2017年北京市平谷区高考数学零模试卷(文科)(解析版)

2017年北京市平谷区高考数学零模试卷（理科）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分；在每个小题列出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）1．已知集合M={x|x2﹣x≤0，x∈Z}，N={x|x=2n，n∈N}，则M∩N为（）A．{0}B．{1}C．{0，1}D．{0，1，2}2．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．y=x2+1 B．y=|lgx|C．y=cosx D．y=e x﹣13．已知实数x、y满足：，则z=2x﹣y的最大值为（）A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣34．已知a，b是两条不同的直线，α是平面，且b⊂α，那么“a∥α”是“a∥b”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．执行如图所示的程序框图，则输出S的值是（）A．9 B．16 C．25 D．276．若将函数的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（）A．B． C． D．7．已知点M（0，）及抛物线y2=4x上一动点N（x，y），则x+|MN|的最小值为（）A．B． C．3 D．48．某位股民购进某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了5次涨停（每次上涨10%），又经历了5次跌停（每次下跌10%），则该股民这只股票的盈亏情况（不考虑其他费用）为（）A．略有盈利B．略有亏损C．没有盈利也没有亏损D．无法判断盈亏情况二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）9．设i是虚数单位，则复数等于．10．在极坐标系中，设曲线ρ=﹣2sinθ和直线ρsinθ=﹣1交于A、B两点，则|AB|=．11．已知数列{a n}是递增的等比数列，a2+a4=10，a1．a5=16，则数列{a n}的前6项和等于．12．在平面直角坐标系xOy中，若方程﹣=1表示双曲线，则实数m的范围；若此双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为．13．如图，在矩形ABCD中，，点E为BC的中点，如果DF=2FC，那么的值是．14．已知函数f（x）=|ax﹣1|﹣（a﹣1）x．（i）当a=2时，满足不等式f（x）＞0的x的取值范围为；（ii）若函数f（x）的图象与x轴没有交点，则实数a的取值范围为．三、解答题：（本大题共6小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，，．（Ⅰ）求边c的值；（Ⅱ）若，求△ABC的面积．16．为了解学生寒假期间学习情况，学校对某班男、女学生学习时间进行调查，学习时间按整小时统计，调查结果绘成折线图如下：（Ⅰ）已知该校有400名学生，试估计全校学生中，每天学习不足4小时的人数；（Ⅱ）若从学习时间不少于4小时的学生中选取4人，设选到的男生人数为X，求随机变量X的分布列；（Ⅲ）试比较男生学习时间的方差与女生学习时间方差的大小．（只需写出结论）17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，，PD⊥平面ABCD，PD=AD=3，PM=2MD，AN=2NB，E是AB中点．（Ⅰ）求证：直线AM∥平面PNC；（Ⅱ）求证：直线CD⊥平面PDE；（III）在AB上是否存在一点G，使得二面角G﹣PD﹣A的大小为，若存在，确定G的位置，若不存在，说明理由．18．已知函数．（Ⅰ）如果f（x）在x=0处取得极值，求k的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（III）当k=0时，过点A（0，t）存在函数曲线f（x）的切线，求t的取值范围．19．已知椭圆C：（a＞b＞0）经过点，离心率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若点P为椭圆C上一动点，点A（3，0）与点P的垂直平分线交y轴于点B，求|OB|的最小值．20．对于数列A：a1，a2，…，a n，若满足a i∈{0，1}（i=1，2，3，…，n），则称数列A为“0﹣1数列”．若存在一个正整数k（2≤k≤n﹣1），若数列{a n}中存在连续的k项和该数列中另一个连续的k项恰好按次序对应相等，则称数列{a n}是“k阶可重复数列”，例如数列A：0，1，1，0，1，1，0．因为a1，a2，a3，a4与a4，a5，a6，a7按次序对应相等，所以数列{a n}是“4阶可重复数列”．（Ⅰ）分别判断下列数列A：1，1，0，1，0，1，0，1，1，1．是否是“5阶可重复数列”？如果是，请写出重复的这5项；（Ⅱ）若项数为m的数列A一定是“3阶可重复数列”，则m的最小值是多少？说明理由；（III）假设数列A不是“5阶可重复数列”，若在其最后一项a m后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，且a4=1，求数列{a n}的最后一项a m的值．2017年北京市平谷区高考数学零模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分；在每个小题列出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）1．已知集合M={x|x2﹣x≤0，x∈Z}，N={x|x=2n，n∈N}，则M∩N为（）A．{0}B．{1}C．{0，1}D．{0，1，2}【考点】交集及其运算．【分析】求出M中的元素，求出M、N的交集即可．【解答】解：M={x|x2﹣x≤0，x∈Z}={0，1}，N={x|x=2n，n∈N}，则M∩N={0}，故选：A．2．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．y=x2+1 B．y=|lgx|C．y=cosx D．y=e x﹣1【考点】函数奇偶性的性质；函数零点的判定定理．【分析】先判定函数的奇偶性、再确定函数是否存在零点．【解答】解：对于A，函数是偶函数，不存在零点，不正确；对于B，函数不是偶函数，不正确；对于C，既是偶函数又存在零点，正确；对于D，函数不是偶函数，不正确．故选C．3．已知实数x、y满足：，则z=2x﹣y的最大值为（）A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣3【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，由图可知，当直线y=2x﹣z过A（1，0）时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为2．故选：A．4．已知a，b是两条不同的直线，α是平面，且b⊂α，那么“a∥α”是“a∥b”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据线面平行的判定定理以及充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：由a∥α推不出a∥b，由a∥b也推不出a∥α，如a在α内，故a∥α”是“a∥b”既不充分也不必要条件，故选：D．5．执行如图所示的程序框图，则输出S的值是（）A．9 B．16 C．25 D．27【考点】程序框图．【分析】按照程序的流程，写出前几次循环的结果，并同时判断各个结果是否满足判断框中的条件，直到满足条件，执行输出即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得S=0，i=1执行循环体，S=1，i=3不满足条件i＞7，执行循环体，S=4，i=5不满足条件i＞7，执行循环体，S=9，i=7不满足条件i＞7，执行循环体，S=16，i=9满足条件i＞7，退出循环，输出S的值为16．故选：B．6．若将函数的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（）A．B． C． D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，求得φ的最小正值．【解答】解：把函数的图象向右平移φ个单位，可得y=sin[2（x﹣φ）+]=sin（2x﹣2φ+）的图象，由于所得图象关于y轴对称，故有﹣2φ+=kπ+，k∈Z，即φ=﹣﹣，则φ的最小正值为，故选：A．7．已知点M（0，）及抛物线y2=4x上一动点N（x，y），则x+|MN|的最小值为（）A．B． C．3 D．4【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的定义，x+|MN|=丨NF丨+|MN|﹣1≥丨MF丨﹣1，当且M，N，F三点共线时，取最小值．【解答】解：由抛物线y2=4x焦点坐标F（1，0），准线方程x=﹣1，设N到准线的距离d，则x+|MN|=d﹣1+|MN|=丨NF丨+|MN|﹣1≥丨MF丨﹣1=﹣1=3，当且M，N，F三点共线时，取最小值，x+|MN|的最小值3，故选C．8．某位股民购进某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了5次涨停（每次上涨10%），又经历了5次跌停（每次下跌10%），则该股民这只股票的盈亏情况（不考虑其他费用）为（）A．略有盈利B．略有亏损C．没有盈利也没有亏损D．无法判断盈亏情况【考点】函数的值．【分析】由题意设股民购进某只股票价值为1个单位，根据题意列出解析式化简后比较即可．【解答】解：由题意设股民购进某只股票价值为1个单位，则最后为：y=（1+10%）5（1﹣10%）5=0.995＜1．所以该股民这只股票的盈亏情况是略有亏损．故选：B．二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）9．设i是虚数单位，则复数等于．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：=．故答案为：．10．在极坐标系中，设曲线ρ=﹣2sinθ和直线ρsinθ=﹣1交于A、B两点，则|AB|= 2．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】化为直角坐标方程，即可得出．【解答】解：曲线ρ=﹣2sinθ即ρ2=﹣2ρsinθ，可得直角坐标方程：x2+y2=﹣2y．直线ρsinθ=﹣1，化为直角坐标方程：y=﹣1，代入圆的方程可得：x2=1，解得x=±1．设A（1，﹣1），B（﹣1，﹣1）．则|AB|=2．故答案为：2．11．已知数列{a n}是递增的等比数列，a2+a4=10，a1．a5=16，则数列{a n}的前6项和等于63．【考点】等比数列的前n项和．