线段的定比分点教案
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线段的长短比较教案
线段的长短比较教案一、教学目标1. 让学生掌握线段的定义及基本属性。
2. 培养学生观察、比较、推理的能力，提高空间想象力。
3. 培养学生合作学习、积极参与的精神。
二、教学内容1. 线段的定义及基本属性。
2. 比较线段的长短。
三、教学重点与难点1. 教学重点：线段的定义及基本属性，线段的比较方法。
2. 教学难点：如何准确、快速地比较线段的长短。
四、教学方法1. 采用直观演示法，让学生通过观察、操作，理解线段的定义及基本属性。
2. 采用比较法，让学生通过实践操作，掌握线段的长短比较方法。
3. 采用小组合作学习，培养学生的团队协作能力。
五、教学准备1. 教具：线段模型、直尺、画图工具。
2. 学具：每位学生准备一套线段模型、直尺、画图工具。
六、教学过程1. 导入新课：通过复习上节课的内容，引出本节课的主题——线段的长短比较。
2. 讲解线段的定义及基本属性：线段的定义，线段的长度、起点和终点。
3. 演示线段的长短比较方法：通过直观演示，让学生掌握比较线段长短的方法。
4. 实践操作：学生分组进行线段长短比较的实践操作，教师巡回指导。
七、课堂练习1. 让学生独立完成线段长短比较的练习题，巩固所学知识。
2. 教师选取部分学生的作品进行展示，评价学生的学习效果。
八、拓展延伸1. 引导学生思考：线段的长短比较在实际生活中的应用。
2. 学生分享生活实例，加深对线段长短比较知识的理解。
九、课堂小结2. 强调线段长短比较在实际生活中的重要性。
十、课后作业1. 让学生完成课后练习题，巩固线段长短比较的知识。
2. 鼓励学生在生活中观察、运用线段长短比较的知识。
六、教学活动1. 小组讨论：让学生分组讨论线段在实际生活中的应用，例如测量物品长度、规划路线等。
2. 分享成果：每组选取一名代表分享讨论成果，其他组成员可进行补充。
七、案例分析1. 教师展示线段长短比较在实际案例中的应用，如建筑设计、电路布线等。
2. 学生分析案例中线段长短比较的方法和原理。
初中数学比例线段教案
初中数学比例线段教案教学目标：1. 理解比例线段的概念，掌握比例线段的性质。
2. 学会判断四条线段是否成比例，并能求出两条线段的比。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
教学重点：1. 比例线段的概念和性质。
2. 判断四条线段是否成比例，求两条线段的比。
教学难点：1. 比例线段的性质的理解和应用。
2. 判断四条线段是否成比例的方法。
教学准备：1. 教师准备PPT或黑板，展示比例线段的例子和性质。
2. 学生准备笔记本，记录比例线段的概念和性质。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾线段的基本概念，如线段的定义、特点等。
2. 提问：我们已经学习了线段的基本概念，那么如何判断四条线段是否成比例呢？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解比例线段的概念：如果两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
2. 讲解比例线段的性质：比例线段的比相等，且相邻两条线段的比互为倒数。
3. 举例说明比例线段的判断方法和求比的方法。
三、课堂练习（10分钟）1. 让学生独立完成练习题，判断四条线段是否成比例。
2. 让学生求出两条线段的比。
四、总结与拓展（5分钟）1. 让学生总结比例线段的概念和性质。
2. 提问：比例线段在实际生活中有什么应用？五、课后作业（5分钟）1. 让学生完成课后作业，巩固比例线段的知识。
教学反思：本节课通过讲解和练习，让学生掌握了比例线段的概念和性质，能够判断四条线段是否成比例，并求出两条线段的比。
在教学过程中，要注意引导学生积极参与，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
