北师大版高中数学选修1-2 可线性化的回归分析课件(42张) (1)

μ t μ
10.918 6 5 11.026 1
10.938 4 6 11.048 2
10.959 2 7 11.075 4
10.981 8 8 11.097 3
11.006 5 9 11.115 5
2 t ＝ 45 ， μ ＝ 110.167 0 ， t i i i ＝285， i ＝1 10 i＝1 i＝1
(1)指数函数型 y＝aebx(a>0) ①函数 y＝aebx(a>0)的图象，则图 1 ②处理方法： 两边取对数，得 lny＝ln(aebx)，即 lny＝lna＋bx.
y′＝lny 设 x′＝x，
则原方程变成 y′＝lna＋bx′.
具体计算时，先将原数据点 (xi ， yi) 转化成 (xi ， lnyi) ， i ＝ 1,2，…，n，再根据一次线性回归模型的方法得出 lna 和 b.
2．指数曲线y＝3·e－2x的图像为图中的(
)
[答案] B
[ 解析 ]
D．
∵ y ＝ 3e － 2x ， ∴ y>0 ，排除 A 、 C ，又 x∈R ，排除
3．某地今年上半年患某种传染病的人数 y(人)与月份x(月) 之间满足函数关系 ，模型为 y ＝ aebx ，确定这个函数解析式 __________________. 月份x/月 人数y/人 1 52 2 61 3 68 4 74 5 78 6 83
2 ．可线性化的回归分析：非线性回归问题的非线性回归
方程一般很难求，因此把非线性回归化为线性回归是解决问题 线性回归 ，再利用线性回归的 的好方法：把非线性回归化为__________ 方法确定参数a及b的估计值．
非线性回归问题 在大量的实际问题中，研究的两个变量不一定呈线性相关 关系，它们之间可能呈指数关系或对数关系．在某些情况下可 以借助线性回归模型研究呈非线性关系的两个变量之间的关 系．
第一章
统计案例
第一章 §1 回归分析
第2课时 可线性化的回归分析
1
课前自主预习
2
课堂典例探究
3
课 时 作 业
课前自主预习
1.进一步了解回归分析的基本思想，明确建立回归模型的
基本步骤． 2 ．了解回归模型与函数模型的区别，体会有些非线性模 型通过变换可以转化为线性回归模型，了解在解决问题中寻找 更好的模型的方法．
58 796 1958
8 65 994
60 266 1959
9 67 207
若y与t之间满足y＝aebt 关系，求函数解析式，若按此增长
趋势，估计大约在哪一年我国人口达到14亿？
[分析] 从而求出． [解析] 设μ＝lny，c＝lna，则μ＝c＋bt. t 0 1 2 3 4 函数模型为指数函数，可转化为线性相关关系，
(2)对数函数型 y＝a＋blnx ①函数 y＝a＋blnx 的图象，见图 2. ②处理方法：
x′＝lnx 设 y′＝y，
原方程就转化成 y′＝a＋bx′，
然后按一次线性回归模型求出 a，b 的值．
(3)二次函数型 y＝bx2＋a
2 x ′＝ x ， 处理方法：令 y′＝y，
ui＝25.359
i ＝1



x ＝3.5， u ＝4.226 58，
xiui－6 x
i＝1
6
u
∴b＝
xi2－6 x 2
i＝1
6
90.341 3－6×3.5×4.226 58 ＝ ≈0.09， 2 91－6×3.5 c＝ u －b x ＝4.226 58－0.09×3.5＝3.911 58， ∴u＝3.911 58＋0.09x. ∴y＝e3.911 58＋0.09x.
课堂典例探究
给定函数模型，求回归方程
我国1950～1959年人口数据资料为： 年份 t 1950 0 1951 1 1952 2 1953 3 1954 4
人口y/万 年份
t 人口y/万
55 196 1955
5 61 456
56 300 1956
6 62 828
57 482 1957
7 64 563
数、对数函数、幂函数等)的图像作比较，选择一种与这些散点
拟合的最好的函数，然后采用适当的变量变换，将问题转化为 线性回归分析问题．
1.幂函数曲线y＝xb，当b>1时的图像为(
)
[答案] A [解析 ] 当 b>1时，图像为选项 A ；当 0<b<1 时，图像为选 项B；当b<0时，图像为选项C；当b＝1时，图像为选项D．
非线性回归问题
1.在实际问题中，当变量之间不是线性相关关系时，不能 用线性回归方程描述它们之间的相关关系，需要进行非线性回 归分析．在具体问题中，我们首先应该作出原始数据 (x ，y) 的 散点图 散点图 中看出数据的大致规律，再根据这 __________ ，从__________
个规律选择适当的函数进行拟合．
原方程就转化成 y′＝bx′＋a，
然后按一次线性回归模型求出 a、b 的值．
非线性回归问题的解题方法是： (1) 若问题中已经给出公 式，则可通过变换，将变量的非线性关系转化为线性关系，将 问题转化为线性回归问题来解决；(2)若问题中没有给出公式， 需要我们画出已知数据的散点图，通过与各种函数 ( 如指数函
10
10
10
tiμi＝497.593 6， t ＝4.5， μ ＝11.016 7，
i ＝1 10
tiμi－10 t
i＝1
μ 497.593 6－10×4.5×11.016 7 ＝ ≈0.022 285－10×4.52
b＝
2 － 10 t t2 i i ＝1
10
3，
c＝ μ －b t ≈11.016 7－0.022 3×4.5≈10.916 4， 所以 μ＝10.916 4＋0.022 3t，y＝e10.916 4＋0.022 3t. 令 y＝140 000，则 10.916 4＋0.022 3t＝ln140 000≈11.849 4， 所以 t≈41.838 5，即大约在 1950 年后的第 42 年(即 1992 年)我国人口达到 14 亿．
[答案] y＝e3.91158＋0.09x
[解析] 设 u＝lny，c＝lna，得 u＝c＋bx， 则 u 与 x 的数据关系如下表： x 1 2 3 4 5 6 u＝lny 3.95 4.11 4.22 4.304 4.356 7 4.418 8 由上表，得 xi＝21，
i＝1 6 6 6 2 2 5， xi ＝91， ui ＝107.334， xiui＝90.3413， i＝1 i＝1 i＝1 6 6