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2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三三模数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1、【来源】 2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三三模第1题4分2017~2018学年10月安徽合肥巢湖市巢湖市柘皋中学高一上学期月考第5题5分2017年北京东城区高三二模文科第1题5分已知全集U是实数集R，右边的韦恩图表示集合M={x|x>2}与N={x|1<x<3}的关系，那么阴影部分所表示的集合可能为（）．A. {x|x<2}B. {x|1<x<2}C. {x|x>3}D. {x|x⩽1}2、【来源】 2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三三模第2题4分复数z=3+5i（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）．1+iA. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3、【来源】 2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三三模第3题4分下列函数中有最小值的是（）．A. y=2xB. y=√x+1C. y=tanxD. y=lg|x|4、【来源】 2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三三模第4题4分2020~2021学年12月重庆长寿区高二上学期月考第5题5分直线l与圆O:x2+y2=1交于A，B两点，若AB=√2，则点O到直线l的距离为（）．A. √2B. 1C. √22D. 125、【来源】 2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三三模第5题4分已知非零向量a→，b→满足a→=λb→，则“λ=1”是“a→2=b→2”的（）．A. 充分必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分而不必要条件D. 既不充分也不必要条件6、【来源】 2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三三模第6题4分某三棱锥的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则该三棱锥的体积为（）．A. 23B. 43C. 1D. 27、【来源】 2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三三模第7题4分给出下列四个函数：①y=x⋅sinx；②y=x⋅cosx；③y=x⋅|cos x|；④y=x⋅2x．这四个函数的部分图象如下，但顺序被打乱，则按照从左到右的顺序将图象对应的函数序号安排正确的一组是（）．A. ③④②①B. ①④③②C. ④①②③D. ①④②③8、【来源】 2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三三模第8题4分已知平面向量a→，b→的夹角为π3，且a→⋅b→=1，则|a→+b→|的最小值为（）．A. 1B. √2C. 2D. √69、【来源】 2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三三模第9题4分如图，正方体ABCD−A1B1C1D1棱长为3，点E在棱BC上，且满足BE=2EC，动点M在正方体表面上运动，且ME⊥BD1，则动点M的轨迹的周长为（）．A. 6√2B. 4√3C. 4√2D. 3√310、【来源】 2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三三模第10题4分设函数f(x)=sin(ωx+π5)(ω>0)，已知f(x)在[0,2π]有且仅有5个零点，下述四个结论：①f(x)在(0,2π)有且仅有2个极大值点；②f(x)在(0,2π)有且仅有3个极小值点；③f(x)在(0,π10)单调递增；④ω的取值范围是[125,2910)；其中所有正确结论的编号是（）．A. ①④B. ③④C. ①②③D. ①③④二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11、【来源】 2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三三模第11题5分2018年甘肃兰州高三二模理科第15题5分(x2−1x )6的展开式中，常数项的值为（用数字作答）．12、【来源】 2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三三模第12题5分已知双曲线x 2a2−y2b2=(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=√33x，且一个焦点在抛物线y2=8x的准线上，则该双曲线的方程为．13、【来源】 2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三三模第13题5分已知等差数列{a n}的首项为2，等比数列{b n}的公比为2，S n是数列{b n}的前n项和，且b n= (√2)a n．则a4=，S5=．14、【来源】 2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三三模第14题5分中国地大物博，大兴安岭的雪花还在飞舞，长江两岸的柳枝已经发芽，海南岛上盛开着鲜花．燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，专家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为v=5log2q 10（米/秒），其中q表示燕子的耗氧量，则燕子静止时耗氧量为；若某只两岁的燕子耗氧量为q1时的飞行速度为v1（米/秒），另一只两岁的燕子耗氧量为q2时的飞行速度为v2（米/秒），两只燕子同时起飞，当q1=4q2时，一分钟后第一只燕子比第二只燕子多飞行的路程为米．15、【来源】 2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三三模第15题5分已知函数f(x)=x2+1，直线l:y=ax+2与x轴和y轴分别交于点D，B，直线l与函数f(x)的图象交于A，C两点（点C在点B，D之间），给出下列四个结论：①若点E为y轴上一点，则存在符合条件的点E和实数a，使得△ABE为等边三角形；②记f(a)=|AC||DC|，则1∈{y|y=f(a)}；③记ℎ(a)=|AB||BC|，则ℎ(a)的值域为(0,+∞)；④记g(a)=max {|AB|,|CB|}min{|AB|,|CB|}，则对任意的非零数实数a，都有g(a)g(−a)=1成立．（max{x1,x2}表示x1，x2中最大的数，min{x1,x2}表示x1，x2，中最小的数）．其中正确结论的序号是．三、解答题（本大题共6小题，共85分）16、【来源】 2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三三模第16题14分如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，D是AB的中点，AA1=AC=CB=2，AB= 2√2．(1) 证明：BC1//平面A1CD．(2) 求直线AA1与平面A1CD所成角的正弦值．17、【来源】 2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三三模第17题14分2020年岁末年初，“新冠肺炎”疫情以其汹汹袭来之势席卷了我国的武汉，在这关键的时刻，在党中央的正确指导下，以巨大的魄力，惊人的壮举，勇敢的付出，及时阻断了疫情的传播，让这片土地成为了世界上最温暖的家园；通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治，二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制．下表统计了2月12日到2月18日连续七天全国的治愈人数：（单位：例）请根据以上信息，回答下列问题：(1) 记前四天治愈人数的平均数和方差分别为x1和s12，后三天治愈人数的平均数和方差分别为x2和s22，判断x1与x2，s12与s22的大小（直接写出结论）．(2) 从这七天中任取连续的两天，则后一天的治愈人数比前一天的治愈人数多于200例的概率．(3) 设集合M={(x i,x i+1)|x i表示2月i日的治愈人数i=12,13,⋯,17}，从集合M中任取两个元素，设其中满足x i<x i+1的个数为X，求X的分布列和数学期望E(X)．18、【来源】 2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三三模第18题14分已知△ABC中，cb<cosA．(1) 求证：B为钝角．(2) 若△ABC同时满足下列四个条件中的三个：①sinA=√22；②a=2；③c=√2；④sinC=√32，请指出这三个条件，说明理由，并求出b的值．19、【来源】 2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三三模第19题14分已知曲线C:x 24+y23=1(y⩾0),直线l:y=kx+1与曲线C交于A，D两点，A，D两点在x轴上的射影分别为点B，C．(1) 当点B坐标为(−1,0)时，求k的值．(2) 记△OAD的面积S1，四边形ABCD的面积为S2．求证：S1S2⩾12.20、【来源】 2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三三模第20题15分已知函数f(x)=(x−1)e x−alnx(a⩽e)．(1) 当a=e时，①求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程．②求函数f(x)的最小值．(2) 若曲线y=f(x)与x轴有且仅有一个公共点，求实数a的取值范围．21、【来源】 2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三三模第21题14分2020~2021学年北京海淀区首都师范大学附属中学高一下学期期末（成达学部）第18题12分对给定的正整数n，令Ωn={a=(a1,a2,⋯,a n)|a i∈{0,1}i=1,2,⋯,n}，对任意的x=(x1,x2,⋯,x n)，y=(y1,y2,⋯,y n)∈Ωn，定义x与y的距离d(x,y)=|x1−y1|+|x2−y2|+⋯+|x n−y n|，设A是Ωn的含有至少两个元素的子集，集合D={d(x,y)|x≠y,x,y∈A}中的最小值称为A的特征，记作χ(A)．(1) 当n=3时，直接写出下述集合的特征A={(0,0,0),(1,1,1)},B={(0,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0)}，C={(0,0,0),(0,0,1),(0,1,1),(1,1,1)}．(2) 当n=2020时，设A⊆Ω2020且χ(A)=2，求A中元素个数的最大值．(3) 当n=2020时，设A⊆Ω2020且χ(A)=3，求证：A中的元素个数小于22020．20211 、【答案】 D;2 、【答案】 A;3 、【答案】 B;4 、【答案】 C;5 、【答案】 C;6 、【答案】 A;7 、【答案】 D;8 、【答案】 D;9 、【答案】 A;10 、【答案】 B;11 、【答案】15;−y2=1;12 、【答案】x2313 、【答案】8;62;14 、【答案】10;600;15 、【答案】①②④;16 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) √3．3;17 、【答案】 (1) x1<x2；s12<s22．;(2) 1．3;(3) X的分布列为：E(X)=4．3;18 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) ①②③，1+√3；证明见解析．;.19 、【答案】 (1) −12;(2) 证明见解析．;20 、【答案】 (1)①y=0．②0．;(2) (−∞,0]∪{e}．;21 、【答案】 (1) χ(A)=3，χ(B)=2，χ(C)=1．;(2) 22019．;(3) 证明见解析．;。
北大附中2020届高三阶段性检测一、选择题共9小题，共40分.第1～5题每题4分，第6～9题每题5分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则A.{|0}A B x x =< B.A B R = C.{|1}A B x x => D.A B =∅2.已知复数()1biz b R i-=∈的实部和虚部相等，则b =（）A.-1B.1C.2D.-23.已知0a b >>，则下列不等式成立的是（）A.22a b <B.11a b>C.a b< D.22a b>4.已知直线l 的斜率为k ，倾斜角为θ，则“04πθ<≤”是“1k ≤”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知正方形ABCD 的中心为O ，且边长为1，则()()OC OB AB AD -⋅+=（）A .-1B.C.1D.6.双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线210x y +-=垂直，则双曲线的离心率为（）A .B.C.12+ D.17.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思是有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）A.96里B.48里C.192里D.24里8.已知函数()2,,x x af x x x a ≤⎧=⎨>⎩，则下列结论错误的是（）A.()00f = B.0a =时，()f x 的值域为R C.()f x 在R 上单调递增时，0a =或1a ≥ D.方程()2f x =有解时，a <9.三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点i A 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点i B 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，1,2,3i =.记i Q 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，记i P 为第i 名工人在这一天中平均加工的零件数，则1Q ，2Q ，3Q 中的最大值与1P ，2P ，3P 中的最大值分别是（）A.1Q ，1P B.1Q ，2P C.2Q ，1P D.2Q ，2P 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.10.抛物线216x y =的准线方程为______.11.已知四个函数：①y x =-，②1y x=-，③3y x =，④12y x =，从中任选2个，若所选2个函数的图像有且仅有一个公共点，则这两个函数可以是______.（写出一对序号即可）12.在正项等比数列{}n a 中，若1a ，12，3a ，22a 成等差数列，则43a a =______.13.方程sin cos 2x x =在区间[],ππ-上的解集为______.14.设a ＞0,b ＞0．若关于x,y 的方程组1,{1ax y x by +=+=无解，则+a b 的取值范围是．15.对任意两个非零的平面向量α 和β ，定义α 和β 之间的新运算⊗：αβαβββ⋅⊗=⋅.若非零的平面向量a ，b 满足：a b ⊗ 和b a ⊗ 都在集合3|,3x x n Z ⎧⎫⎪⎪=∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭中，且a b ≥ .设a 与b 的夹角,64ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()sin a b θ⊗=______.三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知函数()sin sin cos 66f x x x x a ππ⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.17.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c已知sin 0,2A A a b +===.（1）求角A 和边长c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥,求ABD ∆的面积.18.已知M 过()1,7A -，()2,6B ，()1,3C --三点.（1）求M 的标准方程；（2）直线l ：20x y -+=与M 相交于D ，E 两点，求MDE ∆的面积（M 为圆心）.19.已知函数()22xf x e x ax=-+.（1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）若0x >，证明“0a >”是“()1f x >”的充分不必要条件.20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>与y 轴交于1B ，2B 两点，1F 为椭圆C 的左焦点，且112F B B ∆是边长为2的等边三角形.（1）求椭圆C 的方程；（2）设过点()1,0-的直线与椭圆C 交于不同的两点P ，Q ，点P 关于x 轴的对称点为1P （1P 与P ，Q 都不重合），判断直线1PQ 与x 轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由.21.已知数列A ：1a ，2a ，3a ，…，()4n a n ≥为1，2，3，…，n 的一个排列，若()1,2,3,,i a i i n -=⋅⋅⋅互不相同，则称数列A 具有性质P .（1）若4n =，且14a =，写出具有性质P 的所有数列A ；（2）若数列A 具有性质P ，证明：11a ≠；（3）当7,8n =时，分别判断是否存在具有性质P 的数列A ？请说明理由.。
