高考数学 考前三个月 练透高考必会题型 专题7 第31练 双曲线的渐近线和离心率 文 新人教版

34 双曲线的渐近线和离心率1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)以及双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1的渐近线将第一象限三等分，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为________． 答案 2或233解析 由题意，可知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线的倾斜角为30°或60°，则b a ＝33或 3. 则e ＝c a ＝c 2a 2＝ a 2＋b 2a 2＝ 1＋(b a )2＝233或2. 2．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ，若F 2H 的中点M 在双曲线C 上，则双曲线C 的离心率为________． 答案 2解析 取双曲线的渐近线y ＝ba x ，则过F 2与渐近线垂直的直线方程为y ＝－a b(x －c )，可解得点H 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，ab c ，则F 2H 的中点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋c 22c，ab 2c ，代入双曲线方程x 2a 2－y 2b 2＝1可得(a 2＋c 2)24a 2c 2－a 2b 24c 2b 2＝1，整理得c 2＝2a 2，即可得e ＝c a ＝ 2. 3．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为________．答案 x 25－y 24＝1 解析 ∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b ax ， 圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，∴圆心为C (3,0)．又渐近线方程与圆C 相切，即直线bx －ay ＝0与圆C 相切， ∴3b a 2＋b 2＝2，∴5b 2＝4a 2.① 又∵x 2a 2－y 2b2＝1的右焦点F 2(a 2＋b 2，0)为圆心C (3,0)， ∴a 2＋b 2＝9.②由①②得a 2＝5，b 2＝4.∴双曲线的标准方程为x 25－y 24＝1. 4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若双曲线上存在点P 使a sin ∠PF 1F 2＝c sin ∠PF 2F 1，则该双曲线的离心率的取值范围是________． 答案 (1，2＋1)解析 根据正弦定理得PF 2sin ∠PF 1F 2＝PF 1sin ∠PF 2F 1， 由a sin ∠PF 1F 2＝csin ∠PF 2F 1， 可得a PF 2＝c PF 1，即PF 1PF 2＝c a＝e ， 所以PF 1＝ePF 2.因为e >1，所以PF 1>PF 2，点P 在双曲线的右支上．又PF 1－PF 2＝ePF 2－PF 2＝PF 2(e －1)＝2a ，解得PF 2＝2a e －1. 因为PF 2>c －a (不等式两边不能取等号，否则题中的分式中的分母为0，无意义)，所以2a e －1>c －a ，即2e －1>e －1， 即(e －1)2<2，解得e <2＋1.又e >1，所以e ∈(1，2＋1)．5．(2014·湖北)已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为________． 答案 433 解析 设PF 1＝r 1，PF 2＝r 2(r 1>r 2)，F 1F 2＝2c ，椭圆长半轴长为a 1，双曲线实半轴长为a 2，椭圆、双曲线的离心率分别为e 1，e 2，由(2c )2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos π3， 得4c 2＝r 21＋r 22－r 1r 2.由⎩⎪⎨⎪⎧ r 1＋r 2＝2a 1，r 1－r 2＝2a 2，得⎩⎪⎨⎪⎧r 1＝a 1＋a 2，r 2＝a 1－a 2， 所以1e 1＋1e 2＝a 1＋a 2c ＝r 1c . 令m ＝r 21c 2＝4r 21r 21＋r 22－r 1r 2＝41＋(r 2r 1)2－r 2r 1＝4(r 2r 1－12)2＋34， 当r 2r 1＝12时，m max ＝163， 所以(r 1c )max ＝433， 即1e 1＋1e 2的最大值为433. 6．(2014·山东改编)已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为________． 答案 x ±2y ＝0 解析 由题意知e 1＝c 1a ，e 2＝c 2a， ∴e 1·e 2＝c 1a ·c 2a ＝c 1c 2a 2＝32. 又∵a 2＝b 2＋c 21，c 22＝a 2＋b 2，∴c 21＝a 2－b 2，∴c 21c 22a 4＝a 4－b 4a 4＝1－(b a)4， 即1－(b a )4＝34， 解得b a ＝±22，∴b a ＝22. 令x 2a 2－y 2b2＝0，解得bx ±ay ＝0， ∴x ±2y ＝0.7．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率分别为e 1，e 2，则e 1e 2的取值范围为________．答案 (0,1)解析 可知e 21＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a2， e 22＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2， 所以e 21＋e 22＝2>2e 1e 1⇒0<e 1e 2<1. 8．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的左焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 24的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线的右支于点P ，若E 为PF 的中点，则双曲线的离心率为________． 答案 102解析 设双曲线的右焦点为F ′，由于E 为PF 的中点，坐标原点O 为FF ′的中点，所以EO ∥PF ′，又EO ⊥PF ，所以PF ′⊥PF ，且PF ′＝2×a 2＝a ，故PF ＝3a ，根据勾股定理得FF ′＝10a .所以双曲线的离心率为10a 2a ＝102. 9．(2014·浙江)设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m,0)满足PA ＝PB ，则该双曲线的离心率是________．答案 52解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b ax . 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝b ax ，x －3y ＋m ＝0，得A (am 3b －a ，bm 3b －a )， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－b a x ，x －3y ＋m ＝0，得B (－am a ＋3b ，bm a ＋3b )， 所以AB 的中点C 坐标为(a 2m 9b 2－a 2，3b 2m 9b 2－a 2)． 设直线l ：x －3y ＋m ＝0(m ≠0)， 因为PA ＝PB ，所以PC ⊥l ， 所以k PC ＝－3，化简得a 2＝4b 2. 在双曲线中，c 2＝a 2＋b 2＝5b 2，所以e ＝c a ＝52. 10．(2013·湖南)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若PF 1＋PF 2＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则双曲线C 的离心率为________． 答案 3解析 不妨设PF 1>PF 2，则PF 1－PF 2＝2a ，又∵PF 1＋PF 2＝6a ，∴PF 1＝4a ，PF 2＝2a .又在△PF 1F 2中，∠PF 1F 2＝30°，由正弦定理得，∠PF 2F 1＝90°，∴F 1F 2＝23a ，∴双曲线C 的离心率e ＝23a 2a＝ 3. 11．P (x 0，y 0)(x 0≠±a )是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上一点，M ，N 分别是双曲线E 的左，右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为15. (1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC →＝λOA →＋OB →，求λ的值．解 (1)点P (x 0，y 0)(x 0≠±a )在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上， 有x 20a 2－y 20b2＝1. 由题意有y 0x 0－a ·y 0x 0＋a ＝15， 可得a 2＝5b 2，c 2＝a 2＋b 2＝6b 2，则e ＝c a ＝305. (2)联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－5y 2＝5b 2，y ＝x －c ，得4x 2－10cx ＋35b 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝5c 2，x 1x 2＝35b 24.① 设OC →＝(x 3，y 3)，OC →＝λOA →＋OB →， 即⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝λx 1＋x 2，y 3＝λy 1＋y 2. 又C 为双曲线上一点，即x 23－5y 23＝5b 2， 有(λx 1＋x 2)2－5(λy 1＋y 2)2＝5b 2. 化简得λ2(x 21－5y 21)＋(x 22－5y 22)＋2λ(x 1x 2－5y 1y 2)＝5b 2.又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，所以x 21－5y 21＝5b 2，x 22－5y 22＝5b 2.由(1)可知c 2＝6b 2，由①式又有x 1x 2－5y 1y 2＝x 1x 2－5(x 1－c )(x 2－c )＝－4x 1x 2＋5c (x 1＋x 2)－5c 2＝10b 2. 得λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或λ＝－4.12．(2014·江西)如图，已知双曲线C ：x 2a2－y 2＝1(a >0)的右焦点为F .点A ，B 分别在C 的两条渐近线上，AF ⊥x 轴，AB ⊥OB ，BF ∥OA (O 为坐标原点)．(1)求双曲线C 的方程；(2)过C 上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)的直线l ：x 0x a 2－y 0y ＝1与直线AF 相交于点M ，与直线x ＝32相交于点N .证明：当点P 在C 上移动时，MF NF 恒为定值，并求此定值． 解 (1)设F (c,0)，直线OB 方程为y ＝－1ax ， 直线BF 的方程为y ＝1a (x －c )，解得B (c 2，－c 2a)． 又直线OA 的方程为y ＝1ax ， 则A (c ，c a )，k AB ＝c a －(－c 2a )c －c 2＝3a . 又因为AB ⊥OB ，所以3a ·(－1a )＝－1， 解得a 2＝3，故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1. (2)由(1)知a ＝3，则直线l 的方程为x 0x 3－y 0y ＝1(y 0≠0)，即y ＝x 0x －33y 0. 因为c ＝a 2＋b 2＝2，所以直线AF 的方程为x ＝2，所以直线l 与AF 的交点为M (2，2x 0－33y 0)； 直线l 与直线x ＝32的交点为N (32，32x 0－33y 0)． 则MF 2NF 2＝(2x 0－3)2(3y 0)214＋(32x 0－3)2(3y 0)2＝(2x 0－3)29y 204＋94(x 0－2)2＝43·(2x 0－3)23y 20＋3(x 0－2)2.因为P (x 0，y 0)是C 上一点，则x 203－y 20＝1，代入上式得MF 2NF 2＝43·(2x 0－3)2x 20－3＋3(x 0－2)2＝43·(2x 0－3)24x 20－12x 0＋9＝43，即MF NF ＝23＝233为定值．。

