2015-2016学年高中数学 1.3.2.1函数的奇偶性双基限时练 新人教A版必修1

奇偶性[A 组 学业达标]1．下列函数为奇函数的是( ) A ．y ＝|x | B ．y ＝3－x C ．y ＝1xD ．y ＝－x 2＋4解析：对A 、D ，可验证为偶函数，B 为非奇非偶函数． 答案：C2．已知f (x )是偶函数，且f (4)＝5，那么f (4)＋f (－4)的值为( ) A ．5 B ．10 C ．8D ．不确定解析：∵f (x )是偶函数，∴f (－4)＝f (4)＝5， ∴f (4)＋f (－4)＝5＋5＝10、 答案：B3．设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)＝( ) A ．－3 B ．－1 C ．1D ．3解析：∵f (x )是奇函数， ∴f (1)＝－f (－1)＝－3、 答案：A4．已知偶函数y ＝f (x )在[0,4]上是增函数，则一定有( ) A ．f (－3)>f (π) B ．f (－3)<f (π) C ．f (3)>f (－π)D ．f (－3)>f (－π) 解析：∵f (x )是偶函数，∴f (－3)＝f (3)，f (－π)＝f (π)．又f (x )在[0,4]上是增函数，∴f (3)<f (π)． ∴f (－3)<f (π)． 答案：B5．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝x －x 2，则当x >0时，f (x )＝( ) A ．x －x 2 B ．－x －x 2 C ．－x ＋x 2D ．x ＋x 2解析：当x >0时，－x <0， ∴f (－x )＝－x －(－x )2＝－x －x 2， 又f (－x )＝－f (x )，故f (x )＝x ＋x 2、答案：D6．若f (x )＝(x ＋a )(x －4)为偶函数，则实数a ＝__________、 解析：∵f (x )是偶函数， ∴f (－x )＝f (x )，即(－x ＋a )(－x －4)＝(x ＋a )(x －4)恒成立， 整理得，(a －4)x ＝0恒成立，∴a ＝4、 答案：47．偶函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝__________、 解析：∵f (x )的图象关于直线x ＝2对称， ∴f (4－x )＝f (x )，∴f (4－1)＝f (1)＝f (3)＝3， 即f (1)＝3、 ∵f (x )是偶函数， ∴f (－x )＝f (x )， ∴f (－1)＝f (1)＝3、 答案：38．偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则不等式f (x )＞f (1)的解集是__________．解析：因为f (x )是偶函数，所以f (|x |)＝f (x )，所以f (x )＞f (1)可转为f (|x |)＞f (1)，又x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，所以|x |＞1，即x ＜－1或x ＞1、答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)9．已知函数f (x )和g (x )满足f (x )＝2g (x )＋1，且g (x )为R 上的奇函数，f (－1)＝8，求f (1)． 解析：∵f (－1)＝2g (－1)＋1＝8， ∴g (－1)＝72，又∵g (x )为奇函数， ∴g (－1)＝－g (1)． ∴g (1)＝－g (－1)＝－72，∴f (1)＝2g (1)＋1＝2×⎝⎛⎭⎫－72＋1＝－6、 10．函数f (x )的定义域D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)． (1)求f (1)的值;(2)判断f (x )的奇偶性并证明． 解析：(1)令x 1＝x 2＝1，有f (1×1)＝f (1)＋f (1)，解得f (1)＝0、 (2)f (x )为偶函数，证明如下： 令x 1＝x 2＝－1，有f [(－1)×(－1)]＝f (－1)＋f (－1)， 解得f (－1)＝0、令x 1＝－1，x 2＝x ，有f (－x )＝f (－1)＋f (x )， 所以f (－x )＝f (x )． 所以f (x )为偶函数．[B 组 能力提升]1．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f (2)＝0，则使f (x )<0的x 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2,2)解析：遇到以偶函数为背景的此类题目，画出不含坐标轴的二次函数简图．若f (x )在(－∞，0]上递减，则开口向上，若f (x )在(－∞，0]上递增，则开口向下．如图所示：易得f (x )<0时x 的范围是(－2,2)． 答案：D2．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上是单调递增的，则满足f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( )A 、⎝⎛⎭⎫13，23B 、⎣⎡⎭⎫13，23 C 、⎝⎛⎭⎫12，23 D 、⎣⎡⎭⎫12，23 解析：∵f (x )在[0，＋∞)上是单调递增， ∴f (x )在(－∞，0)上单调递减， ∴－13＜2x －1＜13，解得13＜x ＜23、答案：A3．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)＝__________、解析：f (7)＝f (3＋4)＝f (3)＝f (－1＋4)＝f (－1)， 又∵f (x )是R 上的奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2， ∴f (－1)＝－f (1)＝－2、 ∴f (7)＝f (－1)＝－2、 答案：－24．函数f (x )＝ax ＋b 1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫12＝25、 (1)确定函数f (x )的解析式;(2)用定义证明：f (x )在(－1,1)上是增函数; (3)解不等式：f (t －1)＋f (t )<0、 解析：(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝0，f ⎝⎛⎭⎫12＝25，即⎩⎪⎨⎪⎧b1＋02＝0，a 2＋b1＋14＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，∴f (x )＝x 1＋x 2、(2)证明：任取x 1，x 2且满足－1<x 1<x 2<1， 则x 2－x 1>0，f (x 2)－f (x 1)＝x 21＋x 22－x 11＋x 21＝(x 2－x 1)(1－x 1x 2)(1＋x 21)(1＋x 22)、 ∵－1<x 1<x 2<1， ∴－1<x 1x 2<1,1－x 1x 2>0、 于是f (x 2)－f (x 1)>0， ∴f (x )为(－1,1)上的增函数． (3)f (t －1)<－f (t )＝f (－t )． ∵f (x )在(－1,1)上是增函数， ∴－1<t －1<－t <1，解得0<t <12、。

人教版高一上学期数学（必修一）《3.2.2函数的奇偶性》同步测试题附答案1．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时2()1f x x =+，则(1)f -= A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-2．若函数()f x 是奇函数，当0x <时，()f x 的解析式是()(1)f x x x =-，则当0x >时，()f x 的解析式是（ ）A ．()(1)f x x x =--B ．()(1)f x x x =-C ．()(1)f x x x =-+D ．()(1)f x x x =+3．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,且当0x ≥时2()2f x x x =-,则()y f x =在R 上的解析式为( ) A ．()(2)f x x x =+ B ．()(2)f x x x =+ C ．()(2)f x x x =- D ．()(2)f x x x =-4．若函数()f x 为奇函数，且在(0,)+∞上是增函数，又()()(2)0,0f x f x f x --=<则的解集为A ．(2,0)(0,2)- B ．(,2)(0,2)-∞- C ．(,2)(2,)-∞-+∞ D ．(2,0)(2,)-+∞5．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数，若(1)1f =-，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围是（ ） A ．[]2,2- B ．[]1,1- C ．[]0,4 D ．[]1,36．已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递增，若(2)2f =-,则满足(1)2f x -≥-的x 的取值范围是A ．(,1)(3,)-∞-+∞ B ．(][),13,-∞-+∞ C ．[]1,3- D ．(][),22,-∞-+∞7．已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于y 轴对称，且函数()f x 在(],0-∞上单调递减，则不等式()(21)f x f x <-的解集为（ ）A ．1(,)(1,)3-∞+∞B ．1(,1)(,)3-∞--+∞C ．1(,1)3 D11,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 8．如果奇函数()f x 在区间[]3,7上是增函数且最大值为5，那么()f x 在区间[]7,3--上是（ ）A ．增函数且最小值是-5B ．增函数且最大值是-5C ．减函数且最大值是-5D ．减函数且最小值是-59．函数221xy x =+的大致图象是 （ （A ．B ．C ．D ．10．定义在()1,1-上的奇函数()f x 是增函数，且2()(21)0f a f a +-<，则a 的取值范围_______（ 11．已知()f x 是R 上的偶函数，且在[)0,+∞单调递增，若(3)(4)f a f -<，则a 的取值范围____．12．已知函数1()f x x x =-．（）求函数()f x 的定义域． （）判断函数()f x 的奇偶性并说明理由．（）判断函数()f x 在(0,)+∞上的单调性，并用定义加以证明．13．函数()y f x =在[]0,2上单调递增，且函数(2)f x +是偶函数，则下列结论成立的是( )A ．57(1)()()22f f f <<B ．75()()(1)22f f f <<C ．75()(1)()22f f f << D ．57()(1)()22f f f << 14．定义在R 上的偶函数()f x 满足：()()2f x f x =-，若()f x 在区间[]0,1内单调递减，则()34123f f f ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、、的大小关系为 A ．()34123f f f ⎛⎫⎛⎫-<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．()34123f f f ⎛⎫⎛⎫<-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()34123f f f ⎛⎫⎛⎫-<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．()43132f f f ⎛⎫⎛⎫<<-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭15．已知函数()f x 对于任意,x y R ∈，总有()()()f x f y f x y +=+ ，且 0x >时 ()0f x <． （1）求证：()f x 在R 上是奇函数；（2）求证：()f x在R上是减函数；参考答案1．D【解析】由题得，故答案为：D2．D【解析】当时∴（又函数为奇函数（∴（即所求解析式为（故选（3．C【解析】设，则（则即.本题选择C选项.4．A【解析】由奇函数的性质以及特殊点可作出如下简图：由奇函数定义化简解析式：，即与x异号即可，由图像可知当或时与x异号.故选A.5．D【解析】是奇函数，故；又是增函数，，即则有，解得，故选D.6．B【解析】由题偶函数在单调递增，若即解得或.故选B.7．A【解析】依题意，函数是偶函数，且在上单调递增故，故选A.8．A【解析】由奇函数的性质可得函数在区间[3，7]上是增函数且最大值为5. 那么在区间[－7，－3]上的图像关于原点对称，所以也是递增并且最小值为-5.故选A.本小题主要考查奇函数的图像是关于原点对称的知识.即可得单调性结论.9．A【解析】设，由，得，排除D；由，得，排除B,C;【点睛】10．【解析】由函数是奇函数，得；又因为函数是增函数，所以由定义域为所以解不等式组，得或所以的取值范围为11．【解析】∵f （x ）是R 上的偶函数，且在[0，+∞）单调递增∴不等式f （a ﹣3）＜f （4）等价为f （|a ﹣3|）＜f （4），即|a ﹣3|＜4，即﹣4＜a ﹣3＜4 得﹣1＜a ＜7，即实数a 的取值范围是﹣1＜a ＜7，故答案为：﹣1＜a ＜7 12．（1）；（2）奇函数；（3）单调递增． 【解析】（1）由题意得，∴函数定义域为．（）函数的定义域关于原点对称，∵，∴函数是奇函数．（）函数在上为增函数．证明如下：设，则． ∵ ∴∴∴∴在上单调增．13．C 【解析】函数是偶函数，则其图象关于轴对称，所以函数的图像关于对称，则函数在上单调递增，则有，所以.14．D 【解析】()()2f x f x =-，则函数()y f x =为周期函数，且周期为2，由于该函数为偶函数，所以，3312222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭442223333f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭120123<<<，且函数()y f x =在区间[]0,1上为减函数，则()21132f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即()43132f f f ⎛⎫⎛⎫<<-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：D 。