北京市中国人民大学附属中学2020届高三数学3月月考试题一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将答案涂在机读卡上的相应位置上．）1.若集合{}320A x R x =∈+>，{}2230B x R x x =∈-->，则A B =I （ ） A. {}1x R x ∈<-B. 213x R x ⎧⎫∈-<<-⎨⎬⎩⎭C. 233x R x ⎧⎫∈-<<⎨⎬⎩⎭D. {}3x R x ∈>2.向量,,a b c v v v 在正方形网格中的位置如图所示.若向量a b λ+v v 与c v共线,则实数λ=（ ）A. 2-B. 1-C. 1D. 23.设曲线C 是双曲线,则“C 的方程为2214y x -=”是“C 的渐近线方程为2y x =±”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.某校象棋社团组织中国象棋比赛,采用单循环赛制,即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手各比赛一场,胜者得2分,负者得0分,平局两人各得1分.若冠军获得者得分比其他人都多,且获胜场次比其他人都少,则本次比赛的参赛人数至少为 A. 4B. 5C. 6D. 75.若抛物线y 2＝2px （p ＞0）上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p 的取值范围是（ ） A. p ＜1B. p ＞1C. p ＜2D. p ＞26.已知函数()()cos 2f x x φ=+（ϕ为常数）为奇函数，那么cos ϕ=（ ） A. 0B. 2C.22D. 17.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱为（ ）A. 4B. 22C. 7D. 28.函数()f x =()21,01,0x x f x x -⎧-≤⎪⎨->⎪⎩，若方程()f x =x a +有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A. （－∞，1） B. （－∞，1] C. （0，1）D. [0，+∞）9.定义：若存在常数k ，使得对定义域D 内的任意两个1212,()x x x x ≠，均有1212()()f x f x k x x -≤-成立，则称函数()f x 在定义域D 上满足利普希茨条件.若函数()(1)f x x x =≥满足利普希茨条件，则常数k的最小值为（ ） A. 4B. 3C. 1D.1210.在边长为1的正方体中，E ，F ，G ，H 分别为A 1B 1，C 1D 1，AB ，CD 的中点，点P 从G 出发，沿折线GBCH 匀速运动，点Q 从H 出发，沿折线HDAG 匀速运动，且点P 与点Q 运动的速度相等，记E ，F ，P ，Q 四点为顶点的三棱锥的体积为V ，点P 运动的路程为x ，在0≤x ≤2时，V 与x 的图象应为（ ）A. B.C. D.二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）11.代数式（1﹣x ）（1+x ）5的展开式中x 3的系数为_____． 12.在复平面内，复数12z i =-对应的点到原点的距离是_______． 13.已知函数若42log ,04()1025,4x x f x x x x ⎧<=⎨-+>⎩…，a bc d ，，，是互不相同的正数，且()()()()f a f b f c f d ===，则abcd 的取值范围是_____．14.已知双曲线22221x y C a b -=：的一条渐近线的倾斜角为60°，且与椭圆2215x y +=有相等焦距，则C 的方程为_____15.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S n +2﹣S n ＝36，则n ＝_____．16.如果对于函数f （x ）定义域内任意的两个自变量的值x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）≤f （x 2），且存在两个不相等的自变量值y 1，y 2，使得f （y 1）＝f （y 2），就称f （x ）为定义域上的不严格的增函数．则①()10111x x f x x x x ≥⎧⎪=-⎨⎪≤-⎩，，＜＜，，②()1222x f x sinx x πππ⎧=-⎪⎪=⎨⎪-≤⎪⎩，，＜，③()1101111x f x x x ≥⎧⎪=-⎨⎪-≤-⎩，，＜＜，，④()111x x f x x x ≥⎧=⎨+⎩，，＜，四个函数中为不严格增函数的是_____，若已知函数g （x ）的定义域、值域分别为A 、B ，A ＝{1，2，3}，B ⊆A ，且g （x ）为定义域A 上的不严格的增函数，那么这样的g （x ）有_____个．三、解答题（本大题共6个小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）17.已知{}n a 是各项为正数的等差数列,n S 为其前n 项和,且24(1)n n S a =+.（Ⅰ）求1a ,2a 的值及{}n a 的通项公式; （Ⅱ）求数列72n n S a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的最小值. 18.如图，在四棱锥E ﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面ABCD ⊥平面ABE ，∠AEB ＝90°，BE ＝BC ，F 为CE 的中点，（1）求证：AE ∥平面BDF ； （2）求证：平面BDF ⊥平面ACE ；（3）2AE ＝EB ，在线段AE 上找一点P ，使得二面角P ﹣DB ﹣F 的余弦值为10，求P 的位置． 19.某市旅游管理部门为提升该市26个旅游景点的服务质量，对该市26个旅游景点的交通、安全、环保、卫生、管理五项指标进行评分．每项评分最低分0分，最高分100分．每个景点总分为这五项得分之和，根据考核评分结果，绘制交通得分与安全得分散点图、交通得分与景点总分散点图如图请根据图中所提供的信息，完成下列问题：（1）若从交通得分排名前5名景点中任取1个，求其安全得分大于90分的概率；（2）若从景点总分排名前6名的景点中任取3个，记安全得分不大于90分的景点个数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望；（3）记该市26个景点的交通平均得分为1x ，安全平均得分为2x ，写出1x 和2x 的大小关系？（只写出结果）20.已知函数f （x ）1x=-x +alnx ． （1）求f （x ）在（1，f （1））处的切线方程（用含a 的式子表示） （2）讨论f （x ）的单调性；（3）若f （x ）存在两个极值点x 1，x 2，证明：()()12122f x f x a x x ---＜．21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线0x y -+=相切.（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）设S 为椭圆右顶点，过椭圆C 的右焦点的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点（异于S ），直线PS ，QS 分别交直线4x =于A ，B 两点. 求证：A ，B 两点的纵坐标之积为定值.22.给定一个n 项的实数列()*12n a a a n N ∈L ，，，，任意选取一个实数c ，变换T （c ）将数列a 1，a 2，…，a n 变换为数列|a 1﹣c |，|a 2﹣c |，…，|a n ﹣c |，再将得到的数列继续实施这样的变换，这样的变换可以连续进行多次，并且每次所选择的实数c 可以不相同，第k （k ∈N *）次变换记为T k （c k ），其中c k 为第k 次变换时选择的实数．如果通过k 次变换后，数列中的各项均为0，则称T 1（c 1），T 2（c 2），…，T k （c k ）为“k 次归零变换”．（1）对数列：1，3，5，7，给出一个“k 次归零变换”，其中k ≤4； （2）证明：对任意n 项数列，都存“n 次归零变换”；（3）对于数列1，22，33，…，n n ，是否存在“n ﹣1次归零变换”？请说明理由．北京市中国人民大学附属中学2020届高三数学3月月考试题一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将答案涂在机读卡上的相应位置上．）1.若集合{}320A x R x =∈+>，{}2230B x R x x =∈-->，则A B =I （ ） A. {}1x R x ∈<-B. 213x R x ⎧⎫∈-<<-⎨⎬⎩⎭C. 233x R x ⎧⎫∈-<<⎨⎬⎩⎭D. {}3x R x ∈>【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可．【详解】2{|}3A x R x =∈-＞，B={x∈R|x＜﹣1，或x ＞3}； ∴A∩B={x∈R|x＞3}． 故选D ．【点睛】本题考查描述法表示集合的概念，一元二次不等式的解法，以及交集及其运算． 2.向量,,a b c v v v 在正方形网格中的位置如图所示.若向量a b λ+v v 与c v共线,则实数λ=（ ）A. 2-B. 1-C. 1D. 2【答案】D 【解析】 【分析】由图像，根据向量的线性运算法则，可直接用,a b rr 表示出c r，进而可得出λ.【详解】由题中所给图像可得：2a b c +=r r r ，又c r = a b r r λ+，所以2λ=.故选D【点睛】本题主要考查向量的线性运算，熟记向量的线性运算法则，即可得出结果，属于基础题型.3.设曲线C 是双曲线,则“C 的方程为2214y x -=”是“C 的渐近线方程为2y x =±”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】分析：由方程为2214y x -=的渐近线为2y x =±，且渐近线方程为2y x =±的双曲线方程为()2204y x λλ-=≠，即可得结果.详解：若C 的方程为2214y x -=，则1,2a b ==，渐近线方程为by x a=±， 即为2y x =±，充分性成立，若渐近线方程为2y x =±，则双曲线方程为()2204y x λλ-=≠，∴“C 的方程为2214y x -=”是“C 的渐近线方程为2y x =±”的充分而不必要条件，故选A.点睛：本题通过圆锥曲线的方程主要考查充分条件与必要条件，属于中档题.判断充要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.4.某校象棋社团组织中国象棋比赛,采用单循环赛制,即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手各比赛一场,胜者得2分,负者得0分,平局两人各得1分.若冠军获得者得分比其他人都多,且获胜场次比其他人都少,则本次比赛的参赛人数至少为 A. 4 B. 5C. 6D. 7【答案】C 【解析】分析：对于四个选项中给出的参赛人数分别进行分析，看是否满足条件，然后可得结论．详解：对于A ，若参赛人数最少为4人，则当冠军3次平局时，得3分，其他人至少1胜1平局时，最低得3分，所以A 不正确．对于B ，若参赛人数最少为5人，当冠军1负3平局时，得3分，其他人至少1胜1平局，最低得3分，所以B 不正确．对于C ，若若参赛人数最少为6人，当冠军2负3平局时，得3分，其他人至少1胜1平局，最低得3分，此时不成立；当冠军1胜4平局时，得6分，其他人至少2胜1平局，最低得5分，此时成立．综上C 正确．对于D ，由于7大于6，故人数不是最少．所以D 不正确． 故选C ．点睛：本题考查推理问题，考查学生的分析问题和应用所学知识解决问题的能力．解题时要根据所给出的条件进行判断、分析，看是否得到不合题意的结果．5.若抛物线y 2＝2px （p ＞0）上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p 的取值范围是（ ） A. p ＜1 B. p ＞1C. p ＜2D. p ＞2【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的几何性质当P 为抛物线的顶点时，P 到准线的距离取得最小值2p，列不等式求解. 【详解】∵设P 为抛物线的任意一点， 则P 到焦点的距离等于到准线：x 2p=-的距离， 显然当P 为抛物线的顶点时，P 到准线的距离取得最小值2p ． ∴12p＞，即p ＞2． 故选：D ．【点睛】此题考查抛物线的几何性质，根据几何性质解决抛物线上的点到焦点距离的取值范围问题. 6.已知函数()()cos 2f x x φ=+（ϕ为常数）为奇函数，那么cos ϕ=（ ）A. 0B. 2-C.2D. 1【答案】A 【解析】 【分析】根据奇函数定义()00f =，代入即可求得cos ϕ的值． 【详解】因为函数()()cos 2f x x ϕ=+（ϕ为常数）为奇函数 所以()00f =，代入cos 0ϕ= 所以选A【点睛】本题考查了奇函数的应用及三角函数的求值，属于基础题． 7.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱为（ ）A. 4B. 227D. 2【答案】B 【解析】 【分析】根据三视图得到几何体的直观图，然后结合图中的数据计算出各棱的长度，进而可得最长棱．【详解】由三视图可得，该几何体是如图所示的四棱锥11P DCC D -，底面11DCC D 是边长为2的正方形，侧面11PC D ∆是边长为2的正三角形，且侧面11PC D ⊥底面11DCC D ．根据图形可得四棱锥中的最长棱为1PC 和1PD ，结合所给数据可得1122PC PD == 所以该四棱锥的最长棱为22 故选B ．【点睛】在由三视图还原空间几何体时，要结合三个视图综合考虑，根据三视图表示的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线、不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以主视图和俯视图为主，结合左视图进行综合考虑．热悉常见几何体的三视图，能由三视图得到几何体的直观图是解题关键．考查空间想象能力和计算能力．8.