双曲线渐近线方程百科名片双曲线渐近线方程双曲线渐近线方程，是一种几何图形的算法，这种主要解决实际中建筑物在建筑的时候的一些数据的处理。

双曲线的主要特点：无限接近，但不可以相交。

分为铅直渐近线、水平渐近线和斜渐近线。

是一种根据实际的生活需求研究出的一种算法。

渐近线特点：无限接近，但不可以相交。

分为铅直渐近线、水平渐近线和斜渐近线。

当曲线上一点M沿曲线无限远离原点时，如果M到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。

需要注意的是：并不是所有的曲线都有渐近线，渐近线反映了某些曲线在无线延伸时的变化情况。

根据渐近线的位置，可将渐近线分为三类：水平渐近线、垂直渐近线、斜渐近线。

y=k/x(k≠0)是反比例函数，其图象关于原点对称，x=0，y=0为其渐近线方程当焦点在x轴上时双曲线渐近线的方程是y=[+(-)b/a]x当焦点在y轴上时双曲线渐近线的方程是y=[+(-)a/b]x双曲线的简单几何性质1.双曲线x^2/a^2-y^2/b^2 ＝1的简单几何性质(1)范围：｜x｜≥a,y∈R.(2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x轴、y轴及原点中心对称.(3)顶点：两个顶点A1(-a,0),A2(a,0)，两顶点间的线段为实轴，长为2a，虚轴长为2b，且c2＝a2+b2.与椭圆不同.(4)渐近线：双曲线特有的性质，方程y＝±b/ax，或令双曲线标准方程x^2/a^2-y^2/b^2 ＝1中的1为零即得渐近线方程.(5)离心率e≥1，随着e的增大，双曲线张口逐渐变得开阔.(6)等轴双曲线(等边双曲线)：x2-y2＝a2(a≠0),它的渐近线方程为y＝±b/ax,离心率e＝c/a=√2 (7)共轭双曲线：方程- ＝1与- ＝-1表示的双曲线共轭，有共同的渐近线和相等的焦距，但需注重方程的表达形式.注重：1.与双曲线- ＝1共渐近线的双曲线系方程可表示为- ＝λ(λ≠0且λ为待定常数)2.与椭圆＝1(a＞b＞0)共焦点的曲线系方程可表示为- ＝1(λ＜a2,其中b2-λ＞0时为椭圆，b2＜λ＜a2时为双曲线)2.双曲线的第二定义平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l:x＝+(-)a2/c 的距离之比等于常数e＝c/a (c＞a＞0)的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，焦准距(焦参数)p＝，与椭圆相同.3.焦半径( - ＝1,F1(-c,0)、F2(c,0))，点p(x0,y0)在双曲线- ＝1的右支上时，｜pF1｜＝ex0 a,｜pF2｜＝ex0-a;P在左支上时，则｜PF1｜=ex1+a ｜PF2｜＝ex1-a.本节学习要求：学习双曲线的几何性质，可以用类比思想，即象讨论椭圆的几何性质一样去研究双曲线的标准方程，从而得出双曲线的几何性质，将双曲线的两种标准方程、图形、几何性质列表对比，便于把握.双曲线的几何性质与代数中的方程、平面几何的知识联系密切；直线与双曲线的交点问题、弦长间问题都离不开一元二次方程的判别式，韦达定理等；渐近线的夹角问题与直线的夹角公式.三角函数中的相关知识，是高考的主要内容.通过本节内容的学习，培养同学们良好的个性品质和科学态度，培养同学们的良好的学习习惯和创新精神，进行辩证唯物主义世界观教育.双曲线的渐近线教案教学目的(1)正确理解双曲线的渐近线的定义，能利用双曲线的渐近线来画双曲线的图形．(2)掌握由双曲线求其渐近线和由渐近线求双曲线的方法，并能作初步的应用，从而提高分析问题和解决问题的能力．教学过程一、揭示课题师：给出双曲线的方程，我们能把双曲线画出来吗？生(众)：能画出来．师：能画得比较精确点吗？(学生默然．)其附近的点，比较精确地画出来．但双曲线向何处伸展就不很清楚了．在画其他曲线时，也有同样的问题．如曲线我们可以比较精确地画出整个曲线．因为我们知道，当曲线伸向远处时，它逐渐地越的趋向，我们是清楚的，它逐渐地在x轴负方向上越来越接近x轴，即x轴为y＝2x的一条渐近线，但它的另一端则不然，它伸向何处是不够清楚的．所以双曲线和其他曲线一样，当它向远处伸展时，它的趋向如何，是需要研究的问题．今天这堂课，我们就来讨论一下“双曲线向何处去”这样一个问题．(板书课题：双曲线的渐近线．)二、讲述定义师：前一课我们讨论了双曲线的范围、对称性和顶点，我们回忆一下，双曲线的范围x≤－a，x≥a是怎样得出来的？直线x＝－a和x＝a的外侧．我们能不能把双曲线的范围再缩小一点？我们先看看双曲线在第一象限的情况．设M(x，y)是双曲线上在第一象限内的点，则考察一下y变化的范围：因为x2－a2＜x2，所以这个不等式意味着什么？(稍停，学生思考．)平面区域．之间(含x轴部分)．这样，我们就进一步缩小了双曲线所在区域的范围．为此，我们考虑下列问题：经过A2、A1作y轴的平行线x＝±a，经过B2、B1作x轴的平行线y＝±b，以看出，双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近．下面，我们来证明这个事实．双曲线在第一象限内的方程可写成设M(x，y)是它上面的点，N(x，Y)是直线上与M有相同横坐标的点，则设|MQ|是点M到直线的距离，则|MQ|＜|MN|．当x逐渐增大时，|MN|逐渐减小，x无限增大，|MN|接近于零，|MQ|也接近于零，就是说，双曲线在第一象限的部分从射线ON的下方逐渐接近于射线ON．在其他象限内也可以证明类似的情况．我们把两条直线叫做双曲线的渐近线．现在来看看实轴在y轴上的双曲线的渐近线方程是怎样的？由于实轴在y轴上的双曲线方程是由实轴在x轴上的双曲线方程，将x、y字母对调所得到，自然，前者这样，我们就完满地解决了画双曲线远处趋向的问题，从而可比较精确地画出双手画出比较精确的双曲线．[提出问题，解决问题，善始善终．]三、初步练习(根据由双曲线求出它的渐近线方程与由渐近线求出相应的双曲线方程这两要求，出四个小题让学生练习．)1．求下列双曲线的渐近线方程(写成直线方程的一般式)，并画出双曲线：(1) 4x2－y2＝4；(2) 4x2－y2＝－4．2．已知双曲线的渐近线方程为x±2y＝0，且双曲线过点：求双曲线方程并画出双曲线．(练习毕，由学生回答，教师总结．)解题的主要步骤：第1题：(1)把双曲线方程化为标准方程；(2)求得a、b；(3)根据定义写出渐近线方程．第2题：(1)判断何种双曲线，设出相应的标准方程；(2)写出渐近线方程，从而得到关于a、b的一个关系式；(3)将点M代入标准方程，得到关于a、b的另一个关系式；(4)解a、b的方程组，求得a、b，写出双曲线方程．师：这是两个关于双曲线渐近线的最基本的练习．一个是由双曲线求渐近线，比较简单；一个是由渐近线求双曲线，却比较复杂．这是因为，一个是正向思考和运算，另一个是逆向思考和运算，有一定的难度．同时，因为一条双曲线有两条确定的渐近线，而两条渐近线对应有许多双曲线，因此，求双曲线方程还必须具有另一个条件，两个条件的综合显然比较困难．我们要特别注意对逆向问题的分析，提高解决逆向问题的能力．[问题虽然简单，但确是基础，不仅掌握基本知识，同时有利于正、逆两方面思考问题的训练．]四、建立法则师：仔细分析一下上述练习的结果：双曲线方程：4x2－y2＝4；渐近线方程：2x±y＝0．双曲线方程：4x2－y2＝－4；渐近线方程：2x±y＝0．双曲线方程：x2－4y2＝4；渐近线方程：x±2y＝0．双曲线方程：x2－4y2＝－4；渐近线方程：x±2y＝0．可以发现，双曲线与其渐近线的方程之间似乎存在某种规律．(启发学生讨论、归纳．)生甲：每项开平方，中间用正负号连结起来，常数项改为零，就得到渐近线方程．生乙：以各项系数绝对值的算术平方根为x、y的系数，且用正负号连结起来等于零，就是渐近线方程．生丙：如果两个双曲线方程的二次项相同，那么渐近线方程就相同，与常数项无关．生丁：反过来，渐近线的方程相同，双曲线方程的二次项就相同，常数可以不同．生戊：应该说二次项系数成比例．师：大家揭示了其中的规律．但是，大家的回答，还不够严格，也不够简洁，是否可以归纳出一种方法，把双曲线方程处理一下，就得到渐近线方程？把双曲线方程中常数项改成零，会怎样呢？点适合这个方程，适合这个方程的点在渐近线上．就是两渐近线的方程．实际上，两条渐近线也可看作二次曲线，是特殊的双曲线．同样，b2x2－a2y2＝0，即bx±ay＝0；b2y2－a2x2＝0，即by±ax＝0．所以把双曲线方程的常数项改为零，就得到其渐近线方程．这具有一般性吗？也就是说对任意双曲线A2x2－B2y2＝C(C≠0)它的渐近线方程是不是A2x2－B2y2＝0？回答是肯定的．分情况证明一下：C＞0，A2x2－B2y2＝C，故渐近线方程为也可以化成Ax±By＝0，即A2x2－B2y2＝0．其他情况，同学们可以自己去证明．反之，渐近线方程为Ax±By＝0的双曲线方程是什么？可以证明是：A2x2－B2y2＝C(C≠0)．C＞0，实轴在x轴上；C＜0，实轴在y轴上．因此，我们得到下列法则：(1)双曲线A2x2－B2y2＝C(C≠0)的渐近线方程是A2x2－B2y2＝0；(2)渐近线方程是Ax±By＝0的双曲线方程是A2x2－B2y2＝C(C≠0的待定常数)．现在谁能把上面的练习第2题再解答一下？生：因为渐近线方程是x±2y＝0，所以双曲线方程为x2－4y2＝C．∴双曲线方程为x2－4y2＝4．∴双曲线方程为x2－4y2＝－4．[建立解题法则，既使解题比较方便，又使学生得到解题能力的培养．]五、巩固应用师：前面我们讲述了双曲线渐近线的定义和法则，下面大家使用定义或者法则再做两个练习．2．证明：双曲线上任一点到两渐近线的距离之积是个常数．(练习毕，由学生回答，教师总结解题步骤．)师：解练习1的方法有两种．一是直接运用定义．由双曲线求渐近线：由渐近线求双曲线：二是直接运用法则．练习2的解法如下：六、布置作业课本练习；略．教案说明(1)本课教材内容不难接受，但教学中如何引出渐近线以致不感到突然，我采取了进一步缩小双曲线所在范围的方法，引出了渐近线．至于课题的引出，也是顺应认识的需要，为了对双曲线作深入的研究．我认为这些做法都是比较自然的．(2)本课的基础内容，一是定义和法则，二是双曲线与其渐近线的互求的方法．本教案既注意狠抓基础，也注意综合提高．(3)本教案建立了一个法则，作为定义的补充，也是为了解题的方便，建立法则的过程，也是学生提高观察能力、归纳总结能力的一种训练．。

双曲线渐近线有关问题-教师版一.综述在双曲线的几何性质中,渐近线是双曲线所特有的性质,因此学好双曲线的渐近线对学习双曲线的几何性质有很大的帮助.过双曲线实轴的两个端点与虚轴的两个端点分别作对称轴的平行线，它们围成一个矩形，其两条对角线所在直线即为双曲线的渐近线.画双曲线时,应先画出它的渐近线.理解“渐进”两字的含义,当双曲线的各支向外延伸时,与这两条直线逐渐接近,接近的程度是无限的.掌握根据双曲线的标准方程求出它的渐近线方程的方法.最简单且实用的方法是：把双曲线标准方程中等号右边的1改成0，就得到了此双曲线的渐近线方程.即:(1)已知双曲线方程求渐近线:(2)已知渐近线设双曲线标准方程在考题中,常结合双曲线方程和离心率进行考查,只要抓住渐近线斜率与离心率可以通过的关系进行相互转化即可.几何性质中我们除了要掌握对称性,还需要熟记焦点到渐近线的距离为. 二.例题精讲 破解规律例1. 已知双曲线（）的一条渐近线被圆截得的弦长为2，则该双曲线的离心率为( )A .B .C .D . 分析:双曲线渐近线为过原点的两条相交直线,且斜率分别为.由已知条件根据直线与圆的位置关系可以求出其中一条渐近线的斜率然后再利用求出离心率. 解析: 由题意得圆方程即为，故圆心为（3,0），半径为2.双曲线的一条渐22221x y a b -=22220x y b y x a b a-=⇒=±y mx =222m x y λ-=222a b c +=b 22221x y a b-=0,0a b >>22650x y x +-+=222ba±222a b c +=22(3)4x y -+=近线为，即，故圆心到渐近线的距离为。

∵渐近线被圆截得的弦长为2,∴，整理得. ∴选D. 答案：D .点评: 双曲线几何性质是高考考查的热点，其中离心率是双曲线的重要性质，求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a 、b 、c 的方程或不等式，利用和转化为关于e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．规律总结:相关渐近线斜率k 与离心率e 的问题,由,可以得到进行相互转化.现学现用1: 已知焦点在x 轴上双曲线的离心率为2，则双曲线的渐近线方程为（ ）A .B .C .D .解析: ∵双曲线的离心率为2∴，即∵∴，即∴双曲线的渐近线方程为故选D例2. 已知双曲线的右焦点为F ,过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线,垂足为M ,交另一条渐近线与N ,若,则双曲线的渐近线方程为.分析:题目中给出的向量表达式,从代数的角度讲就是给出向量坐标的比例关by x a=0bx ay -=d ==22212⎛⎫+=2212b a =c e a ====222a b c +=e=ca222a b c +=2221k e +=C 3y x =±y =2y x =±y =2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>2c a=224c a =222c a b =+223b a =ba=2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>y =2222:1x y C a b-=73FM FN =73FM FN =系,通过这个比例关系,列方程找出a 、b 、c 的关系式,从而求出渐近线方程.从几何的角度讲,就是给出点M 分线段NF 的比例,再利用渐近线的对称性结合三角函数知识进而解决问题. 解析: (解法一)如下图所示:由对称性,令,渐近线的斜率为.易知, 故, 所以①; 由已知得:; 在和中,易得② 由①②得: 解得;所以渐近线方程为: (解法二) 由题意得双曲线的右焦点F (c ,0)，设一渐近线OM 的方程为，则另一渐近线ON 的方程为．设，∵，∴， ∴，解得．∴点M 的坐标为， 又，∴，整理得， ∴双曲线的渐近线方程为2,MOF NOF MON αβ∠=∠=∠=1l tan k α=2αβπ+=()222tan 2tan tan 2tan 21tan 1kkαβπααα=-=-=-=---222tan 21tan 1kk k k βα--==--73FM FN =43MN MF=MOF Rt MON Rt tan 4tan 3MN OM MN MF MF OM βα⎛⎫⎪⎝⎭===⎛⎫ ⎪⎝⎭22413k -=-102k =±102y x =±by x a=b y x a =-,,,bm bn M m N n a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭73FM FN =7,3,bm bn m c n c a a ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()73 73m c n c bm bn a a -⎧=-=-⎪⎨⎪⎩27 23c m c n ⎧⎪⎪⎨==-⎪⎪⎩22,77c bc a ⎛⎫ ⎪⎝⎭OM FM ⊥27127OM FMbc b a k k c a c⋅=⨯=--2252b a =102b y x x a =±=±答案:. 点评: 本题主要考查双曲线及渐近线,解法一利用对称性与三角函数列方程找出a 、b 、c 的关系式,从而解出k .解法二代数法列方程求出坐标,再利用垂直关系,解出k规律总结:关于直线与双曲线渐近线交点问题,可以利用渐近线的对称性结合三角方法来处理.现学现用2: 点在双曲线的右支上，其左、右焦点分别为、，直线与以坐标原点为圆心、为半径的圆相切于点，线段的垂直平分线恰好过点，则该双曲线的渐近线的斜率为__________． 答案: 解析:如图,是切点,是的中点,因为,所以,又,所以,,又,根据双曲线的定义,有,即，两边平方并化简得，所以， 因此.例3: 已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0),过其左焦点F 作斜率为12的直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为A 、B ，若FA⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线的两条渐近线方程为 A . y =±13x B . y =±(√2−1)x C . y =±x D . y =±14x分析:y =P 22221(0,0)x y a b a b -=>>1F 2F 1PF O a A 1PF 2F 43±A B 1PF OA a =22BF a =122F F c =12BF b =24PF b =2122PF F F c ==122PF PF a -=422b c a -=223250c ac a --=53c a=43b a ==答案:C解析:由题意设直线AB 的直线的方程为y =12(x +c).与两条渐近线联立.{y =12x +12c y =−b a x ，得A(ac −2b−a ,bc 2b+a );{y =12x +12c y =b a x，得B(ac 2b−a ,bc 2b−a) 若FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则13⋅bc 2b−a=bc2b+a，解得a =b ，故双曲线的两条渐近线方程为y =±x故选C .点评:本题给出直线的斜率,较适宜列方程解出坐标.再利用FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 转化为坐标的比例关系.规律总结: 关于直线与双曲线渐近线交点问题,可以利用解析法求出交点坐标,利用坐标的关系解答问题.现学现用3: 已知双曲线的中心为原点， 是的焦点，过的直线与相交于，两点，且的中点为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A .B .C .D . 解析:设双曲线的标准方程为，由题意知c =3,a 2+b 2=9，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则有: ,两式作差得： ，又AB 的斜率是，所以将4b 2=5a 2代入a 2+b 2=9得：a 2=4,b 2=5.则双曲线的渐近线方程为. 本题选择A 选项.C ()3,0F C F l C A B AB ()12,15N --y x =±y x =y =y x =()222210,0x y a b a b-=>>2211222222221 1x y a b x y a b ⎧⎪⎪⎨-=-=⎪⎪⎩22212122221212124155y y x x b b b x x a y y a a-+-=⨯=⨯=-+-1501123--=--y x =三.课堂练习 强化技巧1. 已知以原点为中心，实轴在轴上的双曲线的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为6，则此双曲线的标准方程为（ ）A .B .C .D .答案:C解析:∵双曲线的一条渐近线方程是，∴∴c =10.∵c 2=a 2+b 2∴a 2=64 b 2=36∴双曲线方程为=1故答案为.2.已知双曲线， 为双曲线的左右顶点，若点在双曲线上，且满足为一个顶角为的等腰三角形，则双曲线的渐近线方程是（ ）A .B .C .D . 答案:A解析:由题意，设，则，则，即双曲线的方程为，其渐近线方程为；故选A .x 34y x =221169x y -=221916x y -=2216436x y -=2213664x y -=34y x =34b a =610c =⇒=226436x y-C 22221(00)x y a b a b-=>>，,A B M ABM ∆120︒=y x ±=y =2y x ±=y x ±()()(),0,,0,,A a B a M x y -tan30tan60AM BM y k x ay k x a ==︒+=⎧⎪︒-⎨=⎪⎪⎪⎩2221y x a =-222x y a -=y x =±3. 已知双曲线的右焦点为F ,过点F向双曲线的一条渐近线引垂线,垂足为M ,交另一条渐近线于N ,若,则双曲线的渐近线方程为 .解析:如下图所示:令,渐近线的斜率为.由对称性知,故,所以①;由已知得:; 在和中,易得②由①②得: 解得;所以渐近线方程为:四.课后作业 巩固内化 1.已知双曲线过点，渐近线方程为，则双曲线的标准方程是（ ）A .B .C .D . 答案:B2222:1x y C a b-=2MF FN =,MOF MON αβ∠=∠=1l tan k α=2βα=222tan 2tan tan 21tan 1kk αβαα===--222tan 21tan 1kk k k βα-==-2MF FN =31MN MF =MOF Rt MON Rt tan 3tan 1MN OM MN MF MF OM βα⎛⎫⎪⎝⎭===⎛⎫ ⎪⎝⎭2231k =-33k =±33y x =±()1,22y x =±2212x y -=2212y x -=2213y x -=2213x y -=解析:设双曲线的标准方程 ,选B2. 已知双曲线E:x 2a 2−y 2b 2=1，其一渐近线被圆C:(x −1)2+(y −3)2=9所截得的弦长等于4，则E 的离心率为( )A .√52 B . √5 C . √52或√3 D . √52或√5 答案:D解析:E 的渐近线为y =±ba x ∴bx ∓ax =0∵ 渐近线被C 截得的弦长为4∴d 2+(42)2=32∴d =√5∴√22=√5∴a =2b 或a =12b ∴e =√5或e =√52。