【分析】根据题意，对于数列{a n}，设其首项为a1，公比为q，结合题意可得，解可得等比数列的首项与公比，由等比数列前n项和公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，对于数列{a n}，设其首项为a1，公比为q，又由a2+a4=10，a1．a5=16，又{a n}是递增数列，则有，解可得a1=1，q=2，则其前6项和S6==63；故答案为：63．12．在平面直角坐标系xOy中，若方程﹣=1表示双曲线，则实数m的范围m＞0；若此双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为y=±x．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的定义即可判断，再根据离心率和a，b的关系，即可求出双曲线的渐近线方程．【解答】解：方程﹣=1表示双曲线，∴m＞0，∵e==∴e2=1+，∴=2，∴=，∴y=±x，故答案为：m＞0，13．如图，在矩形ABCD中，，点E为BC的中点，如果DF=2FC，那么的值是9．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】通过以A为原点，AB为x轴、AD为y轴建系，利用向量的坐标形式计算即可．利用向量的坐标形式计算即可．【解答】9；解：以A为原点，AB为x轴、AD为y轴建系如图，∵AB=3，AD=3，∴A（0，0），B（3，0），C（3，3），D（0，3），∵点E为BC的中点，∴E（3，），∵点F在边CD上，且DF=2FC，∴F（2，3），∴=（2，3），=（0，），∴=2×0+3×=9，故答案为：9．14．已知函数f（x）=|ax﹣1|﹣（a﹣1）x．（i）当a=2时，满足不等式f（x）＞0的x的取值范围为（﹣∞，）∪（1，+∞）；（ii）若函数f（x）的图象与x轴没有交点，则实数a的取值范围为[，1] ．【考点】分段函数的应用．【分析】（i）化为分段函数，再解不等式即可，（ii）①）当a≥1②当0＜a＜1③当a≤0三种情况，画出f（x）=|ax﹣1|与g（x）=（a﹣1）x的图象，利用图象确定有无交点．【解答】解：（i）当a=2时，f（x）=|2x﹣1|﹣x=，∵f（x）＞0，∴或，解得x＞1或x＜，故不等式f（x）＞0的x的取值范围为（﹣∞，）∪（1，+∞）（ii）函数f（x）的图象与x轴没有交点，①当a≥1时，f（x）=|ax﹣1|与g（x）=（a﹣1）x的图象：两函数的图象恒有交点，②当0＜a＜1时，f（x）=|ax﹣1|与g（x）=（a﹣1）x的图象：要使两个图象无交点，斜率满足：a﹣1≥﹣a，∴a≥，故≤a＜1③当a≤0时，f（x）=|ax﹣1|与g（x）=（a﹣1）x的图象：两函数的图象恒有交点，综上①②③知：≤a＜1故答案为：.，三、解答题：（本大题共6小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，，．（Ⅰ）求边c的值；（Ⅱ）若，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由正弦定理化简已知的式子，由条件求出c的值；（Ⅱ）由条件和余弦定理列出方程，化简后求出b的值，由平方关系求出sinC 的值，代入三角形的面积公式求出答案．【解答】解：（Ⅰ）因为a=，，所以由正弦定理得c=a=4…（Ⅱ）因为c=4，，所以由余弦定理得，c2=a2+b2﹣2abcosC，则化简，b2﹣2b﹣8=0，解得b=4或b=﹣2（舍去），由得，，所以△ABC面积…16．为了解学生寒假期间学习情况，学校对某班男、女学生学习时间进行调查，学习时间按整小时统计，调查结果绘成折线图如下：（Ⅰ）已知该校有400名学生，试估计全校学生中，每天学习不足4小时的人数；（Ⅱ）若从学习时间不少于4小时的学生中选取4人，设选到的男生人数为X，求随机变量X的分布列；（Ⅲ）试比较男生学习时间的方差与女生学习时间方差的大小．（只需写出结论）【考点】离散型随机变量的期望与方差；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）根据题意，由折线图分析可得20名学生中有12名学生每天学习不足4小时，进而可以估计校400名学生中天学习不足4小时的人数；（Ⅱ）学习时间不少于4本的学生共8人，其中男学生人数为4人，故X的取值为0，1，2，3，4；由古典概型公式计算可得X=0，1，2，3，4的概率，进而可得随机变量X的分布列；（Ⅲ）根据题意，分析折线图，求出男生、女生的学习时间方差，比较可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，由折线图可得12名男生中有8名每天学习不足4小时，8名女生中有4名每天学习不足4小时，即20名学生中有12名学生每天学习不足4小时，每天学习不足4小时的人数为：人．（Ⅱ）学习时间不少于4本的学生共8人，其中男学生人数为4人，故X的取值为0，1，2，3，4．由题意可得；；；；．所以随机变量X的分布列为随机变量X的均值．（Ⅲ）根据题意，对于男生，学习时间1小时的有1人，学习时间2小时的有4人，学习时间3小时的有3人，学习时间4小时的有2人，学习时间5小时的有2人，其平均数=（1×1+2×4+3×3+4×2+5×2）=3，其方差= [（1﹣3）2+4×（2﹣3）2+3×（3﹣3）2+2×（4﹣3）2+2×（5﹣3）2]=1.5；对于女生，学习时间2小时的有1人，学习时间3小时的有3人，学习时间4小时的有3人，学习时间5小时的有1人，其平均数=（1×2+3×3+4×3+5×1）=3.5，其方差= [（2﹣3.5）2+3×（3﹣3.5）2+3×（4﹣3.5）2+（5﹣3.5）2]=0.75；比较可得．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，，PD⊥平面ABCD，PD=AD=3，PM=2MD，AN=2NB，E是AB中点．（Ⅰ）求证：直线AM∥平面PNC；（Ⅱ）求证：直线CD⊥平面PDE；（III）在AB上是否存在一点G，使得二面角G﹣PD﹣A的大小为，若存在，确定G的位置，若不存在，说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）在PC上取一点F，使PF=2FC，连接MF，NF，结合已知可得MF∥DC，MF=，AN∥DC，AN=．从而可得MFNA为平行四边形，即AM∥NA．再由线面平行的判定可得直线AM∥平面PNC；（Ⅱ）由E是AB中点，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，得∠AED=90°．进一步得到CD⊥DE．再由PD⊥平面ABCD得CD⊥PD．由线面垂直的判定可得直线CD ⊥平面PDE；（III）由（Ⅱ）可知DP，DE，DC，相互垂直，以D为原点，建立空间直角坐标系．然后利用平面法向量所成角的余弦值求得G点位置．【解答】证明：（Ⅰ）在PC上取一点F，使PF=2FC，连接MF，NF，∵PM=2MD，AN=2NB，∴MF∥DC，MF=，AN∥DC，AN=．∴MF∥AN，MF=AN，∴MFNA为平行四边形，即AM∥NA．又AM⊄平面PNC，∴直线AM∥平面PNC；（Ⅱ）∵E是AB中点，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，∴∠AED=90°．∵AB∥CD，∴∠EDC=90°，即CD⊥DE．又PD⊥平面ABCD，∴CD⊥PD．又DE∩PD=D，∴直线CD⊥平面PDE；解：（III）由（Ⅱ）可知DP，DE，DC，相互垂直，以D为原点，如图建立空间直角坐标系．则．设面PDA的法向量，由，得．设面PDG的法向量，由，得．∴cos60°=．解得，则．∴G与B重合．点B的位置为所求．18．已知函数．（Ⅰ）如果f（x）在x=0处取得极值，求k的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（III）当k=0时，过点A（0，t）存在函数曲线f（x）的切线，求t的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）先求导，根据导数和极值的关系即可求出k的值，（Ⅱ）先求导，再分类讨论，根据导数和函数的单调性的关系即可求出单调区间，（Ⅲ）切点坐标为（x0，y0），根据导数的几何意义，以及导数和最值得关系即可求出．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为R，∴∵函数f（x）在x=0处取得极值∴，解得：k=0当k=0时，，，∴函数f（x）在x=0处取得极小值，符合题意．（Ⅱ）因为．①当k≥1时，f'（x）＜0恒成立，所以f（x）在（﹣∞，+∞）为减函数②当k＜1时，令f'（x）=0，则x=﹣ln（1﹣k），当x∈（﹣∞，﹣ln（1﹣k））时，f'（x）＜0，f（x）在（﹣∞，﹣ln（1﹣k））上单调递减；当x∈（﹣ln（1﹣k），+∞）时，f'（x）＞0，f（x）在（﹣ln（1﹣k），+∞）上单调递增；（III）设切点坐标为（x0，y0），则切线方程为y﹣y0=f'（x0）（x﹣x0）即将A（0，t）代入得．令，所以．当时，x0=0．所以当x∈（﹣∞，0）时，M'（x）＞0，函数M（x）在x∈（﹣∞，0）上单调递增；当x∈（0，+∞）时，M'（x）＜0，M（x）在x∈（0，+∞）上单调递减．所以当x0=0时，M（x）max=M（0）=1，无最小值．当t≤1时，存在切线．19．已知椭圆C：（a＞b＞0）经过点，离心率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若点P为椭圆C上一动点，点A（3，0）与点P的垂直平分线交y轴于点B，求|OB|的最小值．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）离心率为，可得，故，椭圆C为，把点代入椭圆方程，解出即可得出．（Ⅱ）由题意，直线l的斜率存在，设点P（x0，y0）（y0≠0），利用中点坐标公式可得：线段AP的中点D坐标，由点A（3，0）关于直线l的对称点为P，得直线l⊥AP，可得直线l的斜率为﹣=，利用直线l的方程可得B，又=1，得=6﹣3，可得|OB|，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（Ⅰ）离心率为，∴，故，椭圆C为，把点代入得a2=6，b2=2，所以椭圆C的方程为=1．…（Ⅱ）由题意，直线l的斜率存在，设点P（x0，y0）（y0≠0），则线段AP的中点D的坐标为，且直线AP的斜率k AP=，…由点A（3，0）关于直线l的对称点为P，得直线l⊥AP，故直线l的斜率为﹣=，且过点D，所以直线l的方程为：=，…令x=0，得y=，则B，由=1，得=6﹣3，化简，得B．…所以|OB|==|y0|+≥2=．…当且仅当|y0|=，即y0=∈时等号成立．所以|OB|的最小值为．…20．对于数列A：a1，a2，…，a n，若满足a i∈{0，1}（i=1，2，3，…，n），则称数列A为“0﹣1数列”．若存在一个正整数k（2≤k≤n﹣1），若数列{a n}中存在连续的k项和该数列中另一个连续的k项恰好按次序对应相等，则称数列{a n}是“k阶可重复数列”，例如数列A：0，1，1，0，1，1，0．因为a1，a2，a3，a4与a4，a5，a6，a7按次序对应相等，所以数列{a n}是“4阶可重复数列”．