基本初等函数乘积的不定积分

探讨分部积分法中的数学思想方法【摘要】本文介绍了一种简单易行的判别方法，并通过例题加以说明，使初学者较易能够掌握这种积分方法，探讨了如何确定分部积分法中的u 与dv。

【关键词】不定积分分部积分法数学思想方法积分公式【中图分类号】o172.2 【文献标识码】a 【文章编号】2095-3089（2012）10-0141-01高等数学研究的对象是函数，其中主要研究的是初等函数。

在研究初等函数时，先从五类基本初等函数开始，在研究了基本初等函数之后，再研究更为复杂的初等函数。

高等数学课程研究的主线是先研究极限和连续，再研究导数和积分等。

在分部积分法教学中，u与dv的选择作为教学难点，初学者往往对u与dv的选择的预见性难以把握，为了突破这一难点，许多具有多年教学实践的教师结合学情，总结出很多关于选择u与dv的口诀或规律，帮助学生快速掌握分部积分法。

一、公式产生的原因和推导在引导分步积分法的公式时，教学模式一般都是直接由设函数u=u（x）；v=v（x）具有连续导数，根据函数乘积的微分运算法则有：duv=vdu+udv，移项得udv=duv-vdu，两边积分得∫udv=uv-∫vdu继而给出选择u、v的口诀，最后通过大量习题的演练从而达到熟练应用。

分部积分法是在解决诸如∫xn、ex、dx、∫xn、cosxdx等积分问题时出现的，显然被积函数既不能用直接积分法求得原函数，也不能用换元法来代换后再积分，因此只能回过头再来观察被积函数x■。

如果被积函数只是x■，它的原函数就是ex+c。

但如何将x■转变成 =1·ex？也就是将x如何转变为1？显然学生会立刻想到刚刚学习的最熟悉的导数可以将x如何转变为1，也就是要把x导一次而ex不导，被积函数就可以转变为ex了，也就是“前导后不导”，这样，学生自然而然联想到了函数乘积的导数问题，即uv′=u′v+uv′。

但是积分与微分互为逆运算，因此又联想到了函数乘积的微分运算法则，即duv=vdu+udv移项得udv=duv-vdu，两边积分得乙udv=uv-∫vdu，用这个公式就可以实现将x 转变为1的愿望，只需要让x扮演公式中u的角色，而 exdx转变为dex就知道v 的角色是ex扮演了。