高考数学复习典型题型专题讲解与练习 专题74 双曲线的简单几何性质题型一 根据双曲线研究几何性质1．双曲线22221124x y m m -=+-的焦距是（ ）A ．4B ．．8 D ．【答案】C【解析】解：由题意可得，2222212416c a b m m =+=++-=， ∴4,28c c ==， 故选：C ．2．已知圆221x y +=与双曲线()222104x y b b-=>的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，若四边形ABCD 的面积为b ，则b =______. 【答案】2.【解析】因为双曲线()222104x y b b-=>的渐近线方程为2b y x =±，圆221x y +=与双曲线()222104x y b b-=>的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，不妨设点()00,B x y 位于第一象限，则002b y x =根据圆与双曲线的对称性可得，四边形ABCD 为矩形，且02AB x =，002BC y bx ==， 又四边形ABCD 的面积为b ，所以202AB BC bx b ⋅==，解得0x =B ⎝⎭，又点24B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在圆221x y +=上，则2121216b +=，解得2b =.故答案为：2.3．求双曲线22494x y -=-的顶点坐标､焦点坐标､实轴长､虚轴长､离心率和渐近线方程. 【答案】答案见解析【解析】双曲线方程可化为：22149y x -=，则双曲线焦点在y 轴上，249a =，21b =，2413199c ∴=+=； 23a ∴=，1b =，c ∴顶点坐标为20,3⎛⎫± ⎪⎝⎭；焦点坐标为0,⎛ ⎝⎭；实轴长为423a =；虚轴长为22b =；离心率c e a ==23y x a b x =±=±.题型二 利用双曲线的几何性质求标准方程4．焦点在x轴，一条渐近线的方程为y =，虚轴长为（ ）A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．2214816x y -=D ．2211648x y -=【答案】A【解析】解：根据题意，要求双曲线的虚轴长为2b =b =又由要求双曲线的焦点在x 轴，其渐近线方程为b y x a=±，若双曲线的一条渐近线的方程为y =，即ba=2a =，故要求双曲线的标准方程为221412x y -=，故选：A ． 5．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1(5,0)F -，2(5,0)F ，则能使双曲线C的方程为221169x y -=的是（ ）A ．离心率为54B ．双曲线过点95,4⎛⎫⎪⎝⎭C ．渐近线方程为340±=x yD ．实轴长为4 【答案】ABC 【解析】因为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1(5,0)F -，2(5,0)F ，所以焦点在x 轴上，且c =5；A 选项，若离心率为54，则a =4，所以b =3，此时双曲线的方程为：221169x y -=，故A 正确；B 选项，若双曲线过点95,4⎛⎫⎪⎝⎭P ，则124192844=-=-=a PF PF ，解得4a =，又5c =，解得：b =3；此时双曲线的方程为：221169x y -=，故B 正确；C 选项，若双曲线的渐近线方程为340±=x y ，则34b a ，又 22225c a b =+=解得4,3a b ==，所以此时双曲线的方程为：221169x y -=，故C 正确；D 选项，若24a =，则2a =，所以22221b c a =-=故D 错误； 故选：ABC.6．以椭圆22169x y +＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程为（ ）A ．228016x y -＝1B ．22459y x -＝1C ．221648x y -＝1D ．22927y x -=1【答案】CD【解析】由椭圆方程知椭圆顶点为：()4,0±，()0,3±；若双曲线以()4,0±为顶点，则4a =，又2cea==，8c ∴=，b ∴== ∴双曲线方程为2211648x y -=；若双曲线以()0,3±为顶点，则3a =，又2ce a==，6c ∴=，b ∴=∴双曲线方程为221927y x -=；综上所述：所求的双曲线方程为：2211648x y -=或221927y x -=.故选：CD.7．双曲线的渐近线方程是2y x =±，虚轴长为4，求双曲线的标准方程．【答案】2214y x -=或221164y x -=【解析】若双曲线焦点在x轴，设方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，则渐近线方程为b y x a=±，所以224ba b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩，所以双曲线标准方程为：2214y x -=；若双曲线焦点在y 轴，设方程22221(0,0)y x a b a b-=>>，则渐近线方程为a y x b =±，所以224ab b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得42a b =⎧⎨=⎩，所以双曲线标准方程为：221164y x -=；所以双曲线标准方程为2214y x -=或221164y x -=题型三 求双曲线离心率的值或取值范围8．直线2y b =与双曲线22221x y a b-=(0a >，0b >)的左支、右支分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且AOB 为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为（ ） AB ．32C【答案】B【解析】解：联立222212x y a b y b⎧-=⎪⎨⎪=⎩，解得222241x b a b -=⇒225x a =⇒225x a =，即(2)A b ，，2)B b ，，又AOB ∆是等腰直角三角形，即OA OB ⊥，等价于0OA OB ⋅=，代入坐标得2222222293545449442a b a c a a c e e =⇔=-⇔=⇔=⇔=.故选：B.9．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F 2的直线在第一、第四象限交两渐近线分别于P ，Q 两点，且∠OPQ ＝90°，O 为坐标原点，若OPQ 内切圆的半径为3a，则该双曲线的离心率为（ ） ACD【答案】B【解析】解：如图，设OPQ 的内切圆圆心为M ，则M 在x 轴上，过点M 分别作MN ⊥OP 于N ，MT ⊥PQ 于T ，由F 2P ⊥OP 得，四边形MTPN 为正方形，∴焦点F 2（c ，0）到渐近线b y x a =的距离|F 2P|bc bca b c a ===， 又|OF 2|＝c ，∴22222222||||,OP OF F P c b a OP a =-=-==，∵1||||3NP MN a ==，∴2||3a NO =，∴21||13tan 2||||23a F Pb MN NOM OP a NO a ==∠===，∴离心率c e a ===故选：B ．10．已知F 1，F 2分别是双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，过1F 作圆O：222x y a +=的一条切线，切点为P ，且交双曲线C 的右支于点Q ．若11||2F P PQ =，则双曲线C 的离心率为__．【解析】连接OP ，2QF ，由题意可知1OP F Q ⊥，OP a =，1OF c =，可得1PF b =，于是13FQ b =，232QF b a =-， 在1Rt OPF △中，1bcos PFO c∠=， 在12QF F 中，()()()122223232232b c b a bb c F c QF cos +--==⨯⨯∠，整理可得32b a=，于是双曲线的离心率为：132e ==．11．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，左、右顶点分别为A 1，A2，点P 是双曲线C 上不同于A 1，A 2的任意一点，若12PF F △与12PA A △，则双曲线C 的离心率为__．【解析】设双曲线的半焦距为c ，因为12PF F △与12PA A △，可得1212=F F A ，即2c =，所以ce a=题型四 与双曲线渐近线相关的问题 12．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>，F为C 的右焦点，过点F 的直线与C 的一条渐近线垂直，垂足为点M ，与另一条渐近线的交点为N ．若直线MN 的斜率为3，则其渐近线方程为（ ）A ．y ＝±13x B ．y ＝±3x C ．y D ．y 【答案】A【解析】由题意可知3MN k =，所以与直线MN 垂直的双曲线C 的渐近线方程为b y x a=-，所以13b a-=-，所以双曲线的渐近线方程为：13y x =±． 故选：A ．13．已知a >b >0，椭圆C 1的方程为2222x y a b+＝1，双曲线C 2的方程为2222x y a b -＝1，C 1与C 2的C 2的渐近线方程为________．【答案】x ＝0【解析】解析：椭圆C 1，双曲线C 2a 4＝4b 4，所以a ，所以双曲线C2的渐近线方程是y ，即x ＝0．故答案为：x ＝014．若双曲线22x a －22y b＝1(a >0，b >0)的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝1相切，求双曲线的离心率．【解析】双曲线的渐近线的方程为0bx ay ±=， 渐近线与圆22(2)1x y -+=相切，∴1，a ∴=，2c b ∴=，c e a ∴===题型五 点与双曲线的位置关系15．点(),P x y ，定义()2222a b F x y P -=，如图为双曲线22221x y a b-=及渐近线，则关于点A 、B 、C ，下列结论正确的是（ ）A ．()()()F A FB FC >>B ．()()()F B F C F A >> C ．()()()F A F C F B >>D ．()()()F C F B F A >>【答案】D【解析】设点()11,A x y 、()22,B x y 、()33,C x y ，则双曲线的两条渐近线方程为b y x a=±， 点A 在直线b y x a=的上方，则11b y x a>，则11x y a b <，即110x ya b -< 点A 在直线b y x a=-的上方，则11b y x a>-，则110x y a b+>， 所以，()22111111220x y x y x y F A a b a b a b ⎛⎫⎛⎫=-=-+< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，点B 在双曲线22221x y a b -=的外部，则()2222221x y F B a b=-<，B 在直线b y x a =的上方，则22by x a >，可得220x y a b -<， 点B 在直线b y x a=-的下方，则22b y x a<-，可得220x y a b+<， 所以，()22222222220x y xy x y F B a b a b a b ⎛⎫⎛⎫=-=-+> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即()01F B <<；因为点C 在双曲线22221x y a b -=的内部，则()2233221x y F C a b=->.综上所述，()()()F C F B F A >>. 故选：D.16．若实轴长为2的双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b -=>>上恰有4个不同的点(1,2,3,4)i P i =满足2i iPB PA =，其中(1,0)A -，(1,0)B ，则双曲线C 的虚轴长的取值范围为（ ）A ．)+∞B ．(C ．)+∞D ．( 【答案】C【解析】依题意可得1a =，设(),P x y ，则由2PB PA =，=2251639x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭.由222221516,39x y b x y ⎧-=⎪⎪⎨⎛⎫⎪++= ⎪⎪⎝⎭⎩，得221101203x x b ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭， 依题意可知210018109b ⎛⎫∆=-+> ⎪⎝⎭，解得2187b >， 则双曲线C的虚轴长2b >=题型六 中点弦问题17．已知双曲线2212y x -=，过点(1,1)P 的直线l 与双曲线相交于A ，B 两点，P 能否是线段AB 的中点？为什么？ 【答案】不能，证明见解析.【解析】当直线l 垂直x 轴时，因为过点(1,1)P ，所以直线l 方程为x =1，又双曲线2212y x -=，右顶点为（1,0）在直线l 上所以直线l 与双曲线只有一个交点，不满足题意；当直线l 不垂直x 轴时，斜率存在，设1122(,),(,)A x y B x y ，且12x x ≠， 因为A 、B 在双曲线上，所以221122221212y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减可得222212121()()02x x y y ---=， 所以121212121()()()()02x x x x y y y y --+-=+， 若点(1,1)P 为线段AB 的中点，则12121212x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，即121222x x y y +=⎧⎨+=⎩，代入上式，所以12121()2x x y y =--，则直线l 的斜率12122y yk x x -==-，所以直线l 的方程为12(1)y x -=-，即21y x =-，将直线l 与双曲线联立222112y x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，可得22430x x -+=，2(4)42380∆=--⨯⨯=-<，故方程无解所以不存在这样的直线l ， 综上，点P 不能是线段AB 的中点.18．已知双曲线24x －y 2＝1，求过点A (3，－1)且被点A 平分的弦MN 所在直线的方程.【答案】3x ＋4y －5＝0.【解析】解法一 由题意知直线的斜率存在，故可设直线方程为y ＋1＝k (x －3)， 即y ＝kx －3k －1，由223114y kx k x y =--⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y ，整理得(1－4k 2)x 2＋8k (3k ＋1)x －36k 2－24k －8＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， ∴1228(31)41k k x x k ++=-.∵A (3，－1)为MN 的中点， ∴1232x x +=，即28(31)32(41)k k k +=-，解得34k =-.当34k =-时，满足0∆>，符合题意，∴所求直线MN 的方程为3544y x =-+， 即3x ＋4y －5＝0.解法二 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， ∵M ，N 均在双曲线上，∴221122221414x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩两式相减，得222221214x x y y -=-， ∴212121214()y y x x x x y y -+=-+. ∵点A 平分弦MN ，∴x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝－2.∴2121212134()4MN y y x x k x x y y -+===--+.经验证，该直线MN 存在．∴所求直线MN 的方程为y ＋1＝－34(x －3)， 即3x ＋4y －5＝0.19．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>)是双曲线的一个顶点．（1）求双曲线的方程；（2）经过双曲线右焦点2F 作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A ，B ，求AB．【答案】（1）22136x y -=；（2.【解析】（1）由题可得ca a ⎧=⎪⎨⎪=⎩3c =，b 22136x y -=；（2）双曲线22136x y -=的右焦点为()23,0F所以经过双曲线右焦点2F 且倾斜角为30°的直线的方程为3)y x =-.联立221363)x y y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得256270x x +-=．设()11,A x y ，()22,B x y ，则1265x x +=-，12275x x =-．所以AB =题型七 双曲线综合应用20．如图是等轴双曲线形拱桥，现拱顶离水面5m ，水面宽30m AB =.若水面下降5m ，则水面宽是（ ）(结果精确到0.1m )(1.41≈2.24≈2.65≈)A ．43.8mB ．44.8mC ．52.3mD ．53.0m 【答案】B【解析】如图：建系，因为拱桥是等轴双曲线，则设双曲线方程()222210y x a a a-=>，()0.C a -，又因为30AB =，5CD =，则()15,5B a --，将B 代入双曲线方程，可得()22225151a a a---=， 解得20a =，即222212020y x -=，当水面下降5m ，纵坐标10N y a =--，代入双曲线方程可得N x =244.8N MN x ∴==.故选：B21．人利用双耳可以判定声源在什么方位，听觉的这种特性叫做双耳定位效应（简称双耳效应）．根据双耳的时差，可以确定声源P 必在以双耳为左右焦点的一条双曲线上．又若声源P 所在的双曲线与它的渐近线趋近，此时声源P 对于测听者的方向偏角α，就近似地由双曲线的渐近线与虚轴所在直线的夹角来确定．一般地，甲测听者的左右两耳相距约为20cm ，声源P 的声波传及甲的左、右两耳的时间差为5310s -⨯，声速为334m/s ，则声源P 对于甲的方向偏角α的正弦值约为（ ） A ．0.004B ．0.04C ．0.005D ．0.05【答案】D【解析】设两耳所在双曲线的实轴长为2a ，焦距为2c ，虚轴长为2b ，则()523103340.01002a m -=⨯⨯=，()20.2c m =，由题意πtan 2baα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以cos sin b a αα=，所以20.01002sin 0.05010.0520.2a a c c α=====≈． 故选：D ．22．如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐⋅金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线2222:x y C a b -=1(a >0，b >0)的右支与y 轴及平行于x 轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN绕y，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，则杯身最细之处的周长为（ ）A ．B ．3πC ．D ．4π 【答案】C，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，可设2),)M m N m 代入双曲线方程可得22222225134331,1m m a b a b -=-= ， 即22222213251312,14m m a b a b -=-=， 作差可得2273124a =，解得23,a a ==，所以杯身最细处的周长为 . 故选：C23．椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线都有焦点，焦点是光线的聚集点．如图1，从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图2，一个光学装置由有公共焦点12,F F 的椭圆C 与双曲线C '构成，一条光线从1F 发出，依次经过C '与C 的反射，又回到1F ，历时m 秒；若将装置中的C '去掉，则该光线从1F 发出，经过C 两次反射后又回到1F ，历时n 秒，若C 与C '的离心率之比为12，则mn=_____________．【答案】14【解析】设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为2a , 在图2左边图形中,由椭圆定义可得：1212BF BF a +=①， 由双曲线定义可得：2122AF AF a -=②，由①②可得：111222AF AB BF a a ++=- ∴△1ABF 的周长为1222a a -.在图2右图中,光线从椭圆的一个焦点发出，被椭反射后经过椭圆的另一个焦点，即直线ED 经过F 2,则△EDF 1的周长为14a ,又椭圆与双曲线焦点相同,离心率之比为12， 所以122a a =，又两次所用时间分别为m,n ,而光线速度相同， 所以12221222421484a a a a mn a a --===. 故答案为：14。