2014年高中数学 1.3.2奇偶性同步测试（含解析，含尖子生题库）新人教A 版必修1(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．函数f (x )＝x 2＋3的奇偶性是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数解析： 函数f (x )＝x 2＋3的定义域为R ，f (－x )＝(－x )2＋3＝x 2＋3＝f (x )，所以该函数是偶函数，故选B.答案： B2．下列四个结论：①偶函数的图象一定与y 轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y 轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数是f (x )＝0. 其中正确命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析： 偶函数的图象关于y 轴对称，但不一定与y 轴相交，如y ＝1x2，故①错，③对；奇函数的图象不一定通过原点，如y ＝1x，故②错；既奇又偶的函数除了满足f (x )＝0，还要满足定义域关于原点对称，④错．故选A.答案： A3．已知f (x )＝x 5＋ax 3＋bx －8，且f (－2)＝10，则f (2)等于( )A ．－10B ．－18C ．－26D ．10解析： 由函数g (x )＝x 5＋ax 3＋bx 是奇函数，得g (－x )＝－g (x )，∵f (2)＝g (2)－8，f (－2)＝g (－2)－8，∴f (2)＋f (－2)＝－16.又f (－2)＝10，∴f (2)＝－16－f (－2)＝－16－10＝－26.答案： C4．已知函数f (x )在[－5,5]上是偶函数，f (x )在[0,5]上是单调函数，且f (－3)<f (－1)，则下列不等式一定成立的是( )A ．f (－1)<f (3)B ．f (2)<f (3)C ．f (－3)<f (5)D ．f (0)>f (1)解析： 函数f (x )在[－5,5]上是偶函数，因此f (x )＝f (－x )，于是f (－3)＝f (3)，f (－1)＝f (1)，则f (3)<f (1)． 又∵f (x )在[0,5]上是单调函数，从而函数f (x )在[0,5]上是减函数，观察四个选项，并注意到f (x )＝f (－x )，易知只有D 正确．答案： D二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数，则m ＝________.解析： 当x <0时，－x >0，f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )＝－x 2－2x .∴f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，∴m ＝2.答案： 26．若函数f (x )＝ax 2＋2在[3－a,5]上是偶函数，则a ＝________.解析： 由题意可知3－a ＝－5，∴a ＝8.答案： 8三、解答题(每小题10分，共20分)7．已知函数f (x )＝ax ＋b 1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫12＝25，求函数f (x )的解析式． 解析： ∵f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数，∴f (0)＝0，即b1＋02＝0，∴b ＝0.又f ⎝⎛⎭⎫12＝12a1＋14＝25，∴a ＝1，∴f (x )＝x1＋x 2.8．已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－2x.(1)求出函数f (x )在R 上的解析式； (2)画出函数f (x )的图象．解析： (1)①由于函数f (x )是定义域为R 的奇函数， 则f (0)＝0；②当x <0时，－x >0，∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－2(－x )]＝－x 2－2x ，综上：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x ， (x >0)0， (x ＝0)－x 2－2x . (x <0)(2)图象如图：尖子生题库☆☆☆9．(10分)已知函数y＝f(x)不恒为0，且对于任意x、y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，求证：y＝f(x)是奇函数．证明：在f(x＋y)＝f(x)＋f(y)中，令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)，令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)，所以f(0)＝0.所以f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以y＝f(x)是奇函数．。

1.3.2奇偶性班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________课后练习【基础过关】1．设在[-2，-1]上为减函数，最小值为3，且为偶函数，则在[1，2]上A.为减函数，最大值为3B.为减函数，最小值为-3C.为增函数，最大值为-3D.为增函数，最小值为3 2．已知函数是偶函数，其图象与轴有四个交点，则方程的所有实根之和是A.4B.2C.1D.03．函数是奇函数，图象上有一点为，则图象必过点A. B.C. D.4．设，其中为常数，若，则的值为A.-7B.7C.17D.-175．已知定义在上的奇函数，当时，，那么时， .6．若函数为区间[-1，1]上的奇函数，则；.7．作出函数的图象，并根据函数的图象找出函数的单调区间.8．已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，该函数的值域为，求函数的解析式.【能力提升】已知函数f(x)=-x2+x,是否存在实数m,n(m<n),使得当x∈[m,n]时,函数的值域恰为[2m,2n]?若存在,求出m,n的值;若不存在,说明理由.答案【基础过关】1．D2．D3．C【解析】奇函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，故有f(－a)＝－f(a).因为函数f(x)是奇函数，故点(a，f(a))关于原点的对称点(－a，－f(a))也在y＝f(x)上，故选C.4．D【解析】∵，∴27a＋3b＝－12，∴f(3)＝27a＋3b－5＝－17.5．－x2－|x|＋16．0 07．当x－2≥0，即x≥2时，；当x－2＜0，即x＜2时，＝.所以这是分段函数，每段函数图象可根据二次函数图象作出(如图)，其中，[2，＋∞)是函数的单调增区间；是函数的单调减区间.8．由f(x)为偶函数可知f(x)＝f(－x)，即，可得恒成立，所以a＝c＝0，故.当b＝0时，由题意知不合题意；当b＞0，x∈[1，2]时f(x)单调递增，又f(x)值域为[－2，1]，所以当b＜0时，同理可得所以或.【能力提升】假设存在实数m,n,使得当x∈[m,n]时,y∈[2m,2n],则在[m,n]上函数的最大值为2n.而f(x)=-x2+x=-(x-1)2+在x∈R上的最大值为,∴2n≤,∴n≤.而f(x)在(-∞,1)上是增函数,∴f(x)在[m,n]上是增函数,∴,即.结合m<n≤,解得m=-2,n=0.∴存在实数m=-2,n=0,使得当x∈[-2,0]时,f(x)的值域为[-4,0].。

