初二数学知识点专题讲解与练习26---相对相称—对称分析法(培优版)

专题26 四边形聚焦考点☆温习理解一、四边形的内角和定理及外角和定理四边形的内角和定理：四边形的内角和等于360°。

四边形的外角和定理：四边形的外角和等于360°。

推论：多边形的内角和定理：n 边形的内角和等于•-)2(n 180°；多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°。

二、平行四边形 1、平行四边形的概念两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2、平行四边形的性质（1）平行四边形的邻角互补，对角相等。

（2）平行四边形的对边平行且相等。

推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。

（3）平行四边形的对角线互相平分。

（4）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积。

3、平行四边形的判定（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形（2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形（3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形（4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形（5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形三、矩形1、矩形的概念有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

2、矩形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）矩形的四个角都是直角（3）矩形的对角线相等（4）矩形是轴对称图形3、矩形的判定（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形四、菱形1、菱形的概念有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）菱形的四条边相等（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角（4）菱形是轴对称图形3、菱形的判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形4、菱形的面积S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半五、正方形1、正方形的概念有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

八年级数学上册轴对称知识点总结1、轴对称图形：一个图形沿一条直线对折,直线两旁的部分能够完全重合。

这条直线叫做对称轴。

互相重合的点叫做对应点。

2、轴对称：两个图形沿一条直线对折,其中一个图形能够与另一个图形完全重合。

这条直线叫做对称轴。

互相重合的点叫做对应点。

3、轴对称图形与轴对称的区别与联系：（1）区别。

轴对称图形讨论的是“一个图形与一条直线的对称关系” ；轴对称讨论的是“两个图形与一条直线的对称关系”。

（2）联系。

把轴对称图形中“对称轴两旁的部分看作两个图形”便是轴对称；把轴对称的“两个图形看作一个整体”便是轴对称图形。

4、轴对称的性质：（1）成轴对称的两个图形全等。

（2）对称轴与连结“对应点的线段”垂直。

（3）对应点到对称轴的距离相等。

（4）对应点的连线互相平行。

5、线段的垂直平分线：（1）定义。

经过线段的中点且与线段垂直的直线,叫做线段的垂直平分线。

如图2,∵CA=CB,直线m ⊥AB 于C,∴直线m 是线段AB 的垂直平分线。

（2）性质。

线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等。

如图3,∵CA=CB,直线m ⊥AB 于C,点P 是直线m 上的点。

∴PA=PB 。

（3）判定。

与线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。

如图3,∵PA=PB,直线m 是线段AB 的垂直平分线, ∴点P 在直线m 上 。

6、等腰三角形：（1）定义。

有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形。

①相等的两条边叫做腰。

第三条边叫做底。

②两腰的夹角叫做顶角。

③腰与底的夹角叫做底角。

说明：顶角=180°- 2底角底角=顶角顶角21-902180︒=-︒ 可见,底角只能是锐角。

（2）性质。

①等腰三角形是轴对称图形,其对称轴是“底边的垂直平分线” ,只有一条。

②等边对等角。

如图5,在△ABC 中 ∵AB=AC∴∠B=∠C 。

③三线合一。

（3）判定。

①有两条边相等的三角形是等腰三角形。

如图5,在△ABC 中, ∵AB=AC∴△ABC 是等腰三角形 。

八年级轴对称数学知识点
轴对称是数学中比较基础的概念之一，对数学学习的深入和有效应用有很大帮助。

在初中数学学习中，八年级轴对称是一个非常重要的知识点。

本文将就八年级轴对称这个知识点进行详细的介绍。

一、什么是轴对称
