苏教版高中数学 必修一 2.3 映射的概念(共22张PPT)

2.1.4 映射的概念整体设计教材分析映射与前面学习的集合和函数有着密切的关系，事实上，映射是两个集合中的一种特殊的对应关系，即如果按照某种对应法则，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素与它对应，那么这样的对应(包括对应法则)叫做集合A到集合B的映射.在刚开始学习映射时，为了能让学生看清映射的构成，可以选择用图形表示映射，并选择能用列举法表示的有限集，法则尽量用语言描述，这样的表示方法可以让学生比较直观地认识映射，而后再用抽象的数学符号表示映射.关于映射中象和原象的概念以及映射的分类和一一映射、单射、满射等概念，一般不要涉及，对于函数与映射的关系，只需强调若映射中的两个集合A和B均为非空数集时，这个映射就是函数.三维目标1.了解映射的概念，会借助图象帮助理解映射的概念.2.会根据定义判断映射.3.了解映射是函数概念的一般扩展(将数集扩展到任意元素组成的集合)，函数是一类特殊的映射(非空数集到非空数集的映射).4.采用“举例——观察——比较——讨论——总结”的形式，通过实例找共性，给出映射的定义，最后进行小结，教师起到点拨和深化的作用.重点难点教学重点：映射的概念及判断.教学难点：映射的概念.课时安排1课时教学过程导入新课设计思路一(情境导入)1.老师走进教室，只要环顾一下，不点名，就知道今天有没有同学缺课，缺课的同学有多少.大家知道老师是怎么做到的吗？(每个同学都有唯一的座位)2.为了解学生身体健康状况，现对高一年级全体学生的体重进行统计，设高一年级的全体同学组成集合A，正实数集为集合B，让集合A中任一同学与其体重对应，则得到一个从集合A到集合B的对应.(课本引例)用下图来表示这个对应：你还能举出一些类似的例子吗？(由同学们自由发挥)例如：1.中华人民共和国的任何一个公民都有唯一的身份证号码与之对应；2.数轴上的任何一个点都有唯一的实数与之对应；3.坐标平面内的任何一个点都有唯一的有序实数对与之对应；4.平面上任何一个三角形都有唯一的面积与之对应.这些都是从集合A到集合B的对应，这些对应有没有什么共同的特征？设计思路二(事例导入)在前一章集合的初步知识中，我们学习了元素与集合及集合与集合之间的关系，现在我们重点研究两个集合中元素之间的对应关系，这要先从我们熟悉的对应说起.出示下图(用投影仪打出一些对应关系，共5个)：1.这5个图中，它们有什么共同特点？应该能看出，各个图都反映了两个集合的元素之间的一种对应关系，即对于集合A中的任一个元素，按照某种法则在集合B中都有确定的(一个或几个)元素与它对应.2.进一步观察，(1)(2)(4)(5)这4个图中的对应有什么共同特点？设计思路三(复习导入)前面学习的集合的有关知识，包括元素与集合的关系，集合之间的包含关系等，两个集合之间的内在联系是通过两个集合中元素与元素的对应关系揭示的.而刚刚学过的函数y=f(x)实际上是定义域A上的元素x到值域B上的元素y之间的一种对应关系，这里定义域A和值域B都必须是非空数集，如果我们把集合A和集合B扩充为任意非空集合(未必是数集)，则这样的对应就未必是函数，那么这个对应又是什么呢？推进新课新知探究对于设计思路一，教师提出问题：这些对应有什么共同的特征？若学生无法归纳，则鼓励他们讨论，只要有人说出“任一”“都有”“唯一”等关键词，都给予热情鼓励.若经讨论仍然没有同学能够说出这些关键词，则可以提示学生从上面例子的句式结构上观察，它们都有同样的句子结构：“……任何一个……都有唯一的……与之对应”.这些例子都是在说明集合A和集合B的元素之间的对应关系，都有一个共同的特征，就是：(板书)集合A中的任何一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应.这样的对应就是我们今天要学习的映射.然后教师和学生一起把刚才的板书修改完善：(板书)定义：设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应(包括集合A、B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射，记作：f:A→B对于设计思路二，紧接上面问题，(1)(2)(4)(5)这4个图中的对应有什么共同特点？(用投影仪将这几个图集中在一起)类似思路一，老师鼓励学生自己得出结论：集合A中的任何一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应.如果有困难，也采用思路一类似的办法，最后同样得到映射的定义.