双基限时练(十二) 函数的奇偶性基 础 强 化1．下列说法不正确的是( )A ．图象关于原点成中心对称的函数是奇函数B ．图象关于y 轴成轴对称的函数是偶函数C ．奇函数的图象过原点D ．对定义在R 上的奇函数f (x )，一定有f (0)＝0 解析 函数f (x )＝1x 是奇函数，但它不过原点． 答案 C2．下列函数中是偶函数的是( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝|3－x | C ．y ＝x 2＋2，x ∈(－3,3] D ．y ＝－3x 2解析 D 选项中函数是偶函数． 答案 D3．已知定义域为R 的奇函数f (x )满足：f (x )＝f (4－x )，且当x ∈[－2,0)时，f (x )＝x (1－x )，则f (3)＝( )A ．0B ．－6C ． 2D ．－2 解析 f (3)＝f (1)＝－f (－1)＝2. 答案 C4．函数y ＝f (x )在(0,2)上是增函数，函数y ＝f (x ＋2)是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1)D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52 解析 ∵y ＝f (x ＋2)是偶函数， ∴y ＝f (x )关于x ＝2对称． ∵f (x )在(0,2)上是增函数， ∴f (x )在(2,4)上是减函数． ∵f (1)＝f (3)，且52<3<72，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52>f (3)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72， 即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52.答案 D5．若函数f (x )＝x(2x ＋1)(x －a )为奇函数，则a ＝( )A.12B.23C.34D ．1解析 由题意知f (－x )＝－f (x )恒成立，即－x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋12(－x －a )＝－x2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12(x －a )， 即⎝⎛⎭⎪⎫x －12(x ＋a )＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12(x －a )恒成立，所以a ＝12.答案 A6．若奇函数f (x )在区间[3,7]上是增函数且最小值为5，那么在区间[－7，－3]上是( )A ．增函数且最大值为－5B ．增函数且最小值为－5C ．减函数且最小值为－5D ．减函数且最大值为－5解析 根据奇函数的图象关于原点对称，且在y 轴两侧单调性相同，∴f (x )在[－7，－3]上是增函数，且有最大值－5.答案 A7．已知函数f (x )＝ax 3－bx ＋2，其中a ，b 为常数，若f (－2)＝3，则f (2)的值为________．解析 令g (x )＝ax 3－bx ，则g (x )为奇函数， f (x )＝g (x )＋2. f (－2)＝g (－2)＋2＝3， ∴g (－2)＝－8a ＋2b ＝1，∴g (2)＝－1.f (2)＝g (2)＋2＝－1＋2＝1. 答案 1 8.设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图所示，则不等式f (x )<0的解集是________．答案 (－2,0)∪(2,5]能 力 提 升9．函数f (x )的定义域为R ，且x ≠1，已知f (x ＋1)为奇函数，当x <1时，f (x )＝2x 2－x ＋1，那么当x >1时，f (x )的递减区间是________．解析 ∵y ＝f (x ＋1)为奇函数， ∴y ＝f (x )关于点(1,0)对称，如图：当x >1时，f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫74，＋∞递减．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫74，＋∞10．判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝3，x ∈R ；(2)f (x )＝5x 4－4x 2＋7，x ∈[－3,3]； (3)f (x )＝|2x －1|－|2x ＋1|；(4)f (x )＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧1－x 2，x >0，0，x ＝0，x 2－1，x <0.)解 (1)f (－x )＝3＝f (x )，∴f (x )是偶函数．(2)∵x ∈[－3,3]，f (－x )＝5(－x )4－4(－x )2＋7＝5x 4－4x 2＋7＝f (x )，∴f (x )是偶函数．(3)∵x ∈R ，f (－x )＝|－2x －1|－|－2x ＋1|＝－(|2x －1|－|2x ＋1|)＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(4)当x >0时，f (x )＝1－x 2， 此时－x <0，∴f (－x )＝(－x )2－1＝x 2－1， ∴f (－x )＝－f (x )；当x <0时，f (x )＝x 2－1，此时－x >0，f (－x )＝1－(－x )2＝1－x 2，∴f (－x )＝－f (x )；当x ＝0时，f (－0)＝－f (0)＝0.综上，对x ∈R ，总有f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为R 上的奇函数． 11．(1)已知函数f (x )＝ax ＋bx 2＋1是奇函数，且f (1)＝2，求f (x )的解析式；(2)若f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，求f (x )的解析式．解 (1)∵f (x )是奇函数，且定义域为R ， ∴f (0)＝0，∴b ＝0.∵f (1)＝2，∴a 1＋1＝2，∴a ＝4.∴f (x )＝4xx 2＋1.(2)∵f (x )是[a －1,2a ]上的偶函数， ∴⎩⎨⎧a －1＋2a ＝0，b ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝0.∴f (x )＝13x 2＋1.12．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 2，若对任意的x ∈[－2－2，2＋2]，不等式f (x ＋t )≤f (2x )恒成立，求实数t 的取值范围．解由题意知f (x )＝⎩⎨⎧x 2 (x ≥0)，－x 2 (x <0).所以f (x )在R 上为单调增函数．因为f (x ＋t )≤f (2x )，所以x ＋t ≤2x . 所以t ≤(2－1)x .又x ∈[－2－2，2＋2]， 所以(2－1)x 的最小值为(2－1)(－2－2)＝－ 2. 所以t ≤－ 2.品 味 高 考13．已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)＝( )A ．－2B ．0C ．1D ．2解析 f (－1)＝－f (1)＝－2. 答案 A。

【金版学案】2015-2016高中数学 函数的奇偶性练习 新人教A版必修1 基础梳理1．奇偶性定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )＝－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )＝f (x )，则称f (x )为偶函数．如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性．如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数．例如：判断下列函数的奇偶性：①y ＝－x 2；②y ＝x 3；③y ＝x 2－x ；④y ＝0.2．由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)．例如：若奇函数f (x )的定义域为[p ，q ]，则p ＋q ＝____.基础梳理1．①偶函数 ②奇函数 ③非奇非偶函数 ④既是奇函数又是偶函数2．0,思考应用1．奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性是否一致？偶函数呢？解析：奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性一致，而偶函数刚好相反．2. 若函数f (x )满足f (－1)＝f (1)，能否判断函数f (x )为偶函数？解析：不能，由定义可知，必须是定义域内任意x 都有f (－x )＝f (x )，不能用特殊性代替任意性．自测自评1．奇函数f (x )图象一定过原点吗？2．(2014·某某卷)已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．33．(2013·某某卷)定义域为R 的四个函数y ＝x 3，y ＝2x ，y ＝x 2＋1，y ＝2sin x 中，奇函数的个数是( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个自测自评1．当f (0)有意义时，由f (－0)＝－f (0)得：f (0)＝0; 当f (0)没有意义时，如函数f (x )＝1x，它的图象不过原点． 2.解析：根据奇、偶函数的性质，求出f (x )＋g (x )的解析式．∵f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，∴f (－x )－g (－x )＝－x 3＋x 2＋1.∵f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，∴f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )．∴f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1.∴f (1)＋g (1)＝－1＋1＋1＝1.答案：C3．C►基础达标1．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，则f (0)的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．无法确定1．解析：∵f (x )为R 上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (0)＝－f (0)，∴f (0)＝0.答案：B2．(2013·某某卷)已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1x，则f (－1)＝( )A ．－2B ．0C ．1D ．22．A3．下面三个结论：①如果一个函数的定义域关于原点对称，则这个函数为奇函数；②如果一个函数为偶函数，则它的定义域关于原点对称；③如果一个函数的图象关于y 轴对称，则这个函数只能为偶函数，其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．33．解析：一个函数的定义域关于坐标原点对称，不一定是奇函数，还必须要看f (－x )与－f (x )是否相等，所以①是错误的，②正确．f (x )＝0(x ∈R)的图象关于y 轴对称，f (x )既是奇函数又是偶函数，③不正确．故选B.答案：B4．已知f (x )＝ax 3＋bx ＋5，其中a ，b 为常数，若f (－7)＝－7，则f (7)＝( )A ．7B ．－7C ．12D ．174．解析：∵f (－7)＝－7，∴a (－7)3＋b (－7)＋5＝－7，∴73a ＋7b ＝12.∴f (7)＝73a ＋7b ＋5＝12＋5＝17.答案：D5．若函数f (x )＝(k －2)x 2＋(k －1)x ＋3是偶函数，则f (x )的递减区间是________．5．解析：∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴k －1＝0，∴k ＝1，∴f (x )＝－x 2＋3的递减区间为[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)►巩固提高6．设函数f (x )，g (x )的定义域为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数6．解析：利用函数奇偶性的定义求解．A ：令h (x )＝f (x )·g (x )，则h (－x )＝f (－x )·g (－x )＝－f (x )·g (x )＝－h (x )，∴h (x )是奇函数，A 错．B ：令h (x )＝|f (x )|g (x )，则h (－x )＝|f (－x )|·g (－x )＝|－f (x )|g (x )＝|f (x )|g (x )＝h (x )，∴h (x )是偶函数，B 错．C ：令h (x )＝f (x )|g (x )|，则h (－x )＝f (－x )|·g (－x )|＝－f (x )|g (x )|，∴h (x )是奇函数，C 正确．D ：令h (x )＝|f (x )·g (x )|，则h (－x )＝|f (－x )·g (－x )|＝|－f (x )·g (x )|＝|f (x )·g (x )|＝h (x )，∴h (x )是偶函数，D 错．答案：C7．已知定义在R 上的偶函数f (x )的单调递减区间为[0，＋∞)，则使f (x )＜f (2)成立的自变量取值X 围是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(－2，2)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)7．解析：∵f (x )是偶函数且在[0，＋∞)为减区间，示意图如下：由图示可知：f (x )＜f (2)成立的自变量的取值X 围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)． 答案：D8．设函数y ＝f (x )是奇函数，若f (－2)＋f (－1)－3＝f (1)＋f (2)＋3，则f (1)＋f (2)＝____.8．解析：∵函数y ＝f (x )是奇函数，∴f (－2)＝－f (2)，f (－1)＝－f (1)，∴－f (2)－f (1)－3＝f (1)＋f (2)＋3，∴f (1)＋f (2)＝－3，答案：－39．已知函数f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝x －x 2.求当x ∈(－∞，＋∞)时，f (x )的表达式．9．解析：当x ∈(0，＋∞)时，－x ∈(－∞，0)，因为x ∈(－∞，0)时，f (x )＝x －x 2，所以f (－x )＝(－x )－(－x )2，因为f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以f (x )＝x ＋x 2.综上，x ∈(－∞，＋∞)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 2，x ＞0，0，x ＝0，x －x 2，x ＜0.10．已知函数f (x )＝－x 3＋3x .求证：(1)函数f (x )是奇函数；(2)函数f (x )在区间(－1，1)上是增函数．10．证明：(1)显然f (x )的定义域是R.设任意x ∈R，∵f (－x )＝－(－x )3＋3(－x )＝－(－x 3＋3x )＝－f (x )，∴函数f (x )是奇函数．(2)在区间(－1，1)上任取x 1，x 2，且x 1＜x 2.f (x 2)－f (x 1)＝－(x 2－x 1)(x 22＋x 2x 1＋x 21)＋3(x 2－x 1)＝(x 2－x 1)(3－x 22－x 2x 1－x 21)．因为－1＜x 1＜x 2＜1，所以x 2－x 1＞0，3－x22－x2x1－x21＞0，所以f(x2)＞f(x1)．所以函数f(x)＝－x3＋3x在区间(－1，1)上是增函数．1．利用定义判断函数奇偶性的步骤：(1)首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称．(2)确定f(－x)与f(x)的关系．(3)作出相应结论．2．若f(－x)＝f(x)或f(－x)－f(x)＝0，则f(x)是偶函数．3．若f(－x)＝－f(x)或f(－x)＋f(x)＝0，则f(x)是奇函数．4．函数是奇函数或是偶函数称为函数有奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质．5．由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)．6．奇函数在其对称区间上的单调性相同、函数值相反．7．偶函数在其对称区间上的单调性相反、函数值相同．8．设f(x)，g(x)有公共的定义域，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．。

