2017年春季学期新版青岛版八年级数学下学期9.1、二次根式和它的性质典例解析2素材

教学内容9.1二次根式及其性质(2)教学目标210a a a=≥、掌握二次根式的基本性质：（）,并会用来化简二次根式。

2、经历积的算术平方根的性质的推导过程，并运用这一性质进行化简。

教学重点运用二次根式的基本性质进行化简。

教学难点运用二次根式的基本性质进行化简。

教学准备相关题目课前预习1、积的算术平方根有什么性质？教学过程教学环节教师活动（教法）学生活动（学法）情境导入观察思考例题讲解回答问题：2112;(2);(3).aa aa+1、取什么实数时，下列各式有意义？（）22222112302a a≥、计算，，（），的值，发现了什么？2、当时，的算术平方根是多少？你能得到一个等式吗？小结：20.a a a≥=当，点拨：利用上面的性质可以计算、化简一些二次根式。

学生回答问题。

学生自主学习，并回答问题。

师生分析，然后学生板书。

教学过程教学环节教师活动（教法）学生活动（学法）交流发现22a a a≥思考：当时，（）与有什么区别与联系？22.a aa aa区别：（）表示对先求算术平方根，然后再平方；表示先求的平方然后再求算术平方根。

联系：它们的运算结果都是2241310.254();.2ax练习：、计算：（）（）；（2）；（3）（4）49=_______,49_________;1625=_______,1625_________;3535(0,0ab a b a b⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=⋅≥≥计算下面的算式，并比较它们的运算结果，你有什么发现？（1）（2）（3）与相等吗？为什么？一般地，）。

这就是说，积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。

8611251692246320354225.x y⨯⨯⨯练习：、化简：（）；（）；（）；（）学生思考，并交流得到的答案。

学生做在练习本上。

学习自主学习，然后交流结论。

师生总结。

师生分析，然后板书。

学生做在练习本上。

教学过程教学环节教师活动（教法）学生活动（学法）巩固新知小结作业巩固练习：28623222422220.019(0).251692462035225211310.254();.23,,.a ax y a ba a aaxa b ca abc a b c a b≥⨯⨯⨯++≥-++++--+-1、化简：（1）；（2）（3）；（4）；（5）；（6）；（7）;（8）（）.2、计算：（）（）；（2）；（3）（4）、已知：是三角形的三边长，化简（b-c-）（）（）（c-）谈谈你有什么收获？P118习题9.1组第3题。

9.1二次根式和它的性质例1．在下列各式中,m 的取值范围不是全体实数的是( ）A ．1)2(2+-mB ．1)2(2-mC ．2)12(--mD ．2)12(-m 分析 不论m 为任何实数，A 、C 、D 中被开方数的值都不是负数.解答 B说明 考查二次根式的意义. 只要理解了二次根式的意义，记住在0≥a 时,式子a 才有意义，这样的题目都不在话下.例2．yx 是二次根式，则x 、y 应满足的条件是（ ) A ．0≥x 且0≥y B ．0>yx C ．0≥x 且0>y D ．0≥y x 分析 要使yx 有意义，则被开方数y x 是非负数.应满足条件是0≥x 且0>y 或0≤x ，0<y . 解答 D说明 式子a 叫做二次根式,a 可以是数，也可以是式子，但a 必须是非负数. 例3．判断下列根式是否二次根式：（1)3-； （2）3- （3）3)3(-（4）38 （5）a - （6）32-- (7）12--a (8）122++a a解答 （1）∵ 03<-，∴ 3-不是二次根式。

（2）∵033>=-，∴3-是二次根式.（3)∵ 027)3(3<-=-，∴3)3(-不是二次根式. (4)38是三次根式，不是二次根式.（5）∵ a -的符号不确定,∴当0≤a 时，a -是二次根式，当0>a 时，a -不是二次根式，∴a -不一定是二次根式。