㊀㊀㊀１２３㊀㊀不定积分计算方法的归纳小结不定积分计算方法的归纳小结Һ栾金凤㊀（内蒙古体育职业学院，内蒙古呼和浩特㊀０１００００）㊀㊀ʌ摘要ɔ不定积分的计算是积分学内容常用的基本工具．除了多做题以外，如何方便快捷地提升学生计算不定积分的能力呢？这是一线教师，教材编写工作者，以及各类参考书编写工作者一直思考的问题．为此，本文提出了计算不定积分的结论１㊁结论２㊁结论３㊁结论４和结论５．这些结论不仅通俗易懂，而且方便记忆，并且每个结论对应一个典型的例子．笔者希望本文对学生解题水平能力的提升和一线教师的教学工作有所帮助．ʌ关键词ɔ高等数学；不定积分；被积函数；原函数以函数作为主要研究对象的高等数学课程是大部分高等院校的必修基础课程之一，也是多数报考理工科专业的考研学生必考的学科．高等数学建立在初等数学的基础上，首先研究函数的极限，计算极限的方法，然后应用极限先后分别给函数的连续性㊁间断点㊁函数的导数㊁微分和积分下了定义和推导出了它们的性质㊁计算公式和定理．在某区间上定义的连续函数一定存在原函数，不定积分只是积分学中寻找原函数的一种常用的主要工具．计算不定积分最简便快捷的方法是使用计算机的数学软件，如ＭＡＴＬＡＢ数学软件㊁ｍａｐｌｅ数学软件㊁ｍａｔｈｅｍａｔｉｃ数学软件等，学生只需懂得数学软件的命令程序，便能很快且准确地计算出被积函数所对应的原函数．然而，从实际情况出发，一方面学生往往面临的是考试，另一方面一线教师往往面临的是板书（或ＰＰＴ）教学，他们只能用手算．另外，学生只有很好地掌握了不定积分的计算技巧和方法才能计算出原函数，才能掌握后续应用牛顿 莱布尼茨公式求定积分㊁二重积分㊁三重积分㊁两类曲线积分和两类曲面积分的方法．可见，不定积分是积分学的常用的基本工具．然而，不定积分的被积函数的表达式多种多样，课本上通常会介绍第一类换元法，第二类换元法，分部积分法，有理函数积分法，积分表的使用等．总之，由于被积函数种类多，计算不定积分的方法不确定，因此，初学者做不定积分题时往往会出现以下的问题：当看到被积函数时，不知用什么方法，无从下手；计算不定积分时，起初方法不对，这样不仅导致运算烦琐，计算量增大，而且还得不出原函数．解决这些问题，只靠盲目做题显然是行不通的，目前归纳总结是最有效的办法．笔者根据多年的教学经验，以结论的形式提出五个通俗易懂㊁简明扼要的求解不定积分题的归纳小结方法，与同行分享．结论１㊀当被积函数表达式中含有ｘ，３ｘ等无理式时，通常首先进行变量代换，把无理式变成有理式，然后进行积分运算例１㊀计算不定积分ʏｄｘ（ｘ＋３ｘ）ｘ．解题分析㊀被积函数中不仅含有ｘ，而且含有３ｘ，令ｘ＝ｔ３，则３ｘ＝ｔ２，此时可以把两个无理式变成有理式．解㊀令ｘ＝ｔ６（ｔ＞０），则ｄｘ＝６ｔ５ｄｔ．ʏｄｘ（ｘ＋３ｘ）ｘ＝ʏ６ｔ５ｄｔ（ｔ３＋ｔ２）ｔ３＝６ʏｄｔｔ＋１＝６ｌｎ（ｔ＋１）＋Ｃ（由于ｘ＝ｔ６，因此把ｔ＝６ｘ代入上式）＝６ｌｎ（６ｘ＋１）＋Ｃ．除此之外，如果被积函数中含有ａ２－ｘ２，那么可作变量代换ｘ＝ａｓｉｎｔ去掉根号；如果被积函数中含有ｘ２＋ａ２，那么可作变量代换ｘ＝ａｔａｎｔ去掉根号；如果被积函数中含有ｘ２－ａ２，那么可作变量代换ｘ＝ａｓｅｃｔ去掉根号．这些总结在多数高等数学课本中出现过，这里就不再赘述．结论２㊀当被积函数表达式为基本初等函数乘积时用分部积分法例２㊀计算不定积分ʏｅａｘｓｉｎｂｘｄｘ（ａʂ０）．解题分析㊀被积函数是指数函数ｅａｘ和正弦函数ｓｉｎｂｘ的乘积，因此用分部积分法．解㊀ʏｅａｘｓｉｎｂｘｄｘ＝１ａʏｓｉｎｂｘｄｅａｘ（首先，用一次分部积分法）＝１ａｅａｘｓｉｎｂｘ－ｂａʏｅａｘｃｏｓｂｘｄｘ＝１ａｅａｘｓｉｎｂｘ－ｂａ２ʏｃｏｓｂｘｄｅａｘ（然后，再用一次分部积分法）＝１ａｅａｘｓｉｎｂｘ－ｂａ２ｅａｘｃｏｓｂｘ－ｂ２ａ２ʏｅａｘｓｉｎｂｘｄｘ，㊀㊀㊀㊀㊀１２４㊀上述等式左㊁右两端都出现ʏｅａｘｓｉｎｂｘｄｘ，移项整理，得ʏｅａｘｓｉｎｂｘｄｘ＝ａｓｉｎｂｘ－ｂｃｏｓｂｘａ２＋ｂ２ｅａｘ＋Ｃ．除此之外，一些不定积分题的被积函数需要首先通过变量代换后把被积函数化简为基本初等函数的乘积，然后再用分部积分法，如ʏａｒｃｔａｎｘｄｘ，ʏｅ３ｘ＋１ｄｘ等．结论３㊀被积函数为分式结构，分母复杂，通过变量代换后变得简单些例３㊀计算不定积分ʏｄｘｘ（ｘ＋１）３（ｘ＞０）．解题分析㊀被积函数１ｘ（ｘ＋１）３的分母ｘ（ｘ＋１）３比较复杂，为此，令ｘ＝ｔａｎ２ｔ０＜ｔ＜π２()，代入被积函数表达式，可以把复杂的分母去掉．解㊀令ｘ＝ｔａｎ２ｔ，则ｄｘ＝２ｔａｎｔｓｅｃ２ｔｄｔ，ʏｄｘｘ（ｘ＋１）３＝２ʏｔａｎｔｓｅｃ２ｔｔａｎｔｓｅｃ３ｔｄｔ＝２ʏｃｏｓｔｄｔ＝２ｓｉｎｔ＋Ｃ．由于ｘ＝ｔａｎ２ｔ，因此把ｓｉｎｔ＝ｘ１＋ｘ代入上式，得原式＝２ｘ１＋ｘ＋Ｃ．除此之外，多数不定积分的被积函数经过化简分母后，分母同样会保留，如ʏｄｘｅｘ＋ｅ－ｘ，ʏｘ２（ｘ＋２）３ｄｘ等．结论４㊀被积函数为幂函数ｘｎ（ｘɪＺ＋）和正弦函数㊁余弦函数或指数函数乘积时，以降低幂函数次数的方式采用分部积分法例４㊀计算不定积分ʏｘ２ｅｘｄｘ．解题分析㊀被积函数是幂函数ｘ２和指数函数ｅｘ的乘积，用分部积分法只能采用降低幂函数次数的方式．解㊀ʏｘ２ｅｘｄｘ＝ʏｘ２ｄｅｘ（首先，用一次分部积分法）＝ｘ２ｅｘ－２ʏｘｅｘｄｘ（上述被积函数由ｘ２ｅｘ变为ｘｅｘ，幂函数的次数降低一次）＝ｘ２ｅｘ－２ʏｘｄｅｘ（然后，再用一次分部积分法）＝ｘ２ｅｘ－２ｘｅｘ－ʏｅｘｄｘ()（上述被积函数由ｘｅｘ变为ｘ０ｅｘ，幂函数的次数又降低一次）＝ｅｘ（ｘ２－２ｘ＋２）＋Ｃ．除此之外，如ʏｘｎｓｉｎｘｄｘ，ʏｘｎｃｏｓｘｄｘ等形式的不定积分只能以降低幂函数次数的方式采用分部积分法．结论５㊀被积函数为幂函数ｘｎ（ｘɪＺ＋）和对数函数㊁反三角函数乘积时，以增加幂函数次数的方式采用分部积分法例５㊀计算不定积分ʏｘ２ｌｎｘｄｘ．解题分析㊀被积函数是幂函数ｘ２和对数函数ｌｎｘ的乘积，用分部积分法只能采用增加幂函数次数的方式．解㊀ʏｘ２ｌｎｘｄｘ＝１３ʏｌｎｘｄｘ３(ｘ２ｌｎｘｄｘ＝１３ｌｎｘｄｘ３，幂函数的次数升高，应用分部积分法)＝１３ｘ３ｌｎｘ－１３ʏｘ２ｄｘ＝１３ｘ３ｌｎｘ－１９ｘ３＋Ｃ．除此之外，如ʏｘｎａｒｃｓｉｎｘｄｘ，ʏｘｎａｒｃｔａｎｘｄｘ等形式的不定积分只能以增加幂函数次数的方式采用分部积分法．数学题本身具有灵活性㊁多样性的特点，有些题需用综合上述五个结论中的若干个才能计算出原函数．这就需要学生通过做题来灵活体验．结束语本文建立在高等数学教材的基础上．本文给出了五个结论及与其相应的典型例子，以归类的形式介绍了解不定积分题的若干容易掌握的方法．学生在记住基本积分表，掌握两类换元积分法，分部积分法和有理函数积分法的基础上，继续掌握本文的五个结论，并通过勤练，很容易就能达到求解中等难度或者偏难的不定积分题的水平．对于大学生或者考研的学生来说，他们掌握了本文就在积分学中获得了寻找原函数的有力工具．学无止境，本文作者将在以后的工作中继续探究求解不定积分的方法．ʌ参考文献ɔ［１］同济大学数学系．高等数学（第七版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１４．［２］刘海军．高等数学（上册）［Ｍ］．北京：中国农业出版社，２０１９．［３］宋显花．几类三角函数的不定积分［Ｊ］．高等数学研究，２０１８（０６）：１６－１９．［４］徐英杰，范海宁．一类有理函数不定积分的求解［Ｊ］．数学学习与研究：教研版，２０２０（１０）：６－７．。

不定积分求解方法本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March探讨不定积分的解题方法班级学号姓名51 杨洁珊摘要在数学分析中，不定积分占有非常重要的地位，是高等数学教学的难点和重点．具有很高的灵活性，可以开拓学生的思路，培养学生灵活的思维能力，同时还存在一题多解的方法使学生能过做到举一反三、触类旁通的教学效果。

为了正确使用各种积分方法求解不定积分，我们必须掌握它的概念和性质以及积分的基本公式，才能够在以后的解题中做题自如，进行同类迁移。

研究不定积分要重在提高自己的逻辑思维能力、科学分析能力、运用数学语言能力、联想运算能力以及应用能力。

求解不定积分的过程对学生的科学思维和文化素质的培养所起的作用极为明显。

求解不定积分的方法主要有直接积分法（即直接利用积分公式求解）、换元积分法（第一换元积分法、第二换元积分法）、分部积分法。

关键词不定积分、直接积分法、换元积分法、分部积分法、分解积分法。

前言正如假发有逆运算减法，乘法有其逆运算除法一样，微分法也有它的逆运算——积分法。

我们已经知道微分法的基本问题是研究如何从已知函数求出它的导函数，相反：求一个未知函数使其导函数恰好是某一已知函数。

提出这个逆问题，首先是因为它出现在许多实际问题之中，如：已知速度求路程；已知加速度求速度；已知曲线上每一点处的，求曲线方程等等这些都是积分在生活中的应用，特别是在物理学中的应用，变力做功，质点做变速直线运动的路程以及引力问题。