同时，也要关注学生的学习情况，及时进行反馈和辅导。
线段的定比分点《线段的定比分点》教案
《线段的定比分点》教案新疆兵团二中 徐蓉一、 教育教学目标：（一）知识目标： 1.“线段的定比分点”的概念；2.“分点P 分有向线段21P P 所成比λ”的概念；3. 线段的定比分点坐标公式及中点坐标公式。
（二）能力目标: 1. 掌握线段的定比分点坐标公式的推导过程；2. 熟练运用线段的定比分点坐标公式及中点坐标公式解决有关问题。
（三）德育目标： 1. 培养学生主动参与、积极探究的主体意识；2. 渗透由特殊到一般的思想，培养用新的数学语言对原有的数学现象加以概括、加以解决的能力；3. 培养和锻炼学生善于发现规律、及时解决问题的态度和能力。
二、教学重点：线段的定比分点问题的确立；线段的定比分点坐标公式的推导过程以及公式的应用。
三、教学难点：由学生原有知识中“线段的分点”向“有向线段的定比分点”这一概念过渡以及“分点P 分有向线段21P P 所成比λ”这一概念的建立过程。
四、教学方法：启发式、讲练结合法。
五、教学过程：(一)提出问题，探究新知问题：直线l 上两点、 ，在l 上取不同于， 的任一点P ，则P 点与有向线段 12PP 的位置有哪几种情形？（请一名学生回答）（师）我们发现，不管是上述哪一种情形，点P 、1P 、2P 三点共线，有共线向量的充要条件可知：1P 2P 1P 2P存在唯一的实数λ ，使得12PP PP λ= ，λ叫做点P 分有向线段12PP 所成的比。
即：我们今天所要研究的课题----------线段的定比分点（板书） (二)解决问题，得到新知1. 线段的定比分点的定义:存在唯一的实数λ ，使得12PP PP λ= ，λ叫做点P 分有向线段12PP 所成的比。
探究:点P 的位置与λ的取值范围的关系:①当λ>0时, 1PP 与2PP共线同向；②当λ<0时, 1PP 与2PP共线反向(当λ<-1时,点P 在有向线段12PP 的延长线上；当-1< λ<0时, 点P 在有向线段12PP 的反向延长线上)。
平行线分线段成比例定理数学教案
平行线分线段成比例定理数学教案
标题：平行线分线段成比例定理
一、教学目标：
1. 学生能理解并掌握平行线分线段成比例定理。
2. 学生能运用该定理解决实际问题。
3. 提高学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
二、教学内容：
平行线分线段成比例定理：如果一条直线截两条平行线，所得的对应线段成比例。
三、教学步骤：
1. 导入新课
通过复习以前学过的关于平行线的知识，引导学生进入新课的学习。
2. 讲解新课
(1) 介绍平行线分线段成比例定理，并解释其含义。
(2) 利用教具或多媒体进行演示，帮助学生理解这个定理。
(3) 引导学生自己画图，尝试证明这个定理。
3. 巩固练习
设计一些习题让学生做，以此来检验他们是否真正理解了这个定理。
4. 拓展应用
引导学生将这个定理应用到实际生活中，或者解决其他数学问题。
四、教学反思：
在教学过程中，教师应关注学生的学习状态，适时调整教学策略，以达到最佳的教学效果。
同时，教师也应鼓励学生积极思考，培养他们的创新精神和实践能力。
五、作业布置：
设计一些与本节课内容相关的习题作为家庭作业，以便学生巩固所学知识。
六、教学评估：
通过课堂观察、作业批改以及测试等方式，对学生的学习情况进行评估，及时反馈学习效果，为下一步的教学提供参考。
线段的度量和比较教案案例
线段的度量和比较教案案例一、教学目标：1. 让学生掌握线段的定义和基本性质，能够正确地度量和比较线段的长度。
2. 培养学生运用线段知识解决实际问题的能力，提高学生的空间想象力。
3. 培养学生的团队合作精神，提高学生的动手操作能力。
二、教学内容：1. 线段的定义和基本性质2. 线段的度量方法3. 线段的比较方法4. 实际问题中的应用三、教学重点与难点：1. 教学重点：线段的定义和基本性质，线段的度量和比较方法。
