函数的图象，直接写出不等式kx+b≥﹣的解集．（4）点P是x轴上一点，且△BOP的面积是△BOA面积，求点P的坐标．13．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点D的坐标为（4，3）．设AB所在的直线解析式为y＝ax+b（a≠0），若将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位，①当菱形的顶点B落在反比例函数的图象上，求m的值；②在平移中，若反比例函数图象与菱形的边AD始终有交点，求m的取值范围．14．有一边是另一边的倍的三角形叫做智慧三角形，这两边中较长边称为智慧边，这两边的夹角叫做智慧角．（1）已知Rt△ABC为智慧三角形，且Rt△ABC的一边长为，则该智慧三角形的面积为或1或或；（2）如图①，在△ABC中，∠C＝105°，∠B＝30°，求证：△ABC是智慧三角形；（3）如图②，△ABC是智慧三角形，BC为智慧边，∠B为智慧角，A（3，0），点B，C 在函数y＝上（x＞0）的图象上，点C在点B的上方，且点B的纵坐标为．当△ABC 是直角三角形时，求k的值．15．如图，在平面直角坐标系中，A点的坐标为（a，6），AB⊥x轴于点B ，＝，反比例函数y ＝的图象的一支分别交AO、AB于点C、D．延长AO交反比例函数的图象的另一支于点E．已知点D 的纵坐标为．（1）求反比例函数的解析式及点E的坐标；．（2）连接BC，求S△CEB（3）若在x轴上的有两点M（m，0）N（﹣m，0）．①以E、M、C、N为顶点的四边形能否为矩形？如果能求出m的值，如果不能说明理由．②若将直线OA绕O点旋转，仍与y ＝交于C、E，能否构成以E、M、C、N为顶点的四边形为菱形，如果能求出m的值，如果不能说明理由．1116．如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（2，3）．双曲线y ＝（x＞0）的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE．（1）直接写出k的值及点E的坐标；（2）若点F是OC边上一点，且FB⊥DE，求直线FB的解析式．1217．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴、y轴上，D是对角线的交点，若反比例函数y ＝的图象经过点D，且与矩形OABC的两边AB，BC分别交于点E，F．（1）若D的坐标为（4，2）①则OA的长是8，AB的长是4；②请判断EF是否与AC平行，井说明理由；③在x轴上是否存在一点P．使PD+PE的值最小，若存在，请求出点P的坐标及此时PD+PE的长；若不存在．请说明理由．（2）若点D的坐标为（m，n），且m＞0，n＞0，求的值．13。

一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，已知抛物线y=﹣x2+9的顶点为A，曲线DE是双曲线y= （3≤x≤12）的一部分，记作G1，且D（3，m）、E（12，m﹣3），将抛物线y=﹣x2+9水平向右移动a个单位，得到抛物线G2．（1）求双曲线的解析式；（2）设抛物线y=﹣x2+9与x轴的交点为B、C，且B在C的左侧，则线段BD的长为________；（3）点（6，n）为G1与G2的交点坐标，求a的值．（4）解：在移动过程中，若G1与G2有两个交点，设G2的对称轴分别交线段DE和G1于M、N两点，若MN＜，直接写出a的取值范围．【答案】（1）把D（3，m）、E（12，m﹣3）代入y= 得，解得，所以双曲线的解析式为y= ；（2）2（3）解：把（6，n）代入y= 得6n=12，解得n=2，即交点坐标为（6，2），抛物线G2的解析式为y=﹣（x﹣a）2+9，把（6，2）代入y=﹣（x﹣a）2+9得﹣（6﹣a）2+9=2，解得a=6± ，即a的值为6± ；（4）抛物线G2的解析式为y=﹣（x﹣a）2+9，把D（3，4）代入y=﹣（x﹣a）2+9得﹣（3﹣a）2+9=4，解得a=3﹣或a=3+ ；把E（12，1）代入y=﹣（x﹣a）2+9得﹣（12﹣a）2+9=1，解得a=12﹣2 或a=12+2；∵G1与G2有两个交点，∴3+ ≤a≤12﹣2 ，设直线DE的解析式为y=px+q，把D（3，4），E（12，1）代入得，解得，∴直线DE的解析式为y=﹣ x+5，∵G2的对称轴分别交线段DE和G1于M、N两点，∴M（a，﹣ a+5），N（a，），∵MN＜，∴﹣ a+5﹣＜，整理得a2﹣13a+36＞0，即（a﹣4）（a﹣9）＞0，∴a＜4或a＞9，∴a的取值范围为9＜a≤12﹣2 ．【解析】【解答】解：（2）当y=0时，﹣x2+9=0，解得x1=﹣3，x2=3，则B（﹣3，0），而D（3，4），所以BE= =2 ．故答案为2 ；【分析】（1）把D（3，m）、E（12，m﹣3）代入y= 得关于k、m的方程组，然后解方程组求出m、k，即可得到反比例函数解析式和D、E点坐标；（2）先解方程﹣x2+9=0得到B（﹣3，0），而D（3，4），然后利用两点间的距离公式计算DE的长；（3）先利用反比例函数图象上点的坐标特征确定交点坐标为（6，2），然后把（6，2）代入y=﹣（x ﹣a）2+9得a的值；（4）分别把D点和E点坐标代入y=﹣（x﹣a）2+9得a的值，则利用图象和G1与G2有两个交点可得到3+ ≤a≤12﹣2 ，再利用待定系数法求出直线DE的解析式为y=﹣ x+5，则M（a，﹣ a+5），N（a，），于是利用MN＜得到﹣ a+5﹣＜，然后解此不等式得到a＜4或a＞9，最后确定满足条件的a的取值范围．2．如图，已知直线y=x+k和双曲线y= （k为正整数）交于A，B两点．（1）当k=1时，求A、B两点的坐标；（2）当k=2时，求△AOB的面积；（3）当k=1时，△OAB的面积记为S1，当k=2时，△OAB的面积记为S2，…，依此类推，当k=n时，△OAB的面积记为S n，若S1+S2+…+S n= ，求n的值．【答案】（1）解：当k=1时，直线y=x+k和双曲线y= 化为：y=x+1和y= ，解得，，∴A（1，2），B（﹣2，﹣1）（2）解：当k=2时，直线y=x+k和双曲线y= 化为：y=x+2和y= ，解得，，∴A（1，3），B（﹣3，﹣1）设直线AB的解析式为：y=mx+n，∴∴，∴直线AB的解析式为：y=x+2∴直线AB与y轴的交点（0，2），∴S△AOB= ×2×1+ ×2×3=4；（3）解：当k=1时，S1= ×1×（1+2）= ，当k=2时，S2= ×2×（1+3）=4，…当k=n时，S n= n（1+n+1）= n2+n，∵S1+S2+…+S n= ，∴ ×（…+n2）+（1+2+3+…n）= ，整理得：，解得：n=6．【解析】【分析】（1）两图像的交点就是求联立的方程组的解；（2）斜三角形△AOB的面积可转化为两水平（或竖直）三角形（有一条边为水平边或竖直边的三角形称为水平或竖直三角形）的面积和或差；（3）利用n个数的平方和公式和等差数列的和公式可求出.3．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象交于二四象限内的A、B 两点，与x轴交于C点，点B的坐标为（6，n），线段OA=5，E为x轴负半轴上一点，且sin∠AOE=．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOC的面积；（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围．