所以掌握不定积分的求法，在我们的数学物理科学研究工作中显得尤为重要。

标题一、直接积分法我们已经知道积分法是微分的逆运算，即直接积分法就是利用最基本的积分公式求解积分。

要掌握这一方法首先就应该熟记，并懂得灵活运用。

下面的基本积分表就必须掌握1.0dx c=⎰2adx ax c=+⎰3.()10,01aaxx dx c a xa+=+≠>+⎰4() 1ln||0 dx x c xx=+≠⎰5.x xe e c=+⎰6.(0,1)ln x x a a dx c a a x=+>≠⎰17.cos sin axdx ax c a=+⎰ ()18sin cos 0axdx ax c a a=-+≠⎰ ()29sec tan 0xdx x c a =+≠⎰210.csc tan xdx x c =+⎰11.sec tan sec x xdx x c =+⎰12.csc cot csc x xdx x c =-+⎰13.arcsin arccos 'dxx c x c =+=-+⎰ 214.arctan cot '1dx dx x c arc x c x=+=-++⎰ 22115.ln ||2dx x a c x a a x a-=+-+⎰ 16.sec ln |sec tan |xdx x x c =++⎰在实际计算中最重要的是要把复杂的运算转化为熟悉的积分公式，如下几种情况(1).假分式化为真分式方法：分母不改变，对分子进行拼凑，转化为真分式。

