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1A虹口区2017学年度第二学期期中教学质量监控测试高三数学试卷（时间120分钟，满分150分）2018.4一．填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题5分，本大题满分54分）1．已知(,]A a=-∞，[1,2]B=，且A Bφ⋂≠，则实数a的范围是．2．直线(1)10ax a y+-+=及直线420x ay+-=互相平行，则实数a=．3．已知(0,)απ∈，，则．4．长方体的对角线及过同一个顶点的三个表面所成的角分别为α，β，γ，则222cos cos cosαβγ++=．5．已知函数，则11[(9)]f f---=．6．从集合{}1,1,2,3-随机取一个为m，从集合{}2,1,1,2--随机取一个为n，则方程表示双曲线的概率为．7．已知数列{}n a是公比为q的等比数列，且2a，4a，3a成等差数列，则q= _______．8．若将函数6()f x x=表示成23601236()(1)(1)(1)(1)f x a a x a x a x a x=+-+-+-++-则3a的值等于．9．如图，长方体1111ABCD A B C D-的边长11AB AA==，AD=，它的外接球是球O，则A，1A面距离等于．10．椭圆的长轴长等于m，短轴长等于n，则此椭圆的内接矩形的面积的最第1 页第 2 页大值为_______.11．[]x 是不超过x 的最大整数，则方程满足x <1的所有实数解是 ．12．函数()sin f x x =，对于123n x x x x <<<<且[]12,,,0,8n x x x π∈（10n ≥），记1223341()()()()()()()()n n M f x f x f x f x f x f x f x f x -=-+-+-++-，则M 的最大值等于 ．二．选择题（每小题5分，满分20分） 13．下列函数是奇函数的是（ ）．14．在Rt ABC ∆中，AB AC =，点M 、N 是线段AC 的三等分点，点P 在线段BC 上运动且满足PC k BC =⋅，当PM PN ⋅取得最小值时，实数k 的值为（ ）15．直线:10l kx y k -++=及圆228x y +=交于A ，B 两点，且AB =，过点A ，B 分别作l 的垂线及y 轴交于点M ，N ，则MN等于（ ） .A .B4 .C .D 816．已知数列{}n a 的首项1a a =，且04a <≤，，n S 是此数列的前n 项与，则以下结论正确的是（ ）.A 不存在．．．a 与n 使得2015n S = .B 不存在．．．a 与n 使得2016n S = .C 不存在．．．a 与n 使得2017n S = .D 不存在．．．a 与n 使得2018n S =三．解答题（本大题满分76分）17．（本题满分14分.第（1）小题7分，第（2）小题7分.）如图，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，在线1AB AC ==,，高等于3，点1M ，2M ，1N ，2N 为所P 2P 1C 1A N 2N 1第 3 页段的三等分点．（1）求此三棱柱的体积与三棱锥112A AM N -的体积； （2）求异面直线12A N ，1AM 所成的角的大小．18．（本题满分14分.第（1）小题7分，第（2）小题7分.）已知ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，cos sin z A i A =+⋅（i 是虚数单位）是方程210z z -+=的根，3a =.（1）若 ，求边长c 的值； （2）求ABC ∆面积的最大值.19．（本题满分14分.第（1）小题6分，第（2）小题8分.）平面内．．．的“向量列”{}n a ，如果对于任意的正整数n ，均有1n n a a d +-=，则称此“向量列”为“等差向量列”，d 称为“公差向量”.平面内的“向量列”{}n b ，如果01≠b 且对于任意的正整数n ，均有1n n b q b +=⋅（0q ≠），则称此“向量列”为“等比向量列”，常数q 称为“公比”.（1）如果“向量列”{}n a 是“等差向量列”，用1a 与“公差向量”d 表示12n a a a +++；（2）已知{}n a 是“等差向量列”，“公差向量”(3,0)d =，1(1,1)a =，(,)n n n a x y =；{}nb 是“等比向量列”，“公比”2q =，1(1,3)b =，(,)n n n b m k =.求1122n n a b a b a b ⋅+⋅++⋅．20．（本题满分16分.第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题7分.）如果直线及椭圆只有一个交点，称该直线为椭圆的“切线”.已知椭圆，点(,)M m n 是椭圆C 上的任意一点，直线l 过点M 且是椭圆C 的“切线”.第 4 页x（1）证明：过椭圆C 上的点(,)M m n 的“切线”方程是；（2）设A ，B 是椭圆C 长轴上的两个端点，点(,)M m n 不在坐标轴上，直线MA ，MB 分别交y 轴于点P ，Q ，过M 的椭圆C 的“切线”l 交y 轴于点D ，证明：点D是线段PQ 的中点；（3）点(,)M m n 不在x 轴上，记椭圆C 的两个焦点分别为1F 与2F ，判断过M 的椭圆C 的“切线”l 及直线1MF ，2MF 21．（本题满分18分.第（1）小题32）小题7分，第（3）小题8分.）已知函数3()f x ax x a =+-（a R ∈，x R ∈（1）如果是关于x 的不等式()0f x ≤的解，求实数a 的取值范围； （2）判断()g x 在与的单调性，并说明理由；（3）证明：函数()f x 存在零点q ，使得4732n a q q q q -=+++++成立的充要条件是．虹口区2017学年度第二学期高三年级数学学科期中教学质量监控测试题答案一、填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题5分，本大题满分54分）1、1a ≥；2、2；3、17-； 4、2； 5、2-； 6、12； 7、1或12-；8、20； 9、3π； 10、12mn ； 11、1x =-或； 12、16； 二、选择题（每小题5分，满分20分）13、B ； 14、C ； 15、D ； 16、A ；第 5 页三、解答题（本大题满分76分）17、（14分）解:（1） ，∴ ……2分，1C 到平面11ABB A 的距离等于1，即2N 到平面11ABB A 的距离等于1，∴112211131322A AM N N AM A V V --==⨯=∴ 三棱柱111ABC A B C - 的体积等于32（立方单位），三棱锥112A AM N -的体积等于12（立方单位）……………7分（2）取线段1AA 的三等分点1P ，2P ，连12P M ，1PC .12A N ∥1PC ，1AM ∥12P M ，∴ 21M PC ∠的大小等于异面直线12A N ，1AM 所成的角或其补角的大小.…………9分∴ 异面直线12A N ，1AM 所成的角的大小等于3π.………………14分 18、（14分）解：（1）210z z -+=的两个根为.…………2分 ， ， .…………4分∴5sin sin124C π== ， ，得……………7分 （2）2222cos a b c bc A =+-.∴2292b c bc bc bc bc=+-≥-=，从而9bc ≤，等号当b c =时成立，此时max 1sin 24S bc A ==.∴ABC ∆的面积的最大值等于4.……………14分 19、（14分）解：（1）设(,)n n n a x y =，12(,)d d d =.由1n n a a d +-=，得，所以数列{}n x 是以1x 为首项，公差为1d 的等差数列；数列P 2P 1C 1A N 2N 1第 6 页{}n y 是以1y 首项，公差为2d 的等差数列.……………………3分.………………6分（2）设(,)n n n a x y = ，(,)n n n b m k =.由11111(,)(,)(,)(3,0)n n n n n n n n n n a a x y x y x x y y +++++-=-=--=，从而13n n x x +-=，10n n y y +-=.数列{}n x 是以1为首项，公差为3的等差数列，从而32n x n =-.数列{}n y 是常数列，1n y =.由12n n b b +=得12n n m m +=，12n n k k +=，又11m =，13k =，∴数列{}n m 是以1为首项，公比为2的等比数列；数列{}n k 是以3为首项，公比为2的等比数列，从而有12n n m -=，132n n k -=⋅.……10分令211122114272(32)2n n n n S x m x m x m n -=+++=⨯+⨯+⨯++-⨯………①①-②得，23113(2222)(32)2n n n S n --=+++++--⋅，得5(35)2n n S n =+-⨯令11223(12)3(21)12n n n n n T y k y k y k ⋅-=+++==⋅--从而1122(32)22n n n n n a b a b a b S T n ⋅+⋅++⋅=+=-⋅+………………14分20、（16分解：（1）由点(,)M m n 在椭圆C 上，有，∴(,)M m n 在直线上 当0n =时，由，得22m =，直线方程为，代入椭圆方程得，得一个交点，直线l 是椭圆C 切线.当0n ≠时，有，直线为代入椭圆方程得，有222214(1)2202m n m n ∆=-⨯-=+-=，直线是椭圆C 切线.…………………4分另解：不讨论将椭圆方程化为，将直线方程代入消y ，得到x 的一元二次方程，然后证明0∆=第 7 页（2）点(,)M m n 不在坐标轴上，:AM y x =+，得. :BM y x =-，得……………………6分过点(,)M m n 的切线为，得.由，得2222m n -=-，从而有24222P Q D n y y y m n-+====-，∴点D 是线段PQ 的中点.…9分（3）(,)M m n ,,l 的方向向量(2,)d n m =-，.1(1,0）F -，2(1,0）F ，1(1,)MF m n =---，2(1,)MF m n =--，记d 及1MF 的夹角α，d 及2MF 的夹角β.………12分所以cos cos αβ=，有αβ=，从而有l 及直线1MF ，2MF 所成的夹角相等.……16分21、（18分）解：(1)由3((022a a -+--≤，得 ………………3分（2）设21x x > ，212112212133332121()[1()]()()11(1)(1)x x x x x x x x g x g x x x x x -++-=-=---- 当 时，210x x -> ，3210x -> ，3110x ->，，122x x -<+，有12122()1x x x x -<+<-，121211()0x x x x -<++<，∴ 21()()0g x g x -<.………………6分当 时，210x x -> ，3210x -> ，3110x ->，，120x x +<，有12121()0x x x x -<+≤，121201()1x x x x <++≤，∴ 21()()0g x g x ->.当1201x x ≤<<时，210x x -> ，3210x -> ，3110x ->，x x x x ++>12121()0，∴ 21()()0g x g x ->. ∴ ()g x 在递减，在与[0,1)上递增，从而在上递增 (10)分(3)充分性：当时，有3(022222a f a a -=---=--≤，又(1)10f =>，函数3f x ax x a=+-在内的图像连续不断，故在内一定存在零点q且1()q<，∴有30=+++++.……14分a q q q q-aq q a+-=，得，从而4732n必要性：当0q=时，0a=.当0q≠时，由4732n-<<从而得11q11a q q q q-=+++++成立，可得3-<<，，q由（2）中的结论可知在递减，在递增，从而，或 .从而，11-<<时，有.………………18分q第8 页。
目录 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ２１． 虹口 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ３２． 黄浦 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ４３． 杨浦 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ５４． 奉贤 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ６５． 长宁金山青浦 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ７６． 浦东 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ８７． 闵行 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ９８． 普陀 ９． 徐汇 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． １０ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． １１１０． 静安 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． １２１１． 崇明 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． １３１２． 松江 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． １３１３． 嘉定 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． １４１４． 宝山 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． １６１５奉贤区： ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． １８１６普陀区： ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． １９１７杨浦区： ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ２０１８闵行区 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ２２１９黄浦区 ２０宝山区 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ２３ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ２５２１浦东新区 2017年上海市高三二模数学填选难题解析2017-4-251. 虹口11. 在直角△ABC 中，2A π∠=，1AB =，2AC =，M 是△ABC 内一点，且12AM =， 若AM AB AC λµ=+ ，则2λµ+的最大值为【解析】将直角三角形放入直角坐标系中，问题可以简化，(0,0)A 、(0,1)B 、(2,0)C 、(cos ,sin )M θθ(0,)2πθ∈，11(cos ,sin )22AM θθ= ，AB AC λµ+(0,1)(2,0)(2,)λµµλ=+=，112sin cos )22242πλµθθθ+=+=+≤. 12. 无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意的正整数n 都有12310{,,,,}n S k k k k ∈ ，则10a 的可能取值最多．．有 个 【解析】若910S S =，100a =；若910S S ≠，在12310{,,,,}k k k k 中有序任取2个作为9S 和10S ，10109a S S =−，有21090P =种取法；所以综上最多有91个16. 已知点(,)M a b 与点(0,1)N −在直线3450x y −+=的两侧，给出以下结论： ①3450x y −+>；② 当0a >时，a b +有最小值，无最大值；③ 221a b +>； ④ 当0a >且1a ≠时，11b a +−的取值范围是93(,)(,)44−∞−+∞ . 正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【解析】① ∵将(0,1)N −代入304(1)50×−×−+>，∴将(,)M a b 代入3450x y −+<；② ∵(,)M a b 取不 到点5(0,)4，∴没有最小值；③ ||MO 大于点O 到直线3450x y −+=的距离1d =，∴221a b +>；④ 可 看作点(,)M a b 与点(1,1)−连线的斜率，数形结合可知 斜率范围为93(,)(,)44−∞−+∞ ；③④正确，选B2. 黄浦11. 三棱锥P ABC −满足：AB AC ⊥，AB AP ⊥，2AB =，4AP AC +=，则该三棱锥的体积V 的取值范围是 【解析】1233APC APC V S AB S ∆∆=⋅⋅=，12APC S AC AP ∆≤⋅⋅∵4AP AC +=≥，∴4AC AP ⋅≤，122APC S AC AP ∆≤⋅⋅≤，∴4(0,]3V ∈12. 对于数列{}n a ，若存在正整数T ，对于任意正整数n 都有n T n a a +=成立，则称数列{}n a 是以T 为周期的周期数列，设1b m =(01)m <<，对任意正整数n 有11,11,01n n n n nb b b b b +−> = <≤ ， 若数列{}n b 是以5为周期的周期数列，则m 的值可以是（只要求填写满足条件的一个m 值即可） 【解析】1b m =，21b m =，311b m=−. 观察可得12m =不符 （1）当1(0,)2m ∈，412b m=−；（2）当1(,1)2m ∈，41m b m =−； ① 1(0,)3m ∈，513b m =−； ② 11[,)32m ∈，512m b m =−；③ 1(,1)2m ∈，5211m b m −=−； a. 当1(0,)4m ∈，614b m =−；614b m m=−=，解得2m ，舍去负值 b. 当11[,)43m ∈，613m b m m ==−，解得0m =，舍去 c. 当11[,)32m ∈，63112m b m m −==−，解得12m −=，舍去负值 d. 当12(,]23m ∈，6121m b m m −==−，解得m =，舍去 e. 当2(,1)3m ∈，6321m b m m−==−，解得1m −，舍去负值综上，2m =−或m =1m =16. 如图所示，23BAC π∠=，圆M 与AB 、AC 分别相切于点D 、E ，1AD =，点P 是圆M 及其内部任意一点，且AP xAD y AE =+ (,)x y R ∈，则x y +取值范围是（ ）A. [1,4+B. [4−+C. [1,2+D. [2+【解析】如图所示，当P 点位于右图位置时，x y +最大，此时2MA =，MD MP ==2AP AH AG ===，∴2x y ==，4x y +=+P 位于线段MA与M 的交点时，可得最小值4x y +=−，综上，选B.3. 杨浦11. 已知0a >，0b >，当21(4)a b ab++取到最小值时，b = 【解析】2221111(4)16888168a b a b ab ab ab ab ab ab ab ab++=+++≥++=+≥， 当1164ab ab ==且4a b =时等号成立，即1a =，14b = 12. 设函数()||||a f x x x a +−，当a 在实数范围内变化时，在圆盘221x y +≤内，且不在任一()a f x 的图像上的点的全体组成的图形的面积为【解析】根据题意，()||||||a f a a a a a +−，即当a 在实数范围内变化时，图像一个分段点为(,||)a a ，该点轨迹为||y x =，∴结合图像可得图像面积为34π16. 对于定义在R 上的函数()f x ，若存在正常数a 、b ，使得()()f x a f x b +≤+对一切x R ∈均成立，则称()f x 是“控制增长函数”，在以下四个函数中：① 2()1f x x x =++；② ()f x =；③ 2()sin()f x x =；④ ()sin f x x x =⋅. 是“控制增长函数”的有（ ）A. ②③B. ③④C. ②③④D. ①②④【解析】① 2()()2f x a f x a x a a R +−=++∈，不成立；② 存在1a =，1b =，使得不等式(1)()1f x f x +−≤恒成立；③ 存在2b =，使得()()2f x a f x +−≤恒成立；③ 存在 存在2a π=，2b π=，使得(2)()(2)sin(2)sin 2sin 2f x f x x x x x x πππππ+−=++−=≤ 恒成立；故选C.4. 奉贤11. 已知实数x 、y 满足方程22(1)(1)1x a y −++−=，当0y b ≤≤()b R ∈时，由此方程 可以确定一个偶函数()y f x =，则抛物线212y x =−的焦点F 到点(,)a b 的轨迹上点的距离 最大值为【解析】根据题意，∵偶函数，∴1a =，∵是一个函数，∴[0,1]b ∈，即点(,)a b 的轨迹是一条线段，抛物线的焦点1(0,)2F −，数形结合可知，焦点F 到(1,1)12. 设1x 、2x 、3x 、4x 为自然数1、2、3、4的一个全排列，且满足 1234|1||2||3||4|6x x x x −+−+−+−=，则这样的排列有 个【解析】若11x =，2x 、3x 、4x 共有6种排列，一一代入，没有符合的情况； 若12x =，2x 、3x 、4x 有6种排列，符合情况的有2431、2413、2341三种排列； 若13x =，2x 、3x 、4x 有6种排列，符合情况的有3142、3241两种排列；若14x =，2x 、3x 、4x 有6种排列，符合情况的有4123、4132、4213、4231四种排列； 综上，符合条件的排列共有9个16. 如图，在△ABC 中，BC a =，AC b =，AB c =，O 是△ABC 的外心，OD BC ⊥ 于D ，OE AC ⊥于E ，OF AB ⊥于F ，则::OD OE OF 等于（ ）A. ::a b cB. 111::a b cC. sin :sin :sin A B CD. cos :cos :cos A B C【解析】如右图所示，::::cos 1:cos 2:cos 3OD OE OF OD OE OF OB OC OA==∠∠∠，根据圆 的性质，112BOC A ∠=∠=∠，同理2B ∠=∠，3C ∠=∠，故选D5. 长宁金山青浦11. 已知函数()||f x x x a =−，若对任意1[2,3]x ∈，2[2,3]x ∈，12x x ≠，恒有 1212()()()22x x f x f x f ++>，则实数a 的取值范围为【解析】根据题意，()||f x x x a =−在[2,3]上为上凸函数（图像上表现为在[2,3]上的函数 图象在两区间端点连线的上方），数形结合可得3a ≥12. 对于给定的实数0k >，函数()k f x x=的图像上总存在点C ，使得以C 为圆心，1为半 径的圆上有两个不同的点到原点O 的距离为1，则k 的取值范围是【解析】根据题意，即函数图像上至少有一点到原点的距离小于2，∵2222k x k x+≥，2<，解得(0,2)k ∈. 或者数形结合，这个距离原点最近的点在y x =上，代入2<，解得(0,2)k ∈.16. 设1x 、2x 、…、10x 为1、2、…、10的一个排列，则满足对任意正整数m 、n ，且 110m n ≤<≤，都有m n x m x n +≤+成立的不同排列的个数为（ ）A. 512B. 256C. 255D. 64【解析】直接思考这个问题会有难度，我们可以改变一些条件，试着从简单开始① 比如前9个数字固定排列为1、2、3、4、5、6、7、8、9，那么最后一个数字只能是10， 这时候符合条件的排列个数为1；② 放宽条件，比如前8个数字固定排列为1、2、3、4、5、6、7、8，那么最后2个数字可 以是9、10，也可以是10、9，符合条件的排列个数为2；③ 再放宽条件，比如前7个数字固定排列为1、2、3、4、5、6、7，那么最后3个数字可 以是8、9、10，或8、10、9，或9、8、10，或10、9、8，符合条件的排列个数为4； ……，继续放宽条件，当前6个数字固定排列为1、2、3、4、5、6时，符合的有8个； 规律出来了，以此类推下去，……，当前2个数字固定为1、2时，符合的有72个， 当第一个数字固定为1时，符合的有82个，当这列数全排列时，符合的有92个.6. 浦东11. 已知各项均为正数的数列{}n a 满足11(2)(1)0n n n n a a a a ++−−=*()n N ∈，且110a a =， 则首项1a 所有可能取值中最大值为【解析】根据题意，112n n a a +=或11n na a +=，取极端情况，1982a a =，81019112a a a a === ∴2812a =，41216a ==.12. 已知平面上三个不同的单位向量a 、b 、c 满足12a b b c ⋅=⋅=，若e 为平面内的任意单 位向量，则||2||3||a e b e c e ⋅+⋅+⋅ 的最大值为【解析】如图构造，1()2a ，(0,1)b =，1)2c = ， 设(cos ,sin )e θθ= ，根据题意，||2||3||a e b e c e ⋅+⋅+⋅=11sin |2|sin |3|sin |22θθθθθ−+++，要取得最大，∴||2||3||3sin a e b e c e θθ⋅+⋅+⋅=+≤.16. 已知等比数列1a 、2a 、3a 、4a 满足)1,0(1∈a ，)2,1(2∈a ，)4,2(3∈a ，则4a 的取值 范围是（ ）A. (3,8)B. (2,16)C. (4,8)D. 【解析】33221(1,4)a q a a a ==⋅∈，233111(2,)a q a a a ==⋅∈+∞，综上，q ∈，∴43a a q =⋅∈，故选D.7. 闵行11. 已知定点(1,1)A ，动点P 在圆221x y +=上，点P 关于直线y x =的对称点为P ′，向量 AQ OP ′= ，O 是坐标原点，则||PQ 的取值范围是【解析】设(cos ,sin )P θθ′，∵OQ OA AQ OA OP ′=+=+ ，∴Q 坐标为(cos 1,sin 1)θθ++，∵(sin ,cos )P θθ，∴222||(cos 1sin )(sin 1cos )PQ θθθθ=+−++−22(sin cos )242sin 2[2,6]θθθ=−+=−∈∴||PQ的取值范围是.12. 已知递增数列{}n a 共有2017项，且各项均不为零，20171a =，如果从{}n a 中任取两项 i a 、j a ，当i j <时，j i a a −仍是数列{}n a 中的项，则数列{}n a 的各项和2017S =【解析】∵递增，∴1232017a a a a <<<⋅⋅⋅<，∵当i j <时，j i a a −仍是数列{}n a 中的项， ∴213141201710a a a a a a a a <−<−<−<⋅⋅⋅<−，且1j a a −都是数列{}n a 中的项， ∴201712016a a a −=、201612015a a a −=、…、211a a a −=，∴{}n a 是首项为1a ，公差为1a 的等差数列，根据201711201620171a a d a =+==，可得112017a d ==，∴20171009S =.16. 设函数()y f x =的定义域是R ，对于以下四个命题：① 若()y f x =是奇函数，则(())y f f x =也是奇函数；② 若()y f x =是周期函数，则(())y f f x =也是周期函数；③ 若()y f x =是单调递减函数，则(())y f f x =也是单调递减函数；④ 若函数()y f x =存在反函数1()y f x −=，且函数1()()y f x f x −=−有零点，则函数()y f x x =−也有零点.其中正确的命题共有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【解析】① ∵()y f x =是奇函数，∴()()f x f x −=−，∴(())(())(())f f x f f x f f x −=−=−，∴①正确；②()()f x T f x +=，(())(())f f x T f f x +=，②正确；③ 当x 增大，()f x 减小，(())f f x 增大，∴③错误；④ 反例如图所示，④错误；故①②正确，选B.8. 普陀11. 设0a <，若不等式22sin (1)cos 10x a x a +−+−≥对于任意的R x ∈恒成立，则a 的 取值范围是【解析】由22sin (1)cos 10x a x a +−+−≥得22cos (1)cos 0x a x a −+−+≥，设cos t x =， 即22()(1)0f t t a t a =+−−≤对[1,1]t ∈−恒成立，∴22(1)40a a ∆=−+>，2(1)110f a a −=+−−≤，2(1)110f a a =+−−≤，0a <，综上解得2a ≤−.12. 在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，M 是直线DE 上的动点. 若△ABC 的面积为1，则2MB MC BC ⋅+ 的最小值为【解析】取BC 中点F ，12MB MF FB MF BC =+=− ， 12MC MF FC MF BC =+=+ ，∴2MB MC BC ⋅+= 2222213||||44MF BC BC MF BC MF BC −+=+≥⋅∵11||||22MBC MF BC S ∆⋅≥= ，即||||1MF BC ⋅≥ ，∴2MB MC BC ⋅+≥ .16. 关于函数2sin y x =的判断，正确的是（ ）A. 最小正周期为2π，值域为[1,1]−，在区间[,]22ππ−上是单调减函数 B. 最小正周期为π，值域为[1,1]−，在区间[0,]2π上是单调减函数 C. 最小正周期为π，值域为[0,1]，在区间[0,]2π上是单调增函数 D. 最小正周期为2π，值域为[0,1]，在区间[,]22ππ−上是单调增函数 【解析】21cos 2sin 2x yx −=，T π=，排除A 、D ，2sin 0y x =≥，排除B ，故选C. 9. 徐汇11. 如图：在△ABC 中，M 为BC 上不同于B 、C 的任意一点，点N 满足2AN NM = ，若AN xAB y AC =+ ，则229x y +的最小值为 【解析】23AN xAB y AC AM =+= ，∴3322AM xAB y AC =+ ，∵B 、M 、C 三点共 线，∴33122x y +=，即23x y +=，∴222222299()1012435x y x x x x +=+−=−+≥. 12. 设单调函数()y p x =的定义域为D ，值域为A ，如果单调函数()y q x =使得函数(())y p q x =的值域也是A ，则称函数()y q x =是函数()y p x =的一个“保值域函数”，已 知定义域为[,]a b 的函数2()|3|h x x =−，函数()f x 与()g x 互为反函数，且()h x 是()f x 的 一个“保值域函数”， ()g x 是()h x 的一个“保值域函数”，则b a −=【解析】∵()f x 、()g x 、()h x 都是单调函数，且根据题意，(())f h x 与()f x 值域相同，(())h g x 与()h x 值域相同，∴()[,]g x a b ∈，∵()f x 与()g x 互为反函数，∴()f x 定义域为[,]a b ，∴()[,]h x a b ∈，∴()h x 的定义域和值域均为[,]a b ，根据数形结合，a 、b 为 23x x=−两解，∴1a =，2b =，1b a −=.16. 过椭圆2214x y m m +=−(4)m >右焦点F 的圆与圆22:1O x y +=外切，则该圆直径FQ 的端点Q 的轨迹是（ ）A. 一条射线B. 两条射线C. 双曲线的一支D. 抛物线 【解析】数形结合，设椭圆左焦点为F ′，FQ 中点为P ，联结OP 、F Q ′，∴OP 是中位线， ∴2()2()2F Q FQ PO PF PO PA ′−=−=−=， 这符合双曲线的定义，故选C.10. 静安10. 