最新北师大版八年级下数学培优提高习题

最新北师大版初中数学分层提优训练八年级下第6章《平行四边形》C卷（含详细答案及解析）一、选择题1. 若直线，点，分别在直线，上，且，则，之间的距离A. 等于B. 大于C. 不大于D. 不小于2. 如图，，，，，，为垂足，则下列说法不正确的是A.B.C. ，两点的距离就是线段的长度D. 与的距离就是线段的长度3. 如图，是的中位线，将沿中线的方向平移到的位置，使与边重合．已知的面积为，则图中阴影部分的面积为A. B. C. D.4. 如图所示，在一块平地上，雨后中间有一条积水沟，沟的两边是平行的，一只蚂蚁在点，想越过水沟到点取食，几位学生在沟上沿与沟边垂直的方向放了根小木棍，这只蚂蚁通过几号木棍时，才能使从到的路径最短A. 号B. 号C. 号D. 号5.A. B. C. D.6. 如图，在四边形中，，，，，则的度数是A. B. C. D.7. 如图，点，为定点，定直线，是上一动点，点，分别为，的中点，对于下列各值：①线段的长；②的周长；③的面积；④直线，之间的距离；⑤的大小．其中会随点的移动而变化的是A. ②③B. ②⑤C. ①③④D. ④⑤8. 已知三条线段的长分别为，和，如果以其中的两条为对角线，另一条为边，那么可以画出所有不同形状的平行四边形的个数为A. B. C. D.9. 如图，平行四边形的两条对角线相交于点，点是边的中点，图中已有三角形与面积相等的三角形（不包括）共有个A. B. C. D.10. 如图，在平行四边形中，，，的平分线交于点，则的长是A. B. C. D.二、填空题11. 如图，在平行四边形中，，则的长为．12. 如图，，点在直线上，点，，在直线上，，且，，，则直线，间的距离为．13. 如图，在梯形中，，，，作交于点，若，，则的长是．14. 某正边形的一个内角为，则．15. 如图，的周长为，，，分别为，，的中点，，，分别为，，的中点，则的周长为．如果，，分别为第个、第个、第个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第个三角形的周长是．16. 如图所示，直线，点在上，若，，的面积为，则的面积为．17. 如图，在中，是中线，是角平分线，于点，，，则的长为．18. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标为，点，在以为直径的半圆上，且四边形是平行四边形，则点的坐标为．解析19. 一个四边形的边长依次是，，，且满足，则这个四边形是．20. 如图，，，，是五边形的个外角，若，则．三、解答题21. 已知：如图，在四边形中，点在的延长线上，，．求证：四边形是平行四边形．22. 如图，在平行四边形中，的平分线交边于点，的平分线交于点，交于．求证：．23. 如果一个多边形的内角和是它的外角和的倍，那么这个多边形是几边形?24. 如图，已知，点在直线上，并且，点为垂足，，是上任意两点，点在直线上，设的面积为，的面积为，的面积为，小颖认为，请帮小颖说明理由．25. 如图，四边形中，，相交于点，且，，分别是，的中点，分别交，于点，．求证：．26. 如图，在四边形中，，，分别是，的中点，，的延长线分别与的延长线交于点， .求证：．27. 如图所示，在中，，是边上任意一点，分别作交于点，交于点，求的值．28. 如图，，是平行四边形的对角线上的点，．请你猜想：与有怎样关系?并对你的猜想加以证明．29. 一个正多边形的每个外角是度．（1）求这个正多边形的边数；（2）求这个正多边形的内角和．30. 若所在的平面内的一条直线，其上任意一点与构成的四边形（或三角形）面积是面积的倍，则称这条直线为的倍线．如图1，点为直线上任意一点，，则称直线为的三倍线．（1）在如图的网格中画出的一条倍线；（2）在所在的平面内，这样的倍线有条．答案第一部分1. C2. D3. B4. B5. B6. C7. B 【解析】；的面积等于乘以与之间的距离；直线，之间的距离为与之间的距离的一半．8. B9. C10. B第二部分11.【解析】因为四边形是平行四边形，所以．12.13.【解析】，．而，，．又，，四边形是平行四边形，，又，，．14.【解析】．15. ，【解析】提示：第个三角形的周长为，第个三角形的周长为，第个三角形的周长为，第个三角形的周长为．16.17.【解析】如图，延长交于点，由是角平分线，于点，可以得出．，．在中，，是的中位线．．18.【解析】四边形是平行四边形，，，．过点作于点，则．过点作于点，，．连接，则，在中，由勾股定理得，点的坐标为．19. 平行四边形【解析】因为，所以所以所以且，所以该四边形是平行四边形．20.【解析】如图，，，．，．第三部分21. ，，，四边形是平行四边形．22. 在平行四边形中，，，，．又，分别是和的角平分线．，．．．．23. 设这个多边形有条边．由题意得：，解得．则这个多边形是十四边形．24. 分别过点，作直线的垂线，这两条垂线段的长依次记为，，直线，根据“夹在两条平行线间的垂线段相等”可得，，，的底边上的高相等，这个三角形同底等高，这个三角形的面积相等，即．25. 取中点，并连接，．则，分别是和的中位线，，且，，且．，．又，．．．26. 连接，取的中点，连接， .，分别是，的中点，，分别是，的中位线，，，，．， .，，，.27. ，，四边形为平行四边形．．，，第11页（共11 页），，，．． ． 28. ，； 四边形 是平行四边形， ， 又 ， ， ， ，， ， ． 29. （1） 边数为 ． （2） ． 30. （1） 如图所示：（2） 在所在的平面内，这样的 倍线有 条．。

初二年级数学培养试题（四）1、如图，已知梯形ABCD ，AD BC ∥，4AD DC ==，8BC =，点N 在BC 上，2CN =，E 是AB 中点，在AC 上找一点M 使EM MN +的值最小，此时其最小值一定等于（ ）A ．6B ．8C ．4D ．432、如图：矩形纸片ABCD ，AB=2，点E 在BC 上，且AE=EC ．若将纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在AC 上，则AC 的长是 ．3、某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人；他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车．（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？（2）如果工厂招聘)100(<<n n 名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？（3）在（2）的条件下，工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发2000元的工资，给每名新工人每月发1200元的工资，那么工厂应招聘多少名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额W （元）尽可能的少？4、一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发．设慢车行驶的时间为x （h ），两车之间的距离为y （km ），图中的折线表示y 与x 之间的函数关系．根据函数图象进行以下探究：信息读取 （1）甲、乙两地之间的距离为 km ；（2）请解释图中点B 的实际意义；图象理解 （3）求慢车和快车的速度； （4）求线段BC 所表示的y 与x问题解决（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇．求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？5、在平面直y ∕km B x ∕hO 12 A CD 900 4 AE B D A B C DE角坐标系中，一动点P （x ，y ）从M （1，0）出发，沿由A （-1，1），B （-1，-1），C （1，-1），D （1，1）四点组成的正方形边线（如图①）按一定方向运动。