轴对称是指图形对某条直线具有对称性。

具体的表现形式是：图形关于某一直线对称之后，在原图形的基础上能“翻转”到副本的位置，并且重叠相拼即可得到。

二、轴对称的性质
1、轴对称图形的对称轴是唯一的。

2、轴对称图形中的任意一点，关于对称轴的对称点必然满足在对称轴同侧。

3、轴对称图形的内部点对称于对称轴上的点，整体上左右对称。

三、常见八年级轴对称问题类型
1、求轴对称的轴线：当给出轴对称图形时，需要从图形上分
析出轴对称的轴线。

2、用轴对称复制图形：当给出了一个图形和它的对称轴时，
需要求出轴对称的图形。

3、判断轴对称图形：当给出来了几个图形时，需要判断哪些
是轴对称图形。

4、证明轴对称性：当给出一个轴对称图形时，需要证明这个
图形具有轴对称性。

四、轴对称的应用
1、绘画：许多艺术作品都运用了轴对称的特性，如某些建筑物、雕塑等，能够更加精确和美观的呈现在人们面前。

2、工程：在设计一些具有轴对称性质的工程中能够更好地满
足实际需求，如建筑、桥梁等。

3、其他学科：在生物、化学等学科中都涉及到轴对称的概念。

五、本章小结
八年级轴对称是一个相对比较基础且重要的知识点，对于学习几何以及正方形、矩形、圆等问题都有着一定的应用。

掌握了轴对称的性质及应用，能够更好地促进数学的学习效果，提高学生的综合素质。

轴对称知识点总结(zǒngjié)1、轴对称图形(túxíng)：一个图形沿一条直线对折，直线两旁(liǎngpáng)的部分能够完全重合。

这条直线(zhíxiàn)叫做对称轴。

互相重合的点叫做对应点。

2、轴对称：两个(liǎnɡɡè)图形沿一条直线对折，其中一个图形能够与另一个图形完全重合。

这条直线叫做对称轴。

互相重合的点叫做对应点。

3、轴对称图形与轴对称的区别与联系：（1）区别。

轴对称图形讨论的是“一个图形与一条直线的对称关系”；轴对称讨论的是“两个图形与一条直线的对称关系”。

（2）联系。

把轴对称图形中“对称轴两旁的部分看作两个图形”便是轴对称；把轴对称的“两个图形看作一个整体”便是轴对称图形。

4、轴对称的性质：（1）成轴对称的两个图形全等。

（2）对称轴与连结“对应点的线段”垂直。

（3）对应点到对称轴的距离相等。

（4）对应点的连线互相平行。

5、线段的垂直平分线：（1）定义。

经过线段的中点且与线段垂直的直线，叫做线段的垂直平分线。

如图2，∵CA=CB，直线m⊥AB于C，∴直线m是线段AB的垂直平分线。

（2）性质。

线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等。

如图3，∵CA=CB，直线m⊥AB于C，点P是直线m上的点。

∴PA=PB 。

（3）判定。

与线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。

如图3，∵PA=PB，直线m是线段AB的垂直平分线，∴点P在直线m上。

6、等腰三角形：图1 图2 图3（1）定义。

有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形。

①相等的两条边叫做腰。

第三条边叫做底。

②两腰的夹角叫做顶角。

③腰与底的夹角叫做底角。

说明：顶角=180°- 2底角底角=可见，底角只能是锐角。

（2）性质。

①等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是“底边的垂直平分线”，只有一条。

②等边对等角。

如图5，在△ABC中∵AB=AC∴∠B=∠C 。

数学八年级轴对称知识点
在八年级数学中，轴对称是重要的几何概念之一。

以下是轴对称的相关知识点：
1. 定义：轴对称是指一个图形以某条直线为轴，对称图形的每个点都与轴上与原点相
对称。

2. 轴对称图形：轴对称图形是具有轴对称性质的图形，例如正方形、矩形、圆等。

3. 轴对称轴：轴对称图形上的轴称为轴对称轴，轴对称轴通常是垂直于对称轴的直线。

4. 轴对称性质：轴对称图形中，如果图形上的某一点关于轴对称轴对称，则该图形上
有另一点与之对称，且该对称点关于轴对称轴对称的点也在图形上。

5. 轴对称性质的判断：判断一个图形是否具有轴对称性质，可以通过折纸法来判断。

将图形沿着可能的轴对称轴线折叠，如果能够使折叠后的两部分完全重合，则图形具
有轴对称性质。

6. 轴对称图形的性质：轴对称图形具有以下性质：
- 图形上任意一点到轴对称轴的距离，与该点的对称点到轴对称轴的距离相等；
- 图形上任意一点到轴对称轴的距离，与该点的对称点到轴对称轴的距离之积为轴对称轴的平方；
7. 轴对称图形的应用：轴对称图形常出现在几何中，例如在折纸、制作对称性的图案
和图形等方面得到广泛应用。

这些是八年级数学中关于轴对称的重要知识点，希望对你有帮助！。

中考数学对称知识点总结一、平面图形的对称1. 点、线、面的对称（1）点的对称：一个点是自身的对称点，即对称中心就是这个点本身。

如果有两个点A和B，在A关于B的对称点是A’，则B关于A的对称点是B’，即A’与B’互为对称中心。

（2）直线的对称：直线与自身关于某点对称，这个点就是直线的对称轴。

直线的对称轴有无穷多条，包括垂直于直线的直线，穿过直线中点的直线等。

（3）平面的对称：平面与自身关于某条直线对称，这条直线就是平面的对称轴。

例如，一个正方形以对角线为对称轴，一个等边三角形以高为对称轴。

2. 图形的对称性（1）关于原点的对称：一个点(x, y)关于原点对称的点为(-x, -y)，例如点(2, 3)关于原点对称的点为(-2, -3)，这个性质也适用于图形。

