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八上数学第十五章知识点总结一、分式的概念。
1. 分式的定义。
- 一般地，如果A、B（B≠0）表示两个整式，且B中含有字母，那么式子(A)/(B)就叫做分式。
例如(x)/(x + 1)，(1)/(x)等都是分式，而(3)/(5)不是分式，因为分母5是常数，不含有字母。
2. 分式有意义的条件。
- 分式(A)/(B)有意义的条件是B≠0。
例如对于分式(1)/(x - 2)，当x - 2≠0，即x≠2时，该分式有意义。
3. 分式的值为零的条件。
- 分式(A)/(B)的值为零的条件是A = 0且B≠0。
比如对于分式(x - 1)/(x+1)，当x - 1 = 0（即x = 1）且x+1≠0（x≠ - 1）时，分式的值为0。
二、分式的基本性质。
1. 基本性质。
- 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
即(A)/(B)=(A× C)/(B× C)，(A)/(B)=(A÷ C)/(B÷ C)（C≠0）。
例如(2x)/(3y)=(2x×2)/(3y×2)=(4x)/(6y)。
2. 约分。
- 把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
例如对于分式(6x^2y)/(9xy^2)，分子分母的公因式是3xy，约分后得到(2x)/(3y)。
- 最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式。
像(x + 1)/(x^2+1)就是最简分式。
3. 通分。
- 把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
通分的关键是确定最简公分母。
例如对于分式(1)/(x)和(1)/(x + 1)，最简公分母是x(x + 1)，通分后分别为(x+1)/(x(x + 1))和(x)/(x(x + 1))。
三、分式的运算。
1. 分式的乘除。
- 分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母。
即(A)/(B)·(C)/(D)=(A· C)/(B· D)。
八年级数学上册第十五章分式基础知识点归纳总结单选题1、若数a使关于x的分式方程2x−1+a1−x=4的解为正数，则a的取值正确的是（）A．a<6且a≠2B．a>6且a≠1C．a<6D．a>6答案：A分析：表示出分式方程的解，由解为正数确定出a的范围即可．解：分式方程整理得：2x−1−ax−1=4，去分母得：2−a＝4x−4，解得：x＝6−a4，由分式方程的解为正数，得到6−a4>0，且6−a4≠1，解得：a<6且a≠2．故选：A．小提示：此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件．2、若关于x的分式方程m+4x−3=3xx−3+2有增根，则m的值为（）A．2B．3C．4D．5答案：D分析：根据分式方程有增根可求出x=3，方程去分母后将x=3代入求解即可.解：∵分式方程m+4x−3=3xx−3+2有增根，∴x=3，去分母，得m+4=3x+2(x−3)，将x=3代入，得m+4=9，解得m=5．故选：D．小提示：本题考查了分式方程的无解问题，掌握分式方程中增根的定义及增根产生的原因是解题的关键．3、若把分式2x x+y 中的x 和y 同时扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）A ．扩大到原来的3倍B ．扩大到原来的6倍C ．缩小为原来的13D ．不变 答案：D分析：根据分式的基本性质即可求出答案．解：∵2×3x 3x+3y =2×3x 3(x+y )=2xy x+y ，∴把分式2x x+y 中的x 和y 同时扩大为原来的3倍，则分式的值不变，故选：D ．小提示：本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．4、计算x x+1+1x+1的结果是（ ）A ．x x+1B ．1x+1C ．1D ．−1答案：C分析：根据同分母分式的加法法则，即可求解．解：原式=x+1x+1=1， 故选C ．小提示：本题主要考查同分母分式的加法法则，掌握”同分母分式相加，分母不变，分子相加“是解题的关键．5、若a +b =5，则代数式（b 2a ﹣a ）÷（a−b a ）的值为（ ）A ．5B ．﹣5C ．﹣15D ．15 答案：B分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．∵a +b =5，∴原式=b 2−a 2a ⋅a a−b =−(a+b )(a−b )a ⋅a a−b =−(a +b )=−5， 故选：B ．小提示：考查分式的化简求值，掌握减法法则以及除法法师是解题的关键，注意整体代入法在解题中的应用．6、某工厂新引进一批电子产品，甲工人比乙工人每小时多搬运30件电子产品，已知甲工人搬运300件电子产品所用的时间与乙工人搬运200件电子产品所用的时间相同.若设乙工人每小时搬运x件电子产品，可列方程为()A．300x =200x+30B．300x−30=200xC．300x+30=200xD．300x=200x−30答案：C分析：乙工人每小时搬运x件电子产品，则甲工人每小时搬运(x+30)件电子产品，根据300÷甲的工效= 200÷乙的工效，列出方程即可．乙工人每小时搬运x件电子产品，则甲工人每小时搬运(x+30)件电子产品，依题意得：300x+30=200x，故选C．小提示：本题考查了分式方程的应用，弄清题意，根据关键描述语句找到合适的等量关系是解决问题的关键．.7、若关于x的分式方程2x−a −3x=0的解为x=3，则常数a的值为（）A．a=2B．a=−2C．a=−1D．a=1答案：D分析：根据题意将原分式方程的解x=3代入原方程求出a的值即可．解：∵关于x的分式方程2x−a −3x=0解为x=3，∴23−a−1=0，∴2=3−a，∴a=1，经检验，a=1是方程23−a−1=0的解，故选：D．小提示：本题主要考查了利用分式方程的解求参数，熟练掌握相关方法是解题关键．8、解方程2x−13=x+a2−1时，小刚在去分母的过程中，右边的“-1”漏乘了公分母6，因而求得方程的解为x=2，则方程正确的解是（ ）A ．x =−3B ．x =−2C ．x =13D ．x =−13答案：A分析：先按此方法去分母，再将x=-2代入方程，求得a 的值，然后把a 的值代入原方程并解方程．解：把x =2代入方程2（2x -1）=3（x +a ）-1中得：6=6+3a -1，解得：a =13，正确去分母结果为2（2x -1）=3（x +13）-6， 去括号得：4x -2=3x +1-6，解得：x =-3．故选：A小提示：本题考查了一元一次方程的解的定义以及解一元一次方程．使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．9、下列运算正确的是( )A ．2a +3b =5abB ．(−ab)2=a 2bC ．a 2⋅a 4=a 8D ．2a 6a 3=2a 3答案：D分析：根据合并同类项法则，同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方以及单项式除以单项式法则解答． 解：A 、2a 与3b 不是同类项，不能合并，故本选项错误；B 、原式=a 2b 2，故本选项错误；C 、原式=a 6，故本选项错误；D 、原式=2a 3，故本选项正确．故选D ．小提示：本题考查了同底数幂的乘法的性质与同类项合并同类项法则，熟练掌握性质和法则是解题的关键．10、下列分式中是最简分式的是（ ）A ．2x 2B ．42xC ．x−1x 2−1D ．x−1(x−1)2答案：A分析：一个分式的分子分母无公因式或公因数叫最简分式，四个选项逐个分析排除，只有选项A是最简分式，选项B、C、D中分子分母分别有公因数2、公因式x−1、公因式x−1，都不是最简分式．选项A不能约分，是最简分式；选项B中分子分母有公因数2，可约分，不是最简分式；选项C中x−1x2−1=x−1(x+1)(x−1)，分子分母有公因式x−1，可约分，不是最简分式；选项D中分子分母有公因式x−1，可约分，不是最简分式；故选：A．小提示：本题主要考查了最简分式的概念，最简分式指的是分子分母无无公因式或公因数的分式，有时需要将分子分母进行因式分解再判断．填空题11、计算2m−2−mm−2的结果是 ____．答案：−1分析：根据分式的减法法则即可得．解：原式=2−mm−2=−(m−2) m−2=−1，所以答案是：−1．小提示：本题考查了分式的减法，熟练掌握运算法则是解题关键．12、若实数m使得关于x的不等式组{2x>23x<m+1无解，则关于y的分式方程yy−1=4−m2y−2的最小整数解是_________．答案：2分析：先求出每个不等式的解集，然后根据不等式组无解求出m的取值范围，再解分式方程从而确定y的取值范围即可得到答案．解：解不等式2x>2得：x>1，解不等式3x <m +1得：x <m+13， ∵不等式组无解，∴m+13≤1，∴m ≤2；y y −1=4−m 2y −2去分母得2y =4−m ，解得y =4−m 2，∵m ≤2，∴4−m ≥2∴y =4−m 2≥1，又∵y −1≠0，∴y >1，∴y 的最小整数解为2，所以答案是：2小提示：本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，解分式方程，熟知相关计算法则是解题的关键．13、方程22x−1+x 1−2x =1的解是________．答案：x ＝1分析：原方程去分母得到整式方程，求解整式方程，最后检验即可．解：22x−1+x 1−2x =1， 22x−1﹣x 2x−1＝1， 方程两边都乘2x ﹣1，得2﹣x ＝2x ﹣1，解得：x ＝1，检验：当x ＝1时，2x ﹣1≠0，所以x ＝1是原方程的解，即原方程的解是x＝1，所以答案是：x＝1．小提示：本题考查了解分式方程，把分式方程转化为整式方程是解答本题的关键，注意解分式方程不一定要检验．14、若|a|=2，且(a−2)0=1，则2a的值为_______．##0.25答案：14分析：根据绝对值的意义得出a=±2，根据(a−2)0=1，得出a−2≠0，求出a的值，即可得出答案．解：∵|a|=2，∴a=±2，∵(a−2)0=1，∴a−2≠0，即a≠2，∴a=−2，∴2a=2−2=1．4所以答案是：1．4小提示：本题主要考查了绝对值的意义，零指数幂有意义的条件，根据题意求出a=−2，是解题的关键．