(6）∵ 032>--，∴32--是二次根式. （7)∵0)1(122<+-=--a a∴12--a 不是二次根式.（8)∵0)1(1222≥+=++a a a ∴122++a a 是二次根式.说明 判定一个式子是否二次根式，主要观察两方面：第一，被开方数是否非负；第二，是否为二次根式.例4．求使x x 3132-++有意义的x 的取值范围.解答 要使32+x 使有意义，则032≥+x ，即23-≥x ；① 要使x 31-有意义，则031≥-x ，即31≤x .② 所以使 x x 3132-++有意义的x 的取值范围是3123≤≤-x . 说明 本题主要考察二次根式的基本概念，要弄清每一个数学表达式的含义. 根据二次根式的意义求解.例5．在实数范围内分解因式：（1）_________32=-x（2)________6524=+-m m（3）________3222=--x x解答 （1))3)(3()3(3222-+=-=-x x x x（2）)2)(3(652224--=+-m m m m)2)(2)(3)(3(-+-+=m m m m(3）5)2(22322222-+-=--x x x x)52)(52()5()2(22--+-=--=x x x说明 解本题的关键是对一个非负数a 能写成一个数平方形式。

初中数学青岛版八年级下册高效课堂资料9.1《二次根式和它的性质》教案1教学目标1．理解二次根式的概念；2．会求二次根式的被开方数中字母的取值范围；教学重点二次根式的概念和性质；教学难点求二次根式的被开方数中的字母的取值范围；教学过程一、导入新课我国自主研制的第一个月球探测器“嫦娥一号”卫星，于2007年10月24日发射成功。

（1）运用运载火箭发射航天飞船，火箭必须达到一定的速度，才能克服地心的引力，将飞船送入环绕地球运行的轨道．这个速度称为第一宇宙速度．第一宇宙速度的计算公式是v=1（2）要使一艘飞船脱离地心引力，进入围绕太阳运行的轨道所需要的速度称为第二宇宙速v=．第二宇宙速度是多少？度．第二宇宙速度为21二、新课学习1．已知x2 = a，那么a是x的______；x是a的________，记为______，a一定是_______数。

2．4的算术平方根为2，用式子表示为_____；正数a的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______；山青林场有甲、乙两块正方形苗圃。

已知甲苗圃的面积为S平方米。

1、如果乙苗圃的面积比甲苗圃大252、如果乙苗圃的面积为甲苗圃的23、如果乙苗圃的面积与甲苗圃的面积比为1P相比有什么共同点？4、交流上面得到的答案有什么共同点?x需要满足什么条件呢？强调： 要保证二次根式有意义，就要使根号下的数大于等于0。

例1、 x例2、计算：2 2(2)( 2(3)(-三、结论总结因为(a ≥0)表示a 的算术平方根0(0)a ≥≥并且它的平方等于a 2(0)a a =≥即所以(a ≥0)总是一个非负数表示a 的算术平方根:②a 都是非负数。

a ≥0）的式子叫做二次根式。

其中a 为整式或分式，a 叫做被开方式。

四、课堂练习1.判断下列各式是否是二次根式.0)a <（ （ 0)a <（）2．下列各式一定是二次根式的是（ ）A. C. 3．数a 没有算术平方根，则a 的取值范围是（ ）A.a >0B.a ≥0C.a <0D.a =04在实数范围内有意义，则x 的取值范围是( )A.x <2B.x ≤2C.x >2D.x ≥25．x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？（1 （2五、作业布置课本P.113第3题。