分式与分式方程培优一、分式方程的解法1、不解下列方程，判断下列哪个数是方程21311323x x x x =+++--的解（ ）. A ．x=1 B ．x=-1 C ．x=3 D ．x=-3 2、关于x 的方程4332=-+x a ax 的解为x=1,则a=（ ）A 、1B 、3C 、－1D 、－33、当m = 时，方程1121=--+x m mx 的解与方程34=+x x 的解互为相反数. 4、当 时，分式1521221-++x x有意义5、已知分式xx x 2422+-的值为零，求x 的值 。

6、如果把代数式xyyx 22+中的x 和y 都扩大10倍，则分式的值（ ） A. 扩大10倍 B.缩小10倍 C.缩小2倍 D. 不变A.不变B.扩大50倍C. 扩大10倍D.缩小到原来的10倍7、方程y x x =++13的整数解有 组。

8、解方程： （1） 2111x x x x ++=+ ⑵12241422-+=-+--xx x x x x9、已知,0232=--x x 求代数式11)1(23-+--x x x 的值 (3)51413121+-+=+-+x x x x （4）11117456x x x x +=+----10、（设参数法）已知432c b a ==，求cb a cb a +++-523的值12、（倒数法）已知三个数x ，y ，z 满足34,34,2-=+=+-=+x z zx z y yz y x xy ，求yxxz xy xyz++二、方程有增根、无解、正解、负解的问题：1、如果关于x 的方程xmx x -=--552无解，则m 等于（ ） A.3 B. 4 C.-3 D.52、若方程xx x --=+-34731有增根,则增根为 . 3、若分式方程0123=---x ax 无解，那么a 的值应为 。

4、当k 时关于x 的方程4162222-=--+-x kx x x x 有解。

分式与分式方程培优一、分式方程的解法1、不解下列方程，判断下列哪个数是方程21311323x x x x =+++--的解（ ）. A ．x=1 B ．x=-1 C ．x=3 D ．x=-3 2、关于x 的方程4332=-+x a ax 的解为x=1,则a=（ ）A 、1B 、3C 、－1D 、－33、当m = 时，方程1121=--+x m mx 的解与方程34=+x x 的解互为相反数. 4、当 时，分式1521221-++x x有意义5、已知分式xx x 2422+-的值为零，求x 的值 。

6、如果把代数式xyyx 22+中的x 和y 都扩大10倍，则分式的值（ ） A. 扩大10倍 B.缩小10倍 C.缩小2倍 D. 不变A.不变B.扩大50倍C. 扩大10倍D.缩小到原来的10倍7、方程y x x =++13的整数解有 组。

8、解方程： （1） 2111x x x x ++=+ ⑵12241422-+=-+--xx x x x x9、已知,0232=--x x 求代数式11)1(23-+--x x x 的值 (3)51413121+-+=+-+x x x x （4）11117456x x x x +=+----10、（设参数法）已知432c b a ==，求cb a cb a +++-523的值12、（倒数法）已知三个数x ，y ，z 满足34,34,2-=+=+-=+x z zx z y yz y x xy ，求yxxz xy xyz++二、方程有增根、无解、正解、负解的问题：1、如果关于x 的方程xmx x -=--552无解，则m 等于（ ） A.3 B. 4 C.-3 D.52、若方程xx x --=+-34731有增根,则增根为 . 3、若分式方程0123=---x ax 无解，那么a 的值应为 。

4、当k 时关于x 的方程4162222-=--+-x kx x x x 有解。

北师大版八年级下期末提升训练一.选择题(每题3分，共30分)1．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 2．用提公因式法分解因式3332462x y x y xy +-时，应提取的公因式是（ ）A ．332x yB ．322x y -C ．3312x yD ．2xy3．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5cm ，BC ＝12cm ，∠CAB 的平分线交BC 于D ，过点D 作DE ⊥AB 于E ，则DE 的长为（ ）A ．4B ．3C ．D ．4．如图，△ABC 中，AB =6，AC =4，BC =5，点D 、E 、F 分别是AB 、AC 、BC 的中点，则四边形DEFB 的周长是（ ）A ．10B ．11C ．9D ． 5．若M•（3x ﹣y 2）=y 4﹣9x 2，则多项式M 为（ ）A ．﹣（3x+y 2）B ．﹣y 2+3xC ．3x+y 2D ．3x ﹣y 26．如图，直线y=kx+b （k≠0）经过点A （﹣2，4），则不等式kx+b ＞4的解集为（ ）A ．x ＞﹣2B ．x ＜﹣2C ．x ＞4D ．x ＜4 7．如果a 2+3a ﹣2＝0，那么代数式的值为（ ） A ．1 B ． C ． D ．8.若不等式组5231x a x x >⎧⎨+<+⎩的解集为x ＞4，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＞4 B ．a ＜4 C ．a ≤4 D ．a ≥49．如图，将直角△ABC 沿AB 方向平移2cm 得到△DEF ，CH ＝2cm ，下列结论：①BH ∥EF ；②AD ＝BE ；④阴影部分的面积为6cm 2．其中正确的是（ ）A ．①②③④B ．②③④C ．①②③D ．①②④ 10.如图，在平行四边形中，对角线 ， 交于点 ，，点 ，， 分别是 ，， 的中点， 交 于点 ．下列 个结论中说法正确的有①； ②； ③ ； ④ ．A ．①②B ．①②③C ．①③④D ．①②③④二.填空题(每题3分，共18分)11.已知分式235x x x a--+，当x ＝2时，分式无意义，则a = ， 12．多项式25x mx +-因式分解得(5)(1)x x +-，则m ＝_____．13. 若关于x 的分式方程m x －2＝1－x 2－x－3有增根，则实数m 的值是____． 14．如图，已知AD ∥BC ，AB ∥CD ，AB ＝4，BC ＝6，EF 是AC 的垂直平分线，分别交AD 、AC 于E 、F ，连接CE ，则△CDE 的周长是 ．15.已知关于x ，y 的二元一次方程组255472x y m x y m -=-⎧⎨+=+⎩的解满足3x y +<，则m 的取值范围为__．16．已知在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝4，D 点是AB 的中点，将AD 绕点A 旋转，连接EC ，则CE 的最大值是 ．三.解答题(第17-19题每题6分，第20- 22题每题8分，第23题10分共52分)17．解下列不等式组．（1）2019189341x x x x ->-⎧⎨<-⎩ （2）521550.513 1.5x x x x --⎧<⎪⎨⎪-≤-⎩18．分解因式：（1）x2+y2+2xy﹣1 （2）4（a﹣b）2﹣（a+b）219.先化简，再求值：，其中．20．如图，先将三角形ABC向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度1B1C1．（1）请写出A、B、C的坐标；（2）皮克定理：计算点阵中顶点在格点上的多边形面积公式：s＝a+b÷2﹣1，其中a表示多边形内部的点数，b表示多边形边界上的点数1B1C1三角形的面积，则a＝，b ＝，＝．21.为加快城市群的建设与发展，在A，B两城市间新建一条城际铁路，建成后，铁路运行里程由现在的120km缩短至114km，城际铁路的设计平均时速要比现行的平均时速快110km，运行时间仅是现行时间的，求建成后的城际铁路在A，B两地的运行时间．22．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连接AD，AE （1）求BC的长；（2）分别连接OA，OB，OC，求OA的长．23.如图所示，函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（32，b）．（1）求出a，b的值；（2）根据图象直接写出，当x为何值时，函数y＝ax+4的值大于函数y＝2x的值．24．我校八年级一班全体学生在王老师的带领下一起种许愿树和发财树，已知购买1棵许愿树和2棵发财树需要42元，购买2棵许愿树和1棵发财树需要48元．(1)请求出许愿树、发财树每棵各多少元？(2)全班种植许愿树和发财树共20棵，且许愿树的数量不少于发财树的数量，但由于班费资金紧张，要求两种树的总成本不超过312元，请写出具体的种植方案．25．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，DE⊥AC于E点，BF⊥AC于F．（1）求证：四边形DEBF为平行四边形；（2）若AB＝20，AD＝13，AC＝21，求△DOE的面积．。

