锐角三角形函数及应用
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锐角三角函数及应用
锐角三角函数是指在直角三角形中,角度小于90度的三角函数,包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
这些函数在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
正弦函数是指一个角的对边与斜边的比值,即sinθ=对边/斜边。
在三角函数中,正弦函数是最基本的函数之一,它在三角形的计算中有着重要的作用。
例如,在测量高度时,可以利用正弦函数计算出物体的高度。
余弦函数是指一个角的邻边与斜边的比值,即cosθ=邻边/斜边。
余弦函数也是三角函数中的基本函数之一,它在计算角度时有着重要的作用。
例如,在计算机图形学中,可以利用余弦函数计算出两个向量之间的夹角。
正切函数是指一个角的对边与邻边的比值,即tanθ=对边/邻边。
正切函数在三角形的计算中也有着重要的作用。
例如,在测量斜率时,可以利用正切函数计算出斜率的大小。
除了在三角形的计算中,锐角三角函数还有着广泛的应用。
在物理学中,正弦函数和余弦函数可以用来描述波的运动,例如声波和光波。
在工程学中,正弦函数和余弦函数可以用来描述交流电的变化,例如电压和电流的变化。
在计算机科学中,正切函数可以用来计算图像的旋转和缩放。
锐角三角函数是数学中的重要概念,它们在各个领域中都有着广泛的应用。
掌握锐角三角函数的概念和应用,对于学习数学、物理、工程和计算机科学等领域都有着重要的意义。
锐角三角函数及其应用榆林第六中学 高启鹏一、锐角三角函数中考考点归纳考点一、锐角三角函数 1、锐角三角函数的定义如图,在 Rt △ ABC 中,/ C 为直角, 有(1) 图表记忆法三角\角 函数、304560si na1 c亡222 cosa爲匹J222tana乜31(2) 规律记忆法:30 °、45 °、60°角的正弦值的分母都是 2,分 子依次为1、. 2、3 ;30°、45°、60°角余弦值恰好是 60°、45°、 30°角的正弦值。
/ A 的正弦: sin A A 的对边a 斜边 c / A 的余弦: cos A A 的邻边b 斜边c / A 的正切: tan AA 的对边a A 的邻边b2、特殊角的三角函数值则/ A ABC 中的一锐角,则(3)口诀记忆法口诀是:“一、二、三,三、二、一,三、九、二十七,弦比二,切比三,分子根号不能删.”前三句中的1,2,3;3,2,1;3,9,27,分别是30°,45 °,60°角的正弦、余弦、正切值中分子根号内的值.弦比二、切比三是指正弦、余弦的分母为2,正切的分母为3.最后一句,讲的是各函数值中分子都加上根号,不能丢掉.如tan60 °二旦 ,3,tan45 =— 1 .这种方法有趣、简单、3 3易记.考点二、解直角三角形1、由直角三角形中的已知元素求出其他未知元素的过程,叫做解直角三角形。
2、解直角三角形的类型和解法如下表:考点二、锐角二角函数的实际应用(咼频考点)仰角、俯角、坡度(坡比)、坡角、方向角仰角、俯角在视线与水平线所成的锐角中,视线在水平线上方的角叫仰角,视线在水平线下方的角叫俯角。
坡度(坡比)、坡角坡面的铅直高度h和水平宽度1的比叫坡度(坡比),用字母i表示;坡面与水平线的夹角叫坡角,i tan Pl指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的锐角叫做方向角.注意:东北方向指北偏东45方向,东南方向指南偏方向角东45 方向,西北方向指北偏西45方向,西南方向指南偏西45°方向.我们一般画图的方位为上北下南,左西右东.二、锐角三角函数常见考法(一)、锐角三角函数以选择题的形式出现.例1、(2016?陕西)已知抛物线y二-x2-2x+3与x轴交于A B两点,将这条抛物线的顶点记为C,连接AG BC则tan / CAB的值为()A.