若适合不等式2|4||3|5x x k x −++−≤的x 最大值为3，则实数k 的值为【解析】当3x =时，2|4||3|5x x k x −++−=，即|3|5k −=，∴8k =，2k =−. ① 当8k =，2|48||3|5x x x −++−≤，即243|3|0x x x −++−≤，若3x >， 则230x x −≤，得03x ≤≤，不符，若3x ≤，2560x x −+≤，解得23x ≤≤， ∴8k =时，不等式的解为23x ≤≤，符合题意.② 当2k =−，2|42||3|5x x x −−+−≤，找个反例即可，4x =符合不等式，但大于3， ∴2k =−不符，综上，8k =. 11. 已知1()1xf x x−=+，数列{}n a 满足112a =，对于任意*n N ∈都满足2()n n a f a +=，且0n a >，若2018a a =，则20162017a a += 【解析】∵2018a a =，∴18181811a a a −=+，解得20181a a ==，同理22242016a a a ==⋅⋅⋅=1=−. 根据112a =，∴313a =，∴512a =，713a =，…，可归纳出4112k a +=，4313k a += ∴20174504112a a ×+==，∴20162017a a +11122−+=−15. 曲线C 为：到两定点(2,0)M −、(2,0)N 的距离乘积为常数16的动点P 的轨迹，以下 结论： ① 曲线C 经过原点；② 曲线C 关于x 轴对称，但不关于y 轴对称；③ △MPN 的面积不大于8；④ 曲线C 在一个面积为60的矩形范围内. 其中正确的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【解析】① 设原点为O ，22416OM ON ⋅=×=≠，∴不经过原点；② 列出轨迹的表达16=，可知若点(,)P x y 在曲线上，代入1(,)P x y −、 2(,)P x y −、3(,)P x y −−，方程均成立，∴既关于x 轴对称，也关于y 轴对称，关于原点对称； ③ 11sin 822SPM PN P PM PN =⋅⋅∠≤⋅=；④ 当0x =时，y =±，当0y =时，x =±，由点(±±构成的矩形面积为60>；∴只有③正确，故选B.【附】16= 的精确图像11. 崇明11. 已知函数22sin(),0()3cos(),0x x x f x x x x πα ++> = −++<，[0,2)απ∈是奇函数，则α= 【解析】当0x >，则0x −<，∵()()f x f x −=−，∴2()cos()f x x x α−=−+−+，2()sin()3f x x x π−=−−+，∴5cos()sin()sin()cos()336x x x x πππα−+=−+=−−=+， 即5cos()cos()6x x πα−=+在定义域上恒成立，∴526k παπ=−+，∴76πα=. 12. 已知△ABC是边长为PQ 为△ABC 外接圆O 的一条直径，M 为 △ABC 边长的动点，则PM MQ ⋅的最大值是【解析】()()PM MQ PO OM MO OQ ⋅=+⋅+22()()PO OM PO OM PO OM =+⋅−=− ，∵边长为O 半径为2，即24PM MQ OM ⋅=− ，OM 最小值为1 即PM MQ ⋅的最大值是316. 设函数()x x x f x a b c =+−，其中0c a >>，0c b >>，若a 、b 、c 是△ABC 的三条 边长，则下列结论：① 对于一切(,1)x ∈−∞都有()0f x >；② 存在0x >使x xa 、x b 、x c 不能构成一个三角形的三边长；③ 若△ABC 为钝角三角形，存在(1,2)x ∈，使()0f x =. 其中正确的个数为（ ）A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个 【解析】① ()[()()1]x x x ab f xc c c =+−，设()()()1x x a b g x cc =+−，可知(0,1)ac∈，(0,1)b c ∈，∴()g x 单调递减，当1x <，()(1)10a bg x g c c>=+−>，∴()0f x >，正确； ② 举反例，令2a =，3b =，4c =，存在3x =，3333234⋅+<，不能构成三角形； ③ △ABC 为钝角三角形，∴2220a b c +−<，即(2)0f <，∵0a b c +−>，即(1)0f >， ∴()f x 在(1,2)上必有零点，正确. 综上所述，正确个数为3个，选A.12. 松江11. 如图同心圆中，大、小圆的半径分别为2和1，点P 在大圆上，PA 与小圆相切于点A ，Q 为小圆上的点，则PA PQ ⋅的取值范围是【解析】结合向量数量积的几何意义，PA PQ ⋅ 等于||PA 乘以PQ 在PA方向上的投影，∵2OP =，1OA =，∴||PA =PA PQ PA PB ⋅=⋅=1)3+=+，如右图，投影最小，1)3PA PQ PA PC ⋅=⋅−=−∴取值范围为[3. 12题、16题同闵行12题、16题13. 嘉定11. 设等差数列{}n a 的各项都是正数，前n 项和为n S ，公差为d . 若数列也是公差 为d 的等差数列，则}{n a 的通项公式为n a =【解析】1(1)2nn n S na d −=+，也是等差数列，∴22n dS n ==，d =，∴12d =或0（舍），1124d a ==，∴124n n a =−. 12. 设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数（如[2.32]2=，[ 4.76]5−=−），对于给定 的*n ∈N ，定义(1)([]1)(1)([]1)x n n n n x C x x x x −−+=−−+ ，其中[1,)x ∈+∞，则当3[,3)2x ∈时，函数xC x f 10)(=的值域是 【解析】当3[,2)2x ∈，[]1x =，101020(5,]3xC x =∈；当[2,3)x ∈，[]2x =，1090(1)xC x x =−， (1)[2,6)x x −∈，∴90(15,45](1)x x ∈−；综上，值域为20(5,](15,45]3.16. 已知()f x 是偶函数，且()f x 在[0,)+∞上是增函数，若(1)(2)f ax f x +≤−在1[,1]2x ∈上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. [2,1]−B. [2,0]−C. [1,1]−D. [1,0]− 【解析】由题得，|1|2ax x +≤−在1[,1]2x ∈时恒成立，设()|1|g x ax =+，()2h x x =−，()g x 恒过定点(0,1)， 数形结合可知，只需满足(1)(1)g h ≤，即|1|1a +≤， ∴[2,0]a ∈−，故选B.14. 宝山11. 设向量(,)m x y = ，(,)n x y =− ，P 为曲线1m n ⋅=(0)x >上的一个动点，若点P 到直 线10x y −+=的距离大于λ恒成立，则实数λ的最大值为【解析】1m n ⋅= 即221x y −=(0)x >，根据题意，实数λ的最大值即直线1y x =+与一条渐近线y x =之间的距离，∴d =，即λ最大值为2.12题同长宁16题15. 如图，在同一平面内，点P 位于两平行直线1l 、2l 两侧，且P 到1l 、2l 距离分别为1、3，点M 、N 分别在1l 、2l 上，||8PM PN += ，则PM PN ⋅ 的最大值为（ ）A. 15B. 12C. 10D. 9【解析】取MN 中点O ，222()()16PM PN PO OM PO ON PO OM OM ⋅=+⋅+=−=− ，∵1l 、2l 之间距离为2，∴2OM 最小值为1，即PM PN ⋅的最大值为15，选A.16. 若存在t R ∈与正数m ，使()()F t m F t m −=+成立，则称“函数()F x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”，设2()x f x xλ+=(0)x >，若对于任意t ∈，总存在正数m ，使得“函数()f x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”，则实数λ取值范围是（ ） A. (0,2] B. (1,2] C. [1,2] D. [1,4] 【解析】()()f t m f t m +=−，∴t m t m t mt mλλ++=−++−，2mt mt mλλ=−−+，化简得：22t m λ=−，即220m t λ=−>恒成立，2t λ<，∴02λ<≤，选A. 本题如果理解了题意，可以从图像角度秒解如图所示，A 、B 为两对称点， 满足()()f t m f t m +=−，线段AB 中垂线为x t =t < 即2t λ<，∴02λ<≤15奉贤区：11、已知实数y x ,满足方程1)1(122=−++−y a x ）（，当)(0R b b y ∈≤≤时，由此方程可以确定一个偶函数，则抛物线221x y −=的焦点F 到点),(b a 的轨迹上点的距离最大值为 .解析：根据偶函数的对称性很容易得出：10−=a ，1=a ；根据函数的概念容易得出：[]0,1∈b ，很容易求出结果。
2017年上海市虹口区高三二模数学试卷一、填空题（共12小题；共60分）1. 集合，，则．2. 复数所对应的点在复平面内位于第象限．3. 已知首项为，公差为的等差数列，其前项和为，则．4. 若方程组无解，则实数．5. 若的二项展开式中，含项的系数为，则实数．6. 已知双曲线，它的渐近线方程是，则的值为．7. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且三边长分别为，，，则．8. 在平面直角坐标系中，已知点，对于任意不全为零的实数，，直线，若点到直线的距离为，则的取值范围是．9. 函数，如果方程有四个不同的实数解，，，，则．10. 三条侧棱两两垂直的正三棱锥，其俯视图如图所示，主视图的边界是底边长为的等腰三角形，则主视图的面积等于．11. 在直角中，，，，是内一点，且，若，则的最大值．12. 无穷数列的前项和为，若对任意的正整数都有，则的可能取值最多有个．二、选择题（共4小题；共20分）13. 已知，，是实数，则“，，成等比数列”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件14. ，是空间两条直线，是平面，以下结论正确的是A. 如果，，则一定有B. 如果，，则一定有C. 如果，，则一定有D. 如果，，则一定有15. 已知函数，，且，，，则的值A. 一定等于零B. 一定大于零C. 一定小于零D. 正负都有可能16. 已知点与点在直线的两侧，给出以下结论：①；②当时，有最小值，无最大值；③；④当且时，的取值范围是．正确的个数是A. B. C. D.三、解答题（共5小题；共65分）17. 如图是直三棱柱，底面是等腰直角三角形，且，直三棱柱的高等于，线段的中点为，线段的中点为，线段的中点为．（1）求异面直线，所成角的大小；（2）求三棱锥的体积．18. 已知定义在上的函数是奇函数，且当时，．（1）求在区间上的解析式；（2）当实数为何值时，关于的方程在有解．19. 已知数列是首项等于且公比不为的等比数列，是它的前项和，满足．（1）求数列的通项公式；（2）设（且），求数列的前项和的最值．20. 已知椭圆，定义椭圆上的点的“伴随点”为．（1）求椭圆上的点的“伴随点”的轨迹方程；（2）如果椭圆上的点的“伴随点”为，对于椭圆上的任意点及它的“伴随点”，求的取值范围；（3）当，时，直线交椭圆于，两点，若点，的“伴随点”分别是，，且以为直径的圆经过坐标原点，求的面积．21. 对于定义域为的函数，部分与的对应关系如表：（1）求；（2）数列满足，且对任意，点都在函数的图象上，求；（3）若，其中，，，，求此函数的解析式，并求．答案第一部分1.【解析】因为，，所以．2. 四【解析】复数所对应的点在复平面内位于第四象限．3.【解析】由题意，，，所以．4.【解析】根据题意，方程组无解，则直线与直线平行，则有，且，即，，解得．5.【解析】的二项展开式的通项公式：，令，则，解得．6.【解析】根据题意，双曲线的方程为：，其焦点在轴上，其渐近线方程为：，又有其渐近线方程是，则有．7.【解析】在中，因为，，，所以，，，，所以．8.【解析】由题意，直线过定点，时，取得最大值，直线过时，取得最小值，所以的取值范围是．9.【解析】作出函数的图象，方程有四个不同的实数解，等价为和的图象有个交点，不妨设它们交点的横坐标为，，，，且，由，关于原点对称，，关于对称，可得，，则．10.【解析】由题意，正三棱锥的三个侧面都是等腰直角三角形，（如图：，，）且，根据俯视图可得，底面是边长为的等边三角形．其面积，设主视图的高，则．所以．因为主视图的边界是底边长为的等腰三角形，其高为．所以主视图的面积．11.【解析】如图建立平面直角坐标系，则，，，，因为，所以，所以，，所以，所以当时，取得最大值．12.【解析】，而，若，则有个可能取值，若，则有，只有个取值，根据分类计数原理可得，共有个可能取值．第二部分13. A 【解析】若，，成等比数列，则成立，若，满足，但，，不能成等比数列，故“，，成等比数列”是“”的充分不必要条件．14. D 【解析】若，，则有或与相交或与异面，故 A 错误；如果，，则有或，故B，C 错误；如果，则垂直内的所有直线，又，过与相交的平面交于，则，所以，故 D 正确．15. B【解析】函数，定义域为，因为，所以函数是奇函数，因为与都是增函数，所以函数是增函数，因为，，，所以，，，所以，，，所以，，，三式相加得：．16. B 【解析】因为点与点在直线的两侧，所以，即，故①错误；因为，所以，所以当时，，所以既无最小值，也无最大值，故②错误；表示点到原点的距离的平方，易知点和原点在直线的两侧，又因为原点到直线的距离，所以，故③正确；当且时，表示点与连线的斜率．因为当，时，，又直线的斜率为，结合图象，可得的取值范围为，故④正确．所以正确命题的个数是个．第三部分17. （1）以为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．依题意有，，，，所以，．设异面直线，所成角为，则，所以，即异面直线，所成角的大小为．（2）连接，，，，因为，，所以，又因为，分别为，的中点，所以，，所以，因为为线段的中点，且，所以，又面，平面，所以，因为，平面，平面，所以面，所以，所以三棱锥的体积为．18. （1）设，则，因为是奇函数，所以，所以．（2）设，令，则，而．因为，所以，从而，所以在上的取值范围是．又设，则，由此函数是奇函数得，因为，所以．综上所述，的值域为，所以的取值范围是．19. （1）因为，，所以，整理得，解得或（舍去）．所以．（2）因为．所以数列是以为公差，以为首项的等差数列，所以．）当时，有，数列是以为公差，以为首项的等差数列，所以是递增数列，所以没有最大值．由，得，所以．）当时，有，数列是以为公差的等差数列，所以是首项为正的递减等差数列，所以没有最小值．令，得，．20. （1）设，由题意则又，所以，从而得．（2）由，得．又，得．因为点在椭圆上，所以，所以，且．所以，因为，所以的取值范围是．（3）设，，则，；）当直线的斜率存在时，设方程为，由得；则由以为直径的圆经过坐标原点可得：，即；整理得：将式代入式得：，，则，，又点到直线的距离，所以．）当直线的斜率不存在时，设方程为，联立椭圆方程得；代入，得，解得，从而，此时原点到的距离，，故，综上：的面积是定值．21. （1）根据表中的数据：．（2）由题意，，点都在函数的图象上，即，所以，，，，所以，所以数列是周期为的周期数列，且，故得：．（3）由题意得由得：，化简得．又因为，所以．所以，因为，所以，从而有即所以．所以．，，因为，所以．所以．此函数的最小正周期，所以，所以，所以①当时，②当时，第11页（共11 页）。
宝山2017二模一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.若集合{}|0A x x =>，{}|1B x x =<，则A B ⋂=____________2.已知复数z1z i ⋅=+（i 为虚数单位），则z =____________ 3.函数()sin cos cos sin x x f x x x=的最小正周期是____________4.已知双曲线()2221081x y a a -=>的一条渐近线方程3y x =，则a =____________ 5.若圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形，则圆柱的体积为____________6.已知,x y 满足0220x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最大值是____________7.直线12x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）与曲线3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的交点个数是____________8.已知函数()()()220log 01xx f x x x ⎧≤⎪=⎨<≤⎪⎩的反函数是()1f x -，则12f -1⎛⎫= ⎪⎝⎭____________9.设多项式()()()()23*11110,nx x x x x n N ++++++++≠∈的展开式中x 项的系数为n T ，则2limnn T n →∞=____________10.生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生的概率分别为0.01和p ，每道工序产生废品相互独立，若经过两道工序得到的零件不是废品的概率是0.9603，则p =____________11.设向量()(),,,m x y n x y ==-，P 为曲线()10m n x ⋅=>上的一个动点，若点P 到直线10x y -+=的距离大于λ恒成立，则实数λ的最大值为____________12.设1210,,,x x x 为1,2,,10的一个排列，则满足对任意正整数,m n ，且110m n ≤<≤，都有m n x m x n +≤+成立的不同排列的个数为____________二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.设,a b R ∈，则“4a b +>”是“1a >且3b >”的（ ） A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件14.如图，P 为正方体1111ABCD A B C D -中1AC 与1BD 的交点，则PAC 在该正方体各个面上的射影可能是（ ）A. ①②③④B.①③C. ①④D.②④15.如图，在同一平面内，点P 位于两平行直线12,l l 同侧，且P 到12,l l 的距离分别为1，3.点,M N 分别在12,l l 上，8PM PN +=，则PM PN ⋅的最大值为（ ）A. 15B. 12C. 10D. 916.若存在t R ∈与正数m ，使()()F t m F t m -=+成立，则称“函数()F x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”，设()()20x f x x xλ+=>，若对于任意()2,6t ∈，总存在正数m ，使得“函数()f x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”，则实数λ的取值范围是（ ）A. (]0,2B. (]1,2C. []1,2D. []1,4三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是线段BC 、1CD 的中点. （1）求异面直线EF 与1AA 所成角的大小； （2）求直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小.18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知抛物线()220y px p =>，其准线方程为10x +=，直线l 过点()(),00T t t >且与抛物线交于A 、B 两点，O 为坐标原点.（1）求抛物线方程，并证明：OA OB ⋅的值与直线l 倾斜角的大小无关； （2）若P 为抛物线上的动点，记PT 的最小值为函数()d t ，求()d t 的解析式.19.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）对于定义域为D 的函数()y f x =，如果存在区间[](),m n D m n ⊆<，同时满足：①()f x 在[],m n 内是单调函数；②当定义域是[],m n 时，()f x 的值域也是[],m n 则称函数()f x 是区间[],m n 上的“保值函数”.（1）求证：函数()22g x x x =-不是定义域[]0,1上的“保值函数”；（2）已知()()2112,0f x a R a a a x=+-∈≠是区间[],m n 上的“保值函数”，求a 的取值范围.20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）数列{}n a 中，已知()12121,,n n n a a a a k a a ++===+对任意*n N ∈都成立，数列{}n a 的前n 项和为n S .（这里,a k 均为实数） （1）若{}n a 是等差数列，求k ； （2）若11,2a k ==-，求n S ; （3）是否存在实数k ，使数列{}n a 是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项12,,m m m a a a ++按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k 的值；若不存在，请说明理由.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）设T,R 若存在常数0M >，使得对任意t T ∈，均有t M ≤，则称T 为有界集合，同时称M 为集合T 的上界.（1）设121|,21x xA y y x R ⎧⎫-==∈⎨⎬+⎩⎭、21|sin 2A x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，试判断1A 、2A 是否为有界集合，并说明理由；（2）已知()2f x x u =+，记()()()()()()11,2,3,n n f x f x f x f f x n -===.若m R ∈，1,4u ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，且(){}*|n B f m n N =∈为有界集合，求u 的值及m 的取值范围；（3）设a 、b 、c 均为正数，将()2a b -、()2b c -、()2c a -中的最小数记为d ，是否存在正数()0,1λ∈，使得λ为有界集合222{|,dC y y a b c ==++a 、b 、c 均为正数}的上界，若存在，试求λ的最小值；若不存在，请说明理由.宝山区答案1.(0,1)2.13. π4.35. 5.16. 37. 28. 19.1210. 0.03 11.212.512 13. B14. C15.A16.A17. （1） （2）arctan 218.（1）24y x =，证明略（2）2)(t),(0t 2)d t ⎧≥⎪=⎨<<⎪⎩19. （1）证明略（2）12a或32a 20. （1）12k =（2）2(21,),(2,)n n n k k N S n n k k N **⎧-=-∈=⎨=∈⎩ （3）25k =-21.（1）1A 为有界集合，上界为1；2A 不是有界集合 （2）14u =，11,22m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ （3）15λ=解析：（2）设()()011,,,1,2,3,...n n a m a f m a f a n -====，则()n n a f m =∵()2114a f m m u ==+≥，则222111111024a a a a u a u ⎛⎫-=-+=-+-≥ ⎪⎝⎭且211111024n n n n n a a a u a a ---⎛⎫-=-+-≥⇒≥ ⎪⎝⎭若(){}*|N n B f m n =∈为有界集合，则设其上界为0M ，既有*0,N n a M n ≤∈∴()()()112211112211......n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a ------=-+-++-+=-+-++-+2222121111111...242424n n a u a u a u m u --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-++-+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭222212111111...22244n n a a a m n u u n u u --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-++-+≥-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦若0n a M ≤恒成立，则014n u u M ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭恒成立，又11044u u ≥⇒-≥ ∴14u =，∴()214f x x =+ 设12m λ=+（i ）0λ>，则()22101011112422a a f m m a a λλλ⎛⎫⎛⎫-=-=++-+=⇒>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴111...2n n a a a m ->>>>>记()()212g x f x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则当1212x x >>时，()()12g x g x >∴()()()2111110n n n n n g a f a a a a g m a a λ----=-=->=-=∴()211n a a n λ>+-，若0na M ≤恒成立，则0λ=，矛盾。
2017年上海市虹口区高考数学一模试卷一、填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题4分，本大题满分54分）1．已知集合A={1，2，4，6，8}，B={x|x=2k，k∈A}，则A∩B=．2．已知，则复数z的虚部为．3．设函数f（x）=sinx﹣cosx，且f（α）=1，则sin2α=．4．已知二元一次方程组的增广矩阵是，则此方程组的解是．5．数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，S n是它前n项和，则=．6．已知角A是△ABC的内角，则“”是“的条件（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要条件”、“既非充分又非必要”之一）．7．若双曲线x2﹣=1的一个焦点到其渐近线的距离为2，则该双曲线的焦距等于．8．若正项等比数列{a n}满足：a3+a5=4，则a4的最大值为．9．一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成角是60°的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的焦距等于．10．设函数f（x）=，则当x≤﹣1时，则f[f（x）]表达式的展开式中含x2项的系数是．11．点M（20，40），抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，若对于抛物线上的任意点P，|PM|+|PF|的最小值为41，则p的值等于．12．当实数x ，y 满足x 2+y 2=1时，|x +2y +a |+|3﹣x ﹣2y |的取值与x ，y 均无关，则实数a 的取范围是 ．二、选择题（每小题5分，满分20分）13．在空间，α表示平面，m ，n 表示二条直线，则下列命题中错误的是（ ）A ．若m ∥α，m 、n 不平行，则n 与α不平行B ．若m ∥α，m 、n 不垂直，则n 与α不垂直C ．若m ⊥α，m 、n 不平行，则n 与α不垂直D ．若m ⊥α，m 、n 不垂直，则n 与α不平行14．已知函数在区间[0，a ]（其中a ＞0）上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．15．如图，在圆C 中，点A 、B 在圆上，则的值（ ）A ．只与圆C 的半径有关B ．既与圆C 的半径有关，又与弦AB 的长度有关 C ．只与弦AB 的长度有关D ．是与圆C 的半径和弦AB 的长度均无关的定值16．定义f （x ）={x }（其中{x }表示不小于x 的最小整数）为“取上整函数”，例如{2.1}=3，{4}=4．以下关于“取上整函数”性质的描述，正确的是（ ） ①f （2x ）=2f （x ）； ②若f （x 1）=f （x 2），则x 1﹣x 2＜1；③任意x 1，x 2∈R ，f （x 1+x 2）≤f （x 1）+f （x 2）；④．A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④三、解答题（本大题满分76分）17．在正三棱锥P﹣ABC中，已知底面等边三角形的边长为6，侧棱长为4．（1）求证：PA⊥BC；（2）求此三棱锥的全面积和体积．18．如图，我海监船在D岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A处，此时测得其北偏东30°方向与它相距20海里的B处有一外国船只，且D岛位于海监船正东18海里处．（1）求此时该外国船只与D岛的距离；（2）观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方航行．为了将该船拦截在离D岛12海里的E处（E在B的正南方向），不让其进入D岛12海里内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值（角度精确到0.1°，速度精确到0.1海里/小时）．19．已知二次函数f（x）=ax2﹣4x+c的值域为[0，+∞）．（1）判断此函数的奇偶性，并说明理由；（2）判断此函数在[，+∞）的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；（3）求出f（x）在[1，+∞）上的最小值g（a），并求g（a）的值域．20．椭圆C：过点M（2，0），且右焦点为F（1，0），过F的直线l与椭圆C相交于A、B两点．设点P（4，3），记PA、PB的斜率分别为k1和k2．（1）求椭圆C的方程；（2）如果直线l的斜率等于﹣1，求出k1•k2的值；（3）探讨k1+k2是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出k1+k2的取值范围．21．已知函数f（x）=2|x+2|﹣|x+1|，无穷数列{a n}的首项a1=a．（1）如果a n=f（n）（n∈N*），写出数列{a n}的通项公式；（2）如果a n=f（a n﹣1）（n∈N*且n≥2），要使得数列{a n}是等差数列，求首项a 的取值范围；（3）如果a n=f（a n﹣1）（n∈N*且n≥2），求出数列{a n}的前n项和S n．2017年上海市虹口区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题4分，本大题满分54分）1．已知集合A={1，2，4，6，8}，B={x|x=2k，k∈A}，则A∩B={2，4，8} ．【考点】交集及其运算．【分析】先分别求出集合A和B，由此能出A∩B．【解答】解：∵集合A={1，2，4，6，8}，∴B={x|x=2k，k∈A}={2，4，8，12，19}，∴A∩B={2，4，8}．故答案为：{2，4，8}．2．已知，则复数z的虚部为1．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由，得，利用复数复数代数形式的乘法运算化简，求出z，则答案可求．【解答】解：由，得=2﹣2i+i﹣i2=3﹣i，则z=3+i．∴复数z的虚部为：1．故答案为：1．3．设函数f（x）=sinx﹣cosx，且f（α）=1，则sin2α=0．【考点】二倍角的正弦．【分析】由已知可得sinα﹣cosα=1，两边平方，利用二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式即可得解．