2021版新课标名师导学高考第一轮总复习同步测试卷(三)+基本初等函数Ⅰ

2021届高考数学一轮复习阶段测评卷（三）基本初等函数1.函数()2()ln 28f x x x =--的单调递增区间是( )A. (),2-∞-B. (),1-∞C. ()1,+∞D. ()4,+∞2.已知函数()25xf x x =+-，则不等式()2416f x -≤-≤的解集为( )A.11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B.11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦3.已知 1.20.2ln 2,log 0.1,2a b c -===，则( ) A.a b c <<B.c b a <<C.a c b <<D.c a b <<4.若函数()2f x x ax b =++在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M m -( ) A.与a 有关，且与b 有关 B.与a 有关，但与b 无关 C.与a 无关，且与b 无关 D.与a 无关，但与b 有关5.已知正实数,,a b c 满足236log log log a b c ==，则( ) A.a bc =B.2b ac =C.c ab =D.2c ab =6.若函数()log 2a y ax =-为增函数，则函数log a y x =的大致图象是( )A. B.C. D.7.已知当[]0,1x ∈时，函数()21y mx =-的图象与y x m =的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是( )A. (])0,1⎡⋃+∞⎣B (][)0,13,⋃+∞C. ()⎡⋃+∞⎣D. ([)3,⋃+∞8.若函数()(0,1)x f x a a a =>≠且在[]2,1-上的最大值为4，最小值为m ，则实数m 的值为( ) A.12B.14或12C.116D.12或1169.已知函数23x y a -=+(0a >且1a ≠)的图象恒过定点P ，点P 在幂函数()y f x =的图象上，则3log (3)f =( ) A ．2-B ．1-C ．1D ．210.设定义在R 上的函数()()21lg 21f x x x=+-+，已知40.3a =，0.3log 0.027b =，0.34c =，则( )A.()()()f a f b f c <<B.()()()f a f c f b <<C.()()()f c f b f a <<D.()()()f b f a f c <<11.指数函数()y f x =的图象经过点(3)m ,，则()()0f f m +-= . 12.函数()log (1)3(01)a f x x a a =++>≠且的图象过定点P ，则P 点的坐标是___________. 13.若指数函数x y a =在[]1,1-上的最大值和最小值的差为1，则实数a =____________.14.已知a ∈R ，函数()2222,022,0x x a x f x x x a x ⎧++-≤=⎨-+->⎩，若对任意[)()3,,x f x x ∈-+∞≤恒成立，则a 的取值范围是__________.15.设()()()log 1log 3a a f x x x =++-(01a a >≠,)，且()12f =. (1)求a 的值及()f x 的定义域；(2)求()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.答案以及解析1.答案：D解析：由2 280x x -->得，()(),24,x ∈-∞-⋃+∞， 令228t x x =--，则ln y t =，∵(,2)x ∈-∞-时，228t x x =--为减函数，()4,x ∈+∞时，228t x x =--为增函数，ln y t =为增函数，故函数()2()ln 28f x x x =--的单调递增区间是()4,+∞，故选D.2.答案：C解析：因为函数2x y =与5y x =-在R 上均为增函数，所以函数()25xf x x =+-在R 上为增函数.又易知()12f =-，()36f =，所以不等式()2416f x -≤-≤可化为()()()1413f f x f ≤-≤，所以1413x ≤-≤，解得112x ≤≤，故选C. 3.答案：D解析：因为1ln 22a =>=，且lne 1a <=，所以112a <<.因为0.20.2log 0.1log 0.21b =>=，所以1b >.又 1.211222c --=<=，所以102c <<，故c a b <<.故选D.4.答案：B解析：22()()24a a f x x b =+-+，①当012a ≤-≤时，2min ()()24a a f x m f b ==-=-+，max ()max{(0),(1)}max{,1}f x M f f b a b ===++，∴22max{,1}44a a M m a -=++，与a 有关，与b 无关；②当02a-<时，()f x 在[0，1]上单调递增，∴(1)(0)1M m f f a -=-=+，与a有关，与b 无关；③当12a->时，()f x 在[0，1]上单调递减，∴(0)(1)1M m f f a -=-=--，与a 有关，与b 无关，综上所述，M m -与a 有关，但与b 无关，故选B. 5.答案：C解析：∵正实数,,a b c 满足236log log log a b c ==，∴设236log log log a b c k ===，则2k a =，3k b =，6k c =，∴c ab =.故选C.6.答案：A解析：由函数()log 2a y ax =-有意义可知0a >且1a ≠，故2y ax =-为减函数，又函数log ()2a y ax =-为增函数，所以log a y x =为减函数，故01a <<.又当0x >时，函数log log a a y x x ==单调递减，且易知函数log a y x =为偶函数，所以函数log a y x =的图象为选项A 中的图象.故选A. 7.答案：B解析：函数()21y mx =-的对称轴为1x m =，需讨论1x m =与1的大小关系，当11m≥时，即1m ≤，这时候一定有一个交点；当11m≤时，要保证y m =在1x =时的值小于等于()21y mx =-的值，即()211m m +≤-，解得3m ≥，取并集得()[)0,13,⋃+∞.故选B.8.答案：D解析：①当1a >时，()f x 在[]2,1-上是单调增函数，则函数()f x 的最大值为(1)4f a ==，最小值221(2)416m f a --=-===；②当01a <<时，()f x 在[]2,1-上是单调减函数，则函数()f x 的最大值为2(2)4f a --==，解得12a =，此时最小值111(1)22m f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭.故选D.9.答案：D解析：函数23x y a -=+中，令20x -=，解得2x =，此时134y =+=，所以定点(2,4)P .设幂函数()a y f x x ==，则24a =，解得2a =，所以2()f x x =，所以()()2339f ==，()333log l 9og 2f ∴==.故选D.10.答案：B解析：因为2222()lg[2()]lg(2)()1||1||f x x x f x x x -=+--=+-=+-+，所以()f x 为偶函数.当0x ≥时，()()22lg 21f x x x=+-+， 因为在[)0+∞,上，()2lg 2y x =+单调递增，21y x=-+单调递增， 所以易知函数()()22lg 21f x x x=+-+在)0+∞［,上单调递增. 易知30.30.3log 0.027log 0.33b ===，由指数函数的性质，可知4100.30.30.3a <=<=，0.30441c =>=，0.30.5442c =<=， 故12c <<，所以0a c b <<<，则有()()()f a f c f b <<，故选B. 11.答案：43解析：设()xf x a =(0a >且1a ≠)， 所以()001f a ==.且()3mf m a ==. 所以()()01mf f m a -+-=+1413m a =+==. 12.答案：(0,3)解析：当11x +=，即0x =时，033y =+=， 即函数()f x 的图象过定点(0,3)P .故答案为(0,3).13. 解析：当1a >时，x y a =在[]1,1-上单调递增，∴当1x =-时，y 取到最小值1a -，当1x =时，y 取到最大值a ，∴11a a --=，解得a =； 当01a <<时，x y a =在[]1,1-上单调递减，∴当1x =-时，y 取到最大值1a -，当1x =时，y 取到最小值a ，∴11a a --=，解得a =；． 14.答案：1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦解析：①当0x >时，()f x x ≤，即222x x a x -+-≤，整理可得：21122a x x ≥-+，由恒成立的条件可知：2max 11()(0)22a x x x ≥-+>，结合二次函数的性质可知：当12x =时，2max 11111()22848x x -+=-+=，则18a ≥；②当30x -≤≤时，()f x x ≥即：222x x a x ++-≤-，整理可得：232a x x ≤--+， 由恒成立的条件可知：2min (32)(30)a x x x ≤--+-≤≤，结合二次函数的性质可知：当3x =-或0x =时，2min (32)2x x --+=，则2a ≤；综合①②可得a 的取值范围是1[,2]8.15.答案：(1)因为()12f =，所以()log 4201a a a =>≠,，所以2a =.由1030x x +>⎧⎨->⎩得13x -<<，所以函数()f x 的定义域为(13)-,. (2)()()()22log 1log 3f x x x =++-()()2log 13x x =+-⎡⎤⎣⎦()22log 14x ⎡⎤=--+⎣⎦，所以当(]11x ∈-,时，()f x 是增函数；当)3(1x ∈,时，()f x 是减函数， 故函数()f x 在30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是()21log 42f ==.。

