桥东中学学年高二数学下学期期中试卷理

高二下学期数学期中考试试卷时量：120分钟 总分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设全集R I =，集合}1|{},3,log |{A 3-==>==x y x B x x y y ，则（ ）A ．B A ⊆ B ．A B A =⋃C ．φ=⋂B AD ．φ≠⋂)(B C A I 2.已知i 是虚数单位，复数z 满足i z i 2)1(=-，则z 的虚部是（ ） A ．1 B ．i C ．－1 D ．－i3. 函数x x f 3log )(=的图象与函数()sin g x x π=的图象的交点个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．54. 若向量,a b 的夹角为32π，且1||,2||==b a ，则向量b a 2+与向量a 的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C. 23π D ．56π5. 已知0a >，0b >，若不等式313ma b a b+≥+恒成立，则m 的最大值为（ ）A ．9B ．12C ．18D ．246.已知21)4tan(=-πα，且0<<-απ，则αα2sin 22sin +等于（ ）A ．B ．25-C ．25D ．5127.已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1，AB ⊥BC ，AB=BC=AA 1=2，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）A ．π48B ．π32C ．π12D ．π8 8. 已知定义在R 上的函数()21x mf x -=- （m 为实数）为偶函数，记)3(log 5.0f a =,),2(),5(log 2m f c f b ==则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<9.直线02=++y x 分别与轴轴，y x 交于B A ,两点，点P 在圆2)2(22=+-y x 上，则ABP ∆面积的取值范围是（ ）A ．]6,2[B ．]8,4[ C. ]23,2[ D ．]23,22[ 10. 执行如图所示的程序框图，则输出的k 值为（ ） A ．4B ．5C ．7D ．911.已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，设函数)(x f 的导数为)(x f '，若对任意的0>x 都有0)()(2>'+x f x x f 成立，则（ ）A ．)3(9)2(4f f <-B ． )3(9)2(4f f >-C ．)2(3)3(2->f fD ．)2(2)3(3-<-f f12.设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x C ，：的左、右焦点分别为1F 、2F 。

三校联盟〔连江文笔中学、永泰城关中学、长乐高级中学〕2021-2021学年高二数学下学期期中试题理〔含解析〕一.选择题〔每一小题5分，一共60分〕那么等于〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】整理得：，问题得解。

【详解】因为所以.应选：B【点睛】此题主要考察了复数的运算及一共轭复数的概念，属于根底题。

的6个白球和2个黑球，从中取3个球，那么一共有〔〕种不同的取法A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接由组合数定义得解。

【详解】由题可得：一个口袋内装有大小一样的8个球中，从中取3个球，一共有种不同的取法.应选：D【点睛】此题主要考察了组合数的定义，属于根底题。

时，当时的左边等于〔〕A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】C【解析】【分析】直接由等式左边的规律得解。

【详解】等式左边的规律为：以1为首项，公差为1的等差数列的前项和.所以，当时的左边为：以1为首项，公差为1的等差数列的前2项和。

所以当时的左边为：.应选：C【点睛】此题主要考察了观察才能及等差数列的特征，属于根底题。

4.计算：〔〕A. －1B. 1C. 8D. －8 【答案】C【解析】【分析】直接由定积分公式得解。

【详解】.应选：C【点睛】此题主要考察了定积分计算，考察计算才能，属于根底题。

5.，那么等于〔〕A. B. C. 0 D. 2【答案】A【解析】【分析】求得，令可求得：，再令即可得解。

【详解】由得：令，那么，解得：，令，那么应选：A【点睛】此题主要考察了导数计算及赋值法，考察观察才能，属于中档题。

，的最大值.最小值分别是〔〕A. 3,－17B. 1,－1C. 1,－17D. 9,－19 【答案】A【解析】【分析】利用导数求得的单调性，问题得解。

【详解】由得：，当时，，当时，所以在上递增，在递减.又，，，所以函数，的最大值.最小值分别是：，应选：A【点睛】此题主要考察了利用导数判断函数的单调性及求最值，考察计算才能，属于根底题。