丄B . ■- C •」D ■ 2【考点】抛物线与x轴的交点;锐角三角函数的定义.CD:【解析】先求出A B、C坐标,作CDL AB于D,根据tan / ACD=-即可计算.o【解答】解:令y=0,则-x —2x+3=0,解得x=—3或1,不妨设A (—3,0),B (1, 0),2 2• y二—x - 2x+3=—( x+1) +4,「•顶点C (- 1, 4),如图所示,作CDL AB于D.故答案为D.(二)、锐角三角函数以填空题的形式出现例2、(2016?陕西)请从以下两个小题中任选一个作答,若多选,则按第一题计分.A. —个多边形的一个外角为45°,则这个正多边形的边数是8 .B. 运用科学计算器计算:3.「sin73 ° 52’〜11.9 .(结果精确到0.1 )【考点】计算器一三角函数;近似数和有效数字;计算器一数的开方;多边形内角与外角.【解析】(1)根据多边形内角和为360°进行计算即可;(2)先分别求得3. 7和sin73 ° 52 '的近似值,再相乘求得计算结果.【解答】解:(1)v正多边形的外角和为360° 二这个正多边形的边数为:360°宁45° =8(2) 3 i sin73 °52’ 〜12.369 x0.961 〜11.9故答案为:8, 11.9例3、(2015?陕西)如图,有一滑梯 AB,其水平宽度AC 为5.3米,铅直高 度BC 为2.8米,则/ A 的度数约为 27.8(用科学计算器计算,结果精【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题. 【解析】直接利用坡度的定义求得坡角的度数即可. 【解答】 解:T tan / A 」"1〜0.5283 ,AC 5. 3•••/ A=27.8°, 故答案为:27.8 ° .【点评】本题考查了坡度坡角的知识,解题时注意坡角的正切值 等于铅直高度与水平宽度的比值,难度不大.例4、(2014?陕西)用科学计算器计算:一 一;+3tan56 °〜10.02 (结果精确到0.01 ) 计算器一三角函数;计算器一数的开方.先用计算器求出tan56°的值,再计算加减运解:「丨〜5.5678 , tan56 °〜1.4826 , 则-1 +3tan56 °〜5.5678+3 X 1.4826 〜10.02故答案是:10.02 .【点评】 本题考查了计算器的使用,要注意此题是精确到【考点】 【分析】0.01.例5、(2014?陕西)如图,在正方形 ABC [中, AD=1将厶ABD绕点B 顺时针旋转45 °得到△ A BD ,此时A D 与CD 交于【考点】 旋转的性质【分析】 利用正方形和旋转的性质得出 A D=A E ,进而利用 勾股定理得出BD 的长,进而利用锐角三角函数关系得出 DE 的长 即可.【解答】 解:由题意可得出:/ BDC=45,/ DA E=90° , •••/ DEA =45°,••• A D=A E ,•••在正方形ABCD 中AD=1 • AB=A B=1, • BD=:':, • A D 二;:-1,•••在 Rt △ DA E 中,DE备=2-五故答案为:2-血.【点评】此题主要考查了正方形和旋转的性质以及勾股定理、2~41锐角三角函数关系等知识,得出 A D 的长是解题关键.(三) 、锐角三角函数定义以解答题的形式出现例6、( 12分)(2015?陕西)如图,在每一个四边形 ABC 冲,均有AD// BC ;CDL BC / ABC=60 , AD=8 BC=12(1) 如图①,点M 是四边形ABCDi AD 上的一点,则厶BMC 勺面积为 24「;; (2) 如图②,点N 是四边形ABCD* AD 上的任意一点,请你求出△ BNC 周长 的最小值;(3) 如图③,在四边形ABCD 勺边AD 上,是否存在一点P,使得cos / BPC 的 值最小?若存在,求出此时cos / BPC 勺值;若不存在,请说明理由.【考点】四边形综合题.. 【专题】综合题.