15、用科学记数法将﹣0.03896保留两位有效数字为____．答案：﹣3.9×10﹣2分析：先根据科学记数法表示该数，再保留两个有效数字即可．解：﹣0.03896＝﹣3.896×10﹣2≈﹣3.9×10﹣2，所以答案是：﹣3.9×10﹣2．小提示：此题考查了科学记数法的表示方法，有效数字的概念，正确理解各知识点是解题的关键．解答题16、为推动家乡学校篮球运动的发展，某公司计划出资12000元购买一批篮球赠送给家乡的学校．实际购买时，每个篮球的价格比原价降低了20元，结果该公司出资10000元就购买了和原计划一样多的篮球，每个篮球的原价是多少元？答案：每个篮球的原价是120元．分析：设每个篮球的原价是x 元，则每个篮球的实际价格是（x ﹣20）元，根据“该公司出资10000元就购买了和原计划一样多的篮球”列出方程并解答．解：设每个篮球的原价是x 元，则每个篮球的实际价格是（x ﹣20）元，根据题意，得12000x ＝10000x−20．解得x ＝120．经检验x ＝120是原方程的解．答：每个篮球的原价是120元．小提示：本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．17、若a ，b 为实数，且(a−2)2+|b 2−16|b+4=0，求3a ﹣b 的值． 答案：2分析：根据题意可得{a −2=0b 2−16=0b +4≠0，解方程组可得a,b,再代入求值.解：∵(a−2)2+|b 2−16|b+4=0，∴{a −2=0b 2−16=0b +4≠0，解得{a =2b =4， ∴3a ﹣b=6﹣4=2．故3a ﹣b 的值是2．小提示：本题考核知识点：分式性质，非负数性质.解题关键点：理解分式性质和非负数性质.18、阅读材料：对于非零实数a ，b ，若关于x 的分式(x−a)(x−b)x 的值为零，则解得x 1＝a ，x 2＝b ．又因为(x−a)(x−b)x =x 2−(a+b)x+ab x=x +ab x ﹣（a +b ），所以关于x 的方程x +ab x ＝a +b 的解为x 1＝a ，x 2＝b ． (1)理解应用：方程x 2+2x =3+23的解为：x 1＝ ，x 2＝ ；(2)知识迁移：若关于x 的方程x +3x ＝5的解为x 1＝a ，x 2＝b ，求a 2+b 2的值；(3)拓展提升：若关于x 的方程4x−1＝k ﹣x 的解为x 1＝t +1，x 2＝t 2+2，求k 2﹣4k +2t 3的值． 答案：(1)3，23；(2)19；(3)12． 分析：（1）根据题意可得x =3或x =23；（2）由题意可得a +b =5，ab =3，再由完全平方公式可得a 2+b 2=（a +b ）2-2ab =19；（3）方程变形为x -1+4x−1=k -1，则方程的解为x -1=t 或x -1=t 2+1，则有t （t 2+1）=4，t +t 2+1=k -1，整理得k =t +t 2+2，t 3+t =4，再将所求代数式化为k 2-4k +2t 3=t （t 3+t ）+4t 3-4=4（t 3+t ）-4=12．（1）解：∵x +ab x =a +b 的解为x 1=a ，x 2=b ，∴x 2+2x =x +2x =3+23的解为x =3或x =23，所以答案是：3，23；（2）解：∵x +3x =5，∴a +b =5，ab =3，∴a 2+b 2=（a +b ）2-2ab =25-6=19； （3）解：4x−1=k -x 可化为x -1+4x−1=k -1，∵方程4x−1=k -x 的解为x 1=t +1，x 2=t 2+2，则有x -1=t 或x -1=t 2+1，∴t （t 2+1）=4，t +t 2+1=k -1， ∴k =t +t 2+2，t 3+t =4， k 2-4k +2t 3=k （k -4）+2t 3=（t+t2+2）（t+t2-2）+2t3=t4+4t3+t2-4=t（t3+t）+4t3-4=4t+4t3-4=4（t3+t）-4=4×4-4=12．小提示：本题考查了分式方程的解，理解题意，灵活求分式方程的解，并结合完全平方公式对代数式求值是解题的关键．。
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12第十五章 分式一、知识概念：1.分式：形如A B，A B 、是整式，B 中含有字母且B 不等于0的整式叫做分式。
其中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母.2.分式有意义的条件:分母不等于0。
3.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式,分式的值不变.4。
约分：把一个分式的分子和分母的公因式（不为1的数)约去,这种变形称为约分.5.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分.6。
最简分式：一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时,一般将一个分式化为最简分式。
7。
分式的四则运算:⑴同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
用字母表示为：a b a b c c c±±= ⑵异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为： a c ad cb b d bd±±=3⑶分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。
用字母表示为：a c ac b d bd⨯= ⑷分式的除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.用字母表示为：a c a dad b d b c bc÷=⨯= ⑸分式的乘方法则:分子、分母分别乘方.用字母表示为:n n n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭8。
八年级数学上册第十五章分式题型总结及解题方法单选题1、计算6m 6÷(−2m 2)3的结果为（ ）A ．−mB ．−1C ．34D ．−34答案：D分析：根据整式的除法法则即可求出答案．解：6m 6÷(−2m 2)3=6m 6÷(−8m 2×3)=−6m 6÷8m 6=−34． 故选：D ．小提示：本题考查整式的除法，解题的关键是熟练运用整式的除法法则，本题属于基础题型．2、化简(1x−3−x+1x 2−1)⋅(x −3)的结果是（ ）A ．2B ．2x−1C ．2x−3D ．x−4x−1答案：B分析：先根据乘法分配律进行运算，再进行异分母分式的减法运算．解：原式=1−x 2−2x−3x 2−1=2x +2(x +1)(x −1)=2x−1,故选:B.小提示：本题考查了分式的混合运算，正确运用运算法则和运算律是解题关键．3、已知x ＝3是分式方程kx x−1−2k−1x =2的解，那么实数k 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2答案：D解：将x =3代入kx x−1−2k−1x =2， 得：3k 2−2k−13=2，解得：k =2，故选D ．4、某种罐装凉茶一箱的价格为84元，某商场实行促销活动，买一箱送四罐，每罐的价格比原来便宜0.5元．设每箱凉茶有x 罐，则下列方程正确的是（ ）A ．84x −84x−0.5=4B ．84x −84x+4=0.5 C ．84x−0.5−84x =4D ．84x+4−84x =0.5 答案：B 分析：关键描述语是：“结果比用原价多买了4罐；等量关系为： 实际买每罐价格-促销每罐价格=0.5． 解：原价每罐84x 元，经过促销，每罐84x +4元，方程可表示为：，84x −84x+4=0.5所以答案是：B ．小提示：考查了由实际问题抽象出分式方程．列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系．本题要注意促销前后商品的单价的变化．5、关于x 的分式方程m+x 2−x −3＝0有解，则实数m 应满足的条件是（ ）A ．m ＝﹣2B ．m ≠﹣2C ．m ＝2D ．m ≠2答案：B分析：解分式方程得：m +x =6−3x 即4x =m −6，由题意可知x ≠2，即可得到6−m ≠8.解：m+x 2−x −3=0方程两边同时乘以2−x 得：m +x −6+3x =0，∴4x =m −6，∵分式方程有解，∴2−x ≠0，∴x ≠2，∴6−m≠8，∴m≠−2，故选B.小提示：本题主要考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，理解分式方程有意义的条件是解题的关键.6、已知关于x的分式方程xx−3−4=k3−x的解为非正数，则k的取值范围是（）A．k≤−12B．k≥−12C．k>−12D．k<−12答案：A分析：表示出分式方程的解，由解为非正数得出关于k的不等式，解出k的范围即可．解：方程xx−3−4=k3−x两边同时乘以(x−3)得：x−4(x−3)=−k，∴x−4x+12=−k，∴−3x=−k−12，∴x=k3+4，∵解为非正数，∴k3+4≤0，∴k≤−12，故选：A．小提示：本题考查了分式方程的解及解一元一次不等式，熟练掌握分式方程的解法和一元一次不等式的解法是解题的关键．7、(−b2a)2n（n为正整数）的值是（）A．b2+2na2n B．b4na2nC．−b2n+1a2nD．−b4na2n答案：B分析：根据分式的乘方计算法则解答．(−b2a )2n=b4na2n．小提示：此题考查分式的乘方计算法则：等于分子、分母分别乘方，熟记法则是解题的关键．8、分式2a+2a 2−1−a+11−a 化简后的结果为（ ） A ．a+1a−1B ．a+3a−1C ．−a a−1D ．−a 2+3a 2−1答案：B分析：根据异分母分式相加减的运算法则计算即可．异分母分式相加减，先通分，再根据同分母分式相加减的法则计算．解：2a+2a 2−1−a+11−a=2a +2(a +1)(a −1)−(a +1)2(1−a )(a +1)=2a +2+(a +1)2(a +1)(a −1)=2a +2+a 2+2a +1(a +1)(a −1)=(a +3)(a +1)(a +1)(a −1)=a +3a −1 故选：B ．小提示：本题主要考查了分式的加减，熟练掌握分式通分的方法是解答本题的关键．9、化简（a ﹣1）÷（1a ﹣1）•a 的结果是（ ）A ．﹣a 2B ．1C ．a 2D ．﹣1答案：A分析：根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得．