高考数学大一轮复习第三章导数及其应用3.2导数的应用第1课时教案理含解析新人教A版

导数的概念及运算1．了解导数概念的实际背景．2．通过函数图象直观理解导数的几何意义，会求曲线的切线方程． 3．能根据导数的定义，求一些简单函数的导数．4．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．知识梳理 1．导数的概念(1)平均变化率： 函数y ＝f (x )从x 0到x 0＋Δx 的平均变化率ΔyΔx＝ f x0＋Δx －f x 0Δx.(2)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 li m Δx →0 ΔyΔx 通常称为f (x )在x ＝x 0处的导数，并记作f ′(x 0)，即 f ′(x 0)＝li m Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx.(3)函数f (x )的导函数如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内每一点都是可导的，就说f (x )在开区间(a ，b )内可导，其导数也是开区间(a ，b )内的函数，称作f (x )的导函数，记作 y ′或f ′(x ) .2. 导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的 切线的斜率 .曲线在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程是 y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0) . 3．导数的运算(1)基本初等函数的导数公式 ①C ′＝ 0 (C 为常数)； ②(x n)′＝ nxn －1(n ∈Q )；③(sin x )′＝ cos x ； ④(cos x )′＝ －sin x ； ⑤(a x)′＝ a xln a (a >0且a ≠1)；⑥(e x )′＝ e x； ⑦(log a x )′＝1x ln a(a >0且a ≠1)； ⑧(ln x )′＝ 1x.(2)导数的运算法则 ①和差的导数[f (x )±g (x )]′＝ f ′(x )±g ′(x ) . ②积的导数[f (x )·g (x )]′＝ f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) . ③商的导数 [f xg x]′＝ fx g x －f x gxg 2x(g (x )≠0)．热身练习1．若f (x )＝2x 2图象上一点(1,2)及附近一点(1＋Δx,2＋Δy )，则Δy Δx 等于(C)A ．3＋2ΔxB ．4＋ΔxC ．4＋2ΔxD ．3＋ΔxΔy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝2(1＋Δx )2－2＝2[2Δx ＋(Δx )2]，所以Δy Δx ＝4＋2Δx .2．设函数f (x )可导，则lim Δx →0 f＋Δx －f2Δx等于(C)A ．f ′(1) B．2f ′(1) C.12f ′(1) D．f ′(2)因为f (x )可导，所以lim Δx →0f＋Δx －f2Δx ＝12lim Δx →0 f ＋Δx －fΔx ＝12f ′(1)． 3．下列求导运算中正确的是(B) A ．(x ＋1x )′＝1＋1x2 B ．(lg x )′＝1x ln 10C ．(ln x )′＝xD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x(x ＋1x )′＝1－1x 2，故A 错；(ln x )′＝1x，故C 错；(x 2cos x )′＝2x cos x －x 2sin x ，D 错．4．(2018·全国卷Ⅱ)曲线y ＝2ln x 在点(1,0)处的切线方程为 2x －y －2＝0 .因为y ′＝2x，y ′| x ＝1＝2，所以切线方程为y －0＝2(x －1)，即y ＝2x －2.5．(1)(2016·天津卷)已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为 3 .(2)y ＝xx ＋1，则y ′x ＝2＝ 19.(1)因为f ′(x )＝2e x＋(2x ＋1)e x＝(2x ＋3)e x ，所以f ′(0)＝3e 0＝3. (2)因为y ′＝(x x ＋1)′＝x x ＋－x x ＋x ＋2＝1x ＋2，所以y ′x ＝2＝1＋2＝19.导数的概念利用导数的定义求函数f (x )＝1x ＋2的导数．因为Δy ＝1x ＋Δx ＋2－1x ＋2＝－Δx x ＋Δx ＋x ＋，所以Δy Δx＝－1x ＋Δx ＋x ＋，所以f ′(x )＝li m Δx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →0[－1x ＋Δx ＋x ＋]＝－1x ＋x ＋＝－1x ＋2.利用定义求导数的基本步骤： ①求函数的增量：Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )； ②求平均变化率：Δy Δx＝fx ＋Δx －f xΔx；③取极限得导数：f ′(x )＝li m Δx →0f x ＋Δx －f xΔx.1．设函数f (x )在x 0处可导，则li m Δx →0 f x 0－Δx －f x 0Δx等于(B)A ．f ′(x 0)B ．－f ′(x 0)C ．f (x 0)D ．－f (x 0)li m Δx →0f x 0－Δx －f x 0Δx＝－li mΔx →0f [x 0＋－Δx－f x 0－Δx＝－f ′(x 0)．导数的运算求下列函数的导数：(1)y ＝x 2sin x; (2)y ＝1＋sin x 1－cos x.(1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′ ＝2x sin x ＋x 2cos x . (2)y ′＝＋sin x－cos x －＋sin x－cos x－cos x2＝cos x－cos x －＋sin xx－cos x2＝cos x －sin x －1－cos x2.利用导数公式和运算法则求导数，是求导数的基本方法(称为公式法)．用公式法求导数的关键是：认清函数式的结构特点，准确运用常用的导数公式．2．(1)(2018·天津卷)已知函数f (x )＝e xln x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(1)的值为 e .(2)设y ＝1＋cos x sin x ，则y ′π2＝ －1 .(1)因为f (x )＝e xln x ，所以f ′(x )＝e xln x ＋ex x，所以f ′(1)＝e.(2)因为y ′＝＋cos x x －＋cos x xsin 2x＝－sin 2x －＋cos x os x sin 2x＝－1－cos xsin 2x， 所以y ′π2＝－1.求切线方程(1)(2017·全国卷Ⅰ)曲线y ＝x 2＋1x在点(1,2)处的切线方程为____________________．(2)若曲线y ＝x ln x 存在斜率为2的切线，则该切线方程为________________．因为y′＝2x－1x2，所以y′|x＝1＝1，即曲线在点(1,2)处的切线的斜率k＝1，所以切线方程为y－2＝x－1，即x－y＋1＝0.(2)因为y′＝ln x＋1，设切点为P(x0，y0)，则y′x＝x0＝ln x0＋1＝2，所以x0＝e，此时y0＝x0ln x0＝eln e＝e，所以切点为(e，e)．故所求切线方程为y－e＝2(x－e)，即2x－y－e＝0.(1)x－y＋1＝0 (2)2x－y－e＝0(1)求切线方程有如下三种类型：①已知切点(x0，y0)，求切线方程；②已知切线的斜率k，求切线方程；③求过(x1，y1)的切线方程．其中①是基本类型，类型②和类型③都可转化为类型①进行处理．(2)三种类型的求解方法：类型①，利用y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)直接求出切线方程．类型②，设出切点(x0，y0)，再由k＝f′(x0)，再由(x0，y0)既在切线上，又在曲线上求解；类型③，先设出切点(x0，y0)，利用k＝f′(x0)及已知点(x1，y1)在切线上求解．3．(2018·广州市模拟)已知直线y＝kx－2与曲线y＝x ln x相切，则实数k的值为(D) A．ln 2 B．1C．1－ln 2 D．1＋ln 2本题实质上是求曲线过点(0，－2)的切线问题，因为(0，－2)不是切点，可先设出切点，写出切线方程，再利用切线过(0，－2)得到所求切线方程．设切点为(x0，x0ln x0)，因为y′＝ln x＋1，所以k＝ln x0＋1，所以切线方程为y－x0ln x0＝(ln x0＋1)(x－x0)，因为切线过点(0，－2)，所以－2－x0ln x0＝－x0ln x0－x0，所以x0＝2，所以k＝ln 2＋1.1．函数y＝f(x)的导数实质上是“增量(改变量)之比的极限”，即f′(x)＝li mΔx→0Δy Δx＝li mΔx→0f x＋Δx－f xΔx.2．关于函数的导数，要熟练掌握基本导数公式和求导的运算法则，一般要遵循先化简再求导的基本原则．3．导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点M(x0，f(x0))处切线的斜率，其切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．若设点(x0，y0)是切线l与曲线C的切点，则有如下结论：①f′(x0)是切线l的斜率；②点(x0，y0)在切线l上；③点(x0，y0)在曲线C上．导数在函数中的应用——单调性1．了解函数的单调性与其导数的关系．2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)．知识梳理1．函数的单调性与导数的关系设函数y＝f(x)在某个区间(a，b)内有导数．如果f′(x)＞0，则f(x)在(a，b)上为增函数；如果f′(x)＜0，则f(x)在(a，b)上为减函数．2．导数与函数单调性的关系设函数y＝f(x)在某个区间(a，b)内可导，且f′(x)在(a，b)的任意子集内都不恒等于0.如果f (x )在区间(a ，b )内单调递增，则在(a ，b )内f ′(x ) ≥ 0恒成立； 如果f (x )在区间(a ，b )内单调递减，则在(a ，b )内f ′(x ) ≤ 0恒成立．热身练习1．“f ′(x )>0在(a ，b )上成立”是“f (x )在(a ，b )上单调递增”的(A) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件f ′(x )>0在(a ，b )上成立⇒f (x )在(a ，b )上单调递增；反之，不一定成立，如y ＝x 3在(－1,1)上单调递增，但在(－1，1)上f ′(x )＝3x 2≥0.2．设f (x )＝2x 2－x 3，则f (x )的单调递减区间是(D) A ．(0，43) B ．(43，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)和(43，＋∞)f ′(x )＝4x －3x 2<0⇒x <0或x >43.3．函数f (x )＝(3－x 2)e x的单调递增区间是(D) A ．(－∞，0) B ．(0，＋∞)C ．(－∞，－3)和(1，＋∞) D．(－3,1)因为f ′(x )＝－2x e x＋(3－x 2)e x ＝(－x 2－2x ＋3)e x ，令f ′(x )>0，得x 2＋2x －3<0，解得－3<x <1.所以f (x )的单调递增区间为(－3,1)．4．设定义在区间(a ，b )上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的图象如右图所示，其中x 1，x 2，x 3，x 4是f ′(x )的零点且x 1<x 2<x 3<x 4.则(1)f (x )的增区间为 (a ，x 1)，(x 2，x 4) ； (2)f (x )的减区间为 (x 1，x 2)，(x 4，b ) .5.(2019·福建三明期中)函数f (x )＝x 3－3bx ＋1在区间[1,2]上是减函数，则实数b 的取值范围为 [4，＋∞) .因为f ′(x )＝3x 2－3b ≤0，所以b ≥x 2，要使b ≥x 2在[1,2]上恒成立， 令g (x )＝x 2，x ∈[1,2]，当x ∈[1,2]，1≤g (x )≤4，所以b ≥4.利用导数求函数的单调区间函数f (x )＝x 2－2x －4ln x 的单调递增区间是____________．函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝2x －2－4x ＝2x 2－2x －4x，由f ′(x )>0，得x 2－x －2>0，解得x >2或x <－1(舍去)． 所以f (x )的单调递增区间为(2，＋∞)．(2，＋∞)求可导函数f (x )的单调区间的步骤： ①求函数f (x )的定义域； ②求导数f ′(x )；③解不等式f ′(x )＞0和f ′(x )＜0；④确定函数y ＝f (x )的单调区间：使f ′(x )＞0的x 的取值区间为增区间，使f ′(x )＜0的x 的取值区间为减区间．1．(2017·全国卷Ⅱ节选)设函数f (x )＝(1－x 2)e x.讨论f (x )的单调性．f ′(x )＝(1－2x －x 2)e x.令f ′(x )＝0得x ＝－1－2或x ＝－1＋ 2. 当x ∈(－∞，－1－2)时，f ′(x )<0； 当x ∈(－1－2，－1＋2)时，f ′(x )>0； 当x ∈(－1＋2，＋∞)时，f ′(x )<0.所以f (x )在(－∞，－1－2)，(－1＋2，＋∞)上单调递减，在(－1－2，－1＋2)上单调递增．已知函数的单调性求参数的范围(经典真题)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞) D．[1，＋∞)依题意得f ′(x )＝k －1x≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k ≥1x在(1，＋∞)上恒成立．令g (x )＝1x，因为x >1，所以0<g (x )<1，所以k ≥1，即k 的取值范围为[1，＋∞)．D函数f (x )在(a ，b )上单调递增，可转化为f ′(x )≥0在该区间恒成立，从而转化为函数的最值(或值域)问题．2．(2016·全国卷Ⅰ)若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是(C)A ．[－1,1]B ．[－1，13]C ．[－13，13]D ．[－1，13](方法一)因为f (x )在(－∞，＋∞) 单调递增，所以f ′(x )＝1－23cos 2x ＋a cos x ≥0对x ∈(－∞，＋∞)恒成立，即f ′(x )＝－43cos 2x ＋a cos x ＋53≥0对x ∈(－∞，＋∞)恒成立，令cos x ＝t ，－1≤t ≤1，则等价于：g (t )＝－43t 2＋at ＋53≥0对t ∈[－1,1]恒成立．等价于⎩⎪⎨⎪⎧g －，g ，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋13≥0，a ＋13≥0，所以－13≤a ≤13.即a 的取值范围为[－13，13]．(方法二：特殊值法)取a ＝－1，则f (x )＝x －13sin 2x －sin x ，f ′(x )＝1－23cos 2x －cos x ，因为f ′(0)＝1－23－1＝－23<0，不具备在(－∞，＋∞)单调递增，排除A ，B ，D.故选C.利用导数求含参数的函数的单调区间已知f (x )＝12x 2－a ln x (a ∈R )，求函数f (x )的单调区间．f (x )的定义域为(0，＋∞)，因为f ′(x )＝x －a x ＝x 2－ax(x >0)，当a ≤0时，f ′(x )≥0恒成立，所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)． 当a >0时，令f ′(x )>0，得x >a . 令f ′(x )<0，得0<x <a .所以函数f (x )的单调递增区间为(a ，＋∞)，单调递减区间为(0，a )．综上所述，当a ≤0时，函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；当a >0时，函数f (x )的单调递增区间为(a ，＋∞)，单调递减区间为(0，a )．(1)当函数的解析式中含有参数时，如果参数对导函数的符号有影响或导数的零点是否在定义域内不确定时，要对参数进行分类讨论．(2)讨论时，首先要看f ′(x )的符号是否确定，再看f ′(x )的零点与定义域的关系． (3)画出导函数的示意图有助于确定单调性．3．(2017·全国卷Ⅲ节选)已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋(2a ＋1)x .讨论f (x )的单调性．f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x＋2ax ＋2a ＋1＝x ＋ax ＋x.若a ≥0，则当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0， 故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若a ＜0，则当x ∈(0，－12a )时，f ′(x )＞0；当x ∈(－12a，＋∞)时，f ′(x )＜0.故f (x )在(0，－12a )上单调递增，在(－12a，＋∞)上单调递减．(1)求f(x)的定义域，并求导数f′(x)；(2)解不等式f′(x)＞0和f′(x)＜0；(3)确定函数y＝f(x)的单调区间：使f′(x)＞0的x的取值区间为增区间，使f′(x)＜0的x的取值区间为减区间．在求单调区间时，要注意如下两点：①要注意函数的定义域；②当求出函数的单调区间(如单调增区间)有多个时，不能把这些区间取并集．2．已知函数在区间上单调，求其中的参数时，要注意单调性与导数的关系的转化．即：(1)如果f(x)在区间[a，b]单调递增⇒f′(x)≥0在x∈[a，b]上恒成立；(2)如果f(x)在区间[a，b]单调递减⇒f′(x)≤0在x∈[a，b]上恒成立．3．处理含参数的单调性问题，实质是转化为含参数的不等式的解法问题，但要注意在函数的定义域内讨论．导数在函数中的应用——极值与最值1．掌握函数极值的定义及可导函数的极值点的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)．2．会研究一些简单函数的极值．3．会利用导数求一些函数在给定区间上的最值．知识梳理1．函数的极值(1)函数极值的定义：设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有点，都有f(x)＜f(x0) ，我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值＝f(x0)；如果对x0附近的所有点，都有f(x)＞f(x0) ，我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值＝f(x0)．极大值与极小值统称为极值.①如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值．2．函数的最值(1)(最值定理)一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)一般地，求函数f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：①求函数f(x)在(a，b)内的极值.②将f(x)的极值和端点的函数值比较，其中最大的一个为最大值；最小的一个为最小值.热身练习1．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点(A)A．1个 B．2个C．3个 D．4个因为f′(x)与x轴有4个交点，即f′(x)＝0有4个解，但仅左边第二个交点x＝x0满足x＜x0时，f′(x)＜0；x＞x0时，f′(x)＞0，其他交点均不符合该条件．2．函数f(x)在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则(C) A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件因为函数f(x)在x＝x0处可导，所以若x＝x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0，所以q⇒p，故p是q的必要条件；反之，以f (x )＝x 3为例，f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点．所以p q ． 故p 不是q 的充分条件．3．(2016·四川卷)已知a 为函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a ＝(D) A ．－4 B ．－2 C ．4 D ．2由题意得f ′(x )＝3x 2－12，令f ′(x )＝0得x ＝±2，所以当x ＜－2或x ＞2时，f ′(x )＞0； 当－2＜x ＜2时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(－∞，－2)上为增函数，在(－2,2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数． 所以f (x )在x ＝2处取得极小值，所以a ＝2.4．函数f (x )＝x 3－3x ＋1在闭区间[－3,0]上的最大值、最小值分别是(C) A ．1，－1 B ．1，－17 C ．3，－17 D ．9，－19令f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1.f (1)＝1－3＋1＝－1，f (－1)＝－1＋3＋1＝3， f (－3)＝－17，f (0)＝1.所以最大值为3，最小值为－17. 5．(2016·北京卷)函数f (x )＝xx －1(x ≥2)的最大值为 2 .f ′(x )＝x －－x x －2＝－1x －2，当x ≥2时，f ′(x )＜0，所以f (x )在[2，＋∞)上是减函数， 故f (x )max ＝f (2)＝22－1＝2.求函数的极值、最值求函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的极值．因为f ′(x )＝x 2－4＝(x －2)(x ＋2)， 令f ′(x )＝0，得x ＝±2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以当x ＝－2时，f (x )有极大值f (－2)＝283；当x ＝2时，f (x )有极小值f (2)＝－43.(1)求可导函数f (x )的极值的步骤： ①确定函数的定义域，求导数f ′(x )； ②求方程f ′(x )＝0的根；③检查f ′(x )在方程根左、右值的符号；④作出结论：如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值．(2)求可导函数f (x )在[a ，b ]上最值的步骤： ①求f (x )在(a ，b )内的极值；②将f (x )各极值与f (a )，f (b )比较，得出f (x )在[a ，b ]上的最值．1．求函数f (x )＝13x 3－4x ＋4在[－3,3]上的最大值与最小值．由例1可知，在[－3,3]上， 当x ＝－2时，f (x )有极大值f (－2)＝283；当x ＝2时，f (x )有极小值f (2)＝－43.又f (－3)＝7，f (3)＝1，所以f (x )在[－3,3]上的最大值为283，最小值为－43.含参数的函数的极值的讨论已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )，求函数f (x )的极值．由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax(x >0)可知(1)当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值； (2)当a >0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a .当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值．综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值．对于解析式中含有参数的函数求极值，有时需要分类讨论后解决问题．讨论的思路主要有：(1)参数是否影响f ′(x )的零点的存在； (2)参数是否影响f ′(x )不同零点的大小； (3)参数是否影响f ′(x )在零点左右的符号． 如果有影响，则要分类讨论．2．(2018·银川高三模拟节选)已知函数f (x )＝ax －1－ln x (a ∈R )．讨论函数f (x )在定义域内的极值点的个数．f (x )的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x.当a ≤0时，f ′(x )≤0在(0，＋∞)上恒成立，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以f (x )在(0，＋∞)上没有极值点．当a >0时，由f ′(x )<0得0<x <1a ；由f ′(x )>0得x >1a.所以f (x )在(0，1a )上递减，在(1a，＋∞)上递增，所以f (x )在x ＝1a处有极小值．所以当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上没有极值点， 当a >0时，f (x )在(0，＋∞)上有一个极值点．含参数的函数的最值讨论已知函数f (x )＝ln x －ax (a >0)，求函数f (x )在[1,2]上的最大值．f ′(x )＝1x －a ＝1－axx(x >0)，令f ′(x )＝0，得x ＝1a.(1)当1a≤1，即a ≥1时，函数f (x )在[1,2]上是减函数，所以f (x )max ＝f (1)＝－a .(2)当1a ≥2时，即0<a ≤12时，函数f (x )在区间[1,2]上是增函数，所以f (x )max ＝f (2)＝ln 2－2a .(3)当1<1a <2，即12<a <1时，函数f (x )在[1，1a ]上是增函数，在[1a ，2]上是减函数．所以f (x )max ＝f (1a)＝－ln a －1.综上可知：当0<a ≤12时，f (x )max ＝ln 2－2a ；当12<a <1时，f (x )max ＝－ln a －1； 当a ≥1时，f (x )max ＝－a .(1)求函数的最值时，要先求函数y ＝f (x )在(a ，b )内所有使f ′(x )＝0的点，再计算函数y ＝f (x )在区间内使f ′(x )＝0的点和区间端点的函数值，最后比较即可．