9.1 二次根式和它的性质1．二次根式的定义:一般地,式子0)a ≥叫做二次根式,可以从以下几个方面理解：（1a 可以是一个非负数，也可以是代数式，这个代数式的值必须是非负数，（2）0)a ≥既是二次根式，又表示非负数a 的算术平方根，0≥.2．二次根式的基本性质: 2(0)a a =≥，该公式也可以倒过来,即2(0)a a =≥,也就是说,可以利用它把任何一个非负数或式子写成一个数或式子的平方的形式.3．积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.4．商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.例1 函数y =x 的取值范围是 . 解：变量x 的取值范围,须使120x -≥(即被开方熟大于或者等于零)且10x +≠(即分母不等于零),即12x ≤且x≠-1. 所以应填12x ≤且x≠-1. 评注：①考虑二次根式有意义；②考虑分式有意义，只有同时有意义，才能求出自变量的取值范围.例2 已知x ＞2,的结果是( ).(A)x-2 (B)x+2 (C)-x-2 (D)2-x解： 选(A)故应选(A)评注：解此类题,被开方数能化成完全平方式的.可根据2(0)a a =≥进行化简.例3 已知a ＞b,( )(A) --(D) 解：选(D).评注：理解并熟练运用2(0)a a =≥,化简二次根式时,要判断或讨论根号内字母的符号,然后进行化简.此题也可以根据二次根式化简的法则,采取观察、分析符号两个步骤，运用排除法解答：（1）观察被开方数：由于被开方数中只有平方因式可以从根号内移到根号外，根号内的符号并不发生变化，观察原根式内的符号易知根号内不可能去掉负号，故可排除(B)、(C)；（2知ab ＜0,而a ＞b,故a ＞0,观察原来根号外为省略的“+”号，应保持正数性，故根号外必为a ，综合可得.例4 若x 、y为实数，且12y x =+. 解: 由x 的取值范围可知: 22404020x x x ⎧-≥⎪-≥⎨⎪+≠⎩∴x=2，y=1342==. 评注：本题实际是通过题目中的隐含条件：240x -≥，240x -≥，20x +≠，即x 的取值范围，求出x 和y 的值.例5把(a -(a-1)移到根号内得( )解: 根据二次根式的定义,被开方数11a -≥0,即a-1＞0∵(a -=故选(A)评注：根号外面的因式移到根号内,运用根式化简的逆向思维,即2(0)a a =≥,所以应选判断(a-1)的正负,若为正,则把这个数写成它的平方移到根号内.。

初中数学青岛版八年级下册高效课堂资料9.1 二次根式和它的性质(3)【课标要求】本节课是在学习了二次根式的概念以及性质的基础上进一步学习二次根式的商的算术平方根的性质，和最简二次根式，在教材中处于重要的位置。

【教学目标】：1 .了解（0（a ≥0,b ＞0）。

最简二次根式的定义。

2 .会化简二次根式。

【教学重难点】重点：（a ≥0,b ＞0）难点：会化简二次根式【教学过程】一.新课导入：同学们，前面我们学习了这一节我们学习二次根式的性质，二次根式的性质包括积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质，我们这节课首先来学习积算术平方根的性质.下面我们来看本节课的学习目标.【设计意图】通过复习前面的知识，让学生对本单元知识有了一定的把握，为本节课的知识做铺垫。

二.探究过程自学课本P115—118页的内容，仔细阅读课本问题和例题，并完成下列填空题.【设计意图】以学生为主体，让学生自主探索问题，教师从旁协助，引导，给出二次根式的概念及 被开方数的要求，这样能够让学生对新知的把握更加到位一、探究一1、计算下面算式，并比较它们的运算结果，你有什么发现？（1）＝94 ，＝94 （2）＝1625 ，1625＝ （3）53与53相等吗？为什么？ 一般地，b a b a ＝（a ≥0,b ＞0）。

商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。

2.例题例5 化简：（1）12181 （2） 4003 （3）24ab （4）21 练一练：化简b a b a ＝b a b a ＝（1）196144 （2） 950 （3）36128 【设计意图】通过例题的讲解，巩固了二次根式商的算术平方根的概念以及计算.探究二观察例5中化简后的格式，可以发现① ② 这样的二次根式称为最简二次根式。

例6 化去下列各式根号里的分母：（1）21 （2）b a 3 （3） 544 四.课堂小结.本节课你学到了哪些知识点、哪些数学思想，有哪些疑惑？【设计意图】让学生归纳梳理所学知识点和数学思想方法，形成知识网络。