一、选择题1．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则f (2)的值为( )A ． 2B ．－ 2C ．2D ．－2A [设幂函数y ＝f (x )＝x α，把点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22代入可得22 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α，∴α＝12，即f (x )＝x 12，故f (2)＝212＝2，故选A ．]2．log 42－log48等于( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2B [log 42－log 48＝log 428 ＝log 44－1＝－1，故选B ．] 3．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝－x B ．f (x )＝1x C ．f (x )＝lg xD ．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xC [f (x )＝lg x 在(0，＋∞)上为增函数，f (x )＝－x ，f (x )＝1x ，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(0，＋∞)上是减函数，故选C ．]4．函数f (x )＝log a (2x －1)(a >0且a ≠1)的定义域是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(－∞，1)D ．(1，＋∞)A [要使函数有意义，需满足2x －1>0，解得x >0，即函数的定义域为(0，＋∞)，故选A ．]5．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x >02x ，x ≤0，若f (a )＝12，则a 的值是( )A ．－1B ．－1或12 C ．－1或 2D ． 2C [当log 2x ＝12，解得x ＝2，当2x ＝12，解得x ＝－1，故选C ．] 6．已知x －23＝4，则x 等于( ) A ．±18 B ．±8C ．344D ．±232 A [由题意，可知x －23＝4，可得13x 2＝4，即3x 2＝14，所以x 2＝164，解得x ＝±18.故选A ．]7．已知f (x )＝log 5x ，则对于任意的a ，b ∈(0，＋∞)，下列关系中成立的是( ) A ．f (a ＋b )＝f (a )＋f (b ) B ．f (ab )＝f (a )＋f (b ) C ．f (a ＋b )＝f (a )f (b ) D ．f (ab )＝f (a )f (b )B [∵f (x )＝log 5x ，a ，b ∈(0，＋∞)，∴f (ab )＝log 5 (ab )＝log 5a ＋log 5b ＝f (a )＋f (b )．故选B ．]8．函数f (x )＝log 2(1－x )的图象为( )A [观察四个图的不同发现，A 、C 图中的图象过原点，而当x ＝0时，y ＝0，故排除B 、D ；剩下A 和C ．又由函数的单调性知，原函数是减函数，排除C ．故选A ．]9．设实数a ＝log 312，b ＝20.1，c ＝0.932，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＜c ＜b B ．c ＜b ＜a C ．b ＜a ＜cD ．a ＜b ＜cA [∵a ＝log 312＜log 31＝0，b ＝20.1＞20＝1,0＜c ＝0.932＜0.90＝1. ∴a ＜c ＜b ，故选A ．]10．如图表示的是四个幂函数在同一坐标系中第一象限内的图象，则幂函数y ＝x 12的图象是( )A ．①B ．②C ．③D ．④D [幂函数y ＝x 12为增函数，且增加的速度比较缓慢，只有④符合．故选D ．] 11．已知2a ＞2b ＞1，则下列不等关系式中正确的是( )A ． sin a ＞sin bB ． log 2a ＜log 2bC ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13a＞⎝ ⎛⎭⎪⎫13bD ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13a＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13bD [∵2a ＞2b ＞1，∴a ＞b ＞0，只有⎝ ⎛⎭⎪⎫13a＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13b 成立，故选D ．]12．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，设a ＝f (－3)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＜c ＜bB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜b ＜aC [a ＝f (－3)＝f (3)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝f (log 32)，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43.∵0＜log 32＜1,1＜43＜3，∴3＞43＞log 32.∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴a ＞c ＞b .] 13．函数f (x )＝|log 2x |的图象是( )A [结合y ＝log 2x 可知，f (x )＝|log 2x |的图象可由函数y ＝log 2x 的图象上不动下翻得到，故A 正确．]14．已知函数f (x )＝a ＋log 2(x 2＋a )(a >0)的最小值为8，则( ) A ．a ∈(5,6) B ．a ∈(7,8) C ．a ∈(8,9)D ．a ∈(9,10)A [因为f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝f (0)＝a ＋log 2a ＝8, 令g (a )＝a ＋log 2a －8，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增，又g (5)＝5＋log 25－8<0，g (6)＝6＋log 26－8>0，所以存在零点a ∈(5,6)．故选A ．]15．已知函数f (x )＝3－x －1，则( ) A ．它的定义域是R ，值域是R B ．它的定义域是R ，值域是(0，＋∞) C ．它的定义域是R ，值域是(－1，＋∞)D ．以上说法都不对C [f (x )＝3－x －1＝13x －1＞－1，故选C ．] 二、填空题16．34 36.(填“>”或“<”)． < [由y ＝3x 为增函数可得34<36.]17．计算0.008114＋log 26－log 23的值是 ．1.3 [0.008114＋log 26－log 23＝0.34×14＋log 22＋log 23－log 23＝0.3＋1＝1.3.] 18．关于x 的不等式2x ≤2x ＋1－12的解集是 ．{x |x ≥－1} [令2x ＝t ，则原不等式可化为t ≤2t －12，解得t ≥12，即2x ≥12＝2－1，由指数函数y ＝2x 单调递增可得x ≥－1.] 19．下列说法中，正确的是 ．(填序号) ①任取x ＞0，均有3x ＞2x ； ②当a ＞0，且a ≠1时，有a 3＞a 2； ③y ＝(3)－x 是增函数； ④y ＝2|x |的最小值为1；⑤在同一坐标系中，y ＝2x 与y ＝2－x 的图象关于y 轴对称． ①④⑤ [对于①，可知任取x ＞0,3x ＞2x 一定成立． 对于②，当0＜a ＜1时，a 3＜a 2，故②不一定正确．对于③，y ＝(3)－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33x，因为0＜33＜1，故y ＝(3)－x 是减函数，故③不正确．对于④，因为|x |≥0，∴y ＝2|x |的最小值为1，正确． 对于⑤，y ＝2x 与y ＝2－x 的图象关于y 轴对称是正确的．]三、解答题 20．化简或求值：(1)(27)－13＋0.1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2790.5－3e 0；(2)(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋|lg 2－2|.[解] (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12713 ＋100＋⎝ ⎛⎭⎪⎫25912－3＝13＋100＋53－3＝99.(2)原式＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋(2－lg 2)＝lg 2＋(2－lg 2)＝2. 21．已知函数f (x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )． (1)判断并证明函数f (x )的奇偶性； (2)若f (m )－f (－m )＝2，求实数m 的值． [解] (1)f (x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )是奇函数． 证明：f (x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )的定义域为(－1,1)， 设任意x ∈(－1,1)，则－x ∈(－1,1)，f (－x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )＝－[ln(1－x )－ln(1＋x )]＝－f (x )， 所以f (x )是奇函数．(2)由(1)知，f (x )是奇函数，则f (－m )＝－f (m ) ∴f (m )－f (－m )＝f (m )＋f (m )＝2f (m )＝2， 即f (m )＝1，∴ln 1－m 1＋m ＝1，即1－m 1＋m ＝e ，解得m ＝1－e1＋e.。

2021’新课标·名师导学·高考第一轮总复习综合试题(三)数学时间：60分钟 总分：100分[对应学生用书p 327]一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．其中多项选择题全部选对得5分，部分选对得3分，有选错或不选得0分．)1．如图是甲、乙两位同学在六次数学小测试(满分100分)中得分情况的茎叶图，则下列说法错误．．的是( )A .C ．甲得分的方差比乙小 D ．甲得分的中位数和乙相等 [答案] B2．已知命题p ：“关于x 的方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”，若綈p 为真命题的充分不必要条件为a>3m ＋1，则实数m 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1][解析] 由命题p 为真，得Δ＝16－4a ≥0，则a ≤4.所以綈p 为真命题时，a>4.因为a>3m ＋1是綈p 为真命题的充分不必要条件， 所以3m ＋1>4，故m>1，则m 的取值范围为(1，＋∞)．[答案] A3．(多选)已知f(x)是定义在R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 3－3x ，则( ) A ．f (x )在(－∞，－1)上单调递增 B ．f (x )的最小值为－2C ．不等式f (x )<0的解集为[－3，3]D ．方程f (x )＋1＝0有4个不同的实数解[解析] 当x ≥0时，f (x )＝x 3－3x ，f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＝0得x ＝1，所以f (x )在(0，1)单调递减，在(1，＋∞)单调递增，又f (x )为偶函数，所以f (x )在(－∞，－1)上单调递减，A 错；易知f (x )min ＝f (1)＝－2，B 正确；由函数的草图易知，C 错，D 正确．故选BD.[答案] BD4．已知函数f(x)＝sin (ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2，A ⎝⎛⎭⎫13，0为f(x)图象的对称中心，若图象上相邻两个极值点x 1，x 2满足|x 1－x 2|＝1，则下列区间中存在极值点的是( )A .⎝⎛⎭⎫－π6，0B .⎝⎛⎭⎫0，12C .⎝⎛⎭⎫1，π3D .⎝⎛⎭⎫π3，π2 [解析] 由|x 1－x 2|＝1得T 2＝1，ω＝π，∵A ⎝⎛⎭⎫13，0为f(x)的对称中心，∴13×π＋φ＝k π(k ∈Z )，φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx －π3，∴f (x )的极值点为πx －π3＝π2＋k π，x ＝56＋k ，k ∈Z ，当k ＝－1时，x ＝－16∈⎝⎛⎭⎫－π6，0. [答案] A5．一个正三角形的三个顶点都在双曲线x 2＋ny 2＝1的右支上，且其中一个顶点在双曲线的右顶点，则实数n 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，－3)D ．