【解析】(1)如图①,过A 作AE ! BC 可得出四边形AECF 为矩形,得到EC=ADBE 二B G EC 在直角三角形 ABE 中,求出AE 的长,即为三角形 BMC 勺高,求 出三角形BMC 面积即可;(2) 如图②,作点C 关于直线AD 的对称点C ,连接C N, C D, C B 交AD 于点 N ,连接 CN ,贝卩 BN+NC 二BN+NO BC =BN +CN ,可得出厶 BNC 周长的最小值BN C 的周长=BN +CN +BC 二BC+BC 求出即可;(3) 如图③所示,存在点P,使得cos /BPC 的值最小,作BC 的中垂线PQ 交BC 于点Q 交AD 于点P,连接BP CP 作厶BPC 的外接圆Q 圆O 与直线PQ 交于点N,则PB=PC 圆心0在PN 上,根据AD 与BC 平行,得到圆0与AD 相AD圈②图①ACc图③切,根据PQ=DC判断得到PQ大于BQ可得出圆心0在BC上方,在AD上任取一点P',连接P‘ B, P C, P‘ B交圆0于点M连接MC可得/ BPC= / BM OZ BP C,即/ BPC最小,cos/ BPC的值最小,连接0B求出即可.【解答】解:(1)如图①,过A作AE±BC二四边形AEC助矩形,••• EC=AD=8 BE二B G EC=12- 8=4,在Rt△ ABE中, / ABE=60 , BE=4•AB=2BE=8 AE=:・,二=4 二则S A BM千BC? AE=24 -;;故答案为:24. -;;(2)如图②,作点C关于直线AD的对称点C,连接C N, C D, C B交AD于点N,连接CN,贝卩BN+NC二BN+NO BC =BN +CN ,•△ BNC周长的最小值为△ BN C的周长=BN +CN +BC=BC +BCv AD// BC AE! BC / ABC=60 ,•过点A 作AE! BC 则CE=AD=8•BE=4 AE=B? tan60 ° 二酣1,•CC =2CD=2AE=8,v BC=12•BC=血/+防2=4阿,•△ BNC周长的最小值为4 1+12;(3)如图③所示,存在点P,使得cos/ BPC的值最小,作BC的中垂线PQ交BC于点Q交AD于点P,连接BP, CR作厶BPC的外接精品文档圆Q 圆0与直线PQ交于点N,贝S PB=PC圆心0在PN上,v AD// BC•••圆0与AD相切于点P,v PQ=DC=4>6,•PQ> BQ•/BPG 90°,圆心O在弦BC的上方,在AD上任取一点P',连接P‘ B, P‘ C, P‘ B交圆0于点M连接MC•••/ BPC y BM OZ BP C,•/ BPC最大,cos / BPC的值最小,连接0B 贝卩/ BON=/BPN/ BPCv 0B=0P=4 - 0Q在Rt△ B0C中,根据勾股定理得:0Q+62二(砸-0Q 2,解得:0Q二:;,2•0B二:,2•cos / BPC二co/ B0Q==l,P厂则此时cos/ BPC的值为一.【点评】此题属于四边形综合题,涉及的知识有:勾股定理,矩形的判定与性质,对称的性质,圆的切线的判定与性质,以及锐角三角函数定义,熟练掌握定理及性质是解本题的关键.例7、(10分)(2014年陕西省)已知抛物线C: y二-x2+bx+c经过A (- 3, 0)和B (0, 3)两点,将这条抛物线的顶点记为M它的对称轴与x轴的交点记为N.(1)求抛物线C的表达式;(2)求点M的坐标;(3)将抛物线C平移到C,抛物线C的顶点记为M',它的对称轴与x轴的交点记为N'.如果以点M N M、N为顶点的四边形是面积为16的平行四边形,那么应将抛物线C怎样平移?为什么?新课标xk b1. c om【考点】二次函数图象与几何变换;二次函数的性质;待定系数法求二次函数解析式;平行四边形的性质.菁优网版权所有【分析】(1)直接把A(- 3, 0)和B(0, 3)两点代入抛物线y二-x2+bx+c, 求出b, c 的值即可;(2)根据(1)中抛物线的解析式可得出其顶点坐标;(3)根据平行四边形的定义,可知有四种情形符合条件,如解答图所示.需要分类讨论.【解答】解: (1)V抛物线y二-x2+bx+c经过A (- 3, 0)和B (0, 3)两占J \\、’解得仁2,故此抛物线的解析式为:y二-x2- 2x+3;(2)v由(1)知抛物线的解析式为:y二-x2- 2x+3,•••当x=- 一= - = - 1 时,y=4, xKb 1.C omSa 2X ( -1) ,‘,• M(- 1, 4).