（Ⅰ）分别判断下列数列A：1，1，0，1，0，1，0，1，1，1．是否是“5阶可重复数列”？如果是，请写出重复的这5项；（Ⅱ）若项数为m的数列A一定是“3阶可重复数列”，则m的最小值是多少？说明理由；（III）假设数列A不是“5阶可重复数列”，若在其最后一项a m后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，且a4=1，求数列{a n}的最后一项a m的值．【考点】数列的应用．【分析】（Ⅰ）是“5阶可重复数列”．（Ⅱ）因为数列{a n}的每一项只可以是0或1，所以连续3项共有23=8种不同的情形．分类讨论：若m=11，则数列{a n}中有9组连续3项，则这其中至少有两组按次序对应相等，即项数为11的数列{a n}一定是“3阶可重复数列”；则3≤m ＜10时，均存在不是“3阶可重复数列”的数列{a n}．（III）由于数列{a n}在其最后一项a m后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，即在数列{a n}的末项a m后再添加一项0或1，则存在i≠j，使得a i，a i+1，a i+2，a i+3，a i+4与a m﹣3，a m﹣2，a m﹣1，a m，0按次序对应相等，或a j，a j+1，a j +2，a j+3，a j+4与a m﹣3，a m﹣2，a m﹣1，a m，1按次序对应相等，经过分析可得：a m=a4．【解答】解：（Ⅰ）是“5阶可重复数列”，10101．…．（Ⅱ）因为数列{a n}的每一项只可以是0或1，所以连续3项共有23=8种不同的情形．若m=11，则数列{a n}中有9组连续3项，则这其中至少有两组按次序对应相等，即项数为11的数列{a n}一定是“3阶可重复数列”；若m=10，数列0，0，1，0，1，1，1，0，0，0不是“3阶可重复数列”；则3≤m＜10时，均存在不是“3阶可重复数列”的数列{a n}．所以，要使数列{a n}一定是“3阶可重复数列”，则m的最小值是11．…．（III）由于数列{a n}在其最后一项a m后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，即在数列{a n}的末项a m后再添加一项0或1，则存在i≠j，使得a i，a i+1，a i+2，a i+3，a i+4与a m﹣3，a m﹣2，a m﹣1，a m，0按次序对应相等，或a j，a j +1，a j+2，a j+3，a j+4与a m﹣3，a m﹣2，a m﹣1，a m，1按次序对应相等，如果a1，a2，a3，a4与a m﹣3，a m﹣2，a m﹣1，a m不能按次序对应相等，那么必有2≤i，j≤m﹣4，i≠j，使得a i，a i+1，a i+2，a i+3、a j，a j+1，a j+2，a j+3与a m﹣3，a m﹣2，a m﹣1，a m按次序对应相等．此时考虑a i﹣1，a j﹣1和a m﹣4，其中必有两个相同，这就导致数列{a n}中有两个连续的五项恰按次序对应相等，从而数列{a n}是“5阶可重复数列”，这和题设中数列{a n}不是“5阶可重复数列”矛盾！所以a1，a2，a3，a4与a m﹣3，a m﹣2，a m﹣1，a m按次序对应相等，从而a m=a4=1．…．2017年3月22日。

wo最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改 rd2017年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（文史类）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知U =R ，集合{|22}A x x x =<->或，则U A =（A ）(2,2)- （B ）(,2)(2,)-∞-+∞ （C ）[2,2]- （D ）(,2][2,)-∞-+∞（2）若复数(1i)(i)a -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（A ）(,1)-∞ （B ）(,1)-∞- （C ）(1,)+∞ （D ）(1,)-+∞ （3）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（A ）2 （B ）32 （C ）53 （D ）85 （4）若,x y 满足3,2,,x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2x y +的最大值为 （A ）1 （B ）3 （C ）5 （D ）9（5）已知函数1()3()3x x f x =-，则()f x（A ）是偶函数，且在R 上是增函数 （B ）是奇函数，且在R 上是增函数（C ）是偶函数，且在R 上是减函数 （D ）是奇函数，且在R 上是减函数（6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A ）60 （B ）30 （C ）20 （D ）10（7）设,m n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m n λ=”是“0m n <”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3613，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为8010.则下列各数中与M N 最接近的是（ ）（参考数据：lg3≈0.48） （A ）3310 （B ）5310 （C ）7310 （D ）9310二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2021年市高考文科数学试卷逐题解析数学〔文〕〔卷〕本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

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第一局部〔选择题共40分〕一、选择题1.全集UR，集合A{x|x2或x2}，那么C AUA.2,2B.,2U2,C.2,2D.,2U2,【答案】C【解析】Ax|x2或x2=,22,，CA2,2，应选C.U2.假设复数1iai在复平面内对应的点在第二象限，那么实数a的取值X围是A.,1B.,1C.1,+D.1,+【答案】B【解析】(1i)(ai)a1(1a)i在第二象限.a10得a1.应选B.1a013.执行如下图的程序框图，输出的s值为A.2B. 3 2C. 5 3D. 8 5【答案】C【解析】k0,S1.k3成立，k1，2S=21.k3成立，k2，2+13S=22.k3成立，k3，32+15S=332.k3不成立，输出S 53.应选C.x3xy24.假设x,y满足，那么x2y的最大值为yxA.1B.3C.5D.9【答案】D【解析】设zx2y，那么1zyx，当该直线过3,3时，z最22大.当x3,y3时，z取得最大值9，应选D.25.函数1xx fx，那么f(x) ()3()3A.是偶函数，且在R上是增函数B.是奇函数，且在R上是增函数C.是偶函数，且在R上是减函数D.是奇函数，且在R上是减函数【答案】B【解析】11xxxxf(x)3()()3f(x)且定义域为R.33xf(x)为奇函数.y3在R上单调递增，1xy()在R上单调递减31xy在R上单调递增.()31xxfx在R上单调递增，应选B.()3()36.某三棱锥的三视图如下图，那么该三棱锥的体积为A.60B.30C.20D.103【答案】D【解析】由三视图可知三棱锥的直观图如下：SABC11V35410，应选D.SABC327.设m,n为非零向量，那么“存在负数，使得mn〞是“mn0〞的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】存在负数，使得mn，且m,n为非零向量.m与n方向相反.mn|m||n|cos|m||n|0“存在负数，使得mn〞是“mn0〞的充分条件.假设mn0，那么mn|m||n|cos0，那么cos0.(,]2，m与n不一定反向.不一定存在负数，使mn.应选A8.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为361 3，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.那么以下各数中与4 MN最接近的是〔参考数据：lg30.48〕A.1033B.1053C.1073D. 9310 【答案】D【解析】M3361，N1080，MN36138010，两边取对数361M336180 lglglg3lg10361lg3809380N10M N9310第二局部〔非选择题共110分〕二、填空题共6小题，每题5分，共30分。

2017年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。

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第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知U =R ，集合{|22}A x x x =<->或，则（A ）(2,2)- （B ）(,2)(2,)-∞-+∞ （C ）[2,2]- （D ）(,2][2,)-∞-+∞（2）若复数(1i)(i)a -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（A ）(,1)-∞ （B ）(,1)-∞- （C ）(1,)+∞ （D ）(1,)-+∞ （3）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（A ）2 （B ）32（C ）53 （D ）85（4）若,x y 满足3,2,,x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2x y +的最大值为（A ）1 （B ）3 （C ）5（D ）9（5）已知函数1()3()3x xf x =-，则()f x（A ）是偶函数，且在R 上是增函数 （B ）是奇函数，且在R 上是增函数 （C ）是偶函数，且在R 上是减函数 （D ）是奇函数，且在R 上是增函数 （6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A）60 （B）30 （C）20 （D）10（7）设m, n为非零向量，则“存在负数λ，使得m=λn”是“m·n<0”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080．