【金版教程】2015-2016高中数学 1.3.2奇偶性课后课时精练 新人教A 版必修11．若函数f (x )＝(x ＋1)(x －a )为偶函数，则a ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2[解析] 解法一：由题意，f (－x )＝f (x )，即(1－x )(－x －a )＝(x ＋1)(x －a )，即x2＋(a －1)x －a ＝x 2＋(1－a )x －a ，∴a －1＝1－a ，则a ＝1.解法二：f (x )＝x 2＋(1－a )x －a 为偶函数，则对称轴x ＝a －12＝0解得a ＝1.[答案] C2．[2014·云南玉溪期中]已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上是减函数，若f (a )≥f (－2)，则a 的取值范围是( )A ．a ≤－2B ．a ≥2C ．a ≤－2或a ≥2D ．－2≤a ≤2[解析] 因为函数f (x )是偶函数，且在[0，＋∞)是减函数，所以f (x )在(－∞，0]是增函数，因为f (a )≥f (－2)，所以|a |≤|－2|，解得－2≤a ≤2，所以答案选D.[答案] D3．[2015·哈师大附中高一期中]已知x >0时，f (x )＝x －2013，且知f (x )在定义域上是奇函数，则当x <0时，f (x )的解析式是( )A ．f (x )＝x ＋2013B ．f (x )＝－x ＋2013C ．f (x )＝－x －2013D ．f (x )＝x －2013[解析] 设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－x －2013，又因为f (x )是奇函数， 所以f (x )＝－f (－x )＝x ＋2013，故选A. [答案] A4．[2014·湖南高考]已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3[解析] 解法一：∵f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，∴f (－x )－g (－x )＝－x 3＋x 2＋1，又由题意可知f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )，∴f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝1，故选C.解法二：令f (x )＝x 2＋1，g (x )＝－x 3，显然符合题意，∴f (1)＋g (1)＝12＋1－13＝1.选C.[答案] C5．[2014·课标全国卷Ⅰ]设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数[解析] 由题意可知f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，对于选项A ，f (－x )·g (－x )＝－f (x )·g (x )，所以f (x )·g (x )是奇函数，故A 项错误；对于选项B ，|f (－x )|·g (－x )＝|－f (x )|g (x )＝|f (x )|g (x )，所以|f (x )|·g (x )是偶函数，故B 项错误；对于选项C ，f (－x )·|g (－x )|＝－f (x )·|g (x )|，所以f (x )|g (x )|是奇函数，故C 项正确；对于选项D ，|f (－x )g (－x )|＝|－f (x )·g (x )|＝|f (x )g (x )|，所以|f (x )g (x )|是偶函数，故D 项错误，选C.[答案] C 二、填空题6．已知函数f (x )是定义在{x |x ≠0}上的奇函数，当x ＜0时，f (x )＝2x 2＋x －1，则当x ＞0时，f (x )的递减区间是________．[解析] 当x ＜0时，函数f (x )＝2x 2＋x －1在(－∞，－14]上是递减的，又函数f (x )为奇函数，由奇函数图象的特征知，当x ＞0时，f (x )的递减区间是[14，＋∞)．[答案] [14，＋∞)7．[2014·课标全国卷Ⅱ]已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________．[解析] ∵f (2)＝0，f (x －1)>0，∴f (x －1)>f (2)， 又∵f (x )是偶函数且在[0，＋∞)上单调递减， ∴f (|x －1|)>f (2)，∴|x －1|<2，∴－2<x －1<2，∴－1<x <3，∴x ∈(－1,3)． [答案] (－1,3)8．奇函数f (x )在区间[3,6]上是增函数，在区间[3,6]上最大值是4，最小值是－1，则2f (－6)＋f (－3)＝________.[解析] ∵f (x )是奇函数，且在[3,6]上是增函数， ∴f (3)＝－1，f (6)＝4.∴2f (－6)＋f (－3)＝－2f (6)－f (3)＝－2×4＋1＝－7. [答案] －7 三、解答题9．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为[a －1,2a ]． (1)求a 、b 的值；(2)求函数f (x )在其定义域上的最大值．[解] (1)∵函数f (x )是偶函数， ∴定义域关于原点对称． ∴a －1＋2a ＝0，解得a ＝13.∴f (x )＝13x 2＋bx ＋1＋b .又f (x )为偶函数．∴f (－x )－f (x )＝0， 即13x 2－bx ＋1＋b －(13x 2＋bx ＋1＋b )＝0， ∴b ＝0.∴a ＝13，b ＝0.(2)由(1)知函数f (x )＝13x 2＋1，定义域为[－23，23]，则f (x )的减区间为[－23，0]，增区间为(0，23]，所以f (x )max ＝f (23)＝f (－23)＝3127.10．[2014·江苏盐城期中]已知函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，当a ，b ∈(－∞，0)时，总有f a －f ba －b＞0(a ≠b )．若f (2m ＋1)＞f (2m )，求m 的取值范围．[解] 当a ，b ∈(－∞，0)时，总有f a －f ba －b＞0(a ≠b )，所以f (x )在(－∞，0)上单调递增，因为f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减，因为f (2m ＋1)＞f (2m )，所以|2m ＋1|＜|2m |，即4m ＋1＜0，解得m ＜－14.。

1.3.2 奇偶性基础达标1． 下列函数是偶函数的是( )．A ．y ＝xB ．y ＝2x 2－3 C ．y ＝1xD ．y ＝x 2，x ∈[0,1]解析 A 选项是奇函数；B 选项为偶函数；C 、D 选项的定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数． 答案 B2．(2013·济南高一检测)若函数f (x )＝x2x ＋1x －a为奇函数，则a ＝( )．A.12B.23C.34D ．1解析 函数f (x )的定义域为{x |x ≠－12且x ≠a }．又f (x )为奇函数，定义域应关于原点对称，∴a ＝12.答案 A3．设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( )．A ．f (π)＞f (－3)＞f (－2)B ．f (π)＞f (－2)＞f (－3)C ．f (π)＜f (－3)＜f (－2)D ．f (π)＜f (－2)＜f (－3) 解析 ∵f (x )是偶函数，则f (－2)＝f (2)，f (－3)＝f (3)，又当x ≥0时，f (x )是增函数，所以f (2)＜f (3)＜f (π)，从而f (－2)＜f (－3)＜f (π)． 答案 A4．设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)＝________.解析 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ， ∴f (1)＝－f (－1)＝－2×(－1)2＋(－1)＝－3. 答案 －35．已知函数y ＝f (x )是偶函数，其图象与x 轴有四个交点，则方程f (x )＝0的所有实根之和是________．解析 ∵偶函数的图象关于y 轴对称，∴f (x )与x 轴的四个交点也关于y 轴对称． 若y 轴右侧的两根为x 1，x 2，则y 轴左侧的两根为－x 1，－x 2，∴四根和为0. 答案 06．函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且它是减函数，若实数a ，b 满足f (a )＋f (b )>0，则a ＋b ________0(填“>”“<”或“＝”)． 解析 由f (a )＋f (b )>0，得f (a )＞－f (b )． ∵f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )． ∴f (a )>f (－b )，又f (x )为减函数， ∴a <－b ，即a ＋b <0. 答案 <7．(2013·泰安高一检测)函数f (x )＝ax ＋b x 2＋1是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝25. (1)求实数a ，b ，并确定函数f (x )的解析式；(2)判断f (x )在(－1,1)上的单调性，并且用定义证明你的结论．解 (1)根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧f 0＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝25，即⎩⎪⎨⎪⎧a ×0＋b1＋02＝0，a 2＋b1＋14＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，∴f (x )＝x1＋x2.(2)任意x 1，x 2∈(－1,1)，且x 1＜x 2.则f (x 1)－f (x 2)＝x 11＋x 21－x 21＋x 22＝x 1－x 21－x 1x 21＋x 211＋x 22∵－1＜x 1＜x 2＜1， ∴x 1－x 2＜0,1－x 1x 2＞0， 从而f (x 1)－f (x 2)＜0， 即f (x 1)＜f (x 2)．故f (x )在(－1,1)上是增函数．能力提升8．已知函数f (x )在[－5,5]上是偶函数，f (x )在[0,5]上是单调函数，且f (－4)＜f (－2)，则下列不等式一定成立的是( )．A ．f (－1)＜f (3)B ．f (2)＜f (3)C ．f (－3)＜f (5)D ．f (0)＞f (1)解析 ∵函数f (x )在[－5,5]上是偶函数， ∴f (－4)＜f (－2)⇔f (4)＜f (2)． 又f (x )在[0,5]上是单调函数．∴f (x )在[0,5]上递减，从而f (0)＞f (1)． 答案 D9．已知函数y ＝f (x )是奇函数，若g (x )＝f (x )＋2，且g (1)＝1，则g (－1)＝________.解析 由g (1)＝1，且g (x )＝f (x )＋2， ∴f (1)＝g (1)－2＝－1， 又y ＝f (x )是奇函数．∴f (－1)＝－f (1)＝1，从而g (－1)＝f (－1)＋2＝3. 答案 310．已知f (x )为奇函数，且当x ＜0时，f (x )＝x 2＋3x ＋2.若当x ∈[1,3]时，f (x )的最大值为m ，最小值为n ，求m －n 的值． 解 ∵x ＜0时，f (x )＝x 2＋3x ＋2，且f (x )是奇函数， ∴当x ＞0时，－x ＜0，则f (－x )＝x 2－3x ＋2. 故当x ＞0时，f (x )＝－f (－x )＝3x －x 2－2.∴当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32时，f (x )是增函数； 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3时，f (x )是减函数． 因此当x ∈[1,3]时，f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝14，f (x )min ＝f (3)＝－2.∴m ＝14，n ＝－2，从而m －n9 4.＝。

