2016年秋东北师大《概率论与数理统计》答案

习 题 一1. 写出下列随机试验得样本空间及下列事件中得样本点: （1）掷一颗骰子, 记录出现得点数、 ‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次, 记录出现点数、 ‘两次点数之与为10’, ‘第一次得点数, 比第二次得点数大2’；鼉礬釹碍衛環叶。

（3）一个口袋中有5只外形完全相同得球, 编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球, 观察其结果, ‘球得最小号码为1’；澀課詰訓壢贷绫。

（4）将 两个球, 随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去, 观察放球情况, ‘甲盒中至少有一球’；（5）记录在一段时间内, 通过某桥得汽车流量, ‘通过汽车不足5台’, ‘通过得汽车不少于3台’。

解 （1） 其中 ‘出现 点’ , 135{,,}A e e e =。

（2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。

（3）{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S =(2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)}{(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A =（4）{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),S ab ab ab a b a b b a =---------, 其中‘ ’表示空盒；{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。

《 概率论与数理统计》练习题一一、判断正误，在括号内打√或×1．n X X X ,,,21 是取自总体),(2N 的样本，则ni iXnX 11服从)1,0(N 分布；2．设随机向量),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ，其边缘分布函数)(x F X 是)0,(x F ；3．（√）设 ＜＜x x |， 20|＜x x A ， 31|＜x x B ，则B A 表示 10|＜＜x x ； 4．若事件A 与B 互斥，则A 与B 一定相互独立； 5．对于任意两个事件B A 、，必有 B A B A ；6．设A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为“甲种产品滞销或乙种产品畅销”； 7．（√）B A 、为两个事件，则A B A AB ； 8．（√）已知随机变量X 与Y 相互独立，4)(,8)( Y D X D ，则4)( Y X D ；9．（√）设总体)1,(~ N X ， 1X ,2X ,3X 是来自于总体的样本，则321636161ˆX X X是 的无偏估计量；10．（√）回归分析可以帮助我们判断一个随机变量和另一个普通变量之间是否存在某种相关关系。

二、填空题1．设C B A 、、是3个随机事件，则事件“A 和B 都发生而C 不发生”用C B A 、、表示为C AB 2．设随机变量X 服从二项分布),(p n B ，则EXDXp 1: 3． ,,,0,1)(其他b x a a b x f 是 均匀 分布的密度函数；4．若事件C B A 、、相互独立，且25.0)( A P ，5.0)( B P ，4.0)( C P ，则)(C B A P =分布函数； 5．设随机变量X 的概率分布为则 a )()(Y D X D ； 6．设随机变量X 的概率分布为则12 X 的概率分布为222)(21x e7．若随机变量X 与Y 相互独立，2)(,)( Y E a X E ，则 )(XY E )()(y f x f Y X8．设1 与2 是未知参数 的两个 0.99 估计，且对任意的 满足)()(21 D D ，则称1 比2有效；9．设n X X X ,,,21 是从正态总体),(2 N 抽得的简单随机样本，已知202，现检验假设0 ：H ，则当222121)()(n n Y D X D时，0)( X n 服从)1,0(N ；10．在对总体参数的假设检验中，若给定显著性水平 （10 ），则犯第一类错误的概率是 .三、计算题1.已知随机事件A 的概率5.0)( A P ，事件B 的概率6.0)( B P ，条件概率8.0)|( A B P ，试求事件B A 的概率)(B A P 。

习题11、（1）同时掷两枚骰子，记录点数之和 {2,3,,12}S =；（2）生产产品知道得到5件正品，记录生产产品的总件数 {5,6,}S =； （3）单位圆任取一点，记录它的坐标 22{(,)1,,}S x y x y x R y R =+<∈∈；（4）将单位长线段分3段，观察各段长度{(,,)1,0,0,0}S x y z x y z x y z =++=>>>。

