6 混凝土梁承载力计算原理6.1 概述本章介绍钢筋混凝土梁的受弯、受剪及受扭承载力计算方法。
钢筋混凝土梁是由钢筋和混凝土两种材料所组成，且混凝土本身是非弹性、非匀质材料。
抗拉强度又远小于抗压强度，因而其受力性能有很大不同。
研究钢筋混凝土构件的受力性能，很大程度上要依赖于构件加载试验。
建筑工程中梁常用的截面形式如图6-1所示。
6.2 正截面受弯承载力6.2.1 材料的选择与一般构造1)截面尺寸为统一模板尺寸以便施工，现浇钢筋混凝土构件宜采用下列尺寸：梁宽一般为100mm、120mm、 150mm、180mm、 200mm、220mm、250和300mm，以上按b/，50mm模数递增。
梁高200～800mm，模数为50mm，800mm以上模数为100mm。
梁高与跨度只比lh/，主梁为1/8～1/12，次梁为1/15～1/20，独立梁不小于1/15（简支）和1/20（连续）；梁高与梁宽之比b在矩形截面梁中一般为2～2.5，在T形梁中为2.5～4.0。
2)混凝土保护层厚度为了满足对受力钢筋的有效锚固及耐火、耐久性要求，钢筋的混凝土保护层应有足够的厚度。
混凝土保护层最小厚度与钢筋直径，构件种类、环境条件和混凝土强度等级有关。
具体应符合下表规定。
表6-1 混凝土保护层最小厚度注：（1）基础的保护层厚度不小于40mm；当无垫层时不小于70mm。
（2）处于一类环境且由工厂生产的预制构件，当混凝土强度不低于C20时，其保护层厚度可按表中规定减少5mm，但预制构件中的预应力钢筋的保护层厚度不应小于15mm；处于二类环境且由工厂生产的预制构件，当表面另做水泥砂浆抹面层且有质量保证措施时，保护层厚度可按表中一类环境数值取用。
（3）预制钢筋混凝土受弯构件钢筋端头的保护层厚度不应小于10mm，预制肋形板主肋钢筋的保护层厚度应按梁的数值采用。
（4）板、墙、壳中分布钢筋的保护层厚度不应小于10mm，梁、柱中箍筋和构造钢筋的保护层厚度不应小于15mm。
（5）处于二类环境中的悬臂板，其上表面应另作水泥砂浆保护层或采取其它保护措施。
（6）有防火要求的建筑物，其保护层厚度应符合国家现行有关防火规范的规定。
3)钢筋直径及间距梁的纵向受力钢筋直径通常采用10～28mm，若用两种不同直径的钢筋，其直径相差至少为2mm，以便施工中能肉眼识别。
6.2.2梁正截面工作的三个阶段1) 截面应力分布梁截面应力分布在各个阶段的变化特点如图6-2所示（1）第I阶段：梁承受的弯矩很小,截面的应变也很小，混凝土处于弹性工作阶段，应力与应变成正比。
截面应变符合平截面假定，故梁的截面应力分布为三角形。
中和轴以上受压，另一侧受拉，钢筋与外围混凝土应变相同，共同受拉。
随着M的增大，截面应变随之增大。
由于受拉区混凝土塑性变形的发展。
应力增长缓慢，应变增长较快，受拉区混凝土的应力图形呈曲线形。
当弯矩增加到使受拉边的应变到达混凝土的极限拉应变时，就进入裂缝出现的临界状态。
如再增加荷载，拉区混凝土将开裂，这时的弯矩为开裂弯矩，在此阶段，压区混凝土仍处于弹性阶段，因此压区应力图形为三角形。
（2）第Ⅱ阶段：M后，在纯弯段内混凝土抗拉强度最弱的截面上将出现第一批裂缝。
开裂当弯矩继续增加，达到cr部分混凝土承受的拉力将传给钢筋，使开裂截面的钢筋应力突然增大，但中和轴以下未开裂部分混凝土仍可负担一部分拉力。
随着弯矩增大，截面应变增大；但截面应变分布基本上符合平截面假定；而压区混凝上则越来越表现出塑性变形的特征，压区的应力图形呈曲线形。
当钢筋应力到达屈服时，为第Ⅱ阶段的结M。
束，这时的弯矩称为屈服弯矩y（3）第III阶段：钢筋屈服后应力不增加，而应变急剧发展，钢筋与混凝土间的粘结遭到明显的破坏，使钢筋到达屈服的截面形成一条宽度很大，迅速向梁顶发展的临界裂缝。
虽然此阶段钢筋承担拉力不增大，但中和轴急剧上升，压区高度很快减小，内力臂增大，截面弯矩仍能有所增长。
