二项式定理的应用—赋值法

赋值法在二项式定理中的应用赋值法是给代数式(或方程或函数表达式)中的某些字母赋予一定的特殊值，从而达到便于解决问题的目的．实际上赋值法所体现的是从一般到特殊的转化思想，在高考题中屡见不鲜，特别是在二项式定理中的应用尤为明显，现以例说明．一、用赋值法解决二项式系数的有关问题利用二项式定理的展开式与所求问题进行类比转换，实现从一般到特殊的转化，用来证明或求值．思路设法从已知等式中求出n．(1＋2)n = 729，即3n = 36，解得n = 6．注意：所求式子中缺少一项，不能直接等于26．二、用赋值法解决项的系数的有关问题例2 (1997年上海高考题)(3x＋1)n(n∈N*)展开式中各项系数和为256，求x2的系数．设(3x＋1)n = a0x n＋a1x n-1＋a2x n-2＋…＋a n．①由题意：a0＋a1＋a2＋…＋a n = 256．在①式中令x = 1得4n = a0＋a1＋a2＋…＋a n = 256，解得n = 4．a3)2－(a1＋a3)2 =[ ] A．1B．－1C．0D．2解(a0＋a2＋a3)2－(a1＋a3)2= (a0＋a1＋a2＋a3＋a4)(a0－a1＋a2－a3＋a4)．上式左边中的两个式子分别是所给展开式中x取1和－1时的表达式．故选A．三、综合应用在综合应用中要求学生能严格区别二项式系数与项的系数，注意项的系数的符号与式子的结构，灵活应用其他相关知识解题．例4若(1－3x)9 = a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9| = ________．解由二项式的展开式可知a0，a2，…，a8为正，a1，a3，…，a9为负，于是|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9| = a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9．在所给的展开式中，令x = －1得|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|= a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9 = [1－3(－1)]9 = 49．例5 (1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n = b0＋b1x＋b2x2＋…b n x n，且b0＋b1＋b2＋…＋b n = 62，则n = ________．解在(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n = b0＋b1x＋b2x2＋…＋b n x n中，令x = 1，得2＋22＋23＋…＋2n = b0＋b1＋b2＋…＋b n = 62，赋值法是由一般到特殊的一种处理方法，在其他章节中也有广泛应用，望同学们在学习中能举一反三．。

赋值法在高中数学中的应用康乐一中 倾转莉摘要： 赋值法在高中数学中应用广泛，本文总结了赋值法在高中数学中主要应用有函数方程，二项式定理，算法，恒成立问题，解选择题与填空题等。

关键字：赋值法 抽象函数 二项式定理 算法 恒等变化赋值法就是给变量赋予特殊的数值。

可以把抽象的问题具体化，把普遍的问题特殊化。

赋值法在高中数学中的应用常见在以下几个方面：一．赋值法在抽象函数性质中的应用赋值法在函数性质中应用最广，特别是应用在抽象函数中用来的判断函数的奇偶性，讨论函数的单调性，求函数的值域，判断函数的周期性，求函数的解析式等方面。

（一）判断函数的奇偶性例1 已知函数y ＝f （x ）（x ∈R ，x ≠0），对任意非零实数x 1x 2都有f （x 1x 2）＝f （x 1）＋f （x 2），试判断f （x ）的奇偶性。

解：取x 1＝－1，x 2＝1得f （－1）= f （－1）＋（1），所以f （1）=0又取x 1=x 2=－1，得f （1）=f （－1）＋f （－1），所以f （－1）=0再取x 1=x ，x 2=－1，则有f （－x ）= f （x ），即f （－x ）=f （x ） 因为f （x ）为非零函数，所以f （x ）为偶函数。

(二)讨论函数的单调性例2． 设f （x ）定义于实数集R 上，当x ＞0时，f （x ）＞1，且对任意x ，y ∈R ，有f （x ＋y ）= f （x ）f （y ），求证f （x ）在R 上为增函数。

证明：由f （x ＋y ）=f （x ）f （y ）中取x =y =0得f （0）=f 2（0）。

若f （0）=0，令x ＞0，y =0，则f （x ）=0，与f （x ）＞1矛盾。

所以f （0）≠0，即有f （0）=1。

当x ＞0时，f （x ）＞1＞0，当x <0时，f （－x ）>1>0，而0)(1)( x f x f -=，又x =0时，f （0）=>0，所以f （x ）∈R ，f （x ）>0。