(2)当函数f (x )中含有参数时，需要依据极值点存在的位置与所给区间的关系，对参数进行分类讨论．3．已知函数f (x )＝ln x －ax (a >0)，求函数f (x )在[1,2]上的最小值．f ′(x )＝1x －a ＝1－axx(x >0)，令f ′(x )＝0，得x ＝1a.(1)当1a≤1，即a ≥1时，函数f (x )在[1,2]上是减函数，所以f (x )min ＝f (2)＝ln 2－2a .(2)当1a ≥2时，即0<a ≤12时，函数f (x )在区间[1,2]上是增函数，所以f (x )min ＝f (1)＝－a .(3)当1<1a <2，即12<a <1时，函数f (x )在[1，1a ]上是增函数，在[1a ，2]上是减函数．又f (2)－f (1)＝ln 2－a ，所以当12<a <ln 2时，f (x )min ＝f (1)＝－a ；当ln 2≤a <1时，f (x )min ＝f (2)＝ln 2－2a . 综上可知：当0<a <ln 2时，函数f (x )min ＝－a ； 当a ≥ln 2时，函数f (x )min ＝ln 2－2a .1．求可导函数f(x)的极值的步骤：(1)确定f(x)的定义域，求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)检查f′(x)在方程根左、右值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．2．求可导函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值可按如下步骤进行：(1)求f(x)在(a，b)内的极值；(2)将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，确定f(x)的最大值和最小值．3．求含参数的极值，首先求定义域；然后令f′(x)＝0，解出根，根据根是否在所给区间或定义域内进行参数讨论，并根据左右两边导函数的正负号，从而判断f(x)在这个根处取极值的情况．4．含参数的最值，首先按照极值点是否在所给区间对参数进行讨论，然后比较区间内的极值和端点值的大小．导数的综合应用——导数与不等式1．能够构造函数利用导数证明一些简单的不等式和解某些不等式．2．会将恒成立问题及存在性问题转化为最值问题进行求解．知识梳理1．如果不等式f(x)≥g(x)，x∈[a，b]恒成立，则转化为函数φ(x)＝f(x)－g(x)在x ∈[a，b]内的最小值≥0.(填“最小值”“最大值”“极小值”或“极大值”) 2．若f′(x)>0，x∈[a，b]，且x0∈(a，b)有f(x0)＝0，则f(x)>0的x的取值范围为(x0，b) ，f(x)<0的x的取值范围为(a，x0) .3．若f(x)>m在x∈[a，b]上恒成立，则函数f(x)在x∈[a，b]的最小值>m.(填“最小值”“最大值”“极小值”或“极大值”)若f (x )<m 在x ∈[a ，b ]上恒成立，则函数f (x )在x ∈[a ，b ]的 最大值 <m .(填“最小值”“最大值”“极小值”或“极大值”)4．若f (x )>m 在x ∈[a ，b ]有解，则函数f (x )在x ∈[a ，b ]的 最大值 >m .(填“最小值”“最大值”“极小值”或“极大值”)热身练习1．对于∀x ∈[0，＋∞)，则e x与1＋x 的大小关系为(A) A ．e x≥1＋x B ．e x<1＋xC ．e x＝1＋x D ．e x与1＋x 大小关系不确定令f (x )＝e x－(1＋x )，因为f ′(x )＝e x－1，所以对∀x ∈[0，＋∞)，f ′(x )≥0，故f (x )在[0，＋∞)上递增，故f (x )≥f (0)＝0， 即e x≥1＋x .2．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1)f ′(x )>0，则必有(B) A ．f (0)＋f (2)＜2f (1) B ．f (0)＋f (2)>2f (1) C ．f (0)＋f (2)＝2f (1)D ．f (0)＋f (2)与2f (1)的大小不确定依题意，当x >1时，f ′(x )>0，f (x )在(1，＋∞)上是增函数；当x ＜1时，f ′(x )<0，f (x )在(－∞，1)上是减函数， 故当x ＝1时，f (x )取最小值，所以f (0)>f (1)，f (2)>f (1)，所以f (0)＋f (2)>2f (1)．3．已知定义在R 上函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，且x >0时，f ′(x )<0，则f (x )>0的解集为(A)A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，又x >0时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，所以f (x )>0的解集为(－∞，0)．4．若函数h (x )＝2x －k x ＋k3在[1，＋∞)上是增函数，则实数k 的取值范围是 [－2，＋∞).因为h′(x)＝2＋kx2，且h(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以h′(x)＝2＋kx2≥0，所以k≥－2x2，要使k≥－2x2在[1，＋∞)上恒成立，则只要k≥(－2x2)max，所以k≥－2.5．设f(x)＝－x2＋a，g(x)＝2x.(1)若∀x∈[0,1]，f(x)≥g(x)，则实数a的取值范围为[3，＋∞)；(2)若∃x∈[0,1]，f(x)≥g(x)，则实数a的取值范围为[0，＋∞).(1)F(x)＝f(x)－g(x)＝－x2－2x＋a(x∈[0,1])．则[F(x)]min＝F(1)＝－3＋a.因为“若∀x∈[0,1]，f(x)≥g(x)”等价于“[F(x)]min≥0，x∈[0,1]”，所以－3＋a≥0，解得a≥3.所以实数a的取值范围为[3，＋∞)．(2)F(x)＝f(x)－g(x)＝－x2－2x＋a(x∈[0,1])．则[F(x)]max＝F(0)＝a.因为“若∃x∈[0,1]，f(x)≥g(x)”等价于“[F(x)]max≥0，x∈[0,1]”，所以a≥0.所以实数a的取值范围为[0，＋∞)．利用导数解不等式若f(x)的定义域为R，f′(x)>2恒成立，f(－1)＝2，则f(x)>2x＋4的解集为A．(－1,1) B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)令g(x)＝f(x)－2x－4，因为g′(x)＝f′(x)－2>0，所以g(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，又g(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝0，所以f(x)>2x＋4⇔g(x)>g(－x>－1.所以f(x)>2x＋4的解集为(－1，＋∞)．B利用导数解不等式的基本方法：(1)构造函数，利用导数研究其单调性；(2)寻找一个特殊的函数值；(3)根据函数的性质(主要是单调性，结合图象)得到不等式的解集．1．(2018·遂宁模拟)已知f(x)为定义在(－∞，0)上的可导函数，2f(x)＋xf′(x)>x2恒成立，则不等式(x＋2018)2f(x＋2018)－4f(－2)>0的解集为(B)A．(－2020,0) B．(－∞，－2020)C．(－2016,0) D．(－∞，－2016)构造函数F(x)＝x2f(x)，x<0，当x<0时，F′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)＝x[2f(x)＋xf′(x)]，因为2f(x)＋xf′(x)>x2≥0，所以F′(x)≤0，则F(x)在(－∞，0)上递减．又(x＋2018)2f(x＋2018)－4f(－2)>0可转化为(x＋2018)2f(x＋2018)>(－2)2f(－2)，即F(x＋2018)>F(－2)，所以x＋2018<－2，所以x<－2020.即原不等式的解集为(－∞，－2020)．利用导数证明不等式已知函数f(x)＝(1＋x)e－2x.当x∈[0,1]时，求证：f(x)≤11＋x.要证x∈[0,1]时，(1＋x)e－2x≤11＋x，只需证明e x≥x＋1.记k(x)＝e x－x－1，则k′(x)＝e x－1，当x∈(0,1)时，k′(x)>0，因此，k(x)在[0,1]上是增函数，故k(x)≥k(0)＝0，所以f(x)≤11＋x，x∈[0,1]．(1)证明f(x)>g(x)的步骤：①构造函数F(x)＝f(x)－g(x)；②研究F(x)的单调性或最值；③证明F (x )min >0.(2)注意：其中构造函数是将不等式问题转化为函数问题．为了利用导数研究函数的性质，常用分析法．．．将要证明的不等式进行适当变形或化简，然后构造相应的函数．2．(2018·全国卷Ⅰ节选)已知函数f (x )＝a e x－ln x －1.证明：当a ≥1e时，f (x )≥0.当a ≥1e 时，f (x )≥exe －ln x －1.设g (x )＝e x e －ln x －1，则g ′(x )＝e xe －1x .当0<x <1时，g ′(x )<0；当x >1时，g ′(x )>0. 所以x ＝1是g (x )的最小值点． 故当x >0时，g (x )≥g (1)＝0. 因此，当a ≥1e时，f (x )≥0.已知不等式恒成立求参数的范围已知两个函数f (x )＝7x 2－28x －c ，g (x )＝2x 3＋4x 2－40x .若∀x ∈[－3,3]，都有f (x )≤g (x )成立，求实数c 的取值范围．f (x )≤g (x ) ⇔7x 2－28x －c ≤2x 3＋4x 2－40x ⇔c ≥－2x 3＋3x 2＋12x ， 所以原命题等价于c ≥－2x 3＋3x 2＋12x 在x ∈[－3,3]上恒成立． 令h (x )＝－2x 3＋3x 2＋12x ，x ∈[－3,3]，则c ≥h (x )max . 因为h ′(x )＝－6x 2＋6x ＋12＝－6(x －2)(x ＋1)，当x 变化时，h ′(x )和h (x )在[－3,3]上的变化情况如下表：单调递减单调递增 单调递减 易得h (x )max ＝h (－3)＝45，故c ≥45.(1)已知不等式恒成立，求参数a 的范围，例如f (x )>g (x )在x ∈D 上恒成立，其主要方法是：①构造函数法：将不等式变形为f (x )－g (x )>0，构造函数F (x )＝f (x )－g (x )，转化为F (x )min >0.②分离参数法：将不等式变为a >h (x )或a <h (x )在x ∈D 内恒成立，从而转化为a >h (x )max或a <h (x )min .(2)注意：①恒成立问题常转化为最值问题，要突出转化思想的运用；②“f (x )max ≤g (x )min ”是“f (x )≤g (x )”的一个充分不必要条件，分析不等式恒成立时，要注意不等号两边的式子中是否是有关联的变量，再采取相应的策略．1． 已知两个函数f (x )＝7x 2－28x －c ，g (x )＝2x 3＋4x 2－40x .若∀x 1∈[－3,3]，x 2∈[－3,3]都有f (x 1)≤g (x 2)成立，求实数c 的取值范围．此题与例3不同，例3中不等式两边的式子中均有相同的变化的未知量x ，故可先移项，直接进行转化；而此题中不等式两边的式子中的x 1，x 2相互独立，则等价于f (x 1)max ≤g (x 2)min.由∀x 1∈[－3,3]，x 2∈[－3,3]， 都有f (x 1)≤g (x 2)成立，得f (x 1)max ≤g (x 2)min . 因为f (x )＝7x 2－28x －c ＝7(x －2)2－28－c ， 当x 1∈[－3,3]时，f (x 1)max ＝f (－3)＝147－c ；g (x )＝2x 3＋4x 2－40x ，g ′(x )＝6x 2＋8x －40＝2(3x ＋10)(x －2)，当x 变化时，g ′(x )和g (x )在[－3,3]上的变化情况如下表：单调递减单调递增易得g (x )min ＝g (2)＝－48， 故147－c ≤－48，即c ≥195.1．利用导数证明不等式f (x )>g (x )在区间D 上恒成立的基本方法是构造函数F (x )＝f (x )－g(x)，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明F(x)>0.其中要特别关注如下两点：(1)是直接构造F(x)，还是适当变形化简后构造F(x)，对解题的繁简有影响；(2)找到F(x)在什么地方可以等于零，往往是解决问题的一个突破口．2．利用导数解不等式的基本方法是构造函数，寻找一个函数的特殊值，通过研究函数的单调性，从而得出不等式的解集．3．处理已知不等式恒成立求参数范围的问题，要突出转化的思想，将其转化为函数的最值问题．已知f(x)>g(x)在x∈D上恒成立，求其中参数a的范围，其主要方法是：①构造函数法：将不等式变形为f(x)－g(x)>0，构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，转化为F(x)min>0.②分离参数法：将不等式变为a>h(x)或a<h(x)在x∈D内恒成立，从而转化为a>h(x)max 或a<h(x)min.导数的综合应用——导数与方程1．能利用导数研究一般函数的单调性、极值与最值，获得对函数的整体认识．2．会利用导数研究一般函数的零点及其分布．知识梳理1．函数零点的有关知识(1)零点的概念：函数的零点是函数图象与x轴交点的横坐标.(2)几个常用结论：①f(x)有零点y＝f(x)的图象与x轴有交点方程f(x)＝0有实数解.②F(x)＝f(x)－g(x)有零点y＝f(x)与y＝g(x)的图象有交点方程f(x)＝g(x)有实数解.③零点存在定理：f (x )在[a ，b ]上连续，且f (a )·f (b )<0，则f (x )在(a ，b )内 至少有一 个零点．2．利用导数研究函数零点的方法(1)研究y ＝f (x )的图象，利用数形结合的思想求解． (2)研究方程有解的条件，利用函数与方程的思想求解．热身练习1．(2017·浙江卷)函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是(D)观察导函数f ′(x )的图象可知，f ′(x )的函数值从左到右依次为小于0，大于0，小于0，大于0，所以对应函数f (x )的增减性从左到右依次为减、增、减、增． 观察选项可知，排除A ，C.如图所示，f ′(x )有3个零点，从左到右依次设为x 1，x 2，x 3，且x 1，x 3是极小值点，x 2是极大值点，且x 2>0，故选项D 正确．2．函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的零点个数为(D)A ．0B ．1C ．2D ．3因为f ′(x )＝x 2－4＝(x －2)(x ＋2)，令f ′(x )＝0，得x ＝±2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：单调递增单调递减单调递增由此可得到f (x )的大致图象(如下图)．由图可知f (x )有3个零点．3．若方程13x 3－4x ＋4＋a ＝0有3个不同的解，则a 的取值范围为(B)A ．(－43，283)B ．(－283，43)C ．[－43，283]D ．[－283，43]13x 3－4x ＋4＋a ＝0有3个不同的解⇔f (x )＝13x 3－4x ＋4与g (x )＝－a 有3个不同的交点．利用第2题图可知，－43<－a <283，即－283<a <43.4．若函数g (x )＝13x 3－4x ＋4＋a 的图象与x 轴恰有两个公共点，则a ＝(B)A.283或－43 B ．－283或43C ．－283或283D ．－43或43g (x )＝13x 3－4x ＋4＋a 与x 轴恰有两个公共点⇔方程13x 3－4x ＋4＋a ＝0有2个不同的解⇔f (x )＝13x 3－4x ＋4与φ(x )＝－a 有2个不同的交点．利用第2题图可知，－a ＝－43或－a ＝283，所以a ＝－283或a ＝43.5．已知函数f (x )＝e x－2x ＋a 有零点，则实数a 的取值范围是(C) A ．(－∞，ln 2) B ．(ln 2，＋∞) C ．(－∞，2ln 2－2] D ．[2ln 2－2，＋∞)(方法一)因为f′(x)＝e x－2，令e x－2＝0得，e x＝2，所以x＝ln 2，当x∈(－∞，ln 2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(ln 2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以当x＝ln 2时，f(x)取最小值f(x)min＝2－2ln 2＋a.要f(x)有零点，所以a≤2ln 2－2.(方法二)函数f(x)＝e x－2x＋a有零点，即关于x的方程e x－2x＋a＝0有实根，即方程a＝2x－e x有实根．令g(x)＝2x－e x(x∈R)，则g′(x)＝2－e x.当x<ln 2时，g′(x)>0；当x>ln 2时，g′(x)<0.所以当x＝ln 2时，g(x)max＝g(ln 2)＝2ln 2－2，所以函数g(x)的值域为(－∞，2ln 2－2]．所以a的取值范围为(－∞，2ln 2－2]．利用导数研究三次函数的零点及其分布已知函数f(x)＝x3－12x＋a，其中a≥16，则f(x)的零点的个数是A．0或1 B．1或2C．2 D．3(方法一：从函数角度出发，研究f(x)的图象与x轴的交点)因为f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝3x2－12＝0，得x＝±2，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：单调递增单调递减单调递增由此可得到f(x)的大致图象(如图)，由a≥16得，a＋16>0，a－16≥0，当a＝16时，f(x)的图象与x轴有2个交点；当a>16时，f(x)的图象与x轴只有1个交点．所以f(x)的零点个数为1或2.(方法二：从方程角度出发，利用函数与方程的思想)f(x)＝x3－12x＋a的零点个数⇔方程x3－12x＝－a的解的个数⇔g(x)＝x3－12x与h(x)＝－a的交点个数．画出g(x)＝x3－12x与h(x)＝－a的图象．由g′(x)＝3x2－12＝0，得x＝±2，当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：单调递增单调递减单调递增所以g(x)的图象如右图所示：因为a≥16，所以y＝－a≤－16.由图可知直线y＝－a与y＝x3－12x的图象有1个或2个交点．B利用导数研究函数的零点的基本思路： (1)研究y ＝f (x )的图象，利用数形结合的思想求解； (2)研究f (x )＝0有解，利用函数与方程的思想求解．1．(经典真题)已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围为(B)A ．(2，＋∞) B．(－∞，－2) C ．(1，＋∞) D．(－∞，－1)当a ＝0时，不符合题意．a ≠0时，f ′(x )＝3ax 2－6x ，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝2a.若a >0，由图象知f (x )有负数零点，不符合题意．若a <0，由图象结合f (0)＝1>0知，此时必有f (2a )>0，即a ×8a 3－3×4a2＋1>0，化简得a 2>4，又a <0，所以a <－2.利用导数研究超越方程的根及其分布已知函数f (x )＝x －a e x(a ∈R )，x ∈R .已知函数y ＝f (x )有两个零点x 1，x 2，且x 1<x 2，求a 的取值范围．由f (x )＝x －a e x，可得f ′(x )＝1－a e x. 下面分两种情况讨论：(1)a ≤0时，f ′(x )>0在R 上恒成立，可得f (x )在R 上单调递增，不合题意． (2)a >0时，由f ′(x )＝0，得x ＝－ln a . 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：这时，f (x )的单调递增区间是(－∞，－ln a )；单调递减区间是(－ln a ，＋∞)． 于是，“函数y ＝f (x )有两个零点”等价于如下条件同时成立： ①f (－ln a )>0；②存在s 1∈(－∞，－ln a )，满足f (s 1)<0； ③存在s 2∈(－ln a ，＋∞)，满足f (s 2)<0. 由f (－ln a )>0，即－ln a －1>0，解得0<a <e －1，而此时，取s 1＝0，满足s 1∈(－∞，－ln a )，且f (s 1)＝－a <0；而当x ∈(－ln a ，＋∞)时，由于x →＋∞时，e x 增长的速度远远大于x 的增长速度，所以一定存在s 2∈(－ln a ，＋∞)满足f (s 2)<0.另法：取s 2＝2a ＋ln 2a ，满足s 2∈(－ln a ，＋∞)，且f (s 2)＝(2a －e 2a )＋(ln 2a －e 2a)<0.所以a 的取值范围是(0，e －1)．函数的零点是导数研究函数的性质的综合应用，要注意如下方面： (1)利用导数研究函数的单调性、极值、最值等性质； (2)数形结合思想方法的应用；(3)函数零点存在定理及根的分布知识的应用．2．(2018·广州模拟节选)已知函数f (x )＝a ln x ＋x 2(a ≠0)，若函数f (x )恰有一个零点，求实数a 的取值范围．函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． 因为f (x )＝a ln x ＋x 2，所以f ′(x )＝a x ＋2x ＝2x 2＋ax.①当a >0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增， 取x 0＝e －1a ，则f (e －1a )＝－1＋(e －1a)2<0，(或：因为0<x 0<a 且x 0<1e 时，所以f (x 0) ＝a ln x 0 ＋x 20 < a ln x 0＋a <a ln 1e ＋a ＝0.)因为f (1)＝1，所以f (x 0)·f (1)<0，此时函数f (x )有一个零点．②当a <0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝－a2. 当0<x <－a 2时，f ′(x )<0，所以f (x )在(0，－a2)上单调递减， 当x >－a2时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－a2，＋∞)上单调递增． 要使函数f (x )有一个零点， 则f (－a2)＝a ln －a 2－a2＝0，即a ＝－2e. 综上所述，若函数f (x )恰有一个零点，则a ＝－2e 或a >0.利用导数研究两函数图象的交点问题已知函数f (x )＝x ＋a x (a ∈R )，g (x )＝ln x ．若关于x 的方程g xx 2＝f (x )－2e(e 为自然对数的底数)只有一个实数根，求a 的值．由g x x 2＝f (x )－2e ，得ln x x 2＝x ＋ax－2e ， 化为ln x x＝x 2－2e x ＋a .问题转化为函数h (x )＝ln x x与m (x )＝x 2－2e x ＋a 有一个交点时，求a 的值．由h (x )＝ln x x ，得h ′(x )＝1－ln x x2.令h ′(x )＝0，得x ＝e. 当0<x <e 时，h ′(x )>0；当x >e 时，h ′(x )<0. 所以h (x )在(0，e)上递增，在(e ，＋∞)上递减． 所以当x ＝e 时，函数h (x )取得最大值，其值为h (e)＝1e .而函数m (x )＝x 2－2e x ＋a ＝(x －e)2＋a －e 2，当x ＝e 时，函数m (x )取得最小值，其值为m (e)＝a －e 2.所以当a －e 2＝1e ，即a ＝e 2＋1e 时，方程g x x 2＝f (x )－2e 只有一个实数根．(1)利用f (x )＝g (x )的解⇔y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象交点的横坐标，可将方程的解的问题转化为两函数图象的交点问题，从而可利用数形结合的思想方法进行求解．(2)在具体转化时，要注意对方程f (x )＝g (x )尽量进行同解变形，变到两边的函数是熟悉的形式或较简单的形式，以便于对其图象特征进行研究．3．(经典真题)已知函数f (x )＝x 3－3x 2＋ax ＋2，曲线y ＝f (x )在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为－2.(1)求a ；(2)证明：当k <1时，曲线y ＝f (x )与直线y ＝kx －2只有一个交点．(1)f ′(x )＝3x 2－6x ＋a ，f ′(0)＝a . 曲线y ＝f (x )在点(0,2)处的切线方程为y ＝ax ＋2， 由题意得－2a＝－2，所以a ＝1.(2)证明：由(1)知，f (x )＝x 3－3x 2＋x ＋2. 设g (x )＝f (x )－kx ＋2＝x 3－3x 2＋(1－k )x ＋4. 由题意知1－k >0，当x ≤0时，g ′(x )＝3x 2－6x ＋1－k >0，g (x )单调递增，g (－1)＝k －1<0，g (0)＝4，所以g (x )＝0在(－∞，0]有唯一实根． 当x >0时，令h (x )＝x 3－3x 2＋4， 则g (x )＝h (x )＋(1－k )x >h (x )，h ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，h (x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以g (x )>h (x )≥h (2)＝0.所以g (x )＝0在(0，＋∞)没有实根．综上，g (x )＝0在R 上有唯一实根，即曲线y ＝f (x )与直线y ＝kx －2只有一个交点．1．利用导数研究函数的零点及其零点分布问题的基本步骤： (1)构造函数，并确定定义域； (2)求导，确定单调区间及极值； (3)作出函数的草图；(4)根据草图直观判断函数的零点的情况或得到零点所满足的条件． 2．处理函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象的交点问题，常用方法有： (1)数形结合，即分别作出两函数的图象，考察交点情况；。