之马矢奏春创作卷终公式表注解四基本不定积分表序言：微积分创建之初,牛顿与莱布尼茨分享荣誉.虽其间发生很多在优先权上的争论,但最终依然走向了发展之正轨.在微积分公式体系上,莱布尼茨对之要求甚严,并总结其基本微分表和基本积分表.如今随微积分之发展,公式表逐渐全面,分类亦几乎覆盖各种不定积分.积分表的编订对积分运算可以说是需要,亦是数学发展之需要结果.本表给出经常使用不定积分的计算公式和运算方法,以及每个积分的简要推演方法,其中引入了除一般之换元法,凑微分法,分部积分法之外,亦引入虚数单元,并使用虚数单元推演某些复杂的不定积分运算.而对简单的不定积分运算和基本的微分公式之反用,或均不在此给出推演方法,或仅以推演步伐简要之说明.本表收录公式16组,151式.公式一基本初等函数的不定积分18式：三角函数反三角函数上述公式均为基本初等函数之不定积分,其中部份公式均可以由分部积分公式给出,特另外,对正切函数,余切函数,正割函数与余割函数的不定积分,使用了诸多三角变换完成.公式二 含ax b +的积分（要指出a 非零）10式：对其中的第二式,是利用换元积分完成的.对第一者,可以利用凑的方式,我们考虑分式11x b ax b a ax b ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭,则得其积分是显的：111()ln ||x b b dx x d ax x ax b aC ax b a a ax b a a ⎛⎫⎛⎫=-=-++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎰⎰.而第二式依然采用类似的方式,可借由带余多项式除法算得：22211()2x x ax b ab b ax b a ax b ax b ⎡⎤=+-+⎢⎥+++⎣⎦,然后利用第一个积分式即可获得结论.对分母是二次多项式或者更高者,经常分成多个低次多项式之和,这两个积分即是沿用了此结论所获得的.我们注意第一式中有111111()(/)/b x ax b a x x b a a x x b a a⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭,积分即得.对第二式依然可用分离拆项的方式：221()11()()ax b ax a b x ax b bx b x ax b +-=-++,然后积分即可,而一般对拆项,经常使用待定系数的方法完成.公式三 9式第一式的证明用凑微分的方式即可完成.而有了第一式的结论,第二式可用分部积分完成计算.我们有：其中,对上式右侧的23a 再次使用凑微分的方法,即可得解：同理利用分部积分可以将第三式拆开,并以第二式证明之.利用凑微分的方式,我们显然有不定积分1Ca =,本组公式可以考虑用此公式,并使用分部积分即可证明一式：二式同理使用分部积分,并利用一式的结论即可证明.该公式是重要的不定积分之一,不定积分等式.可是该积分是欠好计算的,首先分部积分就不容易得出结果,而另一方面我们也无法进行一个显然的凑微分,因此对这一类带有根号式的积分,往往是先强行换失落根号,再作观察.因此令22,t b t t x dx dta a -=⇒==,于是22212()a t dt dt tb t a t b ==--⎰⎰,显然看到的是这个不定积分的结果需要讨论b 的正负来决定之后使用的不定积分公式：如果b 是负的,那么显然会使用反三角,如果b 是正的,则可能使用三角换元：然后将t 带入上式得原积分212,0dt C b t b ==+>-⎰.另外对负的b ,有：即原积分,0C b=<.该不定积分公式对负数的b 计算是很容易的.注意到微分公式,故上面公式均可以分部积分公式指出. 公式四 含有22x a ±的积分3式 一式用凑微分的方式以及微分公式21(arctan )1d x x =+容易得出.第二式是利用分部积分公式给出的递推式的形式：通过这个递推关系逐步下降分母的幂直到一式的情形,然后带入一式即可得解.三式是有理分式的不定积分,通常是将之拆分为两个容易计算的分式,则不难得出结果：公式五 含有2(0)ax b a +>的积分7式 除开显然的32()3ax ax b dx bx C +=++⎰不列为公式表所用之公式外,其余均与2ax b +有关,不外在下面公式的推理中,我们可以肯定的是推理可能是不惟一的,因此某些推理也是可能涉及了该公式的.是一个需要分类讨论的积分.显然的可以发现这个被积函数的形式与反正切是有关的,不外反正切的分母是加法运算,因此如果这里b 是负的,那么就不能适用反正切,这招致了积分需要分类讨论之. 该公式的证明中再一次的遇到了22dxx a -⎰形式的不定积分,虽然这里我采纳的是换元为三角函数的方法,而其实不是使用公式四中利用有理函数积分的性质来推理,可是三角换元计算不定积分是值得深入探讨和学习的计算方法,也许在这个公式中体现不出来,可是在某些场所下,三角换元无疑是强年夜的.一式是显然的.在这组公式中,除一式之外,后者在各种场所的运用还是相对频繁的.二式、三式都是典范的有理函数的不定积分问题,可以采用分离常数的方法来求解,其推理及其陈说如下： 类似的对之后的不定积分,依然可以拆项：可是对最后一式,拆项显然是不理想的,分子也不具备变量以进行凑微分,因此从分母考虑：接着带入公式（45）即得所证.公式六 含有2(0)ax bx c a ++>的积分2式先给出最基本的积分：该积分的证明需要分情形处置.一般来说,如果分母的二次式对应的二次方程是有根的,那么其不定积分可以考虑因式分解的方式拆分成两个分式之和,而对无实数解的情形,可以考虑配方的方式,并利用反三角函数的微分公式获得该不定积分的证明,不外在此我将使用另一种方式证明上述公式,我将在此引入虚数单元i ,并规定21i =-：这里的,R S 为20ax bx c ++=的两根,则：如果240b ac ->,那么R S -=则积分式即为否则为R S -==,则积分酿成：这里值得注意的是辐角arg 的取值问题,我们选择,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭这个区间并考虑反正切暗示,则这时候辐角中所给之复数必需保证实部恒正或恒负,但由判别式240b ac -<依然无法断言2ax b +之正负,这对反正切的暗示是晦气的,因此考虑对辐角进一步转化,一个方便的方法是对分式上下乘以1个虚数单元,则：将该式与Constant C =,得：虽然此方法比力复杂,可是可以说明的是,以复数进行实数的不定积分是可能的.以拆项的方式来拆分为两个不定积分,这是及其显然的： 公式七0)a >的积分14式0)a >的不定积分,通常会考虑的变换是221tan sec x x +=,特别是呈现在分母中的根式,这样做的好处不单可以抵消根式,同时可以处置并约分失落分母中的积分变量,以年夜幅度化简积分运算.不外在很多时候,我们也经常考虑双曲换元来完成,这是因为对正切与正割之间的关系式运算在某些时候没有双曲函数简便.下面几个公式都是可以通过换元获得的：第一式是典范的反双曲三角函数的微分,以及反双曲三角函数的界说式所得,事实上,我们设arsinh cosh cosh dx y x dx ydy dy y =⇒=⇒=因此对第一个不定积分式,采纳凑的方式即刻得之.二式也是典范的双曲换元获得的等式：其中,将ar sinh 2211tanh1x x y aa y a a =回带,即得之所证.三、四均是由微分公式d .然而如果对三式没有直接观察到亦无妨以双曲换元的得出：于是四式也可如法炮制：五式、六式可以凑得之：2xd =⎰,2xd ⎛⎫=⎰,再以分部积分得： 这样就完成了五式和六式.一式三角换元是显然的.但值得注意的是双曲正弦与对数之间的关系是：二式以双曲换元获得积分44cosh a xdx ⎰,以降幂进行变形,所得积分的计算是容易的：在得出结果之后,再以（二）倍角公式将2x 和x 还原为x 即得二式右侧.三式凑的方式即得其之所证.四式以分部积分,并二式,即得之所证.先以换元的方式将一式转化为三角积分或者双曲积分.转化三角积分时,以正切与正割的恒等式可得22sec 1csc tan sec a ydy ydy a y y a=⎰⎰,转化双曲积时,以双曲正弦或双曲余弦的恒等式可得2cosh 1csch sinh cosh a ydy ydy a y y a =⎰⎰,最后以余割或双曲余割的积分获得结果. 二式典范的转化为三角积分2222sec 1sec 1csc cot tan sec tan a ydy ydy y ydy a y y a y a==⎰⎰⎰,这是典范的余割函数的导数公式1(csc )'csc cot sin tan x x x x x =-=-. 注意到2xd a =⎝⎭⎰,带入一式.又注意到1x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭带入（50）式.公式八0)a >的积分6式利用最值公式对分母配方,得：首配方,再凑微分,并公式（56）,得：这里的推理虽然是相对复杂的,可是对一些好算的数值计算,这个推理过程会获得年夜年夜的简化.在这两个积分的基础上,下面的积分相对是容易计算的：用凑微分的方式进行变换：剩下的计算是容易的.依然是配方,与（64）分歧的是,根号下的加号酿成了减号,从而适用反三角的暗示.依然是配方,与（65）分歧的是,根号下的加号酿成了减号,从而适用反三角的暗示.用凑微分的方式进行变换,其方法同于（66）.在（64）（67）,（65）（68）和（66）（69）的比力中我们可以发现,对任意非零的实数a ,除后面的对数部份外,其暗示形式都是一样的,例如我们以（64）（67）为例,将两个公式和在一起写,并把对数部份写成对应的反三角形式的不定积分之后,则可以写成：其相似度可见一斑,那么我们将会询问这是为何.这里我将再度引入虚数单元i ,并规定其满足21i =-,借助欧拉公式和双曲三角函数的界说,我们考察正弦函数获得的是这样一个结果：sin sinh 2ix ixe e x i i ix --=-=-,令之为y 并反解之,得arcsin x y =的同时,也获得了另一个结果：arsinh()x i yi =-,也就是说获得一个转化等式arcsin arsinh()i y yi =,这个结果是令人感到惊奇的,如果在上述积分中我们无视a 为正数之情形,并对负的a 直接使用反双曲的结果,同时引入虚数单元i ,根据负数的平方根即是其绝对值开根后与虚数单元作乘积这一规定,即得：这与直接使用反正弦的结果是一样的.