二项式定理赋值法求各项系数的和例2.已知(1 一2兀)，=a Q + a{x + a2x2 +••• + fl7x7.求：(1)q + 色 + ・•・ + 吗：(2 ) % + a? +1— + ①；(3) I a。

丨 +1 q I +• • • +1 吗I ・解：(1)肖x = 1时，(l-2x)7 =(1-2)7 =-1,展开式右边为4)+5 + °2 + …+ “7/. a。

+ q + a】+ …+ ①=—1,当X = 0 时t a() = 1 • a x + a2H ----- =— 1 -1 = —2,(2)令兀=1 •4)+4 +“2 +••・ + 心=一1 ①令兀=一],_ q + 6 _ 角 + °4 _ °5 + °6 _ ^7 = 3? ②1 + 3?①一② 得：2(q +角+。

5 +6)= _1_3? ■«! +«3 +«5 +«7 =-———.2(3)由展开式知：a x,a3y a5,a7均为负，a。

,色皿4卫8均为正，•••由(2)中©+<§)得：2(q)+ ① + ① + ©)= 一1 + 3?,一1 + 37：.a0+a2+a4+a6=—-—-I a() I +1 a】I + ・• • +1 a? 1= a。

—ci] + d丁—(厶 + 偽—①+ “6 —°7=(a0 +。

2 + 4 +。

6)-(4 +。

3 + “5 +)= 37例6・设(l + x) + (l + x)2 +(l + X)'+・・・ + (l + X)" = 670+67|X + rt2X2+••• + ©/", 为a{}+a A +a2+••・ + a n = 254时.求n的值.解：令x = \得：勺+厲+①+…+ ①=2 + 22 + 23 + ・..+ 2" =^_^ = 254,2 — 1・•・ 2" =12&w = 7,点评:对于f（x） = a（）（x-ay1 + Q]（x一+・・・ + %,令x —“ = 1,11卩x = d +1可得各项系数的和“° + q +①+…+ ©的值；令x — " = 一1,即X = d — 1,可得奇数项系数和与偶数项和的关系例8.在（2x-3y）10的展开式中，求：①二项式系数的和；②各项系数的和；③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；④奇数项系数和与偶数项系数和；⑤x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.分析:閃为二项式系数特抬组合数C爲故在①，③中只需求组合数的和，而与二项式2x-3y中的系数无关.解:设（2x-3y）" =t/o x10+a]x）y + a2x^y2+ …+ （*）»各项系数和即为"o+d] +・・+山（）,奇数项系数和为5+“2+・・・+ 4（），偶数项系数和为I" + 5 + “5 ------- 1-, X的奇次项系数和为© + “3 + “5 -------------- 旳，X的偶次项系数和d（）+ Cly+ “4 "I"10 ・由于（*）是恒等式,故可用“賦值法”求出相关的系数和.①二项式系数和为C^+C：o+…+ C；；=21。

二项式定理的应用1.利用赋值法进行求有关系数和。

二项式定理表示一个恒等式，对于任意的a，b，该等式都成立。

利用赋值法（即通过对a、b取不同的特殊值）可解决与二项式系数有关的问题，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项等情况。

设(1)令x=0，则(2)令x=1，则(3)令x=－1，则(4)(5)2.证明有关的不等式问题：有些不等式，可应用二项式定理，结合放缩法证明，即把二项展开式中的某些正项适当删去(缩小)，或把某些负项删去(放大)，使等式转化为不等式，然后再根据不等式的传递性进行证明。

①；②；（）如：求证：1. 若，则_________．（用数字作答）【解析】令，则，，即．2.求证：对任何非负整数n，33n－26n－1可被676整除。

【思路点拨】注意到262=676，33n=27n=(26+1)n，用二项展开式去证明．当n=0时，原式=0，可被676整除．当n=1时，原式=0，也可被676整除．当n≥2时，原式．每一项都含262这个因数，故可被262=676整除综上所述，对一切非负整数n，33n－26n－1可被676整除．【总结升华】证明的关键在于将被除式进行恰当的变形，使其能写成二项式的形式，展开后的每一项中都会有除式这个因式，就可证得整除或求出余数．3.求证：3n＞(n+2)·2n－1（n∈N+，且n＞2）．【思路点拨】利用二项式定理3n=(2+1)n展开证明．【解析】因为n∈N+，且n＞2，所以3n=(2+1)n展开至少有四项．，所以3n＞(n+2)·2n－1．概率要点一、随机变量和离散型随机变量1. “随机试验”的概念一般地，一个试验如果满足下列条件：a．试验可以在相同的情形下重复进行．b．试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个．c．每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．这种试验就是一个随机试验，为了方便起见，也简称试验．2．随机变量的定义一般地，如果随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．要点诠释：（1）所谓随机变量，即是随机试验的试验结果和实数之间的一个对应关系，这种对应关系是人为建立起来的，但又是客观存在的。