北师大版八年级数学下册第四章因式分解自主学习培优训练（附答案详解）1．将多项式a （x-y ）+2by-2bx 分解因式，正确的结果是（ ）A ．（x-y ）（-a+2b ）B ．（x-y ）（a+2b ）C ．（x-y ）（a-2b ）D ．-（x-y ）（a+2b ）2．下列多项式能分解因式的是（ ）A ．2x +2y 2yB ．﹣2x ﹣2yC ．﹣2x +2xy ﹣2yD ．2x ﹣xy+2y3．计算所得的结果是（ ） A ． B ．- C ．-2 D ．2 4．下列从左到右分解因式正确的是（ ）A ．()322x x x x x x ++=+B ．()22251020524t t t t t t -+-=-++C ．()32246223p p p p p -=- D ．()()()()21x y y x y x y x ---=--- 5．下列式子从左到右的变形是因式分解的是（ ）A ．（x ＋2）（x –2）＝x 2－4B ．.x 2－4＋3x ＝（x ＋2）（x –2）＋3xC ．x 2－3x －4＝（x －4）（x ＋1）D ．x 2＋2x －3＝（x ＋1）2－46．若a ，b ，c 是三角形的三边，则代数式（a-b ）2-c 2的值是（ ）A ．正数B ．负数C ．等于零D ．不能确定7．若(x －3)(x －4)是多项式x 2－ax ＋12因式分解的结果，则a 的值是( )A ．12B ．－12C ．7D ．－78．下列各式由左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）A ．（x +1）（x ﹣1）＝x 2﹣1B ．x 2+2x +1＝x （x +2）+1C ．﹣4a 2+9b 2＝（﹣2a +3b ）（2a +3b ）D ．2x +1＝x （2+1x ） 9．下列多项中，能用完全平方公式分解的是：（ ） ①②③④⑤A ．①②B ．①③C ．②③D ．①⑤10．下列分解因式正确的是（ ）A ．3x 2﹣6x=x （3x ﹣6）B ．﹣a 2+b 2=（b+a ）（b ﹣a ）C ．4x 2﹣y 2=（4x+y ）（4x ﹣y ）D ．4x 2﹣2xy+y 2=（2x ﹣y ）211．已知a +b ＝3，ab ＝2，求代数式a 3b +2a 2b 2+ab 3的值_____．12．分解因式：3a 2+6a +3=_____．13．分解因式：=____________．14．如果多项式9x 2﹣axy+4y 2﹣b 能用分组分解法分解因式，则符合条件的一组整数值是a= ，b= ．15．已知21x x -=，则代数式3222020x x -+=______.16．分解因式：224a b =-____________．17．化简：481a -=______.18．把多项式2m 2﹣8n 2分解因式的结果是 ．19．多项式14abx －8ab 2x +2ax 各项的公因式是________.20．分解因式：﹣xy 2+4x ＝_____．21．因式分解：2a （x 2+1）2 -8ax 222．在括号前面添上“＋”或“－”或在括号内填空．(1)－a ＋b ＝________(a －b )；(2)－m 2－2m ＋5＝－(______________)；(3)(x －y )3＝________(y －x )3.23．若关于x 的二次三项式212x px +-能分解成两个整系数的一次多项式的积，则p 有多少个可能的取值？24．已知2210x x +-=，求432441x x x ++-的值．25．（2015秋•潮南区月考）因式分解：a 2+a+．26．把下列多项式分解因式：（1）39x x -； （2）22242a ab b ++27．因式分解⑴24ax a -(实数范围内)⑵3269a a a -+28．仔细阅读下面例题：例题：已知二次三项式25x x m ++有一个因式是2x +，求另一个因式以及m 的值． 解：设另一个因式x n +，得25(2)()x x m x x n ++=++，则225(2)2x x m x n x n ++=+++，∴25n +=，2m n =，解得3n =，6m =，∴另一个因式为3x +，m 的值为6．依照以上方法解答下面问题：（1）若二次三项式2712x x -+可分解为(3)()x x a -+，则a =__________．（2）若二次三项式226x bx +-可分解为(23)(2)x x +-，则b =__________．（3）已知二次三项式229x x k +-有一个因式是21x -，求另一个因式以及k 的值． 29．阅读材料：若22228160m mn n n -+-+=，求m 、n 的值.解：∵22228160m mn n n -+-+=，∴()20m n -=，()240n -=∴()()22228160m mn n n n -++-+=∴()()2240m n n -+-= ∴4n =，4m =根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知2245690x xy y y -+++=求x 、y 的值；（2）已知ABC ∆的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足22614580a b a b +--+=，求ABC ∆的最大边c 的值.30．阅读下面的材料，解答提出的问题：已知：二次三项式24x x m -+有一个因式是()3x +，求另一个因式及m 的值．解：设另一个因式为()x n +，由题意，得：()()243x x m x x n -+=++，则()22433x x m x n x n -+=+++{343n m n +=-∴=．解得：21m =-，7n =-，∴另一个因式为()7x -，m 的值为21-． 提出问题：()1已知：二次三项式25x x p +-有一个因式是()1x -，求p 的值． ()2已知：二次三项式223x x k +-有一个因式是()5x -，求另一个因式及k 的值．参考答案1．C【解析】试题分析：把（x-y ）看作一个整体，提取公因式（x-y ）即可。