专题9.4 双曲线1．（2021·江苏高考真题）已知双曲线()222210,0x ya ba b-=>>的一条渐近线与直线230x y-+=平行，则该双曲线的离心率是（）A B C．2D2．（2021·北京高考真题）若双曲线2222:1x yCa b-=离心率为2，过点，则该双曲线的程为（）A．2221x y-=B．2213yx-=C．22531x y-=D．22126x y-=3．（2021·山东高考真题）已知1F是双曲线22221x ya b-=（0a>，0b>）的左焦点，点P在双曲线上，直线1PF与x轴垂直，且1PF a=，那么双曲线的离心率是（）A B C．2D．34．（2021·天津高考真题）已知双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p=>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若|CD AB．则双曲线的离心率为（）A B C．2D．35．（2019·北京高考真题（文））已知双曲线2221xya-=（a＞0）则a=（）A B．4 C．2 D．126．（全国高考真题（文））双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的离心率为2，焦点到渐近线的C的焦距等于（）．A.2B.C.4D.7.（2017·天津高考真题（文））已知双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的左焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，OAF△是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（）A.221412x y-= B.221124x y-= C.2213xy-= D.2213yx-=练基础8．（2021·全国高考真题（理））已知双曲线22:1(0)xC y mm-=>my+=，则C的焦距为_________．9．（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线2221(0)yx bb-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_____.10.（2020·全国高考真题（文））设双曲线C：22221x ya b-= (a>0，b>0)的一条渐近线为y= x，则C的离心率为_________．1.（2018·全国高考真题（理））设1F,2F是双曲线2222:1x yCa b-=（）的左、右焦点，O是坐标原点．过2F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P．若16PF OP=，则C的离心率为( )A B C．2D2．（2020·云南文山·高三其他（理））已知双曲线2221(0)xy aa-=>上关于原点对称的两个点P，Q，右顶点为A，线段AP的中点为E，直线QE交x轴于(1,0)M，则双曲线的离心率为（）A B．3C D．3 3．（2020·广东天河·华南师大附中高三月考（文））已知平行于x轴的直线l与双曲线C：()222210,0x ya ba b-=>>的两条渐近线分别交于P、Q两点，O为坐标原点，若OPQ△为等边三角形，则双曲线C的离心率为（）A．2B．3C D．34．（2021·广东广州市·高三月考）已知1F，2F分别是双曲线C：2213xy-=的左、右焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以线段12F F为直径的圆经过点P，则点P的横坐标为（）A．±1B．C．D．2±5.（2020·广西南宁三中其他（理））圆22:10160+-+=C x y y上有且仅有两点到双曲线练提升22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．B ．55(,)32C ．55(,)42D ．1)6．【多选题】（2021·湖南高三）已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左，右焦点为1F ，2F ，右顶点为A ，则下列结论中，正确的有（ ）A．若a b =，则C B ．若以1F 为圆心，b 为半径作圆1F ，则圆1F 与C 的渐近线相切C ．若P 为C 上不与顶点重合的一点，则12PF F △的内切圆圆心的横坐标x a =D．若M 为直线2a x c =（c 上纵坐标不为0的一点，则当M 的纵坐标为时，2MAF 外接圆的面积最小7．【多选题】（2021·重庆巴蜀中学高三月考）已知点Q 是圆M ：()2224x y ++=上一动点，点()2,0N ，若线段NQ 的垂直平分线交直线MQ 于点P ，则下列结论正确的是（ ） A ．点P 的轨迹是椭圆 B ．点P 的轨迹是双曲线C ．当点P 满足PM PN ⊥时，PMN 的面积3PMN S =△D ．当点P 满足PM MN ⊥时，PMN 的面积6PMNS=8．（2021·全国高二课时练习）双曲线()22122:10,0x y C a b a b -=>>的焦距为4，且其渐近线与圆()222:21C x y -+=相切，则双曲线1C 的标准方程为______．9．（2021·全国高二单元测试）已知双曲线2213y x -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为e ，若双曲线上一点P 使2160PF F ∠=︒，则221F P F F ⋅的值为______．10．（2021·全国高二课时练习）如图，以AB 为直径的圆有一内接梯形ABCD ，且//AB CD ．若双曲线1C 以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点，则当梯形的周长最大时，双曲线1C 的离心率为______．1. （2021·全国高考真题（理））已知12,F F是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且121260,3F PF PF PF∠=︒=，则C的离心率为（）A B C D2．（2020·浙江省高考真题）已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|–|PB|=2，且P为函数y=|OP|=（）A．2B C D3.（2019·全国高考真题（理））设F为双曲线C：22221x ya b-=（a>0，b>0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为（）A BC．2 D4.（2019·全国高考真题（理））双曲线C：2242x y-=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若=PO PF，则△PFO的面积为（）A B．2C．D．5.（2021·全国高考真题（文））双曲线22145x y-=的右焦点到直线280x y+-=的距离为________．6．（2019·全国高考真题（理））已知双曲线C：22221(0,0)x ya ba b-=>>的左、右焦点分别为练真题F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB=，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________．。