对于设计思路三，函数实际上是定义域A上的元素x到值域B上的元素y之间的一种对应关系，对于集合A中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，这里定义域A和值域B都必须是非空数集.如果我们把函数中定义域A和值域B扩充为任意非空集合，则这样的对应就未必是函数，我们把这样的对应称为映射(板书).然后老师和学生一起把映射的定义叙述并修改完善.记忆技巧：(学生思考、讨论、回答，教师整理、强调)①“任意性”：映射中的两个集合A、B可以是数集、点集或由图形等组成的任意集合，这是映射的“任意性”；②“A到B”：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射,例如A到B是求平方，B到A则是开平方，因此映射是“有序的”；③“任一”：对于集合A中的任何一个元素，集合B中都存在元素和它对应，这是映射的“存在性”；④“唯一”：对于集合A中的任何一个元素，集合B中都是唯一的元素和它对应，这是映射的“唯一性”；⑤“在集合B中”：也就是说A中元素的对应元素必在集合B中，这是映射的“封闭性”.(这一点可根据学生的具体学情有选择地教学)映射概念的核心就是“A中之任一对B中之唯一”，这是判断一个对应是不是映射的关键.从形式上看映射有“一对一”和“多对一”，另外，集合A中的元素必须一个不剩，集合B中元素允许剩余，而对应有“一对一”“多对一”“一对多”“多对多”四种情况.三句口诀：1.A中之任一对B中之唯一.2.对一是映射，对多非映射.3.A中一个不剩，B中可以多余.应用示例思路1请同学甲设计一个例题：例题下面给出的四个对应中，能构成映射的有哪些？要求：四个对应两个是映射，两个不是映射.两个映射必须分别是“一对一”和“多对一”，两个不是映射的对应必须分别体现没有符合“A中之任一”和“B中之唯一”.同学乙对同学甲编制的题目是否符合老师的要求作出回答，并分析原因，给出正确答案.思路2教师直接给出题目：(用投影仪打出一些对应关系，共4个)例1下面给出的四个对应中，能构成映射的有哪些？分析：一个对应是不是能够构成映射，就看它能不能满足映射定义的要求，即抓住关键：A中之任一对B中之唯一.既然“A中任一”，则A中不能有多余的元素，应该一个不剩，而B中元素没有这个要求，故B中元素可以允许有多余；既然“B中唯一”，则只能是“一对一”或“多对一”，而不能是“一对多”或“多对多”.解：因为(1)(3)的对应满足映射的定义，而(2)不满足“任意性”，(4)不满足“唯一性”，所以(2)(4)不能构成映射，能构成集合A到B的映射的有：(1)(3).错误解法：本题容易在(1)(2)的判断上出现错误.(1)有两个箭头指向同一元素，易判为“不是映射”，(2)中都是一个箭头在指，所以易判为“是映射”.这时要提醒学生：对于(1)，只要A 中的一个元素射出去的箭头只有一个就可以了，至于有多少个箭头指向B 中同一元素就无所谓了；对于(2)，A 中不能有多余的元素，应该一个不剩，而B 中元素没有这个要求，可以允许有多余.例2 (用投影仪打出)下列对应，哪些是A 到B 的映射？(1) A={x|x≥0}，B={1}，对应法则f:x→y=x 0.(2) A={x|0≤x≤2}，B={y|0≤y≤1}，对应法则f ：x→y=31x. (3) A={x|0≤x≤2}，B={y|0≤y≤1}，对应法则f:x→y=(x -2)2. (4) A={x|0≤x≤4}，B={y|0≤y≤2}，对应法则f ：x→y=81x 2. 解：因为(2)(4)的对应满足映射的定义，所以能构成集合A 到B 的映射；而(1)(3)不满足“任意性”，所以(1)(3)不能构成映射.错误解法分析：判断(1)时，学生容易忽视元素0，判断(2)时，由于C≠B ，也容易发生错误，判断(3)(4)时，由于都是二对一，在求Ａ中所有元素的对应元素组成的集合时容易出现错误，这些都要一一纠正.例3 (用投影仪打出)设集合A={x|0≤x≤1}，B={y|0≤y≤1}，则下图所示的各图象中，表示从集合Ａ到集合Ｂ的映射的是___________.分析：上图的五个图中，显然所有的x ∈A ，①③④⑤中都有y ∈B ，这一点都符合了“Ａ中任一元素都有Ｂ中元素与之对应”，只有②中当21＜x≤1时对应的y B ，即Ｂ中没有元素与之对应，所以②不是映射.④中除了元素0，Ａ中每个元素都有两个元素与之对应，所以④也不是映射.①③⑤中每一个不同的x 都只有唯一的Ｂ中的元素ｙ与之对应，符合了映射的定义，所以①③⑤是映射.答案：①③⑤.点评：本题是由图象的形式给出映射，由于学生对映射的图象表示还不是太熟悉，所以往往会看不懂题目表示的意思，导致解题时无从下手.