【答案】（1）解：作AD⊥x轴于D，如图，在Rt△OAD中，∵sin∠AOD= = ，∴AD= OA=4，∴OD= =3，∴A（﹣3，4），把A（﹣3，4）代入y= 得m=﹣4×3=﹣12，所以反比例函数解析式为y=﹣；把B（6，n）代入y=﹣得6n=﹣12，解得n=﹣2，把A（﹣3，4）、B（6，﹣2）分别代入y=kx+b得，解得，所以一次函数解析式为y=﹣x+2（2）解：当y=0时，﹣x+2=0，解得x=3，则C（3，0），所以S△AOC= ×4×3=6（3）解：当x＜﹣3或0＜x＜6时，一次函数的值大于反比例函数的值【解析】【分析】（1）作AD⊥x轴于D，如图，先利用解直角三角形确定A（﹣3，4），再把A点坐标代入y= 可求得m=﹣12，则可得到反比例函数解析式；接着把B（6，n）代入反比例函数解析式求出n，然后把A和B点坐标分别代入y=kx+b得到关于a、b的方程组，再解方程组求出a和b的值，从而可确定一次函数解析式；（2）先确定C点坐标，然后根据三角形面积公式求解；（3）观察函数图象，找出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可．4．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边，顶点坐标为，点坐标为 .（1）点的坐标是________，点的坐标是________（用表示）；（2）若双曲线过平行四边形的顶点和，求该双曲线的表达式；（3）若平行四边形与双曲线总有公共点，求的取值范围.【答案】（1）；（2）解：∵双曲线过点和点，∴，解得，∴点的坐标为，点的坐标为，把点的坐标代入，解得，∴双曲线表达式为（3）解：∵平行四边形与双曲线总有公共点，∴当点在双曲线，得到，当点在双曲线，得到，∴的取值范围 .【解析】【分析】（1）由四边形ABCD为平行四边形，得到A与B纵坐标相同，C与D纵坐标相同，横坐标相差2，得出B、C坐标即可；（2）根据B与D在反比例图象上，得到C与D横纵坐标乘积相等，求出b的值确定出B坐标，进而求出k的值，确定出双曲线解析式；（3）抓住两个关键点，将A坐标代入双曲线解析式求出b的值；将C坐标代入双曲线解析式求出b的值，即可确定出平行四边形与双曲线总有公共点时b的范围．5．阅读理解：配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值。

2020年九年级数学典型中考压轴题训练：《反比例函数综合》1．如图，已知C 、D 是双曲线y ＝在第一象限分支上的两点，直线CD 分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点．设C （x 1，y 1）、D （x 2，y 2），连接OC 、OD （O 是坐标有点），若∠BOC ＝∠AOD ＝α，且tan α＝，OC ＝．（1）求C 、D 的坐标和m 的值；（2）双曲线上是否存在一点P ，使得△POC 和△POD 的面积相等？若存在，给出证明，若不存在，说明理由．解：（1）过点C 作CG ⊥x 轴于G ，则CG ＝y 1，OG ＝x 1，在Rt △OCG 中，∠GCO ＝∠BOC ＝α，∵tan α＝， ∴＝，即y 1＝3x 1，又∵OC ＝，∴x 12+y 12＝10，即x 12+（3x 1）2＝10，解得：x 1＝1或x 1＝﹣1（不合题意舍去）∴x 1＝1，y 1＝3，∴点C 的坐标为C （1，3）．又∵点C 在双曲线上，可得：m ＝3，过D 作DH ⊥x 轴于H ，则DH ＝y 2，OH ＝x 2在Rt △ODH 中，tan α＝， ∴，即x 2＝3y 2，又∵x 2y 2＝3，∴y 2＝1或y 2＝﹣1（不合舍去），∴x 2＝3，y 2＝1，∴点D 的坐标为D （3，1）；（2）双曲线上存在点P ，使得S △POC ＝S △POD ，这个点就是∠COD 的平分线与双曲线的交点∵点D （3，1），∴OD ＝， ∴OD ＝OC ，∴点P 在∠COD 的平分线上，则∠COP ＝∠POD ，又OP ＝OP∴△POC ≌△POD ，∴S △POC ＝S △POD ．2．已知：在矩形AOBC 中，OB ＝4，OA ＝3．分别以OB ，OA 所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与B ，C 重合），过F 点的反比例函数（k ＞0）的图象与AC 边交于点E ．（1）求证：△AOE 与△BOF 的面积相等；（2）记S ＝S △OEF ﹣S △ECF ，求当k 为何值时，S 有最大值，最大值为多少？（3）请探索：是否存在这样的点F ，使得将△CEF 沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．（1）证明：设E （x 1，y 1），F （x 2，y 2），△AOE 与△FOB 的面积分别为S 1，S 2， 由题意得y 1＝，y 2＝，∴S 1＝x 1y 1＝k ，S 2＝x 2y 2＝k ，∴S 1＝S 2，即△AOE 与△FOB 的面积相等；（2）解：由题意知E ，F 两点坐标分别为E （，3），F （4，），∴S △ECF ＝EC •CF ＝（4﹣k ）（3﹣k ），∴S △EOF ＝S 矩形AOBC ﹣S △AOE ﹣S △BOF ﹣S △ECF＝12﹣k ﹣k ﹣S △ECF＝12﹣k ﹣S △ECF∴S ＝S △OEF ﹣S △ECF ＝12﹣k ﹣2S △ECF ＝12﹣k ﹣2×（4﹣k ）（3﹣k ）．∴S ＝﹣k 2+k ，即S ＝﹣（k ﹣6）2+3，当k ＝6时，S 有最大值．S 最大值＝3；（3）解：设存在这样的点F，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB边上的M点，过点E作EN⊥OB，垂足为N．由题意得：EN＝AO＝3，EM＝EC＝4﹣k，MF＝CF＝3﹣k，∵∠EMN+∠FMB＝∠FMB+∠MFB＝90°，∴∠EMN＝∠MFB．又∵∠ENM＝∠MBF＝90°，∴△EMN∽△MFB．∴，∴，∴MB＝．∵MB2+BF2＝MF2，∴，解得k＝．∴BF＝．∴存在符合条件的点F，它的坐标为（4，）．3．如图，将一矩形OABC放在直角坐标系中，O为坐标原点，点A在y轴正半轴上，OA＝2，OC＝4，过点E的反比例函数y＝（x＞0）的图象与边BC交于点F．（1）若△OAE的面积为1，求反比例函数的解析式；（2）若点E是边AB上的一个动点（不与点A、B重合），当点E运动到什么位置时，四边形OAEF的面积最大，其最大值为多少？解：（1）∵在矩形ABCD中，∠OAE＝90°，∵S△OAE＝OA•AE＝×2AE＝1，∴AE＝1，即点E的坐标为（1，2），∵点E在反比例函数y＝上，把E（1，2）代入y＝得，k＝2，∴反比例函数的解析式为y＝；（2）根据四边形OABC为矩形，OA＝2，OC＝4，设E（，2），F（4，），∴BE＝4﹣，BF＝2﹣，∴S△BEF＝（4﹣）（2﹣）＝k2﹣k+4，∵S△OCF ＝×4×＝，S矩形OABC＝8，∴S四边形OAEF ＝S矩形OABC﹣S△BEF﹣S△OCF＝8﹣（k2﹣k+4）﹣＝﹣k2++4＝﹣（k﹣4）2+5，∴当k＝4时，S四边形OAEF＝5，此时AE＝2，当点E运动到AB的中点时，四边形OAEF的面积最大，最大值是5．4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+1的图象交y轴于点D，与反比例函数y ＝的图象在第一象限相交于点A，过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点B、C．（1）点D的坐标为（0，1）；（2）当AB＝4AC时，求k的值；（3）当四边形OBAC是正方形时，直接写出四边形ABCD与△ACD面积的比．