2. 教学难点：线段的度量和比较方法在实际问题中的应用。
四、教学方法：1. 采用直观演示法，让学生通过观察和操作，掌握线段的定义和基本性质。
2. 采用实践操作法，让学生动手测量和比较线段，提高学生的动手能力。
3. 采用问题解决法，引导学生运用线段知识解决实际问题。
五、教学准备：1. 教学课件和教学素材2. 线段模型和测量工具3. 练习题和实际问题素材4. 小组合作学习表格六、教学过程：1. 导入：通过展示实际问题，引导学生关注线段的长度，激发学生的学习兴趣。
2. 新课导入：介绍线段的定义和基本性质，引导学生理解线段的概念。
3. 实践操作：让学生使用测量工具，度量和比较线段的长度，巩固所学知识。
4. 应用拓展：引导学生运用线段知识解决实际问题，提高学生的应用能力。
5. 总结提升：对本节课的内容进行总结，强调线段在实际中的应用。
七、课后作业：1. 完成练习题，巩固线段的度量和比较方法。
2. 选取一个实际问题，运用线段知识进行解答。
八、教学反思：1. 反思教学目标是否达成，学生对线段的定义和基本性质的掌握程度。
2. 反思教学方法是否恰当，学生动手操作和问题解决能力的提升情况。
3. 反思教学效果，针对存在的问题进行改进，为下一节课做好衔接。
九、教学评价：1. 学生课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况。
2. 学生作业完成情况：检查学生课后作业的完成质量，巩固所学知识。
3. 学生实际应用能力：评估学生在解决实际问题中的表现，提高学生的综合素质。
定比分点公式的推导和应用教案
定比分点公式的推导和应用教案一、定比分点公式的推导1.准备工作设有一线段AB，要在这一线段上找到一个点P，使得AP:PB等于一个给定比m:n（即AP/PB=m/n）。
2.推导过程根据题意，已知AP:PB=m:n，设AP=mx，PB=nx，其中x为线段AB的一个长度单位。
由于AP+PB=AB，所以mx+nx=AB，即x(m+n)=AB，由此得到x=AB/(m+n)。
所以AP=mx=ABm/(m+n)，PB=nx=ABn/(m+n)，因此点P的划分坐标为m/(m+n)和n/(m+n)。
3.定比分点公式根据上述推导过程得出：如果AP:PB=m:n，那么点P在线段AB上的划分坐标为m/(m+n)和n/(m+n)。
这就是定比分点公式。
二、定比分点公式的应用教案1.教学目标通过本教案的学习，学生能够掌握定比分点公式的推导过程，并能够灵活应用该公式解决实际问题。
2.教学过程（1）引入：教师出示一张图片，上面有一个线段AB和一个点P，问学生如何确定点P在线段AB上的位置，引导学生思考定比分点的概念。
（2）讲解：教师简要讲解定比分点公式的推导过程，并通过具体的数值例子来说明公式的应用。
（3）练习：教师出示几道具体的定比分点问题，供学生自主尝试解答，并在学生完成后进行讲解和讨论。
（4）拓展：教师提供更加复杂的定比分点问题，让学生运用定比分点公式进行解答，并逐步引导学生思考如何将定比分点应用到解决实际问题中。
（5）总结：教师与学生一起总结定比分点公式的推导过程和应用方法，并强调定比分点在工程、地理等领域的实际应用价值。
3.巩固练习让学生在课后完成一些相关的定比分点练习题，并在下节课开始前收集起来，以检查学生的学习情况。
4.课后作业布置一些与定比分点相关的作业题，要求学生运用定比分点公式进行解答，并在下节课上进行检查和讲解。
三、教学反思本教案通过引导学生思考和讲解推导过程，使学生能够理解并掌握定比分点公式的应用方法。
通过练习和拓展，学生逐渐培养了运用定比分点公式解决实际问题的能力。
数学教案-线段的比较与画法
数学教案－线段的比较与画法引言数学是一门抽象而又实用的学科，它不仅能够帮助人们分析和解决问题，还可以培养人们的逻辑思维和推理能力。
在数学的学习过程中，线段的比较与画法是一个重要的知识点。
通过学习线段的比较与画法，学生可以了解线段的特性，并能够运用这些知识解决实际问题。
本教案将围绕线段的比较与画法展开，旨在帮助学生深入理解线段的概念和操作技巧。
