4.5 非线性运算与矩阵函数求值

非线性数学建模与数值计算方法在当今社会的各个领域，非线性问题无处不在。

在处理这些非线性问题时，如何建立合理的数学模型和采用高效的数值计算方法成为了一大挑战。

非线性数学建模和数值计算方法是解决这些问题的关键。

一、非线性数学建模所谓非线性数学建模，是指在一定的数学理论支持下，对于某一研究问题，建立一个非线性的数学模型，来定量描述和分析问题的复杂性质和变化规律。

常见的非线性问题如：混沌、复杂动力学、非线性光学、非线性弹性等，这些问题也常常是跨学科研究的。

在这些问题中，模型的复杂性和精确性是十分重要的，而往往传统的线性模型无法满足研究的需要。

针对这些问题，使用非线性数学建模的方法，可以通过合适的方程模型，准确地描述复杂的现象，为研究提供重要的数学工具和分析手段。

二、数值计算方法在建立好数学模型后，我们需要使用数值计算方法对模型进行求解。

数值计算是通过数值方法求解实际的数学问题。

对于非线性问题的求解，因其特殊性质，使得求解过程十分复杂和困难。

然而，在数值计算的发展过程中，已经出现了许多高效的数值求解方法，如Newton法、分裂迭代法、Galerkin法、有限元法等。

这些数值计算方法在非线性问题的求解上，具有许多优点，如高精度、高效率、可自适应等，这些都使得非线性问题的求解变得更加可行和有效。

三、多尺度问题然而，在实际研究中，非线性问题往往是多尺度的，即问题的性质在不同的尺度下有不同的行为。

为了解决这一问题，我们需要使用多尺度建模和数值计算方法。

多尺度方法是指建立一个多尺度数学模型，将问题分解成不同的尺度上，将复杂问题分解为较小的模块，降低求解的难度。

在求解过程中，可以采用多重网格方法、耦合方法等，从而提高计算效率和精度。

在处理多尺度问题时，使用多尺度建模和数值计算方法，能够更好地描述和分析问题的各个尺度的行为，同时降低模型误差，提高模拟结果的可靠性和精度。

四、总结总之，非线性数学建模和数值计算方法是解决复杂问题的重要手段。

附录Ⅰ大学数学实验指导书项目五矩阵运算与方程组求解实验1 行列式与矩阵实验目的把握矩阵的输入方式. 把握利用Mathematica 以上版本) 对矩阵进行转置、加、减、数乘、相乘、乘方等运算, 并能求矩阵的逆矩阵和计算方阵的行列式.大体命令在Mathematica中, 向量和矩阵是以表的形式给出的.1. 表在形式上是用花括号括起来的假设干表达式, 表达式之间用逗号隔开.如输入{2,4,8,16}{x,x+1,y,Sqrt[2]}那么输入了两个向量.2. 表的生成函数(1)最简单的数值表生成函数Range, 其命令格式如下:Range[正整数n]—生成表{1,2,3,4,…,n};Range[m, n]—生成表{m,…,n};Range[m, n, dx]—生成表{m,…,n}, 步长为d x.2. 通用表的生成函数Table. 例如,输入命令Table[n^3,{n,1,20,2}]那么输出{1,27,125,343,729,1331,2197,3375,4913,6859}输入Table[x*y,{x,3},{y,3}]那么输出{{1,2,3},{2,4,6},{3,6,9}}3. 表作为向量和矩阵一层表在线性代数中表示向量, 二层表表示矩阵. 例如,矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛5432 能够用数表{{2,3},{4,5}}表示.输入A={{2,3},{4,5}}那么输出 {{2,3},{4,5}}命令MatrixForm[A]把矩阵A 显示成通常的矩阵形式. 例如,输入命令:MatrixForm[A]那么输出 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛5432注:一样情形下,MatrixForm[A]所代表的矩阵A 不能参与运算. 下面是一个生成抽象矩阵的例子. 输入Table[a[i,j],{i,4},{j,3}] MatrixForm[%]那么输出⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛]3,4[]2,4[]1,4[]3,3[]2,3[]1,3[]3,2[]2,2[]1,2[]3,1[]2,1[]1,1[a a a a a a a a a a a a 注:那个矩阵也能够用命令Array 生成,如输入Array[a,{4,3}]4. 命令IdentityMatrix[n]生成n 阶单位矩阵. 例如,输入IdentityMatrix[5]那么输出一个5阶单位矩阵(输出略).5. 命令DiagonalMatrix[…]生成n 阶对角矩阵. 例如,输入DiagonalMatrix[{b[1],b[2],b[3]}]那么输出 {{b[1],0,0},{0,b[2],0},{0,0,b[3]}}它是一个以b[1], b[2], b[3]为主对角线元素的3阶对角矩阵.6. 矩阵的线性运算:A+B 表示矩阵A 与B 的加法;k*A 表示数k 与矩阵A 的乘法; 或 Dot[A,B]表示矩阵A 与矩阵B 的乘法.7. 求矩阵A 的转置的命令:Transpose[A]. 8. 求方阵A 的n 次幂的命令:MatrixPower[A,n]. 9. 求方阵A 的逆的命令:Inverse[A]. 10.求向量a 与b 的内积的命令:Dot[a,b].实验举例矩阵的运算例 设,421140123,321111111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=B A 求A AB 23-及.B A T输入A={{-1,1,1},{1,-1,1},{1,2,3}} MatrixForm[A]B={{3,2,1},{0,4,1},{-1,2,-4}} MatrixForm[B]-2A AAB 23-BA T ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----334421424141010⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----10120821444,5123641033252312⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A .1-A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1652116114581081218192829211161121162147.11111111111122222222ddd d c c c c b b b b a a a a D ++++=2222)1)()()()()()((dc b a abcd d c d b d a c b c a b a +--------,60975738723965110249746273⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=A .),(|,|3A A tr A 3),(|,|AA tr A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---12574547726668013841222451984174340410063122181713228151626315018483582949442062726,150421321,111111111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=B A 求A AB 23-及.B A '2.设,001001⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλA 求.10A 一样地?=k A (k 是正整数).3.求⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++a a a aa1111111111111111111111111的逆.4.设,321011324⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=A 且,2B A AB +=求.B5.利用逆矩阵解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++.353,2522,132321321321x x x x x x x x x实验2 矩阵的秩与向量组的最大无关组实验目的 学习利用Mathematica 以上版本)求矩阵的秩,作矩阵的初等行变换; 求向 量组的秩与最大无关组.大体命令1. 求矩阵M 的所有可能的k 阶子式组成的矩阵的命令:Minors[M,k].2. 把矩阵A 化作行最简形的命令:RowReduce[A].3. 把数表1,数表2, …,归并成一个数表的命令:Join[list1,list2,…]. 例如输入Join[{{1,0,-1},{3,2,1}},{{1,5},{4,6}}]那么输出 {{1,0,-1},{3,2,1},{1,5},{4,6}}实验举例求矩阵的秩例 设,815073*********⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------=M 求矩阵M 的秩.输入Clear[M];M={{3,2,-1,-3,-2},{2,-1,3,1,-3},{7,0,5,-1,-8}}; Minors[M,2]那么输出{{-7,11,9,-5,5,-1,-8,8,9,11},{-14,22,18,-10,10,-2, -16,16,18,22},{7,-11,-9,5,-5,1,8,-8,-9,-11}}可见矩阵M 有不为0的二阶子式. 再输入Minors[M,3]那么输出{{0,0,0,0,0,0,0,0,0,0}}可见矩阵M 的三阶子式都为0. 因此.2)(=M r例 求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----3224211631095114047116的行最简形及其秩.输入A={{6,1,1,7},{4,0,4,1},{1,2,-9,0},{-1,3,-16,-1},{2,-4,22,3}} MatrixForm[A]RowReduce[A]⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00000000100005100101矩阵的初等行变换例 用初等变换法求矩阵.343122321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛的逆矩阵.输入 A={{1,2,3},{2,2,1},{3,4,3}}MatrixForm[A]Transpose[Join[Transpose[A],IdentityMatrix[3]]]⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1112/532/3231)7,5,1,3(),5,4,3,1(),1,1,1,1(),3,2,1,1(4321==-==αααα⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000010010102001向量组的最大无关组 例 求向量组)0,5,1,2(),0,2,1,1(),14,7,0,3(),2,1,3,0(),4,2,1,1(54321=-===-=ααααα的最大无关组, 并将其它向量用最大无关组线性表示.输入Clear[A,B];A={{1,-1,2,4},{0,3,1,2},{3,0,7,14},{1,-1,2,0},{2,1,5,0}}; B=Transpose[A];RowReduce[B]⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000002/51000101102/10301非零行的首元素位于第一、二、四列,因此421,,ααα是向量组的一个最大无关组. 第三列的前两个元素别离是3,1,于是.3213ααα+=第五列的前三个元素别离是,25,1,21-于是.25214215αααα++-=实验习题1.求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=12412116030242201211A 的秩.2.求t , 使得矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=t A 23312231的秩等于2.3.求向量组)0,0,1(),1,1,1(),1,1,0(),1,0,0(4321====αααα的秩.4.当t 取何值时, 向量组),3,1(),3,2,1(),1,1,1(321t ===ααα的秩最小?5.向量组)1,1,1,1(),1,1,1,1(),1,1,1,1(),1,1,1,1(4321-=--=--==αααα是不是线性相关?6.求向量组)6,5,4,3(),5,4,3,2(),4,3,2,1(321===ααα的最大线性无关组. 并用最大无关 组线性表示其它向量.7.设向量),6,3,3,2(),6,3,0,3(),18,3,3,8(),0,6,3,1(2121=-=-=-=ββαα求证:向量组21,αα 与21,ββ等价.实验3 线性方程组实验目的 熟悉求解线性方程组的经常使用命令,能利用Mathematica 命令各类求线性方程组的解. 明白得运算机求解的有效意义.大体命令1.命令NullSpace []A ,给出齐次方程组0=AX 的解空间的一个基.2.命令LinearSolve []b A ,,给出非齐次线性方程组b AX =的一个特解.3.解一样方程或方程组的命令Solve 见Mathematica 入门.实验举例求齐次线性方程组的解空间设A 为n m ⨯矩阵,X 为n 维列向量,那么齐次线性方程组0=AX 必然有解. 假设矩阵A 的秩等于n ,那么只有零解;假设矩阵A 的秩小于n ,那么有非零解,且所有解组成一贯量空间. 命令NullSpace 给出齐次线性方程组0=AX 的解空间的一个基.例 求解线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---=++=+--=--+.0532,0375,023,02432143243214321x x x x x x x x x x x x x x x输入Clear[A];A={{1,1,-2,-1},{3,-2,-1,2},{0,5,7,3},{2,-3,-5,-1}}; NullSpace[A]那么输出{{-2,1,-2,3}}说明该齐次线性方程组的解空间是一维向量空间,且向量(-2,1,-2,3)是解空间的基. 注:若是输出为空集{ },那么说明解空间的基是一个空集,该方程组只有零解.例 向量组)7,5,1,3(),5,4,3,1(),1,1,1,1(),3,2,1,1(4321==-==αααα是不是线性相关? 依照概念,若是向量组线性相关,那么齐次线性方程组044332211='+'+'+'ααααx x x x 有非零解.输入Clear[A,B];A={{1,1,2,3},{1,-1,1,1},{1,3,4,5},{3,1,5,7}}; B=Transpose[A]; NullSpace[B]输出为{{-2,-1,0,1}}说明向量组线性相关,且02421=+--ααα非齐次线性方程组的特解例 求线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=----=++=+--=--+45322375222342432143243214321x x x x x x x x x x x x x x x 的特解.输入Clear[A,b];A={{1,1,-2,-1},{3,-2,-1,2},{0,5,7,3},{2,-3,-5,-1}}; b={4,2,-2,4} LinearSolve[A,b]输出为{1,1,-1,0}注: 命令LinearSolve 只给出线性方程组的一个特解.例 求出通过平面上三点(0,7),(1,6)和(2,9)的二次多项式,2c bx ax ++并画出其图形.依照题设条件有 ,924611700⎪⎩⎪⎨⎧=+⋅+⋅=+⋅+⋅=+⋅+⋅c b a c b a c b a 输入Clear[x];A={{0,0,1},{1,1,1},{4,2,1}} y={7,6,9}p=LinearSolve[A,y]Clear[a,b,c,r,s,t];{a,b,c}.{r,s,t} f[x_]=p.{x^2,x,1};Plot[f[x],{x,0,2},GridLines ->Automatic,PlotRange ->All];那么输出c b a ,,的值为 {2,-3,7}并画出二次多项式7322+-x x 的图形(略).非齐次线性方程组的通解用命令Solve 求非齐次线性方程组的通解.例当a 为何值时,方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++111321321321ax x x x ax x x x ax 无解、有唯一解、有无穷多解?