高考数学 考前三个月 练透高考必会题型 专题7 第31练 双曲线的渐近线和离心率 文 新人教版

34 双曲线的渐近线和离心率1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)以及双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1的渐近线将第一象限三等分，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为________． 答案 2或233解析 由题意，可知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线的倾斜角为30°或60°，则b a ＝33或 3. 则e ＝c a ＝c 2a 2＝ a 2＋b 2a 2＝ 1＋(b a )2＝233或2. 2．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ，若F 2H 的中点M 在双曲线C 上，则双曲线C 的离心率为________． 答案 2解析 取双曲线的渐近线y ＝ba x ，则过F 2与渐近线垂直的直线方程为y ＝－a b(x －c )，可解得点H 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，ab c ，则F 2H 的中点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋c 22c，ab 2c ，代入双曲线方程x 2a 2－y 2b 2＝1可得(a 2＋c 2)24a 2c 2－a 2b 24c 2b 2＝1，整理得c 2＝2a 2，即可得e ＝c a ＝ 2. 3．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为________．答案 x 25－y 24＝1 解析 ∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b ax ， 圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，∴圆心为C (3,0)．又渐近线方程与圆C 相切，即直线bx －ay ＝0与圆C 相切， ∴3b a 2＋b 2＝2，∴5b 2＝4a 2.① 又∵x 2a 2－y 2b2＝1的右焦点F 2(a 2＋b 2，0)为圆心C (3,0)， ∴a 2＋b 2＝9.②由①②得a 2＝5，b 2＝4.∴双曲线的标准方程为x 25－y 24＝1. 4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若双曲线上存在点P 使a sin ∠PF 1F 2＝c sin ∠PF 2F 1，则该双曲线的离心率的取值范围是________． 答案 (1，2＋1)解析 根据正弦定理得PF 2sin ∠PF 1F 2＝PF 1sin ∠PF 2F 1， 由a sin ∠PF 1F 2＝csin ∠PF 2F 1， 可得a PF 2＝c PF 1，即PF 1PF 2＝c a＝e ， 所以PF 1＝ePF 2.因为e >1，所以PF 1>PF 2，点P 在双曲线的右支上．又PF 1－PF 2＝ePF 2－PF 2＝PF 2(e －1)＝2a ，解得PF 2＝2a e －1. 因为PF 2>c －a (不等式两边不能取等号，否则题中的分式中的分母为0，无意义)，所以2a e －1>c －a ，即2e －1>e －1， 即(e －1)2<2，解得e <2＋1.又e >1，所以e ∈(1，2＋1)．5．(2014·湖北)已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为________． 答案 433 解析 设PF 1＝r 1，PF 2＝r 2(r 1>r 2)，F 1F 2＝2c ，椭圆长半轴长为a 1，双曲线实半轴长为a 2，椭圆、双曲线的离心率分别为e 1，e 2，由(2c )2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos π3， 得4c 2＝r 21＋r 22－r 1r 2.由⎩⎪⎨⎪⎧ r 1＋r 2＝2a 1，r 1－r 2＝2a 2，得⎩⎪⎨⎪⎧r 1＝a 1＋a 2，r 2＝a 1－a 2， 所以1e 1＋1e 2＝a 1＋a 2c ＝r 1c . 令m ＝r 21c 2＝4r 21r 21＋r 22－r 1r 2＝41＋(r 2r 1)2－r 2r 1＝4(r 2r 1－12)2＋34， 当r 2r 1＝12时，m max ＝163， 所以(r 1c )max ＝433， 即1e 1＋1e 2的最大值为433. 6．(2014·山东改编)已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为________． 答案 x ±2y ＝0 解析 由题意知e 1＝c 1a ，e 2＝c 2a， ∴e 1·e 2＝c 1a ·c 2a ＝c 1c 2a 2＝32. 又∵a 2＝b 2＋c 21，c 22＝a 2＋b 2，∴c 21＝a 2－b 2，∴c 21c 22a 4＝a 4－b 4a 4＝1－(b a)4， 即1－(b a )4＝34， 解得b a ＝±22，∴b a ＝22. 令x 2a 2－y 2b2＝0，解得bx ±ay ＝0， ∴x ±2y ＝0.7．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率分别为e 1，e 2，则e 1e 2的取值范围为________．答案 (0,1)解析 可知e 21＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a2， e 22＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2， 所以e 21＋e 22＝2>2e 1e 1⇒0<e 1e 2<1. 8．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的左焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 24的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线的右支于点P ，若E 为PF 的中点，则双曲线的离心率为________． 答案 102解析 设双曲线的右焦点为F ′，由于E 为PF 的中点，坐标原点O 为FF ′的中点，所以EO ∥PF ′，又EO ⊥PF ，所以PF ′⊥PF ，且PF ′＝2×a 2＝a ，故PF ＝3a ，根据勾股定理得FF ′＝10a .所以双曲线的离心率为10a 2a ＝102. 9．(2014·浙江)设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m,0)满足PA ＝PB ，则该双曲线的离心率是________．