解：（1）由于点D是一次函数y＝kx+1的图象与y轴的交点，当x＝0时，kx+1＝1所以点D的坐标为（0，1）；故答案为：（0，1）；（2）设AC＝x，则AB＝4x，所以点A（x，4x）由于点A在反比例函数y＝上，所以16＝x•4x，整理，得x2＝4，所以x＝2或x＝﹣2（舍去），所以点A（2，8），因为A在一次函数y＝kx+1的图象上，所以8＝2k+1，解得：k＝3.5；（3）由于点A在反比例函数y＝上，所以AB•AC＝16∵四边形OBAC是正方形，∴OB＝AB＝AC＝OC＝4，∵OD＝1，∴CD＝3，∵S＝＝（3+4）×4＝14四边形ABDCS＝AC•CD＝×4×3＝6△ACD∴则四边形ABDC与△ACD面积的比7：3．5．已知：如图，一次函数y＝﹣2x的图象与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，且点B的坐标为（1，m）．（1）求反比例函数y＝的表达式；（2）点C（n，1）在反比例函数y＝的图象上，求△AOC的面积；（3）在（2）的条件下，在坐标轴上找出一点P，使△APC为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．解：（1）把B（1，m）代入y＝﹣2x得m＝﹣2，∴B点坐标为（1，﹣2），把B（1，﹣2）代入y＝得k＝﹣2×1＝﹣2，∴反比例函数解析式为y＝﹣；（2）作CE⊥x轴于E，AD⊥x轴于D，如图，∵点A与B点是一次函数y＝﹣2x的图象与反比例函数y＝的图象交点，∴点A与点B关于原点对称，∴点A的坐标为（﹣1，2），把C（n，1）代入y＝﹣得n＝﹣2，∴C点坐标为（﹣2，1），∴S△AOC ＝S梯形ADEC+S△ADO﹣S△CEO＝×（1+2）×1+×2×1﹣×1×2＝；（3）如图，P点坐标为（0，1）、（0，0）、（﹣1，0）．6．如图，将矩形OABC放置在平面直角坐标系xOy中，点A、C分别在x轴、y轴上，点B 的坐标为（2，1），将矩形OABC绕着A点顺时针旋转90°得到矩形FADE．双曲线y＝经过点B，且交DE于点M．（1）求k的值和直线MF的解析式；（2）若直线MF交y轴于点N，连接BM，BN，求△BMN的面积．解：（1）把B（2，1）代入y＝得k＝2×1＝2，∴反比例函数解析式为y＝，∵矩形OABC 绕着A 点顺时针旋转90°得到矩形FADE ，∴FA ＝OA ＝2，AD ＝AB ＝1，∴F 点坐标为（2，2），D 点坐标为（3，0），把x ＝3代入y ＝得y ＝，∴M 点的坐标为（3，）设直线MF 的解析式为y ＝ax +b ，把F （2，2），M （3，）代入得，解得，∴直线MF 的解析式为y ＝﹣x +；（2）S △BMN ＝S △BFN +S △BFM ＝×（2﹣1）×2+×（2﹣1）×1 ＝．7．如图，已知直线y ＝4﹣x 与反比例函数y ＝（m ＞0，x ＞0）的图象交于A ，B 两点，与x 轴，y 轴分别相交于C ，D 两点．（1）如果点A 的横坐标为1，利用函数图象求关于x 的不等式4﹣x ＜的解集；（2）是否存在以AB 为直径的圆经过点P （1，0）？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．解：（1）将x ＝1代入直线y ＝4﹣x 得，y ＝4﹣1＝3，则A 点坐标为（1，3），将A （1，3）代入y ＝（m ＞0，x ＞0）得，m ＝3，则反比例函数解析式为y＝，组成方程组得，解得，y＝1，x＝3，则B点坐标为（3，1）．当不等式4﹣x＜时，0＜x＜1或x＞3．（2）存在．点A、B在直线y＝4﹣x上，则可设A（a，4﹣a），B（b，4﹣b）．如右图所示，过点A作AM⊥x轴于点M，则AM＝4﹣a，PM＝1﹣a；过点B作BE⊥x轴于点E，则BE＝4﹣b，PE＝b﹣1．∵点P在以AB为直径的圆上，∴∠APB＝90°（圆周角定理）．易证Rt△AMP∽Rt△PEB，∴＝，即，整理得：5（a+b）﹣2ab＝17 ①∵点A、B在双曲线y＝上，∴a（4﹣a）＝m，b（4﹣b）＝m，∴a2﹣4a+m＝0，b2﹣4b+m＝0，∴a、b是一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两个根，∴a+b＝4，ab＝m．代入①式得：5×4﹣2m＝17，解得：m＝．∴存在以AB为直径的圆经过点P（1，0），此时m＝．8．直线y＝x+b与双曲线y＝（x＜0）交于点A（﹣1，﹣5），并分别与x轴、y轴交于点C、B．（1）直接写出b＝﹣4 ，m＝ 5 ．（2）根据图象直接写出不等式x+b＜的解集为x＜﹣1 ．（3）连接OA，求∠OAB的正弦值．（4）若点D在x轴的正半轴上，是否存在以点D、C、B构成的三角形与△OAB相似？若存在，请求出D的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）将A（﹣1，﹣5）代入直线y＝x+b中，得：﹣5＝﹣1+b，即b＝﹣4，将A（﹣1，﹣5）代入双曲线解析式得：﹣5＝，即m＝5；（2）由图象可得：不等式x+b＜的解集为x＜﹣1；故答案为：（1）﹣6；5；（2）x＜﹣1；（3）过O作OH⊥BC，垂足为H，对于直线y＝x﹣4，令y＝0求出x＝4，即C（4，0），令x＝0求出y＝﹣4，即B（0，﹣4），∴OB＝OC＝4，即△BOC为等腰直角三角形，∴BC＝＝4，∴OH＝BC＝2，由点O（0，0），A（﹣1，﹣5），得：OA＝，在Rt△OAH中，sin∠OAB＝＝；（4）由（3）可知，△OBC为等腰直角三角形，OH＝BH＝2，在Rt△AOH中，根据勾股定理得：AH＝＝＝3，∴AB＝AH﹣BH＝，∴当点D在C点右侧时，∠OBA＝∠DCB＝135°，①当＝，即＝时，解得CD＝2，∵C（4，0），即OC＝4，∴OD＝OC+CD＝2+4＝6，此时D坐标为（6，0）；②当＝，即＝时，解得CD＝16，∵C（4，0），即OC＝4，∴OD＝OC+CD＝16+4＝20，此时D坐标为（20，0），综上所述，若△BCD与△ABO相似，此时D坐标为（6，0）或（20，0）．9．如图，点P是双曲线y＝（x＜0）上一动点，过点P作x轴、y轴的垂线，分别交x轴、y 轴于A 、B 两点，交双曲线y ＝于E 、F 两点． （1）图1中，四边形PEOF 的面积S 1＝ 18 ； （2）图2中，设P 点坐标为（﹣4，3）． ①判断EF 与AB 的位置关系，并证明你的结论； ②记S 2＝S △PEF ﹣S △OEF ，求S 2．解：（1）四边形PEOF 的面积S 1＝四边形PAOB 的面积+△OAE 的面积+△OBF 的面积＝|k 1|+k 2＝k 2+k 1＝12+6＝18（2）①EF 与AB 的位置关系为平行，即EF ∥AB ． 证明：如图，由题意可得：A （﹣4，0），B （0，3），E （﹣4，﹣），F （2，3），∴PA ＝3，PE ＝3+＝，PB ＝4，PF ＝4+2＝6，∴＝＝，＝＝，∴＝，又∵∠APB ＝∠EPF ， ∴△APB ∽△EPF ， ∴∠PAB ＝∠PEF ， ∴EF ∥AB ；②S 2没有最小值，理由如下：过E 作EM ⊥y 轴于点M ，过F 作FN ⊥x 轴于点N ，两线交于点Q ，由上知M（0，﹣），N（2，0），Q（2，﹣），而S△EFQ ＝S△PEF，则S2＝S△PEF﹣S△OEF＝S△EFQ﹣S△OEF＝S△EOM +S△FON+S矩形OMQN＝12×+6×+2×＝6+3+3＝12．故答案为12．10．如图，已知反比例函数（m是常数，m≠0），一次函数y＝ax+b（a、b为常数，a ≠0），其中一次函数与x轴，y轴的交点分别是A（﹣4，0），B（0，2）．