2、（1）A 与B 都发生，C 不发生：ABC ；（2）ABC 至少一个发生：A B C ；（3）ABC 不多于一个发生：ABAC BC 。

3、对事件ABC ，已知P(A)=P(B)=P(C)=1/4，P(AB)=P(BC)=0，P(AC)=1/8，求ABC 至少发生一个的概率？解：依题可知，()0P ABC =，则所求的概率为()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC ++=++---+1153000488=⨯---+= 4、将10本书任意地放在书架上，其中有一套4卷成套的书，求概率？解：设事件A 表示“成套的书放在一起”，B 表示“成套的书按卷次顺序排好放在一起”，由概率的古典定义可得所求的概率为 （1）成套的书放在一起：7!4!1()10!30P A ⋅==（2）成套的书案卷次顺序排好放在一起：7!11()10!720P B ⋅==5、从5双不同的鞋子中任取4只，问这4只鞋子不能配成一双的概率是多少？解：设事件A 表示“取出的4只鞋子不能配成一双”，由概率的古典定义可得所求的概率为 44541028()21C P A C ⋅== 6、在电话号码簿中任取一个电话号码，求后面4个数全不相同的概率？解：设事件A 表示“电话号码的后面4个数全不相同”，由概率的古典定义可得所求的概率为4104()0.50410A P A ==7、已知P(非A)=0、3，P(B)=0、4，P(A 非B)=1/2，求P(B|AU 非B)？ 解：依题可知，()1()0.7P A P A =-=，()1()0.6P B P B =-=，而()0.55()()0.77P AB P B A P A ===则2()1()7P B A P B A =-=，()()()0.2P AB P A P B A ==，故所求的概率为 ()()()()()P BAB P ABBB P B A B P AB P AB ⎡⎤⎣⎦== ()0.20.25()()()0.70.60.5P AB P A P B P AB ===+-+-8、设AB 是随机事件，P(A)=0、7，P(A-B)=0、3，求P （非(AB)）？解：由()()()P A B P A P AB -=-，得()()()0.70.30.4P AB P A P A B =--=-=故 ()1()0.6P AB P AB =-=9、半圆内均匀的投掷一随机点Q ，试求事件A={Q于π/4}的概率？解：事件A 所对应的区域D 如下图所示，由概率的几何定义得所求的概率为()()()m D P A m S ==10、10解：设事件A 表示“这对夫妇正好坐在一起”，(91)!22()(101)!9P A -⋅==-11、已知10只晶体管中有2只是次品，在其中任取两只，每次随机取一只作不放回抽取 解：设事件A 表示“两只都是正品”， B 表示“两只都是次品”， C 表示“一只是正品，一只是次品”， D 表示“第二次取出的是次品”， 由概率的古典定义可得所求的概率为（1）两只都是正品2821028()45A P A A == （2）两只都是次品222101()45A P B A ==（3）一直是正品，一只是次品11128221016()45C C C P C A ⋅⋅== （4）第二次取出的是次品11292101()5C C PD A ⋅== 12、某学生接连参加同一课程的两次考试，第一次及格的概率为p ，如果他第一次及格，则x第二次及格的概率也为p ，如果第一次不及格，第二次及格概率为p/2。

《 概率论与数理统计》练习题一一、判断正误，在括号内打√或×1．n X X X ,,,21 是取自总体),(2σμN 的样本，则∑==ni iXnX 11服从)1,0(N 分布； 错2．设随机向量),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ，其边缘分布函数)(x F X 是)0,(x F ；错 3．设{}∞+-∞=Ω＜＜x x |，{}20|＜x x A ≤=，{}31|＜x x B ≤=，则B A 表示{}10|＜＜x x ； 错4．若事件A 与B 互斥，则A 与B 一定相互独立； 错 5．对于任意两个事件B A 、，必有=B A B A ；错6．设A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为“甲种产品滞销或乙种产品畅销”； 对7．B A 、为两个事件，则A B A AB = ； 对 8．已知随机变量X 与Y 相互独立，4)(,8)(==Y D X D ，则4)(=-Y X D ； 错9．设总体)1,(~μN X ， 1X ,2X ,3X 是来自于总体的样本，则321636161ˆX X X ++=μ是μ的无偏估计量； 错10．回归分析可以帮助我们判断一个随机变量和另一个普通变量之间是否存在某种相关关系。