答案 52解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b ax . 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝b ax ，x －3y ＋m ＝0，得A (am 3b －a ，bm 3b －a )， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－b a x ，x －3y ＋m ＝0，得B (－am a ＋3b ，bm a ＋3b )， 所以AB 的中点C 坐标为(a 2m 9b 2－a 2，3b 2m 9b 2－a 2)． 设直线l ：x －3y ＋m ＝0(m ≠0)， 因为PA ＝PB ，所以PC ⊥l ， 所以k PC ＝－3，化简得a 2＝4b 2. 在双曲线中，c 2＝a 2＋b 2＝5b 2，所以e ＝c a ＝52. 10．(2013·湖南)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若PF 1＋PF 2＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则双曲线C 的离心率为________． 答案 3解析 不妨设PF 1>PF 2，则PF 1－PF 2＝2a ，又∵PF 1＋PF 2＝6a ，∴PF 1＝4a ，PF 2＝2a .又在△PF 1F 2中，∠PF 1F 2＝30°，由正弦定理得，∠PF 2F 1＝90°，∴F 1F 2＝23a ，∴双曲线C 的离心率e ＝23a 2a＝ 3. 11．P (x 0，y 0)(x 0≠±a )是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上一点，M ，N 分别是双曲线E 的左，右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为15. (1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC →＝λOA →＋OB →，求λ的值．解 (1)点P (x 0，y 0)(x 0≠±a )在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上， 有x 20a 2－y 20b2＝1. 由题意有y 0x 0－a ·y 0x 0＋a ＝15， 可得a 2＝5b 2，c 2＝a 2＋b 2＝6b 2，则e ＝c a ＝305. (2)联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－5y 2＝5b 2，y ＝x －c ，得4x 2－10cx ＋35b 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝5c 2，x 1x 2＝35b 24.① 设OC →＝(x 3，y 3)，OC →＝λOA →＋OB →， 即⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝λx 1＋x 2，y 3＝λy 1＋y 2. 又C 为双曲线上一点，即x 23－5y 23＝5b 2， 有(λx 1＋x 2)2－5(λy 1＋y 2)2＝5b 2. 化简得λ2(x 21－5y 21)＋(x 22－5y 22)＋2λ(x 1x 2－5y 1y 2)＝5b 2.又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，所以x 21－5y 21＝5b 2，x 22－5y 22＝5b 2.由(1)可知c 2＝6b 2，由①式又有x 1x 2－5y 1y 2＝x 1x 2－5(x 1－c )(x 2－c )＝－4x 1x 2＋5c (x 1＋x 2)－5c 2＝10b 2. 得λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或λ＝－4.12．(2014·江西)如图，已知双曲线C ：x 2a2－y 2＝1(a >0)的右焦点为F .点A ，B 分别在C 的两条渐近线上，AF ⊥x 轴，AB ⊥OB ，BF ∥OA (O 为坐标原点)．(1)求双曲线C 的方程；(2)过C 上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)的直线l ：x 0x a 2－y 0y ＝1与直线AF 相交于点M ，与直线x ＝32相交于点N .证明：当点P 在C 上移动时，MF NF 恒为定值，并求此定值． 解 (1)设F (c,0)，直线OB 方程为y ＝－1ax ， 直线BF 的方程为y ＝1a (x －c )，解得B (c 2，－c 2a)． 又直线OA 的方程为y ＝1ax ， 则A (c ，c a )，k AB ＝c a －(－c 2a )c －c 2＝3a . 又因为AB ⊥OB ，所以3a ·(－1a )＝－1， 解得a 2＝3，故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1. (2)由(1)知a ＝3，则直线l 的方程为x 0x 3－y 0y ＝1(y 0≠0)，即y ＝x 0x －33y 0. 因为c ＝a 2＋b 2＝2，所以直线AF 的方程为x ＝2，所以直线l 与AF 的交点为M (2，2x 0－33y 0)； 直线l 与直线x ＝32的交点为N (32，32x 0－33y 0)． 则MF 2NF 2＝(2x 0－3)2(3y 0)214＋(32x 0－3)2(3y 0)2＝(2x 0－3)29y 204＋94(x 0－2)2＝43·(2x 0－3)23y 20＋3(x 0－2)2.因为P (x 0，y 0)是C 上一点，则x 203－y 20＝1，代入上式得MF 2NF 2＝43·(2x 0－3)2x 20－3＋3(x 0－2)2＝43·(2x 0－3)24x 20－12x 0＋9＝43，即MF NF ＝23＝233为定值．。

双曲线渐近线方程百科名片双曲线渐近线方程双曲线渐近线方程，是一种几何图形的算法，这种主要解决实际中建筑物在建筑的时候的一些数据的处理。

双曲线的主要特点：无限接近，但不可以相交。

分为铅直渐近线、水平渐近线和斜渐近线。

是一种根据实际的生活需求研究出的一种算法。

渐近线特点：无限接近，但不可以相交。

分为铅直渐近线、水平渐近线和斜渐近线。

当曲线上一点M沿曲线无限远离原点时，如果M到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。

需要注意的是：并不是所有的曲线都有渐近线，渐近线反映了某些曲线在无线延伸时的变化情况。

根据渐近线的位置，可将渐近线分为三类：水平渐近线、垂直渐近线、斜渐近线。