这个结果标明,（64）（67）,（65）（68）和（66）（69）是可以统一的.公式九0)a >的不定积分14式0)a >型的不定积分,此处继公式七之讨论,以及公式七和公式九的推演思想,给出根号下取负号的不定积分.在（50）~（55）六式中,引入虚数单元,并ai 替换a 即可证明上面六式的正确性.不外对（70）式要注意取值的正负直接令双曲正弦通过双曲恒等式转化成了双曲余弦函数. 在12arsinh ln(x C x C a =+=+中取ai 替换a 得： 在（56）~（59）四式中,引入虚数单元,并ai 替换a 即可证明上面四式的正确性.在（60）~（63）四式中,引入虚数单元,并ai 替换a 即可证明上面四式的正确性.其中对较为特殊的（80）和（83）中,我们注意以虚数单元替换之后,原本的对数表达式酿成了附带虚数单元的表达式： 于是：公式十 0)a >的不定积分14式（84）（86）（87）均以凑的方式即可证明,其中（84）利用了反正弦函数的微分公式,（86）（87）实际上就是幂函数的复合所得,因此可以考虑凑出根式内的微分,然后以幂函数的积分公式计算最终结果.（85）以三角换元完成计算：对（88）（89）各自使用分部积分即可完成演算：将上式所得最后的第三项分式进行处置,将其中一个a 乘进根式里,再与第一项合并即可.（89）式在处置的思想上是与之一致的,考虑分部积分,然后利用三角换元或者之前已经给出的不定积分式处置：显然使用三角换元是容易的：（92）式的证明与（56）式的推理类似,虽然我在前面指出（56）式的思路使用三角换元是显然的,可是真正处置起是来略微方便的：因此如果我们在已经建立了积分公式2arsinh 2a x C a =+的情形下,供认并使用这个积分公式来推导（92）式会比独自在证明（92）容易很多：在上述实数积分中引入虚数单元i 并供认21i =-,则令自变量以ix 替换之,则可立刻得：这样就完全可将（92）式与（56）式统一为同一公式.而同理的,可以在（57）（58）（59）中均引入虚数单元,则（93）（94）（95）的证明可以年夜幅度化简：在关于22x a +的积分中指出22222222222ln ||arsinh x a x a a dx x a a C x x x a x a x dx C x x a ⎧++-=+++⎪⎪⎨⎪++=-++⎪⎩⎰⎰,即公式（62）和公式（63）,同上之所证,利用虚数及公式（62）（63）可证明（96）（97）：公式十一 含x ax b -±-,()()x a x b --,0,0a b >>的积分4式：由分部积分公式得：其中：带回上式得()()ln ||||22x a x a b a b a dx x b x a x b C x b x b ----⎛⎫=-+-+-+ ⎪--⎝⎭⎰即为（98）式之所证.（98）式的给出,亦可使用还原的方式证明,考虑到不定积分自己具有根号,其干扰运算性太强,考虑强行抹消根号,于是令22222()1(1)x a a bt tdt t x dx a b x b t t --=⇒=⇒=----：对上式第二项中积分,可令,则获得,然后以三角函数处置,得：接着是计算式中的诸三角函数,可利用三角恒等式,如果限定了k 为锐角,亦可借助直角三角形,我在此选择后者：最后把x a t x b-=-,即得： 同理对（99）式换元之后,亦可解之,但鉴于计算复杂,这里不用换元的方法,我依然采纳分部积分的方式：其中：带回则完成证明.根据反三角的计算公式,考虑到根式恒正,因此上式中的反三角亦可写作：因此写作arcsinC =+⎝⎭亦是正确的.亦可通过公式（67）C =来计算,获得：通过一个简单的验证即可知上面的三种结果都是正确的： 换言之,arcsin ⎝⎭以及2()arcsin x a b a b -+- 当我们获得该结论之后,对第（100）式的证明方法就很多了,最简单的就是通过已建立的公式（68）来完成对不定积分公式（100）,其推理在（99）之中已经给出.由公式（68）：2C ,得：上式所给出三个不定积分的形式,均是正确的.公式十二 含三角函数的不定积分23式除基本初等三角函数之外,本组公式总结更为复杂的三角积分,其中包括了递推关系,凑微分以及分部积分等方法来完成其推理.（102）,（103）以降幂公式变形,再以基本初等函数的积分直接积分获得.（104）~（105）实质上就是导数公式的逆,因此我们如果要证明,只需以导数公式指出即可：先以凑微分对积分变量进行替换,紧接着以分部积分对之变形,当等式左右两侧都呈现相同的项时,通过移项的方式获得不定积分（108）的递推关系.（109）与之同理.依然可以考虑用同样的步伐完成（110）和（111）式,这是因为正割函数、余割函数与正切函数、余切函数都有恒等式的关系,因此与其使用弦函数来完成不定积分的运算,不如使用割函数更为明了.对正切函数、余切函数高次幂的不定积分,鉴于一次切函数的不定积分需要对数表达式,二次切函数会单出一个积分变量,招致积分是困难的,不外下面等式给出了切函数积分的一种算法,其中它们的幂都是取整数的：上面证明的分部积分是对正弦凑微分获得的,如果对余弦凑微分,则同理可获得以积化和差公式是容易证明的.典范的采纳万能变换,转化为有理函数的不定积分问题.因此我们很自然的会采用换元：tan 2x t =,于是由万能变换公式,得2222sin ,(2arctan )11t x dx d t dt t t ===++,于是所求的不定积分（117）即为2222112221t dt dt t at bt a a b t+=++++⎰⎰,这是典范的二次真分式的有理函数积分的问题,通过考虑判定式是否为正来讨论对应之二次方程是否有两个实数根,以方便拆分,如果没有实数根则配方,并利用反三角暗示,否则就拆为两个分式之和或者差,以对数的形式暗示.另外,借助已建立的公式（48）：亦可给出证明,且我们说过公式（48）指出判别式在为负数的情形下,借助虚数可以证明上下两个不定积分是等价的,因此我们对（117）之证明实际上也只需指出一个成立即可.（118）同理.证明是容易的.在现行的积分公式表中,（117）和（118）两式是被分成四个公式来处置的,考虑到三角函数与对数具有统一性,故在此将之合并为两式.由降幂公式得21cos21cos2sin ,cos 22x x x x -+==,再由万能代换得221tan cos21tan x x x-=+,令tan x t =,则： 从（117）至（120）,可见万能代换公式是很方便的一个公式,它将所有三角函数转化为有理分式成了可能,然后借助有理函数的不定积分来完成积分运算.从这一点看,万能代换公式无疑是很强年夜的.分部积分得：同理可证（122）.固然考虑万能代换也是可能的,不外要注意的是万能代换对公式（121）和（122）来说,比力繁杂.而公式（123）和（124）的推理思路与（121）和（122）相同,依然是通过分部积分完成推理,不外注意的是,可以使用（121）和（122）已经建立的结论.公式十三 含反三角函数的积分9式以上为弦函数的反函数之不定积分,其中（125）和（128）很容易就通过分部积分公式的获得：arcsin arcsin arcsin x x x dx x x C a a a =-=+⎰,（128）式与之同理.下面推导（126）和（127）,对（129）和（130）是可以类比的：对（127）,注意到使用换元arcsin x t a=之后,积分运算下的被积函数酿成正弦函数的平方和余弦函数之乘积,它自身是正弦三次方的微分,因此可以考虑分部积分公式,也就是232333333arcsin sin cos (sin )sin sin x x dx a t t tdt a td t a t t a tdt a===-⎰⎰⎰⎰,最后对正弦三次方的不定积分,可以采纳凑微分的方式,先凑出余弦函数的微分,然后对剩下的正弦二次方以恒等式换作余弦函数,最后以幂函数的不定积分一举收官,完成推理：另一方面,我们在建立了（125）,（126）,（127）之后,用反三角恒等式直接将反正弦化作反余弦,不定积分的计算也是可行的： 且如此计算比重新建立更为方便和简洁.对（130）以分部积分完成,（131）与（132）令arctan x t a=即可得出结论.公式十四 含指数函数的积分9式 以基本不定积分公式,ln x x x xa e dx e C a dx C a =+=+⎰⎰所建立起来的不定积分组,并对之进一步拓展.这是显然的.均以分部积分即可.可是某些时候我们所关心的其实不是这些积分之自己,而是关心这样一个特殊的关于t 的函数ln x t a a ,显然可以看到当t 为正整数时,函数暗示的是x a 的t 阶导函数,而如果t 为负整数,则暗示的是函数的t 重不定积分——这样的函数是关于求导次数的函数,我们把求导次数作连续延拓获得了一个对一切实数t 展开的新的连续函数,这个函数在微积分里被称作函数x a 的次导函数,该函数直接反应出了函数的非整数阶导数.以分部积分作推导,不难有下面两个等式：等式组可以看作是关于sin(),cos()ax ax e bx dx e bx dx ⎰⎰的方程组,解之即得.对（140）的证明,如下：移项并整理,得将④带入③,得⑤带入②,得所以移项并整理：（141）的证明与之类似.公式十五 含对数函数的积分4式 以基本不定积分ln ||,ln ln dx x C xdx x x x C x=+=-+⎰⎰展开的积分公式组.（142）凑微分.（143）分部积分可直接推得,而（144）也是分部积分,可是我们依然优先给出递推关系,然后利用递推关系进一步推得结果.由于对数函数的递推结果相对较简单,因此可以写成和的形式.而（145）的推导比（144）相对更为简单,因此这里先给出（145）：（145）的积分结果是简单的.可以看到,当这个积分我们不竭进行下去的时候,对数函数的幂会逐次下降,知道为零次,积分最终将酿成幂函数的积分问题.公式十六双曲函数的积分6式根据双曲函数的界说可直接获得.推理同正切函数和余切函数,先将双曲切函数转为弦函数,然后以凑微分的方式一举完成证明.以双曲之降幂公式即可.。