函数()f x =()21,01,0x x f x x -⎧-≤⎪⎨->⎪⎩，若方程()f x =x a +有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A. （－∞，1） B. （－∞，1] C. （0，1） D. [0，+∞）【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数的表达，画出函数的图像，结合函数()f x 和y x a =+的图像有且只有两个交点，来求得实数a 的取值范围.【详解】当(]0,1x ∈时，(]11,0x -∈-，故()()1221xf x f x -=-=⋅-.当(]1,2x ∈时，(]10,1x -∈，故()2221xf x -=⋅-.以此类推，当(]1,x n n ∈-,n Z +∈时，()221n x f x -=⋅-.由此画出函数()f x 和y x a =+的图像如下图所示，由图可知a 的取值范围是(),1-∞时，()f x 和y x a =+的图像有且仅有两个交点.即方程()f x =x a +有且只有两个不相等的实数根.故本小题选A.【点睛】本小题主要考查分段函数解析式的求法，考查数形结合的数学思想方法，考查方程的根和函数的零点问题，综合性较强，属于中档题.9.定义：若存在常数k ，使得对定义域D 内的任意两个1212,()x x x x ≠，均有1212()()f x f x k x x -≤-成立，则称函数()f x 在定义域D 上满足利普希茨条件.若函数()1)f x x x =≥满足利普希茨条件，则常数k 的最小值为（ ）A. 4B. 3C. 1D. 12 【答案】12【解析】试题分析：由已知中中利普希茨条件的定义，若函数()1)f x x x =≥满足利普希茨条件，所以存在常数k ，使得对定义域[1，+∞）内的任意两个1212,()x x x x ≠，均有1212()()f x f x k x x -≤-成立， 不妨设12x x ＞，则121212x x k x x x x --+． 而012 x x +＜12，所以k 的最小值为12．故选D. 考点：1.新定义问题；2.函数恒成立问题．10.在边长为1的正方体中，E ，F ，G ，H 分别为A 1B 1，C 1D 1，AB ，CD 的中点，点P 从G 出发，沿折线GBCH 匀速运动，点Q 从H 出发，沿折线HDAG 匀速运动，且点P 与点Q 运动的速度相等，记E ，F ，P ，Q 四点为顶点的三棱锥的体积为V ，点P 运动的路程为x ，在0≤x ≤2时，V 与x 的图象应为（ ）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】分情况表示出三棱锥的体积，根据分段函数解析式判定函数图象.【详解】（1）当012x≤≤时，点P与点Q运动的速度相等根据下图得出：面OEF把几何体PEFQ分割为相等的几何体，∵S△OEF111122=⨯⨯=，P到面OEF的距离为x，V PEFQ＝2V P﹣OEF＝21132⨯⨯x＝2•63x x=，23（2）当12＜x32≤时，P在AB上，Q在C1D1上，P到12，S△OEF111122=⨯⨯=，V PEFQ＝2V P﹣OEF＝211113226⨯⨯⨯==定值．（3）当32＜x≤2时，S△OEF111122=⨯⨯=，P到面OEF的距离为2﹣x，V PEFQ＝2V P﹣OEF＝21132⨯⨯⨯（2﹣x）2133=-x，V1321136222132332xxxx x⎧≤⎪⎪⎪=≤⎨⎪⎪-≤≤⎪⎩，＜，＜，故选：C．【点睛】此题考查求锥体体积，关键在于根据几何体特征准确分类讨论表示出锥体体积，结合分段函数解析式选择函数图象.二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）11.代数式（1﹣x）（1+x）5的展开式中x3的系数为_____．【答案】0【解析】【分析】根据二项式定理写出（1+x）5的展开式，即可得到x3的系数.【详解】∵（1﹣x）（1+x）5＝（1﹣x）（0155C C+•x25C+•x235C+•x345C+•x455C+•x5），∴（1﹣x）（1+x）5展开式中x3的系数为135C⨯-125C⨯=0．故答案为：0．【点睛】此题考查二项式定理，关键在于熟练掌握定理的展开式，根据多项式乘积关系求得指定项的系数.12.在复平面内，复数12z i =-对应的点到原点的距离是_______．【解析】因为复数12z i =-，所以z ==12z i =-对应的点13.已知函数若42log ,04()1025,4x x f x x x x ⎧<=⎨-+>⎩„，a bc d ，，，是互不相同的正数，且()()()()f a f b f c f d ===，则abcd 的取值范围是_____．【答案】()24,25【解析】【分析】画出函数y f x ＝（）的图象，运用对数函数的图象，结合对数运算性质，可得1ab ＝，由二次函数的性质可得10c d +＝，运用基本不等式和二次函数的性质，即可得到所求范围．【详解】先画出函数42log ,04()1025,4x x f x x x x ⎧<=⎨-+>⎩„的图象，如图所示：因为a b c d ,,,互不相同，不妨设a b c d <<<，且()()()()f a f b f c f d ===， 而44log log b -=，即有44log log 0a b +=，可得1ab =，则abcd cd =，由10c d +＝，且c d <，可得2252c d cd +⎛⎫<= ⎪⎝⎭， 且2(10)(5)25cd c c c =-=--+，当4c =时，6d =，此时24cd =，但此时b ，c 相等，故abcd 的范围为(24,25)．故答案为2425（，）．【点睛】本题考查了利用函数图象分析解决问题的能力，以及对数函数图象的特点，注意体会数形结合思想在本题中的运用．14.已知双曲线22221x yCa b-=：的一条渐近线的倾斜角为60°，且与椭圆2215xy+=有相等焦距，则C的方程为_____【答案】x223y-=1【解析】【分析】根据渐近线倾斜角求出斜率得到ba=3，结合焦距即可求得方程.【详解】由椭圆的方程可得焦距为4，再由双曲线的渐近线方程可得：ba=tan60°3=a2+b2＝4，解得：a2＝1，b2＝3，所以双曲线的方程为：x223y-=1；故答案为：x223y-=1．【点睛】此题考查求双曲线的方程，根据椭圆求得焦距，根据渐近线的倾斜角得出斜率，建立等量关系求解基本量a，b，c.15.设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，S n+2﹣S n＝36，则n＝_____．【答案】8【解析】【分析】根据等差数列的首项和公差表示出()2212nn nS n n-=+=，根据方程S n+2﹣S n＝36即可得解.【详解】∵等差数列{a n}的首项a1＝1，公差d＝2，则()2212n n n S n n -=+=，22(2)n S n +=+，由S n +2﹣S n ＝36，得（n +2）2﹣n 2＝2（2n +2）＝36，解得：n ＝8．故答案为：8．【点睛】此题考查等差数列求和公式，根据求和公式建立等量关系求解未知数，关键在于熟记公式，准确计算.16.如果对于函数f （x ）定义域内任意的两个自变量的值x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）≤f （x 2），且存在两个不相等的自变量值y 1，y 2，使得f （y 1）＝f （y 2），就称f （x ）为定义域上的不严格的增函数．则①()10111x x f x x x x ≥⎧⎪=-⎨⎪≤-⎩，，＜＜，，②()1222x f x sinx x πππ⎧=-⎪⎪=⎨⎪-≤⎪⎩，，＜，③()1101111x f x x x ≥⎧⎪=-⎨⎪-≤-⎩，，＜＜，，④()111x x f x x x ≥⎧=⎨+⎩，，＜，四个函数中为不严格增函数的是_____，若已知函数g （x ）的定义域、值域分别为A 、B ，A ＝{1，2，3}，B ⊆A ，且g （x ）为定义域A 上的不严格的增函数，那么这样的g （x ）有_____个．【答案】 (1). ①③ (2). 9【解析】【分析】①③两个函数满足题意，②是严格单调递增的函数，不合题意，④当x 112=，x 2∈（1，32），f （x 1）＞f （x 2），不合题意；分别列举出满足条件的函数关系即可得解. 【详解】由已知中：函数f （x ）定义域内任意的两个自变量的值x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）≤f （x 2），且存在两个不相等的自变量值y 1，y 2，使得f （y 1）＝f （y 2），就称f （x ）为定义域上的不严格的增函数．①()10111x x f x x x x ≥⎧⎪=-⎨⎪≤-⎩，，＜＜，，满足条件，为定义在R 上的不严格的增函数；②()1222x f x sinx x πππ⎧=-⎪⎪=⎨⎪-≤⎪⎩，，＜，当x 12π=-，x 2∈（2π-，2π），f （x 1）＞f （x 2），故不是不严格的增函数； ③()1101111x f x x x ≥⎧⎪=-⎨⎪-≤-⎩，，＜＜，，满足条件，为定义在R 上的不严格的增函数； ④()111x x f x x x ≥⎧=⎨+⎩，，＜，当x 112=，x 2∈（1，32），f （x 1）＞f （x 2），故不是不严格的增函数； 故已知的四个函数中为不严格增函数的是①③；∵函数g （x ）的定义域、值域分别为A 、B ，A ＝{1，2，3}，B ⊆A ，且g （x ）为定义域A 上的不严格的增函数，则满足条件的函数g （x ）有：g （1）＝g （2）＝g （3）＝1，g （1）＝g （2）＝g （3）＝2，g （1）＝g （2）＝g （3）＝3，g （1）＝g （2）＝1，g （3）＝2，g （1）＝g （2）＝1，g （3）＝3，g （1）＝g （2）＝2，g （3）＝3，g （1）＝1，g （2）＝g （3）＝2，g （1）＝1，g （2）＝g （3）＝3，g （1）＝2，g （2）＝g （3）＝3，故这样的函数共有9个，故答案为：①③；9．【点睛】此题考查函数概念，涉及新定义，与单调递增对比，寻找满足条件的函数，关键在于读懂题意，根据不严格增函数的定义进行判定.三、解答题（本大题共6个小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）17.已知{}n a 是各项为正数的等差数列,n S 为其前n 项和,且24(1)n n S a =+.（Ⅰ）求1a ,2a 的值及{}n a 的通项公式;（Ⅱ）求数列72n n S a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的最小值.【答案】（1）21n a n =-（2）172- 【解析】 【试题分析】（１）借助题设条件运用等差数列的通项公式及前项和公式建立方程组求解；（２）先确定目标函数解析式，再运用二次函数的图像与性质分析求解：（Ⅰ）因为()241n n S a =+，所以，当1n =时，()21141a a =+，解得11a =，所以，当2n =时，()()222411a a +=+，解得21a =-或23a =，因为{}n a 是各项为正数的等差数列，所以23a =，所以{}n a 的公差212d a a =-=，所以{}n a 的通项公式()1121n a a n d n =+-=-. （Ⅱ）因为()241n n S a =+，所以()222114n n Sn -+==， 所以()2772122n n S a n n -=-- 2772n n =-+ 273524n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 所以，当3n =或4n =时，72n n S a -取得最小值172- 18.如图，在四棱锥E ﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面ABCD ⊥平面ABE ，∠AEB ＝90°，BE ＝BC ，F 为CE 的中点，（1）求证：AE ∥平面BDF ；（2）求证：平面BDF ⊥平面ACE ；（3）2AE ＝EB ，在线段AE 上找一点P ，使得二面角P ﹣DB ﹣F的余弦值为10，求P 的位置． 【答案】（1）见解析（2）见解析（3）P 在E 处．【解析】【分析】（1）通过证明FG ∥AE 即可证明；（2）通过证明BF ⊥平面ACE ，即可证得面面垂直；（3）建立空间直角坐标系，利用两个半平面法向量关系求解.【详解】证明：（1）设AC ∩BD ＝G ，连接FG ，易知G 是AC 的中点，∵F 是EC 中点． ∴在△ACE 中，FG ∥AE ，∵AE ⊄平面BFD ，FG ⊂平面BFD ，∴AE ∥平面BFD ．（2）∵平面ABCD ⊥平面ABE ，BC ⊥AB ， 平面ABCD ∩平面ABE ＝AB ，∴BC ⊥平面ABE ，又∵AE ⊂平面ABE ，∴BC ⊥AE ，又∵AE ⊥BE ，BC ∩BE ＝B ，∴AE ⊥平面BCE ，即AE ⊥BF ，在△BCE 中，BE ＝CB ，F 为CE 的中点，∴BF ⊥CE ，AE ∩CE ＝E ，∴BF ⊥平面ACE ，又BF ⊂平面BDF ，∴平面BDF ⊥平面ACE ．（3）如图建立坐标系，设AE ＝1， 则B （2，0，0），D （0，1，2），C （2，0，2），F （1，0，1），设P （0，a ，0），()212BD =-u u u r ，，，()101BF =-u u u r ，，，()20PB a =-u u u r ，， 设平面BDF 的法向量为1n u r ，且()1111n x y z =u r ，，，则由1n u r ⊥BD u u u r 得﹣2x 1+y 1+2z 1＝0，由1n u r ⊥BF u u u r 得﹣x 1+z 1＝0，令z 1＝1得x 1＝1，y 1＝0，从而()1101n =u r ，，设平面BDP 的法向量为2n u u r ，且()2222n x y z =u u r ，，，则由2n u u r ⊥BD u u u r 得﹣2x 2+y 2+2z 2＝0，由2n u u r ⊥PB u u u r 得2x 2﹣ay 2＝0，令y 2＝2得x 2＝a ，z 2＝a ﹣1，从而()221n a a =-u u r ，，， ()12221211010241n n a a cos n n a a θ⋅+-===⋅⋅++-u r u u r u r u u r ， 解得a ＝0或a ＝1（舍）即P 在E 处．【点睛】此题考查证明线面平行和面面垂直，关键在于熟练掌握判定定理，建立空间直角坐标系利用法向量求解二面角的大小，方法通俗易懂，注意计算不能出错.19.某市旅游管理部门为提升该市26个旅游景点服务质量，对该市26个旅游景点的交通、安全、环保、卫生、管理五项指标进行评分．每项评分最低分0分，最高分100分．每个景点总分为这五项得分之和，根据考核评分结果，绘制交通得分与安全得分散点图、交通得分与景点总分散点图如图请根据图中所提供的信息，完成下列问题：（1）若从交通得分排名前5名的景点中任取1个，求其安全得分大于90分的概率；（2）若从景点总分排名前6名的景点中任取3个，记安全得分不大于90分的景点个数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望；（3）记该市26个景点的交通平均得分为1x ，安全平均得分为2x ，写出1x 和2x 的大小关系？（只写出结果）【答案】（1）35（2）见解析，1．（3）12x x ＞． 【解析】 【分析】（1）根据图象安全得分大于90分的景点有3个，即可求得概率；（2）ξ的可能取值为0，1，2，依次求得概率，即可得到分布列；（3）根据图象中的点所在位置即可判定平均分的大小关系.【详解】（1）由图象可知交通得分排名前5名的景点中，安全得分大于90分的景点有3个，∴从交通得分排名前5名的景点中任取1个，其安全得分大于90分的概率为35． （2）结合两图象可知景点总分排名前6名的景点中，安全得分不大于90分的景点有2个， ξ的可能取值为0，1，2．P （ξ＝0）343615C C ==，P （ξ＝1）21423635C C C ⋅==，P （ξ＝2）12423615C C C ⋅==， ∴ξ的分布列为：∴E （ξ）＝015⨯+135⨯+215⨯=1． （3）由图象可知26个景点的交通得分全部在80分以上，主要集中在85分附近，安全得分主要集中在80分附近，且80分以下的景点接近一半，故而12x x ＞．【点睛】此题考查根据散点图求古典概型，分布列和数学期望，关键在于准确求出概率，根据图象中散点图特征判定平均值的大小关系.20.