随压区高度的减小，混凝土受压边缘的压应变显著增大。
最大压应变可达0.003～0.004，压应力图形将为带有下降段的曲线形，应力图形的峰值下移。
当压区混凝土的抗压强度耗尽时，在临界裂缝两侧的一定区段内，压区混凝土出现纵向水平裂缝，随即混凝土被压酥，梁达到极限弯矩。
2) 破坏特征上述讨论仅适用于适量配筋的梁，它们的破坏是由于受拉钢筋首先到达屈服，然后混凝土受压破坏；破坏前临界裂缝显著开展，顶部压区混凝上产生很大局部变形，形成集中的塑性变形区域。
在这个区域内，在M不增加或增加不多情况下，截面的转角急剧增大，反映了截面的屈服；同时梁的挠度迅速增大，预示着梁的破坏即将到来，其破坏形态具有“塑性破坏”的特征，即在破坏前裂缝和变形急剧发展。
6.2.3 正截面受力分析1)基本假设（1）截面应变符合平截面假定构件正截面弯曲变形后，其截面依然保持平面，截面应变分布服从平截面假定，即截面内任意点的应变与该点到中和轴的距离成正比，钢筋与外围混凝上的应变相同。
国内外大量试验也表明，从加载开始至破坏，所测得破坏区段的混凝土及钢筋的平均应变，基本上是符合平截面假定的。
试验还表明构件破坏时，受压区混凝土的压碎是在沿构件长度一定范围内发生的，受拉钢筋的屈服也是在沿构件长度一定范围内发生的。
因此，在承载力计算时采用平截面假定是可行的。
（2）不考虑混凝土的抗拉强度在裂缝截面处，受拉区混凝土已大部分退出工作，虽然在中和轴附近尚有部分混凝土承担拉力，但与钢筋承担的拉力或混凝土承担的压力相比，数值很小。
并且合力离中和轴很近，承担的弯矩可以忽略。
（3）混凝土应力—应变关系混凝土的应力—应变曲线有多种不同形式，常采用的由一条二次抛物线和水平线组成的曲线，即不考虑其下降段，并简化如图6-3的形式。
（4）钢筋应力—应变关系钢筋应力取等于钢筋应变与其弹性模量的乘积，但不大于其强度设计值，受拉钢筋的极限拉应变取0.01。
其简化的应力-应变曲线如图6-4所示。
2)受力分析适筋梁在正截面承载力极限状态，受拉钢筋己经达到屈服强度，压区混凝上达到受 压破坏极限。
以单筋矩形截面为例，根据上述假设，截面受力状态如图6-5所示。
此时，压区边缘混凝土压应变达到极限压应变。
对于特定的混凝土强度等级，0ε与cu ε均可取为定值；因此，根据截面假定与混凝土应力-应变关系，压区混凝土应力分布图形由压区高度唯一确定，压区混凝土合力C 的值为一积分表达式，压区混凝土合力作用点与受拉钢筋合力作用点之间的距离z 称为内力臂，也必须表达为积分的形式。
根据轴向力与对受拉钢筋合力作用点的力矩平衡，可以建立两个独立平衡方程 )(c y s x C f A T == （6.1） )(c y s x z f A M = （6.2）通过联立求解上述两个方程虽然可以进行截面设计计算，但因混凝土压应力分布为非线性分布，计算过程中需要进行比较复杂的积分计算，不利于工程应用。
《规范》采用简化压应力分布的简化方法。
3)等效矩形应力图形 正截面抗弯计算的主要目的仅仅是为了建立u M 的计算公式，实际上并不需要完整地给出混凝土的压应力分布，而只要能确定压应力合力C 的大小及作用位置就可以了。
为此，《规范》对于非均匀受压构件，如受弯、偏心受压和大偏心受拉等构件的受压区混凝土的应力分布进行简化，即用等效矩形应力图形来代换二次抛物线加矩形的应力图形(图6-6)。
其代换的原则是：保证两图形压应力合力C 的大小和作用点位置不变。
等效矩形应力图由无量纲参数1β及1α所确定。
1β及1α为等效矩形应力图块的特征值，1α为矩形应力图的强度与受压区混凝土最大应力c f 的比值；1β为矩形应力图的受压区高度与平截面假定的中和轴高度c x 的比值．即c 1/x x =β；x 为等效压区高度值，简称压区高度。
根据试验及分析，可以求得1β与1α的值。
1β及1α与混凝土强度等因素有关。
