重庆市八中2021届高三数学上学期阶段性检测试题(含答案)

2021年重庆第八中学高三上学期第一次月考数学（文）试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合}22|{<<-=x x A ，}1|{<=x x B ，则=B A （ ）A ．)2,(-∞B ．)1,(-∞C ．),1(+∞D ．),2(+∞2．已知数列}{n a 为等差数列，且2265=+a a ，73=a ，则=8a （ ）A ．11B ．15C ．29D ．303．设命题：对，则为（ ）A ．B ．C ．D ．4．函数3log 2)(2-+=x x f x 在区间)2,1(内的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．35．已知向量3||=，17=⋅，则=⋅（ ）A ．0B ．14C ．8-D ．86．若 73sin 17sin 77sin 2λ=-，则=λ（ ）A ．3B ．1C ．3-D ．1-7．已知直线a y =与函数1331)(23+--=x x x x f 的图象相切，则实数a 的值为（）A ．26-或38B ．1-或3C ．8或38-D ．8-或388．已知ABC ∆的内角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，且面积为6，周长为12，53cos =B ，则边b 为（ ）A ．3B ．24C ．4D ．349．已知均为正数，且，则的最小值为（ ） A ． B ． C ． D ．10．函数c x bax x f ++=2)(的图象如下图所示，则下列结论成立的是（ ）A ．0,0>>c aB ．0,0<>c aC ．0,0><c aD ．0,0<<c a11．已知数列}{n a 的前n 项和为)11ln(n S n +=，则=++987a a a e （ ） A ．43 B ．2120 C ．2726 D ．3635 12．已知函数)(x f 是定义在R 上周期为3的奇函数，若3tan =α，则=)2sin 2015(αf （ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2016二、填空题13．已知复数z 满足321)1(i i z +=-⋅，其中i 为虚数单位，则=z .14．在正项等比数列}{n a 中，有162534231=++a a a a a a ，则=+42a a .15．已知C B A ,,是ABC ∆的三个内角，且2π=C ，则B A 22sin 9sin 4+的最小值为 .16．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，首项01<a ，公差0>d ，01020<a S ，则n S 最小时，=n .三、解答题17．已知函数1)22cos()62cos()62cos()(++--++=πππx x x x f . （1）求函数)(x f 的最小正周期和单调递减区间；（2）若将函数)(x f 的图象向左平移)0(>m m 个单位后，得到的函数)(x g 的图象关于直线4π=x 轴对称，求实数m 的最小值.18．一户居民根据以往的月用电量情况，绘制了月用电量的频率分布直方图（月用电量都在25度到325度之间）如图所示.将月用电量落入该区间的频率作为概率.若每月的用电量在200度以内（含200度），则每度电价0.5元，若每月的用电量超过200度，则超过的部分每度电价0.6元.记X （单位：度，32525≤≤X ）为该用户下个月的用电量，T （单位：元）为下个月所缴纳的电费.（1）估计该用户的月用电量的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）将T 表示为X 的函数；（3）根据直方图估计下个月所缴纳的电费)115,5.37[∈T 的概率.19．已知在斜三棱柱111C B A ABC -中，四边形11ACC A 为菱形， 90=∠ACB ，2==BC AC ，点D 为AC 的中点，⊥D A 1平面ABC .（1）求证：11AC B A ⊥；（2）设直线1AC 与D A 1交于点M ，求三棱锥MBC C -1的体积.20．已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为22，且以原点为圆心，椭圆的焦距为直径的圆与直线01cos sin =-+θθy x 相切（θ为常数）.（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，若椭圆C的左、右焦点分别为21FF、，过2F作直线l与椭圆分别交于两点NM、，求NFMF11⋅的取值范围.21．已知函数)(1)1(ln)(2Raxxaxxxf∈+---=.（1）当0=a时，求)(xf的极值；（2）若0)(<xf对),1(+∞∈x恒成立，求a的取值范围.22．如图，已知AC是以AB为直径的⊙O的一条弦，点D是劣弧AC上的一点，过点D作ABDH⊥于H，交AC于E，延长线交⊙O于F.（1）求证：ACAEAD⋅=2；（2）延长ED到P，使PCPE=，求证：PFPDPE⋅=2.23．已知曲线C在直角坐标系xOy下的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+=θθsin3cos31yx（θ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是33)6cos(=-πθρ，射线OT：）（03>=ρπθ与曲线C 交于A点，与直线l交于B点，求线段AB的长.24．已知实数0>a，0>b，且3322=+ba，若mba≤+5恒成立.（1）求实数m 的最小值；（2）若b a x x +≥+-5|||1|2对0>a ，0>b 恒成立，求实数x 的取值范围.参考答案1．A【解析】试题分析：(,2)A B =-∞．考点：集合并集．【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系.2．B【解析】试题分析：等差数列中5638822,15a a a a a +=+==.考点：等差数列的基本概念．3．C【解析】试题分析：全称命题的否定是特称命题，所以为 考点：全称命题与特称命题4．B【解析】试题分析：根据零点与二分法，()()10,20f f <>，且函数是增函数，故有唯一零点. 考点：零点与二分法．5．D【解析】试题分析：()1798OA AB OA OB OA ⋅=⋅-=-=.考点：向量运算．6．A【解析】试题分析：2sin 77sin17sin 73λ-=可化为()22sin 77sin17cos171sin 17λλθ=+=++，所以60λθ==.考点：三角函数恒等变形．7．D【解析】试题分析：即求导数为零的极值点，令()'2230,1,3f x x x x x =--==-=，()()81,383f f -==-. 考点：导数与切线．8．C【解析】试题分析：222413sin ,sin 6,12,cos 5225a b c B ac B a b c B ab +-==++===，解得4b=. 考点：解三角形．9．C【解析】试题分析：()2324a b c a c b c ++=+++≥=.考点：基本不等式．10．A【解析】试题分析：()()200,0,ax f b f x x c ===+，()()()()()()22'22222a x c ax x a x c f x x c x c +---==++，故0,0a c >>.考点：函数图象与性质．11．B【解析】试题分析：()()1ln 2,1,ln(1)ln ln ln 1ln 12ln ln(1)n a n a n n n n n n n =>=+----=+-+-⎡⎤⎣⎦，故78920ln 21a a a ++=，所以7892021a a a e ++=. 考点：数列求通项．【思路点晴】已知n S 求n a 是一种非常常见的题型，这些题都是由n a 与前n 项和n S 的关系来求数列{}n a 的通项公式，可由数列{}n a 的通项n a 与前n 项和n S 的关系是11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，注意：当1n =时，1a 若适合1n n S S --，则1n =的情况可并入2n ≥时的通项n a ；当1n =时，1a 若不适合1n n S S --，则用分段函数的形式表示．12．B【解析】 试题分析：2222sin cos 2tan 3tan 3,sin 2sin cos tan 15αααααααα====++，()f x 是周期为3的奇函数，故()()(2015sin 2)120900f f f α===.考点：函数的单调性、奇偶性与周期性．【思路点晴】弦化切是三角函数题目中一种常见的解法.如已知tan 2θ=，求sin cos sin cos θθθθ+-，我们只需分子分母除以cos θ就能转化为正切，即tan 1tan 1θθ+-.如果要求的是二次的，则除以2cos θ.如果要求的式子是整式，则需先除以1，如本题中的222sin cos 2sin cos sin cos θθθθθθ=+，然后再分子分母同时除以2cos θ，转化为正切值来求.13．12i z -= 【解析】 试题分析：121,2i z i z -⋅=-=. 考点：复数的运算．14．4【解析】试题分析：()21324352424216,4a a a a a a a a a a ++=+=+=．考点：等比数列的基本性质．15．25【解析】试题分析：有一个角是直角，故()()222222224sin cos 9sin cos 49sin sin sin cos A A A A A B A A+++=+ 224139tan 131225tan A A=++≥+=． 考点：解三角形、基本不等式．【思路点晴】本题主要考查同角三角函数关系、1的代换、基本不等式三个知识点. 高考对同角三角函数基本关系式和诱导公式的考查主要是小题为主,试题难度不大．主要从两个方面考查：（1）同角的三个函数值中sin ,cos ,tan θθθ知一求二；（2）能灵活运用诱导公式进行三角函数的求值运算和沟通角度之间的联系．16．10【解析】 试题分析：()()10112010101110111010100,0,0,0a a S a a a a a a a +=<+<<>，故前10项和最小. 考点：等差数列的基本概念．【思路点晴】若已知首项1a 和末项n a ，则1()2n n n a a S +=，或等差数列的首项是1a ，公差是d ，则其前n 项和公式为1(1)2n n n S na d -=+.熟记等差数列的性质,并能灵活运用是解这一类题的关键,注意等差数列与等比数列的性质多与其下标有关，解题需多注意观察，发现其联系，加以应用．等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n 项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题．17．（1）π，Z k k k ∈++],127,12[ππππ；（2）3π 【解析】试题分析：（1）将cos(2),cos(2)66x x ππ+-展开后再次合并，化简得()2sin(2)13f x x π=++，进而求得周期和单调递减区间；（2）先按题意平移，得到2sin(22)13x m π+++，即1)322sin(2±=++ππm ，由此求得Z k k m ∈-=,62ππ，最小值为3.试题解析：（1）6sin 2sin 6cos 2cos 1)22cos()62cos()62cos()(πππππx x x x x x f -=++--++= 1)32sin(212sin 2cos 312sin 6sin2sin 6cos2cos ++=++=++++πππx x x x x x∴函数)(x f 的最小正周期πωπ==||2T ， 当Z k k x k ∈+≤+≤+,2323222πππππ，即Z k k x k ∈+≤≤+,12712ππππ时，函数)(x f 单调递减.∴函数)(x f 单调递减区间为Z k k k ∈++],127,12[ππππ. （2）由已知1)322sin(21]3)(2sin[2)(+++=+++=ππm x m x x g又)(x g 的图象关于直线4π=x 轴对称，∴当4π=x 时，)(x g 取得最大值或最小值，∴1)322sin(2±=++ππm ，∴Z k k m ∈+=+,2652πππ，∴Z k k m ∈-=,62ππ，又0>m ，∴1=k 时，m 取得最小值3π.考点：三角函数图象与性质． 18．（1）161；（2）⎩⎨⎧≤<-+≤≤=325200),200(6.010020025,5.0X X X X T ；（3）0.7【解析】试题分析：（1）利用频率分布直方图估计平均数的公式，计算平均值为161；（2）依题意，易得⎩⎨⎧≤<-+≤≤=325200),200(6.010020025,5.0X X X X T ；（3）[37.5,115)[75,225)T X ∈⇔∈，由频率分布直方图求得概率为0.7. 试题解析：（1）月用电量的平均值1610.063000.122500.222000.31500.181000.1250=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=X （度）（2）⎩⎨⎧≤<-+≤≤=325200),200(6.010020025,5.0X X X X T（3）)225,75[)115,5.37[∈⇔∈X T ，则7.050)0044.00060.00036.0())225,75[())115,5.37[(=⨯++=∈=∈X P T P考点：频率分布直方图．19．（1）证明见解析；（2）9【解析】试题分析：（1）依题意有，BC D A ⊥1，由⊥BC 平面11ACC A ，从而1AC BC ⊥，所以⊥1AC 平面BC A 1，从而11AC B A ⊥；（2）利用割补法111223C MBC C ABC M ABC M ABC ABC V V V V S MD ----∆=-==⨯⨯⨯，9343323121=⨯⨯⨯=-MBC C V .试题解析：（1）证明：一方面，∵⊥D A 1平面ABC ，⊂BC 平面ABC ，∴BC D A ⊥1， 又∵AC BC ⊥，∴⊥BC 平面11ACC A ，从而1AC BC ⊥ ① 另一方面，∵四边形11ACC A 为菱形，∴11AC C A ⊥ ②由①②可得：⊥1AC 平面BC A 1，再加上⊂B A 1平面BC A 1，从而11AC B A ⊥. （2）解：∵D 为线段AC 的中点，∴2111=C A AD ，从而211=MC AM ，即3211=A C M C ， 于是MD S V V V V V V ABC ABC M ABC M ABC M ABC M ABC C MBC C ⨯⨯⨯==-=-=∆------3122311， 而22221=⨯⨯=∆ABC S ，33331311=⨯==D A MD ， ∴9343323121=⨯⨯⨯=-MBC C V . 考点：立体几何证明垂直与求体积．20．（1）1222=+y x ；（2）7[1,]2- 【解析】试题分析：（1）利用圆心到直线的距离等于半径，求得1c =，由2c a =求得22a =，椭圆C ：1222=+y x ；（2）①若直线l 斜率不存在，求出,M N 坐标，进而求得2711=⋅N F M F .②若直线l 斜率存在，设直线l 的方程为)1(-=x k y ，联立直线的方程和椭圆的方程，写出根与系数关系，代入11F M F N ⋅，求得表达式为2972221k -+，由02≥k 可得)27,1[11-∈⋅F F ，结合当k 不存在时的情况，得]27,1[11-∈⋅F F .试题解析：（1）依题意⇒⎪⎩⎪⎨⎧===⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+==+=121cos sin 1222222222b a c c b a c ac θθ椭圆C ：1222=+y x . （2）①若直线l 斜率不存在，则可得x l ⊥轴，方程为1=x ，)22,1()22,1(-N M 、 ∴)22,2(1=F ，)22,2(1-=N F ，故2711=⋅F F . ②若直线l 斜率存在，设直线l 的方程为)1(-=x k y ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=12)1(22y x x k y 消去y 得：0224)21(2222=-+-+k x k x k ，设),(11y x M ，),(22y x N ，则2221214k k x x +=+,22212122kk x x +-=. ),1(111y x F +=，),1(221y x F +=，则)1()1()1)(1()1)(1(2121212111-⋅-+++=+++=⋅x k x k x x y y x x F F2212212111))(1()1(k x x k x x k F F +++-++=⋅⇒代入韦达定理可得12292712171124412)1(222222422411+-=+-=+++-++-=⋅k k k k k k k k k F F 由02≥k 可得)27,1[11-∈⋅N F M F ，结合当k 不存在时的情况，得]27,1[11-∈⋅N F M F .考点：直线与圆锥曲线位置关系．【方法点晴】直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型．涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．涉及到向量，就用点的坐标来表示. 21．（1）)(x f 有极小值为0)1(=f ，无极大值；（2）21≥a 【解析】试题分析：（1）0=a 时，x x f ln )('=，令0)('=x f ，解得1=x ，∴)(x f 在），（10上单调递减，在），（∞+1上单调递增.故)(x f 有极小值为0)1(=f ，无极大值；（2）本题转化为01)1(ln 2<-+--xx x a x 在),1(+∞恒成立，令x x x a x x h 1)1(ln )(2-+--=，利用导数并分类讨论，可求得21≥a . 试题解析：（1）0=a 时，x x f ln )('=，令0)('=x f ，解得1=x ，∴)(x f 在），（10上单调递减，在），（∞+1上单调递增. 故)(x f 有极小值为0)1(=f ，无极大值. （2）解法一：01)1(ln )(2<+---=x x a x x x f 在),1(+∞恒成立，∵0>x ，即01)1(ln 2<-+--xx x a x 在),1(+∞恒成立， 不妨设x x x a x x h 1)1(ln )(2-+--=，),1(+∞∈x ，则2)1)(1()('x a ax x x h -+--=.①当0≤a 时，01<-+a ax ，故0)('>x h ，∴)(x h 在），（∞+1上单调递增，从而0)1()(=>h x h ，∴0)(<x h 不成立. ②当0>a 时，令0)1)(1()('2=-+--=x a ax x x h ，解得：11=x ，112-=ax若111>-a ，即210<<a ， 当)11,1(-∈a x 时，0)('>x h ，)(x h 在)11,1(-a上为增函数，故0)1()(=>h x h ，不合题意； 若111≤-a ，即21≥a ， 当)0(∞+∈，x 时，0)('<x h ，)(x h 在），（∞+1上为减函数，故0)1()(=<h x h ，符合题意. 综上所述，若0)(<x f 对),1(+∞∈x 恒成立，则21≥a . 解法二：由题)1(2ln )('--=x a x x f ，),1(+∞∈x . 令)(')(x f x g =，则xaxx g 21)('-=①当0≤a 时，在1>x 时，0)('>x g ，从而0)1()(=>g x g ，∴)(x f 在），（∞+1上单调递增，∴0)1()(=>f x f ，不合题意； ②当0>a 时，令0)('=x g ，可解得ax 21=. （Ⅰ）若121≤a ，即21≥a ，在1>x 时，0)('<x g ，∴0)1()(=<g x g ，∴)(x f 在），（∞+1上为减函数，∴0)1()(=<f x f ，符合题意； （Ⅱ）若121>a ，即210<<a ，当)21,1(a x ∈时，0)('>x g ，∴)21,1(a x ∈时0)1()(=>g x g ，∴)(x f 在），（a211上单调递增，从而)21,1(ax ∈时0)1()(=>f x f ，不合题意. 综上所述，若0)(<x f 对),1(+∞∈x 恒成立，则21≥a .考点：函数导数与不等式．【方法点晴】解决含参数问题及不等式问题注意两个转化：（1）利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．（2）将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理．求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间（或开区间）上的最值时，方法是不同的．求函数在无穷区间（或开区间）上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值． 22．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）由射影定理可得AB AH AD ⋅=2，易证Rt AHERt ACB ∆∆，利用相似比，可得故AH AB AC AE ⋅=⋅，所以AC AE AD ⋅=2；（2）连结OC ，利用等腰三角形和直角，证明PC OC ⊥，由切割线定理，有PF PD PC ⋅=2，由于PE PC =，所以2PE PD PF =⋅.试题解析：（1）解法一：连结DC 、AF .∵DF AO ⊥，∴弧DA =弧AF ，∴ADF DCA ∠=∠在ADC ∆与AED ∆中，EAD DAC ∠=∠，ADF DCA ∠=∠， ∴ADC ∆∽AED ∆，∴ADAE AC AD =，∴AC AE AD ⋅=2. 解法二：由射影定理可得AB AH AD ⋅=2，易证AHE Rt ∆∽ACB Rt ∆， 可得ACAH AB AE =，故AH AB AC AE ⋅=⋅，∴AC AE AD ⋅=2（2）连结OC .∵PC PE =，∴PEC PCE ∠=∠， 又∵PEC AEH ∠=∠，∴AEH PCE ∠=∠，∵在AHE Rt ∆中，90=∠+∠AEH EAH ，∴90=∠+∠EAH PCE ， ∵OC OA =，∴ACO EAH ∠=∠，∴90=∠+∠ACO PCE ，即PC OC ⊥， ∴PC 为⊙O 的切线，PF PD PC ⋅=2， ∵PC PE =，∴PF PD PE ⋅=2.考点：几何证明选讲．23．（1）02cos 22=--θρρ；（2）4【解析】试题分析：（1）先消参，化为直角坐标方程3)1(22=+-y x ，利用极坐标与直角坐标相互转化的公式，有02cos 22=--θρρ；（2）联立圆的极坐标方程和3πθ=，可求得射线OT与曲线C 的交点A 的极坐标为)3,2(π；联立直线的极坐标方程和3πθ=，考前求得射线OT与直线l 的交点B 的极坐标为)3,6(π，故4||||=-=A B AB ρρ.试题解析：（1）曲线C 的普通方程为3)1(22=+-y x ,又θρcos =x ，θρsin =y ，∴曲线C 的极坐标方程为02cos 22=--θρρ.（2）由2020302cos 222=⇒=--⇒⎪⎩⎪⎨⎧>==--ρρρρπθθρρ）（， 故射线OT 与曲线C 的交点A 的极坐标为)3,2(π；由60333)6cos(=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>==-ρρπθπθρ）（，故射线OT 与直线l 的交点B 的极坐标为)3,6(π. ∴4||||=-=A B AB ρρ. 考点：坐标系与参数方程． 24．（1）4；（2）32-≤x 或2≥x 【解析】试题分析：（1）由柯西不等式有222116(3)(5))3a b b =++≥+，故实数m 的最小值为4；（2）由（1）知45≤+b a .即4|||1|2≥+-x x ，利用零点分段法去掉绝对值，解得32-≤x 或2≥x .试题解析：（1）∵m b a ≤+5恒成立，∴m b a ≤+max )5(.∵0>a ，0>b ，由柯西不等式222)5()315)(3(b a b a +≥++，∴45)5(31632≤+⇒+≥⨯b a b a （当且仅当453=a ，41=b 时取等号） 故4)5(max =+b a ，∴4≥m ，实数m 的最小值为4. （2）由（1）知45≤+b a . 若b a x x +≥+-5|||1|2对任意的0>a ，0>b 恒成立，只需4|||1|2≥+-x x ，该不等式等价于⎩⎨⎧≥--<4)1(20x x x 或⎩⎨⎧≥+-≤≤4)1(210x x x 或⎩⎨⎧≥+->4)1(21x x x解得32-≤x 或2≥x . 考点：不等式选讲．。

