莱布尼兹定理

动量定理和动量守恒定律
动量定理（或称为莱布尼兹动量定理）是物理学中的一条基本定理，它说明了物体受
力时动量发生变化的定律，即在任何时刻点，物体动量的变化等于向物体施加的力的矢量积。

动量定理的数学公式可以表达为：
$$\vec{P}= \frac{d\vec{p}}{dt} = \sum \vec{F_T}$$
其中，$P$ 代表物体的动量，$F_T$代表施加在物体上的外力，$p$代表物体的线速度，$t$代表时间。

从上式可以看出，动量的定义比较宽泛，除了物体的位置和速度外，还包括了力对物
体的作用，也就是动量改变的原因就是因为物体受力，所以又叫做力学定理。

在微分形式中，动量定理也可以写作：
动量定理的重要意义是：动量是物体受力变化的定律，这个定律蕴含着物体受力量变
化的定律，即动量守恒定律。

动量守恒定律是物理学中最基本也是最重要的定律，它非常宽泛地适用于物理学问题，它宣布了外力作用下物体总动量（包括质量和速度）保持不变。

即：
总动量 $$P_1 + P_2 + ...+ P_N = P_1^{'} + P_2^{'} + ...+ P_N^{'}$$
因此，当外力改变物体的总动量时，实际上就是通过物体内部各外力矢量积之和改
变物体的总动量。

动量守恒定律是一个强有力的物理定律，依照这个定律，动量的总和将
始终守恒不变。

1牛顿布莱尼茨公式牛顿-莱布尼兹公式,又称为微积分基本定理,其内容是：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且存在原函数F(x),则f(x)在[a,b]上可积,且从a到b的定积分（积分号下限为a上限为b）：∫f(x)dx=F(b)-F(a)其意义就在于把不定积分与定积分联系了起来,也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法.2牛顿布莱尼茨公式证明过程证明：设：F(x)在区间(a,b)上可导,将区间n等分,分点依次是x1,x2,…xi…x(n-1),记a=x0,b=xn,每个小区间的长度为Δx=(b-a)/n,则F(x)在区间[x(i-1),xi]上的变化为F(xi)-F(x(i-1))(i=1,2,3…)当Δx很小时,F(x1)-F(x0)=F’(x1)*ΔxF(x2)-F(x1)=F’(x2)*Δx……F(xn)-F(x(n-1))=F’(xn)*Δx所以,F(b)-F(a)=F’(x1)*Δx+ F’(x2)*Δx+…+ F’(xn)*Δx当n→+∞时,∫(a,b)F’(x)dx=F(b)-F(a)3牛顿布莱尼茨公式意义牛顿-莱布尼茨公式的发现，使人们找到了解决曲线的长度，曲线围成的面积和曲面围成的体积这些问题的一般方法。

它简化了定积分的计算，只要知道被积函数的原函数，总可以求出定积分的精确值或一定精度的近似值。

牛顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它是微积分中最基本的公式之一。

它证明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为一门真正的学科。

牛顿-莱布尼茨公式是积分学理论的主干，利用牛顿一莱布尼茨公式可以证明定积分换元公式，积分第一中值定理和积分型余项的泰勒公式。

牛顿-莱布尼茨公式还可以推广到二重积分与曲线积分，从一维推广到多维。

专题二十基础知识定理1（交错级数的莱布尼兹定理）若交错级数∑∞=-1)1(n n nu （ ,3,2,1=n ）满足：（1）1+≥n n u u （ ,3,2,1=n ） （2）0lim =∞→n n u则∑∞=-1)1(n n nu 收敛，且11)1(u u n n n ≤-∑∞=。

