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第一节 随机事件的概率[备考方向要明了][归纳·知识整合]1．事件的分类2．频率和概率(1)在相同的条件S 下重复n 次实验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例f n (A )＝n An为事件A 出现的频率．(2)对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率f n (A )稳定在某个常数上，把这个常数记作P (A )，称为事件A 的概率，简称为A 的概率．[探究] 1.概率和频率有什么区别和联系？提示：频率随着试验次数的变化而变化，概率却是一个常数，它是频率的科学抽象．当试验次数越来越大时，频率也越来越向概率接近，只要次数足够多，所得频率就近似地看作随机事件的概率．3.事件的关系与运算提示：互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的．在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生；而对立事件则是必有一个发生，但不能同时发生．所以两个事件互斥但未必对立；反之两个事件对立则它们一定互斥．4．概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：[0,1]．(2)必然事件的概率P(E)＝1.(3)不可能事件的概率P(F)＝0.(4)概率的加法公式如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．若事件A与B互为对立事件，则A∪B为必然事件．P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)．[自测·牛刀小试]1．甲：A1、A2是互斥事件；乙：A1、A2是对立事件．那么()A．甲是乙的充分但不必要条件B．甲是乙的必要但不充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件解析：选B对立事件一定互斥，互斥事件不一定对立．2．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A ．至少有1个白球，都是白球B ．至少有1个白球，至少有1个红球C ．恰有1个白球，恰有2个白球D ．至少有1个白球，都是红球解析：选C A 、B 中的事件可同时发生，不是互斥事件，D 为对立事件．3．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm 的概率为0.2，该同学的身高在[160,175]的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm 的概率为( )A ．0.2B ．0.3C ．0.7D ．0.8解析：选B 由对立事件的概率可求该同学的身高超过175 cm 的概率为 1－0.2－0.5＝0.3.4．某城市2012年的空气质量状况如下表所示：T ≤150时，空气质量为轻微污染．该城市2012年空气质量达到良或优的概率为( )A.35B.1180C.119D.56解析：选A 由表知空气质量为优的概率为110，空气质量为良的概率为16＋13＝36＝12.故空气质量为优或良的概率为110＋12＝35.5．甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，则乙不输的概率是________．解析：“乙不输”包含“两人和棋”和“乙获胜”这两个事件，并且这两个事件是互斥的，故“乙不输”的概率为12＋13＝56. 答案：56[例1]从装有5只红球，5只白球的袋中任意取出3只球，判断下列每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件．(1)“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”；(2)“取出2只红球和1只白球”与“取出3只红球”；(3)“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只白球”；(4)“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只红球”．[自主解答]任取3只球，共有以下4种可能结果：“3只红球”，“2只红球1只白球”，“1只红球2只白球”，“3只白球”．(1)“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”不可能同时发生，是互斥事件，但有可能两个都不发生，故不是对立事件．(2)“取出2只红球1只白球”，与“取出3只红球”不可能同时发生，是互斥事件，可能同时不发生，故不是对立事件．(3)“取出3只红球”与“取出3只球中至少有一只白球”不可能同时发生，故互斥．其中必有一个发生，故对立．(4)“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只红球”可能同时发生，故不是互斥事件，也不可能是对立事件．———————————————————理解互斥事件与对立事件应注意的问题(1)对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不可能同时发生外，其并事件应为必然事件，这可类比集合进行理解；(2)具体应用时，可把试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而判断所给事件的关系．1．判断下列每对事件是否为互斥事件？是否为对立事件？从一副桥牌(52张)中，任取1张，(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌点数为3的倍数”与“抽出的牌点数大于10”．解：(1)是互斥事件但不是对立事件．因为“抽出红桃”与“抽出黑桃”在仅取一张时不可能同时发生，因而是互斥的．同时，不能保证其中必有一个发生，因为还可能抽出“方块”或“梅花”，因此两者不对立．(2)是互斥事件又是对立事件．因为两者不可同时发生，但其中必有一个发生． (3)不是互斥事件，更不是对立事件．因为“抽出的牌点数为3的倍数”与“抽出的牌点数大于10”这两个事件有可能同时发生，如抽得12.[例2] 某射击运动员进行双向飞碟射击训练，各次训练的成绩如下表：(1)将各次击中飞碟的频率填入表中； (2)这个运动员击中飞碟的概率约为多少？[自主解答] 利用频率公式依次计算出击中飞碟的频率．(1)射中次数100，击中飞碟数是81，故击中飞碟的频率是81100＝0.81，同理可求得下面的频率依次是0.792，0.82，0.82，0.793,0.794,0.807；(2)击中飞碟的频率稳定在0.81，故这个运动员击中飞碟的概率约为0.81. ———————————————————概率和频率的关系概率可看成频率在理论上的稳定值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概率．2．某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习，如下表所示： (1)计算表中进球的频率并填表；(2)这位运动员投篮一次，进球的概率约是多少？解：(1)频率是在试验中事件发生的次数与试验次数的比值，由此得进球频率依次是68，810，1215，1720，2530，3240，3850，即表中依次填入0.75,0.8,0.8,0.85,0.83,0.8,0.76.(2)由(1)知进球频率稳定在0.8，所以这位运动员投篮一次，进球时概率约是0.8.[例3]某战士射击一次，问：(1)若中靶的概率为0.95，则不中靶的概率为多少？(2)若命中10环的概率是0.27，命中9环的概率为0.21，命中8环的概率为0.24，则至少命中8环的概率为多少？不够9环的概率为多少？[自主解答](1)记中靶为事件A，不中靶为事件A，根据对立事件的概率性质，有P(A)＝1－P(A)＝1－0.95＝0.05.故不中靶的概率为0.05.(2)记命中10环为事件B，命中9环为事件C，命中8环为事件D，至少8环为事件E，不够9环为事件F.由B、C、D互斥，E＝B∪C∪D，F＝B∪C，根据概率的基本性质，有P(E)＝P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.27＋0.21＋0.24＝0.72；P(F)＝P(B∪C)＝1－P(B∪C)＝1－(0.27＋0.21)＝0.52.所以至少8环的概率为0.72，不够9环的概率为0.52.———————————————————求复杂的互斥事件的概率的一般方法(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率求和，运用互斥事件的概率求和公式计算．(2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(A)，即运用逆向思维，特别是“至少”“至多”型题目，用间接法就显得较简便．3．某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．解：(1)P (A )＝11 000，P (B )＝101 000＝1100，P (C )＝501 000＝120. 故事件A ，B ，C 的概率分别为11 000，1100，120.(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M ，则M ＝A ∪B ∪C .∵A 、B 、C 两两互斥，∴P (M )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝ 1＋10＋501 000＝611 000.故1张奖券的中奖概率为611 000. (3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N ，则事件N 与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，∴P (N )＝1－P (A ∪B )＝1－⎝⎛⎭⎫11 000＋1100＝9891 000. 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891 000.1个难点——对频率和概率的理解(1)依据定义求一个随机事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验，用事件发生的频率近似地作为它的概率，但是，某一事件的概率是一个常数，而频率随着试验次数的变化而变化．(2)概率意义下的“可能性”是大量随机事件现象的客观规律，与我们日常所说的“可能”“估计”是不同的．也就是说，单独一次结果的不确定性与积累结果的有规律性，才是概率意义下的“可能性”，事件A 的概率是事件A 的本质属性．1个重点——对互斥事件与对立事件的理解 (1)对于互斥事件要抓住如下特征进行理解： ①互斥事件研究的是两个事件之间的关系； ②所研究的两个事件是在一次试验中涉及的；③两个事件互斥是从试验的结果中不能同时出现来确定的．(2)对立事件是互斥事件的一种特殊情况，是指在一次试验中有且只有一个发生的两个事件，集合A 的对立事件记作A .从集合的角度来看，事件A 所含的结果的集合正是全集U 中由事件A 所含结果组成的集合的补集，即A ∪A ＝U ，A ∩A ＝∅.对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件.