【解答】解：∵f（x）=sinx﹣cosx，且f（α）=1，∴sinα﹣cosα=1，∴两边平方，可得：sin2α+cos2α﹣2sinαcosα=1，∴1﹣sin2α=1，可得：sin2α=0．故答案为：0．4．已知二元一次方程组的增广矩阵是，则此方程组的解是．【考点】系数矩阵的逆矩阵解方程组．【分析】先利用增广矩阵，写出相应的二元一次方程组，然后再求解即得．【解答】解：由题意，方程组解之得故答案为5．数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，S n是它前n项和，则=．【考点】数列的极限．【分析】求出数列的和以及通项公式，然后求解数列的极限即可．【解答】解：数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，S n==n2．a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，则==故答案为：；6．已知角A是△ABC的内角，则“”是“的充分不必要条件（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要条件”、“既非充分又非必要”之一）．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义以及三角函数值判断即可．【解答】解：A为△ABC的内角，则A∈（0，180°），若命题p：cosA=成立，则A=60°，sinA=；而命题q：sinA=成立，又由A∈（0，180°），则A=60°或120°；因此由p可以推得q成立，由q推不出p，可见p是q的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．7．若双曲线x2﹣=1的一个焦点到其渐近线的距离为2，则该双曲线的焦距等于6．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据焦点到其渐近线的距离求出b的值即可得到结论．【解答】解：双曲线的渐近线为y=±bx，不妨设为y=﹣bx，即bx+y=0，焦点坐标为F（c，0），则焦点到其渐近线的距离d===b=2，则c====3，则双曲线的焦距等于2c=6，故答案为：68．若正项等比数列{a n}满足：a3+a5=4，则a4的最大值为2．【考点】等比数列的性质．【分析】利用数列{a n}是各项均为正数的等比数列，可得a3a5=a42，再利用基本不等式，即可求得a4的最大值．【解答】解：∵数列{a n}是各项均为正数的等比数列，∴a3a5=a42，∵等比数列{a n}各项均为正数，∴a3+a5≥2，当且仅当a3=a5=2时，取等号，∴a3=a5=2时，a4的最大值为2．故答案是：2．9．一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成角是60°的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的焦距等于．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用已知条件，求出题意的长半轴，短半轴，然后求出半焦距，即可．【解答】解：因为底面半径为R的圆柱被与底面成30°的平面所截，其截口是一个椭圆，则这个椭圆的短半轴为：R，长半轴为：=8，∵a2=b2+c2，∴c==2，∴椭圆的焦距为；故答案为：4．10．设函数f（x）=，则当x≤﹣1时，则f[f（x）]表达式的展开式中含x2项的系数是60．【考点】分段函数的应用．【分析】根据分段函数的解析式先求出f[f（x）]表达式，再根据利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，整理成最简形式，令x的指数为2求得r，再代入系数求出结果【解答】解：由函数f（x）=，当x≤﹣1时，f（x）=﹣2x﹣1，此时f（x）min=f（﹣1）=2﹣1=1，∴f[f（x）]=（﹣2x﹣1）6=（2x+1）6，=C6r2r x r，∴T r+1当r=2时，系数为C62×22=60，故答案为：6011．点M（20，40），抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，若对于抛物线上的任意点P，|PM|+|PF|的最小值为41，则p的值等于42或22．【考点】抛物线的简单性质．【分析】过P做抛物线的准线的垂线，垂足为D，则|PF|=|PD|，当M（20，40）位于抛物线内，当M，P，D共线时，|PM|+|PF|的距离最小，20+=41，解得：p=42，当M（20，40）位于抛物线外，由勾股定理可知：=41，p=22或58，当p=58时，y2=116x，则点M（20，40）在抛物线内，舍去，即可求得p的值．【解答】解：由抛物线的定义可知：抛物线上的点到焦点距离=到准线的距离，过P做抛物线的准线的垂线，垂足为D，则|PF|=|PD|，当M（20，40）位于抛物线内，∴|PM|+|PF|=|PM|+|PD|，当M，P，D共线时，|PM|+|PF|的距离最小，由最小值为41，即20+=41，解得：p=42，当M（20，40）位于抛物线外，当P，M，F共线时，|PM|+|PF|取最小值，即=41，解得：p=22或58，由当p=58时，y2=116x，则点M（20，40）在抛物线内，舍去，故答案为：42或22．12．当实数x，y满足x2+y2=1时，|x+2y+a|+|3﹣x﹣2y|的取值与x，y均无关，则实数a的取范围是[，+∞）．【考点】圆方程的综合应用．【分析】根据实数x，y满足x2+y2=1，设x=cosθ，y=sinθ，求出x+2y的取值范围，再讨论a的取值范围，求出|x+2y+a|+|3﹣x﹣2y|的值与x，y均无关时a的取范围．【解答】解：∵实数x，y满足x2+y2=1，可设x=cosθ，y=sinθ，则x+2y=cosθ+2sinθ=sin（θ+α），其中α=arctan2；∴﹣≤x+2y≤，∴当a≥时，|x+2y+a|+|3﹣x﹣2y|=（x+2y+a）+（3﹣x﹣2y）=a+3，其值与x，y均无关；∴实数a的取范围是[，+∞）．故答案为：．二、选择题（每小题5分，满分20分）13．在空间，α表示平面，m，n表示二条直线，则下列命题中错误的是（）A．若m∥α，m、n不平行，则n与α不平行B．若m∥α，m、n不垂直，则n与α不垂直C．若m⊥α，m、n不平行，则n与α不垂直D．若m⊥α，m、n不垂直，则n与α不平行【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【分析】对于A，若m∥α，m、n不平行，则n与α可能平行、相交或n⊂α，即可得出结论．【解答】解：对于A，若m∥α，m、n不平行，则n与α可能平行、相交或n ⊂α，故不正确．故选A．14．已知函数在区间[0，a]（其中a＞0）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的单调性．【分析】由条件利用正弦函数的单调性，可得2a+≤，求得a的范围．【解答】解：∵函数在区间[0，a]（其中a＞0）上单调递增，则2a+≤，求得a≤，故有0＜a≤，故选：B．15．如图，在圆C中，点A、B在圆上，则的值（）A．只与圆C的半径有关B．既与圆C的半径有关，又与弦AB的长度有关C．只与弦AB的长度有关D．是与圆C的半径和弦AB的长度均无关的定值【考点】平面向量数量积的运算．【分析】展开数量积，结合向量在向量方向上投影的概念可得=．则答案可求．【解答】解：如图，过圆心C作CD⊥AB，垂足为D，则=||||•cos∠CAB=．∴的值只与弦AB的长度有关．故选：C．16．定义f（x）={x}（其中{x}表示不小于x的最小整数）为“取上整函数”，例如{2.1}=3，{4}=4．以下关于“取上整函数”性质的描述，正确的是（）①f（2x）=2f（x）；②若f（x1）=f（x2），则x1﹣x2＜1；③任意x1，x2∈R，f（x1+x2）≤f（x1）+f（x2）；④．A．①②B．①③C．②③D．②④【考点】函数与方程的综合运用．【分析】充分理解“取上整函数”的定义．如果选项不满足题意，只需要举例说明即可【解答】解：对于①，当x=1.4时，f（2x）=f（2.8）=3.2，f（1.4）=4．所以f （2x）≠2f（x）；①错．对于②，若f（x1）=f（x2）．当x1为整数时，f（x1）=x1，此时x2＞x1﹣1，即x1﹣x2＜1．当x1不是整数时，f（x1）=[x1]+1．[x1]表示不大于x1的最大整数．x2表示比x1的整数部分大1的整数或者是和x1保持相同整数的数，此时﹣x1﹣x2＜1．故②正确．对于③，当x1，x2∈Z，f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），当x1，x2∉Z，f（x1+x2）＜f（x1）+f（x2），故正确；对于④，举例f（1.2）+f（1.2+0.5）=4≠f（2.4）=3．故④错误．故选：C．三、解答题（本大题满分76分）17．在正三棱锥P﹣ABC中，已知底面等边三角形的边长为6，侧棱长为4．（1）求证：PA⊥BC；（2）求此三棱锥的全面积和体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）取BC的中点M，连AM、BM．由△ABC是等边三角形，可得AM ⊥BC．再由PB=PC，得PM⊥BC．利用线面垂直的判定可得BC⊥平面PAM，进一步得到PA⊥BC；（2）记O是等边三角形的中心，则PO⊥平面ABC．由已知求出高，可求三棱锥的体积．求出各面的面积可得三棱锥的全面积．【解答】（1）证明：取BC的中点M，连AM、BM．∵△ABC是等边三角形，∴AM⊥BC．又∵PB=PC，∴PM⊥BC．∵AM∩PM=M，∴BC⊥平面PAM，则PA⊥BC；（2）解：记O是等边三角形的中心，则PO⊥平面ABC．∵△ABC是边长为6的等边三角形，∴．∴，，∵，∴；．18．如图，我海监船在D岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A处，此时测得其北偏东30°方向与它相距20海里的B处有一外国船只，且D岛位于海监船正东18海里处．（1）求此时该外国船只与D岛的距离；（2）观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方航行．为了将该船拦截在离D岛12海里的E处（E在B的正南方向），不让其进入D岛12海里内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值（角度精确到0.1°，速度精确到0.1海里/小时）．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）依题意，在△ABD中，∠DAB=60°，由余弦定理求得DB；（2）法一、过点B作BH⊥AD于点H，在Rt△ABH中，求解直角三角形可得HE、AE的值，进一步得到sin∠EAH，则∠EAH可求，求出外国船只到达E处的时间t，由求得速度的最小值．法二、建立以点A为坐标原点，AD为x轴，过点A往正北作垂直的y轴．可得A，D，B的坐标，设经过t小时外国船到达点，结合ED=12，得，列等式求得t，则，，再由求得速度的最小值．【解答】解：（1）依题意，在△ABD中，∠DAB=60°，由余弦定理得DB2=AD2+AB2﹣2AD•AB•cos60°=182+202﹣2×18×15×cos60°=364，∴，即此时该外国船只与D岛的距离为海里；（2）法一、过点B作BH⊥AD于点H，在Rt△ABH中，AH=10，∴HD=AD﹣AH=8，以D为圆心，12为半径的圆交BH于点E，连结AE、DE，在Rt△DEH中，HE=，∴，又AE=，∴sin∠EAH=，则≈41.81°．外国船只到达点E的时间（小时）．∴海监船的速度（海里/小时）．又90°﹣41.81°=48.2°，故海监船的航向为北偏东48.2°，速度的最小值为6.4海里/小时．法二、建立以点A为坐标原点，AD为x轴，过点A往正北作垂直的y轴．则A（0，0），D（18，0），，设经过t小时外国船到达点，又ED=12，得，此时（小时）．则，，∴监测船的航向东偏北41.81°．∴海监船的速度（海里/小时）．19．已知二次函数f（x）=ax2﹣4x+c的值域为[0，+∞）．（1）判断此函数的奇偶性，并说明理由；（2）判断此函数在[，+∞）的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；（3）求出f（x）在[1，+∞）上的最小值g（a），并求g（a）的值域．【考点】二次函数的性质．【分析】（1）由二次函数f（x）=ax2﹣4x+c的值域，推出ac=4，判断f（﹣1）≠f（1），f（﹣1）≠﹣f（1），得到此函数是非奇非偶函数．（2）求出函数的单调递增区间．设x1、x2是满足的任意两个数，列出不等式，推出f（x2）＞f（x1），即可判断函数是单调递增．（3）f（x）=ax2﹣4x+c，当，即0＜a≤2时，当，即a＞2时求出最小值即可．【解答】解：（1）由二次函数f（x）=ax2﹣4x+c的值域为[0，+∞），得a＞0且，解得ac=4．…∵f（1）=a+c﹣4，f（﹣1）=a+c+4，a＞0且c＞0，从而f（﹣1）≠f（1），f（﹣1）≠﹣f（1），∴此函数是非奇非偶函数．…（2）函数的单调递增区间是[，+∞）．设x1、x2是满足的任意两个数，从而有，∴．又a＞0，∴，从而，即，从而f（x2）＞f（x1），∴函数在[，+∞）上是单调递增．…（3）f（x）=ax2﹣4x+c，又a＞0，，x∈[1，+∞）当，即0＜a≤2时，最小值g（a）=f（x0）=0当，即a＞2时，最小值综上，最小值…当0＜a≤2时，最小值g（a）=0当a＞2时，最小值综上y=g（a）的值域为[0，+∞）…20．椭圆C：过点M（2，0），且右焦点为F（1，0），过F 的直线l与椭圆C相交于A、B两点．设点P（4，3），记PA、PB的斜率分别为k1和k2．（1）求椭圆C的方程；（2）如果直线l的斜率等于﹣1，求出k1•k2的值；（3）探讨k1+k2是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出k1+k2的取值范围．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）利用已知条件求出b，即可求解椭圆方程．（2）直线l：y=﹣x+1，设AB坐标，联立利用韦达定理以及斜率公式求解即可．（3）当直线AB的斜率不存在时，不妨设A，B，求出斜率，即可；当直线AB 的斜率存在时，设其为k，求直线AB：y=k（x﹣1），联立直线与椭圆的方程组，利用韦达定理以及斜率公式化简求解即可．【解答】解：（1）∵a=2，又c=1，∴，∴椭圆方程为…（2）直线l：y=﹣x+1，设A（x1，y1）B（x2，y2），由消y得7x2﹣8x﹣8=0，有，．……（3）当直线AB的斜率不存在时，不妨设A（1，），B（1，﹣），则，，故k1+k2=2．…当直线AB的斜率存在时，设其为k，则直线AB：y=k（x﹣1），设A（x1，y1）B （x2，y2），由消y得（4k2+3）x2﹣8k2x+（4k2﹣12）=0，有，．…=…21．已知函数f（x）=2|x+2|﹣|x+1|，无穷数列{a n}的首项a1=a．（1）如果a n=f（n）（n∈N*），写出数列{a n}的通项公式；（2）如果a n=f（a n﹣1）（n∈N*且n≥2），要使得数列{a n}是等差数列，求首项a 的取值范围；（3）如果a n=f（a n﹣1）（n∈N*且n≥2），求出数列{a n}的前n项和S n．【考点】数列与函数的综合．【分析】（1）化简函数f（x）为分段函数，然后求出a n=f（n）=n+3．（2）如果{a n}是等差数列，求出公差d，首项，然后求解a的范围．（3）当a≥﹣1时，求出前n项和，当﹣2≤a≤﹣1时，当a≤﹣2时，分别求出n项和即可．【解答】解：（1）∵函数f（x）=2|x+2|﹣|x+1|=，…又n≥1且n∈N*，∴a n=f（n）=n+3．…（2）如果{a n}是等差数列，则a n﹣a n﹣1=d，a n=a n﹣1+d，由f（x）知一定有a n=a n﹣1+3，公差d=3．当a1≥﹣1时，符合题意．当﹣2≤a1≤﹣1时，a2=3a1+5，由a2﹣a1=3得3a1+5﹣a1=3，得a1=﹣1，a2=2．当a1≤﹣2时，a2=﹣a1﹣3，由a2﹣a1=3得﹣a1﹣3﹣a1=3，得a1=﹣3，此时a2=0．综上所述，可得a的取值范围是a≥﹣1或a=﹣3．…（3）当a≥﹣1时，a n=f（a n﹣1）=a n﹣1+3，∴数列{a n}是以a为首项，公差为3的等差数列，．…当﹣2≤a≤﹣1时，a2=3a1+5=3a+5≥﹣1，∴n≥3时，a n=a n﹣1+3．∴n=1时，S1=a．n≥2时，又S1=a也满足上式，∴（n∈N*）…当a≤﹣2时，a2=﹣a1﹣3=﹣a﹣3≥﹣1，∴n≥3时，a n=a n﹣1+3．∴n=1时，S1=a．n≥2时，又S1=a也满足上式，∴（n∈N*）．综上所述：S n=．…．。
虹口区2016学年度第二学期期中教学质量监控测试高三数学试卷（时间120分钟，满分150分） 2017.4一、填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题5分，本大题满分54分） 1、集合{}1,2,3,4A =，{}(1)(5)0B x x x =--<，则A B ⋂= ．2、复数21iz i-=+所对应的点在复平面内位于第 象限．3、已知首项为1公差为2的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，则2()lim n n na S →∞= ．4、若方程组2322ax y x ay +=⎧⎨+=⎩无解，则实数a = ．5、若7)(a x +的二项展开式中，含6x 项的系数为7，则实数=a ．6、已知双曲线2221(0)y x a a-=>,它的渐近线方程是2y x =±,则a 的值为 ．8、在平面直角坐标系中，已知点(2,2)P -，对于任意不全为零的实数a 、b ，直线:(1)(2)0l a x b y -++=，若点P 到直线l 的距离为d ，则d 的取值范围是 ．9、函数21()(2)1xx f x x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，如果方程()f x b =有四个不同的实数解1x 、2x 、3x 、4x ，则1234x x x x +++= ．10、三条侧棱两两垂直的正三棱锥，其俯视图如图所示，主视图的边界是底边长为2的等腰三角形，则主视图的面积等于 ．11、在直角ABC ∆中，2A π∠=，1AB =，2AC =，M 是ABC ∆内一点，且12AM =，若AM AB AC λμ=+，则2λμ+的最大值 ．12、无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意的正整数n 都有{}12310,,,,n S k k k k ∈，则10a 的可能取值最多．．有 个．二、选择题（每小题5分，满分20分）13、已知a ，b ，c 都是实数，则“a ，b ，c 成等比数列”是“2b ac =⋅的（ ）.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件14、1l 、2l 是空间两条直线，α是平面，以下结论正确的是（ ）．.A 如果1l ∥α，2l ∥α，则一定有1l ∥2l ． .B 如果12l l ⊥，2l α⊥，则一定有1l α⊥．.C 如果12l l ⊥，2l α⊥，则一定有1l ∥α． .D 如果1l α⊥，2l ∥α，则一定有12l l ⊥．15、已知函数()2x x e e f x --=，1x 、2x 、3x R ∈，且120x x +>，230x x +>，310x x +>，则123()()()f x f x f x ++的值（ ）.A 一定等于零． .B 一定大于零． .C 一定小于零． .D 正负都有可能．16、已知点(,)M a b 与点(0,1)N -在直线3450x y -+=的两侧，给出以下结论：①3450a b -+>；②当0a >时，ab +有最小值，无最大值；③221a b +>；④当0a >且1a ≠时，11b a +-的取值范围是93(,)(,)44-∞-+∞. 正确的个数是（ ）.A 1 .B 2 .C 3 .D 4F EDCBAC 1B 1A 1三、解答题（本大题满分76分）17、（本题满分14分.第（1）小题7分，第（2）小题7分.）如图111ABC A B C -是直三棱柱，底面ABC ∆是等腰直角三角形，且4AB AC ==，直三棱柱的高等于4，线段11B C 的中点为D ，线段BC 的中点为E ，线段1CC 的中点为F ． （1）求异面直线AD 、EF 所成角的大小； （2）求三棱锥D AEF -的体积．已知定义在(,)22ππ-上的函数()f x 是奇函数，且当(0,)2x π∈时，tan ()tan 1xf x x =+．（1）求()f x 在区间(,)22ππ-上的解析式；（2）当实数m 为何值时，关于x 的方程()f x m =在(,)22ππ-有解．已知数列{}n a 是首项等于116且公比不为1的等比数列，n S 是它的前n 项和，满足325416S S =-． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设log n a n b a =(0a >且1)a ≠，求数列{}n b 的前n 项和n T 的最值．已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>，定义椭圆C 上的点00(,)M x y 的“伴随点”为00(,)x yN a b.（1）求椭圆C 上的点M 的“伴随点”N 的轨迹方程； （2）如果椭圆C 上的点3(1,)2的“伴随点”为13(,)22b，对于椭圆C 上的任意点M 及它的“伴随点”N ，求OM ON 的取值范围；（3）当2a =，b =l 交椭圆C 于A ，B 两点，若点A ，B 的“伴随点”分别是P ，Q ，且以PQ为直径的圆经过坐标原点O ，求OAB ∆的面积．对于定义域为R 的函数()y f x =，部分x 与y 的对应关系如下表：（1）求{[(0)]}f f f ；（2）数列{}n x 满足12x =，且对任意n N *∈，点1(,)n n x x +都在函数()y f x =的图像上，求124n x x x +++；（3）若()sin()y f x A x b ωϕ==++，其中0A >，0ωπ<<，0ϕπ<<，03b <<，求此函数的解析式，并求(1)(2)(3)f f f n +++(n N *∈)．F EDCBAC 1B 1A 1虹口区2016学年度第二学期高三年级数学学科期中教学质量监控测试题答案一、填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题5分，本大题满分54分） 1、{2,3,4}； 2、四； 3、4； 4、2±； 5、1； 6、2 ；7、76； 8、[0,5]； 9、4； 10； 11； 12、91；二、选择题（每小题5分，满分20分）13、A ； 14、D ； 15、B ； 16、B ； 三、解答题（本大题满分76分）17、（14分）解:（1）以A 为坐标原点，AB 、AC 、1AA 分别为x 轴和y 轴建立直角坐标系.依题意有D （2，2，4），A （0，0，0），E （2，2，0），F （0，4，2） 所以(2,2,4),(2,2,2)AD EF ==-.……………………3分设异面直线AD 、EF 所成角为角，||cos ||||AD EF AD EF α⋅==⋅16444=++ 3所以arccos 3α=， 所以异面直线AD 、EF 所成角的大小为arccos 3…………7分 （2）线段11B C 的中点为D ，线段BC 的中点为E，由4AB AC ==，高14A A=，得BC =，∴AE =DEFS =3分由E 为线段BC 的中点，且AC AB =,BC AE ⊥∴,由⊥1BB 面ABC ,1BB AE ⊥∴，得⊥AE 面C C BB 11,1116333D AEF A DEF DEFV V SAE --==⋅=⋅= ∴三棱锥D AEF -的体积为163体积单位.……………………7分18、（14分）解：（1）设02x π-<<，则02x π<-<，()f x 是奇函数，则有tan()tan ()()tan()11tan x xf x f x x x-=--=-=-+-…………4分∴tan 0tan 12()00tan 01tan 2xx x f x x x x x ππ⎧<<⎪+⎪==⎨⎪⎪-<<-⎩ ………………7分 （2）设02x π<<，令tan t x =，则0t >，而tan 1()1tan 111x t y f x x t t====-+++. 11t +>，得1011t <<+，从而10111t <-<+，∴()y f x =在02x π<<的取值范围是01y <<.…………………………11分又设02x π-<<，则02x π<-<，由此函数是奇函数得()()f x f x =--，0()1f x <-<，从而1()0f x -<<.………………13分综上所述，()y f x =的值域为(1,1)-，所以m 的取值范围是(1,1)-.…………14分19、（14分）解：（1）325416S S =- ，1q ≠，3211(1)(1)541116a q a q q q --∴=⨯---.……2分 整理得2320q q -+=，解得2q =或1q =（舍去）.………………4分1512n n n a a q --∴=⨯=.………………6分（2）log (5)log 2n a n a b a n ==-.………………8分1）当1a >时，有log 20,a > 数列{}n b 是以log 2a 为公差的等差数列，此数列是首项为负的递增的等差数列. 由0n b ≤，得5n ≤.所以min 45()10log 2n a T T T ===-.n T 的没有最大值.………11分2）当01a <<时，有log 20a <，数列{}n b 是以log 2a 为公差的等差数列，此数列是首项为正的递减的等差数列.0n b ≥，得5n ≤，max 45()10log 2n a T T T ===-.n T 的没有最小值.…………14分20、（16分）解：（1）解.设N （,x y ）由题意 00x x a y y b⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 则00x ax y by =⎧⎨=⎩，又2200221(0)x y a b a b +=>> ∴2222()()1(0)ax by a b a b+=>>，从而得221x y +=……………………3分 （2）由112a =，得2a =.又221914a b +=，得b =…………5分点00(,)M x y 在椭圆上，22143x y +=，2200334y x =-，且2004x ≤≤，∴222000002(,)(,224xx OM ON x y x -=⋅==+0>，OM ON的取值范围是2⎤⎦……8分（3） 设1122(,),(,)A x y B x y ,则12,22x x P Q ⎛⎛ ⎝⎝;1)当直线l 的斜率存在时,设方程为y kx m =+, 由22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(34)84(3)0k x kmx m +++-=； 有22122212248(34)08344(3)34k m kmx x k m x x k ⎧⎪∆=+->⎪-⎪+=⎨+⎪⎪-=⎪+⎩① ……10分 由以PQ 为直径的圆经过坐标原点O 可得: 1212340x x y y +=；整理得:221212(34)4()40k x x mk x x m ++++= ②将①式代入②式得: 22342k m +=,………………………… 12分048,0,043222>=∆>∴>+m m k又点O 到直线y kx m =+的距离d =2222222221223414334143433411m m k k m k k m k k x x k AB ⋅+=+⋅+=+-++=-+=所以12OAB S AB d ∆==14分 2) 当直线l 的斜率不存在时,设方程为(22)x m m =-<<联立椭圆方程得223(4)4m y -=；代入1212340x x y y +=得223(4)3404m m --⋅=，解得22m =,从而232y =,3212121=-==∆y y m d AB S OAB 综上:OAB ∆的面积是定值……………………16分 21、（18分）解：(1) {[(0)]}((3))(1)2f f f f f f ==-= ……………………3分(2) 11212,()()(2)0,n n x x f x x f x f +==∴===32()3,x f x == 43()1,x f x ==-54()2x f x ==51x x ∴=,周期为4 , 所以124n x x x +++=4n .……………………9分(3)由题意得 (1)2(1)(1)2(2)(0)3(3)(2)0(4)f f f f -=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ 由(1)(2)sin()sin()sin cos 0ωϕωϕωϕ-∴+=-+∴= 又0ωπ<<sin 0cos 0ωϕ∴≠∴= 而0ϕπ<<2πϕ∴=…………11分从而有23cos 32cos 23(2cos 1)30cos20A b A A A b b A A A A b ωωωω+=⎧+-=⎧⎪+=⇒=-⇒⎨⎨-+-=⎩⎪+=⎩22242230 2.1A A A A A b ∴-+-+=∴== 1cos 2ω=0ωπ<<3πω∴=()2cos 13f x x π∴=+…………………………13分此函数的最小正周期为6, (6)(0)3f f == (1)(2)(3)4)+(5)(6)6f f f f f f ++++=（…………14分1)当2n k =()k N *∈时. (1)(2)(3)(1)(2)(6)f f f n f f f k +++=+++[(1)(2)(6)]63k f f f k n =+++==.……………………16分 2)当21n k =-()k N *∈时.(1)(2)(3)(1)(2)(6)(62)(61)(6)f f f n f f f k f k f k f k +++=+++----- [(1)(2)(6)]56532k f f f k n =+++-=-=-.………………18分。
