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第六讲：一元二次方程的解法【知识梳理】形如()002≠=++a c bx ax 的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法，而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。
求根公式aac b b x 242-±-=内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。
【例题精讲】【例1】选用恰当的方法解方程（基础题）：（1）x 2 –2x =0 （2） x 2 –9=0 （3）(1－3x )2＝1；（4）（t －2）（t ＋1）＝0 （5）x 2＋8x ＝2（6）2760x x -+=（7）24210x x --= （8）22150x x --= （9）241290x x -+=（10）24210a a --+=（11）211180x x ++= （12）2230x x --=（13）x （x －6）＝2（14）（2x ＋1）2＝3（2x ＋1） （15）227150b b +-=（16）23440a a +-=（17）23145b b +=（18）20x +=（19）42200x x --= （20）2(35)5(35)60x x +-+-=；【例2】用适当的方法解下列关于x 的方程（提高题）：（1）()()53423=+-x x ； （2）033272312=--x x ；（3）()()35412352-=--x x ； （4）()()()()114113-+=--x x x x ；（5）()()06132322=----x x 。
【巩固】用适当的方法解下列关于x 的方程：（1）()()019222=+--x x ；（2）22296a b ax x -=-；（3）()0632222=--+x x 。
（4）()()()()x x x x --=-+314312。
初中数学竞赛辅导讲义---方程与函数方程思想是指在解决问题时，通过等量关系将已知与未知联系起来，建立方程或方程组，然后运用方程的知识使问题得以解决的方法；函数描述了自然界中量与量之间的依存关系，函数思想的实质是剔除问题的非本质特征，用联系和变化的观点研究问题．转化为函数关系去解决．方程与函数联系密切，我们可以用方程思想解决函数问题，也可以用函数思想讨论方程问题，在确定函数解析式中的待定系数、函数图象与坐标轴的交点、函数图象的交点等问题时，常将问题转化为解方程或方程组；而在讨论方程、方程组的解的个数、解的分布情况等问题时，借助函数图象能获得直观简捷的解答．【例题求解】【例1】 若关于的方程mx x =-1有解，则实数m 的取值范围 ．思路点拨 可以利用绝对值知识讨论，也可以用函数思想探讨：作函数x y -=1，mx y =函数图象，原方程有解，即两函数图象有交点，依此确定m 的取值范围．【例2】设关于x 的方程09)2(2=+++a x a ax 有两个不相等的实数根1x ，2x ，且1x <1<2x ，那么a 取值范围是( )A ．5272<<-aB ．52>a C ．72-<a D ．0112<<-a思路点拨 因根的表达式复杂，故把原问题转化为二次函数问题来解决，即求对应的二次函数与x 轴的交点满足1x <1<2x 的a 的值，注意判别式的隐含制约．【例3】 已知抛物线0)21(22=+-+=a x a x y (0≠a )与x 轴交于两点A(1x ，0)，B(2x ，0)( 1x ≠2x )．(1)求a 的取值范围，并证明A 、B 两点都在原点O 的左侧；(2)若抛物线与y 轴交于点C ，且OA+OB ＝OC 一2，求a 的值．思路点拨 1x 、2x 是方程0)21(22=+-+a x a x 的两个不等实根，于是二次函数问题就可以转化为二次方程问题加以解决，利用判别式，根与系数的关系是解题的切入点．【例4】 抛物线)1(2)45(2212+++-=m x m x y 与y 轴的正半轴交于点C ，与x 轴交于A 、B 两点，并且点B 在A 的右边，△ABC 的面积是△OAC 面积的3倍．(1)求这条抛物线的解析式；(2)判断△OBC 与△OCA 是否相似，并说明理由．思路点拨 综合运用判别式、根与系数关系等知识，可判定对应方程根的符号特征、两实根的关系，这是解本例的关键．对于(1)，建立关于m 的等式，求出m 的值；对于(2)依m 的值分类讨论．