高二数学下学期期中试题（含解析）一.选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集{}{}2,1,0,1,2,,U A y y x x U =--==∈，则UA = （ ）A. {}0,1,2B. {}2,1,0--C. {}1,2--D. {}1,2【答案】C 【解析】 【分析】可求出集合A ，然后进行补集的运算即可．【详解】由题意，集合{}{}2,1,0,1,2,,U A y y x x U =--==∈，则{}0,1,2A =， 所以根据集合的补集的运算，可得{}2,1UA =--．故选：C ．【点睛】本题主要考查了集合的表示，以及集合的补集的运算，其中解答中正确求解集合A ，再根据集合的补集的运算求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.2.若向量b 与向量()2,1a =-是共线向量，且35b =，则b =（ ） A. ()6,3-B. ()6,3-C. ()6,3-或()6,3-D. ()3,6-或()3,6-【答案】C 【解析】 【分析】根据b 与a 共线，可设()2,1b λ=-，再根据35b =，求得λ的值，即可得出向量b 的坐标．【详解】由题意，根据b 与a 共线，所以存在实数λ，使()2,1b λ=-； 又35b =，∴535=3λ=±；∴()6,3b =-或()6,3-．故选：C ．【点睛】本题主要考查了共线向量基本定理，向量坐标的数乘运算，以及向量坐标求向量长度的方法，其中解答中熟记向量的基本运算法则，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3.若4sin 65πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于（ ） A.45B. 45-C.35D.35【答案】A 【解析】 【分析】πcos 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin （ππ23α--）结合诱导公式求解即可【详解】π4sin 65α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πcos 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin （ππ23α--）π4sin 65α⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 故选A ．【点睛】本题考查诱导公式及角的变换，是基础题4.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()4f x f x +=-，当()0,2x ∈时，()21f x x =+ ，则()7f = （ ）A. 2B. 2-C. 1D. 1-【答案】B 【解析】 【分析】由()()4f x f x +=-，可得()()()84f x f x f x +=-+=，则函数()f x 是周期为8的周期函数，据此可得()()71f f =-，结合函数的周期性与奇偶性，即可求解．【详解】根据题意，函数()f x 满足()()4f x f x +=-，则有()()()84f x f x f x +=-+=，则函数()f x 是周期为8的周期函数，则()()71f f =-， 又由函数为奇函数，则()()()211112f f -=-=-+=， 则()12f -=-，即()72f =-； 故选：B ．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与周期性的综合应用，其中解答中根据题设条件，求得函数的周期是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5.函数()·ln xf x e x =的大致图象为（ ） A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性和对称性的关系，利用极限思想进行求解即可【详解】解：函数()·ln xf x e x =，()--?ln -xf x e x =，()()f x f x ≠-，()()f x f x -≠-，则函数()f x 为非奇非偶函数，图象不关于y 轴对称，排除C ，D ，当(),x f x →+∞→+∞，排除B ， 故选：A【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的对称性以及极限思想是解决本题的关键6.可导函数()f x 在区间(), a b 上的图象连续不断，则“存在()0, x a b ∈满足0'()0f x =”是“函数()f x 在区间(), a b 上有最小值”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】 【分析】根据0()0f x '=和函数()f x 在区间(), a b 上有极值点的关系，结合具体函数，即可判断出结论．【详解】根据函数极值点的概念，可知()0, x a b ∈满足0()0f x '=，则0x 不一定是函数的极值点，例如()3,(2,2)f x x x =∈-，其中()00f '=，但0x =不是函数的极值点，此时函数()3f x x =在(2,2)x ∈-上没有最小值.又由函数(),(2,2)f x x x =∈-，其中当0x =时，函数()f x 取得最小值()00f =. 但0x =时，()f x '不存在，()2,0x ∈-时，()1f x '=-， ()0,2x ∈时，()1f x '=，所以“存在()0, x a b ∈满足0'()0f x =”不成立.所以“存在()0, x a b ∈满足0'()0f x =”是“函数()f x 在区间(), a b 上有最小值”的既不充分也不必要条件． 故选：D ．【点睛】本题考查了函数有极值点的概念及应用，以及充要条件判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.从数字1到9中任取3个数字，要求既有奇数也有偶数，组成一个没有重复数字的三位数，则满足条件的三位数的个数共有（ ） A. 420 B. 840C. 140D. 70【答案】A【分析】根据奇数和偶数的个数分1个奇数，2个偶数和2奇数，1偶数，然后进行全排列，即可求解，得到答案．【详解】由题意，9个数字中奇数为1，3，5，7，9，偶数为2，4，6，8， 三位数要求既有奇数也有偶数，则若1个奇数，2个偶数，有123543180C C A =个，若2奇数，1偶数，有213543240C A A =个， 由分类计数原理可得，共有180240420+=个， 故选：A ．【点睛】本题主要考查了排列、组合的应用，其中解答中结合条件分1个奇数，2个偶数和2奇数，1偶数，分类求解是解决本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.8.设向量,,a b c 满足||1,||2a b ==，0,()0a b c b a c ⋅=⋅+-=，则||c 的最大值等于（ ） A. 1 B. 2C. 51+5【答案】D 【解析】 【分析】设()()()1,0,0,2,,a b c x y ===，运用向量的加减运算和数量积的坐标表示，以及圆的性质，可得所求最大值．【详解】由题意，向量,,a b c 满足1,2a b ==，0a b ⋅=， 可设()()()1,0,0,2,,a b c x y ===，由()0c b a c ⋅+-=，可得()()()(),1,2120x y x y x x y y ⋅--=-+-=，整理得2220x y x y +--=，即()2215124x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，即圆心(1,12)，半径5则c 的最大值为25r =【点睛】本题主要考查了向量的加减运算和数量积的坐标表示，考查圆的方程的运用，考查运算能力和推理能力，属于基础题，着重考查了推理与运算能力.9.设F 为抛物线2:8C y x =的焦点，过点()2, 0P -的直线l 交抛物线C 于, A B 两点，点Q为线段AB 的中点，若47FQ =，则AB = （ ） 2 B. 2C. 2D. 2【答案】D 【解析】 【分析】设直线l 的方程为()2y k x =+，联立方程组得2222240k x k x k +-+=（），由此利用韦达定理、点到直线距离公式能求出直线的斜率，然后利用弦长公式，即可求解．【详解】由题意，设直线l 的方程为()2y k x =+，112200, ,()()() , A x y B x y Q x y 、、，联立方程组28(2)y x y k x ⎧=⎨=+⎩，化简得2222(48)40k x k x k +-+=，∴212284k x x k -+=，124x x =，则1212()84y y k x x k +=++=， 由中点公式，可得20242k x k -=，04y k =， 又由2222424247k k k ⎛⎫-⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭33k =±， 所以22111201616233AB x =+-=-= 故选：D ．【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的应用，其中解题时要认真审题，注意韦达定理、点到直线距离公式的合理运用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.10.已知函数)22()log 13f x x x x =-+-，当2019x y +=时，恒有()()()2019f x f f y +>成立，则x 的取值范围是（ ）A. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1(,1)2C. (,0)-∞D. (1,)+∞【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的解析式，得出()f x 在R 上是奇函数且为减函数，据此对x 进行分情况讨论，即可求解，得到答案．【详解】由题意，函数)22()log 13f x x x x =-+-，定义域为R ，且满足())()()2222log ()13log 13f x x x x x x x f x -=--++=++=-，所以函数()y f x =为定义在R 上的奇函数，则有()00f =，又由()f x 在[0, )+∞单调递减，则()f x 在(,?0]-∞上也为减函数， 则()f x 在R 上为减函数，则()20190f <，当0x <时，20192019y x =->，即()()()2019f x f f y >>， 则恒有()()()2019f x f f y +>成立，当0x =时，2019y =，此时()()()()20192019f x f f f y +==，()()()2019f x f f y +>不成立，当0x >时，20192019y x =-<，此时不能满足()()()2019f x f f y +>恒成立， 所以x 的取值范围是(,0)-∞． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与单调性应用问题，其中根据函数的解析式判定出函数的奇偶性和单调性，分类讨论是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11.已知复数z 满足1iz i-=（i 是虚数单位），则2z =_____；z =_____． 【答案】 (1). 2i 2 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z ，进一步求得2z ，再由复数模的计算公式求z ． 【详解】由题意，根据复数的运算，化简得21(1)()1i i i z i i i ---===---， 所以()2212, 2z i i z =--==故答案为：2i 2【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，以及复数模的求法，其中解答中熟记复数的运算法则，以及模的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.12.计算：4log 2=_____；满足log 21x >的实数x 的取值范围是_____．【答案】 (1). 14(2). 12x <<． 【解析】 【分析】利用对数的换底公式及对数的运算性质求4log 2；把log 21x >化为同底数，然后分类利用对数的运算性质求解．【详解】由题意，根据对数的运算法则，可得12422lg 21log 2lg 4lg 24===，由log 21log xx x >=，当01x <<时，得2x >1x >时，得12x <<，∴实数x 的取值范围是12x <<．故答案为：14；12x <． 【点睛】本题主要考查了对数的运算性质，以及对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记对数的运算公式和对数函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于基础题．.13.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，12, A A 分别是双曲线的左、右顶点，00,() M x y 是双曲线上除两顶点外的一点，直线1MA 与直线2MA 的斜率之积是169，则双曲线的离心率为_____；若该双曲线的焦点到其渐近线的距离是4，则双曲线的方程为_____．【答案】 (1). 53 (2). 221916x y -=【解析】 【分析】根据000()), (M x y x a ≠±是双曲线上一点，代入双曲线的方程，由直线1MA 与直线2MA 的斜率之积是169，求出直线1MA 与直线2MA 的斜率，然后整体代换，进而求得双曲线的离心率，再根据双曲线的焦点到其渐近线的距离是4，即可求出双曲线的方程．【详解】由题意，设000()), (M x y x a ≠±是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上一点，则2200221x y a b -=，得到2220022y x a b a-=，故2202220y b x a a =-， 又()()12,0, ,0A a A a -， ∴1222000222000169MA MA y y y b k k x a x a x a a ⋅=⋅===+--，得43b a = ∴221651193c b e a a ==+=+=， 其渐近线的方程为b y x a =±，即43y x =±，即430x y ±=，设双曲线的一个焦点坐标为(),0c ，则双曲线的焦点到其渐近线的距离445c=，解得5c =， 又因为222c a b =+，所以229, 16a b ==，故双曲线的方程为221916x y -=，故答案为：53，221916x y -=.【点睛】本题考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质，主要是离心率的求法，其中解答中熟记双曲线的几何性质，合理、准确运算是解答的关键，着重考查化简整理的运算能力，属于中档题．14.二项式()512x -的展开式中系数最大的项为_____；已知52345012345(12)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则123452345a a a a a -+-+=_____．【答案】 (1). 480x (2). 810-． 【解析】 【分析】由二项式()512x -的展开式中通项()152rr rr T C x +=-，列出不等式组，求得r 的值，即可得出最大的项．对于二项式52345012345(12)x a a x a x a x a x a x -=+++++，两边求导，再令1x =-，即可求解．【详解】由题意，二项式()512x -的展开式中通项公式()()15522rrrr r r T C x C x +=-=-．由()()()()115511552222r r r r r r r r C C C C --++⎧-≥-⎪⎨-≥-⎪⎩，解得4r =，即展开式的最大的项为()444455280T C x x =-⨯=． 由二项展开式52345012345(12)x a a x a x a x a x a x -=+++++，两边求导可得：()42341234525122345x a a x a x a x a x -⨯⨯-=++++， 令1x =-，可得()4123452345251210[1]8a a a a a -+-+=-⨯⨯-⨯-=-．故答案为：480x ，810-．【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式、导数运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.15.已知向量()2,4a =，向量a 在向量b 上的投影为3，且33a b -=，则b =_____． 【答案】7． 【解析】 【分析】根据条件即可得出220,cos ,3a a a b =〈〉=，然后对33a b -=两边平方，可得出2||670b b --=，即可求解b ，得到答案．【详解】根据条件：220,cos ,3a a a b =〈〉=，且33a b -=； 则()22222cos ,||62027a ba ab a b b b b -=-〈〉+=-+=；整理得2||670b b --=，解得7b =或1-（舍去）． 故答案为：7．【点睛】本题主要考查了向量数量积的运算及计算公式，向量投影的计算公式，向量坐标的数量积运算等知识的综合应用，其中熟记向量的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.16.3名男生和3名女生共6人站成一排，若男生甲不站两端，且不与男生乙相邻，3名女生有且只有2名女生相邻，则不同排法的种数是_____．（用数字作答） 【答案】168． 【解析】 【分析】根据题意，假设有1、2、3、4、5、6，共6个位置；若男生甲不站两端，则甲必须在2、3、4、5的位置；据此分4种情况讨论，由加法原理计算可得答案． 【详解】根据题意，假设有1、2、3、4、5、6，共6个位置， 若男生甲不站两端，则甲必须在2、3、4、5位置，可分4种情况讨论：①当甲在2号位置，甲乙不能相邻，则乙可以在4、5、6号位置，若乙在4号或5号位置，只有2个位置是相邻的，有2232224A A ⨯⨯=种排法， 若乙在6号位置，有23212A ⨯=种排法， 由分类计数原理可得，共有241236+=种排法； ②当甲在5号位置，同理①，有36种排法；③当甲在3号位置，甲乙不能相邻，则乙可以在1、5、6号位置， 若乙在1号位置，有23212A ⨯=种排法， 若乙在5号位置，有223212A A ⨯=种排法， 若乙在6号位置，有2232224A A ⨯⨯=种排法， 由分类计数原理可得，共有12122448++=种排法；④当甲在4号位置，同理③，有48种排法，则有36364848168+++=种不同的排法； 故答案为：168．【点睛】本题主要考查了排列、组合及简单的计数原理综合应用，本题解题的关键是在计算时，合理分类做到不重不漏，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.17.已知不等式()10x e a e x b -+++≤恒成立，其中e 为自然常数，则1b a+的最大值为_____． 【答案】1e【解析】 【分析】先利用导数确定不等式恒成立条件，再利用导数确定1b a+的最大值. 【详解】令()()1()()1xxf x e a e x b f x e a e '=-+++∴=-+ 当0e a -≥时，()0,,()f x x f x '>→+∞→+∞，不满足条件； 当0e a -<时，()0ln()f x x a e '=⇒=--，当ln()x a e >--时()0,f x '<当ln()x a e <--时()0,f x '> 因此()(ln())1ln()10f x f a e a e b ≤--=---++≤，从而1ln()1,()b a e a e a a+-+≤> 令2ln()ln()1(),()()ea e a e a e g x a e g x a a ---+-'=>∴=再令21ln()0()e e y a e y a e a e a e-'=--∴=-<--- 所以当a e e ->时1ln 0()0,()(2)e y e g x g x g e e e'<-=∴<<=； 当0a e e <-<时1ln 0()0,()(2)e y e g x g x g e e e'>-=∴><=； 即max 1()(2)g x g e e ==，从而1b a+的最大值为1e . 【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立以及利用导数求函数最值，考查综合分析求解能力，属较难题.三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18.设函数2()3cos 2cos 1f x x x x ωωω=-+的图象关于直线x π=对称，其中常数1,12ω⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在区间30,5π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围．【答案】（1）65π（2）[]1,2- 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式为一个角的一个三角函数的形式，然后求解ω，即可求解函数的周期．（2）通过角的范围，求解相位的范围，利用正弦函数性质求得函数的最值，即可求解． 【详解】（1）由题意，函数2()3cos 2cos 1f x x x x ωωω=-+32cos 2x x ωω=-2sin 26x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又由函数()2sin 26f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象关于直线x π=对称， 所以()2sin 226f ππωπ⎛⎫=-=± ⎪⎝⎭，所以2,62k k Z πππωπ-=+∈， 解得1,23k k Z ω=+∈，又因为1,12ω⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以56ω=，即5()2sin 36f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以最小正周期为265T w ππ==. （2）因为305x π≤≤，所以556366x πππ-≤-≤，则52sin [1,2]36x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以()12f x -≤≤，即函数()f x 在区间30,5π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围[]1,2-. 【点睛】本题主要考查了两角和与差的三角函数，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，以及三角函数的图象与性质，准确运算是解答的关键，着重考查转化思想以及计算能力，属于基础题.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD平行四边形，60ABC ∠=︒，侧面PAB ⊥底面ABCD ，90,2BAP AB AC PA ∠=︒===．（1）求证：平面PBD ⊥平面PAC ；（2）若点M 为PD 中点，求直线MC 与平面PBC 所成角的正弦值． 【答案】（1）见解析（2）2114【解析】 【分析】（1）证明PA AB ⊥，推出PA ⊥面ABCD ，得到PA BD ⊥，证明BD AC ⊥，说明BD ⊥面PAC ，即可证明面PBD ⊥平面PAC ．（2）取BC 中点E ，以点A 为原点，分别以, , AE AD AP 为x 轴、y 轴、z 轴建立如图空间直角坐标系，求出面PBC 的法向量，利用空间向量的夹角公式，即可求解直线MC 与平面PBC 所成角的正弦值．【详解】（1）由题意，因为90BAP ∠=︒，则PA AB ⊥，又侧面PAB ⊥底面ABCD ，面PAB ⋂面ABCD AB =，PA ⊂面PAB ， 所以PA ⊥面ABCD ，又BD ⊂面ABCD ，则PA BD ⊥ 又因为四边形ABCD 为平行四边形，且60, ABC AB AC ∠=︒= 则ABC ∆为等边三角形，则ABCD 为菱形，则BD AC ⊥ 又PAAC A =，则BD ⊥面PAC ，BD ⊂面PBD ，则面PBD ⊥平面PAC ．（2） 取BC 中点E ，以点A 为原点，分别以, , AE AD AP 为x 轴、y 轴、z 轴建立如图空间直角坐标系，则()0,0,0A ，(31,0)B -，30)C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P ， 由点M 为PD 中点，()0, 1, 1M ，则(3,0,1),(3,1,2),(3,1,2)MC PB PC =-=--=-，设面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，则00PB n PC n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，则31,0,n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭设直线MC 与面PBC 所成角为θ，则||21sin |cos ,|14||||MC n MC n MC n θ⋅=〈〉== 所以直线MC 与平面PBC 所成角的正弦值为2114．【点睛】本题考查了面面垂直的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.20.已知函数24,02()(2)2,2x x f x x x a x a x ⎧-<≤⎪=⎨⎪-++->⎩，其中a 为实数．（1）若函数()f x 为定义域上的单调函数，求a 的取值范围．（2）若7a <，满足不等式()0f x a ->成立的正整数解有且仅有一个，求a 的取值范围． 【答案】（1）2a ≤（2）03a ≤< 【解析】 【分析】（1）分析当02x <≤时的单调性，可得2x >的单调性，由二次函数的单调性，可得a 的范围；（2）分别讨论当0a <，当02a ≤≤时，当23a <<时，当37a ≤<，结合函数的单调性和最值，即可得到所求范围．【详解】（1）由题意，当02x <≤时，4()f x x x=-为减函数， 当2x >时，()()222f x x a x a =-++-，若2a ≤时，()()222f x x a x a =-++-也为减函数，且()()20f x f <=，此时函数()f x 为定义域上的减函数，满足条件；若2a >时，()()222f x x a x a =-++-在22,2a +⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则不满足条件．综上所述，2a ≤．（2）由函数的解析式，可得()()13, 20f f ==， 当0a <时，()()20, 13f a f a =>=>，不满足条件；当02a ≤≤时，()f x 为定义域上的减函数，仅有()13f a =>成立，满足条件； 当23a <<时，在02x <≤上，仅有()13f a =>，对于2x >上，()f x 的最大值为22(2)1244a a f a +-⎛⎫=≤< ⎪⎝⎭， 不存在x 满足()0f x a ->，满足条件；当37a ≤<时，在02x <≤上，不存在整数x 满足()0f x a ->，对于2x >上，22(2)(4)123444a a a ----=<-，不存在x 满足()0f x a ->，不满足条件； 综上所述，03a ≤<．【点睛】本题主要考查了分段函数的运用，以及函数的单调性的判断和不等式有解问题，其中解答中熟练应用函数的单调性，以及把函数的有解问题转化为函数的最值问题是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档题．21.已知椭圆()2222:10x y C a b a b =>>+过点()0, 1A ，且离心率为3．（1）求椭圆C 的方程；（2）过A 作斜率分别为12, k k 的两条直线，分别交椭圆于点, M N ，且122k k +=，证明：直线MN 过定点．【答案】（1）2214x y +=（2）见解析【解析】 【分析】（1）利用椭圆C 过点()0, 1A ，以及离心率为32，求出, a b ，即可得到椭圆方程． （2）设直线方程为x t =，则()(),, ,M t s N t s -，求得1t =-，当直线MN 斜率存在时，设直线方程为：y kx b =+，与椭圆方程联立方程组，利用韦达定理以及122k k +=，得到k 与b 的关系，代入直线的方程，即可求解．详解】（1）由题意，椭圆()2222:10x y C a b a b =>>+过点()0, 1A ，即211b=，解得1b =，由离心率32c a =222a c b -=，解得2a =，所求椭圆方程为：2214x y +=. （2）当直线MN 斜率不存在时，设直线方程为x t =，则()(),, ,M t s N t s -， 则1211,s s k k t t-+==--，所以121122s s k k t t t -++=+==---，解得1t =-，当直线MN 斜率存在时，设直线方程为y kx b =+，联立方程组2244x y y kx b⎧+=⎨=+⎩，得222(41)8440k x kbx b +++-=，设1122, , ,()() M x y N x y ，则2121222844,4141kb b x x x x k k -+=-⋅=++ （*）， 则()()121212121212121212122(1)11y x x y x x kx x b x x y y k k x x x x x x +-++-+--+=+==，将*式代入化简可得：288244kb kb -=-，即()()110k b b ---=，整理得1k b =+， 代入直线MN 方程，得()()11y b x b b x x =++=++，即()10b x x y ++-=，联立方程组10x y x+=⎧⎨=⎩，解得1,1x y =-=-， 恒过定点()1,1--.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.22.设函数()2ln 1,) (f x ax x x a a R =-+-∈．（1）当0a =时，求证：()f x x ≤；（2）当1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围． 【答案】（1）见解析（2）1a ≥ 【解析】 【分析】（1）当0a =时，()ln 1f x x x =--，不等式()f x x ≤化为ln 10x x x ++≥，构造函数()ln 1s x x x x =++，利用导数求函数()s x 的最小值，从而证明不等式成立；（2）方法1：不等式化为2ln 1()ln 1a x x x x +≥+，令()2ln 1g x x x =+，利用导数判断()0g x >，不等式化为2ln 1ln 1x x a x x +≥+，记()2ln 1ln 1x x h x x x +=+，求出()h x 的最大值，即可得出a 的取值范围．方法2：讨论1x =时，()10f ≥，求得a 的取值范围，再证明1a ≥时，()f x 在1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上()0f x ≥恒成立．【详解】（1）当0a =时，()()ln 1ln 1f x x x x x =--=-+， 要证明()f x x ≤，即证明ln 10x x x ++≥； 记()ln 1s x x x x =++，则1'()ln 1ln 2s x x x x x=+⋅+=+； 当20,()x e -∈时，()'0s x < ，函数()f x 在20,()x e -∈上单调递减；当2,()x e-∈+∞时，()'0s x >，函数()f x 在2,()x e -∈+∞上单调递增；所以()()()222212110s x s ee e e---≥=-++=-≥，即()f x x ≤； （2）方法1：2ln ln 10ax x x x a -+-≥ 即2ln 1()ln 1a x x x x +≥+， 令()2ln 1g x x x =+，令()()'2ln 2ln 10g x x x x x x =+=+=，得12x e -=；所以()g x 在120,x e -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调减，在12,x e -⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭单调增，则()211221111022g x g e e e --⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥=⋅-+=-> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即2ln 1()ln 1a x x x x +≥+，可化为2ln 1ln 1x x a x x +≥+， 记()2ln 1ln 1x x h x x x +=+，则()()2222ln ln 2ln 1'ln 1x x x x x x h x x x -+-+-=+，且()'10h =； 再令()22ln ln 2ln 1F x x x x x x x =-+-+-，精品 Word 可修改 欢迎下载 当1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()()2222ln ln 2ln 1ln 12ln 1F x x x x x x x x x x x x =-+-+-=-+-+-， ()22ln 1F x x x x ≥-+-，由（1）可知1ln 1x x ≥-，0x >时成立，1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，221ln 1x x ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭， 由此22221()ln 111(1)0F x x x x x x x x x ⎛⎫≥-+-≥--+-=-≥ ⎪⎝⎭，()h x 在1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上单调增；当,()1x ∈+∞时，()()()22ln 12ln 10F x x x x x x =-+-+-≤，()h x 在,()1x ∈+∞上单调减；因此()()11h x h ≥=，故1a ≥；方法2：当1x =时，()110f a =-≥，由此1a ≥证明如下：当1a ≥时，()f x 在1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上，()0f x ≥恒成立， ()()2ln 1(ln 1)f x a x x x x =+-+，同法1证明，()2ln 10g x x x =+>，()()()222ln 1ln 1l ()()()n 1ln 1ln 0f x a x x x x x x x x x x x =+-+≥+-+=-≥；所以()f x 在1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上，()0f x ≥恒成立，故1a ≥． 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明和恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．。