2021届重庆市第八中学高三上学期适应性月考数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合0,1,2,3A =，301x B x x ⎧-⎫=⎨⎬-⎩⎭≤，则A B ⋂=（ ）A ．1,2B ．1,2,3C ．2.3D ．22.复数()()2234i R z a a a =-+-∈的实部与虚部相等，且z 在复平面上对应的点在第三象限，则a =（ ） A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．1-3.函数()sin 0,0,2y A x A πωϕωϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭＞＞＜的部分图象如图1所示，则（ ）A ．3sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．3sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．3sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．3sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭4.直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，12AB BC AA ===，则该三棱柱的外接球的表面积为（ ） A ．4π B ．8π C.12π D ．323π5.已知直线40x y ++=被圆22220x y x y a ++-+=所截得弦长为2，则实数a 的值为（ ） A ．1- B ．4- C.7- D ．10-6.已知直线3y x =-与两坐标轴围成的区域为1Ω，不等式组3,0,2y x x y x -⎧⎪⎨⎪⎩≤≥≥所形成的区域为2Ω，现在区域1Ω中随机放置一点，则该点落在区域2Ω的概率是（ ） A ．14 B ．13 C.12 D ．237.某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的体积为（）A．123π+ B．136π C.73πD．52π8.已知直线l过点()0,1，且倾斜角为6π，当此直线与抛物线24x y=交于A，B时，AB=（）A．163B．16 C.8 D．16339.阅读如图3所示的程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．8 B．9 C.10 D．1110.已知函数()12log,02,12,2,2x xf xx x⎧⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩＜≤＞且()2f a=，则()2f a+=（）A．12B．14C.58D．7811.设当x θ=时，函数()3sin 4cos f x x x =+取得最小值，则sin θ=（ ） A ．35 B ．45 C.35- D ．45-12.设函数()211121x f x x+⎛⎫=+⎪+⎝⎭，则使得()()()21122f x f x f x -+-＜成立的x 的取值范围是（ ） A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭ C.11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量()22,2a =，()0,2b =，(),2c m =，且()2a b c +⊥，则实数m = ．14.若双曲线()221024x y a a -=＞的一条渐近线过点()2,1，则a = ． 15.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3cos 5A =-，1sin 2C =，1c =，则ABC ∆的面积为 ．16.重庆好食寨鱼火锅底料厂用辣椒、花椒等原材料由甲车间加工水煮鱼火锅底料，由乙车间加工麻辣鱼火锅底料.甲车间加工1吨原材料需耗费工时10小时，可加工出14箱水煮鱼火锅底料，每箱可获利80元；乙车间加工1吨原材料需耗费工时6小时，可加工出8箱麻辣鱼火锅底料，每箱可获利100元.甲、乙两车间每天总获利最大值为 元．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）已知n a 是递增的等差数列，1a ，2a 是函数()21021f x x x =-+的两个零点. （1）求数列n a 的通项公式；（2）记3n n n b a =⨯，求数列n b 的前n 项和n S . 18. （本小题满分12分）发改委10月19日印发了《中国足球中长期发展规划（2016-2050年）重点任务分工》通知，其中“十三五”校园足球普及行动排名第三，为了调查重庆八中高一高二两个年级对改政策的落实情况，在每个年级随机选取20名足球爱好者，记录改政策发布后他们周平均增加的足球运动时间（单位：h ），所得数据如下：高一年级的20位足球爱好者平均增加的足球运动时间： 1.6 3.4 3.7 3.3 3.8 3.2 2.8 4.2 2.5 4.5 3.5 2.5 3.3 3.7 4.0 3.9 4.1 3.6 2.2 2.2 高二年级的20位足球爱好者平均增加的足球运动时间： 4.2 2.8 2.9 3.1 3.6 3.4 2.2 1.8 2.3 2.7 2.6 2.4 1.5 3.5 2.1 1.9 2.2 3.7 1.5 1.6（1）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪个年级政策落实得更好？ （2）根据两组数据完成图4的茎叶图，从茎叶图简单分析哪个年级政策落实得更好？ 19. （本小题满分12分）如图5所示，四边形ABCD 是边长为2的正方形，四边形BDFE 是平行四边形，点M ，N 分别是BE ，CF 的中点.（1）求证：MN ∥平面ABCD ；（2）若ABE ∆是等边三角形且平面ABE ⊥平面ABCD ，记三棱柱E ABF -的体积为1S ，四棱锥F ABCD -的体积为2S ，求12S S 的值. 20. （本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=＞＞的长轴是圆224x y +=的一条直径，且右焦点到直线230x y +-=的距离（1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在直线():l y kx m k R =+∈与椭圆C 交于A ，B 两点，使得22OA OB OA OB +=-成立？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由. 21. （本小题满分12分） 设函数()()3x f x k x e x =---.（1）当1k =时，求()f x 在()()0,0f 处的切线方程； （2）若()0f x ＜对任意0x ＞恒成立，求整数k 的最大值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知圆O 和圆C 的极坐标方程分别为2ρ=和4sin ρθ=，点P 为圆O 上任意一点． （1）若射线OP 交圆C 于点Q ，且其方程为3πθ=，求PQ 的长；（2）已知32,2D π⎛⎫⎪⎝⎭，若圆O 和圆C 的交点为A ，B ，求证：222PA PB PD ++为定值．23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 若0a ＞，0b ＞且223ab a b =++． （1）求2a b +的最小值；（2）是否存在a ，b 使得22417a b +=？并说明理由．2021届重庆市第八中学高三上学期适应性月考数学（文）试题参考答案一、选择题1-5:CACCC 6-10:BBABD 11、12：CB 【解析】1.{}13B x x =＜≤，{}2,3A B ∴⋂=，故选C .2.由题意2234a a-=-，解得1a=或2，当2a=时，22iz=+，它在复平面上对应的点在第一象限，不符合题意，舍去，所以1a=，故选A.3.24362 Tπππ=-=，2Tπ∴=，2Tπω=，又,06π⎛⎫⎪⎝⎭为“五点法”的第一个点，则06πϕ+=，6πϕ=-，sin6y xπ⎛⎫∴=-⎪⎝⎭，故选C.4.设D，1D分别为AC，11A C的中点，则1DD的中点O为球心，球的半径223R CD OD=+=，故表面积为2412S Rππ==，故选C.5.圆的方程为()()22112x y a++-=-，圆心为()1,1-，由22114122a⎛-++⎫+=-⎪⎝⎭得7a=-，故选C.6.如图1所示，OAB∆对应的区域为1Ω，OBC∆对应的区域为2Ω，所以该点落在区域2Ω的概率13OBCOABSPS∆∆==，故选B.7.该几何体由一个圆柱和半个圆锥构成，2211131211236Vπππ=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=，故选B.8.直线3:1l y=+与24x y=联立得24340x-=，643∆=，故21211611333AB k x x=+⋅-=+=，故选A.9.当1i=时，1lg12S=-＞；当2i=时，1lg13S=-＞；当3i=时，1lg14S=-＞……当9i=时，1lg110S==-，故输出9i=，故选B.10.（1）当2a＞时，()1212f a a=-+＜，不成立；（2）当02a＜≤时，()12log2f a a==，则14a=或4a=（舍），所以()9197224248f a f⎛⎫+==-⨯+=⎪⎝⎭，故选D.11.()()343sin4cos5sin cos5sin55f x x x x x xϕ⎛⎫=+=+=+⎪⎝⎭，其中4sin5ϕ=，3cos5ϕ=，由()()5sin5fθθϕ=+=-得()sin1θϕ+=-，所以22kπθϕπ+=-+，k Z∈，22kπθϕπ=--+，k Z∈，所以3 sin sin2sin cos225kππθϕπϕϕ⎛⎫⎛⎫=--+=--=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选C.12.由解析式可知，()f x为偶函数且在[)0,+∞上单调递减，则()()()2112221f x f x f x-+-=-，所以()()()()()()()()()2112222122121f x f x f x f x f x f x f x f x f x-+-⇔-⇔-⇔-⇔＜＜＜＜()222212121213x x x x x x x-⇔-⇔-⇔＞＞＞＜或1x＞，故选B.二、填空题13.3- 14.4 15.83625-16.60800【解析】13.()222,6a b+=，由()20a b c+⋅=得22620m+=，所以3m=-.14.渐近线方程为2y xa=±，故41a=，所以4a=.15.22sincRC==，则482sin255a R A==⨯=，又()sin sin sin cos cos sinB AC A C A C=+=+=4331433525210-⎛⎫⨯+-⨯=⎪⎝⎭，118433836sin12251025S ac B--∴==⨯⨯⨯=.16.设甲车间加工原材料x吨，乙车间加工原材料y吨，甲、乙两车间每天获利为z元，则0,0,70,106480,x yx yx y⎧⎪+⎨⎪+⎩≥≥≤≤目标函数1120800z x y=+，作出可行域，如图2所示.当1120800z x y=+对应的直线过直线70x y+=与106480x y+=的交点A时，目标函数1120800z x y=+取得最大值.由70,106480x yx y+=⎧⎨+=⎩得15,55,xy=⎧⎨=⎩故max1120158005560800z=⨯+⨯=，即甲、乙两车间每天总获利最大值为60800元.三、解答题17.解：（1）函数()21021f x x x =-+的两个零点为3，7， 由题意得13a =，37a =.()()213353213213n n n S n n -=⨯+⨯++-⨯++⨯， ()()23133353213213n n n S n n +=⨯+⨯++-⨯++⨯，两式相减得()()()()23111292333213939213n n n n n S n n +++-=+⨯+++-+⨯=+--+⨯，所以13n n S n +=⨯.18.解：（1）设高一年级所得数据的平均数为x ，高二年级所得数据的平均数为y . 由记录数据可得 ()11.6 3.4 3.7 3.3 3.8 3.22.8 4.2 2.5 4.53.5 2.5 3.3 3.74.0 3.9 4.1 3.6 2.2 2.220x =⨯+++++++++++++++++++3.3=，()14.2 2.8 2.9 3.1 3.6 3.4 2.2 1.8 2.3 2.7 2.6 2.4 1.5 3.5 2.1 1.9 2.2 3.7 1.5 1.620y =⨯+++++++++++++++++++2.6=，由以上计算结果可得x y ＞，因此可看出高一年级政策落实得更好. （2）由记录结果可绘制如图3所示的茎叶图：从以上茎叶图可以看出，高一年级的数据有710的叶集中在茎3，4上，而高二年级的数据有710的叶集中在茎1，2上，由此可看出高一年级政策落实得更好.19.（1）证明：如图4，取DF 的中点H ，连接MH ，NH ， 点N ，H 分别是CF ，DF 的中点，NH CD ∴∥. EBDF 是平行四边形，且点M ，H 是BE ，DF 的中点， MH BD ∴∥，又MH NH H ⋂=，BD CD D ⋂=，所以平面MNH ∥平面ABCD ， 又MN ⊂平面MNH ，MN ∴∥平面ABCD.（2）解：法一：DF BE ∥，DF ⊄平面ABE ，BE ⊂平面ABE ， DF ∴∥平面ABE ，1=E ABF F ABE D ABE E ABD S V V V V ----∴===，又EF BD ∥，EF ⊄平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， EF ∴∥平面ABCD ，2122F ABCD E ABCD E ABD S V V V S ---∴====，1212S S ∴=. 法二：DF BE ∥，DF ⊄平面ABE ，BE ⊂平面ABE ，DF ∴∥平面ABE ,平面EAB ⊥平面ABCD ，DA AB ⊥，平面EAB ⋂平面ABCD AB =， DA ∴⊥平面EAB ，11123=3233E ABF D EAB EAB S V V S DA --∴==⋅⋅==， EF BD ∥，EF ⊄平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， EF ∴∥平面ABCD ，又平面EAB ⊥平面ABCD ，∴点F 到平面ABCD 的距离等于E 到AB的距离，即h =113F ABCD ABCD S V S h -∴==⋅⋅=， 1212S S ∴=. 20.解：（1）由已知24a =， 解得2a =，c =，所以1b =，椭圆C 的标准方程为2214x y +=.（2）假设存在这样的直线.由22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222418440k x kmx m +++-=， ()2216410k m ∆=-+＞，()*设()11,A x y ，()22,B x y ，则122841kmx x k +=-+，21224441m x x k -=+，()()1212y y kx m kx m =++()221212k x x km x x m =+++ ()22222224484141k m k m m k k -=-+++ 222441m k k -=+， 由22OA OB OA OB +=-得0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=， 故22454k m =-，代入()*式得m -＜m 21.解：（1）当1k =时，()1x f x xe '=--， 则()01f '=-，()02f =-，所以()f x 在()()0,0f 处的切线方程为()()210y x --=-⨯-， 即20x y ++=.（2）()30x k x e x ---＜对任意0x ＞恒成立3x x k x e+⇔+＜对任意0x ＞恒成立 min 3x x k x e +⎛⎫⇔+ ⎪⎝⎭＜， 令()()30xx h x x x e +=+＞，则 ()221x x xx e x h x e e ----'=+=. 令()2x x e x ϕ=--，则()10x x e ϕ'=-＞，()x ϕ∴在()0,+∞上单调递增，又()130e ϕ=-＜，3237022e ϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭＞， ∴存在031,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()00x ϕ=，其中()h x 在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， ()()0000min 3x x h x h x x e +∴==+， 又()00x ϕ=，即0020x e x --=，002x e x ∴=+，()()0000000min 00331122x x x h x h x x x x x x e ++∴==+=+=++++， 031,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0512,2x ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，0110,22x ⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭， ()00112,32x x ∴++∈+， k Z ∈，2k ∴≤，k ∴的最大值为2.22.（1）解：把3πθ=代入4sinρθ=得到Q 点的极径4sin 3Q πρ==， 而点P 的极径为2P ρ=，所以2Q P PQ ρρ=-=.（2）证明：联立2ρ=和4sin ρθ=解得52,6A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,6B π⎛⎫ ⎪⎝⎭，32,2D π⎛⎫⎪⎝⎭，其直角坐标为()A ，)B，()0,2D -，圆O 的直角坐标方程为224x y +=.则(()(()()22222222211224PA PB PD x y x y x y ++=+-+-+-+++=. 23.解：（1）由条件知()21230a b b -=+＞，12b ＞.所以2321b a b +=-，23422212262121b a b b b b b ++=+=-++=--≥. 当且仅当212b -=，即32b =，3a =时取等，所以2a b +的最小值为6. （2）因为22224269222a b a b ++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥≥，当且仅当32b =，3a =时取等， 所以22418a b +≥，故不存在a ，b 使得22417a b +=.。

重庆市直属校（重庆市第八中学等）2021届高三数学3月月考试题 理第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.设集合A={x|x 2<9},B={-3,-2,-1,0,1,2},则A∩B=A.{0,1,2}B.{-1,0,1,2}C.{-2,-1,0,1,2}D.{-2,–1,0}2.设(1+i)(a+bi)=2,其中a,b 是实数,i 为虚数单位,则|3a+bi|=A.2B.7C.22D.103.已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列,a 1=2,a 3=2a 2+16,则log 2a 9=A.15B.16C.17D.184.若实数x,y 满足约束条件20,20,240x y x y x y -+⎧⎪⎪⎪-⎨⎪⎪+-⎪⎩,则z=x+y 的最小值为A.-8B.-6C.1D.35.我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》有着丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献。

这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期。