【例5】 已知抛物线q px x y ++=2上有一点M(，0y )位于x 轴下方．(1)求证：此抛物线与轴交于两点；(2)设此抛物线与x 轴的交点为A(1x ，0)，B(，0)，且1x <2x ，求证：1x <0x <2x ．思路点拨 对于(1)，即要证042>-q p ；对于(2)，即要证0))((2010<--x x x x ．注：(1)抛物线与x 轴交点问题常转化为二次方程根的个数、根的符号特征、根的关系来探讨，需综合运用判别式、韦达定理等知识．(2)对较复杂的二次方程实根分布问题，常转化为用函数的观点来讨论，基本步骤是：在直角坐标系中作出对应函数图象，由确定函数图象大致位置的约束条件建立不等式组．(3) 一个关于二次函数图象的命题：已知二次函数c bx ax y ++=2（0≠a ）的图象与x 轴交于A （1x ，0），B(，0)两点，顶点为C ．①△ABC 是直角三角形的充要条件是：△=442=-ac b ．②△ABC 是等边三角形的充要条件是：△=1242=-ac b学历训练1．已知关于x 的函数1)1(2)6(2++-++=m x m x m y 的图象与x 轴有交点，则m 的取值范围是 ．2．已知抛物线23)1(2----=k x k x y 与x 轴交于A (α，0)，B(β，0)两点，且1722=+βα，则=k ．3．已知二次函数y=kx 2+(2k －1)x —1与x 轴交点的横坐标为x 1、x 2(x 1<x 2)，则对于下列结论：①当x=－2时，y=l ；②当x>x 2，时，y>O ；③方程kx 2+l(2k －1)x —l=O 有两个不相等的实数根x 1、x 2；④x 1<－l ，x 2>－l ；⑤x 2－x 1=k k 241+，其中所有正确的结论是 (只需填写序号) ．4．设函数)5(4)1(2+-+-=k x k x y 的图象如图所示，它与x 轴交于A 、B 两点，且线段OA 与OB 的长的比为1：4，则k ＝( )．A ．8B ．一4C ．1lD ．一4或115．已知：二次函数y ＝x 2+bx+c 与x 轴相交于A(x 1,0)、B(x 2，0)两点，其顶点坐标为P(－2b ，4b -4c 2)，AB ＝｜x 1－x 2|，若S △APB ＝1，则b 与c 的关系式是 ( ) A ．b 2－4c+1= 0 B ．b 2－4c －1=0C ．b 2－4c+4=0D ．b 2－4c －4=06．已知方程1+=ax x 有一个负根而且没有正根，那么a 的取值范围是( )A ．a >-1B ．a ＝1C ．a ≥1D ．非上述答案7．已知在平面直角坐标系内，O 为坐标原点，A 、B 是x 轴正半轴上的两点，点A 在点B 的左侧，如图，二次函数y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象经过点A 、B ，与y 轴相交于点C ．（1）a 、c 的符号之间有何关系？（2）如果线段OC 的长度是线段OA 、OB 长度的比例中项，试证a 、c 互为倒数；（3）在（2）的条件下，如果b=－4，AB=43，求a 、c 的值．8．已知：抛物线c bx ax y ++=2过点A(一1，4)，其顶点的横坐标为21，与x 轴分别交于B(x 1,0)、C(x 2，0)两点(其中且1x <2x )，且132221=+x x ．(1)求此抛物线的解析式及顶点E 的坐标；(2)设此抛物线与y 轴交于D 点，点M 是抛物线上的点，若△MBO 的面积为△DOC 面积的32倍，求点M 的坐标． 9．已知抛物线m mx x y 223212--=交x 轴于A （1x ，0）、B （2x ，0），交y 轴于C 点，且1x ＜0＜2x ，()1122+=+CO OB AO .（1）求抛物线的解析式；（2）在x 轴的下方是否存在着抛物线上的点P ，使∠APB 为锐角，若存在，求出P 点的横坐标的范围；若不存在，请说明理由.10．设m 是整数，且方程0232=-+mx x 的两根都大于59-而小于73，则= .11．函数732+-=x x y 的图象与函数63322+-+-=x x x x y 的图象的交点个数是 ．12．已知a 、b 为抛物线2))((----=d c x c x y 与x 轴交点的横坐标，b a <，则b c c a -+-的值为 ．13．是否存在这样的实数k ，使得二次方程0)23()12(2=+--+k x k x 有两个实数根，且两根都在2与4之间?