y=k/x(k≠0)是反比例函数，其图象关于原点对称，x=0，y=0为其渐近线方程当焦点在x轴上时双曲线渐近线的方程是y=[+(-)b/a]x当焦点在y轴上时双曲线渐近线的方程是y=[+(-)a/b]x双曲线的简单几何性质1.双曲线x^2/a^2-y^2/b^2 ＝1的简单几何性质(1)范围：｜x｜≥a,y∈R.(2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x轴、y轴及原点中心对称.(3)顶点：两个顶点A1(-a,0),A2(a,0)，两顶点间的线段为实轴，长为2a，虚轴长为2b，且c2＝a2+b2.与椭圆不同.(4)渐近线：双曲线特有的性质，方程y＝±b/ax，或令双曲线标准方程x^2/a^2-y^2/b^2 ＝1中的1为零即得渐近线方程.(5)离心率e≥1，随着e的增大，双曲线张口逐渐变得开阔.(6)等轴双曲线(等边双曲线)：x2-y2＝a2(a≠0),它的渐近线方程为y＝±b/ax,离心率e＝c/a=√2 (7)共轭双曲线：方程- ＝1与- ＝-1表示的双曲线共轭，有共同的渐近线和相等的焦距，但需注重方程的表达形式.注重：1.与双曲线- ＝1共渐近线的双曲线系方程可表示为- ＝λ(λ≠0且λ为待定常数)2.与椭圆＝1(a＞b＞0)共焦点的曲线系方程可表示为- ＝1(λ＜a2,其中b2-λ＞0时为椭圆，b2＜λ＜a2时为双曲线)2.双曲线的第二定义平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l:x＝+(-)a2/c 的距离之比等于常数e＝c/a (c＞a＞0)的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，焦准距(焦参数)p＝，与椭圆相同.3.焦半径( - ＝1,F1(-c,0)、F2(c,0))，点p(x0,y0)在双曲线- ＝1的右支上时，｜pF1｜＝ex0 a,｜pF2｜＝ex0-a;P在左支上时，则｜PF1｜=ex1+a ｜PF2｜＝ex1-a.本节学习要求：学习双曲线的几何性质，可以用类比思想，即象讨论椭圆的几何性质一样去研究双曲线的标准方程，从而得出双曲线的几何性质，将双曲线的两种标准方程、图形、几何性质列表对比，便于把握.双曲线的几何性质与代数中的方程、平面几何的知识联系密切；直线与双曲线的交点问题、弦长间问题都离不开一元二次方程的判别式，韦达定理等；渐近线的夹角问题与直线的夹角公式.三角函数中的相关知识，是高考的主要内容.通过本节内容的学习，培养同学们良好的个性品质和科学态度，培养同学们的良好的学习习惯和创新精神，进行辩证唯物主义世界观教育.双曲线的渐近线教案教学目的(1)正确理解双曲线的渐近线的定义，能利用双曲线的渐近线来画双曲线的图形．(2)掌握由双曲线求其渐近线和由渐近线求双曲线的方法，并能作初步的应用，从而提高分析问题和解决问题的能力．教学过程一、揭示课题师：给出双曲线的方程，我们能把双曲线画出来吗？生(众)：能画出来．师：能画得比较精确点吗？(学生默然．)其附近的点，比较精确地画出来．但双曲线向何处伸展就不很清楚了．在画其他曲线时，也有同样的问题．如曲线我们可以比较精确地画出整个曲线．因为我们知道，当曲线伸向远处时，它逐渐地越的趋向，我们是清楚的，它逐渐地在x轴负方向上越来越接近x轴，即x轴为y＝2x的一条渐近线，但它的另一端则不然，它伸向何处是不够清楚的．所以双曲线和其他曲线一样，当它向远处伸展时，它的趋向如何，是需要研究的问题．今天这堂课，我们就来讨论一下“双曲线向何处去”这样一个问题．(板书课题：双曲线的渐近线．)二、讲述定义师：前一课我们讨论了双曲线的范围、对称性和顶点，我们回忆一下，双曲线的范围x≤－a，x≥a是怎样得出来的？直线x＝－a和x＝a的外侧．我们能不能把双曲线的范围再缩小一点？我们先看看双曲线在第一象限的情况．设M(x，y)是双曲线上在第一象限内的点，则考察一下y变化的范围：因为x2－a2＜x2，所以这个不等式意味着什么？(稍停，学生思考．)平面区域．之间(含x轴部分)．这样，我们就进一步缩小了双曲线所在区域的范围．为此，我们考虑下列问题：经过A2、A1作y轴的平行线x＝±a，经过B2、B1作x轴的平行线y＝±b，以看出，双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近．下面，我们来证明这个事实．双曲线在第一象限内的方程可写成设M(x，y)是它上面的点，N(x，Y)是直线上与M有相同横坐标的点，则设|MQ|是点M到直线的距离，则|MQ|＜|MN|．当x逐渐增大时，|MN|逐渐减小，x无限增大，|MN|接近于零，|MQ|也接近于零，就是说，双曲线在第一象限的部分从射线ON的下方逐渐接近于射线ON．在其他象限内也可以证明类似的情况．我们把两条直线叫做双曲线的渐近线．现在来看看实轴在y轴上的双曲线的渐近线方程是怎样的？由于实轴在y轴上的双曲线方程是由实轴在x轴上的双曲线方程，将x、y字母对调所得到，自然，前者这样，我们就完满地解决了画双曲线远处趋向的问题，从而可比较精确地画出双手画出比较精确的双曲线．[提出问题，解决问题，善始善终．]三、初步练习(根据由双曲线求出它的渐近线方程与由渐近线求出相应的双曲线方程这两要求，出四个小题让学生练习．)1．求下列双曲线的渐近线方程(写成直线方程的一般式)，并画出双曲线：(1) 4x2－y2＝4；(2) 4x2－y2＝－4．2．已知双曲线的渐近线方程为x±2y＝0，且双曲线过点：求双曲线方程并画出双曲线．(练习毕，由学生回答，教师总结．)解题的主要步骤：第1题：(1)把双曲线方程化为标准方程；(2)求得a、b；(3)根据定义写出渐近线方程．第2题：(1)判断何种双曲线，设出相应的标准方程；(2)写出渐近线方程，从而得到关于a、b的一个关系式；(3)将点M代入标准方程，得到关于a、b的另一个关系式；(4)解a、b的方程组，求得a、b，写出双曲线方程．师：这是两个关于双曲线渐近线的最基本的练习．一个是由双曲线求渐近线，比较简单；一个是由渐近线求双曲线，却比较复杂．这是因为，一个是正向思考和运算，另一个是逆向思考和运算，有一定的难度．同时，因为一条双曲线有两条确定的渐近线，而两条渐近线对应有许多双曲线，因此，求双曲线方程还必须具有另一个条件，两个条件的综合显然比较困难．我们要特别注意对逆向问题的分析，提高解决逆向问题的能力．[问题虽然简单，但确是基础，不仅掌握基本知识，同时有利于正、逆两方面思考问题的训练．]四、建立法则师：仔细分析一下上述练习的结果：双曲线方程：4x2－y2＝4；渐近线方程：2x±y＝0．双曲线方程：4x2－y2＝－4；渐近线方程：2x±y＝0．双曲线方程：x2－4y2＝4；渐近线方程：x±2y＝0．双曲线方程：x2－4y2＝－4；渐近线方程：x±2y＝0．可以发现，双曲线与其渐近线的方程之间似乎存在某种规律．(启发学生讨论、归纳．)生甲：每项开平方，中间用正负号连结起来，常数项改为零，就得到渐近线方程．生乙：以各项系数绝对值的算术平方根为x、y的系数，且用正负号连结起来等于零，就是渐近线方程．生丙：如果两个双曲线方程的二次项相同，那么渐近线方程就相同，与常数项无关．生丁：反过来，渐近线的方程相同，双曲线方程的二次项就相同，常数可以不同．生戊：应该说二次项系数成比例．师：大家揭示了其中的规律．但是，大家的回答，还不够严格，也不够简洁，是否可以归纳出一种方法，把双曲线方程处理一下，就得到渐近线方程？把双曲线方程中常数项改成零，会怎样呢？点适合这个方程，适合这个方程的点在渐近线上．就是两渐近线的方程．实际上，两条渐近线也可看作二次曲线，是特殊的双曲线．