现拟从这5部专著中选择2部作为学生课外兴趣拓展参考书目，则所选2部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为A.35B.710C.45D.9106.如图,四棱柱1111ABCD A B C D -中,ABCD 为平行四边形,E,F 分别在线段DB,DD 1上,且112DE DF EB FD ==,G 在CC 1上且平面AEF ∥平面BD 1G ,则1CG CC =A.12B.13C.23D.147.在直角坐标系xOy 中，半径为lm 的⊙C 在t= 0时圆心C 与原点O 重合，⊙C 沿x 轴以1m/s 的速度匀速向右移动，⊙C 被y 轴所截的左方圆弧长记为x ，令y=cosx ，则y 关于时间t （0≤t≤l, 单位：s ）的函数的图象大致为8.()()n mx x n N ++∈的展开式中,各二项式系数和为32,各项系数和为243,则展开式中x 3的系数为A.40B.30C.20D.109.设函数f(x)=cos(ωx+φ)(x∈R)(ω>0,-π<φ<0)的部分图象如图所示,如果127,(,)1212x x ππ∈，x 1≠x 2,且f(x 1)=f(x 2),则f(x 1+x 2)= A.32- B.12- C.32 D ．1210.已知三棱锥P-ABC 的四个顶点在球O 的球面上,球O 的半径为4,ΔABC 是边长为6的等边三角形,记ΔABC 的外心为O 1.若三棱锥P-ABC 的体积为123PO 1= A.23 B.5 C.26 D.711.设双曲线2222:1(0,x y C a b a b-=>>)的左顶点为A,右焦点为F(c,0),若圆A:(x+a)2+y 2=a 2与直线bx-ay=0交于坐标原点O 及另一点E ﹐且存在以O 为圆心的圆与线段EF 相切,切点为EF 的中点,则双曲线的离心率为A.62 2 3 D.312.函数1ln()(0)()(0)x x x f x xe x -'-<⎧⎪=⎨⎪⎩，若关于x 的方程f 2(x)-af(x)+a-a 2=0有四个不等的实数根,则a 的取值范围是 A. 4(,1]5B.(–∞,-1)∪[1,+∞)C.(-∞,-1)∪{1}D.(-1,0)∪{1}第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知向量a 与b 的夹角为120°,且(1,3),||10a b =-=,则a b ⋅=____.14.已知函数f(x)=3|x-a|(a ∈R)满足f(x)=f(4-x),则实数a 的值为____.15.设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和S n 满足222(2)2()0n n S n n S n n -+--+=,n ∈N *,则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2021项和T 2020=___.16.设抛物线y 2=2x 的焦点为F,准线为1,弦AB 过点F 且中点为M ﹐过点F,M 分别作AB 的垂线交l 于点P,Q,若|AF|=3|BF|,则|FP|·|MQ|=____.三、解答题:(共70分)17.(本小题满分12分)在ΔABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且满足(cos )c b A A =+(I)求角B 的大小;(II)若a=4,且BC 求ΔABC 的周长.18.(本小题满分12分)如图,四边形ABCD 为平行四边形,点E 在AB 上,AE=2EB=2,且DE ⊥AB.以DE 为折痕把ΔADE 折起,使点A 到达点F 的位置,且∠FEB=60°.(I)求证:平面BFC ⊥平面BCDE ﹔(II)若直线DF 与平面BCDE 所成角的正切值为5,求二面角E-DF-C 的正弦值.19.(本小题满分12分)为了保障某治疗新冠肺炎药品的主要药理成分在国家药品监督管理局规定的值范围内,武汉某制药厂在该药品的生产过程中,检验员在一天中按照规定从该药品生产线上随机抽取20件产品进行检测,测量其主要药理成分含量(单位:mg).根据生产经验,可以认为这条药品生产线正常状态下生产的产品的主要药理成分含量服从正态分布N(μ,σ2).在一天内抽取的20件产品中,如果有一件出现了主要药理成分含量在(μ-3σ,μ+3σ)之外的药品,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对本次的生产过程进行检查.(I)下面是检验员在2月24日抽取的20件药品的主要药理成分含量:其中x i为抽取的第i件药品的主要药理成分含量,i=1,2,…,20.用样本平均数x作为μ的估计值ˆμ,用样本标准差s作为σ的估计值ˆσ,利用估计值判断是否需对本次的生产过程进行检查?(I)假设生产状态正常,记X表示某天抽取的20件产品中其主要药理成分含量在(μ-3σ,μ+3σ)之外的药品件数,求P(X=1)及X的数学期望.附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-3σ<Z<μ+3σ)≈0.9974,0.997419≈0.95.20.(本小题满分12分)已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1的直线与C交于A,B两点.ΔABF2的周长为且椭圆的离心率为2.(Ⅰ)求椭圆C的标准方程:(I)设点P为椭圆C的下顶点,直线PA,PB与y=2分别交于点M,N,当|MN|最小时,求直线AB的方程.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=e ax-x-1,且f(x)≥0.(I)求a﹔(IⅡ)在函数f(x)的图象上取定两点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))(x1<x2),记直线AB的斜率为k,问:是否存在x0∈(x1,x2),使f'(x)=k成立?若存在,求出x的值(用x1,x2表示);若不存在,请说明理由.请从下面所给的22、23两题中选定一题作答,并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑,按所涂题号进行评分;不涂、多涂均按所答第一题评分;多答按所答第一题评分.22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程.在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ2(cos2θ+3sin2θ)=12,直线l的参数方程为2x ty t=-+⎧⎪⎨⎪=⎩(t为参数),直线l与曲线C交于M,N两点.(I)若点P的极坐标为(2,π),求|PM|·|PN|的值; (Ⅱ)求曲线C的内接矩形周长的最大值.23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲.已知函数f(x)=x|x-a|,a∈R.(Ⅰ)当f(2)+f(-2)>4时,求a的取值范围;(Ⅱ)若a>0,∀x,y∈(-∞,a],不等式f(x)≤|y+3|+|y-a|恒成立,求a的取值范围.优质资料\word可编辑11 / 1111。

2021届重庆八中高考数学适应性试卷(七)一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1.复数z =2+4i 1+i(i 为虚数单位)在复平面内对应点的坐标是( )A. (3,1)B. (−1,3)C. (3,−1)D. (2,4)2.已知集合A ={1,2，3，6}，B ={x|2x >4}，则A ∩B =( )A. {6}B. {3,6}C. {1,2}D. {2,3，6}3.已知随机变量X 服从正态分布N(3,δ2)，且P(x ≤6)=0.9，则P(0<x <3)=( )A. 0.4B. 0.5C. 0.6D. 0.74.在同一直角坐标系中，函数f(x)=x a (x >0)，g(x)=log a x 的图象可能是( )A.B.C.D.5. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( )A. 乙可以知道四人的成绩B. 丁可以知道四人的成绩C. 乙、丁可以知道对方的成绩D. 乙、丁可以知道自己的成绩6.在△ABC 中，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则△ABC 是( )A. 等腰直角三角形B. 等边三角形C. 等腰三角形D. 直角三角形7.已知P ，A ，B ，C 是半径为2的球面上的点，PA =PB =PC =2，∠ABC =90°，点B 在AC 上的射影为D ，则三棱锥P −ABD 体积的最大值是( )A. 3√34B. 3√38C. 12D. √348. 已知，关于的方程有相异实根的个数情况是( )A. 0或1或2或3B. 0或1或2或4C. 0或2或3或4D. 0或1或2或3或4二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9.已知x >−3，y >4，且x +y =2，则1x+3+1y−4的值可能为( )A. 3B. 4C. 5D. 610. 抛掷一枚质地均匀的骰子，有如下随机事件：C i =“点数为i ”，其中i =1，2，3，4，5，6，E 1=“点数不大于3”，E 2=“点数大于3”，E 3=“点数大于4”，F =“点数为奇数”，G =“点数为偶数”，判断下列结论，错误的有( )A. F =E 1∪E 2∪E 3B. C 2，C 3为对立事件C. E 3⊆E 2D. E 1，E 2为对立事件11. 矩形ABCD 中，AB =4，BC =3，将△ABD 沿BD 折起，使A 到A′的位置，A′在平面BCD 的射影E 恰落在CD 上，则( )A. 三棱锥A′−BCD 的外接球直径为5B. 平面A′BD ⊥平面A′BCC. 平面A′BD ⊥平面A′CDD. A′D 与BC 所成角为60°12. 若△ABC 内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且3OA⃗⃗⃗⃗⃗ +4OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +5OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则下列结论正确的是( )A. ∠BOC =90°B. ∠AOB =90°C. OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−45D. OC ⃗⃗⃗⃗⃗⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−15 三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知函数f(x)=|sinx|+|cosx|−sin2x −1(x ∈R)，则下列命题正确的是______ (写出所有正确命题的序号)． ①f(x)是周期函数；②f(x)的图象关于x =π2对称； ③f(x)的最小值为√2−2；④f(x)的单调递减区间为[kπ+π4,kπ+3π4](k ∈Z)；⑤f(x)在(0,nπ)内恰有2015个零点，则n 的取值范围为1.007.5<n <1008．14. 与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线方程是 ．15. 某团队有6人入住宾馆中的6个房间，其中的房号301与302对门，303与304对门，305与306对门，若每人随机地拿了这6个房间中的一把钥匙，则其中的甲、乙两人恰好对门的概率为______ ．16. 如图，已知球O 的面上有四点A ，B ，C ，D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA =AB =BC =2，则球O 的体积与表面积的比为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知函数f(x)=2cos 2x +2√3sinxcosx −1． (Ⅰ)求f(π3)的值；(Ⅱ)当x ∈[π4,π2]时，求函数f(x)的值域．18. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =3n −12，记b n =2(1+log 3a n ) (n ∈N ∗).(Ⅰ)求数列{a n b n }的前n 项和T n ； (Ⅱ)求证：对于任意的正整数n ，都有1+b 1b 1⋅1+b 2b 2⋅…⋅1+b n b n<√2n +1成立；(Ⅲ)求证：对于任意的正整数n ，都有(b 1−1b 1)2⋅(b 2−1b 2)2⋅…⋅(b n −1b n)2≥14n成立．19. 在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB =BC =CC 1=2，AB ⊥BC ，点M ，N 分别是CC 1，B 1C 的中点，G 是棱AB 上的动点．(Ⅰ)求证：B 1C ⊥平面BNG ；(Ⅱ)若G 点是AB 的中点，求证：CG//平面AB 1M ； (Ⅲ)求二面角M −AB 1−B 的余弦值．20. 某省的一个气象站观测点在连续4天里记录的AQI 指数M 与当天的空气水平可见度y(单位：cm)的情况如表1： M 900 700 300 100 y0.53.56.59.5该省某市2017年11月份AQI 指数频数分布如表2： M [0,200) [200,400) [400,600) [600,800) [800,1000] 频数(天)361263(1)设x =M100，若x 与y 之间是线性关系，试根据表1的数据求出y 关于x 的线性回归方程； (2)小李在该市开了一家洗车店，洗车店每天的平均收入与AQI 指数存在相关关系如表3： M[0,200) [200,400) [400,600) [600,800) [800,1000] 日均收入(元)−2000−1000200060008000根据表3估计小李的洗车店2017年11月份每天的平均收入．附参考公式：y ̂=b ̂x +a ̂，其中b ̂=∑x i ni=1y i −nx −y −∑x i 2n i=1−nx−2，a ̂=y −−b ̂x −．21. (本小题满分12分) 如图，在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为2，且过点．求椭圆的方程； 若点，分别是椭圆的左、右顶点，直线经过点且垂直于轴，点是椭圆上异于，的任意一点，直线交于点(ⅰ)设直线的斜率为直线的斜率为，求证：为定值；(ⅰ)设过点垂直于的直线为.求证：直线过定点，并求出定点的坐标．22. 已知函数f(x)=alnx+bx2在x=1处的切线方程为x−y=1，(1)求f(x)的解析式；(2)若f(x)≥g(x)恒成立，则称f(x)为g(x)的一个上界函数，当(1)中的f(x)为函数g(x)=tx−lnx(t∈R)的一个上界函数时，求t的取值范围；(3)当m>0时，对(1)中的f(x)，讨论F(x)=f(x)+x22−m2+1mx在区间(0,2)上极值点的个数．【答案与解析】1.答案：A解析：本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用复数的运算法则、几何意义即可得出．=3+i，解：z=(2+4i)(1−i)(1+i)(1−i)∴复数z所对应点的坐标是(3,1)．故选：A．2.答案：B解析：解：因为集合A={1,2，3，6}，B={x|2x>4}={x|x>2}，所以A∩B={3,6}．故选：B．求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.答案：A解析：解：∵P(x≤6)=0.9，∴P(x>6)=1−0.9=0.1．∴P(x<0)=P(x>6)=0.1，∴P(0<x<3)=0.5−P(x<0)=0.4．故选：A．根据对称性，由P(x≤6)=0.9的概率可求出P(x<0)=P(x>6)=0.1，即可求出P(0<x<3)．本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，注意根据正态曲线的对称性解决问题．4.答案：D解析：解：当0<a<1时，函数f(x)=x a(x≥0)，g(x)=log a x的图象为：此时答案D满足要求，当a>1时，函数f(x)=x a(x≥0)，g(x)=log a x的图象为：无满足要求的答案，综上：故选D，故选：D．结合对数函数和幂函数的图象和性质，分当0<a<1时和当a>1时两种情况，讨论函数f(x)=x a(x≥0)，g(x)=log a x的图象，比照后可得答案．本题考查的知识点是函数的图象，熟练掌握对数函数和幂函数的图象和性质，是解答的关键．5.答案：D解析：本题考查了合情推理的问题，关键掌握四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，属于中档题．根据四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，继而可以推出正确答案．解：甲不知自己的成绩→乙丙必有一优一良，(若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩);→乙看到了丙的成绩，乙没有说不知道自已的成绩，假定丙是优，则乙是良，乙就知道自己成绩; →甲、丁也为一优一良，丁看到甲成绩，假定甲是优，则丁是良，丁肯定知道自已的成绩了． 故选D ．6.答案：C解析：本题考查三角形形状的判断，涉及向量的运算，属基础题． 由向量的运算可得|CA⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |，可得结论． 解：∵在△ABC 中，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0， ∴(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0， 即CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2， ∴|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |， ∴△ABC 是等腰三角形， 故选C ．7.答案：B解析：题考查多面体与旋转体间的关系，考查球内接多面体体积的求法，是中档题．由题意画出图形，求出三棱锥的高，利用导数求出底面三角形ABD 的最大值，则三棱锥P −ABD 体积的最大值可求． 解：如图，由题意，PA =PB =PC =2，∠ABC =90°，可知P 在平面ABC 上的射影G 为△ABC 的外心，即AC 中点，则球的球心在PG的延长线上，设PG=ℎ，则OG=2−ℎ，∴OB2−OG2=PB2−PG2，即4−(2−ℎ)2=4−ℎ2，解得ℎ=1．则AG=CG=√3，过B作BD⊥AC于D，设AD=x，则CD=2√3−x，再设BD=y，由△BDC∽△ADB，可得y2√3−x =xy，∴y=√x(2√3−x)，则12xy=12√−x4+2√3x3，令f(x)=−x4+2√3x3，则f′(x)=−4x3+6√3x2，由f′(x)=0，可得x=3√32，∴当x=3√32时，f(x)max=24316，∴△ABD面积的最大值为12×9√34=9√38，则三棱锥P−ABD体积的最大值是13×9√38×1=3√38．故选：B．8.答案：B解析：试题分析：由可得对上式两边平方可得：分别画出的图象和的图象，可以看出当或时，有0个交点，当时有1个交点，当或时有2个交点，当时有4个交点．考点：本小题主要考查含绝对值号和根号的不等式的解的个数的判断．点评：解决本题的关键在于将问题转化为两个函数图象交点个数问题，这种转化的方法经常用到，要灵活掌握．9.答案：BCD解析：解：因为x+y=2，所以x+3+y−4=2+3−4=1，则1x+3+1y−4=[(x+3)+(y−4)](1x+3+1y−4)=2+x+3y−4+y−4x+3．又因为x>−3，y>4，所以2+x+3y−4+y−4x+3≥4，当且仅当x=−52，y=92时取等号．故B，C，D，都有可能，故选故选：BCD．根据基本不等式的性质，利用1的代换进行转化求解即可．本题主要考查不等式的性质，结合基本不等式性质，利用1的代换，将式子进行转化是解决本题的关键，是中档题．10.答案：AB解析：本题考查了互斥事件与对立事件的概念，属于基础题．逐项判断正误即可．解：C2=“点数为2”，C3=“点数为3”，E1=“点数不大于3”=“点数为1，2，3”，E2=“点数大于3”=“点数为4，5，6”，E3=“点数大于4”=“点数为5，6”，F=“点数为奇数”=“点数为1，3，5”，G=“点数为偶数”=“点数为2，4，6”．因为E1∪E2∪E3=“点数为1，2，3，4，5，6”，所以F≠E1∪E2∪E3，故A错误;因为C2∩C3=⌀，且C2∪C3=“点数为2，3”，所以C2，C3为互斥事件，故B错误;因为E3⊆E2，故C正确;因为E1∪E2=“点数为1，2，3，4，5，6”，E1∩E2=⌀，所以E1，E2为对立事件，故D正确，故选AB．11.答案：AB解析：解：对于A，取BD中点E，连接A′E，CE，则A′E=BE=DE=CE=√42+322=52．∴三棱锥A′−BCD的外接球直径为5，故A正确；对于B，∵DA′⊥BA′，BC⊥CD，A′F⊥平面BCD，∴BC⊥A′F，又A′F∩CD=F，A′F、CD⊂平面A′CD，∴BC⊥平面A′CD，∵A′D⊂平面A′CD，∴DA′⊥BC，∵BC ∩BA′=B ，∴DA′⊥平面A′BC ，∵DA′⊂平面A′BD ，∴平面A′BD ⊥平面A′BC ，故B 正确； 对于C ，BC ⊥A′C ，∴A′B 与A′C 不垂直， ∴平面A′BD 与平面A′CD 不垂直，故C 错误；对于D ，∵DA//BC ，∴∠ADA′是A′D 与BC 所成角(或所成角的补角)， ∵A′C =√16−9=√7，∴A′F =3√74，DF =(3√74)=94，AF =√9+(94)2=154，AA′=√(154)2+(3√74)2=3√2， ∴cos∠ADA′=9+9−182×3×3=0，∴∠ADA′=90°，∴A′D 与BC 所成角为90°，故D 错误． 故选：AB ．对于A ，取BD 中点E ，连接A′E ，CE ，推导出A′E =BE =DE =CE =52，从而三棱锥A′−BCD 的外接球直径为5；对于B ，推导出DA′⊥BA′，BC ⊥CD ，A′F ⊥平面BCD ，BC ⊥A′F ，BC ⊥平面A′CD ，DA′⊥BC ，DA′⊥平面A′BC ，从而平面A′BD ⊥平面A′BC ；对于C ，A′B 与A′C 不垂直，从而平面A′BD 与平面A′CD 不垂直；对于D ，由DA//BC ，得∠ADA′是A′D 与BC 所成角(或所成角的补角)，推导出A′D 与BC 所成角为90°．