如果有，试确定k 的取值范围；如果没有，试述理由．14．设抛物线452)12(2++++=a x a x y 的图象与x 轴只有一个交点． (1)求a 的值；(2)求61832-+a a 的值．15．已知以x 为自变量的二次函数23842---=n nx x y ，该二次函数图象与x 轴的两个交点的横坐标的差的平方等于关于x 的方程0)4)(1(2)67(2=++++-n n x n x 的一整数根，求n 的值．16．已知二次函数的图象开口向上且不过原点O ，顶点坐标为(1，一2)，与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，且满足关系式OB OA OC ⋅=2．(1)求二次函数的解析式；(2)求△ABC 的面积．17．设p 是实数，二次函数p px x y --=22的图象与x 轴有两个不同的交点A （1x ，0）、B （2x ，0）．(1)求证：032221>++p x px ；(2)若A 、B 两点之间的距离不超过32-p ，求P 的最大值．(参考答案。
一元二次方程竞赛解题方法一元二次方程是初中教材的重点内容，也是竞赛题的特点。
除了掌握常规解法外，注意一些特殊或灵活的解法，往往能事半功倍。
以下是一些解题方法：一、换元法例如，考虑方程$x^2-2x-5|x-1|+7=0$的所有根的和。
我们可以令$y=|x-1|$，则原方程变为$y^2-2y-5y+7=0$，化简后得到$y=1$或$y=-5$，即$|x-1|=1$或$|x-1|=5$。
进一步解得$x=-1.0.2.6$，因此所有根的和为$7$，选项C。
二、降次法例如，考虑已知$\alpha。
\beta$是方程$x^2-x-1=0$的两个实数根，求$a^4+3\beta$的值。
我们可以利用方程$x^2-x-1=0$的性质，即$x^2=x+1$，将$a^4+3\beta$表示为$a^2(a^2+3\beta)$，再用$\alpha^2=\alpha+1$和$\beta^2=\beta+1$代入，得到$a^2(a^2+3\beta)=a^2(\alpha+1)(\alpha^2+3\beta^2)=a^2(\alpha+ 1)(4\alpha+3)$，因此$a^4+3\beta=4a^3+4a^2+a^2(\alpha+1)(4\alpha+3)=4a^3+4a^2+3 a^2+4a^3+3a^2=8a^3+6a^2$，选项B。
三、整体代入法例如，考虑二次方程$ax^2+bx+c=0$的两根为$x_1.x_2$，记$S_1=x_1+1993x_2.S_2=x_1^2+1993x_2^2.\dots。
S_n=x_1^n+1993x_2^n$，求证$aS_{1993}+bS_{1992}+cS_{1991}=0$。
我们可以将$x_1.x_2$表示为$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$和$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，然后利用数列求和公式，得到$S_1=-\frac{b}{a}+1993\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$S_2=\frac{b^2-2ac}{a^2}+1993\frac{b^2-2ac+2b\sqrt{b^2-4ac}}{4a^2}$，$S_3=-\frac{b^3-3abc+2a\sqrt{b^2-4ac}(b^2-ac)}{a^3}+\dots$。
第四章一元一次方程及其应用第一节一元一次方程例1、在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可在原方程的两边（）A、乘以同一个数B、乘以同一个整式C、加上同一个代数式D、都加上同一个数例2、方程甲3(x-4)=3x与方程乙x-4=4x同解，其根据是（） 4A、甲方程两边都加上了同一个整式B、甲方程两边都乘以了4/3xC、甲方程两两边都乘以了4/3D、甲方程两边都乘以了3/4例3、方程1⎧1⎡1⎛1⎫⎤⎫x-1⎪-1⎥-1⎬-1=2001的根x=__________。
⎨⎢2⎩2⎣2⎝2⎭⎦⎭例4、1992+1994+1996+1998＝5000- 成立，则中应当填的数是（）A、5B、-900C、-1900D、-2980例5、若P、Q都是质数，以X为未知数的方程PX＋5Q＝97的根是1。
则P2－Q＝____。