（2）关于x轴、y轴的对称：关于x轴对称，点(x, y)的对称点为(x, -y)；关于y轴对称，点(x, y)的对称点为(-x, y)。

例如，对称线为y=x的图形在这条直线两侧有对称的关系。

（3）关于直线的对称：一些图形与自身关于某条直线对称，这条直线就是图形的对称轴。

例如，一个圆与其直径垂直的直线对称，一个正方形与其两条对角线对称。

3. 图形的对称变化（1）平移：沿着一定的方向移动图形，使其保持形状不变，这种变化叫做平移。

平移是图形的一种刚体变换，对称性质不变。

（2）旋转：围绕一个点旋转图形，使其在平面内发生转动。

旋转的中心点叫做旋转中心，旋转的角度叫做旋转角。

例如，一个正方形以其中心点为旋转中心旋转90度，可以得到另一个正方形。

（3）镜像：将一个图形绕一条直线对称，得到另一个图形。

这条直线叫做镜像线。

镜像变换不会改变图形的大小和形状，只是改变了图形的位置。

例如，一个长方形以其长边为镜像线镜像，可以得到另一个长方形。

二、立体图形的对称1. 立体图形的转动对称（1）立方体：具有四个旋转对称轴，分别为通过中心点的三条对角线以及直角棱的垂直平分面。

（2）正四面体：只有一个四面体通过四个顶点的垂直平分面，因此只有一个4次旋转对称。

专题26 相对相称—对称分析法阅读与思考当代美国数学家赫尔曼·韦尔指出：对称尽管你可以规定其含义或宽或窄，然而从古到今都是人们用来理解和创造秩序、美妙以及尽善尽美的一种思想. 许多数学问题所涉及的对象具有对称性（不仅包括几何图形中的对称，而且泛指某些对象在某些方面如图形、关系、地位等彼此相对又相称）. 对称分析法就是在解题时，充分利用自身条件的某些对称性辅助解题的一种分析方法，初中阶段主要研究下面两种类型的对称：1.代数中的对称式如果把一个多项式的任意两个字母互换后，所得的多项式不变就称这个多项式为对称式，对称式的本质反应的是多元多项式中字母地位相同，任何一个复杂的二元对称式，都可以用最简单对称多项式b a +，ab 表示，一些对称式的代数问题，常用最简对称式表示将问题解决.2.几何图形的对称几何图形的对称指的是轴对称和中心对称，一些几何问题，如果我们作出图形的对称轴，或者作出已知点关于某线（某点）的对称点，构造出轴对称图形、中心对称图形，那么就能将分散的条件集中起来，容易找到解题途径.例题与求解【例l 】如图，菱形ABCD 的两条对角线分别长6和8，点P 是对角线AC 上的一个动点，点M 、N 分别是边AB ，BC 的中点，则PM +PN 的最小值是 . (荆门市中考试题)解题思路：作M 关于AC 的对称点M '，连MN 交AC 于点P ，则PM +PN 的值最小.BCA【例2】已知a ，b 均为正数，且2=+b a ，求W =1422+++b a 的最小值.（北京市竞赛试题）解题思路：用代数的方法求W 的最小值较繁，22b a +的几何意义是以a ，b 为边的直角三角形的斜边长，构造图形，运用对称分析法求出W 的最小值.【例3】已知11122=-+-a b b a ，求证：122=+b a （四川省竞赛试题） 解题思路：解决根式问题的基本思路是有理化，有理化的主要途径是：乘方、配方、换元和引入有理化因式，引入与已知等式地位相对相称的有理化因式，本例可获得简证．【例4】 如图，凸四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于O ，且AC ⊥BD ，已知OA ＞OC ，OB ＞OD ， 求证：BC ＋AD ＞AB ＋CD .（“祖冲之杯”邀请赛试题） 解题思路：解题的关键是将有关线段集中到同一三角形中去，以便运用三角形三边关系定理，以AC 为对称轴，将部分图形翻折．DBC【例5】如图，矩形ABCD 中，AB ＝20厘米，BC ＝10厘米，若在AC 、AB 上各取一点M ，N ，使BM ＋MN 的值最小，求这个最小值. （北京市竞赛试题）解题思路：要使BM ＋MN 的值最小，应该设法将折线BM ＋MN 拉直，不妨从作出B 点关于AC 的对称点入手.A N能力训练1.如图，六边形ABCDEF 是轴对称图形，CF 所在的直线是它的对称轴. 若∠AFC ＋∠BCF ＝0150，则∠AFE ＋∠BCD 的大小是 . (武汉市中考试题)A BO(第1题图) （第2题图） （第3题图）2.如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝2，点E 在BC 上，且AE ＝EC ，若将纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在AC 上，则AC 的长是 .(济南市中考试题) 3. 如图，∠AOB ＝045，P 是∠AOB 内一点，PO ＝10，Q ，P 分别是OA 、OB 上的动点，则△PQR 周长最小值是 .4. 比6)56(+大的最小整数是 . （西安交通大学少年班入学试题）5.如图，已知正方形ABCD 的边长为3，E 在BC 上，且BE ＝2，P 在BD 上，则PE ＋PC 的最小值为（ ）. A ．32 B ．13 C ．14 D ．156. 观察下列平面图形，其中是轴对称图形的有( ) .A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个(南京市中考试题)7.如图，一个牧童在小河南4英里处牧马，河水向正东方流去，而他正位于他的小屋西8英里北7英里处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他能够完成这件事情所走的最短距离是（ ）. A ．)