（1）求一次函数的关系式；（2）反比例函数图象上有一点P满足：①PA⊥x轴；②PO＝（O为坐标原点），求反比例函数的关系式；（3）求点P关于原点的对称点Q的坐标，判断点Q是否在该反比例函数的图象上．解：（1）∵一次函数y＝ax+b与x轴，y轴的交点分别是A（﹣4，0），B（0，2），∴﹣4a+b＝0，b＝2，∴a＝，∴一次函数的关系式为：y＝x+2；（2）设P（﹣4，n），∴＝，解得：n＝±1，由题意知n＝﹣1，n＝1（舍去），∴把P（﹣4，﹣1）代入反比例函数，∴m＝4，反比例函数的关系式为：y＝；（3）∵P（﹣4，﹣1），∴关于原点的对称点Q的坐标为Q（4，1），把Q（4，1）代入反比例函数关系式符合题意，∴Q在该反比例函数的图象上．11．如图，在直角坐标平面内，反比例函数（x＞0，m是常数）的图象经过点A（1，8）．（1）求m的值；（2）过点A的直线l与反比例函数图象相交于另一点B（a，b），其中a＞1．过点A作x轴的垂线，垂足为C，过点B作y轴的垂线，垂足为D，BD与AC相交于P点，连接AD，DC，CB．①如果直线l与反比例函数图象的交点B的横坐标为8，求△ABD的面积；②是否存在点B（a，b），使得四边形ABCD为平行四边形；若存在，试求直线l的函数解析式；若不存在，请说明理由．解：（1）∵反比例函数（x＞0，m是常数）的图象经过点A（1，8）．∴m＝8；（2）①将x＝8代入y＝，得y＝1，∴点B的坐标为（8，1），S＝BD•AP＝×8×（8﹣1）＝28，△ABD②假设存在．根据平行四边形的性质，AC与BD互相平分，∴点P（a，b），∴a＝1，b＝4，∴a＝2，点B（2，4），将点A、B坐标代入直线l的函数解析式y＝kx+b，则，即得k＝﹣4，b＝12，∴直线l的函数解析式y＝﹣4x+12．12．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标系原点，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴和y轴上，其中OA＝6，OC＝3．已知反比例函数y＝（x＞0）的图象经过BC边上的中点D，交AB于点E．（1）k的值为9 ；（2）猜想△OCD的面积与△OBE的面积之间的关系，请说明理由．解：∵OA＝6，OC＝3，点D为BC的中点，∴D（3，3）．∴k ＝3×3＝9， 故答案为9；（2）S △OCD ＝S △OBE ，理由是：∵点D ，E 在函数的图象上， ∴S △OCD ＝S △OAE ＝， ∵S △OAB ＝×6×3＝9， ∴S △OBE ＝9﹣＝， ∴S △OCD ＝S △OBE ．13．如图1，反比例函数y ＝（x ＞0）的图象经过点A （2，1），射线AB 与反比例函数图象交于另一点B （1，a ），射线AC 与y 轴交于点C ，∠BAC ＝75°，AD ⊥y 轴，垂足为D ．（1）求k 的值；（2）求tan ∠DAC 的值及直线AC 的解析式；（3）如图2，M 是线段AC 上方反比例函数图象上一动点，过M 作直线l ⊥x 轴，与AC 相交于点N ，连接CM ，求△CMN 面积的最大值．解：（1）把A （2，1）代入y ＝ 得k ＝2×1＝2；（2）作BH ⊥AD 于H ，如图1， 把B （1，a ）代入反比例函数解析式y ＝得a ＝2，∴B点坐标为（1，2），∴AH＝2﹣1，BH＝2﹣1，∴△ABH为等腰直角三角形，∴∠BAH＝45°，∵∠BAC＝75°，∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAH＝30°，∴tan∠DAC＝tan30°＝；∵AD⊥y轴，∴OD＝1，AD＝2，∵tan∠DAC＝＝，∴CD＝2，∴OC＝1，∴C点坐标为（0，﹣1），设直线AC的解析式为y＝kx+b，把A（2，1）、C（0，﹣1）代入得，解，∴直线AC的解析式为y＝x﹣1；（3）设M点坐标为（t，）（0＜t＜2），∵直线l⊥x轴，与AC相交于点N，∴N点的横坐标为t，∴N点坐标为（t，t﹣1），∴MN＝﹣（t﹣1）＝﹣t+1，∴S＝•t•（﹣t+1）△CMN＝﹣t2+t+＝﹣（t﹣）2+（0＜t＜2），∵a＝﹣＜0，∴当t＝时，S有最大值，最大值为．14．如图，一次函数y＝ax+b与反比例函数的图象交于A、B两点．过A点分别作x 轴、y轴的垂线，E、F为垂足．（1）请直接写出矩形AEOF的面积；（2）设一次函数y＝ax+b与x轴、y轴的交点分别为C、D，当OC＝3OE时．①试求△OCD的面积；②当OE＝1时，以BD为直径作⊙N，与x轴相交于P点，请求出P点的坐标．解：（1）如图1，∵点A在反比例函数的图象上，且AE⊥x轴，AF⊥y轴，∴S＝|﹣2|＝2．矩形AEOF∴矩形AEOF的面积为2．（2）①如图1，设OE＝m（m＞0），则E（﹣m，0）．∴C（3m，0），A（﹣m，）．∴OC＝3m，CE＝4m，AE＝．∵AE⊥x轴、AF⊥y轴，∴∠DOC＝∠AEC＝90°．又∵∠DCO＝∠ACE，∴△DOC∽△AEC．∴．∴＝．∴OD＝．＝OC•DO＝×3m×＝．∴S△OCD∴△OCD的面积为．②过点N作NG⊥y轴，垂足为G，过点B作BH⊥y轴，垂足为H，过点N作NM⊥x轴，垂足为M，连接NP，如图2所示．∵OE＝1，∴m＝1．∴A（﹣1，2），C（3，0）．∵点A、点C在直线y＝ax+b上，∴解得：．∴．当x＝0时，y＝．∴OD＝．∵A、B是直线与反比例函数图象的交点，∴．解得：x1＝﹣1，x2＝4．当x1＝﹣1时，y1＝2；当x2＝4时，．∴点B的坐标为（4，）．∴BH＝4，OH＝．∴DH＝2．∵∠BHD＝90°，∴．∴PN＝．∵NG⊥y轴，BH⊥y轴∴NG∥BH∴△DGN∽△DHB．∴＝＝．∵DN＝DB，∴DG＝DH，．∵点N在直线上，∴点．∴NM＝．∵NM⊥PP′，∴PM＝P′M，∠NMP＝90°．∵PN＝，NM＝，∴．∴．∴P′M＝．∴P点的坐标为（，0）或（，0）．15．如图，点A（1，6）和点M（m，n）都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，（1）k的值为 6 ；（2）当m＝3，求直线AM的解析式；（3）当m＞1时，过点M作MP⊥x轴，垂足为P，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，试判断直线BP与直线AM的位置关系，并说明理由．解：（1）将A（1，6）代入反比例解析式得：k＝6；故答案为：6；（2）将x ＝3代入反比例解析式y ＝得：y ＝2，即M （3，2），设直线AM 解析式为y ＝ax +b ，把A 与M 代入得：，解得：a ＝﹣2，b ＝8，∴直线AM 解析式为y ＝﹣2x +8；（3）直线BP 与直线AM 的位置关系为平行，理由为：当m ＞1时，过点M 作MP ⊥x 轴，垂足为P ，过点A 作AB ⊥y 轴，垂足为B ，∵A （1，6），M （m ，n ），且mn ＝6，即n ＝，∴B （0，6），P （m ，0），∴k 直线AM ＝＝＝＝﹣＝﹣， k 直线BP ＝＝﹣，即k 直线AM ＝k 直线BP ，则BP ∥AM ．16．如图，将透明三角形纸片PAB 的直角顶点P 落在第四象限，顶点A 、B 分别落在反比例函数y ＝图象的两支上，且PB ⊥x 于点C ，PA ⊥y 于点D ，AB 分别与x 轴，y 轴相交于点E 、F ．已知B （1，3）．（1）k ＝ 3 ；（2）试说明AE ＝BF ；（3）当四边形ABCD 的面积为时，求点P 的坐标．