2017年上海市虹口区高考数学一模试卷一、填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题4分，本大题满分54分）1．已知集合A={1，2，4，6，8}，B={x|x=2k，k∈A}，则A∩B=．2．已知，则复数z的虚部为．3．设函数f（x）=sinx﹣cosx，且f（α）=1，则sin2α=．4．已知二元一次方程组的增广矩阵是，则此方程组的解是．5．数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，S n是它前n项和，则=．6．已知角A是△ABC的内角，则“”是“的条件（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要条件”、“既非充分又非必要”之一）．7．若双曲线x2﹣=1的一个焦点到其渐近线的距离为2，则该双曲线的焦距等于．8．若正项等比数列{a n}满足：a3+a5=4，则a4的最大值为．9．一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成角是60°的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的焦距等于．10．设函数f（x）=，则当x≤﹣1时，则f[f（x）]表达式的展开式中含x2项的系数是．11．点M（20，40），抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，若对于抛物线上的任意点P，|PM|+|PF|的最小值为41，则p的值等于．12．当实数x，y满足x2+y2=1时，|x+2y+a|+|3﹣x﹣2y|的取值与x，y均无关，则实数a的取范围是．二、选择题（每小题5分，满分20分）13．在空间，α表示平面，m，n表示二条直线，则下列命题中错误的是（）A．若m∥α，m、n不平行，则n与α不平行B．若m∥α，m、n不垂直，则n与α不垂直C．若m⊥α，m、n不平行，则n与α不垂直D．若m⊥α，m、n不垂直，则n与α不平行14．已知函数在区间[0，a]（其中a＞0）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．15．如图，在圆C中，点A、B在圆上，则的值（）A．只与圆C的半径有关B．既与圆C的半径有关，又与弦AB的长度有关C．只与弦AB的长度有关D．是与圆C的半径和弦AB的长度均无关的定值16．定义f（x）={x}（其中{x}表示不小于x的最小整数）为“取上整函数”，例如{2.1}=3，{4}=4．以下关于“取上整函数”性质的描述，正确的是（）①f（2x）=2f（x）；②若f（x1）=f（x2），则x1﹣x2＜1；③任意x1，x2∈R，f（x1+x2）≤f（x1）+f（x2）；④．A．①②B．①③C．②③D．②④三、解答题（本大题满分76分）17．在正三棱锥P﹣ABC中，已知底面等边三角形的边长为6，侧棱长为4．（1）求证：PA⊥BC；（2）求此三棱锥的全面积和体积．18．如图，我海监船在D岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A处，此时测得其北偏东30°方向与它相距20海里的B处有一外国船只，且D岛位于海监船正东18海里处．（1）求此时该外国船只与D岛的距离；（2）观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方航行．为了将该船拦截在离D岛12海里的E处（E在B的正南方向），不让其进入D岛12海里内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值（角度精确到0.1°，速度精确到0.1海里/小时）．19．已知二次函数f（x）=ax2﹣4x+c的值域为[0，+∞）．（1）判断此函数的奇偶性，并说明理由；（2）判断此函数在[，+∞）的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；（3）求出f（x）在[1，+∞）上的最小值g（a），并求g（a）的值域．20．椭圆C：过点M（2，0），且右焦点为F（1，0），过F的直线l与椭圆C相交于A、B两点．设点P（4，3），记PA、PB的斜率分别为k1和k2．（1）求椭圆C的方程；（2）如果直线l的斜率等于﹣1，求出k1•k2的值；（3）探讨k1+k2是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出k1+k2的取值范围．21．已知函数f（x）=2|x+2|﹣|x+1|，无穷数列{a n}的首项a1=a．（1）如果a n=f（n）（n∈N*），写出数列{a n}的通项公式；（2）如果a n=f（a n﹣1）（n∈N*且n≥2），要使得数列{a n}是等差数列，求首项a 的取值范围；（3）如果a n=f（a n﹣1）（n∈N*且n≥2），求出数列{a n}的前n项和S n．2017年上海市虹口区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题4分，本大题满分54分）1．已知集合A={1，2，4，6，8}，B={x|x=2k，k∈A}，则A∩B={2，4，8} ．【考点】交集及其运算．【分析】先分别求出集合A和B，由此能出A∩B．【解答】解：∵集合A={1，2，4，6，8}，∴B={x|x=2k，k∈A}={2，4，8，12，19}，∴A∩B={2，4，8}．故答案为：{2，4，8}．2．已知，则复数z的虚部为1．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由，得，利用复数复数代数形式的乘法运算化简，求出z，则答案可求．【解答】解：由，得=2﹣2i+i﹣i2=3﹣i，则z=3+i．∴复数z的虚部为：1．故答案为：1．3．设函数f（x）=sinx﹣cosx，且f（α）=1，则sin2α=0．【考点】二倍角的正弦．【分析】由已知可得sinα﹣cosα=1，两边平方，利用二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式即可得解．【解答】解：∵f（x）=sinx﹣cosx，且f（α）=1，∴sinα﹣cosα=1，∴两边平方，可得：sin2α+cos2α﹣2sinαcosα=1，∴1﹣sin2α=1，可得：sin2α=0．故答案为：0．4．已知二元一次方程组的增广矩阵是，则此方程组的解是．【考点】系数矩阵的逆矩阵解方程组．【分析】先利用增广矩阵，写出相应的二元一次方程组，然后再求解即得．【解答】解：由题意，方程组解之得故答案为5．数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，S n是它前n项和，则=．【考点】数列的极限．【分析】求出数列的和以及通项公式，然后求解数列的极限即可．【解答】解：数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，S n==n2．a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，则==故答案为：；6．已知角A是△ABC的内角，则“”是“的充分不必要条件（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要条件”、“既非充分又非必要”之一）．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义以及三角函数值判断即可．【解答】解：A为△ABC的内角，则A∈（0，180°），若命题p：cosA=成立，则A=60°，sinA=；而命题q：sinA=成立，又由A∈（0，180°），则A=60°或120°；因此由p可以推得q成立，由q推不出p，可见p是q的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．7．若双曲线x2﹣=1的一个焦点到其渐近线的距离为2，则该双曲线的焦距等于6．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据焦点到其渐近线的距离求出b的值即可得到结论．【解答】解：双曲线的渐近线为y=±bx，不妨设为y=﹣bx，即bx+y=0，焦点坐标为F（c，0），则焦点到其渐近线的距离d===b=2，则c====3，则双曲线的焦距等于2c=6，故答案为：68．若正项等比数列{a n}满足：a3+a5=4，则a4的最大值为2．【考点】等比数列的性质．【分析】利用数列{a n}是各项均为正数的等比数列，可得a3a5=a42，再利用基本不等式，即可求得a4的最大值．【解答】解：∵数列{a n}是各项均为正数的等比数列，∴a3a5=a42，∵等比数列{a n}各项均为正数，∴a3+a5≥2，当且仅当a3=a5=2时，取等号，∴a3=a5=2时，a4的最大值为2．故答案是：2．9．一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成角是60°的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的焦距等于．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用已知条件，求出题意的长半轴，短半轴，然后求出半焦距，即可．【解答】解：因为底面半径为R的圆柱被与底面成30°的平面所截，其截口是一个椭圆，则这个椭圆的短半轴为：R，长半轴为：=8，∵a2=b2+c2，∴c==2，∴椭圆的焦距为；故答案为：4．10．设函数f（x）=，则当x≤﹣1时，则f[f（x）]表达式的展开式中含x2项的系数是60．【考点】分段函数的应用．【分析】根据分段函数的解析式先求出f[f（x）]表达式，再根据利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，整理成最简形式，令x的指数为2求得r，再代入系数求出结果【解答】解：由函数f（x）=，当x≤﹣1时，f（x）=﹣2x﹣1，此时f（x）min=f（﹣1）=2﹣1=1，∴f[f（x）]=（﹣2x﹣1）6=（2x+1）6，=C6r2r x r，∴T r+1当r=2时，系数为C62×22=60，故答案为：6011．点M（20，40），抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，若对于抛物线上的任意点P，|PM|+|PF|的最小值为41，则p的值等于42或22．【考点】抛物线的简单性质．【分析】过P做抛物线的准线的垂线，垂足为D，则|PF|=|PD|，当M（20，40）位于抛物线内，当M，P，D共线时，|PM|+|PF|的距离最小，20+=41，解得：p=42，当M（20，40）位于抛物线外，由勾股定理可知：=41，p=22或58，当p=58时，y2=116x，则点M（20，40）在抛物线内，舍去，即可求得p的值．【解答】解：由抛物线的定义可知：抛物线上的点到焦点距离=到准线的距离，过P做抛物线的准线的垂线，垂足为D，则|PF|=|PD|，当M（20，40）位于抛物线内，∴|PM|+|PF|=|PM|+|PD|，当M，P，D共线时，|PM|+|PF|的距离最小，由最小值为41，即20+=41，解得：p=42，当M（20，40）位于抛物线外，当P，M，F共线时，|PM|+|PF|取最小值，即=41，解得：p=22或58，由当p=58时，y2=116x，则点M（20，40）在抛物线内，舍去，故答案为：42或22．12．当实数x，y满足x2+y2=1时，|x+2y+a|+|3﹣x﹣2y|的取值与x，y均无关，则实数a的取范围是[，+∞）．【考点】圆方程的综合应用．【分析】根据实数x，y满足x2+y2=1，设x=cosθ，y=sinθ，求出x+2y的取值范围，再讨论a的取值范围，求出|x+2y+a|+|3﹣x﹣2y|的值与x，y均无关时a的取范围．【解答】解：∵实数x，y满足x2+y2=1，可设x=cosθ，y=sinθ，则x+2y=cosθ+2sinθ=sin（θ+α），其中α=arctan2；∴﹣≤x+2y≤，∴当a≥时，|x+2y+a|+|3﹣x﹣2y|=（x+2y+a）+（3﹣x﹣2y）=a+3，其值与x，y均无关；∴实数a的取范围是[，+∞）．故答案为：．二、选择题（每小题5分，满分20分）13．在空间，α表示平面，m，n表示二条直线，则下列命题中错误的是（）A．若m∥α，m、n不平行，则n与α不平行B．若m∥α，m、n不垂直，则n与α不垂直C．若m⊥α，m、n不平行，则n与α不垂直D．若m⊥α，m、n不垂直，则n与α不平行【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【分析】对于A，若m∥α，m、n不平行，则n与α可能平行、相交或n⊂α，即可得出结论．【解答】解：对于A，若m∥α，m、n不平行，则n与α可能平行、相交或n ⊂α，故不正确．故选A．14．已知函数在区间[0，a]（其中a＞0）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的单调性．【分析】由条件利用正弦函数的单调性，可得2a+≤，求得a的范围．【解答】解：∵函数在区间[0，a]（其中a＞0）上单调递增，则2a+≤，求得a≤，故有0＜a≤，故选：B．15．如图，在圆C中，点A、B在圆上，则的值（）A．只与圆C的半径有关B．既与圆C的半径有关，又与弦AB的长度有关C．只与弦AB的长度有关D．是与圆C的半径和弦AB的长度均无关的定值【考点】平面向量数量积的运算．【分析】展开数量积，结合向量在向量方向上投影的概念可得=．则答案可求．【解答】解：如图，过圆心C作CD⊥AB，垂足为D，则=||||•cos∠CAB=．∴的值只与弦AB的长度有关．故选：C．16．定义f（x）={x}（其中{x}表示不小于x的最小整数）为“取上整函数”，例如{2.1}=3，{4}=4．以下关于“取上整函数”性质的描述，正确的是（）①f（2x）=2f（x）；②若f（x1）=f（x2），则x1﹣x2＜1；③任意x1，x2∈R，f（x1+x2）≤f（x1）+f（x2）；④．A．①②B．①③C．②③D．②④【考点】函数与方程的综合运用．【分析】充分理解“取上整函数”的定义．如果选项不满足题意，只需要举例说明即可【解答】解：对于①，当x=1.4时，f（2x）=f（2.8）=3.2，f（1.4）=4．所以f （2x）≠2f（x）；①错．对于②，若f（x1）=f（x2）．当x1为整数时，f（x1）=x1，此时x2＞x1﹣1，即x1﹣x2＜1．当x1不是整数时，f（x1）=[x1]+1．[x1]表示不大于x1的最大整数．x2表示比x1的整数部分大1的整数或者是和x1保持相同整数的数，此时﹣x1﹣x2＜1．故②正确．对于③，当x1，x2∈Z，f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），当x1，x2∉Z，f（x1+x2）＜f（x1）+f（x2），故正确；对于④，举例f（1.2）+f（1.2+0.5）=4≠f（2.4）=3．故④错误．故选：C．三、解答题（本大题满分76分）17．在正三棱锥P﹣ABC中，已知底面等边三角形的边长为6，侧棱长为4．（1）求证：PA⊥BC；（2）求此三棱锥的全面积和体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）取BC的中点M，连AM、BM．由△ABC是等边三角形，可得AM ⊥BC．再由PB=PC，得PM⊥BC．利用线面垂直的判定可得BC⊥平面PAM，进一步得到PA⊥BC；（2）记O是等边三角形的中心，则PO⊥平面ABC．由已知求出高，可求三棱锥的体积．求出各面的面积可得三棱锥的全面积．【解答】（1）证明：取BC的中点M，连AM、BM．∵△ABC是等边三角形，∴AM⊥BC．又∵PB=PC，∴PM⊥BC．∵AM∩PM=M，∴BC⊥平面PAM，则PA⊥BC；（2）解：记O是等边三角形的中心，则PO⊥平面ABC．∵△ABC是边长为6的等边三角形，∴．∴，，∵，∴；．18．如图，我海监船在D岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A处，此时测得其北偏东30°方向与它相距20海里的B处有一外国船只，且D岛位于海监船正东18海里处．（1）求此时该外国船只与D岛的距离；（2）观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方航行．为了将该船拦截在离D岛12海里的E处（E在B的正南方向），不让其进入D岛12海里内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值（角度精确到0.1°，速度精确到0.1海里/小时）．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）依题意，在△ABD中，∠DAB=60°，由余弦定理求得DB；（2）法一、过点B作BH⊥AD于点H，在Rt△ABH中，求解直角三角形可得HE、AE的值，进一步得到sin∠EAH，则∠EAH可求，求出外国船只到达E处的时间t，由求得速度的最小值．法二、建立以点A为坐标原点，AD为x轴，过点A往正北作垂直的y轴．可得A，D，B的坐标，设经过t小时外国船到达点，结合ED=12，得，列等式求得t，则，，再由求得速度的最小值．【解答】解：（1）依题意，在△ABD中，∠DAB=60°，由余弦定理得DB2=AD2+AB2﹣2AD•AB•cos60°=182+202﹣2×18×15×cos60°=364，∴，即此时该外国船只与D岛的距离为海里；（2）法一、过点B作BH⊥AD于点H，在Rt△ABH中，AH=10，∴HD=AD﹣AH=8，以D为圆心，12为半径的圆交BH于点E，连结AE、DE，在Rt△DEH中，HE=，∴，又AE=，∴sin∠EAH=，则≈41.81°．外国船只到达点E的时间（小时）．∴海监船的速度（海里/小时）．又90°﹣41.81°=48.2°，故海监船的航向为北偏东48.2°，速度的最小值为6.4海里/小时．法二、建立以点A为坐标原点，AD为x轴，过点A往正北作垂直的y轴．则A（0，0），D（18，0），，设经过t小时外国船到达点，又ED=12，得，此时（小时）．则，，∴监测船的航向东偏北41.81°．∴海监船的速度（海里/小时）．19．已知二次函数f（x）=ax2﹣4x+c的值域为[0，+∞）．（1）判断此函数的奇偶性，并说明理由；（2）判断此函数在[，+∞）的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；（3）求出f（x）在[1，+∞）上的最小值g（a），并求g（a）的值域．【考点】二次函数的性质．【分析】（1）由二次函数f（x）=ax2﹣4x+c的值域，推出ac=4，判断f（﹣1）≠f（1），f（﹣1）≠﹣f（1），得到此函数是非奇非偶函数．（2）求出函数的单调递增区间．设x1、x2是满足的任意两个数，列出不等式，推出f（x2）＞f（x1），即可判断函数是单调递增．（3）f（x）=ax2﹣4x+c，当，即0＜a≤2时，当，即a＞2时求出最小值即可．【解答】解：（1）由二次函数f（x）=ax2﹣4x+c的值域为[0，+∞），得a＞0且，解得ac=4．…∵f（1）=a+c﹣4，f（﹣1）=a+c+4，a＞0且c＞0，从而f（﹣1）≠f（1），f（﹣1）≠﹣f（1），∴此函数是非奇非偶函数．…（2）函数的单调递增区间是[，+∞）．设x1、x2是满足的任意两个数，从而有，∴．又a＞0，∴，从而，即，从而f（x2）＞f（x1），∴函数在[，+∞）上是单调递增．…（3）f（x）=ax2﹣4x+c，又a＞0，，x∈[1，+∞）当，即0＜a≤2时，最小值g（a）=f（x0）=0当，即a＞2时，最小值综上，最小值…当0＜a≤2时，最小值g（a）=0当a＞2时，最小值综上y=g（a）的值域为[0，+∞）…20．椭圆C：过点M（2，0），且右焦点为F（1，0），过F 的直线l与椭圆C相交于A、B两点．设点P（4，3），记PA、PB的斜率分别为k1和k2．（1）求椭圆C的方程；（2）如果直线l的斜率等于﹣1，求出k1•k2的值；（3）探讨k1+k2是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出k1+k2的取值范围．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）利用已知条件求出b，即可求解椭圆方程．（2）直线l：y=﹣x+1，设AB坐标，联立利用韦达定理以及斜率公式求解即可．（3）当直线AB的斜率不存在时，不妨设A，B，求出斜率，即可；当直线AB 的斜率存在时，设其为k，求直线AB：y=k（x﹣1），联立直线与椭圆的方程组，利用韦达定理以及斜率公式化简求解即可．【解答】解：（1）∵a=2，又c=1，∴，∴椭圆方程为…（2）直线l：y=﹣x+1，设A（x1，y1）B（x2，y2），由消y得7x2﹣8x﹣8=0，有，．……（3）当直线AB的斜率不存在时，不妨设A（1，），B（1，﹣），则，，故k1+k2=2．…当直线AB的斜率存在时，设其为k，则直线AB：y=k（x﹣1），设A（x1，y1）B （x2，y2），由消y得（4k2+3）x2﹣8k2x+（4k2﹣12）=0，有，．…=…21．已知函数f（x）=2|x+2|﹣|x+1|，无穷数列{a n}的首项a1=a．（1）如果a n=f（n）（n∈N*），写出数列{a n}的通项公式；（2）如果a n=f（a n﹣1）（n∈N*且n≥2），要使得数列{a n}是等差数列，求首项a 的取值范围；（3）如果a n=f（a n﹣1）（n∈N*且n≥2），求出数列{a n}的前n项和S n．【考点】数列与函数的综合．【分析】（1）化简函数f（x）为分段函数，然后求出a n=f（n）=n+3．（2）如果{a n}是等差数列，求出公差d，首项，然后求解a的范围．（3）当a≥﹣1时，求出前n项和，当﹣2≤a≤﹣1时，当a≤﹣2时，分别求出n项和即可．【解答】解：（1）∵函数f（x）=2|x+2|﹣|x+1|=，…又n≥1且n∈N*，∴a n=f（n）=n+3．…（2）如果{a n}是等差数列，则a n﹣a n﹣1=d，a n=a n﹣1+d，由f（x）知一定有a n=a n﹣1+3，公差d=3．当a1≥﹣1时，符合题意．当﹣2≤a1≤﹣1时，a2=3a1+5，由a2﹣a1=3得3a1+5﹣a1=3，得a1=﹣1，a2=2．当a1≤﹣2时，a2=﹣a1﹣3，由a2﹣a1=3得﹣a1﹣3﹣a1=3，得a1=﹣3，此时a2=0．综上所述，可得a的取值范围是a≥﹣1或a=﹣3．…（3）当a≥﹣1时，a n=f（a n﹣1）=a n﹣1+3，∴数列{a n}是以a为首项，公差为3的等差数列，．…当﹣2≤a≤﹣1时，a2=3a1+5=3a+5≥﹣1，∴n≥3时，a n=a n﹣1+3．∴n=1时，S1=a．n ≥2时，又S1=a也满足上式，∴（n∈N*）…当a≤﹣2时，a2=﹣a1﹣3=﹣a﹣3≥﹣1，∴n≥3时，a n=a n﹣1+3．∴n=1时，S1=a．n ≥2时，又S1=a也满足上式，∴（n∈N*）．综上所述：S n=．…．。
2017年上海市高考数学模拟试卷一、填空题（本大题满分54分，1-6每小题4分，7-12每小题4分）1．计算：=．2．设函数f（x）=的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（4）=．3．已知复数（i为虚数单位），则|z|=．4．函数，若存在锐角θ满足f（θ）=2，则θ=．5．已知球的半径为R，若球面上两点A，B的球面距离为，则这两点A，B 间的距离为．6．若（2+x）n的二项展开式中，所有二项式的系数和为256，则正整数n=．7．设k为常数，且，则用k表示sin2α的式子为sin2α=．8．设椭圆的两个焦点为F1，F2，M是椭圆上任一动点，则的取值范围为．9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，sinC=2 sinB，则A角大小为．10．设f（x）=lgx，若f（1﹣a）﹣f（a）＞0，则实数a的取值范围为．11．已知数列{a n}满足：a1=1，a n+a n=（）n，n∈N*，则=．+112．已知△ABC的面积为360，点P是三角形所在平面内一点，且，则△PAB的面积为．二、选择题（本大题满分20分）13．已知集合A={x|x＞﹣1}，则下列选项正确的是（）A．0⊆A B．{0}⊆A C．∅∈A D．{0}∈A14．设x，y∈R，则“|x|+|y|＞1”的一个充分条件是（）A．|x|≥1 B．|x+y|≥1 C．y≤﹣2 D．且15．图中曲线的方程可以是（）A．（x+y﹣1）•（x2+y2﹣1）=0 B．C．D．16．已知非空集合M满足：对任意x∈M，总有x2∉M且，若M⊆{0，1，2，3，4，5}，则满足条件M的个数是（）A．11 B．12 C．15 D．16三、解答题（本大题满分76分）17．已知A是圆锥的顶点，BD是圆锥底面的直径，C是底面圆周上一点，BD=2，BC=1，AC与底面所成角的大小为，过点A作截面ABC，ACD，截去部分后的几何体如图所示．（1）求原来圆锥的侧面积；（2）求该几何体的体积．18．已知双曲线Γ：（a＞0，b＞0），直线l：x+y﹣2=0，F1，F2为双曲线Γ的两个焦点，l与双曲线Γ的一条渐近线平行且过其中一个焦点．（1）求双曲线Γ的方程；（2）设Γ与l的交点为P，求∠F1PF2的角平分线所在直线的方程．19．某租车公司给出的财务报表如下：1014年（1﹣121015年（1﹣121016年（1﹣11月）月）月）接单量（单）144632724012512550331996油费（元）214301962591305364653214963平均每单油费t（元）14.8214.49平均每单里程k（公里）1515每公里油耗a（元）0.70.70.7有投资者在研究上述报表时，发现租车公司有空驶情况，并给出空驶率的计算公式为．（1）分别计算2014，2015年该公司的空驶率的值（精确到0.01%）；（2）2016年该公司加强了流程管理，利用租车软件，降低了空驶率并提高了平均每单里程，核算截止到11月30日，空驶率在2015年的基础上降低了20个百分点，问2016年前11个月的平均每单油费和平均每单里程分别为多少？（分别精确到0.01元和0.01公里）20．已知数列{a n}，{b n}与函数f（x），{a n}是首项a1=15，公差d≠0的等差数列，{b n}满足：b n=f（a n）．（1）若a4，a7，a8成等比数列，求d的值；（2）若d=2，f（x）=|x﹣21|，求{b n}的前n项和S n；（3）若d=﹣1，f（x）=e x，T n=b1•b2•b3…b n，问n为何值时，T n的值最大？21．对于函数f（x），若存在实数m，使得f（x+m）﹣f（m）为R上的奇函数，则称f（x）是位差值为m的“位差奇函数”．（1）判断函数f（x）=2x+1和g（x）=2x是否为位差奇函数？说明理由；（2）若f（x）=sin（x+φ）是位差值为的位差奇函数，求φ的值；（3）若f（x）=x3+bx2+cx对任意属于区间中的m都不是位差奇函数，求实数b，c满足的条件．2017年上海市高考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分54分，1-6每小题4分，7-12每小题4分）1．计算：=﹣2．【考点】二阶矩阵．【分析】利用二阶行列式对角线法则直接求解．【解答】解：=4×1﹣3×2=﹣2．故答案为：﹣2．2．设函数f（x）=的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（4）=16．【考点】反函数．【分析】先求出x=y2，y≥0，互换x，y，得f﹣1（x）=x2，x≥0，由此能求出f﹣1（4）．【解答】解：∵函数f（x）=y=的反函数是f﹣1（x），∴x=y2，y≥0，互换x，y，得f﹣1（x）=x2，x≥0，∴f﹣1（4）=42=16．故答案为：16．3．已知复数（i为虚数单位），则|z|=2．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数模的计算公式即可得出．【解答】解：复数（i为虚数单位），则|z|==2．故答案为：2、4．函数，若存在锐角θ满足f（θ）=2，则θ=．【考点】三角函数的化简求值．【分析】运用两角和的正弦公式和特殊角的正弦函数值，计算即可得到所求值．【解答】解：函数=2（sinx+cosx）=2sin（x+），由若存在锐角θ满足f（θ）=2，即有2sin（θ+）=2，解得θ=﹣=．故答案为：．5．已知球的半径为R，若球面上两点A，B的球面距离为，则这两点A，B 间的距离为R．【考点】球面距离及相关计算．【分析】两点A、B间的球面距离为，可得∠AOB=，即可求出两点A，B 间的距离．【解答】解：两点A、B间的球面距离为，∴∠AOB=．∴两点A，B间的距离为R，故答案为：R．6．若（2+x）n的二项展开式中，所有二项式的系数和为256，则正整数n=8．【考点】二项式系数的性质．【分析】由题意可得：2n=256，解得n．【解答】解：由题意可得：2n=256，解得n=8．故答案为：8．7．设k为常数，且，则用k表示sin2α的式子为sin2α=2k2﹣1．【考点】二倍角的正弦．【分析】利用两角差的余弦函数公式化简已知等式，进而两边平方利用二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式即可求解．【解答】解：∵，∴（cosα+sinα）=k，可得：cosα+sinα=k，∴两边平方可得：cos2α+sin2α+2cosαsinα=2k2，可得：1+sin2α=2k2，∴sin2α=2k2﹣1．故答案为：sin2α=2k2﹣1．8．设椭圆的两个焦点为F1，F2，M是椭圆上任一动点，则的取值范围为[﹣2，1] ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可知：焦点坐标为F1（﹣，0），F2（，0），设点M坐标为M（x，y），可得y2=1﹣，=（﹣﹣x，﹣y）•（﹣x，﹣y）=x2﹣3+1﹣=﹣2，则x2∈[0，4]，的取值范围为[﹣2，1]．【解答】解：如下图所示，在直角坐标系中作出椭圆：由椭圆，a=2，b=1，c=，则焦点坐标为F1（﹣，0），F2（，0），设点M坐标为M（x，y），由，可得y2=1﹣；=（﹣﹣x，﹣y），﹣=（﹣x，﹣y）；=（﹣﹣x，﹣y）•（﹣x，﹣y）=x2﹣3+1﹣=﹣2，由题意可知：x∈[﹣2，2]，则x2∈[0，4]，∴的取值范围为[﹣2，1]．故答案为：[﹣2，1]．9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，sinC=2 sinB，则A角大小为．【考点】余弦定理；同角三角函数基本关系的运用．【分析】先利用正弦定理化简sinC=2sinB，得到c与b的关系式，代入中得到a2与b2的关系式，然后利用余弦定理表示出cosA，把表示出的关系式分别代入即可求出cosA的值，根据A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的值．【解答】解：由sinC=2sinB得：c=2b，所以=•2b2，即a2=7b2，则cosA===，又A∈（0，π），所以A=．故答案为：10．设f（x）=lgx，若f（1﹣a）﹣f（a）＞0，则实数a的取值范围为．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】由题意，f（x）=lgx在（0，+∞）上单调递增，利用f（﹣a）﹣f（a）＞0，可得﹣a＞a＞0，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：由题意，f（x）=lgx在（0，+∞）上单调递增，∵f（1﹣a）﹣f（a）＞0，∴1﹣a＞a＞0，∴a∈，故答案为11．已知数列{a n}满足：a1=1，a n+a n=（）n，n∈N*，则=﹣．+1【考点】极限及其运算．【分析】由已知推导出S2n=（1﹣），S2n﹣1=1+，从而a2n=S2n =﹣[1+（1﹣）]，由此能求出．﹣S2n﹣1【解答】解：∵数列{a n}满足：a1=1，，n∈N*，∴（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2n﹣1+a2n）===（1﹣）=（1﹣），∴S2n=（1﹣），a1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（a2n+a2n﹣1）﹣2=1+=1+=1+，=1+，∴S2n﹣1∴a2n=S2n﹣S2n﹣1=﹣[1+（1﹣）]，∴=﹣[1+（1﹣）]==﹣．故答案为：．12．已知△ABC的面积为360，点P是三角形所在平面内一点，且，则△PAB的面积为90．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】取AB的中点D，AC的中点E，则P为DE的中点，利用相似比，可得结论．【解答】解：取AB的中点D，AC的中点E，则P为DE的中点，∵△ABC的面积为360，∴△PAB的面积=△ADE的面积==90．故答案为90．二、选择题（本大题满分20分）13．已知集合A={x|x＞﹣1}，则下列选项正确的是（）A．0⊆A B．{0}⊆A C．∅∈A D．{0}∈A【考点】元素与集合关系的判断．【分析】根据元素与集合的关系，用∈，集合与集合的关系，用⊆，可得结论．【解答】解：根据元素与集合的关系，用∈，集合与集合的关系，用⊆，可知B 正确．故选B．14．设x，y∈R，则“|x|+|y|＞1”的一个充分条件是（）A．|x|≥1 B．|x+y|≥1 C．y≤﹣2 D．且【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：A．当x=1，y=0时，满足|x|≥1时，但|x|+|y|=1＞1不成立，不满足条件．B．当x=1，y=0时，满足|x+y|≥1时，但|x|+|y|=1＞1不成立，不满足条件．C．当y≤﹣2时，|y|≥2，则|x|+|y|＞1成立，即充分性成立，满足条件．D．当且，则|x|+|y|≥1，等取等号时，不等式不成立，即充分性不成立，不满足条件．故选：C．15．图中曲线的方程可以是（）A．（x+y﹣1）•（x2+y2﹣1）=0 B．C．D．【考点】曲线与方程．【分析】由图象可知曲线的方程可以是x2+y2=1或x+y﹣1=0（x2+y2≥1），即可得出结论．【解答】解：由图象可知曲线的方程可以是x2+y2=1或x+y﹣1=0（x2+y2≥1），故选C．16．已知非空集合M满足：对任意x∈M，总有x2∉M且，若M⊆{0，1，2，3，4，5}，则满足条件M的个数是（）A．11 B．12 C．15 D．16【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】由题意M是集合{2，3，4，5}的非空子集，且2，4不同时出现，同时出现有4个，即可得出结论．【解答】解：由题意M是集合{2，3，4，5}的非空子集，有15个，且2，4不同时出现，同时出现有4个，故满足题意的M有11个，故选：A．三、解答题（本大题满分76分）17．已知A是圆锥的顶点，BD是圆锥底面的直径，C是底面圆周上一点，BD=2，BC=1，AC与底面所成角的大小为，过点A作截面ABC，ACD，截去部分后的几何体如图所示．