1854(+英里 B ．16英里 C ．17英里 D ．18英里（美国中学生竞赛试题）AE P(第5题图) （第7题图）（第8题图）8.如图，等边△ABC的边长为2，M为AB中点，P为BC上的点，设PA＋PM的最大值和最小值分别为S 和L，则22LS-等于（）A．24B．34C．23D．339.一束光线经三块平面镜反射，反射的路线如图所示，图中字母表示相应的度数，已知c=060，求ed+与x的值. （江苏省竞赛试题）10. 求代数式9)12(422+-++xx的最小值.（“希望杯”邀请赛试题）11. 在一平直河岸l 同侧有A B ，两个村庄，A B ，到l 的距离分别是3km 和2km ，km AB a =(1)a >．现计划在河岸l 上建一抽水站P ，用输水管向两个村庄供水． 方案设计某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为1d ，且1(km)d PB BA =+（其中BP l ⊥于点P ）；图2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为2d ，且2(km)d PA PB =+（其中点A '与点A 关于l 对称，A B '与l 交于点P ）．观察计算（1）在方案一中，1d = km （用含a 的式子表示）；（2）在方案二中，组长小宇为了计算2d 的长，作了如图13-3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，2d = km （用含a 的式子表示）． 探索归纳（1）① 当4a =时，比较大小：12_______d d （填“＞”、“＝”或“＜”）； ② 当6a =时，比较大小：12_______d d （填“＞”、“＝”或“＜”）；（2）对a （当1a >时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？(河北省中考试题)图1 图2图312．如图，已知平面直角坐标系中，A ，B 两点的坐标分别为A （2，－3），B （4，－1） （1）若P （x ，0）是x 轴上的一个动点，当△PAB 的周长最短时，求x 的值；（2）若C （a ，0），D （3+a ，0）是x 轴上的两个动点，当四边形ABDC 的周长最短时，求a 的值； （3）设M ，N 分别为x 轴和y 轴上的动点，问：是否存在这样的点M （m ，0）、N （0，n ），使四边形ABMN 的周长最短？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由．x13.在△ABC 中，∠BAC ＝45°，AD ⊥BC 于D ，将△ABD 沿AB 所在的直线折叠，使点D 落在点E 处；将△ACD 沿AC 所在的直线折叠，使点D 落在点F 处，分别延长EB 、FC 使其交于点M ． （1）判断四边形AEMF 的形状，并给予证明； （2）若BD ＝1，CD ＝2，试求四边形AEMF 的面积．(宁夏中考试题)14. 阅读下列材料：小贝遇到一个有趣的问题：在矩形ABCD 中，AD ＝8cm ，AB ＝6cm ，现有一动点P 按下列方式在矩形内运动：它从A 点出发，沿着AB 边夹角为45︒的方向作直线运动，每次碰到矩形的一边，就会改变运动方向，沿着与这条边夹角为45︒的方向作直线运动，并且它一直按照这种方式不停地运动，即当P 点碰到BC 边，沿着BC 边夹角为45︒的方向作直线运动，当P 点碰到CD 边，再沿着与CD 边夹角为45︒的方向作直线运动…如图1所示，问P 点第一次与D 点重合前与边相碰几次，P 点第一次与D 点重合时所经过的路线的总长是多少？小贝的思考是这样开始的：如图2，将矩形ABCD 沿直线CD 折叠，得到矩形A 1B 1CD ，由轴对称的知识，发现P 2P 3＝P 2E ，P 1A ＝P 1E ． 请你参考小贝的思路解决下列问题：(1) P 点第一次与D 点重合前与边相碰 次，P 点从A 点出发到第一次与D 点重合时所经过的路径的总长是 cm ．(2) 进一步探究：改变矩形ABCD 中AD 、AB 的长，且满足AD ＞AB ，动点P 从A 点出发，按照阅读材料中动点的运动方式，并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形ABCD 相邻的两边上．若P 点第一次与B 点重合前与边相碰7次，则AB ：AD 的值为 ．专题26 相对相称————对称分析法 例1 5例2 提示：将b=2-a 代入 W 得W ，构造图形如下图，可得 W 的最小值为AP PB AB +=.例3 提示：设 ，则22a b =m -，22b -即(2=0 ，可得 例4 证明 以AC 为对称轴，将△ADO 翻转，D 点必落在BO 上，设为D '，则AD ' =AD ，OD '=OD ；同理，将△BCO 翻转，C 点必落在AO 上，设为C '，则,B C B C O C O C ''==,连接C D ''、BC '、AD '，交于E ，则C D CD ''=，在△ABE 和△C D E ''中，有C E D E C D BE AE AB ''''+>⎧⎨+>⎩① +②得，BC AD AB C D ''''+>+，即AD+BC>AB+CD.例5 作B 关于AC 的对称点B '，连AB '，则N 关于AC 的对称点在AB '上的N '，这时 ，B 到M 的最小值等于B M N '→→ 的最小值,等于B 到AB '的距离BH '，即BM +MN 的最小值为BH ’。

