矩阵的特征值和特征向量、二次型

高等代数第五章知识点总结高等代数是数学中的一个重要分支，主要研究代数结构、线性代数、群论等数学领域。

第五章主要涉及线性方程组、矩阵、向量空间、线性变换等知识点。

以下是对这些知识点的总结:1. 线性方程组：线性方程组是一组线性方程的集合，其中每个方程都是一次多项式。

线性方程组的解称为线性方程组的解，可以用矩阵和向量来表示。

2. 矩阵：矩阵是一种特殊的数组，可以表示线性方程组、线性变换和向量空间等数学对象。

矩阵的加法、数乘等运算符合矩阵的定义，并且矩阵具有一些特殊的性质，如行列式、秩等。

3. 向量空间：向量空间是一个线性空间，其中添加了一个标量值域。

向量空间的元素称为向量，向量空间的基和维数是重要概念。

向量空间的加法、数乘等运算符合向量空间的定义。

4. 线性变换：线性变换是一个将一个线性空间映射到另一个线性空间的函数。

线性变换的特征是保持向量空间的加法和数乘运算。

线性变换的矩阵表示是一个方阵，其中每行每列都是一个向量。

5. 特征值和特征向量：特征值和特征向量是两个重要的概念，用于描述矩阵的性质。

矩阵的特征值是指矩阵在乘以某个向量后得到的值，而特征向量是指与特征值相关的向量。

6. 相似矩阵：相似矩阵是指具有相同特征值的矩阵。

相似矩阵之间具有一些相似性质，如行列式、秩等。

相似矩阵可以用来表示线性变换的缩放比例和旋转角度。

7. 克莱默法则：克莱默法则是一个用于求解线性方程组的公式，可以将线性方程组的系数矩阵转换为阶梯形矩阵或行最简矩阵，从而求解线性方程组的解。

8. 特征值分解：特征值分解是将矩阵分解成一组特征向量的乘积，从而求解矩阵的特征值和特征向量。

特征值分解在矩阵的分解和求解中发挥着重要作用。

9. 二次型：二次型是一种特殊的矩阵，其元素是二次多项式。

二次型可以用来表示线性变换的对称矩阵和非对称矩阵，并且具有一些重要的性质，如行列式、秩等。

以上是第五章的主要知识点总结，这些知识点是高等代数中的重要基础，对于理解代数结构、线性代数和群论等数学领域具有重要意义。

二次型矩阵知识点总结笔记
二次型矩阵是线性代数中的重要概念，涉及到矩阵、向量、特
征值等多个知识点。

下面我将从不同角度对二次型矩阵进行总结：
1. 定义，二次型矩阵是一个实对称矩阵，通常用矩阵Q表示。

它可以表示为一个关于向量x的二次齐次多项式，即Q(x) = x^T
A x，其中A是实对称矩阵，x是列向量。

2. 矩阵的性质，二次型矩阵的主要性质包括实对称性、正定性、负定性、半正定性、半负定性等。

这些性质与矩阵的特征值和特征
向量密切相关。

3. 特征值分解，对于二次型矩阵，可以进行特征值分解，得到
矩阵的特征值和特征向量。

这对于分析矩阵的性质和优化问题具有
重要意义。

4. 应用，二次型矩阵在优化问题、统计学、物理学等领域有着
广泛的应用。

例如在最小二乘法、主成分分析、正定规划等问题中
都涉及到二次型矩阵的应用。

总的来说，二次型矩阵是线性代数中一个重要且复杂的概念，涉及到多个方面的知识点。

深入理解二次型矩阵对于理解矩阵理论和应用具有重要意义。

希望这些总结对您有所帮助。

考研数学三（矩阵的特征值与特征向量、二次型）-试卷1(总分60,考试时间90分钟)2. 填空题1. 设A是3阶实对称矩阵，特征值是0，1，2．如果λ=0与λ=1的特征向量分别是α1=(1，2，1)T与α2=(1，-1，1)T，则λ=2的特征向量是_______．2. 已知A=相似，则x=_____，y=________．3. 已知矩阵A=有两个线性无关的特征向量，则a=______．4. 二次型f(x1，x2，x3)=(x1+x2)2+(x2-x3)2+(x3+x1)2的正、负惯性指数分别为p=______，q=_______．5. 