易误警示——误判事件间的关系导致概率计算失误[典例] (2013·临沂模拟)抛掷一枚均匀的正方体骰子(各面分别标有数字1、2、3、4、5、6)，事件A 表示“朝上一面的数是奇数”，事件B 表示“朝上一面的数不超过3”，则P (A ∪B )＝________.[解析] 事件A ∪B 可以分成事件C 为“朝上一面的数为1、2、3”与事件D 为“朝上一面的数为5”这两件事，则事件C 和事件D 互斥，故P (A ∪B )＝P (C ∪D )＝P (C )＋P (D )＝36＋16＝46＝23. [答案] 23[易误辨析]1．因未分清事件A 、B 的关系，误以为事件A 、B 是互斥事件，从而造成概率计算错误； 2．因不能把所求事件转化为几个互斥事件，思维受阻，从而得不到正确答案． 3．求解随机事件的概率问题时还有如下错误：解决互斥与对立事件问题时，由于对事件的互斥与对立关系不清楚，不能准确判断互斥与对立事件的关系而致错．[变式训练]某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙均属于次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03，出现丙级品的概率为0.01，则对成品抽查一件，恰好得正品的概率为( )A ．0.99B ．0.98C ．0.97D ．0.96解析：选D 记事件A ＝{甲级品}，B ＝{乙级品}，C ＝{丙级品}．事件A 、B 、C 彼此互斥，且A 与B ∪C 是对立事件．所以P (A )＝1－P (B ∪C )＝1－P (B )－P (C )＝1－0.03－0.01＝0.96.一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．给出以下结论： ①互斥事件一定对立． ②对立事件一定互斥． ③互斥事件不一定对立．④事件A 与B 的和事件的概率一定大于事件A 的概率． ⑤事件A 与B 互斥，则有P (A )＝1－P (B )． 其中正确命题的个数为( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析：选C 对立必互斥，互斥不一定对立，所以②③正确，①错；又当A ∪B ＝A 时，P (A ∪B )＝P (A )，所以④错；只有A 与B 为对立事件时，才有P (A )＝1－P (B )，所以⑤错．2．将一枚骰子向上抛掷1次，设事件A 表示向上的一面出现的点数为偶数，事件B 表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C 表示向上的一面出现的点数不小于4，则( )A ．A 与B 是互斥而非对立事件 B ．A 与B 是对立事件C ．B 与C 是互斥而非对立事件D ．B 与C 是对立事件解析：选D A ∩B ＝{出现点数2}，事件A ，B 不互斥更不对立；B ∩C ＝∅，B ∪C 为全集，故事件B ，C 是对立事件，故选D.3．(2013·惠州模拟)从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则b >a 的概率是( )A.45B.35C.25D.15解析：选D 从{1,2,3,4,5}中选取一个数a 有5种取法，从{1,2,3}中选取一个数b 有3种取法．所以选取两个数a ，b 共有5×3＝15个基本事件．满足b >a 的基本事件共有3个．因此b >a 的概率P ＝315＝15.4．从16个同类产品(其中有14个正品，2个次品)中任意抽取3个，下列事件中概率为1的是( )A ．三个都是正品B ．三个都是次品C ．三个中至少有一个是正品D ．三个中至少有一个是次品解析：选C 16个同类产品中，只有2件次品，抽取三件产品，A 是随机事件，B 是不可能事件，C 是必然事件，D 是随机事件，又必然事件的概率为1.5．某种饮料每箱装6听，其中有4听合格，2听不合格，现质检人员从中随机抽取2听进行检测，则检测出至少有一听不合格饮料的概率是( )A.115B.35C.815D.1415解析：选B 记4听合格的饮料分别为A 1、A 2、A 3、A 4，2听不合格的饮料分别为B 1、B 2，则从中随机抽取2听有(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，A 4)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，A 4)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(B 1，B 2)，共15种不同取法，而至少有一听不合格饮料有(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(B 1，B 2)，共9种，故所求概率为P ＝915＝35.6．甲、乙二人玩数字游戏，先由甲任想一数字，记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b ，且a ，b ∈{1,2,3}，若|a －b |≤1，则称甲、乙“心有灵犀”，现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )A.13B.59C.23D.79解析：选D 甲想一数字有3种结果，乙猜一数字有3种结果，基本事件总数为3×3＝9.设“甲、乙心有灵犀”为事件A ，则A 的对立事件B 为“|a －b |>1”，又|a －b |＝2包含2个基本事件，所以P (B )＝29，所以P (A )＝1－29＝79.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．人在打靶中连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是________________． 解析：“至少有1次中靶”包括两种情况：①有1次中靶；②有2次中靶．其对立事件为“2次都不中靶”．答案：2次都不中靶8．甲、乙两颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为________．解析：P ＝1－0.2×0.25＝0.95. 答案：0.959．盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球．若从中随机摸出两只球，则它们颜色不同的概率是________．解析：设3只白球为A ，B ，C,1只黑球为d ，则从中随机摸出两只球的情形有：AB ，AC ，Ad ，BC ，Bd ，Cd 共6种，其中两只球颜色不同的有3种，故所求概率为12.答案：12三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．由经验得知，在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下：求：(1)(2)至少2人排队的概率．解：记“没有人排队”为事件A，“1人排队”为事件B，“2人排队”为事件C，A，B，C彼此互斥．(1)记“至少2人排队”为事件E，则P(E)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)记“至少2人排队”为事件D.“少于2人排队”为事件A＋B，那么事件D与事件A ＋B是对立事件，则P(D)＝1－P(A＋B)＝1－[P(A)＋P(B)]＝1－(0.1＋0.16)＝0.74.11．已知向量a＝(x，y)，b＝(1，－2)，从6张大小相同、分别标有号码1,2,3,4,5,6的卡片中，有放回地抽取两张，x，y分别表示第一次，第二次抽取的卡片上的号码．(1)求满足a·b＝－1的概率；(2)求满足a·b>0的概率．解：(1)设(x，y)表示一个基本事件，则两次抽取卡片的所有基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(6,5)，(6,6)，共36个．用A表示事件“a·b＝－1”，即x－2y＝－1，则A包含的基本事件有(1,1)，(3,2)，(5,3)，共3个，P(A)＝336＝1 12.(2)a·b>0，即x－2y>0，在(1)中的36个基本事件中，满足x－2y>0的事件有(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(5,2)，(6,2)共6个，所以所求概率P＝636＝16.12．某次会议有6名代表参加，A，B两名代表来自甲单位，C，D两名代表来自乙单位，E，F两名代表来自丙单位，现随机选出两名代表发言，问：(1)代表A被选中的概率是多少？(2)选出的两名代表“恰有1名来自乙单位或2名都来自丙单位”的概率是多少？解：(1)从这6名代表中随机选出2名，共有15种不同的选法，分别为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)．其中代表A被选中的选法有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)共5种，则代表A被选中的概率为515＝13.(2)法一：随机选出的2名代表“恰有1名来自乙单位或2名都来自丙单位”的结果有9种，分别是(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)．则“恰有1名来自乙单位或2名都来自丙单位”这一事件的概率为915＝35.法二：随机选出的2名代表“恰有1名来自乙单位”的结果有8种，概率为815；随机选出的2名代表“都来自丙单位”的结果有1种，概率为115.则“恰有1名来自乙单位或2名都来自丙单位”这一事件的概率为815＋115＝35.1．有两个质地均匀、大小相同的正四面体玩具，每个玩具的各面上分别写有数字1,2,3,4.把两个玩具各抛掷一次，斜向上的面所有数字之和能被5整除的概率为( )A.116B.14C.38D.12解析：选B “斜向上的所有数字之和能被5整除”等价于：两个底面数字之和能被5整除，而两底数所有的情况有4×4＝16(种)，而两底数和为5包括(1,4)，(4,1)，(2,3)，(3,2)共4种情况，所以P ＝416＝14.2．抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A 为出现奇数点，事件B 为出现2点，已知P (A )＝12，P (B )＝16，则出现奇数点或2点的概率为________．解析：因为事件A 与事件B 是互斥事件，所以P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝12＋16＝23.答案：233．一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为715，取得两个绿球的概率为115，则取得两个同颜色的球的概率为________；至少取得一个红球的概率为________．解析：(1)由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，取得两个同色球，只需两互斥事件有一个发生．因而取得两个同色球的概率为P ＝715＋115＝815.(2)由于事件A “至少取得一个红球”与事件B “取得两个绿球”是对立事件．则至少取得一个红球的概率P (A )＝1－P (B )＝1415.答案：815 1415第二节 古典概型[备考方向要明了][归纳·知识整合]1．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． [探究] 1.在一次试验中，其基本事件的发生一定是等可能的吗？提示：不一定．如试验一粒种子是否发芽，其发芽和不发芽的可能性是不相等的． 2．古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． (1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； (2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等． [探究] 2.