对 二、填空题1．设C B A 、、是3个随机事件，则事件“A 和B 都发生而C 不发生”用C B A 、、表示2．设随机变量X 服从二项分布),(p n B ，则EXDX3．是 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=,,0,1)(其他b x a a b x f4．若事件C B A 、、相互独立，且25.0)(=A P ，5.0)(=B P ，4.0)(=C P ，则)(C B A P =73.0 ；5．设随机变量X 的概率分布为则a 6．设随机变量X 的概率分布为7．若随机变量X 与Y 相互独立，2)(,)(==Y E a X E ，则)(XY E8．设1θ 与2θ 是未知参数θθ满足)()(21θθ D D <，则称1θ 比2θ有效；9．设n X X X ,,,21 是从正态总体),(2σμN 抽得的简单随机样本，已知202σσ=，现检验假设0μμ=：H 00)(σμ-X n 服从)1,0(N ；10．在对总体参数的假设检验中，若给定显著性水平α（10<<α），则犯第一类错误的概三、计算题1.已知随机事件A 的概率5.0)(=A P ，事件B 的概率6.0)(=B P ，条件概率8.0)|(=A B P ，试求事件B A 的概率)(B A P 。

《概率论与数理统计》习题解答第⼆章随机变量及其分布1、解：设公司赔付⾦额为X ，则X 的可能值为；投保⼀年内因意外死亡：20万，概率为0.0002 投保⼀年内因其他原因死亡：5万，概率为0.0010投保⼀年内没有死亡：0，概率为1-0.0002-0.0010=0.9988 所以X2、⼀袋中有5X 表⽰取出的三只球中的最⼤号码，写出随机变量X 的分布律解：X 可以取值3，4，5，分布律为也可列为下表 X ： 3， 4，5P ：106,103,101 3、设在15只同类型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取⼀只，作不放回抽样，以X 表⽰取出次品的只数，（1）求X 的分布律，（2）画出分布律的图形。

解：任取三只，其中新含次品个数X 可能为0，1，2个。

3512)1(31521312=?==C C C X P 351)2(31511322===C C C X P 再列为下表 X ： 0， 1， 2P ： 351,3512,35224、进⾏重复独⽴实验，设每次成功的概率为p ，失败的概率为q =1－p (0（2）将实验进⾏到出现r 次成功为⽌，以Y 表⽰所需的试验次数，求Y 的分布律。

（此时称Y 服从以r, p 为参数的巴斯卡分布。

）（3）⼀篮球运动员的投篮命中率为45%，以X 表⽰他⾸次投中时累计已投篮的次数，写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率。

解：（1）P (X=k )=q k －1p k=1,2,……（2）Y=r+n={最后⼀次实验前r+n －1次有n 次失败，且最后⼀次成功} ,,2,1,0,)(111Λ===+=-+--+n p q C p p q C n r Y P r n n n r或记r+n=k ，则 P {Y=k }=Λ,1,,)1(11+=----r r k p p C rk r r k （3）P (X=k ) = (0.55)k －10.45 k=1,2…P (X 取偶数)=311145.0)55.0()2(1121===∑∑∞=-∞=k k k k XP 5、⼀房间有3扇同样⼤⼩的窗⼦，其中只有⼀扇是打开的。