基本初等函数乘积的不定积分不定积分对于正在学习高等数学或者数学分析的大一学生来说确实是一个难点。

主要原因是不定积分不像导数有一套完整的计算规则，只能利用不定积分的性质求解，求解过程中容易出错。

尤其是一些复杂的不定积分，计算方法往往很有技巧，有时在中间过程中，需要使用积分表，避免求导错误。

利用闭校的空余时间，结合所做的习题，笔者选取了一些常用的积分公式，并以华东师范大学出版的《数学分析》教材后的积分表为模板进行分类，从其他一些数学分析教材中整理出一些解题过程中可能需要记忆的不定积分公式。

由于作者水平有限，难免有错误。

请批评指正。

(一)与基本初等函数有关的不定积分(1)\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C ( n\ne-1 )(2) \int\frac{1}{x}dx=ln\left| x \right|+C(3) \int a^{x}dx=\frac{a^{x}}{lna}+C特别地 \int e^{x}dx=e^{x}+C(4) \int lnxdx=xlnx-x+C(5) \int sinxdx=-cosx+C ; \int cosdx=sinx+C(6) \int sec^{2}xdx=tanx+C ; \int csc^{2}xdx=-cotx+C(7) \int secxtanxdx=secx+C ; \int cscxcotxdx=-cscx+C(8) \int tanxdx=-ln\left| cosx \right|+C ; \int cotxdx=ln\left| sinx \right|+C(9) \int secxdx=ln\left| secx+tanx \right|+C ; \int cscxdx=ln\left| cscx-cotx \right|+C(10) \int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}dx=arcsinx+C(11) \int \frac{1}{1+x^{2}}dx=arctanx+C(12) \int arcsinxdx=xarcsinx+\sqrt{1-x^{2}}+C ; \int arccosxdx=xarccosx-\sqrt{1-x^{2}}+C(13) \int arctanxdx=xarctanx-\frac{1}{2}ln(1+x^{2})+C（二）与三角函数有关的不定积分(14) \int sin^{2}xdx=\frac{1}{2}(x-sinxcosx)+C ; \int cos^{2}xdx=\frac{1}{2}(x+sinxcosx)+C(15) \int xsinxdx=sinx-xcosx+C ; \intxcosxdx=cosx+xsinx+C(16) \int \frac{1}{1\pm sinx}dx=tanx\mp secx+C(17) \int \frac{1}{1\pm cosx}dx=-cotx\pm cscx+C(18) \int tan^{2}xdx=-x+tanx+C ; \int cot^{2}xdx=-x-cotx+C（三）与指数函数，对数函数有关的不定积分(19) \int xe^{x}dx=(x-1)e^{x}+C(20) \int \frac{1}{1+e^{x}}dx=x-ln(1+e^{x})+C(21) \int xlnxdx=\frac{x^{2}}{4}(2lnx-1)+C（四）含有 \sqrt{x^2 \pm a^2} , \sqrt{a^2 - x^2} ,以及x^2 \pm a^2 的不定积分(22) \int \frac{1}{x^2 +a^2}dx=\frac{1}{a}arctan\frac{x}{a}+C , \int\frac{1}{x^2 - a^2}dx=\frac{1}{2a}ln\left| \frac{x-a}{x+a} \right|+C(23) \int \frac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}dx=ln\left|x+\sqrt{x^2 \pm a^2} \right|+C(24) \int \frac{x}{x^{2}\pm a^{2}}dx =\frac{1}{2}ln\left| x^2\pm a^2 \right|+C(25) \int \frac{x^2}{x^2+a^2}dx = x-arctan\frac{x}{a}+C(26) \int \frac{x^2}{x^2-a^2}dx= x+\frac{a}{2}ln\left| \frac{x-a}{x+a} \right|+C(27) \int \sqrt{x^2\pma^2}dx=\frac{1}{2}(x\sqrt{x^2\pm a^2}\pm a^2ln\left| x +\sqrt{x^2 \pm a^2} \right|) +C(28) \int \frac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}dx= ln\left|x+\sqrt{x^2 \pm a^2}\right|+C(29) \int \sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{1}{2}(x\sqrt{a^2-x^2}+a^2arcsin\frac{x}{a})+C(30) \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=arcsin\frac{x}{a}+C(31) \int \frac{x^2}{\sqrt{x^2 \pma^2}}dx=\frac{1}{2}(x\sqrt{x^2 \pm a^2} \mpa^2ln\left| x+\sqrt{x^2 \pm a^2} \right|)+C(32) \int \frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\frac{1}{2}(-x\sqrt{a^2-x^2}+a^2arcsin\frac{x}{a})+C（五）与a+bx有关的不定积分(33) \int \frac{x}{a+bx}dx=\frac{1}{b^2}(bx-aln\left| a+bx \right|)+C(34) \int \frac{1}{a+bx}dx=\frac{1}{b}ln\left| a+bx \right|+C通过日常的训练，笔者总结出了上面的积分表，在以后的学习中我会不定期的更新完善这篇文章。