如何判断一个试验是否为古典概型？提示：关键看这个实验是否具有古典概型的两个特征：有限性和等可能性． 3．古典概型的概率公式 P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数[自测·牛刀小试]1．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为( ) A.12B.13C.23D ．1解析：选C 基本事件总数为(甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)共3种．甲被选中共2种，所以甲被选中的概率为23.2．某国际科研合作项目由两个美国人，一个法国人和一个中国人共同开发完成，现从中随机选出两个人作为成果发布人，在选出的两人中有中国人的概率为( )A.14B.13C.12D ．1解析：选C 用列举法可知，共6个基本事件，有中国人的基本事件有3个． 3．5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5，从这5张卡片中随机抽取2张，则取出2张卡片上数字之和为奇数的概率为( )A.35B.25C.34D.23解析：选A 由题意得基本事件共有10种，2张卡片之和为奇数须一奇一偶，共有6种，故所求概率为610＝35.4．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线x ＋y ＝5的下方的概率为________．解析：点P 在直线x ＋y ＝5下方的情况有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)六种可能，故P ＝66×6＝16.答案：165．在集合A ＝{2,3}中随机取一个元素m ，在集合B ＝{1,2,3}中随机取一个元素n ，得到点P (m ，n )，则点P 在圆x 2＋y 2＝9内部的概率为________．解析：点P (m ，n )共有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)6种情况，只有(2,1)，(2,2)，这两种情况满足在圆x 2＋y 2＝9内部，所以所求概率为26＝13.答案：13[例1]编号分别为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：(1)(2)①用运动员编号列出所有可能的抽取结果；②求这2人得分之和大于50的概率．[自主解答](1)4,6,6.(2)①得分在区间[20,30)内的运动员编号为A3，A4，A5，A10，A11，A13，从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有：{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A10}，{A3，A11}，{A3，A13}，{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A4，A13}，{A5，A10}，{A5，A11}，{A5，A13}，{A10，A11}，{A10，A13}，{A11，A13}共15种．②“从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”(记为事件B)的所有可能结果有：{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A5，A10}，{A10，A11}共5种．所以P(B)＝515＝13.本例条件不变，从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，求这2人得分之和小于50的概率．解：得分之和小于50的所有可能结果有：{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A10}，{A3，A11}，{A3，A13}，{A5，A13}，{A10，A13}，{A11，A13}．故这2人得分之和小于50的概率为P＝815.———————————————————应用古典概型求概率的步骤(1)仔细阅读题目，分析试验包含的基本事件的特点；(2)设出所求事件A ；(3)分别列举事件A 包含的基本事件，求出总事件数n 和所求事件A 包含的基本事件数m ； (4)利用公式求出事件A 的概率．1．从某小组的2名女生和3名男生中任选2人去参加一项公益活动． (1)求所选2人中恰有一名男生的概率； (2)求所选2人中至少有一名女生的概率．解：设2名女生为a 1，a 2,3名男生为b 1，b 2，b 3，从中选出2人的基本事件有：(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 2，b 3)共10种．(1)设“所选2人中恰有一名男生”的事件为A ，则A 包含的事件有：(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)共6种，则P (A )＝610＝35，故所选2人中恰有一名男生的概率为35.(2)设“所选2人中至少有一名女生”的事件为B ，则B 包含的事件有：(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)共7种，则P (B )＝710，故所选2人中至少有一名女生的概率为710.[例2] 甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女． (1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．[自主解答] (1)甲校两名男教师分别用A 、B 表示，女教师用C 表示；乙校男教师用D 表示，两名女教师分别用E 、F 表示．从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )共9种．从中选出两名教师性别相同的结果有(A ，D )，(B ，D )，(C ，E )，(C ，F )共4种． 选出的两名教师性别相同的概率为P ＝49.(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )共15种．从中选出两名教师来自同一学校的结果有(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )共6种，选出的两名教师来自同一学校的概率为P ＝615＝25.———————————————————计算较复杂的古典概型的概率时应注意的两点(1)解题的关键点是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型；(2)必要时将所求事件转化为彼此互斥的事件的和，或先求其对立事件的概率，进而利用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解．2．(2012·新课标全国卷)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．(1)若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：枝，n ∈N )的函数解析式；(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：①假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润(单位：元)的平均数；②若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率．解：(1)当日需求量n ≥17时，利润y ＝85. 当日需求量n <17时，利润y ＝10n －85. 所以y 关于n 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10n －85，n <17，85，n ≥17 (n ∈N )． (2)①这100天中有10天的日利润为55元，20天的日利润为65元，16天的日利润为75元，54天的日利润为85元，所以这100天的日利润的平均数为1100×(55×10＋65×20＋75×16＋85×54)＝76.4. ②利润不低于75元当且仅当日需求量不少于16枝，故当天的利润不少于75元的概率为p ＝0.16＋0.16＋0.15＋0.13＋0.1＝0.7.4种方法——基本事件个数的确定方法(1)列举法：此法适用于基本事件较少的古典概型；(2)列表法：此法适合于从多个元素中选定一两个元素的试验，也可看成是坐标法；(3)树状图法：树状图是进行列举的一种常用方法，适合于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件个数的探求；(4)计数原理法：如果基本事件的个数较多，列举有一定困难时，可借助于两个计数原理及排列组合知识直接计算出m，n，再运用公式求概率．1个技巧——求解古典概型问题概率的技巧(1)较为简单问题可直接使用古典概型公式计算；(2)较为复杂的概率问题的处理方法：一是转化为几个互斥事件的和，利用互斥事件的加法公式进行求解；二是采用间接法，先求事件A的对立事件A的概率，再由P(A)＝1－P(A)求事件A的概率．1个构建——构建不同的概率模型解决问题(1)原则：建立概率模型的一般原则是“结果越少越好”，这就要求选择恰当的观察角度，把问题转化为易解决的古典概型问题；(2)作用：一方面，对于同一个实际问题，我们有时可以通过建立不同“模型”来解决，即“一题多解”，在这“多解”的方法中，再寻求较为“简捷”的解法；另一面，我们又可以用同一种“模型”去解决很多“不同”的问题，即“多题一解”．答题模板——求古典概型概率[典例](2012山东高考·满分12分)袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号分别为1,2.(1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；(2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．[快速规范审题]第(1)问。