2021年高二数学下学期期中试题理（普通班）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60，把答案填在答题卡上，否则不给分.）1．设复数满足，则（）A． B． C． D．2．离散型随机变量，则( )A．0.4 B．0.6 C．1 D． 0.243.分别掷两枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”记为事件A,“第二枚为正面”记为事件B，“两枚结果相同”记为事件C,那么事件A与B、A与C间的关系是( ) A．A与B相互独立，A与C互斥 B． A与B，A与C均相互独立C．A与B，A与C均互斥 D．A与B互斥，A与C相互独立4．在三段论:“①所有的中国人都坚强不屈;②一中人是中国人;③一中人一定坚强不屈”中,其中“大前提”和“小前提”分别是( )A．②③ B．①③ C．①② D．②①5．如果随机变量，且，则（）A． B． C． D．6．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第xx个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（）A．12088 B．12092 C．16118D．161227．设＝1+，则( )．A.共有项，当时，＝B.共有项，当时，＝C.共有项，当时，＝D.共有项，当时，＝8．如图所示的阴影部分由方格之上3个小方格组成，我们称这样的图案为L形图案（每次旋转后仍为L形图案），那么在45小方格的纸上可以画出不同位置的L形图案的个数（）A.16B.32C.48D.649．箱子里有个黑球，个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第次取球之后停止的概率为（）A． B． C． D．10. 已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第一次抽到的是螺口灯泡的条件下，第二次抽到的是卡口灯泡的概率为( )A． B． C． D．11. 曲线与坐标轴围成的面积是（）A.4B. 3C.2D.112.设．过点且平行于轴的直线与曲线的交点为，曲线过点的切线交轴于点，则的面积的最小值是（）A．1 B． C． D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡上，否则不给分.）13．复数的共轭复数是．14．若，则二项式展开式中的常数项为 .15．由1,2,3,4,5五个数字组成的无重复数字的三位数中，能被3整除的三位数的个数是_______.（用数字作答）16. 在平面几何中有如下结论：正△ABC的内切圆面积为，外接圆面积为，则.推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体ABCD的内切球体积为，外接球体积为，则_ ___.三、解答题(本大题共6小题，共70分，其中第17题10分，其余各题12分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤, 把答案写在答题卡上，否则不给分.)17.（本小题满分10分）已知在的展开式中，第4项为常数项.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求展开式中含项的系数．18.（本小题满分12分）甲、乙两人参加一项测试，根据历史经验，甲在本次测试中能通过的概率是，乙在本次测试中能通过的概率是，甲、乙两人能否通过本次测试是相互独立的，试求：（Ⅰ）甲、乙两人都不能通过本次测试的概率；（Ⅱ）甲、乙两人中恰有一人能通过本次测试的概率；（Ⅲ）甲、乙两人中至多有一人能通过本次测试的概率.19. （本小题满分12分）现要安排5名大学生到三所学校支教，设每名大学生去任何一所学校是等可能的．（Ⅰ）求5名大学生中恰有2人去校支教的概率；（Ⅱ）设有大学生去支教的学校的个数为，求的分布列．20. （本小题满分12分）如图所示，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．（Ⅰ）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（Ⅱ）求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值．21.（本小题满分12分）如图，有一个长方形地块ABCD，边AB为2km.，该地块的一角是湿地(图中阴影部分)，其边缘线AC是抛物线的一部分.现要铺设一条过边缘线AC上一点P的直线型隔离带EF，E、F分别在边AB，BC上(隔离带不能穿越湿地，且占地面积忽略不计).设点P到边ADFPC Dy的距离为t(单位:km)，△BEF的面积为S(单位: ).（Ⅰ）求S关于t的函数解析式，并指出该函数的定义域;（Ⅱ）问：按上述要求隔离出的△BEF面积S能否达到3 ?并说明理由.(说明：解答利用如图建立的平面直角坐标系)22.（本小题满分12分）已知函数，（）.（Ⅰ）求证：函数在上为增函数；函数在上为减函数；（Ⅱ）若关于的方程有四个不同的实数根，求实数的取值范围；（Ⅲ）比较与的大小.武平一中xx学年第二学期半期考试高二数学（理科）参考答案1．A 2．D 3．B 4．C 5．A 6．B 7．C 8．C 根据题意，由于由方格之上3个小方格组成我们称这样的图案为L形，那么在45小方格的纸上可以画出不同位置的L形的图案，故答案为C. 9.D 10.D设事件A为“第1次抽到的是螺口灯泡”，事件B为“第2次抽到的是卡口灯泡”，则P(A)＝，P(AB)＝×＝．则所求概率为P(B|A)＝＝＝．11.B 12. D 13． i 14．15 15．24 构成能被3整除的三位的数字组合有：1、2、3，2、3、4，3、4、5，1、3、5，共四种情况，每一种情况可以排成的三位数是个，故共个。