二次型f(x1，x2，x3)=xTAx=2x22+2x32+4x1x2-4x1x3+8x2x3的矩阵A=_______，规范形是______．6. 假设二次型f(x1，x2，x3)=(x+ax2-2x3)2+(2x2+3x3)2+(x1+3x2+ax3)2正定，则a的取值为_____．3. 解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1. 已知A=，求A的特征值、特征向量，并判断A能否对角化，说明理由．2. 已知A=，A*是A的伴随矩阵，求A*的特征值与特征向量．3. 已知A=可对角化，求可逆矩阵P及对角矩阵A，使P-1AP=A．4. 已知A暑3阶不可可矩阵，-1和2是A的特征值．B=A2-A-2E，求B的特征值，并问B 能否相似对角化，并说明理由．5. 设3阶矩阵A的特征值λ=1，λ=2，λ=3对应的特征向量依次为α1=(1，1，1)T，α2=(1，2，4)T，α3=(1，3，9)T．(Ⅰ)将向量β=(1，1，3)T用α1，α2，α3线性表出：(Ⅱ)求Anβ．6. 设矩阵A=是矩阵A*的特征向量，其中A*是A的伴随矩阵，求a，b的值．7. 设3阶实对称矩阵A的秩为2，λ1=λ2=6是A的二重特征值，若α1=(1，1，0)T，α2=(2，1，1)T，α3=(-1，2，-3)T都是A属于λ=6的特征向量，求矩阵A．8. 已知A～B，A2=A，证明B2=B．9. 已知A2=0，A≠0，证明A不能相似对角化．10. 已知λ1，λ2，λ3是A的特征值，α1，α2，α3是相应的特征向量且线性无关，如α1+α2+α3仍是A的特征向量，则λ1=λ2=λ3．11. 设A=．12. 设A=(aij)是秩为n的n阶实对称矩阵，Aij是｜A｜中元素aij的代数余子式(i，j=1，2，…，n)，二次型f(x1，x2，…，xn)=(Ⅰ)记X=(x1，x2，…，xn)T，试写出二次型f(x1，x2，…，xn)的矩阵形式；(Ⅱ)判断二次型g(X)=XTAX与f(X)的规范形是否相同，并说明理由．13. 求正交变换化二次型2x32-2x1x2+2x1x3-2x2x3为标准形，并写出所用正交变换．14. 已知α=(1，-2，2)T是二次型xTAx=ax12+4x22+bx32-4x1x2+4x1x3-8x2x3矩阵A的特征向量，求正交变换化二次型为标准形，并写出所用正交变换．15. 设二次犁x12+x22+x32-4x1x2-4x1x3+2ax2x3经正交变换化为3y12+3y22+6y32，求a，b 的值及所用正交变换．16. 已知二次型f(x1，x2，x2)=(1-a)x12+(1-a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2.(Ⅰ)求a的值；(Ⅱ)求正交变换x=Qy，把f(x1，x2，x3)化成标准形；(Ⅲ)求方程f(x1，x2，x3)=0的解．17. 设二次型f(x1，x2，x3)=ax12+ax22+(a-1)x32+2x1x3-2x2x3，(Ⅰ)求二次型f的矩阵的所有特征值；(Ⅱ)若二次型f的规范形为y12+y22，求a的值．18. 设三元二次型xTAx=x12+ax22+x32+2x1x2-2x2x3-2ax1x3的正、负惯性指数都是1，(Ⅰ)求a的值，并用正交变换化二次型为标准形；(Ⅱ)如B=A3-5A+E，求二次型xTBx的规范形．19. 已知三元二次型xTAx的秩为2，且求此二次型的表达式，并求正交变换x=Qy化二次型为标准形．20. 用配方法把二次型2x32-2x1x2+2x1x3-2x2x3化为标准形，并写出所用坐标变换．21. 用配方法化二次型x1x2+2x2x3为标准形，并写出所用满秩线性变换．22. 判断3元二次型f=x12+5x22+x32+4x1x2-4x2x3的正定性．23. 判断n元二次型的正定性．。