第5节 椭 圆最新考纲 1.了解椭圆的实际背景,了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.知 识 梳 理1.椭圆的定义在平面内与两定点F 1,F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.其数学表达式：集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a },|F 1F 2|＝2c ,其中a ＞0,c ＞0,且a ,c 为常数：(1)若a ＞c ,则集合P 为椭圆； (2)若a ＝c ,则集合P 为线段； (3)若a ＜c ,则集合P 为空集. 2.椭圆的标准方程和几何性质[微点提醒]点P(x0,y0)和椭圆的位置关系(1)点P(x0,y0)在椭圆内⇔x20a2＋y20b2<1；(2)点P(x0,y0)在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1；(3)点P(x0,y0)在椭圆外⇔x20a2＋y20b2>1.基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.()(2)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆.()(3)方程mx2＋ny2＝1(m>0,n>0,m≠n)表示的曲线是椭圆.()(4)x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)与y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)的焦距相同.()解析(1)由椭圆的定义知,当该常数大于|F1F2|时,其轨迹才是椭圆,而常数等于|F1F2|时,其轨迹为线段F1F2,常数小于|F1F2|时,不存在这样的图形.(2)因为e＝ca＝a2－b2a＝1－⎝⎛⎭⎪⎫ba2,所以e越大,则ba越小,椭圆就越扁.【参考答案】(1)×(2)×(3)√(4)√2.(选修1－1P42A1改编)若F1(3,0),F2(－3,0),点P到F1,F2的距离之和为10,则P 点的轨迹方程是_________________________________.解析因为|PF1|＋|PF2|＝10>|F1F2|＝6,所以点P的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,其中a＝5,c＝3,b＝a2－c2＝4,故点P的轨迹方程为x225＋y216＝1.【参考答案】x225＋y216＝13.(选修1－1P42A6改编)已知点P是椭圆x25＋y24＝1上y轴右侧的一点,且以点P及焦点F1,F2为顶点的三角形的面积等于1,则点P的坐标为________.解析设P(x,y),由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1,所以c＝1,则F1(－1,0),F2(1,0),由题意可得点P到x轴的距离为1,所以y＝±1,把y＝±1代入x25＋y24＝1,得x＝±152,又x＞0,所以x＝152,∴P点坐标为(152,1)或(152,－1).【参考答案】(152,1)或(152,－1)4.(2019·张家口调研)椭圆x216＋y225＝1的焦点坐标为()A.(±3,0)B.(0,±3)C.(±9,0)D.(0,±9)解析根据椭圆方程可得焦点在y轴上,且c2＝a2－b2＝25－16＝9,∴c＝3,故焦点坐标为(0,±3).【参考答案】B5.(2018·全国Ⅰ卷)已知椭圆C：x2a2＋y24＝1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为()A.13 B.12 C.22 D.223解析不妨设a>0.因为椭圆C的一个焦点为(2,0),所以焦点在x轴上,且c＝2,所以a2＝4＋4＝8,所以a＝22,所以椭圆C的离心率e＝ca＝22.【参考答案】C6.(2019·武汉模拟)曲线x225＋y29＝1与曲线x225－k＋y29－k＝1(k<9)的()A.长轴长相等B.短轴长相等C.离心率相等D.焦距相等解析曲线x225＋y29＝1表示焦点在x轴上的椭圆,其长轴长为10,短轴长为6,焦距为8,离心率为45.曲线x225－k＋y29－k＝1(k<9)表示焦点在x轴上的椭圆,其长轴长为225－k,短轴长为29－k,焦距为8,离心率为425－k.对照选项,知D正确.【参考答案】D第1课时 椭圆及简单几何性质考点一 椭圆的定义及其应用【例1】 (1)如图,圆O 的半径为定长r ,A 是圆O 内一个定点,P 是圆上任意一点,线段AP 的垂直平分线l 和半径OP 相交于点Q ,当点P 在圆上运动时,点Q 的轨迹是( )A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆(2)(2019·德阳诊断)设P 为椭圆C ：x 249＋y 224＝1上一点,F 1,F 2分别是椭圆C 的左、右焦点,且△PF 1F 2的重心为点G ,若|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4,那么△GPF 1的面积为( ) A.24B.12C.8D.6解析 (1)连接QA . 由已知得|QA |＝|QP |.所以|QO |＋|QA |＝|QO |＋|QP |＝|OP |＝r .又因为点A 在圆内,所以|OA |＜|OP |,根据椭圆的定义,点Q 的轨迹是以O ,A 为焦点,r 为长轴长的椭圆.(2)∵P 为椭圆C ：x 249＋y 224＝1上一点,|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4,|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝14, ∴|PF 1|＝6,|PF 2|＝8,又∵|F 1F 2|＝2c ＝249－24＝10,∴易知△PF 1F 2是直角三角形,S △P 1FF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝24, ∵△PF 1F 2的重心为点G ,∴S △PF 1F 2＝3S △GPF 1, ∴△GPF 1的面积为8. 【参考答案】(1)A (2)C规律方法 (1)椭圆定义的应用主要有：判断平面内动点的轨迹是否为椭圆,求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.(2)通常定义和余弦定理结合使用,求解关于焦点三角形的周长和面积问题.【训练1】(1)(2019·福建四校联考)已知△ABC的顶点B,C在椭圆x23＋y2＝1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是()A.2 3B.6C.4 3D.2(2)(2018·衡水中学调研)设F1,F2分别是椭圆x225＋y216＝1的左、右焦点,P为椭圆上任意一点,点M的坐标为(6,4),则|PM|－|PF1|的最小值为________.解析(1)由椭圆的方程得a＝ 3.设椭圆的另一个焦点为F,则由椭圆的定义得|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a,所以△ABC的周长为|BA|＋|BC|＋|CA|＝|BA|＋|BF|＋|CF|＋|CA|＝(|BA|＋|BF|)＋(|CF|＋|CA|)＝2a＋2a＝4a＝4 3.(2)由椭圆的方程可知F2(3,0),由椭圆的定义可得|PF1|＝2a－|PF2|,∴|PM|－|PF1|＝|PM|－(2a－|PF2|)＝|PM|＋|PF2|－2a≥|MF2|－2a,当且仅当M,P,F2三点共线时取得等号,又|MF2|＝（6－3）2＋（4－0）2＝5,2a＝10,∴|PM|－|PF1|≥5－10＝－5,即|PM|－|PF1|的最小值为－5.【参考答案】(1)C(2)－5考点二椭圆的标准方程【例2】(1)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169,C2：(x＋4)2＋y2＝9,动圆在圆C1内部且和圆C1相内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为()A.x264－y248＝1 B.x248＋y264＝1C.x248－y264＝1 D.x264＋y248＝1(2)(一题多解)若椭圆经过两点(2,0)和(0,1),则椭圆的标准方程为________________.解析(1)设圆M的半径为r,则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|,所以M的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆,且2a＝16,2c＝8,所以a ＝8,c ＝4,b ＝a 2－c 2＝43, 故所求的轨迹方程为x 264＋y 248＝1.(2)法一 当椭圆的焦点在x 轴上时,设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0). ∵椭圆经过两点(2,0),(0,1), ∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1.∴所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1；当椭圆的焦点在y 轴上时,设所求椭圆的方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1 (a >b >0). ∵椭圆经过两点(2,0),(0,1), ∴⎩⎪⎨⎪⎧0a 2＋4b 2＝1，1a 2＋0b 2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2，与a >b 矛盾,故舍去.综上可知,所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.法二 设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1 (m >0,n >0,m ≠n ). ∵椭圆过(2,0)和(0,1)两点, ∴⎩⎨⎧4m ＝1，n ＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14，n ＝1.综上可知,所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.【参考答案】(1)D (2)x 24＋y 2＝1规律方法 根据条件求椭圆方程的主要方法有：(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a ,b .当不知焦点在哪一个坐标轴上时,一般可设所求椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0,n >0,m ≠n ),不必考虑焦点位置,用待定系数法求出m ,n 的值即可.【训练2】 (1)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0),若长轴长为6,且两焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的标准方程为( ) A.x 236＋y 232＝1 B.x 29＋y 28＝1 C.x 29＋y 25＝1D.x 216＋y 212＝1(2)(2019·榆林模拟)已知F 1(－1,0),F 2(1,0)是椭圆C 的焦点,过F 2且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ,B 两点,且|AB |＝3,则C 的方程为( ) A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1D.x 25＋y 24＝1解析 (1)椭圆长轴长为6,即2a ＝6,得a ＝3, ∵两焦点恰好将长轴三等分, ∴2c ＝13·2a ＝2,得c ＝1, 因此,b 2＝a 2－c 2＝9－1＝8,所以此椭圆的标准方程为x 29＋y 28＝1.(2)由题意,设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0),将A (c ,y 1)代入椭圆方程得c 2a 2＋y 21b 2＝1,由此求得y 21＝b 4a 2,所以|AB |＝3＝2b 2a ,又c ＝1,a 2－b 2＝c 2,可解得a ＝2,b 2＝3,所以椭圆C的方程为x 24＋y 23＝1. 【参考答案】(1)B (2)C 考点三 椭圆的几何性质多维探究角度1 椭圆的长轴、短轴、焦距【例3－1】 (2019·泉州质检)已知椭圆x 2m －2＋y 210－m ＝1的长轴在x 轴上,焦距为4,则m 等于( ) A.8B.7C.6D.5解析 因为椭圆x 2m －2＋y210－m＝1的长轴在x 轴上,所以⎩⎨⎧m －2>0，10－m >0，m －2>10－m ，解得6<m <10.