课时跟踪检测（十四） 导数与函数的单调性一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2015·某某模拟)函数f (x )＝(x －3)e x的单调递增区间是________．解析：函数f (x )＝(x －3)e x的导数为f ′(x )＝[(x －3)e x]′＝e x＋(x －3)e x＝(x －2)e x.由函数导数与函数单调性的关系，得当f ′(x )＞0时，函数f (x )单调递增，此时由不等式f ′(x )＝(x －2)e x ＞0，解得x ＞2.答案：(2，＋∞)2．设函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋5x ＋6在区间[1,3]上是单调函数，则实数a 的取值X 围是________．解析：依题意，知当x ∈[1,3]时，f ′(x )＝x 2＋2ax ＋5的值恒不小于0或恒不大于0. 若当x ∈[1,3]时，f ′(x )＝x 2＋2ax ＋5≥0，即有－2a ≤x ＋5x在[1,3]上恒成立，而x ＋5x≥2x ·5x＝25(当且仅当x ＝5时取等号)，故－2a ≤25，解得a ≥－ 5. 若当x ∈[1,3]时，f ′(x )＝x 2＋2ax ＋5≤0，即有－2a ≥x ＋5x恒成立，注意到函数g (x )＝x ＋5x 在[1，5]上是减函数，在[5，3]上是增函数，且g (1)＝6>g (3)＝143，因此－2a ≥6，解得a ≤－3.综上所述，实数a 的取值X 围是(－∞，－3]∪[－5，＋∞)． 答案：(－∞，－3]∪[－5，＋∞)3．函数f (x )＝1＋x －sin x 在(0,2π)上的单调情况是________．解析：在(0,2π)上有f ′(x )＝1－cos x ＞0，所以f (x )在(0,2π)上单调递增． 答案：单调递增4．(2016·启东模拟)已知a ≥1，f (x )＝x 3＋3|x －a |，若函数f (x )在[－1,1]上的最大值和最小值分别记为M ，m ，则M －m 的值为________．解析：当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 3＋3(a －x )＝x 3－3x ＋3a (a ≥1)，∴f ′(x )＝3(x －1)(x ＋1)．当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0，所以原函数f (x )在区间[－1,1]上单调递减，所以M ＝f (－1)＝3a ＋2，m ＝f (1)＝3a －2，所以M －m ＝4.答案：45．(2016·某某测试)已知函数f (x )＝12x 2＋2ax －ln x ，若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上是增函数，则实数a 的取值X 围为________．解析：f ′(x )＝x ＋2a －1x ≥0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上恒成立， 即2a ≥－x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上恒成立，∵⎝⎛⎭⎪⎫－x ＋1x max ＝83， ∴2a ≥83，即a ≥43.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ 二保高考，全练题型做到高考达标1．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为________．解析：由f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6得f ′(x )＝3x 2－30x －33，令f ′(x )＜0，即3(x －11)(x ＋1)＜0，解得－1＜x ＜11，所以函数f (x )的单调减区间为(－1,11)．答案：(－1,11)2．若幂函数f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫22，12，则函数g (x )＝e xf (x )的单调递减区间为________．解析：设幂函数f (x )＝x α，因为图象过点⎝⎛⎭⎪⎫22，12，所以12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22α，α＝2，所以f (x )＝x 2，故g (x )＝e x x 2，令g ′(x )＝e x x 2＋2e xx ＝e x(x 2＋2x )＜0，得－2＜x ＜0，故函数g (x )的单调递减区间为(－2,0)．答案：(－2,0)3．(2016·某某、某某、某某、某某调研)设f (x )＝4x 3＋mx 2＋(m －3)x ＋n (m ，n ∈R)是R 上的单调增函数，则实数m 的值为________．解析：因为f ′(x )＝12x 2＋2mx ＋m －3，又函数f (x )是R 上的单调增函数，所以12x2＋2mx ＋m －3≥0在R 上恒成立，所以(2m )2－4×12(m －3)≤0，整理得m 2－12m ＋36≤0，即(m －6)2≤0.又因为(m －6)2≥0，所以(m －6)2＝0，所以m ＝6.答案：64．已知函数f (x )＝x ＋1ax在(－∞，－1)上单调递增，则实数a 的取值X 围是________．解析：函数f (x )＝x ＋1ax 的导数为f ′(x )＝1－1ax2，由于f (x )在(－∞，－1)上单调递增，则f ′(x )≥0在(－∞，－1)上恒成立，即1a≤x 2在(－∞，－1)上恒成立．由于当x ＜－1时，x 2＞1，则有1a≤1，解得a ≥1或a ＜0.答案：(－∞，0)∪[1，＋∞)5．(2015·某某、某某、某某、某某三调)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3＋3x 2＋m ，0≤x ≤1，mx ＋5，x >1.若函数f (x )的图象与x 轴有且只有两个不同的交点，则实数m 的取值X 围为________．解析：由f (x )＝2x 3＋3x 2＋m ，得f ′(x )＝6x 2＋6x ，所以f (x )在[0,1]上单调递增，即f (x )＝2x 3＋3x 2＋m 与x 轴至多有一个交点，要使函数f (x )的图象与x 轴有且只有两个不同的交点，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＋5>0，m <0，从而可得m ∈(－5,0)．答案：(－5,0)6．若函数f (x )＝ax 3－3x 在(－1,1)上为单调递减函数，则实数a 的取值X 围是________． 解析：f ′(x )＝3ax 2－3，∵f (x )在(－1,1)上为单调递减函数，∴f ′(x )≤0在(－1,1)上恒成立，即3ax 2－3≤0在(－1,1)上恒成立．当x ＝0时，a ∈R ；当x ≠0时，a ≤1x2，∵x∈(－1,0)∪(0,1)，∴a ≤1.综上，实数a 的取值X 围为(－∞，1]．答案：(－∞，1]7．(2016·某某中学模拟)已知函数f (x )(x ∈R)满足f (1)＝1，且f (x )的导数f ′(x )<12，则不等式f (x 2)<x 22＋12的解集为________．解析：设F (x )＝f (x )－12x ，∴F ′(x )＝f ′(x )－12，∵f ′(x )<12，∴F ′(x )＝f ′(x )－12<0，即函数F (x )在R 上单调递减．∵f (x 2)<x 22＋12，∴f (x 2)－x 22<f (1)－12，∴F (x 2)<F (1)，而函数F (x )在R 上单调递减，∴x 2>1，即x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)8．若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间，则a 的取值X 围是________．解析：对f (x )求导，得f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14＋2a .当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝29＋2a .令29＋2a ＞0，解得a ＞－19.所以a 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞9．(2016·某某五校联考)已知函数f (x )＝ln x ＋ke x(k 为常数，e 是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值；(2)求f (x )的单调区间．解：(1)由题意得f ′(x )＝1x－ln x －k e x， 又f ′(1)＝1－ke ＝0，故k ＝1.(2)由(1)知，f ′(x )＝1x－ln x －1ex. 设h (x )＝1x －ln x －1(x ＞0)，则h ′(x )＝－1x 2－1x＜0，即h (x )在(0，＋∞)上是减函数．由h (1)＝0知，当0＜x ＜1时，h (x )＞0，从而f ′(x )＞0； 当x ＞1时，h (x )＜0，从而f ′(x )＜0. 综上可知，f (x )的单调递增区间是(0,1)， 单调递减区间是(1，＋∞)．10．(2016·某某调研)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax ＋b .(1)若f (x )与g (x )在x ＝1处相切，求g (x )的表达式； (2)若φ(x )＝m x －1x ＋1－f (x )在[1，＋∞)上是减函数，某某数m 的取值X 围．解：(1)由已知得f ′(x )＝1x ，∴f ′(1)＝1＝12a ，a ＝2.又∵g (1)＝0＝12a ＋b ，∴b ＝－1，∴g (x )＝x －1.(2)∵φ(x )＝m x －1x ＋1－f (x )＝m x －1x ＋1－ln x 在[1，＋∞)上是减函数．∴φ′(x )＝－x 2＋2m －2x －1x x ＋12≤0在[1，＋∞)上恒成立．即x 2－(2m －2)x ＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立， 则2m －2≤x ＋1x，x ∈[1，＋∞)，∵x ＋1x∈[2，＋∞)，∴2m －2≤2，m ≤2.故实数m 的取值X 围是(－∞，2]． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x，若f (x )在[－1,1]上是单调减函数，则a 的取值X 围是________．解析：f ′(x )＝(2x －2a )e x ＋(x 2－2ax )e x ＝[x 2＋(2－2a )x －2a ]e x，由题意知当x ∈[－1,1]时，f ′(x )≤0恒成立，即x 2＋(2－2a )x －2a ≤0恒成立．令g (x )＝x 2＋(2－2a )x －2a ，则有⎩⎪⎨⎪⎧g －1≤0，g1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧－12＋2－2a ·－1－2a ≤0，12＋2－2a －2a ≤0，解得a ≥34.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ 2．(2016·某某模拟)若函数f (x )＝x 2|x －a |在区间[0,2]上单调递增，则实数a 的取值X 围是________．解析：当a ≤0时，f (x )＝x 3－ax 2，f ′(x )＝3x 2－2ax ≥0在[0，＋∞)上恒成立，所以f (x )在[0，＋∞)上单调递增，则也在[0,2]上单调递增，成立；当a >0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－x 3，0≤x ≤a ，x 3－ax 2，x >a .①当0≤x ≤a 时，f ′(x )＝2ax －3x 2， 令f ′(x )＝0，则x ＝0或x ＝23a ，则f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，23a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，a 上单调递减； ②当x >a 时，f ′(x )＝3x 2－2ax ＝x (3x －2a )>0，所以f (x )在(a ，＋∞)上单调递增，所以当a >0时，f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，23a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，a 上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．要使函数在区间[0,2]上单调递增，则必有23a ≥2，解得a ≥3.综上，实数a 的取值X 围是(－∞，0]∪[3，＋∞)． 答案：(－∞，0]∪[3，＋∞)3．已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R)． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′x ＋m 2在区间(t,3)上总不是单调函数，求m 的取值X围．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝a 1－xx.当a ＞0时，f (x )的增区间为(0,1)，减区间为(1，＋∞)；当a ＜0时，f (x )的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1)； 当a ＝0时，f (x )不是单调函数．(2)由(1)及题意得f ′(2)＝－a2＝1，即a ＝－2，∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3，f ′(x )＝2x －2x.∴g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m2＋2x 2－2x ，∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(t,3)上总不是单调函数， 即g ′(x )＝0在区间(t,3)上有变号零点．由于g ′(0)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧g ′t ＜0，g ′3＞0.当g ′(t )＜0，即3t 2＋(m ＋4)t －2＜0 对任意t ∈[1,2]恒成立， 由于g ′(0)＜0，故只要g ′(1)＜0且g ′(2)＜0， 即m ＜－5且m ＜－9，即m ＜－9； 由g ′(3)＞0，即m ＞－373.所以－373＜m ＜－9.即实数m 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－9.。

第三章 导数及其应用第一节 导数的概念及运算、定积分1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率li mΔx →0 ΔyΔx＝li mΔx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ❶为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′x ＝x 0，即f ′(x 0)＝li mΔx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．(2)导数的几何意义：函数f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)❷处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．❷曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线. (3)函数f (x )的导函数：称函数f ′(x )＝li mΔx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx为f (x )的导函数．(4)f ′(x )是一个函数，f ′(x 0)是函数f ′(x )在x 0处的函数值(常数)，[f ′(x 0)]′＝0. 2．基本初等函数的导数公式原函数 导函数 f (x )＝x n (n ∈Q *) f ′(x )＝n ·x n －1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin x f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)f ′(x )＝a x ln a f (x )＝e xf ′(x )＝e x f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)f ′(x )＝1x ln af (x )＝ln xf ′(x )＝1x3.导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．4．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．5．定积分的概念在∫b a f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．6．定积分的性质(1)∫b a kf (x )d x ＝k ∫b a f (x )d x (k 为常数)； (2)∫b a [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝∫b a f 1(x )d x ±∫b a f 2(x )d x ； (3)∫b a f (x )d x ＝∫c a f (x )d x ＋∫b c f (x )d x (其中a ＜c ＜b )．求分段函数的定积分，可以先确定不同区间上的函数解析式，然后根据定积分的性质(3)进行计算. 7．微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么∫b a f (x )d x ＝F (b )－F (a )，常把F (b )－F (a )记作F (x )|b a ，即∫b a f (x )d x ＝F (x )|ba ＝F (b )－F (a )．8．定积分的几何意义定积分∫b a f (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线y ＝f (x )及直线x ＝a ，x ＝b 之间的曲边梯形的面积的代数和，其值可正可负，具体来说，如图，设阴影部分的面积为S .①S ＝∫b a f (x )d x ；②S ＝－∫b a f (x )d x ；③S ＝∫c a f (x )d x －∫bc f (x )d x ； ④S ＝∫b a f (x )d x －∫b a g (x )d x ＝∫b a [f (x )－g (x )]d x .(1)定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可正可负.(2)当曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值为负；当位于x 轴上方的曲边梯形与位于x 轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零.二、常用结论1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2．熟记以下结论：(1)⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2；(2)(ln|x |)′＝1x ； (3)⎣⎡⎦⎤1f (x )′＝－f ′(x )[f (x )]2(f (x )≠0)； (4)[af (x )±bg (x )]′＝af ′(x )±bg ′(x )． 3．常见被积函数的原函数(1)∫b a c d x ＝cx |b a ；(2)∫b a x n d x ＝x n ＋1n ＋1|ba(n ≠－1)；(3)∫b a sin x d x ＝－cos x |b a ；(4)∫b a cos x d x ＝sin x |ba ；(5)∫b a 1x d x ＝ln|x ||b a ；(6)∫b a e x d x ＝e x |b a . 考点一 导数的运算1．f (x )＝x (2 018＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 019，则x 0等于( ) A ．e 2 B ．1 C ．ln 2D ．e解析：选B f ′(x )＝2 018＋ln x ＋x ×1x ＝2 019＋ln x ，故由f ′(x 0)＝2 019，得2 019＋ln x 0＝2 019，则lnx 0＝0，解得x 0＝1.2．(2019·宜昌联考)已知f ′(x )是函数f (x )的导数，f (x )＝f ′(1)·2x ＋x 2，则f ′(2)＝( ) A.12－8ln 21－2ln 2 B.21－2ln 2 C.41－2ln 2D ．－2解析：选C 因为f ′(x )＝f ′(1)·2x ln 2＋2x ，所以f ′(1)＝f ′(1)·2ln 2＋2，解得f ′(1)＝21－2ln 2，所以f ′(x )＝21－2ln 2·2x ln 2＋2x ，所以f ′(2)＝21－2ln 2×22ln 2＋2×2＝41－2ln 2.3．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝________. 解析：f ′(x )＝4ax 3＋2bx ， ∵f ′(x )为奇函数且f ′(1)＝2， ∴f ′(－1)＝－2. 答案：－24．求下列函数的导数． (1)y ＝x 2sin x ； (2)y ＝ln x ＋1x ；(3)y ＝cos x ex ；(4)y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2. 解：(1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′ ＝2x sin x ＋x 2cos x .(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x ′＝(ln x )′＋⎝⎛⎭⎫1x ′＝1x －1x2. (3)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x e x ′＝(cos x )′e x －cos x (e x)′(e x )2＝－sin x ＋cos x e x .(4)∵y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝12x sin(4x ＋π) ＝－12x sin 4x ，∴y ′＝－12sin 4x －12x ·4cos 4x＝－12sin 4x －2x cos 4x .考点二 导数的几何意义及其应用考法(一) 求切线方程[例1] (2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)·x 2＋ax ，若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x[解析] 法一：∵f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ， ∴f ′(x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋a .又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )恒成立，即－x 3＋(a －1)x 2－ax ＝－x 3－(a －1)x 2－ax 恒成立， ∴a ＝1，∴f ′(x )＝3x 2＋1，∴f ′(0)＝1， ∴曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x . 法二：∵f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数， ∴f ′(x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋a 为偶函数， ∴a ＝1，即f ′(x )＝3x 2＋1，∴f ′(0)＝1， ∴曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x . [答案] D考法(二) 求切点坐标[例2] 已知函数f (x )＝x ln x 在点P (x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋y ＝0垂直，则切点P (x 0，f (x 0))的坐标为________．[解析] ∵f (x )＝x ln x ，∴f ′(x )＝ln x ＋1，由题意得f ′(x 0)·(－1)＝－1，即f ′(x 0)＝1，∴ln x 0＋1＝1，ln x 0＝0，∴x 0＝1，∴f (x 0)＝0，即P (1,0)．[答案] (1,0)考法(三) 由曲线的切线(斜率)求参数的值(范围)[例3] (1)(2018·商丘二模)设曲线f (x )＝－e x －x (e 为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l 1，总存在曲线g (x )＝3ax ＋2cos x 上某点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1,2]B ．(3，＋∞)C.⎣⎡⎦⎤－23，13D.⎣⎡⎦⎤－13，23 (2)(2018·全国卷Ⅲ)曲线y ＝(ax ＋1)e x 在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a ＝________. [解析] (1)由f (x )＝－e x －x ，得f ′(x )＝－e x －1，∵e x ＋1>1，∴1e x ＋1∈(0,1)．由g (x )＝3ax ＋2cos x ，得g ′(x )＝3a －2sin x ，又－2sin x ∈[－2,2]，∴3a －2sin x ∈[－2＋3a ，2＋3a ]．要使过曲线f (x )＝－e x －x 上任意一点的切线l 1，总存在过曲线g (x )＝3ax ＋2cos x上某点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＋3a ≤0，2＋3a ≥1，解得－13≤a ≤23.(2)∵y ′＝(ax ＋a ＋1)e x ， ∴当x ＝0时，y ′＝a ＋1， ∴a ＋1＝－2，解得a ＝－3. [答案] (1)D (2)－3考法(四) 两曲线的公切线问题[例4] 已知曲线f (x )＝x 3＋ax ＋14在x ＝0处的切线与曲线g (x )＝－ln x 相切，则a 的值为________．[解析] 由f (x )＝x 3＋ax ＋14，得f ′(x )＝3x 2＋a .∵f ′(0)＝a ，f (0)＝14，∴曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线方程为y －14＝ax .设直线y －14＝ax 与曲线g (x )＝－ln x 相切于点(x 0，－ln x 0)，g ′(x )＝－1x，∴⎩⎪⎨⎪⎧－ln x 0－14＝ax 0， ①a ＝－1x， ②将②代入①得ln x 0＝34，∴x 0＝e 34，∴a ＝－1e 34＝－e －34.