原式=（a ﹣1）÷1−a a •a =（a ﹣1）•a −(a−1)•a=﹣a 2，小提示：本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．10、下列各式从左到右变形正确的是（ ）A ．x+12+y 3=3（x +1）+2yB ．0.2a−0.03b 0.4c+0.05d =2a−3b 4c+5d C ．a−b d−c =b−a c−d D ．2a−2b c+d =a−b c+d答案：C 分析：根据分式的性质逐项分析即可．A 选项分子分母同时乘以6，B 选项分子分母同时乘以100，C 选项分子分母同时乘以-1，D 选项分子因式分解．A ．x+12+y 3=3(x+1)+2y 6， 故该选项不正确，不符合题意；B ．0.2a−0.03b 0.4c+0.05d =20a−3b 40c+5d ， 故该选项不正确，不符合题意；C ．a−b d−c =b−a c−d ，故该选项正确，符合题意；D ．2a−2b c+d =2(a−b )c+d ，故该选项不正确，不符合题意；故选C小提示：本题考查了分式的性质，掌握分式的性质是解题的关键．填空题11、化简b 23a−b +9a 2b−3a 的结果是______．答案：−b −3a分析：根据同分母分式的加减法法则计算即可．解：原式=b 23a−b −9a 23a−b=b 2−9a 23a −b=(b +3a)(b −3a)3a −b=−b −3a所以答案是：−b −3a ．小提示：本题考查同分母分式的加减，解题关键是正确地运用运算法则．12、计算：x 2+xy xy +xy−x 2xy =___________． 答案：2分析：利用分式同分母运算法则进行合并，并化简即可得出结果．解：x 2+xy xy +xy−x 2xy =2xy xy =2，所以答案是：2．小提示：本题主要考查的是分式加法运算的基础运算，掌握其运算法则是解题的关键．13、某人上山，下山的路程都是s ，上山速度v 1，下山速度v 2，则这个人上山和下山的平均速度是______． 答案：2v 1v 2v 1+v 2分析：平均速度=总路程÷总时间，根据公式列式化简即可．解：由题意上山和下山的平均速度为：2s sv 1+s v 2=2v 1v 2v 1+v 2.所以答案是：2v 1v 2v 1+v 2．小提示：本题考查列分式，分式的加法和除法，总路程包括往返路程，总时间包括上山时间和下山时间．解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．14、若关于x 的分式方程2−1−k x−2=12−x 的解是正数，则k 的取值范围是______．答案：k <4且k ≠0分析：根据题意，将分式方程的解x 用含k 的表达式进行表示，进而令x >0，再因分式方程要有意义则x ≠2，进而计算出k 的取值范围即可．解： 2(2−x)+1−k =14−2x −k =0x =4−k 2 根据题意x >0且x ≠2∴{4−k 2>04−k 2≠2∴{k<4k≠0∴k的取值范围是k<4且k≠0．小提示：本题主要考查了分式方程的解及分式方程有意义的条件、一元一次不等式组的求解，熟练掌握相关计算方法是解决本题的关键．15、观察下列各式：a1=23,a2=35,a3=107,a4=159,a5=2611,⋯，根据其中的规律可得a n=________（用含n的式子表示）．答案：n2+(−1)n+12n+1分析：观察发现，每一项都是一个分数，分母依次为3、5、7，…，那么第n项的分母是2n+1；分子依次为2，3，10，15，26，…，变化规律为：奇数项的分子是n2+1，偶数项的分子是n2-1，即第n项的分子是n2+（-1）n+1；依此即可求解．解：由分析得a n=n2+(−1)n+12n+1，所以答案是：a n=n2+(−1)n+12n+1小提示：本题考查学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．解答题16、先化简：(a2−1a2−2a+1−a−1)÷a+1a−1，然后在a≤2的非负整数集中选取一个合适的数作为a的值代入求值．答案：2－a，当a=0时，原式=2，当a=2时，原式=0．分析：原式的括号内根据平方差和完全平方公式化简约分，括号外根据分式的除法法则即可化简原式，最后a 的负整数解是0，1，2，注意分式的分母不能为零，所以a不能取1．原式=((a+1)(a−1)(a−1)2−(a+1))·a−1a+1=(a+1a−1−(a+1))·a−1a+1=1-a+1=2-a∵不等式a≤2的非负整数解是0，1，2，分式分母不能为零，a不取1∴当a=0时，原式=2，或当a=2时，原式=0小提示：本题考查了分式的混合运算，平方差和完全平方公式，除法法则等知识，要注意分式的分母不能为零．17、计算：（1）（2m+3n）2﹣（2m+n）（2m﹣n）；（2）x−yx ÷(x+y2−2xyx)答案：（1）12mn+10n2；（2）1x−y分析：（1）根据完全平方公式，平方差公式进行计算即可；（2）括号内先通分计算，并因式分解，然后变除为乘，进行约分即可．解：（1）原式＝4m2+12mn+9n2﹣（4m2﹣n2）＝4m2+12mn+9n2﹣4m2+n2＝12mn+10n2；（2）原式＝x−yx ÷(x2x+y2−2xyx)＝x−yx ÷x2−2xy+y2x＝x−yx ⋅x (x−y)2＝1x−y．小提示：本题考查了整式和分式的混合运算，熟知完全平方公式，平方差公式，通分，约分，因式分解计算是解题的关键．18、计算：(1)a2a−b +b2b−a(2)x2x−1−x−1(3)先化简，再求值：a2−4b2a3−4a2b+4ab2，其中a=−3，b=1．答案：(1)a+b(2)1x−1(3)a+2ba2−2ab ；−115分析：（1）先变符号，然后分母不变，分子相加，因式分解后约分即可；（2）先通分，然后利用公式法展开，合并即可；（3）先因式分解，再约分，化为最简分式，代入数值，计算即可．（1）解：a2a−b +b2b−a=a2a−b−b2a−b=a2−b2a−b=(a+b)(a−b)a−b=a+b；（2）解：x2x−1−x−1=x2x−1−(x+1)(x−1)x−1=x2−x2+1x−1=1x−1；（3）解：a2−4b2a3−4a2b+4ab2=(a+2b)(a−2b)a(a−2b)2=a+2ba(a−2b)=a+2ba2−2ab，当a=−3，b=1时，原式=a+2ba2−2ab =−3+29−2×(−3)×1=−115．小提示：本题考查分式的加减运算，分式化简求值，掌握分式的加减运算法则，分式化简求值方法与步骤，通分，约分，因式分解是解题关键．。
人教版八年级数学上册第十五章分式知识点总结和题型归纳分式知识点总结和题型归纳第一部分分式的运算一）分式的定义及有关题型考查分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子A/B为分式。
例1：下列代数式中是分式的有：(x- y)/(2x+ y)，π/(2x- y)，(x+ y)/(a+ b)。
考查分式有意义的条件：分式有意义：分母不为0 (B≠0)分式无意义：分母为0 (B=0)例1：当x有何值时，下列分式有意义：1) (x-4)/(13x2-6x)2) 2/x3) 2/(x-4)4) (x+4|x|-3x+2)/(x-1)5) x/(x2-2x-3)考查分式的值为的条件：分式值为：分子为A且分母不为0 (A/B) 例1：当x取何值时，下列分式的值为0.1) (x-1)/(x+3)2) |x|-23) (x2-2x-3)/(x-5)(x+6)例2：当x为何值时，下列分式的值为零：1) 5-|x-1|/(x+4)2) (25-x2)/(x-6)(x+5)考查分式的值为正、负的条件：分式值为正或大于0：分子分母同号 (A/B>0) 分式值为负或小于0：分子分母异号 (A/B<0) 例1：(1) 当x为何值时，分式4/(8-x)为正；2) 当x为何值时，分式5-x/(5+x)为负；3) 当x为何值时，分式(x-2)/(x+3)为非负数.例2：解不等式|x|-2≤(x+1)/(x+5)考查分式的值为1，-1的条件：分式值为1：分子分母值相等 (A/B=1)分式值为-1：分子分母值互为相反数 (A+B=0)例1：若分式|x-2|/(x+2)的值为1，-1，则x的取值分别为3和-1.思维拓展练题：1、若a>b>0,a2＋b2－6ab=0，则(a+b)/(a-b)=9/5.2、一组按规律排列的分式：-b/2.5/b。
-8/b。
11/b。
则第n 个分式为(3n-1)/b。
b 第十五章 分式一、知识框架 ：二、知识概念：1. 分式：形如 A ， A 、B 是整式， B 中含有字母且 B 不等于 0 的整式叫做分式.其中 A 叫做分式的分B子， B 叫做分式的分母.2. 分式有意义的条件：分母不等于 0.3. 分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为 0 的整式，分式的值不变.4. 约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为 1 的数）约去，这种变形称为约分.5. 通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分.6. 最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式.7. 分式的四则运算：⑴同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.用字母表示为： a ± b = a ± b c c c⑵异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为： a ± c = ad ± cbb d bd⑶分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为： a ⨯ c = ac b d bd⑷分式的除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.用字母表示为： a ÷ c = a ⨯ d = ad b d b c bc⎛ a ⎫n⑸分式的乘方法则：分子、分母分别乘方.用字母表示为： ⎪ ⎝ ⎭ = a nb n8. 整数指数幂：b ⑴ a m ⨯ a n = a m +n （ m 、n 是正整数）⑵(a m )n= a mn （ m 、n 是正整数） ⑶(ab )n= a n b n （ n 是正整数）⑷ a m ÷ a n = a m -n （ a ≠ 0 ， m 、n 是正整数， m > n ）⎛ a ⎫n ⑸ ⎪ ⎝ ⎭ a n b n （ n 是正整数） ⑹ a -n = 1 an （ a ≠ 0 ，n 是正整数） 9. 分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.10. 分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③检验(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化 为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).=。