同样，b2x2－a2y2＝0，即bx±ay＝0；b2y2－a2x2＝0，即by±ax＝0．所以把双曲线方程的常数项改为零，就得到其渐近线方程．这具有一般性吗？也就是说对任意双曲线A2x2－B2y2＝C(C≠0)它的渐近线方程是不是A2x2－B2y2＝0？回答是肯定的．分情况证明一下：C＞0，A2x2－B2y2＝C，故渐近线方程为也可以化成Ax±By＝0，即A2x2－B2y2＝0．其他情况，同学们可以自己去证明．反之，渐近线方程为Ax±By＝0的双曲线方程是什么？可以证明是：A2x2－B2y2＝C(C≠0)．C＞0，实轴在x轴上；C＜0，实轴在y轴上．因此，我们得到下列法则：(1)双曲线A2x2－B2y2＝C(C≠0)的渐近线方程是A2x2－B2y2＝0；(2)渐近线方程是Ax±By＝0的双曲线方程是A2x2－B2y2＝C(C≠0的待定常数)．现在谁能把上面的练习第2题再解答一下？生：因为渐近线方程是x±2y＝0，所以双曲线方程为x2－4y2＝C．∴双曲线方程为x2－4y2＝4．∴双曲线方程为x2－4y2＝－4．[建立解题法则，既使解题比较方便，又使学生得到解题能力的培养．]五、巩固应用师：前面我们讲述了双曲线渐近线的定义和法则，下面大家使用定义或者法则再做两个练习．2．证明：双曲线上任一点到两渐近线的距离之积是个常数．(练习毕，由学生回答，教师总结解题步骤．)师：解练习1的方法有两种．一是直接运用定义．由双曲线求渐近线：由渐近线求双曲线：二是直接运用法则．练习2的解法如下：六、布置作业课本练习；略．教案说明(1)本课教材内容不难接受，但教学中如何引出渐近线以致不感到突然，我采取了进一步缩小双曲线所在范围的方法，引出了渐近线．至于课题的引出，也是顺应认识的需要，为了对双曲线作深入的研究．我认为这些做法都是比较自然的．(2)本课的基础内容，一是定义和法则，二是双曲线与其渐近线的互求的方法．本教案既注意狠抓基础，也注意综合提高．(3)本教案建立了一个法则，作为定义的补充，也是为了解题的方便，建立法则的过程，也是学生提高观察能力、归纳总结能力的一种训练．。

双曲线渐近线有关问题-教师版一.综述在双曲线的几何性质中,渐近线是双曲线所特有的性质,因此学好双曲线的渐近线对学习双曲线的几何性质有很大的帮助.过双曲线实轴的两个端点与虚轴的两个端点分别作对称轴的平行线，它们围成一个矩形，其两条对角线所在直线即为双曲线的渐近线.画双曲线时,应先画出它的渐近线.理解“渐进”两字的含义,当双曲线的各支向外延伸时,与这两条直线逐渐接近,接近的程度是无限的.掌握根据双曲线的标准方程求出它的渐近线方程的方法.最简单且实用的方法是：把双曲线标准方程中等号右边的1改成0，就得到了此双曲线的渐近线方程.即:(1)已知双曲线方程求渐近线:(2)已知渐近线设双曲线标准方程在考题中,常结合双曲线方程和离心率进行考查,只要抓住渐近线斜率与离心率可以通过的关系进行相互转化即可.几何性质中我们除了要掌握对称性,还需要熟记焦点到渐近线的距离为. 二.例题精讲 破解规律例1. 已知双曲线（）的一条渐近线被圆截得的弦长为2，则该双曲线的离心率为( )A .B .C .D . 分析:双曲线渐近线为过原点的两条相交直线,且斜率分别为.由已知条件根据直线与圆的位置关系可以求出其中一条渐近线的斜率然后再利用求出离心率. 解析: 由题意得圆方程即为，故圆心为（3,0），半径为2.双曲线的一条渐22221x y a b -=22220x y b y x a b a-=⇒=±y mx =222m x y λ-=222a b c +=b 22221x y a b-=0,0a b >>22650x y x +-+=222ba±222a b c +=22(3)4x y -+=近线为，即，故圆心到渐近线的距离为。

∵渐近线被圆截得的弦长为2,∴，整理得. ∴选D. 答案：D .点评: 双曲线几何性质是高考考查的热点，其中离心率是双曲线的重要性质，求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a 、b 、c 的方程或不等式，利用和转化为关于e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．规律总结:相关渐近线斜率k 与离心率e 的问题,由,可以得到进行相互转化.现学现用1: 已知焦点在x 轴上双曲线的离心率为2，则双曲线的渐近线方程为（ ）A .B .C .D .解析: ∵双曲线的离心率为2∴，即∵∴，即∴双曲线的渐近线方程为故选D例2. 已知双曲线的右焦点为F ,过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线,垂足为M ,交另一条渐近线与N ,若,则双曲线的渐近线方程为.分析:题目中给出的向量表达式,从代数的角度讲就是给出向量坐标的比例关by x a=0bx ay -=d ==22212⎛⎫+=2212b a =c e a ====222a b c +=e=ca222a b c +=2221k e +=C 3y x =±y =2y x =±y =2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>2c a=224c a =222c a b =+223b a =ba=2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>y =2222:1x y C a b-=73FM FN =73FM FN =系,通过这个比例关系,列方程找出a 、b 、c 的关系式,从而求出渐近线方程.从几何的角度讲,就是给出点M 分线段NF 的比例,再利用渐近线的对称性结合三角函数知识进而解决问题. 解析: (解法一)如下图所示:由对称性,令,渐近线的斜率为.易知, 故, 所以①; 由已知得:; 在和中,易得② 由①②得: 解得;所以渐近线方程为: (解法二) 由题意得双曲线的右焦点F (c ,0)，设一渐近线OM 的方程为，则另一渐近线ON 的方程为．设，∵，∴， ∴，解得．∴点M 的坐标为， 又，∴，整理得， ∴双曲线的渐近线方程为2,MOF NOF MON αβ∠=∠=∠=1l tan k α=2αβπ+=()222tan 2tan tan 2tan 21tan 1kkαβπααα=-=-=-=---222tan 21tan 1kk k k βα--==--73FM FN =43MN MF=MOF Rt MON Rt tan 4tan 3MN OM MN MF MF OM βα⎛⎫⎪⎝⎭===⎛⎫ ⎪⎝⎭22413k -=-102k =±102y x =±by x a=b y x a =-,,,bm bn M m N n a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭73FM FN =7,3,bm bn m c n c a a ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()73 73m c n c bm bn a a -⎧=-=-⎪⎨⎪⎩27 23c m c n ⎧⎪⎪⎨==-⎪⎪⎩22,77c bc a ⎛⎫ ⎪⎝⎭OM FM ⊥27127OM FMbc b a k k c a c⋅=⨯=--2252b a =102b y x x a =±=±答案:. 