（1）求原来圆锥的侧面积；（2）求该几何体的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积． 【分析】（1）设BD 的中点为O ，连结OA ，OC ，则OA ⊥平面BCD ．由经能求出S 圆锥侧．（2）该几何体的体积V=（S △BCD +S 半圆）•AO ，由此能求出结果． 【解答】解：（1）设BD 的中点为O ，连结OA ，OC ， ∵A 是圆锥的顶点，BD 是圆锥底面的直径， ∴OA ⊥平面BCD ．∵BD=2，BC=1，AC 与底面所成角的大小为，过点A 作截面ABC ，ACD ，∴在Rt △AOC 中，OC=1，，AC=2，AO=，∴S 圆锥侧=πrl==2π．（2）该几何体为三棱锥与半个圆锥的组合体， ∵AO=，∠BCD=90°，∴CD=，该几何体的体积V=（S △BCD +S 半圆）•AO ==．18．已知双曲线Γ：（a＞0，b＞0），直线l：x+y﹣2=0，F1，F2为双曲线Γ的两个焦点，l与双曲线Γ的一条渐近线平行且过其中一个焦点．（1）求双曲线Γ的方程；（2）设Γ与l的交点为P，求∠F1PF2的角平分线所在直线的方程．【考点】双曲线的简单性质．【分析】（1）依题意，双曲线的渐近线方程为y=±x，焦点坐标为F1（﹣2，0），F2（2，0），即可求双曲线Γ的方程；（2）设Γ与l的交点为P，求出P的坐标，利用夹角公式，即可求∠F1PF2的角平分线所在直线的方程．【解答】解：（1）依题意，双曲线的渐近线方程为y=±x，焦点坐标为F1（﹣2，0），F2（2，0），∴双曲线方程为x2﹣y2=2；（2），显然∠F1PF2的角平分线所在直线斜率k存在，且k＞0，，，于是．∴为所求．19．某租车公司给出的财务报表如下：1014年（1﹣12月）1015年（1﹣12月）1016年（1﹣11月）接单量（单）144632724012512550331996油费（元）214301962591305364653214963平均每单油费t（元）14.8214.49平均每单里程k（公里）1515每公里油耗a（元）0.70.70.7有投资者在研究上述报表时，发现租车公司有空驶情况，并给出空驶率的计算公式为．（1）分别计算2014，2015年该公司的空驶率的值（精确到0.01%）；（2）2016年该公司加强了流程管理，利用租车软件，降低了空驶率并提高了平均每单里程，核算截止到11月30日，空驶率在2015年的基础上降低了20个百分点，问2016年前11个月的平均每单油费和平均每单里程分别为多少？（分别精确到0.01元和0.01公里）【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）根据空驶率的计算公式为，带入计算即可；（2）根据T2016的值，求出k的值，从而求出2016年前11个月的平均每单油费和平均每单里程．【解答】解：（1），，∴2014、2015年，该公司空驶率分别为41.14%和38.00%．（2），T2016=38%﹣20%=18%．由，∴2016年前11个月的平均每单油费为12.98元，平均每单里程为15.71km．20．已知数列{a n}，{b n}与函数f（x），{a n}是首项a1=15，公差d≠0的等差数列，{b n}满足：b n=f（a n）．（1）若a4，a7，a8成等比数列，求d的值；（2）若d=2，f（x）=|x﹣21|，求{b n}的前n项和S n；（3）若d=﹣1，f（x）=e x，T n=b1•b2•b3…b n，问n为何值时，T n的值最大？【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由a4，a7，a8成等比数列，可得=a4•a8，可得（15+6d）2=（15+3d）（15+7d），化简解出即可得出．．（2）依题意，a n=15+2（n﹣1）=2n+13，b n=|2n﹣8|，对n分类讨论，利用等差数列的求和公式即可得出．（3）依题意，a n=15﹣（n﹣1）=16﹣n，，利用指数运算性质、等差数列的求和公式及其二次函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）∵a4，a7，a8成等比数列，∴=a4•a8，∴（15+6d）2=（15+3d）（15+7d），化为：d2+2d=0，∵d≠0，∴d=﹣2．（2）依题意，a n=15+2（n﹣1）=2n+13，b n=|2n﹣8|，∴，∴．（3）依题意，a n=15﹣（n﹣1）=16﹣n，，，∴当n=15或16时，T n最大．21．对于函数f（x），若存在实数m，使得f（x+m）﹣f（m）为R上的奇函数，则称f（x）是位差值为m的“位差奇函数”．（1）判断函数f（x）=2x+1和g（x）=2x是否为位差奇函数？说明理由；（2）若f（x）=sin（x+φ）是位差值为的位差奇函数，求φ的值；（3）若f（x）=x3+bx2+cx对任意属于区间中的m都不是位差奇函数，求实数b，c满足的条件．【考点】抽象函数及其应用；函数奇偶性的性质．【分析】（1）根据“位差奇函数”的定义．考查h（x）=g（x+m）﹣g（m）=2x+m ﹣2m=2m（2x﹣1）即可，（2）依题意，是奇函数，求出φ；（3）记h（x）=f（x+m）﹣f（m）=（x+m）3+b（x+m）2+c（x+m）﹣m3﹣bm2﹣cm=x3+（3m+b）x2+（3m2+2bm+c）x．假设h（x）是奇函数，则3m+b=0，此时．故要使h（x）不是奇函数，必须且只需．【解答】解：（1）对于f（x）=2x+1，f（x+m）﹣f（m）=2（x+m）+1﹣（2m+1）=2x，∴对任意实数m，f（x+m）﹣f（m）是奇函数，即f（x）是位差值为任意实数m的“位差奇函数”；对于g（x）=2x，记h（x）=g（x+m）﹣g（m）=2x+m﹣2m=2m（2x﹣1），由h（x）+h（﹣x）=2m（2x﹣1）+2m（2﹣x﹣1）=0，当且仅当x=0等式成立，∴对任意实数m，g（x+m）﹣g（m）都不是奇函数，则g（x）不是“位差奇函数”；（2）依题意，是奇函数，∴（k∈Z）．（3）记h（x）=f（x+m）﹣f（m）=（x+m）3+b（x+m）2+c（x+m）﹣m3﹣bm2﹣cm=x3+（3m+b）x2+（3m2+2bm+c）x．依题意，h（x）对任意都不是奇函数，若h（x）是奇函数，则3m+b=0，此时．故要使h（x）不是奇函数，必须且只需，且c∈R．2017年2月1日。
2017年上海市高三二模数学填选难题2017-41. 虹口11. 在直角△ABC 中，2A π∠=，1AB =，2AC =，M 是△ABC 内一点，且12AM =，若AM AB AC λμ=+u u u u r u u u r u u u r ，则2λμ+的最大值为12. 无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意的正整数n 都有12310{,,,,}n S k k k k ∈L ，10a 的可能取值最多．．有_____ 个16. 已知点(,)M a b 与点(0,1)N -在直线3450x y -+=的两侧，给出以下结论：①3450x y -+>；② 当0a >时，a b +有最小值，无最大值；③ 221a b +>；④ 当0a >且1a ≠时，11b a +-的取值范围是93(,)(,)44-∞-+∞U .正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 42. 黄浦11. 三棱锥P ABC -满足：AB AC ⊥，AB AP ⊥，2AB =，4AP AC +=，则该三棱锥的体积V 的取值范围是12. 对于数列{}n a ，若存在正整数T ，对于任意正整数n 都有n T n a a +=成立，则称数列{}n a 是以T 为周期的周期数列，设1b m =(01)m <<，对任意正整数n 有11,11,01n n n n nb b b b b +->⎧⎪=⎨<≤⎪⎩，若数列{}n b 是以5为周期的周期数列，则m 的值可以是 （只要求填写满足条件的一个m 值即可）16. 如图所示，23BAC π∠=，圆M 与AB 、AC 分别相切于点D 、E ，1AD =，点P 是圆M 及其内部任意一点，且AP x AD y AE =+u u u r u u u r u u u r (,)x y R ∈，则x y +取值范围是（ ）A. [1,4+B. [4-+C. [1,2+D. [2-+3. 杨浦11. 已知0a >，0b >，当21(4)a b ab++取到最小值时，b =12. 设函数()||||a f x x x a =+-，当a 在实数范围内变化时，在圆盘221x y +≤内，且不在任一()a f x 的图像上的点的全体组成的图形的面积为16. 对于定义在R 上的函数()f x ，若存在正常数a 、b ，使得()()f x a f x b +≤+对一切x R ∈均成立，则称()f x是“控制增长函数”，在以下四个函数中：① 2()1f x x x =++；② ()f x = 2()sin()f x x =；④ ()sin f x x x =⋅.是“控制增长函数”的有（ ）A. ②③B. ③④C. ②③④D. ①②④4. 奉贤11. 已知实数x 、y 满足方程22(1)(1)1x a y -++-=，当0y b ≤≤()b R ∈时，由此方程可以确定一个偶函数()y f x =，则抛物线212y x =-的焦点F 到点(,)a b 的轨迹上点的距离最大值为12. 设1x 、2x 、3x 、4x 为自然数1、2、3、4的一个全排列，且满足1234|1||2||3||4|6x x x x -+-+-+-=，则这样的排列有 个16. 如图，在△ABC 中，BC a =，AC b =，AB c =，O 是△ABC 的外心，OD BC ⊥于D ，OE AC ⊥于E ，OF AB ⊥于F ，则::OD OE OF 等于（ ）A. ::a b cB. 111::a b cC. sin :sin :sin A B CD. cos :cos :cos A B C5. 长宁金山青浦11. 已知函数()||f x x x a =-，若对任意1[2,3]x ∈，2[2,3]x ∈，12x x ≠，恒有1212()()()22x x f x f x f ++>，则实数a 的取值范围为12. 对于给定的实数0k >，函数()k f x x=的图像上总存在点C ，使得以C 为圆心，1为半径的圆上有两个不同的点到原点O 的距离为1，则k 的取值范围是16. 设1x 、2x 、…、10x 为1、2、…、10的一个排列，则满足对任意正整数m 、n ，且110m n ≤<≤，都有m n x m x n +≤+成立的不同排列的个数为（ ）A. 512B. 256C. 255D. 646. 浦东11. 已知各项均为正数的数列{}n a 满足11(2)(1)0n n n n a a a a ++--=*()n N ∈，且110a a =，则首项1a 所有可能取值中最大值为12. 已知平面上三个不同的单位向量a r 、b r 、c r 满足12a b b c ⋅=⋅=r r r r ，若e r 为平面内的任意单位向量，则 ||2||3||a e b e c e ⋅+⋅+⋅r r r r r r 的最大值为16. 已知等比数列1a 、2a 、3a 、4a 满足)1,0(1∈a ，)2,1(2∈a ，)4,2(3∈a ，则4a 的取值范围是（ ）A. (3,8)B. (2,16)C. (4,8)D.7. 闵行11. 已知定点(1,1)A ，动点P 在圆221x y +=上，点P 关于直线y x =的对称点为P '，向量AQ OP '=u u u r u u u r ，O 是坐标原点，则||PQ uuu r 的取值范围是12. 已知递增数列{}n a 共有2017项，且各项均不为零，20171a =，如果从{}n a 中任取两项i a 、j a ，当i j <时，j i a a -仍是数列{}n a 中的项，则数列{}n a 的各项和2017S =16. 设函数()y f x =的定义域是R ，对于以下四个命题：① 若()y f x =是奇函数，则(())y f f x =也是奇函数；② 若()y f x =是周期函数，则(())y f f x =也是周期函数；③ 若()y f x =是单调递减函数，则(())y f f x =也是单调递减函数；④ 若函数()y f x =存在反函数1()y f x -=，且函数1()()y f x f x -=-有零点，则函数()y f x x =-也有零点. 其中正确的命题共有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8. 普陀11. 设0a <，若不等式22sin (1)cos 10x a x a +-+-≥对于任意的R x ∈恒成立，则a 的取值范围是12. 在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，M 是直线DE 上的动点. 若△ABC 的面积为1，则2MB MC BC ⋅+u u u r u u u u r u u u r 的最小值为16. 关于函数2sin y x =的判断，正确的是（ ）A. 最小正周期为2π，值域为[1,1]-，在区间[,]22ππ-上是单调减函数 B. 最小正周期为π，值域为[1,1]-，在区间[0,]2π上是单调减函数 C. 最小正周期为π，值域为[0,1]，在区间[0,]2π上是单调增函数 D. 最小正周期为2π，值域为[0,1]，在区间[,]22ππ-上是单调增函数9. 徐汇11. 如图：在△ABC 中，M 为BC 上不同于B 、C 的任意一点，点N 满足2AN NM =u u u r u u u u r ，若AN xAB y AC =+u u u r u u u r u u u r，则229x y +的最小值为12. 设单调函数()y p x =的定义域为D ，值域为A ，如果单调函数()y q x =使得函数(())y p q x =的值域也是A ，则称函数()y q x =是函数()y p x =的一个“保值域函数”，已知定义域为[,]a b 的函数2()|3|h x x =-，函数()f x 与()g x 互为反函数，且()h x 是()f x 的一个“保值域函数”， ()g x 是()h x 的一个“保值域函数”，则b a -=16. 过椭圆2214x y m m +=-(4)m >右焦点F 的圆与圆22:1O x y +=外切，则该圆直径FQ 的端点Q 的轨迹是（ ）A. 一条射线B. 两条射线C. 双曲线的一支D. 抛物线10. 静安10. 若适合不等式2|4||3|5x x k x -++-≤的x 最大值为3，则实数k 的值为11. 已知1()1x f x x -=+，数列{}n a 满足112a =，对于任意*n N ∈都满足2()n n a f a +=，且0n a >，若2018a a =，则20162017a a +=15. 曲线C 为：到两定点(2,0)M -、(2,0)N 的距离乘积为常数16的动点P 的轨迹，以下结论： ① 曲线C 经过原点；② 曲线C 关于x 轴对称，但不关于y 轴对称；③ △MPN 的面积不大于8；④ 曲线C 在一个面积为60的矩形范围内. 其中正确的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 311. 崇明11. 已知函数22sin(),0()3cos(),0x x x f x x x x πα⎧++>⎪=⎨⎪-++<⎩，[0,2)απ∈是奇函数，则α=12. 已知△ABC 是边长为PQ 为△ABC 外接圆O 的一条直径，M 为△ABC 边长的动点，则PM MQ ⋅u u u u r u u u u r 的最大值是16. 设函数()x x x f x a b c =+-，其中0c a >>，0c b >>，若a 、b 、c 是△ABC 的三条边长，则下列结论：① 对于一切(,1)x ∈-∞都有()0f x >；② 存在0x >使x xa 、x b 、x c 不能构成一个三角形的三边长；③ 若△ABC 为钝角三角形，存在(1,2)x ∈，使()0f x =. 其中正确的个数为（ ）A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个12. 松江11. 如图同心圆中，大、小圆的半径分别为2和1，点P 在大圆上，PA 与小圆相切于点A ，Q 为小圆上的点，则PA PQ ⋅u u u r u u u r 的取值范围是12题、16题同闵行12题、16题13. 嘉定11. 设等差数列{}n a 的各项都是正数，前n 项和为n S ，公差为d . 若数列也是公差为d 的等差数列，则}{n a 的通项公式为n a =12. 设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数（如[2.32]2=，[ 4.76]5-=-），对于给定的*n ∈N ，定义(1)([]1)(1)([]1)x n n n n x C x x x x --+=--+L L ，其中[1,)x ∈+∞，则当3[,3)2x ∈时，函数x C x f 10)(=的值域是16. 已知()f x 是偶函数，且()f x 在[0,)+∞上是增函数，若(1)(2)f ax f x +≤-在1[,1]2x ∈上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. [2,1]-B. [2,0]-C. [1,1]-D. [1,0]-14. 宝山11. 设向量(,)m x y =u r ，(,)n x y =-r ，P 为曲线1m n ⋅=u r r (0)x >上的一个动点，若点P 到直线10x y -+=的距离大于λ恒成立，则实数λ的最大值为12题同长宁16题15. 如图，在同一平面内，点P 位于两平行直线1l 、2l 两侧，且P 到1l 、2l 距离分别为1、3，点M 、N 分别在1l 、2l 上，||8PM PN +=u u u u r u u u r ，则PM PN ⋅u u u u r u u u r 的最大值为（ ）A. 15B. 12C. 10D. 916. 若存在t R ∈与正数m ，使()()F t m F t m -=+成立，则称“函数()F x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”，设2()x f x xλ+=(0)x >，若对于任意t ∈，总存在正数m ，使得“函数()f x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”，则实数λ取值范围是（ ）A. (0,2]B. (1,2]C. [1,2]D. [1,4]。
虹口区2017学年度第二学期高三等级考试物 理 试 卷考生注意：1.试卷满分100分。
考试时间60分钟。
2.本考试分设试卷和答题纸。
试卷包括三部分，第一部分为选择题，第二部分为填空题，第三部分为综合题。
3.作答必须写在答题纸上，在试卷上作答一律不得分。
一、选择题（共40分。
第1-8小题，每小题3分。
第9-12小题，每小题4分。
每小题只有一个正确答案。
）1．某移动电源上标志的4500mAh 反映的物理量是 （ ） A ．电压 B ．电量 C ．功率 D ．能量2．太阳放出的能量来自于 （ ） A ．重核裂变 B ．天然衰变 C ．轻核聚变 D ．人工转变3．下列射线中，属于原子核的高速电子流是 （ ） A ．阴极射线 B ．β射线 C ．α射线 D ．γ射线4．雷达通过发射一定波长的无线电波来探测空中目标，我国研制的米波雷达对隐形战机有较强的探测能力，其发出的无线电波的频率约为 （ ）A ．102 HzB ．104 HzC ．106 HzD ．108Hz5．用一束紫外线照射某金属时不能产生光电效应，可能使该金属产生光电效应的措施是（ ）A ．改用紫光照射B ．改用X 射线照射C ．增大紫外线强度D ．延长照射时间6．如图所示，一定质量的理想气体，从状态1变化到状态2，气体温度变化是 （ ）A ．逐渐升高B ．逐渐降低C ．不变D ．先升高后降低7．有四个电源，电动势均为8V ，阻分别为2Ω、3Ω、5Ω、8Ω，这四个电源现分别对一个R =5Ω的定值电阻供电，为使R 上获得最大的功率应选择的电源阻为 （ ） A ．2Ω B ．3Ω C ．5Ω D ．8Ω 8．如图所示，一个条形磁铁从线圈上方很远处开始向下匀速穿过一环形线圈，t 1表示磁铁中部与线圈共面的时刻，能够正确反映环形线圈中电流随时间变化情况的图是（规定俯视逆时针方向电流为正方向） （ ）p N S9．人在平地上静止站立时，受到的支持力等于人的重力。
2017年上海市高三二模数学填选难题解析2017-4-251. 虹口11. 在直角△ABC 中，2A π∠=，1AB =，2AC =，M 是△ABC 内一点，且12AM =，若AM AB AC λμ=+，则2λμ+的最大值为【解析】将直角三角形放入直角坐标系中，问题可以 简化，(0,0)A 、(0,1)B 、(2,0)C 、(cos ,sin )M θθ(0,)2πθ∈，11(cos ,sin )22AM θθ=，AB AC λμ+(0,1)(2,0)(2,)λμμλ=+=，112sin cos )22242πλμθθθ+=+=+≤.12. 无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意的正整数n 都有12310{,,,,}n S k k k k ∈，10a 的可能取值最多．．有_____ 个【解析】若910S S =，100a =；若910S S ≠，在12310{,,,,}k k k k 中有序任取2个作为9S 和10S ，10109a S S =-，有21090P =种取法；所以综上最多有91个16. 已知点(,)M a b 与点(0,1)N -在直线3450x y -+=的两侧，给出以下结论：①3450x y -+>；② 当0a >时，a b +有最小值，无最大值；③ 221a b +>；④ 当0a >且1a ≠时，11b a +-的取值范围是93(,)(,)44-∞-+∞.正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【解析】① ∵将(0,1)N -代入304(1)50⨯-⨯-+>，∴将(,)M a b 代入3450x y -+<；② ∵(,)M a b 取不到点5(0,)4，∴没有最小值；③ ||MO 大于点O 到直线3450x y -+=的距离1d =，∴221a b +>； ④ 可看作点(,)M a b 与点(1,1)-连线的斜率，数形结合可知斜率范围 为93(,)(,)44-∞-+∞；③④正确，选B 2. 黄浦11. 三棱锥P ABC -满足：AB AC ⊥，AB AP ⊥，2AB =，4AP AC +=，则该三棱锥的体积V 的取值范围是【解析】1233APC APC V S AB S ∆∆=⋅⋅=，12APC S AC AP ∆≤⋅⋅∵4AP AC +=≥，∴4AC AP ⋅≤，122APC S AC AP ∆≤⋅⋅≤，∴4(0,]3V ∈12. 对于数列{}n a ，若存在正整数T ，对于任意正整数n 都有n T n a a +=成立，则称数列{}n a 是以T 为周期的周期数列，设1b m =(01)m <<，对任意正整数n 有11,11,01n n n n nb b b b b +->⎧⎪=⎨<≤⎪⎩，若数列{}n b 是以5为周期的周期数列，则m 的值可以是 （只要求填写满足条件的一个m 值即可）【解析】1b m =，21b m =，311b m =-. 观察可得12m =不符（1）当1(0,)2m ∈，412b m =-；（2）当1(,1)2m ∈，41m b m =-；① 1(0,)3m ∈，513b m =-； ② 11[,)32m ∈，512m b m =-；③ 1(,1)2m ∈，5211m b m -=-；a. 当1(0,)4m ∈，614b m =-；614b m m =-=，解得2m =，舍去负值b. 当11[,)43m ∈，613mb m m==-，解得0m =，舍去c. 当11[,)32m ∈，63112m b m m-==-，解得m =d. 当12(,]23m ∈，6121m b m m -==-，解得2m =，舍去 e. 当2(,1)3m ∈，6321m b m m-==-，解得1m =，舍去负值综上，2m =或12m =或1m = 16. 如图所示，23BAC π∠=，圆M 与AB 、AC 分别相切于点D 、E ，1AD =，点P 是圆M 及其内部任意一点，且AP x AD y AE =+(,)x y R ∈，则x y +取值范围是（ ）A. [1,4+B. [4-+C. [1,2+D. [2-+【解析】如图所示，当P 点位于右图位置时，x y +最大，此时2MA =，MD MP ==2AP AH AG ===，∴2x y ==+，4x y +=+P 位于线段MA 与M 的交点时，可得最小值4x y +=- B.3. 杨浦11. 已知0a >，0b >，当21(4)a b ab++取到最小值时，b = 【解析】2221111(4)16888168a b a b ab ab ab ab ab ab ab ab ++=+++≥++=+≥，当1164ab ab==且4a b =时等号成立，即1a =，14b =12. 设函数()||||a f x x x a =+-，当a 在实数范围内变化时，在圆盘221x y +≤内，且不在任一()a f x 的图像上的点的全体组成的图形的面积为【解析】根据题意，()||||||a f a a a a a =+-=，即 当a 在实数范围内变化时，图像一个分段点为(,||)a a ， 该点轨迹为||y x =，∴结合图像可得图像面积为34π 16. 对于定义在R 上的函数()f x ，若存在正常数a 、b ，使得()()f x a f x b +≤+对一切x R ∈均成立，则称()f x是“控制增长函数”，在以下四个函数中：① 2()1f x x x =++；② ()f x = 2()sin()f x x =；④()sin f x x x =⋅.是“控制增长函数”的有（ ）A. ②③B. ③④C. ②③④D. ①②④ 【解析】① 2()()2f x a f x ax a a R +-=++∈，不成立；② 存在1a =，1b =， 使得不等式(1)()1f x f x +-≤恒成立；③ 存在2b =，使得()()2f x a f x +-≤恒成立；③ 存在2a π=，2b π=，使得(2)()(2)sin(2)sin 2sin 2f x f x x x x x x πππππ+-=++-=≤恒成立；故选C.4. 奉贤11. 已知实数x 、y 满足方程22(1)(1)1x a y -++-=，当0y b ≤≤()b R ∈时，由此方程可以确定一个偶函数()y f x =，则抛物线212y x =-的焦点F 到点(,)a b 的轨迹上点的距离最大值为【解析】根据题意，∵偶函数，∴1a =，∵是一个函数，∴[0,1]b ∈，即点(,)a b 的轨迹是一条线段，抛物线的焦点1(0,)2F -，数形结合可知，焦点F 到(1,1)12. 设1x 、2x 、3x 、4x 为自然数1、2、3、4的一个全排列，且满足1234|1||2||3||4|6x x x x -+-+-+-=，则这样的排列有 个【解析】若11x =，2x 、3x 、4x 共有6种排列，一一代入，没有符合的情况； 若12x =，2x 、3x 、4x 有6种排列，符合情况的有2431、2413、2341三种排列； 若13x =，2x 、3x 、4x 有6种排列，符合情况的有3142、3241两种排列；若14x =，2x 、3x 、4x 有6种排列，符合情况的有4123、4132、4213、4231四种排列； 综上，符合条件的排列共有9个16. 如图，在△ABC 中，BC a =，AC b =，AB c =，O 是△ABC 的外心，OD BC ⊥于D ，OE AC ⊥于E ，OF AB ⊥于F ，则::OD OE OF 等于（ ） A. ::a b c B.111::a b cC. sin :sin :sin A B CD. cos :cos :cos A B C【解析】如右图所示，::::cos 1:cos 2:cos 3OD OE OFOD OE OF OB OC OA==∠∠∠，根据圆的性质， 112BOC A ∠=∠=∠，同理2B ∠=∠，3C ∠=∠，故选D5. 长宁金山青浦11. 已知函数()||f x x x a =-，若对任意1[2,3]x ∈，2[2,3]x ∈，12x x ≠，恒有1212()()()22x x f x f x f ++>，则实数a 的取值范围为【解析】根据题意，()||f x x x a =-在[2,3]上为上凸函数（图像上表现为在[2,3]上的函数图象在两区间端点连线的上方），数形结合可得3a ≥ 12. 对于给定的实数0k >，函数()kf x x=的图像上总存在点C ，使得以C 为圆心，1为半径的圆上有两个不同的点到原点O 的距离为1，则k 的取值范围是【解析】根据题意，即函数图像上至少有一点到原点的距离小于2，∵2222k x k x+≥，2<，解得(0,2)k ∈. 或者数形结合，这个距离原点最近的点在y x =上，代入2<，解得(0,2)k ∈.16. 设1x 、2x 、…、10x 为1、2、…、10的一个排列，则满足对任意正整数m 、n ，且110m n ≤<≤，都有m n x m x n+≤+成立的不同排列的个数为（ ）A. 512B. 256C. 255D. 64【解析】直接思考这个问题会有难度，我们可以改变一些条件，试着从简单开始① 比如前9个数字固定排列为1、2、3、4、5、6、7、8、9，那么最后一个数字只能是10，这时候符合条件的排列个数为1；② 放宽条件，比如前8个数字固定排列为1、2、3、4、5、6、7、8，那么最后2个数字可以是9、10，也可以是10、9，符合条件的排列个数为2；③ 再放宽条件，比如前7个数字固定排列为1、2、3、4、5、6、7，那么最后3个数字可以是8、9、10，或8、10、9，或9、8、10，或10、9、8，符合条件的排列个数为4； ……，继续放宽条件，当前6个数字固定排列为1、2、3、4、5、6时，符合的有8个； 规律出来了，以此类推下去，……，当前2个数字固定为1、2时，符合的有72个， 当第一个数字固定为1时，符合的有82个，当这列数全排列时，符合的有92个.6. 浦东11. 已知各项均为正数的数列{}n a 满足11(2)(1)0n n n n a a a a ++--=*()n N ∈，且110a a =，则首项1a 所有可能取值中最大值为 【解析】根据题意，112n n a a +=或11n n a a +=，取极端情况，1982a a =，81019112a a a a ===∴2812a =，41216a ==. 12. 已知平面上三个不同的单位向量a 、b 、c 满足12a b b c ⋅=⋅=，若e 为平面内的任意单位向量，则 ||2||3||a e b e c e ⋅+⋅+⋅的最大值为【解析】如图构造，31(,)2a =-，(0,1)b =，31(,)2c =， 设(cos ,sin )e θθ=，根据题意，||2||3||a e b e c e ⋅+⋅+⋅=11sin |2|sin |3|sin |22θθθθθ-+++，要取 得最大，∴||2||3||23cos 3sin a e b e c e θθ⋅+⋅+⋅=+≤16. 已知等比数列1a 、2a 、3a 、4a 满足)1,0(1∈a ，)2,1(2∈a ，)4,2(3∈a ，则4a 的取值范围是（ ） A.(3,8) B. (2,16) C. (4,8) D. 【解析】33221(1,4)a q a aa ==⋅∈，233111(2,)a q a a a ==⋅∈+∞，综上，q ∈，∴43a a q =⋅∈，故选D.7. 闵行11. 已知定点(1,1)A ，动点P 在圆221x y +=上，点P 关于直线y x =的对称点为P '，向量AQ OP '=，O 是坐标原点，则||PQ 的取值范围是【解析】设(cos ,sin )P θθ'，∵OQ OA AQ OA OP '=+=+， ∴Q 坐标为(cos 1,sin 1)θθ++，∵(sin ,cos )P θθ，∴222||(cos 1sin )(sin 1cos )PQ θθθθ=+-++-22(sin cos)242sin 2[2,6]θθθ=-+=-∈∴||PQ 的取值范围是.12. 已知递增数列{}n a 共有2017项，且各项均不为零，20171a =，如果从{}n a 中任取两项i a 、j a ，当i j <时，j i a a -仍是数列{}n a 中的项，则数列{}n a 的各项和2017S =【解析】∵递增，∴1232017a a a a <<<⋅⋅⋅<，∵当i j <时，j i a a -仍是数列{}n a 中的项， ∴213141201710a a a a a a a a <-<-<-<⋅⋅⋅<-，且1j a a -都是数列{}n a 中的项， ∴201712016a a a -=、201612015a a a -=、…、211a a a -=，∴{}n a 是首项为1a ，公差为1a 的等差数列，根据201711201620171a a d a =+==，可得112017a d ==，∴20171009S =. 