二次型的基本理论和应用二次型是高等数学中的一个重要概念，具有广泛的应用。

本文将针对二次型的基本理论和应用进行探讨。

一、二次型的定义二次型指的是$x_1,x_2,\cdots,x_n$的二次齐次多项式$Q(x_1,x_2,\cdots,x_n)$，即：$$Q(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^na_{ij}x_ix_j $$其中$a_{ij}$为常数项，且矩阵$\boldsymbol{A}=(a_{ij})_{n\times n}$称为二次型的矩阵。

二、二次型的矩阵二次型的矩阵有很多重要性质：1. 对称矩阵二次型的矩阵$\boldsymbol{A}$是对称矩阵，即对于任意$i,j$都有$a_{ij}=a_{ji}$。

2. 正定矩阵若$\forall x \neq 0$，都有$x^T\boldsymbol{A}x>0$，则称矩阵$\boldsymbol{A}$为正定矩阵。

若$\forall x \neq 0$，都有$x^T\boldsymbol{A}x\geq 0$，则称矩阵$\boldsymbol{A}$为半正定矩阵。

正定矩阵可用来定义内积、距离和角度等概念，具有广泛的应用。

3. 特征值和特征向量二次型的矩阵$\boldsymbol{A}$存在$n$个特征值$\lambda_1,\cdots,\lambda_n$，并且存在对应于每个特征值的特征向量$\boldsymbol{x}_1,\cdots,\boldsymbol{x}_n$，满足：$$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}_i=\lambda_i\boldsymbol{x}_i$$其中，若$\lambda_i>0$，则$\boldsymbol{x}_i$为正特征向量；若$\lambda_i=0$，则$\boldsymbol{x}_i$为零特征向量；若$\lambda_i<0$，则$\boldsymbol{x}_i$为负特征向量。

数二线代大题题型总结
数二线性代数大题题型总结如下：
1. 矩阵的运算和性质：包括矩阵的乘法、转置、逆、行列式等基本运算和性质，以及矩阵的初等变换和初等矩阵的性质。