初二数学轴对称图形知识点复习初二数学轴对称图形知识点复习把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。

轴对称图形1 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线对称。

2、这条直线叫做对称轴。

折叠后重合的点是对应点,叫做对称点3、轴对称图形和轴对称的区别与联系知识点总结：对称的这条直线就是它的对称轴。

这时我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称。

初中数学知识点总结：平面直角坐标系下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。

平面直角坐标系平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。

水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。

平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合三个规定：①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。

③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。

相信上面对平面直角坐标系知识的讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们都能考试成功。

初中数学知识点：平面直角坐标系的构成对于平面直角坐标系的构成内容，下面我们一起来学习哦。

平面直角坐标系的构成在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。

通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。

水平的数轴叫做X轴或横轴，铅直的数轴叫做Y轴或纵轴，X轴或Y轴统称为坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点。

通过上面对平面直角坐标系的构成知识的讲解学习，希望同学们对上面的内容都能很好的掌握，同学们认真学习吧。

初中数学知识点：点的坐标的性质下面是对数学中点的'坐标的性质知识学习，同学们认真看看哦。

八年级下册数学轴对称讲解知识点在数学学习中，轴对称是一个非常重要的概念。

相信在初中数学课堂上，同学们已经学习了关于点、图形的轴对称知识，但是在这里我们将更加深入地了解轴对称的概念，以及相关的知识点。

本文将针对八年级下册数学轴对称进行讲解，帮助同学们更好地掌握轴对称的相关知识。

一、轴对称的定义轴对称是指：存在一条直线称为轴，通过这条轴将一个图形分成两个部分，两个部分是对称的。

在轴对称中，图形称为轴对称图形，轴称为轴对称轴。

二、轴对称图形的特征1.轴对称图形关于对称轴对称，即一侧与另一侧完全相同。

2.轴对称图形的对称轴上的任意点到图形上某一点的距离等于对称轴上同侧的对应点到该点的距离。

3.轴对称图形中，对称轴上的点分为对称点，它们所在的位置关系是：对称轴上两点的距离相等，且在对称轴的同侧。

三、轴对称图形的构造方法构造轴对称图形的方法有两种。

1.作对称轴，再作图形，根据对称轴的位置和方向，构造轴对称图形。

2.对已知的轴对称图形，根据它的特征建立对称轴。

四、轴对称变换轴对称变换是指将一个图形沿着一条直线进行翻转，使其变成与原图对称的另一个新图形，这个过程叫做轴对称变换。

轴对称变换包括两个部分：1.将图形移动到对称轴的一侧。

2.将这个图形做一个翻转，即将每个点沿对称轴翻转到它在对称轴的反侧。

五、轴对称的应用1.轴对称可以用来证明两个图形的面积相等。

2.轴对称可以用来构造一些图形，如五角星、六角星等。

3.轴对称可以用来证明某些性质，如证明几何图形的对称性等。

六、轴对称容易混淆的概念在学习轴对称时，有一些概念容易混淆。

下面是一些常见的例子：1.轴对称和中心对称中心对称是指：对于一个图形，在一个点上能将这个图形翻转180度，使得图形上每个点在翻转后都能重合。

轴对称是指：对于一个图形，在一条直线上，能将这个图形翻转成关于这条直线对称的一个新图形。

可以看出，轴对称与中心对称有共同点（都涉及到了图形的翻转），也有区别。

2024年初二数学期末考试轴对称知识点总结轴对称是数学中的一个重要概念，它在几何图形、函数和方程等方面都有广泛的应用。

下面是____年初二数学期末考试轴对称知识点的总结，包括轴对称的定义、性质、判定方法以及一些常见的练习题。

一、轴对称的定义和性质1. 轴对称是指一个几何图形相对于某一条直线对称。

2. 如果一个几何图形相对于某一条直线的两边完全相同或者对称，则该直线为该几何图形的轴对称轴。

3. 轴对称图形的特点是左右对称，即左右两部分完全相同。

4. 轴对称图形可以通过将图形沿着轴对称轴折叠，使两部分完全重合。

二、轴对称的判定方法1. 观察几何图形的特征，如果图形对称，则可判定为轴对称图形。

2. 分析几何图形的复杂度，如果找不到直观的特征，可以进行定点分析，即找出图形上的一系列点，判断这些点是否沿轴对称轴对称。

三、轴对称的常见几何图形1. 线段：线段是轴对称图形，折叠后两端完全重合。

2. 镜像：镜像是轴对称图形的一个特例，通过平面镜可以直观地看到镜像对称。

3. 圆：圆是轴对称图形，通过旋转一定角度可以使圆上的任意一点重合到其他点。

4. 正方形、矩形、正五边形等规则多边形都是轴对称图形，折叠后两边完全重合。

5. 其他不规则几何形状，可以通过定点分析来判断是否轴对称。

四、轴对称的函数和方程1. 函数：轴对称函数的特点是函数图像关于某一直线对称。

例如，二次函数y=ax^2的图像关于y轴对称，三次函数y=ax^3的图像关于原点对称。

2. 方程：轴对称方程是指方程的解对称于某一直线，这条直线即为轴对称轴。

例如，x^2+y^2=r^2的解是关于y轴对称的圆。

五、练习题1. 判断下列图形是否轴对称：(1) 正方形；(2) 三角形；(3) 椭圆；(4) 直线；(5) 抛物线。

2. 判断下列函数是否轴对称：(1) y=x^2+1；(2) y=3x^3-2x；(3) y=sin(x)。

3. 判断下列方程是否轴对称：(1) x^2+y^2=9；(2) x^3+y^3=8；(3) x^2+y^2+x+2y=0。

【知识脉络】轴对称图形邮称轴对称•轴対称的性质 垂盲平分曜「作一个圉形美于某聚割的詰吋称畦质'关予铀对称 雋坐标表示轴时称关于.紬对称［关于原点对称库义等腫三甬盼性庚I 和定辱义等迪三角开麥性质利定【基础知识】I. 轴对称(1) 轴对称图形如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴 •轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线(2) 轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴 •成轴对称的两个图形的性质：① 关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；② 如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③ 两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴 上.(3) 轴对称图形与轴对称的区别和联系 区别：轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的 .轴对称作铀対称圄形联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．（4）线段的垂直平分线线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.n .作轴对称图形1. 作轴对称图形（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.2. 用坐标表示轴对称点（x,y ）关于x轴对称的点的坐标为（x, —y）;点（x,y ）关于y轴对称的点的坐标为（一x,y ）; 点（x,y ）关于原点对称的点的坐标为（－x, －y）.川.等腰三角形1. 等腰三角形（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性质①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一” ）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.2. 等边三角形（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60° .（3）等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.3. 直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. IV .最短路径。