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等数学核心素养，是中档题．12.答案：BD解析：解：由已知得：|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，因为3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +4OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +5OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，所以3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−(4OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +5OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )， 两边平方得9OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=16OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+25OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+40OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，解得OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−45≠0，故A 错误； 同理可得：OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−35． 故OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，故∠AOB =90°，故B 正确； OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =45，故C 错误； OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−15，故D 正确．故选：BD ．可由3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +4OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +5OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 得3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−(4OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +5OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，两边平方，再根据|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，可算出OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值，同理可算出OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值，则问题可迎刃而解． 本题考查数量积的运算和数量积在研究几何性质中的应用．属于中档题．13.答案：①③④解析：解：f(x)=|sinx|+|cosx|−sin2x −1=√1+|sin2x|−sin2x −1． ∵f(x +π)=f(x)，∴f(x)是周期为π的函数，①正确； ∵f(π4)≠f(3π4)，∴f(x)的图象不关于x =π2对称，②错误；∵f(x)是周期为π的函数，故只需研究f(x)在(0,π]上的最小值，当0≤sin2x ≤1时，即x ∈(0,π2]时，f(x)=√1+sin2x −sin2x −1，令t =√1+sin2x ， 则f(x)转化为g(t)=−t 2+t ，t ∈[1,√2]，求得g(t)∈[√2−2,0]； 当−1≤sin2x ≤0时，即x ∈(π2,π]时，同理求得g(t)∈[0,√2]. ∴f(x)的最小值为√2−2，命题③正确；由③可知，当x ∈(0,π2]，即t ∈[1,√2]时，g(t)在[1,√2]上单调递减， f(x)=√1+sin2x 在(0,π4]上递增，在(π4,π2]上递减， ∴f(x)在(0,π4]上递减，在(π4,π2]上递增． 当x ∈(π2,π]时，同理可得f(x)在(π2,3π4]上递增，在(3π4,π]上递减． ∵f(x)为连续函数，故f(x)在[π4,3π4]上递增．又f(x)的周期为π，∴f(x)的单调递减区间为[kπ+π4,kπ+3π4](k ∈Z)，④正确；由已知函数解析式知，当且仅当sin2x =0时，f(x)=0， 当x ∈(0,π]时，f(x)有且仅有两个零点分别为π2,π， ∵2015=2×1007+1，∴当1007.5<n ≤1008时，f(x)在(0,nπ)内恰有2015个零点错误．⑤错误把函数f(x)=|sinx|+|cosx|−sin2x −1化为f(x)=√1+|sin2x|−sin2x −1，然后直接由周期的定义求周期判断①；由f(π4)≠f(3π4)判断②；换元后利用二次函数求最值判断③；借助于复合函数的单调性判断④；求出函数在(0,π]内的零点后分析使得f(x)在(0,nπ)内恰有2015个零点的n的取值范围判断⑤．本题考查了命题的真假判断与应用，考查了三角函数的图象和性质，训练了与三角函数有关的复合函数单调性的求法，是中档题．14.答案：解析：本题考查椭圆与双曲线的标准方程与几何性质，考查了学生的计算能力．解：依题意，双曲线的焦点坐标是(−5,0)，(5,0)，故双曲线方程可设为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，又双曲线的离心率e=54，∴{a2+b2=25 5a=54，解之得a=4，b=3，故双曲线的方程为x216−y29=1．故填x216−y29=1．15.答案：15解析：试题分析：6个人拿6把钥匙可以看作是6个人的全排列，而甲乙对门的拿法种数包括甲乙拿301与302门的钥匙，其余4人任意排列，甲乙拿303与304门的钥匙，其余4人任意排列，甲乙拿305与306门的钥匙，其余4人任意排列，然后利用古典概型概率计算公式求概率．法一、6个人拿6把钥匙共有A66种不同的拿法，记甲、乙恰好对门为事件A，则事件A包括甲、乙拿了301与302，其余4人随意拿，共2A44种；甲、乙拿了303与304，其余4人随意拿，共2A44种；甲、乙拿了305与306，其余4人随意拿，共2A 44种； 所以甲、乙两人恰好对门的拿法共有6A 44种． 则甲、乙两人恰好对门的概率为P(A)==6A 44A 66=6×4×3×2×16×5×4×3×2×1=15．故答案为15．法二、仅思考甲乙2人拿钥匙的情况，甲可以拿走6个房间中的任意一把钥匙，有6种拿法，乙则从剩余的5把钥匙中拿走一把，共有6×5=30种不同的拿法，而甲乙对门的拿法仅有3A 22=6种， 所以甲乙恰好对门的概率为p =630=15． 故答案为15．16.答案：1：√3解析：解：AB ⊥BC ，△ABC 的外接圆的直径为AC ，AC =2√2，由DA ⊥面ABC ，得DA ⊥AC ，DA ⊥BC ，△CDB 是直角三角形，△ACD 是直角三角形， ∴CD 为外接球的直径，CD =√DA 2+AC 2=2√3， ∴球的半径R =√3，∴V 球=43πR 3=4√3π. 球的表面积为：4πR 2=12π． ∴球O 的体积与表面积的比为：4√3π12π=1：√3故答案为：1：√3．先说明△CDB 是直角三角形，△ACD 是直角三角形，球的直径就是CD ，求出CD ，即可求出球的体积以及表面积．本题考查球的内接多面体，说明三角形是直角三角形，推出CD 是球的直径，是本题的突破口，解题的重点所在，考查分析问题解决问题的能力．17.答案：解：(Ⅰ)∵f(x)=2cos 2x +2√3sinxcosx −1=√3sin2x +cos2x =2sin(2x +π6)， ∴f(π3)=2sin(2×π3+π6)=1； (Ⅱ)由(Ⅰ)知，f(x)=2sin(2x +π6)，当x ∈[π4,π2]时，2π3≤2x +π6≤7π6，得f(x)的值域为[−1,√3]．解析：(Ⅰ)利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积，然后取x =π3得答案； (Ⅱ)由x 的范围求得相位的范围，则函数值域可求．本题考查三角函数的恒等变换应用，考查y =Asin(ωx +φ)型函数的图象和性质，是基础题． 18.答案：(I)解：∵S n =3n −12，∴n =1时，a 1=S 1=3−12=1；n ≥2时，a n =S n −S n−1=3n −12−3n−1−12，化为：a n =3n−1，n =1时也成立．∴a n =3n−1.∴b n =2(1+log 3a n )=2n ． ∴a n b n =2n ⋅3n−1．∴数列{a n b n }的前n 项和T n =2(1+2×3+3×32+⋯+n ⋅3n−1). ∴3T n =2[3+2×32+⋯+(n −1)⋅3n−1+n ⋅3n ]，∴−2T n =2(1+3+32+⋯+3n−1−n ⋅3n )=2×(3n −13−1−n ⋅3n )=(1−2n)⋅3n −1， ∴T n =1+(2n−1)⋅3n2．(II)证明：1+b n b n=1+2n 2n<2n2n−1.1+2n =2(n +1)−1．∴T n =1+b 1b 1⋅1+b 2b 2⋅…⋅1+b nb n=1+22×1×1+2×22×2×…×1+2n 2n<2×12×1−1×2×22×2−1×…×2n 2n−1=2×12×2−1×2×12×3−1×…×2(n−1)2n−1×2n1+2n ×(1+2n)．∴T n <1T n×(1+2n)，∴T n <√2n +1． (III)证明：n =1时，(2−12)2=14，∴左边=右边，成立． n ≥2时，∵(b n −1b n)2=(2n−12n )2≥n−1n ，∴(b 1−1b 1)2⋅(b 2−1b 2)2⋅…⋅(b n −1b n)2≥14×12×23×…×n−1n=14n．∴对于任意的正整数n ，都有(b 1−1b 1)2⋅(b 2−1b 2)2⋅…⋅(b n −1b n)2≥14n 成立．解析：(I)由S n =3n −12，n =1时，a 1=S 1；n ≥2时，a n =S n −S n−1，可得：a n =3n−1.于是b n =2n.a n b n =2n ⋅3n−1.再利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出． (II)利用1+b n b n=1+2n 2n<2n2n−1.1+2n =2(n +1)−1.设T n =1+b 1b 1⋅1+b 2b 2⋅…⋅1+b n b n，可得T n <1T n×(1+2n)，即可证明．(III)n =1时，(2−12)2=14，可得左边=右边，成立．n ≥2时，(b n −1b n)2=(2n−12n)2≥n−1n，即可证明．本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、“错位相减法”、不等式的证明、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于难题．19.答案：(Ⅰ)证明：∵在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，BC =CC 1=BB 1，点N 是B 1C 的中点，∴BN ⊥B 1C ，AB ⊥BB 1，∵AB ⊥BC ，BB 1∩BC =B ，BB 1，BC ⊂平面B 1BCC 1， ∴AB ⊥平面B 1BCC 1， ∵B 1C ⊂平面B 1BCC 1， ∴B 1C ⊥AB ，即B 1C ⊥GB ，又∵BN ∩BG =B ，BN 、BG ⊂平面BNG ， ∴B 1C ⊥平面BNG ．(Ⅱ)证明：取AB 1的中点H ，连接HG 、HM 、GC ，则HG 为△AB 1B 的中位线， ∴GH//BB 1，GH =12BB 1， ∵ABC −A 1B 1C 1是直三棱柱， ∴CC 1//BB 1，CC 1=BB 1， ∵M 为CC 1的中点，∴CM =12CC 1， ∴MC//GH ，且MC =GH ， ∴四边形HGCM 为平行四边形， ∴GC//HM ，又∵GC ⊄平面AB 1M ，HM ⊂平面AB 1M ， ∴CG//平面AB 1M.(Ⅲ)解：以B 为坐标原点，BB 1为x 轴，BC 为y 轴，BA 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知M(1,2，0)，A(0,0，2)， B 1(2,0，0)，B(0,0，0)，所以AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,−2)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2，−2)， 设平面AB 1M 的法向量为n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴{2x −2z =0x +2y −2z =0，取x =1，得n⃗ =(1,12,1)， 又易知平面AB 1B 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(0,1，0)， ∴cos <n ⃗ ,m ⃗⃗⃗ >=12√1+1+14=13．由图形可知二面角M −AB 1−B 的平面角为锐角， ∴二面角M −AB 1−B 的余弦值为13．解析：本题考查了线面垂直的判定与性质、线面平行的判定定理，考查了二面角的求法，属于中档题．(Ⅰ)由直三棱柱的性质结合AB ⊥BC ，得AB ⊥平面B 1BCC 1，从而B 1C ⊥GB ，在等腰△BB 1C 中，利用中线得BN ⊥B 1C ，根据线面垂直的判定定理，得到B 1C ⊥平面BNG ．(Ⅱ)取AB 1的中点H ，连接HG 、HM 、GC ，用三角形的中位线定理，得到GH//BB 1且GH =12BB 1，由直三棱柱的性质证出MC//BB 1且MC =12BB 1，从而可证MC//GH ，且MC =GH ，得到四边形HGCM 为平行四边形，GC//HM ，最后结合线面平行的判定定理，得到CG//平面AB 1M.(Ⅲ)以B 为坐标原点，BB 1为x 轴，BC 为y 轴，BA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M −AB 1−B 的余弦值．20.答案：解：(1)根据表中数据，计算x −=14(9+7+3+1)=5，y −=14(0.5+3.5+6.5+9.5)=5，∑x i 4i=1y i =9×0.5+7×3.5+3×6.5+1×9.5=58，∑x i 24i=1=92+72+32+12=140；∴b ̂=58−4×5×5140−4×52=−2120， â=5−(−2120)×5=414，∴y 关于x 的线性回归方程为y ̂=−2120x +414；(2)根据表3可知，该月30天中有3天每天亏损2000元， 有6天每天亏损1000元，有12天每天收入2000元， 有6天每天收入6000元，有3天每天收入8000元， 估计小李洗车店2017年11月份每天的平均收入为130×(−2000×3−1000×6+2000×12+6000×6+8000×3)=2400(元)．解析：本题考查了线性回归方程与平均数的计算问题，是基础题． (1)根据表中数据计算平均数与系数，写出线性回归方程； (2)根据表3，计算洗车店2017年11月份每天的平均收入即可．21.答案：(1)见解析(2)解析：试题分析：ⅰ由题意得，所以，又，消去可得，，解得或(舍去)，则，所以椭圆的方程为．ⅰ(ⅰ)设，，则，，因为三点共线，所以，所以，，8分因为在椭圆上，所以，故为定值．10分(ⅰ)直线的斜率为，直线的斜率为，则直线的方程为，==，所以直线过定点．考点：直线的斜率；恒过定点的直线；直线与椭圆的位置关系点评：本题考查转化的技巧，(1)将两斜率之积为定值的问题转化成了两根之积来求，(2)中将求两动点的连线过定点的问题转化成了求直线系过定点的问题，转化巧妙，有艺术性．22.答案：解：(1)当x =1时，y =x −1=0，即f(1)=0，∴b =0∴f(x)=alnx ，f′(x)=ax ， ∵f′(1)=1， ∴a =1， ∴f(x)=lnx ，(2)f(x)≥g(x)恒成立⇔t ≤2xlnx 对∀x >0恒成立， 令ℎ(x)=2xlnx ， ∴ℎ′(x)=2(lnx +1)， 令ℎ′(x)=0，得x =1e ，当x ∈(0,1e )时，ℎ′(x)<0，函数单调递减， 当x ∈(1e ,+∞)时，ℎ′(x)>0，函数单调递增， ∴ℎ(x)min =ℎ(1e )=−2e ，∴t ≤−2e(3)F(x)=f(x)+x 22−m 2+1mx =lnx +x 22−m 2+1mx(x >0)，∴F′(x)=1x +x −m 2+1m=(x−m)(x−1m)x (m >0,x >0)，令F′(x)=0，得x =m ，x =1m ，①当m =1m 时，即m =1，F′(x)≥0，F(x)在(0,2)上单调递增，无极值点， ②当{0<m <20<1m <2m ≠1时，即12<m <2且m ≠1，F(x)有两个极值点，③当{0<m <21m≥2或{0<1m <2m ≥2时，即0<m ≤12或m ≥2，F(x)有一个极值点， 综上，在区间(0,2)上，当m =1时，F(x)无极值点； 当0<m ≤12或m ≥2时，F(x)有一个极值点； 当12<m <2且m ≠1时，F(x)有两个极值点．解析：此题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、最值和极值，以及导数中的恒成立问题，考查了分类讨论的数学思想，属于较难题．(1)把x =1代入切线方程得到y =0，得到切点坐标，把切点坐标代入f(x)中，解得b 的值，求出f(x)的导函数，把b 的值代入后，再根据f′(1)=1，求出a 的值，把a 与b 的值代入即可确定出f(x)； (2)把(1)求出的f(x)和g(x)的解析式代入题中的不等式中，若不等式恒成立，则当x >0时，t ≤2xlnx ，设这个关系式为一个函数ℎ(x)，求出ℎ(x)的导函数，令导函数等于0求出x 的值，利用x 的值分区间讨论导函数的正负，得到函数ℎ(x)的单调区间，根据函数的增减性得到ℎ(x)的最小值，进而得到t 的取值范围；(3)把(1)中求出的f(x)代入确定出F(x)的解析式，求出F(x)的导函数，令导函数等于0，得x =m ，x =1m ，然后分m =1，即12<m <2且m ≠1，0<m ≤12或m ≥2情况，根据函数的图象，即可得到相应区间上极值点的个数．。

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ） A. (1)(1)i i +-B. 2(1)i -C. (1)i i -D. 2(1)i i -2.命题“[0,1],tan x x x ∃∈≤”的否定是（ ） A. [0,1],tan x x x ∀∈≤ B. [0,1],tan x x x ∀∈> C. [0,1],tan x x x ∃∈>D. [0,1],tan x x x ∃∉>3.已知,a b R ∈，0a b >>且1a ≠，1b ≠，则（ ）A. a b +≥B.110a b-> C. ln()0a b ->D. log 1b a >4.“孙子定理”是中国古代求解整除问题的方法，是数论中一个重要定理，又称“中国剩余定理”．现有如下一个整除问题：将1至2021这2021个数中，能被3除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列共有（ ） A.133项 B.134项 C.135项 D.136项5.在平面直角坐标系xOy 中，以点O 为圆心且与直线10mx y m ---=（m R ∈）相切的所有圆中，半径最大的圆的面积为（ ）A. πB.C. 2πD. 3π6.五个人排一个五天的值日表，每一天由一个人值日，每人可以值日多天或不值日，但相邻两天不能是同一个人，且第一天和最后一天是同一个人，那么值日表的排法有（ ） A.120B.160C.240D.2607.已知函数()tan()(0)f x A x ωϕω=+>的部分图象如图1所示，且()1f π=-，则()6f π=（ ）A.B. C. 2 D. 28.已知定义域为R 的函数()f x 在(1,)+∞上为增函数，且函数(1)y f x =+为偶函数，若3(log 2)m f =，6(log 9)n f =， 1.3(2)p f -=，则m ，n ，p 的大小关系为（ ）A. m n p >>B. n p m >>C.p m n >>D.n m p >>二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）9.在新冠疫情期间，世界卫生组织认为该疫情在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续5天，每天新增疑似病例不超过8人”．根据过去5天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（ ）A.甲地：平均数为3，中位数为3B.乙地：平均数为2，众数为3C.丙地：中位数为3，众数为1D.丁地：平均数为3，方差为210.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1a p =，12(2)n n S S p n --=≥（p 为非零常数），则下列结论中正确的是（ ） A.数列{}n a 为等比数列 B.当1p =时，531S =C.当12p =时，*(,)m n m n a a a m n N +⋅=∈ D. 2n n S a p =-11.如图2，已知在平行四边形ABCD 中，22AB AD ==，60BAD ︒∠=，为AB 的中点，将ADE △沿直线DE 翻折成PDE △，若PDE △为PC 的中点，则ADE △在翻折过程中（点P ∉平面ABCD ），以下命题正确的是（ ）A. //BM PDE 平面B. BM =C.存在某个位置，使MB DE ⊥D.当三棱锥P CDE -体积最大时，其外接球的表面积为12.在ABC △中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且6c =．记S 为ABC △的面积，下列命题正确的是（ ）A.若3C π=，则S 有最大值 B.