因为焦距为4,所以c 2＝m －2－10＋m ＝4,解得m ＝8.【参考答案】A 角度2 椭圆的离心率【例3－2】 (2018·全国Ⅱ卷)已知F 1,F 2是椭圆C 的两个焦点,P 是C 上的一点．若PF 1⊥PF 2,且∠PF 2F 1＝60°,则C 的离心率为( ) A ．1－32 B ．2－ 3 C.3－12D.3－1解析 由题设知∠F 1PF 2＝90°,∠PF 2F 1＝60°,|F 1F 2|＝2c ,所以|PF 2|＝c ,|PF 1|＝3c .由椭圆的定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ,即3c ＋c ＝2a ,所以(3＋1)c ＝2a ,故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝23＋1＝3－1. 【参考答案】D角度3 与椭圆性质有关的最值或范围问题【例3－3】 (2017·全国Ⅰ卷)设A ,B 是椭圆C ：x 23＋y 2m ＝1长轴的两个端点.若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°,则m 的取值范围是( ) A.(0,1]∪[9,＋∞) B.(0,3]∪[9,＋∞) C.(0,1]∪[4,＋∞) D.(0,3]∪[4,＋∞) 解析 ①当焦点在x 轴上,依题意得 0<m <3,且3m≥tan ∠AMB 2＝ 3. ∴0<m <3且m ≤1,则0<m ≤1. ②当焦点在y 轴上,依题意m >3,且m3≥tan ∠AMB 2＝3,∴m ≥9,综上,m 的取值范围是(0,1]∪[9,＋∞). 【参考答案】A规律方法 1.求椭圆离心率的方法(1)直接求出a ,c 的值,利用离心率公式直接求解.(2)列出含有a ,b ,c 的齐次方程(或不等式),借助于b 2＝a 2－c 2消去b ,转化为含有e 的方程(或不等式)求解.2.在求与椭圆有关的一些量的范围,或者最值时,经常用到椭圆标准方程中x ,y 的范围、离心率的范围等不等关系.【训练3】 (1)(2018·贵州七校联考)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1,则椭圆长轴长的最小值为( ) A.1B. 2C.2D.2 2(2)(2019·豫南九校联考)已知两定点A (－1,0)和B (1,0),动点P (x ,y )在直线l ：y ＝x ＋3上移动,椭圆C 以A ,B 为焦点且经过点P ,则椭圆C 的离心率的最大值为( ) A.55B.105C.255D.2105解析 (1)设a ,b ,c 分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距, 依题意知,当三角形的高为b 时面积最大, 所以12×2cb ＝1,bc ＝1,而2a ＝2b 2＋c 2≥22bc ＝22(当且仅当b ＝c ＝1时取等号),即长轴长2a 的最小值为2 2.(2)不妨设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a >1),与直线l 的方程联立⎩⎪⎨⎪⎧x2a 2＋y 2a 2－1＝1，y ＝x ＋3， 消去y 得(2a 2－1)x 2＋6a 2x ＋10a 2－a 4＝0, 由题意易知Δ＝36a 4－4(2a 2－1)(10a 2－a 4)≥0, 解得a ≥5, 所以e ＝c a ＝1a ≤55, 所以e 的最大值为55. 【参考答案】(1)D (2)A[思维升华]1.椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性,正确理解、掌握定义是关键,应注意定义中的常数大于|F 1F 2|,避免了动点轨迹是线段或不存在的情况.2.求椭圆的标准方程,常采用“先定位,后定量”的方法(待定系数法).先“定位”,就是先确定椭圆和坐标系的相对位置,以椭圆的中心为原点的前提下,看焦点在哪条坐标轴上,确定标准方程的形式；再“定量”,就是根据已知条件,通过解方程(组)等手段,确定a 2,b 2的值,代入所设的方程,即可求出椭圆的标准方程.若不能确定焦点的位置,这时的标准方程常可设为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0,n ＞0且m ≠n ). [易错防范]1.判断两种标准方程的方法为比较标准形式中x 2与y 2的分母大小.2.在解关于离心率e 的二次方程时,要注意利用椭圆的离心率e ∈(0,1)进行根的取舍,否则将产生增根.3.椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式.例如,－a ≤x ≤a ,－b ≤y ≤b ,0＜e ＜1等,在求椭圆相关量的范围时,要注意应用这些不等关系.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距为2,则m 的值等于( ) A.5B.3C.5或3D.8解析 由题意知椭圆焦距为2,即c ＝1,又满足关系式a 2－b 2＝c 2＝1,故当a 2＝4时,m ＝b 2＝3；当b 2＝4时,m ＝a 2＝5. 【参考答案】C2.(2019·郑州模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,离心率为23,过F 2的直线l 交C 于A ,B 两点,若△AF 1B 的周长为12,则C 的方程为( ) A.x 23＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 29＋y 24＝1 D.x 29＋y 25＝1解析 由题意可得c a ＝23,4a ＝12,解得a ＝3,c ＝2,则b ＝32－22＝5,所以椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1. 【参考答案】D3.已知圆(x －1)2＋(y －1)2＝2经过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F 和上顶点B ,则椭圆C 的离心率为( ) A.12B. 2C.2D.22解析 由题意得,椭圆的右焦点F 为(c ,0),上顶点B 为(0,b ).因为圆(x －1)2＋(y －1)2＝2经过右焦点F 和上顶点B ,所以⎩⎨⎧（c －1）2＋1＝2，1＋（b －1）2＝2，解得b ＝c ＝2,则a 2＝b 2＋c 2＝8,解得a ＝22,所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝222＝22.【参考答案】D4.(2019·湖北重点中学联考)已知椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 2且垂直于长轴的直线交椭圆于A ,B 两点,则△ABF 1内切圆的半径为( ) A.43B.1C.45D.34解析 不妨设A 点在B 点上方,由题意知：F 2(1,0),将F 2的横坐标代入椭圆方程x 24＋y 23＝1中,可得A 点纵坐标为32,故|AB |＝3,所以由S ＝12Cr 得内切圆半径r ＝2S C ＝68＝34(其中S 为△ABF 1的面积,C 为△ABF 1的周长). 【参考答案】D5.已知椭圆x 24＋y 22＝1的两个焦点是F 1,F 2,点P 在该椭圆上,若|PF 1|－|PF 2|＝2,则△PF 1F 2的面积是( ) A. 2 B.2 C.2 2D. 3解析 由椭圆的方程可知a ＝2,c ＝2,且|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4,又|PF 1|－|PF 2|＝2,所以|PF 1|＝3,|PF 2|＝1.又|F 1F 2|＝2c ＝22,所以有|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2,即△PF 1F 2为直角三角形,且∠PF 2F 1为直角,所以S △PF 1F 2＝12|F 1F 2||PF 2|＝12×22×1＝ 2. 【参考答案】A 二、填空题6.已知椭圆的中心在原点,一个焦点为(0,－23)且a ＝2b ,则椭圆的标准方程为________.解析 ∵c ＝23,a 2＝4b 2,∴a 2－b 2＝3b 2＝c 2＝12,b 2＝4,a 2＝16.又焦点在y 轴上,∴标准方程为y 216＋x24＝1.【参考答案】y 216＋x 24＝17.设F 1,F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点,经过F 1的直线交椭圆C 于A ,B 两点,若△F 2AB 的面积为43的等边三角形,则椭圆C 的方程为______________.解析 ∵△F 2AB 是面积为43的等边三角形,∴AB ⊥x 轴,∴A ,B 两点的横坐标为－c ,代入椭圆方程,可求得|F 1A |＝|F 1B |＝b 2a . 又|F 1F 2|＝2c ,∠F 1F 2A ＝30°, ∴b 2a ＝33×2c .①又S △F 2AB ＝12×2c ×2b 2a ＝43,② a 2＝b 2＋c 2,③由①②③解得a 2＝9,b 2＝6,c 2＝3,∴椭圆C 的方程为x 29＋y 26＝1.【参考答案】x 29＋y 26＝18.(2019·昆明诊断)椭圆x 29＋y 225＝1上的一点P 到两焦点的距离的乘积为m ,当m 取最大值时,点P 的坐标是________.解析 记椭圆的两个焦点分别为F 1,F 2,有|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.则m ＝|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝25,当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝5,即点P 位于椭圆的短轴的顶点处时,m 取得最大值25.∴点P 的坐标为(－3,0)或(3,0). 【参考答案】(－3,0)或(3,0) 三、解答题9.已知椭圆的中心在原点,两焦点F 1,F 2在x 轴上,且过点A (－4,3).若F 1A ⊥F 2A ,求椭圆的标准方程.解 设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0). 设焦点F 1(－c ,0),F 2(c ,0)(c >0). ∵F 1A ⊥F 2A ,∴F 1A →·F 2A →＝0, 而F 1A →＝(－4＋c ,3),F 2A →＝(－4－c ,3), ∴(－4＋c )·(－4－c )＋32＝0, ∴c 2＝25,即c ＝5. ∴F 1(－5,0),F 2(5,0). ∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝（－4＋5）2＋32＋（－4－5）2＋32 ＝10＋90＝410. ∴a ＝210,∴b 2＝a 2－c 2＝(210)2－52＝15.∴所求椭圆的标准方程为x 240＋y 215＝1.10.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0),F 1,F 2分别为椭圆的左、右焦点,A 为椭圆的上顶点,直线AF 2交椭圆于另一点B . (1)若∠F 1AB ＝90°,求椭圆的离心率； (2)若AF 2→＝2F 2B →,AF 1→·AB →＝32,求椭圆的方程. 解 (1)若∠F 1AB ＝90°,则△AOF 2为等腰直角三角形, 所以有|OA |＝|OF 2|,即b ＝c .所以a ＝2c ,椭圆的离心率为e ＝c a ＝22.(2)由题知A (0,b ),F 1(－c ,0),F 2(c ,0),其中c ＝a 2－b 2,设B (x ,y ).