高二年下学期数学期中试卷参考答案一. 选择题（本题共36 分）二、填空题（本题共16分）13.66,132 14.28或 15.60 16.④三、解答题（本题共48分）17.解：（1）依题意知nx x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3321展开式中的第1+r 项为 32331)21()1()21()(r n r r n r r rn r nr x C xx C T --+-=-=………………'2∴前三项系数的绝对值为：4,2,210n n nC C C 即8)1(,2,1-n n n ………'1 依题意知，089,8)1(12=+--+=n n n n n ……………………'1 ∴)1(8舍去==n n …………………………………………………'1（2）由（1）知32881)21(r r r r xC T -+-=，令0328=-r得4=r ……'1 ∴第五项835)21(4485=-=C T 为常数项……………………………'1 （3）令1=x 得各项系数和为2561)21(8=…………………………'118.解：分别记“甲、乙、丙参加入学考试，考试合格”为事件A 、B 、C 则A 、B 、C 彼此独立，并且52)(,21)(,32)(===C P B P A P ………………………'2（1）“三个人中恰有两人合格”包括三种情况：C AB C B A BC A ,,且它们彼此互斥……………………………………………'1故“三个人中恰有两人合格”的概率为：)(C AB C B A BC A P ++………'1)()()(C AB P C B A P BC A P ++=)()()()()()()()()(C P B P A P C P B P A P C P B P A P ++=532132522132522131⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= 52=……………………………………………………………………………'1 （2）法一：“三人无一人合格”的概率为101532131)(=⨯⨯=C B A P ……………………'1 又“三人无一人合格”是“三人中至少有一个合格”的对立事件……………'1 故“三人中至少有一人合格”的概率为1091011)(1=-=-C B A P …………'1 法二：“三人中至少有一人合格”包括七种情况：C B A C B A C B A C AB C B A BC A ABC ,,,,,,……………………………'1“三人中至少有一人合格”的概率为：)(C B A C B A C B A C AB C B A BC A ABC P ++++++…………………'1 )()()()()()()(C B A P C B A P C B A P C AB P C B A P BC A P ABC P ++++++=522131532131532132532132522132522131522132⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=302303306306304302304++++++= 3027= 109=……………………………………………………………………………'1 19.解：孩子一对基因可能为rd rr dd ,,其概率分别为21,41,41，…………'1 孩子有显性决定特征的有dd 或rd ………………………………………'1（1）1个孩子有显性决定特征的概率为432141=+……………………'2（2）2个孩子中至少有一个有显性决定特征的概率为：1615169166)43(4341)2()1(2221222=+=⨯+⨯⨯=+C C P P …………'2 另解：1615)43()431(1)0(1002022=--=--C P ……………………'220.证明： （1）∵c b b =⊂βαββ ,,//∴c b //………………………………'3又b a //∴c a //……………………………………………………………'2⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂∴=βββαa c c ca //)2(∴β//a …………………………………………'321.解：（1）在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，1,BB AB AD AB ⊥⊥∴AB 为AD 与1BB 的公垂线段…………'2在BA B Rt 1∆中，a AB a BB BAB 3,3011=∴==∠∴AD 与1BB 的距离为a 3…………………………………………'1 （2）连结AC 、BD 交于点O ，取DD 1中点O 1，连结O O 1∵O 为BD 中点 ∴O O 1∥BD 1又A 1C 1//AC∴∠AOO 1（或其补角）为BD 1和A 1C 1所成的角。