解：（1）把B （1，3）代入y ＝得k ＝1×3＝3；故答案为：3；（2）反比例函数解析式为y ＝，设A 点坐标为（a ，），∵PB ⊥x 于点C ，PA ⊥y 于点D ，∴D 点坐标为（0，），P 点坐标为（1，），C 点坐标为（1，0），∴PB ＝3﹣，PC ＝﹣，PA ＝1﹣a ，PD ＝1， ∴＝＝，＝， ∴＝，而∠CPD ＝∠BPA ，∴△PCD ∽△PBA ，∴∠PCD ＝∠PBA ，∴CD ∥BA ，而BC ∥DF ，AD ∥EC ，∴四边形BCDF 、ADCE 都是平行四边形，∴BF ＝CD ，AE ＝CD ，∴BF ＝AE ，（3）∵四边形ABCD 的面积＝S △PAB ﹣S △PCD ，∴•（3﹣）•（1﹣a）﹣•1•（﹣）＝，整理得a+＝0，解得a＝﹣，∴P点坐标为（1，﹣2）．17．如图，将一块腰长为的等腰直角三角板ABC放在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，直角顶点C的坐标为（﹣2，0），点B在第二象限．（1）求点A，点B的坐标．（2）将△ABC沿x轴正方向平移后得到△A′B′C′，点A′，B′恰好落在反比例函数y ＝的图象上，求平移的距离和反比例函数的解析式．解：（1）过B点作BH⊥x轴于H，如图，∵C的坐标为（﹣2，0），∴OC＝2，在Rt△AOC中，AC＝，∴OA＝＝1，∴A点坐标为（0，1）；∵△ACB为等腰直角三角形，∴CB＝CA，∠ACB＝90°，∴∠BCH+∠ACO＝90°，而∠BCH+∠HBC＝90°，∴∠ACO＝∠HBC，在△BCH和△CAO中，，∴△BCH≌△CAO（AAS），∴CH＝OA＝1，BH＝OC＝2，∴OH＝HC+OC＝3，∴B点为（﹣3，2）；（2）设将△ABC沿x轴正方向平移a个单位后得到△A′B′C′，则B′的坐标为（﹣3+a，2），C′点的坐标为（a，1），∵点A′，B′恰好落在反比例函数y＝的图象上，∴2×（﹣3+a）＝1×a，解得a＝6，∴k＝1×6＝6，∴反比例函数的解析式为y＝．。

2020年九年级数学中考压轴题专项综合训练：《反比例函数》1．如图，四边形ABCD是以坐标原点O为对称中心的矩形，A（1，3），B（﹣3，﹣1），该矩形的边与坐标轴分别交于点E、F、G、H，连接EC．（1）直接写出点C的坐标；（2）判断点（1，﹣1.2）在矩形ABCD的内部还是外部；（3）求四边形ECHO的面积；（4）如果反比例函数的图象过点A，那么它是否一定过点D？请说明理由．解：（1）∵A、C关于原点对称，A（1，3），∴C（﹣1，﹣3）．（2）∵B、D关于原点对称，B（﹣3，﹣1），∴D（3，1），设直线CD的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线CD的解析式为y＝x﹣2，∵x＝1时，y＝﹣1，﹣12＜﹣1，∴点（1，﹣1.2）在直线CD的下方，∴点（1，﹣1.2）在矩形ABCD的外部．（3）∵直线CD的解析式为y＝x﹣2，∴H（0，﹣2），F（2，0），∵E 、F 关于原点对称，∴E （﹣2，0），连接OC ，∴S 四边形ECHO ＝S △EOC +S △OHC ＝×2×3+×2×1＝4．（4）一定过点D ．理由：∵过点A （1，3）的反比例函数的解析式为y ＝，∵x ＝3时，y ＝1，∴D （3，1）也在反比例函数的图象上．2．如图，直线y 1═﹣x +1与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，与反比例函数y 2＝（x ＜0）的图象交于点P ，过点P ，作PB ⊥x 轴于点B ，且AC ＝BC（1）求反比例函数y 2的解析式；（2）反比例函数y 2图象上是否存在点D ，使四边形BCPD 为菱形？如果存在，求出点D 的坐标；如果不存在，说明理由．解：（1）∵一次函数y＝﹣x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，1∴A（4，0），C（0，1），又∵AC＝BC，CO⊥AB，∴O是AB的中点，即OA＝OB＝4，且BP＝2OC＝2，∴P的坐标是（﹣4，2），将P（﹣4，2）代入y＝，得m＝﹣8，2＝﹣；即反比例函数的解析式为y2（2）假设存在这样的点D，使四边形BCPD为菱形，如图，连接DC，与PB交于点E．∵四边形BCPD是菱形，∴CE＝DE＝4，∴CD＝8，将x＝﹣8代入反比例函数解析式y＝﹣，得y＝1，∴D的坐标是（﹣8，1），即反比例函数的图象上存在点D使四边形BCPD是菱形，此时D的坐标是（﹣8，1）．3．如图，一次函数y 1＝﹣x +b 的图象与反比例函数y 2＝（k ≠0）的图象交于A ，B 两点，与x 轴、y 轴分别交于C ，D 两点．已知：点B 的坐标为（，﹣2）．（1）求该反比例函数的解析式和点D 的坐标；（2）点M 在CA 延长线上，且AM ＝AC ，连接OM ，OB ，求△MOB 的面积．解：（1）∵反比例函数y 2＝（k ≠0）的图象经过点B （，﹣2）．∴k ＝﹣2×＝﹣3，∴反比例函数为y 2＝﹣；∵一次函数y 1＝﹣x +b 的图象经过点B （，﹣2），∴﹣2＝﹣×+b ，解得b ＝﹣1，∴y 1＝﹣x ﹣1，当x ＝0时，y ＝﹣1，∴D （0，﹣1）；（2）连接OM ，OB ， 解方程组，可得，，∴A （﹣3，1），B （，﹣2），∵直线AB ：y 1＝﹣x ﹣1，当y ＝0时，x ＝﹣，∴C（﹣，0），∴S△COD ＝S△BOD，∵MA＝AC，∴S△MAO ＝S△ACO，∴S△MOB ＝2S△AOD＝2××|y D|×|x A|＝2××1×3＝3．4．已知：如图，正比例函数y＝ax的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（3，2）．（1）求正比例函数和反比例函数的表达式；（2）M（m，n）是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m＜3过点M作直线MN∥x轴，交y轴于点B，过点A作直线AC∥y轴交x轴于点C，交直线MB于点D．当四边形OADM 的面积为6时，请判断线段BM与DM的大小关系，并说明理由．解：（1）∵正比例函数y＝ax的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（3，2）．∴2＝3a，2＝∴a＝，k＝6∴正比例函数表达式：y ＝x ，反比例函数的表达式：y ＝（2）BM ＝MD∵直线MN ∥x 轴，直线AC ∥y 轴∴四边形BDCO 是平行四边形且∠BOC ＝90°∴▱BDCO 为矩形∴BD ＝OC ＝3∵M （m ，n ）是反比例函数图象上的一动点∴mn ＝6即S △BMO ＝3∵S △AOC ＝OC ×AC ＝3，且S OADM ＝6∴S BDCO ＝S △AOC +S △BMO +S OADM ＝12且S BDCO ＝OC ×BO∴12＝3×OB∴OB ＝4∴n ＝4即m ＝∴BM ＝且BD ＝3∴DM ＝∴BM ＝DM5．如图，已知，点O 为坐标原点，点C 在x 轴的正半轴上．在▱AOCB 中，边AO ＝2，OC ＝4，∠AOC ＝60°，∠AOC 的角平分线交AB 于点D ．点P 从点O 出发，以每秒个单位长度的速度沿射线OD 方向移动：同时点Q 从点O 出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线OC 方向移动，连结QP ，BQ ，BP ，设移动时间t 秒．（1）求B ，D 两点的坐标；（2）若反比例函数y ＝（k ≠0）的图象的一个分支过点P ，且经过BQ 的中点，求k 的值；（3）当t 为何值时，△PQB 是直角三角形．解：（1）如图1中，作AH⊥OC于H．