例6、有理数111xz、、8恰是下列三个方程的根，则-＝________。
25yx（1）2x-110x+12x+1-=-1 （2）3(2y+1)=2(1+y)+3(y+3) 3124（3）1⎡1⎤2z-(z-1)=(z-1) ⎥2⎢2⎣⎦327例7、解方程：x-=1990的去处时，某同学误将3.57 错写成3.57，结果与正确答案例8、在计算一个正数乘以3.57相差1.4，求正确的乘积应是多少？ 2829第二节列方程解应用题例1、海滩上有一堆核桃，第一天猴子吃了这堆核桃的2/5，又将4个扔到大海里；第二天猴子吃掉的核桃数加上3个就是第一天所剩核桃数的5/8。
若第二天剩下6个核桃。
问海滩上原有多少个核桃？（20个）例2、古希腊数学家丢番图的墓志铭上记载：“坟中安葬着丢番图，多幺令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路。
上帝给予的童年占六分之一，又过十二分之一，两颊长胡，再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛。
五年之后天赐贵子，可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓。
悲伤只有用数论的研究去弥补，又过四年，他也走完了人生的旅途。
初中奥数题目解题策略总结奥数（奥林匹克数学竞赛）是一项很有挑战性的数学竞赛活动，对参与者的数学思维能力和解题能力有着较高的要求。
为了更好地应对奥数题目，下面将总结一些初中奥数题目的解题策略。
一、理解题意和分析问题在解题过程中，首先需要准确理解题目的含义，弄清题目中所给的条件和要求。
然后，通过分析问题的特点和规律，确定问题的解题思路。
二、抽象问题和建立模型对于一些较复杂的问题，可以通过抽象问题和建立数学模型来解决。
将问题转化为数学符号表示，可以帮助我们更好地理解和分析问题。
三、常见解题方法1. 列方程法：通过列方程来解决问题。
将问题中的已知条件和未知量用变量表示，并列出方程组，通过解方程来求解问题的答案。
2. 分析法：通过对问题进行逐步分析，找出问题的规律和特点，从而得到答案。
3. 反证法：通过假设问题的反面，得出与已知条件相矛盾的结论，从而推断出问题的答案。
4. 假设法：通过假设一些未知量的取值，进行试验和计算，从而找出问题的解。
5. 图像法：通过绘制图形、图表等形象化的工具，来解决问题。
图像法可以帮助我们更直观地理解问题，并找出解题的思路。
四、灵活运用各种解题方法在解题过程中，可以根据不同的题目特点和难度选择合适的解题方法。
有时候一种方法无法解决问题，可以尝试其他方法。
五、培养数学思维和解题能力解决奥数题目不仅需要掌握各种解题方法，还需要培养良好的数学思维和解题能力。
通过多做题目，积累经验，不断提高数学思维的灵活性和敏捷性。
六、复习和巩固知识点奥数题目往往涉及到较多的数学知识，所以在解题之前需要对相关的知识点进行复习和巩固。
对于不熟悉的知识点，可以找教材或其他资料进行学习，提高解题的理论依据。
通过以上的解题策略，我们可以更好地应对初中奥数题目，提高解题的准确性和效率。
同时，解题过程中的思考和探索也有助于培养我们的数学思维能力和解决问题的能力。
让我们在奥数竞赛中取得更好的成绩！。
第八章 二次方程与方程组第一节 一元二次方程【赛题精选】§1、一元一次方程的解法主要有：直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法。
例1、利用直接开平方法解下列关于x 的方程。
（1）0)1(9)2(22=+--x x （2）)0(0)22()(22>=+-+a a x a x（3）)21(2142222nx n x n x x ++=++例2、利用因式分解法解下列关于x 的方程。
（1）(5x+2)(x-1)=(2x+11)(x-1) （2）0452=+-x x(3)02_23()12(2=++-+x x (4)0)()(22222=-++-q p pq x q p x（5）x m x m x x m )1()1()1(2222-=--+-例3、用配方法解下列关于x 的方程。
（1）)0(02≠=++a c bx ax （2）03)12()1(2=-+-+-m x m x m（3）01333223=-+++x x x§2、根的判别式、根与系数的关系韦达定理：若)0(02≠=++a c bx ax 的两个根为1x 、2x ，那么1x 、2x 与a 、b 、c的关系为：两根之和a b x x -=+21；两根之积ac x x =21。