一、选择题1．将分式2+x x y中的x ，y 的做同时扩大到原来的3倍，则分式的值（ ）A ．扩大到原来的3倍B ．缩小到原来的13C ．保持不变D ．无法确定2．下列命题中，属于真命题的是（ ）A ．如果0ab =，那么0a =B ．253xx x-是最简分式 C ．直角三角形的两个锐角互余 D ．不是对顶角的两个角不相等3．若关于x 的分式方程3211m x x =---有非负实数解，且关于x 的不等式组102x x m +≥⎧⎨+≤⎩有解，则满足条件的所有整数m 的和为（ ） A ．9-B ．8-C ．7-D ．6-4．2020年新冠肺炎疫情影响全球，各国感染人数持续攀升，医用口罩供不应求，很多企业纷纷加入生产口罩的大军中来，重庆某企业临时增加甲、乙两个厂房生产口罩，甲厂房每天生产的数量是乙厂房每天生产数量的2倍，两厂房各加工6000箱口罩，甲厂房比乙厂房少用5天．设乙厂房每天生产x 箱口罩．根据题意可列方程为（ ）A ．6000600052x x -= B ．6000600052x x -= C ．6000600052x x -=+ D ．6000600052x x-=+ 5．如果a ，b ，c ，d 是正数，且满足a +b +c +d =2，11a b c b c d ++++++11a c d ab d+++++=4，那么d a a b c b c d ++++++b ca c d ab d+++++的值为（ ）A ．1B ．12C ．0D ．46．如果分式11m m -+的值为零，则m 的值是（ ） A ．1m =- B ．1m = C ．1m =±D ．0m =7．下列说法：①解分式方程一定会产生增根；②方程4102x -=+的根为2；③方程11224=-x x 的最简公分母为2(24)-x x ；④1111x x x+=+-是分式方程．其中正确的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．若x 2y 5=，则x y y+的值为（ ） A ．25 B ．72C ．57D ．759．计算2m m 1m m-1+-的结果是（ ） A ．mB ．－mC ．m ＋1D ．m －110．大爱无疆，在爆发新冠病毒疫情后，甲，乙两家单位分别组织了员工捐款．已知甲单位捐款7500元，乙单位捐款9800元，甲单位捐款人数比乙单位少10人，且甲单位人均捐款额比乙单位多20元，若设甲单位的捐款人数为x ，则可列方程为（ ） A ．7500980020x x 10-=- B ．9800750020x 10x-=- C ．7500980020x x 10-=+D ．9800750020x 10x-=+ 11．下列式子的变形正确的是（ ）A ．22b b a a=B ．22+++a b a b a b=C ．2422x y x yx x --=D ．22m nn m-=- 12．3333x a a y x y y x+--+++等于（ ） A ．33x y x y-+B ．x y -C ．22x xy y -+D ．22xy +13．当1x 0-<<时， 1x -，0x ，2x 的大小顺序是（ ）A ．102x x x -<<B ．012x x x -<<C ．021x x x -<<D ．120x x x -<<14．计算a ba b a÷⨯的结果是（） A ．a B ．2aC ．2b aD ．21a 15．化简214a 2a 4---的结果为（ ） A ．1a 2+ B ．a 2+C ．1a 2- D ．a 2-二、填空题16．已知5,3a b ab -==，则b aa b+的值是__________． 17．席卷全世界的新型冠状病毒是个肉眼看不见的小个子，它的身高（直径）约为0.0000012米，将数0.0000012用科学记数法表示为_________．18．已知13x x-=，则21x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭________．19．若关于x 的方程1322m x x x-+=--的解是正数，则m =____________． 20．101()()2π-+-=______，011(3.14)2--++＝______． 21．化简分式：2121211a a a a +⎛⎫÷+= ⎪-+-⎝⎭_________．22．下列计算：①3100.0001-=；②()00.00011=；③()()352x x x --÷-=-；④22133a a-=；⑤()()321m m mm a a a -÷=-．其中运算正确的有______．（填序号即可）23．对于两个不相等的实数a ，b ，我们规定符号Min{,}a b 表示a ，b 中的较小的值，如Min{3,4}3=，按照这个规定，方程135Min ,2222x x x x -⎧⎫=-⎨⎬---⎩⎭的解为_____________．24．计算：11|1|3-⎛⎫-= ⎪⎝⎭______． 25．计算3224423y x x y⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭的结果是________．26．某工人现在平均每天比原计划多做20个零件，现在做4000个零件和原来做3000个零件的时间相同，问现在平均每天做______个零件．三、解答题27．某社区为了落实“惠民工程”，计划将社区的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的3倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天． （1）这项工程的规定时间是多少天？（2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？28．某快餐店欲购进A ，B 两种型号的餐盘，每个A 种型号的餐盘比每个B 种型号的餐盘费用多5元，且用120元购进的A 种型号的餐盘与用90元购进的B 种型号的餐盘的数量相同．（1）问A ，B 两种型号的餐盘单价为多少元？（2）若该快餐店决定在成本不超过1900元的前提下购进A ，B 两种型号的餐盘100个，则最多购进A 种型号餐盘多少个？29．鄂州市2020年被评为“全国文明城市”．创文期间，甲、乙两个工程队共同参与某段道路改造工程．如果甲工程队单独施工，恰好如期完成；如果甲、乙两工程队先共同施工10天，剩下的任务由乙工程队单独施工，也恰好能如期完成；如果乙工程队单独施工，就要超过15天才能完成．（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需多少天？（2）若甲工程队单独施工a 天，再由甲、乙两工程队合作______天（用含有a 的代数式表示）可完成此项工程．（3）现在要求甲、乙两个工程队都必须参加这项工程．如果甲工程队每天的施工费用为2万元，乙工程队每天的施工费用为1.5万元，甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，能使施工费用不超过61.5万元？ 30．计算 （1）2152224-⨯+÷； （2）()()30201821 3.14413π-⎛⎫-⨯---+- ⎪⎝⎭；（3）()2222322xy x y x y xy ⎡⎤---⎣⎦； （4）()()()3323231333xx x x ⎛⎫-+--⋅ ⎪⎝⎭．。
分 式一、概念：定义1：整式A 除以整式B ，可以表示成的形式。
BA如果除式B 中含有分母，那么称为分式。
（对于任BA何一个分式，分母不为0。
如果除式B 中含有分母，那么这个就是分式，对于任何一个分式，分母不为0。
分式：分母中含有字母。
整式：分母中没有字母。
而代数式则包含分式和整式。
）定义2：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。
定义3：分子和分母没有公因式的分式称为最简分式。
（化简分式时，通常要使结果成为最简分式或者整式。
）定义4：化异分母分式为同分母分式的过程称为分式的通分。
定义5：分母中含有未知数的方程叫做分式方程定义6：在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘一个含有未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解（或根），这种解通常称为增根。
二、基本性质：分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
三、运算法则：1、分式的乘法的法则:两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母;（用符号语言表示：﹒=）b a dc bdac2、分式的除法的法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.（用符号语言表示：÷=﹒=）b a d c b a c d bcad 分式乘除法的运算步骤：当分式的分子与分母都是单项式时： (1)乘法运算步骤是：①用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；②把分式积中的分子与分母分别写成分子与分母的分因式与另一个因式的乘积形式，如果分子(或分母)的符号是负号，应把负号提到分式的前面；③约分。
(2)除法的运算步骤是：把除式中的分子与分母颠倒位置后，与被除式相乘，其它与乘法运算步骤相同。
当分式的分子、分母中有多项式，①先分解因式；②如果分子与分母有公因式，先约分再计算.③如果分式的分子(或分母)的符号是负号时，应把负号提到分式的前面. 最后的计算结果必须是最简分式或整式.3、同分母分式加减法则是：同分母的分式相加减。
八年级数学第十五章--分式知识梳理知识点一、分式1、一般地，如果A,B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子 叫做分式。
分式 中，A 叫做分子，B 叫做分母。