点评: 本题主要考查双曲线及渐近线,解法一利用对称性与三角函数列方程找出a 、b 、c 的关系式,从而解出k .解法二代数法列方程求出坐标,再利用垂直关系,解出k规律总结:关于直线与双曲线渐近线交点问题,可以利用渐近线的对称性结合三角方法来处理.现学现用2: 点在双曲线的右支上，其左、右焦点分别为、，直线与以坐标原点为圆心、为半径的圆相切于点，线段的垂直平分线恰好过点，则该双曲线的渐近线的斜率为__________． 答案: 解析:如图,是切点,是的中点,因为,所以,又,所以,,又,根据双曲线的定义,有,即，两边平方并化简得，所以， 因此.例3: 已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0),过其左焦点F 作斜率为12的直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为A 、B ，若FA⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线的两条渐近线方程为 A . y =±13x B . y =±(√2−1)x C . y =±x D . y =±14x分析:y =P 22221(0,0)x y a b a b -=>>1F 2F 1PF O a A 1PF 2F 43±A B 1PF OA a =22BF a =122F F c =12BF b =24PF b =2122PF F F c ==122PF PF a -=422b c a -=223250c ac a --=53c a=43b a ==答案:C解析:由题意设直线AB 的直线的方程为y =12(x +c).与两条渐近线联立.{y =12x +12c y =−b a x ，得A(ac −2b−a ,bc 2b+a );{y =12x +12c y =b a x，得B(ac 2b−a ,bc 2b−a) 若FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则13⋅bc 2b−a=bc2b+a，解得a =b ，故双曲线的两条渐近线方程为y =±x故选C .点评:本题给出直线的斜率,较适宜列方程解出坐标.再利用FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 转化为坐标的比例关系.规律总结: 关于直线与双曲线渐近线交点问题,可以利用解析法求出交点坐标,利用坐标的关系解答问题.现学现用3: 已知双曲线的中心为原点， 是的焦点，过的直线与相交于，两点，且的中点为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A .B .C .D . 解析:设双曲线的标准方程为，由题意知c =3,a 2+b 2=9，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则有: ,两式作差得： ，又AB 的斜率是，所以将4b 2=5a 2代入a 2+b 2=9得：a 2=4,b 2=5.则双曲线的渐近线方程为. 本题选择A 选项.C ()3,0F C F l C A B AB ()12,15N --y x =±y x =y =y x =()222210,0x y a b a b-=>>2211222222221 1x y a b x y a b ⎧⎪⎪⎨-=-=⎪⎪⎩22212122221212124155y y x x b b b x x a y y a a-+-=⨯=⨯=-+-1501123--=--y x =三.课堂练习 强化技巧1. 已知以原点为中心，实轴在轴上的双曲线的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为6，则此双曲线的标准方程为（ ）A .B .C .D .答案:C解析:∵双曲线的一条渐近线方程是，∴∴c =10.∵c 2=a 2+b 2∴a 2=64 b 2=36∴双曲线方程为=1故答案为.2.已知双曲线， 为双曲线的左右顶点，若点在双曲线上，且满足为一个顶角为的等腰三角形，则双曲线的渐近线方程是（ ）A .B .C .D . 答案:A解析:由题意，设，则，则，即双曲线的方程为，其渐近线方程为；故选A .x 34y x =221169x y -=221916x y -=2216436x y -=2213664x y -=34y x =34b a =610c =⇒=226436x y-C 22221(00)x y a b a b-=>>，,A B M ABM ∆120︒=y x ±=y =2y x ±=y x ±()()(),0,,0,,A a B a M x y -tan30tan60AM BM y k x ay k x a ==︒+=⎧⎪︒-⎨=⎪⎪⎪⎩2221y x a =-222x y a -=y x =±3. 已知双曲线的右焦点为F ,过点F向双曲线的一条渐近线引垂线,垂足为M ,交另一条渐近线于N ,若,则双曲线的渐近线方程为 .解析:如下图所示:令,渐近线的斜率为.由对称性知,故,所以①;由已知得:; 在和中,易得②由①②得: 解得;所以渐近线方程为:四.课后作业 巩固内化 1.已知双曲线过点，渐近线方程为，则双曲线的标准方程是（ ）A .B .C .D . 答案:B2222:1x y C a b-=2MF FN =,MOF MON αβ∠=∠=1l tan k α=2βα=222tan 2tan tan 21tan 1kk αβαα===--222tan 21tan 1kk k k βα-==-2MF FN =31MN MF =MOF Rt MON Rt tan 3tan 1MN OM MN MF MF OM βα⎛⎫⎪⎝⎭===⎛⎫ ⎪⎝⎭2231k =-33k =±33y x =±()1,22y x =±2212x y -=2212y x -=2213y x -=2213x y -=解析:设双曲线的标准方程 ,选B2. 已知双曲线E:x 2a 2−y 2b 2=1，其一渐近线被圆C:(x −1)2+(y −3)2=9所截得的弦长等于4，则E 的离心率为( )A .√52 B . √5 C . √52或√3 D . √52或√5 答案:D解析:E 的渐近线为y =±ba x ∴bx ∓ax =0∵ 渐近线被C 截得的弦长为4∴d 2+(42)2=32∴d =√5∴√22=√5∴a =2b 或a =12b ∴e =√5或e =√52。