[答案] －e －34[题组训练]1．曲线y ＝x －1x ＋1在点(0，－1)处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为( )A.18B.14C.12D ．1 解析：选B 因为y ′＝2(x ＋1)2，所以y ′x ＝0＝2，所以曲线在点(0，－1)处的切线方程为y ＋1＝2x ，即y＝2x －1，与两坐标轴的交点坐标分别为(0，－1)，⎝⎛⎭⎫12，0，所以与两坐标轴围成的三角形的面积S ＝12×|－1|×12＝14. 2．已知直线2x －y ＋1＝0与曲线y ＝a e x ＋x 相切(其中e 为自然对数的底数)，则实数a 的值为________． 解析：由题意知y ′＝a e x ＋1＝2，则a >0，x ＝－ln a ，代入曲线方程得y ＝1－ln a ，所以切线方程为y －(1－ln a )＝2(x ＋ln a )，即y ＝2x ＋ln a ＋1＝2x ＋1⇒a ＝1.答案：13．若一直线与曲线y ＝ln x 和曲线x 2＝ay (a >0)相切于同一点P ，则a 的值为________． 解析：设切点P (x 0，y 0)，则由y ＝ln x ，得y ′＝1x，由x 2＝ay ，得y ′＝2ax ，则有⎩⎪⎨⎪⎧1x 0＝2a x 0，y 0＝ln x 0，x 20＝ay 0，解得a ＝2e.答案：2e考点三 定积分的运算及应用[题组训练]1. ⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ＝________.解析：⎠⎛0π (sin x －cos x )d x＝⎠⎛πsin x d x －⎠⎛0πcos x d x ＝－cos x⎪⎪⎪π0－sin x ⎪⎪⎪π＝2. 答案：2 2. ⎠⎛1e 1x d x ＋⎠⎛－224－x 2d x ＝________.解析：⎠⎛1e 1x d x ＝ln x ⎪⎪⎪e1＝1－0＝1，因为⎠⎛－224－x 2d x 表示的是圆x 2＋y 2＝4在x 轴及其上方的面积，故⎠⎛－224－x 2d x ＝12π×22＝2π，故答案为2π＋1.答案：2π＋13．由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积为____________．解析：法一：画出草图，如图所示．解方程组⎩⎨⎧y ＝x ，x ＋y ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝－13x及⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝－13x ，得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)， 所以所求图形的面积S ＝⎠⎛01⎣⎡⎦⎤ x －⎝⎛⎭⎫－13x d x ＋⎠⎛13⎣⎡⎦⎤(2－x )－⎝⎛⎭⎫－13x d x ＝⎠⎛01⎝⎛⎭⎫ x ＋13x d x ＋⎠⎛13⎝⎛⎭⎫2－23x d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 32＋16x 2⎪⎪⎪10＋⎝⎛⎭⎫2x －13x 2⎪⎪⎪31 ＝56＋6－13×9－2＋13＝136. 法二：如图所求阴影的面积就是三角形OAB 的面积减去由y 轴，y ＝x ，y ＝2－x 围成的曲边三角形的面积，即S ＝12×2×3－⎠⎛01 (2－x －x )d x ＝3－⎝⎛⎭⎫2x －12x 2－23x 32⎪⎪⎪1＝3－⎝⎛⎭⎫2－12－23＝136. 答案：1364．一物体在力F (x ) ＝⎩⎪⎨⎪⎧5，0≤x ≤2，3x ＋4，x >2(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为________J.解析：由题意知，力F (x )所做的功为W ＝⎠⎛04F (x )d x ＝⎠⎛025d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x ＝5×2＋⎝⎛⎭⎫32x 2＋4x ⎪⎪⎪42＝10＋⎣⎡⎦⎤32×42＋4×4－⎝⎛⎭⎫32×22＋4×2＝36(J)．答案：361．正确选用求定积分的4个常用方法 定理法 性质法 几何法 奇偶性法 2．定积分在物理中的2个应用(1)求物体做变速直线运动的路程，如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝⎠⎛ab v (t )d t .(2)变力做功，一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同的方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝⎠⎛ab F (x )d x .[课时跟踪检测]A 级1．曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为( ) A ．(1－e)x －y ＋1＝0 B ．(1－e)x －y －1＝0 C ．(e －1)x －y ＋1＝0D ．(e －1)x －y －1＝0解析：选C 由于y ′＝e －1x ，所以y ′|x ＝1＝e －1，故曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为y －e＝(e －1)(x －1)，即(e －1)x －y ＋1＝0.2．曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为( ) A ．(1,3) B ．(－1,3) C ．(1,3)和(－1,3)D ．(1，－3)解析：选C f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝2，则3x 2－1＝2，解得x ＝1或x ＝－1，∴P (1,3)或(－1,3)，经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y ＝2x －1上，故选C.3．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)的值等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－94 D.94解析：选C 因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，所以f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x ，所以f ′(2)＝2×2＋3f ′(2)＋12，解得f ′(2)＝－94.4.(2019·四川名校联考)已知函数f (x )的图象如图所示，f ′(x )是f (x )的导函数，则下列数值排序正确的是( )A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(3)<f ′(2)<f (3)－f (2)C ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3)解析：选C 设f ′(3)，f (3)－f (2)，f ′(2)分别表示直线n ，m ，l 的斜率，数形结合知0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)，故选C.5.(2019·玉林模拟)由曲线y ＝x 2和曲线y ＝x 围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影部分的面积为( )A.13B.310C.14D.15解析：选A 由⎩⎨⎧ y ＝x 2，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，所以阴影部分的面积为⎠⎛01 (x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 32－13x 3⎪⎪⎪1＝13.6．(2018·安庆模拟)设曲线y ＝e ax －ln(x ＋1)在x ＝0处的切线方程为2x －y ＋1＝0，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选D ∵y ＝e ax －ln(x ＋1)，∴y ′＝a e ax －1x ＋1，∴当x ＝0时，y ′＝a －1.∵曲线y ＝e ax －ln(x ＋1)在x ＝0处的切线方程为2x －y ＋1＝0，∴a －1＝2，即a ＝3.7．(2018·延边期中)设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，则曲线在点P 处切线的倾斜角α的取值范围为( )A.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫5π6，π B.⎣⎡⎭⎫2π3，π C.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π D.⎝⎛⎦⎤π2，5π6解析：选C 因为y ′＝3x 2－3≥－3，故切线的斜率k ≥－3，所以切线的倾斜角α的取值范围为⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π.8．若曲线f (x )＝x sin x ＋1在x ＝π2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0 相互垂直，则实数a ＝________.解析：因为f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，所以f ′⎝⎛⎭⎫π2＝sin π2＋π2cos π2＝1.又直线ax ＋2y ＋1＝0的斜率为－a2，所以1×⎝⎛⎭⎫－a2＝－1，解得a ＝2.答案：29．(2019·重庆质检)若曲线y ＝ln(x ＋a )的一条切线为y ＝e x ＋b ，其中a ，b 为正实数，则a ＋eb ＋2的取值范围为________．解析：由y ＝ln(x ＋a )，得y ′＝1x ＋a.设切点为(x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧1x 0＋a ＝e ，ln (x 0＋a )＝e x 0＋b ⇒b ＝a e －2.∵b >0，∴a >2e， ∴a ＋e b ＋2＝a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝1时等号成立．答案：[2，＋∞)10．(2018·烟台期中)设函数F (x )＝ln x ＋a x (0<x ≤3)的图象上任意一点P (x 0，y 0)处切线的斜率k ≤12恒成立，则实数a 的取值范围为________．解析：由F (x )＝ln x ＋ax (0<x ≤3)，得F ′(x )＝x －a x 2(0<x ≤3 )，则有k ＝F ′(x 0)＝x 0－a x 20≤12在(0,3]上恒成立，所以a ≥⎝⎛⎭⎫－12x 20＋x 0max .当x 0＝1时，－12x 20＋x 0在(0,3]上取得最大值12，所以a ≥12. 答案：⎣⎡⎭⎫12，＋∞B 级1．若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )A ．－1B ．－13C.13D ．1解析：选B ∵f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，∴⎠⎛01f (x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2x ⎠⎛01f (x )d x ⎪⎪⎪10＝13＋2⎠⎛01f (x )d x ，∴⎠⎛01f (x )d x ＝－13. 2．设f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，x ∈[－1，1]，x 2－1，x ∈(1，2]，则⎠⎛-12f (x )d x 的值为( )A.π2＋43 B.π2＋3 C.π4＋43D.π4＋3 解析：选A ⎠⎛-12f (x )d x ＝⎠⎛-111－x 2d x ＋⎠⎛12 (x 2－1)d x ＝12π×12＋⎝⎛⎭⎫13x 3－x ⎪⎪⎪21＝π2＋43. 3．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)＝( ) A ．26 B ．29C ．212D ．215解析：选C 因为f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]＋[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ＝(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)＋[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)·…·(0－a 8)＋0＝a 1a 2·…·a 8.因为数列{a n }为等比数列， 所以a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8， 所以f ′(0)＝84＝212.4．若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7解析：选A 因为y ＝x 3，所以y ′＝3x 2，设过点(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)， 则在该点处的切线斜率为k ＝3x 20，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30.又点(1,0)在切线上，所以x 0＝0或x 0＝32.当x 0＝0时，切线方程为y ＝0.由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564；当x 0＝32时，切线方程为y ＝274x －274，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－1.综上，a 的值为－1或－2564.5．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 019(x )＝( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x解析：选A ∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ，∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ，f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ，…，∴f n (x )的解析式以4为周期重复出现，∵2 019＝4×504＋3，∴f 2 019(x )＝f 3(x )＝－sin x －cos x .6．曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋8＝0的最短距离是( ) A ．2 5 B ．2 C ．2 3D. 3解析：选A 设M (x 0，ln(2x 0－1))为曲线上的任意一点，则曲线在点M 处的切线与直线2x －y ＋8＝0平行时，点M 到直线的距离即为曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋8＝0的最短距离．∵y ′＝22x －1，∴22x 0－1＝2，解得x 0＝1，∴M (1,0)．记点M 到直线2x －y ＋8＝0的距离为d ，则d ＝|2＋8|4＋1＝2 5.7．如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，则曲线g (x )在x ＝3处的切线方程为________．解析：由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线斜率等于－13，即f ′(3)＝－13.又g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由题图可知f (3)＝1，所以g (3)＝3f (3)＝3，g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0，则曲线g (x )在x ＝3处的切线方程为y －3＝0.答案：y －3＝08．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积是否为定值，若是，求此定值；若不是，说明理由．解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx 2，所以⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x.(2)是定值，理由如下：设P (x 0，y 0)为曲线y ＝f (x )上任一点，由f ′(x )＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)， 即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)． 令x ＝0，得y ＝－6x 0，得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0. 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积S ＝12⎪⎪⎪⎪－6x 0·|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6. 9．已知函数f (x )＝ln x －a (x ＋1)x －1，曲线y ＝f (x )在点⎝⎛⎭⎫12，f ⎝⎛⎭⎫12处的切线平行于直线y ＝10x ＋1. (1)求函数f (x )的单调区间；(2)设直线l 为函数g (x )＝ln x 图象上任意一点A (x 0，y 0)处的切线，问：在区间(1，＋∞)上是否存在x 0，使得直线l 与曲线h (x )＝e x 也相切？若存在，满足条件的 x 0有几个？解：(1)∵函数f (x )＝ln x －a (x ＋1)x －1(x ＞0且x ≠1)，∴f ′(x )＝1x ＋2a(x －1)2，∵曲线y ＝f (x )在点⎝⎛⎭⎫12，f ⎝⎛⎭⎫12处的切线平行于直线y ＝10x ＋1，∴f ′⎝⎛⎭⎫12＝2＋8a ＝10，∴a ＝1，∴f ′(x )＝x 2＋1x (x －1)2. ∵x ＞0且x ≠1，∴f ′(x )＞0，∴函数f (x )的单调递增区间为(0,1)和(1，＋∞)，无单调递减区间． (2)在区间(1，＋∞)上存在唯一一个满足条件的x 0. ∵g (x )＝ln x ，∴g ′(x )＝1x，∴切线l 的方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，即y ＝1x 0x ＋ln x 0－1.①设直线l 与曲线h (x )＝e x 相切于点(x 1，e x 1)， ∵h ′(x )＝e x ，∴e x 1＝1x 0，∴x 1＝－ln x 0，∴直线l 的方程也可以写成y －1x 0＝1x 0(x ＋ln x 0)，即y ＝1x 0x ＋ln x 0x 0＋1x 0.②由①②得ln x 0－1＝ln x 0x 0＋1x 0，∴ln x 0＝ x 0＋1x 0－1.下证在区间(1，＋∞)上存在唯一一个满足条件的x 0. 由(1)可知，f (x )＝ln x －x ＋1x －1在区间(1，＋∞)上单调递增，又∵f (e)＝－2e －1＜0，f (e 2)＝e 2－3e 2－1＞0，∴结合零点存在性定理，知方程f (x )＝0在区间(e ，e 2)上有唯一的实数根，这个根就是所求的唯一满足条件的x 0.第二节 导数的简单应用一、基础知识1．函数的单调性与导数的关系在(a ，b )内可导函数f (x )，f ′(x )在(a ，b )任意子区间内都不恒等于0.f ′(x )≥0⇔f (x )在(a ，b )上为增函数．f ′(x )≤0⇔f (x )在❶(a，b)上为减函数．2．函数的极值(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a❷，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点❸(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．3．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)开区间上的单调连续函数无最值．,(1)f′(x)＞0(＜0)是f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)的充分不必要条件．(2)f′(x)≥0(≤0)是f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)的必要不充分条件．(3)由f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)可得f′(x)≥0(≤0)在该区间内恒成立，而不是f′(x)＞0(＜0)恒成立，“＝”不能少，必要时还需对“＝”进行检验.f′(x 0)＝0是x0为f(x)的极值点的必要不充分条件．例如，f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点．(1)极值点不是点，若函数f(x)在x1处取得极大值，则x1为极大值点，极大值为f(x1)；在x2处取得极小值，则x2为极小值点，极小值为f(x2)．极大值与极小值之间无确定的大小关系．(2)极值一定在区间内部取得，有极值的函数一定不是单调函数.二、常用结论(1)若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用并集“∪”及“或”连接，只能用“，”“和”字隔开．(2)若函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值一定是函数的最值．(3)极值只能在定义域内取得(不包括端点)，最值却可以在端点处取得，有极值的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，非常数可导函数最值只要不在端点处取，则必定在极值处取．第一课时导数与函数的单调性考点一求函数的单调区间1．已知函数f(x)＝x ln x，则f(x)()A．在(0，＋∞)上单调递增B ．在(0，＋∞)上单调递减C ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递增 D ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减 解析：选D 因为函数f (x )＝x ln x 的定义域为(0，＋∞)， 所以f ′(x )＝ln x ＋1(x ＞0)， 当f ′(x )＞0时，解得x ＞1e，即函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞； 当f ′(x )＜0时，解得0＜x ＜1e，即函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫0，1e ，故选D. 2．若幂函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫22，12，则函数g (x )＝e x f (x )的单调递减区间为________． 解析：设幂函数f (x )＝x a ，因为图象过点⎝⎛⎭⎫22，12，所以12＝⎝⎛⎭⎫22a ，a ＝2，所以f (x )＝x 2，故g (x )＝e x x 2， 则g ′(x )＝e x x 2＋2e x x ＝e x (x 2＋2x )， 令g ′(x )＜0，得－2＜x ＜0， 故函数g (x )的单调递减区间为(－2,0)． 答案：(－2,0)3．(2018·开封调研)已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调递增区间是___________________________________________________________．解析：f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x . 令f ′(x )＝x cos x ＞0(x ∈(－π，π))， 解得－π＜x ＜－π2或0＜x ＜π2，即函数f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2. 答案：⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2 考点二 判断含参函数的单调性(2018·全国卷Ⅰ节选)已知函数f (x )＝1x －x ＋a ln x ，讨论f (x )的单调性．[解] f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－1x 2－1＋ax ＝－x 2－ax ＋1x 2.①当a ≤2时，则f ′(x )≤0， 当且仅当a ＝2，x ＝1时，f ′(x )＝0， 所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减． ②当a ＞2时，令f ′(x )＝0， 得x ＝a －a 2－42或x ＝a ＋a 2－42.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42∪⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞时，f ′(x )＜0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42时，f ′(x )＞0. 所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42上单调递增． 综合①②可知，当a ≤2时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当a ＞2时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42上单调递增．[题组训练]已知函数g (x )＝ln x ＋ax 2＋bx ，其中g (x )的函数图象在点(1，g (1))处的切线平行于x 轴． (1)确定a 与b 的关系；(2)若a ≥0，试讨论函数g (x )的单调性． 解：(1)g ′(x )＝1x＋2ax ＋b (x ＞0)．由函数g (x )的图象在点(1，g (1))处的切线平行于x 轴， 得g ′(1)＝1＋2a ＋b ＝0，所以b ＝－2a －1. (2)由(1)得g ′(x )＝2ax 2－(2a ＋1)x ＋1x ＝(2ax －1)(x －1)x .