若6A π=，a =S 有最小值33C.若2a b =，则cos C 有最小值0D.若10a b +=，则sin C 有最大值2425三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应位置上） 13.单位向量a ，b ，满足：222||||||a b a b -=+，若2c a b =+，则cos ,b c 〈〉=___________．14.某旅行社为某旅行团包机去旅游，其中旅行社的包机费为16000元，旅行团中每人的飞机票价按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数在35人或35人以下，每张机票收费900元；若旅行团的人数多于35人，则给予优惠，每多1人，每张机票减少20元，但旅行的人数最多不超过60人，则当旅行社获得的机票利润最大时，旅行团的人数为___________．15.在2(1)(12)nx x x +-+的展开式中x 的系数为-11，x 的奇次项的系数和为___________．16.设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点，过1F 作C 的一条渐近线的垂线l ，垂足为H .且l 与双曲线的右支相交于点P ，若12F H HP =，且2||5PF =.则12PF F △的面积为___________． 四、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）已知数列{}n a ，12a =，132n n a a +=+，*n N ∈．（1）求数列{}1n a +为等比数列，求n a ；（2）若12(1)n n n n b a a a +⋅⋅=+且数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：3182n S ≤<． 18.（本小题满分12分） 设1ω>，函数2()sin()cos()cos()sin()3333f x x x x x ππππωω=++-+-的最小正周期为π． （1）求()f x 的单调递增区间；（2）若存在x R ∈，使得00(,())x f x 关于直线8x π=的称点在曲线22tan 1tan xy x=-上，求0cos 2x ． 19.（本小题满分12分）如图3，在四棱锥P ABCD -中，PAD △是以AD 为斜边的等腰直角三角形，//BC AD ，CD AD ⊥，PC =222AD DC CB ===，E 为PD 上一点．（1）若E 为PD 的中点，证明：//CE PAB 平面；（2）若直线CE 与底面ABCD P AB E --的正弦值． 20.（本小题满分12分）已知F 是抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，斜率为k 的直线l 过点F 且与抛物线C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为00(,)M x y ．（1）证明：0ky 为定值，并求出该定值；（2）以AB 为直径作圆M ，设圆M 与y 轴交于点P ，Q ，求PMQ ∠的取值范围． 21.（本小题满分12分）已知函数()cos 2ln(1)f x x x x =-++．（1）求()f x 在[0,)+∞上的最大值； （2）判断()f x 的零点个数，并说明理由． 22.（本小题满分12分）某制药公司研制了一款针对某种病毒的新疫苗.该病毒一般通过病鼠与白鼠之间的接触传染，现有n 只白鼠，每只白鼠在接触病鼠后被感染的概率为12，被感染的白鼠数用随机变量X 表示，假设每只白鼠是否被感染之间相互独立．（1）若(3)(97)P X P X ===，求数学期望()E X ； （2）接种疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率为p ，现有两个不同的研究团队理论研究发现概率p 与参数(01)θθ<<的取值有关．团队A 提出函数模型为2ln(1)3p θθ=+-，团队B 提出函数模型为1(1)2p e θ-=-．现将白鼠分成10组，每组10只，进行实验，随机变量(1,2,,10)i X i =表示第i 组被感染的白鼠数，现将随机变量(1,2,,10)i X i =的实验结果(1,2,,10)i x i =绘制成频数分布图，如图4所示．假设每组白鼠是否被感染之间相互独立．①试写出事件“11221010,,,X x X x X x ===”发生的概率表达式感染只数（用p 表示，组合数不必计算）；②在统计学中，若参数0θθ=时使得概率11221010(,,,)P X x X x X x ===最大，称0θ是θ的最大似然估计．根据这一原理和团队A ，B 提出的函数模型，判断哪个团队的函数模型可以求出θ的最大似然估计，并求出估计值． 参考数据：3ln0.40652≈．重庆市第八中学2021届高考适应性月考卷（四）数学参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）【解析】1．由于(1)(1)2i i +-=，2(1)2i i -=-，(1)1i i i -=+，2(1)1i i i -=-+，故选B ． 2．根据含全称量词命题的否定可知，故选B ． 3．根据不等式可知，故选A ．4．能被3除余1且被5除余1的数就只能是被15除余1的数，故1514n a n =-，由12021n a ≤≤，得1135n ≤≤，又n N +∈，故此数列共有135项，故选C ．5．因为直线10()mx y m m R ---=∈恒过点(1,1)-，所以当点(1,1)-为切点时，半径最大，此时半径r =2π，故选C ．6．分类讨论：当第三天与第一天和最后一天是同一个人时，一共有11154480C C C =种方法；当第三天与第一天和最后一天不是是同一个人时，一共有11115433180C C C C =种方法；故一共有260种方法，故选D ． 7．由图知，函数()y f x =的周期为2π，所以12ω=，1()tan()2f x A x ϕ=+，由()02f π=，得tan()04πϕ+=，所以()4k k Z πϕπ=-+∈，11()tan()tan()2424f x A x k A x πππ=-+=-．由()1f π=-，得tan14A π=-，所以1A =-，故1()tan()24f x x π=--，从而()tan()66f ππ=--=，故选A ．8．由于(1)f x +为偶函数，则()f x 关于1x =对称，于是()f x 在(,1)-∞上单调递减，666(log 9)(2log 9)(log 4)f f f =-=，又 1.31 22-<，31log 212<<，又6311log 42log 22>=>>，故 1.336(2)(log 2)(log 4)f f f ->>，故p m n >>，故选C ．二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）【解析】9．若数据为9，3，3，0，0，则平均数为3，中位数为3，不符合该标志，排除A ；若有一个数据大于等于9，但平均数为2，则其它四个数据和为1，与众数为3矛盾，故B 正确；若数据为9，4，3，1，1，中位数为3，众数为1，排除C ；若有一个数据大于等于9，但平均数为3，则方差大于365，与方差为2矛盾，故D 正确，故选BD ．10．由12(2)n n S S p n --=≥，得22a p =．当3n ≥时，122n n S S p ---=，相减可得120n n a a --=，又212a a =，数列{}n a 是首项为p ，公比为2的等比数列，故A 正确；由A 可得1p =时，54123112S -==-，故B 正确；由A可得m n m n a a a +⋅=等价为22122m n m n p p +-+-⋅=⋅，可得2p =，故C 错误；1112()n n n n n S S S S S p ----=--=，则1n n a S p --=，1n n a S p +-=且数列{}n a 是首项为p ，公比为2的等比数列，则2n n a S p -=，故选项D 正确，故选ABD ．11．如图1，取CD 的中点N ，连接MN ，BN ，M E ，分别为PC ，AB 的中点，//MN PD ∴，//BN DE ，MN BN N ⋂=，PD DE D ⋂=，且MN ，BN BMN ⊂平面，PD ，DE PDE ⊂平面，//BMN PDE ∴平面平面．又BM BMN ⊂平面，//BM PDE ∴平面，即A 正确；由A 可知，111222MN PD AD ===，1BN DE AD ===，60MNB PDE ADE ︒∴∠=∠=∠=，在BMN △中，由余弦定理知，22232cos 4BM MN BN MN BN MNB =+-⋅⋅∠=，2BM ∴=，是定值，即B 正确；取PD 的中点G ，则BMGE 为平行四边形，若存在某个位置，使MB DE ⊥，则EG DE ⊥与条件矛盾，故C 错误；当三棱锥P CDE -的体积最大时，平面PDE CDE ⊥平面，又CE DE ⊥，1CE A DE ∴⊥平面，设三棱锥1C A DE -的外接球的球心为O ，则外接球的半径OE ==∴外接球的表面积21343S ππ=⨯=，故D 正确，故选ABD.12．A 选项：当3C π=，则由余弦定理可知，22362cos 3a b ab π=+-，22362a b ab ab +=-≥，则36ab ≤，所以1sin 2S ab C =≤6a b ==时取最大值，故A 对；B 选项：当6A π=，a =余弦定理可知，2123626cos6b b π=+-⨯⨯，即2240b -+=，解得b =或b =，则min11622S =⨯⨯=B 对；C 选项：当2a b =，222223653659cos 244a b b C ab b b +--===-，又由三角形的性质可得26b <<，所以当25b <<时，cos 0C <，故C 错；D 选项：当10a b +=，则由余弦定理可知，22236()23632cos 122a b a b ab C ab ab ab +-+--===-，又10a b +=≥，则25ab ≤，7cos 25C ≥，24sin 25C ≤，当且仅当5a b ==时取最大值，故D 对，故选ABD ． 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．法一：222||||||a b a b -=+，0a b ∴⋅=．令(1,0)a =，(0,1)b =，则(2,1)c =，||5c =，cos ,5||||5b c b c b c ⋅〈〉===⋅．法二：由2c a b =+，得221b c a b b ⋅=⋅+=，222||(2)445c a b a a b b =+=+⋅+=，cos ,5||||5b c b c b c ⋅∴〈〉===⋅．14．设旅行团的人数为x 人，每张机票收费为m 元，旅行社获得的机票利润为y ， 当135x ≤≤且x N ∈时，900m =，max 900351600015500y =⨯-=； 当3560x <≤且x N ∈时，90020(35)160020m x x =--=-，则22(160020)160002016001600020(40)16000y x x x x x =--=-+-=--+， 故40x =时，max 16000y =．故当旅行社获得的机票利润最大时，旅行团的人数为40人．15．因为2(12)nx x -+展开式中的常数项为1，x 的系数为12n C -，则2(1)(12)nx x x +-+的展开式中x 的系数为112n C -，则11211n C -=-，解得6n =．又2(1)(12)nx x x +-+的展开式中x 的奇次项的系数和是2(12)n x x -+展开式中所有项的系数和，令1x =，得2(12)n x x -+展开式中所有项的系数和为0，则x 的奇次项的系数和为0．16．易得1||F H b =，||OH a =，如图2，过2F 向1F P 作垂线，垂足为Q ，则OH 为12QF F △的中位线，则2||2F Q a =，||HQ b =，||PQ b =．在2QPF △中，22425b a +=，又12||||2352PF PF a b a -=⇒-=，则3b =，2a =，c =，121sin sin aPF F HFO c∠=∠=， 121121211||||sin 3231822PF F aS F P F F PF F b c ab c=⋅⋅∠=⨯⨯⨯==△．四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）解：（1）12a =，113(1)n n a a ++=+，则数列{}1n a +是首项为113a +=，公比为3的等比数列，………………………………………………………（2分）13n n a ∴+=，即31n n a =-． ………………………………………………………（5分）（2）12(1)n n n n b a a a +⋅⋅=+，1112(1)2311(31)(31)3131n n n n n n n n n a b a a ++++⋅∴===-----． ………………………………………………………（6分）12312231111111313131313131n n n n S b b b b +∴=++++=-+-++------- 11112312n +=-<-． ………………………………………………………（8分）111231n n S +=--为递增数列，则n S 的最小值为121132318S =-=-， 3182n S ∴≤<． ………………………………………………………（10分）18．（本小题满分12分）解：（1）由条件，2()sin()cos()cos()sin()3333f x x x x x ππππωω=++-+- sin()cos()cos()sin()3333x x x x ππππωω=++-++sin[()()]33x x ππω=+-+ sin(1)x ω=-．因为()f x 的最小正周期为π，所以21ππω=-，3ω=． ………………………………………………………（3分）从而()sin 2f x x =． 令22222k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈，得44k x k ππππ-≤≤+，故()f x 的单调递增区间为[,]44k k ππππ-+，k Z ∈． ………………………………………………………（6分） （2）00(,())x f x 关于直线8x π=的对称点为00(,sin 2)4x x π-， 因为2222tan 2sin cos sin 21tan cos sin cos 2x x x x x x x x==--， 所以00020002tan()sin 2()cos 244sin 21tan ()cos 2()44x x x x x x ππππ--==---． 由条件，00202tan()4sin 21tan ()4x x x ππ-=--，得200sin 2cos 2x x =． …………………………………………………………（9分） 200cos 2cos 210x x +-=，所以01cos 22x =． ………………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（1）证明：取PA 的中点M ，连接BM ，EM ， E 为PD 的中点，//EM AD ∴，12EM AD BC ==， ∴四边形BCEM 为平行四边形，//CE BM ∴． CE PAB ⊂/平面，BM PAB ⊂平面，//CE PAB ∴平面．………………………………………………………（4分）（2）解：由PC =，222AD DC CB ===，由勾股定理可知CD PD ⊥，又CD AD ⊥，PD AD D ⋂=，所以CD ⊥平面ADP ，取AD 的中点O ， 则BO ⊥平面PAD ，PO AD ⊥．以O 为坐标原点，OB 为x 轴，OD 为y 轴，OP 为z 轴建系，则(0,1,0)A -，(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，(0,1,0)D ，(0,0,1)P ．设(0,,1)E y y -，设平面ABCD 法向量(0,0,1)n =，由直线CE 与底面ABCD所成角的正弦值为11，可得23y =，21(0,,)33E ． 设平面PAB 的法向量为1n ，平面ABE 的法向量为2n ，110,0,n PA n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩2200n EA n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 取1(1,1,1)n =-，2(1,1,5)n =-，二面角P AB E --的余弦值7cos 9θ=，正弦值sin 9θ=． ………………………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：设直线l 的方程为()2p y k x =-，由题意0k ≠． 联立直线与抛物线22, (),2y px p y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ 得222221(2)04k x p k x k p -++=． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 则2122(2)p k x x k ++=，2124p x x =． ………………………………………………………（3分）（1）证明：则202(2)2p k x k +=，00()2p p y k x k=-=，则0ky p =，即直线l 的斜率与0y 的乘积为定值．………………………………………………………（5分）（2）2122(22)||p k AB x x p k +=++=，则圆M 的半径22||(1)2AB p k r k +==， ………………………………………………………（7分）过圆M 作MN PQ ⊥，垂足为N ，则在Rt PMN △中，222||2111cos (,1)||222222M x MN k PMN MP r k k +∠====+∈++， ………………………………………………………（11分） 则22(0,)3PMQ PMN π∠=∠∈． ………………………………………………………（12分）21．（本小题满分12分）解：（1）1()sin 21f x x x '=--++， 当[0,)x ∈+∞时，()1210f x '<-+=，()f x ∴在[0,)+∞上单调递减，()f x ∴在[0,)+∞上的最大值为(0)1f =．………………………………………………………（３分）（2）由（1）知，当[0,)x ∈+∞时，()f x 在[0,)+∞上单调递减， 而(0)1f =，()ln(1)022f πππ=-++<，∴由零点存在定理知，()f x 在[0,)+∞上有唯一零点；当(1,0)x ∈-时，21()cos 0(1)f x x x ''=--<+， ()f x ∴'在(1,0)-上单调递减． 又11()sin()22022f '-=---+>，(0)10f '=-<，故存在01(,0)2x ∈-，使得0()0f x '=， 且0(1,)x x ∈-时，()0f x '>，0(,0)x x ∈时，()0f x '<， ()f x ∴在0(1,)x -上单调递增，在0(,0)x 上单调递减．又0()(0)1f x f >=，3333311112(1)cos(1)2(1)3cos(1)10f e e e e e -=----=---<， ()f x ∴在0(1,)x -上有一个零点，在0(,0)x 上无零点，综上，()f x 有两个零点．………………………………………………………（12分）22．（本小题满分12分）解：（1）由题知，随机变量X 服从二项分布，1~(,)2X B n ， 由(3)(97)P X P X ===，得100n =，()50E X =．……………………………………………………（3分）（2）①11221010,,","A X x X x X x ====，193228333724466641010101010()((1))((1))((1))((1))((1))P A C p p C p p C p p C p p C p p =-----， 13233242257510101010()()()()()(1)P A C C C C p p =-．……………………………………………………（5分）②记1323324210101010()ln()()()()25ln 75ln(1)g p C C C C p p =++-， 则257525100()1(1)p g p p p p p -'=-=--， 当104p <<时，()0g p '>，()g p 单增； 当114p <<时，()0g p '<，()g p 单减． 当14p =时，()g p 取得最大值，即P 取得最大值．在团体A 提出的函数模型2ln(1)3p θθ=+-中， 记函数12()ln(1)3f x x x =+-，11212()133(1)x f x x x -'=-=++， 当102x <<时，1()0f x '>，1()f x 单增； 当112x <<时，1()0f x '<，1()f x 单减． 当12x =时，()f x 取得最大值311ln 234-<，则θ不可以估计． 在团体B 提出的函数模型1(1)2p e θ-=-中， 记函数21()(1)2x f x e -=-，2()f x 单调递增， 令21()4f x =，解得ln 2x =， 则ln 2θ=是θ的最大似然估计．…………………………………………………（12分）。