由AF 2→＝2F 2B →,得(c ,－b )＝2(x －c ,y ), 解得x ＝3c 2,y ＝－b 2,即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3c2，－b 2.将B 点坐标代入x 2a 2＋y 2b 2＝1,得94c 2a 2＋b 24b 2＝1, 即a 2＝3c 2.①又由AF 1→·AB →＝(－c ,－b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2，－3b 2＝32, 得b 2－c 2＝1,即有a 2－2c 2＝1.② 由①②解得c 2＝1,a 2＝3,从而有b 2＝2. 所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.(2018·宣城二模)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点为M ,上顶点为N ,右焦点为F ,若NM →·NF →＝0,则椭圆的离心率为( ) A.32B.2－12C.3－12D.5－12解析 由题意知,M (－a ,0),N (0,b ),F (c ,0),∴NM →＝(－a ,－b ),NF →＝(c ,－b ).∵NM →·NF →＝0,∴－ac ＋b 2＝0,即b 2＝ac .又b 2＝a 2－c 2,∴a 2－c 2＝ac .∴e 2＋e －1＝0,解得e ＝5－12或e ＝－5－12(舍).∴椭圆的离心率为5－12. 【参考答案】D12.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,P 是椭圆上一点,△PF 1F 2是以F 2P 为底边的等腰三角形,且60°<∠PF 1F 2<120°,则该椭圆的离心率的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫3－12，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫3－12，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12解析 由题意可得,|PF 2|2＝|F 1F 2|2＋|PF 1|2－2|F 1F 2|·|PF 1|cos ∠PF 1F 2＝4c 2＋4c 2－2·2c ·2c ·cos ∠PF 1F 2,即|PF 2|＝22c ·1－cos ∠PF 1F 2,所以a ＝|PF 1|＋|PF 2|2＝c ＋2c ·1－cos ∠PF 1F 2,又60°<∠PF 1F 2<120°,∴－12<cos ∠PF 1F 2<12,所以2c <a <(3＋1)c ,则13＋1<c a <12,即3－12<e <12. 【参考答案】B13.(2018·浙江卷)已知点P (0,1),椭圆x 24＋y 2＝m (m >1)上两点A ,B 满足AP →＝2PB →,则当m ＝________时,点B 横坐标的绝对值最大.解析 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由AP →＝2PB →,得⎩⎨⎧－x 1＝2x 2，1－y 1＝2（y 2－1），即x 1＝－2x 2,y 1＝3－2y 2.因为点A ,B 在椭圆上,所以⎩⎪⎨⎪⎧4x 224＋（3－2y 2）2＝m ，x 224＋y 22＝m ，得y 2＝14m ＋34,所以x 22＝m－(3－2y 2)2＝－14m 2＋52m －94＝－14(m －5)2＋4≤4,所以当m ＝5时,点B 横坐标的绝对值最大,最大值为2. 【参考答案】514.(2019·石家庄月考)已知点M (6,2)在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上,且椭圆的离心率为63. (1)求椭圆C 的方程；(2)若斜率为1的直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点,以AB 为底边作等腰三角形,顶点为P (－3,2),求△P AB 的面积.解 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧6a 2＋2b 2＝1，c a ＝63，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a 2＝12，b 2＝4. 故椭圆C 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),AB 的中点为D (x 0,y 0).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 212＋y 24＝1，消去y ,整理得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0,由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－3m2,x 1x 2＝3m 2－124, 由Δ＝36m 2－16(3m 2－12)>0得m 2<16, 则x 0＝x 1＋x 22＝－34m ,y 0＝x 0＋m ＝14m ,即D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34m ，14m .因为AB 是等腰△P AB 的底边,所以PD ⊥AB ,即PD 的斜率k ＝2－m 4－3＋3m 4＝－1,解得m ＝2,满足m 2<16. 此时x 1＋x 2＝－3,x 1x 2＝0,则|AB |＝2|x 1－x 2|＝2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝32, 又点P 到直线l ：x －y ＋2＝0的距离为d ＝32, 所以△P AB 的面积为S ＝12|AB |·d ＝92.。
2020届高考数学总复习资料整理高中数学必备知识点大全三、算法、推理与证明五、函数、基本初等函数I的图像与性质指数函数2y a=01a〈〈(),-∞+∞单调递减，01,001x y x y〈〈〉〈〈时时函数图象过定点（0.1）1a〉(),-∞+∞单调递增，01,01x y x y〈〈〈〉〉时0时六、函数与方程、函数模型及其应用函数零点概念方程()0f x=的实数根。
方程()0f x=的实数根⇔函数()0y x=的图象与x轴有交点⇔函数()y f x=有零点。
存在定理对于在区间[],a b上连续不断，若()()0f a f b〈，则()y f x=在(),a b内存在零点。
二分法方法对于在区间[],a b上连续不断且()()0f a f b〈的函数()y f x=。
通过不断把函数()f x的零点所在的区间一分为二，使区间两个端点逐步逼近零点。
进而得到零点近似值的方法叫做二分法。
步骤第一步确定区间[],a b，验证()()0f a f b〈g，确定精确度∈。
221cos 2sin 21cos 2cos 2aa aa -=+=注：表中,n k均为正整数。
十三、空间几何体（其中为半径、为高、为母线等)S h十四、空间点、直线平面位置关系（大写字母表点、小写字母表直线、希腊字母表平面）：【注：标准d根据上下文理解为圆心到直线的距离与两圆的圆心距】十八、圆锥曲线的定义、方程与性质注：1.表中两种形式的双曲线方程对应的渐进线方程分别为x a y ±=，x by ±=2.表中四种形式的抛物线方程对应的准线方程分别是2,2,2,2p y p y p x p x =-==-=。
十九、圆锥曲线的热点问题二十一、离散型随机变量及其分布（理科）二十二、统计与统计案例二十三、函数与方程思想，数学结合思想二十四、分类与整合思想，化归与转化思想二十五、几何证明选讲二十六、坐标系与参数方程。
§9.3圆的方程考情考向分析以考查圆的方程为主，与圆有关的轨迹问题、最值问题也是考查的热点，属中档题．题型主要以填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，在解答题中也会出现．圆的定义与方程概念方法微思考1．如何确定圆的方程？其步骤是怎样的？提示确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤：(1)根据题意，选择标准方程或一般方程．(2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组．(3)解出a，b，r或D，E，F代入标准方程或一般方程．2．点与圆的位置关系有几种？如何判断？提示点和圆的位置关系有三种．已知圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的圆．(×)(2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.(√)(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(√)(4)方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆．(×)(5)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F>0.(√)题组二教材改编2．[P111练习T4]圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是．答案(2，－3)解析由(x－2)2＋(y＋3)2＝13，知圆心坐标为(2，－3)．3．[P111习题T1(3)]已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则圆C的标准方程为．答案(x－2)2＋y2＝10解析设圆心坐标为(a,0)，易知(a－5)2＋(－1)2＝(a－1)2＋(－3)2，解得a＝2，∴圆心为(2,0)，半径为10， ∴圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝10.题组三 易错自纠4．若方程x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0表示圆，则m 的取值范围是 ． 答案 (－∞，－22)∪(22，＋∞) 解析 将x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0化为圆的标准方程得⎝⎛⎭⎫x ＋m 22＋(y －1)2＝m24－2. 由其表示圆可得m 24－2>0，解得m <－22或m >2 2.5．若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是 ． 答案 －1<a <1解析 ∵点(1,1)在圆内，∴(1－a )2＋(a ＋1)2<4，即－1<a <1.6．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是 ． 答案 (x －2)2＋(y －1)2＝1解析 由于圆心在第一象限且与x 轴相切，可设圆心为(a,1)(a >0)， 又圆与直线4x －3y ＝0相切， ∴|4a －3|5＝1，解得a ＝2或a ＝－12(舍去)． ∴圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.题型一 圆的方程例1 求经过点A (－2，－4)，且与直线l ：x ＋3y －26＝0相切于点B (8,6)的圆的方程． 