已知函数f （x ）1x=-x +alnx ． （1）求f （x ）在（1，f （1））处的切线方程（用含a 的式子表示）（2）讨论f （x ）的单调性；（3）若f （x ）存在两个极值点x 1，x 2，证明：()()12122f x f x a x x ---＜．【答案】（1）y ＝（﹣2+a ）x +2﹣a ．（2）见解析（3）见解析【解析】【分析】（1）求出切点坐标，根据导函数求出切线斜率，即可得到切线方程；（2）求出导函数，对g （x ）＝﹣x 2+ax ﹣1，进行分类讨论即可得到原函数单调性；（3）结合（2）将问题转为证明1212lnx lnx x x --＜1，根据韦达定理转化为考虑h （x ）＝2lnx ﹣x 1x+的单调性比较大小即可得证.【详解】（1）∵f （x ）1x=-x +alnx （x ＞0） ∴f ′（x ）221x ax x-+-=（x ＞0） ∴当x ＝1时，f （1）＝0，f ′（1）＝﹣2+a ，设切线方程为y ＝（﹣2+a ）x +b ，代入（1，0），得b ＝2﹣a ，∴f （x ）在（1，f （1））处的切线方程为y ＝（﹣2+a ）x +2﹣a ．（2）函数的定义域为（0，+∞），函数的导数f ′（x ）221x ax x -+-=， 设g （x ）＝﹣x 2+ax ﹣1，注意到g （0）＝﹣1，①当a ≤0时，g （x ）＜0恒成立，即f ′（x ）＜0恒成立，此时函数f （x ）在（0，+∞）上是减函数； ②当a ＞0时，判别式△＝a 2﹣4，（i ）当0＜a ≤2时，△≤0，即g （x ）≤0，即f ′（x ）≤0恒成立，此时函数f （x ）在（0，+∞）上是减函数；（ii ）当a ＞2时，令f ′（x ）＞0x令f ′（x ）＜0，得：0＜x 或x ； ∴当a ＞2时，f （x ）在区间（2a -，2a +）单调递增，在（0，2a ），（2a +，+∞）单调递减；综上所述，综上当a ≤2时，f （x ）在（0，+∞）上是减函数，当a ＞2时，在（0），+∞）上是减函数，（3）（2）由（1）知a ＞2，0＜x 1＜1＜x 2，x 1x 2＝1，则f （x 1）﹣f （x 2）11x =-x 1+alnx 1﹣[21x -x 2+alnx 2] ＝（x 2﹣x 1）（1121x x +）+a （lnx 1﹣lnx 2） ＝2（x 2﹣x 1）+a （lnx 1﹣lnx 2），则()()1212f x f x x x -=--21212()a lnx lnx x x -+-， 则问题转为证明1212lnx lnx x x --＜1即可， 即证明lnx 1﹣lnx 2＞x 1﹣x 2，则lnx 1﹣ln 11x ＞x 111x -， 即lnx 1+lnx 1＞x 111x -， 即证2lnx 1＞x 111x -在（0，1）上恒成立， 设h （x ）＝2lnx ﹣x 1x+，（0＜x ＜1），其中h （1）＝0， 求导得h ′（x ）2x =-1()222221121x x x x x x--+-=-=-＜0， 则h （x ）在（0，1）上单调递减，∴h（x）＞h（1），即2lnx﹣x1x+＞0，故2lnx＞x1x -，则()()1212f x f xx x＜--a﹣2成立．【点睛】此题考查导函数的应用，根据几何意义求切线斜率，讨论函数的单调性，证明不等式，解决双变量问题，综合性强.21.已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线0x y-+=相切.（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）设S为椭圆右顶点，过椭圆C的右焦点的直线l与椭圆C交于P，Q两点（异于S），直线PS，QS 分别交直线4x=于A，B两点. 求证：A，B两点的纵坐标之积为定值.【答案】（Ⅰ）22143x y+=；（Ⅱ）详见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）求出,,a b c后可得椭圆方程.（Ⅱ）当直线l的斜率不存在，计算可得A B，两点的纵坐标之积为9-.当直线l的斜率存在时，可设直线l 的方程为(1)(0)y k x k=-≠，112212()()(0)P x y Q x y x x≠,,,,，则212121212()142()4A Bx x x xy y kx x x x-++=-++，联立直线方程和椭圆方程，消去y后利用韦达定理化简A By y后可得定值.【详解】解：（Ⅰ）因为以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y-+=相切，所以半径b等于原点到直线的距离d，b d==，即b=由离心率12e=，可知12ca=，且222a b c=+，得2a=.故椭圆C的方程为22143x y+=.（Ⅱ）由椭圆C的方程可知(20)S,.若直线l的斜率不存在，则直线l方程为1x=，所以331122P Q ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,, ,. 则直线PS 的方程为3260x y +-=，直线QS 的方程为3260x y --=.令4x =，得(43)A ,-，(43)B ,. 所以,A B 两点的纵坐标之积为9-.若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠,由22(1)34120y k x x y =-⎧⎨+-=⎩得2222(34)84120k x k x k +-+-=， 依题意0∆≥恒成立.设112212()()(0)P x y Q x y x x ≠,,,,， 则2212122284123434k k x x x x k k-+==++,. 设(4)A A y ,(4)B B y ,，由题意,,P S A 三点共线可知11422A y y x =--， 所以点A 的纵坐标为1122A y y x =-.同理得点B 的纵坐标为2222B y y x =-. 所以12122222A B y y y y x x =⋅--212121212()142()4x x x x k x x x x -++=-++ 22222224128434412284(43)k k k k k k k --++=--⨯++22944k k -=⨯9=- 综上，A B ，两点的纵坐标之积为定值.【点睛】求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等. 直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组，消元后得到关于x 或y 的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系式中含有1212,x x x x +或1212,y y y y +，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值等问题.22.给定一个n 项的实数列()*12n a a a n N ∈L ，，，，任意选取一个实数c ，变换T （c ）将数列a 1，a 2，…，a n 变换为数列|a 1﹣c |，|a 2﹣c |，…，|a n ﹣c |，再将得到的数列继续实施这样的变换，这样的变换可以连续进行多次，并且每次所选择的实数c 可以不相同，第k （k ∈N *）次变换记为T k （c k ），其中c k 为第k 次变换时选择的实数．如果通过k 次变换后，数列中的各项均为0，则称T 1（c 1），T 2（c 2），…，T k （c k ）为“k 次归零变换”．（1）对数列：1，3，5，7，给出一个“k 次归零变换”，其中k ≤4；（2）证明：对任意n 项数列，都存在“n 次归零变换”；（3）对于数列1，22，33，…，n n ，是否存在“n ﹣1次归零变换”？请说明理由．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）不存在，见解析【解析】【分析】（1）根据定义取恰当的值进行变换得解；（2）结合（1）进行归零变换的过程，可以考虑构造数列，经过k 次变换后，数列记为()()()12k k k na a a L ，，，，k ＝1，2，…，进行变换T k （c k ）时，()()()11112k k k k k c a a --+=+，依次变换即可得证； （3）利用数学归纳法证明该数列不存在“n ﹣1次归零变换”.【详解】（1）方法1：T 1（4）：3，1，1，3；T 2（2）：1，1，1，1；T 3（1）：0，0，0，0．方法2：T 1（2）：1，1，3，5；T 2（2）：1，1，1，3；T 3（2）：1，1，1，1；T 4（1）：0，0，0，0．．…（2）经过k 次变换后，数列记为()()()12k k k na a a L ，，，，k ＝1，2，…． 取()11212c a a =+，则()()11121212a a a a ==-，即经T 1（c 1）后，前两项相等； 取()()()1122312c a a =+，则()()()()()222111233212a a a a a ===-，即经T 2（c 2）后，前3项相等； …设进行变换T k （c k ）时，其中()()()11112k k k k k c a a --+=+，变换后数列变为()()()()()()12312k k k k k k k k n a a a a a a ++L L ，，，，，，，，则()()()()1231k k k k k a a a a +====L ； 那么，进行第k +1次变换时，取()()()11212k k k k k c a a +++=+， 则变换后数列变为()()()()()()()1111111123123k k k k k k k k k k n a a a a a a a ++++++++++L L ，，，，，，，，， 显然有()()()()()1111112312k k k k k k k a a a a a +++++++=====L ；…经过n ﹣1次变换后，显然有()()()()()111111231n n n n n n na a a a a ------=====L ；最后，取()1n n n c a -=，经过变换T n （c n ）后，数列各项均为0．所以对任意数列，都存在“n 次归零变换”．（3）不存在“n ﹣1次归零变换”．证明：首先，“归零变换”过程中，若在其中进行某一次变换T j （c j ）时，c j ＜min {a 1，a 2，…，a n }，那么此变换次数便不是最少．这是因为，这次变换并不是最后的一次变换（因它并未使数列化为全零），设先进行T j （c j ）后，再进行T j +1（c j +1），由||a i ﹣c j |﹣c j +1|＝|a i ﹣（c j +c j +1）|，即等价于一次变换T j （c j +c j +1），同理，进行某一步T j （c j ）时，c j ＞max {a 1，a 2，…，a n }；此变换步数也不是最小．由以上分析可知，如果某一数列经最少的次数的“归零变换”，每一步所取的c i 满足min {a 1，a 2，…，a n }≤c i ≤max {a 1，a 2，…，a n }．以下用数学归纳法来证明，对已给数列，不存在“n ﹣1次归零变换”．（1）当n ＝2时，对于1，4，显然不存在“一次归零变换”，结论成立．（由（2）可知，存在“两次归零变换”变换：125322T T ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，） （2）假设n ＝k 时成立，即1，22，33，…，k k 不存在“k ﹣1次归零变换”．当n ＝k +1时，假设1，22，33，…，k k ，（k +1）k +1存在“k 次归零变换”．此时，对1，22，33，…，k k 也显然是“k 次归零变换”，由归纳假设以及前面的讨论不难知1，22，33，…，k k 不存在“k ﹣1次归零变换”，则k 是最少的变换次数，每一次变换c i 一定满足1k i c k ≤≤，i ＝1，2，…，k ． 因为()111212|(1)|(1)k k k k k c c c k c c c +++----=+-+++≥L L L （k +1）k +1﹣k •k k ＞0所以，（k +1）k +1绝不可能变换为0，与归纳假设矛盾．所以，当n ＝k +1时不存在“k 次归零变换”．由（1）（2）命题得证．【点睛】此题考查数列新定义问题，关键在于读懂题目所给新定义，根据定义进行构造，分析证明，涉及与正整数有关的命题可以考虑利用数学归纳法进行证明.。
北京北师大附属中学中学部2020年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 数列为等差数列，为等比数列，，则A． B． C． D．参考答案：D略2. 若函数的图象上任意点处切线的倾斜角为，则的最小值是（）A. B. C.D.参考答案：D略3. 满足，且的集合的个数是（）A．1 B．2 C．3D．4参考答案：B4. 已知集合，，则（）A．B．C．D．参考答案：B5. 函数的最大值为 ( )A. B. C. D.参考答案：C,所以函数的最大值为，选C.6. 函数的定义域是（）A． B． C． D．参考答案：D7. 方程x2+x﹣1=0的解可视为函数y=x+与函数y=的图象交点的横坐标，若x4+ax﹣4=0的各实根x1、x2、…、x k（k≤4）所对应的点（x i，）（i=1，2，…，k）均在直线y=x的同一侧，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6）B．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）C．（6，+∞）D．（﹣6，6）参考答案：B【考点】函数的图象．【分析】原方程等价于x3+a=，原方程的实根是曲线y=x3+a与曲线y=的交点的横坐标：分a＞0与a＜0讨论，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：方程的根显然x≠0，原方程等价于x3+a=，原方程的实根是曲线y=x3+a与曲线y=的交点的横坐标；而曲线y=x3+a是由曲线y=x3向上或向下平移|a|个单位而得到的．若交点（x i，）（i=1，2，k）均在直线y=x的同侧，因直线y=x3与y=交点为：（﹣2，﹣2），（2，2）；所以结合图象可得：或解得a＞6或a＜﹣6，即实数a的取值范围是（﹣∞，﹣6）∪（6，∞），故选：B8. 已知函数是偶函数，且，当时，，则方程在区间上的解的个数是（）A．8 B．9 C．10 D．11参考答案：B9. 函数的图像可由的图像向右平移A．个单位 B．个单位 C．个单位 D．个单位参考答案：D略10. 某程序框图如图所示，其中，若输出的，则判断框内应填入的条件为（）A．n＜2017 B．n≤2017C．n＞2017 D．n≥2017参考答案：A【考点】程序框图．【分析】由输出的S的值，可得n的值为2016时，满足判断框内的条件，当n的值为2017时，不满足判断框内的条件，退出循环，从而得解．【解答】解：由S=++…+=（1﹣）+（）+…（﹣）=1﹣==，解得：n=2016，可得n的值为2016时，满足判断框内的条件，当n的值为2017时，不满足判断框内的条件，退出循环，输出S的值．故判断框内应填入的条件为n＜2017？故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设是定义在R上的偶函数，且对于恒有，已知当时，则（1）的周期是2；（2）在（1，2）上递减，在（2，3）上递增；（3）的最大值是1，最小值是0；（4）当时，其中正确的命题的序号是 .参考答案：（1）（2）（4）12. 设某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为__________.参考答案：4略13. 函数的图像在点处的切线斜率为______.参考答案：6【分析】先求得导函数，令求得切线的斜率.【详解】依题意，故，也即切线的斜率为.【点睛】本小题主要考查导数的运算，考查切线斜率的求法，属于基础题.14. 的展开式中含项的系数为．参考答案：1815. 设函数则方程有实数解的个数为．参考答案：16. 已知函数是定义在上的减函数，函数的图象关于点对称. 若对任意的，不等式恒成立，的最小值是（）A、0B、1C、2D、3参考答案：C略17. 抛物线及其在点和点处的切线所围成图形的面积为参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2020届北京市北大附中高三6月阶段性检测数学试题一、单选题 1．复数21i-的共轭复数是（ ） A ．1i - B ．1i +C ．1i --D ．1i -+【答案】A【分析】根据复数的除法运算，先化简复数，再由共轭复数的概念，即可得出结果.