2、分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式 才有意义。
3、分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。
即： 其中A,B,C 是整式。
4、根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约分，叫做分式的约分。
经过约分后的分式，分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。
5、根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
6、通分时，要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母知识点二、分式的运算7、分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母即 8、分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
即 9、分式乘方要把分子、分母分别乘方。
即 10、同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。
即 cb ac b c a ±=± 11、异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。
即 12、一般地，当n 是正整数时，B A B A B A CB C A B A ⋅⋅=)0(≠÷÷=C C B C A B A db c a d c b a ⋅⋅=⋅cb d acd b a d c b a ⋅⋅=⨯=÷n n n b a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛bdbc ad bd bc bd ad d c b a +=±=±)0(1≠=-a a a n n nn b a a b )(=-）（知识点三、分式方程13、分母中含有未知数的方程叫做分式方程14、解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边乘最简公分母。
八年级数学上册第十五章分式笔记重点大全单选题1、某农场挖一条480米的渠道，开工后，每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x 米，那么下列方程正确的是（ ）A ．480x −480x+20=4B ．480x −480x+4=20 C ．480x−20−480x =4D ．480x−4−480x =20 答案：A分析：设原计划每天挖x 米，则实际每天挖（x+20）米，由题意可得等量关系：原计划所用时间-实际所用时间=4，根据等量关系列出方程即可．解：设原计划每天挖x 米，原计划所用时间为480x ，实际所用时间为480x+20， 依题意得：480x −480x+20=4， 故选：A ．小提示：本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再列出方程．2、若a ≠b ，则下列分式化简正确的是（ ）A ．a+2b+2=a bB ．a−2b−2=a bC ．a 2b 2=a bD ．12a 12b =a b 答案：D分析：根据a≠b，可以判断各个选项中的式子是否正确，从而可以解答本题．∵a≠b，∴a+2b+2≠a b ，选项A 错误；a−2b−2≠a b ，选项B 错误； a 2b 2≠a b ，选项C 错误；12a 12b =a b ，选项D 正确； 故选：D ．小提示：本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．3、当x =1时，(x −2−4x 2−2x )÷x+22x 2=（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1答案：C分析：将原式化简后再将x =1带入求解即可．原式=[x(x−2)2x(x−2)−4x(x−2)]×2x 2x+2=2x [x(x−2)2−4](x+2)(x−2)=2x 2(x−2)2−8xx 2−4，当x =1时，原式=2×1×(1−2)2−81−4=2．故选：C 小提示：本题运用了分式的混合运算，熟练掌握是解决问题的关键．4、《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x 天，则可列方程为（ ）A ．900x+1×2=900x−3B ．900x+1=900x−3×2C ．900x−1×2=900x+3D ．900x+1=900x+3×2答案：A分析：根据题意先求得快马的速度和慢马的速度，根据快马的速度是慢马的2倍列分式方程即可．设规定时间为x 天，慢马的速度为900x+1，快马的速度为900x−3，则900x+1×2=900x−3． 故选A ．小提示：本题考查了分式方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键．5、若分式1x+2在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是（ ）A ．x ＞﹣2B ．x ＜﹣2C ．x=﹣2D ．x≠﹣2答案：D分析：直接利用分式有意义的条件分析得出答案．∵代数式1x+2在实数范围内有意义，∴x+2≠0，解得：x≠﹣2，故选D ．小提示：本题主要考查了分式有意义的条件，熟练掌握分母不为0时分式有意义是解题的关键．6、若分式x 2−9x−3的值为零，则x 的值为（ ）A ．-3B ．-1C ．3D ．±3答案：A分析：根据分式的值为零的条件即可求出答案．解：由题意可知：{x 2−9=0x −3≠0 解得：x =-3，故选：A ．小提示：本题考查分式的值，解题的关键是熟练运用分式的值为零的条件．7、化简（a ﹣1）÷（1a ﹣1）•a 的结果是（ ）A ．﹣a 2B ．1C ．a 2D ．﹣1答案：A分析：根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得．原式=（a ﹣1）÷1−a a •a =（a ﹣1）•a −(a−1)•a=﹣a 2，故选A ．小提示：本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．8、若a +b =5，则代数式（b 2a ﹣a ）÷（a−b a ）的值为（ ）A ．5B ．﹣5C ．﹣15D ．15 答案：B分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．∵a +b =5，∴原式=b 2−a 2a ⋅a a−b =−(a+b )(a−b )a ⋅a a−b =−(a +b )=−5，故选：B ．小提示：考查分式的化简求值，掌握减法法则以及除法法师是解题的关键，注意整体代入法在解题中的应用．9、方程2x+5=1x−2的解是（ ）A ．x =−1B ．x =5C ．x =7D ．x =9答案：D分析：根据题意可知，本题考察分式方程及其解法，根据方程解的意义，运用去分母，移项的方法，进行求解．解：方程可化简为2(x −2)=x +52x −4=x +5x =9经检验x =9是原方程的解故选D小提示：本题考察了分式方程及其解法，熟练掌握解分式方程的步骤是解决此类问题的关键．10、2x 2−4÷1x 2−2x 的计算结果为（ ）A ．x x+2B ．2x x+2C ．2x x−2D ．2x(x+2)答案：B分析：先把分母因式分解，再把除法转换为乘法，约分化简得到结果．2x 2−4÷1x 2−2x=2(x+2)(x−2)÷1x(x−2)=2(x+2)(x−2)·x(x −2) =2x x+2．故选：B ．小提示：本题主要考查了分式的除法，约分是解答的关键．填空题11、分式x+1x(x−1)中隐含着x 的取值应该满足的条件是：____________．答案：x ≠0且x ≠1##x≠1且x≠0分析：根据分式存在的条件，x+1x(x−1)的分母不为零，即可解得．分式x+1x(x−1) 存在，需满足分母不为零，即x(x −1)≠0解得x ≠0且x ≠1故答案：x ≠0且x ≠1．小提示：此题考查了分式存在的意义，解题的关键是找出隐含的条件，列出式子求解．12、若方程ax a+1−1=21−x 的解与方程6x =3的解相同，则a =________． 答案：−13分析：求出第二个分式方程的解，代入第一个方程中计算即可求出a 的值．解：方程6x =3去分母得：3x ＝6，解得：x ＝2，经检验x＝2是分式方程的解，根据题意将x＝2代入第一个方程得：2aa+1−1=21−2解得：a=−13，经检验a=−13是原分式方程的解，则a=−13．所以答案是：−13．小提示：此题考查了分式方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．13、当x=√2021+3时，代数式(x+3x2−3x −x−1x2−6x+9)÷x−9x的值是____．答案：12021分析：先根据分式的加减乘除运算法则化简，然后再代入x求值即可．解：由题意可知：原式=[x+3x(x−3)−x−1(x−3)2]×xx−9=[(x+3)(x−3)x(x−3)2−x(x−1)x(x−3)2]×xx−9=x2−9−x2+xx(x−3)2×xx−9=x−9x(x−3)2×xx−9=1(x−3)2，当x=√2021+3时，原式=(√2021+3−3)2=12021，所以答案是：12021．小提示：本题考查了分式的加减乘除混合运算，属于基础题，运算过程中细心即可求解．14、分式2x−2有意义，则x应满足的条件是___________．答案：x≠2分析：根据分式有意义的条件是分母不为0得出不等式，求解即可．解：分式2x−2有意义，即x−2≠0，∴x≠2，所以答案是：x≠2．小提示：本题考查分式有意义的条件，牢记分式有意义的条件是分式的分母不为0．15、计算：2x−3+13−x＝_______．答案：1x−3分析：首先把分式变形为2x−3+13−x=2x−3−1x−3，再根据同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减进行计算即可．解：2 x−3+1 3−x=2x−3-1x−3 =1x−3小提示：此题主要考查了分式的加减，关键是把异分母分式转变为同分母分式．解答题16、计算：(1)2m3n ⋅(−3np)2÷mnp2；(2)2x 2x+y−x+y．