这时老师可结合前面学过的函数的图象来指导学生读题，指出图象上每一个点都可以用坐标来表示，其中横坐标ｘ就是映射中集合Ａ中的元素，纵坐标ｙ就是集合Ｂ中的元素，这时映射的定义就可以表示为“以集合Ａ中的数为横坐标的点都在图象上(Ａ中任一元素)，其对应的纵坐标都属于集合Ｂ(都有Ｂ中元素与之对应)，且横坐标不同时对应的纵坐标也不同(与ｘ对应的ｙ是唯一的).具体看图时可以看如下三个方面：①横坐标是否都在定义域内，定义域内的数是否都在图象上；②纵坐标是否都在值域内；③与ｘ轴垂直的直线与图象的公共点是否只有一个.例4 已知集合A={1,2,3,m},(m ∈N ),B={4,7,n 4,n 2+3n},(n ∈N ),设x ∈A,y ∈B,“f:x→y=3x+1”是集合A 到集合B 的映射，求m ，n 的值.分析：根据映射的定义，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，而对应法则是“f:x→y=3x+1”，所以1→4，2→7，3→10，m→3m+1.由于对应法则是一次关系式，所以A 中不同元素对应的B 中元素也必须不同，不可能出现“多对一”的情况.而B={4,7,n 4,n 2+3n}，所以10和3m+1必然等于n 4和n 2+3n ，这里又有两种情况：10=n 4，3m+1=n 2+3n ，或者10=n 2+3n,3m+1=n 4，继续解出m 、n ，问题就解决了.解：∵3×1+1＝4 ，3×2+1＝7，3×3+1＝10，又∵对应法则是“f:x→y=3x+1”，∴3m+1不可能等于4、7、10，∴由⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+⨯=,133,1013324m n n n 又m,n ∈N ，∴方程组无解. 由⎪⎩⎪⎨⎧=+⨯=++=,101333,1324n n m n 又m,n ∈N ，解得⎩⎨⎧==.5,2m n 综上所述m=5,n=2.错误解法：一种错误是没有说明这个映射不可能是多对一.因为在1→4，2→7，3→10的情况下，如果不考虑对应法则，m 完全有可能再和4、7、10中的某一个对应，这样需讨论的情况就太多了.所以应该先考虑对应法则，得到这个映射只能是一对一，这时就仅仅剩下两种情况讨论了.另一种错误是不讨论，这时老师可以画图，用箭头来指出有两种情况.点评：本题中，学生非常容易忽略“多对一”，并且只解第一种情况而忘记解第二种情况.所以不论学生是不是出现错误，都要强调先说明“ 3m+1不可能等于4、7、10”，再对两种可能情况分别求解，解方程组的具体过程可以简略一些.知能训练课本第42页练习1、2、3、4.解答：1.(1)因为对应法则是f ：x→2x ＋1，所以1→3，2→5.(2)因为对应法则是g:x→21-x ，所以3→1，5→2. 两个映射f 和g 是互为逆映射.(见备课资料)2.(1)集合A 中一共有3个元素1，4，9，对应法则是“f ：x→x 的平方根”，所以1→±1，4→±2，9→±3，尽管±1，±2，±3都是集合B 中的元素，但这是“二对一”，因而这个对应不符合映射的定义，所以这个对应不是映射.(2)集合A 中存在元素0，由于对应法则是“f ：x→x 的倒数”，所以元素0在集合B 中没有元素与之对应，因而这个对应不符合映射的定义，所以这个对应不是映射.(3)是映射.(4)集合A 是平面内周长为5的所有三角形组成的集合，其中任意一个三角形都有唯一的外心，且外心都是这个平面内的点，由于对应法则为f ：三角形→三角形的外心，所以A 中任一元素都和B 中唯一元素对应，这就符合了映射的定义，因此这个对应是映射.3.(1)根据题目中的对应法则，m→n ，a→b ，t→u ，h→i ，e→f ，i→j ，c→d ，s→t ，所以明文“mathematics”的密文为“nbuifnbujdt”.(2)同上，i→j ，t→u ，s→t ，f→g ，u→v ，n→o ，y→z ，所以密文“ju jt gvooz”的明文是“it is funny”.课堂小结映射是由集合A ，集合B 和对应法则三部分组成的一个整体，判断一个对应是不是映射应该抓住关键：A 中之任一对B 中之唯一.A 中不能有多余的元素，应该一个不剩，而B 中元素没有这个要求，可以允许有剩余；映射只能是“一对一”或“多对一”，而不能是“一对多”或“多对多”，A 到B 的映射与B 到A 的映射往往不是同一个映射.作业1.若集合A ＝｛0，1，2，3，4，5，6｝，f ：x→y=x 2-4x 是从A 到B 的映射，则集合B 中至少有______________个元素.解答：因为集合A ＝｛0，1，2，3，4，5，6｝，对应法则为f ：x→y=x 2-4x ，所以0、4→0，1、3→-3，2→-4，5→5，6→12，而集合B 必须包含这些元素，因此B 中至少有5个元素.2.已知集合A ＝B ＝｛(x ，y)|x ∈R ，y ∈R ｝，A 到B 的映射f ：(x ，y)→(x+y ，xy).