北师大版八年级数学下册《第2章一元一次不等式与一元一次不等式组》培优提升训练（附答案）1．下列是不等式的是（ ）A．x+y B．3x＞7C．2x+3＝5D．x3y22．若x＞y，则下列式子错误的是（ ）A．x﹣3＞y﹣3B．C．﹣2x＜﹣2y D．3﹣x＞3﹣y 3．关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（ ）A．a≤5B．a≥5C．a＜5D．a＞54．已知两个不等式的解集在数轴上如图表示，那么这个解集为（ ）A．x≥﹣1B．x＞1C．﹣3＜x≤﹣1D．x＞﹣35．下列不等式中不是一元一次不等式是（ ）A．x＞3B．＞2C．﹣y+1＞y D．2x＞16．已知关于x的不等式（3﹣a）x＞3﹣a的解集为x＜1，则（ ）A．a≤3B．a≥3C．a＞3D．a＜37．若关于x的不等式3x+1＜m的正整数解是1，2，3，则整数m的最大值是（ ）A．10B．11C．12D．138．若x的一半不小于5，则不等关系表示正确的式子是（ ）A．x≤5B．x≥5C．x＞5D．x＜59．某单位为某中学捐赠了一批新桌椅．学校组织七年级300名学生搬桌椅，规定一人一次搬两把椅子，两人一次搬一张桌子，每人限搬一次，最多可搬桌椅（一桌一椅为一套）的套数为（ ）A．80B．120C．160D．20010．下列不等式组：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（ ）A．2个B．3个C．4个D．5个11．不等式组的解集是（ ）A．﹣1＜x≤2B．﹣2≤x＜1C．x＜﹣1或x≥2D．2≤x＜﹣1 12．若关于x的不等式组恰好只有2个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）A．3B．4C．6D．113．八年级某班部分学生去植树，若每人平均植树4棵，还剩9棵，若每人平均植树5棵，则最后一名学生有但棵数不足2棵．若设同学人数x人，则下列列式正确的是（ ）A．B．C．D．14．运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否＞26”为一次程序操作，如果程序操作进行了2次后停止，那么满足条件的所有整数x的和为（ ）A．30B．35C．42D．3915．如图，直线y1＝x+b与y2＝kx﹣1相交于点P，若点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集是（ ）A．x≥﹣1B．x＞﹣1C．x≤﹣1D．x＜﹣116．k的值大于﹣1且不大于3，则用不等式表示k的取值范围是 ．（使用形如a≤x ≤b的类似式子填空．）17．如a＞b，则﹣1﹣a ﹣1﹣b．18．已知x＝2是关于x的不等式x﹣3m+1≤0的一个解，那么m的取值范围为 ．19．如图，在数轴上表示的x的取值范围是 ．20．若（m+1）x|m|+2＞0是关于x的一元一次不等式，则m＝ ．21．在平面直角坐标系中，点P（5，y）在第四象限，则y的取值范围是 ．22．我们知道，适合二元一次方程的一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解．类似地，适合二元一次不等式的一对未知数的值叫做这个二元一次不等式的一个解．对于二元一次不等式x+2y≤8，它的正整数解有 个．23．用不等式表示“x的2倍与5的和不大于10”是 ．24．航空公司规定：旅客乘机时，免费携带行李箱的长、宽、高之和不超过115cm．某厂家准备生产符合规定的行李箱，已知行李箱的宽为20cm，长与高的比为8：11，则该行李箱最高不能超过 cm．25．不等式组解集是 ．26．已知代数式mn+2m﹣2＝0（n≠﹣2）．（1）①用含n的代数式表示m；②若m、n均取整数，求m、n的值．（2）当n取a、b时，m对应的值为c、d．当﹣2＜b＜a时，试比较c、d的大小．27．请阅读求绝对值不等式|x|＜3和|x|＞3的解集过程．对于绝对值不等式|x|＜3，从图1的数轴上看：大于﹣3而小于3的绝对值是小于3的，所以|x|＜3的解集为﹣3＜x＜3；对于绝对值不等式|x|＞3，从图2的数轴上看：小于﹣3而大于3的绝对值是大于3的，所以|x|＞3的解集为x＜﹣3或x＞3．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足|x+y|≤3，其中m是负整数，求m的值．28．解不等式组．请结合题意，完成本题的解答．（1）解不等式①，得 ．（2）解不等式③，得 ．（3）把不等式①、②和③的解集在数轴上表示出来．（4）从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集 ．29．在数学课外小组活动中，老师提出了如下问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式，求绝对值不等式|x|＞a（a＞0）和|x|＜a（a＞0）的解集．小明同学的探究过程如下：先从特殊情况入手，求|x|＞2和|x|＜2的解集．确定|x|＞2的解集过程如图1：先根据绝对值的几何定义，在数轴上找到到原点的距离大于2的所有点所表示的数，在数轴上确定范围如下：（1）请将小明的探究过程补充完整；所以，|x|＞2的解集是x＞2或 ．再来确定|x|＜2的解集：同样根据绝对值的几何定义，在数轴上找到到原点的距离小于2的所有点所表示的数，在数轴上确定范围如图2： ；所以，|x|＜2的解集为： ．经过大量特殊实例的实验，小明得到绝对值不等式|x|＞a（a＞0）的解集为 ，|x|＜a（a＞0）的解集为 ．请你根据小明的探究过程及得出的结论，解决下列问题：（2）求绝对值不等式2|x+1|﹣3＜5的解集．30．解不等式＞x﹣1，并写出它的所有正整数解．31．甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出300元之后，超出部分按原价8折优惠；在乙超市累计购买商品超出200元之后，超出部分按原价8.5折优惠．设顾客预计累计购物x元（x＞300）．（1）请用含x代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用：甲超市购物所付的费用为 元；乙超市购物所付的费用为 元；（2）李明准备购买500元的商品，你认为他应该去哪家超市？若购买700元的商品，应该去哪家超市？（3）李明该如何选择购买会更省钱？32．解不等式组：．33．解不等式组，并写出它的所有非负整数解．34．启秀中学初一年级组计划将m本书奖励给本次期中考试取得优异成绩的n名同学，如果每人分4本，那么还剩下78本；如果每人分8本，那么最后一人分得的书不足8本，但不少于4本，最终，年级组经讨论后决定，给这n名同学每人发6本书，那么将剩余多少本书？