16. 设函数()y f x =的定义域是R ，对于以下四个命题： ① 若()y f x =是奇函数，则(())y f f x =也是奇函数； ② 若()y f x =是周期函数，则(())y f f x =也是周期函数； ③ 若()y f x =是单调递减函数，则(())y f f x =也是单调递减函数；④ 若函数()y f x =存在反函数1()y f x -=，且函数1()()y f x f x -=-有零点，则函数()y f x x =-也有零点. 其中正确的命题共有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【解析】① ∵()y f x =是奇函数，∴()()f x f x -=-， ∴(())(())(())f f x f f x f f x -=-=-，∴①正确； ②()()f x T f x +=，(())(())f f x T f f x +=，②正确； ③ 当x 增大，()f x 减小，(())f f x 增大，∴③错误； ④ 反例如图所示，④错误；故①②正确，选B.8. 普陀11. 设0a <，若不等式22sin (1)cos 10x a x a +-+-≥对于任意的R x ∈恒成立，则a 的取值范围是 【解析】由22sin (1)cos 10x a x a +-+-≥得22cos (1)cos 0x a x a -+-+≥，设cos t x =， 即22()(1)0f t t a t a =+--≤对[1,1]t ∈-恒成立，∴22(1)40a a ∆=-+>，2(1)110f a a -=+--≤，2(1)110f a a =+--≤，0a <，综上解得2a ≤-.12. 在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，M 是直线DE 上的动点. 若△ABC 的面积为1，则2MB MC BC ⋅+的最小值为【解析】取BC 中点F ，12MB MF FB MF BC =+=-， 12MC MF FC MF BC =+=+，∴2MB MC BC ⋅+=22222133||||44MF BC BC MF BC MF BC -+=+≥⋅∵11||||22MBC MF BC S ∆⋅≥=，即||||1MF BC ⋅≥，∴23MB MC BC ⋅+≥ 16. 关于函数2sin y x =的判断，正确的是（ ）A. 最小正周期为2π，值域为[1,1]-，在区间[,]22ππ-上是单调减函数 B. 最小正周期为π，值域为[1,1]-，在区间[0,]2π上是单调减函数C. 最小正周期为π，值域为[0,1]，在区间[0,]2π上是单调增函数D. 最小正周期为2π，值域为[0,1]，在区间[,]22ππ-上是单调增函数 【解析】21cos2sin 2xy x -==，T π=，排除A 、D ，2sin 0y x =≥，排除B ，故选C. 9. 徐汇11. 如图：在△ABC 中，M 为BC 上不同于B 、C 的任意一点，点N 满足2AN NM =，若AN xAB y AC =+， 则229x y +的最小值为【解析】23AN xAB y AC AM =+=，∴3322AM xAB y AC =+，∵B 、M 、C 三点共线，∴33122x y +=，即23x y +=，∴222222299()1012435x y x x x x +=+-=-+≥.12. 设单调函数()y p x =的定义域为D ，值域为A ，如果单调函数()y q x =使得函数(())y p q x =的值域也是A ，则称函数()y q x =是函数()y p x =的一个“保值域函数”，已知定义域为[,]a b 的函数2()|3|h x x =-，函数()f x 与()g x 互为反函数，且()h x 是()f x 的一个“保值域函数”， ()g x 是()h x 的一个“保值域函数”，则b a -= 【解析】∵()f x 、()g x 、()h x 都是单调函数，且根据题意，(())f h x 与()f x 值域相同，(())h g x 与()h x 值域相同，∴()[,]g x a b ∈，∵()f x 与()g x 互为反函数，∴()f x 定义域为[,]a b ，∴()[,]h x a b ∈，∴()h x 的定义域和值域均为[,]a b ，根据数形结合，a 、b 为23x x=-两解，∴1a =，2b =，1b a -=. 16. 过椭圆2214x y m m +=-(4)m >右焦点F 的圆与圆22:1O x y +=外切，则该圆直径FQ 的端点Q 的轨迹是（ ）A. 一条射线B. 两条射线C. 双曲线的一支D. 抛物线【解析】数形结合，设椭圆左焦点为F '，FQ 中点为P ，联结OP 、F Q '，∴OP 是中位线，∴2()2()2F Q F Q P O P F P OP A '-=-=-=，这符合双曲线的定义，故选C.10. 静安10. 若适合不等式2|4||3|5x x k x -++-≤的x 最大值为3，则实数k 的值为 【解析】当3x =时，2|4||3|5x x k x -++-=，即|3|5k -=，∴8k =，2k =-. ① 当8k =，2|48||3|5x x x -++-≤，即243|3|0x x x -++-≤，若3x >， 则230x x -≤，得03x ≤≤，不符，若3x ≤，2560x x -+≤，解得23x ≤≤， ∴8k =时，不等式的解为23x ≤≤，符合题意.② 当2k =-，2|42||3|5x x x --+-≤，找个反例即可，4x =符合不等式，但大于3，∴2k =-不符，综上，8k =.11. 已知1()1x f x x -=+，数列{}n a 满足112a =，对于任意*n N ∈都满足2()n n a f a +=，且0n a >，若2018a a =，则20162017a a +=【解析】∵2018a a =，∴18181811a a a -=+，解得20181a a ==，同理22242016a a a ==⋅⋅⋅=1=. 根据112a =，∴313a =，∴512a =，713a =，…，可归纳出4112k a +=，4313k a +=∴20174504112a a ⨯+==， ∴20162017a a +=11122-+=15. 曲线C 为：到两定点(2,0)M -、(2,0)N 的距离乘积为常数16的动点P 的轨迹，以下结论： ① 曲线C 经过原点；② 曲线C 关于x 轴对称，但不关于y 轴对称；③ △MPN 的面积不大于8；④ 曲线C 在一个面积为60的矩形范围内. 其中正确的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【解析】① 设原点为O ，22416OM ON ⋅=⨯=≠，∴不经过原点；②列出轨迹的表达式，16=，可知若点(,)P x y 在曲线上，代入1(,)P x y -、 2(,)P x y -、3(,)P x y --，方程均成立，∴既关于x 轴对称，也关于y 轴对称，关于原点对称；③ 11sin 822S PM PN P PM PN =⋅⋅∠≤⋅=；④ 当0x =时，y =±0y =时，x =±，由点(±±构成的矩形面积为60>；∴只有③正确，故选B.【附】16=的精确图像11. 崇明11. 已知函数22sin(),0()3cos(),0x x x f x x x x πα⎧++>⎪=⎨⎪-++<⎩，[0,2)απ∈是奇函数，则α=【解析】当0x >，则0x -<，∵()()f x f x -=-，∴2()cos()f x x x α-=-+-+，2()sin()3f x x x π-=--+，∴5cos()sin()sin()cos()336x x x x πππα-+=-+=--=+，即5cos()cos()6x x πα-=+在定义域上恒成立，∴526k παπ=-+，∴76πα=. 12. 已知△ABC 是边长为PQ 为△ABC 外接圆O 的一条直径，M 为△ABC 边长的动点，则PM MQ ⋅的最大值是【解析】()()PM MQ PO OM MO OQ ⋅=+⋅+22()()PO OM PO OM PO OM =+⋅-=-，∵边长为O 半径为2，即24PM MQ OM ⋅=-，OM 最小值为1 即PM MQ ⋅的最大值是316. 设函数()x x x f x a b c =+-，其中0c a >>，0c b >>，若a 、b 、c 是△ABC 的三条边长，则下列结论：① 对于一切(,1)x ∈-∞都有()0f x >；② 存在0x >使x xa 、x b 、x c 不能构成一个三角形的三边长；③ 若△ABC 为钝角三角形，存在(1,2)x ∈，使()0f x =. 其中正确的个数为（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个【解析】① ()[()()1]x x x a b f x c c c =+-，设()()()1x x a b g x c c =+-，可知(0,1)a c ∈，(0,1)bc ∈，∴()g x 单调递减，当1x <，()(1)10a bg x g c c>=+->，∴()0f x >，正确；② 举反例，令2a =，3b =，4c =，存在3x =，3333234⋅+<，不能构成三角形；③ △ABC 为钝角三角形，∴2220a b c +-<，即(2)0f <，∵0a b c +->，即(1)0f >，∴()f x 在(1,2)上必有零点，正确. 综上所述，正确个数为3个，选A.12. 松江11. 如图同心圆中，大、小圆的半径分别为2和1，点P 在大圆上，PA 与小圆相切于点A ，Q 为小圆上的点，则PA PQ ⋅的取值范围是【解析】结合向量数量积的几何意义，PA PQ ⋅等于||PA 乘以PQ 在PA 方向上的投影，∵2OP =，1OA =，∴||3PA =，如中图所示，投影最大，P A P Q P A P ⋅=⋅1)3+=，如右图，投影最小，1)3P A P Q P A P ⋅=⋅-=[3+.12题、16题同闵行12题、16题13. 嘉定11. 设等差数列{}n a 的各项都是正数，前n 项和为n S ，公差为d . 若数列也是公差为d 的等差数列，则}{n a 的通项公式为n a =【解析】1(1)2n n n S na d -=+，也是等差数列，∴22n dS n ==d =，∴12d =或0（舍），1124d a ==，∴124n n a =-. 12. 设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数（如[2.32]2=，[ 4.76]5-=-），对于给定的*n ∈N ，定义(1)([]1)(1)([]1)x n n n n x C x x x x --+=--+，其中[1,)x ∈+∞，则当3[,3)2x ∈时，函数xC x f 10)(=的值域是【解析】当3[,2)2x ∈，[]1x =，101020(5,]3xC x =∈；当[2,3)x ∈，[]2x =，1090(1)xC x x =-，(1)[2,6)x x -∈， ∴90(15,45](1)x x ∈-；综上，值域为20(5,](15,45]3. 16. 已知()f x 是偶函数，且()f x 在[0,)+∞上是增函数，若(1)(2)f ax f x +≤-在1[,1]2x ∈上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. [2,1]-B. [2,0]-C. [1,1]-D. [1,0]- 【解析】由题得，|1|2ax x +≤-在1[,1]2x ∈时恒成立，设()|1|g x ax =+，()2h x x =-，()g x 恒过定点(0,1)，数形结合可知，只需满足(1)(1)g h ≤，即|1|1a +≤，∴[2,0]a ∈-，故选B.14. 宝山11. 设向量(,)m x y =，(,)n x y =-，P 为曲线1m n ⋅=(0)x >上的一个动点，若点P 到直线10x y -+=的距离大于λ恒成立，则实数λ的最大值为【解析】1m n ⋅=即221x y -=(0)x >，根据题意，实数λ的最大值即直线1y x =+与一条渐近线y x =之间的距离，∴d ==λ最大值为2.12题同长宁16题15. 如图，在同一平面内，点P 位于两平行直线1l 、2l 两侧，且P 到1l 、2l 距离分别为1、3，点M 、N 分别在1l 、2l 上，||8PM PN +=，则PM PN ⋅的最大值为（ ）A. 15B. 12C. 10D. 9【解析】取MN 中点O ，222()()16PM PN PO OM PO ON PO OM OM ⋅=+⋅+=-=-，∵1l 、2l 之间距离为2，∴2OM 最小值为1，即PM PN ⋅的最大值为15，选A.精品文档精品文档16. 若存在t R ∈与正数m ，使()()F t m F t m -=+成立，则称“函数()F x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”，设2()x f x xλ+=(0)x >，若对于任意t ∈，总存在正数m ，使得“函数()f x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”，则实数λ取值范围是（ ）A. (0,2]B. (1,2]C. [1,2]D. [1,4]【解析】()()f t m f t m +=-，∴t m t m t m t m λλ++=-++-，2m t m t m λλ=--+，化简得：22t m λ=-，即220m t λ=->恒成立，2t λ<，∴02λ<≤，选A.本题如果理解了题意，可以从图像角度秒解如图所示，A 、B 为两对称点，满足()()f t m f t m +=-，线段AB 中垂线为x t =t <即2t λ<，∴02λ<≤。
2017年上海市虹口区高考数学二模试卷一、填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题4分，本大题满分54分）1．（4分）集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|（x﹣1）（x﹣5）＜0}，则A∩B＝．2．（4分）复数所对应的点在复平面内位于第象限．3．（4分）已知首项为1公差为2的等差数列{a n}，其前n项和为S n，则＝．4．（4分）若方程组无解，则实数a＝．5．（4分）若（x+a）7的二项展开式中，含x6项的系数为7，则实数a＝．6．（4分）已知双曲线，它的渐近线方程是y＝±2x，则a的值为．7．（5分）在△ABC中，三边长分别为a＝2，b＝3，c＝4，则＝．8．（5分）在平面直角坐标系中，已知点P（﹣2，2），对于任意不全为零的实数a、b，直线l：a（x﹣1）+b（y+2）＝0，若点P到直线l的距离为d，则d的取值范围是．9．（5分）函数f（x）＝，如果方程f（x）＝b有四个不同的实数解x1、x2、x3、x4，则x1+x2+x3+x4＝．10．（5分）三条侧棱两两垂直的正三棱锥，其俯视图如图所示，主视图的边界是底边长为2的等腰三角形，则主视图的面积等于．11．（5分）在直角△ABC中，，AB＝1，AC＝2，M是△ABC内一点，且，若，则λ+2μ的最大值．12．（5分）无穷数列{a n}的前n项和为S n，若对任意的正整数n都有S n∈{k1，k2，k3，…，k10}，则a10的可能取值最多有个．二、选择题（每小题5分，满分20分）13．（5分）已知a，b，c是实数，则“a，b，c成等比数列”是“b2＝ac”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．（5分）l1、l2是空间两条直线，α是平面，以下结论正确的是（）A．如果l1∥α，l2∥α，则一定有l1∥l2B．如果l1⊥l2，l2⊥α，则一定有l1⊥αC．如果l1⊥l2，l2⊥α，则一定有l1∥αD．如果l1⊥α，l2∥α，则一定有l1⊥l215．（5分）已知函数，x1、x2、x3∈R，且x1+x2＞0，x2+x3＞0，x3+x1＞0，则f（x1）+f（x2）+f（x3）的值（）A．一定等于零B．一定大于零C．一定小于零D．正负都有可能16．（5分）已知点M（a，b）与点N（0，﹣1）在直线3x﹣4y+5＝0的两侧，给出以下结论：①3a﹣4b+5＞0；②当a＞0时，a+b有最小值，无最大值；③a2+b2＞1；④当a＞0且a≠1时，的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4三、解答题（本大题满分76分）17．（14分）如图ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，底面△ABC是等腰直角三角形，且AB＝AC ＝4，直三棱柱的高等于4，线段B1C1的中点为D，线段BC的中点为E，线段CC1的中点为F．（1）求异面直线AD、EF所成角的大小；（2）求三棱锥D﹣AEF的体积．18．（14分）已知定义在（﹣，）上的函数f（x）是奇函数，且当x∈（0，）时，f（x）＝．（1）求f（x）在区间（﹣，）上的解析式；（2）当实数m为何值时，关于x的方程f（x）＝m在（﹣，）有解．19．（14分）已知数列{a n}是首项等于且公比不为1的等比数列，S n是它的前n项和，满足．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝log a a n（a＞0且a≠1），求数列{b n}的前n项和T n的最值．20．（16分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0），定义椭圆C上的点M（x0，y0）的“伴随点”为．（1）求椭圆C上的点M的“伴随点”N的轨迹方程；（2）如果椭圆C上的点（1，）的“伴随点”为（，），对于椭圆C上的任意点M 及它的“伴随点”N，求的取值范围；（3）当a＝2，b＝时，直线l交椭圆C于A，B两点，若点A，B的“伴随点”分别是P，Q，且以PQ为直径的圆经过坐标原点O，求△OAB的面积．21．（18分）对于定义域为R的函数y＝f（x），部分x与y的对应关系如表：（1）求f{f[f（0）]}；（2）数列{x n}满足x1＝2，且对任意n∈N*，点（x n，x n+1）都在函数y＝f（x）的图象上，求x1+x2+…+x4n；（3）若y＝f（x）＝A sin（ωx+φ）+b，其中A＞0，0＜ω＜π，0＜φ＜π，0＜b＜3，求此函数的解析式，并求f（1）+f（2）+…+f（3n）（n∈N*）．2017年上海市虹口区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题4分，本大题满分54分）1．（4分）集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|（x﹣1）（x﹣5）＜0}，则A∩B＝{2，3，4}．【解答】解：A＝{1，2，3，4}，B＝{x|（x﹣1）（x﹣5）＜0}＝{x|1＜x＜5}，则A∩B＝{2，3，4}；故答案为：{2，3，4}．2．（4分）复数所对应的点在复平面内位于第四象限．【解答】解：复数＝＝﹣i所对应的点在复平面内位于第四象限．故答案为：四．3．（4分）已知首项为1公差为2的等差数列{a n}，其前n项和为S n，则＝4．【解答】解：由题意，a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，S n＝n+＝n2，∴＝＝4，故答案为：4．4．（4分）若方程组无解，则实数a＝±2．【解答】解：根据题意，方程组无解，则直线ax+2y＝3与直线2x+2y＝2平行，则有a×a＝2×2，且a×2≠2×3，即a2＝4，a≠3，解可得a＝±2，故答案为：±2．5．（4分）若（x+a）7的二项展开式中，含x6项的系数为7，则实数a＝1．【解答】解：（x+a）7的二项展开式的通项公式：T r+1＝x r a7﹣r，令r＝6，则＝7，解得a＝1．故答案为：1．6．（4分）已知双曲线，它的渐近线方程是y＝±2x，则a的值为2．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：，其焦点在x轴上，其渐近线方程为：y＝±ax，又有其渐近线方程是y＝±2x，则有a＝2；故答案为：2．7．（5分）在△ABC中，三边长分别为a＝2，b＝3，c＝4，则＝．【解答】解：在△ABC中，∵a＝2，b＝3，c＝4，∴cos A＝＝，可得：sin A＝＝，cos B＝＝，sin B＝＝，∴＝＝＝．另法：＝＝＝＝．故答案为：．8．（5分）在平面直角坐标系中，已知点P（﹣2，2），对于任意不全为零的实数a、b，直线l：a（x﹣1）+b（y+2）＝0，若点P到直线l的距离为d，则d的取值范围是[0，5]．【解答】解：由题意，直线过定点Q（1，﹣2），PQ⊥l时，d取得最大值＝5，直线l过P时，d取得最小值0，∴d的取值范围[0，5]，故答案为[0，5]．9．（5分）函数f（x）＝，如果方程f（x）＝b有四个不同的实数解x1、x2、x3、x4，则x1+x2+x3+x4＝4．【解答】解：作出函数f（x）＝的图象，方程f（x）＝b有四个不同的实数解，等价为y＝f（x）和y＝b的图象有4个交点，不妨设它们交点的横坐标为x1、x2、x3、x4，且x1＜x2＜x3＜x4，由x1、x2关于原点对称，x3、x4关于（2，0）对称，可得x1+x2＝0，x3+x4＝4，则x1+x2+x3+x4＝4．故答案为：4．10．（5分）三条侧棱两两垂直的正三棱锥，其俯视图如图所示，主视图的边界是底边长为2的等腰三角形，则主视图的面积等于．【解答】解：由题意，正三棱锥有三个面都是等腰直角三角形，（如图：SAB，SBC，SAC）且边长相等为，其体积为V＝＝根据俯视图可得，底面是边长为2的等边三角形．其面积为：．设主视图的高OS＝h，则＝．∴h＝．主视图的边界是底边长为2的等腰三角形，其高为．∴得面积S＝．故答案为11．（5分）在直角△ABC中，，AB＝1，AC＝2，M是△ABC内一点，且，若，则λ+2μ的最大值．【解答】解：如图建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（0，1），C（2，0）M（，）（0＜θ＜），∵，∴（．∴，则λ+2μ＝，∴当θ＝时，λ+2μ最大值为，故答案为：12．（5分）无穷数列{a n}的前n项和为S n，若对任意的正整数n都有S n∈{k1，k2，k3，…，k10}，则a10的可能取值最多有91个．【解答】解：a10＝S10﹣S9，而S10，S9∈{k1，k2，k3，…，k10}，若S10≠S9，则有A102＝10×9＝90种，若S10＝S9，则有a10＝0，根据分类计数原理可得，共有90+1＝91种，故答案为：91二、选择题（每小题5分，满分20分）13．（5分）已知a，b，c是实数，则“a，b，c成等比数列”是“b2＝ac”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若a，b，c成等比数列，则b2＝ac成立，若a＝b＝c＝0，满足b2＝ac，但a，b，c不能成等比数列，故“a，b，c成等比数列”是“b2＝ac”的充分不必要条件，故选：A．14．（5分）l1、l2是空间两条直线，α是平面，以下结论正确的是（）A．如果l1∥α，l2∥α，则一定有l1∥l2B．如果l1⊥l2，l2⊥α，则一定有l1⊥αC．如果l1⊥l2，l2⊥α，则一定有l1∥αD．如果l1⊥α，l2∥α，则一定有l1⊥l2【解答】解：若l1∥α，l2∥α，则有l1∥l2或l1与l2相交或l1与l2异面，故A错误；如果l1⊥l2，l2⊥α，则有l1∥α或l1⊂α，故B、C错误；如果l1⊥α，则l1垂直α内的所有直线，又l2∥α，则过l2与α相交的平面交α于a，则l2∥a，∴l1⊥l2，故D正确．故选：D．15．（5分）已知函数，x1、x2、x3∈R，且x1+x2＞0，x2+x3＞0，x3+x1＞0，则f（x1）+f（x2）+f（x3）的值（）A．一定等于零B．一定大于零C．一定小于零D．正负都有可能【解答】解：函数，f（﹣x）＝﹣f（x），函数f（x）是奇函数，根据同增为增，可得函数f（x）是增函数，∵x1+x2＞0，x2+x3＞0，x3+x1＞0，∴x1＞﹣x2，x2＞﹣x3x3＞﹣x1，∴f（x1）＞f（﹣x2，f（x2）＞f（﹣x3），f（x3）＞f（﹣x1）∴f（x1）+f（x2）＞0，f（x2）+f（x3）＞0，f（x3）+f（x1）＞0，三式相加得：f（x1）+f（x2）+f（x3）＞0，故选：B．16．（5分）已知点M（a，b）与点N（0，﹣1）在直线3x﹣4y+5＝0的两侧，给出以下结论：①3a﹣4b+5＞0；②当a＞0时，a+b有最小值，无最大值；③a2+b2＞1；④当a＞0且a≠1时，的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：∵点M（a，b）与点N（0，﹣1）在直线3x﹣4y+5＝0的两侧，∴（3a﹣4b+5）（3×0+4+5）＜0，即3a﹣4b+5＜0，故①错误；当a＞0时，a+b＞，a+b即无最小值，也无最大值，故②错误；设原点到直线3x﹣4y+5＝0的距离为d，则d＝，则a2+b2＞4，故③正确；当a＞0且a≠1时，表示点M（a，b）与P（1，﹣1）连线的斜率．∵当a＝0，b＝时，＝，又直线3x﹣4y+5＝0的斜率为，故的取值范围为（﹣∞，﹣）∪（，+∞），故④正确．∴正确命题的个数是2个．故选：B．三、解答题（本大题满分76分）17．（14分）如图ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，底面△ABC是等腰直角三角形，且AB＝AC ＝4，直三棱柱的高等于4，线段B1C1的中点为D，线段BC的中点为E，线段CC1的中点为F．（1）求异面直线AD、EF所成角的大小；（2）求三棱锥D﹣AEF的体积．【解答】解：（1）以A为坐标原点，AB、AC、AA1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．依题意有D（2，2，4），A（0，0，0），E（2，2，0），F（0，4，2），所以．设异面直线AD、EF所成角为α，则＝＝，所以，即异面直线AD、EF所成角的大小为．（2）∵AB＝AC＝4，AB⊥AC，∴，，DE＝AA1＝4，∴S△DEF＝＝4，由E为线段BC的中点，且AB＝AC，∴AE⊥BC，又BB1⊥面ABC，∴AE⊥BB1，∴AE⊥面BB1C1C，∴，∴三棱锥D﹣AEF的体积为．18．（14分）已知定义在（﹣，）上的函数f（x）是奇函数，且当x∈（0，）时，f（x）＝．（1）求f（x）在区间（﹣，）上的解析式；（2）当实数m为何值时，关于x的方程f（x）＝m在（﹣，）有解．【解答】解：（1）设，则，∵f（x）是奇函数，则有…（4分）∴f（x）＝…（7分）（2）设，令t＝tan x，则t＞0，而．∵1+t＞1，得，从而，∴y＝f（x）在的取值范围是0＜y＜1．…（11分）又设，则，由此函数是奇函数得f（x）＝﹣f（﹣x），0＜f（﹣x）＜1，从而﹣1＜f（x）＜0．…（13分）综上所述，y＝f（x）的值域为（﹣1，1），所以m的取值范围是（﹣1，1）．…（14分）19．（14分）已知数列{a n}是首项等于且公比不为1的等比数列，S n是它的前n项和，满足．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝log a a n（a＞0且a≠1），求数列{b n}的前n项和T n的最值．【解答】解：（1）∵，∵q≠1，∴．整理得q2﹣3q+2＝0，解得q＝2或q＝1（舍去）．∴．（2）b n＝log a a n＝（n﹣5）log a2．∴数列{b n}是以log a2为公差，以﹣4log a2为首项的等差数列，∴T n＝﹣4n log a2+log a2＝•log a2．1）当a＞1时，有log a2＞0，数列{b n}是以log a2为公差，以﹣4log a2为首项的等差数列，∴{b n}是递增数列，∴T n没有最大值．由b n≤0，得n≤5．所以（T n）min＝T4＝T5＝﹣10log a2．2）当0＜a＜1时，有log a2＜0，数列{b n}是以log a2为公差的等差数列，∴{b n}是首项为正的递减等差数列．∴T n没有最小值．令b n≥0，得n≤5，（T n）max＝T4＝T5＝﹣10log a2．20．（16分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0），定义椭圆C上的点M（x0，y0）的“伴随点”为．（1）求椭圆C上的点M的“伴随点”N的轨迹方程；（2）如果椭圆C上的点（1，）的“伴随点”为（，），对于椭圆C上的任意点M 及它的“伴随点”N，求的取值范围；（3）当a＝2，b＝时，直线l交椭圆C于A，B两点，若点A，B的“伴随点”分别是P，Q，且以PQ为直径的圆经过坐标原点O，求△OAB的面积．【解答】解：（1）设N（x，y）由题意，则，又，∴，从而得x2+y2＝1…（3分）（2）由，得a＝2．又，得．…（5分）∵点M（x0，y0）在椭圆上，，，且，•＝（x0，y0）（，）＝+＝x02+，由于，的取值范围是[，2]（8分）（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），则；1）当直线l的斜率存在时，设方程为y＝kx+m，由，得（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）＝0；有①…（10分）由以PQ为直径的圆经过坐标原点O可得：3x1x2+4y1y2＝0；整理得：②将①式代入②式得：3+4k2＝2m2，…（12分）3+4k2＞0，则m2＞0，△＝48m2＞0，又点O到直线y＝kx+m的距离，丨AB丨＝＝×＝×，∴…（14分）2）当直线l的斜率不存在时，设方程为x＝m（﹣2＜m＜2）联立椭圆方程得；代入3x1x2+4y1y2＝0，得，解得m2＝2，从而，S△OAB＝丨AB丨×d＝丨m丨丨y1﹣y2丨＝，综上：△OAB的面积是定值．…（16分）21．（18分）对于定义域为R的函数y＝f（x），部分x与y的对应关系如表：（1）求f{f[f（0）]}；（2）数列{x n}满足x1＝2，且对任意n∈N*，点（x n，x n+1）都在函数y＝f（x）的图象上，求x1+x2+…+x4n；（3）若y＝f（x）＝A sin（ωx+φ）+b，其中A＞0，0＜ω＜π，0＜φ＜π，0＜b＜3，求此函数的解析式，并求f（1）+f（2）+…+f（3n）（n∈N*）．【解答】解：（1）根据表中的数据：f{f[f（0）]}＝f（f（3））＝f（﹣1）＝2．（2）由题意，x1＝2，点（x n，x n+1）都在函数y＝f（x）的图象上，即x n+1＝f（x n）∴x2＝f（x1）＝f（2）＝0，x3＝f（x2）＝3，x4＝f（x3）＝﹣1，x5＝f（x4）＝2∴x5＝x1，∴函数y是周期为4的函数，故得：x1+x2+…+x4n＝4n．（3）由题意得由（1）﹣（2）∴sin（ω+φ）＝sin（﹣ω+φ）∴sinωcosφ＝0．又∵0＜ω＜π∴sinω≠0．∴cosφ＝0而0＜φ＜π∴从而有．∴2A2﹣4A+2﹣2A2+3A＝0．∴A＝2．b＝1，∵0＜ω＜π，∴．∴．此函数的最小正周期T＝＝6，f（6）＝f（0）＝3∵f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）＝6，∴①当n＝2k（k∈N*）时．f（1）+f（2）+…+f（3n）＝f（1）+f（2）+…+f（6k）＝k[f（1）+f（2）+…+f（6）]＝6k＝3n．②当n＝2k﹣1（k∈N*）时．f（1）+f（2）+…+f（3n）＝f（1）+f（2）+…+f（6k）﹣f（6k﹣2）﹣f（6k﹣1）﹣f（6k）＝k[f（1）+f（2）+…+f（6）]﹣5＝6k﹣5＝3n﹣2．。