当方程组有解时,求通解.先计算系数行列式,并求a ,使行列式等于0. 输入Clear[a];Det[{{a,1,1},{1,a,1},{1,1,a}}]; Solve[%==0,a]那么输出{{a →-2},{a →1},{a →1}} 当a 2-≠,a 1≠时,方程组有唯一解.输入Solve[{a*x +y +z ==1,x +a*y +z ==1,x +y +a*z ==1},{x,y,z}]则输出{{x →,21a + y →,21a+ z →a +21}}当a =-2时,输入Solve[{-2x+y+z==1,x -2y+z==1,x+y -2z==1},{x,y,z}]则输出{ }说明方程组无解. 当a =1时,输入Solve[{x+y+z==1,x+y+z==1,x+y+z==1},{x,y,z}]则输出{{x →1-y -z}}}说明有无穷多个解.非齐次线性方程组的特解为(1,0,0),对应的齐次线性方程组的基础解 系为为(-1,1,0)与(-1,0,1).例 求非齐次线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧-=+-+=-+-=+-+2534422312432143214321x x x x x x x x x x x x 的通解.解法1输入A={{2,1,-1,1},{3,-2,1,-3},{1,4,-3,5}};b={1,4,-2}; particular=LinearSolve[A,b] nullspacebasis=NullSpace[A]generalsolution=t*nullspacebasis[[1]]+k*nullspacebasis[[2]]+Flatten[particular]generalsolution 其通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛007/57/6107/97/1017/57/14321t k x x x x (k ,t 为任意常数)实验习题1.解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+-.024,02,032321321321x x x x x x x x x2.解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=++-.0111784,02463,03542432143214321x x x x x x x x x x x x3. 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=+-=-+-.22,3,44324314324321x x x x x x x x x x4.解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+++=-++.254,32,22432143214321x x x x x x x x x x x x5.用三种方式求方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=-+=-+=-+127875329934,8852321321321321x x x x x x x x x x x x 的唯一解.6.当b a ,为何值时,方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+++=--+-=++=+++1232)3(122043214324324321ax x x x b x x a x x x x x x x x 有唯一解、无解、有无穷多解?对后者求通解.实验4 投入产出模型(综合实验)实验目的 利用线性代数中向量和矩阵的运算, 线性方程组的求解等知识,成立在经济 分析中有重要应用的投入产出数学模型. 把握线性代数在经济分析方面的应用.应用举例假设某经济系统只分为五个物质生产部门:农业、轻工业、重工业、运输业和建筑业, 五个部门间某年生产分派关系的统计数据可列成下表1. 在该表的第一象限中,每一个部门都以生产者和消费者的双重身份显现. 从每一行看,该部门作为生产部门以自己的产品分派给各部门;从每一列看,该部门又作为消耗部门在生产进程中消耗各部门的产品. 行与列的交叉点是部门之间的流量,那个量也是以双重身份显现,它是行部门分派给列部门的产品量,也是列部门消耗行部门的产品量.表1投入产出平稳表(单位: 亿元)注: 最终产品舍去了净出口.(修改表:加双线区分为四个象限)在第二象限中,反映了各部门用于最终产品的部份. 从每一行来看,反映了该部门最终产 品的分派情形;从每一列看,反映了用于消费、积存等方面的最终产品别离由各部门提供的数 量情形.在第三象限中,反映了总产品中新制造的价值情形,从每一行来看,反映了各部门新制造 价值的组成情形;从每一列看,反映了该部门新制造的价值情形.采纳与第三章第七节完全相同的记号,可取得关于表1的产品平稳方程组y x A E =-)( (1)其中,A 为直接消耗系数矩阵,依照直接消耗系数的概念),,2,1,(n j i x x a jij ij ==,易求出表1所对应的直接消耗系数矩阵:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==⨯0603.00425.00372.00227.00371.00411.00250.00416.00240.00143.03425.02083.05013.01451.00923.00685.00417.00252.01438.00231.00329.00250.00462.02557.01709.01825110120051540620131297135101171825751200305406225312975351045182562512002505406271031294543510324182512512005054061363129450351081182560120030540625031298003510600)(55ij a A 利用Mathematica 软件(以下计算进程均用此软件实现,再也不重述),可计算出⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--11036.10739105.00982964.00672149.00637761.00884203.005447.1100805.00594445.0035022.0859487.0529259.016653.2495145.032573.0122005.00752055.00006552.020166.10492156.0132248.00874144.015254.0402651.024175.1)(1A E 为方便分析,将上述列昂节夫逆矩阵列成表2.表2下面咱们来分析上表中各列诸元素的经济意义. 以第2列为例,假设轻工业部门提供的 最终产品为一个单位, 其余部门提供的最终产品均为零, 即最终产品的列向量为 ,)0,0,0,1,0(T y =于是,轻工业部门的单位最终产品对5个部门的直接消耗列向量为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==0227.00240.01451.01438.02557.0000100603.00425.00372.00227.00371.00411.00250.00416.00240.00143.03425.02083.05013.01451.00923.00685.00417.00252.01438.00231.00329.00250.00462.02557.01709.0)0(Ay x通过中间产品向量)0(x 产生的间接消耗为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==0205373.00146768.0129979.00327974.00885192.0)0()1(Ax x , ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==0107259.000867109.00881789.00120554.00305619.0)0(2)2(x A x⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==00570305.000505222.0054254.000575796.00129491.0)0(3)3(x A x , ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==00318798.000294103.00322339.000309566.000650578.0)0(4)4(x A x于是,轻工业部门的单位最终产品对五个部门总产品的需求量为++++++=)4()3()2()1()0(x x x x x y x.0629.00553.04497.01975.13942.000318798.000294103.00322339.000309566.000650578.000570305.000505222.0054254.000575796.00129491.00107259.000867109.00881789.00120554.00305619.00205733.00146768.0129979.00327974.00885192.000010⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≈+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=其中向量x 为列昂惕夫逆矩阵1)(--A E 的第2列, 该列5个元素别离是部门2生产一个单位 最终产品对部门一、二、3、4、5总产品的需求量, 即总产品定额. 同理, 能够说明列昂节夫 逆矩阵中第一、3、4、5列别离是部门一、3、4、5生产一个单位最终产品对部门一、二、3、 4、5的总产品定额.对应于附表1的完全消耗系数矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--=-11036.00739105.00982964.00672149.00637761.00884203.005447.0100805.00594445.0035022.0859487.0529259.016653.1495145.032573.0122005.00752055.00006552.020166.00492156.0132248.00874144.015254.0402651.024175.0)(1EA E B最终产品是外生变量, 即最终产品是由经济系统之外的因素决定的, 而内生变量是由经济系统内的因素决定的. 此刻假定政府部门依照社会进展和人民生活的需要对表1的最终产品作了修改, 最终产品的增加量别离为农业2%, 轻工业7%, 重工业5%, 运输业5%, 建筑业 4%, 写成最终产品增量的列向量为,)51,5.37,15.52,09.160,4.35(T y =∆那么产品的增加量x ∆可由式(8)近似计算到第5项, 得+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+∆+∆+∆+∆+∆=∆515.3715.5209.1604.35515.3715.5209.1604.35515.3715.5209.1604.35515.3715.5209.1604.35515.375.5209.1604.35432)3()2()1()0(A A A A x x x x y x .)8033.744899.57169.238749.204083.121(T ≈其中,y A x ∆=∆)0(为各部门生产y ∆直接消耗各部门产品数量;而后面各项的和为各部门生 产y ∆的全数间接消耗的和.实验报告下表给出的是某城市某年度的各部门之间产品消耗量和外部需求量(均以产品价值计算, 单位: 万元), 表中每一行的数字是某一个部门提供给各部门和外部的产品价值.(1) 试列出投入—产出简表, 并求出直接消耗矩阵;(2) 依照预测, 从这一年度开始的五年内, 农业的外部需求每一年会下降1%, 轻工业和商业的外部需求每一年会递增6%, 而其它部门的外部需求每一年会递增3%, 试由此预测这五年内该城市和各部门的总产值的平均年增加率;(3) 编制第五年度的打算投入产出表.实验5 交通流模型(综合实验)实验目的利用线性代数中向量和矩阵的运算, 线性方程组的求解等知识,成立交通流模型. 把握线性代数在交通计划方面的应用.应用举例假设某城市部份单行街道的交通流量(每小时通过的车辆数)如图5-1所示.300 300 300+-432xxx=300+54xx=500-67xx=200+21xx=800+51xx=800+87xx=10009x=400-910xx=20010x=600++638xxx=1000⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪排版时只保留图,不要方程组图5-1试成立数学模型确信该交通网络未知部份的具体流量.假定上述问题知足以下两个大体假设(1)全数流入网络的流量等于全数流出网络的流量;(2)全数流入一个节点的流量等于流出此节点的流量.那么依照图5-1及上述大体两个假设,可成立该问题的线性方程组⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=++==+-==+=+=+=+-=+=+-1000600200400100080018002005003008631010998751217654432x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x , 即 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---100060020040010008008002005003000010100110000000001100000000010000000000110000000000010001000000001100011000000000011000000000111010987654321x x x x x x x x x x 假设将上述矩阵方程记为b Ax =,那么问题就转化为求b Ax =的全数解. 下面咱们利用 Mathmatica 软件来求解一、输入矩阵A ,并利用RowReduce[A ]命令求得A 的秩为8. 输入RowReduce[A]⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-00000000000000000000100000000001000000000011000000001010000000000110000000000100000001001000000100010=Ax 输入In[3]:=NullSpace[A]⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----00000110110011100000⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+=00000110110011100000212211C C c c ξξη21,C C 3、输入增广阵(A b ),求出其秩为8, 由,108)()(=<==n Ab r A r 知方程组有无穷多个解.输入RowReduce[Ab]⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0000000000000000000006001000000000400010000000010000011000000800001010000050000000110002000000000100000000100108000000010001b Ax =输入 LinearSolve[A,b]Out[9]={{800},{0},{200},{500},{0},{800},{1000},{0},{400},{600}}那么取得所求非齐次线性方程组的一个特解:T )6004000100080005002000800(*=ξ综上所述,咱们就取得了非齐次线性方程组b Ax =的全数解为,*2211*ξξξξη++++=C C x (21,C C 为任意常数).在解的表示式中, x 的每一个分量即为交通网络中未知部份的具体流量, 该问题有无穷 多解(什么缘故? 并试探其实际意义).本模型具有实际应用价值, 求出该模型的解, 能够为交通计划设计部门提供解决交通堵 塞、车流运行不顺畅等问题的方式, 明白在何处应建设立交桥, 那条路应设计多宽等, 为城镇交通计划提供科学的指导意见. 可是,在本模型中,咱们只考虑了单行街道如此一种简单情形, 更复杂的情形留待读者在更高一级的课程中去研究. 另外,本模型还可推行到电路分析中的 网络节点流量等问题中.实验报告请读者应用本模型的思想方式, 为你所在或你熟悉的城镇成立一个区域的交通流量模 型. 并提供一个具体的解决方案, 即从无穷多个解中依照具体限制确信出一个具体的解决方 案.。