35．已知一次函数y＝kx+b经过点A（3，0），B（0，3）．（1）求k，b的值．（2）在平面直角坐标系xOy中，画出函数图象；（3）结合图象直接写出不等式kx+b＞0的解集．参考答案1．解：A、x+y是代数式，不是不等式，故此选项不符合题意；B、3x＞7是不等式，故此选项符合题意；C、2x+3＝5是等式，故此选项不符合题意；D、x3y2是代数式，不是不等式，故此选项不符合题意．故选：B．2．解：若x＞y，则有x﹣3＞y﹣3；3﹣x＜3﹣y；﹣2x＜﹣2y；＞，所以错误的是3﹣x＞3﹣y．故选：D．3．解：关于x的不等式组无解，则a的取值范围是a≥5．故选：B．4．解：两个不等式的解集的公共部分是：﹣1及其右边的部分．即大于等于﹣1的数组成的集合．故选：A．5．解：A、是一元一次不等式，故本选项不符合题意；B、该不等式的左边是分式，它不是一元一次不等式，故本选项符合题意；C、是一元一次不等式，故本选项不符合题意；D、是一元一次不等式，故本选项不符合题意．故选：B．6．解：∵不等式（3﹣a）x＞3﹣a的解集为x＜1，∴3﹣a＜0，解得：a＞3．故选：C．7．解：解不等式3x+1＜m，得x＜（m﹣1）．∵关于x的不等式3x+1＜m的正整数解是1，2，3，∴3＜（m﹣1）≤4，∴10＜m≤13，∴整数m的最大值是13．故选：D．8．解：根据题意，得x≥5．故选：B．9．解：设可搬桌椅x套，即桌子x把，椅子x把，则搬桌子需2x人，搬椅子需人，根据题意，得2x+≤300，解得x≤120．答：最多可搬桌椅120套．故选：B．10．解：①是一元一次不等式组；②是一元一次不等式组；③含有两个未知数，不是一元一次不等式组；④是一元一次不等式组；⑤，未知数是3次，不是一元一次不等式组，其中是一元一次不等式组的有3个，故选：B．11．解：，由①得，x≤2，由②得，x＞﹣1，故此不等式组的解集为：﹣1＜x≤2．故选：A．12．解：解不等式组得：＜x＜2，由关于x的不等式组恰好只有2个整数解，得到﹣1≤＜0，即0≤a＜4，满足条件的整数a的值为0、1、2、3，整数a的值之和是0+1+2+3＝6，故选：C．13．解：设同学人数x人，则树有（4x+9）棵，由题意得：，故选：C．14．解：依题意，得：，解得：＜x≤9．∵x为整数值，∴x＝4，5，6，7，8，9．4+5+6+7+8+9＝39．故选：D．15．解：当x＞﹣1时，x+b＞kx﹣1，即不等式x+b＞kx﹣1的解集为x＞﹣1．故选：B．16．解：根据题意，得﹣1＜k≤3．故填﹣1＜k≤3．17．解：∵a＞b，∴﹣a＜﹣b，∴﹣1﹣a＜﹣1﹣b．故答案为：＜．18．解：∵x＝2是关于x的不等式x﹣3m+1≤0的一个解，∴2﹣3m+1≤0，故答案为：m≥1．19．解：在数轴上表示的x的取值范围是x＜1，故答案为：x＜1．20．解：∵（m+1）x|m|+2＞0是关于x的一元一次不等式，∴m+1≠0，|m|＝1．解得：m＝1．故答案为：1．21．解：∵点P（5，y）在第四象限，∴y＜0．故答案为y＜0．22．解：x+2y≤8，x≤8﹣2y，∵x，y是正整数，∴8﹣2y＞0，解得0＜y＜4，即y只能取1，2，3，当y＝1时，0＜x≤6，正整数解为：，，，，，，当y＝2时，0＜x≤4，正整数解为：，，，，当y＝3时，0＜x≤2，正整数解为：，；综上，它的正整数解有12个．故答案为：12．23．解：依题意得：2x+5≤10．故答案为：2x+5≤10．24．解：设该行李箱的高为xcm，则长为xcm，依题意，得：x+20+x≤115，故答案为：55．25．解：，由①得：x≤2，由②得：x＞1，则不等式组的解集为1＜x≤2．故答案为：1＜x≤2．26．解：（1）①∵mn+2m﹣2＝0，∴（n+2）m＝2，∵n≠﹣2，∴m＝；②∵m、n均为整数，2＝1×2＝（﹣1）×（﹣2），∴或或或．解得：或或或；（2）∵当n＝a时，m＝c＝，当n＝b时，m＝d＝，∴c﹣d＝﹣＝＝，∵﹣2＜b＜a，∴a+2＞0，b+2＞0，b﹣a＜0，∴＜0，∴c﹣d＜0，∴c＜d．27．解：∵|x+y|≤3，∴﹣3≤x+y≤3，解，①+②得：3x+3y＝﹣3m﹣3，∴x+y＝﹣m﹣1，则﹣3≤﹣m﹣1≤3，解得：﹣4≤m≤2，又m是负整数，∴m的值为﹣4或﹣3或﹣2或﹣1．28．解：（1）解不等式①，得x≥﹣3，依据是：不等式的基本性质．（2）解不等式③，得x＜1．（3）把不等式①，②和③的解集在数轴上表示出来．（4）从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集为：﹣3≤x＜1，故答案为：（1）x≥﹣3；（2）x＜1；（4）﹣2＜x＜1．29．解：（1）①x＜﹣2，②；③﹣2＜x＜2，④x＞a或x＜﹣a，⑤﹣a＜x＜a；故答案为：x＜﹣2，，﹣2＜x＜2，x＞a或x＜﹣a，﹣a＜x＜a（2）∵2|x+1|﹣3＜5，∴2|x+1|＜8，∴|x+1|＜4，∴﹣4＜x+1＜4，∴﹣5＜x＜3，∴原绝对值不等式的解集是﹣5＜x＜3．30．解：去分母，得1+2x＞3（x﹣1），去括号，得1+2x＞3x﹣3，移项，得2x﹣3x＞﹣3﹣1，合并同类项，得﹣x＞﹣4，系数化为1，得x＜4，则不等式的正整数解为：1，2，3．31．解：（1）甲超市购物所付的费用为300+0.8（x﹣300）＝（0.8x+60）元；乙超市购物所付的费用为200+0.85（x﹣200）＝（0.85x+30）元．故答案为：（0.8x+60）；（0.85x+30）；（2）购买500元的商品，他应该去乙超市，理由如下：当x＝500时，甲超市购物所付的费用＝0.8x+60＝460，乙超市购物所付的费用＝0.85x+30＝455，∵460＞455，∴他去乙超市划算；购买700元的商品，他应该去甲超市，理由如下：当x＝700时，甲超市购物所付的费用＝0.8x+60＝620，乙超市购物所付的费用＝0.85x+30＝625，∵620＜625，∴他去甲超市划算．（3）依题意有0.8x+60＝0.85x+30，解得：x＝600．答：李明购买少于600元的商品时，去乙超市划算；李明购买600元的商品时，到两家超市购物所付的费用一样；李明购买多于600元的商品时，去甲超市划算．32．解：，由①得：x＞﹣1，由②得：x≤2，则不等式组的解集为﹣1＜x≤2．33．解：，解不等式①得：x≥﹣3，解不等式②得：x＜，所以不等式组的解集为：﹣3≤x，所以不等式组的所有非负整数解为：0，1．34．解：依题意，得：，解得：＜n≤．又∵n为正整数，∴n＝20，∴m＝4n+78＝158，∴m﹣6n＝158﹣6×20＝38．答：将剩余38本书．35．解：（1）∵一次函数y＝kx+b经过点A（3，0），B（0，3）．∴，解得；（2）函数图象如图：；（3）不等式kx+b＞0的解集为：x＜3．。