2. 向量组的线性相关和线性无关：包括判断向量组的线性相关性和线性无关性，向量组的秩和极大无关组等。

3. 线性方程组：包括线性方程组的解法和解的结构，以及线性方程组的应用。

4. 特征值和特征向量：包括特征值和特征向量的概念、求法以及特征值和特征向量的应用。

5. 二次型：包括二次型的基本概念、二次型的标准形和规范形、二次型的正定性等。

以上是数二线性代数大题的主要题型，需要熟练掌握各种题型的解题方法和技巧，多做练习，提高解题能力和速度。

考研数学一-矩阵的特征值和特征向量、线性代数二次型(一)(总分：52.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：27，分数：27.00)1.设A为n×m实矩阵，r(A)=n，则(A) AA T的行列式值不为零． (B) AA T必与单位矩阵相似．(C) A T A的行列式值不为零． (D) A T A必与单位矩阵相似．（分数：1.00）A.B.C.D.2.下列结论正确的是(A) 方阵A与其转置矩阵A T有相同的特征值，从而有相同的特征向量．(B) 任意两个同阶的对角矩阵都可以相似于同一个对角矩阵．(C) 对应于实矩阵的相异特征值的实特征向量必是正交的．(D) 设P T AP=B，若A为正定矩阵，|P|≠0，则B必为正定矩阵．（分数：1.00）A.B.C.D.3.设n(n≥2)阶矩阵A的行列式|A|=a≠0，λ是A的一个特征值，A*为A的伴随矩阵，则A*的伴随矩阵(A*)*的一个特征值是(A) λ-1a n-1． (B) λ-1a n-2． (C) λa n-2． (D) λa n-1．（分数：1.00）A.B.C.D.4.设A为m×n实矩阵，r(A)=n，则(A) A T A必合同于n阶单位矩阵． (B) AA T必等价于m阶单位矩阵．(C) A T A必相似于n阶单位矩阵． (D) AA T是m阶单位矩阵．（分数：1.00）A.B.C.D.5.设A为n阶实对称矩阵，B为n阶可逆矩阵，Q为n阶正交矩阵，则下列矩阵与A有相同特征值的是(A) B-1Q T AQB． (B) (B-1)T Q T AQB-1．(C) B T Q T AQB． (D) BQ T AQ(B T)-1．（分数：1.00）A.B.C.D.6.设线性方程组(λE-A)x=0的两个不同解向量是ξ1，ξ2，则矩阵A的对应于特征值λ的特征向量必是(A) ξ1． (B) ξ2． (C) ξ1-ξ2． (D) ξ1+ξ2．（分数：1.00）A.B.C.D.7.设α，β是n维列向量，αTβ≠0，n阶方阵A=E+αβT(n≥3)，则在A的n个特征值中，必然(A) 有n个特征值等于1． (B) 有n-1个特征值等于1．(C) 有1个特征值等于1． (D) 没有1个特征值等于1．（分数：1.00）A.B.C.D.8.二次型f(x1，x2，x3)=(x1-2x2)2+(x1-2x3)2+(x2-x3)2的规范形是1.00）A.B.C.D.9.设A为n阶实对称矩阵，则下列结论正确的是(A) A的n个特征向量两两正交．(B) A的n个特征向量组成单位正交向量组．(C) A的k重特征值λ0有r(λ0E-A)=n-k．(D) A的k重特征值λ0有r(λ0E-A)=k．（分数：1.00）A.B.C.D.10.设A为n阶矩阵，则在下列条件中，不是“A的特征值为-1”的充分条件的是(A) A2=E． (B) r(A+E)＜n．(C) A的各行元素之和均为-1． (D) A T=-A，且1是A的特征值．（分数：1.00）A.B.C.D.11.设A，B为实对称矩阵，则A合同于B，如果(A) r(Ａ)=r(Ｂ)． (B) A，B为同型矩阵．(C) A，B的正惯性指数相等． (D) 上述三项同时成立．（分数：1.00）A.B.C.D.12. 1.00）A.B.C.D.13.设二次型f(x1，x2，…，x n)=x T Ax，其中A T=A，x=(x1，x2，…，x n)T，则f为正定二次型的充分必要条件是(A) f的负指数是0． (B) 存在正交矩阵Q，使Q T AQ=E．(C) f的秩为n． (D) 存在可逆矩阵C，使A=C T C．（分数：1.00）A.B.C.D.14.已知A，B均为n阶正定矩阵，则下列结论不正确的是(A) A+B，A-B，AB是正定矩阵．(B) AB的特征值全大于零．(C) 若AB=BA，则AB是正定矩阵．(D) 对任意正常数k与l，kA+lB为正定矩阵．（分数：1.00）A.B.C.D.15.设A为n阶矩阵，则下列结论正确的是(A) 矩阵A有n个不同的特征值．(B) 矩阵A与A T有相同的特征值和特征向量．(C) 矩阵A的特征向量α1，α2的线性组合c1α1+c2α2仍是A的特征向量．(D) 矩阵A对应于不同特征值的特征向量线性无关．（分数：1.00）A.B.C.D.16.设A为n阶矩阵，则下列命题①设A为n阶实可逆矩阵，如果A与-A合同，则n必为偶数②若A与单位矩阵合同，则|A|＞0⑧若|A|＞0，则A与单位矩阵合同④若A可逆，则A-1与A T合同中正确的个数是(A) 3个． (B) 2个． (C) 1个． (D) 0个．