(1)A 中元素(2，-3)对应于B 中哪个元素？(2)B 中元素(2，-3)与A 中哪个元素对应？解答：(1)当x ＝2，y ＝-3时，x ＋y ＝-1，xy ＝-6，所以A 中元素(2，-3)对应于B 中元素(-1，-6).(2)当⎩⎨⎧-==+3,2xy y x 时,得⎩⎨⎧=-=3,1y x 或⎩⎨⎧-==,1,3y x 所以B 中元素(2，-3)与A 中元素(-1，3)和(3，-1)对应.3.阅读课本第44页第12题(阅读题)，找一些生活中与对应和映射有关的实例.设计感想原教材中映射这部分内容是安排在函数这一章的开始，现在苏教版教材安排在函数概念、图象、表示方法、单调性、奇偶性等内容之后.因为映射的概念如果单单从非数学的日常生活方面来看，并不难以理解，但是上升到严格的数学定义和抽象的数学概念就比较深奥.所以教材这样安排一方面是考虑到多数高中学生的认知特点.为了降低难度,教材先让学生对函数有了初步认识，接触了部分具体的函数，在有了一定的体会后，再学习映射，同时对函数的认识也得到进一步加强.另一方面是为了通过循环反复学习，加深了学生对函数概念的理解，有助于他们对函数概念本质的理解，像函数这样的核心概念需要多次接触、反复体会、螺旋上升，逐步加深理解，才能真正掌握，灵活应用.本课在教学设计时努力体现新课标的要求.在映射概念引入时，先从学生熟悉的对应入手，选择一些具体的生活例子，然后再举一些数学例子，先用图形表示映射，在集合的选择上先选择了能用列举法表示的有限集，对应法则用语言描述，对应形式上分为“一对多”“多对一”“多对一”“一对一”四种情况，让学生认真观察，比较，再引导学生发现其中“一对一”和“多对一”的对应是映射，逐步归纳概括出映射的基本特征，让学生的认识从感性认识到理性认识.这样的教学方法可以让学生比较直观地认识映射，而后再选择用抽象的数学符号表示映射.在教学方法上本课采用启发、讨论的形式，让学生在实例中去观察、比较，启发学生寻找共性，共同讨论映射的特点，共同举例、计算，最后进行小结，教师要起到点拨和深化的作用.为了使学生更加容易接受抽象的数学概念，也可以多采用一些日常生活的语言，列举一些学生感兴趣的例子.譬如为了让学生对映射可以“一对一”，也可以“多对一”，但不能“一对多”，也不能“多对多”有深刻印象，可以用“射雕”来比喻：可以“一箭一雕”“多箭一雕”但不能“一箭双雕”“一箭多雕”“多箭多雕”；为了让学生对“A 中任一元素在B 中均有唯一的一个元素与之对应，但允许B 中有一些元素没有A 中任何元素与之对应”有深刻印象，仍然可以用“射雕”来比喻：“鞘中的箭必须射完，而且箭箭中雕，但有些雕可以不是瞄准的目标”.习题详解课本第43页习题2.1(3)1.函数Y=kx+b y=xk+bk＞0 k＜0 k＞0 k＜0单调区间(-∞,+∞)(-∞,+∞)(-∞,0),(0,+∞)(-∞,0),(0,+∞)单调性单调递增单调递减单调递减单调递增2.略.3.(1)单调增区间(-∞，0]，单调减区间[0，＋∞)，最大值是1，无最小值；(2)单调减区间[-1，1]，最大值是2，最小值是-2；(3)单调减区间[0，＋∞)，最大值是0，无最小值；(4)单调增区间(-∞，＋∞)，无最大值和最小值.(1) (2)(3) (4)4.因为a2+1-2a=(a-1)2≥0，所以a2+1≥2a，故f(a2+1)≤f(2a).5.(1)当a、b不全为0时，f(x)为偶函数；当a=b=0时，f(x)既是奇函数，又是偶函数；(2)奇函数；(3)f(x)既不是奇函数也不是偶函数.6.因为f(-x)=(-x)2-2|-x|-1=x2-2|x|-1=f(x)，所以f(x)是偶函数.图象如图所示.7.证明：(1)设x1＜x2≤0，则f(x1)-f(x2)=-2x12+3-(-2x22+3)=2(x1+x2)(x2-x1).因为x1+x2＜0且x2-x1＞0，所以f(x1)＜f(x2)，故f(x)在(-∞，0]上是单调增函数；(2)设x1＜x2≤0，则f(x1)-f(x2)=-x13+1-(-x23+1)=x23-x13=(x2-x1)(x12+x1x2+x22).因为x1＜x2≤0且x1x2≥0，x12＞0，x22≥0，x12+x1x2+x22＞0.而x2-x1＞0，所以f(x1)＞f(x2)，故f(x)在(-∞，0]上是单调减函数；(3)①设x 1＜x 2＜0，则f(x 1)-f(x 2)=213x --2+23x =3(21x 11x -)=2121)(3x x x x -. 因为x 1x 2＞0，x 1-x 2＜0，所以f(x 1)＜f(x 2)，故f(x)在(-∞，0)上是单调增函数； ②设0＜x 3＜x 4，则f(x 3)-f(x 4)=4343)(3x x x x -.