(－∞，－3)[解析] 法一：记曲线的右顶点为A ，由条件得过点A 且倾斜角为30°的直线与双曲线右支有交点，数形结合知，第一象限渐近线的斜率k ＝－1n <tan 30°＝33，a<－3，则选D . 法二：设正三角形边长为2m ，由题意得三角形的另一顶点P(1＋3m ，m)在双曲线上，代入x 2＋ny 2＝1后可解得m ＝－23n ＋3，由m>0知a<－3.[答案] D6．已知函数f(x)＝(e x －a)⎝⎛⎭⎫ax ＋1e ，若f(x)≥0(x ∈R )恒成立，则满足条件的a 的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] 对任意x ∈R ，(e x －a )⎝⎛⎭⎫ax ＋1e ≥0恒成立， ①易知a ＝0时满足题意；②a <0时，e x －a >0，但不一定对任意x ∈R ，ax ＋1e≥0成立，舍去．③a >0时，由题意知f (x )＝0的两根x 1＝x 2，即ln a ＝－1a e .令φ(x )＝ln x ＋1e x ，φ′(x )＝e x －1e x 2＝0，x ＝1e ，∴φ(x )≥φ⎝⎛⎭⎫1e ＝0，故ln a ＝－1e a 恰有一根a ＝1e.综上，满足条件的a 的个数为2.[答案] C 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将各小题的结果填在题中横线上．)7．设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ＋2≥0，5x －y －6≤0，则z ＝2x －y 的最大值是________．[解析] 画出不等式组表示的可行域如图所示，易知z ＝2x －y 在点A(1，－1)处取得最大值z max ＝2×1－(－1)＝3.[答案] 38．已知实数a ≠0，对任意x ∈R ，有(1－ax )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，且4a 1＋a 2＝0，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝________．[解析] 由二项式展开式的通项公式得a 1＝C 15(－a )，a 2＝C 25a 2，由4a 1＋a 2＝0，a ≠0，解得a ＝2.令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝(1－2)5＝－1.[答案] －19．过抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点F 且倾斜角为锐角的直线l 与C 交于A ，B 两点，过线段AB 的中点N 且垂直于l 的直线与C 的准线交于点M ，若|MN|＝33|AB|，则l 的斜率为__________．[解析] 分别过A ，B ，N 作抛物线的准线的垂线，垂足分别为A′，B′，N′，由抛物线的定义知|AF|＝|AA′|，|BF|＝|BB′|，|NN′|＝12(|AA′|＋|BB′|)＝12|AB|，因为|MN|＝33|AB|，所以|NN′|＝32|MN|，所以∠MNN′＝30°，即直线MN 的倾斜角为150°，又直线MN 与直线l 垂直且直线l 的倾斜角为锐角，所以直线l 的倾斜角为60°，k AB ＝ 3.[答案] 310．如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 分别是棱A 1D 1，A 1B 1的中点，P 是侧面正方形BCC 1B 1内一点(含边界)，若FP ∥平面AEC ，则线段A 1P 长度的取值范围是______________________．[解析] 取B 1C 1中点G ，连FG ，GB ，可证平面FGB ∥平面AEC ，故P 在线段BG 上运动．在等腰三角形A 1BG 中，A 1G ＝BG ＝5，A 1B ＝22，作A 1H ⊥BG 于H ，由等面积法可求得A 1H ＝2305，则A 1H ≤A 1P ≤A 1B ，∴A 1P 的取值范围是⎣⎡⎦⎤2305，22. [答案] ⎣⎡⎦⎤2305，22 三、解答题(本大题共3小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 11．(16分) 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 22＝8a 1＋1，公差d>0，S 1、S 4、S 16成等比数列，数列{b n }满足log 2b n ＝(a n －1)log 2x.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)已知c n ＝1a n a n ＋1，求数列{c n ＋b n }的前n 项和T n .[解析] (1)由题意知S 1＝a 1，S 4＝4a 1＋6d ，S 16＝16a 1＋120d ， 由S 24＝S 1·S 16得(4a 1＋6d)2＝a 1(16a 1＋120d)， 解得d ＝2a 1>0.又a 22＝(a 1＋d)2＝8a 1＋1，得9a 21＝8a 1＋1，解得a 1＝1或a 1＝－19(舍)．∴d ＝2，a n ＝2n －1.又log 2b n ＝(2n －2)log 2x ＝log 2x n －1(x>0)， ∴b n ＝x n －1.(2)c n ＝1a n a n ＋1＝1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，①当x ＝1时，T n ＝(c 1＋c 2＋…＋c n )＋(b 1＋…＋b n ) ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＋n.②当x ≠1时，T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＋1－x n 1－x.12．(16分) 已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BB 1＝2，D 是BC 的中点，∠B 1BA ＝60°，B 1D ⊥AB.(1)求证：AB ⊥AC ；(2)若侧面ACC 1A 1为正方形，求直线B 1D 与平面C 1AD 所成角的正弦值． [解析] (1)如图，作B 1O ⊥AB 于O ，连接OD.∵AB ＝BB 1＝2，∠B 1BA ＝60°，∴BO ＝1，O 为AB 中点， 又D 为BC 中点，∴OD ∥AC.由B 1D ⊥AB ，B 1O ⊥AB ，B 1D ∩B 1O ＝B 1，∴AB ⊥平面B 1OD ， AB ⊥OD ，∴AB ⊥AC.(2)由侧面ACC 1A 1为正方形，得AC ⊥AA 1，结合(1)得AC ⊥平面ABB 1A.在平面ABB 1A 内作AE ⊥AB ，故以A 为坐标原点，射线AB ，AC ，AE 分别为x ，y ，z 轴正半轴建立空间直角坐标系，如图所示．则A(0，0，0)，D(1，1，0)，C 1(－1，2，3)，B 1(1，0，3)， 则AD →＝(1，1，0)，AC 1→＝(－1，2，3)，B 1D →＝(0，1，－3)，设平面C 1AD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AD →＝0，n ·AC 1→＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－x ＋2y ＋3z ＝0， 故可取n ＝(1，－1，3)，则cos 〈n ，B 1D →〉＝n ·B 1D →||n ·||B 1D→＝－25，∴直线B 1D 与平面C 1AD 所成角的正弦值为255.13.(18分) 已知函数f(x)＝ln (x ＋1)＋a2x 2.(1)当a ＝－1时，求f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)有两个极值点x 1，x 2，且x 1<x 2，f′(x)为f(x)的导函数，设m ＝f(x 2)＋x 1＋28·f′(x 1＋1)，求m 的取值范围，并求m 取到最小值时所对应的a 的值．[解析] (1)由条件得x>－1，f(x)＝ln (x ＋1)－x 22，∴f′(x)＝1x ＋1－x ＝－x 2－x ＋1x ＋1.令f′(x)＝0得x ＝5－12，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－1，5－12时，f′(x)>0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12，＋∞时，f′(x)<0，则f(x)的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，5－12，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12，＋∞.(2)由条件得x>－1，f′(x)＝1x ＋1＋ax ＝ax 2＋ax ＋1x ＋1.由条件得φ(x)＝ax 2＋ax ＋1＝0有两根x 1，x 2，满足－1<x 1<x 2. ∴Δ>0，∴a<0或a>4；∵函数φ(x)的对称轴为x ＝－12，－1<x 1<x 2，x 1＋x 2＝－1，∴x 2∈⎝⎛⎭⎫－12，0. ∵ax 22＋ax 2＋1＝0，∴a ＝－1x 2（x 2＋1）， ∴f(x 2)＝ln (x 2＋1)＋a 2x 22＝ln (x 2＋1)－x 22（x 2＋1）. ∵x 1＋x 2＝－1，∴x 1＝－x 2－1，∴x 1＋28·f′(x 1＋1)＝1－x 28f′(－x 2)＝ax 22－ax 2＋18＝14（x 2＋1），∴m ＝ln (x 2＋1)－x 22（x 2＋1）＋14（x 2＋1）＝ln (x 2＋1)－2x 2－14（x 2＋1）.令h(x)＝ln x －2x －34x，x ＝x 2＋1∈⎝⎛⎭⎫12，1， 则h′(x)＝1x －34x 2＝4x －34x 2，令h′(x)＝0得x ＝34，∴h(x)在⎝⎛⎭⎫12，34上单调递减，在⎝⎛⎭⎫34，1上单调递增． ∵h ⎝⎛⎭⎫12＝1－ln 2，h(1)＝14，h ⎝⎛⎭⎫34＝12＋ln 34，h ⎝⎛⎭⎫12>h(1)，∴h(x)∈⎣⎡⎭⎫12＋ln 34，1－ln 2. 即m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12＋ln 34，1－ln 2. 当x ＝34，即x 2＋1＝34时，m 取到最小值，解得x 2＝－14，a ＝－1x 2（x 2＋1）＝163，∴当m 取到最小值时所对应的a 的值为163.快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。