【详解】因为()()()2122211112i i i i i i ++===+--+， 所以其共轭复数为1i -. 故选：A.【点睛】本题主要考查求复数的共轭复数，属于基础题型.2．设集合{13}A x x =∈-≤≤N∣，{}21,B y y x x ==+∈R ∣，则A B =（ ）A ．{}0,1,2,3B ．{}1,2,3C ．[]1,3D ．[]0,3【答案】B【分析】确定集合A ，由二次函数性质确定集合B ，然后根据交集定义计算．【详解】由题意{}21,B yy x x ==+∈R ∣{|1}y y =≥，{0,1,2,3}A =， ∴{1,2,3}A B ⋂=． 故选：B ．【点睛】本题考查集合的交集运算，解题关键是确定集合中的元素．3．设向量(1,1)a =，(1,3)=-b ，(2,1)c =，且()a b c λ-⊥，则λ=（ ） A ．3 B ．2C ．-2D ．-3【答案】A【分析】先计算出a b λ-的坐标表示，然后结合题意向量垂直 计算可得结果． 【详解】由题意(1,13)a b λλλ-=+-，∵()a b c λ-⊥，∴()2(1)130a b c λλλ-⋅=++-=，解得3λ=． 故选：A ．【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示，掌握向量垂直的坐标运算是解题关键．4．101x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数是（ ） A ．210- B ．120- C ．120 D ．210【答案】B【分析】根据题意，结合二项展开式的通项公式，可得2104r -=，则r ＝7，将r ＝7代入通项公式计算可得答案．【详解】由二项展开式，知其通项为10210110101()(1)rr r r r r r T C x C xx --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 令2104r -=，解得7r =.所以4x 的系数为7710(1)120C -=-.故选B.【点睛】本题考查指定项的系数，应该牢记二项展开式的通项公式，属于基础题． 5．已知平面α，β，直线m ，n 满足m α⊂，n β⊂，则“//m n ”是“//αβ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】利用平面与平面的位置关系判断充分条件和平面平面平行的性质定理判断必要条件.【详解】m α⊂，n β⊂，若//m n ，则//αβ或相交，故不充分； 若//αβ，由面面平行的性质定理得m n ，平行或异面 ，故不必要； 故选：D【点睛】本题主要考查以直线、平面的位置关系为载体的逻辑条件判断，属于基础题.6．已知正项数列{}n a 中，11a =，22a =，222112(2)n n n a a a n +-=+≥，则6a 等于（ ）A ．B ．4C ．8D ．16【答案】B【分析】由222112(2)n n n a a a n +-=+≥可知数列{}2na 为等差数列，利用等差数列的性质即可得到答案．【详解】根据题意222112(2)n n n a a a n +-=+≥可知数列{}2na 为等差数列，且211a=，224a =所以公差为3，()211332n a n n =+-⨯=-所以2616a =因为{}n a 是正项数列 所以64a = 故选B.【点睛】本题考查等差中项，，以及等差数列的通项公式，属于简单题． 7．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是32，则正视图中的x 的值是（ ）A ．2B ．92C ．32D ．3【答案】C【详解】根据题中所给的几何体的三视图，可知该几何体为底面是直角梯形的，且一条侧棱与底面垂直，结合三视图中数据， 可得113(12)2322V x =⋅⋅+⋅⋅=，即32x =，故选C ．8．若()sin cos f x x x =-在[,]a a -上是增函数，则a 的最大值是（ ）A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 【答案】B【分析】把函数()f x 化为一个角的一个三角函数形式，然后求出增区间，再判断求解．【详解】22()sin cos 224f x x x x x x π⎫⎛⎫=-=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭， 22242k x k πππππ-≤-≤+，32244k x k ππππ-≤≤+，∴增区间是32,244k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，则区间[,]a a -3,44ππ⎡⎤⊆-⎢⎥⎣⎦，∴a 的最大值为4π． 故选：B ．【点睛】本题考查正弦型函数的单调性，考查两角差的正弦公式，掌握正弦函数的性质是解题关键．9．德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36的等腰三角形（另一种是顶角为108的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC 中，512BC AC -=.根据这些信息，可得sin126=（ ）A ．154- B ．35+C ．154+ D ．458+ 【答案】C【分析】计算出51cos 72-=，然后利用二倍角公式以及诱导公式可计算得出sin126cos36=的值，即可得出合适的选项.【详解】因为ABC 是顶角为36的等腰三角形，所以，72ACB ∠=，则1512cos72cos 4BCACB AC =∠==，()sin126sin 9036cos36=+=， 而2cos722cos 361=-，所以，1cos723562551cos362816++++====故选：C.【点睛】本题考查利用二倍角公式以及诱导公式求值，考查计算能力，属于中等题. 10．甲、乙、丙三人尝试在下面的表格中填入第二排的数字，使得第一个数字表明这一排中0的数量，第二个数字表明这一排中1的数量，第三个数字表明这一排中2的数量，依此类推，最后一个数字表明这一排中6的数量.0 123456甲说：“第七个数字一定是0”；乙说：“这些数字的和是7，所以第一个数字不能比3大”； 丙说：“这七个数字有且只有一种填法” 其中，说法正确的是（ ） A ．甲 B ．乙C ．甲 乙D ．甲 乙 丙【答案】D【分析】根据题意，利用反证法可知，若第七个数字不是0，设第七个数字为()0n n ≠，从而推出矛盾，可知甲说法正确；同理可知第五个和第六个数字也如上述原因需填0，所以第四个数字不能填0，从而推出其他数字，得出最后答案，即可判断乙丙的说法，从而得出答案.【详解】解：由题意可知，若第七个数字不是0，设第七个数字为()0n n ≠， 则就要求第二排要有n 个6，那就要在其他地方填上6，对应着要有6个该数字，无法满足，所以第七个数字是0，则甲说法正确； 第五个和第六个数字也如上述原因需填0，所以第四个数字不能填0， 若是0则第一个数至少为4，需要在第二和第三个数字上填4，个数不够， 只能填1，若是填2，仍不成立，所以最后答案仅为3211000，所以乙丙的说法正确， 所以说法正确的是甲 乙 丙. 故选：D.【点睛】本题考查反证法的应用，以及合情推理和演绎推理的应用，考查学生逻辑推理能力，属于基础题.二、填空题11．设n S 为等比数列{}n a 的前项和，若11a =，且13S ，22S ，3S 成等差数列，则n a = .【答案】.【解析】试题分析：∵，，成等差数列，∴，又∵等比数列，∴.【考点】等差数列与等比数列的性质.【名师点睛】本题主要考查等差与等比数列的性质，属于容易题，在解题过程中，需要建立关于等比数列基本量的方程即可求解，考查学生等价转化的思想与方程思想.12．不恒为常数的函数()f x 的定义域为R ，且()f x 为奇函数，(1)f x +为偶函数，写出一个满足条件的()f x 的解析式________. 【答案】()sin2f x x π=【分析】考虑到正弦函数sin y x =是奇函数，把它向左平移2π个单位即变为偶函数，把2π转化为1即可得． 【详解】sin y x =是奇函数，把它向左平移2π个单位即变为偶函数， ()sin2f x x π=即为满足题意的一个函数．故答案为：()sin2f x x π=【点睛】本题考查函数的奇偶性，函数的图象变换，掌握函数的基本性质是解题基础，解题的一种思路：()f x 为奇函数，(1)f x +为偶函数，实质就是()f x 有对称轴1x =，又原点为对称中心，可得函数是周期函数，这样联想三角函数可作为模型进行变换即可得．13．已知函数2,0(),0x x f x x x ≤⎧=⎨>⎩，若()(1)5f x f x +->，则x 的取值范围是________. 【答案】()2,+∞【分析】讨论x 与1x -的取值范围，代入解析式，解不等式即可求解. 【详解】由2,0(),0x x f x x x ≤⎧=⎨>⎩ 当10x x -<≤，即0x ≤时，则15x x +->，解得3x >，此时x 无解， 当10x x -≤<，即01x <≤时，则215x x +->，解得2x >或3x <-，此时x 无解， 当01x x <-<，即1x >时，则()2215x x +->，解得2x >或1x <-，此时2x >. 综上所述，x 的取值范围是()2,+∞. 故答案为：()2,+∞【点睛】本题考查了分段函数，考查了分类讨论的思想，属于基础题.三、双空题14．双曲线2214y x -=的渐近线方程为________，焦距为________.【答案】2y x =±【分析】根据双曲线的方程，可直接得出渐近线方程，以及焦距.【详解】令2204y x -=得2y x =±，即双曲线2214y x -=的渐近线方程为2y x =±；焦距为=.故答案为：2y x =±；【点睛】本题主要考查求双曲线的渐近线方程，以及双曲线的焦距，属于基础题型. 15．已知曲线C 是平面内到定点(0,1)F 和定直线:1l y =-的距离之和等于3的动点P 的轨迹，则曲线C 的一条对称轴方程是________，||PF 的最小值是________. 【答案】0x =12【分析】设(),P x y ，由题意可得13PF y ++=，分13y +>，12y -≤≤，41y -≤<-三种情况讨论，求出轨迹方程，即可得出对称轴以及||PF 的最小值.【详解】设(),P x y ，由题意可得13PF y ++=，即()22113x y y +-++=，当13y +>，即2y >或4y <-时，无解；当12y -≤≤时，()2212x y y +-=-，则232312x y y ⎛⎫=-+-≤≤ ⎪⎝⎭，此时曲线C 的一条对称轴方程是0x =；()2231||12222PF x y y =+-=-≥-=；即此时||PF 的最小值是12； 当41y -≤<-时，()2214x y y +-=+，则23101512x y y ⎛⎫=+-≤<- ⎪⎝⎭，此时曲线C 的一条对称轴方程是0x =；()2235||14422PF x y y =+-=+≥-=；即此时||PF 的最小值是52； 综上，||PF 的最小值是12. 故答案为：0x =；12. 【点睛】本题主要考查求抛物线的轨迹方程，考查抛物线的对称性，以及求抛物线上的点到定点的距离问题，属于常考题型.四、解答题16．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，BC PB ⊥，平面PAD ⊥平面ABCD ，且3PC =，E 为棱PC 的中点.（1）求证：PA ⊥平面ABCD ；（2）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）13． 【分析】（1）先证明BC ⊥平面PAB ，得BC PA ⊥，再由面面垂直得线面垂直得AB PA ⊥，从而可证结论线面垂直；（2）以,,AB AD AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，由空间向量法求线面角．【详解】（1）∵,BC AB BC PB ⊥⊥，AB PB B ⋂=，,AB PB ⊂平面PAB ， ∴BC ⊥平面PAB ，又PA ⊂平面PAB ，∴BC PA ⊥， ∵平面PAD ⊥平面ABCD ，面PAD平面ABCD AD =，AB AD ⊥，AB平面ABCD ，∴AB ⊥平面PAD ，而PA ⊂平面PAD ，∴AB PA ⊥， 又∵AB BC B ⋂=，,AB BC ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥平面ABCD ．（2）以,,AB AD AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， 由（1）22222()1PA PC AC PCAB BC =-=-+=，(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1)A B C D P ，则111(,,222E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，111,,222BE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(0,1,1)DP =-，(1,1,0)DB =-，设平面PBD 的一个法向量是(,,)n x y z =，则00n DP y z n DB x y ⎧⋅=-+=⎨⋅=-=⎩，取1x =，则1,1y z ==，即(1,1,1)n =，设直线BE 与平面PBD 所成角为θ，则1111222sin cos ,3111111444BE n BE n BE nθ-++⋅=<>===++⨯++．【点睛】本题考查证明线面垂直，考查用向量法求直线与平面所成的角．掌握线线垂直、线面垂直、面面垂直间的相互关系证明空间垂直的关键．求空间角的常用方法是空间向量法，关键是建立空间直角坐标系． 17．在ABC 中，3A π∠=，7a =________，求AB 边上的高.从①sin 7C =②2c b -=③ABC S △，这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.【答案】答案见详解.【分析】选择①，利用正弦定理求出2c =，再利用余弦定理即可求解；选择②：利用余弦定理求出1b =即可求解；选择③：利用三角形的面积公式可得6bc =，再利用余弦定理即可求解. 【详解】选择①： 在ABC 中，由正弦定理sin sin a c A C=，27=，所以2c =，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，2212222b b =+-⨯⨯⨯， 2230b b --=，解得3b =，AB边上的高sin 3h b A ===选择②：在ABC 中，由2c b -=，得2c b =+， 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，()()2212222b b b b =++-⨯+⨯⨯， 化简2230b b +-=，解得1b =，AB边上的高sin 3h b A ===选择③： 在ABC中，由1sin 22ABCSbc A ==得12bc =，所以6bc =， 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-， 得()2222cos a b c bc bc A =+--，()221712122b c =+--⨯，解得5b c +=， 所以23b c =⎧⎨=⎩或32b c =⎧⎨=⎩， AB 边上的高333sin 3h b A ==⨯=. 【点睛】本题考查了余弦定理、正弦定理解三角形，考查了基本运算求解能力，属于基础题.18．某学校对甲、乙、丙、丁四支足球队进行了一次选拔赛，积分前两名的球队将代表学校参加上级比赛.选拔赛采用单循环制（每两个队比赛一场），胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分.经过三场比赛后，积分状况如下表所示：甲乙丙丁积分名次甲3:3 5:34:1 7乙 3:3 1 丙 3:50 丁1:4根据以往的比赛情况统计，乙队与丙队比赛，乙队胜或平的概率均为4，乙队与丁队比赛，乙队胜、平、负的概率均为13，且四个队之间比赛结果相互独立. （1）求选拔赛结束后，乙队与甲队并列第1名的概率；（2）设随机变量X 为选拔赛结束后乙队的积分，求随机变量X 的分布列与数学期望； （3）在目前的积分情况下，不论后面的比赛中丙队与丁队相互比赛的结果如何，乙队一定能代表学校参加上级比赛的概率是多少？说明理由. 