由0＜x 3＜x 4，得x 3x 4＞0,x 3-x 4＜0，所以f(x 3)＜f(x 4)，故f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数.综上所述，f(x)在(-∞，0)和(0，＋∞)上是单调增函数；(4)①设0＜x 1＜x 2≤1，则f(x 1)-f(x 2)=x 1+11x -x 2-21x=x 1-x 2+2112x x x x -=(x 1-x 2)·21121x x x x x -. 因为0＜x 1＜x 2≤1，所以0＜x 1x 2＜1,x 1x 2-1＜0.而x 1-x 2＜0，所以f(x 1)＞f(x 2)，故f(x)在(0，1]上是单调减函数；②设1≤x 3＜x 4，则f(x 3)-f(x 4)=(x 3-x 4)·43431x x x x -.因为1≤x 3＜x 4，所以x 3x 4＞1，x 3x 4-1＞0.而x 3-x 4＜0，所以f(x 3)＜f(x 4)，故f(x)在[1，＋∞)上是单调增函数.综上所述，f(x)在(0，1]上是单调减函数，在[1，＋∞)上是单调增函数.8.因为B ＝｛-1，3，5｝，f ：x→2x -1，要组成A 到B 的映射，只要A 中的任一元素在对应法则f 下的对应元素都在B 中即可.而0→1，2→3，3→5，所以集合A 只要是｛0，2，3｝的非空子集就可以了.本题答案不唯一，共有7个.9.因为f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x)，即x 2-mx+1=x 2+mx+1恒成立，所以m=0.10.因为f(x)是R 上的奇函数，所以f(0)=f(-0)=-f(0)，所以f(0)=0.又因为x ＞0时，f(x)=1，所以x ＜0时，-x ＞0，f(-x)=1，f(x)=-f(-x)=-1.综上所述，f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧<-=>.0,1,0,0,0,1x x x11.函数的单调增区间是(-∞，＋∞)，图象如图所示.12.f(x)g(x) f[g(x)] f(x)+g(x) 增函数 增函数增函数 增函数13.略.。

映射的概念练习1．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a＋2b,2b＋c,2c＋3d,4d．例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16．当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为________．2．下列说法中正确的是__________．①对于任意两个集合A和B，都可以建立一个从A到B的映射；②对无限集A和有限集B，一定不能建立一个从A到B的映射；③对于单元素集合A和非空集合B，只能建立一个从A到B的映射；④对于非空集合A和单元素集合B，只能建立一个从A到B的映射．，则点(2,0)在f作用下3．点(x，y)在映射f下的对应元素为⎝⎭的对应元素(x，y)为__________．4．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16例如，用十六进制表示：E＋D＝1B，则A×B等于__________．5．设集合A＝{x|0≤x≤6}，B＝{y|0≤y≤2}，从A到B的对应法则__________是映射．(写出一个即可)6．已知集合M＝P＝{1,2,3,4,5}，则下列从M到P的对应关系f为映射的是__________．7．已知A＝N*，B＝{正奇数}，映射f：A→B使A中任一元素a与B中元素2a－1相对应，则在f：A→B中，A中元素9与B中元素__________对应；与集合B中元素9对应的A 中元素为__________．8．设集合A＝{a，b，c}，B＝{p，q}，那么集合A到B的不同映射最多可以有__________个．9．集合A 、B 是平面直角坐标系上的两个点集，给定从A →B 的映射f ：(x ，y )→(x 2＋y 2，xy )，求B 中的元素(5,2)所对应A 中的元素．10．现代社会对破译密文的难度要求越来越大，有一种密码把英文的明文(真实文)按两个字母一组分组(如果最后剩一个字母，则任意添一个字母，拼成一组)，例如：Wish you success ，分组为Wi ，sh ，yo ，us ，uc ，ce ，ss 得到2319252121319,,,,,,9815193519⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中英文的a ，b ，c ，…，z 这26个字母(不论大给出如下一个变换公式34.y x y ⎧⎨'=+⎩将明文转换为密文．