在Rt△AOH中，∵OA＝2，∠AOH＝60°，∴OH＝OA＝1，AH＝，∴A（1，），∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝OC＝4，AB∥OC，∴∠ADO＝∠DOC，∵∠AOD＝∠DOC，∴∠AOD＝∠ADO，∴AO＝AD＝2，∴D（3，），B（5，）．（2）如图2中，设BQ的中点为T，作BM⊥x轴于M，TN⊥x轴于N．由题意P（t，t），BM＝，∵QT＝TB，TN∥BM，∴QN＝NM，∴TM＝BM＝，∵P、T在y＝上，根据横坐标与纵坐标的乘积相等可得T（t2，），∴（2t+5）＝t2∴3t2﹣2t﹣5＝0，∴t＝或﹣1（舍弃），∴T（，），∴k＝．（3）由题意P（t，t），Q（2t，0），B（5，），∴PB2＝（t﹣5）2+（t﹣）2，BQ2＝（5﹣2t）2+3，PQ2＝（t）2+（t）2，①当PB为斜边时，（t﹣5）2+（t﹣）2＝（5﹣2t）2+3+（t）2+（t）2，解得t＝1或0（舍弃）．②当PQ为斜边时，（t﹣5）2+（t﹣）2+（5﹣2t）2+3＝（t）2+（t）2，解得t＝4或．③当BQ为斜边时，（t﹣5）2+（t﹣）2+（t）2+（t）2＝（5﹣2t）2+3，解得t＝0（不合题意）综上所述，满足条件的t的值为1或4或．6．如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴正半轴上，以OB为对角线作正方形OABC，一次函数y＝kx+b的图象过A、B两点，反比例函数y＝（x＞0）的图象过线段AB的中点M，点M的坐标为（3，1）．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）设反比例函数的图象与直线AB的另一个交点为N，点D是线段MN上一点，过点D 作DE⊥x轴于点E，连接OD，若△ODE的面积为S，求S的取值范围．解：（1）设A（a，b）∵OABC是正方形，OB为对角线∴B（2a，0）∵M（3，1）是AB的中点∴b＝2，a＝2∴解得：∴解析式y＝﹣x+4∵反比例函数y＝（x＞0）的图象过M点∴m＝3×1＝3∴反比例函数解析式：y＝（2）∵反比例函数的图象与直线AB的另一个交点为N，∴∴x1＝1，x2＝3（舍去）∴N（1，3）设D（x，﹣x+4）∴S△ODE＝×x×（﹣x+4）＝﹣x2+2x（1≤x≤3）∴≤S△ODE≤27．如图，四边形ABCD是正方形，点A的坐标是（0，1），点B的坐标是（0，﹣2），反比例函数y＝的图象经过点C，一次函数y＝ax+b的图象经过A、C两点，两函数图象的另一个交点E的坐标是（m，3）．（1）分别求出一次函数与反比例函数的解析式．（2）求出m的值，并根据图象回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值．（3）若点P是反比例函数图象上的一点，△AOP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，求点P坐标．解：（1）∵点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（0，﹣2），∴AB＝1+2＝3，∵四边形ABCD为正方形，∴BC＝AB＝3，∴C（3，﹣2），把C（3，﹣2）代入y＝，得k＝3×（﹣2）＝﹣6，∴反比例函数解析式为y＝﹣；把C（3，﹣2），A（0，1）代入y＝ax+b，得，解得，∴一次函数解析式为y＝﹣x+1；（2）∵反比例函数y＝﹣的图象过点E（m，3），∴m＝﹣2，∴E点的坐标为（﹣2，3）；由图象可知，当x＜﹣2或0＜x＜3时，一次函数落在反比例函数图象上方，即当x＜﹣2或0＜x＜3时，一次函数的值大于反比例函数的值；（3）设P（t，﹣），∵△AOP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，∴×1×|t|＝3×3，解得t＝18或t＝﹣18，∴P点坐标为（18，﹣）或（﹣18，）．8．如图所示，一次函数y＝kx+b交y轴于点D，交x轴于点E，且与反比例函数y＝的图象交于A（2，3）．B（﹣3，n）两点．（1）分别求出一次函数与反比例函数的表达式．（2）过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AF⊥y轴于点F，求四边形AFCB的面积S；（3）当kx+b＜时，x的取值范围是x＜﹣3或0＜x＜2．．解：（1）∵点A（2，3）在y＝上，∴m＝6，∴y＝，∵B（﹣3，n）在y＝上，∴n＝﹣2，∴B（﹣3，﹣2），把A、B两点坐标代入y＝kx+b，则有，解得，∴y＝x+1．（2）连接CD．由题意F（0，3），D（0，1），C（﹣3，0），∴S△AFCB ＝S△ADF+S△CDF+S△BCD＝×3×2+×2×3+×2×3＝8．（3）观察图象可知，当kx+b＜时，x的取值范围是x＜﹣3或0＜x＜2．故答案为x＜﹣3或0＜x＜2．9．如图：直线y＝x与反比例函数y＝（k＞0）的图象在第一象限内交于点A（2，m）．（1）求m、k的值；（2）点B在y轴负半轴上，若△AOB的面积为2，求AB所在直线的函数表达式；（3）将△AOB沿直线AB向上平移，平移后A、O、B的对应点分别为A'、O'、B'，当点O'恰好落在反比例函数y＝的图象上时，求点A'的坐标．解：（1）∵直线y＝x经过A（2，m），∴m＝2，∴A（2，2），∵A在y＝的图象上，∴k＝4．（2）设B（0，n），由题意：×（﹣n）×2＝2，∴n＝﹣2，∴B（0，﹣2），设直线AB的解析式为y＝k′x+b，则有，∴，∴直线AB的解析式为y＝2x﹣2．（3）当点O'恰好落在反比例函数y＝的图象上时，点A'的坐标（2+，2+2）．10．如图1，在平面直角坐标系中，A点的坐标为（m，3），AB⊥x轴于点B，tan∠OAB＝，反比例函数y1＝的图象的一支经过AO的中点C，且与AB交于点D．（1）求反比例函数解析式；（2）设直线OA的解析式为y2＝nx，请直接写出y1＜y2时，自变量x的取值范围﹣2＜x＜0或x＞2 ．（3）如图2，若函数y＝3x与y1＝的图象的另一支交于点M，求△OMB与四边形OCDB的面积的比值．解：（1）在Rt △AOB 中，∵AB ＝3，∠ABO ＝90°，∴tan ∠OAB ＝＝，∴OB ＝4，∴点A （4，3），∵点C 是OA 中点，∴点C 坐标（2，），∵反比例函数y 1＝的图象的一支经过点C ，∴k ＝3，∴反比例函数解析式为y 1＝．（2）如图1，由反比例函数图象的对称性质得到点C 关于原点对称的C ′的坐标为（﹣2，﹣），结合图象得到：当y 1＜y 2时，自变量x 的取值范围是﹣2＜x ＜0或x ＞2．故答案是：﹣2＜x ＜0或x ＞2．（3）由解得或， ∵点M 在第三象限，∴点M 坐标（﹣1，﹣3），∵点D 坐标（4，），∴S△OBM ＝×4×3＝6，S四边形OBDC＝S△AOB﹣S△ACD＝×4×3﹣×2×＝，∴三角形OMB与四边形OCDB的面积的比＝6：＝8：5．11．如图，直线y＝ax+2与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，b）．将线段AB 先向右平移1个单位长度、再向上平移t（t＞0）个单位长度，得到对应线段CD，反比例函数y＝（x＞0）的图象恰好经过C、D两点，连接AC、BD．（1）求a和b的值；（2）求反比例函数的表达式及四边形ABDC的面积；（3）点N在x轴正半轴上，点M是反比例函数y＝（x＞0）的图象上的一个点，若△CMN是以CM为直角边的等腰直角三角形时，求所有满足条件的点M的坐标．解：（1）将点A（1，0）代入y＝ax+2，得0＝a+2．∴a＝﹣2．∴直线的解析式为y＝﹣2x+2．将x＝0代入上式，得y＝2．∴b＝2．（2）由（1）知，b＝2，∴B（0，2），由平移可得：点C（2，t）、D（1，2+t）．