解 方法一 设圆心为C ，所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则圆心C ⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2，∴k CB ＝6＋E 28＋D2. ∵圆C 与直线l 相切，∴k CB ·k l ＝－1， 即6＋E 28＋D 2·⎝⎛⎭⎫－13＝－1.①又有(－2)2＋(－4)2－2D －4E ＋F ＝0，② 又82＋62＋8D ＋6E ＋F ＝0.③联立①②③，可得D ＝－11，E ＝3，F ＝－30， ∴所求圆的方程为x 2＋y 2－11x ＋3y －30＝0. 方法二 设圆的圆心为C ，则CB ⊥l ， 可得CB 所在直线的方程为y －6＝3(x －8)， 即3x －y －18＝0.①由A (－2，－4)，B (8,6)，得AB 的中点坐标为(3,1)． 又k AB ＝6＋48＋2＝1，∴AB 的垂直平分线的方程为y －1＝－(x －3)，即x ＋y －4＝0.②由①②联立，解得⎩⎨⎧x ＝112，y ＝－32.即圆心坐标为⎝⎛⎭⎫112，－32. ∴所求圆的半径r ＝⎝⎛⎭⎫112－82＋⎝⎛⎭⎫－32－62＝ 1252， ∴所求圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －1122＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝1252. 思维升华 (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程． (2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，求出a ，b ，r 的值； ②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值． 跟踪训练1 (1)(2018·如皋模拟)已知圆C 过点(2，3)，且与直线x －3y ＋3＝0相切于点(0，3)，则圆C 的方程为 ． 答案 (x －1)2＋y 2＝4解析 设圆心为(a ，b )，半径为r ， 则⎩⎪⎨⎪⎧b －3a ×33＝－1，(a －2)2＋(b －3)2＝a 2＋(b －3)2，解得a ＝1，b ＝0，则r ＝2， 即所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝4.(2)已知圆心在x 轴上，半径为5的圆位于y 轴右侧，且截直线x ＋2y ＝0所得弦的长为2，则圆的方程为 ． 答案 (x －25)2＋y 2＝5解析 根据题意，设圆的圆心坐标为(a,0)(a >0)，则圆的标准方程为(x －a )2＋y 2＝5(a >0)，则圆心到直线x ＋2y ＝0的距离d ＝|a ＋2×0|12＋22＝55a .又该圆截直线x ＋2y ＝0所得弦的长为2，所以可得12＋⎝⎛⎭⎫55a 2＝5，解得a ＝2 5.故圆的方程为(x －25)2＋y 2＝5.题型二 与圆有关的最值问题例2 已知点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上，求x ＋y 的最大值和最小值． 解 设t ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋t ，t 可视为直线y ＝－x ＋t 在y 轴上的截距，∴x ＋y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线在y 轴上的截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y 轴上的截距．由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径， 即|2＋(－3)－t |2＝1，解得t ＝2－1或t ＝－2－1. ∴x ＋y 的最大值为2－1，最小值为－2－1. 引申探究1．在本例的条件下，求yx的最大值和最小值．解 y x 可视为点(x ，y )与原点连线的斜率，y x 的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．设过原点的直线的方程为y ＝kx ，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2k ＋3|k 2＋1＝1，解得k ＝－2＋233或k ＝－2－233，∴y x 的最大值为－2＋233，最小值为－2－233.2．在本例的条件下，求x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值和最小值． 解x 2＋y 2＋2x －4y ＋5＝(x ＋1)2＋(y －2)2，求它的最值可视为求点(x ，y )到定点(－1,2)的距离的最值，可转化为求圆心(2，－3)到定点(－1,2)的距离与半径的和或差． 又圆心到定点(－1,2)的距离为34，∴x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值为34＋1，最小值为34－1.思维升华 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆上点(x ，y )有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u ＝y －bx －a 型的最值问题，可转化为过点(a ，b )和点(x ，y )的直线的斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点到定点(a ，b )的距离的平方的最值问题．跟踪训练2 已知M (x ，y )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)． (1)求MQ 的最大值和最小值； (2)求y －3x ＋2的最大值和最小值；(3)求y －x 的最大值和最小值．解 (1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0， 可得(x －2)2＋(y －7)2＝8，∴圆心C 的坐标为(2,7)，半径r ＝2 2. 又QC ＝(2＋2)2＋(7－3)2＝42， ∴MQ max ＝42＋22＝62， MQ min ＝42－22＝2 2.(2)可知y －3x ＋2表示直线MQ 的斜率k .设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0. 由直线MQ 与圆C 有交点， 所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2≤22，可得2－3≤k ≤2＋3，所以y －3x ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.(3)设y －x ＝b ，则x －y ＋b ＝0.当直线y ＝x ＋b 与圆C 相切时，截距b 取到最值， ∴|2－7＋b |12＋(－1)2＝22，∴b ＝9或b ＝1.∴y －x 的最大值为9，最小值为1.题型三 与圆有关的轨迹问题例3 已知Rt △ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)．求： (1)直角顶点C 的轨迹方程； (2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程．解 (1)方法一 设C (x ，y )，因为A ，B ，C 三点不共线，所以y ≠0. 因为AC ⊥BC ，且BC ，AC 斜率均存在， 所以k AC ·k BC ＝－1，又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝y x －3，所以y x ＋1·y x －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(y ≠0)． 方法二 设AB 的中点为D ，由中点坐标公式得D (1,0)， 由直角三角形的性质知CD ＝12AB ＝2.由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点)．所以直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)．(2)设M (x ，y )，C (x 0，y 0)，因为B (3,0)，M 是线段BC 的中点， 由中点坐标公式得x ＝x 0＋32，y ＝y 0＋02，所以x 0＝2x －3，y 0＝2y .由(1)知，点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)， 将x 0＝2x －3，y 0＝2y 代入得(2x －4)2＋(2y )2＝4，即(x －2)2＋y 2＝1.因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0)．思维升华 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： ①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． ②定义法：根据圆、直线等定义列方程． ③几何法：利用圆的几何性质列方程．④相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．跟踪训练3 设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹． 解 如图，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 2，y 2， 线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 0－32，y 0＋42.因为平行四边形的对角线互相平分， 所以x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4，又点N (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.所以点P 的轨迹是以(－3,4)为圆心，2为半径的圆，直线OM 与轨迹相交于两点⎝⎛⎭⎫－95，125和⎝⎛⎭⎫－215，285，不符合题意，舍去， 所以点P 的轨迹为(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，除去两点⎝⎛⎭⎫－95，125和⎝⎛⎭⎫－215，285.1．已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是 ． 答案 (－2，－4)解析 由题意得a 2＝a ＋2，a ＝－1或2. 当a ＝－1时方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，即(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，圆心为(－2，－4)，半径为5；当a ＝2时方程为4x 2＋4y 2＋4x ＋8y ＋10＝0，⎝⎛⎭⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝－54不表示圆． 2．已知圆C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＝－k 2，当圆C 的面积取最大值时，圆心C 的坐标为 ．答案 (0，－1)解析 圆C 的方程可化为⎝⎛⎭⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝－34k 2＋1，所以当k ＝0时，圆C 的面积最大，此时圆心C 的坐标为(0，－1)．3．