则下列各数中与MN最接近的是（参考数据：lg3≈0.48）（A）1033（B）1053（C）1073（D）1093第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2017年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（文史类）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知，集合，则（A）（B）（C）（D）（2）若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（A）（B）（C）（D）（3）执行如图所示的程序框图，输出的值为（A）2 （B）（C）（D）（4）若满足则的最大值为（A）1 （B）3 （C）5 （D）9（5）已知函数，则（A）是偶函数，且在R上是增函数（B）是奇函数，且在R 上是增函数（C）是偶函数，且在R上是减函数（D）是奇函数，且在R上是减函数（6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A）60 （B）30 （C）20 （D）10（7）设为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为.则下列各数中与最接近的是（）（参考数据：3≈0.48）（A）（B）（C）（D）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称.若，则．（10）若双曲线的离心率为，则实数．（11）已知，，且，则的取值范围是．（12）已知点在圆上，点的坐标为(-2,0)，O为原点，则的最大值为．（13）能够说明“设是任意实数．若，则”是假命题的一组整数的值依次为．（14）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（ⅰ）男学生人数多于女学生人数；（ⅱ）女学生人数多于教师人数；（ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为．②该小组人数的最小值为．三、解答题：共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题13分）已知等差数列和等比数列满足．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）求和：．（16）（本小题13分）已知函数（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求证：当时，（17）（本小题13分）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30），[30,40），......，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50）内的人数；（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．（18）（本小题14分）如图，在三棱锥中，，为线段的中点，为线段上一点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：平面平面；（Ⅲ）当平面时，求三棱锥的体积．（19）（本小题14分）已知椭圆的两个顶点分别为A(−2,0)，B(2,0)，焦点在轴上，离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）点为轴上一点，过作轴的垂线交椭圆于不同的两点，过作的垂线交于点.求证：△与△的面积之比为4:5．（20）（本小题13分）已知函数（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值.2017年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（文史类）一、选择题（1）C （2）B （3）C （4）D （5）B （6）D （7）A （8）D二、填空题（9）（10）2 （11）（12）6 （13）-1，-2，-3（14）6，12三、解答题（15）解：（Ⅰ）设的公差为，据已知，得，所以. 所以（Ⅱ）设的公比为，因为，所以，所以因为是首项为1公比为的等比数列，所以是首项为1公比为的等比数列，所以求和：．（16）解：（Ⅰ）所以，最小正周期为（Ⅱ）由（Ⅰ）知，因为所以所以，当，即时，取最小值，所以，得证（17）解：（Ⅰ）由频率分布直方图知，分数小于70的频率为（Ⅱ）设样本中分数在区间[40,50）内的人数为，则由频率和为1得解得（Ⅲ）因为样本中分数不小于70的人数共有（人）所以，分数不小于70的人中男女各占30人所以，样本中男生人数为30+30=60人，女生人数为100-60=40人所以，总体中男生和女生的比例为（18）（Ⅰ）证明：，又平面平面，平面，又平面，（Ⅱ）证明：，是的中点，,由（Ⅰ）知平面平面，平面平面，平面平面，平面，，平面，平面，平面平面，（Ⅲ）平面，又平面平面，平面，是中点，为的中点，,（19）解：（Ⅰ）焦点在轴上，且顶点为椭圆方程为（Ⅱ）设，直线的方程是，，，直线的方程是，直线的方程是，直线与直线联立，整理为：，即即，解得，代入求得又和面积的比为4:5（20）解：（Ⅰ）∴∴曲线在点处的切线斜率为切点为，∴曲线在点处的切线方程为（Ⅱ），令则当，可得，即有在上单调递减，可得，所以在上单调递减，所以函数在区间上的最大值为；最小值为。

2017年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。

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第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知U =R ，集合{|22}A x x x =<->或，则（A ）(2,2)- （B ）(,2)(2,)-∞-+∞ （C ）[2,2]- （D ）(,2][2,)-∞-+∞（2）若复数(1i)(i)a -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（A ）(,1)-∞ （B ）(,1)-∞- （C ）(1,)+∞ （D ）(1,)-+∞ （3）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（A ）2 （B ）32（C ）53 （D ）85（4）若,x y 满足3,2,,x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2x y +的最大值为（A ）1 （B ）3 （C ）5（D ）9（5）已知函数1()3()3x xf x =-，则()f x（A ）是偶函数，且在R 上是增函数 （B ）是奇函数，且在R 上是增函数 （C ）是偶函数，且在R 上是减函数 （D ）是奇函数，且在R 上是增函数 （6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A）60 （B）30 （C）20 （D）10（7）设m, n为非零向量，则“存在负数λ，使得m=λn”是“m·n<0”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080．则下列各数中与MN最接近的是（参考数据：lg3≈0.48）（A）1033（B）1053（C）1073（D）1093第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2017年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|x＜﹣2或x＞2}，则∁U A=（）A．（﹣2，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．[﹣2，2]D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）2．（5分）若复数（1﹣i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）D．（﹣1，+∞）3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2 B．C．D．4．（5分）若x，y满足，则x+2y的最大值为（）A．1 B．3 C．5 D．95．（5分）已知函数f（x）=3x﹣（）x，则f（x）（）A．是偶函数，且在R上是增函数B．是奇函数，且在R上是增函数C．是偶函数，且在R上是减函数D．是奇函数，且在R上是减函数6．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．60 B．30 C．20 D．107．（5分）设，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ”是•＜0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与最接近的是（）（参考数据：lg3≈0.48）A．1033 B．1053 C．1073 D．1093二、填空题9．（5分）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα=，则sinβ=．10．（5分）若双曲线x2﹣=1的离心率为，则实数m=．11．（5分）已知x≥0，y≥0，且x+y=1，则x2+y2的取值范围是．12．（5分）已知点P在圆x2+y2=1上，点A的坐标为（﹣2，0），O为原点，则•的最大值为．13．（5分）能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为．14．（5分）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（i）男学生人数多于女学生人数；（ii）女学生人数多于教师人数；（iii）教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为．②该小组人数的最小值为．三、解答题15．（13分）已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；．（Ⅱ）求和：b1+b3+b5+…+b2n﹣116．（13分）已知函数f（x）=cos（2x﹣）﹣2sinxcosx．（I）求f（x）的最小正周期；（II）求证：当x∈[﹣，]时，f（x）≥﹣．17．（13分）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30），[30，40），…[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50）内的人数；（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．18．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．（1）求证：PA⊥BD；（2）求证：平面BDE⊥平面PAC；（3）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E﹣BCD的体积．19．（14分）已知椭圆C的两个顶点分别为A（﹣2，0），B（2，0），焦点在x 轴上，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E．求证：△BDE与△BDN的面积之比为4：5．