高考数学复习典型题型专题讲解与练习 专题74 双曲线的简单几何性质题型一 根据双曲线研究几何性质1．双曲线22221124x y m m -=+-的焦距是（ ）A ．4B ．．8 D ．【答案】C【解析】解：由题意可得，2222212416c a b m m =+=++-=， ∴4,28c c ==， 故选：C ．2．已知圆221x y +=与双曲线()222104x y b b-=>的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，若四边形ABCD 的面积为b ，则b =______. 【答案】2.【解析】因为双曲线()222104x y b b-=>的渐近线方程为2b y x =±，圆221x y +=与双曲线()222104x y b b-=>的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，不妨设点()00,B x y 位于第一象限，则002b y x =根据圆与双曲线的对称性可得，四边形ABCD 为矩形，且02AB x =，002BC y bx ==， 又四边形ABCD 的面积为b ，所以202AB BC bx b ⋅==，解得0x =B ⎝⎭，又点24B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在圆221x y +=上，则2121216b +=，解得2b =.故答案为：2.3．求双曲线22494x y -=-的顶点坐标､焦点坐标､实轴长､虚轴长､离心率和渐近线方程. 【答案】答案见解析【解析】双曲线方程可化为：22149y x -=，则双曲线焦点在y 轴上，249a =，21b =，2413199c ∴=+=； 23a ∴=，1b =，c ∴顶点坐标为20,3⎛⎫± ⎪⎝⎭；焦点坐标为0,⎛ ⎝⎭；实轴长为423a =；虚轴长为22b =；离心率c e a ==23y x a b x =±=±.题型二 利用双曲线的几何性质求标准方程4．焦点在x轴，一条渐近线的方程为y =，虚轴长为（ ）A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．2214816x y -=D ．2211648x y -=【答案】A【解析】解：根据题意，要求双曲线的虚轴长为2b =b =又由要求双曲线的焦点在x 轴，其渐近线方程为b y x a=±，若双曲线的一条渐近线的方程为y =，即ba=2a =，故要求双曲线的标准方程为221412x y -=，故选：A ． 5．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1(5,0)F -，2(5,0)F ，则能使双曲线C的方程为221169x y -=的是（ ）A ．离心率为54B ．双曲线过点95,4⎛⎫⎪⎝⎭C ．渐近线方程为340±=x yD ．实轴长为4 【答案】ABC 【解析】因为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1(5,0)F -，2(5,0)F ，所以焦点在x 轴上，且c =5；A 选项，若离心率为54，则a =4，所以b =3，此时双曲线的方程为：221169x y -=，故A 正确；B 选项，若双曲线过点95,4⎛⎫⎪⎝⎭P ，则124192844=-=-=a PF PF ，解得4a =，又5c =，解得：b =3；此时双曲线的方程为：221169x y -=，故B 正确；C 选项，若双曲线的渐近线方程为340±=x y ，则34b a ，又 22225c a b =+=解得4,3a b ==，所以此时双曲线的方程为：221169x y -=，故C 正确；D 选项，若24a =，则2a =，所以22221b c a =-=故D 错误； 故选：ABC.6．以椭圆22169x y +＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程为（ ）A ．228016x y -＝1B ．22459y x -＝1C ．221648x y -＝1D ．22927y x -=1【答案】CD【解析】由椭圆方程知椭圆顶点为：()4,0±，()0,3±；若双曲线以()4,0±为顶点，则4a =，又2cea==，8c ∴=，b ∴== ∴双曲线方程为2211648x y -=；若双曲线以()0,3±为顶点，则3a =，又2ce a==，6c ∴=，b ∴=∴双曲线方程为221927y x -=；综上所述：所求的双曲线方程为：2211648x y -=或221927y x -=.故选：CD.7．双曲线的渐近线方程是2y x =±，虚轴长为4，求双曲线的标准方程．【答案】2214y x -=或221164y x -=【解析】若双曲线焦点在x轴，设方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，则渐近线方程为b y x a=±，所以224ba b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩，所以双曲线标准方程为：2214y x -=；若双曲线焦点在y 轴，设方程22221(0,0)y x a b a b-=>>，则渐近线方程为a y x b =±，所以224ab b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得42a b =⎧⎨=⎩，所以双曲线标准方程为：221164y x -=；所以双曲线标准方程为2214y x -=或221164y x -=题型三 求双曲线离心率的值或取值范围8．直线2y b =与双曲线22221x y a b-=(0a >，0b >)的左支、右支分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且AOB 为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为（ ） AB ．32C【答案】B【解析】解：联立222212x y a b y b⎧-=⎪⎨⎪=⎩，解得222241x b a b -=⇒225x a =⇒225x a =，即(2)A b ，，2)B b ，，又AOB ∆是等腰直角三角形，即OA OB ⊥，等价于0OA OB ⋅=，代入坐标得2222222293545449442a b a c a a c e e =⇔=-⇔=⇔=⇔=.故选：B.9．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F 2的直线在第一、第四象限交两渐近线分别于P ，Q 两点，且∠OPQ ＝90°，O 为坐标原点，若OPQ 内切圆的半径为3a，则该双曲线的离心率为（ ） ACD【答案】B【解析】解：如图，设OPQ 的内切圆圆心为M ，则M 在x 轴上，过点M 分别作MN ⊥OP 于N ，MT ⊥PQ 于T ，由F 2P ⊥OP 得，四边形MTPN 为正方形，∴焦点F 2（c ，0）到渐近线b y x a =的距离|F 2P|bc bca b c a ===， 又|OF 2|＝c ，∴22222222||||,OP OF F P c b a OP a =-=-==，∵1||||3NP MN a ==，∴2||3a NO =，∴21||13tan 2||||23a F Pb MN NOM OP a NO a ==∠===，∴离心率c e a ===故选：B ．10．已知F 1，F 2分别是双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，过1F 作圆O：222x y a +=的一条切线，切点为P ，且交双曲线C 的右支于点Q ．