数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号.都编号，应值号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，等试用时120分钟一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1.若命题p ：20430x x x ∃>-+>，，则命题p ⌝为（）A.20430x x x ∃>-+≥，B.20430x x x ∃≤-+≤，C.20430x x x ∀>-+≤， D.20430x x x ∀≤-+≤，2.若扇形的弧长为π，面积为2π，则其圆心角（正角）为（） A.π4 B.π3 C.2π2 D.π23.tan 24s 300in 0+= （）A.32- B.32 C.2- D.3324.已知00a b >>，，且4ab =，则114a b a b +++的最小值为（）A.1B.2C.4D.85.下列函数的图象不存在对称中心的是（）A.31y x =+B.2221x x y x -+=-C.e 1e 1x x y -=+ D.1||y x x =+6.已知π2cos 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πsin 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.89 B.89- C.19 D.19-7.已知函数()212ln 22f x x ax x =--在1,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上存在单调递增区间，则实数a 的取值范围为（）A.1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭ B.1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C.(),4-∞ D.(],4∞-8.已知()()()22log 1121x x f x x m x ⎧-<⎪=⎨--+≥⎪⎩，，，1m >，若方程()()0f f x =有6个不等实数根，则实数m 的取值范围为（）A.()1,2 B.1312,2⎛⎤ ⎥ ⎝⎦ C.131,42⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭ D.1374,2⎛⎤+ ⎥ ⎝⎦二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，记事件A ：两次的点数之和为偶数，B ：两次的点数之积为奇数，C ：第一次的点数大于2，则（）A.()14P B = B.()23P C =C.A 与B 相互独立 D.B 与C 相互独立10.已知函数()()π2sin 102,f x x ωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭，满足()π23f x f x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，且对任意x ∈R ，都()5π12f x f ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，当ω取最小值时，则下列正确的是（）A.()f x 图象的对称轴方程为π,π122k x k =+∈Z B.()f x 在,ππ126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为13,⎤+⎦C.将函数π2sin 216y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位长度得到函数()f x 的图象D.()f x 在ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减11.已知ln (()e 0),,x x f x x =∈+∞，则下列说法正确的是（）A.方程()e f x =有且只有一个实根B.存在正整数2n ≥，使得对任意的(0,)x ∈+∞，都有()()n f x f x ≥成立C.若对任意的(0,)x ∈+∞，都有()(1)1f x a x -≥+成立，则1a =D.若方程()f x m =有两个不等实根12,x x ，则12||x x m-<三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知点(A 在抛物线2:2C y px =上，则A 到C 的准线的距离为__________.13.若1e 1ln ax a x a x ⎛⎫≥+- ⎪⎝⎭对()0,x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围为__________.14.已知函数()()sin cos 0f x a x b x ωωω=+>满足下列条件：①π3为()y f x =的极值点；②()f x 在区间3π4π,55⎡⎤⎢⎣⎦上是单调函数，则ω的取值范围是__________.四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足，()*3211,23n a a a a n n n n++++=+∈N .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11n n n n n a a b a a ++-=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：*31,82n n S ∀∈≤<N .16.（本小题满分15分）某学生兴趣小组在研究所在学校的学生性别与身高（身高分为低于170cm 和不低于170cm ）的相关关系时，记事件A =“学生身高不低于170cm ”，事件B =“学生为女生”.据该校以往的统计结果显示，()()()121,,336P A P B P A B ===.（1）求()(),P AB P A B ；（2）若从该校的其中一个班随机抽取36名学生､依据该校以往的统计结果，完成下列列联表，并依据小概率值0.005α=的独立性检验.分析学生的性别与身高是否不低于170cm 有关？性别身高合计2-3低于170cm 不低于170cm女男合计参考公式及数据：()()()()()22,n ad bc x n a b c d a b c d a c b d -==+++++++.α0.010.0050.001a x 6.6357.87910.82817.（本小题满分15分）在ABC中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，有b a =.（1）若π6A =，求B ；（2）若b =，求ABC 的面积最大值.18.（本小题满分17分）已知双曲线C 的中心为坐标原点，左､右顶点分别为()()124,0,4,0A A -，虚轴长为6.（1）求双曲线C 的方程；（2）过点()6,0R 的直线l 与C 的右支交于,M N 两点，若直线1A M 与2A N 交于点P .（i ）证明：点P 在定直线上；（ii ）若直线1A N 与2A M 交于点Q ，求PR QR ⋅ 的值.19.（本小题满分17分）已知函数()()()1log 0,1log 1a a x f x a a x +=>≠+存在极大值()g a .（1）求a 的取值范围；（2）若27,24a ⎡⎤∈⎢⎣⎦，求()ln g a a -的值域.数学参考答案一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题号12345678答案C A B B D D C D【解析】1.命题p 是一个存在性命题，说明存在使2430x x -+>的实数x ，则它的否定是：不存在使2430x x -+>的实数x ，即对任意的实数2430x x -+>都不能成立，由以上的分析，可得p ⌝为：20,430x x x ∀>-+≤，故选C.2.设该扇形的圆心角为θ，半径为r ，则π,π41π2π42r r r θθ⎧=⎧=⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪=⎩⎩故选A.()()33tan240sin300tan 18060sin 36060tan60sin602⋅+=++-=-= ，故选B.11444.24a b a b a b a b+++=+≥++，当且仅当2a b ==时，取“=”成立，故选B.5.A 选项中3y x =为奇函数，故31y x =+有对称中心（0，1）；B 选项中1y x x=+为奇函数，将其右移一个单位后得到2122111x x y x x x -+=-+=--，故有对称中心（1，0）；C 选项中e 1e 1x x y -=+为奇函数，有对称中心()0,0；D 选项中1y x x=+不存在对称中心，故选D.6.已知π2cos 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2πππππ41sin 2sin 2cos 22cos 1216233699αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-=--=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选D.7.函数()212ln 22f x x ax x =--在1,42⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在单调递增区间，即()220f x ax x =-->'在区间1,42⎛⎫ ⎪⎝⎭上有解，即222a x x->，令11,24t x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，即222t t a ->有解，故取2t =，得4a <，故选C.8.作出()()22log1,1,(2),1x x f x x m x ⎧-<⎪=⎨--+≥⎪⎩的图象，如图所示：()()11,2f m f m =-=，令()t f x =，先解()0f t =，知其有两根10t =和22t =，则方程()10f x t ==提供2个根，故方程()2f x t =提供4个不等实根，故21m t m -≤<，即12m m -≤+<，解得1374,2m ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦，故选D.二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）题号91011答案ABD AD ACD 【解析】9.基本事件(),x y 总数6636n =⨯=，事件A 包含的基本事件(),x y 有18个，()181362P A ∴==，事件B 包含的基本事件(),x y 有9个，所以()14P B =故A 正确；事件C 包含的基本事件(),x y 有24个，()242363P C ==，故B 正确；AB 包含的基本事件有9个，()()()()91,,364P AB P AB P A P B A ==≠∴与B 不是相互独立事件，故C 错误；BC 包含的基本事件有6个，()()()1,6P BC P B P C B ==∴与C 是相互独立事件，故D 正确，故选ABD.10.因为()π23f x f x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，所以()f x 的图象关于点π,16⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，又对任意x ∈R ，都有()5π12f x f ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，所以当5π12x =-时，()f x 取得最小值，当ω取最小值时，即周期T 最大，可得π5π4612T ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，得πT =，所以2π2T ω==，函数()f x 在5π12x =-时取得最小值，所以5π2sin 116ϕ⎛⎫-++=- ⎪⎝⎭.因为π2ϕ<，所以π3ϕ=.即()π2sin 23f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 1.令。

重庆八中高2021级高三（上）阶段性检测（6）数 学 试 题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求.1．已知i 是虚数单位，则复数41ii+在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．已知{3A =-，0，1}，{4B =-，3-，1}，则A B 的真子集的个数为 A ．3B ．7C ．15D ．313．已知点(0,1)A ，(3,2)B ，向量(4,3)AC =--，则向量BC = A ．(7,4)--B ．(7,4)C ．(1,4)-D ．(1,4)4．24(12)(1)x x ++的展开式中3x 的系数为A ．12B ．16C ．20D ．245．十九世纪下半叶集合论的创立奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[01]，均分为三段，去掉中间的区间段12()33，，记为第一次操作；再将剩下的两个区间1[0]3，，2[1]3，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；⋯如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于910，则需要操作的次数n 的最小值为（参考数据：20.3010lg =，30.4771lg =）A ．4B ．5C ．6D ．76．第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的．如图，会标是由4个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，若小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，设直角三角形中较大的锐角为θ，则tan()4πθ-=A ．75B ．17C ．7-D ． 7．已知0,0,a b >>直线12:(4)10,:220,l x a y l bx y +-+=+-=且12l l ⊥，则1112a b++的最小值为A ．2B ．4C ．23D ．458．已知函数||,010()16,102lgx x f x x x <⎧⎪=⎨-+>⎪⎩，若a ，b ，c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc的取值范围是 A ．(1,10) B ．(5,6) C ．(10,12) D ．(20,24)二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5份，部分选对得3分，选错不得分. 9．若11122ba⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，c ∈，则下列关系式中一定成立的是A ．11a b> B ．33a b >C ．()()22ln 1ln 1a b >++D ．22c a c b <10．已知双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的实轴长是2，右焦点与抛物线22:8C y x =的焦点F 重合，双曲线1C 与抛物线2C 交于,A B 两点，则下列结论正确的是 A ．双曲线1C 的离心率为23 B ．抛物线2C 的准线方程是2x =-C ．双曲线1C 的渐近线方程为3y x =±D ．203AF BF +=11．函数()cos()(0,0,0)2f x A x A πωϕωϕ=+>>-<<的部分图象如图所示，已知函数()f x 在区间[0,]m 有且仅有3个极大值点，则下列说法正确的是 A ．函数()f x 的最小正周期为2B ．点9(,0)4-为函数()f x 的一个对称中心C ．函数()f x 的图象向左平移32个单位后得到sin()y A x ωϕ=+的图象 D ．函数()f x 在区间3[,0]25m -上是增函数 12．已知数列{}n a ，{}n b 满足：12n n n a a b +=+，*111312ln (),0n n n n b a b n N a b n++=++∈+>，给出下列四个命题，其中的真命题是 A ．数列{}n n a b -单调递增B ．数列{}n n a b +单调递增C ．数列{}n a 从某项以后单调递增D ．数列{}n b 从某项以后单调递增三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共40分.13．若圆锥轴截面面积为23，母线与底面所成角为60︒，则体积为 ．14．已知函数()f x 满足()(1)f x f x =-+，当()0,1x ∈时，函数()3x f x =，则13(log 4)f ＝ ．4345-1。

2021届重庆市第八中学高三上学期阶段性测试数学试题一、单选题1．与角2021︒终边相同的角是（ ） A ．221° B ．2021-︒C ．221-︒D ．139︒【答案】A【解析】根据终边相同的角相差360的整数倍，逐个判断即可. 【详解】2021360=5︒÷余221，故A 正确，B 、 C 、 D 中的角均不与角2021︒终边相同.故选：A . 【点睛】本题考查了终边相同角的概念，考查了简单的计算，属于概念题，本题属于基础题. 2．已知i 为虚数单位，若21m ii++是纯虚数，则实数m 的值为（ ） A ．12B ．2C ．﹣2D ．12-【答案】C【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解． 【详解】 解：2(2)(1)221(1)(1)22m i m i i m mi i i i ++-+-==+++-是纯虚数， ∴202202m m +⎧=⎪⎪⎨-⎪≠⎪⎩，即2m =-．故选：C ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题．3．我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求．音量大小的单位是分贝（dB ），对于一个强度为I 的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：10lg II η=（其中0I 是人耳能听到的声音的最低声波强度），则60dB 的声音强度1I 是50dB 的声音强度2I 的（ ）A ．76倍 B ．7610倍C ．10倍D ．7ln 6倍【答案】C【解析】由题设中的定义，将音量值代入010Ilg I η=，计算出声音强度1I 与声音强度2I 的值，再计算出即可求出倍数 【详解】解：由题意，令106010I lgI =，解得，61010I I =⨯，令25010I lg I =，解得，52010I I =⨯， 所以1210I I = 故选：C ． 【点睛】本题考查对数的计算与对数性质在实际中的应用，熟练掌握对数运算性质是解答的关键，属于基础题.4．小涛、小江、小玉与本校的另外2名同学一同参加《中国诗词大会》的决赛，5人坐成一排，若小涛与小江、小玉都相邻，则不同坐法的总数为（ ） A ．6 B ．12 C ．18 D ．24【答案】B【解析】首先将小涛与小江、小玉捆绑在一起，其中小涛在小江与小玉之间，再与其他两个人全排列，按照分步乘法计算原理计算可得； 【详解】解：将小涛与小江、小玉捆绑在一起，与其他两个人全排列，其中小涛位于小江、小玉之间，按照分步乘法计算原理可得323212A A ⋅=故选：B 【点睛】本题考查捆绑法解决排列组合问题，属于基础题.5．德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念.在研究切线时认识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，这也正是导数的几何意义．设()f x '是函数()f x 的导函数，若()0f x '>，且对1x ∀，2x R ∈，且12x x ≠总有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，则下列选项正确的是（ ）A ．()()()π2f f e f <<B ．()()()2πf f e f '''<<C ．()()()()1212f f f f <-'<'D ．()()()()2211f f f f ''<-<【答案】D【解析】由()0f x '>，得()f x 在R 上单调递增，并且由()f x 的图象是向上凸，进而判断选项. 【详解】由()0f x '>，得()f x 在R 上单调递增，因为2e π>>，所以()()()2f f e f π>>，故A 不正确；对1x ∀，2x R ∈，且12x x ≠，总有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，可得函数的图象是向上凸，可用如图的图象来表示，由()f x '表示函数图象上各点处的切线的斜率，由函数图象可知， 随着x 的增大，()f x 的图象越来越平缓，即切线的斜率越来越小， 所以()()()2f f e f π'''<<，故B 不正确；()()()()212121AB f f f f k --==-，表示点()()1,1f 与点()()22f ,连线的斜率，由图可知()()21AB f k f ''<<，所以D 正确，C 不正确. 故选：D . 【点睛】本题考查以数学文化为背景，导数的几何意义，根据函数的单调性比较函数值的大小，属于中档题型. 6．函数())2ln1f x x kx =+的图象不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】假设函数为奇函数和偶函数时，分别根据图象求得k 的值，即可得答案； 【详解】因为A 、B 选项中，图像关于原点对称， 所以()f x 为奇函数，()()0f x f x +-=， 即))22ln1ln10,x kx x kx +++=()()22222ln 1ln1,10x k x k x+-=-=，所以1k =±．当()1,k f x =的图像为选项A ；当()1,k f x =-的图像为选项B ．而C 、D 选项中，图像关于y 轴对称， 所以()f x 为偶函数，()()f x f x =-， 即))22ln1ln1,0x kx x kx kx +=+=，所以0k =．当()0,0k f x =≥，故()f x 的图像为选项D ，故()f x 的图像不可能为C ． 故选：C ． 【点睛】本题考查根据函数的解析式选择函数的图象，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.7．已知函数()3ln f x x m x =+在区间[]2,3上不是单调函数，则m 的取值范围是（ ） A ．(),81-∞- B ．()24,-+∞C ．()81,24--D ．()81,-+∞【答案】C【解析】求得()()32330m x mf x x x x x+'=+=>，然后分0m ≥,0m <两种情况讨论，得到()f x 的单调性，然后可建立不等式求解. 【详解】由()3ln f x x m x =+可得()()32330m x mf x x x x x+'=+=>，当0m ≥时，()0f x '≥，()f x 在()0,∞+上单调递增，不满足题意；当0m <时，由()0f x '>得x >，由()0f x '<得0x <<所以()f x 在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增， 要使得函数()3ln f x x m x =+在区间[]2,3上不是单调函数，则有23<<，解得：8124m -<<-. 