【答案】（1）112；（2）分布列见解析，()103E X =；（3）14，理由见解析.【分析】（1）由题意得乙队的积分为7分，即乙队胜丙队和丁对，由相互独立事件同时发生的概率公式可得结果；（2）随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，4，5，7，计算其对应的概率可得分布列和期望；（3）分为当乙队积7分时，当乙队积5分时，当乙队积分小于5分时三种情形分析即可得结果.【详解】（1）设乙队胜、平、负丙队分别为事件123,,A A A ，乙队胜、平、负丁队分别为事件123,,B B B ， 则()()1214P A P A ==，()31=2P A ，()()()12313P B P B P B ===， 设事件C 为“选拔赛结束后，乙队与丙队并列第一名”由目前比赛积分榜可知，甲队一定是第一名，所以“乙队与甲队并列第一名”， 即乙队的积分为7分，即乙队胜丙队和丁对， 所以()()()111114312P C P A P B ==⨯=， （2）随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，4，5，7()()()331111236P X P A P B ===⨯=；()()()()()2332111112++43234P X P A P B P A P B ===⨯⨯=；()()()2211134312P X P A P B ===⨯=；()()()()()1331111114++43234P X P A P B P A P B ===⨯⨯=；()()()()()1221111115++43436P X P A P B P A P B ===⨯⨯=；()()()1111174312P X P A P B ===⨯=；随机变量X 的分布列为：所以()11111110123457641246123E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（3）乙队一定能代表学校参加上级比赛的概率是14，理由如下： 当乙队积7分时，乙队与丙队并列第1名，满足题意；当乙队积5分时，丙队或丁对的可能积分为4，3，2，1，0，乙队一定为第2名，满足题意；当乙队积分小于5分时，丙队或丁对均有可能积分6分，不合题意， 所以，当乙队的积分为5分或7分时，一定能代表学校参加上级比赛， 其概率为：()()111751264P X P X =+==+=. 【点睛】本题主要考查了相互独立事件同时发生的概率，离散型随机变量的分布列以及期望的求法，属于中档题.19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点(2,0)A -，(0,1)B -.（1）求椭圆C 的方程及其离心率；（2）若P 为椭圆C 上第一象限的点，直线PA 交y 轴于点M ，直线PB 交x 轴于点N .求证：四边形MABN 的面积S 为定值.【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析． 【分析】（1）由题意有2,1a b ==，即得椭圆方程；（2）设00(,)P x y ，写出直线,PA PB 方程，求出,M N 点坐标，求出四边形MABN 的面积，利用点P 在椭圆上代入后可得定值．【详解】（1）由题意2,1a b ==，椭圆标准方程为2214x y +=；（2）设00(,)P x y ，000,0x y >>，220014x y +=，∴220044x y +=，直线PA 方程为00(2)2y y x x =++，令0x =得0022y y x =+，即0020,2y M x ⎛⎫⎪+⎝⎭， 直线PB 方程为0011y y x x +=-，令0y =得001x x y =+，即00,01x N y ⎛⎫⎪+⎝⎭，∴0000211212212MABN xy S AN MB y x ⎛⎫⎛⎫=⨯=++ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭22200000000000000(22)44448112(2)(1)222x y x y x y x y x y x y x y +++++++=⨯=⨯+++++ 00000000448812222x y x y x y x y +++=⨯=+++为定值． 【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查椭圆中的面积与定值问题，定值问题的解题思路是，引入参数（本题中引入点P 的坐标00(,)x y ，然后把要证定值的量用参数表示后，根据参数满足的条件化简变形，证得其为常数（与参数无关）． 20．已知函数()()1ln 10f x a x a x=+-≠. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()1f x a >-对()0,x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围； （3）当a e =时，关于x 的方程()()20f b c x f x ++=有7个不同实数根，写出b c+的值.（结论不要求证明）【答案】（1）答案见解析；（2）()0,1；（3）1b c +=-.【分析】（1）求得函数()f x 的定义域，分0a <、0a >两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数()f x 的单调区间；（2）由题意可得出()min 1f x a >-，利用（1）中的结论可得出关于实数a 的不等式，进而可求得实数a 的取值范围；（3）利用导数分析函数()f x 的单调性与极值，令()t f x =，由题意可知，方程20t bt c ++=的两根1t 、2t 满足101t <<，21t =，由此可求得b c +的值.【详解】（1）当0a ≠时，函数()1ln 1f x a x x=+-的定义域为()0,∞+，且()2211a ax f x x x x-'=-=. ①当0a <时，对任意的0x >，()0f x '<，此时函数()f x 在()0,∞+上单调递减； ②当0a >时，由()0f x '>可得1x a >；由()0f x '<可得10x a<<. 此时，函数()f x 的单调递减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.综上所述，当0a <时，函数()f x 的单调递减区间为()0,∞+； 当0a >时，函数()f x 的单调递减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）①当0a <时，110a-<，则1101a e -<<， 11111111121a a a f e a e a e a a ---⎛⎫⎛⎫=-+-=+-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，不等式()1f x a >-在区间()0,∞+上不恒成立，不合乎题意； ②当0a >时，由（1）可知，函数()f x 的单调递减区间为10,a ⎛⎫⎪⎝⎭，单调递增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， 则()min 1ln 11f x f a a a a a ⎛⎫==-+->-⎪⎝⎭，即ln 0a a <，即ln 0a <，解得01a <<. 综上所述，实数a 的取值范围是()0,1； （3）当a e =时，()1ln 1f x e x x=+-， 由（1）可知，函数()f x 的单调递减区间为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，()min 1110f x f e e e ⎛⎫∴==-+-=-< ⎪⎝⎭，又221210f e e e ⎛⎫=-->⎪⎝⎭，当0x →时，()f x →+∞，当x →+∞时，()f x →+∞， 对于方程()()20fb c x f x ++=，令()t f x =，作出函数()t f x =的图象如下图所示：由于关于x 的方程()()20fb c x f x ++=有7个不同的实数根，所以，关于t 的二次方程20t bt c ++=必有两根1t 、2t ，由题意可知，101t <<，21t =，所以，10b c ++=，可得1b c +=-.【点睛】本题考查利用导数求解含参函数的单调区间、以及函数不等式恒成立，同时也考查了利用导数求解复合函数的零点问题，考查计数能力，属于难题. 21．已知{},i jm nA a ⨯=为m 行n 列的数表(2,2)m n ≥≥，称第i 行j 列的数,i j a 为数表A 的一个元素.现给定A 中所有元素,1i j a ≥，定义A 中第i 行最大的数与第二大的数（这两数可以相等）的比值为i R ，第j 列的最大数与第二大的数（两数也可以相等）的比值为j C ，{},min ,i j i j b R C =，记1A A =，由1A 生成{}2,i jm nA b ⨯=，同样的方法，由2A 生成3A ，3A 生成4A ，……为了方便，我们可以把k A 中的,i j a ，i R ，j C 记为,,i j k a ，,i k R ，,j k C .表1表2（1）若1A 如表1所示，直接写出2A ； （2）证明：3A 中一定有一行或者一列为1；（3）若1A 如表2所示，2n ≥，且121n a a a <≤≤⋅⋅⋅≤，证明：存在k ，k A 中所有元素都为1.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析． 【分析】（1）由定义直接写出2A ；（2）1,1i j R C ≥≥，由于数表的行行交换，列列交换，行列互换（行换成列，列换成行）不影响生成下一个数表，因此可以在1A 中让1,1R 为所有第一行的j R 和第一列的iC中的最小值，这样2A 中第一行全为1，3A 中第一行也全为1；（3）首先证明k A 中第一行全为1，第二行都是不减的，接着考虑第2行最后两个数，k A 中最大的数就是第2行最后两数，设其分别为,k k u v ，k k u v ≤，先研究22,u v ，211min ,n n n a u a a --⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，211min ,n n n n n a av a a a --⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，若11n n n a a a --≥，则221n n a u v a -==，21n n a v a -=，即2A 中最大两数相等，则3A 中第二行全为1，若11nn n a a a --<，则211n u a -=>，21nn a v a -=，即第二大数不变，最大数缩小，这样总会有k A ，k k u v =，然后k 1A +中所有元素全为1． 【详解】（1）2A 如下：（2）证明：由定义，1i R ≥，1j C ≥，行行交换，列列交换，行列互换（行换成列，列换成行）不影响结果．因此在1A 中，不妨设1,11,12,1,11,12,1,1min{,,,,,,,}m n R R R R C C C =，2A 中，1,,21,1,11,1min{,}j j a R C R ==，即2A 中第一行元素全为1,1R ， 2A 中，因此对应的1,21R =，所以3A 中，1,,31,2,21,2min{,}1j j a R C R ===，即第一行所有元素全为1； （3）由定义知k A 中第一行均为1，在2A 中第2行任取相邻的两数，2,,22,1,1min{,}j j a R C =，2,1,22,11,1min{,}j j a R C ++=，因为,11,11j j j j C a C a ++=≤=， 所以2,,22,1,2j j a a +≤，因此2A 中，第2行也是不减的顺序， 同理k A 中，第2行都是不减的顺序．因此k A 中最大的数就是第2行最后两数，设其分别为,k k u v ，k k u v ≤， 先考虑2A 中的最后两个数，设为22,u v ，211min ,n n n a u a a --⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，211min ,n nn n n a a v a a a --⎧⎫==⎨⎬⎩⎭， 若11n n n a a a --≥，则221n n a u v a -==，21n n av a -=，即2A 中最大两数相等，则3A 中第二行全为1， 若11n n n a a a --<，则211n u a -=>，21nn a v a -=，即第二大数不变，最大数缩小， 存在正整数p 满足，111p p n n n a a a +--≤<，则在数表p A 中，最大两数为1p n u a -=，11np p n a v a --=， 在数表1p A +中，111111min ,min ,n n n p n p n p pp n n n a a a u a v a a a a +-+---⎧⎫⎧⎫====⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭， 因此1p A +中，第二行所有数相等，2p A +中全为1． 由上面两种情况，存在2k p ≥+，k A 中所有元素都为1．【点睛】本题考查新定义问题，解题关键是理解数表的生成规则，特别是对规则的理解，如可以进行行行、列列交换，行列置换后结果不变，从而可以调整数表使得最左上角的数1,1R 最小，然后对数表分析．生成新数表时，数的变化，最大的数逐渐减小，这样最后可变为相同，从而都变为1．旨在考查学生的创新意识，逻辑推理能力．。
北大附中2020届高三阶段性检测数学一、选择题共10题，每题4分，共40分.在每题列岀的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 复数21i-的共轭复数是（ ） A. 1i - B. 1i +C. 1i --D. 1i -+【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算，先化简复数，再由共轭复数的概念，即可得出结果. 【详解】因为()()()2122211112i i i i i i ++===+--+， 所以其共轭复数为1i -. 故选：A.【点睛】本题主要考查求复数的共轭复数，属于基础题型.2. 设集合{13}A x x =∈-≤≤N∣，{}21,B y y x x ==+∈R ∣，则A B =（ ）A. {}0,1,2,3B. {}1,2,3C. []1,3D. []0,3【答案】B 【解析】 【分析】确定集合A ，由二次函数性质确定集合B ，然后根据交集定义计算．【详解】由题意{}21,B yy x x ==+∈R ∣{|1}y y =≥，{0,1,2,3}A =， ∴{1,2,3}A B ⋂=． 故选：B ．【点睛】本题考查集合的交集运算，解题关键是确定集合中的元素．3. 设向量(1,1)a =，(1,3)=-b ，(2,1)c =，且()a b c λ-⊥，则λ=（ ） A. 3 B. 2C. -2D. -3【答案】A【解析】 【分析】先计算出a b λ-的坐标表示，然后结合题意向量垂直 计算可得结果． 【详解】由题意(1,13)a b λλλ-=+-，∵()a b c λ-⊥，∴()2(1)130a b c λλλ-⋅=++-=，解得3λ=． 故选：A ．【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示，掌握向量垂直的坐标运算是解题关键．4. 101x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数是（ ） A. 210- B. 120- C. 120 D. 210【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合二项展开式的通项公式，可得2104r -=，则r ＝7，将r ＝7代入通项公式计算可得答案．【详解】由二项展开式，知其通项为10210110101()(1)rr r r r r r T C x C xx --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 令2104r -=，解得7r =.所以4x 的系数为7710(1)120C -=-.故选B.【点睛】本题考查指定项的系数，应该牢记二项展开式的通项公式，属于基础题． 5. 