20．（13分）已知函数f（x）=e x cosx﹣x．（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．2017年北京市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|x＜﹣2或x＞2}，则∁U A=（）A．（﹣2，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．[﹣2，2]D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）【解答】解：∵集合A={x|x＜﹣2或x＞2}=（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），全集U=R，∴∁U A=[﹣2，2]，故选：C2．（5分）若复数（1﹣i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）D．（﹣1，+∞）【解答】解：复数（1﹣i）（a+i）=a+1+（1﹣a）i在复平面内对应的点在第二象限，∴，解得a＜﹣1．则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）．故选：B．3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2 B．C．D．【解答】解：当k=0时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=1，S=2，当k=1时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=2，S=，当k=2时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=3，S=，当k=3时，不满足进行循环的条件，故输出结果为：，故选：C．4．（5分）若x，y满足，则x+2y的最大值为（）A．1 B．3 C．5 D．9【解答】解：x，y满足的可行域如图：由可行域可知目标函数z=x+2y经过可行域的A时，取得最大值，由，可得A（3，3），目标函数的最大值为：3+2×3=9．故选：D．5．（5分）已知函数f（x）=3x﹣（）x，则f（x）（）A．是偶函数，且在R上是增函数B．是奇函数，且在R上是增函数C．是偶函数，且在R上是减函数D．是奇函数，且在R上是减函数【解答】解：f（x）=3x﹣（）x=3x﹣3﹣x，∴f（﹣x）=3﹣x﹣3x=﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，又由函数y=3x为增函数，y=（）x为减函数，故函数f（x）=3x﹣（）x为增函数，故选：B．6．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．60 B．30 C．20 D．10【解答】解：由三视图可知：该几何体为三棱锥，该三棱锥的体积==10．故选：D．7．（5分）设，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ”是•＜0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：，为非零向量，存在负数λ，使得=λ，则向量，共线且方向相反，可得•＜0．反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满足•＜0，而=λ不成立．∴，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ”是•＜0”的充分不必要条件．故选：A．8．（5分）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与最接近的是（）（参考数据：lg3≈0.48）A．1033 B．1053 C．1073 D．1093【解答】解：由题意：M≈3361，N≈1080，根据对数性质有：3=10lg3≈100.48，∴M≈3361≈（100.48）361≈10173，∴≈=1093，故本题选：D．二、填空题9．（5分）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα=，则sinβ=．【解答】解：∵在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，∴α+β=π+2kπ，k∈Z，∵sinα=，∴sinβ=sin（π+2kπ﹣α）=sinα=．故答案为：．10．（5分）若双曲线x2﹣=1的离心率为，则实数m=2．【解答】解：双曲线x2﹣=1（m＞0）的离心率为，可得：，解得m=2．故答案为：2．11．（5分）已知x≥0，y≥0，且x+y=1，则x2+y2的取值范围是[，1] ．【解答】解：x≥0，y≥0，且x+y=1，则x2+y2=x2+（1﹣x）2=2x2﹣2x+1，x∈[0，1]，则令f（x）=2x2﹣2x+1，x∈[0，1]，函数的对称轴为：x=，开口向上，所以函数的最小值为：f（）==．最大值为：f（1）=2﹣2+1=1．则x2+y2的取值范围是：[，1]．故答案为：[，1]．12．（5分）已知点P在圆x2+y2=1上，点A的坐标为（﹣2，0），O为原点，则•的最大值为6．【解答】解：设P（cosα，sinα）.=（2，0），=（cosα+2，sinα）．则•=2（cosα+2）≤6，当且仅当cosα=1时取等号．故答案为：6．13．（5分）能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为﹣1，﹣2，﹣3．【解答】解：设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题，则若a＞b＞c，则a+b≤c”是真命题，可设a，b，c的值依次﹣1，﹣2，﹣3，（答案不唯一），故答案为：﹣1，﹣2，﹣314．（5分）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（i）男学生人数多于女学生人数；（ii）女学生人数多于教师人数；（iii）教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为6．②该小组人数的最小值为12．【解答】解：①设男学生女学生分别为x，y人，若教师人数为4，则，即4＜y＜x＜8，即x的最大值为7，y的最大值为6，即女学生人数的最大值为6．②设男学生女学生分别为x，y人，教师人数为z，则，即z＜y＜x＜2z即z最小为3才能满足条件，此时x最小为5，y最小为4，即该小组人数的最小值为12，故答案为：6，12三、解答题15．（13分）已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；．（Ⅱ）求和：b1+b3+b5+…+b2n﹣1【解答】解：（Ⅰ）等差数列{a n}，a1=1，a2+a4=10，可得：1+d+1+3d=10，解得d=2，所以{a n}的通项公式：a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a5=a1+4d=9，等比数列{b n}满足b1=1，b2b4=9．可得b3=3，或﹣3（舍去）（等比数列奇数项符号相同）．∴q2=3，}是等比数列，公比为3，首项为1．{b2n﹣1b1+b3+b5+…+b2n﹣1==．16．（13分）已知函数f（x）=cos（2x﹣）﹣2sinxcosx．（I）求f（x）的最小正周期；（II）求证：当x∈[﹣，]时，f（x）≥﹣．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=cos（2x﹣）﹣2sinxcosx，=（co2x+sin2x）﹣sin2x，=cos2x+sin2x，=sin（2x+），∴T==π，∴f（x）的最小正周期为π，（Ⅱ）∵x∈[﹣，]，∴2x+∈[﹣，]，∴﹣≤sin（2x+）≤1，∴f（x）≥﹣17．（13分）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30），[30，40），…[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50）内的人数；（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图知：分数小于70的频率为：1﹣（0.04+0.02）×10=0.4故从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率为0.4；（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，故样本中分数小于40的频率为：0.05，则分数在区间[40，50）内的频率为：1﹣（0.04+0.02+0.02+0.01）×10﹣0.05=0.05，估计总体中分数在区间[40，50）内的人数为400×0.05=20人，（Ⅲ）样本中分数不小于70的频率为：0.6，由于样本中分数不小于70的男女生人数相等．故分数不小于70的男生的频率为：0.3，由样本中有一半男生的分数不小于70，故男生的频率为：0.6，即女生的频率为：0.4，即总体中男生和女生人数的比例约为：3：2．18．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．（1）求证：PA⊥BD；（2）求证：平面BDE⊥平面PAC；（3）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E﹣BCD的体积．【解答】解：（1）证明：由PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，且AB∩BC=B，可得PA⊥平面ABC，由BD⊂平面ABC，可得PA⊥BD；（2）证明：由AB=BC，D为线段AC的中点，可得BD⊥AC，由PA⊥平面ABC，PA⊂平面PAC，可得平面PAC⊥平面ABC，又平面ABC∩平面ABC=AC，BD⊂平面ABC，且BD⊥AC，即有BD⊥平面PAC，BD⊂平面BDE，可得平面BDE⊥平面PAC；（3）PA∥平面BDE，PA⊂平面PAC，且平面PAC∩平面BDE=DE，可得PA∥DE，又D为AC的中点，可得E为PC的中点，且DE=PA=1，由PA⊥平面ABC，可得DE⊥平面ABC，=S△ABC=××2×2=1，可得S△BDC=×1×1=．则三棱锥E﹣BCD的体积为DE•S△BDC19．（14分）已知椭圆C的两个顶点分别为A（﹣2，0），B（2，0），焦点在x 轴上，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E．求证：△BDE与△BDN的面积之比为4：5．