赋值法在二项式定理中的应用赋值法是给代数式(或方程或函数表达式)中的某些字母赋予一定的特殊值，从而达到便于解决问题的目的．实际上赋值法所体现的是从一般到特殊的转化思想，在高考题中屡见不鲜，特别是在二项式定理中的应用尤为明显，现以例说明．一、用赋值法解决二项式系数的有关问题利用二项式定理的展开式与所求问题进行类比转换，实现从一般到特殊的转化，用来证明或求值．思路设法从已知等式中求出n．(1＋2)n = 729，即3n = 36，解得n = 6．注意：所求式子中缺少一项，不能直接等于26．二、用赋值法解决项的系数的有关问题例2 (1997年上海高考题)(3x＋1)n(n∈N*)展开式中各项系数和为256，求x2的系数．设(3x＋1)n = a0x n＋a1x n-1＋a2x n-2＋…＋a n．①由题意：a0＋a1＋a2＋…＋a n = 256．在①式中令x = 1得4n = a0＋a1＋a2＋…＋a n = 256，解得n = 4．a3)2－(a1＋a3)2 =[ ] A．1B．－1C．0D．2解(a0＋a2＋a3)2－(a1＋a3)2= (a0＋a1＋a2＋a3＋a4)(a0－a1＋a2－a3＋a4)．上式左边中的两个式子分别是所给展开式中x取1和－1时的表达式．故选A．三、综合应用在综合应用中要求学生能严格区别二项式系数与项的系数，注意项的系数的符号与式子的结构，灵活应用其他相关知识解题．例4若(1－3x)9 = a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9| = ________．解由二项式的展开式可知a0，a2，…，a8为正，a1，a3，…，a9为负，于是|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9| = a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9．在所给的展开式中，令x = －1得|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|= a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9 = [1－3(－1)]9 = 49．例5 (1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n = b0＋b1x＋b2x2＋…b n x n，且b0＋b1＋b2＋…＋b n = 62，则n = ________．解在(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n = b0＋b1x＋b2x2＋…＋b n x n中，令x = 1，得2＋22＋23＋…＋2n = b0＋b1＋b2＋…＋b n = 62，赋值法是由一般到特殊的一种处理方法，在其他章节中也有广泛应用，望同学们在学习中能举一反三．。

二项式定理赋值法求各项系数的和教学提纲一、引言（200字）二项式定理是高中数学中非常重要的一个定理，它可以用于展开任意整指数幂的二项式。

在教学中，可以采用赋值法来求解各项系数的和，这种教学方法能够让学生更好地理解和掌握二项式定理的应用。

本提纲将介绍如何使用赋值法来教授二项式定理求解各项系数的和，主要包括教学目标、教学步骤和教学评价等内容。

二、教学目标（200字）1.理解二项式定理的基本概念和公式；2.掌握使用赋值法求解二项式定理各项系数的和的方法；3.培养学生的逻辑思维能力和问题求解能力；4.增强学生对数学的兴趣和学习动力。

三、教学步骤（600字）1.复习与导入（100字）-复习二项式定理的基本概念和公式；-引导学生思考如何求解二项式各项系数的和。

2.讲解赋值法求解各项系数的和（300字）-介绍赋值法的基本原理；-以具体的例子说明如何应用赋值法求解二项式各项系数的和；-提醒学生注意赋值时的技巧和要点。

3.练习与训练（400字）-给学生提供一些简单的练习题，要求他们使用赋值法求解各项系数的和；-引导学生思考和讨论解题思路和方法；-鼓励学生积极参与训练，提高他们的问题解决能力。

4.拓展与应用（200字）-引导学生探索更复杂的二项式定理应用问题；五、教学评价（200字）1.反馈评价（100字）-给学生提供一些评价标准，帮助他们自我评价；-鼓励学生积极参与讨论和互评，提高他们的学习和合作能力。

2.教师评价（100字）-结合学生的课堂表现、练习和思考能力等多个因素进行综合评价；-鼓励并提出学生进一步提高的建议。

六、教学反思（200字）。