故选：C【点睛】本题考查的是利用导数研究函数的单调性，考查了分类讨论的思想.8．已知函数()f x 对任意x ∈R 都有()()()422f x f x f ++=，()1y f x =-的图象关于点()1,0对称，则()20201f +=（ ） A ．0 B ．2-C ．1-D ．1【答案】D【解析】由()1y f x =-的图象关于点()1,0对称有()f x 关于点(0,0)对称：()f x 是奇函数；函数()f x 对任意x ∈R 都有()()()422f x f x f ++=，即(0)0f =且(2)0f =可证()f x 是周期函数，进而利用奇函数、周期性即可求()20201f +的值【详解】()1y f x =-的图象关于点()1,0对称，知：()f x 关于点(0,0)对称即()f x 在x ∈R 上是奇函数，故有()()f x f x -=-且(0)0f = ∴由()()()422f x f x f ++=，有：(0)(4)2(2)(4)(0)2(2)f f f f f f +-=⎧⎨+=⎩可得(2)0f =∴(4)()((4)4)(4)()f x f x f x f x f x +=-⇒++=-+= ∴()(8)f x f x =+，即()f x 是周期为8的函数 而(2020)(82524)(4)f f f =⨯+=，又(4)0f = ∴()202011f += 故选：D 【点睛】本题考查了判断抽象函数的奇偶性、周期性，利用奇偶性和周期性求函数值，注意()1y f x =-的图象关于点()1,0对称即是()f x 关于点(0,0)对称，奇函数()f x 在x ∈R 上都有意义即有(0)0f =等奇函数的性质应用9．已知log x a y =，log y b x =，y c x =，x d y =，其中x 、y 为正数且1x ≠，1y ≠，则（ ）A ．对任意的x 和y ，都有c d ≠B ．存在x 和y ，使得a b =C ．a ，b ，c ，d 中大于1的数有奇数个D ．存在x 和y ，使得a b c d <<< 【答案】B【解析】应用特殊值法：2x y ==有c d =、a b =且a ，b ，c ，d 中大于1的数有偶数个；2,3x y ==有b a c d <<<，3,2x y ==有a b d c <<<，由此即可判断选项正误 【详解】由x 、y 为正数且1x ≠，1y ≠，若令2x y ==，则1a b ==，4c d == ∴根据选项中描述，知：A 、C 错误，B 正确 当x y ≠时，分类讨论如下若x y <：2,3x y ==，有322839c d ==<==，而32log 21log 32b a =<<=<，即b a c d <<<若x y >：3,2x y ==，同理有a b d c <<<，故D 错误 故选：B 【点睛】本题考查了对数、指数比较大小，利用特殊值法排除错误选项即可二、多选题10．下列函数中，既是偶函数又是区间(0,)+∞上增函数的有（ ） A ．||2x y -= B ．23y x =C ．21y x =-D ．3y x =【答案】BC【解析】根据偶函数的定义，f （﹣x ）＝f （x ）进行判断，再根据解析式判断单调性； 【详解】A 、令||()2x y f x -==，则f （﹣x ）＝||2x --＝||2x -＝f （x ），为偶函数，但在（0，+∞）上，2xy -=是减函数，故错误；B 、令23()y f x x ==，f （﹣x ）＝2233()x x =-，是偶函数，且在区间(0,)+∞上是增函数，故B 正确；C 、令2()1y f x x ==-，f （﹣x ）＝（﹣x ）2+1＝x 2+1＝f （x ），且在区间(0,)+∞上是增函数，故C 正确；D 、令3()y f x x ==，f （﹣x ）＝3()x -＝﹣x 3＝﹣f （x ），是奇函数，故D 错误； 故选BC ． 【点睛】此题主要考查函数的奇偶性，偶函数的性质，关键是对基本初等函数的性质要熟悉，是基础题；11．若()2345501234512a a x a x a x a x a x x =+++-++，则下列结论中正确的是（ ） A ．01a =B ．123452a a a a a ++++=C ．50123453a a a a a a -+-+-=D ．0123451a a a a a a【答案】ACD【解析】根据赋值法，分别令0x =，1x =，1x =-，可判断ABC ；根据二项展开式的通项公式，判断出对应项系数的正负，即可判断D 选项. 【详解】因为()2345501234512a a x a x a x a x a x x =+++-++，令0x =，则5011a ==，故A 正确；令1x =代入()2345501234512a a x a x a x a x a x x =+++-++，得0123451a a a a a a =+++++-，所以12345012a a a a a a ++++=--=-，故B 错； 令1x =-代入()2345501234512a a x a x a x a x a x x =+++-++，得01253453a a a a a a =-+-+-，故C 正确；因为二项式()512x -的展开式的第1r +项为15(2)r r rr T C x +=-， 所以当r 为奇数时，5(2)r rC -为负数；即0i a <（其中i 为奇数），所以0123450123451a a a a a a a a a a a a -+-+-=+++++=-；故D 正确. 故选：ACD. 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，熟记二项式定理，灵活运用赋值法求解即可，属于常考题型.12．若方程22131x y t t +=--所表示的曲线为C ，则下面四个选项中正确的是（ ）A ．若13t <<，则C 为椭圆B ．若C 为椭圆，且长轴在y 轴上，则12t << C ．若C 为双曲线，则3t >或1t <D ．若C 是双曲线，则其离心率有1e <<【答案】CD【解析】根据选项逐个分析可得答案，选项A 中2t =时，曲线C 为圆；选项B 可得23t <<；选项C 可得3t >或1t <；选项D 可得1e <<【详解】对于选项A ，当2t =时，曲线C 化为221x y +=，此时C 为圆，故A 不正确； 对于选项B ，若C 为椭圆，且长轴在y 轴上，则130t t ->->，解得23t <<，故B 不正确；对于选项C ，若C 为双曲线，则()()310t t --<，解得3t >或1t <，故C 正确；对于选项D ，若C 是双曲线，则3t >或1t <，当3t >时， ()224221,211t e t t -==-∈--，此时离心率1e <<当1t <时， ()242221,233t e t t -==+∈--，此时离心率1e <<故D 正确. 故选：CD. 【点睛】本题主要考查曲线方程的识别，明确各类曲线方程的特点是求解本题的关键，侧重考查数学运算的核心素养.三、填空题13．已知()π,2πα∈，3tan 4α=-，则cos α=______． 【答案】45. 【解析】根据同角三角函数的关系，直接计算即可. 【详解】由()π,2πα∈，且3tan 4α=-， 可知α在第四象限，可取在终边上一点为(4,3)-， 由任意角三角函数公式4cos 5x r α==， 故答案为：45. 【点睛】本题考查了同角三角函数的关系以及计算，在计算正余弦和正切函数互化时，可以利用任意角三角函数终边上的点进行计算，属于简单题.14．已知一个扇形的周长为8cm ，则当该扇形的半径r =__________cm 时，面积最大. 【答案】2【解析】首先设出扇形的半径和弧长，建立关系式，结合二次函数的图象与性质求解最值即可. 【详解】设扇形的半径为r ，弧长为l ，则28rl ，扇形的面积为()2118222rl r r r =-=-24(2)4r r +=--+， 所以当2r时，面积最大为4.故答案为2 【点睛】该题考查的是有关扇形的面积的最值的问题，涉及到的知识点有扇形的周长，扇形的面积，二次函数的最值，属于简单题目.15．已知点P 是抛物线24y x =上动点，且点P 在第一象限，F 是抛物线的焦点，点A的坐标为()1,0-，当PFPA取最小值时，直线AP 的方程为______．【答案】10x y -+=【解析】由()1,0A -在准线上，过抛物线上点P 作PD 垂直与准线，得到cos PDPAF PA=∠，得出 PAF ∠最大时即过点A 的直线与抛物线相切，设出切线方程为(1)y k x =+，结合判别式，即可求解. 【详解】由题意，抛物线的方程24y x =可得焦点(1,0)F ，()1,0A -在准线上，过抛物线上的点P 作PD 垂直与准线交于D 点， 由抛物线的定义，可得PF PD =，在PAD △中，cos cos PDDPA PAF PA=∠=∠， 所以PDPA最小时，则cos PAF ∠最小，此时PAF ∠最大， 而PAF ∠最大时即过点A 的直线与抛物线相切， 设过()1,0A -与抛物线相切的直线方程为(1)y k x =+，联立方程组2(1)4y k x y x=+⎧⎨=⎩，整理得2440y y k -+=，则24()440k∆=--⨯=，解得1k =±， 又由点P 在第一象限，所以1k =，所以直线AP 的方程为1y x =+，即10x y -+=.故答案为：10x y-+=.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义及标准方程，以及直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中熟记抛物线的几何性质和直线与抛物线的位置关系是解答的关键，着重考查推理与运算能力.16．函数()f x对于任意x∈R，均满足()()2f x f x=-，()3,0132,0x xf xx x⎧≤≤=⎨+<⎩，若存在实数a，b，c，()d a b c d<<<满足()()()()f a f b f c f d===，则()()2b ac d--+的取值范围是______．【答案】8,19⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】首先得到函数的对称性，从而求出函数解析式、画出函数图象，根据对称性可得b a d c-=-，令t b a d c=-=-，则24,33t⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，再根据二次函数的性质计算可得；【详解】解：由函数()f x对于任意x∈R，均满足()(2)f x f x=-，可知()f x的对称轴方程为1x=．因为()3,0132,0x xf xx x⎧≤≤=⎨+<⎩，所以()()33,0132,02,1283,2x xx xf xx xx x⎧≤≤⎪+<⎪=⎨-≤≤⎪⎪->⎩函数图象如图所示：因为存在实数a ，b ，c ，()d a b c d <<<, 满足()()()()01f a f b f c f d ≤===<,332(01)a b b +=≤<,所以b a d c -=-，令t b a d c =-=-， 则3212,10,[0,1)33t b a b b t b b =-=-++'=-+≥∈恒成立， 所以24,33t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭， 所以()()()()282211,19b a c d t t t ⎡⎤--+=-+=--+∈⎢⎥⎣⎦故答案为：8,19⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查函数方程的综合应用，函数的对称性的应用，属于中档题.四、解答题17．已知tan 3α=，求值： （1）cos sin cos sin αααα-+（2）23π2sin 3sin sin 2ααα⎛⎫+-⎪⎝⎭． 【答案】（1）12-；（2）910【解析】（1）分子、分母同除cos α，将弦化切，再代入计算可得；（2）由诱导公式及22sin cos 1αα+=，将弦化切，再代入计算可得； 【详解】解：（1）因为tan 3α= 所以cos sin 1tan 131cos sin 1tan 132αααααα---===-+++（2）23π2sin 3sin sin 2ααα⎛⎫+-⎪⎝⎭22sin 3sin cos ααα=-2222sin 3sin cos sin cos ααααα-=+ 222tan 3tan 1tan ααα-=+ 22233391103⨯-⨯==+ 【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题. 18．已知函数()xf x e ax =-，a R ∈，e 是自然对数的底数．（1）若函数()f x 在1x =处取得极值，求()f x 的单调区间： （2）记函数()f x 在区间0,1上的最小值为()h a ，求()h a ．【答案】（1）函数()f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增；（2）()()[)(]ln ,1,,,1,,1a a a a e h a e a a e a ⎧-∈⎪=-∈+∞⎨⎪∈-∞⎩【解析】（1）先求出导函数()'f x ，再利用()20f '=即可求出a 的值，从而求出()f x 的单调区间．（2）求出导函数()'f x ，通过讨论a 的范围，求出函数()f x 的单调区间，从而求出函数()f x 的最小值即可． 【详解】解：（1）函数()xf x e ax =-，x ∈R ，()x f x e a '∴=-，函数()f x 在1x =处取得极值，()10f '∴=，a e ∴=，()x f x e e '∴=-，当(,1)x ∈-∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，综上可得，函数()f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增；（2）()xf x e a '=-，①当0a 时，()0f x '>恒成立，即函数()f x 在[0，1]上单调递增，∴函数()f x 在[0，1]上的最小值为()(0)1f h a ==，②当0a >时，令()0f x '=得到ln x a =，若ln 0a ，即01a <时，在[0，1]上，()0f x '>，函数()f x 在[0，1]上单调递增，∴函数()f x 在[0，1]上的最小值为()(0)1f h a ==，若ln 1a ，即a e 时，在[0，1]上，()0f x '<，函数()f x 在[0，1]上单调递减，∴函数()f x 在[0，1]上的最小值为()()1e a h a f ==-，若0ln 1a <<，即1a e <<时，在[0，ln )a 上，()0f x '<，在(ln a ，1]上，()0f x '>，即函数()f x 在[0，ln )a 上单调递减，在(ln a ，1]上单调递增，∴函数()f x 在[0，1]上的最小值为()()ln ln h a f a a a a ==-，综上所述，()()[)(]ln ,1,,,1,,1a a a a e h a e a a e a ⎧-∈⎪=-∈+∞⎨⎪∈-∞⎩【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题．19．如图，四棱台1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，1CC ⊥底面ABCD ，且BAD ∠=60°，1114CD CC C D ===，E 是棱1BB 的中点.（1）求证：1AA BD ⊥；（2）求直线1AA 与平面11A EC 所成线面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）6735. 【解析】（1）由1C C ⊥底面ABCD ，得1C C BD ⊥，再由底面ABCD 是菱形，得BD AC ⊥，利用直线与平面垂直的判定可得BD ⊥平面1AC C ，进一步得到1BD AA ⊥；（2）设AC 交BD 于点O ，依题意，11//AC OC 且11AC OC =，得到1A O ⊥底面ABCD ．以O 为原点，OA 、OB 、1OA 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．求出平面11EA C 的一个法向量与1AA 的坐标，再由两向量所成角的余弦值求解直线1AA 与平面11A EC 所成线面角的正弦值． 【详解】（1）因为1CC ⊥底面ABCD ，所以1CC BD ⊥ 因为底面ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥ 又1ACCC C =，所以BD ⊥平面1AC C又由四棱台1111ABCD A B C D -知，1A ，A ，1C ，C 四点共面 所以1BD AA ⊥（2）如图，设AC 交BD 于点O ，依题意，11//AC OC 且11AC OC =， 11//AO CC ∴，且11AO CC =， 又由已知1CC ⊥底面ABCD ，得1A O ⊥底面ABCD ．以O 为原点，OA 、OB 、1OA 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图设AC 交BD 于点O ，依题意，11//AC OC 且11=AC OC ，所以11=AO CC 则()23,0,0A =，()10,0,4A =，()123,0,4C =-，()0,2,0B =， 由1112A B AB =，得()13,1,4B - 因为E 是棱1BB 中点，所以33,,222E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭所以133,222EA ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()1123,0,0AC=-，()123,0,4AA =- 设(),,n x y z =为平面11EA C 的法向量则111230332022n AC x n EA x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取3z =，得()0,4,3n = 设直线1AA 与平面11A EC 所成线面角为θ，则1167sin AA n AA nθ⋅==⋅所以直线1AA 与平面11A EC 67【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，考查利用空间向量求解空间角，是中档题．20．某市2017年房地产价格因“棚户区改造”实行货币化补偿，使房价快速走高，为抑制房价过快上涨，政府从2018年2月开始采用实物补偿方式（以房换房），3月份开始房价得到很好的抑制，房价渐渐回落，以下是2018年2月后该市新建住宅销售均价的数据：（1）研究发现，3月至7月的各月均价y （百元/平方米）与月份x 之间具有较强的线性相关关系，求y （百元价格/平方米）关于月份x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； （2）用ˆi y表示用（1）中所求的线性回归方程得到的与i x 对应的销售均价的估计值，3月份至7月份销售均价估计值ˆi y与实际相应月份销售均价i y 差的绝对值记为i ξ，即ˆi i i yy ξ=-，1,2,3,4,5i =．现从5个数据1ξ，2ξ，3ξ，4ξ，5ξ中任取2个，记取到的2个数据和为η，求η的分布列和数学期望E η．注意几点：①可供选择的数据511984iii yx ==∑，521135i i x ==∑；②参考公式：回归方程系数公式1221ˆni ii nii x y nxybxnx ==-=-∑∑，ˆˆay bx =-； 【答案】（1）ˆ 1.688yx =-+（2）见解析 【解析】（1）由表格中的数据，求得5x =80y =，根据公式求得ˆ 1.6b=-，进而得到ˆ88a=，即可求得y 关于x 的回归方程． （2）利用（1）中的回归方程，求得12346ˆˆˆˆˆ83.2,81.6,8078.4,768,.yy y y y =====，得到随机变量i ξ的值，进而求得η的可能取值为0.2,0.4,0.6,0.8，求出相应的概率，列出分布列，利用公式，即可求解数学期望． 【详解】（1）由表格中的数据，可得3456755x ++++==8382807877805y ++++==，所以2198455801.613555ˆb-⨯⨯==--⨯，则80 1.588ˆ6a=+⨯=， 所以y 关于x 的回归方程ˆ 1.688yx =-+． （2）利用（1）中的回归方程ˆ 1.688yx =-+，可得1122334456ˆˆˆˆˆ3,83.2,4,81.6,5,806,78.4,7,76,.8x yx y x y x y x y ==========，所以123450.2,0.4,0,0.4,0.2ξξξξξ=====， 所以η的可能取值为0.2,0.4,0.6,0.8， 则2521(0.2)5P C η===，2533(0.4)10P C η===， 2542(0.6)5P C η===，2511(0.8)10P C η===， 所以随机变量η的分布列为：期望1321120.20.40.60.851051025E η=⨯+⨯+⨯+⨯=． 【点睛】本题主要考查了回归直线方程的求解，以及离散型随机变量的分布列与数学期望的计算，其中解答中认真审题，求得随机变量的取值，准确计算相应的概率是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．21．在直角坐标系内，点A ，B 的坐标分别为()2,0-，()2,0，P 是坐标平面内的动点，且直线PA ，PB 的斜率之积等于14-.设点P 的轨迹为C . （1）求轨迹C 的方程；（2）某同学对轨迹C 的性质进行探究后发现：若过点()1,0且倾斜角不为0的直线l 与轨迹C 相交于M ，N 两点，则直线AM ，BN 的交点Q 在一条定直线上.此结论是否正确？若正确，请给予证明，并求出定直线方程；若不正确，请说明理由.【答案】（1）()22104x y y +=≠；（2）正确，证明见解析，直线4x =. 【解析】（1）设点P 的坐标为(),x y ，利用直接法，列方程即可求解.（2）根据题意，可设直线MN 的方程为：1x my =+，将直线与椭圆方程联立，整理可得()224230m y my ++-=，利用韦达定理可得12224my y m +=-+，12234y y m =-+，直线AM 的方程与直线BN 的方程，直线AM ，BN 的交点()00,Q x y 的坐标满足：()()()2100122222y x x x y x ++=⋅--，整理可得04x =，即证.