答案：(1)6(2)x 2+y2x+y分析：（1）先将积的乘方计算出来，同时把除法转换成乘法，能约分的要约分，即可求出结果；（2）原式变形为2x 2x+y−(x−y)，再通分，变成同分母分数，根据分式加减法则即可求出答案．（1）解：2m3n ⋅(−3np)2÷mnp2=2m3n⋅9n2p2×p2mn=6，故答案是：6．（2）解：2x 2x+y−x+y=2x2x+y−(x−y)(x+y)x+y=2x2−x2+y2x+y=x2+y2x+y，故答案是：x 2+y2x+y．小提示：本题主要考查分式的四则混合运算，掌握了积的乘方，分式的乘法，分式的加减法则是解题的关键．17、解方程：1−23−x =4x−3答案：x=5分析：先方程两边同时乘以(x−3)，化成整式方程求解，然后再检验分母是否为0即可．解：方程两边同时乘以(x−3)得到：x−3+2=4，解出：x=5，当x=5时分式方程的分母不为0，∴分式方程的解为：x=5．小提示：本题考查了分式方程的解法，属于基础题，计算过程中细心即可．18、化简aa2−4⋅a+2a2−3a−12−a，并求值．其中a与2、3构成△ABC的三边，且a为整数．答案：1a−3，a=4，原式=1分析：根据分式的运算性质进行花间，再根据三角西三边关系和分式有意义的条件求解即可；原式=a(a+2)(a−2)⋅a+2a(a−3)+1a−2=1(a−2)(a−3)+1a−2=1+a−3(a−2)(a−3)，=a−2(a−2)(a−3)=1a−3，∵a与2、3构成△ABC的三边，且a为整数，∴1<a<5，即a=2,3,4，当a=2或a=3时，原式没有意义，取a=4，原式=1．小提示：本题主要考查了分式的化简和分式有意义的条件和三角形三边关系，准确分析计算是解题的关键．。
八年级数学上册“第十五章分式”必背知识点一、分式的定义与意义1. 分式的定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A/B叫做分式，A为分子，B为分母。
整式是分母中没有字母的代数式，而分式是分母中含有字母的代数式。
2. 分式有意义的条件：分母不能为0，即B≠0时，分式A/B才有意义。
3. 分式无意义的条件：分母为0，即B=0时，分式A/B无意义。
二、分式的基本性质基本性质：分式的分子与分母同乘 （或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
用式子表示为：若C≠0，则A/B = A×C / B×C。
约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式。
通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。
最简公分母是取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母。
三、分式的运算1. 乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
即：(a/b) ×(c/d) = ac/bd。
2. 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
即：(a/b) ÷(c/d) = (a/b) ×(d/c) = ad/bc。
3. 乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。
即：(a/b)^n = a^n/b^n （其中n为正整数）。
4. 加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。
即：(a/c) ±(b/c) = (a±b)/c。
异分母分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。
四、分式方程的解法定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
解法步骤：1. 去分母：把方程两边同乘以各分母的最简公分母，得到整式方程。
2. 解整式方程：解这个整式方程，得到整式方程的解。
一、选择题1．使分式21x x -有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x ≠1 B ．x ≠0C ．x ≠±1D ．x 为任意实数C 解析：C【分析】分式有意义的条件是分母不等于零，据此可得x 的取值范围．【详解】由题意，得x 2−1≠0，解得：x≠±1，故选：C ．【点睛】此题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零． 2．已知分式24x x +的值是正数，那么x 的取值范围是（ ） A ．x ＞0B ．x ＞-4C ．x ≠0D ．x ＞-4且x ≠0D解析：D【分析】 若24x x+的值是正数，只有在分子分母同号下才能成立，即x ＋4＞0，且x≠0，因而能求出x 的取值范围．【详解】 解：∵24x x +＞0， ∴x ＋4＞0，x≠0，∴x ＞−4且x≠0．故选：D ．【点睛】 本题考查分式值的正负性问题，若对于分式a b（b≠0）＞0时，说明分子分母同号；分式a b（b≠0）＜0时，分子分母异号，也考查了解一元一次不等式． 3．关于x 的一元一次不等式组31,224x m x x x⎧-≤+⎪⎨⎪-≤⎩的解集为4x ≤，且关于y 的分式方程13122my y y y--+=--有整数解，则符合条件的所有整数m 的和为（ ） A ．9B ．10C ．13D ．14A解析：A【分析】不等式组整理后，根据已知解集确定出m 的范围，分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程有整数解确定出整数m 的值，进而求出之和即可．【详解】 解：31224x m x x x ⎧-≤+⎪⎨⎪-≤⎩①②，解①得x≤2m+2，解②得x≤4，∵不等式组31224x m x x x⎧-≤+⎪⎨⎪-≤⎩的解集为4x ≤，∴2m+2≥4，∴m≥1．13122my y y y--+=--， 两边都乘以y-2，得my-1+y-2=3y ， ∴32y m =-， ∵m≥1，分式方程13122my y y y --+=--有整数解， ∴m=1，3，5，∵y-2≠0，∴y≠2， ∴322m ≠-， ∴m≠72， ∴m=1，3，5，符合题意，1+3+5=9．故选A ．【点睛】此题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键． 4．2020年新冠肺炎疫情影响全球，各国感染人数持续攀升，医用口罩供不应求，很多企业纷纷加入生产口罩的大军中来，重庆某企业临时增加甲、乙两个厂房生产口罩，甲厂房每天生产的数量是乙厂房每天生产数量的2倍，两厂房各加工6000箱口罩，甲厂房比乙厂房少用5天．设乙厂房每天生产x 箱口罩．根据题意可列方程为（ ）A ．6000600052x x-= B ．6000600052x x -= C ．6000600052x x -=+ D ．6000600052x x -=+ A 解析：A【分析】 设乙厂房每天生产x 箱口罩，则甲厂房每天生产2x 箱口罩，根据两厂房各加工6000箱口罩，甲厂房比乙厂房少用5天列分式方程．【详解】 设乙厂房每天生产x 箱口罩，则甲厂房每天生产2x 箱口罩， 根据题意得：6000600052x x-=， 故选：A ．【点睛】此题考查分式方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系从而列出方程是解题的关键． 5．世界上数小的开花结果植物是激大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花架，质做只有0.000000076克，0.000000076用科学记数法表示正确的是（ ） A ．-60.7610⨯B ．-77.610⨯C ．-87.610⨯D ．-97.610⨯ C 解析：C【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】0.000000076=87.610-⨯，故选：C【点睛】此题考查了科学记数法，注意n 的值的确定方法，当原数小于1时，n 是负整数，n 等于原数左数第一个非零数字前0的个数，按此方法即可正确求解6．如果a ，b ，c ，d 是正数，且满足a +b +c +d =2，11a b c b c d ++++++11a c d a b d+++++=4，那么d a a b c b c d ++++++b c a c d a b d+++++的值为（ ）A ．1B ．12C ．0D ．4D 解析：D【分析】根据a +b +c +d =2，11114a b c b c d b c d b c d +++=++++++++，将所求式子变形便可求出．【详解】∵a +b +c +d =2，11114a b c b c d b c d b c d +++=++++++++， ∴d a b c a b c b c d a c d a b d+++++++++++ =2()2()2()2()a b c b c d a c d a b d a b c b c d a c d a b d-++-++-++-+++++++++++++ =2a b c ++﹣1+2b c d ++﹣1+2a c d ++﹣1+2a b d ++﹣1 =2×（1111a b c b c d a c d a b d+++++++++++）﹣4 =2×4﹣4=8﹣4=4，故选：D ．【点睛】 本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．7．若x 2y 5=，则x y y +的值为（ ） A ．25 B ．72 C ．57 D ．75D 解析：D【分析】 根据同分母分式的加法逆运算得到x y x y y y y +=+，将x 2y 5=代入计算即可． 【详解】解：∵x 2y 5=， ∴x y x y 2y y y 5+=+=+175=， 故选：D ．【点睛】此题考查同分母分式的加减法，已知式子的值求分式的值．8．22()-n b a（n 为正整数）的值是（ ） A ．222+nn b aB ．42n n b aC ．212+-n n b aD ．42-n n b aB 解析：B【分析】根据分式的乘方计算法则解答．【详解】 2422()-=nn n b b a a． 故选：B ．【点睛】此题考查分式的乘方计算法则：等于分子、分母分别乘方，熟记法则是解题的关键．9．如果关于x 的不等式组0243(2)x m x x -⎧>⎪⎨⎪-<-⎩的解集为1x >，且关于x 的分式方程1322x m x x -+=--有非负整数解，则符合条件的所有m 的取值之和为（ ） A ．