2017年上海市虹口区高考数学二模试卷一、填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题4分，本大题满分54分）1．集合A={1，2，3，4}，B={x|（x﹣1）（x﹣5）＜0}，则A∩B=．2．复数所对应的点在复平面内位于第象限．3．已知首项为1公差为2的等差数列{a n}，其前n项和为S n，则=．4．若方程组无解，则实数a=．5．若（x+a）7的二项展开式中，含x6项的系数为7，则实数a=．6．已知双曲线，它的渐近线方程是y=±2x，则a的值为．7．在△ABC中，三边长分别为a=2，b=3，c=4，则=．8．在平面直角坐标系中，已知点P（﹣2，2），对于任意不全为零的实数a、b，直线l：a（x﹣1）+b（y+2）=0，若点P到直线l的距离为d，则d的取值范围是．9．函数f（x）=，如果方程f（x）=b有四个不同的实数解x1、x2、x3、x4，则x1+x2+x3+x4=．10．三条侧棱两两垂直的正三棱锥，其俯视图如图所示，主视图的边界是底边长为2的等腰三角形，则主视图的面积等于．11．在直角△ABC中，，AB=1，AC=2，M是△ABC内一点，且，若，则λ+2μ的最大值．12．无穷数列{a n}的前n项和为S n，若对任意的正整数n都有S n∈{k1，k2，k3，…，k10}，则a10的可能取值最多有个．二、选择题（每小题5分，满分20分）13．已知a，b，c是实数，则“a，b，c成等比数列”是“b2=ac”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．l1、l2是空间两条直线，α是平面，以下结论正确的是（）A．如果l1∥α，l2∥α，则一定有l1∥l2B．如果l1⊥l2，l2⊥α，则一定有l1⊥αC．如果l1⊥l2，l2⊥α，则一定有l1∥αD．如果l1⊥α，l2∥α，则一定有l1⊥l215．已知函数，x1、x2、x3∈R，且x1+x2＞0，x2+x3＞0，x3+x1＞0，则f（x1）+f（x2）+f（x3）的值（）A．一定等于零 B．一定大于零 C．一定小于零 D．正负都有可能16．已知点M（a，b）与点N（0，﹣1）在直线3x﹣4y+5=0的两侧，给出以下结论：①3a﹣4b+5＞0；②当a＞0时，a+b有最小值，无最大值；③a2+b2＞1；④当a＞0且a≠1时，的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4三、解答题（本大题满分76分）17．如图ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，底面△ABC是等腰直角三角形，且AB=AC=4，直三棱柱的高等于4，线段B1C1的中点为D，线段BC的中点为E，线段CC1的中点为F．（1）求异面直线AD、EF所成角的大小；（2）求三棱锥D﹣AEF的体积．18．已知定义在（﹣，）上的函数f（x）是奇函数，且当x∈（0，）时，f（x）=．（1）求f（x）在区间（﹣，）上的解析式；（2）当实数m为何值时，关于x的方程f（x）=m在（﹣，）有解．19．已知数列{a n}是首项等于且公比不为1的等比数列，S n是它的前n项和，满足．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log a a n（a＞0且a≠1），求数列{b n}的前n项和T n的最值．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0），定义椭圆C上的点M（x0，y0）的“伴随点”为．（1）求椭圆C上的点M的“伴随点”N的轨迹方程；（2）如果椭圆C上的点（1，）的“伴随点”为（，），对于椭圆C上的任意点M及它的“伴随点”N，求的取值范围；（3）当a=2，b=时，直线l交椭圆C于A，B两点，若点A，B的“伴随点”分别是P，Q，且以PQ为直径的圆经过坐标原点O，求△OAB的面积．21．对于定义域为R的函数y=f（x），部分x与y的对应关系如表：（1）求f{f[f（0）]}；）都在函数y=f（x）的（2）数列{x n}满足x1=2，且对任意n∈N*，点（x n，x n+1图象上，求x1+x2+…+x4n；（3）若y=f（x）=Asin（ωx+φ）+b，其中A＞0，0＜ω＜π，0＜φ＜π，0＜b＜3，求此函数的解析式，并求f（1）+f（2）+…+f（3n）（n∈N*）．2017年上海市虹口区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题4分，本大题满分54分）1．集合A={1，2，3，4}，B={x|（x﹣1）（x﹣5）＜0}，则A∩B={2，3，4} ．【考点】1E：交集及其运算．【分析】解关于B的不等式，求出A、B的交集即可．【解答】解：A={1，2，3，4}，B={x|（x﹣1）（x﹣5）＜0}={x|1＜x＜5}，则A∩B={2，3，4}；故答案为：{2，3，4}．2．复数所对应的点在复平面内位于第四象限．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数==﹣i所对应的点在复平面内位于第四象限．故答案为：四．3．已知首项为1公差为2的等差数列{a n}，其前n项和为S n，则=4．【考点】6F：极限及其运算；85：等差数列的前n项和．【分析】由题意，a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，S n=n+=n2，即可求极限．【解答】解：由题意，a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，S n=n+=n2，∴==4，故答案为：4．4．若方程组无解，则实数a=±2．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】根据题意，若方程组无解，则直线ax+2y=3与直线2x+2y=2平行，由直线平行的判定方法分析可得a的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，方程组无解，则直线ax+2y=3与直线2x+2y=2平行，则有a×a=2×2，且a×2≠2×3，即a2=4，a≠3，解可得a=±2，故答案为：±2．5．若（x+a）7的二项展开式中，含x6项的系数为7，则实数a=1．【考点】DB：二项式系数的性质．=x r a7﹣r，令r=6，则=7，【分析】（x+a）7的二项展开式的通项公式：T r+1解得a．=x r a7﹣r，【解答】解：（x+a）7的二项展开式的通项公式：T r+1令r=6，则=7，解得a=1．故答案为：1．6．已知双曲线，它的渐近线方程是y=±2x，则a的值为2．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的方程可得其渐近线方程为：y=±ax，结合题意中渐近线方程可得a=2，即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：，其焦点在x轴上，其渐近线方程为：y=±ax，又有其渐近线方程是y=±2x，则有a=2；故答案为：2．7．在△ABC中，三边长分别为a=2，b=3，c=4，则=．【考点】HP：正弦定理．【分析】由已知利用余弦定理可求cosA，cosB，进而利用同角三角函数基本关系式可求sinA，sinB的值，即可利用二倍角的正弦函数公式化简求值得解．【解答】解：在△ABC中，∵a=2，b=3，c=4，∴cosA==，可得：sinA==，cosB==，sinB==，∴===．故答案为：．8．在平面直角坐标系中，已知点P（﹣2，2），对于任意不全为零的实数a、b，直线l：a（x﹣1）+b（y+2）=0，若点P到直线l的距离为d，则d的取值范围是[0，5] ．【考点】IT：点到直线的距离公式．【分析】由题意，直线过定点Q（1，﹣2），PQ⊥l时，d取得最大值=5，直线l过P时，d取得最小值0，可得结论．【解答】解：由题意，直线过定点Q（1，﹣2），PQ⊥l时，d取得最大值=5，直线l过P时，d取得最小值0，∴d的取值范围[0，5]，故答案为[0，5]．9．函数f（x）=，如果方程f（x）=b有四个不同的实数解x1、x2、x3、x4，则x1+x2+x3+x4=4．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】作出f（x）的图象，由题意可得y=f（x）和y=b的图象有4个交点，不妨设x1＜x2＜x3＜x4，由x1、x2关于原点对称，x3、x4关于（2，0）对称，计算即可得到所求和．【解答】解：作出函数f（x）=的图象，方程f（x）=b有四个不同的实数解，等价为y=f（x）和y=b的图象有4个交点，不妨设它们交点的横坐标为x1、x2、x3、x4，且x1＜x2＜x3＜x4，由x1、x2关于原点对称，x3、x4关于（2，0）对称，可得x1+x2=0，x3+x4=4，则x1+x2+x3+x4=4．故答案为：4．10．三条侧棱两两垂直的正三棱锥，其俯视图如图所示，主视图的边界是底边长为2的等腰三角形，则主视图的面积等于．【考点】L7：简单空间图形的三视图．【分析】由题意，正三棱锥有三个面都是等腰直角三角形，且边长相等．根据俯视图可得，底面是边长为2的等边三角形．利用体积法，求其高，即可得主视图的高．可得主视图的面积【解答】解：由题意，正三棱锥有三个面都是等腰直角三角形，（如图：SAB，SBC，SAC）且边长相等为，其体积为V==根据俯视图可得，底面是边长为2的等边三角形．其面积为：．设主视图的高OS=h，则=．∴h=．主视图的边界是底边长为2的等腰三角形，其高为．∴得面积S=．故答案为11．在直角△ABC中，，AB=1，AC=2，M是△ABC内一点，且，若，则λ+2μ的最大值．【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（0，1），C（2，0），M（，），（0＜θ＜），由已知可得，则λ+2μ=，即可求解．【解答】解：如图建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（0，1），C（2，0）M（，）（0＜θ＜），∵，∴（．∴，则λ+2μ=，∴当θ=时，λ+2μ最大值为，故答案为：12．无穷数列{a n}的前n项和为S n，若对任意的正整数n都有S n∈{k1，k2，k3，…，k10}，则a10的可能取值最多有91个．【考点】8E：数列的求和．【分析】根据数列递推公式可得a10=S10﹣S9，而S10，S9∈{k1，k2，k3，…，k10}，分类讨论即可求出答案．【解答】解：a10=S10﹣S9，而S10，S9∈{k1，k2，k3，…，k10}，若S10≠S9，则有A102=10×9=90种，若S10=S9，则有a10=0，根据分类计数原理可得，共有90+1=91种，故答案为：91二、选择题（每小题5分，满分20分）13．已知a，b，c是实数，则“a，b，c成等比数列”是“b2=ac”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合等比数列的定义进行判断即可．【解答】解：若a，b，c成等比数列，则b2=ac成立，若a=b=c=0，满足b2=ac，但a，b，c不能成等比数列，故“a，b，c成等比数列”是“b2=ac”的充分不必要条件，故选：A．14．l1、l2是空间两条直线，α是平面，以下结论正确的是（）A．如果l1∥α，l2∥α，则一定有l1∥l2B．如果l1⊥l2，l2⊥α，则一定有l1⊥αC．如果l1⊥l2，l2⊥α，则一定有l1∥αD．如果l1⊥α，l2∥α，则一定有l1⊥l2【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系逐一核对四个选项得答案．【解答】解：若l1∥α，l2∥α，则有l1∥l2或l1与l2相交或l1与l2异面，故A错误；如果l1⊥l2，l2⊥α，则有l1∥α或l1⊂α，故B、C错误；如果l1⊥α，则l1垂直α内的所有直线，又l2∥α，则过l2与α相交的平面交α于a，则l2∥a，∴l1⊥l2，故D正确．故选：D．15．已知函数，x1、x2、x3∈R，且x1+x2＞0，x2+x3＞0，x3+x1＞0，则f（x1）+f（x2）+f（x3）的值（）A．一定等于零 B．一定大于零 C．一定小于零 D．正负都有可能【考点】57：函数与方程的综合运用．【分析】先判断奇偶性和单调性，先由单调性定义由自变量的关系得到函数关系，然后三式相加得解．【解答】解：函数，f（﹣x）=﹣f（x），函数f（x）是奇函数，根据同增为增，可得函数f（x）是增函数，∵x1+x2＞0，x2+x3＞0，x3+x1＞0，∴x1＞﹣x2，x2＞﹣x3x3＞﹣x1，∴f（x1）＞f（﹣x2，f（x2）＞f（﹣x3），f（x3）＞f（﹣x1）∴f（x1）+f（x2）＞0，f（x2）+f（x3）＞0，f（x3）+f（x1）＞0，三式相加得：f（x1）+f（x2）+f（x3）＞0，故选：B．16．已知点M（a，b）与点N（0，﹣1）在直线3x﹣4y+5=0的两侧，给出以下结论：①3a﹣4b+5＞0；②当a＞0时，a+b有最小值，无最大值；③a2+b2＞1；④当a＞0且a≠1时，的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】根据点M（a，b）与点N（1，0）在直线3x﹣4y+5=0的两侧，可以画出点M（a，b）所在的平面区域，进而结合二元一次不等式的几何意义，两点之间距离公式的几何意义，及两点之间连线斜率的几何意义，逐一分析四个命题得结论．【解答】解：∵点M（a，b）与点N（0，﹣1）在直线3x﹣4y+5=0的两侧，∴（3a﹣4b+5）（3×0+4+5）＜0，即3a﹣4b+5＜0，故①错误；当a＞0时，a+b＞，a+b即无最小值，也无最大值，故②错误；设原点到直线3x﹣4y+5=0的距离为d，则d=，则a2+b2＞4，故③错误；当a＞0且a≠1时，表示点M（a，b）与P（1，﹣1）连线的斜率．∵当a=0，b=时，=，又直线3x﹣4y+5=0的斜率为，故的取值范围为（﹣∞，﹣）∪（，+∞），故④正确．∴正确命题的个数是2个．故选：B．三、解答题（本大题满分76分）17．如图ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，底面△ABC是等腰直角三角形，且AB=AC=4，直三棱柱的高等于4，线段B1C1的中点为D，线段BC的中点为E，线段CC1的中点为F．（1）求异面直线AD、EF所成角的大小；（2）求三棱锥D﹣AEF的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LM：异面直线及其所成的角．【分析】（1）以A为原点建立空间坐标系，求出，的坐标，利用向量的夹角公式得出AD，EF的夹角；，代入体积公式计算．（2）证明AE⊥平面DEF，求出AE和S△DEF【解答】解：（1）以A为坐标原点，AB、AC、AA1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．依题意有D（2，2，4），A（0，0，0），E（2，2，0），F（0，4，2），所以．设异面直线AD、EF所成角为α，则==，所以，即异面直线AD、EF所成角的大小为．（2）∵AB=AC=4，AB⊥AC，∴，，DE=AA1=4，==4，∴S△DEF由E为线段BC的中点，且AB=AC，∴AE⊥BC，又BB1⊥面ABC，∴AE⊥BB1，∴AE⊥面BB1C1C，∴，∴三棱锥D﹣AEF的体积为．18．已知定义在（﹣，）上的函数f（x）是奇函数，且当x∈（0，）时，f（x）=．（1）求f（x）在区间（﹣，）上的解析式；（2）当实数m为何值时，关于x的方程f（x）=m在（﹣，）有解．【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】（1）利用奇函数的定义，结合x∈（0，）时，f（x）=，求f（x）在区间（﹣，）上的解析式；（2）分类讨论，利用函数的解析式，可得结论．【解答】解：（1）设，则，∵f（x）是奇函数，则有…∴f（x）=…（2）设，令t=tanx，则t＞0，而．∵1+t＞1，得，从而，∴y=f（x）在的取值范围是0＜y＜1．…又设，则，由此函数是奇函数得f（x）=﹣f（﹣x），0＜f（﹣x）＜1，从而﹣1＜f（x）＜0．…综上所述，y=f（x）的值域为（﹣1，1），所以m的取值范围是（﹣1，1）．…19．已知数列{a n}是首项等于且公比不为1的等比数列，S n是它的前n项和，满足．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log a a n（a＞0且a≠1），求数列{b n}的前n项和T n的最值．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）根据求和公式列方程求出q，代入通项公式即可；（2）对a进行讨论，判断{b n}的单调性和首项的符号，从而得出T n的最值．【解答】解：（1）∵，∵q≠1，∴．整理得q2﹣3q+2=0，解得q=2或q=1（舍去）．∴．（2）b n=log a a n=（n﹣5）log a2．1）当a＞1时，有log a2＞0，数列{b n}是以log a2为公差，以﹣4log a2为首项的等差数列，∴{b n}是递增数列，∴T n没有最大值．由b n≤0，得n≤5．所以（T n）min=T4=T5=﹣10log a2．2）当0＜a＜1时，有log a2＜0，数列{b n}是以log a2为公差的等差数列，∴{b n}是首项为正的递减等差数列．∴T n没有最小值．令b n≥0，得n≤5，（T n）max=T4=T5=﹣10log a2．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0），定义椭圆C上的点M（x0，y0）的“伴随点”为．（1）求椭圆C上的点M的“伴随点”N的轨迹方程；（2）如果椭圆C上的点（1，）的“伴随点”为（，），对于椭圆C上的任意点M及它的“伴随点”N，求的取值范围；（3）当a=2，b=时，直线l交椭圆C于A，B两点，若点A，B的“伴随点”分别是P，Q，且以PQ为直径的圆经过坐标原点O，求△OAB的面积．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（1）由，代入椭圆方程即可求得椭圆C上的点M的“伴随点”N 的轨迹方程；（2）由题意，求得椭圆的方程，根据向量的坐标运算，即可求得的取值范围；（3）求得椭圆方程，设方程为y=kx+m，代入椭圆方程，利用韦达定理，根据向量数量积的坐标求得3+4k2=2m2，弦长公式及点到直线的距离公式，即可求得△OAB的面积，直线l的斜率不存在时，设方程为x=m，代入椭圆方程，即可求得△OAB的面积．【解答】解：（1）设N（x，y）由题意，则，又，∴，从而得x2+y2=1…（2）由，得a=2．又，得．…∵点M（x0，y0）在椭圆上，，，且，•=（x，y0）（，）=+=x02+，由于，的取值范围是[，2]（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），则；1）当直线l的斜率存在时，设方程为y=kx+m，由，得（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0；有①…由以PQ为直径的圆经过坐标原点O可得：3x1x2+4y1y2=0；整理得：②将①式代入②式得：3+4k2=2m2，…3+4k2＞0，则m2＞0，△=48m2＞0，又点O到直线y=kx+m的距离，丨AB丨==×=×，∴…2）当直线l的斜率不存在时，设方程为x=m（﹣2＜m＜2）联立椭圆方程得；代入3x1x2+4y1y2=0，得，解得m2=2，从而，=丨AB丨×d=丨m丨丨y1﹣y2丨=，S△OAB综上：△OAB的面积是定值．…21．对于定义域为R的函数y=f（x），部分x与y的对应关系如表：（1）求f{f[f（0）]}；（2）数列{x n}满足x1=2，且对任意n∈N*，点（x n，x n）都在函数y=f（x）的+1图象上，求x1+x2+…+x4n；（3）若y=f（x）=Asin（ωx+φ）+b，其中A＞0，0＜ω＜π，0＜φ＜π，0＜b＜3，求此函数的解析式，并求f（1）+f（2）+…+f（3n）（n∈N*）．【考点】H2：正弦函数的图象；3O：函数的图象．【分析】（1）根据复合函数的性质，由内往外计算可得答案．）都在函数y=f（x）的图象上，带入，化简，不难发现函（2）根据点（x n，x n+1数y是周期函数，即可求解x1+x2+…+x4n的值．（3）根据表中的数据，带入计算即可求解函数的解析式．【解答】解：（1）根据表中的数据：f{f[f（0）]}=f（f（3））=f（﹣1）=2．）都在函数y=f（x）的图象上，（2）由题意，x1=2，点（x n，x n+1=f（x n）即x n+1∴x2=f（x1）=f（2）=0，x3=f（x2）=3，x4=f（x3）=﹣1，x5=f（x4）=2∴x5=x1，∴函数y是周期为4的函数，故得：x1+x2+…+x4n=4n．（3）由题意得由（1）﹣（2）∴sin（ω+φ）=sin（﹣ω+φ）∴sinωcosφ=0．又∵0＜ω＜π∴sinω≠0．∴cosφ=0而0＜φ＜π∴从而有．∴2A2﹣4A+2﹣2A2+3A=0．∴A=2．b=1，∵0＜ω＜π，∴．∴．此函数的最小正周期T==6，f（6）=f（0）=3∵f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）=6，∴①当n=2k（k∈N*）时．f（1）+f（2）+…+f（3n）=f（1）+f（2）+…+f（6k）=k[f（1）+f（2）+…+f（6）]=6k=3n．②当n=2k﹣1（k∈N*）时．f（1）+f（2）+…+f（3n）=f（1）+f（2）+…+f（6k）﹣f（6k﹣2）﹣f（6k﹣1）﹣f（6k）=k[f（1）+f（2）+…+f（6）]﹣5=6k﹣5=3n ﹣2．2017年5月22日。
2017年上海市虹口区高考数学一模试卷一、填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题4分，本大题满分54分）1．已知集合A={1，2，4，6，8}，B={x|x=2k，k∈A}，则A∩B=．2．已知，则复数z的虚部为．3．设函数f（x）=sinx﹣cosx，且f（α）=1，则sin2α=．4．已知二元一次方程组的增广矩阵是，则此方程组的解是．5．数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，S n是它前n项和，则=．6．已知角A是△ABC的内角，则“”是“的条件（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要条件”、“既非充分又非必要”之一）．7．若双曲线x2﹣=1的一个焦点到其渐近线的距离为2，则该双曲线的焦距等于．8．若正项等比数列{a n}满足：a3+a5=4，则a4的最大值为．9．一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成角是60°的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的焦距等于．10．设函数f（x）=，则当x≤﹣1时，则f[f（x）]表达式的展开式中含x2项的系数是．11．点M（20，40），抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，若对于抛物线上的任意点P，|PM|+|PF|的最小值为41，则p的值等于．12．当实数x，y满足x2+y2=1时，|x+2y+a|+|3﹣x﹣2y|的取值与x，y均无关，则实数a的取范围是．二、选择题（每小题5分，满分20分）13．在空间，α表示平面，m，n表示二条直线，则下列命题中错误的是（）A．若m∥α，m、n不平行，则n与α不平行B．若m∥α，m、n不垂直，则n与α不垂直C．若m⊥α，m、n不平行，则n与α不垂直D．若m⊥α，m、n不垂直，则n与α不平行14．已知函数在区间[0，a]（其中a＞0）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．15．如图，在圆C中，点A、B在圆上，则的值（）A．只与圆C的半径有关B．既与圆C的半径有关，又与弦AB的长度有关C．只与弦AB的长度有关D．是与圆C的半径和弦AB的长度均无关的定值16．定义f（x）={x}（其中{x}表示不小于x的最小整数）为“取上整函数”，例如{2.1}=3，{4}=4．以下关于“取上整函数”性质的描述，正确的是（）①f（2x）=2f（x）；②若f（x1）=f（x2），则x1﹣x2＜1；③任意x1，x2∈R，f（x1+x2）≤f（x1）+f（x2）；④．A．①②B．①③C．②③D．②④三、解答题（本大题满分76分）17．在正三棱锥P﹣ABC中，已知底面等边三角形的边长为6，侧棱长为4．（1）求证：PA⊥BC；（2）求此三棱锥的全面积和体积．18．如图，我海监船在D岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A处，此时测得其北偏东30°方向与它相距20海里的B处有一外国船只，且D岛位于海监船正东18海里处．（1）求此时该外国船只与D岛的距离；（2）观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方航行．为了将该船拦截在离D岛12海里的E处（E在B的正南方向），不让其进入D岛12海里内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值（角度精确到0.1°，速度精确到0.1海里/小时）．19．已知二次函数f（x）=ax2﹣4x+c的值域为[0，+∞）．（1）判断此函数的奇偶性，并说明理由；（2）判断此函数在[，+∞）的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；（3）求出f（x）在[1，+∞）上的最小值g（a），并求g（a）的值域．20．椭圆C：过点M（2，0），且右焦点为F（1，0），过F 的直线l与椭圆C相交于A、B两点．设点P（4，3），记PA、PB的斜率分别为k1和k2．（1）求椭圆C的方程；（2）如果直线l的斜率等于﹣1，求出k1•k2的值；（3）探讨k1+k2是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出k1+k2的取值范围．21．已知函数f（x）=2|x+2|﹣|x+1|，无穷数列{a n}的首项a1=a．（1）如果a n=f（n）（n∈N*），写出数列{a n}的通项公式；（2）如果a n=f（a n﹣1）（n∈N*且n≥2），要使得数列{a n}是等差数列，求首项a 的取值范围；（3）如果a n=f（a n﹣1）（n∈N*且n≥2），求出数列{a n}的前n项和S n．2017年上海市虹口区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题4分，本大题满分54分）1．已知集合A={1，2，4，6，8}，B={x|x=2k，k∈A}，则A∩B={2，4，8} ．【考点】交集及其运算．【分析】先分别求出集合A和B，由此能出A∩B．【解答】解：∵集合A={1，2，4，6，8}，∴B={x|x=2k，k∈A}={2，4，8，12，19}，∴A∩B={2，4，8}．故答案为：{2，4，8}．2．已知，则复数z的虚部为1．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由，得，利用复数复数代数形式的乘法运算化简，求出z，则答案可求．【解答】解：由，得=2﹣2i+i﹣i2=3﹣i，则z=3+i．∴复数z的虚部为：1．故答案为：1．3．设函数f（x）=sinx﹣cosx，且f（α）=1，则si n2α=0．【考点】二倍角的正弦．【分析】由已知可得sinα﹣cosα=1，两边平方，利用二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式即可得解．【解答】解：∵f（x）=sinx﹣cosx，且f（α）=1，∴sinα﹣cosα=1，∴两边平方，可得：sin2α+cos2α﹣2sinαcosα=1，∴1﹣sin2α=1，可得：sin2α=0．故答案为：0．4．已知二元一次方程组的增广矩阵是，则此方程组的解是．【考点】系数矩阵的逆矩阵解方程组．【分析】先利用增广矩阵，写出相应的二元一次方程组，然后再求解即得．【解答】解：由题意，方程组解之得故答案为5．数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，S n是它前n项和，则=．【考点】数列的极限．【分析】求出数列的和以及通项公式，然后求解数列的极限即可．【解答】解：数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，S n==n2．a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，则==故答案为：；6．已知角A是△ABC的内角，则“”是“的充分不必要条件（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要条件”、“既非充分又非必要”之一）．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义以及三角函数值判断即可．【解答】解：A为△ABC的内角，则A∈（0，180°），若命题p：cosA=成立，则A=60°，sinA=；而命题q：sinA=成立，又由A∈（0，180°），则A=60°或120°；因此由p可以推得q成立，由q推不出p，可见p是q的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．7．若双曲线x2﹣=1的一个焦点到其渐近线的距离为2，则该双曲线的焦距等于6．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据焦点到其渐近线的距离求出b的值即可得到结论．【解答】解：双曲线的渐近线为y=±bx，不妨设为y=﹣bx，即bx+y=0，焦点坐标为F（c，0），则焦点到其渐近线的距离d===b=2，则c====3，则双曲线的焦距等于2c=6，故答案为：68．若正项等比数列{a n}满足：a3+a5=4，则a4的最大值为2．【考点】等比数列的性质．【分析】利用数列{a n}是各项均为正数的等比数列，可得a3a5=a42，再利用基本不等式，即可求得a4的最大值．【解答】解：∵数列{a n}是各项均为正数的等比数列，∴a3a5=a42，∵等比数列{a n}各项均为正数，∴a3+a5≥2，当且仅当a3=a5=2时，取等号，∴a3=a5=2时，a4的最大值为2．故答案是：2．9．一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成角是60°的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的焦距等于．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用已知条件，求出题意的长半轴，短半轴，然后求出半焦距，即可．【解答】解：因为底面半径为R的圆柱被与底面成30°的平面所截，其截口是一个椭圆，则这个椭圆的短半轴为：R，长半轴为：=8，∵a2=b2+c2，∴c==2，∴椭圆的焦距为；故答案为：4．10．设函数f（x）=，则当x≤﹣1时，则f[f（x）]表达式的展开式中含x2项的系数是60．【考点】分段函数的应用．【分析】根据分段函数的解析式先求出f[f（x）]表达式，再根据利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，整理成最简形式，令x的指数为2求得r，再代入系数求出结果【解答】解：由函数f（x）=，当x≤﹣1时，f（x）=﹣2x﹣1，此时f（x）min=f（﹣1）=2﹣1=1，∴f[f（x）]=（﹣2x﹣1）6=（2x+1）6，=C6r2r x r，∴T r+1当r=2时，系数为C62×22=60，故答案为：6011．点M（20，40），抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，若对于抛物线上的任意点P，|PM|+|PF|的最小值为41，则p的值等于42或22．【考点】抛物线的简单性质．【分析】过P做抛物线的准线的垂线，垂足为D，则|PF|=|PD|，当M（20，40）位于抛物线内，当M，P，D共线时，|PM|+|PF|的距离最小，20+=41，解得：p=42，当M（20，40）位于抛物线外，由勾股定理可知：=41，p=22或58，当p=58时，y2=116x，则点M（20，40）在抛物线内，舍去，即可求得p的值．【解答】解：由抛物线的定义可知：抛物线上的点到焦点距离=到准线的距离，过P做抛物线的准线的垂线，垂足为D，则|PF|=|PD|，当M（20，40）位于抛物线内，∴|PM|+|PF|=|PM|+|PD|，当M，P，D共线时，|PM|+|PF|的距离最小，由最小值为41，即20+=41，解得：p=42，当M（20，40）位于抛物线外，当P，M，F共线时，|PM|+|PF|取最小值，即=41，解得：p=22或58，由当p=58时，y2=116x，则点M（20，40）在抛物线内，舍去，故答案为：42或22．12．当实数x，y满足x2+y2=1时，|x+2y+a|+|3﹣x﹣2y|的取值与x，y均无关，则实数a的取范围是[，+∞）．【考点】圆方程的综合应用．【分析】根据实数x，y满足x2+y2=1，设x=cosθ，y=sinθ，求出x+2y的取值范围，再讨论a的取值范围，求出|x+2y+a|+|3﹣x﹣2y|的值与x，y均无关时a的取范围．