点点练31双曲线一基础小题练透篇1.[2022·云南省适应性月考]已知双曲线E ：x 23－y 2b 2＝1(b ＞0)的渐近线方程为y ＝±3x ，则E 的焦距等于( )A ． 2B ．2C ．4 3D ．42．双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1过点(2，3)，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为( )A ．x 23－y 2＝1B ．x 2－y 23＝1C ．x 2－3y 23＝1D ．3x 23－y 2＝13．已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，在左支上过F 1的弦AB 的长为5，若2a ＝8，那么△ABF 2的周长是( )A ．26B ．21C ．16D.54．[2022·陕西省榆林市模拟]已知F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点，A ，B 分别是C 的左，右顶点，若|FA |＝|AB |，则双曲线C 的离心率为( )A ．3B ．2C ．22D ．35．[2022·广西玉林市月考]已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点为F 1，F 2，在双曲线上存在点P 满足2|PF 1＋PF 2|≤|F 1F 2|，则此双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．1＜e ≤2B．e ≥2 C ．1＜e ≤2D ．e ≥ 26．[2022·江苏省质量评估]已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作圆x 2＋y 2＝a 2的切线，交双曲线右支于点M ，若∠F 1MF 2＝60°，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±(3＋3)xB ．y ＝±2xC ．y ＝±3＋33x D ．y ＝±(1＋3)x7．[2022·广东省深圳市质量检测]已知焦点在x 轴上的双曲线x 2m －y 22－m 2＝1的两条渐近线互相垂直，则m ＝________．8．[2022·重庆市模拟]已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作直线l 垂直于双曲线的一条渐近线，直线l 与双曲线的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若AF 1＝λF 1B ，且λ>2，则双曲线C 的离心率e 的取值范围为________．二能力小题提升篇1.[2022·广西联考]已知F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点，P 为双曲线上的一点，且|PF 1|＝2|PF 2|＝|F 1F 2|；则C 的离心率为( )A ．1B ．2C ．3D ．42．[2022·重庆模拟]如图，O 是坐标原点，P 是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)右支上的一点，F 是E 的右焦点，延长PO ，PF 分别交E 于Q ，R 两点，已知QF ⊥FR ，且|QF |＝2|FR |，则E 的离心率为( )A ．174B ．173C ．214D ．2133．[2022·安徽省合肥市考试]已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的左右焦点为F 1，F 2，过F 2的直线交双曲线于M ，N 两点(M 在第一象限)，若△MF 1F 2与△NF 1F 2的内切圆半径之比为3∶2，则直线MN 的斜率为( )A ．6B ．26C ．3D ．2 34．[2021·吉林省白山市期末考试]已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)与直线y ＝kx交于A ，B 两点，点P 为C 上一动点，记直线PA ，PB 的斜率分别为k PA ，k PB ，C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，若k PA ·k PB ＝14，且C 的焦点到渐近线的距离为1，则( )A ．a ＝4B ．C 的离心率为62C ．若PF 1⊥PF 2，则△PF 1F 2的面积为2D ．若△PF 1F 2的面积为25，则△PF 1F 2为钝角三角形5．[2022·湖南湘潭模拟]已知P 为双曲线C ：x 2－y 24＝1右支上一点，F 1，F 2分别为C的左、右焦点，且线段A 1A 2，B 1B 2分别为C 的实轴与虚轴．若|A 1A 2|，|B 1B 2|，|PF 1|成等比数列，则|PF 2|＝________．6．[2022·云南昆明一中检测]已知P 是双曲线x 2－y 215＝1右支上的一点，M ，N 分别是圆(x ＋4)2＋y 2＝9和(x －4)2＋y 2＝1上的点，则|PM |－|PN |的最大值是________．三高考小题重现篇1.[2019·全国卷Ⅰ]双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为( )A ．2sin40°B．2cos40° C ．1sin50°D ．1cos50°2．[2020·全国卷Ⅱ]设O 为坐标原点，直线x ＝a 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于D ，E 两点．若△ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为( )A ．4B ．8C ．16D ．323．[2020·全国卷Ⅰ]设F 1，F 2是双曲线C ：x 2－y 23＝1的两个焦点，O 为坐标原点，点P在C 上且|OP |＝2，则△PF 1F 2的面积为( )A ．72B ．3C ．52D ．2 4．[2019·全国卷Ⅱ]设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( )A ．2B ．3C ．2D ． 55．[2021·新高考Ⅱ卷]已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，离心率e ＝2，则双曲线C 的渐近线方程为________________.6．[2021·全国乙卷]已知双曲线C ：x 2m－y 2＝1(m >0)的一条渐近线为3x ＋my ＝0，则C的焦距为__________．四经典大题强化篇1.过双曲线x 23－y 26＝1的右焦点F 2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，F 1为左焦点．(1)求|AB |； (2)求△AOB 的面积．2．已知F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)为双曲线C ：x 2－y 2b2＝1(b >0)的左、右焦点，过点F 2作垂直于x 轴的直线，并在x 轴上方交双曲线于点M ，且∠MF 1F 2＝30°.(1)求双曲线C 的方程；(2)过双曲线C 上一点P 作两条渐近线的垂线，垂足分别是P 1和P 2，试求|PP 1|·|PP 2|的值．点点练31 双曲线一 基础小题练透篇1．答案：C解析：由双曲线E ：x 23－y 2b 2＝1（b ＞0）可得其渐近线方程为y ＝±b3x ，故b ＝3，故半焦距c ＝9＋3＝23，故焦距为4 3.2．答案：B解析：∵e ＝c a ＝2，则c ＝2a ，b ＝c 2－a 2＝3a ，则双曲线的方程为x 2a 2－y 23a2＝1，将点（2，3）的坐标代入双曲线的方程可得2a 2－33a 2＝1a 2＝1，解得a ＝1，故b ＝3，因此，双曲线的方程为x 2－y 23＝1.3．答案：A解析：|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝8，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝8，∴|AF 2|＋|BF 2|－（|AF 1|＋|BF 1|）＝16，∴|AF 2|＋|BF 2|＝16＋5＝21，∴△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝21＋5＝26.4．答案：D解析：因为A ，B 分别是C 的左，右顶点，故|AB |＝2a ，|FA |＝c －a ，|FA |＝|AB |，所以2a ＝c －a ，得e ＝c a＝3.5．答案：B解析：由OP 为△F 1PF 2的中线，可得PF 1＋PF 2＝2OP →.由2|PF 1＋PF 2|≤|F 1F 2|可得4|OP →|≤|F 1F 2|，由|OP →|≥a ，|F 1F 2|＝2c ，可得4a ≤2c ，可得：e ＝c a≥2.6．答案：C解析：如图，作OA ⊥F 1M 于点A ，F 2B ⊥F 1M 于点B ，因为F 1M 与圆x 2＋y 2＝a 2相切， 所以|OA |＝a ，|F 2B |＝2|OA |＝2a ，|F 1B |＝2b ，在Rt△BMF 2中，∠F 1MF 2＝60°，所以|BM |＝|F 2B |tan60°＝2a 3＝23a 3，|F 2M |＝43a3.又点M 在双曲线上，由双曲线的定义可得：所以|F 1M |－|F 2M |＝|F 1B |＋|BM |－|F 2M |＝2b ＋23a 3－43a3＝2a ，整理得：b ＝3＋33a ，所以b a ＝3＋33，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±3＋33x .7．答案：1解析：∵双曲线x 2m －y 22－m 2＝1的焦点在x 轴上，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＞02－m 2＞0，即0＜m ＜ 2. ∵双曲线的两条渐近线互相垂直，∴－2－m2m×2－m2m＝－1，即（m －1）（m ＋2）＝0，解得m ＝1.8．答案：（233，2）解析：由题意，双曲线C 的渐近线为y ＝±ba x ，若过F 1作直线l 垂直y ＝b ax 于B ，交y ＝－b ax 于A ，F 1（－c ，0）.∵AF 1＝λF 1B 且λ＞2，∴F 1在A 、B 之间，如图所示，令l ：y ＝－a b（x ＋c ），∴B （－a 2c ，－ab c ），A （a 2c b 2－a 2，abc a 2－b 2），则AF 1＝（a 2c a 2－b 2－c ，abc b 2－a 2），F 1B ＝（b 2c ，－abc）， ∴⎩⎪⎨⎪⎧λb 2c ＝a 2ca 2－b 2－c －λab c ＝abcb 2－a2，即λ＝c 2a 2－b 2＝c22a 2－c 2＞2，∴e 22－e 2＞2，故（3e 2－4）（e 2－2）＜0，得43＜e 2＜2，又e ＞1， ∴233＜e ＜ 2. 二 能力小题提升篇1．答案：B解析：e ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|－|PF 2|＝|F 1F 2||PF 2|＝2.2．答案：B解析：如图，令双曲线E 的左焦点为F ′，连接PF ′，QF ′，RF ′，由对称性可知，点O 是线段PQ 中点，则四边形PFQF ′是平行四边形，而QF ⊥FR ，于是有△PFQF ′是矩形，设|FR |＝m ，则|PF ′|＝|FQ |＝2m ，|PF |＝2m －2a ，|RF ′|＝m ＋2a ，|PR |＝3m －2a ， 在Rt△F ′PR 中，（2m ）2＋（3m －2a ）2＝（m ＋2a ）2，解得m ＝4a 3或m ＝0（舍去），从而有|PF ′|＝8a 3，|PF |＝2a 3，Rt△F ′PF 中，（8a 3）2＋（2a 3）2＝4c 2，整理得c 2a 2＝179，e ＝c a ＝173， 所以双曲线E 的离心率为173. 3．答案：B解析：设圆O 1与△MF 1F 2的三边的切点分别为A ，B ，C ，如图， 令MA ＝MC ＝m ，AF 1＝BF 1＝n ，BF 2＝CF 2＝t ，根据双曲线的定义可得⎩⎪⎨⎪⎧（m ＋n ）－（m ＋t ）＝2an ＋t ＝2c ，化简得n ＝a ＋c ，由此可知，在△F 1F 2M 中，O 1B ⊥x 轴于B ，同理O 2B ⊥x 轴于B ，∴O 1O 2⊥x 轴过圆心O 2作CO 1的垂线，垂足为D ，易知直线l 的倾斜角θ与∠O 2O 1D 大小相等，不妨设圆O 1的半径R 1＝3，设圆O 2的半径R 2＝2，则O 2O 1＝5，O 1D ＝1，所以根据勾股定理，O 2D ＝26，所以，tan θ＝2 6.4．答案：D解析：设点A （x 1，y 1），B （－x 1，－y 1），P （x 0，y 0）则x 21 a 2－y 21 b 2＝1，且x 20 a 2－y 20 b 2＝1，两式相减得x 21 －x 20 a 2＝y 20 －y 21 b 2， 所以y 20 －y 21 x 21 －x 20 ＝b 2a2，因为k PA ·k PB ＝（y 0－y 1）（x 0－x 1）·（y 0＋y 1）（x 0＋x 1）＝14，所以b 2a 2＝14，b a ＝12 故双曲线C 的渐近线方程为y ＝±12x ，因为焦点（c ，0）到渐近线y ＝12x 的距离为1，所以c5＝1，c ＝5，所以a ＝2，b ＝1，离心率为52，故A ，B 错误． 对于C ，不妨设P 在右支上，记|PF 2|＝t ，则|PF 1|＝4＋t ， 因为PF 1⊥PF 2，所以（t ＋4）2＋t 2＝20，解得t ＝6－2或t ＝－6－2（舍去），所以△PF 1F 2的面积为12|PF 1||PF 2|＝12（6－2）×（6＋2）＝1，故C 不正确；对于D ，设P （x 0，y 0），因为S △PF 1F 2＝12·2c |y 0|＝5|y 0|＝25，所以|y 0|＝2，将|y 0|＝2带入C ：x 24－y 2＝1，得x 20 ＝20，即|x 0|＝25，由于对称性，不妨取P 的坐标为（25，2），则|PF 2|＝（25－5）2＋22＝3， |PF 1|＝（25＋5）2＋22＝7，因为cos∠PF 2F 1＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2－|PF 1|22|PF 2||F 1F 2|＝9＋20－492×3×25＜0，所以∠PF 2F 1为钝角，所以△PF 1F 2为钝角三角形，故D 正确． 5．答案：6解析：∵双曲线C ：x 2－y 24＝1，∴|A 1A 2|＝2a ＝2，|B 1B 2|＝2b ＝4.又∵|A 1A 2|，|B 1B 2|，|PF 1|成等比数列，∴|A 1A 2|·|PF 1|＝|B 1B 2|2，∴|PF 1|＝8，∴|PF 2|＝8－2a ＝6.6．答案：6解析：已知P 是双曲线x 2－y 215＝1右支上的一点，记双曲线左、右焦点分别为F 1，F 2，所以|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2，双曲线的两个焦点分别为F 1（－4，0），F 2（4，0），这两点刚好是（x ＋4）2＋y 2＝9和（x －4）2＋y 2＝1的圆心．因为两个圆的半径分别为r 1＝3，r 2＝1，所以由几何性质可知|PM |max ＝|PF 1|＋r 1＝|PF 1|＋3.同理|PN |min ＝|PF 2|－r 2＝|PF 2|－1，所以|PM |－|PN |的最大值为|PM |max －|PN |min ＝（|PF 1|＋3）－（|PF 2|－1）＝|PF 1|－|PF 2|＋4＝2＋4＝6，所以|PM |－|PN |的最大值为6.三 高考小题重现篇1．答案：D解析：由双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1（a >0，b >0）可知渐近线方程为y ＝±bax ，由题意知－ba＝tan130°，又tan130°＝－tan50°， ∴b a＝tan50°，∴双曲线的离心率e ＝ca＝1＋b 2a2＝1＋tan 250°＝1＋sin 250°cos 250°＝1cos 250°＝1cos50°.2．答案：B解析：直线x ＝a 与双曲线C 的两条渐近线y ＝±bax 分别交于D 、E 两点，则|DE |＝|y D－y E |＝2b ，所以S △ODE ＝12·a ·2b ＝ab ，即ab ＝8.所以c 2＝a 2＋b 2≥2ab ＝16（当且仅当a ＝b时取等号），即c min ＝4，所以双曲线的焦距2c 的最小值为8.3．答案：B解析：方法一 由题易知a ＝1，b ＝3，∴c ＝2， 又∵|OP |＝2，∴△PF 1F 2为直角三角形，易知||PF 1|－|PF 2||＝2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝4， 又|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2＝16，∴|PF 1|·|PF 2|＝16－42＝6，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝3.方法二 不妨设P （x 0，y 0）（x 0>0，y 0>0），则⎩⎪⎨⎪⎧x 20 ＋y 20 ＝4，x 20 －y 203＝1，解得y 0＝32，又|F 1F 2|＝4， ∴S △PF 1F 2＝12×4×32＝3.4．答案：A解析：如图，连接OP ，∵|PQ |＝|OF |＝c ，∴PQ 过圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫c2，0. 易得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，c2. 又∵|OP |＝a ，∴a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝c22，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝2，∴e ＝c a ＝ 2. 5．答案：y ＝±3x解析：因为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1（a >0，b >0）的离心率为2，所以e ＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝2，所以b 2a2＝3， 所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ＝±3x . 6．答案：4解析：双曲线x 2m －y 2＝1（m >0）的渐近线为y ＝±1mx ，即x ±my ＝0，又双曲线的一条渐近线为3x ＋my ＝0，即x ＋m3y ＝0，对比两式可得，m ＝3.设双曲线的实半轴长为a ，虚半轴长为b ，半焦距为c ，则有a 2＝m ＝3，b 2＝1，所以双曲线的焦距2c ＝2a 2＋b 2＝4.四 经典大题强化篇1．解析：（1）由双曲线的方程得a ＝3，b ＝6， ∴c ＝a 2＋b 2＝3，F 1（－3，0），F 2（3，0）. 直线AB 的方程为y ＝33（x －3）.11 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33（x －3）x 23－y 26＝1消去y 得 5x 2＋6x －27＝0.∴x 1＋x 2＝－65，x 1·x 2＝－275. ∴||AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝43⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－652－4⎝ ⎛⎭⎪⎫－275＝1635. （2）直线AB 的方程变形为3x －3y －33＝0.∴原点O 到直线AB 的距离为d ＝|－33|（3）2＋（－3）2＝32. ∴S △AOB ＝12|AB |·d ＝12×1635×32＝1235. 2．解析：（1）根据已知条件得a ＝1，c ＝a 2＋b 2＝1＋b 2， ∴焦点坐标为F 1（－1＋b 2，0），F 2（1＋b 2，0）. ∵MF 2⊥x 轴，∴M （1＋b 2，b 2）.在Rt△MF 1F 2中，tan30°＝|MF 1||F 1F 2|＝b 22c ＝b 221＋b 2＝33，解得b 2＝2. ∴双曲线C 的方程为x 2－y 22＝1. （2）根据（1）易得双曲线两条渐近线方程分别为l 1：2x －y ＝0，l 2：2x ＋y ＝0.设点P （x 0，y 0），则|PP 1|＝d 1＝|2x 0－y 0|3，|PP 2|＝d 2＝|2x 0＋y 0|3. 又∵P （x 0，y 0）在双曲线上，∴2x 20 －y 20＝2.∴|PP 1|·|PP 2|＝d 1d 2＝13()2x 20 －y 20 ＝23.。