八年级函数对称知识点归纳八年级的数学课程中，函数对称是一个比较重要的知识点，也是比较难懂的内容。

笔者借此机会，向大家介绍一下函数对称的相关概念和方法，希望能够帮助大家更好地掌握这个知识点。

一、对称概念对称是数学的一个基本概念，指的是某个元素关于某条直线、某个点或某个平面的镜像重合特征。

在函数中，对称常常是指图像沿某条直线、某个点或某个平面对称时的性质。

二、函数对称1、关于y轴对称函数关于y轴对称，就是当(x,y)在函数图像中时，(-x,y)也在函数图像中。

可以通过以下方法来判断一个函数是否关于y轴对称：（1）对于含有偶函数的函数，y=f(x)当且仅当f(-x)=f(x)。

（2）若f(x)的解析式中只包含偶数次幂的项，即f(x)=x^n，则函数关于y轴对称。

2、关于原点对称函数关于原点对称，就是当(x,y)在函数图像中时，(-x,-y)也在函数图像中。

可以通过以下方法来判断一个函数是否关于原点对称：（1）对于含有奇函数的函数，y=f(x)当且仅当f(-x)=-f(x)。

（2）若f(x)的解析式中只包含奇数次幂的项，即f(x)=x^{2n+1}，则函数关于原点对称。

3、关于x轴对称函数关于x轴对称，就是当(x,y)在函数图像中时，(x,-y)也在函数图像中。

可以通过以下方法来判断一个函数是否关于x轴对称：（1）对于含有sin函数的函数，y=f(x)当且仅当f(x)=f(-x)，即函数关于y轴对称。

（2）对于含有cos函数的函数，y=f(x)当且仅当f(x)=-f(-x)，即函数关于原点对称。

4、其他对称除了上述三种常见的对称形式，函数还有关于斜率或圆心的对称性。

具体而言，如果一个函数在经过某一个点或某一条直线时，满足一定的性质，那么我们就可以说该函数是关于这个点或直线对称。

三、对称性应用对称性在函数的计算和分析中都有很重要的应用。

例如，在函数加减乘除的运算过程中，我们可以利用函数对称性来简化计算，进而提高计算效率。

..专题 26 相对相称—对称分析法阅读与思考当代美国数学家赫尔曼·韦尔指出：对称尽管你可以规定其含义或宽或窄，然而从古到今都是人们用来理解和创造秩序、美妙以及尽善尽美的一种思想. 许多数学问题所涉及的对象具有对称性（不仅包括几何图形中的对称，而且泛指某些对象在某些方面如图形、关系、地位等彼此相对又相称）对称分析法就是在解题时，充分利用自身条件的某些对称性辅助解题的一种分析方法，初中阶段主要研究下面两种类型的对称：1.代数中的对称式如果把一个多项式的任意两个字母互换后，所得的多项式不变就称这个多项式为对称式，对称式的本质反应的是多元多项式中字母地位相同，任何一个复杂的二元对称式，都可以用最简单对称多项式a +b ， ab 表示，一些对称式的代数问题，常用最简对称式表示将问题解决2.几何图形的对称几何图形的对称指的是轴对称和中心对称，一些几何问题，如果我们作出图形的对称轴，或者作出已知点关于某线（某点）的对称点，构造出轴对称图形、中心对称图形，那么就能将分散的条件集中起来，容易找到解题途径.例题与求解【例 l 】如图，菱形 ABCD 的两条对角线分别长 6 和 8，点 P 是对角线 AC 上的一个动点，点 M 、N分别是边 AB ，BC 的中点，则 PM +PN 的最小值是. (荆门市中考试题)解题思路：作 M 关于 AC 的对称点 M ' ，连 MN 交 AC 于点 P ，则 PM +PN 的值最小.DAPCMNB【例 2】已知 a ， b 均为正数，且 a + b = 2 ，求 W = a 2 + 4 + b 2 + 1 的最小值.（北京市竞赛试题）解题思路：用代数的方法求 W 的最小值较繁， a 2 + b 2 的几何意义是以 a ，b 为边的直角三角形的斜边长，构造图形，运用对称分析法求出W的最小值.【例3】已知a1-b2+b1-a2=1，求证：a2+b2=1（四川省竞赛试题）解题思路：解决根式问题的基本思路是有理化，有理化的主要途径是：乘方、配方、换元和引入有理化因式，引入与已知等式地位相对相称的有理化因式，本例可获得简证．【例4】如图，凸四边形ABCD的对角线AC，BD相交于O，且AC⊥BD，已知OA＞OC，OB＞O D，求证：BC＋AD＞AB＋CD.（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：解题的关键是将有关线段集中到同一三角形中去，以便运用三角形三边关系定理，以AC为对称轴，将部分图形翻折．ABD OC【例5】如图，矩形ABCD中，AB＝20厘米，BC＝10厘米，若在AC、AB上各取一点M，N，使BM ＋MN的值最小，求这个最小值.（北京市竞赛试题）解题思路：要使BM＋MN的值最小，应该设法将折线BM＋MN拉直，不妨从作出B点关于AC的对称点入手.D CMA N BE P .能力训练1.如图，六边形 ABCDEF 是轴对称图形，CF 所在的直线是它的对称轴. 若∠AFC ＋∠BCF ＝150 0，则∠AFE ＋∠BCD 的大小是. (武汉市中考试题)FAEA DBPBDCB ECOA(第 1 题图)（第 2 题图）（第 3 题图）2.如图，矩形纸片 ABCD 中，AB ＝2，点 E 在 BC 上，且 AE ＝EC ，若将纸片沿 AE 折叠，点 B 恰好落在AC 上，则 AC 的长是.(济南市中考试题)3. 如图，∠AOB ＝ 45 0 ，P 是∠AOB 内一点，PO ＝10，Q ，P 分别是 OA 、OB 上的动点，则△PQR 周长最小值是.4. 比 ( 6 + 5)6 大的最小整数是.（西安交通大学少年班入学试题）5.如图，已知正方形 ABCD 的边长为 3， 在 BC 上，且 BE ＝2， 在 BD 上，则 PE ＋PC 的最小值为（ ）A ． 2 3B ． 13C ． 14D ． 156. 观察下列平面图形，其中是轴对称图形的有() .A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个(南京市中考试题)7.如图，一个牧童在小河南 4 英里处牧马，河水向正东方流去，而他正位于他的小屋西 8 英里北 7 英里处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他能够完成这件事情所走的最短距离是（）.A ． (4 + 185 ) 英里B ．16 英里C ．17 英里D ．