已知平面α，β，直线m ，n 满足m α⊂，n β⊂，则“//m n ”是“//αβ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】 【分析】利用平面与平面的位置关系判断充分条件和平面平面平行的性质定理判断必要条件. 【详解】m α⊂，n β⊂，若//m n ，则//αβ或相交，故不充分；若//αβ，由面面平行的性质定理得m n ，平行或异面 ，故不必要； 故选：D【点睛】本题主要考查以直线、平面的位置关系为载体的逻辑条件判断，属于基础题.6. 已知正项数列{}n a 中，11a =，22a =，222112(2)n n n a a a n +-=+≥，则6a 等于（ ）A. 22B. 4C. 8D. 16【答案】B 【解析】 【分析】由222112(2)n n n a a a n +-=+≥可知数列{}2na 为等差数列，利用等差数列的性质即可得到答案．【详解】根据题意222112(2)n n n a a a n +-=+≥可知数列{}2na 为等差数列，且211a=，224a =所以公差为3，()211332n a n n =+-⨯=-所以2616a =因为{}n a 是正项数列 所以64a = 故选B.【点睛】本题考查等差中项，，以及等差数列的通项公式，属于简单题． 7. 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是32，则正视图中的x 的值是（ ）A. 2B.92C.32D. 3【答案】C 【解析】【详解】根据题中所给的几何体的三视图，可知该几何体为底面是直角梯形的，且一条侧棱与底面垂直，结合三视图中数据， 可得113(12)2322V x =⋅⋅+⋅⋅=，即32x =，故选C ．8. 若()sin cos f x x x =-在[,]a a -上是增函数，则a 的最大值是（ ）A. 6πB.4π C.3π D.2π 【答案】B 【解析】 【分析】把函数()f x 化为一个角的一个三角函数形式，然后求出增区间，再判断求解．【详解】22()sin cos 2sin cos 2sin 224f x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 22242k x k πππππ-≤-≤+，32244k x k ππππ-≤≤+，∴增区间是32,244k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，则区间[,]a a -3,44ππ⎡⎤⊆-⎢⎥⎣⎦，∴a 的最大值为4π．故选：B ．【点睛】本题考查正弦型函数的单调性，考查两角差的正弦公式，掌握正弦函数的性质是解题关键． 9. 德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36的等腰三角形（另一种是顶角为108的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC 中，512BC AC -=.根据这些信息，可得sin126=（ ）A.1254- B.358+ C.154+ D.458+ 【答案】C 【解析】 【分析】 计算出51cos 724-=，然后利用二倍角公式以及诱导公式可计算得出sin126cos36=的值，即可得出合适的选项.【详解】因为ABC 是顶角为36的等腰三角形，所以，72ACB ∠=，则1512cos72cos 4BCACB AC -=∠==，()sin126sin 9036cos36=+=， 而2cos722cos 361=-，所以，1cos723562551cos3628164++++====.故选：C【点睛】本题考查利用二倍角公式以及诱导公式求值，考查计算能力，属于中等题.10. 甲、乙、丙三人尝试在下面的表格中填入第二排的数字，使得第一个数字表明这一排中0的数量，第二个数字表明这一排中1的数量，第三个数字表明这一排中2的数量，依此类推，最后一个数字表明这一排中6的数量.0 123456甲说：“第七个数字一定是0”；乙说：“这些数字的和是7，所以第一个数字不能比3大”； 丙说：“这七个数字有且只有一种填法” 其中，说法正确的是（ ）A. 甲B. 乙C. 甲 乙D. 甲 乙 丙【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用反证法可知，若第七个数字不是0，设第七个数字为()0n n ≠，从而推出矛盾，可知甲说法正确；同理可知第五个和第六个数字也如上述原因需填0，所以第四个数字不能填0，从而推出其他数字，得出最后答案，即可判断乙丙的说法，从而得出答案. 【详解】解：由题意可知，若第七个数字不是0，设第七个数字为()0n n ≠， 则就要求第二排要有n 个6，那就要在其他地方填上6，对应着要有6个该数字，无法满足，所以第七个数字是0，则甲说法正确； 第五个和第六个数字也如上述原因需填0，所以第四个数字不能填0， 若是0则第一个数至少为4，需要在第二和第三个数字上填4，个数不够， 只能填1，若是填2，仍不成立，所以最后答案仅为3211000，所以乙丙的说法正确， 所以说法正确的是甲 乙 丙. 故选：D.【点睛】本题考查反证法的应用，以及合情推理和演绎推理的应用，考查学生逻辑推理能力，属于基础题.二、填空题共5题，每题5分，共25分.11. 双曲线2214y x -=的渐近线方程为________，焦距为________.【答案】 (1). 2y x =± (2). 25 【解析】 【分析】根据双曲线的方程，可直接得出渐近线方程，以及焦距.【详解】令2204y x -=得2y x =±，即双曲线2214y x -=的渐近线方程为2y x =±；焦距为21425+=. 故答案为：2y x =±；25.【点睛】本题主要考查求双曲线的渐近线方程，以及双曲线的焦距，属于基础题型.12. 设n S 为等比数列{}n a 的前项和，若11a =，且13S ，22S ，3S 成等差数列，则n a = . 【答案】.【解析】 试题分析：∵，，成等差数列，∴，又∵等比数列，∴.考点：等差数列与等比数列的性质.【名师点睛】本题主要考查等差与等比数列的性质，属于容易题，在解题过程中，需要建立关于等比数列基本量的方程即可求解，考查学生等价转化的思想与方程思想.13. 不恒为常数的函数()f x 的定义域为R ，且()f x 为奇函数，(1)f x +为偶函数，写出一个满足条件的()f x 的解析式________. 【答案】()sin 2f x x π=【解析】 【分析】考虑到正弦函数sin y x =是奇函数，把它向左平移2π个单位即变为偶函数，把2π转化为1即可得． 【详解】sin y x =是奇函数，把它向左平移2π个单位即变为偶函数， ()sin2f x x π=即为满足题意的一个函数．故答案为：()sin2f x x π=【点睛】本题考查函数的奇偶性，函数的图象变换，掌握函数的基本性质是解题基础，解题的一种思路：()f x 为奇函数，(1)f x +为偶函数，实质就是()f x 有对称轴1x =，又原点为对称中心，可得函数是周期函数，这样联想三角函数可作为模型进行变换即可得． 14. 已知函数2,0(),0x x f x x x ≤⎧=⎨>⎩，若()(1)5f x f x +->，则x 的取值范围是________.【答案】()2,+∞ 【解析】 【分析】讨论x 与1x -的取值范围，代入解析式，解不等式即可求解.【详解】由2,0(),0x x f x x x ≤⎧=⎨>⎩当10x x -<≤，即0x ≤时，则15x x +->，解得3x >，此时x 无解， 当10x x -≤<，即01x <≤时，则215x x +->，解得2x >或3x <-，此时x 无解， 当01x x <-<，即1x >时，则()2215x x +->，解得2x >或1x <-，此时2x >. 综上所述，x 的取值范围是()2,+∞. 故答案为：()2,+∞【点睛】本题考查了分段函数，考查了分类讨论的思想，属于基础题.15. 已知曲线C 是平面内到定点(0,1)F 和定直线:1l y =-的距离之和等于3的动点P 的轨迹，则曲线C 的一条对称轴方程是________，||PF 的最小值是________. 【答案】 (1). 0x = (2). 12【解析】 【分析】设(),P x y ，由题意可得13PF y ++=，分13y +>，12y -≤≤，41y -≤<-三种情况讨论，求出轨迹方程，即可得出对称轴以及||PF 的最小值.【详解】设(),P x y ，由题意可得13PF y ++=，即()22113x y y +-++=，当13y +>，即2y >或4y <-时，无解；当12y -≤≤时，()2212x y y +-=-，则232312x y y ⎛⎫=-+-≤≤ ⎪⎝⎭，此时曲线C 的一条对称轴方程是0x =；()2231||12222PF x y y =+-=-≥-=；即此时||PF 的最小值是12；当41y -≤<-时，()2214x y y +-=+，则23101512x y y ⎛⎫=+-≤<- ⎪⎝⎭，此时曲线C 的一条对称轴方程是0x =；()2235||14422PF x y y =+-=+≥-=；即此时||PF 的最小值是52；综上，||PF 的最小值是12. 故答案为：0x =；12. 【点睛】本题主要考查求抛物线的轨迹方程，考查抛物线的对称性，以及求抛物线上的点到定点的距离问题，属于常考题型.三、解答题共6题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，BC PB ⊥，平面PAD ⊥平面ABCD ，且3PC =，E 为棱PC 的中点.（1）求证：PA ⊥平面ABCD ；（2）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）13．【解析】 【分析】（1）先证明BC ⊥平面PAB ，得BC PA ⊥，再由面面垂直得线面垂直得AB PA ⊥，从而可证结论线面垂直；（2）以,,AB AD AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，由空间向量法求线面角． 【详解】（1）∵,BC AB BC PB ⊥⊥，AB PB B ⋂=，,AB PB ⊂平面PAB ， ∴BC ⊥平面PAB ，又PA ⊂平面PAB ，∴BC PA ⊥， ∵平面PAD ⊥平面ABCD ，面PAD平面ABCD AD =，AB AD ⊥，AB平面ABCD ，∴AB ⊥平面PAD ，而PA ⊂平面PAD ，∴AB PA ⊥， 又∵AB BC B ⋂=，,AB BC ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥平面ABCD ．（2）以,,AB AD AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，由（1）22222()1PA PC AC PC AB BC =-=-+=，(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1)A B C D P ，则111(,,222E ⎛⎫⎪⎝⎭，111,,222BE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(0,1,1)DP =-，(1,1,0)DB =-，设平面PBD的一个法向量是(,,)n x y z =，则00n DP y z n DB x y ⎧⋅=-+=⎨⋅=-=⎩，取1x =，则1,1y z ==，即(1,1,1)n =，设直线BE 与平面PBD 所成角为θ，则1111222sin cos ,3111111444BE n BE n BE nθ-++⋅=<>===++⨯++．【点睛】本题考查证明线面垂直，考查用向量法求直线与平面所成的角．掌握线线垂直、线面垂直、面面垂直间的相互关系证明空间垂直的关键．求空间角的常用方法是空间向量法，关键是建立空间直角坐标系．17. 在ABC 中，3A π∠=，7a =，________，求AB 边上的高.从①21sin 7C =②2c b -=③332ABC S =△，这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.【答案】答案见详解. 【解析】 【分析】选择①，利用正弦定理求出2c =，再利用余弦定理即可求解；选择②：利用余弦定理求出1b =即可求解；选择③：利用三角形的面积公式可得6bc =，再利用余弦定理即可求解.【详解】选择①： 在ABC 中，由正弦定理sin sin a cA C=， 得732127c =，所以2c =，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得222172222b b =+-⨯⨯⨯， 2230b b --=，解得3b =，AB 边上的高333sin 322h b A ==⨯=. 选择②：在ABC 中，由2c b -=，得2c b =+， 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-， 得()()222172222b b b b =++-⨯+⨯⨯， 化简2230b b +-=，解得1b =，AB 边上的高333sin 322h b A ==⨯=. 选择③： 在ABC 中，由133sin 22ABCSbc A ==， 得1333222bc ⋅=，所以6bc =， 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-， 得()2222cos a b c bc bc A =+--，()221712122b c =+--⨯，解得5b c +=，所以23b c =⎧⎨=⎩或32b c =⎧⎨=⎩，AB 边上的高333sin 322h b A ==⨯=. 【点睛】本题考查了余弦定理、正弦定理解三角形，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 18. 某学校对甲、乙、丙、丁四支足球队进行了一次选拔赛，积分前两名的球队将代表学校参加上级比赛.选拔赛采用单循环制（每两个队比赛一场），胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分.经过三场比赛后，积分状况如下表所示：甲乙丙丁积分名次甲3:3 5:34:1 7乙 3:3 1 丙 3:50 丁1:4根据以往的比赛情况统计，乙队与丙队比赛，乙队胜或平的概率均为14，乙队与丁队比赛，乙队胜、平、负的概率均为13，且四个队之间比赛结果相互独立. （1）求选拔赛结束后，乙队与甲队并列第1名的概率；（2）设随机变量X 为选拔赛结束后乙队的积分，求随机变量X 的分布列与数学期望； （3）在目前的积分情况下，不论后面的比赛中丙队与丁队相互比赛的结果如何，乙队一定能代表学校参加上级比赛的概率是多少？说明理由.【答案】（1）112；（2）分布列见解析，()103E X =；（3）14，理由见解析.【解析】 【分析】 （1）由题意得乙队的积分为7分，即乙队胜丙队和丁对，由相互独立事件同时发生的概率公式可得结果；（2）随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，4，5，7，计算其对应的概率可得分布列和期望； （3）分为当乙队积7分时，当乙队积5分时，当乙队积分小于5分时三种情形分析即可得结果.【详解】（1）设乙队胜、平、负丙队分别为事件123,,A A A ，乙队胜、平、负丁队分别为事件123,,B B B ，则()()1214P A P A ==，()31=2P A ，()()()12313P B P B P B ===， 设事件C 为“选拔赛结束后，乙队与丙队并列第一名”由目前比赛积分榜可知，甲队一定是第一名，所以“乙队与甲队并列第一名”， 即乙队的积分为7分，即乙队胜丙队和丁对， 所以()()()111114312P C P A P B ==⨯=， （2）随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，4，5，7()()()331111236P X P A P B ===⨯=；()()()()()2332111112++43234P X P A P B P A P B ===⨯⨯=；()()()2211134312P X P A P B ===⨯=；()()()()()1331111114++43234P X P A P B P A P B ===⨯⨯=；()()()()()1221111115++43436P X P A P B P A P B ===⨯⨯=；()()()1111174312P X P A P B ===⨯=；随机变量X 的分布列为：X1 2 3 4 5 7P16 14 112 14 16 112所以()11111110123457641246123E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. （3）乙队一定能代表学校参加上级比赛的概率是14，理由如下： 当乙队积7分时，乙队与丙队并列第1名，满足题意；当乙队积5分时，丙队或丁对的可能积分为4，3，2，1，0，乙队一定为第2名，满足题意； 当乙队积分小于5分时，丙队或丁对均有可能积分6分，不合题意，所以，当乙队的积分为5分或7分时，一定能代表学校参加上级比赛， 其概率为：()()111751264P X P X =+==+=. 