心尺引州丑巴孔市中潭学校稳固1．(2021年高考卷)设函数f (x )＝⎩⎨⎧ 1－x 2，x ≤1，x 2＋x －2，x ＞1，那么f [1f (2)]的值为( ) A.1516 B ．－2716C.89D ．18 解析：选A.∵f (2)＝22＋2－2＝4.∴f [1f (2)]＝f (14)＝1－(14)2＝1516.应选A. 2．f ：x →－sin x 是集合A (A ⊆[0,2π])到集合B ＝{0，12}的一个映射，那么集合A 中的元素个数最多有( )A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个解析：选B.∵A ⊆[0,2π]，由－sin x ＝0得x ＝0，π，2π；由－sin x ＝12，得x ＝7π6，11π6，∴A 中最多有5个元素，应选B.3．(2021年质检)函数f (x )＝⎩⎨⎧ 2，x ∈[－1，1]x ，x ∉[－1，1]，假设f [f (x )]＝2，那么x 的取值范围是( ) A ．∅ B ．[－1,1]C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．{2}∪[－1,1]解析：选D.假设x ∈[－1,1]，那么有f (x )＝2∉[－1,1]，∴f (2)＝2；假设x ∉[－1,1]，那么f (x )＝x ∉[－1,1]，∴f [f (x )]＝x ，此时假设f [f (x )]＝2，那么有x ＝2.4．假设f (x －1)＝2x ＋5，那么f (x 2)＝________. 解析：令x －1＝t ，那么x ＝t ＋1，f (t )＝2(t ＋1)＋5＝2t ＋7，∴f (x 2)＝2x 2＋7. 答案：2x 2＋7 5．假设f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (1)＝0，f (3)＝0，那么f (－1)＝________. 解析：依题意有⎩⎨⎧ 1＋b ＋c ＝09＋3b ＋c ＝0， 解得⎩⎨⎧ b ＝－4c ＝3，∴f (x )＝x 2－4x ＋3， ∴f (－1)＝(－1)2－4×(－1)＋3＝8. 答案：86．(1)f (x －2)＝3x －5，求f (x )；(2)f (1－cos x )＝sin 2x ，求f (x )； (3)假设f {f [f (x )]}＝27x ＋26，求一次函数f (x )的解析式．解：(1)令t ＝x －2，那么x ＝t ＋2，t ∈R ，由有：f (t )＝3(t ＋2)－5＝3t ＋1，故f (x )＝3x ＋1.(2)∵f (1－cos x )＝sin 2x ＝1－cos 2x ，令1－cos x ＝t ，cos x ＝1－t ，∵－1≤cos x ≤1，∴0≤1－cos x ≤2，∴0≤t ≤2，∴f (t )＝1－(1－t )2＝－t 2＋2t (0≤t ≤2)，故f (x )＝－x 2＋2x (0≤x ≤2)．(3)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，f [f (x )]＝a 2x ＋ab ＋b ，f {f [f (x )]}＝a (a 2x ＋ab ＋b )＋b ＝a 3x ＋a 2b ＋ab ＋b ，∴⎩⎨⎧ a 3＝27，a 2b ＋ab ＋b ＝26.解得a ＝3，b ＝2.那么f (x )＝3x ＋2，f [f (x )]＝3(3x ＋2)＋2＝9x ＋8.f {f [f (x )]}＝3(9x ＋8)＋2＝27x ＋26，∴a ＝3，b ＝2，f (x )＝3x ＋2为所求．练习1．设A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |1≤y ≤2}，在以下各图中能表示从集合A 到集合B 的映射的是( )解析：选D.A 中的元素在B 中都有唯一元素相对应．2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋1，x ＜－1－3，－1≤x ≤22x －1，x ＞2，那么f (f (f (52)－5))＝( )A ．3B ．4C ．7D ．9解析：选 C.此题在求解时要注意自变量的取值范围与相对应的解析式，f (f (f (52)－5))＝f (f (－1))＝f (－3)＝7.3．(2021年西城模拟)设f ：x →x 2是集合A 到集合B 的映射，如果B ＝{1,2}，那么A ∩B 等于( ) A ．{1} B ．∅C ．∅或{1}D ．∅或{2}解析：选C.由可得集合A 是集合{－2，－1,1，2}的非空子集，那么A ∩B ＝∅或{1}．4．以下各组函数是同一函数的是( )A ．y ＝|x |x与y ＝1 B ．y ＝|x －1|与y ＝⎩⎨⎧ x －1，x ＞11－x ，x ＜1C ．y ＝|x |＋|x －1|与y ＝2x －1D ．y ＝x 3＋x x 2＋1与y ＝x 解析：选D.∵y ＝|x |x ＝⎩⎨⎧ 1，x ＞0－1，x ＜0，定义域与对应法那么都不同，∴排除A. 又∵y ＝|x －1|＝⎩⎨⎧ x －1，x ≥11－x ，x ＜1，定义域不同，∴排除B.y ＝|x |＋|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋1，x ≤01，0＜x ≤12x －1，x ＞1，对应法那么不同，∴排除C.y ＝x 3＋x x 2＋1＝x (x 2＋1)x 2＋1＝x ，应选D. 5．函数f (x )＝ax 2－x －c ，且f (x )＞0的解集为(－2,1)，那么函数y ＝f (－x )的图象为( ) 解析：选D.由ax 2－x －c ＞0的解集为(－2,1)， 得⎩⎨⎧ －2＋1＝1a，－2×1＝－c a，∴⎩⎨⎧ a ＝－1，c ＝－2. ∴f (x )＝－x 2－x ＋2. ∴f (－x )＝－x 2＋x ＋2，图象为D.6．如图，点P 在边长为1的正方形ABCD 上运动，设点M 为CD 的中点，当点P 沿A →B →C →M 运动时，点P 经过的路程设为x ，△APM 的面积设为y ，那么函数y ＝f (x )的图象只可能是以下列图中的( )解析：选A.据题意可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12x ，0≤x ≤1，34－14x ，1＜x ≤254－12x ，2＜x ≤52，易知只有A 选项符合条件．7．设g (x )＝⎩⎨⎧ e x ，x ≤0，ln x ，x >0，那么g [g ⎝⎛⎭⎫12]＝________. 解析：据题意，g ⎝⎛⎭⎫12＝ln 12<0，g [g ⎝⎛⎭⎫12]＝eln 12＝12. 答案：12 8．f (2x＋1)＝lg x ，那么f (x )＝________. 解析：令2x ＋1＝t (t ＞1)，那么x ＝2t －1， ∴f (t )＝lg 2t －1，f (x )＝lg 2x －1(x ＞1)． 答案：lg 2x －1(x ＞1) 9．假设f (x )＝(x ＋a )3对任意x ∈R 都有f (1＋x )＝－f (1－x )，那么f (2)＋f (－2)＝________.解析：令x ＝0，知f (1)＝－f (1)，∴f (1)＝0，∴f (1)＝(1＋a )3＝0， ∴a ＝－1，∴f (x )＝(x －1)3， ∴f (2)＋f (－2)＝－26.答案：－2610.(1)f (x )＝x 2－1，g (x )＝⎩⎨⎧ x －1，x ＞0，2－x ，x ＜0，求f [g (x )]和g [f (x )]的表达式．(2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f (1x )x －1，求f (x )的表达式． 解：(1)当x ＞0时，g (x )＝x －1，故f [g (x )]＝(x －1)2－1＝x 2－2x ； 当x ＜0时，g (x )＝2－x ，故f [g (x )]＝(2－x )2－1＝x 2－4x ＋3； ∴f [g (x )]＝⎩⎨⎧ x 2－2x ，x ＞0，x 2－4x ＋3，x ＜0.当x ＞1或x ＜－1时，f (x )＞0，故g [f (x )]＝f (x )－1＝x 2－2； 当－1＜x ＜1时，f (x )＜0，故g [f (x )]＝2－f (x )＝3－x 2. ∴g [f (x )]＝⎩⎨⎧ x 2－2，x ＞1或x ＜－1，3－x 2，－1＜x ＜1.(2)在f (x )＝2f (1x )x －1中，用1x代替x ，得f (1x )＝2f (x )1x －1，将f (1x )＝2f (x )x －1代入f (x )＝2f (1x )x －1中，可求得f (x )＝23x ＋13. 11．f (x )＝x 2＋2x －3，用图象法表示函数g (x )＝f (x )＋|f (x )|2.解：当f (x )≤0，即x 2＋2x －3≤0， －3≤x ≤1时，g (x )＝0.当f (x )>0，即x <－3或x >1时，g (x )＝f (x )＝(x ＋1)2－4，∴g (x )＝⎩⎨⎧ 0，－3≤x ≤1，(x ＋1)2－4，x <－3或x >1.图象如下列图．12．如图①所示是某公共汽车线路收支差额y 元与乘客量x 的图象．(1)试说明图①上点A 、点B 以及射线AB 上的点的实际意义；(2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图②③所示．你能根据图象，说明这两种建议的意义吗？(3)图①、②中的票价是多少元？图③中的票价是多少元？(4)此问题中直线斜率的实际意义是什么？解：(1)点A 表示无人乘车时收入差额为－20元．点B 表示有10人乘车时收入差额为0元，线段AB 上的点表示亏损，AB 延长线上的点表示赢利．(2)图②的建议是降低本钱，票价不变，图③的建议是增加票价．(3)图①②中的票价是2元．图③中的票价是4元．(4)斜率表示票价．。

2021’新课标·名师导学·高考第一轮总复习同步测试卷数学(二)(函数的概念与性质)时间：60分钟 总分：100分[对应学生用书p 291]一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．其中多项选择题全部选对得5分，部分选对得3分，有选错或不选得0分．)1．函数f(x)＝x （x ＋1）＋ln (－x)的定义域为( )A ．{x|x ＜0}B ．{x|x ≤－1}∪{0}C ．{x|x ≤－1}D ．{x|x ≥－1}[解析] ∵函数f(x)＝x （x ＋1）＋ln (－x)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x （x ＋1）≥0，－x>0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1或x ≥0，x<0， 即x ≤－1，∴f(x)的定义域为{x|x ≤－1}．[答案] C2．(多选)已知函数f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)＝x ，则在(－2，0)上，下列函数中与f(x)的单调性相同的是( )A ．y ＝－x 2＋1B ．y ＝|x －1|C ．y ＝e |x|D ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥0，x 3＋1，x<0[解析] 由已知得f(x)在(－2，0)上单调递减，所以答案为BC .[答案] BC3．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3（－x ），x<0，－f （x －2），x ≥0，则f(2021)＝( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．log 32[解析] 当x>0时，f(x －4)＝f(x －2－2)＝－f(x －2)＝f(x)，即有f(x ＋4)＝f(x)，即函数的周期为4.f(2021)＝f(505×4＋1)＝f(1)＝－f(－1)＝0.[答案] B4．已知函数f(x)＝－x 3－7x ＋sin x ，若f(a 2)＋f(a －2)>0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，3)C ．(－1，2)D ．(－2，1)[解析] 因为f(－x)＝x 3＋7x －sin x ＝－f(x)，f′(x)＝－3x 2－7＋cos x<0，所以f(x)为奇函数，且在R 上单调递减，因为f (a 2)＋f (a －2)>0，所以f (a 2)>－f (a －2)＝f (2－a )，a 2<2－a ，解得－2<a <1.[答案] D5．已知f ()x 满足对∀x ∈R ，f ()－x ＋f ()x ＝0，且x ≥0时，f ()x ＝e x ＋m (m 为常数)，则f ()－ln 5的值为( )A ．4B ．－4C ．6D ．－6[解析] 由题意f ()x 满足对∀x ∈R ，f ()－x ＋f ()x ＝0，即函数f ()x 为奇函数，由奇函数的性质可得f ()0＝e 0＋m ＝0，∴m ＝－1，则当x ≥0时，f ()x ＝e x －1，∵ln 5>0，故f ()－ln 5＝－f ()ln 5＝－()e ln 5－1＝－4，选B.[答案] B6．已知定义域为R 的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x ＋4)，且函数f (x )在区间(2，＋∞)上单调递增，如果x 1<2<x 2，且x 1＋x 2>4，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )A ．