例4、若首项系数不相等的两个二次方程02)2()1(222=+++--a a x a x a （1）、02)2()1(222=+++--b b b x b （2）（其中a 、b 均为正整数）有一个公共根。
求ab ab ba b a --++的值。
例5、已知方程02=++c bx x 与02=++b cx x 各有两个根1x 、2x 及'1x 、'2x ，且1x 2x ＞0，'1x '2x ＞0。
求证：（1）1x ＜0，2x ＜0，'1x ＜0，'2x ＜0；（2）b-1≤c ≤b+1；（3）求b 、c 所有可能的值。
第一章 代数式基础知识第一节 用字母表示数1、什么是代数式？用运算符号将数或者表示数的字母连接起来的式子，叫代数式。
单独一个数或字母也叫代数式。
代数式总能表达一个意思。
2、什么是单项式？任意个字母和数字的积的形式的代数式。
一个单独的数或字母也叫单项式。
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。
所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。
任何一个非零数的零次方等于“1”。
单项式分母中不含字母(单项式是整式，而不是分式）。
3、什么是多项式？若干个单项式的和组成的式子叫做多项式。
多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数。
不含字母的项叫做常数项。
4、循环小数化为分数纯循环小数：小数中除了循环节外没有其它小数。
如3.0 、82.0 、283.0 等。
混循环小数：小数中除了循环节外还有其它小数。
如1032.0 、1032.5 等。
例、纯循环小数化为分数。
（1）3.0（2）82.0 （3）283.0 解：3.33.010 =⨯（1） 82.2882.0100 =⨯ 283.382283.01000 =⨯ 3.03.0 = （2） 82.082.0 =283.0283.0 = （1）－（2）得：（1）－（2）得：（1）－（2）得：33.0)110(=⨯- 2882.0)1100(=⨯- 382283.0)11000(=⨯- 9311033.0=-=∴992811002882.0=-=999382283.0= 例、混循环小数化为分数。
将（1）1032.0 、（2）1032.5 化为分数。
解：（1）设x =1032.0 ， 那么：103.210 =x ；103.230110000 ＝x ； 2230199901010000-==-x x x 99902299=x 。
∴ 999022991032.0=解：（2）设x =1032.0 ，则1032.5 ＝5＋x +=51032.0 那么：103.210 =x ；103.230110000 ＝x ； 2230199901010000-==-x x x 99902299=x∴ 9990229951032.5= 。
奥林匹克数学的解题方法（上篇）有固定求解模式的问题不属于奥林匹克数学，通常的情况是，在一般思维规律的指导下，灵活运用数学基础知识去进行探索与尝试、选择与组合。
这当中，经常使用一些方法和原理（如探索法，构造法，反证法，数学归纳法，以及抽屉原理，极端原理，容斥原理……），同时，也积累了一批生气勃勃、饶有趣味的奥林匹克技巧。
在2-1曾经说过：“竞赛的技巧不是低层次的一招一式或妙手偶得的雕虫小技，它既是使用数学技巧的技巧，又是创造数学技巧的技巧，更确切点说，这是一种数学创造力，一种高思维层次，高智力水平的艺术，一种独立于史诗、音乐、绘画的数学美。
”奥林匹克技巧是竞赛数学中一个生动而又活跃的组成部分。
2-7-1 构造它的基本形式是：以已知条件为原料、以所求结论为方向，构造出一种新的数学形式，使得问题在这种形式下简捷解决。
常见的有构造图形，构造方程，构造恒等式，构造函数，构造反例，构造抽屉，构造算法等。
例2-127 一位棋手参加11周（77天）的集训，每天至少下一盘棋，每周至多下12盘棋，证明这棋手必在连续几天内恰好下了21盘棋。