9.1 二次根式和它的性质（1）教学内容二次根式的概念及其运用教学目标知识与技能目标：（a≥0）的意义解答具体题目．过程与方法目标：提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．情感与价值目标：通过本节的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，发展学生观察、分析、发现问题的能力．教学重难点关键12教法：1、引导发现法: 通过教师精心设计的问题链，使学生产生认知冲突，感悟新知，建立分式的模型，引导学生观察、类比、参与问题讨论，使感性认识上升为理性认识，充分体现了教师主导和学生主体的作用，对实现教学目标起了重要的作用；2、讲练结合法:在例题教学中，引导学生阅读，与平方根进行类比，获得解决问题的方法后配以精讲，并进行分层练习，培养学生的阅读习惯和规范的解题格式。

学法：1、类比的方法通过观察、类比，使学生感悟二次根式的模型，形成有效的学习策略。

2、阅读的方法让学生阅读教材及材料，体验一定的阅读方法，提高阅读能力。

3、分组讨论法将自己的意见在小组内交换，达到取长补短，体验学习活动中的交流与合作。

4、练习法采用不同的练习法，巩固所学的知识；利用教材进行自检，小组内进行他检，提高学生的素质。

媒体设计：PPT课件，展台。

课时安排：1课时。

教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：问题1：已知反比例函数y=3x，那么它的图象在第一象限横、•纵坐标相等的点的坐标是___________．问题2：如图，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是__________．BA老师点评：问题1：横、纵坐标相等，即x=y，所以x2=3．因为点在第一象限，所以，所以所求）．问题2：由勾股定理，得二、探索新知都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如（a≥0）•的式子叫做二次根式，议一议：1．-1有算术平方根吗？2．0的算术平方根是多少？3．当a<0例11xx>0）、、、1x y+（x≥0，y ≥0）．分析0．（x>0）、；不是二次根式、1x1x y+．例2．当x 在实数范围内有意义？分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，才能有意义．解：由3x-1≥0，得：x≥13当x≥13在实数范围内有意义． 三、应用拓展例3．当x 11x +在实数范围内有意义？分析+11x +2x+3≥0和11x +中的x+1≠0． 解：依题意，得23010x x +≥⎧⎨+≠⎩由①，得x≥-32由②，得x≠-1当x≥-32且x≠-111x +在实数范围内有意义．例4(1)已知，求xy的值．(答案:2)(2)+=0，求a 2004+b 2004的值．(答案:25) 四、归纳小结 本节课要掌握：12．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数． 五、布置作业 一、选择题1．下列式子，是二次根式的是（ ）A ．BCD ．x 2．下列式子，不是二次根式的是（ ）AB．．1x3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（）A．5 B．15D．以上皆不对二、填空题1．形如________的式子叫做二次根式．2．面积为a的正方形的边长为________．3．负数________平方根．三、综合提高题1．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，•底面应做成正方形，试问：底面边长应是多少？2．当x是多少时，x+x2在实数范围内有意义？3．4.x有（）．A．0 个． B．1个． C．2个 D．无数个5.已知a、b，求a、b的值．答案:一、1．A 2．D 3．B二、123．没有三、1．设底面边长为x，则0.2x2=1，解答：． 2．依题意得：230xx+≥⎧⎨≠⎩，32xx⎧≥-⎪⎨⎪≠⎩∴当x>-32且x≠0x2在实数范围内没有意义．3.134．B 5．a=5，b=-4板书设计：9.1 二次根式和它的性质（2）教学内容12.2=a（a≥0）．教学目标知识与技能目标：）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简．过程与方法目标：2=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题．情感与价值目标：通过本节的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，发展学生观察、分析、发现问题的能力．教学重难点关键1（a≥0）是一个非负数；）2=a（a≥0）及其运用．2．难点、关键：是一个非负数；•用探究的方法导出）2=a（a≥0）．教法：1、引导发现法: 通过教师精心设计的问题链，使学生产生认知冲突，感悟新知，建立分式的模型，引导学生观察、类比、参与问题讨论，使感性认识上升为理性认识，充分体现了教师主导和学生主体的作用，对实现教学目标起了重要的作用；2、讲练结合法:在例题教学中，引导学生阅读、类比，获得解决问题的方法后配以精讲，并进行分层练习，培养学生的阅读习惯和规范的解题格式。