如35⎛⎫ ⎪⎝⎭→32513334529x y '=+⨯=⎧⎨'=⨯+⨯=⎩→133⎛⎫ ⎪⎝⎭，即ce 变成mc(说明：29÷26余数为3)； 又如239⎛⎫ ⎪⎝⎭→23294132349105x y '=+⨯=⎧⎨'=⨯+⨯=⎩→151⎛⎫ ⎪⎝⎭，即wi 变成oa(说明：41÷26余数为15,105÷26余数为1)．(1)按上述方法将明文star 译成密文；(2)若按上述方法将某明文译成的密文是kcwi ，请你找出它的明文．参考答案1．解析：由题意得a ＋2b ＝14,2b ＋c ＝9,2c ＋3d ＝23，4d ＝28，解之，得d ＝7，c ＝1，b ＝4，a ＝6．答案：6,4,1,7 2．解析：紧扣映射的概念，当A ＝或B ＝时，①不正确；②也不正确，因为至少可以建立A 中的元素全与B 中某一个元素对应的映射；③的说法不正确，因B 中有n 个元素时，则可以建立n 个从A 到B 的映射；④是正确的，因为A 中的任一元素都只能和B 中的惟一元素对应．答案：④3．32303x y ++== 32301x y -+-+⨯==-． 答案：31)4．解析：A×B＝10×11＝110,110÷16＝6余14，而14在16进制中用E 表示，故A×B ＝6E ．答案：6E5．答案：f ：x →y ＝13x (不惟一) 6．解析：在(1)(4)中，集合M 中都存在元素在集合P 中找不到元素与之对应，(3)中，集合M 中的一个元素在集合P 中有两个元素与之对应，也不是映射．答案：(2) 7．解析：根据映射的定义，在f ：A →B 中，A 中元素9与B 中元素2×9－1＝17对应．在这个映射中，设A 中元素a 与B 中元素9对应，则2a －1＝9，解得a ＝5．答案：17 58．解析：8个，分别是答案：89．分析：正确理解映射的概念，合理处理字母问题是求解本题的关键．利用对应法则找到元素间的关系，建立关于x 和y 的方程组是求解的关键．解：依题可得225,2.x y xy ⎧+=⎨=⎩①②①＋2×②，得(x ＋y )2＝9， ∴x ＋y ＝±3．于是，原方程组可化为如下的两个方程组：3,2x y xy +=⎧⎨=⎩或3,2.x y xy +=-⎧⎨=⎩ 解得111,2;x y =⎧⎨=⎩222,1;x y =⎧⎨=⎩331,2;x y =-⎧⎨=-⎩442,1.x y =-⎧⎨=-⎩ ∴B 中的元素(5,2)对应A 中的元素是(1,2)，(2,1)，(－1，－2)，(－2，－1)． 10．分析：根据题中的概念和基本框架，可以进行较为深入的探索——题中所给变换公式可以人为设定，这样任意两个人之间都可以用密文交流．本题在解决时，要注意两点：一是正确运用公式，设x ′，y ′代表密文，x ，y 代表明文；二是“模取”运算——即取余运算．解：(1)将star 分组：st ，ar ，对应的数组分别为191,2018⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由2,34.x x y y x y '=+⎧⎨'=+⎩得 1920⎛⎫ ⎪⎝⎭→1922059319420137x y '=+⨯=⎧⎨'=⨯+⨯=⎩→77⎛⎫⎪⎝⎭，118⎛⎫ ⎪⎝⎭→1218373141875x y '=+⨯=⎧⎨'=⨯+⨯=⎩→1123⎛⎫⎪⎝⎭． ∴star 翻译成密文为ggkw ．(2)由2,34.x x y y x y '=+⎧⎨'=+⎩得2,3.22x x y y y x =-'+'⎧⎪⎨'='-⎪⎩将kcwi 分组：kc ，wi ，对应的数组分别为113⎛⎫ ⎪⎝⎭，239⎛⎫ ⎪⎝⎭，由2,3,22x x y y y x =-'+'⎧⎪⎨'='-⎪⎩得113⎛⎫ ⎪⎝⎭→21131933111522x y =-⨯+=-⎧⎪⎨=⨯-=⎪⎩→715⎛⎫ ⎪⎝⎭，239⎛⎫ ⎪⎝⎭→22393739233022x y =-⨯+=-⎧⎪⎨=⨯-=⎪⎩→154⎛⎫ ⎪⎝⎭． ∴密文kcwi 是由明文good 翻译来的．。