一、线段的比较1. 线段的定义线段是由两个端点确定的一条直线的部分，端点分别为起点和终点。
线段可以用两个字母表示，如AB表示线段的名称，A点为起点，B点为终点，记作AB。
2. 线段的比较方法在比较线段的长度时，可以使用以下方法： - 使用尺规进行测量，将线段与一个已知长度相比较，通过测量得出结果； - 使用比例进行比较，将两个线段的长度进行比较，求出它们的比值，比较这两个比值的大小，即可判断线段的长度大小关系。
3. 线段比较的性质•若线段AB和线段CD的长度相等，可以表示为AB=CD；•若线段AB的长度大于线段CD的长度，可以表示为AB>CD；•若线段AB的长度小于线段CD的长度，可以表示为AB<CD。
二、线段的画法1. 用尺规画线段使用尺规画线段的步骤如下： 1. 使用直尺将起点和终点连线，得到一条直线；2. 使用尺规从直尺上取下一个长度，将其作为一个新的直线段；3. 在新的直线段上标记起点和终点。
2. 使用比例画线段使用比例画线段的步骤如下： 1. 已知一个线段的长度和比例关系，可以标记出起点和终点； 2. 利用比例关系，在起点和终点之间插入线段。
3. 线段的画法注意事项•在画线段时要准确标记起点和终点，避免出现偏移；•在画线段时要使用直尺来保证线段的直线性；•在使用尺规进行测量时要准确读取尺规的刻度，避免出现误差。
三、案例分析以下是两个关于线段比较和画法的案例分析，通过解决这些问题，帮助学生更好地理解线段的比较和画法。
案例1：线段比较已知线段AB的长度为3cm，线段CD的长度为5cm，请比较线段AB和线段CD的长度。
七年级数学上册《线段长短的比较》教案、教学设计
针对以上学情分析，教师在教学过程中应注重启发式教学，结合学生的实际水平和认知特点，设计丰富多样的教学活动，激发学生的学习兴趣，提高线段长短比较的教学效果。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.理解线段的定义，掌握线段的性质，识别并画出线段。
重难点：线段定义的理解，线段性质的掌握，线段的识别与画法。
2.邀请学生分享他们在小组讨论和实践中的心得体会。
3.强调线段长短比较在生活中的实际应用，激发学生学习数学的兴趣。
4.总结本节课的知识点，布置课后作业，要求学生课后巩固所学。
五、作业布置
为了巩固学生对线段长短比较的理解和应用，我设计了以下几项作业：
1.基础知识巩固：
-完成课本第15页的练习题1、2、3，要求学生通过直接比较和间接比较的方法，准确判断给定线段的长短。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学的兴趣，激发学生探索数学问题的热情，增强学生学习数学的自信心。
2.引导学生认识到线段长短比较在生活中的实际应用，体会数学与现实生活的紧密联系，增强学生的应用意识。
3.培养学生严谨、细致的学习态度，让学生在解题过程中养成良好的思维习惯，提高学生的思维品质。
4.通过小组合作学习，培养学生团结协作、互相帮助的精神，使学生学会尊重他人、倾听他人意见。
2.线段的性质：线段有固定的长度，可以测量；线段上的点有限且可以数清。
3.线段长短的比较方法：
a.直接比较：将两个线段放在一起，直接观察哪个线段更长行比较。
（三）学生小组讨论
在这一环节，我将组织学生进行小组讨论，共同探讨线段长短比较的方法。
1.分组：将学生分成若干小组，每组4-6人。
1.帮助学生扎实掌握线段的相关知识，提高线段长短比较的能力。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.理解线段的定义，掌握线段的性质，识别并画出线段。
重难点：线段定义的理解，线段性质的掌握，线段的识别与画法。
2.邀请学生分享他们在小组讨论和实践中的心得体会。
3.强调线段长短比较在生活中的实际应用，激发学生学习数学的兴趣。
4.总结本节课的知识点，布置课后作业，要求学生课后巩固所学。
五、作业布置
为了巩固学生对线段长短比较的理解和应用，我设计了以下几项作业：
1.基础知识巩固：