可正可负B ．恒大于0C ．可能为0D ．恒小于0[解析] 由f ()－x ＝－f ()x ＋4得f ()x 关于()2，0中心对称，令x ＝－2代入到f ()－x ＝－f ()x ＋4可得f ()2＝0.函数f ()x 在对称区间单调性相同，即f ()x 在R 上单调递增，而x 1＋x 2>4⇒x 1＋x 22>2，即x 1，x 2的中点位于x ＝2的右侧，所以x 1比x 2距离x ＝2更近，结合图象便可分析出f ()x 1＋f ()x 2恒大于0.选B.[答案] B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将各小题的结果填在题中横线上．)7．已知f ()x －1＝x 2，则f ()2x ＝________． [解析] ∵f ()x －1＝x 2，设x －1＝t ，则x ＝t ＋1，∴f ()t ＝()t ＋12，f ()2x ＝()2x ＋12. [答案] ()2x ＋12 8．函数y ＝2x ＋41－x 的值域为________．[解析] 设t ＝1－x(t ≥0)，则x ＝1－t 2，所以原函数可化为y ＝－2t 2＋4t ＋2(t ≥0)，由二次函数性质，当t ＝1时，函数取最大值4，由性质可知函数无最小值，所以值域为(－∞，4]．[答案] (－∞，4]9．已知定义在R 上的函数f (x )满足：对任意实数a 、b 都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，且当x ＞0时f (x )＞1.若f (4)＝5，则不等式f (3x 2－x －2)<3的解集为__________．[解析] 设x 1＞x 2，则x 1－x 2＞0，f (x 1－x 2)＞1.所以f (x 1)－f (x 2)＝f [(x 1－x 2)＋x 2]－f (x 2)＝f (x 1－x 2)－1>0，即f (x 1)＞f (x 2)，所以f (x )是增函数．因为f (4)＝5，即f (2)＋f (2)－1＝5，所以f (2)＝3.所以原不等式化为f (3x 2－x －2)<f (2)，所以3x 2－x －2<2，3x 2－x －4<0，解得－1<x <43.故不等式的解集是⎝⎛⎭⎫－1，43. [答案] ⎝⎛⎭⎫－1，43 10．已知函数g(x)＝a －x 2⎝⎛⎭⎫1e ≤x ≤e ，e 为自然对数的底数与h(x)＝2ln x 的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是__________．[解析] 因为函数g(x)＝a －x 2⎝⎛1e ≤x ≤e ，e 为自然对数的底)数与h(x)＝2ln x 的图象上存在关于x 轴对称的点，等价于a －x 2＝－2ln x ⇔－a ＝2ln x－x 2在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上有解，设f(x)＝2ln x －x 2，求导得f′(x)＝2x －2x ＝2（1＋x ）（1－x ）x ，∵1e≤x ≤e ，∴f′(x)＝0在x ＝1有唯一的极值点，f(x)在⎣⎡⎦⎤1e ，1上单调递增，在[1，e ]上单调递减，f(x)max ＝f(1)＝－1，∵f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－2－1e 2，f(e )＝2－e 2，f(e )<f ⎝⎛⎭⎫1e ，f(x)的值域为[2－e 2，－1]，故方程－a ＝2ln x －x 2在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上有解等价于2－e 2≤－a ≤－1，从而a 的取值范围是[1，e 2－2]．[答案] [1，e 2－2]三、解答题(本大题共3小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)11．(16分)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且它的图象关于直线x ＝1对称．(1)求证：f (x )是周期为4的周期函数；(2)若f (x )＝x (0＜x ≤1)，求x ∈[－5，－4]时，函数f (x )的解析式．[解析] (1)由函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，得f (x ＋1)＝f (1－x )，即有f (－x )＝f (x ＋2)．又函数f (x )是定义在R 上的奇函数，故有f (－x )＝－f (x )．故f (x ＋2)＝－f (x )．从而f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )．即f (x )是周期为4的周期函数．(2)由函数f (x )是定义在R 上的奇函数，有f (0)＝0.x ∈[－1，0)时，－x ∈(0，1]，f (x )＝－f (－x )＝－－x ，又f (0)＝0，故x ∈[－1，0]时，f (x )＝－－x . x ∈[－5，－4]，x ＋4∈[－1，0]，f (x )＝f (x ＋4)＝－－x －4.从而，x ∈[－5，－4]时，函数f (x )＝－－x －4.12．(16分)某种出口产品的关税税率t ，市场价格x(单位：千元)与市场供应量p(单位：万件)之间近似满足关系式：p ＝2(1－kt)(x －b)2，其中k ，b 均为常数．当关税税率为75%时，若市场价格为5千元，则市场供应量均为1万件；若市场价格为7千元，则市场供应量约为2万件．(1)试确定k 、b 的值；(2)市场需求量q(单位：万件)与市场价格x 近似满足关系式：q ＝2－x .p ＝q 时，市场价格称为市场平衡价格．当市场平衡价格不超过4千元时，试确定关税税率的最大值．[解析] (1)由已知可得：⎩⎪⎨⎪⎧1＝2（1－0.75k ）（5－b ）2，2＝2（1－0.75k ）（7－b ）2，∴⎩⎨⎧()1－0.75k ()5－b 2＝0，()1－0.75k ()7－b 2＝1， 解得：b ＝5，k ＝1.(2)当p ＝q 时，2(1－t)(x －5)2＝2－x ，∴(1－t)(x －5)2＝－x ⇒t ＝1＋x ()x －52＝1＋1x ＋25x －10， 而f(x)＝x ＋25x 在(0，4]上单调递减，∴当x ＝4时，f(x)有最小值414，此时t ＝1＋1x ＋25x－10取得最大值5； 故当x ＝4时，关税税率的最大值为500%.13．(18分)已知a ∈R ，函数f (x )＝x |x －a |.(1)当a >2时，求函数y ＝f (x )在区间[1，2]上的最小值；(2)设a ≠0，函数y ＝f (x )在(m ，n )上既有最大值又有最小值，分别求出m ，n 的取值范围(用a 表示)．[解析] (1)当a >2时，x ∈[1，2]，x <a ，∴f (x )＝x ·|x －a |＝x ·(a －x )＝－x 2＋ax ，f (x )＝－⎝⎛⎭⎫x －a 22＋a 24. ∴f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，a 2上单调递增，在⎝⎛⎭⎫a 2，＋∞上单调递减． ①32<a 2时，即a >3， f (x )min ＝f (1)＝－1＋a .②32≥a 2时，即2＜a ≤3， f (x )min ＝f (2)＝－4＋2a ，∴f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧2a －4，2＜a ≤3，a －1，a >3. (2)a ≠0，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x －a ），x ≥a ，x （a －x ），x <a .①当a >0时，f (x )的图象如图所示，f (x )在(－∞，a )上的最大值为f ⎝⎛⎭⎫a 2＝a 24， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝a 24，y ＝x （x －a ），计算得出x ＝1＋22a . 因为f (x )在(m ，n )上既有最大值又有最小值， ∴0≤m ＜a 2，a ＜n ≤1＋22a . ②当a <0时，如图所示，f (x )在(a ，＋∞)上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫a 2＝－a 24. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－a 24，y ＝x （a －x ），计算得出x ＝1＋22a . 因为f (x )在(m ，n )上既有最大值又有最小值， 故有1＋22a ≤m ＜a ，a 2＜n ≤0.。

高考数学一轮复习数学函数的概念与基本初等函数多选题试题含答案一、函数的概念与基本初等函数多选题1．已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>满足()()00112f x f x =+=-，且()f x 在()00,1x x +上有最小值，无最大值.则（ ）A ．0112f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭B ．若00x =，则()sin 26f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．()f x 的最小正周期为3D ．()f x 在(0,2019)上的零点个数最少为1346个 【答案】AC 【分析】根据正弦函数图象的对称性可判断A ；根据已知三角函数值求角的方法，可得052,6x k k Z ωϕππ+=-∈，0(1)2,6x k k Z πωϕπ++=-∈，两式相减可求出ω，进而求得周期，从而可判断B 和C 选项；因为3T =，所以函数()f x 在区间(0,2019)上的长度恰好为673个周期，为了算出零点“至少”有多少个，可取(0)0f =，进而可判断D ． 【详解】解：由题意得，()f x 在()00,1x x +的区间中点处取得最小值， 即0112f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以A 正确； 因为()()00112f x f x =+=-， 且()f x 在()00,1x x +上有最小值，无最大值， 所以不妨令052,6k k Z ωϕππ+=-∈， ()012,6x k k Z πωϕπ++=-∈，两式相减得，23πω=， 所以23T πω==，即B 错误，C 正确；因为3T =，所以函数()f x 在区间(0,2019)上的长度恰好为673个周期， 当(0)0f =，即k ϕπ=时，()f x 在区间(0,2019)上的零点个数至少为673211345⨯-=个，即D 错误.故选:AC . 【点睛】本题考查与三角函数有关的命题的真假关系，结合三角函数的图象与性质，利用特殊值法以及三角函数的性质是解题的关键，综合性较强．2．对于函数()9f x x x=+，则下列判断正确的是（ ） A ．()f x 在定义域内是奇函数B ．函数()f x 的值域是(][),66,-∞-⋃+∞ C ．()12,0,3x x ∀∈，12x x ≠，有()()12120f x f x x x ->-D ．对任意()12,0,x x ∈+∞且12x x ≠，有()()1212122x x f f x f x +⎛⎫<+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭【答案】ABD 【分析】根据函数奇偶性定义判断()f x 的奇偶性，利用基本不等式求()f x 的值域，设1203x x <<<，根据解析式判断()()12,f x f x 的大小，进而确定()()1212,0f x f x x x --的大小关系，应用作差、作商法判断12122,2()()f x f x x x f +⎛⎫⎪+⎝⎭大小关系，进而确定各项的正误. 