8-B ．7-C ．15D ．15- B解析：B【分析】解出不等式组，求出不等式组的解集，确定m 的取值范围，再解出分式方程，找到分式方程的非负整数解，进而求出m 的值即可．【详解】 解：0243(2)x m x x -⎧>⎪⎨⎪-<-⎩①②，解不等式①得：x m >，解不等式②得：1x >，不等式组的解集为1x >，∴1m ；1322x m x x -+=-- 方程两边同时乘以()2x -得：()132x m x --=-； 解得：52m x +=， ∴25m x =-，1m ，∴251x -≤，∴3x ≤，分式方程有非负整数解且20x -≠，∴x 的值为：0，1，3，此时对应的m 的值为：5-，3-，1，∴符合条件的所有m 的取值之和为：()5317-+-+=-．故选：B ．【点睛】本题考查了分式方程的解以及不等式的解集，求得m 的取值范围以及求出分式方程的解是解题的关键．10．当1x 0-<<时， 1x -，0x ，2x 的大小顺序是（ ）A ．102x x x -<<B ．012x x x -<<C ．021x x x -<<D ．120x x x -<< D 解析：D【分析】 根据负整数指数幂的运算法则可得110x x-=<，根据非零数的零次幂可得0x 1=，根据平方的结果可得20x 1<<，从而可得结果．【详解】解：∵1x 0-<<，∴20x 1<<，0x 1=，11x0x-=<， ∴120x x x -<<．故选：D ．【点睛】本题主要考查了代数式的大小比较，需结合幂的运算法则进行求解． 二、填空题11．科学家使用冷冻显微术测定细菌蛋白结构的分辨率达到0.22纳米，也就是0.00000000022米．将0.00000000022用科学记数法表示为__________．2×10-10【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示一般形式为a×10−n 与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定【详解】解解析：2×10-10【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：0.00000000022＝2.2×10−10，故答案为：2.2×10−10．【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n ，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．12．某班在“世界读书日”当天开展了图书交换活动，第一组同学共带图书24本，第二组同学共带图书27本．已知第一组同学比第二组同学平均每人多带1本图书，第二组人数是第一组人数的1.5倍，则第一组的人数为_________人．6【分析】先设第一组有x 人则第二组人数是15x 人根据题意可得等量关系：第一组同学共带图书24本÷第一组的人数-第二组同学共带图书27本÷第二组的人数=1根据等量关系列出方程即可【详解】解：设第一组有解析：6【分析】先设第一组有x 人，则第二组人数是1.5x 人，根据题意可得等量关系：第一组同学共带图书24本÷第一组的人数-第二组同学共带图书27本÷第二组的人数=1，根据等量关系列出方程即可．【详解】解：设第一组有x 人． 根据题意，得242711.5x x-=, 解得x=6．经检验，x=6是原方程的解，且符合题意．答：第一组有6人，故答案为6．【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程，不要忘记检验． 13．211a a a-+=+_________．【分析】先通分再分母不变分子相减即可求解【详解】故答案为：【点睛】本题考查了分式加减运算的法则熟记法则是解题的关键 解析：11a + 【分析】先通分，再分母不变，分子相减即可求解.【详解】222222211(1)11111111(1)(1)11a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +--+=--=-=-==+++++++-++-故答案为：11a + 【点睛】 本题考查了分式加减运算的法则，熟记法则是解题的关键．14．223(3)a b -＝______，22()a b ---＝______．【分析】（1）首先利用积的乘方以及幂的乘方法则计算然后根据负指数次幂的意义化成正指数次幂即可；（2）首先利用积的乘方以及幂的乘方法则计算然后根据负指数次幂的意义化成正指数次幂即可【详解】；【点睛】本 解析：6627a b 42a b【分析】（1）首先利用积的乘方以及幂的乘方法则计算，然后根据负指数次幂的意义化成正指数次幂即可；（2）首先利用积的乘方以及幂的乘方法则计算，然后根据负指数次幂的意义化成正指数次幂即可.【详解】()632266627327a a b a b b --==； 422422()a a b a b b----==. 【点睛】 本题考查了负整数指数幂，利用了积的乘方等于乘方的积，单项式的乘法，负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数．15．101()()2π-+-=______，011(3.14)2--++＝______．【分析】根据零指数幂和负整数指数幂等知识点进行解答幂的负指数运算先把底数化成其倒数然后将负整指数幂当成正的进行计算任何非0数的0次幂等于1【详解】2+1=3；【点睛】本题是考查含有零指数幂和负整数指 解析：12【分析】根据零指数幂和负整数指数幂等知识点进行解答，幂的负指数运算，先把底数化成其倒数，然后将负整指数幂当成正的进行计算．任何非0数的0次幂等于1．【详解】101()()2π-+-=2+1=3； 011(3.14)2--++1112=-++12=【点睛】本题是考查含有零指数幂和负整数指数幂的运算．根据零指数幂和负整数指数幂等知识点进行解答即可.16．下列计算：①3100.0001-=；②()00.00011=；③()()352x x x --÷-=-；④22133a a-=；⑤()()321m m m m a a a -÷=-．其中运算正确的有______．（填序号即可）②⑤【分析】根据负整数指数幂零指数幂同底数幂的除法法则进行计算逐个判断即可【详解】解：；故①计算错误；；②计算正确；；故③计算错误；；故④计算错误故⑤计算正确故答案为：②⑤【点睛】本题考查同底数幂的解析：②⑤．【分析】根据负整数指数幂、零指数幂、同底数幂的除法法则进行计算，逐个判断即可．【详解】 解：3110=0.0011000-=；故①计算错误； ()00.00011=；②计算正确； ()()22352()1x x x x x --=-÷=-=-；故③计算错误； 2233a a-=；故④计算错误 ()()333221(1)=(1)mm m m m m m m a a a a a a -÷=-⨯÷=--，故⑤计算正确 故答案为：②⑤．【点睛】本题考查同底数幂的除法，积的乘方以及零指数幂，负整数指数幂的计算，掌握运算法则正确计算是解题关键．17．关于x 的方程53244x mx x x++=--无解，则m =________．3或【分析】分式方程无解即化成整式方程时无解或者求得的x 能令最简公分母为0据此进行解答【详解】解：方程两边都乘以（x-4）得整理得：当时即m=3方程无解；当时∵分式方程无解∴x-4=0∴x=4∴解得解析：3或174． 【分析】分式方程无解，即化成整式方程时无解，或者求得的x 能令最简公分母为0，据此进行解答．【详解】解：方程两边都乘以（x-4）得，5(3)2(4)x mx x -+=-，整理，得：(3)5m x -=-当30m -=时，即m=3，方程无解；当30m -≠时，53x m =-， ∵分式方程无解，∴x-4=0，∴x=4， ∴543m =-， 解得，174m =． 故答案为：3或174． 【点睛】 本题考查了分式方程的解，分式方程无解分两种情况：整式方程本身无解；分式方程产生增根．18．计算：201(1)2|2π-⎛⎫++-= ⎪⎝⎭_____．【分析】先利用零次幂绝对值负整数次幂化简然后再计算即可【详解】解：故答案为：【点睛】本题主要考查了零次幂绝对值负整数次幂以及实数的运算灵活应用相关知识点成为解答本题的关键解析：1--【分析】先利用零次幂、绝对值、负整数次幂化简，然后再计算即可．【详解】解：201(1)|2|2π-⎛⎫++- ⎪⎝⎭124=+1=-．故答案为：1-【点睛】本题主要考查了零次幂、绝对值、负整数次幂以及实数的运算，灵活应用相关知识点成为解答本题的关键．19．若关于x 的分式方程232x m x +=-的解是正数，则实数m 的取值范围是_________且m-4【分析】先解方程求出x=m+6根据该方程的解是正数且x-20列得计算即可【详解】2x+m=3（x-2）x=m+6∵该方程的解是正数且x-20∴解得且x-4故答案为：且m-4【点睛】此题考查分解析：6m >-且m ≠-4【分析】先解方程求出x=m+6，根据该方程的解是正数，且x-2≠0列得60620m m +>⎧⎨+-≠⎩，计算即可. 【详解】232x m x +=- 2x+m=3（x-2）x=m+6，∵该方程的解是正数，且x-2≠0，∴60620m m +>⎧⎨+-≠⎩， 解得6m >-且x ≠-4，故答案为：6m >-且m ≠-4.【点睛】此题考查分式的解的情况求字母的取值范围，解题中注意不要忽略分式的分母不等于零的情况.20．计算3224423y x x y⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭的结果是________．【分析】先算乘方再算乘除即可得到答案【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查分式的化简求值属于基础题 解析：26y x- 【分析】先算乘方，再算乘除即可得到答案．【详解】 解：3224423y x x y⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭ 6234483y x x y=-⋅ 26y x=-． 故答案为：26y x-．本题考查分式的化简求值，属于基础题．三、解答题21．某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为30元，用80元购进甲种玩具的件数与用70元购进乙种玩具的件数相同．（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？（2）商场计划购进甲、乙两种玩具共50件，其中甲种玩具不低于22件，商场决定此次进货的总资金不超过750元，求商场共有几种进货方案？