-完成课本第15页的练习题1、2、3，要求学生通过直接比较和间接比较的方法，准确判断给定线段的长短。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学的兴趣，激发学生探索数学问题的热情，增强学生学习数学的自信心。
2.引导学生认识到线段长短比较在生活中的实际应用，体会数学与现实生活的紧密联系，增强学生的应用意识。
3.培养学生严谨、细致的学习态度，让学生在解题过程中养成良好的思维习惯，提高学生的思维品质。
4.通过小组合作学习，培养学生团结协作、互相帮助的精神，使学生学会尊重他人、倾听他人意见。
2.线段的性质：线段有固定的长度，可以测量；线段上的点有限且可以数清。
3.线段长短的比较方法：
a.直接比较：将两个线段放在一起，直接观察哪个线段更长行比较。
（三）学生小组讨论
在这一环节，我将组织学生进行小组讨论，共同探讨线段长短比较的方法。
1.分组：将学生分成若干小组，每组4-6人。
1.帮助学生扎实掌握线段的相关知识，提高线段长短比较的能力。
七年级数学上册《线段的比较》教案、教学设计
2.注重直观，引导探究：利用教具、多媒体等教学手段，展示线段的实物模型，帮助学生形成直观的认识。在此基础上，引导学生通过小组合作、讨论交流等方式，自主探究线段比较的方法。
3.分层教学，关注个体差异：针对学生的不同水平，设计难易程度不同的练习题，使每个学生都能在原有基础上得到提高。对于学习困难的学生，给予个别辅导，帮助他们克服难点。
3.拓展提高题：
a.如果一条线段的长度是另一条线段的两倍，如何求出这两条线段的中点？
b.在一个平面直角坐标系中，给出两个点的坐标，求这两个点所连线段的长度。
4.思考题：
a.除了本节课学到的比较线段长度的方法，你还能想到其他方法吗？请尝试提出一种新的方法，并说明其原理。
b.结合生活实际，谈谈线段比较在解决问题过程中的作用和价值。
（一）导入新课
1.教学活动：教师出示一张地图，上面标有两条路线，一条是直线，另一条是曲线。让学生观察并思考：如果要选择其中一条路线走到目的地，你会选择哪一条？为什么？
2.学生回答：学生会根据自己的直观判断选择直线路线，因为直线更短，省时省力。
3.教师引导：是的，直线确实是最短的路线。那么，如何判断两条线段的长度呢？今天我们将学习线段的比较。
在教学过程中，教师还需关注学生的情感态度，激发他们对数学的兴趣，帮助他们树立信心，克服学习中可能遇到的困难。通过多样化的教学手段和人性化的评价方式，鼓励学生积极参与课堂，发挥他们的主观能动性，使他们在轻松愉快的氛围中掌握线段的比较知识。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重点
1.线段的概念及其表示方法。
3.教师指导：在学生讨论过程中，教师巡回指导，引导学生深入思考，及时解答学生的疑问。
（四）课堂练习
1.教学活动：教师出示几道关于线段比较的练习题，让学生独立完成。
3.分层教学，关注个体差异：针对学生的不同水平，设计难易程度不同的练习题，使每个学生都能在原有基础上得到提高。对于学习困难的学生，给予个别辅导，帮助他们克服难点。
3.拓展提高题：
a.如果一条线段的长度是另一条线段的两倍，如何求出这两条线段的中点？
b.在一个平面直角坐标系中，给出两个点的坐标，求这两个点所连线段的长度。
4.思考题：
a.除了本节课学到的比较线段长度的方法，你还能想到其他方法吗？请尝试提出一种新的方法，并说明其原理。
b.结合生活实际，谈谈线段比较在解决问题过程中的作用和价值。
（一）导入新课
1.教学活动：教师出示一张地图，上面标有两条路线，一条是直线，另一条是曲线。让学生观察并思考：如果要选择其中一条路线走到目的地，你会选择哪一条？为什么？
2.学生回答：学生会根据自己的直观判断选择直线路线，因为直线更短，省时省力。
3.教师引导：是的，直线确实是最短的路线。那么，如何判断两条线段的长度呢？今天我们将学习线段的比较。