数值分析中的线性方程组与矩阵计算数值分析是研究利用算法和计算机进行数值计算的学科。

在数值分析领域中，线性方程组与矩阵计算是一项重要的研究内容。

线性方程组的求解以及相关的矩阵计算方法对于众多科学和工程问题的解决有着至关重要的作用。

一、线性方程组的求解方法线性方程组是由一组线性方程组成的方程集合。

求解线性方程组是数值分析中的一个基本问题。

常用的线性方程组求解方法包括直接法和迭代法。

1.直接法直接法是指通过一系列的变换和运算，直接求解线性方程组的方法。

常见的直接法包括高斯消元法、LU分解法等。

其中，高斯消元法是最基本的直接法之一。

它通过逐行对方程组进行消元，将方程组转化为上三角矩阵或者简化行阶梯矩阵，最终求解出未知数的值。

2.迭代法迭代法是指通过迭代的方式逐步逼近线性方程组的解。

迭代法的求解过程需要选取一个初始值，并通过迭代公式不断更新得到更接近真实解的近似解。

常见的迭代法包括雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法、逐次超松弛法等。

其中，雅可比迭代法是最简单和最直观的迭代法之一，它通过将方程组中的每个方程变换为关于未知数的显式迭代公式进行求解。

二、矩阵计算方法在数值分析中，矩阵计算是指对矩阵进行各种运算和变换的方法。

矩阵计算在线性方程组的求解以及其它许多数值计算问题中都起到重要作用。

1.矩阵乘法矩阵乘法是矩阵计算中最基本的运算之一。

两个矩阵相乘得到的新矩阵，其元素是由两个矩阵对应元素的线性组合求得。

矩阵乘法的结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。

2.矩阵分解矩阵分解是将一个矩阵表示为两个或多个矩阵乘积的形式。

常见的矩阵分解方法包括LU分解、QR分解和奇异值分解等。

矩阵分解的目的是简化矩阵的运算和求解过程，减少计算量，提高计算效率。

3.特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量在数值分析中有着重要的应用。

特征值表示线性变换后的新向量与原向量之间的伸缩关系，而特征向量则表示特征值对应的线性变换的方向。

线性方程组与矩阵运算线性方程组与矩阵运算是线性代数中重要的基础概念和计算工具。

线性方程组的解等于矩阵运算结果的应用在各个领域中具有广泛且重要的应用，如经济学、物理学等。

本文将介绍线性方程组与矩阵运算的概念、性质以及计算方法。

一、线性方程组在研究线性方程组之前，我们先来了解线性方程的概念。

一个线性方程可以写成形如a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ = b的形式，其中x₁,x₂, ..., xₙ是未知数，a₁, a₂, ..., aₙ是已知系数，b是常数项。

一个线性方程组是由若干个线性方程组成的集合，形如：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ = bₙ其中m表示方程的个数，n表示未知数的个数。

解一个线性方程组是指找到一组数x₁, x₂, ..., xₙ使得所有的方程都满足。

二、矩阵运算矩阵运算是在线性方程组求解中的重要工具。

一个矩阵是一个由数按照一定规则排列而成的矩形阵列。

在线性方程组中，系数矩阵A是由方程组的所有系数按顺序排列形成的矩阵，常数项矩阵B是由方程组的所有常数项按顺序排列形成的矩阵，未知数矩阵X是由方程组的所有未知数按顺序排列形成的矩阵。

(此处应有矩阵的排版示例)通过矩阵的运算，我们可以将线性方程组表示为：AX = B其中A是系数矩阵，X是未知数矩阵，B是常数项矩阵。

为了求解线性方程组，我们可以通过矩阵的基本运算，如乘法、加法和求逆来计算。

三、矩阵运算的性质矩阵运算具有一些重要的性质，这些性质在线性方程组的求解中起着重要的作用。

1. 加法的交换律和结合律对于任意的矩阵A、B和C，满足以下等式：A +B = B + A(A + B) + C = A + (B + C)2. 数乘的结合律和分配律对于任意的矩阵A和数k，满足以下等式：k(A + B) = kA + kB(k + l)A = kA + lA3. 矩阵乘法的结合律对于任意的矩阵A、B和C，满足以下等式：(AB)C = A(BC)四、线性方程组的求解方法求解线性方程组可以通过矩阵运算中的逆矩阵来实现。