证明：用n a 表示这位棋手在第1天至第n 天（包括第n 天在内）所下的总盘数（1,2,77n =…），依题意 127711211132a a a ≤<<≤⨯=…考虑154个数：12771277,,,21,21,21a a a a a a +++…,又由772113221153154a +≤+=<，即154个数中，每一个取值是从1到153的自然数，因而必有两个数取值相等，由于i j ≠时，i i a a ≠ 2121i j a a +≠+故只能是,21(771)i j a a i j +≥>≥满足 21i j a a =+ 这表明，从1i +天到j 天共下了21盘棋。
这个题目构造了一个抽屉原理的解题程序，并具体构造了154个“苹果”与153个“抽屉”，其困难、同时也是精妙之处就在于想到用抽屉原理。
奥林匹克数学竞赛答题技巧方法国际数学奥林匹克作为一项国际性赛事，由国际数学教育专家命题，出题范围超出了所有国家的义务教育水平，难度大大超过大学入学考试。
有哪些答题技巧，下面是店铺为你整理的奥林匹克数学竞赛答题技巧，一起来看看吧。
奥林匹克数学竞赛答题技巧(一)1、对照法如何正确地理解和运用数学概念?小学数学常用的方法就是对照法。
根据数学题意，对照概念、性质、定律、法则、公式、名词、术语的含义和实质，依靠对数学知识的理解、记忆、辨识、再现、迁移来解题的方法叫做对照法。
这个方法的思维意义就在于，训练学生对数学知识的正确理解、牢固记忆、准确辨识。
例1：三个连续自然数的和是18，则这三个自然数从小到大分别是多少?对照自然数的概念和连续自然数的性质可以知道：三个连续自然数和的平均数就是这三个连续自然数的中间那个数。
例2：判断题：能被2除尽的数一定是偶数。
这里要对照“除尽”和“偶数”这两个数学概念。
只有这两个概念全理解了，才能做出正确判断。
2、公式法运用定律、公式、规则、法则来解决问题的方法。
它体现的是由一般到特殊的演绎思维。
公式法简便、有效，也是小学生学习数学必须学会和掌握的一种方法。
但一定要让学生对公式、定律、规则、法则有一个正确而深刻的理解，并能准确运用。
例3：计算59×37+12×59+5959×37+12×59+59=59×(37+12+1)…………运用乘法分配律=59×50…………运用加法计算法则=(60-1)×50…………运用数的组成规则=60×50-1×50…………运用乘法分配律=3000-50…………运用乘法计算法则=2950…………运用减法计算法则3、比较法通过对比数学条件及问题的异同点，研究产生异同点的原因，从而发现解决问题的方法，叫比较法。
比较法要注意：(1)找相同点必找相异点，找相异点必找相同点，不可或缺，也就是说，比较要完整。
【导语】奥林匹克数学竞赛或数学奥林匹克竞赛，简称奥数。
奥数体现了数学与奥林匹克体育运动精神的共通性：更快、更⾼、更强。
国际数学奥林匹克作为⼀项国际性赛事，由国际数学教育专家命题，出题范围超出了所有国家的义务教育⽔平，难度⼤⼤超过⼤学⼊学考试。
奥数对青少年的脑⼒锻炼有着⼀定的作⽤，可以通过奥数对思维和逻辑进⾏锻炼，对学⽣起到的并不仅仅是数学⽅⾯的作⽤，通常⽐普通数学要深奥⼀些。
国际数学奥林匹克作为⼀项国际性赛事，由国际数学教育专家命题，出题范围超出了所有国家的义务教育⽔平，难度⼤⼤超过⼤学⼊学考试。
奥数对青少年的脑⼒锻炼有着⼀定的作⽤，可以通过奥数对思维和逻辑进⾏锻炼，对学⽣起到的并不仅仅是数学⽅⾯的作⽤，通常⽐普通数学要深奥⼀些。
下⾯是为⼤家带来的初三年级奥数知识点：⼀元⼆次⽅程的解法，欢迎⼤家阅读。
1、直接开平⽅法
利⽤平⽅根的定义直接开平⽅求⼀元⼆次⽅程的解的⽅法叫做直接开平⽅法。
直接开平⽅法适⽤于解形如的⼀元⼆次⽅程。
根据平⽅根的定义可知，是b的平⽅根，当时，，，当b<0时，⽅程没有实数根。
2、配⽅法
配⽅法是⼀种重要的数学⽅法，它不仅在解⼀元⼆次⽅程上有所应⽤，⽽且在数学的其他领域也有着⼴泛的应⽤。
配⽅法的理论根据是完全平⽅公式，把公式中的a看做未知数x，并⽤x代替，则有。
3、公式法
公式法是⽤求根公式解⼀元⼆次⽅程的解的⽅法，它是解⼀元⼆次⽅程的⼀般⽅法。
公式法是⽤求根公式解⼀元⼆次⽅程的解的⽅法，它是解⼀元⼆次⽅程的⼀般⽅法。
第八章二次方程与方程组第一节一元二次方程【赛题精选】§1、一元一次方程的解法主要有：直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法。
例1、利用直接开平方法解下列关于x 的方程。
（1）0)1(9)2(22=+−−x x （2）)0(022()(22>=+−+a a x a x （3）)21(2142222n x n x n x x ++=++例2、利用因式分解法解下列关于x 的方程。