高考数学专题复习：双曲线一、单选题1．双曲线22142x y -=的渐近线方程为（ ）A 0y ±=B ．0x =C ．20x y ±=D ．20x y ±=2．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 作渐近线的垂线，垂足为P ，O 为坐标原点，且21tan 3PF O ∠=，则双曲线的离心率为（ ）A B ．3C ．D3．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的顶点焦点到C 则C 的方程为（ ）A ．221123y x -=B ．22143x y -=C ．221312x y -=D ．221412x y -=4．不垂直于坐标轴的直线l 与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为M ，AB 和OM 的斜率满足2AB OM k k ⋅=，则顶点在坐标原点O ，焦点在x轴上，且经过点(P a 的抛物线方程是（ ）A ．24y x =B ．22y x =C ．2y =D ．2y 5．已知12,F F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左､右焦点，过1F 作b y x a =-的垂线分别交双曲线的左､右两支于,B C 两点(如图).若22CBF CF B ∠∠=，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．y =B ．y =C ．)1y x =±D ．)1=±y x6．已知1F 、2F 是双曲线或椭圆的左、右焦点，若椭圆或双曲线上存在点P ，使得点122PF PF =，且存在△12PF F ，则称此椭圆或双曲线存在“Ω点”，下列曲线中存在“Ω点”的是（ ） A ．2213635x y +=B ．2211615x y +=C ．2212x y -=D ．221616115y x -= 7．已知1F ，2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若点2F 关于直线b y x a =的对称点M 也在双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）AB C D ．28．若双曲线()222210,0x y a b a b-=>> ）．A ．2y x =±B ．32y x =± C ．12y x =± D ．23y x =±9．直线2y b =与双曲线22221x y a b -=(0a >，0b >)的左支、右支分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且AOB 为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为（ ）AB ．32C D10．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的顶点、焦点到C和C 的方程为（ ） A ．221412x y -=B ．221312x y -=C ．221124x y -=D ．221123y x -= 11．双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为2F ，过点2F 且倾斜角为3π的直线与双曲线右支交于A ，B 两点，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A ．()1,2B ．(C ．)+∞D ．()2,+∞12．已知1F ，2F 分别为双曲线22221y x a b-=(0)b a >>的两个焦点，双曲线上的点(0)P b a >>到原点的距离为b ，且21125sin sin 3PF F PF F ∠=∠，则该双曲线的离心率为（ ）A B C ．2 D ．3二、填空题13．若方程22122x y m m +=-表示焦点在x 轴上的双曲线，则m 的取值范围是________.14．设1F ，2F 分别是双曲线222:54C x y m -=的左、右焦点，过2F 的直线l 与双曲线C 的右支交于A ，B 两点，且满足12114BF F AOF S S =△△（O 是坐标原点），则直线l 的斜率为________．15．已知双曲线的标准方程为221169x y -=，其右焦点为1F ，以1OF 为直径的圆和直线1x =相交于A ，B 两点，则AB =________．16．已知双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，124FF =，点A是双曲线渐近线上一点，点B 是双曲线上一点，10AF OA ⋅=（其中O 为坐标原点，点A 与点O 不重合），且1F B BA =，则双曲线的方程为________． 三、解答题17．解答下列两个小题：（1）双曲线E ：()222210,0x y a b a b-=>>(在双曲线E 上，求E 的方程；（2）双曲线C 实轴长为2，且双曲线C 与椭圆22184x y +=的焦点相同，求双曲线C 的标准方程．18．已知点1F 、2F ，为双曲线222:1(0)y C x b b-=>的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴的上方交双曲线C 于点M ，且1230MF F ∠=． （1）求双曲线C 的方程；（2）若直线l 过点（0，1）且与双曲线C 交于A 、B 两点，若A 、B 中点的横坐标为1，求直线l 的方程；（3）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂直，垂足分别为1P 、2P ，求证：12PP PP ⋅为定值．19．已知双曲线2214y x -=的左､右顶点分别为､A B ，曲线C 是以A 、B 为短轴的两端点且P 在第一象限且在双曲线上，直线AP 与椭圆相交于另一点T ． （1）求曲线C 的方程；（2）设点P T ､的横坐标分别为12,x x ，证明：121=x x ；（3）设TAB △与POB (其中O 为坐标原点)的面积分别为1S 与2S ，且10PA PB ⋅，求2212S S -的取值范围.20．已知双曲线C ：22221y x a b-=（0a >，0b >）的离心率e ，其焦点1F 到渐近线的距（1）求双曲线的方程；（2）若过点(0,3)M 的直线l 交双曲线于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆过坐标原点O ，求直线l 的方程.21．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点F 与抛物线28y x =的焦点重合，一条渐近线的倾斜角为30o ． （1）求双曲线C 的方程；（2）经过点F 的直线与双曲线的右支交与,A B 两点，与y 轴交与P 点，点P 关于原点的对称点为点Q ，求证：QABS ．22．已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>过点(3,1)D ，且该双曲线的虚轴端点与两顶点12,A A 的张角为120︒．（1）求双曲线E 的方程；（2）过点(0,4)B 的直线l 与双曲线E 左支相交于点,M N ，直线,DM DN 与y 轴相交于,P Q 两点，求||||BP BQ +的取值范围．参考答案1．B 【分析】由双曲线方程求出,a b 的值，即可得渐近线方程. 【详解】由22142x y -=可得：2a =，b =所以双曲线的渐近线方程为：b y x x a =±=，即0x =， 故选：B. 2．A 【分析】结合点到直线的距离公式求出2PF b =，进而得到21tan 3a PF Ob ∠==，从而可以求出离心率. 【详解】由题意知()2,0F c ，设一条渐近线为by x a =，则点2F P 222c a b =+，所以2PF b =，因此21tan 3a PF O b ∠==，所以e =故选：A. 3．D 【分析】求出双曲线的渐近线，利用点到直线的距离公式结合222c a b =+建立方程组，即可求解 【详解】双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦点,()0F c ±到渐近线0bx ay ±=的距离为b ==顶点(,0)A a ±到渐近线0bx ay ±=bac==由222b bac c a b ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得224,12a b == 所以双曲线的方程为221412x y -=．故选：D 4．C 【分析】运用点差法得到222AB OM b k k a⋅==得解 【详解】设1122(,),(,)A x y B x y ，则22112222222200x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 相减得，1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +-+--=，所以2121221212y y y y b x x x x a -+⋅=-+， 即12212212120202y y y y b x x x x a +--⋅=+--，所以222AB OM b k k a⋅==，b a 22(0)y px p =>，则22,pa p =．于是所求抛物线方程是2y ． 故选：C ． 5．C 【分析】根据已知条件和双曲线的定义可求得12BF a =，24BF a =，再在12BF F △中运用余弦定理建立关于a ，b ，c 的方程，可求得双曲线的渐近线方程得选项. 【详解】解：由22CBF CF B ∠∠=，设2BC CF m ==，由122CF CF a -=得，12BFa =，所以24BF a =， 2222221122121124416cos 28BF F F BF a c a BF F BF F F ac∠++-+-==⋅⋅，又112tan F C a k BF F b ∠==得12cos bBF F c∠=，22244168a c a b ac c +-∴=，令1a =，化简得：2220b b --=，得1b =)1y x =±，故选：C. 6．C 【分析】求出各选项中椭圆或双曲线的a 、c 的值，假设P 点存在，根据122PF PF =以及椭圆或双曲线的定义求出2PF ，结合焦半径的取值范围即可得出结论. 【详解】对于A 选项，2213635x y +=，()11,0F -、()21,0F ，6a =，所以7a c +=，5a c -=，P 到焦点距离的最小值为5，最大值为7，假设存在点P ，满足122PF PF =，则121228PF PF PF PF ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得283PF =，不合乎题意，所以A 选项中的椭圆不存在“Ω点”；对于B 选项，2211615x y +=，()11,0F -、()21,0F ，4a =，所以5a c +=，3a c -=，P 到焦点距离的最小值为3，最大值为5，假设存在点P ，满足122PF PF =，则121228PF PF PF PF ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得283PF =，不合乎题意，所以B 选项中的椭圆不存在“Ω点”；对于C 选项，双曲线的方程为2211122x y -=，则双曲线的两个焦点为()11,0F -、()21,0F，a 1c =，若双曲线上存在点P ，使得点P 到两个焦点1F 、2F 的距离之比为2:1，则12122PF PF PF PF ⎧=⎪⎨-⎪⎩212PF =-即双曲线2212x y -=存在“Ω点”； 对于D 选项，双曲线的标准方程为2211151616x y -=，则14a =，1c =，()11,0F -、()21,0F ，所以54a c +=，34c a -=，若双曲线上存在点P ，使得点P 到两个焦点1F 、2F 的距离之比为2:1，则1212212PF PF PF PF ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，解得212PF c a =<-， 所以D 选项中的双曲线不存在“Ω点”. 故选：C. 7．C 【分析】根据题意求出对称点M 的坐标，将点M 代入双曲线的方程，结合222+=a b c ，得到,a c 的齐次式方程，即可求出结果. 【详解】解：过焦点2F 且垂直渐近线的直线方程为：0()ay x c b-=--， 联立渐近线方程b y x a=与0()ay x c b -=--，解之可得2a x c=，ab y c =，故对称中心的点坐标为2(a c，)ab c ，由中点坐标公式可得对称点的坐标为22(a c c-，2)ab c ， 将其代入双曲线的方程可得2222222(2)41a c a a c c--=，结合222+=a b c ， 化简可得225c a =，故可得ce a==故选：C . 8．C 【分析】由双曲线的离心率可得,a c 的关系，再由222b c a =-可得,a b 的关系，即可得渐近线方程. 【详解】因为双曲线()222210,0x y a b a b -=>>c e a ==，即c =，所以12b a ，即12b a =，所以双曲线的渐近线方程为12b y x x a =±=±， 故选：C. 9．B 【分析】由等腰直角三角形的性质，求得A 点坐标，代入双曲线方程，求得a 和b 的关系，由离心率公式即可求得双曲线的离心率． 【详解】解：联立222212x y a b y b⎧-=⎪⎨⎪=⎩，解得222241x b a b -=⇒225x a =⇒225x a =，即(2)A b ，，2)B b ，，又AOB ∆是等腰直角三角形，即OA OB ⊥，等价于0OA OB ⋅=，代入坐标得2222222293545449442a b a c a a c e e =⇔=-⇔=⇔=⇔=. 故选：B. 10．A 【分析】利用点到直线的距离公式可求得b =2c a =，结合a 、b 、c 的关系求出a 的值，即可得出双曲线C 的方程. 【详解】双曲线C 的渐近线方程为by x a=±，即0bx ay ±=， 双曲线C 的右焦点到渐近线0bx ay +=b ==双曲线C 的右顶点到渐近线0bx ay +=ab c ==，可得2c a =， 则22222124c a b a a =+=+=，解得2a =， 因此，双曲线C 的方程为221412x y -=.故选：A. 11．A 【分析】根据题意，直线l的斜率为kba2c e a ===，进而得12e <<.【详解】因为过2F 的直线l 的倾斜角为3π，所以直线l 的斜率为tan3k π=因为直线l 与双曲线右支交于A ，B 两点，如图所示：由图象知：ba<所以2c e a ==，又1e >，所以12e <<， 故选：A ．12．D 【分析】设1F 为双曲线的下焦点，2F 为双曲线的上焦点，进而根据题意1253PF PF =，再结合双曲线的定义得23PF a =，15PF a =，再根据几何关系得21POF POF π∠+∠=，进而利用余弦定理得22217b c a +=，即229c a =，进而得答案. 【详解】设1F 为双曲线的下焦点，2F 为双曲线的上焦点，如图， 因为21125sin sin 3PF F PF F ∠=∠所以1253PF PF =，因为122PF PF a -=，所以23PF a =，15PF a =， 由题易知|||OP b =，12OF OF c == 因为21POF POF π∠+∠=， 所以21cos cos 0POF POF ∠+∠= 则222222(3)(5)022b c a b c a bc bc+-+-+=化简整理得22217b c a += 又222b c a =-，∴229c a =，即3ca=． 所以双曲线的离心率为3e = 故选：D13．()0,2 【分析】直接根据双曲线的焦点在x 轴上，列不等式组，即可解出m 的范围. 【详解】方程22122x y m m +=-表示焦点在x 轴上的双曲线， 可得：2020m m >⎧⎨-<⎩，解得(0,2)m ∈.故答案为：(0,2).14【分析】设A 在x 轴上方，画出示意图分析，利用余弦定理求解.如图，设A 在x 轴上方，因为O 为12,F F 的中点，所以12114BF F AOF S S =△△等价于227BF AF = 22254x y m -=即2222154x y m m-=，即2222,54m m a b ==，32e 2AF x =,则12AF a x =+，直线l 的倾斜角为θ12AF F △中，由余弦定理得222(2)(2)22cos()a x x c c x πθ+=+-⨯⋅⋅- 22224444cos a ax x x c cx θ++=++⋅2(cos )b a c x θ=-⋅ 所以2cos b x a c θ=-同理设2BF y =，在12BF F △中可求得2cos b y a c θ=+ 所以y x=cos 1cos 7cos 1cos a c e a c e θθθθ--==++ 因为32e =，代入解得1cos 2θ=-，所以23πθ=，即tan θ=k =由于对称性，A 也可以在x轴下方，所以斜率为15．4【分析】求出圆心到直线的距离和圆的半径即可求解.双曲线的标准方程为221169x y -=，右焦点1(5,0)F ，设以1OF 为直径的圆的圆心到直线的距离为d ， 则32d =，半径52r =，||4AB =． 故答案为：4. 16．22122x y -=【分析】不妨设点A 在第二象限，设()1,0F c -，利用点到线的距离公式求出1AF b =，即可得到1cos b AFO c∠=，再根据1F B BA =，求出12bBF =，再根据双曲线的定义求出2BF ，最后在12BF F △利用余弦定理得到b a =，在根据焦距124FF =，即可求出双曲线方程； 【详解】解：根据双曲线的对称性，不妨设点A 在第二象限，设()1,0F c -， 因为1AF AO ⊥，点1F 到直线0bx ay +=的距离d b ==，所以1AF b =，因为1FO c =，所以1cos bAFO c∠=，因为1F B BA =， 所以11122bBF AF ==， 由双曲线的定义可知21222bBF BF a a =+=+，在12BF F △中，由余弦定理可得22214242cos 222b bc a b AFO b c c ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭∠==⨯⨯， 整理得b a =，所以22222c a b a =+=，又因为124FF =，所以2c =，故222a b ==，故双曲线的方程为：22122x y -=故答案为：22122x y -=17．（1）22122x y -=；（2）2213y x -=.（1）由e c =，再将点(代入方程，联立解出答案，可得答案.（2）先求出椭圆22184x y +=的焦点()2,0±，则双曲线C 的焦点在x 轴上，由条件可得22a =，且224a b +=，从而得出答案. 【详解】（1）由e ca=c =，又)222222b c a a a =-=-=，即a b =，双曲线E 的方程即为22221x y a a-=，点(坐标代入得22421a a -=，解得22a =．所以，双曲线E 的方程为22122x y -=．（2）椭圆22184x y +=的焦点为()2,0±，设双曲线C 的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，所以22a =，且224a b +=， 所以1a =，23b =所以，双曲线C 的方程为2213y x -=．18．（1）2212y x -=；（2）1y x =+；（3）为定值29，证明见解答． 【分析】（1）由题意可得1a =，由直角三角形的性质和双曲线的定义，解方程可得b ，即可得到双曲线的方程；（2）设直线l 的方程为1y kx =+，与双曲线的方程联立，运用韦达定理和判别式大于0，以及中点坐标公式，解方程可得k ，进而得到直线l 的方程；（3）设()P m n ,，则2222m n -=，求得双曲线的渐近线方程分别与相应的垂线方程联立，求得交点1P ，2P ，以及1PP 、2PP 的坐标，由向量数量积的坐标表示，化简整理，即可得证． 【详解】（1）由双曲线的方程可得1a =，在直角三角形12MF F 中，1230MF F ∠=，221MF F F ⊥，可得122MF MF =，且1222MF MF a -==， 解得22MF =，又222b MF b a==，所以22b =，则双曲线的方程为2212y x -=；（2）由题意可得直线l 的斜率存在，设为k ，直线l 的方程为1y kx =+，联立22122y kx x y =+⎧⎨-=⎩，可得()222230k x kx ---=， ()2241220k k ∆=+->，解得k <设A ，B 的横坐标分别为1x ，2x ，则12222kx x k +=- 由A 、B 中点的横坐标为1，可得212kk =-， 解得1k =或2-（舍去）， 所以直线l 的方程为1y x =+；（3）证明：设()P m n ,，则2222m n -=，由)y y n x m ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩，解得1P ⎝⎭，由)y y n x m ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩，解得2P ⎝⎭，所以122PPPP ⎛⋅=⋅ ⎝⎭⎝⎭)())()2299m m n n----=+22224229m n n m -+-=222299m n -==，即1229PP PP ⋅=．19．（1）2214y x +=；（2）证明见解析；（3）(]0,1.【分析】（1）依题意设椭圆C 的方程，利用椭圆的离心率，建立等式，从而可求椭圆C 的方程； （2）设直线AP 的方程与椭圆方程联立，确定P 、T 的横坐标，即可证得结论； （3）利用且10PA PB ，结合点P 是双曲线在第一象限内的一点，可得113x <，利用三角形的面积公式求面积，从而可得2212S S -的不等式，利用换元法，再利用函数的单调性，即可求2212S S -的取值范围．【详解】解：（1）设椭圆的方程为22221,0y x a b a b +=>>，依题意可得()()1,0,1,0A B -，所以1b =，222221324c a e a -===，即24a =，∴椭圆方程为2214y x +=；（2）设点()()(1122,,,0,0,1i i P x y T x y x y i >>=，2)，直线AP 的斜率为(0)k k >，则直线AP 的方程为()1y k x =+，联立方程组()22y 114k x y x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，整理，得()22224240k xk x k +++-=，解得1x =-或2244k x k -=+.所以22244k x k -=+. 同理可得，21244k x x +=-.所以12 1.x x ⋅= （3）由（2）()()11221,,1,PA x y PB x y =---=---因为10PA PB ⋅，所以()()21111110x x y ---+，即221111x y +，因为点P 在双曲线上，则21114y x -=，所以22114411x x +-，即213x .因为点P 是双曲线在第一象限内的一点，所以113x <.因为12221111,22S AB y y S OB y y =⋅==⋅=， 所以()()22222222122121121441544S S y y x x x x -=-=---=--. 由（2）知，121x x ⋅=，即211x x =.设21t x =，则13,t <则221245S S t t-=--. 设()44551541f t t t t ⎛⎫=--=-+=-= ⎪⎝⎭， 当且仅当4t t=，即2t =时取等号， 所以函数()f t 在()1,2上单调递增，在(2，3]上单调递减. 因为()()42353,1033f f =--==， 所以()()13f f <所以2212S S -的取值范围为(]0,1.【点睛】本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力．20．（1）22123y x -=；（2）3y =+【分析】（1）首先表示出双曲线的焦点坐标与渐近线方程，再利用点到直线的距离公式求出b ，最后利用离心率与222c a b =+，求出2a ，即可求出双曲线方程；（2）设直线:3l y kx =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与双曲线方程，消元列出韦达定理，依题意0OA OB ⋅=，即可得到方程，解得即可； 【详解】解：（1）双曲线C ：22221y x a b-=（0a >，0b >）的焦点()10,F c -，渐近线方程为a y x b =±，即0ax by ±=，因为()10,F c -b又因为离心率e，即ca =222c ab =+，所以22a =，25c =，所以双曲线方程为22123y x -=（2）由已知可得，直线l 的斜率存在，设直线:3l y kx =+，()11,A x y ，()22,B x y223123y kx y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 得()223218210k x kx -++=， 所以2320k -≠即k ≠，又()()2221842132721680k k k ∆=-⨯⨯-=+>，所以1221832k x x k +=--，1222132x x k =-，所以()()()222212121212222215461833399323232k k k y y kx kx k x x k x x k k k --=++=+++=-+=---以AB 为直径的圆过坐标原点O ，所以OA OB ⊥，即0OA OB ⋅=，所以21212222161803232k x x y y k k --+=+=--，解得k =，所以直线方程为3y x =+ 21．（1）2213x y -=；（2）证明见解析．【分析】（1）由题意可得2c =，o tan 30b a ==222c a b =+可求出22,a b ，从而可求出双曲线C 的方程；（2）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为：()2y k x =-，可得()02P k -，，()02Q k ，，将直线方程与双曲线方程联立方程组，消去y ，利用根与系数的关系，从而可表示出()()2222248131QABk k S k+=-，再由直线与双曲线的右支交与,A B 两点，可得231k >，则2310t k =->，代入上式化简可求得结果 【详解】解：（1）由题意得2c =，o tan 30b a ==222c a b =+ 解得2231a b ==，所以双曲线C 的方程为：2213x y -=（2）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为：()2y k x =-，得()02P k -，，()02Q k ，， 设()11A x y ，，()22B x y ，，联立()22132x y y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，整理可得()222231121230k x k x k --++=21221231k x x k +=-，212212331k x x k +⋅=- 所以1212QAB QPB QPA S S S PQ x x =-=-122k x x =-所以()()2222221212224123124443131QABk k Sk x x x x k k k ⎡⎤+⎛⎫⎡⎤⎢⎥=+-=- ⎪⎣⎦--⎢⎥⎝⎭⎣⎦2 ()()222248131k k k +=-直线与双曲线右支有两个交点，所以22121222121230,03131k k x x x x k k ++=>⋅=>--所以231k >，设2310t k =->，()2221111645334813QABt t St t t ++⎛⎫⋅+⎪⎛⎫⎝⎭==++ ⎪⎝⎭2641564251633383643t ⎛⎫=+->⨯-=⎪⎝⎭ 所以QAB S >【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线方程的求法，考查直线与双曲线的位置关系，解题的关键是将直线方程与双曲线方程联立后，利用根与系数的有关系，从而可表示出()()2222248131QABk k S k+=-，再结合231k >，换元后求其最小值即可，考查计算能力，属于中档题22．（1）22162x y -=；（2）-⎝. 【分析】（1）根据条件，建立关于,,a b c 的方程，即可求解；（2）首先设()()11114,,,,y kx M x y N x y =+，与双曲线方程联立，得到根与系数的关系，以及k 的取值范围，并利用,M N 的坐标表示点,P Q 的坐标，并表示||||BP BQ +，利用韦达定理，即可化简，求得取值范围.【详解】（1）由已知22222222269111622a a x y a b b c a b ⎧=⎪⎧=⎪-=∴∴-=⎨⎨=⎩⎪⎪=+⎩（2）设直线方程为()()11114,,,,y kx M x y N x y =+，直线DM 的方程为1111(3)3y y x x --=--，可得()11310,13y P x -⎛⎫- ⎪-⎝⎭直线DN 的方程为2211(3)3y y x x --=--，可得()22310,13y Q x -⎛⎫- ⎪-⎝⎭ 联立224162y kx x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y ，整理得()221324540k x kx ---=． ()222122122244135402401354013k k k x x k x x k ⎧∆=+⨯-⨯>⎪⎪⎪+=<⎨-⎪-⎪=>⎪-⎩3k()()12123131||||44633M N y y BP BQ y y x x --+=-+-=++-- ()()()()()()12211213136333y x y x x x --+--=+⨯-- ()()()()()()12211233336333kx x kx x x x +-++-=+⨯-- ()()121212122(33)186339kx x k x x x x x x +-+-=+⨯-++ 222254242(33)181313635424391313k k k k k k k k -⨯+-⨯---=+⨯--⨯+-- 222460362436483853535k k k k k k k +++===-++++3k ，所以||||BP BQ +的范围是-⎝. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与双曲线的位置关系，本题第二问的关键是求得点,P Q 的坐标，即需要利用,M N 点的坐标表示直线,DM DN 的直线方程.。