第六章 矩阵函数矩阵函数是矩阵理论的重要内容，它在力学、控制理论、信号处理等学科中具有重要作用．本章讨论矩阵函数——以方阵为“变量”、其“值”仍为方阵的函数．矩阵函数中最简单的是矩阵多项式，矩阵多项式是研究其他矩阵函数的基础，因为最终是通过它来定义和计算一般矩阵函数的．当然可以用收敛的矩阵幂级数来定义和计算某些矩阵函数．矩阵函数在线性微分方程组及矩阵方程的求解中都有重要的应用，而这些问题的求解是系统与控制理论中经常面临并且必须解决的实际问题．§6.1 矩阵级数定义1 设(){}k A 是m n C ⨯的矩阵序列，其中()()()k k m n ij A a C ⨯=∈，无穷和(1)(2)(3)()k A A A A +++++称为矩阵级数，记为()1k k A∞=∑．对正整数1k ≥，记()()1kk i i SA ==∑，称()k S 为矩阵级数()1k k A ∞=∑的部分和，如果矩阵序列(){}k S 收敛，且有极限S ，即()lim k k S S →∞=，则称矩阵级数()1k k A∞=∑收敛，并称S 为矩阵级数()1k k A∞=∑的和，记为()1k k A S ∞==∑．不收敛的矩阵级数称为发散的．由此定义可知，矩阵级数()1k k A ∞=∑收敛的充分必要条件是mn 个数项级数()1(1,2,;1,2,,)k ijk ai m j n ∞===∑ 都收敛．由矩阵级数的收敛性定义易知(1)若矩阵级数()1k k A ∞=∑收敛，则()lim 0;k k A →∞=(2)若矩阵级数()11k k As ∞==∑，()21k k B s ∞==∑ ，,a b C ∈，则()()121()k k k aAbB as bs ∞=+=+∑；(3)设m mP C⨯∈，n nQ C⨯∈，若矩阵级数()1k k A∞=∑收敛，则()1k k PA Q ∞=∑收敛且()()11()k k k k PAQ P A Q ∞∞===∑∑．定义2 设()1k k A ∞=∑是矩阵级数，其中()()()k k m n ij A a C ⨯=∈，如果mn 个数项级数()1k ijk a ∞=∑(1,2,;1,2,,)i m j n == 都绝对收敛，则称矩阵级数()1k k A ∞=∑绝对收敛．显然，若()1k k A ∞=∑绝对收敛，则它必是收敛的，但反之未必．定理1 矩阵级数()1k k A ∞=∑(其中()()()k k m n ij A a C ⨯=∈)绝对收敛的充分必要条件是对任何一种矩阵范数.，数项级数()1k k A ∞=∑都收敛．证 由各种矩阵范数的等价性，只须就某一种矩阵范数证明之，如考虑,max ij i jA a =．必要性()1k k A∞=∑绝对收敛，则()1k ij k a ∞=∑绝对收敛，该数项级数各项绝对值之和上方有界．今对1,2,,;1,2,i m j n == 的所有mn 个数项级数取共同上界M ，使对一切自然数N 及任意的,(1,1)i j i m j n ≤≤≤≤有()1Nk ijk aM =<∑．于是，对一切自然数N ，有()()()(),11111111max NNN m nm n Nk k k k ijijij i jk k k i j i j k Aaa a mnM =========≤=<∑∑∑∑∑∑∑∑，故此正项级数()1k k A ∞=∑收敛．充分性 若()1k k A ∞=∑收敛，则对一切,i j 有()()(),max ,1,2,k k k ij ij i ja a A k ≤==根据正项级数的比较判别法知()1k ij k a ∞=∑收敛(1,2,,;1,2,,i m j n == )，所以()1k k A∞=∑绝对收敛．定理得证．对矩阵级数也有幂级数的概念． 定义3 设n n A C ⨯∈，形如20120kk k k k c Ac E c A c A c A ∞==+++++∑的矩阵级数称为矩阵幂级数．由定理1即得如下定理． 定理2 设n nA C⨯∈，如果数项级数0kk k c A ∞=∑收敛，则矩阵幂级数0kk k c A ∞=∑绝对收敛，其中⋅是n n C ⨯上的某种相容矩阵范数．推论1 设n n A C ⨯∈，如果n n C ⨯上的某种相容矩阵范数⋅使得A 在幂级数20120kk k k k c zc c z c z c z ∞==+++++∑的收敛圆内，则矩阵幂级数0k k k c A ∞=∑绝对收敛．定理3 设n nA C⨯∈，并且幂级数0k k k c z ∞=∑的收敛半径为R ．如果()A R ρ<，则矩阵幂级数0kk k c A ∞=∑绝对收敛；如果()A R ρ>，则矩阵幂级数0k k k c A ∞=∑发散．证 设矩阵A 的Jordan 标准形为J ，即存在可逆矩阵P 使得112(,,,)s P AP J diag J J J -==成立，其中10101i iiii i i n n J λλλλ⨯⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭． 则112(,,,)k k k kk s P A P J diag J J J -== ，因此lim 0lim 0lim 0(1,2,,)k k k i k k k A J J i s →∞→∞→∞=⇔=⇔== ，而(1)11()()()()2!(1)!()()1()2!()()i n k i k i k i k i i k i k i ki k i k i k i f f f f n f f J f f f λλλλλλλλλ-⎛⎫''' ⎪- ⎪' ⎪ ⎪⎪= ⎪'' ⎪⎪' ⎪⎪⎝⎭，其中()k k f λλ=．所以1110000(,,)kk kk k k k k s k k k k c A P c J P Pdiag c J c J P ∞∞∞∞--====⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑∑∑ ， 其中1111011110100i i i i in k n kk k i k k ik k i k k k n kk i k k k k i k k k i k n n c c C c C c J c C c λλλλλ∞∞∞--+-===-∞∞-==∞=⨯⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑这里(1)(1),!0,i ki k k k k i C k i i C k i --+⎧=≥⎪⎨⎪=<⎩，则当()A R ρ<时，幂级数111,,k k k ik c C λ∞-=∑ 111(1,2,,)i i i n k n kk ik n c Ci s λ∞--+=-=∑ 绝对收敛，因此矩阵幂级数kk k c A∞=∑绝对收敛；当()A R ρ>时，则A 有某个特征值i R λ>，幂级数0kk i k c λ∞=∑发散，故矩阵幂级数0k k k c A ∞=∑发散．推论2 如果幂级数0k k k c z ∞=∑在整个平面上都收敛，则对任意n n A C ⨯∈，矩阵幂级数0k k k c A ∞=∑收敛．§6.2 矩阵函数的定义及性质受高等数学或复变函数的启发，我们可以利用矩阵幂级数来定义矩阵函数．定义4(矩阵函数的幂级数表示) 设n n A C ⨯∈，一元函数()f λ能够展开为λ的幂级数0()k k k f c λλ∞==∑，并且该幂级数的收敛半径为R ．当A 的谱半径()A R ρ<时，则将收敛矩阵幂级数0kk k c A ∞=∑的和定义为矩阵函数，记为()f A ，即0()k k k f A c A ∞==∑．因为当z <+∞时，有21112!!z n e z z z n =+++++ ； 3521111sin (1)3!5!(21)!n n z z z z z n +=-+-+-++ ； 242111cos 1(1)2!4!(2)!n nz z z z n =-+-+-+ ； 则由推论2知，对任意n n A C ⨯∈，矩阵幂级数2112!!n E A A A n +++++ ；3521111(1)3!5!(21)!n n A A A A n +-+-+-++ ； 242111(1)2!4!(2)!n n E A A A n -+-+-+ 都是收敛的．它们的和分别记为A e ，sin A ，cos A ．通常称A e 为矩阵指数函数，sin A 和cos A 为矩阵三角函数，对方阵A 的这三种函数，容易验证下列性质．对任意,n n A B C ⨯∈，,k l C ∈，有 (1)()kA lA k l A e e e +=； (2)1()A A e e --=；(3)当AB BA =时，A B B A A B e e e e e +==；(4)()AtAt At d e Ae e A dt ==； (5)(sin )cos()cos()dAt A At At A dt ==⋅； (6)(cos )sin sin dAt A At At A dt=-=-⋅． 利用定理3和推论2定义矩阵函数，其实质就是先将函数()f z 展开成z 的收敛幂级数，再将z 代以矩阵A 来定义矩阵函数()f A ，但这个条件比较强，一般不易满足．下面我们拓宽矩阵函数的定义．对矩阵n n A C ⨯∈，假定存在n 阶可逆矩阵P 使得11(,,)s P AP J diag J J -== ， (1)其中i J 是前面定义的Jordan 块，则对任意多项式()g λ，有111()()((),,())s g A Pg J P Pdiag g J g J P --== ， (2)(1)11()()()1!(1!)()()1()1!()i i in i i i i i i i i n n g g g n g g J g g λλλλλλ-⨯⎡⎤'⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ．(2)式表明，()g A 与A 的Jordan 标准形结构以及()g λ在A 的特征值处的函数值与各阶导数值有关．定义5 设矩阵A 的最小多项式为()()()()t mt mm λλλλλλλϕ---= 2121，即说A 之所有不同特征根为t λλλ,,,21 ，它们作为最小多项式()λϕ的根，其重数依次为t m m m ,...,,21．我们把A 的所有不同特征根连同它们在最小多项式中根的重数称为A 的谱．记为()()(){}t t m m m ,,,,,,2211λλλ ．定义6 对任意函数()f λ，如果(1)(),(),,(),i m i i i f f f λλλ-' 1,2,i t =都存在，则称()f λ在A 的谱上有定义，并称(1)(),(),,(),i m i i i f f f λλλ-' (1,2,,i t = )为()f λ在A 的谱上的值．定义7 如果两个多项式()λf ，()λg 在A 的谱上有相同的值，即()i f λ=()i g λ，()i f λ'=()()()()()t i g f g i m i m i i i ,,2,1,,,11 =='--λλλ则说()λf 与()λg 在A 的谱上一致．例1 设A 的最小多项式为()()()423--=λλλϕ，则多项式()()()35423++--=λλλλf 与()()()35424++--=λλλλg在A 的谱上一致．[)2('')2(''),2(')2('),4()4(),2()2(g f g f g f g f ====]定理4 对于方阵A 及多项式()λf ，()λg ，()()f A g A =的充分必要条件是()λf 与()λg 在A 的谱上一致．证 设A 之最小多项式为()()()()t mt mm λλλλλλλϕ---= 2121，记 ()()()λλλg f h -=．必要性 ()()A g A f =即()0=A h ，则()λh 是A 的化零多项式，于是()()λλϕh |，即有多项式()λq 使()()()()()()()t mt mm q q h λλλλλλλλϕλλ---== 2121．由于()λh 中至少含有i λλ-的i m 次方幂，对()λh 逐次求导必有()()()()0,,0,01=='=-i m i i i h h h λλλ ， (3)即()()()()()()()()t i g f g f g f i m i m i i i i i i ,2,1,,,,11=='='=--λλλλλλ (4) 可见()λf 与()λg 在A 的谱上一致．充分性 若()λf 与()λg 在A 的谱上一致，则(4)式成立．由()λh 在i λλ=处的Taylor 展式()2()()()()'()()''()()2!!i i m m i i i i i i i i h h h h h m λλλλλλλλλλλ-=+-+++-+ ，前i m 项为0，可知i λλ-至少是()λh 的i m 重因式．注意t λλλ,,,21 互异，从而()λϕ必是()λh 的因式，即有多项式()λq 使()()()λλϕλq h =，又()0=A ϕ，因而()0=A h ，()()A g A f =．现在利用多项式给出矩阵函数的另一种定义． 定义8 设矩阵n n A C ⨯∈的最小多项式为()()()()tm t m m λλλλλλλϕ---= 2121，函数)(λf 在A 的谱上有定义．如果存在在A 的谱上与()f λ一致的多项式()g λ，即),()(i i g f λλ=)(')('i i g f λλ=)()(,,)1()1(i m i m i i g f λλ--= (1,2,,i t = )，则定义矩阵函数()f A 为()()f A g A ≡．§6.3 矩阵函数的计算方法矩阵函数的计算问题，是矩阵在应用中的关键问题．矩阵函数的计算是相当复杂的，例如，简单的矩阵函数101A 就要计算100次矩阵A 的乘积；若A 是5阶方阵，则要进行22500次加法和乘法运算．因此，研究如何方便地计算矩阵函数是非常有意义的．本节将讨论四种计算方法．一、递推公式计算法设()f E A λλ=-，根据Cayley-Hamilton 定理知，()0f A =，由此可得A 的递推关系式，从而计算给定的矩阵A 的函数．例1 设4阶方阵A 的特征值为,,0,0ππ-，求sin ,cos A A 解 设A 的特征多项式222422()()f λλλπλλπ=-=-． 由()0f A =，得4220A A π-=，即422A A π=．因此5423A A A A π==，752254A A A A A ππ===，9724563A A A A A ππ===，…………21(21)33223k k k A A A ππ++--==，…………从而357211111sin (1)3!5!7!(21)!k k A A A A A A k +=-+-++-+ 324221111((1))3!5!7!(21)!k k A A k πππ-=+-+-++-++ 335731111()3!5!7!A A ππππππ⎡⎤=+-+-+-+⎢⎥⎣⎦ 331(sin )A A πππ=+-+ 321A A π=-．同理可得242111cos (1)2!4!(2)!k k A E A A A k =-+-+-+ 222E A π=-．二、利用Jordan 标准形的计算法由递推公式计算法知，若A 是有限阶方阵，则由矩阵幂级数定义的矩阵函数()f A 与矩阵A 的某一多项式相等．因此，对给定的有限阶方阵A ，计算()f A 的问题，就是计算矩阵多项式的问题，因而关键是计算m A 的问题，下面就A 为各种不同矩阵情况下的计算问题进行讨论．(1)A 为对角矩阵设12n a a A a ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则12n m m m m a a A a ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭． (2)A 为对角形分块矩阵设12k A A A A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中12,,,kA A A 为A 的子方阵，由于分块矩阵的乘积与矩阵乘积类似，故对上述分块矩阵A ，有12k m m m m A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭． (3)A 为一般矩阵由于对任意方阵，总有A 的Jordan 标准形J 及满秩方阵P ，使得1A PJP -=，因此1m m A PJ P -=．若12s J J J J ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， (1) 其中111i ii ii i n n J λλλ⨯⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭，1,2,,i s = ． (2) (1,2,,)i i s λ= 为A 的i n 重特征根，且12s n n n n +++= ，则1211s mmm m m J J A PJ P P P J --⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦．由上述讨论知，对一般的n 阶方阵A ，要计算m A ，实质上是计算A 的Jordan 块i J 的函数i m J ，并且通过上述(1)、(2)、(3)的讨论可知，A 的多项式及A 的幂级数的计算问题亦可化为计算A 的Jordan 块的函数．(4)计算Jordan 块i J 的函数()i f J设111i ii i k kJ λλλ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ，令010110i k k H ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ，则 i i i J E H λ=+，即 i i i H J E λ=-，又2001100i k kH ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ，3000101000i k kH ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ，… …0p i H =，()p k ≥．设函数()f λ在i λ处的Taylor 展开式为()0()()()!m m i i m f f m λλλλ∞==-∑，则2()()()()()()1!2!i i i i i i i i f f f J f E J E J E λλλλλ'''=+-+-+ ()()()!m m i i i f J E m λλ+-+(1)21()()()()01!2!(1)!i k k i i i i i i f f f f E H H H k λλλλ--'''=+++++-(1)()()()()2!(1)!()2!()()k i i i i i i i f f f f k f f f λλλλλλλ-''⎛⎫' ⎪- ⎪⎪ ⎪='' ⎪ ⎪ ⎪' ⎪ ⎪⎝⎭．由上述讨论可知，对于给定的一般矩阵A 及函数()f λ，计算()f A 的步骤如下：第一步，经过相似变换将A 化成A 的Jordan 标准形J ，并求相似的变换矩阵P ，使得1A PJP -=，其中J 与i J 如(1)、(2)式；第二步，计算()f J12()()()()k f J f J f J f J ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 其中(1)(2)()()()()2!(1)!()()0()()(2)!000()i i n i i i i i n i i i i i i f f f f n f f J f f n f λλλλλλλλ--⎡''⎤'⎢⎥-⎢⎥⎢⎥'=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦；第三步，计算()f A1()()f A Pf J P -=．例2 设n n A C ⨯∈，它的Jordan 标准形为12s J J J J ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 其中 111i ii ii i n n J λλλ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，1,2,,i s = ， 且1A PJP -=，试写At e ．解 此时()t f e λλ=，()t f te λλ'=， …………(1)1()i i n n t f t e λλ--=，1211k J tJ tAt Jt J t e e e Pe P P P e --⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 其中122112!(1)!10(1,2,,).(2)!00i i i i i i i i i i i i itt t n t i ttn t J ti t n n e te t e t e n e te t e e i s n e λλλλλλλλ--⨯⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥==⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦例3 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=221111122A ，求At e ，sin At ．解 令()t e f λλ=，()sin g t λλ=．求得A 的Jordan 标准形为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111121J J J ． 再求相似的变换矩阵P ．设1123(,,),,,P P AP J AP PJ ηηη-===使则即()()123123110,,,,010001A ηηηηηη⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭123,,ηηη应满足1121233A A A ηηηηηηη=⎧⎪=+⎨⎪=⎩即13,ηη是()0A E x -=两个线性无关的解．解1211210121x -⎛⎫⎪--= ⎪ ⎪--⎝⎭，同解方程组12320x x x +-=，令23,x x 分别取(1,1),(0,1)，得得13111,011ηη-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，便有101100111P -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，计算出1010121110P -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭．于是()()()()1112At f J e f A Pf J P P P f J --⎛⎫===⎪⎝⎭ 1)1()1()1()1(-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛'=P f f f f P⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0111210100000111001101t t t te e te e ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----+=t t t t t t t t t e t 122121． 