百度文库基本初等函数1常数函数：c y =；1y =；y e = 2幂 函 数：y x α=；2x y =；x y =；1y x -=；/m n n m y x x == 3指数函数：x a y =；x e y = 4对数函数：x y a log =；x y ln =；x y 2log =；lg y x = 5三角函数：x y sin =；x y cos =三角函数是有界函数，sin x 奇函数；cos x 偶函数6奇函数：()()f x f x -=- 图形关于坐标原点对称；偶函数：()()f x f x -= 图形关于y 轴对称；含有x x a a -+因子的是偶函数；含有x x a a --因子的是奇函数，两个重要极限 1 e 和1sin lim 0=→x x x e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim 无穷小量×有界量＝无穷小量当x →∞时，1sin n xπ是无穷小量1sin lim 0=→x x x ()e x xx =+→101lim极限运算法则：g f g f lim lim )lim(±=±sin lim0x xx→∞=lim sin 0x x x →=f k kf lim )lim(=；lim lim lim fg f g =⋅微分公式 dx y dy '=kdx dkx =dx ax dx x dx a a a 1)(-='= adx a dx a da x x x ln )(='=dx dx x x d 2)2(2='= 221log (log )ln 2d x x dx dx x '== xdx dx x x d cos )(sin sin ='= dxe dx e de x x x ='=)(dx xdx x x d 1)(ln ln ='= xdx dx x x d sin )(cos cos -='=导数公式0)(='c 1)(='x a x x a ln 1)(log =' x x cos )(sin =' 0)0(='2()2x x '=x x 1)(ln ='x x sin )(cos -=' ()01='211x x -='⎪⎭⎫ ⎝⎛ a a a x x ln )(=')()()('±'='±g f g f)()()('+'='g f g f fg )()('='f k kf1)(-='a a ax xxx 21)(='x x e e =')(2)()(g g f g f g f '-'='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛复合函数求导基本方法()()x x x x 2cos 222cos 2sin ='='()()22222x x x xex ee ='='()()22212ln x x x x ''==[](())(())()y f x f x x φφφ''''==不定积分公式0 dx c =⎰ 2dx x c x= ln xxa a dx c a =+⎰不定积分运算法则： 加减法，数乘1 dx x c =+⎰ 322 3x dx x c =+x x e dx e c =+⎰⎰⎰⎰±=±gdx dx f dx g f )(21 2x dx x c =+⎰ 11 1aa x dx x c a +=++⎰ sin cos x dx x c =-+⎰ dx f k kfdx ⎰⎰= 211 dx c x x=-+⎰ 1ln ||dx x c x =+⎰cos sin x dx x c =+⎰分部积分法计算法则 运算公式：fg dx f dg fg g df '==-⎰⎰⎰对幂指三x ln xx esin x 、cos x两两组合，位置排在前面的选f ，排列在后面的选g '凑微分公式dx c dx =+x d dx xln 1= x d dx x21= 原函数()F x 与被积函数()f x之间的关系kdx c dkx =+ x x de dx e = x d xdx cos sin -= ⎰+=c x F dx x f )()(221dx xdx =x d dx x112-= x d xdx sin cos =)()(x f x F ='定积分公式() ()|()()bbaaf x dx F x F b F a ==-⎰() bb baaaf g dx f dx g dx ±=±⎰⎰⎰bbaakf dx k f dx =⎰⎰（为常数）| bbb a aafg dx fg f g dx ''=-⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=⎰⎰-aaa为偶函数时x 即当f x f x f dx x f 为奇函数时x 即当f x f x f dx x f 0)()()(,)(2)()()(,0)( 逆矩阵求法用初等行变换求逆矩阵的方法：()()1||P I I P −−−−→初等行变换－齐次方程0m n A X ⨯=有非零解和零解条件当()r A n =时齐次方程0AX =只有零解。

