华南农业大学06数分2期末试卷A
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华南农业大学期末考试试卷（A 卷）
2006学年第二学期 考试科目： 数学分析II
考试类型：（闭卷） 考试时间：120分钟
学号 姓名 年级专业
一、填空题（每题3分，共18分）
1.
22ln x x
e
dx +=⎰ 。
2. 设函数2
()x f x =⎰，则当0x +→时，()f x 是关于x 的 阶无穷小量。
3. 设函数21,0
() ,0
x x x f x e x -⎧+≤=⎨>⎩，则31
(2)f x dx -=⎰。
4. 幂级数21
12(3)
n n n
n n x ∞
-=+-∑
的收敛半径R = 。
5. 设函数2
1 ,0
()1 ,0x f x x x ππ--<≤⎧=⎨+<≤⎩，则其以2π为周期的傅立叶级数在点x π=处收敛 于 。
6. 当p ________时，反常积分0
+∞
⎰发散。
二、计算题（本大题共40分）
1. 求不定积分 2
64
x dx x +⎰ 。
（本题6分）
2. 求广义积分0
cos (0)ax e bxdx a +∞
->⎰。
（本题6分）
3. 设函数()f x 在(),-∞+∞上连续，且满足()11f =和()()201
2arctan 2
x
tf x t dt x -=⎰，求
()2
1
f x dx ⎰。
（本题10分）
4. 求曲线()2
0x y x -=≥绕x 轴旋转所得的旋转体的体积。
（本题8分）
5. 设4
sin cos (0,1,2,)n
n I x xdx n π
==⎰ ，求级数0
n n I ∞
=∑的和。
（本题10分）
三、讨论与证明题（本大题共42分）。
1. 设正项数列{}n x 单调递减，且级数1(1)n
n n x ∞
=-∑发散，问级数111n
n n x ∞
=⎛⎫ ⎪+⎝⎭
∑是否收敛？并说明
理由。
（本题8分）
2. 讨论函数列{}{}()arctan n S x nx =在下列区间上的一致收敛性。
① (0,1)x ∈； ② (1,)x ∈+∞。
（本题9分）
3. 讨论无穷积分0
⎰是绝对收敛还是条件收敛（必须说明理由）。
（本题8分）
4. 设函数()f x 在[1,)+∞上具有连续导数，且满足()11f =和 ()()2
2
1,1f x x x f x '=
≤<+∞+⎡⎤⎣⎦
，
证明：()lim x f x →+∞
存在且小于14
π
+。
（本题9分）
5. 设(){}n f x 是[]0,1上一致收敛的连续函数列。
证明：存在正数M ,使对所有n ，有()n f x M ≤,[]0,1x ∈。
（本题8分）
四、选做题（每题10分）。
（1） 设()f x 在[],a b 上连续，且()0f x ≥。
证明：
()[]1
,l i m ()m a x ()b
n
n
a n x a
b f x d x f x →∞∈⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
⎰。
（2）将函数12()arctan 12x
f x x -=+ 展开成x 的幂级数，并求级数()(
)01214n
n
n n ∞
=-+∑的和。