因为函数g (x )的定义域为(0，＋∞)， 所以当a ＝0时，g ′(x )＝－x －1x. 由g ′(x )＞0，得0＜x ＜1，由g ′(x )＜0，得x ＞1， 即函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． 当a ＞0时，令g ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝12a ，若12a ＜1，即a ＞12，由g ′(x )＞0，得x ＞1或0＜x ＜12a ，由g ′(x )＜0，得12a＜x ＜1，即函数g (x )在⎝⎛⎭⎫0，12a ，(1，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫12a ，1上单调递减； 若12a ＞1，即0＜a ＜12，由g ′(x )＞0，得x ＞12a或0＜x ＜1， 由g ′(x )＜0，得1＜x ＜12a，即函数g (x )在(0,1)，⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，12a 上单调递减； 若12a ＝1，即a ＝12，在(0，＋∞)上恒有g ′(x )≥0， 即函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增．综上可得，当a ＝0时，函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减； 当0＜a ＜12时，函数g (x )在(0,1)，⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，12a 上单调递减； 当a ＝12时，函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞12时，函数g (x )在⎝⎛⎭⎫0，12a ，(1，＋∞)上单调递增， 在⎝⎛⎭⎫12a ，1上单调递减．考点三 根据函数的单调性求参数[典例精析](1)若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是________．(2)若函数h (x )＝ln x －12ax 2－2x (a ≠0)在[1,4]上单调递减，则a 的取值范围为________．[解析] (1)函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，等价于f ′(x )＝1－23cos 2x ＋a cos x ＝－43cos 2x ＋a cos x ＋53≥0在(－∞，＋∞)恒成立．设cos x ＝t ，则g (t )＝－43t 2＋at ＋53≥0在[－1,1]恒成立，所以⎩⎨⎧g (1)＝－43＋a ＋53≥0，g (－1)＝－43－a ＋53≥0，解得－13≤a ≤13.(2)因为h (x )在[1,4]上单调递减，所以当x ∈[1,4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立，即a ≥1x 2－2x 恒成立．由(1)知G (x )＝1x 2－2x，所以a ≥G (x )max ，而G (x )＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1， 因为x ∈[1,4]，所以1x ∈⎣⎡⎦⎤14，1， 所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)， 所以a ≥－716，又因为a ≠0，所以a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－716，0∪(0，＋∞)． 答案：(1)⎣⎡⎦⎤－13，13 (2)⎣⎡⎭⎫－716，0∪(0，＋∞)[变式发散]1．(变条件)若本例(2)条件变为“函数h (x )在[1,4]上单调递增”，则a 的取值范围为________． 解析：因为h (x )在[1,4]上单调递增，所以当x ∈[1,4]时，h ′(x )≥0恒成立，即a ≤1x 2－2x 恒成立，又因为当 x ∈[1,4]时，⎝⎛⎭⎫1x 2－2x min ＝－1(此时x ＝1)， 所以a ≤－1，即a 的取值范围是(－∞，－1]． 答案：(－∞，－1]2．(变条件)若本例(2)条件变为“函数h (x )在[1,4]上存在单调递减区间”，则a 的取值范围为________． 解析：因为h (x )在[1,4]上存在单调递减区间， 所以h ′(x )＜0在[1,4]上有解， 所以当x ∈[1,4]时，a ＞1x 2－2x有解，而当x ∈[1,4]时，⎝⎛⎭⎫1x 2－2x min ＝－1(此时x ＝1)， 所以a ＞－1，又因为a ≠0，所以a 的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)． 答案：(－1,0)∪(0，＋∞)3．(变条件)若本例(2)条件变为“函数h (x )在[1,4]上不单调”，则a 的取值范围为________． 解析：因为h (x )在[1,4]上不单调，所以h ′(x )＝0在(1,4)上有解，即a ＝1x 2－2x ＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1在(1,4)上有解， 令m (x )＝1x 2－2x ，x ∈(1,4)，则－1＜m (x )＜－716.所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－1，－716. 答案：⎝⎛⎭⎫－1，－716[题组训练]1．(2019·渭南质检)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2的图象经过点M (1,4)，曲线在点M 处的切线恰好与直线x ＋9y ＝0垂直．若函数f (x )在区间[m ，m ＋1]上单调递增，则m 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝ax 3＋bx 2的图象经过点M (1,4)， ∴a ＋b ＝4，①f ′(x )＝3ax 2＋2bx ，则f ′(1)＝3a ＋2b .由题意可得f ′(1)·⎝⎛⎭⎫－19＝－1，即3a ＋2b ＝9.② 联立①②两式解得a ＝1，b ＝3， ∴f (x )＝x 3＋3x 2，f ′(x )＝3x 2＋6x . 令f ′(x )＝3x 2＋6x ≥0，得x ≥0或x ≤－2. ∵函数f (x )在区间[m ，m ＋1]上单调递增， ∴[m ，m ＋1]⊆(－∞，－2]∪[0，＋∞)， ∴m ≥0或m ＋1≤－2，即m ≥0或m ≤－3. 答案：(－∞，－3]∪[0，＋∞)2．已知函数f (x )＝3xa －2x 2＋ln x (a ＞0)，若函数f (x )在[1,2]上为单调函数，则a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3a －4x ＋1x ，若函数f (x )在[1,2]上为单调函数，即f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≥0或f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≤0在[1,2]上恒成立，即3a ≥4x －1x 或3a ≤4x －1x 在[1,2]上恒成立． 令h (x )＝4x －1x，则h (x )在[1,2]上单调递增， 所以3a ≥h (2)或3a ≤h (1)，即3a ≥152或3a ≤3，又a ＞0， 所以0＜a ≤25或a ≥1.答案：⎝⎛⎦⎤0，25∪[1，＋∞) [课时跟踪检测]A 级1．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．f (x )＝sin 2xB ．f (x )＝x e xC ．f (x )＝x 3－xD ．f (x )＝－x ＋ln x解析：选B 对于A ，f (x )＝sin 2x 的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z)；对于B ，f ′(x )＝e x (x ＋1)，当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0，∴函数f (x )＝x e x 在(0，＋∞)上为增函数；对于C ，f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＞0，得x ＞33或x ＜－33，∴函数f (x )＝x 3－x 在⎝⎛⎭⎫－∞，－33和⎝⎛⎭⎫33，＋∞上单调递增；对于D ，f ′(x )＝－1＋1x ＝－x －1x ，令f ′(x )＞0，得0＜x ＜1，∴函数f (x )＝－x ＋ln x 在区间(0,1)上单调递增．综上所述，应选B.2．已知函数f (x )＝x 2＋2cos x ，若f ′(x )是f (x )的导函数，则函数f ′(x )的大致图象是( )解析：选A 设g (x )＝f ′(x )＝2x －2sin x ，则g ′(x )2－2cos x ≥0，所以函数f ′(x )在R 上单调递增，结合选项知选A.3．若函数f (x )＝(x 2－cx ＋5)e x 在区间⎣⎡⎦⎤12，4上单调递增，则实数c 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．(－∞，4] C ．(－∞，8]D ．[－2,4]解析：选B f ′(x )＝[x 2＋(2－c )x －c ＋5]e x ，∵函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，4上单调递增，∴x 2＋(2－c )x －c ＋5≥0对任意x ∈⎣⎡⎦⎤12，4恒成立，即(x ＋1)c ≤x 2＋2x ＋5对任意x ∈⎣⎡⎦⎤12，4恒成立，∴c ≤x 2＋2x ＋5x ＋1对任意x ∈⎣⎡⎦⎤12，4恒成立，∵x ∈⎣⎡⎦⎤12，4，∴x 2＋2x ＋5x ＋1＝x ＋1＋4x ＋1≥4，当且仅当x ＝1时等号成立，∴c ≤4. 4．(2019·咸宁联考)设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,2]B ．(4，＋∞)C ．(－∞，2)D ．(0,3]解析：选A ∵f (x )＝12x 2－9ln x ，∴f ′(x )＝x －9x (x ＞0)，由x －9x ≤0，得0＜x ≤3，∴f (x )在(0,3]上是减函数，则[a －1，a ＋1]⊆(0,3]，∴a －1＞0且a ＋1≤3，解得1＜a ≤2.5．(2019·南昌联考)已知函数f (x ＋1)是偶函数，当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )＝sin x －x ，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (3)，c ＝f (0)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b ＜a ＜cB ．c ＜a ＜bC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c解析：选A ∵函数f (x ＋1)是偶函数，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52，b ＝f (3)，c ＝f (0)＝f (2)．又∵当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )＝sin x －x ，∴当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＝cos x －1≤0，即f (x )＝sin x －x 在(1，＋∞)上为减函数，∴b ＜a ＜c .6．已知函数y ＝f (x )(x ∈R)的图象如图所示，则不等式xf ′(x )≥0的解集为________________．解析：由f (x )图象特征可得，在⎝⎛⎦⎤－∞，12和[2，＋∞)上f ′(x )≥0, 在 ⎝⎛⎭⎫12，2上f ′(x )＜0，所以xf ′(x )≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，f ′(x )≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，f ′(x )≤0⇔0≤x ≤12或x ≥2，所以xf ′(x )≥0的解集为⎣⎡⎦⎤0，12∪[2，＋∞)． 答案：⎣⎡⎦⎤0，12∪[2，＋∞) 7．(2019·岳阳模拟)若函数f (x )＝x 2－e x －ax 在R 上存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵函数f (x )＝x 2－e x －ax 在R 上存在单调递增区间， ∴f ′(x )＝2x －e x －a ＞0，即a ＜2x －e x 有解． 设g (x )＝2x －e x ，则g ′(x )＝2－e x ， 令g ′(x )＝0，得x ＝ln 2，则当x ＜ln 2时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增， 当x ＞ln 2时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减，∴当x ＝ln 2时，g (x )取得最大值，且g (x )max ＝g (ln 2)＝2ln 2－2，∴a ＜2ln 2－2. 答案：(－∞，2ln 2－2)8．设f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0,6)． (1)确定a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间． 解：(1)因为f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ， 所以f ′(x )＝2a (x －5)＋6x.令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －16a ＝(6－8a )(x －1)， 由点(0,6)在切线上，可得6－16a ＝8a －6，解得a ＝12.(2)由(1)知，f (x )＝12(x －5)2＋6ln x (x ＞0)，f ′(x )＝x －5＋6x ＝(x －2)(x －3)x .令f ′(x )＝0，解得x ＝2或x ＝3. 当0＜x ＜2或x ＞3时，f ′(x )＞0；当2＜x ＜3时，f ′(x )＜0，故函数f (x )的单调递增区间是(0,2)，(3，＋∞)，单调递减区间是(2,3)．9．已知e 是自然对数的底数，实数a 是常数，函数f (x )＝e x －ax －1的定义域为(0，＋∞)．(1)设a ＝e ，求函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程； (2)判断函数f (x )的单调性． 解：(1)∵a ＝e ，∴f (x )＝e x －e x －1， ∴f ′(x )＝e x －e ，f (1)＝－1，f ′(1)＝0.∴当a ＝e 时，函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝－1. (2)∵f (x )＝e x －ax －1，∴f ′(x )＝e x －a . 易知f ′(x )＝e x －a 在(0，＋∞)上单调递增．∴当a ≤1时，f ′(x )＞0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ＞1时，由f ′(x )＝e x －a ＝0，得x ＝ln a ，∴当0＜x ＜ln a 时，f ′(x )＜0，当x ＞ln a 时，f ′(x )＞0， ∴f (x )在(0，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增． 综上，当a ≤1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞1时，f (x )在(0，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．B 级1．(2019·南昌模拟)已知函数f (x )＝x sin x ，x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，且f (x 1)＜f (x 2)，那么( ) A ．x 1－x 2＞0B ．x 1＋x 2＞0C ．x 21－x 22＞0D ．x 21－x 22＜0解析：选D 由f (x )＝x sin x ，得f ′(x )＝sin x ＋x cos x ＝cos x (tan x ＋x )，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f ′(x )＞0，即f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上为增函数，又∵f (－x )＝－x sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，∴f (x )为偶函数，∴当f (x 1)＜f (x 2)时，有f (|x 1|)＜f (|x 2|)，∴|x 1|＜|x 2|，x 21－x 22＜0，故选D.2．函数f (x )＝12x 2－ln x 的单调递减区间为________．解析：由题意知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，由f (x )＝x －1x ＜0，得0＜x ＜1，所以函数f (x )的单调递减区间为(0,1)．答案：(0,1)3．(2019·郴州模拟)已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在区间[t ，t ＋1]上不单调，则实数t 的取值范围是________．解析：由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－(x －1)(x －3)x ，由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1和3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调，∴1∈(t ，t ＋1)或3∈(t ，t ＋1)⇔⎩⎪⎨⎪⎧ t ＜1，t ＋1＞1或⎩⎪⎨⎪⎧t ＜3，t ＋1＞3⇔0＜t ＜1或2＜t ＜3.答案：(0,1)∪(2,3)4.已知函数y ＝xf ′(x )的图象如图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，下面四个图象中，y ＝f (x )的图象大致是( )解析：选C 当0＜x ＜1时，xf ′(x )＜0，∴f ′(x )＜0，故y ＝f (x )在(0,1)上为减函数；当x ＞1时，xf ′(x )＞0，∴f ′(x )＞0，故y ＝f (x )在(1，＋∞)上为增函数，因此排除A 、B 、D ，故选C.5．已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数．若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．解析：由f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，得f (－x )＝－x 3＋2x ＋1e x －e x ＝－f (x )，所以f (x )是R 上的奇函数．又f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋1e x ≥3x 2－2＋2e x ·1ex ＝3x 2≥0，当且仅当x ＝0时取等号， 所以f (x )在其定义域内单调递增． 因为f (a －1)＋f (2a 2)≤0， 所以f (a －1)≤－f (2a 2)＝f (－2a 2)， 所以a －1≤－2a 2，解得－1≤a ≤12，故实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，12. 答案：⎣⎡⎦⎤－1，12 6．已知f (x )＝ax －1x ，g (x )＝ln x ，x ＞0，a ∈R 是常数．(1)求函数y ＝g (x )的图象在点P (1，g (1))处的切线方程；(2)设F (x )＝f (x )－g (x )，讨论函数F (x )的单调性． 解：(1)因为g (x )＝ln x (x ＞0)， 所以g (1)＝0，g ′(x )＝1x，g ′(1)＝1，故函数g (x )的图象在P (1，g (1))处的切线方程是y ＝x －1. (2)因为F (x )＝f (x )－g (x )＝ax －1x －ln x (x ＞0)，所以F ′(x )＝a ＋1x 2－1x＝a ＋⎝⎛⎭⎫1x －122－14. ①当a ≥14时，F ′(x )≥0，F (x )在(0，＋∞)上单调递增；②当a ＝0时，F ′(x )＝1－xx 2，F (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；③当0＜a ＜14时，由F ′(x )＝0，得x 1＝1－1－4a 2a ＞0，x 2＝1＋1－4a2a＞0，且x 2＞x 1， 故F (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－4a 2a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－4a 2a ，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－4a 2a ，1＋1－4a 2a 上单调递减；④当a ＜0时，由F ′(x )＝0，得 x 1＝1－1－4a 2a ＞0，x 2＝1＋1－4a 2a＜0， F (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－4a 2a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－4a 2a ，＋∞上单调递减．7．已知函数f (x )＝ax －ln x ，g (x )＝e ax ＋2x ，其中a ∈R. (1)当a ＝2时，求函数f (x )的极值；(2)若存在区间D ⊆(0，＋∞)，使得f (x )与g (x )在区间D 上具有相同的单调性，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝2时，f (x )＝2x －ln x ，定义域为(0，＋∞)，则f ′(x )＝2－1x，故当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增． 所以f (x )在x ＝12处取得极小值，且f ⎝⎛⎭⎫12＝1＋ln 2，无极大值． (2)由题意知，f ′(x )＝a －1x，g ′(x )＝a e ax ＋2，①当a ＞0时，g ′(x )＞0，即g (x )在R 上单调递增，而f (x )在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递增，故必存在区间D ⊆(0，＋∞)，使得f (x )与g (x )在区间D 上单调递增；②当a ＝0时，f ′(x )＝－1x ＜0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减，而g (x )在(0，＋∞)上单调递增，故不存在满足条件的区间D ；③当a ＜0时，f ′(x )＝a －1x ＜0，即f (x )在(0，＋∞)上单调递减，而g (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，1a ln ⎝⎛⎭⎫－2a 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1a ln ⎝⎛⎭⎫－2a ，＋∞上单调递增，若存在区间D ⊆(0，＋∞)，使得f (x )与g (x )在区间D 上有相同的单调性，则有1a ln ⎝⎛⎭⎫－2a ＞0，解得a ＜－2. 综上可知，实数a 的取值范围为(－∞，－2)∪(0，＋∞)．第二课时 导数与函数的极值、最值 考点一 利用导数研究函数的极值考法(一) 已知函数的解析式求函数的极值点个数或极值[例1] 已知函数f (x )＝x －1＋ae x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)，求函数f (x )的极值．[解] 由f (x )＝x －1＋a e x ，得f ′(x )＝1－aex .①当a ≤0时，f ′(x )＞0，f (x )为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f (x )无极值． ②当a ＞0时，令f ′(x )＝0， 得e x ＝a ，即x ＝ln a ，当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )＜0； 当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )＞0，所以函数f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增，故函数f (x )在x ＝ln a 处取得极小值且极小值为f (ln a )＝ln a ，无极大值．综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a ＞0时，函数f (x )在x ＝ln a 处取得极小值ln a ，无极大值．[例2] 设函数f (x )＝ln(x ＋1)＋a (x 2－x )，其中a ∈R.讨论函数f (x )极值点的个数，并说明理由． [解] f ′(x )＝1x ＋1＋a (2x －1)＝2ax 2＋ax －a ＋1x ＋1(x ＞－1)．令g (x )＝2ax 2＋ax －a ＋1，x ∈(－1，＋∞)．①当a ＝0时，g (x )＝1，f ′(x )＞0，函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递增，无极值点． ②当 a ＞0时，Δ＝a 2－8a (1－a )＝a (9a －8)． 当0＜a ≤89时，Δ≤0，g (x )≥0，f ′(x )≥0，函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递增，无极值点． 当a ＞89时，Δ＞0，设方程2ax 2＋ax －a ＋1＝0的两根为x 1，x 2(x 1＜x 2)， 因为x 1＋x 2＝－12，所以x 1＜－14，x 2＞－14.由g (－1)＝1＞0，可得－1＜x 1＜－14.所以当x ∈(－1，x 1)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增； 当x ∈(x 1，x 2)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减； 当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0, 函数f (x )单调递增．。