内蒙古锡林郭勒盟2024高三冲刺（高考数学）统编版摸底(备考卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题设双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支交于两点，且，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．第(2)题在等比数列中，，且，则的前10项和为（）A．322B．336C．341D．366第(3)题已知、的对应值如下表所示:xy与具有较好的线性相关关系，可用回归直线方程近似刻画，则在的取值中任取两个数均不大于的概率为（）A．B．C．D．第(4)题设集合，，则（）A．B．C．D．第(5)题定义在上的单调函数，对任意的有恒成立，若方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．第(6)题已知是数列的前n项和，且对任意的正整数n，都满足：，若，则（）A．B．C．D．第(7)题已知双曲线：的上焦点为F，点M 在的一条渐近线上，是面积为的等边三角形，其中点О为坐标原点，则的方程为（）A．B．C．D．第(8)题数列的前项和为，，，设，则数列的前51项之和为（）A．B．C．49D．149二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率不是的事件为（）A．恰有1只是坏的B．4只全是好的C．恰有2只是好的D．至多2只是坏的第(2)题设，当时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论中，错误的是（）A．的增长速度最快，的增长速度最慢B．的增长速度最快，的增长速度最慢C．的增长速度最快，的增长速度最慢D．的增长速度最快，的增长速度最慢第(3)题设数列的前项和为，若存在实数使得对任意，都有，则称数列为“数列”，则以下结论正确的是（）A．若是等差数列，且，公差，则数列是“数列”B．若是等比数列，且公比满足，则数列是“数列”C．若，则数列是“数列”D ．若，则数列是“数列”三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题在的方格中，每个方格被涂上红、橙、黄、绿四种颜色之一，若每个的方格中的四个小方格的颜色都不相同，则满足要求的不同涂色方法的种数为______.第(2)题已知函数，若对于恒成立，则实数的取值范围是__________．第(3)题已知，，a，x，y，b成等差数列，c，x，y，d成等比数列，则的最小值是______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知．(1)求函数在上的单调增区间；(2)将函数的图象向左平移个单位，再对图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，若函数的图象关于直线对称，求取最小值时的的解析式．第(2)题记为正项数列的前n项和，已知，．(1)求数列的前n项和；(2)若，求数列的前n项和．第(3)题近几年，随着新一轮科技革命和产业变革孕育兴起，新能源汽车产业进入了加速发展的阶段，我国的新能源汽车产业，经过多年的持续努力，技术水平显著提升、产业体系日趋完善、企业竞争力大幅增强，呈现市场规模、发展质量“双提升”的良好局面.某汽车厂为把好质量关，对送来的某个汽车零部件进行检测.(1)若每个汽车零部件的合格率为0.9，从中任取3个零部件进行检测，求至少有1个零部件是合格的概率；(2)若该批零部件共有20个，其中有4个零部件不合格，现从中任取2个零部件，求不合格零部件的产品数的分布列及其期望值.第(4)题如图，在四棱锥中，，，M是棱PD上靠近点P的三等分点．(1)证明：平面MAC；(2)画出平面PAB与平面PCD的交线l，并说明理由；(3)在（2）的条件下，若平面平面ABCD，，，，求l与平面MAC所成角的正弦值．第(5)题在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．(1)求的大小；(2)若，，直线PQ分别交AB，BC于P，Q两点，且把的面积分成相等的两部分，求的最小值．。