高一上学期数学(必修一)《第三章函数的奇偶性》同步练习题及答案(人教版)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1,1对称)-对称1,1f f--(0)((2023++fB．0+∞单调递减，且为奇函数．若)B．[-+∞2,0)(2,)C ．(,2)(0,2)-∞-D ．(,2)(2,)-∞-+∞二、多选题9．已知函数()f x 对任意,x y ∈R 都有()()()()f x y f x y f x f y ++-=，且()00f ≠．则下列结论正确的是三、填空题 13.若函数()()()325x x a f xx +-=为奇函数，则=a _______．14.已知()y f x =是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()12f x x =-，则当0x <时，()y f x =的表达式为_________．15.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时2()1f x x x =-++，则()f x 的解析式是___________． 16.已知函数3()4,f x ax bx =+-其中a ，b 为常数，若 (2022)2,f -=求(2022)f = _________. 四、解答题17．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当(),0x ∈-∞时()4f x x x =-，求当()0x ∈+∞，时，()f x 的表达式.18．已知函数()()R y f x x =∈是偶函数．当0x ≥时()22f x x x =-．(1)求函数()f x 的解析式； (2)设()()1g x f x =-+，求()g x 在区间[],2a a +上的最大值，其中1a >-．19.设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，若当[0,)x ∈+∞时()223f x x x =-++(1)求当(),0x ∈-∞时，函数()f x 的解析式；(2)画出函数图象，并求满足()0f x >的x 的取值范围； (3)若方程()0f x k -=有四个实数根，求k 的取值范围．参考答案： 1．C 2．A 3．A 4．C 5．D 6．B 7．D 8．C 9．ACD 10．BC 11．BCD 12．BCD 13．2314．12x --/21x -- 15．221,0()0,01,0x x x f x x x x x ⎧+->⎪==⎨⎪-++<⎩16．10-17．当()0,x ∞∈+时则(),0x -∈-∞因为(),0x ∈-∞时()4f x x x =-所以()44()f x x x x x =-=-----又因为()f x 是R 上的偶函数，所以()()4f x f x x x =-=--即()0,x ∞∈+时()4f x x x =--.18．（1）因为函数()()R y f x x =∈是偶函数 所以当0x <时()()=f x f x - 0x ->又当0x ≥时()22f x x x =-所以当0x <时()()2222f x x x x x =-+=+所以函数()f x 的解析式为()222,02,0x x x f x x x x ⎧+<=⎨-≥⎩（2）因为()()1g x f x =-+所以当0x <时()()222112g x x x x =--+=-++ 当0x ≥时()()222112g x x x x =-++=--+ 所以当1x ≤-时，函数()g x 单调递增 当10x -<<时，函数()g x 单调递减 当01x ≤≤时，函数()g x 单调递增 当1x ≥时，函数()g x 单调递减 当11a -<≤时，则21a +>所以函数()g x 在[],2a a +上的最大值为2 当1a >时，函数()g x 在区间[],2a a +上单调递减所以当x a =时，()g x 取最大值，最大值为()221g a a a =-++所以当1a >-时，()g x 在区间[],2a a +上的最大值为()22,1121,1a g a a a a -<≤⎧=⎨-++>⎩ 19.（1）令0x <，则0x ->，因为当0x ≥时2()23f x x x =-++ 所以22()()2323f x x x x x -=---+=--+，因为函数()f x 的偶函数 所以2()()23f x f x x x =-=--+，即当(),0x ∈-∞时2()23f x x x =--+；（2）由（1）得2223,0()23,0x x x f x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩作出()f x 的图象（如图所示）由图象，得当33x -<<时()0f x >，即满足()0f x >的x 的取值范围为()3,3-； （3）将()0f x k -=化为()f x k =在同一坐标系中作出()y f x =和y k =的图象（如图所示）由图象，得当34k <<时，()y f x =的图象与直线y k =有四个交点； 即方程()0f x k -=有四个实数根，k 的取值范围 为(3,4).。

【红对勾】2015-2016学年高中数学 1.3.2.2函数奇偶性的应用当堂演练 新人教版必修11．若偶函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，则a ＝f (－2)，b ＝f (π2)，c ＝f (32)的大小关系是( )A ．b <a <cB ．b <c <aC ．a <c <bD ．c <a <b解析：f (x )为偶函数，则a ＝f (－2)＝f (2) 又∵2<32<π2，f (x )在(0，＋∞)上是增函数， ∴f (2)<f (32)<f (π2)，即a <c <b . 答案：C2．已知函数f (x )是偶函数，且x <0时，f (x )＝3x －1，则x >0时，f (x )＝( )A ．3x －1B ．3x ＋1C ．－3x －1D ．－3x ＋1解析：设x >0，则－x <0.∴f (－x )＝－3x －1.又∵f (x )是偶函数，∴x >0时，f (x )＝f (－x )＝－3x －1.答案：C3．函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且它是减函数，若实数a ，b 满足f (a )＋f (b )>0，则a 与b 的关系是( )A ．a ＋b >0B ．a ＋b <0C ．a ＋b ＝0D ．不确定解析：∵f (x )是奇函数，∴－f (b )＝f (－b )．∵f (a )＋f (b )>0，∴f (a )>－f (b )＝f (－b )．∵f (x )在R 上是减函数，∴a <－b ，即a ＋b <0.答案：B4．已知函数f (x )是R 上的奇函数，且在R 上是减函数，若f (a －1)＋f (1)>0，则实数a 的取值范围是________．解析：∵f (a －1)＋f (1)>0，∴f (a －1)>－f (1)． ∵f (x )是奇函数，∴f (－1)＝－f (1)．∴f (a －1)>f (－1)．又f (x )在R 上是减函数，∴a －1<－1，即a <0.答案：(－∞，0)5．f(x)是定义在(－∞，－5]，[5，＋∞)上的奇函数，且f(x)在[5，＋∞)上单调递减，试判断f(x)在(－∞，－5]上的单调性，并用定义给予证明．解：f(x)在(－∞，－5]上单调递减．任取x1<x2≤－5，则－x1>－x2≥5，因f(x)是奇函数且在[5，＋∞)上单调递减，所以f(－x1)<f(－x2)⇒－f(x1)<－f(x2)⇒f(x1)>f(x2)，即f(x)在(－∞，－5]上是单调减函数．。