若11||2F P PQ =，则双曲线C 的离心率为__．【解析】连接OP ，2QF ，由题意可知1OP F Q ⊥，OP a =，1OF c =，可得1PF b =，于是13FQ b =，232QF b a =-， 在1Rt OPF △中，1bcos PFO c∠=， 在12QF F 中，()()()122223232232b c b a bb c F c QF cos +--==⨯⨯∠，整理可得32b a=，于是双曲线的离心率为：132e ==．11．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，左、右顶点分别为A 1，A2，点P 是双曲线C 上不同于A 1，A 2的任意一点，若12PF F △与12PA A △，则双曲线C 的离心率为__．【解析】设双曲线的半焦距为c ，因为12PF F △与12PA A △，可得1212=F F A ，即2c =，所以ce a=题型四 与双曲线渐近线相关的问题 12．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>，F为C 的右焦点，过点F 的直线与C 的一条渐近线垂直，垂足为点M ，与另一条渐近线的交点为N ．若直线MN 的斜率为3，则其渐近线方程为（ ）A ．y ＝±13x B ．y ＝±3x C ．y D ．y 【答案】A【解析】由题意可知3MN k =，所以与直线MN 垂直的双曲线C 的渐近线方程为b y x a=-，所以13b a-=-，所以双曲线的渐近线方程为：13y x =±． 故选：A ．13．已知a >b >0，椭圆C 1的方程为2222x y a b+＝1，双曲线C 2的方程为2222x y a b -＝1，C 1与C 2的C 2的渐近线方程为________．【答案】x ＝0【解析】解析：椭圆C 1，双曲线C 2a 4＝4b 4，所以a ，所以双曲线C2的渐近线方程是y ，即x ＝0．故答案为：x ＝014．若双曲线22x a －22y b＝1(a >0，b >0)的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝1相切，求双曲线的离心率．【解析】双曲线的渐近线的方程为0bx ay ±=， 渐近线与圆22(2)1x y -+=相切，∴1，a ∴=，2c b ∴=，c e a ∴===题型五 点与双曲线的位置关系15．点(),P x y ，定义()2222a b F x y P -=，如图为双曲线22221x y a b-=及渐近线，则关于点A 、B 、C ，下列结论正确的是（ ）A ．()()()F A FB FC >>B ．()()()F B F C F A >> C ．()()()F A F C F B >>D ．()()()F C F B F A >>【答案】D【解析】设点()11,A x y 、()22,B x y 、()33,C x y ，则双曲线的两条渐近线方程为b y x a=±， 点A 在直线b y x a=的上方，则11b y x a>，则11x y a b <，即110x ya b -< 点A 在直线b y x a=-的上方，则11b y x a>-，则110x y a b+>， 所以，()22111111220x y x y x y F A a b a b a b ⎛⎫⎛⎫=-=-+< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，点B 在双曲线22221x y a b -=的外部，则()2222221x y F B a b=-<，B 在直线b y x a =的上方，则22by x a >，可得220x y a b -<， 点B 在直线b y x a=-的下方，则22b y x a<-，可得220x y a b+<， 所以，()22222222220x y xy x y F B a b a b a b ⎛⎫⎛⎫=-=-+> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即()01F B <<；因为点C 在双曲线22221x y a b -=的内部，则()2233221x y F C a b=->.综上所述，()()()F C F B F A >>. 故选：D.16．若实轴长为2的双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b -=>>上恰有4个不同的点(1,2,3,4)i P i =满足2i iPB PA =，其中(1,0)A -，(1,0)B ，则双曲线C 的虚轴长的取值范围为（ ）A ．)+∞B ．(C ．)+∞D ．( 【答案】C【解析】依题意可得1a =，设(),P x y ，则由2PB PA =，=2251639x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭.由222221516,39x y b x y ⎧-=⎪⎪⎨⎛⎫⎪++= ⎪⎪⎝⎭⎩，得221101203x x b ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭， 依题意可知210018109b ⎛⎫∆=-+> ⎪⎝⎭，解得2187b >， 则双曲线C的虚轴长2b >=题型六 中点弦问题17．已知双曲线2212y x -=，过点(1,1)P 的直线l 与双曲线相交于A ，B 两点，P 能否是线段AB 的中点？为什么？ 【答案】不能，证明见解析.【解析】当直线l 垂直x 轴时，因为过点(1,1)P ，所以直线l 方程为x =1，又双曲线2212y x -=，右顶点为（1,0）在直线l 上所以直线l 与双曲线只有一个交点，不满足题意；当直线l 不垂直x 轴时，斜率存在，设1122(,),(,)A x y B x y ，且12x x ≠， 因为A 、B 在双曲线上，所以221122221212y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减可得222212121()()02x x y y ---=， 所以121212121()()()()02x x x x y y y y --+-=+， 若点(1,1)P 为线段AB 的中点，则12121212x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，即121222x x y y +=⎧⎨+=⎩，代入上式，所以12121()2x x y y =--，则直线l 的斜率12122y yk x x -==-，所以直线l 的方程为12(1)y x -=-，即21y x =-，将直线l 与双曲线联立222112y x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，可得22430x x -+=，2(4)42380∆=--⨯⨯=-<，故方程无解所以不存在这样的直线l ， 综上，点P 不能是线段AB 的中点.18．已知双曲线24x －y 2＝1，求过点A (3，－1)且被点A 平分的弦MN 所在直线的方程.【答案】3x ＋4y －5＝0.