2019-2020学年高二数学下学期期中试题理(35)一、选择题（每小题5分，共60分）1．不同直线m，n和不同平面α，β，给出下列命题：①，②，③，④其中假命题有：（）A．0个B．1个C．2个D．3个2．把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，则第四个球的最高点与桌面的距离（）A．2+B ．C．1+D．33．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.8B.173C.273D.7第5题图第6题图第7题图4．点A，B，C，D在同一个球的球面上，C CAB=B=A=，若四面体CDAB这个球的表面积为（）A．16916π B．8π C．28916π D．2516π5．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下列结论正确的是（）A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC6．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，，则AA1与平面AB1C1所成的角为（）A ．B ．C ．D ．7．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为1的正方形，若∠A1AB=∠A1AD=60°，且A1A=3，则A1C的长为（）A ．B ．C ．D ．8．在长方体1111ABCD A B C D-中，AB=11BC AA==，点M为1AB的中点，点P为对角线1AC上的动点，点Q为底面ABCD上的动点（点P，Q可以重合），则MP PQ+的最小值为（）A．2B．2C．34D．1第9题图第10题图侧视图正视图第11题图9．某几何体是由直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其中俯视图中椭圆的离心率为（ ）AB ．12C D10．如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为3，以顶点A 为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于( )A ．65π B ．32π C ．π D ．67π 11．如图，l A B A B αβαβαβ⊥=∈∈，，，，，到l 的距离分别是a 和b ，AB 与αβ，所成的角分别是θ和ϕ，AB 在αβ，内的射影长分别是m 和n ，若a b >，则（ ）A ．m n θϕ>>，B ．m n θϕ><，C ．m n θϕ<<，D ．m n θϕ<>， 12．如图，P 是正方体1111ABCD A B C D -对角线1AC 上一动点，设AP 的长度为x ，若PBD ∆的面积为(x)f ，则(x)f 的图象大致是（ ）二、填空题（每小题5分，共20分）13．在东经120︒圈上有甲、乙两地，它们分别在北纬15︒与北纬75︒圈上，地球半径为R ，则甲、乙两地的球面距离是 .14．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，6AC =，1BC CC ==，P 是1BC 上一动点，则1CP PA +的最小值是___________.15．如图，在三棱锥A BCD -中，BC DC AB AD ====2BD =，平面ABD ⊥平面BCD ，O 为BD 中点，点,P Q 分别为线段,AO BC 上的动点（不含端点），且AP CQ =，则三棱锥P QCO -体积的最大值为________．第14题图 第15题图 第16题图16．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 的动点，过,,A P Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ，则下列命题正确的是 ①当102CQ <<时，S 为四边形；②当12CQ =时，S 为等腰梯形；③当34CQ =时，S 与11C D 的交点R 满足1113C R =；④当314CQ <<时，S 为六边形；⑤当1CQ =时，S 三、解答题（共70分）17．（10分）平面⊥PAD 平面ABCD ，ABCD 为正方形，PAD ∆是直角三角形，且2==AD PA ，G F E ,,分别是线段CD PD PA ,,的中点．（1）求证：PB //平面EFG ；为54，若存在，（2）在线段CD 上是否存在一点Q ，使得点A 到平面EFQ 的距离求出DQ 的值；若不存在，请说明理由．18．(12分)如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，C B 1的中点为O ，且⊥AO 平面C C BB 11.（Ⅰ）证明：;1AB C B ⊥（Ⅱ）若1AB AC ⊥,0160=∠CBB ,2=BC , 求1B 到平面ABC 的距离.19．（12分）如图，三棱锥P ABC -中，ABC ∆是正三角形，PC ⊥平面ABC ，PC AC =，E 为AC 中点，EF AP ⊥，垂足为F .(Ⅰ)求证：AP FB ⊥；（Ⅱ）求二面角A FC B --的平面角的余弦值.20．（12分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形，AC BD O =，1AO ⊥底面ABCD ，21==AA AB ．（Ⅰ）证明：平面1ACO ⊥平面11BB D D ； （Ⅱ）若60BAD ∠=，求二面角1B OB C --的余弦值．21．（12分）如图，椭圆1C ：2222=1x y a b+（0,0>>b a ）和圆2222:b y x C =+，已知圆2C 将椭圆1C 的长轴三等分，且圆2C 的面积为π.椭圆1C 的下顶点为E ，过坐标原点O 且与坐标轴不重合的任意直线l 与圆2C 相交于点B A 、，直线EB EA 、与椭圆1C 的另一个交点分别是点M P 、．（1）求椭圆1C 的方程；（2）（Ⅰ）设PM 的斜率为t ，直线l 斜率为1K ，求1Kt的值；（Ⅱ）求△EPM 面积最大时直线l 的方程．22．已知函数为常数）m mx x x x f (ln )(2-=．（Ⅰ）当0=m 时，求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）若1)(2>-x f xx 对任意[]2,e e x ∈恒成立，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）若⎪⎭⎫ ⎝⎛∈1,121e x x ，，121<+x x ，求证()42121x x x x +<．高二期中考试数学（理科）参考答案一、选择题 DADCDA ACDADA 二、填空题 13．3R π 14．．4816．①②③⑤ 三、解答题17．（1）取AB 中点H ，连接HG EH ,，H G F E ,,,分别是AB CD PD PA ,,,中点//EF ⇒AD ，//AD GH //EF ⇒GH ,,,,H G F E ⇒四点共面 又H E ,分别为AB PA ,的中点//EH ⇒PB ，而⊂EH 平面EFG ，所以//PB 平面EFG（2）在线段AB 上取AQ DQ a ==‘，则211121=⨯⨯=∆AEF S ，2121'a a S S EFQ EFQ =⨯⨯==∆∆由3454231121315431312=⇒⨯⨯=+⋅⨯⇒⋅=⋅⇒=∆∆--a a a S HE S V V EFQ AEF EFQ A AEF Q 即存在一点Q ，使得点A 到平面EFQ 的距离为54，此时34=DQ .18．（1）连结1BC ，则1BC 与1B C 交于O ，∵侧面11BB C C 为菱形，∴1B C 1BC ⊥，∵AO ⊥平面11BB C C ，∴1B C AO ⊥又∵O AO BC = 1，∴1B C ⊥平面ABO ，由于AB ⊂平面ABO ∴1B C ⊥AB(2) 设点B 1 到平面ABC 的距离为h,∵侧面C C BB 11为菱形，1,601==∠BC CBB ∴△1CBB 为等边三角形,∴211===C B BB BC ,3=BO ∵1AB AC ⊥，,2,1211===∴AC C B OA ,222=+=∆∴BO AO AB AOB Rt 中，27214221=⨯⨯=∆∴∆ABC S ABC 中，等腰,∵11CBB A ACB B V V --=132********⨯⨯⨯⨯=⨯⨯∴h , 7212=∴h ∴点B 1 到平面ABC 的距离为7212.19．（Ⅰ）连结BE ,由题意得BE AC ⊥,又∵PC ⊥平面ABC ，∴PC BE ⊥,∴BE ⊥面PA C ,∴BE AP ⊥, 又∵EF AP ⊥，∴AP ⊥面BEF ,∴AP FB ⊥；（Ⅱ）如图，以E 为坐标原点，分别以EB ,EC 的方向为x 轴，y 轴正方向，建立空间直角坐标系E xyz -. 由题意得()0,1,0A -，110,,22F ⎛⎫-⎪⎝⎭，)B ，()0,1,0C ，则()BC =,113,,22FB ⎛⎫=- ⎪⎭，设平面FBC 的法向量为(),,x y z =n ，则00BC FB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即011022y y z ⎧+=⎪+-=，令y =1x =，z =(=n ， 易知，平面A FC 的法向量为()1,0,0EB ==p, ∴cos ,⋅==n p n p n p即二面角A FC B -- 20．（Ⅰ）证明：因为1AO ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以1AO BD ⊥． 因为ABCD 是菱形，所以CO BD ⊥．因为1AO CO O =，所以BD ⊥平面1ACO ．因为BD ⊂平面11BB D D ，所以平面11BB D D ⊥平面1ACO ． （Ⅱ）解 ：因为1AO ⊥平面ABCD ，CO BD ⊥，以O 为原点，OB ，OC ，1OA 方向为x ，y ，z 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系．因为12AB AA ==，60BAD ∠=，所以1OB OD ==，OA OC =11OA ==．则()1,0,0B，()C，()0,A ，()10,0,1A ，所以()11BB AA ==，()11+OB OB BB ==．设平面1OBB 的法向量为(),,x y z =n ，因为()1,0,0OB =，()1OB =，所以0,0.x x z =⎧⎪⎨++=⎪⎩令1=y，得(0,1,=n ．同理可求得平面1OCB 的法向量为()1,0,1=-m．所以cos ,<>==n m ． 因为二面角1B OB C --的平面角为钝角，所以二面角1B OB C --的余弦值为4．21．（1）依题意1b =,则3a b =.∴椭圆方程为2219x y +=. （2）（Ⅰ）由题意知直线,PE ME 的斜率存在且不为0, PE ME ⊥,不妨设直线PE 的斜率为k ()0k >,则PE :1y kx =-.由22119y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22218919191k x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩或01x y =⎧⎨=-⎩,2221891,9191k k P k k ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭. 用1k -代替k ,得222189,99k k M k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭,则22222229191919181810919PM k k k k k t k k k k k k ----++===+++. 由2211y kx x y =-⎧⎨+=⎩得2222111k x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩或01x y =⎧⎨=-⎩,22221,11k k A k k ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭ 2112k K k -∴=,则15K t =. （Ⅱ）法一: PE ==；EM ==, ()()()2221621919EPM k k S k k ∆+∴==++()34222116216299829982k k k k k k k k⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==++++ 设1k u k +=,则()21621622764882929EPM u S u u u ∆==≤=+-+,当且仅当183k u k +==时取等号．22112814,9k k k k k k ⎛⎫⎛⎫-=+-=∴-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 则直线AB :212k y x k -=,所以所求的直线l的方程为y x =.法二:直线PM的方程:222291189109k k ky xk k k--⎛⎫-=+⎪++⎝⎭,即214105ky xk-=+.可设直线PM:45y tx=+.由224519y txxy⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y得()227281190525t x tx++-=.12PM x∴=-=E到直线PM的距离9d=.21925EPMS∆⎛⎫∴==⎪⎝⎭1m=≥,则281812716125891925EPMmSm mm∆==≤=-++.22．（Ⅰ）当0m=时，xxxf ln)(=，0x>，得1ln)(+='xxf．由ln10x+>，解得x>e1，即f（x）在（e1，+∞）上单调递增；由ln10x+<，解得0x<<e1，即f（x）在（0，e1）上单调递减．∴ 综上，()f x的单调递增区间为（e1，+∞），单调递减区间为（0，e1）．（Ⅱ）已知2]x e∈，于是1)(2>-xfxx变形为1ln1>--mxxx，从而11ln1->-xmxx，即0l n1x m x x<-<-，整理得xxx1ln+-m<<xxln．令()g x=xxx1ln+-，则2ln)(xxxg-='0<，即()g x在2]e上是减函数，∴g（x）max=g（e）=123-ee．令()h x=xxln，则2ln1)(xxxh-='，当e x e<<时，)(xh'0>，即此时h（x）单调递增；当2e x e<<时，)(xh'0<，即此时h（x）单调递减，而h（e）=e21h>（2e）=2e，∴ h（x）min=2e．∴ 123-ee m<<2e．（Ⅲ）由（Ⅰ）知当0m=时，xxxf ln)(=在1()e+∞，上是增函数．∵ 11211<+<<xxxe，∴()()()()121212111ln lnf x x x x x x f x x x+=++>=，即1ln x<)ln(21121xxxxx++，同理2ln x<)ln(21121xxxxx++．所以12ln lnx x+<)ln()(21121221xxxxxxxx++++121221(2)ln()x xx xx x=+++，又因为122124x xx x++≥，当且仅当12x x=时，取等号．又1x，2x∈（e1，1），121x x+<，0)ln(21<+xx,∴ 121221(2)ln()4x xx xx x+++≤，∴ )ln(4lnln2121xxxx+<+，∴()41212x x x x<+．。

2021年高二数学下学期期中联考试题理(I)一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．复数满足，则（）A. B. C. D.2．设函数的图像如左图，则导函数的图像可能是下图中的（）3．由曲线，以及所围成的图形的面积等于 ( )A．2 B． C． D．4.用数学归纳法证明(n+1)(n+2)(n+3)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)(n∈N*)时,从n=k(k∈N*)到n=k+1时左边需增乘的代数式是 ( )A．2k+1 B．2(2k+1) C． D．5．安排6名歌手演出顺序时，要求歌手乙、丙排在甲的前面或者后面，则不同排法的种数是（）A. 480B. 360C. 240D. 1806．二项式的展开式中，第二、三、四项二项式系数成等差数列，则展开式中的常数项是( )A．21 B．35 C．.56 D．287．设,函数的导函数是奇函数，若曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标是（）A． B． C. D．8．若，，，则 ( )A． B．C． D．9．已知有下列各式：，成立，观察上面各式，按此规律若，则正数 ( )A．4 B．5 C． D．10．将9个（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为 ( )A ．70B ．140C ．280D ．84011．若点在函数的图像上，点在函数的图像上，则的最小值为 （ ）A ．B ． 2C ．D ．8 12． 定义在R 上函数，满足,若且,则有( )A. B. C. D.不能确定二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案直接填在题后的横线上． 13．已知（、R ）,且满足，则复数在复平面内对应的点位于 第 象限． 14．若,)1()1()1()21(1001002210100-++-+-+=+x a x a x a a x 则= ．15．如图，是可导函数，直线是曲线在处的切线，令，则 ．16.如图所示的数阵中,第20行第2个数字是 .1 …三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小题满分10分）已知△ABC 的三边长为a 、b 、c,且其中任意两边长均不相等.若,, 成等差数列．(1)比较与的大小,并证明你的结论; (2)求证：B 不可能是钝角．18.（本小题满分12分）有4个不同的球，四个不同的盒子，把球全部放入盒内． （1）共有多少种放法？（2）恰有一个盒子不放球，有多少种放法？ （3）恰有两个盒不放球，有多少种放法？19．（本小题满分12分）由下列不等式：1111113>++>++++>，…，1,11,1,2232372你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明。