初中数学青岛版八年级下册高效课堂资料9.1 二次根式和它的性质 教学设计【目标确定的依据】1.相关课程标准的陈述了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算.2.教材分析本课时在学生学过算术平方根的基础上，结合实际背景通过计算、比较、思考，概括出二次根式的概念，然后通过例题，讨论简单的二次根式中字母取值的范围问题，接着又重新提出等式a a 2=）（（a ≥0），作为二次根式的性质，再探索二次根式的另一个性质：）（0a a a 2≥=以及积的算术平方根的性质：），（0b 0a b a ab ≥≥∙=，并运用性质化简二次根式.类比分式的定义，二次根式的概念也采用了形式定义，由定义可知，二次根式有两个特征：一是从数学形式上看，带有二次根号；二是被开放数必须是非负数. 等式a a 2=）（（a ≥0）是由二次根式及算术平方根的意义直接推出的，它不仅说明开平分运算与平方运算互为逆运算，也反映了二次根式的一个性质：二次根式的平方等于它的被开放式.“交流与发现”活动先让学生发现两组算式运算顺序不同，再通过计算发现它们的运算结果相同，从而猜测出），（0b 0a b a ab ≥≥∙=，然后证明猜测是正确的.3.学情分析学生已学习了平方根、算术平方根等有关知识，有了一定的知识基础和认知能力，本课时及后面的知识学习对学生思维的严谨性、分类讨论及类比的数学思想等都有更高的要求.如果学生在此不能很好地理解和正确地认知，将对后续学习产生很大的影响,所以要求学生积极探究、思考及时加以训练巩固,真正“学会”.特别强调：2a ）（与2a 的相同点是：两个等式中字母a 的取值范围都是a ≥0，等式的右边都是a ；不同点是：两个等式左边的运算顺序不同，是先把2a ）（开方再平方，2a 是先平分再开方.【教学目标】1.通过动手操作，经历探索轴对称基本性质的过程，理解在成轴对称的两个图形中，对应点的连线被被对称轴垂直平分.2.通过练习，会作出简单图形（点、线段、直线、三角形等）关于给定对称轴的对称图形.3.通过在直角坐标系中，探索两个对称点的坐标之间的关系，能写出已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标.【教学重难点】重点：轴对称的基本性质的探索和应用. 难点：轴对称的基本性质的探索和应用.【课时安排】2课时第一课时【教学目标】1.通过学习二次根式的概念，理解a（a≥0）的意义，会确定二次根式有意义的条件.2.了解积的算术平方根的性质，注意公式的正向与逆向运用.3.在学习中进一步养成独立自主、合作分享、倾听质疑等学习品质和人格素养.【教学重难点】重点：二次根式的性质与积的算术平方根的性质及应用.难点：二次根式的性质与积的算术平方根的性质及应用.【评价任务】1. 通过动手操作，经历探索轴对称基本性质的过程，理解在成轴对称的两个图形中，对应点的连线被被对称轴垂直平分.2. 会作出简单图形（点、线段、直线、三角形等）关于给定对称轴的对称图形.附：板书设计9.1 二次根式和它的性质1.概念2.二次根式有意义的条件3.二次根式的性质4.积的算术平方根的性质【教学反思】附件1：教学目标叙写解读1.学习目标的设计要基于课程标准、教材分析和学情三方面的分析.2.学习目标的设计要把课程标准分四步细化分解，找到本节课的核心目标.即：学段目标—学期3.核心目标的分解第一步：分析陈述方式、句型结构和关键词。