第八章 不 定 积 分1 概念与基本积分公式引入 求导 (微分)运算的逆运算一、不定积分的定义 1、原函数例 1 ( )'211x =+ ( )'2cos x =- ( )'2x = (d dx )sin 2x e x -=-(d )xdx = ( )'arctan x = 21arctan ln(1)2x x x ⋅-+定义 1 设函数F 和f 在区间I 上都有定义. 若在I 上，有()()F x f x '=, 则称F 为f 在区间I 上的一个原函数.注1 若f 可导, 则f 为()f x '的一个原函数. 原函数的基本问题1) 什么样的函数存在原函数?2) 若已知原函数存在，是否唯一？ 如何求？ 定理 1 若f 在区间I 上连续，则f 在I 上存在原函数. 推论1 初等函数在其定义域上都有原函数.问题 定理 1的逆定理是否成立? 即若f 在I 上存在原函数, 则f 是否连续?(答案是否定的, 也就是说间断函数可能具有原函数,). 详细地说, 仅有第二类间断点的函数可能有原函数. 而具有第一类间断点的函数不可能具有原函数.定理2 1) 若()F x 是()f x 在区间I 上的一个原函数，则对任何常数c ，()F x c + 都是()f x 在区间I 上的原函数.2) 若函数()G x 也是()f x 在区间I 上的一个原函数，则必有常数c ，使得()()G x F x c =+. (任何两个原函数之间相差一个常数c )注2 若()F x 为()f x 的一个原函数, 则()f x 的所有原函数为{(); }F x c c R +∈. 2、不定积分定义 2 f 在区间I 上的全体原函数称为f 的不定积分, 记作()f x dx ⎰或 f dx ⎰, 其中⎰为积分号,f 为被积函数, x 为积分变量, ()f x dx 为被积表达式.例 2 21dxx+⎰arctan x c =+, 323x x dx c =+⎰注 3 若F 为f 在区间I 上的一个原函数，则f 的不定积分为()F x c +，即()f x dx ⎰()F x c =+，这说明求不定积分只需求一个原函数, 再加上常数c 即可. 特别地，()()f x dx f x c '=+⎰, (())()f x dx f x '=⎰或者微分形式 ()()df x f x c =+⎰, (())()d f x dx f x dx =⎰. 在忽略常数的意义下, 求积分与求导数是一对互逆运算.不定积分的几何意义 若()F x 为()f x 的一个原函数，则称曲线()y F x =为f 的一条积分曲线. 这样f 的不定积分在几何上就表示f 的某一条积分曲线沿纵轴(y 轴)方向任意平移所得的一切积分曲线组成的曲线簇.现在我们回到前面的原函数基本问题: 怎么求原函数? 即怎样求不定积分?例 3 设()f x 是有界闭区间[,]a b 上的非负连续函数. 曲线()y f x =与直线,x a x b ==及0y =所围成的平面图形ABCD 称为曲边梯形,下面讨论曲边梯形的面积S (严格论证以后给出).任取[,]x a b ∈. 记曲边梯形AMND 的面积为()S x 则()0, ()S a S b S ==. 当x 变到x x +∆时……0x ∆≈时, ()()()S S x x S x f x x ∆=+∆-≈∆ 因此 '()()S x f x =因而求导的逆问题也称为求积问题,求曲边梯形面积可归结为求原函数问题. 到底该如何求原函数? 求原函数也的确是一个比较困难的问题,即使是一些简单的函数, 如前面的arctan x ,也不能一下看出来, 这就需要引进一些积分方法. 二、不定积分的基本公式 1、设函数,f g 存在原函数, 则1) (())()f x dx f x '=⎰, (())()d f x dx f x dx =⎰; 2)()()f x dx f x c '=+⎰, ()()df x f x c =+⎰; 3) 0α≠，()()f x dx f x dx αα=⎰⎰; 4)()()()()f x g x dx f x dx g x dx ±=±⎰⎰⎰.由3)、4) 可知不定积分为线性运算，即[()()]()()f x g x dx f x dx g x dx αβαβ+=+⎰⎰⎰ 22(,, 0)R αβαβ∀∈+≠. 2、基本积分表1) 0 dx c =⎰ 2) 1 dx x c =+⎰3) 11x x dx c ααα+=++⎰ (1)α≠- 4) 1ln ||dx x c x =+⎰5) xxe dx e c =+⎰ 6) ln xxa a dx c a=+⎰ (0,1)a a >≠7) sin cos x dx x c =-+⎰ 8) cos sin xdx x c =+⎰ 9) 2sec tan xdx x c =+⎰ 10) 2csc cot xdx x c =-+⎰ 11) sec tan sec x xdx x c =+⎰ 12) csc cot csc x xdx x c =-+⎰ 13)tan ln |cos |xdx x c =-+⎰ 14) cot ln |sin |xdx x c =+⎰15) sec ln |tan sec |xdx x x c =++⎰ 16) csc ln |csc cot |xdx x x c =-+⎰ 17)arcsin arccos x c x c =+=-+ 18)2arctan arccot 1dxx c x c x =+=-++⎰19)221arctan dx xc x a a a =++⎰ 20) 221ln ||2dx x ac x a a x a -=+-+⎰21)arcsinxc a=+ 22) ln(x c =++例 4 1) ⎰; 2)⎰;3) 01nn a a x a x dx ++⋅⋅⋅+⎰（）; 4) 221x dx x +⎰;5) 421x dx x +⎰;6) 2(1010)x x dx -+⎰; 7) 2312x x e dx --⎰;8) 2cos 2sin xdx x ⎰; 9) 22cos sin d θθθ⋅⎰;10) cos cos3x xdx ⋅⎰; 11) 22dx x +⎰;12)()()dxx a x b ++⎰; 13)22dx x -⎰;问题: ()f x dx ⎰与()f u du ⎰是否相同?例 5 已知()F x 为()2f x x =的一个原函数, 且(2)5F =, 求()F x .例 6 已知211dy dx x =-, 求()y y x =.例 7 考察21sin , 0;() 0, 0,x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩的导函数性质.2 换元积分与分部积分法一、第一类换元法----凑微分法544sin 25sin 2(sin 2)10sin 2cos 2d x x x dx x xdx '=⋅=⋅4410sin2cos 25sin 2(sin 2)x xdx x x dx '⋅=⋅⎰⎰45sin 2sin 2xd x =⎰sin 2u x = 45u du ⎰55sin 2u c x c =+=+ 定理 1 若()()f u du F u c =+⎰，()u x ϕ=连续可导, 则(())()(())f x x dx F x c ϕϕϕ'⋅=+⎰，即若被积函数()g x 能够分解为()(())()g x f x x ϕϕ'=⋅, 则()(())()(())()g x dt f x x dt f x d x ϕϕϕϕ'=⋅=⎰⎰⎰()u x ϕ=()()(())f u dx F u c F x c ϕ=+=+⎰例 1 1) ()m ax b dx +⎰ (1,0)m a ≠-≠2) 2sec (53)x dx -⎰3) 1cos3cos 2(cos cos5)2x xdx x x dx ⋅=+⎰⎰凑法1 11()()()()f ax b dx f ax b d ax b f u du a a+=++=例 2 1) 21sin (1cos 2)2xdx x dx =-⎰⎰2)2122dx c x =+⎰ 221[arctan ]dx x c a x a a =++⎰3)22232(1)2dx dx c x x x ==+++++⎰⎰4) 211ln ||23(3)(1)43dx dx x c x x x x x -==++-+-+⎰⎰5) 223xdx x x +-⎰例 3 21xdx x +⎰凑法2 111()()()()k k k k x f x dx f x d x f u du k k-== 如 2221()()2xf x dx f x dx =2f =例 4 1) 4104x dx x+⎰2) 2sin x x dx ⋅⎰3)4) 2c ===⎰⎰或5) 2221ln (1)21dx x c x x x =+++⎰凑法3 (sin )cos (sin )sin f x xdx f x d x ⋅= (cos )sin (cos )cos f x xdx f x d x =- 2(tan )sec (tan )tan f x xdx f x d x = 例 5 1) 3sin cos x xdx ⎰2) 3sin xdx ⎰3) 2cos 11sin sec ln ||cos 21sin x xxdx dx c x x+==+-⎰⎰4) 622sec (1tan )tan xdx x d x =+⎰⎰5) 5342tan sec tan sec sec x xdx x xd x =⎰⎰凑法4 ()()x x x x f e e dx f e de = 例 6 1) 2t dte --⎰2) 2t dt e -⎰凑法5 1(ln )(ln )ln f x dx f x d x x =例 7 1) 1ln dx x x ⎰ 2)(12ln )dxx x +⎰凑法6(arcsin )(arcsin )dx f x d x =2(arctan )(arctan )arctan 1f x dx f x d x x =+例 82c =+注：第一类换元积分关键在于看被积函数的形式能否凑成(())()f x x ϕϕ'⋅的形式，或看被积函数(复合)哪一部分较复杂，先换元试试看.例 9 1) ln()x x x x x x e e dx e e c e e----=+++⎰ [()ln |()|()f x dx f x c f x '=+⎰]2) ln 1ln x dx x x+⎰ 3)2sec sec tan sec sec tan x x x xdx dx x x +=+⎰⎰4)5)6)2222x dx x x -++⎰ 7) 2223x dx x x -+-⎰8) 分析22Ax Bx C dx ax bx c ++++⎰形式积分9)2222cos sin cos sin x x dx a x b x +⎰ 10) 2222cos sin dx a x b x +⎰11)22sin dx x -⎰ 12) 22sin dx x +⎰13)2sin cos sin cos x x dx x x -+⎰二、第二类换元法----拆微分法sin x t = sin t 21cos 1cos 22tdt tdt ==+⎰⎰11sin 224t t c =++1(arcsin )2x x c =+ 定理 2 设()x t ϕ=是连续可微的,且()0t ϕ'≠. 若(())()f t t ϕϕ'⋅具有原函数()F t , 则有换元公式1()(())()()(())f x dx f t t dt F t c F x c ϕϕϕ-'=⋅=+=+⎰⎰.常见代换：三角代换、无理代换、双曲代换、倒代换、万能代换、Euler 代换等1、 三角代换1) (正) 弦代换 (0)a >的积分施行，目的是去掉根号，方法是令sin x a t =cos cos a t a tdt =⋅, arcsin x t a =. 例 10 1)arcsin x c a =+2)=2) (正) 切代换 (0)a >的积分施行，目的是去掉根号，方法是令tan x a t =sec a t =, 2sec dx a tdt =, arctan x t a =. 例 11 1)2)222()dx x a +⎰ (0)a >3) (正) 割代换 (0)a >的积分施行，目的是去掉根号，方法是令sec x a t =tan a t =, sec tan dx a t tdt =⋅, arccos a t x =.例 12 1)sec ln |sec tan |ln ||...x tdt t t c c a a ==++=++=⎰2)c =2、万能代换 常用于被积函数为三角函数的有理分式形式 令tan 2x t =，则22sin 1t x t=+, 221cos 1t x t -=+, 22tan 1t x t =-, 221dt dx t =+, 2arctan x t =. 例 13 1)2cos dx x +⎰2)1sin cos dx x x ++⎰3)2sin cos sin cos x x dx x x -+⎰4) 1sin sin (1cos )x dx x x ++⎰5)2222sin cos dx a x b x +⎰3、无理代换若被积函数中有⋅⋅⋅形式时，令n 为12,,k n n n ⋅⋅⋅的最小公倍数，作代换t =，则1, n n x t dx nt dt -==，将被积函数转化为t 的有理函数。