18 英里A（美国中学生竞赛试题）D APBME C B P C (第5题图)（第7题图）（第8题图）8.如图，等边△ABC的边长为2，M为AB中点，P为BC上的点，设P A＋PM的最大值和最小值分别为S和L，则S2-L2等于（）A．42B．43C．32D．339.一束光线经三块平面镜反射，反射的路线如图所示，图中字母表示相应的度数，已知c=600，求d+e 与x的值.（江苏省竞赛试题）110°d a bec c f xf10.求代数式x2+4+(12-x)2+9的最小值.（“希望杯”邀请赛试题）现11.在一平直河岸l同侧有A，B两个村庄，A，B到l的距离分别是3km和2km，AB=akm(a>1)．计划在河岸l上建一抽水站P，用输水管向两个村庄供水．方案设计某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为d，1且d=PB+BA(km)（其中BP⊥l于点P）；图2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为d，且12d=P A+P B(km)（其中点A'与点A关于l对称，A'B与l交于点P）．2A AB B AK BP lC PlC Pl图1A'A'图2图3观察计算（1）在方案一中，d=km（用含a的式子表示）；1（2）在方案二中，组长小宇为了计算d的长，作了如图13-3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计2算，d=km（用含a的式子表示）．2探索归纳（1）①当a=4时，比较大小：d_______d（填“＞”、“＝”或“＜”）；12②当a=6时，比较大小：d_______d（填“＞”、“＝”或“＜”）；12（2）对a（当a>1时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？(河北省中考试题)12．如图，已知平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为A（2，－3），B（4，－1）（1）若P（x，0）是x轴上的一个动点，当△P AB的周长最短时，求x的值；（2）若C（a，0），D（a+3，0）是x轴上的两个动点，当四边形ABDC的周长最短时，求a的值；（3）设M，N分别为x轴和y轴上的动点，问：是否存在这样的点M（m，0）、N（0，n），使四边形ABMN的周长最短？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．yO xBA13△.在ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，将△ABD沿AB所在的直线折叠，使点D落在点E处；将△ACD沿AC所在的直线折叠，使点D落在点F处，分别延长EB、FC使其交于点M．（1）判断四边形AEMF的形状，并给予证明；（2）若BD＝1，CD＝2，试求四边形AEMF的面积．AB D C(宁夏中考试题)14.阅读下列材料：小贝遇到一个有趣的问题：在矩形ABCD中，AD＝8cm，AB＝6cm，现有一动点P按下列方式在矩形内运动：它从A点出发，沿着AB边夹角为45︒的方向作直线运动，每次碰到矩形的一边，就会改变运动方向，沿着与这条边夹角为45︒的方向作直线运动，并且它一直按照这种方式不停地运动，即当P 点碰到BC边，沿着BC边夹角为45︒的方向作直线运动，当P点碰到CD边，再沿着与CD边夹角为45︒的方向作直线运动…如图1所示，问P点第一次与D点重合前与边相碰几次，P点第一次与D点重合时所经过的路线的总长是多少？P小贝的思考是这样开始的：如图 2，将矩形 ABCD 沿直线 CD 折叠，得到矩形 A 1B 1CD ，由轴对称的 知识，发现 P 2P 3＝P 2E ，P 1A ＝P 1E ．请你参考小贝的思路解决下列问题：(1) P 点第一次与 D 点重合前与边相碰 次， 点从 A 点出发到第一次与 D 点重合时所经过的路径的总长是cm ．(2) 进一步探究：改变矩形 ABCD 中 AD 、AB 的长，且满足 AD ＞AB ，动点 P 从 A 点出发，按照阅读材料中动点的运动方式，并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形 ABCD 相邻的两边上．若 P 点第一次与 B 点重合前与边相碰 7 次，则 AB ：AD 的值为 ．。

初二数学期末考试轴对称知识点总结今天小编想和同学们一起来学习的是关于初二数学期末轴对称知识点总结，希望可以帮助到同学们更好地复习期末考试，下面就让我们一起来学习一下关于初二数学期末轴对称相关重点知识吧。

1 轴对称图形和关于直线对称的两个图形2 轴对称的性质轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线;如两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连的线段的垂直平分线;线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等;到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

3 用坐标表示轴对称点(x，y)关于x轴对称的点的坐标是(x,-y)，关于y轴对称的点的坐标是(-x,y)，关于原点对称的点的坐标是(-x,-y).。

4 等腰三角形等腰三角形的两个底角相等;(等边对等角)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合;(三线合一)理解：已知等腰三角形的一线就可以推知另两线。

一个三角形的两个相等的角所对的边也相等。

(等角对等边)等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。

(等角对等边)5 等边三角形的性质和判定性质：等边三角形的三个内角都相等，都等于60度;判定：三个角都相等的三角形是等边三角形;有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形;推论：1、直角三角形中，如果有一个锐角是30度，那么他所对的直角边等于斜边的一半。