注：交错级数∑∞=-1)1(n n nu 收敛要求数列}{n u 单调递减且趋向于零。

对于任意项级数∑∞=1n nu，引入绝对值级数的概念：级数∑∞=1||n nu称为∑∞=1n n u 的绝对值级数。

定理2若级数∑∞=1||n nu收敛，则∑∞=1n n u 亦收敛。

由定理2知收敛级数∑∞=1n nu分为两种：（1）条件收敛：要求∑∞=1n nu收敛，∑∞=1||n nu发散。

（2）绝对收敛：要求∑∞=1||n nu。

总结：判定级数∑∞=1n nu的敛散性，可按如下步骤进行：（1）首先讨论n n u ∞→lim 。

若n n u ∞→lim 不存在或0lim ≠∞→n n u ，级数∑∞=1n nu发散；若0lim =∞→n n u ，转入第二步。

（2）其次讨论∑∞=1||n nu的敛散性，可运用正项级数的一系列敛散性判别法。

若∑∞=1||n n u 收敛，则∑∞=1n nu绝对收敛；若∑∞=1||n nu发散，转入第三步。

（3）最后讨论∑∞=1n nu的敛散性，可能用到交错级数的莱布尼兹定理。

若∑∞=1n nu收敛，则∑∞=1n nu条件收敛；若∑∞=1n nu发散，当然∑∞=1n nu发散。

例题1. 设α为常数，判定级数∑∞=-12]1sin [n nn na 的敛散性。

解：∑∑∑∞=∞=∞=-=-112121sin ]1sin [n n n n n na n n na 由于221|sin |n n na ≤，∑∞=121n n 收敛，由比较判别法知级数∑∞=12sin n n na收敛（绝对收敛），而∑∑∞=∞==121111n n nn为一发散的p 级数，故∑∞=-12]1sin [n nn na 发散。

五大圆幂定理
欧拉-莱布尼兹大五角定理，又称为欧拉-莱布尼兹大五圆定理，是一个
被认为是数学史上最重要的定理之一。

它最初是由十七世纪的意大利
数学家拉斐尔·欧拉（L.Euler）提出的。

欧拉-莱布尼兹大五角定理犹如一颗闪耀着数学之光的明珠，它说明了
五角形内每个角度凑成三等分之和为1800度，这也被称为五角形角和
定理。

欧拉-莱布尼兹大五角定理的证明报告书可以归纳为以下五个主要结论：
1.几何定义：五角形是一个形状有五个角的多边形，每个角的面积都是一样的。

2.加和定理：五角形的五个角的面积加起来等于1800度。

3.三平分定理：五角形中每个角都可以分成三等份，每份等于600度。

4.对称定理：五角形的五个角都是对称的，形状也是对称的。

5.圆周定理：五角形的每个角必须满足360度的圆周定理，即每个角都
必须和圆周长度一样。

欧拉-莱布尼兹大五角定理由这五点概括，实际上它涵盖了五角形形状、加法、三平分、对称以及圆周的概念，因此它也被称为圆幂定理。

欧
拉-莱布尼兹的大五角定理，让我们看到了数学在自然界中的应用，也
成为数学家们进行数学研究的基础。

微积分基本定理的理解
什么是微积分基本定理？
也叫牛顿-莱布尼兹公式，通常也被称为微积分基本定理，揭示了定积分与被积函数的原函数之间的联系。

牛顿-莱布尼茨公式的发现，使人们找到了解决曲线的长度，曲线围成的面积和曲面围成的体积这些问题的一般方法。

它简化了定积分的计算，只要知道被积函数的原函数，总可以求出定积分的精确值或一定精度的近似值。

牛顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它是微积分中最基本的公式之一。

它证明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为一门真正的学科。

定义
如果函数在区间上连续，并且存在原函数，则
理解
以路程与速度函数为例，速度在t1到t2时刻的定积分，就是路程函数在每一时刻的变化率，即
（通俗理解）则将t1时刻到t2时刻s(t)在每点的变化累积起来就是s(t)从t1时刻到t2时刻的变化，即：
s(t2)-s(t1).
推广到一般函数就是：
这就是微积公基本定理。

legendre定理
莱布尼兹-勒让德定理(Legendre's theorem)是历史上第一个
定义数论的定理，也是数论中最重要的定理之
一。

它源于古希腊哲学家亚里士多德的一个发现，在18
世纪末由法国数学家和天文学家安德烈·莱布尼兹·勒让德提出。

它表明，任何一个正整数都可以表示为若干个质数的乘积，而且这种表示法只有一种。

莱布尼兹-勒让德定理可以用一句简单的话来概括：任何
正整数都可以用一系列质数的乘积表示，而且这种表示法且只有一种。

例如，36可以写成2×2×3×3的形式，而不能写成
2×2×2×3的形式，因为2和3都是质数，它们之间不能有其他
因子相乘。

莱布尼兹-勒让德定理可以用来检验一个数是否为质数，
因为如果一个数不能分解为若干个质数的乘积，那么它就是一个质数。

因此，只要把一个数分解成若干个质数的乘积，就可以判断这个数是否是质数。

莱布尼兹-勒让德定理的应用非常广泛，它不仅是数论的
基石，也可用于科学和工程计算中，因为它提供了一种有效的方法来判断一个数是否是质数。

此外，它还能用来计算两个给定数的最大公约数和最小公倍数，从而求解数学问题。

总之，莱布尼兹-勒让德定理是数论中最为重要的定理，它不仅是数论的基石，也为科学和工程计算提供了一种有效的方法，从而为计算数学问题提供了有力的帮助。