安徽省阜阳市2024高三冲刺（高考数学）统编版（五四制）考试(押题卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知复数z对应的向量为(O为坐标原点)，与实轴正向的夹角为120°，且复数z的模为2，则复数z为（）A．1＋i B ．2C．D．－1＋i第(2)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(3)题命题“，”的否定为（）A．，B．，C．，D．，第(4)题已知，为两个随机事件，，，，，则（）A．0.1B．C．0.33D．第(5)题一组样本数据的平均数为，标准差为.另一组样本数据，，…，的平均数为，标准差为.两组数据合成一组新数据，，…，，新数据的平均数为，标准差为，则（）A．B．C．D．与的大小与有关第(6)题已知一个圆锥的底面积为，侧面积为，则该圆锥的体积为（）．A．B．C．D．第(7)题设复数满足，则（）A．2B．C．D．1第(8)题双曲线的渐近线方程是（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知函数及其导函数的定义域都为，对于任意的，都有成立，则下列说法正确的是（）．A．B．若，则C．为偶函数D．若，则第(2)题已知函数，且对任意均有在上单调递减，则下列说法正确的有（）A．函数为偶函数B．函数的最小正周期为C ．若的根为，2，，，则D．若在上恒成立，则的最大值为第(3)题如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，分别是线段的中点，是线段上的一个动点（含端点），则下列说法正确的是（）A．存在点，使得B．存在点，使得异面直线与所成的角为C．三棱锥体积的最大值是D．当点自向处运动时，直线与平面所成的角逐渐增大三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知函数（且）的图象与直线相切，则的值为__________．第(2)题已知的展开式中x的系数为2，则实数a的值为_________．第(3)题如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面，，若在四棱锥内挖掉一个体积最大的圆柱，则剩余几何体的表面积等于______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题在图1的直角梯形中，，点是边上靠近于点的三等分点，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图2．(1)求证：平面平面；(2)在棱上是否存在点，使得二面角的大小为？若存在，求出线段的长度，若不存在说明理由．第(2)题学校举行定点投篮比赛，规定每人投篮4次，投中一球得2分，没有投中得0分，假设每次投篮投中与否是相互独立的.已知小明每次投篮投中的概率都是，小强每次投篮投中的概率都是p(0<p<1).（1）求小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率；（2）求小明在4次投篮后的总得分ξ的分布列和期望；（3）小强投篮4次，投中的次数为X，若期望E(X)=1，求p和X的方差D(X).第(3)题甲参加一个“抛骰子”的游戏，其规则是：在第关要抛掷一颗骰子（六面）次，如果这次抛掷所出现的点数之和大于，则算过关．(1)甲在这个游戏中，最多能过几关？(2)求甲在这个游戏中，连过前3关的概率．第(4)题科学家给地球上的气温划分了几个级别如下表1：表1温度（单位：摄氏度）范围级别凉微寒轻寒小寒大寒深寒寒假季节是馄饨热销的季节．小王在合肥开了一家馄饨小店，该馄饨小店记录的连续4天日均最低温度指数x与可卖馄饨金额y（百元）统计如下表2：表2日均最低温度指数x1234（单位：摄氏度）可卖馄饨金额y（百元）87542022年1月1日至2022年1月30日，合肥市日均最低温度指数频数统计如下表3：表3日均最低温度指数x（单位：摄氏度）频数（单位：天）24168(1)若变量x与y之间是线性相关关系，试根据表2的统计数据，求y关于x的线性回归方程．参考公式：，(2)若经小王统计：当日均最低温度指数不低于5℃时，馄饨店平均每天亏损约100元；当日均最低温度指数大于或等于且小于5℃时，馄饨店平均每天收入约200元；当日均最低温度指数小于时，馄饨店平均每天收入约400元，求小王的馄饨店在2022年1月1日至2022年1月30日期间平均每天的收入（用四舍五入法精确到1元）．第(5)题已知数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，其前项和为，求使得成立的的最小值．。

吉林省通化市2024高三冲刺（高考数学）人教版模拟(冲刺卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题在中，“”是“是钝角”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件第(2)题甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表甲的成绩乙的成绩丙的成绩环数78910环数78910环数78910频数5555频数6446频数4664、、分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（）A．B．C．D．第(3)题将椭圆上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标伸长为原来的倍得到椭圆，设的离心率分别为，则下列说法正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则第(4)题复数在复平面内对应的点所在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限第(5)题已知直线是双曲线的一条渐近线，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．第(6)题已知集合，则（）A．B．C．D．第(7)题在复平面内，复数z对应的点的坐标为，则（）A．B．C．D．第(8)题若，则（）A．事件与互斥B．事件与相互独立C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知复数z满足，则（）A．B．C．z的虚部为-i D．复数z在复平面内对应的点位于第三象限第(2)题一组数据，，…，是公差为的等差数列，若去掉首末两项，后，则（）A．平均数变大B．中位数没变C．方差变小D．极差没变第(3)题已知函数，则（）A．的最小正周期为B．C．在上单调递增D．在内有3个极值点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题将最小正周期为的函数的图像向左平移个单位长度，得到的图像，则函数的一个对称中心为___________第(2)题已知，则_________，=__________．第(3)题已知数列满足，设数列的前项和为，则=________四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知矩阵，向量，计算．第(2)题已知函数，．(1)当时，求函数在上的极值；(2)用表示，中的最大值，记函数，讨论函数在上的零点个数．第(3)题为了调查观众对某电视剧的喜爱程度，某电视台在甲乙两地随机抽取了8名观众做问卷调查，得分结果如图所示：(1)计算甲地被抽取的观众问卷得分的中位数和乙地被抽取的观众问卷得分的平均数；(2)用频率估计概率，若从乙地的所有观众中再随机抽取4人进行问卷调查，记问卷分数不低于80分的人数为，求的分布列与期望.第(4)题表示正整数a，b的最大公约数，若，且，，则将k的最大值记为，例如：，.(1)求，，；(2)已知时，.（i）求；（ii）设，数列的前n项和为，证明：.第(5)题已知函数，.(1)若的图象在处的切线与直线垂直，求的值及切线方程；(2)若，函数在其定义域上存在零点，求实数的取值范围.。

新疆阿勒泰地区2024高三冲刺（高考数学）统编版真题(培优卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题在矩形ABCD中，，，点E在CD上，现将沿AE折起，使面面ABC，当E从D运动到C，求点D在面ABC上的射影K的轨迹长度为（）A．B．C．D．第(2)题设满足约束条件，且该约束条件表示的平面区域为三角形.现有下述四个结论：①若的最大值为6，则；②若，则曲线与有公共点；③的取值范围为；④“”是“的最大值大于3”的充要条件.其中所有正确结论的编号是（）A．②③B．②③④C．①④D．①③④第(3)题设函数，若有最小值，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．第(4)题，，，，，一束光线从点出发射到上的点，经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则的斜率的取值范围是（）A．B．C．D．第(5)题若双曲线的一条渐近线与圆相切，则双曲线的渐近线方程是（）A．B．C．D．第(6)题已知，则（）A．B．C．D．第(7)题已知函数的定义域为，且当时，，则（）A．B．是偶函数C．是增函数D．是周期函数第(8)题已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是（）A．B．2C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知由样本数据，，2，3，，组成的一个样本，得到回归直线方程为，且，去除两个样本点和后，得到新的回归直线的斜率为3.则下列说法正确的是（）A．相关变量，具有正相关关系B．去除两个样本点和后，回归直线方程为C．去除两个样本点和后，随值增加相关变量值增加速度变小D．去除两个样本点和后，样本的残差为0.1第(2)题如图所示，在长方体中，，，点E是棱CD上的一个动点，F是BC的中点，，给出下列命题，其中真命题的（）．A ．当E 是CD 的中点时，过的截面是四边形B ．当点E 是线段CD 的中点时，点P 在底面ABCD所在平面内，且平面，点Q 是线段MP 的中点，则点Q 的轨迹是一条直线C ．对于每一确定的E ，在线段AB 上存在唯一的一点H，使得平面D ．过点M 做长方体的外接球的截面，则截面面积的最小值为第(3)题设均为正数，且，则（ ）A．B．当时，可能成立C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题若，则三棱锥O —ABC 的体积为___________.第(2)题已知，且，则________．第(3)题已知向量，，若，则____________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，(1)求曲线与轴的交点坐标；(2)以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为与交于两点，求的大小.第(2)题已知均为正数，函数的最小值为3．(1)求的最小值；(2)求证：．第(3)题已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的水平测试，现学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样统计，先将800人按001，002，003，…，800进行编号.(1)如果从第7行第5列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的3个人的编号；（附：随机数表的第6行至第10行）66 06 57 47 17 34 07 27 68 50 36 69 73 61 70 65 81 33 98 85 11 19 92 9170 81 05 01 08 05 45 57 18 24 05 35 30 34 28 14 88 79 90 74 39 23 40 3097 32 83 26 97 76 02 02 05 16 56 92 68 55 57 48 18 73 05 38 52 47 18 6238 85 79 63 57 33 21 35 05 32 54 70 48 90 55 85 75 18 28 46 82 87 09 8340 12 56 24 73 79 64 57 53 03 52 96 47 78 35 80 83 42 82 60 93 52 03 4435 27 38 84 38(2)抽取的100人的数学与地理的水平测试成绩如下表：人数数学优秀良好及格地理优秀12204良好10186及格4成绩分为优秀､良好､及格三个等级，横向､纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表中数学成绩为良好的共有人.①若在该样本中，数学成绩优秀率为，求，的值；②若，，将，表示成有序数对，求“在地理成绩为及格的学生中，数学成绩为优秀的人数比及格的人数少”的概率.第(4)题已知数列的各项均为正整数，设集合，，记的元素个数为.(1)若数列A :1，3，5，7，求集合，并写出的值;(2)若是递减数列，求证:“”的充要条件是“为等差数列”;(3)已知数列，求证:.第(5)题在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知，射线的极坐标方程为，射线的极坐标方程为.(1)直接写出曲线的极坐标方程；(2)若与交于、两点，与交于、两点，求的取值范围.。