(3J由题意,以点MN、M、N为顶点的平行四边形的边MN勺对边只能是M‘ N, •MN/ M N 且MN二M N.•MN NN =16,•NN =4.i )当M、N M、N为顶点的平行四边形是? MNN M时,将抛物线C向左或向右平移4个单位可得符合条件的抛物线C ;ii )当M N M、N为顶点的平行四边形是? MNMN时,将抛物线C先向左或向右平移4个单位,再向下平移8个单位,可得符合条件的抛物线C . •上述的四种平移,均可得到符合条件的抛物线C .【点评】本题考查了抛物线的平移变换、平行四边形的性质、待定系数法及二次函数的图象与性质等知识点.第(3)问需要分类讨论,避免漏解.例8、(12分)(2014?陕西)问题探究(1)如图①,在矩形ABCD K AB=3 BC=4如果BC边上存在点巳使厶APD 为等腰三角形,那么请画出满足条件的一个等腰三角形△ APD并求出此时BP 的长;(2)如图②,在△ ABC中,/ ABC=60 , BC=12 AD是BC边上的高,E、F分别为边AB AC的中点,当AD=6时,BC边上存在一点Q 使/ EQF=90,求此时BQ 的长;问题解决(3)有一山庄,它的平面图为如图③的五边形ABCDE山庄保卫人员想在线段CD 上选一点M安装监控装置,用来监视边AB现只要使/ AMB大约为60°, 就可以让监控装置的效果达到最佳,已知/ A二/ E=Z D=90°, AB=270m AE=400mED=285m CD=340m问在线段CD上是否存在点M 使/ AMB=60 ? 若存在,请求出符合条件的DM的长,若不存在,请说明理由.A D團①图②團③【考点】圆的综合题;全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质;勾股定理;三角形中位线定理;矩形的性质;正方形的判定与性质;直线与圆的位置关系;特殊角的三角函数值.菁优网版权所有【专题】压轴题;存在型.【分析】(1)由于△ PAD是等腰三角形,底边不定,需三种情况讨论,运用三角形全等、矩形的性质、勾股定理等知识即可解决问题.(2)以EF为直径作。
三角形锐角函数三角形是几何学中的重要概念之一,它具有许多重要的性质和特点。
在三角形中,角是一个重要的要素,而锐角是其中一种特殊的角。
本文将探讨三角形锐角函数的概念、性质和应用。
一、锐角的定义在三角形中,锐角是指其角度小于90度的角。
也就是说,锐角的度数在0度到90度之间。
锐角具有许多特点和性质,而三角形锐角函数就是基于这些特点和性质而定义的。
二、三角形锐角函数的定义三角形锐角函数是一类函数,用于描述锐角的各种关系。
常见的三角形锐角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数,分别用sin、cos 和tan表示。
这些函数可以帮助我们计算三角形中的各种参数。
三、正弦函数正弦函数是三角形锐角函数中最常用的函数之一。
它表示三角形中某一锐角的对边与斜边之比。
正弦函数的定义如下:sin(θ) = 对边 / 斜边四、余弦函数余弦函数也是三角形锐角函数中常用的函数之一。
它表示三角形中某一锐角的邻边与斜边之比。
余弦函数的定义如下:cos(θ) = 邻边 / 斜边五、正切函数正切函数是三角形锐角函数中另一个常用的函数。
它表示三角形中某一锐角的对边与邻边之比。
正切函数的定义如下:tan(θ) = 对边 / 邻边六、三角形锐角函数的性质三角形锐角函数具有许多重要的性质和关系。
其中一些性质如下:1. 正弦函数的值在-1到1之间,即 -1 ≤ sin(θ) ≤ 1。
2. 余弦函数的值也在-1到1之间,即 -1 ≤ cos(θ) ≤ 1。
3. 正切函数的值可以是任意实数。
七、三角形锐角函数的应用三角形锐角函数在实际应用中具有广泛的应用价值。
它们可以用于解决各种与三角形相关的问题,例如测量高度、距离、角度等。
以下是一些常见的应用场景:1. 在建筑工程中,可以利用三角形锐角函数计算建筑物的高度。
2. 在导航和地理测量中,可以利用三角形锐角函数计算两个位置之间的距离。