2.3映射的概念1．了解映射的概念及表示方法．(重点)2．会判断一个对应是否为映射．(难点)[基础·初探]教材整理映射的概念阅读教材P46至P47“思考”，完成下列问题．1．映射一般地，设A，B是两个非空集合，如果按某种对应法则f ，对于A中的每一个元素，在B中都有唯一的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做集合A 到集合B的映射，记为f ：A→B.2．映射与函数的关系由映射的概念可以看出，映射是函数概念的推广，特殊在函数概念中，A，B为两个非空数集．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若f 是集合A到集合B的一个映射，则A中每个元素在B中都有象，且象是唯一的．()(2)映射不一定是函数，但函数一定是映射．()(3)映射无方向性，从A到B的映射与从B到A的映射是相同的．()(4)已知f 是A到B的一个映射，其中A中含2个元素，B中含3个元素，则这样的映射共有8个．()【解析】(1)符合映射的定义，正确．(2)函数是特殊的映射，正确．(3)映射有方向性，从A到B的映射与从B到A建立的映射不同．(4)从A到B可以建立32＝9个映射．【★答案★】(1)√(2)√(3)×(4)×2．下图给出的四个对应中是从A到B的映射的是________．(填序号)【解析】①不是映射，因为元素2在B中没有元素与之对应；②是映射，满足单值对应；③不是映射，因为元素3在B中有两个元素与之对应；④是映射，满足单值对应．【★答案★】②④[小组合作型]映射的判定(1)在如图所示的对应中是A到B的映射的是________．(填序号)(2)在下列对应关系中，哪些对应法则是集合A到集合B的映射？①A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,3,4,5}，对应法则f ：“加1”；②A＝(0，＋∞)，B＝R，对应法则f ：“求平方根”；③A＝N，B＝N，对应法则f ：“3倍”；④A＝R，B＝{正实数}，对应法则f ：“求平方的倒数”；⑤A＝{平面内的圆}，B＝{平面内的矩形}，对应法则f ：A中的元素对应它的内接矩形．【精彩点拨】紧扣映射的定义进行判断，看A中元素是否均有对应元素且对应形式是多对一或一对一．【自主解答】(1)结合映射的定义，对于①②，集合A的元素在集合B中有的有两个元素与之对应，因而构不成映射，而③，④符合要求，能构成映射．【★答案★】③④(2)①集合A中的每一个元素通过关系f 作用后，在集合B中都有唯一的一个元素与之对应，显然对应关系f 是A到B的映射．②集合A中的每一个元素通过关系f 作用后，在集合B中都有两个元素与之对应，显然对应关系f 不是A到B的映射．③集合A中的每一个元素通过关系f 作用后，在集合B中都有唯一的元素与之对应，故对应关系f 是从A到B的映射．④当x＝0∈A时，1x2无意义，故关系f 不是从A到B的映射．⑤一个圆可以有多个内接矩形，故f 不是从A到B的映射．1．判断f ：A→B是否是A到B的映射，须注意两点：(1)明确集合A，B中的元素；(2)判断A中的每个元素是否在集合B中都有唯一确定的元素与之对应．2．映射须满足：A中元素不剩且一对一或多对一．3．若对应f ：A→B不是映射，只需举一个反例，说明A中的元素在B中无对应元素或A中的元素在B中有两个或两个以上的对应元素即可．[再练一题]1．判断下列对应是否是映射，是否是函数．(1)A ＝N ，B ＝N *，f ：x →|x －1|，x ∈A ，y ∈B ；(2)A ＝R ，B ＝{1,2}，f ：x →y ＝⎩⎨⎧1(x ≥0)，2(x <0)；(3)A ＝{平面M 内的三角形}，B ＝{平面M 内的圆}，对应法则是“作三角形的外接圆”．【解】 (1)∵1∈A ，在f 作用下，1→|1－1|＝0∉B ，∴不是映射，故也不是函数．(2)对于A 中元素x ≥0时与B 中的元素1对应，而当x <0时与B 中的元素2对应，因此能构成映射，又A ，B 均为数集，因此也能构成函数．(3)由于平面内的三角形都有其外接圆，且外接圆唯一，因此能构成从A 到B 的映射，但由于A ，B 都不是数集，因此不能构成函数． 映射概念的应用 给定从集合A 到集合B 的映射f ：(x ，y )→(x ＋2y,2x －y )，集合A ，B 都是平面直角坐标系内点的集合，则在该映射f 下，对应到集合B 中元素(3,1)的A 中的元素是________，若(3,1)在A 中，则(3,1)对应的B 中元素为________.【精彩点拨】 分清(3,1)在A 中还是在B 中．若(3,1)在A 中，则直接代入对应法则．若(3,1)在B 中，则可以采用方程(组)思想求解．【自主解答】 令⎩⎨⎧ x ＋2y ＝3，2x －y ＝1⇒⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1，∴B 中元素(3,1)对应A 中元素(1,1)．令x ＝3，y ＝1，则x ＋2y ＝5,2x －y ＝5，∴A 中元素(3,1)对应B 中元素(5,5)．【★答案★】 (1,1) (5,5)求对应元素的一般思路若已知A中的元素a，求B中与之对应的元素b，这时只要将元素a代入对应法则f 求解即可；若已知B中的元素b，求A中与之对应的元素a，这时需构造方程(组)进行求解即可，这时需注意解得的结果可能有多个．[再练一题]2．