1sin ()()At g A Pg J P -==101sin cos 0010cos sin 2cos cos 1000sin 0121cos sin 2cos cos 11100sin 110cos 2cos cos sin t t t t t tt t t t t t t t t t t t t t t t t t t -+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪=--=---⋅ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭三、拉格朗日——西尔维斯特(Lagrange-Sylvester)插值多项式表示法给定方阵A 及在A 的谱上有定义的函数()λf 时，按照定义，对任一在A 的谱上与()λf 一致的多项式()λg ，都可由()g A 给出()A f ．而这样的()λg 有无穷多个，拉格朗日—西尔维斯特插值多项式()p λ就是其中一个，它的次数比A 的最小多项式次数还低．设n 阶矩阵A 的最小多项式为()()()()tm t m m λλλλλλλϕ---= 2121 (3)n m m m m t ≤=+++ 21．为找到一个次数比()λϕ低的多项式()p λ在A 的谱上与()λf 一致，我们设想将真分式()()λϕλp 展开为部分分式()()()()()∑=--⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-++-+-=tk k m k m k k m k k k k k a a a p 11,110λλλλλλλϕλ ． (4)为求出待定系数,,,,1,10-k m k k k a a a 以()k mk λλ-乘(4)式两端并按()k λλ-的升幂排列加以整理有()()()()()()k k k mk m k m k k k k k q a a a p λλλλλλλλϕλ-+-++-+=--11,10 (5)其中()()()km k k λλλϕλϕ-=()()()()111111k ktmm m mk k t λλλλλλλλ-+-+=----()()()(),10111l l l tl m l l m m l l l l l k a a a q λλλλλλλ--=≠⎡⎤=+++⎢⎥---⎢⎥⎣⎦∑ ()λq 是λ的一个有理函数，在k λλ=处有定义且多次可导．今对式(5)两端逐次求导()()()()()21,2112----++-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡k k m k m k k k k k k a m a a p d d λλλλλϕλλ ()()[]k mk q d d λλλλ-+， ()()22k p d d λλϕλ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦()()()()323,12!3!12k k m k k k k k k m k a a m m a λλλλ--+-++--- ()()[]k mk q d d λλλλ-+22，……………()()()()()[]kk k k k k m k m m m k k k m m q d d a m p d d λλλλλϕλλ-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----111,11!1． 上述各等式之左端出现的无非是()()λλϕp k ,及它们的各阶导数，各式右端最后一项都有()k λλ-的正整数方幂作为因式．今在上述各式及(5)式中令k λλ=，并注意()()()()()0,1,2,,1l l k k k p f l m λλ==- ，则有()()()(),k kiiii k k p f d d d d λλλλλλλϕλλϕλ==⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 从而得 ()()k k k k f a λϕλ=0，()()kk k f d d a λλλϕλλ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1， ()()k k k f d d a λλλϕλλ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=222!21， ……()()()t k f d d m a kk k k k m m k m k ,,2,1,!11111, =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==---λλλϕλλ． (6)将上述系数代入(4)即可得()()()()(),10111k k k tk m k k m m k k k k a a a p λϕλλλλλλλ--=⎡⎤=+++⎢⎥---⎢⎥⎣⎦∑ ， 或()()()()101,11k k tm k k k k m k k k p a a a λλλλλϕλ--=⎡⎤=+-++-⎣⎦∑ ．这就是所求的拉格朗日——西尔维斯特插值多项式(简记为L-S 多项式)，它与()λf 在A 的谱上一致且其次数显然少于()λϕ(至少要少一次)．于是()()()()()101,11k k tm k k k k m k k k f A p A a E a A E a A E A λλϕ--=⎡⎤==+-++-⎣⎦∑ ． (7)例4 用拉格朗日－西尔维斯特插值多项式表示方法求例3中的At e ． 解 设()t e f λλ=，由A 的若当标准形知A 的最小多项式为()()21-=λλϕ，()λf 在A 的谱上有定义，特征根11=λ，并且()11=λϕ．拉格朗日－西尔维斯特插值多项式应为()()[]()λϕλλ111101-+=a a p ，按(6)式有()()t t t te e d d a e f a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡====1)(,11111110λλϕλϕλ，故()()1t t p e te λλ=+-．于是()()()At t t e f A p A e E te A E ===+-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=121121121tt tt te e e e ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----+=t t t t tt t t t e t 122121． 例5 已知4156142153A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，求ln A ．解 2415610014201015300(1)E A λλλλλλ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-+-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭．故1111J ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭为A 的Jordan 标准形，且A 最小多项式为2(1)λ-．设()ln f λλ=，则()f λ在A 的谱上有定义．特征根11λ=，并且1()1ϕλ=．设L-S 多项式[]10111()(1)()p a a λλϕλ=+-101111(1)0(1)[ln ]1f a da d λϕλλ=====故()1p λλ=-．所以3156ln ()()152152A f A p A A E -⎛⎫⎪===-=- ⎪ ⎪-⎝⎭．例6 已知1000112000002021A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求矩阵函数A ． 解 求得A 的最小多项式2()(1)ϕλλλ=-．令()f λλ=，则()f λ在A 的谱上有定义．L-S 多项式为10120212()()[(1)]()p a a a λϕλλϕλ=++-，其中21()(1)ϕλλ=- ，2()ϕλλ=；102100()0()(1)f a λλλλϕλλ=====-，20211()1()f a λλλλϕλλ===== ，23211111122d a d λλλλλ-==⎡⎤==-=-⎢⎥⎣⎦ ．于是 11()1(1)(3)22p λλλλλ⎡⎤=--=-⎢⎥⎣⎦．便有2000124011()()(3)0000222042A f A p A E A A ⎛⎫⎪⎪===-=⎪⎪⎝⎭． 四、待定系数法按矩阵函数的定义8只需求出多项式g ()λ，使得()()i i f g λλ= ，(1)(1)()(),,()(),i i m m i i i i f g f g λλλλ--''== (8)1,2,,i t = ，设A 的最小多项式为(3)式，由于()f λ在A 的谱上给定，从而确定了m 个条件，因此，可用这m 个条件确定()g λ的系数．即令210121()m m g a a a a λλλλ--=++++ (m 为A 的最小多项式的系数)，则由条件(8)列出方程组，解出011,,,m a a a - 从而求出()g λ，进而计算()()f A g A =．例7 使用待定系数法求例5中的ln A ．解 由例5知A 的最小多项式为2()(1)ϕλλ=- ，特征值11λ=是2重根， 令01()g a a λλ=+ ，由于()ln f λλ= ，且11()()f g λλ=，11()()f g λλ''= ， 故011ln101a a a =+=⎧⎨=⎩ 于是解得01a =-，11a =，从而3156()ln ()152152f A A g A E A -⎡⎤⎢⎥===-+=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦．例8 使用待定系数法求例6中的A ．解 A 的最小多项式为2()(1)ϕλλλ=- ．特征值 10λ=是单根，21λ=是二重根．令2012()g a a a λλλ=++ ．由于()f λλ=，且11()()f g λλ= ，22()()f g λλ= ，22()()f g λλ''=故00121201122a a a a a a=⎧⎪⎪=++⎨⎪=+⎪⎩，于是解得0120,3,21.2a a a =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎩ 从而 231()()22f A A g A A A ===-200012401000022042⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦．*§6.4 矩阵函数应用举例运用矩阵函数与矩阵微积分理论可以求得某些微分方程组，也可以求解某些矩阵的微分方程．考虑一阶线性微分方程组1111122112211222221122(),(),()n n n n n n n nn n n dx a x a x a x f t dt dx a x a x a x f t dtdx a x a x a x f t dt⎧=++++⎪⎪⎪=++++⎪⎨⎪⎪⎪=++++⎪⎩ (1)其中t 为自变量，()ij ij a a t =(,1,2,,)i j n = ，()i f t (1,2,,)i n = 都是t 的已知函数，()(1,2,,)i i x x t i n == 是t 的未知函数．若记()()12,,,,()[()]Tn ij n n x t x x x A t a t ⨯== ，则方程组(1)可改写为如下的微分方程()()()()dx t A t x t f t dt=+ (2) 如设微分方程组(1)的初始条件为1010202000(),(),...,()n n x t x x t x x t x ===， (3)可以表示成0010200()(,,,)T n x t x x x x == ， (4) 则成为一般的初值问题．定理5 设A 是n 阶常数矩阵，则一阶线性常系数微分方程组的初值问题00()(),().dx t Ax t dtx t x ⎧=⎪⎨⎪=⎩ (5) 有且仅有唯一解0()0A t t x e x -=． (6)证 将0()(1,2,,)i x t i n t t == 在处展开成幂级数2000001()()()()()(),2i i i i x t x t x t t t x t t t '''=+-+-+ ！从而有2000001()()()()()().2x t x t x t t t x t t t '''=+-+-+ ！因为002200002()(),()()(),t t t t t t dx d x dx t A x t x t Ax A x t dt dt dt ==='''===== ，于是[]02()00001()()()()()2!A t t x t E A t t A t t x t e x t -⎧⎫=+-+-+=⎨⎬⎩⎭，这说明初值问题(5)的解必有0()0()A t t x t e x -=的形式．另一方面，由于000()()()000[]()()A t t A t t A t t dx d d e x e x Ae x Ax t dt dt dt---====． 因此，初值问题(5)的唯一解为(6)．定义9 设A 是n 阶常数矩阵，如果对任意的0t 和0x ，初值问题(5)的解()x t 都满足lim ()0,t x t →∞=则称微分方程组()dxAx t dt=的解是渐近稳定的． 微分方程组()dxAx t dt=解的渐近稳定性是系统与控制理论的基本问题，对此有如下结果．定理6 对任意的0t 和0x ，初值问题(5)的解()x t 渐近稳定的充分必要条件是矩阵A 的特征值都有负实部．证 必要性 采用反证法．假若矩阵A 有一个特征值111i λαβ=+满足10α≥，设i x 是对应于特征值1λ的特征向量，则111Ax x λ=由定理5知，初值问题1()(0)dxAx t dtx x ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 的解为1111111()(cos sin )t t At x t e x e x e t i t x λαββ===+．因为10,α≥则lim ()0t x t →+∞≠，这与必要性的假设矛盾．因此A 的特征值都有负实部．充分性 对任意的0t 和0x ，初值问题(5)的解为0()0()A t t x t e x -=．如果矩阵A 的特征值都有负实部，则0()lim 0A t t t e -→+∞=，故lim ()0t x t →+∞=，即初值问题(5)的解()x t 渐近稳定．定义10 设A 是n 阶矩阵，如果A 的特征值都有负实部，则称A 为稳定矩阵．由定理6和定义10知，初值问题(5)的解()x t 渐近稳定的充分必要条件是矩阵A 为稳定矩阵．例1 求微分方程组1221,.dx x dtdx x dt⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ (7) 满足初始条件12(0)1,(0)1x x ==- (8)的解．解 (7)、(8)即0(0)dxAx dt x x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，其中001,(1,1)10TA x ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭．A 之特征方程2()1f λλ=+，由Cayley-Hamilton 定理知()0f A =，即2A E =-．进而便有3456,,,,A A A E A A A E =-===- ，故()∑∞=--++--+==065432!6!5!4!3!2!k kAtE t A t E t A t E t tA E k At eA t t t E t t t ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-= !5!3!6!4!2153642()c o s s i nc o s (s i n )s i n c o stt t E t A t t ⎛⎫=+=⎪-⎝⎭． 由定理5可知原问题的解为()0cos sin sin cos At t t x t e x t t -⎛⎫== ⎪--⎝⎭．定理7 设A 是n 阶常数矩阵，则微分方程组初值问题()()()()00dx t Ax t f t dt x t x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩(9) 的解为()()()000A t t At A tx t e x e e f d t τττ--=+⎰，或写成()()()()000A t t A t t x t ex e f d t τττ--=+⎰． (10)证 首先有()[]()()()dtt dx e t x A e t x e dt d At At At ---+-= ()()()t f e t Ax dt t dx e At At --=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=将上式在],[0t t 上积分，得()()00A A t t d e x d e f d t t d τττττττ--⎡⎤=⎣⎦⎰⎰，即 ()()()000At At A te x t e x t ef d t τττ----=⎰．于是()()000[]At At A t x t e e x e f d t τττ--=+⎰()()000A t tAt A t e x e e f d t τττ--=+⎰．例2 已知()2022110031,0,02130t t e A f t x te ⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，在()∞+∞-上解初值问题()()()()00x t Ax t f t x '=+⎧⎪⎨=⎪⎩． 解 其解为()()()()()00ttt At A tAx t e x ef d e f d ττττττ--=+=⎰⎰，A 的最小多项式为()()422--λλ，故设()t e λϕλ=，2012()g a a a λλλ=++．由t e λ与()g λ在A的谱{}(2,2),(4,1)上一致，由待定系数法可定出220221222(4),(13),1(12).4t t t t t t a e e t a e e t a e e t ⎧=-⎪⎪=-++⎨⎪=--⎪⎩ 所以222221(4)(13)(12)4tA t t t t e e e t E e t A e t A ⎡⎤=-+-+++--⎢⎥⎣⎦．()2()2()22()211()[(4())0()13())0t A t t t t e f e e t e e t e A ττττττττττ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222()1(12())0]4t e A e t ττττ-⎛⎫⎪+--- ⎪ ⎪⎝⎭22222222222244133004433t t t t t t e e t e e t e e A e e t e e t τττττττττττττ----⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+-++-⎝⎭⎝⎭22222221220422t tt e e t e A e e t τττττττ--⎛⎫--+ ⎪+ ⎪ ⎪--+⎝⎭． 积分得22()20231222()()0124423t tt A tt e t x t e f d e e t t τττ-⎛⎫-- ⎪ ⎪==+ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪⎝⎭⎰222222222322313122222004114422244222t t t tt t e t e t t t e e A A e t t t e t t t ⎛⎫⎛⎫-+++--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++++---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭将211031213A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，264628610410A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭代入并化简得2212222322331388443333()884433338844t t t t e t t x x t x e e t t x e t t ⎛⎫-+- ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==-+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪--+ ⎪⎝⎭．习 题 六1、讨论下列矩阵幂级数的敛散性．1)kk k∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1231711； 2)kk k k∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--012816． 2、设nn CA ⨯∈，证明：Neumann 级数∑∞=0k kA收敛的充要条件是1)(<A ρ，且其和为1)(--A E ．3、设A 为3阶方阵，可逆矩阵P 使⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-3211λλλAP P ， 求A e Acos ,及A sin ．4、已知多项式43()21p λλλλ=-+-与矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=311111002A ，计算(),Ap A e ．5、已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=5113A 求A 及Ae ．6、已知⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=12121210201A ， 求At e ．7、知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1010100014πA ，求A sin ． 8、设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1221A ，求Ate ． 9、已知矩阵210100212A ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭试求矩阵函数)(A f 的Lagrange-Sylvester 内插值多项式表示，并用其计算矩阵函数A e tA πsin ,．10、已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=121)(,101024012te t b A ．1)求Ate ．2)用矩阵函数方法求微分方程()()()dx t Ax t b t dt=+满足初始条件T x )1,1,1()0(-=的解．。