02197概率论与数理统计、单项选择题（在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

）.将一枚硬币连抛两次，则此随机试验的样本空间为设A 与B 互不相容，且P （A ） 0 , P(B) 0则有【D 】A. P(A) =1 —P(B)B. P(AB)二 P(A)P(B)C. P(AB) =1D. P(A B) =P(A) P(B)若A^ ，则下列各式中错误的是【C 】A . P(AB)兰0 B. P(AB) 9C. P(A+B)=P(A)+P(B)D. P(A-B) - P(A)若AB,则下面答案错误的是【A 】A. B 未发生A 可能发生B.P B-A _0C . P(A) EP(B)D. B 发生A 可能不发生袋中有a 个白球，d 个黑球，从中任取一个，则取得白球的概率是【C 】11A. 2B. a dadC. a dD. a d(c5)设A,B,C 是三个相互独立的事件，且0 :：: P （C ） ::: 1,则下列给定的四对事件中,不独立的是【C 】A .AUB 与 CB. A - B 与 C(B5)C .AC 与C D . AB 与C｛先得正面，先得反面｝D. 2. 3. 4. 5. 6. 【D 】｛一次正面，两次正面，没有正面｝A . ｛（正，正），（反，反），（一正一反）B . ｛（反，正），（正，反），（正，正），（反，反）C.(AB) =1,则设 0 ::: P(A) ::: 1,0 ::: P(B) ::: 1,且P(A| B) P 7. A. A 与B 不相容 B. A 与B 相容 C. A 与B 不独立D. A 与B 独立8. 四人独立地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为丄丄丄则密码最终能被译的概率为4‘3‘6A. 11B. 2(B8\c8)-1f X (- ■y ；3) 1f X (- -y-3) A. 2 2B. 2 2C. f x (-■y 3)1 D. f xC -y 3)222213.设X 服从[1,5] 上的均匀分布，则 ob -a3P{a < b}P{3 ：： X ：： 6}：A.4B. 4C. P{0 ::: X ::: 4} =1D. P{ -1 ：： X -3}=-214.设随机变量X 的分布律为 X0 1 2,贝U P{X c1}=o【C 】P0.3 0.2 0.5A . 0 C. 0.3B. 0.2D. 0.5 (c14)C.D.1 19.已知 P(A)二 P(B)二 P(C) ,P(AB) =0, P(AC)二 P(BC) ,则事件 A,B,C 全不发生的概率为4 16【B】13 A.B. 88C.5 D.788且 P{X =1} =P{X =2},贝y P{X . 2}的值为,521A. eB.e42C. 12-D .12.ee11.设 X ~ N( *4),则X - 1~ N(0,1)P{X < 0}A.4B .C.P {X *2} =1 _G(1)D.」_0【C 】2f x （x ）,则Y - -2X 3的密度函数为10.设随机变量X 服从参数为■的泊松分布，【B 】12.设随机变量X 的概率密度函数为15.设F1（x）与F2（X）分别是随机变量X与Y的分布函数，为使aF1（x）-bF2（x）是某个随机变量的分布函数,则a,b的值可取为 ______16. 下列叙述中错误的是【D 】A. 联合分布决定边缘分布B. 边缘分布不能决定联合分布C. 两个随机变量各自的联合分布不同 ，但边缘分布可能相同D. 边缘分布之积即为联合分布(B16C16)17. _________________________________________________________ X 为随机变量，E(X)二―1,D(X) =3，则 E[3(X 2) 20]= __________________________________________ 。

概率论与数理统计练习题练习题及参考答案（东师）《概率论与数理统计》练习题⼀⼀、判断正误，在括号内打√或×1．n X X X ,,,21 是取⾃总体),(2σµN 的样本，则∑==ni iXnX 11服从)1,0(N 分布；2．设随机向量),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ，其边缘分布函数)(x F X 是)0,(x F ；3．（√）设{}∞+-∞=Ω＜＜x x |，{}20|＜x x A ≤=，{}31|＜x x B ≤=，则B A 表⽰{}10|＜＜x x ； 4．若事件A 与B 互斥，则A 与B ⼀定相互独⽴； 5．对于任意两个事件B A 、，必有=B A B A ；6．设A 表⽰事件“甲种产品畅销，⼄种产品滞销”，则其对⽴事件A 为“甲种产品滞销或⼄种产品畅销”； 7．（√）B A 、为两个事件，则A B A AB = ； 8．（√）已知随机变量X 与Y 相互独⽴，4)(,8)(==Y D X D ，则4)(=-Y X D ；9．（√）设总体)1,(~µN X ， 1X ,2X ,3X 是来⾃于总体的样本，则321636161?X X X ++=µ是µ的⽆偏估计量；10．（√）回归分析可以帮助我们判断⼀个随机变量和另⼀个普通变量之间是否存在某种相关关系。