【详解】（1）设点P 的坐标为(),x y ，由1224y y x x ⋅=-+-，得2244y x =-，即()22104x y y +=≠. 故轨迹C 的方程为：()22104x y y +=≠（2）根据题意，可设直线MN 的方程为：1x my =+，由22114x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 并整理得()224230m y my ++-= 其中，()222412416480m m m ∆=++=+>. 设()11,M x y ，()22,N x y ，则12224m y y m +=-+，12234y y m =-+. 因直线l 的倾斜角不为0，故1x ，2x 不等于2±（1y ，2y 不为0）， 从而可设直线AM 的方程为()1122y y x x =++①， 直线BN 的方程为()2222y y x x =--②， 所以，直线AM ，BN 的交点()00,Q x y 的坐标满足：()()()2100122222y x x x y x ++=⋅--而()()()()2121122121212123321y x y my my y y y x y my my y y +++==---()()2122121123239344433344m m y m m y m m m m m y y m -⎛⎫+-- ⎪--+++⎝⎭===---+-+， 因此，04x =，即点Q 在直线4x =上. 所以，探究发现的结论是正确的. 【点睛】本题主要考查轨迹的求法、直线与椭圆的位置关系等基础知识；考查运算求解能力和创新意识；考查化归与转化等思想方法，属于中档题.22．已知()()2121ln 1f x x x k x x x ⎛⎫=-+--+ ⎪⎝⎭，其中k ∈R ，()()1f xg x x =-． （1）当1k =时，求()g x 的单调区间，并证明：()0f x ≥；（2）若对任意的0x >且1x ≠时，()0f x <恒成立，求实数k 的取值范围． 【答案】(1) 增区间为()0,1和()1,+∞，无减区间，证明见解析；(2) (],1-∞-. 【解析】(1)代入1k =，求出()12ln g x x x x=+-，通过导数即可求出单调区间.由单调性求()g x 的取值范围，分()0,1x ∈，1x =，()1,x ∈+∞三种情况求()f x 的取值范围，即可证明.(2) 令()212ln x h x x k x-=+⋅，令()22x kx x k ϕ=++，通过讨论1k ≤-，0k ≥，10k -<<三种情况，结合二次函数的性质，求出函数的单调性，从而判断不等式是否能恒成立. 【详解】(1)当1k =时，()()2112ln x f x x x x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，定义域为()0,∞+，则()()12ln ,01f x g x x x x x x=+-=>-且1x ≠，则()22110g x x x '=++>，所以()g x 在()0,1和()1,+∞上单调递增，即增区间为()0,1和()1,+∞. 当1x =时，2ln1110+-=，当()0,1x ∈时，()0g x <，当()1,x ∈+∞时，()0g x >，第 1 页 共 6 页 由()()()1f x x g x =-，则当()0,1x ∈时，()0f x >，当()1,x ∈+∞时，()0f x >， 当1x =时，()0f x =，综上所述，()0f x ≥.(2) ()()2112ln x f x x x k x ⎛⎫-=-+⋅ ⎪⎝⎭，令()212ln x h x x k x -=+⋅， 可知()10h =，()222,0kx x k h x x x++'=>，令()22x kx x k ϕ=++， 当1k ≤-时，由二次函数的性质可得()0h x '≤，()h x 单调递减，又()10h =， 所以当()0,1x ∈时，()0h x >，当()1,x ∈+∞时，()0h x <，可知此时()0f x <成立；当0k ≥时，由二次函数的性质可得()0h x '>，则()h x 单调递增，又()10h =， 所以当()0,1x ∈时，()0h x <，当()1,x ∈+∞时，()0h x >，可知此时()0f x ≤不恒成立；当10k -<<时，由()10,ϕ>()22x kx x k ϕ=++对称轴11x a=->， 那么()x ϕ在区间11,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上大于0，即()0h x '>在11,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭恒成立， 所以()h x 在11,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，此时()()10h x h >=，则()0f x >不符合题意. 综上所述，实数k 的取值范围为(],1-∞-.【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调性，考查了运用导数解决恒成立问题.本题第一问的关键是对()g x 进行化简整理.。

重庆八中高2021级高三（上）阶段性检测（6）数 学 试 题一、选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分.1．已知i 是虚数单位，则复数41ii+在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．已知{3A =-，0，1}，{4B =-，3-，1}，则A B 的真子集的个数为 A ．3B ．7C ．15D ．313．已知点(0,1)A ，(3,2)B ，向量(4,3)AC =--，则向量BC = A ．(7,4)--B ．(7,4)C ．(1,4)-D ．(1,4)4．24(12)(1)x x ++的展开式中3x 的系数为A ．12B ．16C ．20D ．245．十九世纪下半叶集合论的创立奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[01]，均分为三段，去掉中间的区间段12()33，，记为第一次操作；再将剩下的两个区间1[0]3，，2[1]3，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；⋯如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于910，则需要操作的次数n 的最小值为（参考数据：20.3010lg =，30.4771lg =）A ．4B ．5C ．6D ．76．第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的．如图，会标是由4个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，若小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，设直角三角形中较大的锐角为θ，则tan()4πθ-=A ．75B ．17C ．7-D ．10-7．已知0,0,a b >>直线12:(4)10,:220,l x a y l bx y +-+=+-=且12l l ⊥，则1112a b++的最小值为A ．2B ．4C ．23D ．45二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5份，部分选对得3分，选错不得分.8．若11122b a⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，c ∈，则下列关系式中一定成立的是A ．11a b> B ．33a b >C ．()()22ln 1ln 1a b >++D ．22c a c b <9．已知双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的实轴长是2，右焦点与抛物线22:8C y x =的焦点F 重合，双曲线1C 与抛物线2C 交于,A B 两点，则下列结论正确的是 A ．双曲线1C 的离心率为23 B ．抛物线2C 的准线方程是2x =-C ．双曲线1C 的渐近线方程为3y x =±D ．203AF BF +=10．函数()cos()(0,0,0)2f x A x A πωϕωϕ=+>>-<<的部分图象如图所示，已知函数()f x 在区间[0,]m 有且仅有3个极大值点，则下列说法正确的是 A ．函数()f x 的最小正周期为2B ．点9(,0)4-为函数()f x 的一个对称中心C ．函数()f x 的图象向左平移32个单位后得到sin()y A x ωϕ=+的图象 D ．函数()f x 在区间3[,0]25m -上是增函数 11．已知数列{}n a ，{}n b 满足：12n n n a a b +=+，*111312ln (),0n n n n b a b n N a b n++=++∈+>，给出下列四个命题，其中的真命题是 A ．数列{}n n a b -单调递增B ．数列{}n n a b +单调递增C ．数列{}n a 从某项以后单调递增D ．数列{}n b 从某项以后单调递增三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共40分.12．若圆锥轴截面面积为23，母线与底面所成角为60︒，则体积为 ．13．已知函数()f x 满足()(1)f x f x =-+，当()0,1x ∈时，函数()3x f x =，则13(log 4)f ＝ ．14．某校进行体育抽测，小明与小华都要在50m 跑、跳高、跳远、铅球、标枪、三级跳远这6项运动中选出3项进行测试，假设他们对这6项运动没有偏好，则他们选择的结果至少有2项相同的概率为 ．15．已知点1F 、2F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，点0(M x ，00)(0)y x <4345-1为C 的渐近线与圆222x y a +=的一个交点，O 为坐标原点，若直线1F M 与C 的右支交于点N ，且22||||||MN NF OF =+，则双曲线C 的离心率为 ．四、解答题：本题共6小题，满分75分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（15分） 如图，在梯形ABCD 中，90A D ∠=∠=︒，M 为AD 上一点，22AM MD ==，60BMC ∠=︒．（1）若60AMB ∠=︒，求BC ；（2）设DCM θ∠=，若4MB MC =，求tan θ．17．（12分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，123,2AB A A ==，,,D E F 分别为线段11,,AC A A C B 的中点．（1）证明：EF ABC ∥平面；（2）求直线1C B 与平面BDE 所成角的正弦值．18．（12分）某单位招考工作人员，须参加初试和复试，共5000人参加初试，初试通过后组织考生参加复试，复试共三道题，第一题考生答对得3分，答错得0分，后两题考生每答对一道题得5分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩．（1）通过分析可以认为考生初试成绩X 服从正态分布2(,)N μσ，其中64μ=，2169σ=，试估计初试成绩不低于90分的人数；BB 1C 1DF E A 1C A（2）已知某考生已通过初试，他在复试中第一题答对的概率为34，后两题答对的概率均为32，且每道题回答正确与否互不影响．记该考生的复试试成绩为Y ，求Y 的分布列及数学期望．附：若随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，(22)0.9544P X μσμσ-<<+=，(33)0.9974P X μσμσ-<<+=． 19．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，122n n S +=-，数列{}n b 满足：1322,6b b b =-=，数列{}n b n为等差数列．（1）求{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）设(1)1n n n nc a b -=+，数列{}n c 的前n 项和为n T ．若对于任意*n N ∈均有k n T T ，求正整数k 的值．20．（12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为3，且经过点3(1,)．（1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆的上、下顶点分别为A ，B ，点P 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，PQ y ⊥轴，Q 为垂足，M 为线段PQ 中点，直线AM 交直线:1l y =-于点C ，N 为线段BC 的中点，若四边形MOBN 的面积为2，求直线AM 的方程．21．（12分）已知函数()2()x f x xe ax alnx a R =--∈． （1）若2a e =，求函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围．重庆八中高2021级高三（上）阶段性检测（6）参考答案一．单项选择题1-7 ACAACBD 二、多项选择题8.AC 9.BC 10.BCD 11。

2021年高三上学期阶段练习八数学试题 Word版含答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卡相应位置上．．．．．．．．1．若集合，，则M∩N=．2．设（是虚数单位），则．3．如图所示是一算法的伪代码, 执行此算法时, 输出的结果是．4．袋中装有2个红球, 2个白球, 除颜色外其余均相同, 现从中任意摸出2个小球, 则摸出的两球颜色不同的概率为．5．设满足约束条件，则的最大值是．6．已知P：|x－a|＜4；q：（x－2）（3－x）>0，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为．7. 在中，角所对边的长分别为，且，则．8．设m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，，则．上面命题中，真命题．．．的序号是（写出所有真命题的序号）．9. 设双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上，且,则此双曲线离心率的最大值为．10．在菱形中，,,,,则．11．已知函数（）在区间上取得最小值4，则．12．已知椭圆的离心率，A、B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A、B的一点，直线PA、PB斜倾角分别为、，则= ．13．若函数，则函数在（0，1）上不同的零点个数为．14．数列满足，，且 =2，则的最小值为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在直三棱柱中，,为的中点.(1) 求证：平面；(2) 求证：∥平面.16.已知函数的最大值为2．（1）求函数在上的单调递减区间；（2）△ABC中，，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且C=60°，，求△ABC的面积．17.某广告公司为xx年上海世博会设计了一种霓虹灯，样式如图中实线部分所示．其上部分是以AB为直径的半圆，点O为圆心，下部分是以AB为斜边的等腰直角三角形，DE、DF是两根支杆，其中AB＝2 m，∠EOA＝∠FOB＝2x(0＜x＜π4)．现在弧EF、线段DE与线段DF上装彩灯，在弧AE、弧BF、线段AD与线段BD上装节能灯．若每种灯的“心悦效果”均与相应的线段或弧的长度成正比，且彩灯的比例系数为2k，节能灯的比例系数为k(k＞0)，假定该霓虹灯整体的“心悦效果”y是所有灯“心悦效果”的和．(1) 试将y表示为x的函数；(2) 试确定当x取何值时，该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳？18. 如图，在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为2，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）若点，分别是椭圆的左、右顶点，直线经过点且垂直于轴，点是椭圆上异于，的任意一点，直线交于点（ⅰ）设直线的斜率为直线的斜率为，求证：为定值；（ⅱ）设过点垂直于的直线为.求证：直线过定点，并求出定点的坐标.19.在数列{a n}中，a1＝1，a n＋a n＋1＝3n.设b n＝a n－14×3n.(1) 求证：数列{b n}是等比数列；(2) 求数列{a n}的前n项的和；(3) 设T2n＝1a1＋1a2＋1a3＋…＋1a2n，求证：T2n＜3.20. 已知函数(其中是自然对数的底数)(1)若是奇函数,求实数的值;(2)若函数在上单调递增,试求实数的取值范围;(3)设函数,求证:对于任意的,总存在,满足,并确定这样的的个数.高三数学阶段练习八参考答案1. 2. 3.3 4. 5. 6. 7. 8.② 9. 10. 11. 12. 13.3 14. 15．证明：（1）因为在直三棱柱中，所以平面, 因为平面，所以， 又，,所以平面,因为，所以 ……………4分 又因为，所以是正方形，所以，又，所以平面， ………………………8分(2)在正方形中，设，则为中点,为的中点，结,在中，∥， ………………………………………………12分 因为平面，平面，所以∥平面， ………14分16.解：（1）由题意，的最大值为，所以．……………………2分 而，于是，．…………………………4分为递减函数，则满足 ，即．………………………6分所以在上的单调递减区间为． ……………………7分（2）设△ABC 的外接圆半径为，由题意，得． 化简，得．……………………………9分由正弦定理，得，． ① 由余弦定理，得，即． ② ………11分将①式代入②，得．解得，或 （舍去）．…………………………13分 ．……………………………………………14分17. 解：(1) 因为∠EOA ＝∠FOB ＝2x ，所以弧EF 、AE 、BF 的长分别为π－4x,2x,2x .(3分)连结OD ，则由OD ＝OE ＝OF ＝1，∠FOD ＝∠EOD ＝2x ＋π2，所以DE ＝DF ＝1＋1－2cos (2x ＋π2)＝2＋2sin2x ＝2(sin x ＋cos x )．(6分)所以y ＝2k [22(sin x ＋cos x )＋π－4x ]＋k (22＋4x ) ＝2k [22(sin x ＋cos x )－2x ＋2＋π](9分)(2) 因为由y ′＝4k [2(cos x －sin x )－1]＝0，(11分)解得cos(x ＋π4)＝12，即x ＝π12.(13分)B ACDA 1B 1C 1G又当x ∈(0，π12)时，y ′＞0，所以此时y 在(0，π12)上单调递增； 当x ∈(π12，π4)时，y ′＜0，所以此时y 在(π12，π4)上单调递减．故当x ＝π12时，该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳．(16分)18．⑴由题意得 ，所以，又，…………………………………2分消去可得，，解得或（舍去），则，所以椭圆的方程为．……………………………………………………4分 ⑵（ⅰ）设，，则，，因为三点共线，所以， 所以，，8分 因为在椭圆上，所以，故为定值．10分 （ⅱ）直线的斜率为，直线的斜率为,则直线的方程为，…………………………………………12分111101111222(2)4(2)2x x x y y x y x y y y x ---=-+=-++ ==，所以直线过定点． ………………………………………………………16分19. (1) 证明：由a n ＋a n ＋1＝3n ，得a n ＋1－14×3n ＋1＝－(a n －14×3n )．即b n ＋1＝－b n ，b 1＝a 1－34＝14.所以数列{b n }是首项为14，公比为－1的等比数列．(5分)(2) 解：由b n ＝14×(－1)n －1，得a n －14×3n ＝14×(－1)n －1，a n ＝14×3n ＋14×(－1)n －1＝14×[3n ＋(－1)n －1]．(7分)S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝14[3＋32＋33＋…＋3n ＋(－1)0＋(－1)1＋(－1)2＋…＋(－1)n －1] ＝14[3n ＋1－32＋1＋(－1)n ＋12]．(10分) (3) 证明：T 2n ＝1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2n －1＋1a 2n＝4(13＋1＋132－1＋133＋1＋134－1＋…＋132n －1＋1＋132n －1)＝4[(13＋1＋133＋1＋…＋132n －1＋1)＋(132－1＋134－1＋…＋132n －1)]＜4[(13＋133＋…＋132n －1)＋(132－1＋134－1＋…＋132n －1)]，因为32n －1＞32n －1(n ∈N *)，所以132n －1＜132n －1(n ∈N *)．所以132－1＋134－1＋…＋132n －1＜13＋133＋…＋132n －1.所以T 2n ＜8(13＋133＋…＋132n －1)＝8×13(1－19n )1－19＝3(1－19n )＜3.(16分)20.解：（1）由………………………………………………………4分 （2），在上单调递增显然成立；……………………………………5分 令，因为所以且递增，故在时递增 时，在时递增，故所以……………………………………………………………7分 时，在时递增恒成立，故所以……………………………………………………………9分 综上：……………………………………………………………10分 （3），所以即要证明任意的,方程在有实数解 令)1)(2(31)1(32)1()(),4)(2(32)1(326)2(22-+=---=-+-=--=-t t t t t t g t t t g所以 ①当时，，所以在有解，且只有一解……………………………12分 ②当时，0)1(32)0(,0)(0)2(2<--=>>-t g t g g 但且 所以在有解，且有两解……………………………14分 ③当时，有且只有一解，当时，有且只有一解， 综上所述，对于任意的,总存在,满足, 且当时，有唯一的适合题意，当时，有两个不同的适合题意。