将点C（2，t）、D（1，2+t）分别代入y＝，得∴．∴反比例函数的解析式为y＝，点C（2，2）、点D（1，4）．如图1，连接BC、AD．∵B（0，2）、C（2，2），∴BC∥x轴，BC＝2．∵A（1，0）、D（1，4），∴AD⊥x轴，AD＝4．∴BC⊥AD．＝×BC×AD＝×2×4＝4．∴S四边形ABDC（3）①当∠NCM＝90°、CM＝CN时，如图2，过点C作直线l∥x轴，交y轴于点G．过点M作MF⊥直线l于点F，交x轴于点H．过点N作NE⊥直线l于点E．∵∠MCN＝90°，∴∠MCF+∠NCE＝90°．∵NE⊥直线l于点E，∴∠ENC+∠NCE＝90°．∴∠MCF＝∠ENC．又∵∠MFC＝∠NEC＝90°，CN＝CM，∴△NEC≌△CFM（AAS）．∴CF＝EN＝2，FM＝CE．∴FG＝CG+CF＝2+2＝4．∴x M＝4．将x＝4代入y＝，得y＝1．∴点M（4，1）；②当∠NMC ＝90°、MC ＝MN 时，如图3，过点C 作直线l ⊥y 轴与点F ，则CF ＝x C ＝2．过点M 作MG ⊥x 轴于点G ，MG 交直线l 与点E ，则MG ⊥直线l 于点E ，EG ＝y C ＝2． ∵∠CMN ＝90°，∴∠CME +∠NMG ＝90°．∵ME ⊥直线l 于点E ，∴∠ECM +∠CME ＝90°．∴∠NMG ＝∠ECM ．又∵∠CEM ＝∠NGM ＝90°，CM ＝MN ，∴△CEM ≌△MGN （AAS ）．∴CE ＝MG ，EM ＝NG ．设CE ＝MG ＝n ，则y M ＝n ，x M ＝CF +CE ＝2+n ．∴点M （2+n ，n ）．将点M （2+n ，n ）代入y ＝，得n ＝． 解得n 1＝﹣1，n 2＝﹣﹣1（因为点M 在第一象限，所以n 大于0，所以舍去）． ∴x M ＝2+n ＝+1． ∴点M （+1，﹣1）．综合①②可知：点M 的坐标为（4，1）或（+1，﹣1）．12．如图，在平面直角坐标系中，已知A（3，﹣3）、B（6，0），且OA＝OB．（1）若△OA′B′与△OAB关于原点O成中心对称，则点A、B的对称点A′、B'的坐标分别为A′（﹣3，3），B′（﹣6，0）；（2）若将△OAB沿x轴向左平移m个单位，此时点A恰好落在反比例函数y＝的图象上，求m的值；（3）若△OAB绕点O按逆时针方向旋转α°（0＜α＜90）；①当α＝30时点B恰好落在反比例函数y＝的图象上，求k的值；②问点A、B能否同时落在①中的反比例函数的图象上，若能，直接写出α的值，若不能，请说明理由．解：（1）∵△OA′B′与△OAB关于原点O成中心对称，且A（3，﹣3）、B（6，0），∴A'（﹣3，3），B'（﹣6，0）故答案为（﹣3，3），（﹣6，0）（2）∵将△OAB沿x轴向左平移m个单位，∴点A平移后的坐标为（3﹣m，﹣3）∴﹣3＝m＝5（3）①设点B逆时针旋转30°后对应点为B1．如图：过点B1作B1C⊥OB∵旋转∴OB1＝6，∠COB1＝30°∴B1C＝3，OC＝OB1＝3∴B1（3，3）∴3＝∴k＝9∴解析式为y＝②α＝60°如图2，过点A作AD⊥OB，∵A（3，﹣3）∴OD＝3，DA＝3∵tan∠BOA＝＝∴∠AOB ＝30°设点A 逆时针旋转60°后对应点为A 1．∴∠A 1OB ＝30°，且OA ＝OB ＝6＝OA 1．∴A 1（3，3）设点B 逆时针旋转60°后对应点为B 2．∴∠B 2OB ＝60°，且OB 2＝OB ＝6∴B 2（3，3） 当x ＝3时，y ＝＝3，当x ＝3时，y ＝＝3∴点A 1，点B 2在反比例y ＝的图象上 ∴将△OAB 绕点O 按逆时针方向旋转60°时，点A 、B 能同时落在反比例函数的图象上．13．阅读理解：若点P 是△ABC 内部或边上的点（顶点除外），在△PAB ，△PBC ，△PCA 中，若至少有一个三角形与△ABC 相似，则称点P 是△ABC 的相似特征点．例如：如图1，点P 在△ABC 的内部，∠PBC ＝∠A ，∠PCB ＝∠ABC ，则△BCP ∽△ABC ，故点P 为△ABC 的相似特征点．问题解决：在平面直角坐标系中，点M 是双曲线C ：y ＝（x ＞0）上的任意一点，点N 是x 轴正半轴上的任意一点．（1）如图2，在Rt △ONM 中，∠ONM ＝90°，点N （，0）点P 是△ONM 内一点，且∠PON ＝∠M ，NP ⊥OP ，垂足为P ，试说明点P 是△ONM 的相似特征点，并求出点P 的坐标；（2）如图3，点N 的坐标是（2，0）时，且∠MON ＝30°，连接MN ，求△MON 的相似特征点的坐标；（3）当△MON 无相似持征点时，请直接写出这两点M ，N 的坐标；（4）在△MON 中，点M 的横坐标为m （m ＞0），点N 的模坐标为n ，点P 在线段OM 上，且∠PNO ＝∠M ，试用含m ，n 的式子表示点P 的坐标．解：（1）∵∠PON＝∠M，∠OPN＝∠MNO＝90°，∴△OPN∽△MNO，∴点P是△MON的自相似点；如图2中，过P作PD⊥x轴于D，则tan∠POD＝tan∠OMN＝＝，∴∠POD＝∠OMN＝30°，∴OP＝ON×cos30°＝，∴OD＝OP cos30°＝，PD＝OP•sin30°，∴P（，）；（2）作MH⊥x轴于H，如图3所示：由题意点M的坐标是（3，），点N的坐标是（2，0），∴OM＝＝2，直线OM的解析式为y＝x，ON＝2，∠MOH＝30°，分两种情况：①如图3所示：∵P是△MON的相似点，∴△PON∽△NOM，作PQ⊥x轴于Q，∴PO＝PN，OQ＝ON＝1，∵P的横坐标为1，∴y＝×1＝∴P（1，）；②如图4所示：由勾股定理得：MN＝＝2，∵P是△MON的相似点，∴△PNM∽△NOM，∴＝，即＝，解得：PN＝，即P的纵坐标为，代入y＝x得：＝x，解得：x＝2，∴P（2，）；综上所述：△MON的自相似点的坐标为（1，）或（2，）；（3）存在点M和点N，使△MON无自相似点，M（，3），N（2 ，0）；理由如下：∵M（，3），N（2，0），∴OM＝2＝ON，∠MON＝60°，∴△MON是等边三角形，∵点P在△MON的内部，∴∠PON≠∠OMN，∠PNO≠∠MON，∴存在点M和点N，使△MON无自相似点．（4）如图5中，作PH⊥x轴于H，MF⊥x轴于F．∵M（m，），N（n，0），∴ON＝n，OM＝，∵∠PON＝∠ONP＝∠OMN，∴△ONP∽△OMN，∴ON2＝OP•OM，∴OP＝，∵PH∥MF，∴＝＝，∴PH＝，OH＝，∴P（，）．14．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A、C分别在坐标轴上，OA＝2，OC＝4，直线y＝﹣x+3交AB，BC分别于点M，N，反比例函数y＝的图象经过点M，N．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P在y轴上，且△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标解：（1）∵B （4，2），四边形OABC 是矩形， ∴OA ＝BC ＝2，将y ＝2代入y ＝﹣x +3得：x ＝2， ∴M （2，2），把M 的坐标代入y ＝得：k ＝4， ∴反比例函数的解析式是y ＝；（2）把x ＝4代入y ＝得：y ＝1， 即CN ＝1，∵S 四边形BMON ＝S 矩形OABC ﹣S △AOM ﹣S △CON ＝4×2﹣×2×2﹣×4×1＝4， 由题意得：OP ×AM ＝4， ∵AM ＝2， ∴OP ＝4，∴点P 的坐标是（0，4）或（0，﹣4）．15．已知点P 的坐标为（m ，0），点Q 在x 轴上（不与P 重合），以PQ 为边，∠PQM ＝60°作菱形PQMN ，使点M 落在反比例函数y ＝﹣的图象上．