（分数：1.00）A.B.C.D.17.设λ1，λ2是n阶矩阵A的特征值，α2，α2分别是A的对应于λ1，λ2的特征向量，则(A) 当λ1=λ2时，α1与α2必成比例．(B) 当λ1=λ2时，α1与α2必不成比例．(C) 当λ1≠λ2时，α1与α2必成比例．(D) 当λ1≠λ2时，α1与α2必不成比例．（分数：1.00）A.B.C.D.18.设A=(a ij)n×n为正定矩阵，则下列结论不正确的是(A) a ij≥0(i=1，2，…，n)． (B) A-1为正定矩阵．(C) A*为正定矩阵． (D) 对任意正整数k，A k为正定矩阵．（分数：1.00）A.B.C.D.19.设n阶矩阵A与对角矩阵Λ相似，则下述结论中不正确的是(A) A-kE～Λ-kE(k为任意常数)． (B) A m～Λm(m为正整数)．(C) 若A可逆，则A-1～Λ-1． (D) 若A可逆，则A～E．（分数：1.00）A.B.C.D.20. 1.00）A.B.C.D.21.设n阶矩阵A可逆，α是A的属于特征值A的特征向量，则下列结论中不正确的是(A) α是矩阵-2A的属于特征值-2λ的特征向量．(B) α(C) α是矩阵A* 1.00）A.B.C.D.22.设A，B为n阶矩阵，则A与B相似的充分必要条件是(A) A，B都相似于对角矩阵． (B) |λE-A|=|λE-B|．(C) 存在正交矩阵Q，使得Q-1AQ=B． (D) 存在可逆矩阵P，使得AB T=P T B．（分数：1.00）A.B.C.D.23.1.00）A.B.C.D.24.正定实二次型的矩阵必是(A) 实对称矩阵且所有元素为正数． (B) 实对称矩阵且对角线上元素为正数．(C) 实对称矩阵且各阶顺序主子式为正数． (D) 实反对称矩阵且行列式值为正数．（分数：1.00）A.B.C.D.25.n阶矩阵A可对角化的充分必要条件是(A) A有n个相异的特征值．(B) A T有n个相异的特征值．(C) A有n个相异的特征向量．(D) A的任一特征值的重数与其对应的线性无关特征向量的个数相同．（分数：1.00）A.B.C.D.26.设矩阵A与B相似，则必有(A) A，B同时可逆或不可逆． (B) A，B有相同的特征向量．(C) A，B均与同一个对角矩阵相似． (D) 矩阵λE-A与λE-B相等．（分数：1.00）A.B.C.D.27.A既相似又合同的是1.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：18，分数：25.00)28. 1.00）填空项1:__________________29.若二次型f(x1，x2，x3 1.00）填空项1:__________________30.已知α=(1，3，2)T，β=(1，-1，2)T，B=αβT，苦矩阵A，B相似，则(2A+E)*的特征值为______．（分数：1.00）填空项1:__________________31.设-1，5，λ 3.00）填空项1:__________________32.设n阶方阵A的各列元素之和都是1，则A的特征值是______．（分数：1.00）填空项1:__________________33.设AP=PB 2.00）填空项1:__________________34.设A是2阶实对称矩阵，λ1，λ2是A的两个不同的特征值，ξ1，ξ2是分别对应于λ1，λ2的单位特征向量，则矩阵B=A+ξ 1.00）填空项1:__________________35.设A为n阶可相似对角化的矩阵，且r(A-E)=r＜n，则A必有特征值λ=______，且其重数为______，其对应的线性无关的特征向量有______个．（分数：3.00）填空项1:__________________36.设λ1，λ2是n阶实对称矩阵A的两个不同的特征值，α是A的对应于特征值λ1的一个单位特征向量，则矩阵B=A-λ1ααT的两个特征值为______．（分数：1.00）填空项1:__________________37.设A为n阶方阵．A≠E，且r(A+3E)+r(A-E)=n，则A的一个特征值是 1，（分数：1.00）填空项1:__________________38. 2.00）填空项1:__________________39.若实对称矩阵A 1.00）填空项1:__________________40.若二次型1.00）填空项1:__________________41. 1.00）填空项1:__________________42. 2.00）填空项1:__________________43.设2阶矩阵A的特征值为λ1=1，λ2=2，已知B=A2-3A+4E，则B=______．（分数：1.00）填空项1:__________________44.设A为n阶方阵，且A2-5A+6E=0，其中E为单位矩阵，则A的特征值只能是______．（分数：1.00）填空项1:__________________45. 1.00）填空项1:__________________。