解析：（1）甲，乙两种玩具分别是16元/件，14元/件；（2）4种【分析】（1）设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为（30﹣x）元/件，然后根据用80元购进甲种玩具的件数与用70元购进乙种玩具的件数相同列分式方程求解，注意结果要检验；（2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具（50﹣y）件，然后利用甲种玩具不低于22件，商场决定此次进货的总资金不超过750元列不等式求解，从而确定y的取值【详解】解：（1）设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为（30﹣x）元/件依题意得：80x＝7030x解得：x＝16，经检验x＝16是原方程的解．∴30﹣x＝14.甲，乙两种玩具分别是16元/件，14元/件；（2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具（50﹣y）件，依题意得： 16y＋14（50－y）≤750，解得：y≤25，又∵y≥22∴22≤y≤25因为y为非负整数，∴y取22，23，24， 25共有4种方案．【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式组．22．某高速公路有300km的路段需要维修，拟安排甲、乙两个工程队合作完成．已知甲队每天维修公路的长度是乙队每天维修公路长度的2倍，并且在各自独立完成长度为48km 公路的维修时，甲队比乙队少用6天．（1）求甲乙两工程队每天能完成维修公路的长度分别是多少km？（2）两个工程队合作15天后乙队另有任务，余下工程由甲队完成，请你用所学过的知识判断能否在规定的30天工期完成并写出求解过程．解析：（1）甲、乙工程队每天能完成维修公路的长度分别是8km和4km；（2）能，理由【分析】（1）设乙工程队每天能完成维修公路的长度是xkm ．由甲队每天维修公路的长度是乙队每天维修公路长度的2倍，可得甲队每天维修公路的长度为2xkm ，根据等量关系各自独立完成长度为48km 公路的维修时，甲队比乙队少用6天．列方程484862x x -=，解方程及检验即可；（2）求出甲乙两队合作15天的工作量，求出余下的工作量，最后利用公式余下的工作量除以甲的工作效率求出余下的时间，比较合作时间15天+甲作余下工作时间与30天的大小即可．【详解】解：()1设乙工程队每天能完成维修公路的长度是xkm ， 依题意得484862x x-=， 解得：4x =，经检验：4x =是原方程的解．则甲工程队每天能完成维修公路的长度是()24=8km ⨯．答：甲、乙工程队每天能完成维修公路的长度分别是8km 和4km ．()()2154+8=180km ⨯，300-180=120km ，1208=15÷天，15+15=30（天），所以能在规定工期内完成．【点睛】本题考查工程问题列分式方程解应用题，掌握列分式方程解应用题的方法，以及工作量，工作时间，和工作效率之间关系，抓住由甲队每天维修公路的长度是乙队每天维修公路长度的2倍设未知数，各自独立完成长度为48km 公路的维修时，甲队比乙队少用6天．构造方程，注意分式方程要验根．23．计算：（1）222221538x y y x ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭． （2）2222324424x x x x x x x ⎛⎫-+-÷ ⎪-+--⎝⎭． 解析：（1）256y ；（2）3x - 【分析】（1）先算乘方，再算乘法即可；（2）根据分式混合运算的法则进行计算即可.（1）原式224241598x y y x=⋅256y =； （2）()()()()22322222x x x x x x x ⎡⎤-+=-÷⎢⎥-+--⎢⎥⎣⎦ 31222x x x x ⎛⎫=-÷ ⎪---⎝⎭()3232x x x x -=⨯-=-- 【点睛】本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键.24．解答下列各题：（1）计算：()()()2233221x x x x x -⋅++--+（2）计算：()()()33323452232183a b cac a b a c -⋅÷-÷ （3）解分式方程：11222x x x++=-- 解析：（1）5x -；（2）19b ；（3）23x =【分析】 （1）首先利用同底数幂的乘法法则、平方差公式、完全平方公式计算，然后合并同类项求出答案；（2）先算积的乘方、幂的乘方，再从左到右计算同底数幂的乘法除法求出答案；（3）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：（1）()()()2233221x x x x x -⋅++--+=223421x x x x +----=5x -；（2）()()()33323452232183a b cac a b a c -⋅÷-÷ =()()963345662721827a b c ac a b a c -⋅÷-÷=()()10664566541827a b c a b a c -÷-÷=()6666327a bc a c ÷ =19b ； （3）解分式方程：11222x x x++=-- 去分母得：1+2（x-2）=-（1+x ），去括号合并得，2x-3=-1-x ，移项合并得，3x=2， 解得：23x =， 经检验23x =是分式方程的解． 【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握运算法则是解题关键．也考查了解分式方程，去分母转化为整式方程是关键．25．列方程解应用题为了提高学生的身体素质，落实教育部门“在校学生每天体育锻炼时间不少于1小时”的文件精神，某校开展了“阳光体育天天跑活动”，初中男生、女生分别进行1000米和800米的计时跑步．在一次计时跑步中，某班一名女生和一名男生的平均速度相同，且这名女生跑完800米所用时间比这名男生跑完1000米所用时间少56秒，求这名女生跑完800米所用时间是多少秒．解析：这名女生跑完800米所用时间是224秒【分析】设这名女生跑完800米所用时间x 秒，由题意可得关于x 的分式方程，解分式方程并经过检验即可得到问题答案．【详解】解：设这名女生跑完800米所用时间x 秒，则这名男生跑完1000米所用时间(56)x +秒， 根据题意，得800100056x x =+． 解得：224=x ．经检验，224=x 是所列方程的解，并且符合实际问题的意义．答：这名女生跑完800米所用时间是224秒.【点睛】本题考查分式方程的应用，根据题目中的数量关系正确地列出分式方程并求解是解题关键．26．先化简，再求值：22121124x x x x -+⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭，其中3x =． 解析：21x x +-；52【分析】 先计算括号内的运算，然后计算除法，把分式进行化简得到最简分式，再把3x =代入计算，即可得到答案．【详解】解：原式=()()()22212211x x x x x x x +--+⨯=---； 当3x =时，原式=522331=-+． 【点睛】 本题考查了分式的混合运算，分式的化简求值，解题的关键是掌握运算法则进行计算． 27．观察下列等式：111122=-⨯，1112323=-⨯，1113434=-⨯． 将以上三个等式左、右两边分别相加得：1111111131122334223344++=-+-+-=⨯⨯⨯ （1）若n 为正整数，猜想并填空：1(1)n n =+______． （2）计算111111223344520202021+++++⨯⨯⨯⨯⨯的结果为______． （3）解分式方程：11122(2)(3)(3)(4)1x x x x x x ++=------． 解析：（1）111n n -+；（2）20202021；（3）7x =． 【分析】 （1）观察已知等式可得：连续整数乘积的倒数等于较小数的倒数与较大数的倒数的差，据此可得111(1)1n n n n =-++； （2）利用所得规律列出算式1111111223320202021-+-+++-，再两两相消即可得112021-，计算后可得结果； （3）由所得规律对分式方程进行整理，可变形为111112232431x x x x x x +-+-=------，最终化简为1241x x =--，求解此方程即可． 【详解】 解：（1）∵111122=-⨯，1112323=-⨯，1113434=-⨯， ∴当n 为正整数时，111(1)1n n n n =-++． 故答案为：111n n -+．（2）111111223344520202021+++++⨯⨯⨯⨯⨯ 111111112233420202021=-+-+-+- 112021=- 20202021=． 故答案为：20202021． （3）原方程变形为：111112232431x x x x x x +-+-=------， ∴1241x x =--， 去分母，得：12(4)x x -=-，解得7x =， 经检验，7x =是原方程的解．【点睛】本题考查了数字的变化规律及解分式方程，解题的关键是理解题意，找出数字的变化规律，并准确运用所得规律求解分式方程．28．计算（1）2152224-⨯+÷； （2）()()30201821 3.14413π-⎛⎫-⨯---+- ⎪⎝⎭； （3）()2222322xy x y x y xy ⎡⎤---⎣⎦； （4）()()()3323231333x x x x ⎛⎫-+--⋅ ⎪⎝⎭． 解析：（1）5；（2）-42；（3）222xy x y +；（4）67x ．【分析】（1）根据有理数混合运算法则计算即可；（2）根据负指数整数幂、零指数幂、绝对值的意义及乘方，计算即可；（3）去括号，然后合并同类项即可；（4）根据积的乘方、幂的乘方运算法则计算即可．【详解】解：（1）2152224-⨯+÷=115522-+=； （2）()()30201821 3.14413π-⎛⎫-⨯---+- ⎪⎝⎭=271161-⨯-+ =2716142--+=-；（3）()2222322xy x y x y xy ⎡⎤---⎣⎦ =22223242xy x y x y xy +-- =222xy x y +； （4）()()()3323231333xx x x ⎛⎫-+--⋅ ⎪⎝⎭ =6633192727x x x x -+-⋅ =67x ．【点睛】 本题主要考查有理数的混合运算、整式的混合运算，解题的关键是熟练运用运算法则．。