高二下学期期中考试数学试卷-附带参考答案和解析本试卷共5页 22小题 满分150分.考试用时120分钟.考生注意事项：1．试卷分第Ⅰ卷和第Ⅰ卷 第Ⅰ卷用2B 铅笔涂在答题卡上 第Ⅰ卷用黑色钢笔 签字笔在答题卡上作答2．质量监测时间120分钟 全卷满分150分．一、选择题：本大题共8小题 每小题5分 共40分 每小题只有一项是符合题目要求的．1．已知集合(){}2log 20A x x =∈-≤N {A x y =∈N ，则A B ⋃=（ ）A ．{}0,1,2B ．{}1,2C ．{}0,1D ．{}1【答案】C【分析】根据对数的单调性 一元二次不等式的解法 结合并集的定义进行求解即可. 【详解】由(){}2log 20021121x x x A -≤⇒<-≤⇒≤<⇒=由{}210110,1x x B -≥⇒-≤≤⇒=所以A B ⋃={}0,1 故选：C2．复数z 满足()1i i z += i 为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A ．1z = B ．z 在复平面内对应的点位于第二象限 C ．z 的实部为12D ．z 的虚部为1i 2【答案】C【分析】根据复数的除法运算求出复数z 即可求得其模以及实部和虚部 以及对应的点所在象限 一一判断各选项 即得答案.【详解】因为()1i i z += 故i i (1i)11i 1i (1i)(1i)22z ⋅-===+++-则z ==A 错误 z 在复平面内对应的点为11(,)22位于第一象限 B 错误z 的实部为12C 正确z 的虚部为12D 错误故选：C ．3．在ABC 中 点D 是线段AB 上靠近B 的四等分点 点E 是线段CD 上靠近D 的三等分点，则AE =（ ）A ．2133CA CB -+ B ．1526CA CB -C ．1233CA CB -+D 5162CA CB -+．【答案】D【分析】方法一：利用平面向量基本定理得到答案方法二：设ABC 是等腰直角三角形 且4CA CB == 建立空间直角坐标系 写出点的坐标 设m A CA nCB E =+ 从而得到方程组 求出答案.【详解】方法一：如图 由题意得23CE CD = 34AD AB =故()22123333AE AC CE AC CD AC AD AC AC AD =+=+=+-=+()111151323262AC AB CA CB CA CA CB =+=-+-=-+方法二：不妨设ABC 是等腰直角三角形 且4CA CB == 以C 为坐标原点建立平面直角坐标系 如图所示 则()()()()20,0,0,4,4,0,3,1,2,3C A B D E ⎛⎫ ⎪⎝⎭则()()0,4,4,0CA CB == 设m A CA nCB E =+故()()102,0,44,03m n ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭所以1042,43n m ==- 解得51,62m n =-=故5162CA C A B E -=+．故选：D ．4．函数()()()2sin 0,ππf x x ωϕωϕ=+>-<<的部分图像如图所示，则ω ϕ的值分别是（ ）A ．2 π6- B ．2 π3-C ．2π3D ．4 5π6-【答案】B【分析】根据三角函数图像与性质求ω ϕ的值即可. 【详解】设()f x 的周期为T则由图像知35π9π3πππ4123124T T ⎛⎫=--==⇒= ⎪⎝⎭所以2π2Tω==，则()()2sin 2f x x ϕ=+ 因为()f x 在5π12x =处取得最大值 所以5π2π2π,Z 122k k ϕ⨯+=+∈ 得π2π,Z 3k k ϕ=-+∈因为ππϕ-<< 所以π0,3k ϕ==-.故选：B5．在数列{}n a 中的相邻两项n a 与()*1n a n +∈N 之间插入一个首项为1n a n- 公差为1n -的等差数列的前n 项记构成的新数列为{}n b 若21n a n =+，则{}n b 前65项的和为（ ） A ．252-B ．-13C ．272-D ．-14【答案】A【分析】根据题意 得到数列{}n b 中n a 及其后面n 项的和为n S ()()1112n n n n S n a n+=+-⨯求解. 【详解】解：数列{}n b 为：1122233331121,1,,,1,,,,1,,,233n n a a a a a a a a a a a n-------1231,,,,1,,n n n n n n a a a a a n nn+-----设n a 及其后面n 项的和为n S ，则()()()1111123222n n n n n S n a n n ++=+-⨯=-=- 所以数列{}n S 是以1为首项 公差为12-的等差数列.所以{}n b 前65项的和为1210710125222S S S ⎛⎫- ⎪⎝⎭+++==-故选：A.6．冬季是流感高发期 其中甲型流感病毒传染性非常强．基本再生数0R 与世代间隔T 是流行病学基本参考数据．某市疾控中心数据库统计分析 可以用函数模型()2rtW t =来描述累计感染甲型流感病毒的人数()W t 随时间t Z t ∈（单位：天）的变化规律 其中指数增长率r 与基本再生数0R 和世代间隔T 之间的关系近似满足01R rT =+ 根据已有数据估计出04R =时 12T =．据此回答 累计感染甲型流感病毒的人数增加至()0W 的3倍至少需要（参考数据：lg 20.301≈ lg30.477≈）（ ）A ．6天B ．7天C ．8天D ．9天【答案】B【分析】先求得r 然后根据“()0W 的3倍”列方程 化简求得需要的时间. 【详解】依题意 01R rT =+ 且04R =时 12T =即14112,4r r =+⨯= 所以()142tW t = ()10W =令()1423tW t == 两边取以10为底的对数得14lg 340.477lg 2lg 3, 6.34lg 20.301t t ⨯==≈≈ 所以至少需要7天. 故选：B7．如图 在长方形ABCD 中 2AB = 1BC = E 为DC 的中点 F 为线段EC （端点除外）上的动点．现将AFD △沿AF 折起 使平面ABD ⊥平面ABC 在平面ABD 内过点D 作DK AB ⊥ K 为垂足．设AK t ，则t 的取值范围是（ ）A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．51,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】设DF x = 求得x 关于t 的表达式 根据x 的取值范围求得t 的取值范围. 【详解】如图 在平面ADF 内过点D 作DH AF ⊥垂足为H 连接HK ．过点F 作//FP BC 交AB 于点P ．设FAB θ∠= AE AC == 所以cos θ∈⎝⎭．设DF x =，则12x <<．因为平面ABD ⊥平面ABC 平面ABD ⋂平面ABC AB =DK AB ⊥ DK ⊂平面ABD 所以DK ⊥平面ABC又AF ⊂平面ABC 所以DK AF ⊥． 又因为DHAF ⊥DKDH D = DK DH ⊂平面DKH 所以AF ⊥平面DKH 所以AF HK ⊥ 即AH HK ⊥．在Rt ADF 中 AF DH因为ADF △和APF 都是直角三角形 PF AD = 所以Rt Rt ADF FPA ≌△△ AP DF x ==．因为AHD ADF ∽△△,1AH DH AH AH AD DF ===所以cos AH AP AK AF θ=== 得1x t=． 因为12x << 所以112t<< 所以112t <<．故选：C【点睛】方法点睛：线面垂直 面面垂直转化的过程中 要从线面垂直得到面面垂直 需要“经过一个平面的垂线” 要从面面垂直得到线面垂直，则需要“在一个平面内 垂直于交线” 在答题过程中 要注意使用正确的符号语言.8．在直角坐标系xOy 内 圆22:(2)(2)1C x y -+-= 若直线:0l x y m ++=绕原点O 顺时针旋转90后与圆C 存在公共点，则实数m 的取值范围是（ ）A．⎡⎣ B．44⎡--⎣C．22⎡--⎣D．2⎡-⎣【答案】A【分析】由题意首先得出旋转后的直线为1:0l x y m 然后由直线与圆的位置关系列出不等式即可求解. 【详解】连接OP 设POx θ∠=（即以x 轴正方向为始边 OP 为终边的角）由题意对于直线:0l x y m ++=上任意一点(),P x y存在R a θ=∈ 使得()cos ,sin P a a θθ 则直线:0l x y m ++=绕原点O 顺时针旋转90后 点()cos ,sin P a a θθ对应点为1ππcos ,sin 22P a a θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 即()1sin ,cos Pa a θθ- 因为()cos ,sin P a a θθ在直线:0l x y m ++=上 所以满足cos sin 0a a m θθ++= 设11sin ,cos x a y a θθ==- 所以110y x m -++= 即()1sin ,cos P a a θθ-所在直线方程为1:0l xy m而圆22:(2)(2)1C x y -+-=的圆心 半径分别为()2,2,1r = 若直线:0l x y m ++=绕原点O 顺时针旋转90后与圆C 存在公共点所以圆心()2,2C 到直线1:0l x y m 的距离1d r =≤= 解得m ≤故选：A.【点睛】关键点睛：关键是求出旋转后的直线 从而即可顺利得解.二 多选题9．某校举行演讲比赛 6位评委对甲 乙两位选手的评分如下： 甲：7.5 7.5 7.8 7.8 8.0 8.0 乙：7.5 7.8 7.8 7.8 8.0 8.0 则下列说法正确的是（ ）A ．评委对甲评分的平均数低于对乙评分的平均数B ．评委对甲评分的方差小于对乙评分的方差C ．评委对甲评分的40%分位数为7.8D ．评委对乙评分的众数为7.8 【答案】ACD【分析】由平均数 方差 百分位数 众数的概念及求法分别求解判断即可. 【详解】选项A 评委对甲评分的平均数7.57.57.87.88.08.017.87.8630x +++++==-<甲评委对乙评分的平均数7.57.87.87.88.08.017.87.8660x +++++==+>乙所以x x <甲乙 故A 正确选项B 由A 知 两组数据平均数均约为7.8且纵向看 甲组数据与乙组数据仅一组数据7.5,7.8不同 其余数据相同 又甲组数据7.5与平均数的差明显大于乙组数据7.8与平均数的差 且差距较大 故与平均数比较 甲组数据波动程度明显大些即评委对甲评分的方差大于对乙评分的方差 故B 错误 选项C 由640% 2.4⨯=不是整数则评委对甲评分的40%分位数为从小到大第3个数据 即：7.8 故C 正确 选项D 评委对乙评分中最多的数据 即众数为7.8 故D 正确.故选：ACD.10．下列说法正确的是（ ）A ．“α为第一象限角”是“2α为第一象限角或第三象限角”的充分不必要条件 B ．“π2π6k α=+ Z k ∈”是“1sin 2α=”的充要条件C ．设ππ,Z 4M k k αα⎧⎫==±∈⎨⎬⎩⎭ π,Z 4k N k αα⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭，则“M θ∈”是“N θ∈”的充分不必要条件D ．“sin 0θ>”是“θtan 02>”的必要不充分条件 【答案】AC【分析】对于A 利用象限角 求得角α的范围 可判定充分性 取π3α= 验证必要性即可 对于B 考查1sin 2α=时 α的取值范围 可判定必要性不成立 对于C 根据集合M N 的关系即可判定 对于D 根据条件求得α的取值范围即可判断. 【详解】对于A,因为α为第一象限角 所以π2π2π,Z 2k k k α<<+∈ 则πππ,Z 4k k k α<<+∈, 当k 为偶数时 α为第一象限角 当k 为奇数时 α为第三象限角 所以充分性成立 当π3α=时 α为第一象限角，则2π23α= 为第二象限角 即必要性不成立 故A 正确 对于B 当π2π6k α=+ Z k ∈时 1sin 2α=成立，则充分性成立当1sin 2α=时 π2π6k α=+或5π2π6k α=+ Z k ∈, 故必要性不成立，则B 错误对于C ()41πππ,Z ,Z 44k M k k k αααα⎧⎫⎧⎫⎪⎪==±∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭而π,Z 4k N k αα⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭则MN 故则“M θ∈”是“N θ∈”的充分不必要条件 故C 正确对于D,当sin 0θ>时 2π2ππ,Z k k k θ<<+∈, 则πππ,Z 22k k k θ<<+∈ 则θtan 02> 故充分性成立 当θtan02>时 πππ,Z 22k k k θ<<+∈则2π2ππ,Z k k k θ<<+∈ 则sin 0θ>成立 所以“sin 0θ>”是“θtan 02>”的充要条件 故D 错误 故选：AC.11．椭圆C 的标准方程为22121,,82x y F F +=为椭圆的左 右焦点 点()2,1P ．12PF F △的内切圆圆心为(),I I I x y 与1212,,PF PF F F 分别相切于点,,D E H ，则（ ）A ．126PF F S =△ B ．13x C ．1233y = D ．226PD PE ==【答案】BCD【分析】根据椭圆中焦点三角形的性质求解12PF F S再结合三角形内切圆的几何性质逐项判断即可得结论.【详解】椭圆C ：22182x y +=，则22,2,826a b c ===-= 所以()()126,0,6,0F F又()2,1P 所以点P 再椭圆上 连接12,,,,,ID IE IH IP IF IF则121211122PF F p SF F y =⋅=⨯ 故A 不正确由椭圆的定义可得122PF PF a +==又12PF F △的内切圆圆心为(),I I I x y 所以内切圆半径I r y = 由于121212PF F IF F IF PIF PSSSS=++()(121212121111122222I I I I I F F y PF y PF y y F F PF PF y =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⋅++=⋅故3I r y === 故C 正确又1122,,PD PE DF F H EF HF ===所以12121212PF PF PD DF PE EF PD F H PE HF PD PE F F +=+++=+++=++=则2PD = 所以PD PE == 故D 正确又2PF == 所以222HF EF PF PE ==-又H I x x = I x = 即1x 故B 正确. 故选：BCD.12．已知函数()()e xf x a x =+ ()()lng x x a x =+，则下列说法正确的是（ ）A ．若函数()y f x =存在两个极值，则实数a 的取值范围为21,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．当1a =时 函数()y g x =在(0,)+∞上单调递增C ．当1a =时 若存在1x ≥ 使不等式()()2()ln f mx fxx x ≥+成立，则实数m 的最小值为0D ．当1a =时 若()()12(0)f x g x t t ==>，则()121ln x x t +⋅的最小值为1e【答案】BC【分析】对A 选项：由极值点的性质结合导数讨论单调性即可得 对B 选项：结合导数讨论单调性即可得 对C 选项：结合()f x 单调性 可转化为当1x ≥时 有()1ln m x x ≥+成立 求出()1ln x x +最小值即可得 对D 选项：采用同构法可确定12e xx = 再将多变量化为单变量后结合导数讨论单调性即可得.【详解】对A 选项：()()()e e 1e x x xf x x a x a +=+'=++若函数()y f x =存在两个极值，则函数()f x '必有两个变号零点令()()1e 0x f x x a =++='，则()1e xa x =-+令()()1e xh x x =-+，则()()2e xh x x +'=-则当2x >-时 ()0h x '< 当<2x -时 ()0h x '> 故()h x 在(),2∞--上单调递增 在()2,∞-+上单调递减故()()()221221e e h x h -≤-=--+=又当1x >-时 ()()1e 0xh x x =-+<恒成立当x →-∞时 ()0h x →故当210,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭函数()f x '有两个变号零点即若函数()y f x =存在两个极值，则实数a 的取值范围为210,e⎛⎫ ⎪⎝⎭故A 错误对B 选项：当1a =时 ()(1)ln g x x x =+ ()11ln ln 1x g x x x x x='+=+++ 令()()x g x μ='，则()22111x x x x xμ'-=-= 则当()0,1x ∈时 ()0x μ'< 当()1,x ∞∈+时 ()0x μ'> 故()x μ在()0,1上单调递减 在()1,∞+上单调递增故()()120g x g '='≥> 故函数()y g x =在(0,)+∞上单调递增 故B 正确对C 选项：当1a =时 ()()e 1xf x x =+()()()e e 11e 1x x x f x x x =++=++'令()()m x f x ='，则()()2e xm x x +'=则当<2x -时 ()0m x '< 当2x >-时 ()0m x '> 故()m x 在(),2∞--上单调递减 在()2,∞-+上单调递增故()()2212e 110e f x f -≥-=-+=-'>' 故()f x 在R 上单调递增则存在1x ≥ 使不等式()()2()ln f mx fxx x ≥+成立等价于存在1x ≥ 使不等式()2ln mx x x x ≥+成立则当1x ≥时 有()1ln m x x ≥+成立由当1a =时 ()(1)ln g x x x =+ 且()y g x =在(0,)+∞上单调递增 故()11ln10m ≥+= 即实数m 的最小值为0 故C 正确对D 选项：当1a =时 由B C 可知 ()f x ()g x 均为定义域上的增函数 由()00f = ()10g = 故有1>0x 21x >由()()12f x g x =，则()()1122e 11ln xx x x +=+即()()()111122e 1e 1ln e 1ln x x x x x x +=+=+ 故12e xx =又()()111e 10xf x t x ==+> 故()121ln ln x x t t t +⋅=令()ln n x x x =，则()1ln n x x x ='+ 令()()1ln p x n x x x==+'则()22111x p x x x x='-=- 则当()0,1x ∈时 ()0p x '< 当()1,x ∞∈+时 ()0p x '> 故()p x 在()0,1上单调递减 在()1,∞+上单调递增 即()()10n x n ''≥= 故()n x 在()0,∞+上单调递增 故()n x 无最小值 即()121ln x x t +⋅无最小值 故D 错误. 故选：BC.【点睛】思路点睛：本题考查导数在研究函数中的综合应用问题 其中D 选项中涉及到多变量问题的求解 求解此类问题的基本思路是根据已知中的等量关系 将多变量转化为单变量的问题 从而将其转化为函数最值问题的求解. 三 填空题13．()622x x y y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中42x y 的系数为 ．（用数字作答）【答案】40-【分析】由二项式定理得到()62x y -的通项公式 结合2xy+得到34,T T 得到42x y 的系数. 