在教学过程中，教师还需关注学生的情感态度，激发他们对数学的兴趣，帮助他们树立信心，克服学习中可能遇到的困难。通过多样化的教学手段和人性化的评价方式，鼓励学生积极参与课堂，发挥他们的主观能动性，使他们在轻松愉快的氛围中掌握线段的比较知识。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重点
1.线段的概念及其表示方法。
3.教师指导：在学生讨论过程中，教师巡回指导，引导学生深入思考，及时解答学生的疑问。
（四）课堂练习
1.教学活动：教师出示几道关于线段比较的练习题，让学生独立完成。
湖南师范大学附属中学高一数学 线段的定比分点(向量)教案
湖南师范大学附属中学高一数学教案：线段的定比分点（向量）教材：线段的定比分点目的：要求学生理解点P 分有向线段21P P 所成的比λ的含义和有向线段的定比分点公式，并能应用解题。
过程：一、复习：1．向量的加减，实数与向量积的运算法则 2．向量的坐标运算 二、提出问题：线段的定比分点1． 线段的定比分点及λP 1, P 2是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P 1, P 2的任一点，存在实数λ，使 P 1=λ2PP λ叫做点P 分21P P 所成的比，有三种情况：λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0) 2．定比分点公式的获得：设P 1=λ2PP 点P 1, P, P 2坐标为(x 1,y 1) (x,y) (x 2,y 2) 由向量的坐标运算 P 1=(x-x 1,y-y 1)2PP =( x 2-x 1, y 2-y 1)∵P P 1=λ2PP(x-x 1,y-y 1) =λ( x 2-x 1, y 2-y 1) ∴⎩⎨⎧-=--=-)()(2121y y y y x x x x λλ ⎪⎩⎪⎨⎧++=++=⇒λλλλ112121y y y x x x 定比分点坐标公式 3．中点公式：若P 是21P P 中点时，λ=1222121y y y x x x +=+=4．注意几个问题：1︒ λ是关键，λ>0内分 λ<0外分 λ≠-1若P 与P 1重合，λ=0 P 与P 2重合 λ不存在2︒ 中点公式是定比分点公式的特例3︒ 始点终点很重要，如P 分21P P 的定比λ=21则P 分12P P 的定比λ=2 P 1PP222PPP4︒ 公式：如 x 1, x 2, x, λ 知三求一 三、例题：例一 (P114例一) 知三求一 例二 (P114例二) △重心公式例三 若P 分有向线段的比为43，则A 分所成比为37-（作示意图）例四 过点P 1(2, 3), P 2(6, -1)的直线上有一点，使| P 1P|:| PP 2|=3, 求P 点坐标解：当P 内分21P P 时 λ=3当P 外分21P P 时λ=-3当λ=3得P(5,0) 当λ=-3得P(8,-3)例五 △ABC 顶点A(1, 1), B(-2, 10), C(3, 7) ∠BAC 平分线交BC 边于D, 求D 点坐标解：∵AD 平分角∠BAC|AC|=1026222=+|AB|=1039)3(22=+-∴D 分向量CB 所成比λ=32 设D 点坐标(x, y) 则 1321)2(323=+-+=x 54132132107=+⨯+=y ∴D 点坐标为：(1,541) 四、小结：定比分点公式，中点公式 五、作业：P115-116 练习 习题5.5。
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线段的定比分点教案
授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪
一、教学目标：
（一）知识与技能目标：
1、理解点P 分有向线段12PP
所成比λ的含义；
2、明确点P 的位置及λ范围的关系。
3、在运用线段的定比分点坐标公式中能正确确定λ的值。
（二）过程与方法目标：
1、掌握线段的定比分点坐标公式的推导过程；
2、熟练运用线段的定比分点坐标公式及中点坐标公式解决有关问题。
