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【全国百强校】江苏省南京金陵中学2019届高三第
一学期期中考试数学试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、填空题
1. 设集合A＝，B＝{﹣1，0，1，2，4}，则A B＝
_____________．
2. 已知复数，其中i是虚数单位，则的值是
_____________．
3. 已知一组数据2，4，5，6，8，那么这组数据的方差是_____________．
4. 从2男3女共5名同学中任选2名（每名同学被选中的机会均等）作为代表，则这2名代表都是女同学的概率为_____________．
5. 如图是一个算法的流程图，则输出a的值是
_____________．
6. 在平面直角坐标系xOy中，若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则实数p的值为_____________．
7. 已知，则＝_____________．
8. 设a＞0，若a
n ＝且数列{a
n
}是递增数列，则实数a的范
围是__________．
9. 在平面直角坐标系xOy中，若曲线(a，b为常数)过点P(2，﹣5)，且该曲线在点P处的切线与直线垂直，则2a＋3b的值是
_______．
10. 若函数在上不单调，则的取值范围是
____．
11. 在等腰三角形中，底边，，，若
，则_______.
12. 已知函数，则关于x的方程的解的个数为_____________．
13. 已知正数a，b，c满足，则的最大值为
_____________．
14. 若存在正数x，y，使得，其中e为自然对数的底数，则实数的取值范围是_____________．
二、解答题
15. 如图,在四棱锥中,四边形是矩形,平面平面
,为中点.
（Ⅰ）求证:平面;
（Ⅱ）.
16. 已知，，，，，．
（1）求的值；
（2）求的值．
17. 如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池的池底水平铺设污水净化管道（三条边，是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.要求管道的接口是的中点，分别落在线段上，已知米，米，记.
(1)试将污水净化管道的总长度（即的周长）表示为的函数，并求出定义域；
(2)问取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的总长度.
18. 在平面直角坐标系xOy中，圆O：与坐标轴分别交于A1，A2，
B 1，B
2
(如图)．
（1）点Q是圆O上除A
1，A
2
外的任意点(如图1)，直线A
1
Q，A
2
Q与直线
交于不同的两点M，N，求线段MN长的最小值；
（2）点P是圆O上除A
1，A
2
，B
1
，B
2
外的任意点(如图2)，直线B
2
P交x轴于点
F，直线A
1B
2
交A
2
P于点E．设A
2
P的斜率为k，EF的斜率为m，求证：2m﹣k为
定值．
（图1）（图2）
19. 设函数，其中x＞0，k为常数，e为自然对数的底数．（1）当k≤0时，求的单调区间；
（2）若函数在区间(1，3)上存在两个极值点，求实数k的取值范围；（3）证明：对任意给定的实数k，存在()，使得在区间(，)上单调递增．
20. 若数列同时满足：①对于任意的正整数n，恒成立；②若对于给定的正整数k，对于任意的正整数n(n＞k)恒成立，则称数列是“R(k)数列”．
（1）已知，判断数列是否为“R(2)数列”，并说明理由；
（2）已知数列是“R(3)数列”，且存在整数p(p＞1)，使得，，，成等差数列，证明：是等差数列．
21. 二阶矩阵M对应的变换将点(1，﹣1)与(﹣2，1)分别变换成点(﹣1，﹣1)与(0，﹣2)．
（1）求矩阵M的逆矩阵；
（2）设直线l在变换M作用下得到了直线m：，求l的方程．
22. 在极坐标系中，设圆上的点到直线的距离为d，求d的最大值．
23. 如图，已知三棱锥O—ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝1，OB＝OC＝2，E是OC的中点．
（1）求异面直线BE与AC所成角的余弦值；
（2）求二面角A—BE—C的余弦值．
24. 已知，．
（1）若，求中含x2项的系数；
（2）若是展开式中所有无理项的系数和，数列是由各项都大于1的数组成的数列，试用数学归纳法证明：
．