【点睛】本题主要考查了相互独立事件同时发生的概率，离散型随机变量的分布列以及期望的求法，属于中档题.19. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点(2,0)A -，(0,1)B -.（1）求椭圆C 的方程及其离心率；（2）若P 为椭圆C 上第一象限的点，直线PA 交y 轴于点M ，直线PB 交x 轴于点N .求证：四边形MABN 的面积S 为定值.【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）由题意有2,1a b ==，即得椭圆方程；（2）设00(,)P x y ，写出直线,PA PB 方程，求出,M N 点坐标，求出四边形MABN 的面积，利用点P 在椭圆上代入后可得定值．【详解】（1）由题意2,1a b ==，椭圆标准方程为2214x y +=；（2）设00(,)P x y ，000,0x y >>，220014x y +=，∴220044x y +=，直线PA 方程为00(2)2y y x x =++，令0x =得0022y y x =+，即0020,2y M x ⎛⎫⎪+⎝⎭， 直线PB 方程为0011y y x x +=-，令0y =得001x x y =+，即00,01x N y ⎛⎫⎪+⎝⎭，∴0000211212212MABN xy S AN MB y x ⎛⎫⎛⎫=⨯=++ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭22200000000000000(22)44448112(2)(1)222x y x y x y x y x y x y x y +++++++=⨯=⨯+++++00000000448812222x y x y x y x y +++=⨯=+++为定值． 【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查椭圆中的面积与定值问题，定值问题的解题思路是，引入参数（本题中引入点P 的坐标00(,)x y ，然后把要证定值的量用参数表示后，根据参数满足的条件化简变形，证得其为常数（与参数无关）． 20. 已知函数()()1ln 10f x a x a x=+-≠. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()1f x a >-对()0,x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围； （3）当a e =时，关于x 的方程()()20f b c x f x ++=有7个不同实数根，写出b c +的值.（结论不要求证明）【答案】（1）答案见解析；（2）()0,1；（3）1b c +=-. 【解析】 【分析】（1）求得函数()f x 的定义域，分0a <、0a >两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数()f x 的单调区间；（2）由题意可得出()min 1f x a >-，利用（1）中的结论可得出关于实数a 的不等式，进而可求得实数a 的取值范围；（3）利用导数分析函数()f x 的单调性与极值，令()t f x =，由题意可知，方程20t bt c ++=的两根1t 、2t 满足101t <<，21t =，由此可求得b c +的值. 【详解】（1）当0a ≠时，函数()1ln 1f x a x x=+-的定义域为()0,∞+，且()2211a ax f x x x x -'=-=.①当0a <时，对任意的0x >，()0f x '<，此时函数()f x 在()0,∞+上单调递减； ②当0a >时，由()0f x '>可得1x a >；由()0f x '<可得10x a<<. 此时，函数()f x 的单调递减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.综上所述，当0a <时，函数()f x 的单调递减区间为()0,∞+；当0a >时，函数()f x 的单调递减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭； （2）①当0a <时，110a-<，则1101a e -<<， 11111111121a a af e a e a e a a ---⎛⎫⎛⎫=-+-=+-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，不等式()1f x a >-在区间()0,∞+上不恒成立，不合乎题意； ②当0a >时，由（1）可知，函数()f x 的单调递减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，则()min 1ln 11f x f a a a a a ⎛⎫==-+->-⎪⎝⎭，即ln 0a a <，即ln 0a <，解得01a <<. 综上所述，实数a 的取值范围是()0,1； （3）当a e =时，()1ln 1f x e x x=+-， 由（1）可知，函数()f x 的单调递减区间为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， ()min 1110f x f e e e ⎛⎫∴==-+-=-< ⎪⎝⎭，又221210f e e e ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭，当0x →时，()f x →+∞，当x →+∞时，()f x →+∞， 对于方程()()20fb c x f x ++=，令()t f x =，作出函数()t f x =的图象如下图所示：由于关于x 的方程()()20fb c x f x ++=有7个不同的实数根，所以，关于t 的二次方程20t bt c ++=必有两根1t 、2t ，由题意可知，101t <<，21t =，所以，10b c ++=，可得1b c +=-.【点睛】本题考查利用导数求解含参函数的单调区间、以及函数不等式恒成立，同时也考查了利用导数求解复合函数的零点问题，考查计数能力，属于难题. 21. 已知{},i jm nA a ⨯=为m 行n 列的数表(2,2)m n ≥≥，称第i 行j 列的数,i j a 为数表A 的一个元素.现给定A 中所有元素,1i j a ≥，定义A 中第i 行最大的数与第二大的数（这两数可以相等）的比值为i R ，第j 列的最大数与第二大的数（两数也可以相等）的比值为j C ，{},min ,i j i j b R C =，记1A A =，由1A 生成{}2,i jm nA b ⨯=，同样的方法，由2A 生成3A ，3A 生成4A ，……为了方便，我们可以把k A 中的,i j a ，i R ，j C 记为,,i j k a ，,i k R ，,j k C . 1 2 3 654表1 11 (1)1a 2a …n a表2（1）若1A 如表1所示，直接写出2A ； （2）证明：3A 中一定有一行或者一列为1；（3）若1A 如表2所示，2n ≥，且121n a a a <≤≤⋅⋅⋅≤，证明：存在k ，k A 中所有元素都为1. 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）由定义直接写出2A ；（2）1,1i j R C ≥≥，由于数表的行行交换，列列交换，行列互换（行换成列，列换成行）不影响生成下一个数表，因此可以在1A 中让1,1R 为所有第一行的j R 和第一列的i C 中的最小值，这样2A 中第一行全为1，3A 中第一行也全为1；（3）首先证明k A 中第一行全为1，第二行都是不减的，接着考虑第2行最后两个数，k A 中最大的数就是第2行最后两数，设其分别为,k k u v ，k k u v ≤，先研究22,u v ，211min ,n n n a u a a --⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，211min ,n nn n n a a v a a a --⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，若11n n n a a a --≥，则221n n a u v a -==，21n n a v a -=，即2A 中最大两数相等，则3A 中第二行全为1，若11n n n a a a --<，则211n u a -=>，21nn a v a -=，即第二大数不变，最大数缩小，这样总会有k A ，k k u v =，然后k 1A +中所有元素全为1． 【详解】（1）2A 如下：32 32 4365 65 65（2）证明：由定义，1i R ≥，1j C ≥，行行交换，列列交换，行列互换（行换成列，列换成行）不影响结果．因此在1A 中，不妨设1,11,12,1,11,12,1,1min{,,,,,,,}m n R R R R C C C =，2A 中，1,,21,1,11,1min{,}j j a R C R ==，即2A 中第一行元素全为1,1R ， 2A 中，因此对应的1,21R =，所以3A 中，1,,31,2,21,2min{,}1j j a R C R ===，即第一行所有元素全为1； （3）由定义知k A 中第一行均为1，在2A 中第2行任取相邻的两数，2,,22,1,1min{,}j j a R C =，2,1,22,11,1min{,}j j a R C ++=，因为,11,11j j j j C a C a ++=≤=， 所以2,,22,1,2j j a a +≤，因此2A 中，第2行也是不减的顺序， 同理k A 中，第2行都是不减的顺序．因此k A 中最大的数就是第2行最后两数，设其分别为,k k u v ，k k u v ≤， 先考虑2A 中的最后两个数，设为22,u v ，211min ,n n n a u a a --⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，211min ,n nn n n a a v a a a --⎧⎫==⎨⎬⎩⎭， 若11n n n a a a --≥，则221n n a u v a -==，21n n av a -=，即2A 中最大两数相等，则3A 中第二行全为1， 若11n n n a a a --<，则211n u a -=>，21nn a v a -=，即第二大数不变，最大数缩小， 存在正整数p 满足，111p p n n n a a a +--≤<，则在数表p A 中，最大两数为1p n u a -=，11np p n a v a --=， 在数表1p A +中，111111min ,min ,n n n p n p n p pp n n n a a a u a v a a a a +-+---⎧⎫⎧⎫====⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭， 因此1p A +中，第二行所有数相等，2p A +中全为1． 由上面两种情况，存在2k p ≥+，k A 中所有元素都为1．【点睛】本题考查新定义问题，解题关键是理解数表的生成规则，特别是对规则的理解，如可以进行行行、列列交换，行列置换后结果不变，从而可以调整数表使得最左上角的数1,1R 最小，然后对数表分析．生成新数表时，数的变化，最大的数逐渐减小，这样最后可变为相同，从而都变为1．旨在考查学生的创新意识，逻辑推理能力．。
北京教育学院分院附属中学2020年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. “成立”是“成立”的………（）.充分非必要条件．必要非充分条件．充要条件．既非充分又非必要条件．参考答案：B2. 设全集，集合，，则A．B．C．D．参考答案：B略3. 长方体ABCD—A B CD中，，则点到直线AC的距离是A．3 B． C． D．4参考答案：A略4. 连续掷两次骰子，以先后得到的点数m，n为点P的坐标（m，n），那么点P在圆x2+y2=17内部（不包括边界）的概率是（）A．B．C．D．参考答案：D 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】基本事件总数N=6×6=36，再利用列举法求出点P在圆x2+y2=17内部（不包括边界）包含的基本事件个数，由此能求出点P在圆x2+y2=17内部（不包括边界）的概率．【解答】解：连续掷两次骰子，以先后得到的点数m，n为点P的坐标（m，n），基本事件总数N=6×6=36，点P在圆x2+y2=17内部（不包括边界）包含的基本事件有：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），共8个，∴点P在圆x2+y2=17内部（不包括边界）的概率是p==．故选：D．5. 5人参加市里演讲比赛有4人分获一、二、三等奖，其中两人并列，且一等奖仅取一人，则不同的获奖情况有( )种.A.180B.150C.140D.120参考答案：D，故选D．6. 已知命题,，命题，，则下列说法中正确的是（）A．命题是假命题B．命题是真命题C. 命题真命题D．命题是假命题参考答案：C命题为真命题.对命题，当时，，故为假命题，为真命题.所以C正确.7. 下列说法中，正确的是（）A．命题“若，则”的逆命题是真命题B．命题“存在，”的否定是：“任意，”C．命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题D．已知，则“”是“”的充分不必要条件参考答案：B【知识点】命题充分条件、必要条件解析：对于A，当m=0时逆命题不成立；对于B，又特称命题与全称命题的关系知显然成立；因为只有一个选项正确，所以选B.【思路点拨】判断命题的真假可用反例法进行排除，也可直接利用已知结论或性质进行判断.8. 已知向量共线，那么的值为A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：D本题主要考查平面向量共线的充要条件、平面向量坐标运算与数量积，同时考查转化的思想、方程的思想及逻辑思维能力、运算能力．难度较小．a＋b＝(3，k＋2)，∵a＋b与a共线，∴3×k－1×(k＋2)＝0，得k＝1，∴a·b＝1×2＋1×2＝4．9. 已知i为虚数单位，则的共轭复数为（）A．﹣+i B． +i C．﹣﹣i D．﹣i参考答案：C【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵=，∴的共轭复数为．故选：C．10. 已知分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线左支上任意一点，若的最小值为，则双曲线离心率的取值范围是（）A. B. C. D.参考答案：二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 数列中，，若存在实数，使得数列为等差数列，则= .参考答案：-1略12.若直线被圆截得的弦长为4则的最小值是 .参考答案：413. 已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是 .参考答案：14. 已知O是锐角△ABC的外接圆圆心，A是最大角，若，则m的取值范围为________.参考答案：【分析】利用平面向量的运算，求得，由此求得的取值范围.【详解】设是中点，根据垂径定理可知，依题意，即，利用正弦定理化简得.由于，所以，即.由于是锐角三角形的最大角，故，故.【点睛】本小题主要考查平面向量加法、数量积运算，考查正弦定理，考查三角形的内角和定理等知识，综合性较强，属于中档题. 15. 与直线x+y ﹣1=0垂直的直线的倾斜角为．参考答案：考点： 直线的倾斜角．专题： 直线与圆．分析： 利用垂直关系求出斜率，利用斜率求出倾斜角．解答： 解：∵直线x+y ﹣1=0的斜率为k 1=﹣，∴与直线x+y ﹣1=0垂直的直线的斜率为k 2=﹣=，又∵k 2=tanα=，且α∈[0，π），∴它的倾斜角为α=；故答案为：．点评： 本题考查了直线的垂直以及由斜率求倾斜角的问题，是基础题．16. 设函数，则__________。