3. 在物理学和工程学中,可以利用三角形锐角函数计算物体的运动轨迹和速度。
初中锐角三角函数及应用锐角三角函数是指角度小于90度的三角函数,包括正弦、余弦和正切。
这些函数在数学和物理学中有着广泛的应用。
首先,我们来介绍一下锐角三角函数的定义和性质。
在一个直角坐标系中,对于一个锐角ABC(角A小于90度), 我们可以定义正弦函数sinA 为点B的纵坐标除以斜边AC的长度,余弦函数cosA 为点B的横坐标除以斜边AC的长度,正切函数tanA 为点B的纵坐标除以横坐标。
其中,sinA、cosA和tanA都是角A的函数。
这些函数有许多重要的性质。
首先,它们的定义域都是锐角的正数集合,即(0,90)。
其次,它们的值域都是(-1,1),即在定义域内,这些函数的值都在-1到1之间变化。
此外,正弦函数和余弦函数还具有周期性,周期为360度或2π弧度。
也就是说,对于一个锐角A,sin(A+360k) = sinA,cos(A+360k) = cosA,其中k 为整数。
在应用方面,锐角三角函数有着广泛的作用。
首先,它们被广泛应用于三角计算。
例如,我们可以利用正弦定理或余弦定理,通过已知边和角来求解三角形的其他未知边和角。
这在测量、建筑、工程等领域都有着重要的应用。
其次,锐角三角函数在物理学中也有着重要的应用。
例如,对于一个斜抛运动的物体,我们可以利用正弦函数和余弦函数来分析其垂直和水平方向上的运动。
它们可以帮助我们计算物体的落点、飞行时间、最大高度等。
另外,锐角三角函数还与周期函数和图像有着密切的关系。
它们的图像可以通过函数的周期性来得到。
例如,正弦函数的图像是一个周期为2π的曲线,具有对称性和单调性,而余弦函数的图像是一个周期为2π的曲线,也具有对称性和反单调性。
此外,锐角三角函数还与三角恒等式有着重要的联系。
三角恒等式是指对于锐角A和B,成立的恒等关系。
利用三角恒等式,我们可以化简复杂的三角函数表达式,简化计算过程。
总的来说,锐角三角函数是数学中一类重要的函数,具有广泛的应用。
它们不仅在三角计算和几何题目中有着重要作用,还与物理学、周期函数和三角恒等式等有着紧密的联系。
锐角三角函数及应用经典例题锐角三角函数是指在单位圆上,从原点出发,与 x 轴正半轴之间的夹角小于90° 的角的三角函数。
其中包括正弦函数sinα、余弦函数cosα、正切函数tanα,以及它们的倒数函数cscα、secα、cotα。
锐角三角函数在数学中有广泛的应用,尤其在几何、物理以及工程学中涉及到角度测量、距离计算等方面经常用到。
下面我们来看一些经典的例题,以加深对锐角三角函数的理解:例题1:已知在锐角 ABC 中,边长 BC = 5, AC = 13、求角 A 的正弦值 sinA、余弦值 cosA 和正切值 tanA。
解答:由于边长BC=5,AC=13,我们可以根据勾股定理求得边长AB=√(AC^2-BC^2)=12角 A 的正弦值 sinA = BC / AC = 5 / 13,余弦值 cosA = AB / AC = 12 / 13,正切值 tanA = BC / AB = 5 / 12例题2:已知在锐角 ABC 中,角B = 35°,边长 BC = 8、求角 A 的正弦值 sinA、余弦值 cosA 和正切值 tanA。
解答:由于已知角B = 35°,边长 BC = 8,我们可以根据正弦函数的定义求得角 A 的正弦值为 sinA = BC / AC。
由于 sinA = BC / AC,我们可以得到 AC = BC / sinA = 8 /sin(180° - A - B)。
根据余弦定理,可以计算出边长AC = √(AB^2 + BC^2 - 2 * AB * BC * cosB)。
代入已知的B = 55° 和 BC = 8,我们可以求得AC = √(AB^2 +8^2 - 2 * AB * 8 * cos35°)。
我们可以进一步根据余弦函数的定义计算 AB 的值,即 cosA = AB / AC,所以 AB = AC * cosA。