2、在三角形中，大角对大边，大边对大角。

3、经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。

由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换。

6 轴对称图形1. 把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。

这条直线就是它的对称轴。

这时我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称。

2. 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线对称。

初中数学知识归纳对称形的性质与判断初中数学知识归纳：对称形的性质与判断数学中的对称形是一个十分重要的概念，它涉及到几何形状、代数表达式、方程等等数学领域。

在初中阶段，学生掌握对称形的性质和判断方法对于理解和解决数学问题至关重要。

本文将对初中数学中对称形的性质与判断进行归纳总结。

一、对称形的性质1. 线对称：线对称是指图形关于某条直线对称。

在线对称中，图形的两边关于对称轴是完全相同的。

常见的线对称图形有正方形、长方形、圆等。

2. 点对称：点对称是指图形关于某个点对称。

在点对称中，图形的每个点与对称中心的连线垂直且相等。

常见的点对称图形有正五边形、正六边形等。

3. 中心对称：中心对称是指图形关于某个中心对称。

在中心对称中，图形的每个点与中心点的连线长度相等。

常见的中心对称图形有正圆、正椭圆等。

二、对称形的判断方法1. 观察法：通过观察图形是否具有对称性，可以初步判断其是否是对称形。

在观察时，可以使用纸折法，将图形的一部分叠到另一部分上，如果完全重合则具有对称性。

2. 运用定义法：根据对称形的定义进行判断。

线对称的图形关于对称轴两边完全相同；点对称的图形每个点与对称中心的连线垂直且相等；中心对称的图形每个点与中心点的连线长度相等。

3. 通过性质法：利用对称形的性质进行判断。

例如，一个图形如果既具有线对称性又具有点对称性，那么它就是中心对称的。

三、练习题以下是一些练习题，通过解答这些题目可以加深对对称形的理解：1. 判断下列图形是否具有对称形，并指出所具有的对称形的类型。

A. 正方形B. 矩形C. 正三角形D. 椭圆E. 镂空的心形图形F. 命题：一个图形只能具有一种对称形2. 已知图形ABCD是一个四边形，若把它绕一个点O旋转一定角度后，所得图形与原图形完全重叠，那么我们可以判断图形ABCD是什么对称形？四、解答与答案1. 解答题A. 正方形具有4条线对称轴和4个中心对称点。

B. 矩形具有2条线对称轴和2个中心对称点。

轴对称知识点总结1、轴对称图形：一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合。

这条直线叫做对称轴。

互相重合的点叫做对应点。

2、轴对称：两个图形沿一条直线对折，其中一个图形能够与另一个图形完全重合。

这条直线叫做对称轴。

互相重合的点叫做对应点。

3、轴对称图形与轴对称的区别与联系：（1）区别。

轴对称图形讨论的是“一个图形与一条直线的对称关系” ；轴对称讨论的是“两个图形与一条直线的对称关系”。

（2）联系。

把轴对称图形中“对称轴两旁的部分看作两个图形”便是轴对称；把轴对称的“两个图形看作一个整体”便是轴对称图形。

4、轴对称的性质：（1）成轴对称的两个图形全等。

（2）对称轴与连结“对应点的线段”垂直。

（3）对应点到对称轴的距离相等。

（4）对应点的连线互相平行。

5、线段的垂直平分线：（1）定义。

经过线段的中点且与线段垂直的直线，叫做线段的垂直平分线。

如图2，∵CA=CB ，直线m ⊥AB 于C ，∴直线m 是线段AB 的垂直平分线。

（2）性质。

线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等。

如图3，∵CA=CB ，直线m ⊥AB 于C ，点P 是直线m 上的点。

∴PA=PB 。

（3）判定。

与线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。

如图3，∵PA=PB ，直线m 是线段AB 的垂直平分线， ∴点P 在直线m 上 。

6、等腰三角形：（1）定义。

有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形。

①相等的两条边叫做腰。

第三条边叫做底。

②两腰的夹角叫做顶角。

③腰与底的夹角叫做底角。

说明：顶角=180°- 2底角底角=顶角顶角21-902180︒=-︒ 可见，底角只能是锐角。

（2）性质。

①等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是“底边的垂直平分线” ，只有一条。

②等边对等角。

如图5，在△ABC 中 ∵AB=AC∴∠B=∠C 。

③三线合一。

（3）判定。

①有两条边相等的三角形是等腰三角形。

如图5，在△ABC 中， ∵AB=AC∴△ABC 是等腰三角形 。

初二数学知识点轴对称为了帮大家提高数学成绩，小编在这里为大家整理了初二数学知识点轴对称，希望大家可以用心去看，去学习。

一、定义1、如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。

这条直线就是它的对称轴。

我们也说这个图形关于这条直线[成轴]对称。

2、把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称。

这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对应点。

3、经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。

如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

4、有两边相等的三角形叫做等腰三角形。

5、三条边都相等的三角形叫做等边三角形。

二、重点1、把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形。

2、把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称。

3、垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。

4、垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

5、如何做对称轴：如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

因此，我们只要找到一对再对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线就可以得到这个图形的对称轴。

同样，对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴。

6、轴对称图形的性质：对称轴方向和位置发生变化时，得到的图形的方向和位置也会发生变化。

由个平面图形可以得到它关于一条直线成轴对称的图形，这个图形与原图形的形状，大小完全相等。

新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线的对称点。

连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。

7、等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等[等边对等角]等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合[三线合一][等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线(，底边上的高，顶角平分线)所在直线就是它的对称轴。