【详解】A ：由解析式知：定义域为0x ≠，99()()()f x x x f x x x-=-+=-+=--，即()f x 在定义域内是奇函数，正确； B ：当0x >时，()96f x x x =+≥=当且仅当3x =时等号成立；当0x <时有0x ->，()9[()()]6f x x x=--+-≤-=-当且仅当3x =-时等号成立；故其值域(][),66,-∞-⋃+∞，正确；C ：当1203x x <<<时，()()1212121212999()(1)f x f x x x x x x x x x -=-+-=--，而120x x -<，12910x x -<，则()()120f x f x ->，所以()()12120f x f x x x -<-，错误；D ：若120x x >>，1212123622x x f x x x x +⎛⎫=++⎪+⎝⎭，12121299()()f x f x x x x x +=+++，所以121212123699()()]2[()2f x f x x x x x x x f +⎛⎫- ⎪⎝+=-++⎭，而121221212364199()x x x x x x x x +=<++，即()()1212122x x f f x f x +⎛⎫<+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，正确； 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：综合应用函数奇偶性的证明、对勾函数值域的求法、作差(作商)法比较大小，判断各选项的正误.3．函数()()1xf x x R x=∈+，以下四个结论正确的是（ ） A ．()f x 的值域是()1,1- B ．对任意x ∈R ，都有()()12120f x f x x x ->-C ．若规定()()()()()11,n n f x f x f x f f x +==，则对任意的(),1n xn N f x n x*∈=+ D ．对任意的[]1,1x ∈-，若函数()2122f x t at ≤-+恒成立，则当[]1,1a ∈-时，2t ≤-或2t ≥【答案】ABC 【分析】由函数解析式可得函数图象即可知其值域、单调性；根据C 中的描述结合数学归纳法可推得结论成立；由函数不等式恒成立，利用变换主元法、一元二次不等式的解法即可求参数范围. 【详解】由函数解析式可得11,01()11,01x x f x x x⎧-≥⎪⎪+=⎨⎪-<⎪-⎩，有如下函数图象：∴()f x 的值域是()1,1-，且单调递增即()()12120f x f x x x ->-(利用单调性定义结合奇偶性也可说明)，即有AB 正确； 对于C ，有()11x f x x =+，若()1,1(1)n x n N f x n x*-∈=+-， ∴当2n ≥时，11(1)||()(())1||1||1(1)||n n xx n x f x f f x x n x n x -+-===+++-，故有(),1n xn N f x n x*∈=+.正确. 对于D ，[]1,1x ∈-上max 1()(1)2f x f ==，若函数()2122f x t at ≤-+恒成立，即有211222t at -+≥，220t at -≥恒成立，令2()2h a at t =-+，即[]1,1a ∈-上()0h a ≥， ∴0t >时，2(1)20h t t =-+≥，有2t ≥或0t ≤（舍去）；0t =时，()0h a 故恒成立；0t <时，2(1)20h t t -=+≥，有2t ≤-或0t ≥（舍去）；综上，有2t ≥或0t =或2t ≤-；错误. 故选：ABC 【点睛】 方法点睛：1、对于简单的分式型函数式画出函数图象草图判断其值域、单调性.2、数学归纳法：当1n =结论成立，若1n -时结论也成立，证明n 时结论成立即可.3、利用函数不等式恒成立，综合变换主元法、一次函数性质、一元二次不等式解法求参数范围.4．太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种互相转化，相对统一的和谐美. 定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”.则下列有关说法中，正确的是（ ）A ．对于圆O ：221x y +=的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数B ．函数()sin 1f x x =+是圆O ：()2211x y +-=的一个太极函数C ．存在圆O ，使得()11x x e f x e -=+是圆O 的一个太极函数D ．直线()()12110m x m y +-+-=所对应的函数一定是圆O ：()()()222210x y R R -+-=>的太极函数【答案】BCD 【分析】利用“太极函数”的定义逐个判断函数是否满足新定义即可. 【详解】对于A ，如下图所示，若太极函数为偶函数，且ACEPCOPODDFBS SSS===，所以该函数平分圆O 的周长和面积，故A 错误；对于B ，()sin 1f x x =+也关于圆心(0,1) 对称，平分圆O 的周长和面积，所以函数()sin 1f x x =+是圆()22:11O x y +-=的一个太极函数；故B 正确；对于C ，()()+12121+1+1+1x x x x x e e f x e e e --===-，. ()()11111+11++1xxx x xx e e e f x f x e e e------====-，该函数为奇函数，图象关于原点对称. 所以存在圆O ：221x y +=使得()11x x e f x e -=+是圆O 的一个太极函数，如下图所示，故C 正确；对于D ，对于直线()()12110m x m y +-+-=的方程，变形为()()210m x y x y -+--=，令2010x y x y -=⎧⎨--=⎩，得21x y =⎧⎨=⎩，直线()()12110m x m y +-+-=经过圆O 的圆心，可以平分圆O 周长和面积，故D 正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查函数对称性的判定与应用，将新定义理解为函数的对称性为解题的关键，考查推理能力，属于较难题.5．已知函数()()23,03,0x x x f x f x x ⎧--<⎪=⎨-≥⎪⎩，以下结论正确的是（ ）A ．()f x 在区间[]4,6上是增函数 B ．()()220204f f -+=C ．若函数()y f x b =-在(),6-∞上有6个零点()1,2,3,4,5,6i x i =，则619ii x==∑D ．若方程()1f x kx =+恰有3个实根，则{}11,13k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭【答案】BCD 【分析】根据()f x 在[2-，0]上的单调性判断A ，根据(2020)(2)f f =-判断B ，根据图象的对称性判断C ，根据直线1y kx =+与()y f x =的图象有3个交点判断D ． 【详解】解：由题意可知当3x -时，()f x 是以3为周期的函数， 故()f x 在[4，6]上的单调性与()f x 在[2-，0]上的单调性相同， 而当0x <时，239()()24f x x =-++，()f x ∴在[2-，0]上不单调，故A 错误；又(2020)(2)2f f =-=，故(2)(2020)4f f -+=，故B 正确； 作出()y f x =的函数图象如图所示：由于()y f x b =-在(,6)-∞上有6个零点，故直线y b =与()y f x =在(,6)-∞上有6个交点，不妨设1i i x x +<，1i =，2，3，4，5， 由图象可知1x ，2x 关于直线32x =-对称，3x ，4x 关于直线32x =对称，5x ，6x 关于直线92x =对称， ∴613392229222i i x ==-⨯+⨯+⨯=∑，故C 正确；若直线1y kx =+经过点(3,0)，则13k =-，若直线1y kx =+与23(0)y x x x =--<相切，则消元可得：2(3)10x k x +++=， 令0∆=可得2(3)40k +-=，解得1k =-或5k =-， 当1k =-时，1x =-，当5k =-时，1x =（舍)，故1k =-．若直线1y kx =+与()y f x =在(0,3)上的图象相切，由对称性可得1k =．因为方程()1f x kx =+恰有3个实根，故直线1y kx =+与()y f x =的图象有3个交点， 113k ∴-<<-或1k =，故D 正确．故选：BCD ． 【点睛】本题考查了函数零点与函数图象的关系，考查函数周期性、对称性的应用，属于中档题．6．下列命题正确的是（ ）A ．已知幂函数21()(1)m f x m x --=+在(0,)+∞上单调递减则0m =或2m =-B ．函数2()(24)3f x x m x m =-++的有两个零点，一个大于0，一个小于0的一个充分不必要条件是1m <-．C ．已知函数31()sin ln 1x f x x x x +⎛⎫=++⎪-⎝⎭，若(21)0f a ->，则a 的取值范围为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．已知函数()f x 满足()()2f x f x -+=，1()x g x x+=，且()f x 与()g x 的图像的交点为()()()112288,,,,x y x y x y 则128128x x x y y y ++⋯++++⋯+的值为8【答案】BD 【分析】根据幂函数的性质，可判定A 不正确；根据二次函数的性质和充分条件、必要条件的判定，可得判定B 是正确；根据函数的定义域，可判定C 不正确；根据函数的对称性，可判定D 正确，即可求解. 【详解】对于A 中，幂函数21()(1)m f x m x--=+，可得11m +=±，解得0m =或2m =-，当0m =时，函数1()f x x -=在(0,)+∞上单调递减；当2m =-时，函数()f x x =在(0,)+∞上单调递增，所以A 不正确；对于B 中，若函数2()(24)3f x x m x m =-++的有两个零点，且一个大于0，一个小于0，则满足(0)30f m =<，解得0m <，所以1m <-是函数2()(24)3f x x m x m =-++的有两个零点，且一个大于0，一个小于0的充分不必要条件，所以B 是正确； 对于C 中，由函数31()sin ln()1x f x x x x +=++-，则满足101xx+>-，解得11x -<<， 即函数()f x 的定义域为(1,1)-，所以不等式(21)0f a ->中至少满足1211a -<-<， 即至少满足01a <<，所以C 不正确；对于D 中，函数()f x 满足()()2f x f x -+=，可得函数()y f x =的图象关于(0,1)点对称， 又由11()x x g x x x-+--==-，可得()()2g x g x -+=，所以函数()y g x =的图象关于(0,1)点对称，则1281280428x x x y y y ++⋯++++⋯+⨯+==，所以D 正确.故选：BD.【点睛】本题主要考查了以函数的基本性质为背景的命题的真假判定，其中解答中熟记函数的基本性质，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.7．已知()x x f x e ke -=+（k 为常数），那么函数()f x 的图象不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】AD 【分析】根据选项，四个图象可知备选函数都具有奇偶性．当1k =时，()xx f x e e -=+为偶函数，当1k =-时，()xx f x e e -=-为奇函数，再根据单调性进行分析得出答案．【详解】由选项的四个图象可知，备选函数都具有奇偶性． 