第一讲 矩阵运算性质及其应用矩阵是数学中的一个重要容，它是继数值这个运算对象之后，人们研究的又一个新的运算对象，也是处理线性模型的重要工具.矩阵的运算，到目前为止，人们已经研究了几十上百种.在这一讲中，我们复习学习过的其中10种，包括加法、减法、数乘、乘法、乘方、转置、共轭、行列式、伴随和求逆.学习矩阵运算，重点有两方面：运算的条件和性质.而运算需要的条件和数值运算是大不一样的.一 矩阵的概念及其运算方法首先，我们复习矩阵的概念及其运算方法.定义1 由m n ⨯个数字ij a 〔1,2,,i m =，1,2,,j n =〕排成的m 行n 列的数表，称为一个m 行n 列矩阵，简称为m n ⨯型矩阵.通常用圆括号或方括号括起来表示矩阵数表是一个整体，并用大写字母表示，即111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭位于矩阵A 的第i 行第j 列的数字ij a ，称为A 的(,)i j 元素，简称(,)i j 元.以ij a 为(,)i j 元的矩阵可简记作()ij a .m n ⨯型矩阵A 也记作m n A ⨯或m nA ⨯.m n =时，n n ⨯型矩阵A 也称为n 阶矩阵，记作n A .两个矩阵的行数相等，列数也一样时，称为同型矩阵.两个矩阵A 与B 是同型矩阵，且它们的对应位置上的数字元素都相等，就称这两个矩阵A 与B相等，记作A B =.有一些矩阵的元素分布比拟特殊，我们用专门规定的记号来表示，如 零矩阵O ，它的元素全为0.要注意，不同型的零矩阵是不同的. 单位矩阵E 〔也记作I 〕，它是对角线元素都为1，其余元素都为0的方阵.对角矩阵()1212diag ,,,=n n λλλλλλ⎛⎫⎪⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭〔与行列式中一样，不写出的元素就是0〕.下面，我们来复习矩阵的10个运算方法.定义2 设两个矩阵()ij m n A a ⨯=和()ij s t B b ⨯=，①A 与B 能相加、减的条件是：A 与B 同型，即m s =且n t =. ②A 与B相加的和记作A B +，A 与B 相减的差记作A B -.运算方法规定为111112121121212222221122+++⎛⎫ ⎪+++ ⎪+= ⎪⎪+++⎝⎭n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b111112121121212222221122---⎛⎫ ⎪--- ⎪-= ⎪⎪---⎝⎭n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b根据定义，矩阵的加减就是对应位置上数字的加减.例如23342334575710517067++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1233132(3)2543244234212112211213-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭定义3数k 与矩阵()ij m n A a ⨯=相乘的积记作()=kA Ak .运算方法规定为()⨯=ij m nkA ka例如23452535410152053105(3)51501550-⨯-⨯-⨯---⎛⎫⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪ ⎪--⨯--⨯-⨯-⎝⎭⎝⎭⎝⎭定义4 设两个矩阵()ij m n A a ⨯=和()ij s t B b ⨯=，①A 与B 能相乘的条件是：n s =. ②A 与B相乘的积记作AB .运算方法规定为AB 的(,)i j 元1122=+++i j i j in nj a b a b a b即A 的第i 行各元素与B 的第j 列对应元素的乘积之和为AB 的(,)i j 元.例如312322314772⎛⎫-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭233(2)(2)72133(2)(2)134(2)7711437(2)⨯+⨯-+-⨯⨯+⨯+-⨯-⎛⎫= ⎪⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯-⎝⎭1415441-⎛⎫= ⎪-⎝⎭定义5 设矩阵A 为m n ⨯型，①A 能乘方的条件是：m n =即A 为方阵. ②k 为非负整数，A 的k 次幂记作k A .运算方法规定为1,0,1,2-=⎧⎪==⎨⎪≥⎩kk E k A A k A A k ，例如32232323313131⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭232323()313131⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭1332331031⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭ 3536361⎛⎫= ⎪-⎝⎭定义6 将矩阵A 的行与列互换，得到的矩阵，称为A 的转置.记作'A 或T A ，即111212122212⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭n n m m mn a a a a a a A a a a 时，112111222212⎛⎫ ⎪ ⎪'= ⎪ ⎪⎝⎭m m nnmn a a a a a a A a a a例如345123⎛⎫= ⎪⎝⎭A 时，314253⎛⎫⎪'= ⎪ ⎪⎝⎭A定义7 设矩阵()ij m n A a ⨯=，①A 可取行列式的条件是：m n =即A 为方阵. ②A 的行列式即=ijA a .例如341200111⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A 时，21341412002(1)611111+==⨯-=--A注：矩阵A 与行列式A 是完全不同的对象.矩阵A 是一数表，不是数，而行列式A 就是数.记号上，矩阵只能用圆括号或方括号，而行列式一定要用一对平行线.定义8 设矩阵()ij m n A a ⨯=，①A 能取伴随的条件是：A 为方阵且2m n =≥. ②A 的伴随记作*A ，并称为A 的伴随矩阵. 运算方法规定为1121112222*12⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭n n nnnn A A A A A A A A A A即在A 中将每个元素换成它的代数余子式后，再转置.例如*-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭a b d b c d c a *123005111264200241-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭222312131213323332332223*111213212311131113212223313331332123313233212211121112313231322122⎛⎫- ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪- ⎪⎝⎭a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 定义9 设矩阵()ij m n A a ⨯=，①A 可逆的条件是：A 为方阵且0A ≠. ②A 的逆记作1-A ，并称1-A为A 的逆矩阵运算方法规定为2=≥m n 时，1*1-=A A A；1==m n 时，即一阶方阵的逆111111()-=a a .当方阵A 可逆的条件不满足，即0A =时，常说A 不可逆或A 是奇异矩阵。