【解析】解法一 由题意知直线的斜率存在，故可设直线方程为y ＋1＝k (x －3)， 即y ＝kx －3k －1，由223114y kx k x y =--⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y ，整理得(1－4k 2)x 2＋8k (3k ＋1)x －36k 2－24k －8＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， ∴1228(31)41k k x x k ++=-.∵A (3，－1)为MN 的中点， ∴1232x x +=，即28(31)32(41)k k k +=-，解得34k =-.当34k =-时，满足0∆>，符合题意，∴所求直线MN 的方程为3544y x =-+， 即3x ＋4y －5＝0.解法二 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， ∵M ，N 均在双曲线上，∴221122221414x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩两式相减，得222221214x x y y -=-， ∴212121214()y y x x x x y y -+=-+. ∵点A 平分弦MN ，∴x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝－2.∴2121212134()4MN y y x x k x x y y -+===--+.经验证，该直线MN 存在．∴所求直线MN 的方程为y ＋1＝－34(x －3)， 即3x ＋4y －5＝0.19．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>)是双曲线的一个顶点．（1）求双曲线的方程；（2）经过双曲线右焦点2F 作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A ，B ，求AB．【答案】（1）22136x y -=；（2.【解析】（1）由题可得ca a ⎧=⎪⎨⎪=⎩3c =，b 22136x y -=；（2）双曲线22136x y -=的右焦点为()23,0F所以经过双曲线右焦点2F 且倾斜角为30°的直线的方程为3)y x =-.联立221363)x y y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得256270x x +-=．设()11,A x y ，()22,B x y ，则1265x x +=-，12275x x =-．所以AB =题型七 双曲线综合应用20．如图是等轴双曲线形拱桥，现拱顶离水面5m ，水面宽30m AB =.若水面下降5m ，则水面宽是（ ）(结果精确到0.1m )(1.41≈2.24≈2.65≈)A ．43.8mB ．44.8mC ．52.3mD ．53.0m 【答案】B【解析】如图：建系，因为拱桥是等轴双曲线，则设双曲线方程()222210y x a a a-=>，()0.C a -，又因为30AB =，5CD =，则()15,5B a --，将B 代入双曲线方程，可得()22225151a a a---=， 解得20a =，即222212020y x -=，当水面下降5m ，纵坐标10N y a =--，代入双曲线方程可得N x =244.8N MN x ∴==.故选：B21．人利用双耳可以判定声源在什么方位，听觉的这种特性叫做双耳定位效应（简称双耳效应）．根据双耳的时差，可以确定声源P 必在以双耳为左右焦点的一条双曲线上．又若声源P 所在的双曲线与它的渐近线趋近，此时声源P 对于测听者的方向偏角α，就近似地由双曲线的渐近线与虚轴所在直线的夹角来确定．一般地，甲测听者的左右两耳相距约为20cm ，声源P 的声波传及甲的左、右两耳的时间差为5310s -⨯，声速为334m/s ，则声源P 对于甲的方向偏角α的正弦值约为（ ） A ．0.004B ．0.04C ．0.005D ．0.05【答案】D【解析】设两耳所在双曲线的实轴长为2a ，焦距为2c ，虚轴长为2b ，则()523103340.01002a m -=⨯⨯=，()20.2c m =，由题意πtan 2baα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以cos sin b a αα=，所以20.01002sin 0.05010.0520.2a a c c α=====≈． 故选：D ．22．如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐⋅金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线2222:x y C a b -=1(a >0，b >0)的右支与y 轴及平行于x 轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN绕y，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，则杯身最细之处的周长为（ ）A ．B ．3πC ．D ．4π 【答案】C，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，可设2),)M m N m 代入双曲线方程可得22222225134331,1m m a b a b -=-= ， 即22222213251312,14m m a b a b -=-=， 作差可得2273124a =，解得23,a a ==，所以杯身最细处的周长为 . 故选：C23．椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线都有焦点，焦点是光线的聚集点．如图1，从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图2，一个光学装置由有公共焦点12,F F 的椭圆C 与双曲线C '构成，一条光线从1F 发出，依次经过C '与C 的反射，又回到1F ，历时m 秒；若将装置中的C '去掉，则该光线从1F 发出，经过C 两次反射后又回到1F ，历时n 秒，若C 与C '的离心率之比为12，则mn=_____________．【答案】14【解析】设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为2a , 在图2左边图形中,由椭圆定义可得：1212BF BF a +=①， 由双曲线定义可得：2122AF AF a -=②，由①②可得：111222AF AB BF a a ++=- ∴△1ABF 的周长为1222a a -.在图2右图中,光线从椭圆的一个焦点发出，被椭反射后经过椭圆的另一个焦点，即直线ED 经过F 2,则△EDF 1的周长为14a ,又椭圆与双曲线焦点相同,离心率之比为12， 所以122a a =，又两次所用时间分别为m,n ,而光线速度相同， 所以12221222421484a a a a mn a a --===. 故答案为：14。