当1k =时，()x x f x ee -=+为偶函数，当0x ≥时，1x t e =≥且单调递增，而1y t t=+在1) [,t ∈+∞上单调递增， 故函数()xx f x ee -=+在0) [,x ∈+∞上单调递增，故选项C 正确，D 错误；当1k =-时，()xx f x e e -=-为奇函数，当0x ≥时，1x t e =≥且单调递增，而1y t t=-在1) [,t ∈+∞上单调递减， 故函数()xx f x e e -=-在0) [,x ∈+∞上单调递减，故选项B 正确，A 错误.故选:AD ． 【点睛】关键点点睛：本题考查函数性质与图象，本题的关键是根据函数图象的对称性，可知1k =或1k =-，再判断函数的单调性.8．狄利克雷是德国著名数学家，是最早倡导严格化方法的数学家之一，狄利克雷函数()1,0,x Q f x x Q ∈⎧=⎨∉⎩（Q 是有理数集）的出现表示数学家对数学的理解开始了深刻的变化，从研究“算”到研究更抽象的“概念、性质、结构”．关于()f x 的性质，下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 是偶函数B ．函数()f x 是周期函数C ．对任意的1x R ∈，2x ∈Q ，都有()()121f x x f x +=D ．对任意的1x R ∈，2x ∈Q ，都有()()121f x x f x ⋅= 【答案】ABC 【分析】利用函数奇偶性的定义可判断A 选项的正误；验证()()1f x f x +=，可判断B 选项的正误；分1x Q ∈、1x Q ∉两种情况讨论，结合函数()f x 的定义可判断C 选项的正误；取20x =，1x Q ∉可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，任取x Q ∈，则x Q -∈，()()1f x f x ==-； 任取x Q ∉，则x Q -∉，()()0f x f x ==-.所以，对任意的x ∈R ，()()f x f x -=，即函数()f x 为偶函数，A 选项正确； 对于B 选项，任取x Q ∈，则1x Q +∈，则()()11f x f x +==； 任取x Q ∉，则1x Q +∉，则()()10f x f x +==.所以，对任意的x ∈R ，()()1f x f x +=，即函数()f x 为周期函数，B 选项正确； 对于C 选项，对任意1x Q ∈，2x ∈Q ，则12x Q x +∈，()()1211f x x f x +==； 对任意的1x Q ∉，2x ∈Q ，则12x x Q +∉，()()1210f x x f x +==. 综上，对任意的1x R ∈，2x ∈Q ，都有()()121f x x f x +=，C 选项正确； 对于D 选项，取20x =，若1x Q ∉，则()()()12101f x x f f x ⋅==≠，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于根据已知函数的定义依次讨论各选项，分自变量为无理数和有理数两种情况讨论，对于D 选项，可取1x Q ∉，20x =验证.二、导数及其应用多选题9．已知函数()21ln 2f x ax ax x =-+的图象在点()()11,x f x 处与点()()22,x f x 处的切线均平行于x 轴，则（ ）A ．()f x 在1,上单调递增B ．122x x +=C ．()()121212x x x x f x f x ++++的取值范围是7,2ln 24⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭D ．若163a =，则()f x 只有一个零点 【答案】ACD【分析】 求导，根据题意进行等价转化，得到a 的取值范围；对于A ，利用导数即可得到()f x 在()1,+∞上的单调性；对于B ，利用根与系数的关系可得121x x =+；对于C ，化简()()121212x x x x f x f x ++++，构造函数，利用函数的单调性可得解；对于D ，将163a =代入()f x '，令()0f x '=，可得()f x 的单调性，进而求得()f x 的极大值小于0，再利用零点存在定理可得解.【详解】 由题意可知，函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()211ax ax ax a x x xf -+=-+='， 则1x ，2x 是方程210ax ax -+=的两个不等正根，则2124010a a x x a ⎧∆=->⎪⎨=>⎪⎩，解得4a >， 当()1,x ∈+∞时，函数210y ax ax =-+>，此时()0f x '>，所以()f x 在()1,+∞上单调递增，故A 正确；因为1x ，2x 是方程210ax ax -+=的两个不等正根，所以121x x =+，故B 错误； 因为()()221212121112221111ln ln 22x x x x f x f x x ax ax x ax ax a ++++=+++-++- 1112111ln 1ln 22a a a a a a a a⎛⎫=+++--=--+ ⎪⎝⎭， 易知函数()11ln 2h a a a a=--+在()4,+∞上是减函数， 则当4a >时，()()742ln 24h a h <=--， 所以()()121212x x x x f x f x ++++的取值范围是7,2ln 24⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭，故C 正确； 当163a =时，()1616133f x x x '=-+，令()0f x '=，得14x =或34，则()f x 在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在13,44⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以()f x 在14x =取得极大值，且104f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，()2ln 20f =>， 所以()f x 只有一个零点，故D 正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：导数几何意义的应用主要抓住切点的三个特点：①切点坐标满足原曲线方程；②切点坐标满足切线方程；③切点的横坐标代入导函数可得切线的斜率.10．关于函数()sin x f x e a x =+，(),x π∈-+∞，下列结论正确的有（ ）A ．当1a =时，()f x 在()0,(0)f 处的切线方程为210x y -+=B ．当1a =时，()f x 存在惟一极小值点0xC ．对任意0a >，()f x 在(),π-+∞上均存在零点D ．存在0a <，()f x 在(),π-+∞有且只有一个零点【答案】ABD【分析】逐一验证，选项A ，通过切点求切线，再通过点斜式写出切线方程；选项B ，通过导数求出函数极值并判断极值范围，选项C 、D ，通过构造函数，将零点问题转化判断函数的交点问题.【详解】对于A ：当1a =时，()sin xf x e x =+，(),x π∈-+∞， 所以(0)1f =，故切点为()0,1，()cos x f x e x '=+，所以切线斜(0)2k f '==，故直线方程为()120y x -=-，即切线方程为：210x y -+=，故选项A 正确；对于B ：当1a =时，()sin xf x e x =+，(),x π∈-+∞， ()cos x f x e x '=+，()()sin 0,,x f x e x x π''=->∈-+∞恒成立，所以()f x '单调递增，又202f π⎛⎫'=> ⎪⎝⎭，334433cos 044f e e ππππ--⎛⎫⎛⎫'-=+-=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以存在03,42x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，使得()00f x '=， 即00cos 0x e x +=，则在()0,x π-上，()0f x '<，()f x 单调递减， 在()0,x +∞上，()0f x '>，()f x 单调递增， 所以存在惟一极小值点0x ，故选项B 正确；对于 C 、D ：()sin x f x e a x =+,(),x π∈-+∞，令()sin 0x f x e a x =+=得：1sin x x a e -=， 则令sin ()xx F x e =，(),x π∈-+∞，)cos sin 4()x xx x x F x e e π--'==，令()0F x '=， 得：4x k ππ=+，1k ≥-，k Z ∈，由函数)4y x π=-图象性质知： 52,244x k k ππππ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭)04x π->，sin ()x x F x e =单调递减， 52,2244x k k πππππ⎛⎫∈+++ ⎪⎝⎭)04x π-<，sin ()x x F x e =单调递增， 所以当524x k ππ=+，1k ≥-，k Z ∈时，()F x 取得极小值， 即当35,,44x ππ=-时，()F x 取得极小值， 又354435sin sin 44e e ππππ-⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<< ，即3544F F ππ⎛⎫⎛⎫-<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 又因为在3,4ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，sin ()x x F x e =单调递减，所以343()42F x F e ππ⎛⎫≥=- ⎪⎝⎭， 所以24x k ππ=+，0k ≥，k Z ∈时，()F x 取得极大值， 即当944x ππ=、， 时，()F x 取得极大值.又9449sin sin 44e e ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<<，即()442F x F e ππ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭， 当(),x π∈-+∞时，344()22e F x e ππ-≤≤，所以当3412e a π-<-，即34a e π>时， ()f x 在(),π-+∞上无零点，所以选项C 不正确；当341e a π-=时，即4a e π=时， 1=-y a 与sin x x y e=的图象只有一个交点， 即存在0a <，()f x 在(),π-+∞有且只有一个零点， 故选项D 正确.故选：ABD【点睛】本题考查函数的极值、切线、零点的问题，属于较难题.。