（1）如图所示，若点P 的坐标为（1，0），求出图中点M 的坐标；（2）当P （1，0）时，在（1）图中已经画出一个符合条件的菱形PQMN ，请您在原图上画出另一个符合条件的菱形PQ 1M 1N 1，并求点M 1的坐标；（3）随着m 的取值不同，这样的菱形还可以画出三个和四个，当符合上述条件的菱形刚好能画出三个时，请直接写出点M 的坐标．解：（1）如图，∵四边形PQMN 是菱形， ∴PN ∥QM ，MN ∥PQ ， ∴∠OPN ＝∠PQM ＝60°， ∵P （1，0），∴OP ＝1，PN ＝PQ ＝MN ＝2OP ＝2，OM ＝OP ＝∴M （2，﹣）．（2）如下图中，∵四边形PQ 1M 1N 1是菱形， ∴Q 1P ＝Q 1M 1， ∵∠PQ 1M 1＝60°， ∴△PQ 1M 1是等边三角形， ∴∠Q 1PM 1＝60°， ∴直线PM 1的解析式为y ＝﹣x +，由解得或，∴M1（﹣1，2）．（3）如下图，当过点P与x轴的夹角为60°的直线与反比例函数的交点的个数只有3个时，满足条件的菱形只有3个．设直线PM1的解析式为y＝x+b，由，消去y得到：x2+bx+2＝0，由题意：△＝0，∴b＝±2，当b＝﹣2时，可得y＝x﹣2，由：，解得，∴M1（，﹣），由解得或，∴M2（+2，﹣2），M2（﹣2，+2），当b＝2时，同法可得满足条件的点M的坐标为（﹣，）或（﹣﹣2，2﹣）或（﹣+2，﹣2﹣）．16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（x ＞0，m≠0）的图象交于点C，与x轴、y轴分别交于点D、B，已知OB＝3，点C的横坐标为4，cos∠0BD＝（1）求一次函数及反比例函数的表达式；（2）将一次函数图象向下平移，使其经过原点O，与反比例函数图象在第四象限内的交点为A，连接AC，求四边形OACB的面积．解：（1）∵OB＝3，∴B（0，3），∵cos∠0BD＝，∴∠OBD＝45°，∴△OBD是等腰直角三角形，∴OD＝OD＝3，∴D（3，0），将点D，B代入y＝kx+b得，，解得：，∴一次函数的表达式为：y＝﹣x+3；∴C（4，﹣1），∵点C在反比例函数y＝（x＞0，m≠0）的图象上，∴m＝﹣1×4＝﹣4，∴反比例函数的解析式为：y＝﹣；（2）由平移可得直线OA的解析式为：y＝﹣x，∴，解得：，，∴A（2，﹣2），过A 作AE ⊥x 轴交BC 于E ，则AE ＝OB ＝3，∴S 四边形OACB ＝S 四边形OAEB +S △ACE ＝OB •x A +AE •（x C ﹣x A ）＝3×2+（4﹣2）＝9．17．如图，在平面直角坐标系xOy 内，函数y ＝x 的图象与反比例函数y ＝（k ≠0）图象有公共点A ，点A 的坐标为（4，a ），AB ⊥x 轴，垂足为点B ． （1）求反比例函数的解析式；（2）点C 是第一象限内直线OA 上一点，过点C 作直线CD ∥AB ，与反比例函数y ＝（k ≠0）的图象交于点D ，且点C 在点D 的上方，CD ＝AB ，求点D 的坐标．解：（1）∵点A 在函数y ＝的图象上，点A 的坐标为（4，a ），∴a ＝2，∴点A 坐标为（4，2）．∵点A 在反比例函数y ＝（k ≠0）的图象上， ∴2＝，解得k ＝8．∴反比例函数的解析式为y ＝． （2）∵AB ⊥x 轴，点A 坐标为（4，2）， ∴AB ＝2．∵点C 为第一象限内直线y ＝x 上一点，∴设点C坐标为（m，m）（m＞0）．又∵CD∥AB，且点D在反比例函数y＝的图象上，∴设点D坐标为（m，）．∵点C在点D的上方，可得CD＝m﹣．∵CD＝AB，∴m﹣＝×2，∴解得m＝8或m＝﹣2．∵m＞0，∴m＝8．∴点D的坐标为（8，1）．18．如图，在平面直角坐标系中，OA⊥OB，AB⊥x轴于点C，点A（﹣，1）在反比例函数y＝的图象上．（1）求反比例函数y＝的表达式；（2）在x轴的正半轴上存在一点P，使得S△AOP ＝S△AOB，求点P的坐标；（3）若将△AOB绕点B按顺时针方向旋转60°得到△BDE，直接写出点E的坐标，并判断点E是否在该反比例函数的图象上，并说明理由．解：（1）把A（﹣，1）代入反比例函数y＝，则k＝﹣，∴反比例函数y＝﹣；（2）设P（m，0），m＞0，从点A（﹣，1）的坐标，tan∠AOC＝，∴∠AOC＝30°，∵OA⊥OB，AB⊥x轴，∴∠ABO＝30°，∴OB＝2OC＝2，S△AOP＝•OP•AC＝m，S△AOB＝AO•BO＝×2＝2，S△AOP ＝S△AOB，∴m＝4，∴点P的坐标为（4，0）；（3）△AOB绕点B按顺时针方向旋转60°得到△BDE，∴∠OBE＝60°﹣30°＝30°，如下图，连接OE，∵AB＝BE，BO＝BO，∠BOA＝∠BOE＝30°，∴△BOA≌△BOE，∴AO＝EO，而OA⊥OB，∴A、O、E在一条直线上，∴点E是点A关于原点的对称点，∴E（，﹣1），也在反比例函数上．19．如图，直线y＝k1x（x≥0）与双曲线y＝（x＞0）相交于点P（1，3）．已知点A （3，0），B（0，2），连接AB，将Rt△AOB沿OP方向平移，使点O移动到点P，得到△A'PB'．过点A'作A'C∥y轴交双曲线于点C．（1）求k1与k2的值；（2）求直线PC的解析式；（3）直接写出线段AB扫过的面积．解：（1）将点P（1，3）代入直线y＝k1x得，k1＝3，将P（1，3）代入双曲线y＝得，k2＝1×3＝3，（2）∵A（3，0），B（0，2），∴AO＝3，BO＝2，由平移知，A'（4，3），B'（1，5），∵A'C∥y轴交双曲线于点C，∴C点的横坐标为1+3＝4，当x＝4时，y＝，∴C（4，），设直线PC的解析式为y＝kx+b，把点P（1，3），C（4，）代入得，，∴，（3）如图，延长A'C交x轴于D，过点B'作B'E⊥y轴于E，∴A'D＝3，B'E＝1，由平移得，△AOB≌△A'PB'，∴线段AB扫过的面积为S▱POBB'+S▱AOPA'＝BO×B'E+AO×A'D＝2×1+3×3＝11．20．如图，一次函数y＝kx﹣2（k≠0）的图象与y轴交于点A，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点B（3，b）．点C是线段AB上的动点（与点A、B不重合），过点C且平行于y轴的直线CD交这个反比例函数的图象于点D，O为坐标原点．（1）求△OCD面积为时，点D的坐标；（2）求△OCD面积的最大值；（3）当△OCD面积最大时，以点O为圆心，r为半径画⊙O，是否存在r的值，使得A、B、C、D四个点中恰好有2个在圆内？如果存在，求出r的取值范围；如果不存在，请说明理由．解：（1）∵点B（3，b）在反比例函数y＝的图象上，∴3b＝3，∴b＝1，∴B（3，1），∵点B（3，1）在一次函数y＝kx﹣2（k≠0）的图象上，∴3k﹣2＝1，∴k＝1，∴直线AB的解析式为y＝x﹣2，设点C的坐标为（m，m﹣2）（0＜m＜3），∵C且平行于y轴的直线CD交这个反比例函数的图象于点D，∴D（m，），∴CD＝﹣（m﹣2）＝+2﹣m，＝CD•m＝（+2﹣m）×m＝﹣（m2﹣2m﹣3），∴S△OCD∵△OCD面积为，∴﹣（m2﹣2m﹣3）＝，∴m＝0（舍）或m＝2，∴D（2，），（2）由（1）知，S＝﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣（m﹣1）2+2，△OCD∵0＜m＜3，∴m＝1时，△OCD面积的最大值为2．（3）存在，理由：∵直线AB的解析式为y＝x﹣2，∴A（0，﹣2），∴OA＝2，由（1）知，B（3，1），∴OB＝＝由（2）知，m＝1，∴C（1，﹣1），D（1，3），∴OC＝＝，OD＝＝，∴OC＜OA＜OB＝OD，∵以点O为圆心，r为半径画⊙O，使得A、B、C、D四个点中恰好有2个在圆内．∴2＜r≤．。