1.3.2函数的奇偶性班级______________座号_________学生_______________一、选择题1.下列图象表示的函数中具有奇偶性的是 ( )A B C D2.下列函数中，既是奇函数又是偶函数的是 ( )A .f (x )=x 2-1+1- x 2B .f (x )=x -1+1-xC .f (x )=⎩⎨⎧ x (x ≥0)-x (x <0)D .f (x )=⎩⎨⎧ 1(x ≥0)-1(x <0)3．定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有 f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1<0，则 ( ) A ．f (3)<f (－2)<f (1) B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2)4.函数f (x )= ⎩⎨⎧1(x 为有理数)π(x 为无理数)，下列结论不正确的是 ( ) A .此函数为偶函数 B .此函数不是单调递增函数C .此函数既有最大值也有最小值D .方程f (f (x ))=1的解为x =1二、填空题5已知y =f (x )是偶函数，则函数y =f (x -2)的图象的对称轴方程是__________6.奇函数f (x )在(0,+∞)上的解析式是f (x )=x (1-x ),则在(-∞,0)上f (x )的函数解析式是________.7.若函数f (x )=(k -2)x 2+(k -1)x +2是偶函数，则f (x )的单调区间是___________.三、解答题8.已知f(x)=ax5+bx3-cx-6，且f(-2)=8，求f(2).9.设定义在[-2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上递减,若f(1-m)-f(m)<0,求实数m的取值范围.10.已知f(x)是定义在[-6，6]上的奇函数，且f(x)在[0，3]上是关于x的一次函数，在[3，6]上是关于x的二次函数，且当3≤x≤6时，f(x) ≤f(5)，f(6)=2，求f(x)的解析式.1.3.2函数的奇偶性参考答案1.B 【解析】选项A 中的图象关于原点或y 轴均不对称，故排除；选项C 、D 中的图象表示的函数的定义域关于原点不对称，不具有奇偶性，故排除；选项B 中的图象关于y 轴对称，其表示的函数是偶函数，故选B .2.A 【解析】f (x )=x 2-1+1- x 2的定义域为{1，-1}，则f (x )=0.故选A .3.A 【解析】由题意得，在[0，＋∞)上，f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1<0，故f (x )在[0，+∞)上单调递减，且满足n ∈N *时，f (－2)＝f (2)，3>2>1>0，得f (3)<f (－2)<f (1)，故选A .4 D 【解析】若x 为有理数,则-x 也为有理数,所以f (-x )=f (x )=1；若x 为无理数,则-x 也为无理数,所以f (-x )=f (x )=π,所以恒有f (-x )=f (x ),所以函数f (x )为偶函数,所以A 正确；当T 为有理数时,若x 为有理数,易知x +kT (k 为整数)还是有理数,有f (x +T )=f (x ),若x 为无理数,易知x +kT (k 为整数)还是无理数,仍有f (x +T )=f (x ),综上可知,任意非0有理数都是f (x )的周期,B 正确；由分段函数的表达式可知,当x 为有理数时,f (x )=1,当x 为无理数时,f (x )= π,所以函数的最大值为π,最小值为1,所以C 正确；当x 为有理数时,f (x )=1,则f (f (x ))=f (1)=1,此时方程成立,当x 为无理数时,f (x )=π,则f (f (x ))=f (π)=π,所D 错误.5. x =2【解析】解析y =f (x -2)的图象是由y =f (x )的图象右移2个单位而得到，而f (x )图象的对称轴是y 轴，6. f (x )=x (1+x )【解析】设x <0,则-x >0,f (-x )=-x (1+x ),又f (x )是奇函数,所以f (x )=-f (-x )=x (1+x ).f (x )=x (1+x )7.(-∞，0]【解析】由f (-x )=f (x )可得(k -2)x 2-(k -1)x +2=(k -2)x 2+(k -1)x +2，所以k =1，所以f (x )=-x 2+2，所以所求增区间为(-∞，0].8.解：令F (x )=f (x )+6=ax 5+bx 3-cx ，则F (x )为奇函数.因为F (-2)=f (-2)+6=8+6=14，所以F (2)=-F (-2)=14，即f (2)+6=-14，所以f (2)=-20.9. 解：因为f (x )是偶函数,所以f (-x )=f (x )=f (|x |).所以不等式f (1-m )<f (m ),等价于f (|1-m |)<f (|m |).又当x ∈[0,2]时,f (x )是减少的.所以⎩⎨⎧ |1-m |>|m |-2≤1-m ≤2-2≤m ≤2，解得-1≤m <12.答案:11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦。

双基限时练(十二)1．下列函数，既是奇函数，又在区间(0，＋∞)上是减函数的是()A．f(x)＝－x2B．f(x)＝1x2C．f(x)＝1x3D．f(x)＝x3答案 C2．若函数y＝f(x)的定义域是[0,1]，则下列函数中，可能为偶函数的是()A．y＝[f(x)]2B．y＝f(2x)C．y＝f(－x) D．y＝f(|x|)解析由0≤|x|≤1知，－1≤x≤1，定义域关于原点对称，∴y＝f(|x|)可能是偶函数．答案 D3．设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是()A．f(x)f(－x)是奇函数B．f(x)|f(－x)|是奇函数C．f(x)－f(－x)是偶函数D．f(x)＋f(－x)是偶函数答案 D4．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则使得f(x)<0的x的取值范围是()A．(－∞，2) B．(2，＋∞)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－2,2)解析∵f(x)为偶函数，且f(2)＝0，∴f(－2)＝0.画出示意图，易知f(x)<0的解集是(－2,2)，故选D.答案 D5．若奇函数f(x)在[3,7]上是增函数，且最小值为5，则f(x)在[－7，－3]上是()A．增函数且最小值为－5B．增函数且最大值为－5C．减函数且最小值为－5D．减函数且最大值为－5解析由题意知f(x)在[－7，－3]上也是增函数，且有最大值f(－3)＝－f(3)＝－5.故选B.答案 B6．定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x2∈[0，＋∞) (x1≠x2)，有f(x2)－f(x1)<0，则()x2－x1A．f(3)<f(－2)<f(1) B．f(1)<f(－2)<f(3)C．f(－2)<f(1)<f(3) D．f(3)<f(1)<f(－2)解析依题意知f(x)在[0，＋∞)上是减函数，所以f(3)<f(2)<f(1)．又f(x)为偶函数，所以f(－2)＝f(2)．则f(3)<f(－2)<f(1)成立．答案 A7．设函数f(x)是定义在[－5,5]上的奇函数，当x∈[0,5]时，f(x)的图象如右图，则不等式f(x)<0的解集为________．解析利用奇函数的性质，画出x∈[－5,5]内的图象，由图象知，f(x)<0的解集为(－3,0)∪(3,5]．答案(－3,0)∪(3,5]8．已知f(x)与g(x)都是定义在R上的奇函数，若F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2，且F(－2)＝5，则F(2)＝________.解析∵f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝－g(x)F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2，F(－2)＝5，∴F(－2)＝af(－2)＋bg(－2)＋2＝－af(2)－bg(2)＋2，而F(2)＝af(2)＋bg(2)＋2.∴F(2)＋F(－2)＝4，∴F(2)＝4－F(－2)＝4－5＝－1.答案－19．函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它是减函数，若实数a，b满足f(a)＋f(b)>0，则a＋b________0(填“>”“<”或“＝”)．解析 f (a )＋f (b )>0，∴f (a )>－f (b )． 又f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (a )>f (－b )，又∵f (x )为减函数， ∴a <－b ，∴a ＋b <0. 答案 <10．设定义在[－2,2]上的奇函数f (x )在区间[0,2]上单调递减，若f (m )＋f (m －1)>0，求实数m 的取值范围．解 由f (m )＋f (m －1)>0，得f (m )>－f (m －1)，即f (m )>f (－m ＋1)．又∵f (x )在[0,2]上为减函数且f (x )在[－2,2]上为奇函数，∴f (x )在[－2,2]上为减函数．∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2≤－m ＋1≤2，－2≤m ≤2，－m ＋1>m ，即⎩⎪⎨⎪⎧－1≤m ≤3，－2≤m ≤2，m <12，得－1≤m <12.11．已知函数f (x )对一切x ，y ∈R ，有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )． (1)求证：f (x )是奇函数；(2)若f (－3)＝a ，试用a 表示f (12)． 解 (1)证明：令x ＝y ＝0，得 f (0＋0)＝f (0)＋f (0)，∴f(0)＝2f(0)，∴f(0)＝0.对任意x，总存在y＝－x，有f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，∴f(－x)＋f(x)＝0，即f(－x)＝－f(x)．∴f (x)是奇函数．(2)∵f(x)是奇函数，且f(－3)＝a，∴f(3)＝－a.由f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，令x＝y，得f(2x)＝2f(x)，∴f(12)＝2f(6)＝4f(3)＝－4a.12．已知定义在R上的函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象经过原点，且对任意的实数x都有f(1＋x)＝f(1－x)成立．(1)求实数a，b的值；(2)若函数g(x)是定义在R上的奇函数，且满足当x≥0时，g(x)＝f(x)，试求g(x)的解析式．解(1)∵函数图象经过原点，∴b＝0，又因为对任意的实数x都有f(1＋x)＝f(1－x)成立．∴f(x)的对称轴为x＝1，∴a＝－2.(2)当x ≥0时，g (x )＝f (x )＝x 2－2x ，当x <0时，－x >0，g (－x )＝(－x )2－2(－x )＝x 2＋2x ， ∵g (x )为奇函数，∴g (－x )＝－g (x )， ∴g (x )＝－x 2－2x ，∴g (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0.。