（1）(5x+2)(x-1)=(2x+11)(x-1)（2）0452=+−x x (3)02_23()12(2=++−+x x (4)0)()(22222=−++−q p pq x q p x（5）x m x m x x m )1()1()1(2222−=−−+−例3、用配方法解下列关于x 的方程。
（1）)0(02≠=++a c bx ax （2）03)12()1(2=−+−+−m x m x m （3）01333223=−+++x x x §2、根的判别式、根与系数的关系韦达定理：若)0(02≠=++a c bx ax 的两个根为1x 、2x ，那么1x 、2x 与a 、b 、c 的关系为：两根之和a b x x −=+21；两根之积ac x x =21。
例4、若首项系数不相等的两个二次方程02)2()1(222=+++−−a a x a x a （1）、02)2()1(222=+++−−b b b x b （2）（其中a 、b 均为正整数）有一个公共根。
求ab ab b a b a −−++的值。
例5、已知方程02=++c bx x 与02=++b cx x 各有两个根1x 、2x 及′1x 、′2x ，且1x 2x ＞0，′1x ′2x ＞0。
求证：（1）1x ＜0，2x ＜0，′1x ＜0，′2x ＜0；（2）b-1≤c ≤b+1；（3）求b 、c 所有可能的值。
例6、已知1x 、2x 是方程032=−−x x 的两个根，求代数式1942231+−x x 的值一。
例7、已知a 、b 为整数，a ＞b ，且方程04)(332=+++ab x b a x 的两个根α、β满足关系式)1)(1()1()1(++=+++βαββαα。
试求所有适合条件的整数对（a ，b ）。
例8、求使方程042=+−a ax x 仅有整数根的所有a 。
例9、已知关于x 的二次方程0122=−++n x n x （1）（n 为自然数，且n ≥2）。
当n ＝2时，此方程的两根记作2α、2β；当n ＝3时，此方程的两根记作3α、3β；…；当n ＝100时，此方程的两要记作100α、100β。
求)1)(1(1)1)(1(1)1)(1(11001003322−−++−−+−−βαβαβα⋯的值。
例10、设m 不为0的整数，二次方程01)1(2=+−−x m mx 有有理根。
求m 的值。
例11、方程065422=−+−a a ax x 有两个实根，且两根差的绝对值为6。
求a 的值。
§3、可化为一元二次方程求解的高次方程举例§4、可化为一元二次方程的分式方程和无理方程§5、一元二次方程在其它相关问题中的运用【针对训练】第二节二元二次方程组的解法【赛题精选】【针对训练】第三节不定方程初步【知识点拨】所谓不定方程（方程组）是指未知数个数多于方程个数的方程（方程组）。
不定方程的解是不确定的，有的有无数组解，有的无解，有的仅存在的限组解。
对于不定方程（组），主要涉及有关方程（组）的整数解、正整数解或者有理数解。
（一）二元一次不定方程无解的判定方法在不定方程ax＋by＝c中（a、b、c均为正整数），若a与b的最大公约数不能整除c，则该不定方程无整数解。
（二）二元一次方程有解的判定方法在整系数不定方程ax＋by＝c的系数a、b互质时，方程ax＋by＝1或ax＋by＝c都有整数解。
【赛题精选】例1、求方程5x＋6y＝16的整数解。
例2、求方程7x＋4y＝100的正整数解。
例3、求方程63x＋8y＝－23的整数解。
例4、求三元不定方程3x＋2y＋9z＝25的整数解。
例5、已知直角三角形的三边长均为正整数，且周长与面积的数值相等，求满足条件的所有直角三角形。
例7、若不等边三角形各边长均为正整数，且周长小于13CM，求这样的三角形的个数。
例8、若一个两位数除以它的反序数所得的商恰好等于余数，则这样的两位数是多少？例9、有两堆石头，若从第一堆搬100块到第二堆，则第二堆的数目将变成第一堆的两倍；反之，若从第二堆搬若干到第一堆，则第一堆将变成第二堆的6倍。
问第一堆至少多少块石头？并求出此时第二堆的数目。
例10、A市、B市和C市分别有某种机器10台、10台、8台。
现决定把这些机器支援给D市18台、E市10台。
已知从A市调运一台机器到D市和E市的运费为200元和800元，从B市调运一台机器到D市和E市的运费分别为300元和700元；从C市调运一台到D、E市的运费分别为400元和500元。
（1）已知从A市、B市各调x台机器到D市，当28台机器全部调运完毕后，求总运费W（元）与所调机器台数（x）之间的关系式，并求出总运费W的最大值与最小值。