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的焦点在x轴上，设椭圆方程：（a＞b＞0），则a=2，e==，则c=，b2=a2﹣c2=1，∴椭圆C的方程；（Ⅱ）证明：设D（x0，0），（﹣2＜x0＜2），M（x0，y0），N（x0，﹣y0），y0＞0，由M，N在椭圆上，则，则x02=4﹣4y02，则直线AM的斜率k AM==，直线DE的斜率k DE=﹣，直线DE的方程：y=﹣（x﹣x0），直线BN的斜率k BN=，直线BN的方程y=（x﹣2），，解得：，过E做EH⊥x轴，△BHE∽△BDN，则丨EH丨=，则=，∴：△BDE与△BDN的面积之比为4：5．20．（13分）已知函数f（x）=e x cosx﹣x．（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）函数f（x）=e x cosx﹣x的导数为f′（x）=e x（cosx﹣sinx）﹣1，可得曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k=e0（cos0﹣sin0）﹣1=0，切点为（0，e0cos0﹣0），即为（0，1），曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；（2）函数f（x）=e x cosx﹣x的导数为f′（x）=e x（cosx﹣sinx）﹣1，令g（x）=e x（cosx﹣sinx）﹣1，则g（x）的导数为g′（x）=e x（cosx﹣sinx﹣sinx﹣cosx）=﹣2e x•sinx，当x∈[0，]，可得g′（x）=﹣2e x•sinx≤0，即有g（x）在[0，]递减，可得g（x）≤g（0）=0，则f（x）在[0，]递减，即有函数f（x）在区间[0，]上的最大值为f（0）=e0cos0﹣0=1；最小值为f （）=e cos ﹣=﹣．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：BAPl运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。

2017年北京市平谷区高考数学零模试卷（理科）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分；在每个小题列出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）1．已知集合M={x|x2﹣x≤0，x∈Z}，N={x|x=2n，n∈N}，则M∩N为（）A．{0}B．{1}C．{0，1}D．{0，1，2}2．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．y=x2+1 B．y=|lgx|C．y=cosx D．y=e x﹣13．已知实数x、y满足：，则z=2x﹣y的最大值为（）A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣34．已知a，b是两条不同的直线，α是平面，且b⊂α，那么“a∥α”是“a∥b”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．执行如图所示的程序框图，则输出S的值是（）A．9 B．16 C．25 D．276．若将函数的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（）A．B． C． D．7．已知点M（0，）及抛物线y2=4x上一动点N（x，y），则x+|MN|的最小值为（）A．B． C．3 D．48．某位股民购进某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了5次涨停（每次上涨10%），又经历了5次跌停（每次下跌10%），则该股民这只股票的盈亏情况（不考虑其他费用）为（）A．略有盈利B．略有亏损C．没有盈利也没有亏损D．无法判断盈亏情况二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）9．设i是虚数单位，则复数等于．10．在极坐标系中，设曲线ρ=﹣2sinθ和直线ρsinθ=﹣1交于A、B两点，则|AB|=．11．已知数列{a n}是递增的等比数列，a2+a4=10，a1．a5=16，则数列{a n}的前6项和等于．12．在平面直角坐标系xOy中，若方程﹣=1表示双曲线，则实数m的范围；若此双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为．13．如图，在矩形ABCD中，，点E为BC的中点，如果DF=2FC，那么的值是．14．已知函数f（x）=|ax﹣1|﹣（a﹣1）x．（i）当a=2时，满足不等式f（x）＞0的x的取值范围为；（ii）若函数f（x）的图象与x轴没有交点，则实数a的取值范围为．三、解答题：（本大题共6小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，，．（Ⅰ）求边c的值；（Ⅱ）若，求△ABC的面积．16．为了解学生寒假期间学习情况，学校对某班男、女学生学习时间进行调查，学习时间按整小时统计，调查结果绘成折线图如下：（Ⅰ）已知该校有400名学生，试估计全校学生中，每天学习不足4小时的人数；（Ⅱ）若从学习时间不少于4小时的学生中选取4人，设选到的男生人数为X，求随机变量X 的分布列；（Ⅲ）试比较男生学习时间的方差与女生学习时间方差的大小．（只需写出结论）17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，，PD⊥平面ABCD，PD=AD=3，PM=2MD，AN=2NB，E是AB中点．（Ⅰ）求证：直线AM∥平面PNC；（Ⅱ）求证：直线CD⊥平面PDE；（III）在AB上是否存在一点G，使得二面角G﹣PD﹣A的大小为，若存在，确定G的位置，若不存在，说明理由．18．已知函数．（Ⅰ）如果f（x）在x=0处取得极值，求k的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（III）当k=0时，过点A（0，t）存在函数曲线f（x）的切线，求t的取值范围．19．已知椭圆C：（a＞b＞0）经过点，离心率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若点P为椭圆C上一动点，点A（3，0）与点P的垂直平分线交y轴于点B，求|OB|的最小值．20．对于数列A：a1，a2，…，a n，若满足a i∈{0，1}（i=1，2，3，…，n），则称数列A为“0﹣1数列”．若存在一个正整数k（2≤k≤n﹣1），若数列{a n}中存在连续的k项和该数列中另一个连续的k项恰好按次序对应相等，则称数列{a n}是“k阶可重复数列”，例如数列A：0，1，1，0，1，1，0．因为a1，a2，a3，a4与a4，a5，a6，a7按次序对应相等，所以数列{a n}是“4阶可重复数列”．（Ⅰ）分别判断下列数列A：1，1，0，1，0，1，0，1，1，1．是否是“5阶可重复数列”？如果是，请写出重复的这5项；（Ⅱ）若项数为m的数列A一定是“3阶可重复数列”，则m的最小值是多少？说明理由；（III）假设数列A不是“5阶可重复数列”，若在其最后一项a m后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，且a4=1，求数列{a n}的最后一项a m的值．2017年北京市平谷区高考数学零模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分；在每个小题列出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）1．已知集合M={x|x2﹣x≤0，x∈Z}，N={x|x=2n，n∈N}，则M∩N为（）A．{0}B．{1}C．{0，1}D．{0，1，2}【考点】交集及其运算．【分析】求出M中的元素，求出M、N的交集即可．【解答】解：M={x|x2﹣x≤0，x∈Z}={0，1}，N={x|x=2n，n∈N}，则M∩N={0}，故选：A．2．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．y=x2+1 B．y=|lgx|C．y=cosx D．y=e x﹣1【考点】函数奇偶性的性质；函数零点的判定定理．【分析】先判定函数的奇偶性、再确定函数是否存在零点．【解答】解：对于A，函数是偶函数，不存在零点，不正确；对于B，函数不是偶函数，不正确；对于C，既是偶函数又存在零点，正确；对于D，函数不是偶函数，不正确．故选C．3．已知实数x、y满足：，则z=2x﹣y的最大值为（）A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣3【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，由图可知，当直线y=2x﹣z过A（1，0）时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为2．故选：A．4．已知a，b是两条不同的直线，α是平面，且b⊂α，那么“a∥α”是“a∥b”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据线面平行的判定定理以及充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：由a∥α推不出a∥b，由a∥b也推不出a∥α，如a在α内，故a∥α”是“a∥b”既不充分也不必要条件，故选：D．5．执行如图所示的程序框图，则输出S的值是（）A．9 B．16 C．25 D．27【考点】程序框图．【分析】按照程序的流程，写出前几次循环的结果，并同时判断各个结果是否满足判断框中的条件，直到满足条件，执行输出即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得S=0，i=1执行循环体，S=1，i=3不满足条件i＞7，执行循环体，S=4，i=5不满足条件i＞7，执行循环体，S=9，i=7不满足条件i＞7，执行循环体，S=16，i=9满足条件i＞7，退出循环，输出S的值为16．故选：B．6．若将函数的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（）A．B． C． D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，求得φ的最小正值．【解答】解：把函数的图象向右平移φ个单位，可得y=sin[2（x﹣φ）+]=sin（2x﹣2φ+）的图象，由于所得图象关于y轴对称，故有﹣2φ+=kπ+，k∈Z，即φ=﹣﹣，则φ的最小正值为，故选：A．7．已知点M（0，）及抛物线y2=4x上一动点N（x，y），则x+|MN|的最小值为（）A．B． C．3 D．4【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的定义，x+|MN|=丨NF丨+|MN|﹣1≥丨MF丨﹣1，当且M，N，F三点共线时，取最小值．【解答】解：由抛物线y2=4x焦点坐标F（1，0），准线方程x=﹣1，设N到准线的距离d，则x+|MN|=d﹣1+|MN|=丨NF丨+|MN|﹣1≥丨MF丨﹣1=﹣1=3，当且M，N，F三点共线时，取最小值，x+|MN|的最小值3，故选C．8．