基础知识整合１．通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为错误!优化问题，一般地，对于实际问题，若函数在给定的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点．２．生活中的优化问题解决优化问题的基本思路：３．不等式问题（１）证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最值问题．（２）求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题．１．把所求问题通过构造函数，转化为可用导数解决的问题，这是用导数解决问题时常用的方法．２．利用导数解决与方程、函数零点、不等式等问题时，常用到数形结合及转化与化归的数学思想．１．（２0１9·四川南充一诊）若函数f（x）＝x３＋x２—ax—４在区间（—１,１）内恰有一个极值点，则实数a的取值范围为（）Ａ．（１,５）Ｂ．[１,５）Ｃ．（１,５] Ｄ．（—∞，１）∪（５，＋∞）答案A解析由题意知f′（x）＝３x２＋２x—a＝0在区间（—１,１）内恰有一根（且在根两侧f′（x）异号）⇔f′（１）·f′（—１）＝（５—a）（１—a）<0⇔１<a<５．故选Ａ．２．（２0１9·湖北襄阳模拟）函数f（x）的定义域为R，f（—１）＝２，对任意x∈R，f′（x）>２，则f （x）>２x＋４的解集为（）Ａ．（—１,１）Ｂ．（—１，＋∞）Ｃ．（—∞，—１）Ｄ．（—∞，＋∞）答案B解析由f（x）>２x＋４，得f（x）—２x—４>0．设F（x）＝f（x）—２x—４，则F′（x）＝f′（x）—２．因为f′（x）>２，所以F′（x）>0在R上恒成立，所以F（x）在R上单调递增，而F（—１）＝f （—１）—２×（—１）—４＝２＋２—４＝0，故不等式f（x）—２x—４>0等价于F（x）>F（—１），所以x>—１．故选Ｂ．３．若函数f（x）＝x３—３x＋a有３个不同的零点，则实数a的取值范围是（）Ａ．（—２,２）Ｂ．[—２,２]Ｃ．（—∞，—１）Ｄ．（１，＋∞）答案A解析f′（x）＝３x２—３，令f′（x）＝0，∴x＝±１．三次方程f（x）＝0有３个根⇔f（x）极大值>0且f（x）极小值<0．∵x＝—１为极大值点，x＝１为极小值点．∴错误!∴—２<a<２．４．（２0１9·沈阳模拟）对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x—１）·f′（x）≥0，则必有（）Ａ．f（0）＋f（２）<２f（１）Ｂ．f（0）＋f（２）≤２f（１）Ｃ．f（0）＋f（２）≥２f（１）Ｄ．f（0）＋f（２）>２f（１）答案C解析由题设，f（x）为R上任意可导函数，不妨设f（x）＝（x—１）２，则f′（x）＝２（x—１），满足（x—１）·f′（x）＝２（x—１）２≥0，且f（0）＝１，f（１）＝0，f（２）＝１，则有f（0）＋f（２）>２f（１）；再设f（x）＝１，则f′（x）＝0，也满足（x—１）·f′（x）≥0，且有f（0）＋f（２）＝２f（１），即１＋１＝２×１．５．（２0１9·贵阳模拟）若关于x的不等式x３—３x２—9x＋２≥m对任意x∈[—２,２]恒成立，则m 的取值范围是（）Ａ．（—∞，7] Ｂ．（—∞，—２0]Ｃ．（—∞，0] Ｄ．[—１２,7]答案B解析令f（x）＝x３—３x２—9x＋２，则f′（x）＝３x２—6x—9，令f′（x）＝0，得x＝—１或３．因为f（—１）＝7，f（—２）＝0，f（２）＝—２0，所以f（x）的最小值为f（２）＝—２0，故m≤—２0．6．已知a≤错误!＋ln x对任意的x∈错误!恒成立，则a的最大值为________．答案0解析令f（x）＝错误!＋ln x，f′（x）＝错误!，当x∈错误!时，f′（x）<0，当x∈（１,２]时，f′（x）>0，∴f（x）min＝f（１）＝0，∴a≤0，故a的最大值为0．核心考向突破考向一导数与方程例１（２0１9·陕西汉中模拟）已知函数f（x）＝错误!（其中e≈２．7１8…为自然对数的底数）．（１）若F（x）＝f（x）—f（—x），求F（x）的单调区间；（２）若方程f（x）＝k错误!在（—２，＋∞）上有两个不同的实数根，求实数k的取值范围．解（１）由题意知，F（x）＝f（x）—f（—x）＝错误!—错误!，所以F′（x）＝错误!＋xex＝x错误!.当x<0时，ex—错误!<0，所以x错误!>0，即F′（x）>0，当x＝0时，F′（x）＝0，当x>0时，ex—错误!>0，即F′（x）>0，所以F′（x）≥0恒成立，当且仅当x＝0时等号成立，所以F（x）＝f（x）—f（—x）在R上单调递增，即F（x）的单调递增区间为（—∞，＋∞），无单调递减区间．（２）因为f（x）＝错误!，所以f′（x）＝错误!，当x<0时，f′（x）>0，当x＝0时，f′（x）＝0，当x>0时，f′（x）<0，故函数f（x）在（—∞，0）上单调递增，在（0，＋∞）上单调递减，所以f（x）在x＝0处取得最大值，且f（0）＝１，当x趋近于—∞时，f（x）趋近于—∞，当x趋近于＋∞时，f（x）趋近于0，故函数f（x）的大致图象如图所示，结合函数图象可知，当k≤0时，方程f（x）＝k错误!有且仅有一个实数根．当k>0时，设曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程为y—错误!＝—错误!（x—x0），且该直线过定点错误!，所以0—错误!＝—错误!错误!，解得x0＝—２（舍去）或x0＝—错误!，此时切线的斜率为错误!，数形结合可知，若方程f（x）＝k错误!在（—２，＋∞）上有两个不同的实数根，则实数k的取值范围是错误!.触类旁通研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极最值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.错误!即时训练１．已知函数f（x）＝错误!＋（１—a）ln x＋ax，g（x）＝错误!—（a＋１）ln x＋x２＋ax—t （a∈R，t∈R）．（１）讨论f（x）的单调性；（２）记h（x）＝f（x）—g（x），若函数h（x）在错误!上有两个零点，求实数t的取值范围．解（１）函数f（x）的定义域为（0，＋∞），f′（x）＝—错误!＋错误!＋a＝错误!＝错误!.当a＝0时，f′（x）＝错误!，令f′（x）>0，则x>１，令f′（x）<0，则0<x<１．所以函数f（x）在区间（0,１）上单调递减，在区间（１，＋∞）上单调递增．当a≠0时，f′（x）＝错误!，１当a>0时，x＋错误!>0，令f′（x）>0，则x>１，令f′（x）<0，则0<x<１，所以函数f（x）在区间（0,１）上单调递减，在区间（１，＋∞）上单调递增；２当a＝—１时，１＝—错误!，f′（x）＝错误!≤0，所以函数f（x）在定义域（0，＋∞）上单调递减；３当—１<a<0时，１<—错误!，令f′（x）>0，则１<x<—错误!，令f′（x）<0，则0<x<１或x>—错误!，所以函数f（x）在区间（0,１）和错误!上单调递减，在区间错误!上单调递增；４当a<—１时，１>—错误!，令f′（x）>0，则—错误!<x<１，令f′（x）<0，则0<x<—错误!或x>１，所以函数f（x）在区间错误!和（１，＋∞）上单调递减，在区间错误!上单调递增．综上，当a≥0时，函数f（x）在区间（0,１）上单调递减，在区间（１，＋∞）上单调递增；当a＝—１时，函数f（x）在定义域（0，＋∞）上单调递减；当—１<a<0时，函数f（x）在区间（0,１），错误!上单调递减，在区间错误!上单调递增；当a<—１时，函数f（x）在区间错误!，（１，＋∞）上单调递减，在区间错误!上单调递增．（２）h（x）＝f（x）—g（x）＝２ln x—x２＋t，定义域为（0，＋∞），则h′（x）＝错误!—２x＝错误!，当x∈错误!时，令h′（x）＝0，得x＝１，当错误!<x<１时，h′（x）>0；当１<x<e时，h′（x）<0，故h（x）在x＝１处取得极大值h（１）＝t—１．又h错误!＝t—２—错误!，h（e）＝t＋２—e２，所以h（x）在错误!上有两个零点的条件是错误!解得１<t≤２＋错误!，故实数t的取值范围是错误!.考向二导数与不等式角度错误!证明不等式例２（２0１9·银川模拟）已知函数f（x）＝（x＋b）（ex—a）（b>0）的图象在（—１，f（—１））处的切线方程为（e—１）x＋ey＋e—１＝0．（１）求a，b；（２）若m≤0，证明：f（x）≥mx２＋x.解（１）由题意知f（—１）＝0，f′（—１）＝—１＋错误!，所以f（—１）＝（—１＋b）错误!＝0，所以b＝１或a＝错误!，又f′（x）＝（x＋b＋１）ex—a，所以f′（—１）＝错误!—a＝—１＋错误!，若a＝错误!，则b＝２—e<0，与b>0矛盾，故a＝１，b＝１．（２）证法一：由（１）可知f（x）＝（x＋１）（ex—１），f（0）＝0，f（—１）＝0，由m≤0，可得x≥mx２＋x，令g（x）＝（x＋１）（ex—１）—x，则g′（x）＝（x＋２）ex—２，当x≤—２时，g′（x）＝（x＋２）ex—２≤—２<0，当x>—２时，令h（x）＝g′（x）＝（x＋２）ex—２，则h′（x）＝（x＋３）ex>0，故函数g′（x）在（—２，＋∞）上单调递增，又g′（0）＝0，综上，当x∈（—∞，0）时，g′（x）<0，当x∈（0，＋∞）时，g′（x）>0，所以函数g（x）在区间（—∞，0）上单调递减，在区间（0，＋∞）上单调递增，故g（x）≥g（0）＝0，所以（x＋１）（ex—１）≥x≥mx２＋x.故f（x）≥mx２＋x.证法二：由（１）可知f（x）＝（x＋１）（ex—１），f（0）＝0，f（—１）＝0，由m≤0，可得x≥mx ２＋x，令g（x）＝（x＋１）（ex—１）—x，则g′（x）＝（x＋２）ex—２，令t（x）＝g′（x），则t′（x）＝（x＋３）ex，当x<—３时，t′（x）<0，g′（x）单调递减，且g′（x）<0；当x>—３时，t′（x）>0，g′（x）单调递增，且g′（0）＝0．所以g（x）在（—∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增，且g（0）＝0．故g（x）≥g（0）＝0，所以（x＋１）（ex—１）≥x≥mx２＋x.故f（x）≥mx２＋x.触类旁通１利用导数方法证明不等式f x>g x在区间D上恒成立的基本方法是构造函数h x＝f x—g x，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数h x>0，其中一个重要技巧就是找到函数h x在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口.２若待证不等式两端式子较复杂，可通过分析法转化为形式较简单的不等式，再构造函数证明.即时训练２．（２0１9·石家庄模拟）已知函数f（x）＝λln x—e—x（λ∈R）．（１）若函数f（x）是单调函数，求λ的取值范围；（２）求证：当0<x１<x２时，e１—x２—e１—x１>１—错误!.解（１）函数f（x）的定义域为（0，＋∞），∵f（x）＝λln x—e—x，∴f′（x）＝错误!＋e—x＝错误!，∵函数f（x）是单调函数，∴f′（x）≤0或f′（x）≥0在（0，＋∞）上恒成立，１当函数f（x）是单调递减函数时，f′（x）≤0，∴错误!≤0，即λ＋xe—x≤0，λ≤—xe—x＝—错误!，令φ（x）＝—错误!，则φ′（x）＝错误!，当0<x<１时，φ′（x）<0，当x>１时，φ′（x）>0，则φ（x）在（0,１）上单调递减，在（１，＋∞）上单调递增，∴当x>0时，φ（x）min＝φ（１）＝—错误!，∴λ≤—错误!；２当函数f（x）是单调递增函数时，f′（x）≥0，∴错误!≥0，即λ＋xe—x≥0，λ≥—xe—x＝—错误!，由１得φ（x）＝—错误!在（0,１）上单调递减，在（１，＋∞）上单调递增，又φ（0）＝0，x→＋∞时，φ（x）<0，∴λ≥0．综上，λ≤—错误!或λ≥0．（２）证明：由（１）可知，当λ＝—错误!时，f（x）＝—错误!ln x—e—x在（0，＋∞）上单调递减，∵0<x１<x２，∴f（x１）>f（x２），即—错误!ln x１—e—x１>—错误!ln x２—e—x２，∴e１—x２—e１—x１>ln x１—ln x２．要证e１—x２—e１—x１>１—错误!，只需证ln x１—ln x２>１—错误!，即证ln 错误!>１—错误!，令t＝错误!，t∈（0,１），则只需证ln t>１—错误!，令h（t）＝ln t＋错误!—１，则当0<t<１时，h′（t）＝错误!<0，∴h（t）在（0,１）上单调递减，又h（１）＝0，∴h（t）>0，即ln t>１—错误!，得证．角度错误!不等式恒成立问题例３（２0１9·大连模拟）已知函数f（x）＝（x—１）ex—ax２（e是自然对数的底数）．（１）讨论函数f（x）的极值点的个数，并说明理由；（２）若对任意的x>0，f（x）＋ex≥x３＋x，求实数a的取值范围．解（１）f′（x）＝xex—２ax＝x（ex—２a）．当a≤0时，由f′（x）<0得x<0，由f′（x）>0得x>0，∴f（x）在（—∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增，∴f（x）有１个极值点；当0<a<错误!时，由f′（x）>0得x<ln ２a或x>0，由f′（x）<0得0>x>ln ２a，∴f（x）在（—∞，ln ２a）上单调递增，在（ln ２a,0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增，∴f（x）有２个极值点；当a＝错误!时，由f′（x）≥0，∴f（x）在R上单调递增，∴f（x）没有极值点；当a>错误!时，由f′（x）>0得x<0或x>ln ２a，由f′（x）<0得0<x<ln ２a，∴f（x）在（—∞，0）上单调递增，在（0，ln ２a）上单调递减，在（ln ２a，＋∞）上单调递增，∴f（x）有２个极值点．综上，当a≤0时，f（x）有１个极值点；当a>0且a≠错误!时，f（x）有２个极值点；当a＝错误!时，f （x）没有极值点．（２）由f（x）＋ex≥x３＋x得xex—x３—ax２—x≥0．当x>0时，ex—x２—ax—１≥0，即a≤错误!对任意的x>0恒成立．设g（x）＝错误!，则g′（x）＝错误!.设h（x）＝ex—x—１，则h′（x）＝ex—１．∵x>0，∴h′（x）>0，∴h（x）在（0，＋∞）上单调递增，∴h（x）>h（0）＝0，即ex>x＋１，∴g（x）在（0,１）上单调递减，在（１，＋∞）上单调递增，∴g（x）≥g（１）＝e—２，∴a≤e—２，所以实数a的取值范围为（—∞，e—２]．触类旁通不等式恒成立问题的求解策略（１）已知不等式f（x，λ）≥0（λ为实参数）对任意的x∈D恒成立，求参数λ的取值范围．利用导数解决此类问题可以运用分离参数法，其一般步骤如下：第一步：将原不等式f（x，λ）≥0（x∈D，λ为实参数）分离，使不等式的一边是参数，另一边不含参数，即化为f１（λ）≥f２（x）或f１（λ）≤f２（x）的形式；第二步：利用导数求出函数f２（x）（x∈D）的最大（小）值；第三步：解不等式f１（λ）≥f２（x）max或f１（λ）≤f２（x）min，从而求出参数λ的取值范围．２如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法a>0，Δ<0或a<0，Δ<0求解.即时训练３．已知函数f（x）＝２（x—１）ln x＋a错误!，其中a∈R.（１）当a＝0时，求函数f（x）的单调区间；（２）若对于任意x>0，f（x）≤0恒成立，求实数a的取值范围．解（１）f′（x）＝２错误!，令g（x）＝２错误!，则g′（x）＝２错误!>0，所以可得g（x）单调递增，即f′（x）单调递增，而f′（１）＝0，则在区间（0,１）上，f′（x）<0，函数f（x）单调递减；在区间（１，＋∞）上，f′（x）>0，函数f（x）单调递增．所以当a＝0时，函数f（x）的单调递减区间为（0,１），单调递增区间为（１，＋∞）．（２）f（x）＝（x—１）错误!，令h（x）＝２ln x＋a·错误!，可知h（１）＝0，h′（x）＝错误!（x>0），令φ（x）＝ax２＋２x＋a，１当a≤—１时，结合φ（x）对应二次函数的图象可知，h′（x）≤0，所以函数h（x）单调递减．又h（１）＝0，所以当x∈（0,１）时，h（x）>0，当x∈（１，＋∞）时，h（x）<0，可知当x∈（0，＋∞）时，f（x）≤0，符合题意．２当a≥0时，结合φ（x）对应二次函数的图象可知，h′（x）>0，h（x）单调递增．又h（１）＝0，所以当x∈（0,１）时，h（x）<0，当x∈（１，＋∞）时，h（x）>0，可知当x∈（0，＋∞）时，f（x）≤0不恒成立．３当—１<a<0时，研究函数φ（x）＝ax２＋２x＋a，可知φ（１）>0，其图象的对称轴x＝—错误!>１，那么φ（x）在区间错误!上大于0，即h′（x）在区间错误!上大于0，所以h（x）在区间错误!上单调递增，此时h（x）>h（１）＝0，可知当x∈（１，＋∞）时，f（x）>0，不符合题意．综上，可知符合题意的实数a的取值范围为（—∞，—１]．角度错误!赋值法证明正整数不等式例４（２0１7·全国卷Ⅲ）已知函数f（x）＝x—１—aln x.（１）若f（x）≥0，求a的值；（２）设m为整数，且对于任意正整数n，错误!错误!·…·错误!＜m，求m的最小值．解（１）f（x）的定义域为（0，＋∞），１若a≤0，因为f错误!＝—错误!＋aln ２＜0，所以不满足题意．２若a＞0，由f′（x）＝１—错误!＝错误!知，当x∈（0，a）时，f′（x）＜0；当x∈（a，＋∞）时，f′（x）＞0．所以f（x）在（0，a）单调递减，在（a，＋∞）单调递增．故x＝a是f（x）在（0，＋∞）上的唯一最小值点．因为f（１）＝0，所以当且仅当a＝１时，f（x）≥0，故a＝１．（２）由（１）知当x∈（１，＋∞）时，x—１—ln x＞0．令x＝１＋错误!，得ln错误!＜错误!，从而ln错误!＋ln错误!＋…＋ln错误!＜错误!＋错误!＋…＋错误!＝１—错误!＜１．故错误!错误!·…·错误!＜e.而错误!错误!错误!＞２，所以m的最小值为３．触类旁通证明正整数不等式时，要把这些正整数放在正实数的范围内，通过构造正实数的函数进行证明，而不能直接构造正整数的函数，因为这样的函数不是可导函数，对其求导就是错误的.本例２就是利用了１问的结论，构造了函数的不等关系，再对其中的自变量赋值，令，可得到解题的基本思路.即时训练４．（２0１9·合肥模拟）已知函数f（x）＝ln x—ax＋１．（１）若曲线y＝f（x）在点A（１，f（１））处的切线l与直线４x＋３y—３＝0垂直，求a的值；（２）若f（x）≤0恒成立，试确定实数a的取值范围；（３）证明：ln （n＋１）>错误!＋错误!＋…＋错误!（n∈N*）．解（１）函数f（x）的定义域为（0，＋∞），f′（x）＝错误!—a，f（１）＝ln １—a＋１＝１—a，f′（１）＝１—Ａ．故切线l的方程为y—（１—a）＝（１—a）（x—１），即y＝（１—a）x.因为切线l与直线４x＋３y—３＝0垂直，所以４×（１—a）＋３×（—１）＝0，解得a＝错误!.（２）若a≤0，则f′（x）＝错误!—a>0，所以f（x）在（0，＋∞）上是增函数．而f（１）＝１—a>0，f（x）≤0不恒成立．若a>0，则当x∈错误!时，f′（x）＝错误!—a>0；当x∈错误!时，f′（x）＝错误!—a<0．所以f（x）在错误!上是增函数，在错误!上是减函数．所以f（x）的最大值为f错误!＝—ln Ａ．要使f（x）≤0恒成立，则—ln a≤0，所以a≥１．故实数a的取值范围是[１，＋∞）．（３）证明：由（２）知，当a＝１时有f（x）≤0在（0，＋∞）上恒成立，且f（x）在（0,１）上是增函数，f（１）＝0，所以ln x<x—１在x∈（0,１）上恒成立．令x＝错误!，则ln 错误!＜错误!—１＝—错误!，令n＝１,２，…，n，则有ln 错误!＜—错误!，ln 错误!＜—错误!，ln错误!＜—错误!，…，ln 错误!＜—错误!，以上各不等式两边分别相加，得ln 错误!＋ln 错误!＋…＋ln 错误!＜—错误!，即ln 错误!＜—错误!，故ln （n＋１）＞错误!＋错误!＋…＋错误!（n∈N*）．考向三导数与优化问题例５（２0１8·江苏高考）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为４0米，点P到MN的距离为５0米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求A，B均在线段MN上，C，D均在圆弧上．设OC与MN所成的角为θ.（１）用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sinθ的取值范围；（２）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为４∶３．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．解（１）设PO的延长线交MN于H，则PH⊥MN，所以OH＝１0米．过O作OE⊥BC于E，则OE∥MN，所以∠COE＝θ，故OE＝４0cosθ米，EC＝４0sinθ米，则矩形ABCD的面积为２×４0cosθ（４0sinθ＋１0）＝800（４sinθcosθ＋cosθ）平方米，△CDP的面积为错误!×２×４0cosθ（４0—４0sinθ）＝１600（cosθ—sinθcosθ）平方米．过N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK＝KN＝１0米．令∠GOK＝θ0，则sinθ0＝错误!，θ0∈错误!.当θ∈错误!时，才能作出满足条件的矩形ABCD，所以sinθ的取值范围是错误!.答：矩形ABCD的面积为800（４sinθcosθ＋cosθ）平方米，△CDP的面积为１600（cosθ—sinθcosθ）平方米，sinθ的取值范围是错误!.（２）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为４∶３，所以设甲的单位面积的年产值为４k，乙的单位面积的年产值为３k（k>0）．则年总产值为４k×800（４sinθcosθ＋cosθ）＋３k×１600×（cosθ—sinθcosθ）＝8000k（sinθcosθ＋cosθ），θ∈错误!.设f（θ）＝sinθcosθ＋cosθ，θ∈错误!.则f′（θ）＝cos２θ—sin２θ—sinθ＝—（２sin２θ＋sinθ—１）＝—（２sinθ—１）（sinθ＋１），令f′（θ）＝0，得θ＝错误!，当θ∈错误!时，f′（θ）>0，所以f（θ）为增函数；当θ∈错误!时，f′（θ）<0，所以f（θ）为减函数，因此，当θ＝错误!时，f（θ）取到最大值．答：当θ＝错误!时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．触类旁通利用导数解决生活中优化问题的方法求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合．用导数求解实际问题中的最大（小）值时，如果函数在开区间内只有一个极值点，该极值点也就是最值点．即时训练５．（２0１9·山东潍坊模拟）在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根据以往经验，潜水员下潜的平均速度为v（米/单位时间），每单位时间的用氧量为错误!（升），在水底作业１0个单位时间，每单位时间用氧量为0．9（升），返回水面的平均速度为错误!（米/单位时间），每单位时间用氧量为１．５（升），记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y（升）．（１）求y关于v的函数关系式；（２）若c≤v≤１５（c>0），求当下潜速度v取什么值时，总用氧量最少．解（１）由题意，下潜用时错误!（单位时间），用氧量为错误!×错误!＝错误!＋错误!（升）；水底作业时的用氧量为１0×0．9＝9（升）；返回水面用时错误!＝错误!（单位时间），用氧量为错误!×１．５＝错误!（升），∴总用氧量y＝错误!＋错误!＋9（v>0）．（２）y′＝错误!—错误!＝错误!，令y′＝0得v＝１0错误!.当0<v<１0错误!时，y′<0，函数单调递减；当v>１0错误!时，y′>0函数单调递增．∴当0<c<１0错误!时，函数在（c,１0错误!）上单调递减，在（１0错误!，１５）上单调递增，∴当v＝１0错误!时，总用氧量最少；当c≥１0错误!时，函数在[c,１５]上单调递增，此时v＝c时，总用氧量最少．综上可知，当0<c<１0错误!，v＝１0错误!时，总用氧量最少；当c≥１0错误!，v＝c时，总用氧量最少．（２0１9·兰州模拟）设f（x）＝错误!＋xln x，g（x）＝x３—x２—３．（１）如果存在x１，x２∈[0,２]使得g（x１）—g（x２）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；（２）如果对于任意的s，t∈错误!，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围．解（１）存在x１，x２∈[0,２]使得g（x１）—g（x２）≥M成立，等价于[g（x１）—g（x２）]max≥M.由g（x）＝x３—x２—３，得g′（x）＝３x２—２x＝３x错误!.由g′（x）＞0得x＜0或x＞错误!，又x∈[0,２]，所以g（x）在错误!上是单调递减函数，在错误!上是单调递增函数，所以g（x）min＝g错误!＝—错误!，g（x）max＝g（２）＝１．故[g（x１）—g（x２）]max＝g（x）max—g（x）min＝错误!≥M，则满足条件的最大整数M＝４．（２）对于任意的s，t∈错误!，都有f（s）≥g（t）成立，等价于在错误!上，函数f（x）min≥g（x）max.由（１）可知在错误!上，g（x）的最大值为g（２）＝１．在错误!上，f（x）＝错误!＋xln x≥１恒成立等价于a≥x—x２ln x恒成立．设h（x）＝x—x２ln x，则h′（x）＝１—２xln x—x，令φ（x）＝１—２xln x—x，φ′（x）＝—（２ln x＋３），当x∈错误!时，φ′（x）<0，可知h′（x）在错误!上是减函数，又h′（１）＝0，所以当１＜x＜２时，h′（x）＜0；当错误!＜x＜１时，h′（x）＞0．即函数h（x）＝x—x２ln x在错误!上单调递增，在[１,２]上单调递减，所以h（x）max＝h（１）＝１，即实数a的取值范围是[１，＋∞）．答题启示双参数不等式问题的求解方法一般采用等价转化法．（１）∀x１∈[a，b]，∀x２∈[c，d]，使f１（x１）>f２（x２）⇔[f１（x１）]min>[f２（x２）]max.（２）∃x１∈[a，b]，∃x２∈[c，d]，使f１（x１）>f２（x２）⇔[f１（x１）]max>[f２（x２）]min.（３）∀x１∈[a，b]，∃x２∈[c，d]，使f１（x１）>f２（x２）⇔[f１（x１）]min>[f２（x２）]min.（４）∃x１∈[a，b]，∀x２∈[c，d]，使f１（x１）>f２（x２）⇔[f１（x）]max>[f２（x）]max.（５）∃x１∈[a，b]，x２∈[c，d]，使f１（x１）＝f２（x２）⇔f１（x）的值域与f２（x）的值域交集不为∅.对点训练已知函数f（x）＝ln x—ax＋错误!—１（a∈R）．（１）当a＝１时，证明：f（x）≤—２；（２）设g（x）＝x２—２bx＋４，当a＝错误!时，若∀x１∈（0,２），∃x２∈[１,２]，f（x１）≥g（x ２），求实数b的取值范围．解（１）当a＝１时，f（x）＝ln x—x—１，则f′（x）＝错误!—１，所以当x∈（0,１）时，f′（x）>0，当x∈（１，＋∞）时，f′（x）<0，所以f（x）在（0,１）上单调递增，在（１，＋∞）上单调递减，所以f（x）max＝f（１）＝—２，故f（x）≤—２．（２）依题意得f（x）在（0,２）上的最小值不小于g（x）在[１,２]上的最小值，即f（x）min≥g（x）min.当a＝错误!时，f（x）＝ln x—错误!x＋错误!—１，所以f′（x）＝错误!—错误!—错误!＝—错误!，当0<x<１时，f′（x）<0，当１<x<２时，f′（x）>0，所以f（x）在（0,１）上单调递减，在（１,２）上单调递增，所以当x∈（0,２）时，f（x）min＝f（１）＝—错误!.又g（x）＝x２—２bx＋４，x∈[１,２]，１当b<１时，易得g（x）min＝g（１）＝５—２b，则５—２b≤—错误!，解得b≥错误!，这与b<１矛盾；２当１≤b≤２时，易得g（x）min＝g（b）＝４—b２，则４—b２≤—错误!，所以b２≥错误!，这与１≤b≤２矛盾；３当b>２时，易得g（x）min＝g（２）＝8—４b，则8—４b≤—错误!，解得b≥错误!.综上，实数b的取值范围是错误!.。