（2）已知从A市调x台机器到D市，从B市调y台机器到D市，当这28台机器全部调运完毕后，求总运费与调运的机器台数（x与y）之间的关系式。
并求出这时总运费W的最大与最小值。
例11、现在质量分别为9克和13克的砝码若干，在天平上要称出质量为3克的物体，问至少要用多少只这样的砝码才能称出？例12、小明到水果店买了xkg苹果（x为整数），按标价应付y元，且正好等于小明总和为20元的5张人民币中的2张面值之和。
这时苹果筐里还剩下6kg苹果，店主便对小明说：“如果你把这剩下的苹果全买了，那么连同刚才的苹果你只要付10元钱就可以了。
”小明一算，这相当于每千克苹果比原来的标价便宜了0.5元，于是买下了剩下的苹果。
试求x 与y分别是多少？【针对训练】第四节应用问题选讲【赛题精选】例1、某商场经销一种商品，由于进货时的价格比原来的进价降低了6.4%，这样便使得利润增加了8个百分点，那么销售这种商品原来的利润率是多少？例2、东堤边的一块洼地发生了管涌，江水不断涌出，假定每分钟涌出的水量相等。
如果每用两台抽水机抽水，40分钟可以抽完；如果用同样的4台抽水机抽水，则需16分钟，如果要在10分钟内把水抽完，那么至少要多少台抽水机？例3、现有12名旅客要赶往40KM远的火车站，现在离开车时间只有3个小时，如果他们单独以4KM/h的速度步行，那么肯定不能赶到火车站，如果再借助一辆连同司机最多能坐5人且时速为60Km/h的小汽车，那么这12人参赶上火车吗？例4、自动扶梯由上向下运动，甲从顶部朝下走到底部，共走了150级，乙从底部朝上走到顶部，共走了75级。
若甲的速度（在单位时间内所走的电梯的级数）的3部，求扶梯从顶部到底部共有多少级？例5、某工地上有A、B两个土堆，此外还有一个洼地E和一个漏池塘F。
两个土堆的土方数分别为781方、1584方，而且已知洼地E需要填土1025方，池塘F可以填土1390方。
现在要挖掉这两个土堆，并用这些土先填洼地E，再将余下的土填入池塘F。
如何安排运土方案，才能使工程量最省？例6、一水果商欲将刚收购的一批容易变质的水果运往外地销售，他想用汽车、火车或飞机这三种运输工具中的一种。
如果飞机、火车、汽车的行驶速度分别为200km/h、100km/h、50km/h；运费分别是16元/km、4元/km、8元/km；而且所用的装卸费分别是1000元、2000元、1000元；装卸时间分别是2h、4h、2h。
这批水果在运输过程中（包括装卸过程）的损耗经计算折合为200元/h，收购地点与销售地点之间的路程记为xkm。
(1)用x表示使用飞机、火车、汽车运输时的总支出W1、W2、W3（包括损耗）；(2)采用哪一种运输方式，才能使运输过程中所支出的费用最小？例7、甲乙两车同时由A开往B地，甲车在前一半路程中的速度为V1，在后一半路程中的速度为V2（V1≠V2）；乙车在前一半时间内的速度为V1，在后一半时间内的速度为V2。
试问哪辆车先到达终点？再给出证明过程是。
例8、现在浓度为5%、8%、9%的甲乙丙三种溶液60g、60g、47g，要配制浓度为7%的溶液100g，问最多需甲种溶液多少克？最少需甲多少克？例9、甲乙两人分别从矩形跑道ABCD的A、B两点出发，并沿矩形按逆时针方向前进（即沿A→B→C→D→A→B→C→…的方向前进），若甲的速度是65m/min，乙的速度为74m/min，则乙至少在跑第几圈时才可能第一次追上甲？乙至多在跑第几圈时一定能追上甲？例10、一幢33层的大楼，除了设有扶手楼梯外，在大楼的第一层有一部最多能容纳32人的电梯，但该电梯在上升的过程中只能在第2层至第33层中的某一层停一次。
现假设32人分别居住在该大楼的第2层到第33层，他们对下一层楼梯感到不满意的程度记为1分，对上一层楼梯感到不满意的程度记为3分。
若某天这32人都同时聚在第一层，那么电梯在哪一层停一次，才可以使得这32人感到不满意的程度的总分值最小？最小值是多少？（提示：可以让一些人不乘电梯而直接从扶手楼梯上楼。
）例11、自2001年11月16日起，证券交易所印花税调到成交金额的0.2%，另外证券营业部还要从股票交易中收取成交额的0.35%的佣金。
（1）现假设某人以每股10元的价格，买进某股票1000股，并在第二天以相同的价格卖出了这批股票，试问此人在这一买一卖的交易中赚还是赔？赚赔是多少？（2）如果此人想保本不赔，他至少以每股多少元的价格卖出这批股票？（3）如果此人在第三天的交易中才卖出这些股票，并赚得1978.5元，试问这种股票平均每天的增长率是多少？【针对训练】。