【详解】()62x y -的通项公式为()()66166C 2C 2rrr r r r r r T x y x y --+=-=-令2r =得 ()22424236C 260T x y x y =-= 此时4242602120x y x y ⋅=令3r =得 ()33333346C 2160T x y x y =-=- 此时3342160160xx y x y y-⋅=- 故42x y 的系数为12016040-=- 故答案为：40-14．设数列{}n a 满足12a = 26a = 且2122n n n a a a ++-+= 若[]x 表示不超过x 的最大整数，则122021202120212021a a a ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦． 【答案】2020【分析】根据题意 得到()()2112n n n n a a a a +++---= 得到{}1n n a a +-为等差数列 求得其通项公式 结合累加法 得到(1)n a n n =+ 求得2021112021()1n a n n =-+ 再利用裂项求和 求得12202120212021202120212021(2020,2021)2022a a a +++=⨯∈ 即可求解. 【详解】因为2122n n n a a a ++-+= 可得()()2112n n n n a a a a +++---= 又因为12a = 26a = 可得214a a -=所以数列{}1n n a a +-是首项为4 公差为2的等差数列 所以14(1)222n n n a n a +-=+-⨯=+ 当2n ≥时 112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+(1)22(1)2222(1)2n n n n n n +=+-++⨯+=⨯=+ 且当1n =时 12a =也成立 所以()1n a n n =+ 所以202111120212021()(1)1n a n n n n =⨯=-++ 所以122021202120212021111112021[(1)()()]22320212022a a a +++=-+-++- 120212021(1)2021(2020,2021)20222022=-=⨯∈所以1220212021202120212020a a a ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦. 故答案为：2020.15．已知椭圆 22221(0)x y C a b a b+=>>：的左右焦点为12,F F ．直线y kx =与椭圆C 相交于,P Q 两点 若112PF QF = 且12π3PFQ ∠= ，则椭圆C 的离心率为． 【分析】由椭圆的对称性可得四边形12PFQF 为平行四边形 再根据椭圆的定义求出12,PF PF 再在12PF F △中 利用余弦定理求出,a c 的关系即可得解.【详解】由椭圆的对称性可得四边形12PFQF 为平行四边形，则21PF QF =由12π3PFQ ∠= 得12π3F PF ∠= 因为112PF QF = 所以122PF PF = 又122PF PF a += 所以1242,33a aPF PF == 在12PF F △中 由余弦定理得222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-∠ 即2222164421442993323a a a a ac =+-⨯⨯⨯=所以c a =即椭圆的离心率c e a ==16．已知A M N 是棱长为1的正方体表面上不同的三点，则·AM AN 的取值范围是 ． 【答案】1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】根据正方体的性质可得·3cos ,a AM AN AM AN =≤结合夹角的定义可得3a ≤ 可得其最大值 根据数量积的运算可知24≥-MN a 可得其最小值.【详解】正方体表面上任意两点间距不超过体对角线长度d 则,AM AN d ≤ 故·3cos ,a AM AN AM AN =≤ 而[]cos ,1,1AM AN ∈- 故3a ≤如图建立空间直角坐标系 取()0,0,0A ,M N 重合为()1,1,1时 则()()1,1,11,1,13a =⋅= 取得最大值3由对称性 设A 在下底面 (),,AM x y z = (),,AN a b c =由A 在下底面知0,0,0z c zc ≥≥≥ 当且仅当,M N 也在下底面时取等 此时,,A M N 共面时 设MN 中点为E ，则EM EN =-()()()()()2222··4MN a AM AN AE EM AE EN AE EN EN==++=-≥-=-当且仅当,A E 重合时取等又因为2MN ≤ 可得2142-≥-≥a MN 例如11,,022A ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ()()1,0,0,0,1,0M N ，则11111·,,0,,022222a AM AN ⎛⎫⎛⎫==--=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以·AM AN 的取值范围是1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故答案为：1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.四 解答题（共70分）17．（本题10分）如图 在ABC 中 6AB AC == 点D 是边BC 上一点且,cos AD AB CAD ∠⊥=2AE EB =(1)求BCE 的面积 (2)求线段AD 的长. 【答案】(1)(2)=AD【分析】（1）根据13BCE ABC S S =△△求解即可（2）解法1：在ABC 中根据余弦定理求出BC 结合等腰三角形的性质求cos B 在ABD △中勾股定理求AD 即可 解法2：由A BCABDACDSSS=+求得AD .【详解】（1）12,3BCEABCAE EB SS =∴=而11πsin 66sin 222ABCSAB AC BAC CAD ⎛⎫=⋅⋅∠=⨯⨯⨯∠+ ⎪⎝⎭ 18cos 18CAD =∠== 1423BCEABCSS ∴==（2）解法1：()1cos 0,π,sin 3CAD CAD CAD ∠=∠∈∴∠= π1cos cos sin 23CAB CAD CAD ⎛⎫∴∠=∠+=-∠=- ⎪⎝⎭在ABC 中 22212cos 3636266963BC AB AC AB AC CAB ⎛⎫=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭BC ∴=∴在等腰ABC 中12cos BCB BA ==∴Rt ABD △中6cos ,BA BBD BD BD===∴=AD ∴==解法2：()1cos 0,π,sin 3CAD CAD CAD ∠=∠∈∴∠== 由A BCABDACDSSS=+得1166sin 22AD AD CAD =⨯⨯+⨯⨯⋅∠,即()11166223AD AD =⨯⋅+⋅⋅⋅解得=AD18．（本题12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S 11a = 且满足()()11112n n n S nS n n ++=-+.(1)求数列{}n a 的通项公式(2)设()23cos πn a n n b a n =+⋅ 求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)n a n =(2)()()()()11133,,24133,.24n n n n n n T n n n ++⎧++--⎪⎪=⎨++-⎪--⎪⎩为偶数为奇数【分析】（1）利用构造法和等差数列的定义与通项公式可得()12n n n S +=结合1n n n a S S -=-即可求解（2）由（1）知()()213nnn b n =-+- 利用分组求和法计算即可求解. 【详解】（1）根据题意 ()()11112n n n S nS n n ++=-+ 所以1112n n S S n n +-=+由于1111S a ==，则n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1 公差为12的等差数列所以()111122n S n n n +=+-⨯= 所以()12n n n S += 当2n ≥时 1(1)(1)22n n n n n n na S S n -+-=-=-=. 验证1n =时11a =满足通项公式 故数列{}n a 的通项公式为n a n =.（2）由（1）知()()()223cos π13n n na n nb a n n =+⋅=-+-.设()21nn -的前n 项和为n A ，则当n 为偶数时 ()22222212341n A n n =-+-+-⋅⋅⋅--+()()()()()()2121434311n n n n ⎡⎤⎡⎤=-++-++⋅⋅⋅+--+-⎣⎦⎣⎦ ()()1123412n n n n +=++++⋅⋅⋅+-+=. 当n 为奇数时 ()()2211122n n n n n n A A n n --+=-=-=-设()3n-的前n 项和为n B ，则()()()131333134nn nB +⎡⎤-⋅-----⎣⎦==+. 因为=+n n n T A B 所以()()()()11133,,24133,.24n n n n n n T n n n ++⎧++--⎪⎪=⎨++-⎪--⎪⎩为偶数为奇数 19．（本题12分）如图 在四棱锥P ABCD -中 PAD 为等边三角形 AD CD ⊥ //AD BC 且22AD BC ==CD =PB = E 为AD 中点．(1)求证：平面PAD ⊥平面ABCD(2)若线段PC 上存在点Q 使得二面角Q BE C --的大小为60︒ 求CQCP的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)12【分析】（1）首先连接PE 根据线面垂直的判定定理证明PE ⊥平面ABCD 再利用面面垂直的判定定理证明平面PAD ⊥平面ABCD . （2）设()01CQ CP λλ=≤≤,再利用向量法求二面角Q BE C --的平面角 再列方程得到12λ= 即得CQCP 的值．【详解】（1）证明：连接PEPAD 是边长为2的等边三角形 E 是AD 的中点PE AD ⊥∴PE =//DE BC DE BC = AD CD ⊥ ∴四边形BCDE 是矩形BE CD ∴==222PE BE PB ∴+= PE BE ∴⊥又AD BE E = AD BE ⊂平面ABCDPE ∴⊥平面ABCD又PE ⊂平面PAD∴平面PAD ⊥平面ABCD ．（2）以E 为原点 以EA EB EP 为坐标轴建立空间直角坐标系 如图所示：则(00P()C -()0B ()0,0,0E ()0EB ∴=， ()100BC =-，，(1CP = 设()01CQCPλλ=≤≤则()1BQ BC CQ BC CP λλ=+=+=- 设平面QBE 的法向量为(),,m x y z =则00m EB m BQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即()010x y z λ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，，令1z = 得()301m λλ=-，，又PE ⊥平面ABCD()001n ∴=，，为平面BEC 的一个法向量cos 3m n m n m nλ⋅∴==，二面角Q BE C --的大小为60︒12= 解得12λ=． 12CQ CP ∴=． 20．（本题12分）2023年秋末冬初 呼和浩特市发生了流感疾病. 为了彻底击败病毒 人们更加讲究卫生讲究环保. 某学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动 现从中抽取200名学生 记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图 根据图形 请回答下列问题：(1)若从成绩低于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩 求5人中成绩低于50分的人数 (2)以样本估计总体 利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数(3)首轮竞赛成绩位列前10%的学生入围第二轮的复赛 请根据图中信息 估计入围复赛的成绩（记为K ）. 【答案】(1)2人 (2)71 (3)88K ≥【分析】（1）利用分层抽样的定义求解即可 （2）利用平均数公式求解即可（3）根据题意设入围复赛的成绩的临界值为[)80,90K ∈，则()900.0250.050.1K -⨯+= 求出K 的值即可. 【详解】（1）成绩在[)40,50的人数为0.011020020⨯⨯=（人） 成绩在[)50,60的人数为0.0151020030⨯⨯=（人） 则按分层抽样方法从成绩低于60分的同学中抽取5人成绩低于50分的人数为20522030⨯=+（人）. 故5人中成绩低于50分的人数为2人（2）由()0.010.0150.0150.0250.005101a +++++⨯= 得0.030a = 则平均数450.1550.15650.15750.3850.25950.0571x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=故该校学生首轮竞赛成绩的平均数约为71分（3）根据频率分布直方图可知：[]90,100的频率为0.005100.05⨯= [)80,90的频率为0.025100.25⨯=所以入围复赛的成绩一定在[)80,90可知入围复赛的成绩的临界值为[)80,90K ∈则()900.0250.050.1K -⨯+= 解得88K =故估计入围复赛的成绩为88K ≥分.21．（本题12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>> 斜率为2的直线l 与x 轴交于点M l 与C 交于A B 两点 D 是A 关于y 轴的对称点．当M 与原点O 重合时 ABD △面积为169． (1)求C 的方程(2)当M 异于O 点时 记直线BD 与y 轴交于点N 求OMN 周长的最小值．【答案】(1)22142x y += (2)2【分析】（1）设出各点坐标 表示出面积后 结合面积与离心率计算即可得（2）要求OMN 的周长，则需把各边长一一算出 即需把M x N y 算出 设出直线方程与椭圆方程联立得与横坐标有关韦达定理 借助韦达定理表示出M x N y 可得OMN 各边边长 结合基本不等式即可求得最值.【详解】（1）当M 与原点O 重合时 可设()00,A x y ，则有()00,B x y -- ()00,D x y -且002y x = 即有AD BD ⊥, 则()()00001116229ABD S AD BD x x y y =⋅=++=即201649x = 又00x > 故023x =，则043y = 即有22416199a b +=即c a =则22222a c b c ==+ 故222a b = 即有224161189b b += 解得22b = 故24a = 即C 的方程为22142x y +=（2）设直线l 方程为2y x t =+ 令0y = 有2t x =- 即2M t x =- 设点()11,A x y ()22,B x y ，则()11,D x y - 联立直线与椭圆方程：222142y x t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 有2298240x tx t ++-= ()222Δ64362414480t t t =--=->即t -<有1289t x x -+= 212249t x x -= BD l 为()122212y y y x x y x x -=-+-- 令0x = 故21222122122221122121212N x y x y x y x y x y x y x y x y y y x x x x x x -+-+++=+==--++ 由2y x t =+ 故()()2112211212121212224x x t x x t x y x y x x t x x x x x x ++++==++++ 其中2121224198429t x x t t x x t -==-+-+ 即12442N t y t t t ⎛⎫=-++= ⎪⎝⎭则22OMN N M t C y x t =+=+2≥=当且仅当2t =±时等号成立故OMN周长的最小值为2+【点睛】本题考查了椭圆的方程 在求解直线与椭圆的位置关系问题时 常用方法是设而不求 借助韦达定理等手段 将多变量问题转变为单变量问题 再用基本不等式或函数方式求取范围或最值.22．（本题12分）已知函数21()ln 2f x x x ax =+-． (1)当12a =时 求在曲线()y f x =上的点(1,(1))f 处的切线方程 (2)讨论函数()f x 的单调性(3)若()f x 有两个极值点1x 2x 证明：()()121222f x f x a x x -<--． 【答案】(1)3230x y --=(2)详见解析(3)详见解析.【分析】（1）根据导数的几何意义求出（2）求出导函数()1(0)f x x a x x '=+-> 在定义域()0,∞+内分类讨论解含参不等式即可求出 （3）由题意得2a > 12x x a += 121=x x 而()()1212f x f x x x --1212ln ln 12x x a x x -=-- 只需证明1212ln ln 2x x x x -<- 即证：11111ln ln 2x x x x ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭ 即证：1111ln x x x <-对任意的1(1,)x ∈+∞恒成立即可． 【详解】（1）由题可知 当12a =时 211()ln 22f x x x x =+- ()112f x x x ∴=+-' ∴(1)0f = 3(1)2f '= ∴切点为(1,0) 切线的斜率为32 ∴切线方程为：30(1)2y x -=- 即3230x y --=（2）对函数()f x 求导可得 ()1(0)f x x a x x '=+->． 当2a ≤时 ()120f x x a a x=+-≥-≥'．则()f x 在(0,)+∞上单调递增． 当2a >时 ()2110x ax f x x a x x -+=+-=='．则1x =2x = 令()0f x '>，则10x x << 或2x x >．()0f x '<，则12x x x <<综上：当2a ≤时 ()f x 在(0,)+∞上单调递增当2a >时 ()f x在⎛ ⎝⎭和∞⎫+⎪⎪⎝⎭上单调递增 ()f x在⎝⎭上单调递减． （3）()f x 有两个极值1x 2x1x ∴ 2x 是方程210x ax -+=的两个不等实根则2a > 12x x a += 121=x x()()2211122212121211ln ln 22x x ax x x ax f x f x x x x x ⎛⎫+--+- ⎪-⎝⎭=-- ()()()121212*********ln ln ln ln 122x x x x x x a x x x x a a x x x x -+-+---==+--- 1212ln ln 12x x a x x -=--． 要证：()()121222f x f x a x x -<--．即证：1212ln ln 2x x x x -<-． 不妨设1210x x >>> 即证：11111ln ln 2x x x x ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭． 即证：1111ln x x x <-对任意的1(1,)x ∈+∞恒成立． 令1()ln f x x x x =-+ (1)x >．则()22211110x x f x x x x -+=--=-<'． 从而()f x 在(1,)+∞上单调递减 故()(1)0f x f <=．所以()()121222f x f x a x x -<--．【点睛】本题考查了切线方程问题考查函数的单调性问题考查导数的应用以及分类讨论思想训练了构造函数法证明不等式的成立属难题.。