第三章导数及其应用第一节变化率与导数、导数的计算突破点(一)导数的运算1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率li m Δx →ΔyΔx ＝li m Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝li m Δx →ΔyΔx ＝li m Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.2．函数f (x )的导函数称函数f ′(x )＝li m Δx →f (x ＋Δx )－f (x )Δx为f (x )的导函数．3．基本初等函数的导数公式原函数sin x cos x a x (a >0)e x log a x (a >0，且a ≠1)ln x 导函数cos x－sin_xa x ln_ae x1x ln a1x(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．5．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.已知函数的解析式求导数本节主要包括2个知识点：1.导数的运算；2.导数的几何意义.[例1]求下列函数的导数：(1)y＝(1－x(2)y＝ln xx；(3)y＝tan x；(4)y＝3x e x－2x＋e；(5)y＝ln(2x＋3)x2＋1.[解](1)∵y＝(1－x＝1x－x＝x－12－x12，∴y′＝(x－12)′－(x12)′＝－12x－32－12x－12.(2)y′＝(ln x)′x－x′ln xx2＝1x·x－ln xx2＝1－ln x x2.(3)y′＝(sin x)′cos x－sin x(cos x)′cos2x＝cos x cos x－sin x(－sin x)cos2x＝1 cos2x.(4)y′＝(3x e x)′－(2x)′＋(e)′＝(3x)′e x＋3x(e x)′－(2x)′＝3x(ln3)·e x＋3x e x－2x ln2＝(ln3＋1)·(3e)x－2x ln2.(5)y′＝[ln(2x＋3)]′(x2＋1)－ln(2x＋3)(x2＋1)′(x2＋1)2＝(2x＋3)′2x＋3·(x2＋1)－2x ln(2x＋3)(x2＋1)2＝2(x2＋1)－2x(2x＋3)ln(2x＋3)(2x＋3)(x2＋1)2.[方法技巧]导数的运算方法(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导．(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导．(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导．(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导．(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导．(6)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导．导数运算的应用[例2](1)(2016·济宁二模)已知函数f(x)＝x(2017＋ln x)，f′(x0)＝2018，则x0＝() A．e2B．1C．ln2D．e(2)已知f(x)＝12x2＋2xf′(2017)＋2017ln x，则f′(1)＝________.[解析](1)由题意可知f′(x)＝2017＋ln x＋x·1x＝2018＋ln x．由f′(x0)＝2018，得ln x0＝0，解得x0＝1.(2)由题意得f′(x)＝x＋2f′(2017)＋2017x，所以f′(2017)＝2017＋2f′(2017)＋2017 2017，即f′(2017)＝－(2017＋1)＝－2018.故f′(1)＝1＋2×(－2018)＋2017＝－2018.[答案](1)B(2)－2018[方法技巧]对抽象函数求导的解题策略在求导问题中，常涉及一类解析式中含有导数值的函数，即解析式类似为f(x)＝f′(x0)x ＋sin x＋ln x(x0为常数)的函数，解决这类问题的关键是明确f′(x0)是常数，其导数值为0.因此先求导数f′(x)，令x＝x0，即可得到f′(x0)的值，进而得到函数解析式，求得所求的导数值．1.[考点一](2017·杭州五校联考)已知y＝2017，则y′＝()A.1 22017B．－122017C.20172017D．0解析：选D因为常数的导数为0，又y＝2017是常数函数，所以y′＝0.2.[考点二](2016·大同二模)已知函数f(x)＝x sin x＋ax，且f1，则a＝() A．0B．1C．2D．4解析：选A∵f′(x)＝sin x＋x cos x＋a，且f1，∴sin π2＋π2cosπ2＋a＝1，即a＝0.3.[考点二](2017·苏州重点中学月考)已知函数f(x)的导数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则f′(2)的值等于()A．－2B．2C．－94D.9 4解析：选C因为f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，所以f′(x)＝2x＋3f′(2)＋1x，所以f′(2)＝2×2＋3f′(2)＋12，解得f′(2)＝－94.故选C.4.[考点二]在等比数列{a n}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)，则f′(0)的值为________．解析：因为f′(x)＝x′·[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]＋[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]′·x＝(x －a1)·(x－a2)·…·(x－a8)＋[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]′·x，所以f′(0)＝(0－a1)(0－a2)·…·(0－a8)＋0＝a1a2·…·a8.又数列{a n}为等比数列，所以a2a7＝a3a6＝a4a5＝a1a8＝8，所以f′(0)＝84＝4096.答案：40965.[考点一]求下列函数的导数．(1)y＝x2sin x；(2)y＝ln x＋1x；(3)y＝cos xe x；(4)y＝xx x解：(1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2x sin x＋x2cos x.(2)y ′x ＝(ln x )′＝1x －1x2.(3)y ′＝(cos x )′e x －cos x (e x )′(e x )2＝－sin x ＋cos x e x .(4)∵y ＝x x x ＝12x sin(4x ＋π)＝－12x sin 4x ，∴y ′＝－12sin 4x －12x ·4cos 4x＝－12sin 4x －2x cos 4x .突破点(二)导数的几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．特别地，如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，y 0)处的切线垂直于x 轴，则此时导数f ′(x 0)不存在，由切线定义可知，切线方程为x ＝x 0.求切线方程[例1]已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4.(1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．[解](1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，∴曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(－2)＝x －2，即x －y －4＝0.(2)设切点坐标为(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)，又切线过点(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)，整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x0＝2或x0＝1，∴经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0.[方法技巧]求切点坐标[例2](2017·湖州模拟)设曲线y＝e x在点(0,1)处的切线与曲线y＝1x(x＞0)上点P处的切线垂直，则点P的坐标为________．[解析]y＝e x的导数为y′＝e x，则曲线y＝e x在点(0,1)处的切线斜率k1＝e0＝1.y＝1x(x＞0)的导数为y′＝－1x2(x＞0)，设P(m，n)，则曲线y＝1x(x＞0)在点P处的切线斜率k2＝－1m2(m＞0)．因为两切线垂直，所以k1k2＝－1，所以m＝1，n＝1，则点P的坐标为(1,1)．[答案](1,1)求参数的值[例3]直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b的值等于() A．2B．－1C．1D．－2[解析]依题意知，y ′＝3x 2＋a ，3＋a ×1＋b ＝3，×12＋a ＝k ，×1＋1＝3，＝－1，＝3，＝2，所以2a ＋b ＝1，选C.[答案]C[方法技巧]根据导数的几何意义求参数值的思路根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P (x 0，y 0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解．1.[考点一](2017·杭州质量预测)已知f (x )＝2e x sin x ，则曲线f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为()A ．y ＝0B ．y ＝2xC ．y ＝xD ．y ＝－2x解析：选B∵f (x )＝2e x sin x ，∴f (0)＝0，f ′(x )＝2e x (sin x ＋cos x )，∴f ′(0)＝2，∴曲线f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝2x .2.[考点三]曲线f (x )＝x 2＋a x ＋1在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为3π4，则实数a ＝()A ．1B ．－1C ．7D ．－7解析：选C f ′(x )＝2x (x ＋1)－(x 2＋a )(x ＋1)2＝x 2＋2x －a (x ＋1)2，∵f ′(1)＝tan 3π4＝－1，即3－a 4＝－1，∴a ＝7.3.[考点二]在平面直角坐标系xOy 中，点M 在曲线C ：y ＝x 3－x +1上，且在第二象限内，已知曲线C 在点M 处的切线的斜率为2，则点M 的坐标为________．解析：由y ′＝3x 2－1＝2，得x ＝±1，又点M 在第二象限内，故x ＝－1，此时y ＝1，故点M 的坐标为(－1,1)．答案：(－1,1)4.[考点三](2017·衡阳八中模拟)已知函数f (x )＝a x ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a >0且a ≠1，f ′(x )为f (x )的导函数，若f ′(1)＝3，则a 的值为________．解析：因为f (x )＝a x ln x ，所以f ′(x )＝ln a ·a x ln x ＋a xx .又f ′(1)＝3，所以a ＝3.答案：35.[考点二]若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．解析：由题意得y ′＝ln x ＋x ·1x＝1＋lnx ，直线2x －y ＋1＝0的斜率为2.设P (m ，n )，则1＋ln m ＝2，解得m ＝e ，所以n ＝eln e ＝e ，即点P 的坐标为(e ，e)．答案：(e ，e)6.[考点一]如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，其中g ′(x )是g (x )的导函数，则曲线g (x )在x ＝3处的切线方程为________．解析：由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，即f ′(3)＝－13.又因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由题图可知f (3)＝1，所以g (3)＝3f (3)＝3，g ′(3)＝1＋30.则曲线g (x )在x ＝3处的切线方程为y －3＝0.答案：y －3＝0[课时达标检测]重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考[练基础小题——强化运算能力]1．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为()A ．2(x 2－a 2)B ．2(x 2＋a 2)C ．3(x 2－a 2)D ．3(x 2＋a 2)解析：选C∵f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2＝x 3－3a 2x ＋2a 3，∴f ′(x )＝3(x 2－a 2)．2．曲线y ＝sin x ＋e x 在点(0,1)处的切线方程是()A ．x －3y ＋3＝0B ．x －2y ＋2＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．3x －y ＋1＝0解析：选C∵y ＝sin x ＋e x ，∴y ′＝cos x ＋e x ，∴y ′|x ＝0＝cos 0＋e 0＝2，∴曲线y ＝sin x ＋e x 在点(0,1)处的切线方程为y －1＝2(x －0)，即2x －y ＋1＝0.3．(2016·绍兴二模)给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，f″(x)是函数f′(x)的导函数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．已知函数f(x)＝3x＋4sin x－cos x的拐点是M(x0，f(x0))，则点M()A．在直线y＝－3x上B．在直线y＝3x上C．在直线y＝－4x上D．在直线y＝4x上解析：选B f′(x)＝3＋4cos x＋sin x，f″(x)＝－4sin x＋cos x，由题可知f″(x0)＝0，即4sin x0－cos x0＝0，所以f(x0)＝3x0，故M(x0，f(x0))在直线y＝3x上．故选B.4．(2016·宁波一模)曲线y＝x e x在点(1，e)处的切线与直线ax＋by＋c＝0垂直，则ab的值为()A．－12e B．－2eC.2eD.12e解析：选D y′＝e x＋x e x，则y′|x＝1＝2e.∵曲线在点(1，e)处的切线与直线ax＋by＋c＝0垂直，∴－ab＝－12e，∴ab＝12e，故选D.5．曲线f(x)＝e x在x＝0处的切线与曲线g(x)＝ax2－a(a≠0)相切，则a＝________，切点坐标为________．解析：曲线f(x)在x＝0处的切线方程为y＝x＋1.设其与曲线g(x)＝ax2－a相切于点(x0，ax20－a)．则g′(x0)＝2ax0＝1，且ax20－a＝x0＋1.解得x0＝－1，a＝－12，切点坐标为(－1,0)．答案：－12(－1,0)答案：e2[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．(2017·苏州模拟)已知函数f(x)＝1xcos x，则f(π)＋f()A．－3π2B．－1π2C．－3πD．－1π解析：选C由题可知，f(π)＝－1π，f′(x)＝－1x2cos x＋1x(－sin x)，则f(π)＋f1π＋2π×(－1)＝－3π.2．设曲线y ＝1＋cos xsin x 在点x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于()A ．－1 B.12C ．－2D ．2解析：选A∵y ′＝－1－cos x sin 2x，∴y ′x ＝π2＝－1，由条件知1a ＝－1，∴a ＝－1.3．(2017·金华模拟)若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2距离的最小值为()A ．1 B.2C.22D.3解析：选B由题可得，y ′＝2x －1x.因为y ＝x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，所以由2x－1x ＝1，得x ＝1，则P 点坐标为(1,1)，所以曲线在点P 处的切线方程为x －y ＝0，所以两平行线间的距离为d ＝22＝2，即点P 到直线y ＝x －2距离的最小值为 2.4．(2016·南昌二中模拟)设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，P 点处切线倾斜角α的取值范围为()A.0∪5π6，B.2π3，C.0∪2π3，，5π6解析：选C因为y ′＝3x 2－3≥－3，故切线斜率k ≥－3，所以切线倾斜角α的取值范围是02π3，5．(2017·台州测试)已知函数f (x )＝2e x ＋1＋sin x ，其导函数为f ′(x )，则f (2017)＋f (－2017)＋f ′(2017)－f ′(－2017)的值为()A ．0B ．2C ．2017D ．－2017解析：选B∵f (x )＝2e x ＋1＋sin x ，∴f ′(x )＝－2e x (e x ＋1)2＋cos x ，f (x )＋f (－x )＝2e x ＋1＋sin x ＋2e －x ＋1＋sin(－x )＝2，f ′(x )－f ′(－x )＝－2e x(e x ＋1)2＋cos x ＋2e －x (e －x ＋1)2－cos(－x )＝0，∴f (2017)＋f (－2017)＋f ′(2017)－f ′(－2017)＝2.6．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为()A ．－1B ．－3C ．－4D ．－2。

第三章导数及其应用知识点最新考纲变化率与导数、导数的计算了解导数的概念与实际背景，理解导数的几何意义．会用基本初等函数的导数公式表和导数运算法则求函数的导数，并能求简单的复合函数的导数(限于形如f(ax＋b)的导数).导数在研究函数中的应用了解函数单调性和导数的关系，能用导数求函数的单调区间．理解函数极值的概念及函数在某点取到极值的条件，会用导数求函数的极大(小)值，会求闭区间上函数的最大(小)值.1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率lim Δx→0f（x0＋Δx）－f（x0）Δx＝limΔx→0ΔyΔx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f（x0＋Δx）－f（x0）Δx.(2)导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x －x0)．(3)函数f(x)的导函数称函数f′(x)＝limΔx→0f（x＋Δx）－f（x）Δx为f(x)的导函数．2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0f(x)＝x n(n∈Q*)f′(x)＝nx n－1(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2(g (x )≠0)．4．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f ′(x 0)与[f (x 0)]′表示的意义相同．( ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)再求f ′(x 0)．( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( ) (5)函数f (x )＝sin(－x )的导数是f ′(x )＝cos x ．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× [教材衍化]1．(选修2－2P65A 组T2(1)改编)函数y ＝x cos x －sin x 的导数为( ) A ．x sin x B ．－x sin x C ．x cos xD ．－x cos x解析：选B.y ′＝x ′cos x ＋x (cos x )′－(sin x )′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sinx .2．(选修2－2P18A 组T6改编)曲线y ＝1－2x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为________．解析：因为y ′＝2（x ＋2）2，所以y ′|x ＝－1＝2.故所求切线方程为2x －y ＋1＝0. 答案：2x －y ＋1＝03．(选修2－2P7例2改编)有一机器人的运动方程为s ＝t 2＋3t(t 是时间，s 是位移)，则该机器人在t ＝2时的瞬时速度为________．解析：因为s ＝t 2＋3t ，所以s ′＝2t －3t2，所以s ′|t ＝2＝4－34＝134.答案：134[易错纠偏](1)求导时不能掌握复合函数的求导法则致误； (2)不会用方程法解导数求值．1．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，则f ′(x )＝________． 解析：f ′(x )＝[sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3]′＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3′＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 答案：2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π32．设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x ＋cos x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________．解析：因为f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x ＋cos x ，所以f ′(x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos x －sin x ， 所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos π2－sin π2，即f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1，所以f (x )＝－sin x ＋cos x ，f ′(x )＝－cos x －sin x .故f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－cos π4－sin π4＝－ 2. 答案：－ 2导数的计算求下列函数的导数：(1)y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1)；(2)y ＝x 2sin x ； (3)y ＝3x e x －2x＋e ；(4)y ＝ln(2x －5)．【解】 (1)因为y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1)＝6x 3＋3x 2－8x 2－4x ＝6x 3－5x 2－4x ，所以y ′＝18x 2－10x －4.(2)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . (3)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋e ′＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x)′ ＝3x e x ln 3＋3x e x －2x ln 2＝(ln 3＋1)·(3e)x －2xln 2. (4)令u ＝2x －5，y ＝ln u ，则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5·2＝22x －5.[提醒] 求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．1．已知f (x )＝x (2 017＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 018，则x 0＝( ) A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e解析：选B.因为f (x )＝x (2 017＋ln x )， 所以f ′(x )＝2 017＋ln x ＋1＝2 018＋ln x ， 又f ′(x 0)＝2 018， 所以2 018＋ln x 0＝2 018， 所以x 0＝1.2．