考点跟踪训练42方案设计型问题

2023年施工员-设备方向-通用基础(施工员)高频考点训练3卷合壹（带答案）（图片大小可自由调整）全文为Word可编辑，若为PDF皆为盗版，请谨慎购买！卷I一.全能考点(共100题)1.【判断题】由两个大小相等,方向相反的平行力组成的力系称为力偶。

参考答案：√2.【判断题】安装卫生器具时,不宜采用膨胀螺栓安装固定。

参考答案：×3.【单选题】建筑电气工程是为建筑物建造的电气设施,这种设备要确保在使用中对建筑物和使用建筑物的人都有可靠的()。

A、安全保障B、功能保障C、使用保障D、节能保障参考答案：A4.【单选题】湿式自动喷水灭火系统的组成不包括()。

A、湿式报警阀B、闭式喷头C、管网D、充气设备参考答案：D5.【单选题】以下不属于建筑电气工程的构成的是()。

A、电气装置B、布线系统C、用电设备（器具）电气部分D、安装系统参考答案：D6.【判断题】流体的黏性用动力黏滞系数或动力黏度（简称黏度）来确定,其单位是帕•秒。

参考答案：√7.【单选题】烟花爆竹散装成品仓库堆垛高度应()cm。

A、小于等于150B、等于150C、大于等于150参考答案：A8.【多选题】电路的工作状态包括()。

A、通路B、开路C、短路D、闭路E、超载参考答案：ABC9.【单选题】塑料排水管道安装时,粘结前应对承插口先插入试验,不得全部插入,一般为承口的()深度。

A、1/3B、2/3C、1/2D、3/4参考答案：D10.【单选题】电缆施放前应根据电缆总体布置情况,按施工实际(),并把电缆按实际长度通盘计划,避免浪费。

A、人力拖放电缆B、采用电缆输送机,降低劳动强度C、绘制电缆排列布置图D、排列整齐参考答案：C11.【单选题】建筑施工企业应当组织小少于（）专家组成的专家组，对已经编制的安全专项施工方案进行论证审查。

A、3名B、4名C、5名D、7名参考答案：C12.【单选题】建筑工程法律法规是指国家权力机关或其授权的行政机关制定的,由国家强制力保证实施的,旨在调整国家及其有关机构、企事业单位、社会团体、公民之间在()中或()中发生的各种社会关系的法律规范的统称。