1高二数学(理)第二学期期中测验试卷第Ⅰ卷(选择题，共40分)一、选择题：本大题共有8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(注：答案请填涂在答题卷里) 1、复数i 43+的共轭复数是（ ）。

（A ）i 43+- （B ）i 43- （C ）i 34+ （D ）i 34- 2、复数2i i +在复平面内表示的点在（ ）。

（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限3、“因指数函数xa y =是增函数（大前提），而x y )31(=是指数函数（小前提），所以x y )31(=是增函数（结论）”，上面推理的错误是（ ）。

（A ）大前提错导致结论错 （B ）小前提错导致结论错 （C ）推理形式错导致结论错 （D ）大前提和小前提错都导致结论错 4、若)(12131211)(*∈+++++=N n n n f ，则1=n 时，)(n f 是（ ）。

（A ）1 （B ）31 （C ）31211++ （D ）非以上答案5、函数14)(2+-=x x x f 在[]5,1上的最大值和最小值分别是（ ）。

（A ）)5(f ，)2(f （B ）)3(f ，)5(f （C ）)1(f ，)3(f （D ）)1(f ，)5(f 6、()1021x +的展开式中系数最大的项是（ ）。

（A ）第5项 （B ）第6项 （C ）第7项 （D ）第8项7、不同的五种商品在货架上排成一排，其中a ，b 两种必须排一起，而c ，d 两种不能排在一起，则不同的排法共有（ ）。

（A ）12种 （B ）20种 （C ）24种 （D ）48种8、设443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=-，则3210a a a a +++的值为（ ）。

（A ）1 （B ）16 （C ）15 （D ）-15第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二、填空题：本大题共需要做6小题（第13、14、15三小题，学生只需要选做其中两小题，三小题都做的只计算第13、14小题的得分），每小题5分，共30分。

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