北师大版八年级数学下册《第1章三角形的证明》单元培优测试卷一、选择题1．下列命题中，是假命题的是（ ）A．等腰三角形三个内角的和等于180°B．等腰三角形两边的平方和等于第三边的平方C．角平分线上的点到这个角两边的距离相等D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等2．下列几组数中，能作为直角三角形三边长的是（ ）A．2，4，5B．3，4，5C．4，4，5D．5，4，53．在等腰三角形中，有一个角是50°，它的一条腰上的高与底边的夹角是（ ）A．25°B．25°或40°C．25°或35°D．40°4．如图，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，点O是AC、BC的垂直平分线的交点，连接AO、BO，若∠AIB＝α，则∠AOB的大小为（ ）A．αB．4α﹣360°C．α+90°D．180°﹣α5．如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，∠C＝90°，∠ABC与∠BAC的平分线交于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E，则DE＝（ ）A．B．2C．D．36．如图，在△ABC中，∠B＝74°，边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，若AB+BD＝BC，则∠BAC的度数为（ ）A．74°B．69°C．65°D．60°7．下列命题正确的是（ ）A．三角形的一个外角大于任何一个内角B．三角形的三条高都在三角形内部C．三角形的一条中线将三角形分成两个三角形面积相等D．两边和其中一边的对角相等的三角形全等8．等腰三角形一边的长为4cm，周长是18cm，则底边的长是（ ）A．4cm B．10cm C．7或10cm D．4或10cm二、填空题9．如图，BD、CE是等边三角形ABC的中线，则∠EFD＝．10．如图，在△ABC中，AB＝BC，BE平分∠ABC，AD为BC边上的高，且AD＝BD．则∠3＝°．11．平面直角坐标系中，已知A（8，0），△AOP为等腰三角形，且△AOP的面积为16，则满足条件的P点个数是．12．如果等腰三角形的一个内角是80°，那么它的顶角的度数是°．13．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，△ABC的面积为60，AB＝16，BC＝14，则DE的长等于．14．如图，在△ABC中，线段AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD，若∠C＝80°，∠CBD＝40°，则∠A的度数为°．15．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠BAD＝20°，且AE＝AD，则∠CDE的度数是．16．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE是边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC 于点，且AB＝8，BC＝6，则△BEC的周长是．17．如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于E点，∠B＝50°，∠FAE＝20°，则∠C＝度．18．已知C，D两点在线段AB的垂直平分线上，且∠ACB＝50°，∠ADB＝86°，则∠CAD的度数是．三、解答题19．如图，△ABC中，∠ABC＝25°，∠ACB＝55°，DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，E，G分别为垂足．（1）直接写出∠BAC的度数；（2）求∠DAF的度数；（3）若BC的长为30，求△DAF的周长．20．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AC，CE⊥AB，AF⊥BC．（1）求证：CF＝EF；（2）求∠EFB的度数．21．如图，在等边三角形ABC中，D是AB上的一点，E是CB延长线上一点，连接CD、DE，已知∠EDB＝∠ACD，BC＝6，（1）求证：△DEC是等腰三角形．（2）当∠BDC＝5∠EDB，EC＝8时，求△EDC的面积．22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△CAP和△CBQ都是等边三角形，BQ和CP 交于点H，求证：BQ⊥CP．23．△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，点P在BC边上运动（P不与B、C重合），连接AP，作∠APQ＝∠B，PQ交AB于点Q．（1）如图1，当PQ∥CA时，判断△APB的形状并说明理由；（2）在点P的运动过程中，△APQ的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BQP的度数；若不可以，请说明理由．24．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于点M交BE于点G，AD平分∠MAC，交BC于点D，交BE于点F．求证：线段BF垂直平分线段AD．25．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE 的中点，BE＝AC．（1）求证：AD⊥BC．（2）若∠BAC＝75°，求∠B的度数．26．已知△ABC中，D为边BC上一点，AB＝AD＝CD．（1）试说明∠ABC＝2∠C；（2）过点B作AD的平行线交CA的延长线于点E，若AD平分∠BAC，求证：AE＝AB．参考答案1．解：A、等腰三角形三个内角的和等于180°，正确，是真命题，不符合题意；B、直角三角形两边的平方和等于第三边的平方，故原命题错误，是假命题，符合题意；C、角平分线上的点到这个角两边的距离相等，正确，是真命题，不符合题意；D、线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，正确，是真命题，不符合题意，故选：B．2．解：A、22+42≠52，根据勾股定理的逆定理可知三角形不是直角三角形，故不合题意；B、32+42＝52，根据勾股定理的逆定理可知三角形是直角三角形，故符合题意；C、42+42≠52，根据勾股定理的逆定理可知三角形不是直角三角形，故不合题意；D、42+52≠52，根据勾股定理的逆定理可知三角形不是直角三角形，故不合题意；故选：B．3．解：当50°为底角时，∵∠B＝∠ACB＝50°，∴∠BCD＝90°﹣50°＝40°；当50°为顶角时，∵∠A＝50°，∴∠B＝∠ACB＝65°，∴∠BCD＝90°﹣65°＝25°．故选：B．4．解：连接CO并延长至D，∵∠AIB＝α，∴∠IAB+∠IBA＝180°﹣α，∵AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，∴∠IAB＝∠CAB，∠IBA＝∠CBA，∴∠CAB+∠CBA＝2（∠IAB+∠IBA）＝360°﹣2α，∴∠ACB＝180°﹣（∠CAB+∠CBA）＝2α﹣180°，∵点O是AC、BC的垂直平分线的交点，∴OA＝OC，OB＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC，∵∠AOD是△AOC的一个外角，∴∠AOD＝∠OCA+∠OAC＝2∠OCA，同理，∠BOD＝∠OCB，∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝2∠OCA+2∠OCB＝4α﹣360°，故选：B．5．解：延长ED交BC于点G，作DF⊥AB于点F，作DH⊥AC于点H，∵DE∥AC，∠C＝90°，∴∠BGE＝∠C＝90°，∴EG⊥BC，∴∠DGC＝∠DHC＝∠C＝90°，∴四边形DGCH为矩形，∵AD平分∠BAC，BD平分∠ABC，DF⊥AB，DH⊥AC，DG⊥BC，∴DF＝DM，DG＝DF，∴DH＝DG，∴四边形DGCH为正方形，在Rt△BDG和Rt△BDF中，，∴Rt△BDG≌Rt△BDF（HL），∴BF＝BG，同理可得：Rt△AHD≌Rt△AFD，由勾股定理可得：AB2＝AC2+BC2＝100，∴AB＝10，设CH＝CG＝x，则AH＝6﹣x，BG＝8﹣x，∴AF＝6﹣x，BF＝8﹣x，∴AB＝10＝AF+BF＝6﹣x+8﹣x＝14﹣2x，即14﹣2x＝10，解得：x＝2，∴CH＝CG＝2，BG＝6，∵DE∥AC，∴△BEG∽△BAC，∴，即，∴EG＝4.5，∴DE＝EG﹣DG＝4.5﹣2＝2.5，故选：A．