考研数学三（矩阵的特征值与特征向量、二次型）-试卷1(总分：60.00，做题时间：90分钟)一、 填空题(总题数：6，分数：12.00)1.设A 是3阶实对称矩阵，特征值是0，1，2．如果λ=0与λ=1的特征向量分别是α 1 =(1，2，1) T与α 2 =(1，-1，1) T，则λ=2的特征向量是 1． （分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：t(-1，0，1) T，t≠0．）解析：解析：设λ=2的特征向量是α=(x 1 ，x 2 ，x 3 )，则因实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交．故有所以λ=2的特征向量是t(-1，0，1) T，t≠0．2.已知x= 1，y= 2．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：0） 填空项1:__________________ （正确答案：1）解析：解析：由A ～B ，知，且-1是A3.已知矩阵a= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：-1） 解析：解析：由A 的特征多项式 ｜λE-A ｜= =(λ+1) 3， 知矩阵A 的特征值是λ=-1(三重根)，因为A 只有2个线性无关的特征向量，故从而a=-1．4.二次型f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 +x 2 ) 2+(x 2 -x 3 ) 2+(x 3 +x 1 ) 2的正、负惯性指数分别为p= 1，q= 2．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2） 填空项1:__________________ （正确答案：0）解析：解析：由于二次型的标准形是p=2．q=0．5.二次型f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x TAx=2x 2 2+2x 3 2+4x 1 x 2 -4x 1 x 3 +8x 2 x 3 的矩阵A= 1，规范形是 2．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2，6，-4；x 1 2+x 2 2-x 3 2）解析：解析：按定义，二次型矩阵A=．由特征多项式｜λE-A ｜λ-6)(λ-2)(λ+4)，知矩阵A 的特征值是：2，6，-4． 故正交变换下二次型的标准形是2y 21 +6y 22 -4y 23 ．所以规范形是x 21 +x 22 -x 23 ． 或，由配方法，有 f=2[x 2 2+2x 2 (x 1 +2x 3 )+(x 1 +2x 3 ) 2]+2x 3 2-4x 1 x 3 -2(x 1 +2x 3 ) 2=2(x 2 +x 1 +2x 3 ) 2-2x 1 2-12x 1 x 3 -6x 3 2=2(x 2 +x 1 +2x 3 ) 2-2(x 1 2+6x 1 x 3 +9x 32)+12x 3 2=2(x 2 +x 1 +2x 3 ) 2-2(x 1 +3x 3 ) 2+12x 3 2， 亦知规范形是x 1 2+x 2 2-x 3 2．6.假设二次型f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x+ax 2 -2x 3 ) 2+(2x 2 +3x 3 ) 2+(x 1 +3x 2 +ax 3 ) 2正定，则a 的取值为 1． （分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：(x 1，x 2，x 3 )恒有平方和f(x 1，x 2，x 3)≥0，其中等号成立的充分必要条件是按正定定义，f正定=(x 1，x 2，3 ) T≠0，恒有f(x 1，x 2，x 3 )＞0．因此，本题中二次型f正定方程组(*)只有零解所以a的取值为a≠1．二、解答题(总题数：24，分数：48.00)7.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。