矩阵运算：高效地求解线性方程组和矩阵特征值的算法矩阵运算一直是数学和工程领域的基础，它涉及到大量的线性代数和数值计算的内容。

线性方程组和矩阵特征值的计算是矩阵运算中最为基础和常用的问题，其解法的高效性和精度直接影响到许多领域的应用。

在本文中，我们将介绍一些当前主流的算法，探讨如何高效地求解线性方程组和矩阵特征值。

一、线性方程组的求解线性方程组的求解一般涉及到高斯消元法、LU分解法、Cholesky 分解法、QR分解法、SVD方法等多种算法。

其中，LU分解法和Cholesky分解法是针对对称矩阵而言的，QR分解法和SVD方法是求解一般非对称矩阵的方法。

1. 高斯消元法高斯消元法是最为基本的求解线性方程组的方法。

它通过逐步消元，将系数矩阵转化为上三角矩阵，最终求解出未知量。

高斯消元法的优点在于简单易懂，但其缺点也很明显，一旦矩阵的规模增大，其计算量极大，不仅计算时间长，而且精度容易出现问题。

2. LU分解法LU分解法是将系数矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，然后通过回代法求解出未知量。

其优点在于可以避免重复消元，提高计算效率。

而且在求解多个具有相同系数矩阵的线性方程组时，这种分解方法更具优势。

3. Cholesky分解法Cholesky分解法适用于对称正定矩阵的线性方程组求解问题。

它将系数矩阵分解为一个下三角矩阵L和其转置的乘积，即$A=LL^T$。

由于对称正定矩阵具有很好的性质，所以Cholesky分解法不仅更加高效，而且更为精确。

4. QR分解法QR分解法是解决一般非对称矩阵线性方程组问题的一种方法。

其思想是将系数矩阵$A$分解为一个正交矩阵$Q$和一个上三角矩阵$R$的乘积，即$A=QR$，然后通过回代法求解出未知量。

QR分解法具有精度高、计算效率高的优点，广泛应用于工程领域中特别是在高精度的数值计算方面，和求解拟合问题。

5. SVD方法SVD方法是一种广泛应用的矩阵分解方法，适用于求解一般非对称矩阵线性方程组问题。

第八讲矩阵函数的求法一、利用Jordan 标准形求矩阵函数。

对于矩阵的多项式，我们曾导出1()()f A Pf J P −=，f ：多项式()1()2()()f J f J f J f J s =()()111()()()()()1!2!i ii i i i i m f f f f f J m −′′′=−λλλλ 实际上，以上结果不仅对矩阵的多项式成立，对矩阵的幂级数也成立。

由此引出矩阵函数的另一种定义及计算方法。

1. 定义：设n 阶矩阵A 的Jordan 标准形为J12J J JJ s =，11()10i i i i i J =λλλλλ 且有非奇异矩阵P 使得：1P AP J −= 对于函数()f z ，若下列函数()1(),(),,()i m i i i f f f −′ λλλ (1,2,,)s = λ均有意义，则称矩阵函数()f A 有意义，且()1()211()()()f J f J f A Pf J PP P f J s −−==()()111()()()()()1!2!i i i i i i i i im ff f f f m m m J −′′′=−×λλλλ2. 矩阵函数的求法（步骤）：1求出A 的Jordan 标准形及变换矩阵P ，1P AP J −=2 对于J 的各Jordan 块i J 求出()i f J ，即计算出()1(),(),.......,()i m i i i f f f −′λλλ并按照顺序构成()i f J ，()()111()()()()()1!2!i ii i i i i i im f f f f f m m m J −′′′=−×λλλλ3合成()1()2()()f J f J f J f J s =4矩阵乘积给出1()()f A Pf J P −=需要说明的是，计算结果与Jordan 标准形中Jordan 块的顺序无关。

例1 （教材P70例1.27）. 1234123121A=,求A [解] 1o求出J 及P11100840022101104114201,,1122816161116JPP −−−− ==−2o求出()1(),(),.......,()i m i i i f f f−′λλλ并构成()i f J ：111,4,()m f z z ===λ(1)1f =,135111133222(1)|,(1)|,(1)|111224488f z f z f z z z z −−−′′′′′′===−=−=====11682116821()1681616f J −−=3o合成1()()f J f J =4o 求1()()f A Pf J P −=，1111111()111f A=说明： （1）()f z z =，在0z =不存在泰勒展开(而存在洛朗展开),如按原先的幂级数定义，则根本无从谈()f A 的计算，可见新的定义延拓了原来的定义；（2）2211111234111123[()]111211f A A===，可见这样的A 确与2A 构成反函数；（3）矩阵函数的种类不仅是我们介绍的这种，如辛矩阵。

矩阵基本运算及应用201700060牛晨晖在数学中，矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合。

矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。

在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。

矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。

将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。

在电力系统方面，矩阵知识已有广泛深入的应用，本文将在介绍矩阵基本运算和运算规则的基础上，简要介绍其在电力系统新能源领域建模方面的应用情况，并展望随机矩阵理论等相关知识与人工智能电力系统的紧密结合。