6．解：如图，连接AD，∵边AC的垂直平分线交BC于点D，∴AD＝CD，∴∠DAC＝∠C，∵AB+BD＝BC，BD+CD＝BC，∴CD＝AB，∴AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB＝74°，∴∠C＝37°，∴∠BAC＝180°﹣74°﹣37°＝69°，故选：B．7．解：A、三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角，原命题是假命题；B、钝角三角形的三条高不在三角形内部，原命题是假命题；C、三角形的一条中线将三角形分成两个三角形面积相等，是真命题；D、两边和其夹角相等的三角形全等，原命题是假命题；故选：C．8．解：分情况考虑：①当4cm是腰时，则底边长是18﹣8＝10（cm），此时4，4，10不能组成三角形，应舍去；②当4cm是底边时，腰长是（18﹣4）×＝7（cm），4，7，7能够组成三角形．此时底边的长是4cm．故选：A．9．解：∵BD、CE是等边三角形ABC的中线，∴BD⊥AC，CE⊥AB，∠A＝60°，∴∠AEF＝∠ADF＝90°，∵∠EFD＝360°﹣90°﹣90°﹣∠A＝180°﹣60°＝120°．故答案为120°．10．解：∵AD为BC边上的高，∴∠ADB＝90°，∵AD＝BD，∴∠ABD＝∠BAD＝（180°﹣∠ADB）＝45°，∵BE平分∠ABC，∴∠1＝∠2＝∠ABD＝22.5°，BE⊥AC，∴∠BEA＝90°＝∠ADB，∵∠3+∠BEA+∠AHE＝180°，∠2+∠ADB+∠BHD＝180°，∠AHE＝∠BHD，∴∠3＝∠2＝22.5°．故答案为：22.5°．11．解：∵A（8，0），∴OA＝8，设△AOP的边OA上的高是h，则×8×h＝16，解得：h＝4，在x轴的两侧作直线a和直线b都和x轴平行，且到x轴的距离都等于4，如图：①以A为圆心，以8为半径画弧，交直线a和直线b分别有两个点，即共4个点符合，②以O为圆心，以8为半径画弧，交直线a和直线b分别有两个点，即共4个点符合，③作AO的垂直平分线分别交直线a、b于一点，即共2个点符合，4+4+1+1＝10．故答案为：10．12．解：当80°是等腰三角形的顶角时，则顶角就是80°；当80°是等腰三角形的底角时，则顶角是180°﹣80°×2＝20°．故答案为：80°或20．13．解：作DF⊥BC于F，∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DF＝DE，∴S△ABC＝S△ABD+S△DBC＝×AB×DE+×BC×DF＝＝60，∴DF＝DE＝4．故答案为：4．14．解：∵∠C＝80°，∠CBD＝40°，∴∠CDB＝180°﹣∠C﹣∠CBD＝60°，∵线段AB的垂直平分线交AC于点D，∴DA＝DB，∴∠A＝∠DBA＝∠CDB＝30°，故答案为：30．15．解：∵AB＝AC，D为BC的中点，∴∠CAD＝∠BAD＝20°，AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝＝80°，∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣80°＝10°．故答案为：10°．16．解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，∴AC＝＝＝10，∵DE是边AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∴△BEC的周长＝BC+EC+BE＝BC+EC+EA＝BC+AC＝16，故答案为：16．17．解：∵DE是线段AC的垂直平分线，∴EA＝EC，∴∠EAC＝∠C，∵AF平分∠BAC，∴∠BAF＝∠CAF＝∠FAE+∠CAE＝20°+∠C，由三角形内角和定理得，∠B+∠BAC+∠C＝180°，即50°+20°+∠C+20°+∠C+∠C＝180°，解得，∠C＝30°，故答案为：30．18．解：∵C、D两点在线段AB的中垂线上，∴CA＝CB，DA＝DB，∵CD⊥AB，∴∠ACD＝∠ACB＝×50°＝25°，∠ADC＝∠ADB＝×86°＝43°，当点C与点D在线段AB两侧时，∠CAD＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝180°﹣25°﹣43°＝112°，当点C与点D′在线段AB同侧时，∠CAD′＝∠AD′C﹣∠ACD′＝43°﹣25°＝18°，故答案为：18°或112°．19．解：（1）∵∠ABC＝25°，∠ACB＝55°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝100°；（2）∵DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，∴DA＝DB，FA＝FC，∴∠DAB＝∠ABC＝25°，∠FAC＝∠ACB＝55°，∴∠DAF＝∠BAC﹣∠DAB﹣∠FAC＝20°；（3）△DAF的周长＝DA+DF+FA＝DB+DF+FC＝BC＝30．20．证明：（1）∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝CF，又∵CE⊥AB，∴CF＝EF；（2）∵DE垂直平分AC，∴AE＝EC，又∵∠AEC＝90°，∴∠ACE＝∠EAC＝45°，∴∠B＝∠ACB＝67.5°，∵EF＝CF＝BF，∴∠BEF＝∠FBE＝67.5°，∴∠EFB＝45°．21．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵∠E+∠EDB＝∠ABC＝60°，∠ACD+∠DCB＝60°，∠EDB＝∠ACD，∴∠E＝∠DCE，∴DE＝DC，∴△DEC是等腰三角形；（2）解：设∠EDB＝α，则∠BDC＝5α，∴∠E＝∠DCE＝60°﹣α，∴6α+60°﹣α+60°﹣α＝180°，∴α＝15°，∴∠E＝∠DCE＝45°，∴∠EDC＝90°，如图，过D作DH⊥CE于H，∵△DEC是等腰直角三角形，∴∠EDH＝∠E＝45°，∴EH＝HC＝DH＝EC＝8＝4，∴△EDC的面积＝EC•DH＝8×4＝16．22．证明：∵△CAP和△CBQ都是等边三角形，∴∠CAP＝∠CBQ＝60°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCP＝∠ACB﹣∠ACP＝30°，在△BCH中，∠BHC＝180°﹣∠BCH﹣∠CBH＝180°﹣30°﹣60°＝90°，∴BQ⊥CP．23．解：（1）△APB是直角三角形，理由如下：∵AB＝AC，∠B＝30°，∴∠C＝30°＝∠B＝∠APQ，∵PQ∥AC，∴∠BPQ＝∠C，∴∠APB＝60°，∴∠BAP＝90°，∴△APB是直角三角形；（2）当AQ＝QP时，∴∠QAP＝∠APQ＝30°，∴∠BQP＝∠QAP+∠APQ＝60°，当AP＝PQ时，则∠AQP＝∠PAQ＝75°，∴∠BQP＝105°，当AQ＝AP时，则∠AQP＝∠APQ＝30°，∵P不与B、C重合，∴不存在，综上所述：∠BQP＝105°或60°．24．证明：∵∠BAC＝90°，∴∠ABC+∠C＝90°，∵AM⊥BC，∴∠AMB＝90°，∴∠ABC+∠BAM＝90°，∴∠C＝∠BAM，∵AD平分∠MAC，∴∠MAD＝∠CAD，∴∠BAM+∠MAD＝∠C+∠CAD，∵∠ADB＝∠C+∠CAD，∴∠BAD＝∠ADB，∴AB＝BD，∵BE平分∠ABC，∴BF⊥AD，AF＝FD，即线段BF垂直平分线段AD．25．解：（1）连接AE，∵EF垂直平分AB∴AE＝BE∵BE＝AC∴AE＝AC∵D是EC的中点∴AD⊥BC（2）设∠B＝x°∵AE＝BE∴∠BAE＝∠B＝x°∴由三角形的外角的性质，∠AEC＝2x°∵AE＝AC∴∠C＝∠AEC＝2x°在三角形ABC中，3x°+75°＝180°x°＝35°∴∠B＝35°26．证明：（1）∵AB＝AD，∴∠ABC＝∠ADB，∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠C，∵∠ADB＝∠DAC+∠C＝2∠C，∴∠ABC＝2∠C；（2）∵AD平分∠BAC，∴∠DAB＝∠CAD，∵BE∥AD，∴∠DAB＝∠ABE，∠E＝∠CAD，∴∠ABE＝∠E，∴AE＝AB．。