⼆、填空题1．设C B A 、、是3个随机事件，则事件“A 和B 都发⽣⽽C 不发⽣”⽤C B A 、、表⽰为C AB 2．设随机变量X 服从⼆项分布),(p n B ，则=EXDXp -1: 3．≤≤-=,,,0,1)(其他b x a a b x f 是均匀分布的密度函数；4．若事件C B A 、、相互独⽴，且25.0)(=A P ，5.0)(=B P ，4.0)(=C P ，则)(C B A P =分布函数； 5．设随机变量X 的概率分布为则=a )()(Y D X D +； 6．设随机变量X 的概率分布为则12+X 的概率分布为222)(21σµπσ--x e7．若随机变量X 与Y 相互独⽴，2)(,)(==Y E a X E ，则=)(XY E )()(y f x f Y X ?8．设1θ与2θ是未知参数θ的两个 0.99 估计，且对任意的θ满⾜)()(21θθ D D <，则称1θ⽐2θ有效；9．设n X X X ,,,21 是从正态总体),(2σµN 抽得的简单随机样本，已知202σσ=，现检验假设0µµ=：H ，则当222121)()(n n Y D X D σσ+=+时，0)(σµ-X n 服从)1,0(N ；10．在对总体参数的假设检验中，若给定显著性⽔平α（10<<α），则犯第⼀类错误的概率是α.三、计算题1.已知随机事件A 的概率5.0)(=A P ，事件B 的概率6.0)(=B P ，条件概率8.0)|(=A B P ，试求事件B A 的概率)(B A P 。

21《概率论与数理统计》课后习题答案chapter2习题2.1解答1．现有10件产品，其中6件正品，4件次品。

从中随机抽取2次，每次抽取1件，定义两个随机变量X 、Y 如下：⎩⎨⎧=。

次抽到次品第次抽到正品第11,0;,1X ⎩⎨⎧=。

次抽到次品第次抽到正品第22,0;,1Y试就下面两种情况求),(Y X 的联合概率分布和边缘概率分布。

（1） 第1次抽取后放回； （2） 第1次抽取后不放回。

解 （1）依题知),(Y X 所有可能的取值为)1,1(),0,1(),1,0(),0,0(. 因为； 254104104)0|0()0()0,0(1101411014=⨯=⋅===⋅====C C C C X Y P X P Y X P ； 256106104)0|1()0()1,0(1101611014=⨯=⋅===⋅====C C C C X Y P X P Y X P ； 256104106)1|0()1()0,1(1101411016=⨯=⋅===⋅====C C C C X Y P X P Y X P ； 259106106)1|1()1()1,1(1101611016=⨯=⋅===⋅====C C C C X Y P X P Y X P 所以),(Y X 的联合概率分布及关于X 、Y 边缘概率分布如下表为：（2）类似于（1），可求得； 15293104)0|0()0()0,0(191311014=⨯=⋅===⋅====C C C C X Y P X P Y X P ； 15496104)0|1()0()1,0(191611014=⨯=⋅===⋅====C C C C X Y P X P Y X P ； 15494106)1|0()1()0,1(191411016=⨯=⋅===⋅====C C C C X Y P X P Y X P ； 15595106)1|1()1()1,1(191511016=⨯=⋅===⋅====C C C C X Y P X P Y X P 所以),(Y X 的联合概率分布及关于X 、Y 边缘概率分布如下表为：2. 已知10件产品中有5件一级品，2件废品。