若圆C 经过坐标原点与点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是 ． 答案 (x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝254解析 因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m )． 又因为圆与直线y ＝1相切， 所以22＋m 2＝|1－m |， 解得m ＝－32.所以圆C 的方程为(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝254. 4．已知点A (1，－1)，B (－1,1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是 ． 答案 x 2＋y 2＝2解析 AB 的中点坐标为(0,0)， AB ＝[1－(－1)]2＋(－1－1)2＝22， ∴圆的方程为x 2＋y 2＝2.5．以(a,1)为圆心，且与两条直线2x －y ＋4＝0,2x －y －6＝0同时相切的圆的标准方程为 ． 答案 (x －1)2＋(y －1)2＝5解析 由题意得，点(a,1)到两条直线的距离相等，且为圆的半径r .∴|2a －1＋4|22＋(－1)2＝|2a －1－6|22＋(－1)2，解得a ＝1.∴r ＝|2×1－1＋4|22＋(－1)2＝5，∴所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝5.6．圆心在y 轴上，且过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是 ． 答案 x 2＋y 2－10y ＝0解析 根据题意，设圆心坐标为(0，r )，半径为r ， 则32＋(r －1)2＝r 2，解得r ＝5，可得圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0.7．已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝4，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为 ． 答案 (x －2)2＋(y ＋2)2＝4解析 根据题意，设圆C 2的圆心为(a ，b )，圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝4，其圆心为(－1,1)，半径为2，若圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 1与C 2的圆心关于直线x －y －1＝0对称，且圆C 2的半径为2，则有⎩⎪⎨⎪⎧b －1a ＋1＝－1，a －12－b ＋12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2，则圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝4.8．圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是 ． 答案 1＋ 2解析 将圆的方程化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x －y ＝2的距离d ＝|1－1－2|2＝2，故圆上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值为d ＋1＝2＋1.9．平面内动点P 到两点A ，B 的距离之比为常数λ(λ>0，且λ≠1)，则动点P 的轨迹叫做阿波罗尼斯圆，若已知A (－2,0)，B (2,0)，λ＝12，则此阿波罗尼斯圆的方程为 ．答案 x 2＋y 2＋203x ＋4＝0解析 由题意，设P (x ，y )，则(x ＋2)2＋y 2(x －2)2＋y 2＝12，化简可得x 2＋y 2＋203x ＋4＝0.10．当方程x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0所表示的圆的面积取最大值时，直线y ＝(k －1)x ＋2的倾斜角α＝ . 答案3π4解析 由题意知，圆的半径r ＝12k 2＋4－4k 2＝124－3k 2≤1，当半径r 取最大值时，圆的面积最大，此时k ＝0，r ＝1，所以直线方程为y ＝－x ＋2，则有tan α＝－1，又α∈[0，π)，故α＝3π4.11．已知点P (x ，y )在圆C ：x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0上，(1)求yx 的最大值和最小值；(2)求x ＋y 的最大值和最小值．解 方程x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0可变形为(x －3)2＋(y －3)2＝4，则圆C 的半径为2.(1)(转化为斜率的最值问题求解)yx表示圆上的点P 与原点连线的斜率，显然当PO (O 为原点)与圆C 相切时，斜率最大或最小，如图所示．设切线方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0，由圆心C (3,3)到切线的距离等于圆C 的半径， 可得|3k －3|k 2＋1＝2，解得k ＝9±2145.所以yx 的最大值为9＋2145，最小值为9－2145.(2) (转化为截距的最值问题求解)设x ＋y ＝b ，则b 表示动直线y ＝－x ＋b 在y 轴上的截距，显然当动直线y ＝－x ＋b 与圆C 相切时，b 取得最大值或最小值，如图所示．由圆心C (3,3)到切线x ＋y ＝b 的距离等于圆C 的半径，可得|3＋3－b |12＋12＝2，即|b －6|＝22，解得b ＝6±22，所以x ＋y 的最大值为6＋22，最小值为6－2 2.12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得的线段长为22，在y 轴上截得的线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程； (2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程． 解 (1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r ， 则y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2. ∴y 2＋2＝x 2＋3，即y 2－x 2＝1. ∴P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1. (2)设P 点的坐标为(x 0，y 0)， 则|x 0－y 0|2＝22，即|x 0－y 0|＝1. ∴y 0－x 0＝±1，即y 0＝x 0±1.①当y 0＝x 0＋1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0＋1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1，∴r 2＝3. ∴圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3.②当y 0＝x 0－1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0－1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1，∴r 2＝3. ∴圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3. 综上所述，圆P 的方程为x 2＋(y ±1)2＝3.13．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，设点P 是圆C 上的动点．记d ＝PB 2＋P A 2，其中A (0,1)，B (0，－1)，则d 的最大值为 ． 答案 74解析 设P (x 0，y 0)，d ＝PB 2＋P A 2＝x 20＋(y 0＋1)2＋x 20＋(y 0－1)2＝2(x 20＋y 20)＋2.x 20＋y 20为圆上任一点到原点距离的平方，∴(x 20＋y 20)max ＝(5＋1)2＝36，∴d max ＝74.14．已知圆C 截y 轴所得的弦长为2，圆心C 到直线l ：x －2y ＝0的距离为55，且圆C 被x 轴分成的两段弧长之比为3∶1，则圆C 的方程为 ． 答案 (x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2或(x －1)2＋(y －1)2＝2解析 设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则点C 到x 轴、y 轴的距离分别为|b |，|a |.由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧r 2＝2b 2，r 2＝a 2＋1，|a －2b |5＝55，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－1，r 2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，r 2＝2.故所求圆C 的方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2或(x －1)2＋(y －1)2＝2.15．若圆x 2＋y 2＋4x －12y ＋1＝0关于直线ax －by ＋6＝0(a >0，b >0)对称，则2a ＋6b 的最小值是 ． 答案323解析 由圆x 2＋y 2＋4x －12y ＋1＝0知，其标准方程为(x ＋2)2＋(y －6)2＝39，∵圆x 2＋y 2＋4x －12y ＋1＝0关于直线ax －by ＋6＝0(a >0，b >0)对称，∴该直线经过圆心(－2,6)，即－2a －6b ＋6＝0，∴a ＋3b ＝3(a >0，b >0)， ∴2a ＋6b ＝23(a ＋3b )⎝⎛⎭⎫1a ＋3b ＝23⎝⎛⎭⎫1＋3a b ＋3b a ＋9≥23⎝⎛⎭⎫10＋2 3a b ·3b a ＝323， 当且仅当3b a ＝3ab，即a ＝b 时取等号．16．已知动点P (x ，y )满足x 2＋y 2－2|x |－2|y |＝0，O 为坐标原点，求x 2＋y 2的最大值． 解x 2＋y 2表示曲线上的任意一点(x ，y )到原点的距离．当x ≥0，y ≥0时，x 2＋y 2－2x －2y ＝0化为()x －12＋()y －12＝2，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×2＝22，当x <0，y <0时，x 2＋y 2＋2x ＋2y ＝0化为()x ＋12＋()y ＋12＝2，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×2＝22，当x ≥0，y <0时，x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0化为()x －12＋()y ＋12＝2，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×2＝22，当x <0，y ≥0时，x 2＋y 2＋2x －2y ＝0化为()x ＋12＋()y －12＝2，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×2＝2 2.综上可知，x2＋y2的最大值为2 2.。