北师大版八年级数学下册期末培优、能力提升练习（一）四边形的最值问题及应用类型一、将军饮马1.如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，BE=2, EC=1, 点P在BD上，则PE+PC的最小值是 .2.如图，在正方形ABCD中，P是BD上的一个动点，E在BC上，且BE=1，CE=2，则PE+PC的最小值为。

3.如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A、6B、23C、3 D、26类型二、点到直线距离垂线段最短1.在边长为2菱形ABCD中，∠ABC=60°，M、N分别为线段BC和BD上两个动点，则MN+CN的最小值是。

2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P是AB上的任意一点，作PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E，连接DE，则DE的最小值为_________3.在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为．类型三、平行线间的距离为最值1.如图，菱形ABCD的边长为5，面积为20，P为CD边上一动点（异于C、D），点M、N分别在BD、BC上运动，则PM+MN的最小值为 .2.如上左图，菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝120°，点M、N、P分别为线段AB、AD、BD上的任意一点，则PM＋PN的最小值为________类型四、利用三角形三边关系、三点共线取最值1.如图，∠MON =90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB =2，BC =1，运动过程中，点D 到点O的最大距离为（ ）A +1BC 、5 D 、522. 如图，∠MON =90°，正方形ABCD 的顶点A 、B 分别在OM 、ON 上运动，当正方形的边长为2时，OD 的最大值为 .3.如图，正方形ABCD 的边长为4，点P 为边AD上一动点，AE ⊥BP ，垂足为E ，连DE ，求DE 的最小值.4.如上右图，E、F是正方形ABCD的边上两个动点，满足AE＝DF，连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H，连DH，若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是_______5.如上右图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿,MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是。