课题：1.3.2函数的奇偶性学习目标展示1. 使学生理解奇函数、偶函数的概念，会运用定义判断函数的奇偶性；2. 会由函数的图象研究函数的单调区间及了函数的单调性；3. 以能由单调性的定义判断并证明函数的单调性； 衔接性知识1. 画出下列函数的图象（1）()(0)f x kx k =≠ (2)()(0)kf x x x=≠ （3）()||f x x = （4）2()f x x = (5) 2()2f x x x =-+2.上述的函数图象有什么特点？它们有对称轴与对称中心吗？基础知识工具箱典例精讲剖析例1. 判断下列函数的奇偶性 (1)31()f x x x=+；(2)2()1f x x =+；(3)()|1||1|f x x x =++-；(4)()21f x x =+；(5)()f x =6）()f x = (7)2()(1)2f x x x =+-（8）()|2|2f x x =+-解：（1）由已知，得0x ≠，()f x ∴的定义域为(,0)(0,)-∞+∞U3311()()()f x x x f x x x -=-+=--=--Q ，31()f x x x∴=+是奇函数 （2）()f x 的定义域为R ，22()()11()f x x x f x -=-+=+=Q ，2()1f x x ∴=+是偶函数（3）()f x 的定义域为R ，()|1||1||1||1|()f x x x x x f x -=-++--=-++=Q ，()|1||1|f x x x ∴=++-是偶函数（4）()f x 的定义域为R ，(1)2113f =⨯+=Q ，(1)2(1)11f -=⨯-+=-，(1)(1)f f ∴-≠，且(1)(1)f f -≠- ()21f x x ∴=+为非奇非偶函数（5）由1010x x -≥⎧⎨-≥⎩，得1x =，所以()f x 的定义域为{|1}x x =，定义域不关于原点对称，()f x ∴=（6）由2210110x x x ⎧-≥⎪⇔=±⎨-≥⎪⎩，()f x 的定义域为{|1}x x =±，定义域关于原点对称 ()0f x ∴=，()0f x -=()()f x f x ∴-=-，且()()f x f x -=所以()f x =既然是奇函数也是偶函数（7）()f x 的定义域为R ，22()(1)21f x x x x =+-=+22()()11()f x x x f x -=-+=+=Q ，2()(1)2f x x x ∴=+-是偶函数（8）由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0|x ＋2|－2≠0得－1≤x ≤1且x ≠0，定义域关于原点对称，又－1≤x ≤1且x ≠0时，f (x )＝1－x 2x ＋2－2＝1－x 2x ，∵f (－x )＝1－(－x )2－x ＝－1－x2x＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．例2. 已知函数()y f x =的图象关于原点对称，且当0x >时，2()23f x x x =-+.试求()f x 在R 上的表达式，并画出它的图象，根据图象写出它的单调区间 解： ∵函数()f x 的图象关于原点对称． ∴()f x 为奇函数，则(0)0f =，设0x <，则0x ->，∵0x >时，2()23f x x x =-+， ∴22()()[()2()3]23f x f x x x x x =--=----+=---于是有：2223(0)()0(0)23(0)x x x f x x x x x ⎧-+>⎪==⎨⎪--->⎩先画出函数在y 轴右边的图象，再根据对称性 画出y 轴左边的图象．如下图．由图象可知()f x 的单调递增区间是(,1]-∞-、[1,)+∞∞)，单调递减区间是[1,0)-、(0,1]．例3. 如果奇函数f (x )在区间[1,6]上是增函数，且最大值为10，最小值为4，那么f (x )在[－6，－1]上是增函数还是减函数？求f (x )在[－6，－1]上的最大值和最小值解：设1261x x -≤<≤-，则2116x x ≤-<-≤，∵()f x 在[1,6]上是增函数且最大值为10，最小值为4， ∴214(1)()()(6)10f f x f x f =≤-<-≤=，又∵()f x 为奇函数，∴214()()10f x f x ≤-<-≤， ∴1210()()4f x f x -≤<≤-，即()f x 在[－6，－1]上是增函数，且最小值为－10，最大值为－4.例4. (1)如图①是奇函数()y f x =的部分图象，则(4)(2)f f -⋅-＝ . (2)如图②是偶函数()y f x =的部分图象，比较(1)f 与(3)f 的大小的结果为 ．解：(1)∵奇函数的图象关于原点对称，且奇函数()f x 图象过点(2,1)和(4,2)， ∴必过点(－2，－1)和(－4，－2)， ∴(4)(2)f f -⋅-＝(－2)×(－1)＝ 2 .(2)∵偶函数()f x 满足(3)(1)f f ->-，∴(3)(1)f f >．精练部分A 类试题（普通班用）1．下列四个函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．y ＝x 3B ．y ＝－x 2＋1 C ．y ＝|x |＋1D ．y ＝2－|x |[答案] C[解析] 由偶函数，排除A ；由在(0，＋∞)上为增函数，排除B ，D ，故选C 2. 若函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )为偶函数，则a ＝ [答案] －1[解析] 解法1：f (x )＝x 2＋(a ＋1)x ＋a 为偶函数，∴a ＋1＝0，∴a ＝－1.解法2：∵f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )为偶函数，∴对任意x ∈R，有f (－x )＝f (x )恒成立，∴f (－1)＝f (1)，即0＝2(1＋a )，∴a ＝－1 3．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x (x >0)x 2＋x (x ≤0)；(2)f (x )＝1x 2＋x. [解析] (1)f (－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x (x ≥0)－x 2－x (x <0)，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．(2)f (－x )＝1x 2－x≠f (x )，f (－x )≠－f (x )，∴f (x )既不是奇函数，又不是偶函数． 4．函数f (x )＝ax ＋b 1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且12()25f =，求函数f (x )的解析式． [解析] 因为f (x )是奇函数且定义域为(－1,1)，所以f (0)＝0，即b ＝0. 又12()25f =，所以12a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝25，所以a ＝1，所以f (x )＝x 1＋x 25．已知f (x )是奇函数，当x ≥0时，f (x )的图象是经过点(3，－6)，顶点为(1,2)的抛物线的一部分，求f (x )的解析式，并画出其图象．[解析] 设x ≥0时，f (x )＝a (x －1)2＋2，∵过(3，－6)点，∴a (3－1)2＋2＝－6，∴a ＝－2.即f (x )＝－2(x －1)2＋2. 当x <0时，－x >0，f (－x )＝－2(－x －1)2＋2＝－2(x ＋1)2＋2，∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝2(x ＋1)2－2，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2(x －1)2＋2 (x ≥0)2(x ＋1)2－2 (x <0)，其图象如图所示．B 类试题（3+3+4）（尖子班用） 1．下列命题中错误的是( )①图象关于原点成中心对称的函数一定为奇函数②奇函数的图象一定过原点③偶函数的图象与y 轴一定相交④图象关于y 轴对称的函数一定为偶函数 A ．①② B ．③④ C ．①④D ．②③[答案] D[解析] f (x )＝1x 为奇函数，其图象不过原点，故②错；y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1 x ≥1－x －1 x ≤－1为偶函数，其图象与y 轴不相交，故③错．2．下列四个函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．y ＝x 3B ．y ＝－x 2＋1 C ．y ＝|x |＋1D ．y ＝2－|x |[答案] C[解析] 由偶函数，排除A ；由在(0，＋∞)上为增函数，排除B ，D ，故选C.3．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23[答案] A[解析] 由题意得|2x －1|<13⇒－13<2x －1<13⇒23<2x <43⇒13<x <23，∴选A.4. 若函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )为偶函数，则a ＝ [答案] －1[解析] 解法1：f (x )＝x 2＋(a ＋1)x ＋a 为偶函数，∴a ＋1＝0，∴a ＝－1.解法2：∵f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )为偶函数，∴对任意x ∈R，有f (－x )＝f (x )恒成立，∴f (－1)＝f (1)，即0＝2(1＋a )，∴a ＝－15. 已知f (x )＝x 7＋ax 5＋bx －5，且f (－3)＝5，则f (3)＝ [答案] －15[解析] 解法1：f (－3)＝(－3)7＋a (－3)5＋(－3)b －5＝－(37＋a ·35＋3b －5)－10＝－f (3)－10＝5，∴f (3)＝－15.解法2：设g (x )＝x 7＋ax 5＋bx ，则g (x )为奇函数，∵f (－3)＝g (－3)－5＝－g (3)－5＝5， ∴g (3)＝－10，∴f (3)＝g (3)－5＝－15.6. 已知f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝x 2＋x －2，则f (x )＝ ，g (x ) ＝ ．[解析] f (－x )＋g (－x )＝x 2－x －2，由f (x )是偶函数，g (x )是奇函数得，f (x )－g (x )＝x 2－x －2又f (x )＋g (x )＝x 2＋x －2，两式联立得：f (x )＝x 2－2，g (x )＝x . 7．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x (x >0)x 2＋x (x ≤0)；(2)f (x )＝1x 2＋x. [解析] (1)f (－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x (x ≥0)－x 2－x (x <0)，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．(2)f (－x )＝1x 2－x≠f (x )，f (－x )≠－f (x )，∴f (x )既不是奇函数，又不是偶函数． 8．函数f (x )＝ax ＋b 1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且12()25f =，求函数f (x )的解析式． [解析] 因为f (x )是奇函数且定义域为(－1,1)，所以f (0)＝0，即b ＝0. 又12()25f =，所以12a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝25，所以a ＝1，所以f (x )＝x 1＋x 29．已知b ＞a ＞0，偶函数y ＝f (x )在区间[－b ，－a ]上是增函数，问函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上是增函数还是减函数？[解析]设a ≤x 1＜x 2≤b ，则－b ≤－x 2＜－x 1≤－a .∵f (x )在[－b ，－a ]上是增函数． ∴f (－x 2)＜f (－x 1)又f (x )是偶函数，∴f (－x 1)＝f (x 1) ，f (－x 2)＝f (x 2) 于是 f (x 2)＜f (x 1)，故f (x )在[a ，b ]上是减函数10．已知f (x )是奇函数，当x ≥0时，f (x )的图象是经过点(3，－6)，顶点为(1,2)的抛物线的一部分，求f (x )的解析式，并画出其图象．[解析] 设x ≥0时，f (x )＝a (x －1)2＋2，∵过(3，－6)点，∴a (3－1)2＋2＝－6，∴a ＝－2.即f (x )＝－2(x －1)2＋2. 当x <0时，－x >0，f (－x )＝－2(－x －1)2＋2＝－2(x ＋1)2＋2，∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝2(x ＋1)2－2，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2(x －1)2＋2 (x ≥0)2(x ＋1)2－2 (x <0)，其图象如图所示．。