在映射f ：A→B中，A＝R，B＝R，且f ：x→|2x＋3|，则与B中的元素5对应的A中的元素为________，A中元素2对应的B中元素为________．【解析】令|2x＋3|＝5，∴2x＋3＝±5，∴x＝1或－4.当x＝2时，|2x＋3|＝7.【★答案★】1或－47[探究共研型]映射的个数探究1若A＝{1231试写出来．【提示】共1个映射．探究2若A＝{a1，a2，a3}，B＝{b1，b2}，则从A到B可以建立多少个映射？试写出来．【提示】共8个．探究3若A＝{a1，a2}，B＝{b1，b2，b3}，则从A到B可以建立多少个映射？试写出来．【提示】共9个．探究4从以上三个探究中，若A中有m个元素，B中有n个元素，则从A 到B可以建立的映射有多少个？【提示】从前三个探究看，A中元素个数分别为3,3,2，B中元素个数分别为1,2,3，则从A到B建立的映射个数为1,8,9，∵1＝13,8＝23,9＝32，故从A到B 建立的映射个数为n m.已知集合A＝{a，b，c}，B＝{2,3,4}，映射f ：A→B满足A 中元素a在B中对应的元素为4，则这样的映射有________个．【精彩点拨】可将问题转化为集合{b，c}向集合B建立映射的个数．【自主解答】因为A中的元素a对应B中的元素4已经确定，故所有从A 到B建立的映射便与集合{b，c}到B＝{2,3,4}建立的映射个数相同，共有32＝9个．【★答案★】91．设集合M中有m个元素，集合N中有n个元素，则从M到N共可建立n m个不同映射；从N到M共可建立m n个不同映射．2．对于有限定条件的映射个数问题，常采用列举法求解，当然也可以在已考虑已知限制条件的情况下，将问题转化为无约束条件的第1类问题．[再练一题]3．设M＝{a，b，c}，N＝{－2,0,2}，(1)求从M到N的映射个数；(2)从M到N的映射满足f (a)>f (b)≥f (c)，试确定这样的映射f 的个数．【解】(1)M中元素a可以对应N中的－2,0,2中任意一个，有3种对应方法，同理，M中元素b，c也各有3种对应方法．因此从M到N的映射个数为3×3×3＝27.(2)满足f (a)>f (b)≥f (c)的映射是从M到N的特殊映射，可具体化，通过列表求解(如下表)：f (a) f (b) f (c)0－2－22－2－220－2200故符合条件的映射有4个.1．设 f ：A→B是从集合A到集合B的映射，则下面说法正确的是________．(填序号)①A中的每一个元素在B中必有元素与之对应；②B中每一个元素在A中必有元素与之对应；③A中的一个元素在B中可以有多个元素与之对应；④A中不同元素在B中对应的元素可能相同．【解析】根据映射的定义，只有①④符合．【★答案★】①④2．以下四个对应：(1)A＝N＋，B＝N＋，f ：x→|x－3|；(2)A＝Z，B＝Q，f ：x→2x；(3)A＝N＋，B＝R，f ：x→x的平方根；(4)A＝N，B＝{－1,1,2，－2}，f ：x→(－1)x.其中能构成从A到B映射的为________．(填序号)【解析】 (1)当x ＝3时，|x －3|＝0∉N ＋，所以(1)不能构成从A 到B 的映射；(2)当x ＝0时，2x 不存在，即在B 中不存在与0对应的项，所以(2)不能构成从A到B 的映射；(3)当x ＝4时，x 的平方根为±2，即集合A 的元素4，在集合B 中有两个元素和它对应，所以(3)不能构成从A 到B 的映射；(4)当x 为偶数时，(－1)x ＝1∈B ；当x 为奇数时，(－1)x ＝－1∈B ，所以(4)能构成从A 到B 的映射．【★答案★】 (4)3．已知集合A 到B 的映射f ：x →y ＝2x ＋1，那么集合A 中元素2在B 中对应的元素是________．【解析】 将x ＝2代入y ＝2x ＋1，得y ＝5.【★答案★】 54．集合A ＝{a ，b ，c }，B ＝{d ，e }，则从A 到B 可以建立不同的映射个数为________．【解析】 从A 到B 的不同映射的个数为23＝8个．【★答案★】 85．集合A ，B 是平面直角坐标系上的两个点集，给定从A →B 的映射f ：(x ，y )→(x 2＋y 2，xy )，求B 中的元素(5,2)所对应A 中的元素.【解】 依题可得⎩⎨⎧ x 2＋y 2＝5，xy ＝2， ①②①＋2×②，得(x ＋y )2＝9，∴x ＋y ＝±3.于是，原方程组可化为如下的两个方程组：⎩⎨⎧ x ＋y ＝3，xy ＝2或⎩⎨⎧ x ＋y ＝－3，xy ＝2，解得⎩⎨⎧ x 1＝1，y 1＝2；⎩⎨⎧ x 2＝2，y 2＝1；⎩⎨⎧ x 3＝－1，y 3＝－2；⎩⎨⎧ x 4＝－2，y 4＝－1， ∴B 中的元素(5,2)对应A 中的元素是(1,2)，(2,1)，(－1，－2)，(－2，－1)．。