求下列函数的导数： (1)y ＝x n e x；(2)y ＝cos x sin x ；(3)y ＝e xln x ；(4)y ＝(1＋sin x )2. 解：(1)y ′＝nxn －1e x＋x n e x ＝xn －1e x(n ＋x )．(2)y ′＝－sin 2x －cos 2x sin 2x ＝－1sin 2x .(3)y ′＝e x ln x ＋e x·1x＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋ln x .(4)y ′＝2(1＋sin x )·(1＋sin x )′ ＝2(1＋sin x )·cos x .导数的几何意义(高频考点)导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题也有填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，属中低档题．主要命题角度有：(1)求切线方程；(2)已知切线方程(或斜率)求切点坐标； (3)已知切线方程(或斜率)求参数值． 角度一 求切线方程(1)曲线y ＝x 2＋1x在点(1，2)处的切线方程为____________________．(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为________．【解析】 (1)因为y ′＝2x －1x2，所以在点(1，2)处的切线方程的斜率为y ′|x ＝1＝2×1－112＝1， 所以切线方程为y －2＝x －1，即y ＝x ＋1. (2)因为点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， 所以设切点为(x 0，y 0)． 又因为f ′(x )＝1＋ln x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝（1＋ln x 0）x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.所以切点为(1，0)，所以f ′(1)＝1＋ln 1＝1. 所以直线l 的方程为y ＝x －1. 【答案】 (1)y ＝x ＋1 (2)y ＝x －1 角度二 已知切线方程(或斜率)求切点坐标若曲线y ＝e－x上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．【解析】 设P (x 0，y 0)，因为y ＝e －x， 所以y ′＝－e －x，所以点P 处的切线斜率为k ＝－e －x 0＝－2， 所以－x 0＝ln 2，所以x 0＝－ln 2， 所以y 0＝eln 2＝2，所以点P 的坐标为(－ln 2，2)． 【答案】 (－ln 2，2)角度三 已知切线方程(或斜率)求参数值(1)(2020·宁波调研)直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1，3)，则2a ＋b 的值等于( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2(2)(2020·绍兴调研)若直线y ＝ax 是曲线y ＝2ln x ＋1的一条切线，则实数a ＝________．【解析】 (1)依题意知，y ′＝3x 2＋a ，则⎩⎪⎨⎪⎧13＋a ＋b ＝3，3×12＋a ＝k ，k ＋1＝3，由此解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，k ＝2，所以2a ＋b ＝1，选C.(2)依题意，设直线y ＝ax 与曲线y ＝2ln x ＋1的切点的横坐标为x 0，则有y ′|x ＝x 0＝2x 0，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2x 0ax 0＝2ln x 0＋1，解得x 0＝e ，a ＝2x 0＝2e －12.【答案】 (1)C (2)2e －12(1)求曲线切线方程的步骤①求出函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数，即曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的斜率；②由点斜式方程求得切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)·(x －x 0)． (2)求曲线的切线方程需注意两点①当曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线垂直于x 轴(此时导数不存在)时，切线方程为x ＝x 0；②当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解．1．(2020·杭州七校联考)曲线y ＝e 12x 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.92e 2B ．4e 2C ．2e 2D ．e 2解析：选D.因为y ′＝12e 12x ，所以k ＝12e 12×4＝12e 2，所以切线方程为y －e 2＝12e 2(x －4)，令x ＝0，得y ＝－e 2，令y ＝0，得x ＝2，所以所求面积为S ＝12×2×|－e 2|＝e 2.2．已知函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x(其中e 是自然对数的底数，a ∈R )，若f (x )在(0，f (0))处的切线与直线x ＋y －1＝0垂直，则a ＝________．解析：f ′(x )＝(x 2＋ax －1)′e x ＋(x 2＋ax －1)(e x )′＝(2x ＋a )e x ＋(x 2＋ax －1)e x ＝[x 2＋(a ＋2)x ＋(a －1)]e x，故f ′(0)＝[02＋(a ＋2)×0＋(a －1)]e 0＝a －1.因为f (x )在(0，f (0))处的切线与直线x ＋y －1＝0垂直，故f ′(0)＝1，即a －1＝1，解得a ＝2.答案：23．(2020·台州高三月考)已知曲线f (x )＝xn ＋1(n ∈N *)与直线x ＝1交于点P ，设曲线y＝f (x )在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为x n ，则log 2 018x 1＋log 2 018x 2＋…＋log 2 018x 2 017的值为________．解析：f ′(x )＝(n ＋1)x n，k ＝f ′(1)＝n ＋1，点P (1，1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得x ＝1－1n ＋1＝n n ＋1，即x n ＝nn ＋1. 所以x 1·x 2·…·x 2 017＝12×23×34×…×2 0162 017×2 0172 018＝12 018.则log 2 018x 1＋log 2 018x 2＋…＋log 2 018x 2 017＝log 2 018(x 1·x 2·…·x 2 017)＝log 2 01812 018＝－1.答案：－1两条曲线的公切线若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________．【解析】 设y ＝kx ＋b 与y ＝ln x ＋2和y ＝ln(x ＋1)的切点分别为(x 1，ln x 1＋2)和(x 2，ln(x 2＋1))．则切线分别为y －ln x 1－2＝1x 1(x －x 1)，y －ln(x 2＋1)＝1x 2＋1(x －x 2)，化简得y ＝1x 1x＋ln x 1＋1，y ＝1x 2＋1x －x 2x 2＋1＋ln(x 2＋1)， 依题意⎩⎪⎨⎪⎧1x 1＝1x 2＋1，ln x 1＋1＝－x2x 2＋1＋ln （x 2＋1），解得x 1＝12，从而b ＝ln x 1＋1＝1－ln 2.【答案】 1－ln 2求两条曲线的公切线的方法(1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一条曲线相切，列出关系式求解． (2)利用公切线得出关系式．设公切线l 在y ＝f (x )上的切点P 1(x 1，y 1)，在y ＝g (x )上的切点P 2(x 2，y 2)，则f ′(x 1)＝g ′(x 2)＝f （x 1）－g （x 2）x 1－x 2.1．已知函数f (x )＝x 2－4x ＋4，g (x )＝x －1，则f (x )和g (x )的公切线的条数为( ) A ．三条 B ．二条 C ．一条D ．0条解析：选A.设公切线与f (x )和g (x )分别相切于点(m ，f (m ))，(n ，g (n ))，f ′(x )＝2x－4，g ′(x )＝－x －2，g ′(n )＝f ′(m )＝g （n ）－f （m ）n －m ，解得m ＝－n －22＋2，代入化简得8n 3－8n 2＋1＝0，构造函数f (x )＝8x 3－8x 2＋1，f ′(x )＝8x (3x －2)，原函数在(－∞，0)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞上单调递增，极大值f (0)＞0，极小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＜0，故函数和x 轴有3个交点，方程8n 3－8n 2＋1＝0有三个解，故切线有3条．故选A.2．曲线f (x )＝e x 在x ＝0处的切线与曲线g (x )＝ax 2－a (a ≠0)相切，则过切点且与该切线垂直的直线方程为__________．解析：曲线f (x )在x ＝0处的切线方程为y ＝x ＋1. 设其与曲线g (x )＝ax 2－a 相切于点(x 0，ax 20－a )． 则g ′(x 0)＝2ax 0＝1，且ax 20－a ＝x 0＋1. 解得x 0＝－1，a ＝－12，切点坐标为(－1，0)．所以过切点且与该切线垂直的直线方程为y ＝－1·(x ＋1)，即x ＋y ＋1＝0.答案：x ＋y ＋1＝0[基础题组练]1．函数y ＝x 2cos x 在x ＝1处的导数是( ) A ．0 B ．2cos 1－sin 1 C ．cos 1－sin 1D ．1解析：选B.因为y ′＝(x 2cos x )′＝(x 2)′cos x ＋x 2·(cos x )′＝2x cos x －x 2sin x ，所以y ′|x ＝1＝2cos 1－sin 1.2．(2020·衢州高三月考)已知t 为实数，f (x )＝(x 2－4)(x －t )且f ′(－1)＝0，则t 等于( )A ．0B ．－1 C.12D ．2解析：选C.依题意得，f ′(x )＝2x (x －t )＋(x 2－4)＝3x 2－2tx －4，所以f ′(－1)＝3＋2t －4＝0，即t ＝12.3．(2020·温州模拟)已知函数f (x )＝x 2＋2x 的图象在点A (x 1，f (x 1))与点B (x 2，f (x 2))(x 1＜x 2＜0)处的切线互相垂直，则x 2－x 1的最小值为( )A.12 B ．1C.32D ．2解析：选B.因为x 1＜x 2＜0，f (x )＝x 2＋2x ， 所以f ′(x )＝2x ＋2，所以函数f (x )在点A ，B 处的切线的斜率分别为f ′(x 1)，f ′(x 2)， 因为函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线互相垂直， 所以f ′(x 1)f ′(x 2)＝－1. 所以(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝－1， 所以2x 1＋2＜0，2x 2＋2＞0，所以x 2－x 1＝12[－(2x 1＋2)＋(2x 2＋2)]≥－（2x 1＋2）（2x 2＋2）＝1，当且仅当－(2x 1＋2)＝2x 2＋2＝1，即x 1＝－32，x 2＝－12时等号成立．所以x 2－x 1的最小值为1.故选B.4．已知f (x )＝ax 4＋b cos x ＋7x －2.若f ′(2 018)＝6，则f ′(－2 018)＝( ) A ．－6 B ．－8 C ．6D ．8解析：选D.因为f ′(x )＝4ax 3－b sin x ＋7. 所以f ′(－x )＝4a (－x )3－b sin(－x )＋7 ＝－4ax 3＋b sin x ＋7. 所以f ′(x )＋f ′(－x )＝14. 又f ′(2 018)＝6，所以f ′(－2 018)＝14－6＝8，故选D.5.如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，其中g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4解析：选B.由题图可得曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，即f ′(3)＝－13.又因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.6．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2距离的最小值为( ) A ．1 B. 2 C.22D. 3解析：选B.因为定义域为(0，＋∞)，令y ′＝2x －1x＝1，解得x ＝1，则在P (1，1)处的切线方程为x －y ＝0，所以两平行线间的距离为d ＝22＝ 2.7．已知f (x )＝ln x x 2＋1，g (x )＝(1＋sin x )2，若F (x )＝f (x )＋g (x )，则F (x )的导函数为________．解析：因为f ′(x )＝（ln x ）′（x 2＋1）－ln x （x 2＋1）′（x 2＋1）2＝1x （x 2＋1）－2x ln x （x 2＋1）2＝x 2＋1－2x 2ln x x （x 2＋1）2， g ′(x )＝2(1＋sin x )(1＋sin x )′＝2cos x ＋sin 2x ，所以F ′(x )＝f ′(x )＋g ′(x )＝x 2＋1－2x 2ln x x （x 2＋1）2＋2cos x ＋sin 2x .答案：x 2＋1－2x 2ln x x （x 2＋1）2＋2cos x ＋sin 2x8．(2020·绍兴市柯桥区高三模拟)已知曲线y ＝14x 2－3ln x 的一条切线的斜率为－12，则切点的横坐标为________．解析：设切点为(m ，n )(m ＞0)，y ＝14x 2－3ln x 的导数为y ′＝12x －3x ，可得切线的斜率为12m －3m ＝－12，解方程可得，m ＝2. 答案：29．(2020·金华十校高考模拟)函数f (x )的定义域为R ，f (－2)＝2 018，若对任意的x ∈R ，都有f ′(x )＜2x 成立，则不等式f (x )＜x 2＋2 014的解集为________．解析：构造函数g (x )＝f (x )－x 2－2 014，则g ′(x )＝f ′(x )－2x ＜0，所以函数g (x )在定义域上为减函数，且g (－2)＝f (－2)－22－2 014＝2 018－4－2 014＝0，由f (x )＜x2＋2 014有f (x )－x 2－2 014＜0，即g (x )＜0＝g (－2)，所以x ＞－2，不等式f (x )＜x 2＋2 014的解集为(－2，＋∞)．答案：(－2，＋∞)10．如图，已知y ＝f (x )是可导函数，直线l 是曲线y ＝f (x )在x ＝4处的切线，令g (x )＝f （x ）x，则g ′(4)＝________． 解析：g ′(x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）x ′＝xf ′（x ）－f （x ）x 2.由题图可知，直线l 经过点P (0，3)和Q (4，5)， 故k 1＝5－34－0＝12.由导数的几何意义可得f ′(4)＝12，因为Q (4，5)在曲线y ＝f (x )上，故f (4)＝5. 故g ′(4)＝4×f ′（4）－f （4）42＝4×12－542＝－316. 答案：－31611．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上． 因为f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1.所以f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. 所以切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)， 即y ＝13x －32.(2)因为切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，所以切线的斜率k ＝4. 设切点的坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，所以x 0＝±1.所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝－14或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－18， 即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)，切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18. 即y ＝4x －18或y ＝4x －14.12．已知函数f (x )＝ax ＋bx(x ≠0)在x ＝2处的切线方程为3x －4y ＋4＝0. (1)求a ，b 的值；(2)求证：曲线上任一点P 处的切线l 与直线l 1：y ＝x ，直线l 2：x ＝0围成的三角形的面积为定值．解：(1)由f (x )＝ax ＋b x ，得f ′(x )＝a －b x2(x ≠0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f ′（2）＝34，3×2－4f （2）＋4＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧a －b 4＝34，5－2⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋b 2＝0.解得a ＝1，b ＝1.(2)证明：由(1)知f (x )＝x ＋1x，设曲线的切点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 0＋1x 0，f ′(x 0)＝1－1x 20，曲线在P 处的切线方程为y －⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 20(x －x 0)．即y ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－1x20x ＋2x 0.当x ＝0时，y ＝2x 0.即切线l 与l 2：x ＝0的交点坐标为A ⎝⎛⎭⎪⎫0，2x 0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 20x ＋2x 0，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x 0，y ＝2x 0，即l 与l 1：y ＝x 的交点坐标为B (2x 0，2x 0)．又l 1与l 2的交点为O (0，0)，则所求的三角形的面积为S ＝12·|2x 0|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0＝2.即切线l 与l 1，l 2围成的三角形的面积为定值．[综合题组练]1．若曲线y ＝f (x )＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ B ．[－12，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．[0，＋∞)解析：选D.f ′(x )＝1x ＋2ax ＝2ax 2＋1x(x >0)，根据题意有f ′(x )≥0(x >0)恒成立，所以2ax 2＋1≥0(x >0)恒成立，即2a ≥－1x2(x >0)恒成立，所以a ≥0，故实数a 的取值范围为[0，＋∞)．故选D.2．(2020·金华十校联考)已知函数y ＝x 2的图象在点(x 0，x 20)处的切线为l ，若l 也与函数y ＝ln x ，x ∈(0，1)的图象相切，则x 0必满足( )A ．0＜x 0＜12B.12＜x 0＜1 C.22＜x 0＜ 2 D.2＜x 0＜ 3解析：选D.令f (x )＝x 2，f ′(x )＝2x ，f (x 0)＝x 20，所以直线l 的方程为y ＝2x 0(x －x 0)＋x 20＝2x 0x －x 20，因为l 也与函数y ＝ln x (x ∈(0，1))的图象相切，令切点坐标为(x 1，ln x 1)，y ′＝1x ，所以l 的方程为y ＝1x 1x ＋ln x 1－1，这样有⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＝1x 1，1－ln x 1＝x 20，所以1＋ln(2x 0)＝x 20，x 0∈(1，＋∞)，令g (x )＝x 2－ln(2x )－1，x ∈(1，＋∞)，所以该函数的零点就是x 0，又因为g ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x，所以g (x )在(1，＋∞)上单调递增，又g (1)＝－ln 2＜0，g (2)＝1－ln 22＜0，g (3)＝2－ln 23＞0，从而2＜x 0＜3，选D.3．(2020·宁波四中高三月考)给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″ (x )＝(f ′(x ))′.若f ″(x )＜0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是凸函数的是________(把你认为正确的序号都填上)．①f (x )＝sin x ＋cos x ； ②f (x )＝ln x －2x ； ③f (x )＝－x 3＋2x －1；④f (x )＝x e x.解析：①中，f ′(x )＝cos x －sin x ，f ″(x )＝－sin x －cos x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＜0在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上恒成立；②中，f ′(x )＝1x －2(x ＞0)，f ″(x )＝－1x 2＜0在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上恒成立；③中，f ′(x )＝－3x 2＋2，f ″(x )＝－6x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上恒小于0.④中，f ′(x )＝e x ＋x e x ，f ″(x )＝2e x ＋x e x ＝e x(x ＋2)＞0在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上恒成立，故④中函数不是凸函数．故①②③为凸函数．答案：①②③4．(2020·浙江省十校联合体期末检测)已知函数f (x )＝a e x＋x 2，g (x )＝cos (πx )＋bx ，直线l 与曲线y ＝f (x )切于点(0，f (0))，且与曲线y ＝g (x )切于点(1，g (1))，则a ＋b＝________，直线l 的方程为________．解析：f ′(x )＝a e x＋2x ，g ′(x )＝－πsin (πx )＋b ，f (0)＝a ，g (1)＝cos π＋b ＝b －1， f ′(0)＝a ，g ′(1)＝b ，由题意可得f ′(0)＝g ′(1)，则a ＝b ， 又f ′(0)＝b －1－a1－0＝a ，即a ＝b ＝－1，则a ＋b ＝－2； 所以直线l 的方程为x ＋y ＋1＝0. 答案：－2 x ＋y ＋1＝05．设有抛物线C ：y ＝－x 2＋92x －4，过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限．(1)求k 的值；(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标．解：(1)由题意得，y ′＝－2x ＋92.设点P 的坐标为(x 1，y 1)，则y 1＝kx 1，①y 1＝－x 21＋92x 1－4，②－2x 1＋92＝k ，③联立①②③得，x 1＝2，x 2＝－2(舍去)．所以k ＝12.(2)过P 点作切线的垂线，其方程为y ＝－2x ＋5.④将④代入抛物线方程得，x 2－132x ＋9＝0.设Q 点的坐标为(x 2，y 2)，则2x 2＝9， 所以x 2＝92，y 2＝－4.所以Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫92，－4. 6．(2020·绍兴一中月考)已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12和直线m ：y ＝kx ＋9，且f ′(－1)＝0.(1)求a 的值；(2)是否存在k ，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)由已知得f ′(x )＝3ax 2＋6x －6a ， 因为f ′(－1)＝0，所以3a －6－6a ＝0，所以a ＝－2.(2)存在．由已知得，直线m 恒过定点(0，9)，若直线m 是曲线y ＝g (x )的切线，则设切点为(x 0，3x 20＋6x 0＋12)．因为g ′(x 0)＝6x 0＋6，所以切线方程为y －(3x 20＋6x 0＋12)＝(6x 0＋6)(x －x 0)， 将(0，9)代入切线方程，解得x 0＝±1. 当x 0＝－1时，切线方程为y ＝9； 当x 0＝1时，切线方程为y ＝12x ＋9. 由(1)知f (x )＝－2x 3＋3x 2＋12x －11， ①由f ′(x )＝0得－6x 2＋6x ＋12＝0， 解得x ＝－1或x ＝2.在x ＝－1处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝－18； 在x ＝2处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝9， 所以y ＝f (x )与y ＝g (x )的公切线是y ＝9. ②由f ′(x )＝12得－6x 2＋6x ＋12＝12， 解得x ＝0或x ＝1.在x ＝0处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝12x －11； 在x ＝1处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝12x －10，所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.。