双基限时练(十一)1．设自变量x ∈R ，下列各函数中是奇函数的是( ) A ．y ＝x ＋3 B ．y ＝－|x | C ．y ＝－2x 2 D ．y ＝x 3＋x答案 D2．对于定义在R 上的任意奇函数f (x )都有( ) A ．f (x )－f (－x )>0 B ．f (x )－f (－x )≤0 C ．f (x )·f (－x )≤0 D ．f (x )·f (－x )>0 解析 ∵f (－x )＝－f (x )，∴f (x )·f (－x )＝－f 2(x )≤0，故C 正确． 答案 C3．函数f (x )＝1x －x 的图象关于( ) A ．y 轴对称 B ．直线y ＝－x 对称 C ．坐标原点对称D ．直线y ＝x 对称 解析 函数f (x )的定义域关于原点对称，又∵f (－x )＝1－x＋x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，其图象关于坐标原点对称． 答案 C4．奇函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象必定经过点( ) A ．(a ，f (－a ))B ．(－a ，f (a ))C ．(－a ，－f (a ))D.⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 解析 当x ＝－a 时，f (－a )＝－f (a )， ∴过点(－a ，－f (a ))． 答案 C5．偶函数y ＝f (x )在区间[0,4]上单调递减，则有( )A ．f (－1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f (－π)B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f (－1)>f (－π)C ．f (－π)>f (－1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3D ．f (－1)>f (π)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3解析 ∵y ＝f (x )为偶函数， ∴f (－1)＝f (1)，f (－π)＝f (π)．∵0<1<π3<π<4，y ＝f (x )在[0,4]上单调递减，∴f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f (π)．∴f (－1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f (－π)．答案 A6．已知x >0时，f (x )＝x －2013，且知f (x )在定义域上是奇函数，则当x <0时，f (x )的解析式是( )A ．f (x )＝x ＋2013B ．f (x )＝－x ＋2013C ．f (x )＝－x －2013D ．f (x )＝x －2013解析 设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－x －2013，又因为f (x )是奇函数， 所以f (x )＝－f (－x )＝x ＋2013，故选A. 答案 A7．设函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )x 为奇函数，则a ＝________. 解析 由f (－x )＝－f (x )，得(－x ＋1)(－x ＋a )－x ＝(x ＋1)(x ＋a )－x，即(x －1)(x －a )＝(x ＋1)(x ＋a )(x ≠0)，∴a ＝－1. 答案 －18．已知函数f (x )为偶函数，其图象与x 轴有四个不同的交点，则这四个不同交点的横坐标之和为________．解析 由题意可知函数f (x )的图象关于y 轴对称．所以函数f (x )的图象与x 轴的四个不同交点关于y 轴对称，因此四个不同交点的横坐标之和为0.答案 09．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x (x ≥0)g (x ) (x <0)为奇函数，则f (g (－1))＝________.解析 当x <0时，则－x >0，由f (x )是奇函数， 所以f (－x )＝－f (x )＝(－x )2－2x ＝x 2－2x ，所以f (x )＝－x 2＋2x . 即g (x )＝－x 2＋2x ，因此，f (g (－1))＝f (－3)＝－9－6＝－15. 答案 －1510．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 为偶函数，其定义域是[a －1,2a ]，求f (x )的值域．解 ∵f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是定义在区间[a －1,2a ]上的偶函数，∴⎩⎨⎧a －1＋2a ＝0，b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝0.∴f (x )＝13x 2＋1.∴f (x )＝13x 2＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，23上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，3127. 11．判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝1x －1；(2)f (x )＝－3x 2＋1； (3)f (x )＝1－x ·1＋x|x ＋2|－2；(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x >0，1，x ＝0，－x ＋1，x <0.解 (1)f (x )＝1x －1的定义域是(－∞，1)∪(1，＋∞)，不关于原点对称，所以为非奇非偶函数．(2)f(x)＝－3x2＋1的定义域是R，f(－x)＝f(x)，所以为偶函数．(3)f(x)＝1－x·1＋x|x＋2|－2的定义域是[－1,0)∪(0,1]，所以解析式可化简为f(x)＝1－x·1＋xx，满足f(－x)＝－f(x)，所以是奇函数．(4)函数的定义域为R.当x>0时，－x<0，则f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1＝f(x)；当x＝0时，f(－x)＝f(x)＝1；当x<0时，－x>0，f(－x)＝－x＋1＝f(x)．综上，对任意x∈R，都有f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．12．(1)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且在R上为增函数，求不等式f(4x－5)>0的解集；(2)已知偶函数f(x)(x∈R)，当x≥0时，f(x)＝x(5－x)＋1，求f(x)在R上的解析式．解(1)∵y＝f(x)在R上为奇函数，∴f(0)＝0.又f(4x－5)>0，即f(4x－5)>f(0)，又f(x)为增函数，∴4x－5>0，∴x>54.即不等式f (4x －5)>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >54.(2)当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝－x (5＋x )＋1，又f (－x )＝f (x )， ∴f (x )＝－x (5＋x )＋1.∴f (x )＝⎩⎨⎧x (5－x )＋1 (x ≥0)，－x (5＋x )＋1 (x <0).。

1．函数f(x)＝|x|＋1是()A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数【解析】函数定义域为R，f(－x)＝|－x|＋1＝f(x)，∴f(x)是偶函数，故选B.【答案】 B2．函数y＝x3－x的奇偶性为()A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数【解析】函数定义域为R，f(－x)＝(－x)3－(－x)＝－x3＋x＝－(x3－x)＝－f(x)∴f(x)是奇函数，故选A.【答案】 A3．如果定义在区间[1－a,4]上的函数f(x)为偶函数，则a＝______. 【解析】∵f(x)是偶函数，∴定义域关于原点对称，∴1－a＝－4，∴a＝5.【答案】 54．判断函数f(x)＝x2＋ax(x≠0，x∈R)的奇偶性．【解析】若a＝0，则f(x)＝x2，对任意的x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，所以f(x)为偶函数；若a≠0，f(x)＝x2＋ax(x≠0)，则有f(－1)＝1－a，f(1)＝1＋a.因为f(－1)≠f(1)，f(－1)≠－f(1)，所以函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数．一、选择题(每小题5分，共20分)1．如图是一个由集合A到集合B的映射，这个映射表示的是()A．奇函数而非偶函数B．偶函数而非奇函数C．奇函数且偶函数D．既不是奇函数也不是偶函数【解析】因为f(x)＝0，x∈{－2,2}，满足f(－x)＝±f(x)．所以该映射表示的既是奇函数又是偶函数．【答案】 C2．下列图象中能表示具有奇偶性的函数图象的可能是()【解析】图象关于原点或y轴对称的函数具有奇偶性．选项A，D中的图形关于原点或y轴均不对称，故排除；选项C中的图形虽然关于坐标原点对称，但是过(0，-1)和(0,1)两点，这说明当x=0时，y=±1，不符合函数的概念，不是函数的图象，故排除；选项B中图形关于y轴对称，是偶函数．故选B.【答案】 B3．函数y＝(x＋2)(x－a)是偶函数，则a＝()A．2 B．－2C．1 D．－1【解析】结合选项，a＝2时，f(x)＝x2－4是偶函数，故选A.【答案】 A4．对于定义域为R的奇函数f(x)，下列结论成立的是()A．f(x)－f(－x)>0 B．f(x)－f(－x)≤0C．f(x)·f(－x)≤0 D．f(x)·f(－x)>0【解析】f(－x)＝－f(x)，则f(x)·f(－x)＝－f2(x)≤0，故选C.【答案】 C二、填空题(每小题5分，共10分)5．设函数f(x)＝(x＋1)(x＋a)x为奇函数，则a＝________.【解析】f(－x)＝(1－x)(a－x)－x，又f(x)为奇函数，故f(x)＝－f(－x)，即(x＋1)(x＋a)x＝(1－x)(a－x)x，所以x2＋(a＋1)x＋ax＝x2－(a＋1)x＋ax，从而有a＋1＝－(a＋1)，即a＝－1.【答案】－16．已知函数y＝f(x)为奇函数，若f(3)－f(2)＝1，则f(－2)－f(－3)＝________.【解析】函数y＝f(x)为奇函数，故f(－x)＝－f(x)，则f(－2)－f(－3)＝－f(2)＋f(3)＝1.【答案】 1三、解答题(每小题10分，共20分)7．判断下列函数是否具有奇偶性：(1)f(x)＝x＋1；(2)f(x)＝x2＋3x，x∈[－4,4)；(3)f(x)＝x2＋1，x∈[－6，－2]∪[2,6]；【解析】(1)函数f(x)＝x＋1的定义域为实数集R，当x∈R时，－x∈R.因为f(－x)＝－x＋1＝－(x－1)，－f(x)＝－(x＋1)，即f(－x)≠－f(x)，f(－x)≠f(x)．所以函数f(x)＝x＋1既不是奇函数又不是偶函数．(2)因为函数的定义域关于坐标原点不对称，即存在－4∈[－4,4)，而4∉[－4,4)．所以函数f(x)＝x3＋3x，x∈[－4,4)既不是奇函数又不是偶函数．(3)函数f(x)＝x2＋1的定义域为[－6，－2]∪[2,6]，当x∈[－6，－2]时，－x ∈[2,6]．因为f(－x)＝(－x)2＋1＝x 2＋1＝f(x)，所以函数f(x)＝x 2＋1，x ∈[－6，－2]∪[2,6]是偶函数．8．判断函数f(x)＝⎩⎨⎧ 2x ＋3(x>0)0 (x ＝0)2x －3 (x<0)的奇偶性．【解析】 ①当x>0时，－x<0， 则f(－x)＝2·(－x)－3＝－(2x ＋3)＝－f(x)②当x<0时，－x>0f(－x)＝－2x ＋3＝－(2x －3)＝－f(x)③当x ＝0时，f(0)＝0即f(－x)＝－f(x)．∴f(x)是奇函数．9．(10分)已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x ＋2)＝ －f(x)，求f(8)的值．【解析】 ∵f(x ＋2)＝－f(x)．∴f(8)＝－f(6)＝－f(4＋2)＝f(4)＝f(2＋2)＝－f(2)＝－f(0＋2)＝f(0)．∵f(x)是定义在R 上的奇函数，∴f(0)＝0，∴f(8)＝0.。