1矩阵的运算及其运算规则1.1矩阵的加法与减法1.1.1运算规则设矩阵，，则简言之，两个矩阵相加减，即它们相同位置的元素相加减！注意：只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵（即同型矩阵），加减法运算才有意义，即加减运算是可行的．1.1.2运算性质满足交换律和结合律交换律；结合律．1.2矩阵与数的乘法1.2.1运算规则数乘矩阵A，就是将数乘矩阵A中的每一个元素，记为或．特别地，称称为的负矩阵．1.2.2运算性质满足结合律和分配律结合律：(λμ)A=λ(μA)；(λ+μ)A =λA+μA．分配律：λ(A+B)=λA+λB．1.2.3典型举例已知两个矩阵满足矩阵方程，求未知矩阵．解由已知条件知?1.3矩阵与矩阵的乘法1.3.1运算规则设，，则A与B的乘积是这样一个矩阵：(1) 行数与（左矩阵）A相同，列数与（右矩阵）B相同，即．(2) C的第行第列的元素由A的第行元素与B的第列元素对应相乘，再取乘积之和．1.3.2典型例题设矩阵计算解是的矩阵．设它为可得结论1：只有在下列情况下，两个矩阵的乘法才有意义，或说乘法运算是可行的：左矩阵的列数＝右矩阵的行数；结论2在矩阵的乘法中，必须注意相乘的顺序．即使在与均有意义时，也未必有=成立．可见矩阵乘法不满足交换律；结论3方阵A和它同阶的单位阵作乘积，结果仍为A，即．1.3.3运算性质（假设运算都是可行的）(1) 结合律．(2) 分配律（左分配律）；（右分配律）．(3) ．1.3.4方阵的幂定义：设A 是方阵，是一个正整数，规定，显然，记号表示个A的连乘积．1.4矩阵的转置1.4.1定义定义：将矩阵A的行换成同序号的列所得到的新矩阵称为矩阵A 的转置矩阵，记作或．例如，矩阵的转置矩阵为．1.4.2运算性质（假设运算都是可行的）(1)(2)(3)(4) ，是常数．1.4.3典型例题利用矩阵验证运算性质：解；而所以．定义：如果方阵满足，即，则称A为对称矩阵．对称矩阵的特点是：它的元素以主对角线为对称轴对应相等．1.5方阵的行列式1.5.1定义定义：由方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵A 的行列式，记作或．1.5.2运算性质(1) （行列式的性质）(2) ，特别地：(3) （是常数，A的阶数为n）思考：设A为阶方阵，那么的行列式与A 的行列式之间的关系为什么不是，而是？不妨自行设计一个二阶方阵，计算一下和．例如，则．于是，而2光伏逆变器的建模光伏并网逆变器是将光伏组件输出的直流电转化为符合电网要求的交流点再输入电网的关键设备，是光伏系统并网环节中能量转换与控制的核心。

一、矩阵的线性运算定义1 设有两个矩阵和,矩阵与的和记作, 规定为注：只有两个矩阵是同型矩阵时，才能进行矩阵的加法运算. 两个同型矩阵的和，即为两个矩阵对应位置元素相加得到的矩阵.设矩阵记,称为矩阵的负矩阵, 显然有.由此规定矩阵的减法为.定义2 数与矩阵A的乘积记作或, 规定为数与矩阵的乘积运算称为数乘运算.矩阵的加法与矩阵的数乘两种运算统称为矩阵的线性运算. 它满足下列运算规律：设都是同型矩阵，是常数，则(1)(2) ;(3)(4)(5)(6)(7)(8)注：在数学中，把满足上述八条规律的运算称为线性运算.二、矩阵的相乘定义3设矩阵与矩阵的乘积记作, 规定为其中，(记号常读作左乘或右乘.注: 只有当左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数时, 两个矩阵才能进行乘法运算.若，则矩阵的元素即为矩阵的第行元素与矩阵的第列对应元素乘积的和. 即.矩阵的乘法满足下列运算规律(假定运算都是可行的)：（1）（2）（3）（4）注: 矩阵的乘法一般不满足交换律, 即例如, 设则而于是且从上例还可看出: 两个非零矩阵相乘, 可能是零矩阵, 故不能从必然推出或此外, 矩阵乘法一般也不满足消去律,即不能从必然推出例如, 设则但定义4如果两矩阵相乘, 有则称矩阵A与矩阵B可交换.简称A与B可换.注：对于单位矩阵, 容易证明或简写成可见单位矩阵在矩阵的乘法中的作用类似于数1.更进一步我们有命题1设是一个n阶矩阵，则是一个数量矩阵的充分必要条件是与任何n阶矩阵可换。

命题2设均为n阶矩阵，则下列命题等价：（1）（2）（3）（4）三、线性方程组的矩阵表示设有线性方程组若记则利用矩阵的乘法, 线性方程组(1)可表示为矩阵形式：(2)其中矩阵称为线性方程组(1)的系数矩阵. 方程(2)又称为矩阵方程.如果是方程组(1)的解, 记列矩阵则，这时也称是矩阵方程(2)的解; 反之, 如果列矩阵是矩阵方程(2)的解, 即有矩阵等式成立, 则即也是线性方程组(1)的解. 这样, 对线性方程组(1)的讨论便等价于对矩阵方程(2)的讨论. 特别地, 齐次线性方程组可以表示为将线性方程组写成矩阵方程的形式，不仅书写方便，而且可以把线性方程组的理论与矩阵理论联系起来，这给线性方程组的讨论带来很大的便利.四、矩阵的转置定义6把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵, 称为的转置矩阵, 记作(或). 即若则.矩阵的转置满足以下运算规律(假设运算都是可行的):(1)(2)(3)(4)五、方阵的幂定义5设方阵, 规定称为的次幂.方阵的幂满足以下运算规律（假设运算都是可行的）：(1)(2)注: 一般地,为自然数命题3 设均为n阶矩阵，则有为自然数，反之不成立。

矩阵与线性方程组的基本概念与求解方法矩阵与线性方程组是线性代数中的重要概念，它们在数学、物理、计算机科学等众多领域中都有广泛的应用。

本文将介绍矩阵的基本概念、线性方程组的表示和求解方法，并对其应用进行简要讨论。

一、矩阵的基本概念矩阵是由数个数按照矩形排列而成的矩形数组。

通常用大写字母表示矩阵，例如A、A、A。

一个A×A的矩阵有A行A列。

矩阵中的每个数叫作元素，元素常用小写字母表示，例如A11、A12、A21。

元素 aij 表示矩阵中第A行第A列的元素。

二、线性方程组的表示线性方程组是由多个线性方程联立而成的方程组。

一般形式为：A11A1 + A12A2 + ⋯ + A1AAA = A1A21A1 + A22A2 + ⋯ + A2AAA = A2⋮AA1A1 + AA2A2 + ⋯ + AAAAA = AA其中，A1、A2、⋯、AA是未知数，A1、A2、⋯、AA是已知常数，A11、A12、⋯、AAA是已知系数。

我们可以使用矩阵的形式来表示线性方程组，将未知数和常数分别组成矩阵A和A，并将系数矩阵A表示为：[A11 A12 ⋯A1A ][A21 A22 ⋯A2A ][⋮⋮⋱⋮ ][AA1 AA2 ⋯AAA ]则线性方程组可以表述为AA = A。

三、求解线性方程组的方法1. 列主元消去法列主元消去法是一种利用矩阵的行变换来求解线性方程组的方法。

基本步骤如下：（1）选取系数矩阵的第一行的绝对值最大的元素所在的列，将该列的元素作为主元所在列。

（2）通过行变换，将主元所在列的其他元素变为零。

（3）选取剩余未使用的行中，同样以列主元消去法进行操作，直到得到一个上三角矩阵。

（4）通过回代法求解得到线性方程组的解。

2. 克拉默法则克拉默法则是一种通过行列式的计算来求解线性方程组的方法。

该法则适用于方程个数与未知数个数相等的线性方程组。

基本步骤如下：（1）由系数矩阵的行列式计算出其值。

（2）分别用已知常数替换掉系数矩阵的第A列，并计算出新的系数矩阵的行列式值。

矩阵运算与线性变换实践在数学中，矩阵运算与线性变换是两个重要的概念。

矩阵运算是指对矩阵进行加减乘除等操作，而线性变换则是指通过矩阵运算对向量进行变换。

这两个概念在数学中有着广泛的应用，尤其在计算机科学、物理学和工程学等领域中起着重要的作用。

首先，让我们来了解一下矩阵运算。

矩阵是一个二维数组，由行和列组成。

矩阵的加法和减法是按照对应位置的元素进行相加和相减。

例如，对于两个相同大小的矩阵A和B，它们的和C的元素C[i][j]等于A[i][j]加上B[i][j]。

矩阵的乘法是将一个矩阵的每一行与另一个矩阵的每一列进行点乘，并将结果相加。

例如，对于矩阵A和矩阵B的乘积C，C的元素C[i][j]等于A的第i行与B的第j列的点乘结果的和。

矩阵运算在计算机图形学中有着广泛的应用。

例如，在三维游戏中，我们需要对物体进行旋转、平移和缩放等操作。

这些操作可以通过矩阵运算来实现。

我们可以将物体的位置表示为一个向量，然后通过矩阵乘法将其与旋转矩阵、平移矩阵和缩放矩阵相乘，从而实现对物体的变换。

接下来，让我们来探讨一下线性变换。

线性变换是指通过矩阵运算对向量进行变换。

线性变换可以将一个向量映射到另一个向量，同时保持向量的线性关系。

例如，对于一个二维平面上的向量，我们可以通过一个二阶方阵来表示一个线性变换。

这个方阵可以将原始向量映射到一个新的向量，从而实现平移、旋转和缩放等操作。

线性变换在计算机图形学中也有着广泛的应用。

例如，在三维游戏中，我们可以通过线性变换来实现相机的视角变换。

我们可以将相机的位置表示为一个向量，然后通过线性变换将其映射到一个新的向量，从而实现相机的旋转和平移。

这样，我们就可以改变相机的视角，让玩家可以在游戏中看到不同的场景。

除了在计算机图形学中的应用，矩阵运算和线性变换还在其他领域中发挥着重要的作用。

例如，在物理学中，我们可以通过矩阵运算和线性变换来描述粒子的运动和相互作用。

在工程学中，我们可以通过矩阵运算和线性变换来解决复杂的电路和结构问题。

矩阵函数求值
矩阵函数求值是指针对给定的矩阵函数，计算其在给定矩阵上的取值。

矩阵函数可以是任意定义在矩阵上的函数。

常见的矩阵函数包括矩阵的特征值、特征向量、行列式、逆矩阵等。

矩阵函数求值的具体计算方法取决于所给定的矩阵函数。

例如，对于计算矩阵的特征值和特征向量，可以使用特征值分解的方法；对于计算矩阵的行列式，可以使用行列式的定义进行计算；对于计算矩阵的逆矩阵，可以使用伴随矩阵求解等方法。

在实际计算中，可以使用数学软件或编程语言来进行矩阵函数的求值。

常用的数学软件包括MATLAB、Mathematica和Python科学计算库（如NumPy和SciPy）等，它们提供了丰
富的矩阵函数求值的功能和工具。

同时，编程语言如Python
和C++也提供了相应的库和函数来进行矩阵函数求值的计算。