锐角三角函数1. 锐角三角函数的定义:如图所示:在Rt △ABC 中,∠C =90°,a ,b ,c 分别是∠A ,∠B ,∠C 的对边。
(1)∠A 的正弦:sinA =a cA ∠的对边=斜边; (2)∠A 的余弦:b cA ∠的邻边=斜边; (3)∠A 的正切:a bA A ∠∠的对边=的邻边; (4)∠A 的余切:A b A a ∠∠的邻边=的对边 (是正切的倒数)。
2.30°,45°,60°角的三角函数值:1sin 302︒=,2sin 452︒=,3sin 602︒=; 3cos302︒=,2cos 452︒=,1cos 602︒=; 3tan 303︒=,tan 451︒=,tan 603︒=。
例题1:求下列各式的值:(1)22cos 60sin 60︒+︒ (2)cos 45tan 45sin 45︒-︒︒3.锐角三角函数之间的关系:(1)平方的关系:22sin cos 1A A +=;(2)商的关系: sin tan cos A A A=; (3)互余两角的三角函数关系:sin(90)cos A A ︒-=,cos(90)sin A A ︒-=。
注意:锐角的正弦和正切值随着角度的增大而增大;锐角的余弦值随着角度的增大而减小;对于锐角A 有0sin 1,0cos 1,tan 0,A A A <<<<>且他们都没有单位。
4.直角三角形的有关性质及判定:(1)直角三角形的性质:①直角三角形两个锐角互余;②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;③在直角三角形中,如果有一个锐角等于30︒,那么它所对的直角边等于斜边的一半;④在直角三角形中,如果有一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于30︒;⑤在直角三角形中,两条直角边a ,b 的平方和等于斜边c 的平方,即222a b c +=;⑥1122Rt S ch ab ==(h 为斜边上的高),外接圆半径R =2c =斜边上的中线,内切圆半径r =2a b c +-。
锐角三角形函数及应用
锐角三角形是指三个内角都小于90的三角形。
在锐角三角形中,我们可以应用一些函数来求解各种问题。
以下是一些锐角三角形函数及其应用的例子:
1. 正弦函数:在锐角三角形ABC中,以角A为锐角,边BC为斜边,则正弦函数可以定义为sin A = BC / AC。
我们可以利用正弦函数来求解各种问题,如求解角度、边长等。
例如,已知角度A和边长BC,可以通过sin A = BC / AC来求解边长AC。
2. 余弦函数:在锐角三角形ABC中,以角A为锐角,边BC为斜边,则余弦函数可以定义为cos A = AC / BC。
我们可以利用余弦函数来求解各种问题,如求解角度、边长等。
例如,已知角度A和边长AC,可以通过cos A = AC / BC来求解边长BC。
3. 正切函数:在锐角三角形ABC中,以角A为锐角,边BC为斜边,则正切函数可以定义为tan A = BC / AC。
我们可以利用正切函数来求解各种问题,如求解角度、边长等。
例如,已知角度A和边长BC,可以通过tan A = BC / AC来求解边长AC。
4. 余切函数:在锐角三角形ABC中,以角A为锐角,边BC为斜边,则余切函数可以定义为cot A = AC / BC。
我们可以利用余切函数来求解各种问题,如求解角度、边长等。
例如,已知角度A和边长AC,可以通过cot A = AC / BC来
求解边长BC。
通过这些函数,我们可以在求解锐角三角形问题时进行角度和边长之间的转换。
例如,已知一个锐角三角形的两边和一个角度,我们可以利用正弦、余弦、正切函数来求解其余的角度和边长。
此外,锐角三角形函数还可以应用于实际生活中的一些问题。
例如,在建筑设计中,我们需要计算一座斜塔的高度。
我们可以通过测量角度和斜塔与地面的距离,利用正切函数来求解其高度。
同样,在地理测量中,我们可以利用正弦、余弦、正切函数来计算两地之间的距离和方位角。
总之,锐角三角形函数是求解锐角三角形问题的重要工具,其应用广泛且实用。
通过理解和掌握这些函数,我们可以更好地解决各种与锐角三角形有关的问题。