某位股民购进某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了5次涨停（每次上涨10%），又经历了5次跌停（每次下跌10%），则该股民这只股票的盈亏情况（不考虑其他费用）为（）A．略有盈利B．略有亏损C．没有盈利也没有亏损D．无法判断盈亏情况【考点】函数的值．【分析】由题意设股民购进某只股票价值为1个单位，根据题意列出解析式化简后比较即可．【解答】解：由题意设股民购进某只股票价值为1个单位，则最后为：y=（1+10%）5（1﹣10%）5=0.995＜1．所以该股民这只股票的盈亏情况是略有亏损．故选：B．二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）9．设i是虚数单位，则复数等于．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：=．故答案为：．10．在极坐标系中，设曲线ρ=﹣2sinθ和直线ρsinθ=﹣1交于A、B两点，则|AB|=2．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】化为直角坐标方程，即可得出．【解答】解：曲线ρ=﹣2sinθ即ρ2=﹣2ρsinθ，可得直角坐标方程：x2+y2=﹣2y．直线ρsinθ=﹣1，化为直角坐标方程：y=﹣1，代入圆的方程可得：x2=1，解得x=±1．设A（1，﹣1），B（﹣1，﹣1）．则|AB|=2．故答案为：2．11．已知数列{a n}是递增的等比数列，a2+a4=10，a1．a5=16，则数列{a n}的前6项和等于63．【考点】等比数列的前n项和．【分析】根据题意，对于数列{a n}，设其首项为a1，公比为q，结合题意可得，解可得等比数列的首项与公比，由等比数列前n项和公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，对于数列{a n}，设其首项为a1，公比为q，又由a2+a4=10，a1．a5=16，又{a n}是递增数列，则有，解可得a1=1，q=2，则其前6项和S6==63；故答案为：63．12．在平面直角坐标系xOy中，若方程﹣=1表示双曲线，则实数m的范围m＞0；若此双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为y=±x．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的定义即可判断，再根据离心率和a，b的关系，即可求出双曲线的渐近线方程．【解答】解：方程﹣=1表示双曲线，∴m＞0，∵e==∴e2=1+，∴=2，∴=，∴y=±x，故答案为：m＞0，13．如图，在矩形ABCD中，，点E为BC的中点，如果DF=2FC，那么的值是9．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】通过以A为原点，AB为x轴、AD为y轴建系，利用向量的坐标形式计算即可．利用向量的坐标形式计算即可．【解答】9；解：以A为原点，AB为x轴、AD为y轴建系如图，∵AB=3，AD=3，∴A（0，0），B（3，0），C（3，3），D（0，3），∵点E为BC的中点，∴E（3，），∵点F在边CD上，且DF=2FC，∴F（2，3），∴=（2，3），=（0，），∴=2×0+3×=9，故答案为：9．14．已知函数f（x）=|ax﹣1|﹣（a﹣1）x．（i）当a=2时，满足不等式f（x）＞0的x的取值范围为（﹣∞，）∪（1，+∞）；（ii）若函数f（x）的图象与x轴没有交点，则实数a的取值范围为[，1] ．【考点】分段函数的应用．【分析】（i）化为分段函数，再解不等式即可，（ii）①）当a≥1②当0＜a＜1③当a≤0三种情况，画出f（x）=|ax﹣1|与g（x）=（a﹣1）x的图象，利用图象确定有无交点．【解答】解：（i）当a=2时，f（x）=|2x﹣1|﹣x=，∵f（x）＞0，∴或，解得x＞1或x＜，故不等式f（x）＞0的x的取值范围为（﹣∞，）∪（1，+∞）（ii）函数f（x）的图象与x轴没有交点，①当a≥1时，f（x）=|ax﹣1|与g（x）=（a﹣1）x的图象：两函数的图象恒有交点，②当0＜a＜1时，f（x）=|ax﹣1|与g（x）=（a﹣1）x的图象：要使两个图象无交点，斜率满足：a﹣1≥﹣a，∴a≥，故≤a＜1③当a≤0时，f（x）=|ax﹣1|与g（x）=（a﹣1）x的图象：两函数的图象恒有交点，综上①②③知：≤a＜1故答案为：.，三、解答题：（本大题共6小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，，．（Ⅰ）求边c的值；（Ⅱ）若，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由正弦定理化简已知的式子，由条件求出c的值；（Ⅱ）由条件和余弦定理列出方程，化简后求出b的值，由平方关系求出sinC的值，代入三角形的面积公式求出答案．【解答】解：（Ⅰ）因为a=，，所以由正弦定理得c=a=4…（Ⅱ）因为c=4，，所以由余弦定理得，c2=a2+b2﹣2abcosC，则化简，b2﹣2b﹣8=0，解得b=4或b=﹣2（舍去），由得，，所以△ABC面积…16．为了解学生寒假期间学习情况，学校对某班男、女学生学习时间进行调查，学习时间按整小时统计，调查结果绘成折线图如下：（Ⅰ）已知该校有400名学生，试估计全校学生中，每天学习不足4小时的人数；（Ⅱ）若从学习时间不少于4小时的学生中选取4人，设选到的男生人数为X，求随机变量X 的分布列；（Ⅲ）试比较男生学习时间的方差与女生学习时间方差的大小．（只需写出结论）【考点】离散型随机变量的期望与方差；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）根据题意，由折线图分析可得20名学生中有12名学生每天学习不足4小时，进而可以估计校400名学生中天学习不足4小时的人数；（Ⅱ）学习时间不少于4本的学生共8人，其中男学生人数为4人，故X的取值为0，1，2，3，4；由古典概型公式计算可得X=0，1，2，3，4的概率，进而可得随机变量X的分布列；（Ⅲ）根据题意，分析折线图，求出男生、女生的学习时间方差，比较可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，由折线图可得12名男生中有8名每天学习不足4小时，8名女生中有4名每天学习不足4小时，即20名学生中有12名学生每天学习不足4小时，每天学习不足4小时的人数为：人．（Ⅱ）学习时间不少于4本的学生共8人，其中男学生人数为4人，故X的取值为0，1，2，3，4．由题意可得；；；；．所以随机变量X的分布列为随机变量X的均值．（Ⅲ）根据题意，对于男生，学习时间1小时的有1人，学习时间2小时的有4人，学习时间3小时的有3人，学习时间4小时的有2人，学习时间5小时的有2人，其平均数=（1×1+2×4+3×3+4×2+5×2）=3，其方差= [（1﹣3）2+4×（2﹣3）2+3×（3﹣3）2+2×（4﹣3）2+2×（5﹣3）2]=1.5；对于女生，学习时间2小时的有1人，学习时间3小时的有3人，学习时间4小时的有3人，学习时间5小时的有1人，其平均数=（1×2+3×3+4×3+5×1）=3.5，其方差= [（2﹣3.5）2+3×（3﹣3.5）2+3×（4﹣3.5）2+（5﹣3.5）2]=0.75；比较可得．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，，PD⊥平面ABCD，PD=AD=3，PM=2MD，AN=2NB，E是AB中点．（Ⅰ）求证：直线AM∥平面PNC；（Ⅱ）求证：直线CD⊥平面PDE；（III）在AB上是否存在一点G，使得二面角G﹣PD﹣A的大小为，若存在，确定G的位置，若不存在，说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）在PC上取一点F，使PF=2FC，连接MF，NF，结合已知可得MF∥DC，MF=，AN∥DC，AN=．从而可得MFNA为平行四边形，即AM∥NA．再由线面平行的判定可得直线AM∥平面PNC；（Ⅱ）由E是AB中点，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，得∠AED=90°．进一步得到CD⊥DE．再由PD⊥平面ABCD得CD⊥PD．由线面垂直的判定可得直线CD⊥平面PDE；（III）由（Ⅱ）可知DP，DE，DC，相互垂直，以D为原点，建立空间直角坐标系．然后利用平面法向量所成角的余弦值求得G点位置．【解答】证明：（Ⅰ）在PC上取一点F，使PF=2FC，连接MF，NF，∵PM=2MD，AN=2NB，∴MF∥DC，MF=，AN∥DC，AN=．∴MF∥AN，MF=AN，∴MFNA为平行四边形，即AM∥NA．又AM⊄平面PNC，∴直线AM∥平面PNC；（Ⅱ）∵E是AB中点，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，∴∠AED=90°．∵AB∥CD，∴∠EDC=90°，即CD⊥DE．又PD⊥平面ABCD，∴CD⊥PD．又DE∩PD=D，∴直线CD⊥平面PDE；解：（III）由（Ⅱ）可知DP，DE，DC，相互垂直，以D为原点，如图建立空间直角坐标系．则．设面PDA的法向量，由，得．设面PDG的法向量，由，得．∴cos60°=．解得，则．∴G与B重合．点B的位置为所求．18．已知函数．（Ⅰ）如果f（x）在x=0处取得极值，求k的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（III）当k=0时，过点A（0，t）存在函数曲线f（x）的切线，求t的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）先求导，根据导数和极值的关系即可求出k的值，（Ⅱ）先求导，再分类讨论，根据导数和函数的单调性的关系即可求出单调区间，（Ⅲ）切点坐标为（x0，y0），根据导数的几何意义，以及导数和最值得关系即可求出．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为R，∴∵函数f（x）在x=0处取得极值∴，解得：k=0当k=0时，，，∴函数f（x）在x=0处取得极小值，符合题意．（Ⅱ）因为．①当k≥1时，f'（x）＜0恒成立，所以f（x）在（﹣∞，+∞）为减函数②当k＜1时，令f'（x）=0，则x=﹣ln（1﹣k），当x∈（﹣∞，﹣ln（1﹣k））时，f'（x）＜0，f（x）在（﹣∞，﹣ln（1﹣k））上单调递减；当x∈（﹣ln（1﹣k），+∞）时，f'（x）＞0，f（x）在（﹣ln（1﹣k），+∞）上单调递增；（III）设切点坐标为（x0，y0），则切线方程为y﹣y0=f'（x0）（x﹣x0）即将A（0，t）代入得．令，所以．当时，x0=0．所以当x∈（﹣∞，0）时，M'（x）＞0，函数M（x）在x∈（﹣∞，0）上单调递增；当x∈（0，+∞）时，M'（x）＜0，M（x）在x∈（0，+∞）上单调递减．所以当x0=0时，M（x）max=M（0）=1，无最小值．当t≤1时，存在切线．19．