2021’新课标·名师导学·高考第一轮总复习综合试题(一)数学时间：60分钟 总分：100分[对应学生用书p 323]一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．其中多项选择题全部选对得5分，部分选对得3分，有选错或不选得0分．)1．已知复数z 1，z 2在复平面上对应的点分别为A(1，2)，B(－1，3)，则z 1z 2的虚部为( )A ．1B ．－12iC ．iD ．－12[解析] 由复数z 1，z 2在复平面上对应的点分别是A(1，2)，B(－1，3)，得z 1＝1＋2i ，z 2＝－1＋3i ，则z 1z 2＝1＋2i－1＋3i ＝（1＋2i ）（－1－3i ）（－1＋3i ）（－1－3i ）＝5－5i 10＝1－i2.z 1z 2的虚部为－12，故选D . [答案] D2．将一颗质地均匀的骰子(它是一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6点数的正方体玩具)先后抛掷2次，记第一次出现的点数为m ，记第二次出现的点数为n ，则m ＝2n 的概率为( )A .118B .112C .19D .16[解析] 将一颗质地均匀的骰子(它是一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6点数的正方体玩具)先后抛掷2次，记第一次出现的点数为m ，记第二次出现的点数为n ，基本事件总数有：6×6＝36种，事件“m ＝2n ”包含的基本事件有：(2，1)，(4，2)，(6，3)共3个，所以事件“m ＝2n ”的概率为P ＝336＝112.故选B .[答案] B3．已知函数f(x)＝sin (ωx ＋θ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2≤θ≤π2的图象相邻的两个对称中心之间的距离为π2，若将函数f(x)的图象向左平移π6后得到偶函数g(x)的图象，则函数f(x)的一个单调递减区间为( )A .⎣⎡⎦⎤－π3，π6B .⎣⎡⎦⎤π4，7π12C .⎣⎡⎦⎤0，π3D .⎣⎡⎦⎤π2，5π6 [解析] 函数f(x)＝sin (ωx ＋θ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2≤θ≤π2的图象相邻的两个对称中心之间的距离为π2，则T ＝π，所以ω＝2.将函数f(x)的图象向左平移π6后，得到g(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋θ是偶函数，故π3＋θ＝k π＋π2(k ∈Z )，解得θ＝k π＋π6(k ∈Z )，由于－π2≤θ≤π2，所以当k ＝0时θ＝π6.则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，令π2＋2k π≤2x ＋π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )，解得π6＋k π≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )， 当k ＝0时，单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π6，2π3，由于⎣⎡⎦⎤π4，7π12⊆⎣⎡⎦⎤π6，2π3，故选B. [答案] B4．已知拋物线C ：y 2＝2px(p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，点M 在第一象限的拋物线C 上，直线MF 的斜率为3，点M 在直线l 上的射影为A ，且△MAF 的面积为43，则p 的值为( )A ．1B ．2C ．2 3D ．4[解析] 由抛物线的定义知S △MAF ＝12MF·MA sin 60°＝43，得MA ＝MF ＝4，所以△MAF为等边三角形，MA ＝2p ＝4，p ＝2，故选B .[答案] B5．(多选)函数f(x)的定义域R ，且f (x ＋1)与f (x ＋2)都为奇函数，则 ( ) A ．f (x )为奇函数 B ．f (x )为周期函数 C ．f (x ＋3)为奇函数 D ．f (x ＋4)为偶函数[解析] 由题意知f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，f (－x ＋2)＝－f (x ＋2)， 所以f (－x )＝f [－(x ＋1)＋1]＝－f (x ＋1＋1) ＝－f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，所以f (x )是周期为2的周期函数，B 正确； 又f (－x )＝f (－x ＋2)＝－f (x ＋2)＝－f (x )， 所以函数f (x )为奇函数，A 正确；又f (－x ＋3)＝f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)＝－f (x ＋3)， 所以f (－x ＋3)为奇函数，C 正确； f (－x ＋4)＝f (－x )＝－f (x )＝－f (x ＋4)．所以f (－x ＋4)也是奇函数，D 错误． [答案] ABC6．若不等式⎪⎪⎪⎪ln x ＋1x －m ≤m ＋e 对x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，1成立，则实数m 的取值范围是( ) A .⎣⎡⎭⎫－12，＋∞ B .⎝⎛⎦⎤－∞，－12 C .⎣⎡⎦⎤－12，1 D ．[1，＋∞) [解析] 设t ＝ln x ＋1x ，由x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，1，则t ∈[1，e －1]；当m ≤e 2时，|t －m|max ＝e －1－m ≤m ＋e ，解得：m ≥－12；当m>e 2时，|t －m|max ＝m －1≤m ＋e ，恒成立；综上知：m ≥－12时，不等式⎪⎪⎪⎪ln x ＋1x －m ≤m ＋e 对x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，1成立． [答案] A 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将各小题的结果填在题中横线上．)7．如图，在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC 于点H.若AH →＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ＝____________．[解析] 由AB ＝2，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC ，知BH ＝AB cos 60°＝1，又BC ＝3，所以BH →＝13BC →， 所以AH →＝AB →＋BH →＝AB →＋13BC →，所以λ＝1，μ＝13，λ＋μ＝43.[答案] 438．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2≥0，x －y －2≤0，y ＋1≤0，则目标函数z ＝2x －y 的最大值为________．[解析] 画出不等式组表示的可行域(三角形)，由z ＝2x －y 得到y ＝2x －z ，平移直线y ＝2x －z ，由图形得，当直线经过可行域内的点A 时，直线在y 轴上的截距最小，此时z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2＝0，y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，所以点A 的坐标为(1，－1)，得z max ＝2×1－(－1)＝3. [答案] 39．若函数f(x)称为“准奇函数”，则必存在常数a ，b ，使得对定义域的任意x 值，均有f(x)＋f(2a －x)＝2b.已知f(x)＝xx －1为“准奇函数”，则a ＋b ＝________．[解析] 由f(x)＋f(2a －x)＝2b 知“准奇函数”f(x)关于点(a ，b)对称；因为f(x)＝xx －1关于(1，1)对称，所以a ＝1，b ＝1，a ＋b ＝2.[答案] 210．已知等腰△ABC 的面积为4，AD 是底边BC 上的高，沿AD 将△ABC 折成一个直二面角，则三棱锥A －BCD 的外接球的表面积的最小值为______________．[解析] 设AD ＝a ，BC ＝2b ，则ab ＝4；由已知，BD ⊥平面ADC ，将三棱锥补形为一个长方体，则三棱锥A －BCD 的外接球就是该长方体的外接球，且该长方体的长宽高分别为a 、b 、b ，则球的直径2R ＝a 2＋b 2＋b 2＝a 2＋2b 2，则球的表面积为S ＝4πR 2＝(a 2＋2b 2)π，因a 2＋2b 2≥22ab ＝82，故S min ＝82π.[答案] 82π三、解答题(本大题共3小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)11．(16分) 如图，在梯形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，M为AD上一点，AM＝2MD ＝2，∠BMC＝60°.(1)若∠AMB＝60°，求BC；(2)设∠DCM＝θ，若MB＝4MC，求tanθ.[解析] (1)由∠BMC＝60°，∠AMB＝60°，得∠CMD＝60°.在Rt△ABM中，MB＝2AM＝4；在Rt△CDM中，MC＝2MD＝2.在△MBC中，由余弦定理得，BC2＝BM2＋MC2－2BM·MC·cos∠BMC＝12，所以BC＝2 3.(2)因为∠DCM＝θ，所以∠ABM＝60°－θ，0°＜θ＜60°.在Rt△MCD中，MC＝1sinθ；在Rt△MAB中，MB＝2sin（60°－θ），由MB＝4MC得，2sin(60°－θ)＝sinθ，所以3cosθ－sinθ＝sinθ，即2sinθ＝3cosθ，整理可得tanθ＝3 2.12．(16分)如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的菱形，且平面ABCD⊥平面DCE.AF∥DE，且AF＝12DE＝2，BF＝2 2.(1)求证：AC⊥BE；(2)若点F到平面DCE的距离为3，求直线EC与平面BDE所成角的正弦值．[解析] (1)∵AF＝AB＝2，BF＝22，∴AF2＋AB2＝BF2，∴∠FAB＝90°，即AF⊥AB.∵AF∥DE，AB∥CD，∴DE⊥DC.∵平面ABCD ⊥平面DCE ，DE ⊂平面DCE ，平面ABCD ∩平面DCE ＝DC ， ∴DE ⊥平面ABCD ， ∴DE ⊥AC. ①∵四边形ABCD 为菱形， ∴AC ⊥BD. ②由①②，且DE ∩BD ＝D ， ∴AC ⊥平面BDE. ∴AC ⊥BE.(2)设AC ∩BD ＝O ，连接OE.由(1)AC ⊥平面BDE ，∴OE 是EC 在平面BDE 内的射影， ∴EC 与平面BDE 所成的角为∠CEO. ∵AF ∥DE ，AF ⊄平面DCE ，DE ⊂平面DCE ， ∴AF ∥平面DCE ，∴点F 到平面DCE 的距离等于点A 到平面DCE 的距离． 在平面ABCD 内作AH ⊥CD ，交CD 延长线于H. ∵平面ABCD ⊥平面DCE ， ∴AH ⊥平面DCE ，∴AH ＝ 3.(或转化为点B 到平面DCE 的距离) ∵AD ＝2，∴∠ADH ＝60°， ∴菱形ABCD 中，∠BDC ＝60°， ∴OC ＝32CD ＝ 3. 在Rt △DEC 中，EC ＝DC 2＋DE 2＝25，∴sin ∠OEC ＝OC CE ＝325＝1510.∴EC 与平面BDE 所成角的正弦值为1510.13．(18分)已知函数f(x)＝e x ＋m(1－x)＋n. (1)讨论函数f(x)的单调性；(2)函数g(x)＝e x －12mx 2＋(m ＋n)x －1，且g(2)＝0.若g(x)在区间(0，2)内有零点，求实数m 的取值范围．[解析] (1)f′(x)＝e x －m ，①当m ≤0时，f′(x)>0成立，f(x)在R 上单调递增；②当m >0时，令f ′(x )＝0，得x ＝ln m ，则f (x )在区间(－∞，ln m )单调递减，在(ln m ，＋∞)单调递增．(2)g ′(x )＝e x ＋m (1－x )＋n ＝f (x )，设x 0是g (x )在区间(0，2)内的一个零点，因为g (0)＝0，g (x 0)＝g (0)，可知g (x )在区间(0，x 0)上不单调，故f (x )在区间(0，x 0)存在零点x 1；同理：由g (x 0)＝g (2)＝0，可知f (x )在区间(x 0，2)上存在零点x 2，即f (x )在区间(0，2)内至少有两个不同零点x 1和x 2.由(1)知m >0，ln m ∈(0，2)，得1<m <e 2，此时f (x )在区间(0，ln m )单调递减，在(ln m ，2)单调递增．由g (2)＝0，知n ＝1－e 22，所以f (1)＝e ＋1－e 22<0，则f (x )min ＝f (ln m )≤f (1)<0；故只需：⎩⎪⎨⎪⎧f （0）>0，f （2）>0，解得：e 2－32<m <e 2＋12.所以实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2－32，e 2＋12.。