（三）情感态度与价值观：
1、培养学生主动参与、积极探究的主体意识；
2、培养和锻炼学生善于发现、及时解决问题的态度和能力。
二、教学重点：线段的定比分点和中点坐标公式的应用及在应用中能正确确定λ的值。
三、教学难点：用线段的定比分点坐标公式解题时区分λ＞0还是λ＜０
四、教学方法：启发式、讲练结合法。
五、教学过程：
（一）提出问题，探究新知：
问： 直线l 上有两点P 1，P 2，在l 上取不同于12PP 的任一点P ，则点P 与12PP
的位置
有那几种情形？（请学生回答）
师：把线段P 1P 2规定方向后为有向线段12PP
时，P 1为起点，P 2为终点。
我们发现，
不管哪种情形
这时有向线段1PP 与2PP
为共线向量 那么它们共线的充要条件是什么？（当2PP 为非零向 量时，存在唯一的实数λ，使得12PP PP λ =）。
这个等量关系表明实数λ与两条共线的有向线段12PP PP 和的方向和长度有关。
由此得到定义（幻灯片演示）：，存在唯一的实数λ，使12PP PP λ =，λ叫做点P 分12PP 所成的比。
这时P 叫做有向线段12PP 的以定比为λ的定比分点。
即：我么今天所要研
究的课题---------线段的定比分点（板书）
P 2
P 1
l
（二）P 分点位置与λ的范围的关系
练习：根据定义，计算下面图形中点P 分12PP
所成的比。
（1） （2）
（3）
点评：（1）强调三点位置顺序：起点→分点，分点→终点。
（2）求λ的方法：λ的符号由所分两条有向线段的方向决定，绝对值为所分两条有向线段的模之比。
（几何画板演示）
这时λ值的变化情况: 得出结论：
（1） 分点在有向线段之间时，为内分点，0λ>；
（2） 分点在有向线段的延长线（或反向延长线）时，为外分点，0λ<； （3） λ的值与所分成的两条有向线段的方向和大小有关。
（三）定比分点坐标公式：
（1）探究推导：
由于P 是分有向线段12PP
的以定比为λ的定比分
点，说明P 点的坐标与点P 1,Ｐ2的坐标和λ有关。
下面我们将探讨P 点的坐标与点P 1,Ｐ2的坐标及λ的关系。
设点P 1, P, P 2坐标为(x 1，y 1)， (x ，y)， (x 2，y 2)，且
12PP PP λ =，由向量的坐标运算得
1PP =(x －x 1,y －y 1) ，2PP =( x 2－x, y 2－y) ∵12PP PP λ = ∴ (x －x 1,y －y 1) =λ( x 2－x, y 2－y) ∴⎩⎨⎧-=--=-)()
(2121y y y y x x x x λλ ⎪⎩
⎪⎨
⎧
++=
++=⇒λ
λλλ11212
1y y y x x x 定比分点坐标公式(1-≠λ) 强调：公式中分点、始点、终点坐标的位置不能搞错，不妨把公式记为
11x x y y x y λλλ
λ
++==
++始终始终分分，。
（2）中点坐标公式：（当1λ=时P 即为线段P 1P 2的中点。
）
2
2
1
12
21
1212
2
2
x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨
+⎪=⎪⎩.即其坐标为（2,22121y y x x ++）.
（四）定比分点公式的应用：
用定义求λ和应用定比分点坐标公式时；最需要引起注意的是顺序问题；
练习题：如图三角形ABC 三个顶点的坐标分别为112233(,)(,)(,)A x y B x y C x y 、、，D 是边AB 的中点，G 是CD 上一点，且2CG
GD
=，求点G 的坐标。
四、总结提炼：
通过本节的学习，大家掌握线段的定比分点坐标公式及中点坐标公式，以及λ的取值范围。
并能熟练运用线段的定比分点坐标公式及中点坐标公式解决相关问题。
（学生总结，教师加以概括） 五、作业：
1、设P₁ =(x₁ ， y₁) ,P₂=(x₂， y₂), P 是12PP
的三等分点，求P 的坐标。
2、如图 ，在ΔABC 中，AB 的中点是D(−2,1),AC 的中点是E(2,3)，重心是G (0,1),求A,B,C 的坐标。
1）
2,y 2）。