【解答】解：∵实数x，y满足x2+y2=1，可设x=cosθ，y=sinθ，则x+2y=cosθ+2sinθ=sin（θ+α），其中α=arctan2；∴﹣≤x+2y≤，∴当a≥时，|x+2y+a|+|3﹣x﹣2y|=（x+2y+a）+（3﹣x﹣2y）=a+3，其值与x，y均无关；∴实数a的取范围是[，+∞）．故答案为：．二、选择题（每小题5分，满分20分）13．在空间，α表示平面，m，n表示二条直线，则下列命题中错误的是（）A．若m∥α，m、n不平行，则n与α不平行B．若m∥α，m、n不垂直，则n与α不垂直C．若m⊥α，m、n不平行，则n与α不垂直D．若m⊥α，m、n不垂直，则n与α不平行【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【分析】对于A，若m∥α，m、n不平行，则n与α可能平行、相交或n⊂α，即可得出结论．【解答】解：对于A，若m∥α，m、n不平行，则n与α可能平行、相交或n ⊂α，故不正确．故选A．14．已知函数在区间[0，a]（其中a＞0）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的单调性．【分析】由条件利用正弦函数的单调性，可得2a+≤，求得a的范围．【解答】在区间[0，a]（其中a＞0）上单调递增，则2a+≤，求得a≤，故有0＜a≤，故选：B．15．如图，在圆C中，点A、B在圆上，则的值（）A．只与圆C的半径有关B．既与圆C的半径有关，又与弦AB的长度有关C．只与弦AB的长度有关D．是与圆C的半径和弦AB的长度均无关的定值【考点】平面向量数量积的运算．【分析】展开数量积，结合向量在向量方向上投影的概念可得=．则答案可求．【解答】解：如图，过圆心C作CD⊥AB，垂足为D，则=||||•cos∠CAB=．∴的值只与弦AB的长度有关．故选：C．16．定义f（x）={x}（其中{x}表示不小于x的最小整数）为“取上整函数”，例如{2.1}=3，{4}=4．以下关于“取上整函数”性质的描述，正确的是（）①f（2x）=2f（x）；②若f（x1）=f（x2），则x1﹣x2＜1；③任意x1，x2∈R，f（x1+x2）≤f（x1）+f（x2）；④．A．①②B．①③C．②③D．②④【考点】函数与方程的综合运用．【分析】充分理解“取上整函数”的定义．如果选项不满足题意，只需要举例说明即可【解答】解：对于①，当x=1.4时，f（2x）=f（2.8）=3.2，f（1.4）=4．所以f （2x）≠2f（x）；①错．对于②，若f（x1）=f（x2）．当x1为整数时，f（x1）=x1，此时x2＞x1﹣1，即x1﹣x2＜1．当x1不是整数时，f（x1）=[x1]+1．[x1]表示不大于x1的最大整数．x2表示比x1的整数部分大1的整数或者是和x1保持相同整数的数，此时﹣x1﹣x2＜1．故②正确．对于③，当x1，x2∈Z，f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），当x1，x2∉Z，f（x1+x2）＜f（x1）+f（x2），故正确；对于④，举例f（1.2）+f（1.2+0.5）=4≠f（2.4）=3．故④错误．故选：C．三、解答题（本大题满分76分）17．在正三棱锥P﹣ABC中，已知底面等边三角形的边长为6，侧棱长为4．（1）求证：PA⊥BC；（2）求此三棱锥的全面积和体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）取BC的中点M，连AM、BM．由△ABC是等边三角形，可得AM ⊥BC．再由PB=PC，得PM⊥BC．利用线面垂直的判定可得BC⊥平面PAM，进一步得到PA⊥BC；（2）记O是等边三角形的中心，则PO⊥平面ABC．由已知求出高，可求三棱锥的体积．求出各面的面积可得三棱锥的全面积．【解答】（1）证明：取BC的中点M，连AM、BM．∵△ABC是等边三角形，∴AM⊥BC．又∵PB=PC，∴PM⊥BC．∵AM∩PM=M，∴BC⊥平面PAM，则PA⊥BC；（2）解：记O是等边三角形的中心，则PO⊥平面ABC．∵△ABC是边长为6的等边三角形，∴．∴，，∵，∴；．18．如图，我海监船在D岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A处，此时测得其北偏东30°方向与它相距20海里的B处有一外国船只，且D岛位于海监船正东18海里处．（1）求此时该外国船只与D岛的距离；（2）观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方航行．为了将该船拦截在离D岛12海里的E处（E在B的正南方向），不让其进入D岛12海里内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值（角度精确到0.1°，速度精确到0.1海里/小时）．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）依题意，在△ABD中，∠DAB=60°，由余弦定理求得DB；（2）法一、过点B作BH⊥AD于点H，在Rt△ABH中，求解直角三角形可得HE、AE的值，进一步得到sin∠EAH，则∠EAH可求，求出外国船只到达E处的时间t，由求得速度的最小值．法二、建立以点A为坐标原点，AD为x轴，过点A往正北作垂直的y轴．可得A，D，B的坐标，设经过t小时外国船到达点，结合ED=12，得，列等式求得t，则，，再由求得速度的最小值．【解答】解：（1）依题意，在△ABD中，∠DAB=60°，由余弦定理得DB2=AD2+AB2﹣2AD•AB•cos60°=182+202﹣2×18×15×cos60°=364，∴，即此时该外国船只与D岛的距离为海里；（2）法一、过点B作BH⊥AD于点H，在Rt△ABH中，AH=10，∴HD=AD﹣AH=8，以D为圆心，12为半径的圆交BH于点E，连结AE、DE，在Rt△DEH中，HE=，∴，又AE=，∴sin∠EAH=，则≈41.81°．外国船只到达点E的时间（小时）．∴海监船的速度（海里/小时）．又90°﹣41.81°=48.2°，故海监船的航向为北偏东48.2°，速度的最小值为6.4海里/小时．法二、建立以点A为坐标原点，AD为x轴，过点A往正北作垂直的y轴．则A（0，0），D（18，0），，设经过t小时外国船到达点，又ED=12，得，此时（小时）．则，，∴监测船的航向东偏北41.81°．∴海监船的速度（海里/小时）．19．已知二次函数f（x）=ax2﹣4x+c的值域为[0，+∞）．（1）判断此函数的奇偶性，并说明理由；（2）判断此函数在[，+∞）的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；（3）求出f（x）在[1，+∞）上的最小值g（a），并求g（a）的值域．【考点】二次函数的性质．【分析】（1）由二次函数f（x）=ax2﹣4x+c的值域，推出ac=4，判断f（﹣1）≠f（1），f（﹣1）≠﹣f（1），得到此函数是非奇非偶函数．（2）求出函数的单调递增区间．设x1、x2是满足的任意两个数，列出不等式，推出f（x2）＞f（x1），即可判断函数是单调递增．（3）f（x）=ax2﹣4x+c，当，即0＜a≤2时，当，即a＞2时求出最小值即可．【解答】解：（1）由二次函数f（x）=ax2﹣4x+c的值域为[0，+∞），得a＞0且，解得ac=4．…∵f（1）=a+c﹣4，f（﹣1）=a+c+4，a＞0且c＞0，从而f（﹣1）≠f（1），f（﹣1）≠﹣f（1），∴此函数是非奇非偶函数．…（2）函数的单调递增区间是[，+∞）．设x1、x2是满足的任意两个数，从而有，∴．又a＞0，∴，从而，即，从而f（x2）＞f（x1），∴函数在[，+∞）上是单调递增．…（3）f（x）=ax2﹣4x+c，又a＞0，，x∈[1，+∞）当，即0＜a≤2时，最小值g（a）=f（x0）=0当，即a＞2时，最小值综上，最小值…当0＜a≤2时，最小值g（a）=0当a＞2时，最小值综上y=g（a）的值域为[0，+∞）…20．椭圆C：过点M（2，0），且右焦点为F（1，0），过F 的直线l与椭圆C相交于A、B两点．设点P（4，3），记PA、PB的斜率分别为k1和k2．（1）求椭圆C的方程；（2）如果直线l的斜率等于﹣1，求出k1•k2的值；（3）探讨k1+k2是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出k1+k2的取值范围．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）利用已知条件求出b，即可求解椭圆方程．（2）直线l：y=﹣x+1，设AB坐标，联立利用韦达定理以及斜率公式求解即可．（3）当直线AB的斜率不存在时，不妨设A，B，求出斜率，即可；当直线AB 的斜率存在时，设其为k，求直线AB：y=k（x﹣1），联立直线与椭圆的方程组，利用韦达定理以及斜率公式化简求解即可．【解答】解：（1）∵a=2，又c=1，∴，∴椭圆方程为…（2）直线l：y=﹣x+1，设A（x1，y1）B（x2，y2），由消y得7x2﹣8x﹣8=0，有，．……（3）当直线AB的斜率不存在时，不妨设A（1，），B（1，﹣），则，，故k1+k2=2．…当直线AB的斜率存在时，设其为k，则直线AB：y=k（x﹣1），设A（x1，y1）B （x2，y2），由消y得（4k2+3）x2﹣8k2x+（4k2﹣12）=0，有，．…=…21．已知函数f（x）=2|x+2|﹣|x+1|，无穷数列{a n}的首项a1=a．（1）如果a n=f（n）（n∈N*），写出数列{a n}的通项公式；（2）如果a n=f（a n﹣1）（n∈N*且n≥2），要使得数列{a n}是等差数列，求首项a 的取值范围；（3）如果a n=f（a n﹣1）（n∈N*且n≥2），求出数列{a n}的前n项和S n．【考点】数列与函数的综合．【分析】（1）化简函数f（x）为分段函数，然后求出a n=f（n）=n+3．（2）如果{a n}是等差数列，求出公差d，首项，然后求解a的范围．（3）当a≥﹣1时，求出前n项和，当﹣2≤a≤﹣1时，当a≤﹣2时，分别求出n项和即可．【解答】解：（1）∵函数f（x）=2|x+2|﹣|x+1|=，…又n≥1且n∈N*，∴a n=f（n）=n+3．…（2）如果{a n}是等差数列，则a n﹣a n﹣1=d，a n=a n﹣1+d，由f（x）知一定有a n=a n﹣1+3，公差d=3．当a1≥﹣1时，符合题意．当﹣2≤a1≤﹣1时，a2=3a1+5，由a2﹣a1=3得3a1+5﹣a1=3，得a1=﹣1，a2=2．当a1≤﹣2时，a2=﹣a1﹣3，由a2﹣a1=3得﹣a1﹣3﹣a1=3，得a1=﹣3，此时a2=0．综上所述，可得a的取值范围是a≥﹣1或a=﹣3．…（3）当a≥﹣1时，a n=f（a n﹣1）=a n﹣1+3，∴数列{a n}是以a为首项，公差为3的等差数列，．…当﹣2≤a≤﹣1时，a2=3a1+5=3a+5≥﹣1，∴n≥3时，a n=a n﹣1+3．∴n=1时，S1=a．n ≥2时，又S1=a也满足上式，∴（n∈N*）…当a≤﹣2时，a2=﹣a1﹣3=﹣a﹣3≥﹣1，∴n≥3时，a n=a n﹣1+3．∴n=1时，S1=a．n ≥2时，又S1=a也满足上式，∴（n∈N*）．综上所述：S n=．…．。
2017年上海市虹口区高考数学二模试卷一、填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题4分，本大题满分54分）1．集合A={1，2，3，4}，B={x|（x﹣1）（x﹣5）＜0}，则A∩B=．2．复数所对应的点在复平面内位于第象限．3．已知首项为1公差为2的等差数列{a n}，其前n项和为S n，则=．4．若方程组无解，则实数a=．5．若（x+a）7的二项展开式中，含x6项的系数为7，则实数a=．6．已知双曲线，它的渐近线方程是y=±2x，则a的值为．7．在△ABC中，三边长分别为a=2，b=3，c=4，则=．8．在平面直角坐标系中，已知点P（﹣2，2），对于任意不全为零的实数a、b，直线l：a（x﹣1）+b（y+2）=0，若点P到直线l的距离为d，则d的取值范围是．9．函数f（x）=，如果方程f（x）=b有四个不同的实数解x1、x2、x3、x4，则x1+x2+x3+x4=．10．三条侧棱两两垂直的正三棱锥，其俯视图如图所示，主视图的边界是底边长为2的等腰三角形，则主视图的面积等于．11．在直角△ABC中，，AB=1，AC=2，M是△ABC内一点，且，若，则λ+2μ的最大值．12．无穷数列{a n}的前n项和为S n，若对任意的正整数n都有S n∈{k1，k2，k3，…，k10}，则a10的可能取值最多有个．二、选择题（每小题5分，满分20分）13．已知a，b，c是实数，则“a，b，c成等比数列”是“b2=ac”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．l1、l2是空间两条直线，α是平面，以下结论正确的是（）A．如果l1∥α，l2∥α，则一定有l1∥l2B．如果l1⊥l2，l2⊥α，则一定有l1⊥αC．如果l1⊥l2，l2⊥α，则一定有l1∥αD．如果l1⊥α，l2∥α，则一定有l1⊥l215．已知函数，x1、x2、x3∈R，且x1+x2＞0，x2+x3＞0，x3+x1＞0，则f（x1）+f（x2）+f（x3）的值（）A．一定等于零 B．一定大于零 C．一定小于零 D．正负都有可能16．已知点M（a，b）与点N（0，﹣1）在直线3x﹣4y+5=0的两侧，给出以下结论：①3a﹣4b+5＞0；②当a＞0时，a+b有最小值，无最大值；③a2+b2＞1；④当a＞0且a≠1时，的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4三、解答题（本大题满分76分）17．如图ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，底面△ABC是等腰直角三角形，且AB=AC=4，直三棱柱的高等于4，线段B1C1的中点为D，线段BC的中点为E，线段CC1的中点为F．（1）求异面直线AD、EF所成角的大小；（2）求三棱锥D﹣AEF的体积．18．已知定义在（﹣，）上的函数f（x）是奇函数，且当x∈（0，）时，f（x）=．（1）求f（x）在区间（﹣，）上的解析式；（2）当实数m为何值时，关于x的方程f（x）=m在（﹣，）有解．19．已知数列{a n}是首项等于且公比不为1的等比数列，S n是它的前n项和，满足．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log a a n（a＞0且a≠1），求数列{b n}的前n项和T n的最值．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0），定义椭圆C上的点M（x0，y0）的“伴随点”为．（1）求椭圆C上的点M的“伴随点”N的轨迹方程；（2）如果椭圆C上的点（1，）的“伴随点”为（，），对于椭圆C上的任意点M及它的“伴随点”N，求的取值范围；（3）当a=2，b=时，直线l交椭圆C于A，B两点，若点A，B的“伴随点”分别是P，Q，且以PQ为直径的圆经过坐标原点O，求△OAB的面积．21．对于定义域为R的函数y=f（x），部分x与y的对应关系如表：（1）求f{f[f（0）]}；）都在函数y=f（x）的（2）数列{x n}满足x1=2，且对任意n∈N*，点（x n，x n+1图象上，求x1+x2+…+x4n；（3）若y=f（x）=Asin（ωx+φ）+b，其中A＞0，0＜ω＜π，0＜φ＜π，0＜b＜3，求此函数的解析式，并求f（1）+f（2）+…+f（3n）（n∈N*）．2017年上海市虹口区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题4分，本大题满分54分）1．集合A={1，2，3，4}，B={x|（x﹣1）（x﹣5）＜0}，则A∩B={2，3，4} ．【考点】1E：交集及其运算．【分析】解关于B的不等式，求出A、B的交集即可．【解答】解：A={1，2，3，4}，B={x|（x﹣1）（x﹣5）＜0}={x|1＜x＜5}，则A∩B={2，3，4}；故答案为：{2，3，4}．2．复数所对应的点在复平面内位于第四象限．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数==﹣i所对应的点在复平面内位于第四象限．故答案为：四．3．已知首项为1公差为2的等差数列{a n}，其前n项和为S n，则=4．【考点】6F：极限及其运算；85：等差数列的前n项和．【分析】由题意，a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，S n=n+=n2，即可求极限．【解答】解：由题意，a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，S n=n+=n2，∴==4，故答案为：4．4．若方程组无解，则实数a=±2．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】根据题意，若方程组无解，则直线ax+2y=3与直线2x+2y=2平行，由直线平行的判定方法分析可得a的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，方程组无解，则直线ax+2y=3与直线2x+2y=2平行，则有a×a=2×2，且a×2≠2×3，即a2=4，a≠3，解可得a=±2，故答案为：±2．5．若（x+a）7的二项展开式中，含x6项的系数为7，则实数a=1．【考点】DB：二项式系数的性质．=x r a7﹣r，令r=6，则=7，【分析】（x+a）7的二项展开式的通项公式：T r+1解得a．=x r a7﹣r，【解答】解：（x+a）7的二项展开式的通项公式：T r+1令r=6，则=7，解得a=1．故答案为：1．6．已知双曲线，它的渐近线方程是y=±2x，则a的值为2．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的方程可得其渐近线方程为：y=±ax，结合题意中渐近线方程可得a=2，即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：，其焦点在x轴上，其渐近线方程为：y=±ax，又有其渐近线方程是y=±2x，则有a=2；故答案为：2．7．在△ABC中，三边长分别为a=2，b=3，c=4，则=．【考点】HP：正弦定理．【分析】由已知利用余弦定理可求cosA，cosB，进而利用同角三角函数基本关系式可求sinA，sinB的值，即可利用二倍角的正弦函数公式化简求值得解．【解答】解：在△ABC中，∵a=2，b=3，c=4，∴cosA==，可得：sinA==，cosB==，sinB==，∴===．故答案为：．8．在平面直角坐标系中，已知点P（﹣2，2），对于任意不全为零的实数a、b，直线l：a（x﹣1）+b（y+2）=0，若点P到直线l的距离为d，则d的取值范围是[0，5] ．【考点】IT：点到直线的距离公式．【分析】由题意，直线过定点Q（1，﹣2），PQ⊥l时，d取得最大值=5，直线l过P时，d取得最小值0，可得结论．【解答】解：由题意，直线过定点Q（1，﹣2），PQ⊥l时，d取得最大值=5，直线l过P时，d取得最小值0，∴d的取值范围[0，5]，故答案为[0，5]．9．函数f（x）=，如果方程f（x）=b有四个不同的实数解x1、x2、x3、x4，则x1+x2+x3+x4=4．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】作出f（x）的图象，由题意可得y=f（x）和y=b的图象有4个交点，不妨设x1＜x2＜x3＜x4，由x1、x2关于原点对称，x3、x4关于（2，0）对称，计算即可得到所求和．【解答】解：作出函数f（x）=的图象，方程f（x）=b有四个不同的实数解，等价为y=f（x）和y=b的图象有4个交点，不妨设它们交点的横坐标为x1、x2、x3、x4，且x1＜x2＜x3＜x4，由x1、x2关于原点对称，x3、x4关于（2，0）对称，可得x1+x2=0，x3+x4=4，则x1+x2+x3+x4=4．故答案为：4．10．三条侧棱两两垂直的正三棱锥，其俯视图如图所示，主视图的边界是底边长为2的等腰三角形，则主视图的面积等于．【考点】L7：简单空间图形的三视图．【分析】由题意，正三棱锥有三个面都是等腰直角三角形，且边长相等．根据俯视图可得，底面是边长为2的等边三角形．利用体积法，求其高，即可得主视图的高．可得主视图的面积【解答】解：由题意，正三棱锥有三个面都是等腰直角三角形，（如图：SAB，SBC，SAC）且边长相等为，其体积为V==根据俯视图可得，底面是边长为2的等边三角形．其面积为：．设主视图的高OS=h，则=．∴h=．主视图的边界是底边长为2的等腰三角形，其高为．∴得面积S=．故答案为11．在直角△ABC中，，AB=1，AC=2，M是△ABC内一点，且，若，则λ+2μ的最大值．【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（0，1），C（2，0），M（，），（0＜θ＜），由已知可得，则λ+2μ=，即可求解．【解答】解：如图建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（0，1），C（2，0）M（，）（0＜θ＜），∵，∴（．∴，则λ+2μ=，∴当θ=时，λ+2μ最大值为，故答案为：12．无穷数列{a n}的前n项和为S n，若对任意的正整数n都有S n∈{k1，k2，k3，…，k10}，则a10的可能取值最多有91个．【考点】8E：数列的求和．【分析】根据数列递推公式可得a10=S10﹣S9，而S10，S9∈{k1，k2，k3，…，k10}，分类讨论即可求出答案．【解答】解：a10=S10﹣S9，而S10，S9∈{k1，k2，k3，…，k10}，若S10≠S9，则有A102=10×9=90种，若S10=S9，则有a10=0，根据分类计数原理可得，共有90+1=91种，故答案为：91二、选择题（每小题5分，满分20分）13．已知a，b，c是实数，则“a，b，c成等比数列”是“b2=ac”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合等比数列的定义进行判断即可．【解答】解：若a，b，c成等比数列，则b2=ac成立，若a=b=c=0，满足b2=ac，但a，b，c不能成等比数列，故“a，b，c成等比数列”是“b2=ac”的充分不必要条件，故选：A．14．l1、l2是空间两条直线，α是平面，以下结论正确的是（）A．如果l1∥α，l2∥α，则一定有l1∥l2B．如果l1⊥l2，l2⊥α，则一定有l1⊥αC．如果l1⊥l2，l2⊥α，则一定有l1∥αD．如果l1⊥α，l2∥α，则一定有l1⊥l2【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系逐一核对四个选项得答案．【解答】解：若l1∥α，l2∥α，则有l1∥l2或l1与l2相交或l1与l2异面，故A错误；如果l1⊥l2，l2⊥α，则有l1∥α或l1⊂α，故B、C错误；如果l1⊥α，则l1垂直α内的所有直线，又l2∥α，则过l2与α相交的平面交α于a，则l2∥a，∴l1⊥l2，故D正确．故选：D．15．已知函数，x1、x2、x3∈R，且x1+x2＞0，x2+x3＞0，x3+x1＞0，则f（x1）+f（x2）+f（x3）的值（）A．一定等于零 B．一定大于零 C．一定小于零 D．正负都有可能【考点】57：函数与方程的综合运用．【分析】先判断奇偶性和单调性，先由单调性定义由自变量的关系得到函数关系，然后三式相加得解．【解答】解：函数，f（﹣x）=﹣f（x），函数f（x）是奇函数，根据同增为增，可得函数f（x）是增函数，∵x1+x2＞0，x2+x3＞0，x3+x1＞0，∴x1＞﹣x2，x2＞﹣x3x3＞﹣x1，∴f（x1）＞f（﹣x2，f（x2）＞f（﹣x3），f（x3）＞f（﹣x1）∴f（x1）+f（x2）＞0，f（x2）+f（x3）＞0，f（x3）+f（x1）＞0，三式相加得：f（x1）+f（x2）+f（x3）＞0，故选：B．16．已知点M（a，b）与点N（0，﹣1）在直线3x﹣4y+5=0的两侧，给出以下结论：①3a﹣4b+5＞0；②当a＞0时，a+b有最小值，无最大值；③a2+b2＞1；④当a＞0且a≠1时，的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】根据点M（a，b）与点N（1，0）在直线3x﹣4y+5=0的两侧，可以画出点M（a，b）所在的平面区域，进而结合二元一次不等式的几何意义，两点之间距离公式的几何意义，及两点之间连线斜率的几何意义，逐一分析四个命题得结论．【解答】解：∵点M（a，b）与点N（0，﹣1）在直线3x﹣4y+5=0的两侧，∴（3a﹣4b+5）（3×0+4+5）＜0，即3a﹣4b+5＜0，故①错误；当a＞0时，a+b＞，a+b即无最小值，也无最大值，故②错误；设原点到直线3x﹣4y+5=0的距离为d，则d=，则a2+b2＞4，故③错误；当a＞0且a≠1时，表示点M（a，b）与P（1，﹣1）连线的斜率．∵当a=0，b=时，=，又直线3x﹣4y+5=0的斜率为，故的取值范围为（﹣∞，﹣）∪（，+∞），故④正确．∴正确命题的个数是2个．故选：B．三、解答题（本大题满分76分）17．如图ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，底面△ABC是等腰直角三角形，且AB=AC=4，直三棱柱的高等于4，线段B1C1的中点为D，线段BC的中点为E，线段CC1的中点为F．（1）求异面直线AD、EF所成角的大小；（2）求三棱锥D﹣AEF的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LM：异面直线及其所成的角．【分析】（1）以A为原点建立空间坐标系，求出，的坐标，利用向量的夹角公式得出AD，EF的夹角；，代入体积公式计算．（2）证明AE⊥平面DEF，求出AE和S△DEF【解答】解：（1）以A为坐标原点，AB、AC、AA1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．依题意有D（2，2，4），A（0，0，0），E（2，2，0），F（0，4，2），所以．设异面直线AD、EF所成角为α，则==，所以，即异面直线AD、EF所成角的大小为．（2）∵AB=AC=4，AB⊥AC，∴，，DE=AA1=4，==4，∴S△DEF由E为线段BC的中点，且AB=AC，∴AE⊥BC，又BB1⊥面ABC，∴AE⊥BB1，∴AE⊥面BB1C1C，∴，∴三棱锥D﹣AEF的体积为．18．已知定义在（﹣，）上的函数f（x）是奇函数，且当x∈（0，）时，f（x）=．（1）求f（x）在区间（﹣，）上的解析式；（2）当实数m为何值时，关于x的方程f（x）=m在（﹣，）有解．【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】（1）利用奇函数的定义，结合x∈（0，）时，f（x）=，求f（x）在区间（﹣，）上的解析式；（2）分类讨论，利用函数的解析式，可得结论．【解答】解：（1）设，则，∵f（x）是奇函数，则有…∴f（x）=…（2）设，令t=tanx，则t＞0，而．∵1+t＞1，得，从而，∴y=f（x）在的取值范围是0＜y＜1．…又设，则，由此函数是奇函数得f（x）=﹣f（﹣x），0＜f（﹣x）＜1，从而﹣1＜f（x）＜0．…综上所述，y=f（x）的值域为（﹣1，1），所以m的取值范围是（﹣1，1）．…19．已知数列{a n}是首项等于且公比不为1的等比数列，S n是它的前n项和，满足．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log a a n（a＞0且a≠1），求数列{b n}的前n项和T n的最值．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）根据求和公式列方程求出q，代入通项公式即可；（2）对a进行讨论，判断{b n}的单调性和首项的符号，从而得出T n的最值．【解答】解：（1）∵，∵q≠1，∴．整理得q2﹣3q+2=0，解得q=2或q=1（舍去）．∴．（2）b n=log a a n=（n﹣5）log a2．1）当a＞1时，有log a2＞0，数列{b n}是以log a2为公差，以﹣4log a2为首项的等差数列，∴{b n}是递增数列，∴T n没有最大值．由b n≤0，得n≤5．所以（T n）min=T4=T5=﹣10log a2．2）当0＜a＜1时，有log a2＜0，数列{b n}是以log a2为公差的等差数列，∴{b n}是首项为正的递减等差数列．∴T n没有最小值．令b n≥0，得n≤5，（T n）max=T4=T5=﹣10log a2．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0），定义椭圆C上的点M（x0，y0）的“伴随点”为．（1）求椭圆C上的点M的“伴随点”N的轨迹方程；（2）如果椭圆C上的点（1，）的“伴随点”为（，），对于椭圆C上的任意点M及它的“伴随点”N，求的取值范围；（3）当a=2，b=时，直线l交椭圆C于A，B两点，若点A，B的“伴随点”分别是P，Q，且以PQ为直径的圆经过坐标原点O，求△OAB的面积．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（1）由，代入椭圆方程即可求得椭圆C上的点M的“伴随点”N 的轨迹方程；（2）由题意，求得椭圆的方程，根据向量的坐标运算，即可求得的取值范围；（3）求得椭圆方程，设方程为y=kx+m，代入椭圆方程，利用韦达定理，根据向量数量积的坐标求得3+4k2=2m2，弦长公式及点到直线的距离公式，即可求得△OAB的面积，直线l的斜率不存在时，设方程为x=m，代入椭圆方程，即可求得△OAB的面积．【解答】解：（1）设N（x，y）由题意，则，又，∴，从而得x2+y2=1…（2）由，得a=2．又，得．…∵点M（x0，y0）在椭圆上，，，且，•=（x，y0）（，）=+=x02+，由于，的取值范围是[，2]（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），则；1）当直线l的斜率存在时，设方程为y=kx+m，由，得（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0；有①…由以PQ为直径的圆经过坐标原点O可得：3x1x2+4y1y2=0；整理得：②将①式代入②式得：3+4k2=2m2，…3+4k2＞0，则m2＞0，△=48m2＞0，又点O到直线y=kx+m的距离，丨AB丨==×=×，∴…2）当直线l的斜率不存在时，设方程为x=m（﹣2＜m＜2）联立椭圆方程得；代入3x1x2+4y1y2=0，得，解得m2=2，从而，=丨AB丨×d=丨m丨丨y1﹣y2丨=，S△OAB综上：△OAB的面积是定值．…21．对于定义域为R的函数y=f（x），部分x与y的对应关系如表：（1）求f{f[f（0）]}；（2）数列{x n}满足x1=2，且对任意n∈N*，点（x n，x n）都在函数y=f（x）的+1图象上，求x1+x2+…+x4n；（3）若y=f（x）=Asin（ωx+φ）+b，其中A＞0，0＜ω＜π，0＜φ＜π，0＜b＜3，求此函数的解析式，并求f（1）+f（2）+…+f（3n）（n∈N*）．【考点】H2：正弦函数的图象；3O：函数的图象．【分析】（1）根据复合函数的性质，由内往外计算可得答案．）都在函数y=f（x）的图象上，带入，化简，不难发现函（2）根据点（x n，x n+1数y是周期函数，即可求解x1+x2+…+x4n的值．（3）根据表中的数据，带入计算即可求解函数的解析式．【解答】解：（1）根据表中的数据：f{f[f（0）]}=f（f（3））=f（﹣1）=2．）都在函数y=f（x）的图象上，（2）由题意，x1=2，点（x n，x n+1=f（x n）即x n+1∴x2=f（x1）=f（2）=0，x3=f（x2）=3，x4=f（x3）=﹣1，x5=f（x4）=2∴x5=x1，∴函数y是周期为4的函数，故得：x1+x2+…+x4n=4n．（3）由题意得由（1）﹣（2）∴sin（ω+φ）=sin（﹣ω+φ）∴sinωcosφ=0．又∵0＜ω＜π∴sinω≠0．∴cosφ=0而0＜φ＜π∴从而有．∴2A2﹣4A+2﹣2A2+3A=0．∴A=2．b=1，∵0＜ω＜π，∴．∴．此函数的最小正周期T==6，f（6）=f（0）=3∵f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）=6，∴①当n=2k（k∈N*）时．f（1）+f（2）+…+f（3n）=f（1）+f（2）+…+f（6k）=k[f（1）+f（2）+…+f（6）]=6k=3n．②当n=2k﹣1（k∈N*）时．f（1）+f（2）+…+f（3n）=f（1）+f（2）+…+f（6k）﹣f（6k﹣2）﹣f（6k﹣1）﹣f（6k）=k[f（1）+f（2）+…+f（6）]﹣5=6k﹣5=3n ﹣2．2017年5月22日。