已知椭圆C：（a＞b＞0）经过点，离心率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若点P为椭圆C上一动点，点A（3，0）与点P的垂直平分线交y轴于点B，求|OB|的最小值．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）离心率为，可得，故，椭圆C为，把点代入椭圆方程，解出即可得出．（Ⅱ）由题意，直线l的斜率存在，设点P（x0，y0）（y0≠0），利用中点坐标公式可得：线段AP的中点D坐标，由点A（3，0）关于直线l的对称点为P，得直线l⊥AP，可得直线l的斜率为﹣=，利用直线l的方程可得B，又=1，得=6﹣3，可得|OB|，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（Ⅰ）离心率为，∴，故，椭圆C为，把点代入得a2=6，b2=2，所以椭圆C的方程为=1．…（Ⅱ）由题意，直线l的斜率存在，设点P（x0，y0）（y0≠0），则线段AP的中点D的坐标为，且直线AP的斜率k AP=，…由点A（3，0）关于直线l的对称点为P，得直线l⊥AP，故直线l的斜率为﹣=，且过点D，所以直线l的方程为：=，…令x=0，得y=，则B，由=1，得=6﹣3，化简，得B．…所以|OB|==|y0|+≥2=．…当且仅当|y0|=，即y0=∈时等号成立．所以|OB|的最小值为．…20．对于数列A：a1，a2，…，a n，若满足a i∈{0，1}（i=1，2，3，…，n），则称数列A为“0﹣1数列”．若存在一个正整数k（2≤k≤n﹣1），若数列{a n}中存在连续的k项和该数列中另一个连续的k项恰好按次序对应相等，则称数列{a n}是“k阶可重复数列”，例如数列A：0，1，1，0，1，1，0．因为a1，a2，a3，a4与a4，a5，a6，a7按次序对应相等，所以数列{a n}是“4阶可重复数列”．（Ⅰ）分别判断下列数列A：1，1，0，1，0，1，0，1，1，1．是否是“5阶可重复数列”？如果是，请写出重复的这5项；（Ⅱ）若项数为m的数列A一定是“3阶可重复数列”，则m的最小值是多少？说明理由；（III）假设数列A不是“5阶可重复数列”，若在其最后一项a m后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，且a4=1，求数列{a n}的最后一项a m的值．【考点】数列的应用．【分析】（Ⅰ）是“5阶可重复数列”．（Ⅱ）因为数列{a n}的每一项只可以是0或1，所以连续3项共有23=8种不同的情形．分类讨论：若m=11，则数列{a n}中有9组连续3项，则这其中至少有两组按次序对应相等，即项数为11的数列{a n}一定是“3阶可重复数列”；则3≤m＜10时，均存在不是“3阶可重复数列”的数列{a n}．（III）由于数列{a n}在其最后一项a m后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，即在数列{a n}的末项a m后再添加一项0或1，则存在i≠j，使得a i，a i+1，a i+2，a i+3，a i+4与a m﹣3，a m﹣2，a m﹣1，a m，0按次序对应相等，或a j，a j+1，a j+2，a j+3，a j+4与a m﹣3，a m﹣2，a m﹣1，a m，1按次序对应相等，经过分析可得：a m=a4．【解答】解：（Ⅰ）是“5阶可重复数列”，10101．…．（Ⅱ）因为数列{a n}的每一项只可以是0或1，所以连续3项共有23=8种不同的情形．若m=11，则数列{a n}中有9组连续3项，则这其中至少有两组按次序对应相等，即项数为11的数列{a n }一定是“3阶可重复数列”；若m=10，数列0，0，1，0，1，1，1，0，0，0不是“3阶可重复数列”；则3≤m ＜10时，均存在不是“3阶可重复数列”的数列{a n }．所以，要使数列{a n }一定是“3阶可重复数列”，则m 的最小值是11．…．（III ）由于数列{a n }在其最后一项a m 后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，即在数列{a n }的末项a m 后再添加一项0或1，则存在i ≠j ，使得a i ，a i +1，a i +2，a i +3，a i +4与a m ﹣3，a m ﹣2，a m ﹣1，a m ，0按次序对应相等，或a j ，a j +1，a j +2，a j +3，a j +4与a m ﹣3，a m ﹣2，a m ﹣1，a m ，1按次序对应相等，如果a 1，a 2，a 3，a 4与a m ﹣3，a m ﹣2，a m ﹣1，a m 不能按次序对应相等，那么必有2≤i ，j ≤m ﹣4，i ≠j ，使得a i ，a i +1，a i +2，a i +3、a j ，a j +1，a j +2，a j +3与a m ﹣3，a m ﹣2，a m ﹣1，a m 按次序对应相等． 此时考虑a i ﹣1，a j ﹣1和a m ﹣4，其中必有两个相同，这就导致数列{a n }中有两个连续的五项恰按次序对应相等，从而数列{a n }是“5阶可重复数列”，这和题设中数列{a n }不是“5阶可重复数列”矛盾！所以a 1，a 2，a 3，a 4与a m ﹣3，a m ﹣2，a m ﹣1，a m 按次序对应相等，从而a m =a 4=1．…．2017年3月22日。

2017年普通高等学校招生全国统一考试北京卷文科数学一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知全集U R =，集合{|2Ax x =<-或2}x >，则U C A =（）A.()2,2- B.()(),22,-∞-+∞U C.[]2,2- D.(][),22,-∞-+∞U 2.若复数()()1i a i -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（）A.(),1-∞ B.(),1-∞- C.()1,+∞ D.()1,+-∞3、执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（）A.2 B.32 C.53 D.854、若,x y 满足32x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2x y +的最大值为（）A.1 B.3C.5D.95、已知函数1()3(3x x f x =-，则()f x （）A.是偶函数，且在R 上是增函数B.是奇函数，且在R 上是增函数C.是偶函数，且在R 上是减函数D.是奇函数，且在R 上是减函数6、某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A.60 B.30 C.20 D.107、设,m n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m n λ= ”是“0m n ⋅< ”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8、根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3613，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为8010.则下列各数中与M 最接近的是（参考数据：lg30.48≈）A.3310 B.5310 C.7310 D.9310二、填空题：（本题共6小题，每小题5分，共30分）9、在平面直角坐标系xOy 中，角a 与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3a =，则sin β=_________．10、若双曲线221y x m -=，则实数m =__________．11、已知0x ≥，0y ≥，且1x y +=，则22x y +的取值范围是__________．12、已知点P 在圆22=1x y +上，点A 的坐标为(-2,0)，O 为原点，则AO AP ⋅的最大值为_________．13、能够说明“设,,a b c 是任意实数．若a b c >>，则a b c +>”是假命题的一组整数,,a b c 的值依次为______________________________．14、某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：⑴男学生人数多于女学生人数；⑵女学生人数多于教师人数；⑶教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为__________．②该小组人数的最小值为__________．三、解答题：（解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤，共80分）15、（本小题13分）已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足11242451,10,a b a a b b a ==+==．⑴求{}n a 的通项公式；⑵求和：13521n b b b b -++++ ．16、（本小题13分）已知函数())2sin cos 3f x x x x =--⑴求()f x 的最小正周期；⑵求证：当[,]x ππ∈-时，1()2f x ≥-17、（本小题13分）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30），[30,40），......，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：⑴从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；⑵已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50）内的人数；⑶已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．18、（本小题14分）如图，在三棱锥P ABC -中，,,,2PA AB PA BC AB BC PA AB BC ⊥⊥⊥===，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点．⑴求证：PA BD ⊥；⑵求证：平面BDE ⊥平面PAC ；⑶当//PA 平面BDE 时，求三棱锥E BCD -的体积．19、（本小题14分）已知椭圆C的两个顶点分别为A(−2,0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为3．⑴求椭圆C的方程；⑵点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点,M N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4:5．20、（本小题13分）已知函数()cos x f x e x x=-⑴求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；⑵求函数()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值.。