对中低强混凝土．当0ε=0.002，cu ε＝0.0033时，1β=0.824，1α=0.969。
为简化计算取1β=0.8，1α=1。
对高强混凝土，用随混凝土强度提高而逐渐降低的系数1α值来反映高强混凝土的特点。
应当指出，将上述简化计算规定用于三角形截面、圆形截面的受压区，会带来一定的误差。
《规范》规定：当k cu,f ≤502N /mm 时，1β取为0.8，当k cu,f =802N /mm 时，1β取为0.79，其间按直线内插法取用；当k cu,f ≤502N /mm 时，1α取为1.0，当k cu,f =802N /mm 时，1α取为0.94，其间按直线内插法取用。
相应的值列于表6-2。
表6-2 混凝土受压区等效矩形应力系数4)界限相对受压区高度与最小配筋率 （1）界限相对受压区高度b ξ界限相对受压区高度b ξ，是指在适筋粱的界限破坏时，等效压区高度与截面有效高度之比。
界限破坏的特征是受拉钢筋屈服的同时，压区混凝土边缘达到极限压应变。
根据平截面假定，正截面破坏时，不同压区高度的应变变化如图6-7所示．中间斜线表示的为界限破坏的应变。
对于确定的混凝土强度等级，u ε的值为常数，c 1/x x =β也为常数。
由图中可以看出，破坏 时的相对压区高度越大，钢筋拉应变越小。
破坏时的相对压区高度 0c10h x h x βξ== （6.3） 相对界限受压区高度 0cb10b b h x h x βξ==（6.4） 当b ξξ>，破坏时钢筋拉应变，受拉钢筋不屈服，表明发生的破坏为超筋破坏。
当b ξξ<，破坏时钢筋拉应变，受拉钢筋已经达到屈服，表明发生的破坏为适筋破坏或少筋破坏。
根据平截面假设，相对界限受压区高度可用简单的几何关系求出 scu y1y cu cu1ycu cu 10cb1b 1E f E f h x s εβεεβεεεββξ+=+=+==（6.5）《规范》规定； 对有屈服点的钢筋s cu y1b 1E f εβξ+=（6.6）对无屈服点的钢筋 scu ycu 1b 002.01E f εεβξ+=（6.7）截面受拉区内配有不同种类的钢筋时，受弯构件的相对界限受压区高度应分别计算，并取其小值。
（2）最小配筋率min ρ少筋破坏就是一旦出现裂缝，构件就会失效。
《规范》规定：对受弯梁类构件，受拉钢筋百分率不应小于45t f y /f ，同时不应小于0.2；当温度因素对结构构件有较大影响时，受拉钢筋最小配筋百分率应比规定适当增加；原则上讲，最小配筋率规定了少筋截面和适筋截面的界限，即配有最小配筋率的钢筋混凝土梁在破坏时所能承担的弯矩等于相同截面的素混凝土梁所承担的弯矩。
6.2.4 受弯构件正截面承载力计算1)基本公式与适用条件 （1）计算公式根据前面所述钢筋混凝土结构设计基本原则，对受弯构件正截面受弯承载力，应满足作用在结构上的荷载在所计算的截面中产生的弯矩设计值M 不超过根据截面的设计尺寸、配筋量和材料的强度设计值计算得到的受弯构件的正截面受弯承载力设计值，即u M M ≤ （6.8）根据图6-8，取轴向力以及弯矩平衡，即截面上水平方向的内力之和为零，截面上内、外力对受拉钢筋合力点的力矩之和等于零，可写出单筋矩形截面受弯构件正截面受弯承载力计算的基本公式为s y c 1A f bx f =α （6.9）)2(0c 1u xh bx f M M -=≤α （6.10）式中 M —─弯矩设计值； u M ——正截面极限抵抗弯矩；c f ——混凝土轴心抗压强度设计值； yf ——钢筋的抗拉强度设计值； sA ——受拉区纵向钢筋的截面面积；1α——矩形应力图的强度与受压区混凝土最大应力c f 的比值；b ——截面宽度；x ——按等效矩形应力图计算的受压区高度；0h ——截面有效高度，s a h h -=0，s a 为受拉钢筋合力点至截面受拉边缘的距离，当为一排钢筋时，2dc a s +=，其中d 为钢筋直径，c 为混凝土保护层厚度。