决胜2024年中考解答题：二次函数与实际问题考点2：销售问题考点3：拱桥问题考点4：投球问题考点5：喷水问题6大考点跟踪训练考点2：销售问题5．某公司生产种产品，它的成本是6元/件，售价是8元/件，年销售量为5万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告，根据经验，每年投入的广告费是万元，产品的年销售量将是原销售量的倍，且与之间满足我们学过的二种函数（即一次函数和二次函数）关系中的一种，它们的关系如下表：（万元）00.51 1.52…1 1.275 1.5 1.675 1.8…（1）求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费用和广告费用，试求出年利润（万元）与广告费用（万元）的函数关系式，并计算每年投入的广告费是多少万元时所获得的利润最大？（3）如果公司希望年利润（万元）不低于14万元，请你帮公司确定广告费的范围．6．阳春三月，正是踏青的好时节，某品牌运动鞋很受顾客的喜爱，一家商场正在火热售卖该品牌运动鞋，每日销售量y（双）与销售单价x（元/双）之间存在一次函数关系，如下表所示．已知该品牌运动鞋的成本为元/双．销售单价x（元/双）销售量y（双）（1）求出y与x的函数关系式（要求写出自变量x的取值范围）；（2）当销售单价为多少元时，每日销售利润最大．此时最大利润为多少？7．某厂一种农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y（万元）与年产量x（万件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图11所示）；该产品的总销售额z（万元）＝预售总额（万元）＋波动总额（万元），预售总额＝每件产品的预售额（元）x年销售量x（万件），波动总额与年销售量x的平方成正比，部分数据如下表所示．生产出的该产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获年毛利润为w万元（年毛利润＝总销售额－生产货用）年销售量x（万件）…2040…总销售额z（万元）…5601040…（1）求y与x以及z与x之间的函数解析式；（2）若要使该产品的年毛利润不低于1000万元，求该产品年销售量的变化范围；（3）受市场经济的影响，需下调每件产品的预售额（生产费用与波动总额均不变），在此基础上，若要使2025年的最高毛利润为720万元，直接．．写出每件产品的预售额下调多少元．8．“五一”前夕，某超市销售一款商品，进价每件75元，售价每件140元，每天销售40件，每销售一件需支付给超市管理费5元．从五月一日开始，该超市对这款商品开展为期一个月“每天降价1元”的促销活动，即从第一天（5月1日）开始每天的售价均比前一天降低1元．通过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与第x天（，且x为整数）之间存在一次函数关系，x，y之间的部分数值对应关系如下表：第x天5101520日销售量y（件）50607080（1）直接写出y与x的函数关系式；（2）设第x天的利润为W元，试求出W与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大？最大利润是多少元？（3）销售20天后，由于某种原因，该商品的进价从第21天开始每件下降4元，其他条件保持不变，求超市在这一个月中，该商品的日销售利润不低于3430元的共有多少天？考点3：拱桥问题9．某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：方案一，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点N在x轴上，，．方案二，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点在x轴上，，．要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．方案一中，矩形框架的面积记为，点A、D在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上．现知，小华已正确求出方案二中，当时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：（1）求方案一中抛物线的函数表达式；（2）在方案一中，当时，求矩形框架的面积并比较，的大小．10．掷实心球是某市中考体育考试的选考项目，小强为了解自己实心球的训练情况，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立了如图所示的平面直角坐标系，在一次投掷中，实心球从y轴上的点处出手，运动路径可看作抛物线的一部分，实心球在最高点B的坐标为，落在x 轴上的点C处．（1）求抛物线的解析式；（2）某市男子实心球的得分标准如表：得分10095908580767066605040302010掷远12.411.29.69.18.47.87.0 6.5 5.3 5.0 4.6 4.2 3.6 3.0（米）请你求出小强在这次训练中的成绩，并根据得分标准给小强打分；（3）小强在练习实心球时，他的正前方距离投掷点9米处有一个身高1.2米的小朋友在玩耍，问该小朋友是否有危险（如果实心球在小孩头顶上方飞出为平安，否则视为危险），请说明理由．11．有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为，跨度为，如图所示，把它的图形放在直角坐标系中．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式．（2）如图，在对称轴右边处，桥洞离水面的高是多少？12．许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①）、可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨，的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，，关于y轴对称．分米，点A到x轴的距离是分米，A，B两点之间的距离是4分米．（1）求抛物线的表达式；（2）分别延长，交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离．考点4：投球问题13．如图，在某中学的一场篮球赛中，李明在距离篮圈中心5.5m（水平距离）处跳起投篮，球出手时离地面2.2m，当篮球运行的水平距离为3m时达到离地面的最大高度4m．已知篮球在空中的运行路线为一条抛物线，篮圈中心距地面3.05m．（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求篮球运动路线所在抛物线的函数解析式；（2）场边看球的小丽认为，李明投出的此球不能命中篮圈中心．请通过计算说明小丽判断的正确性；（3）在球出手后，未达到最高点时，被防守队员拦截下来称为盖帽．但球到达最高点后，处于下落过程时，防守队员再出手拦截，属于犯规．在（1）的条件下，防守方球员张亮前来盖帽，已知张亮的最大摸球高度为3.2m，则他应该在李明前面多少米范围内跳起拦截才能盖帽成功？14．图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分．据《范蠡兵法》记载：“飞石重十二斤，为机发，行二百步”，其原理蕴含了物理中的“杠杆原理”．在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡的底部点O处，石块从投石机竖直方向上的点C处被投出，已知石块运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是，．（1）求抛物线的表达式；（2）在斜坡上的点A建有垂直于水平线的城墙，且，，，点D，A，B在一条直线上．通过计算说明石块能否飞越城墙．15．如图，一小球M从斜坡上的O点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，斜坡可以用一次函数表示，若小球到达的最高点的坐标为，解答下列问题：（1）求抛物线的表达式；（2）求小球在飞行的过程中离斜坡的最大高度（垂直于地面）；（3）将小球的运动路线所在抛物线平移得到抛物线，当平移后的抛物线与直线仅有一个交点，且交点在线段上时，的取值范围是．16．某班级在一次课外活动中设计了一个弹珠投箱子的游戏（长方体无盖箱子放在水平地面上）．同学们受游戏启发，将弹珠抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（x轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，矩形为箱子的截面示意图），某同学将弹珠从处抛出，弹珠的飞行轨迹为抛物线(单位长度为)的一部分，且当弹珠的高度为时，对应的两个位置的水平距离为．已知，，．（1）求抛物线L的解析式和顶点坐标．（2）请判断该同学抛出的弹珠是否能投人箱子．若能，请通过计算说明原因；若不能，在不改其它条件的情况下，调整的高度，使得弹珠可以投入箱子，请直接写出的取值范围．考点5：喷水问题17．如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口离地竖直高度为（单位：）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到的距离为（单位：）．（1）若，；①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；②求下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标；③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围；（2）若．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的最小值．18．小颖家附近广场中央计划新建造个圆形的喷水池．在水池中央垂直于地面处安装个柱子，在柱子顶端A处安装一个喷头向外喷水．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图所示．已知柱子在水面以上部分OA的高度为1.25m，为使水流形状较为漂亮，要求设计水流在距离柱子1m处达到距离水平面最高，且最高为2.25m.（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求水流抛物线在第一象限内对应的函数表达式（不要求写自变量的取值范围）；（2）若不计其他因素，则水池的半径至少为多少米时，才能使喷出的水流不至于落到池外？19．如图1为某公园的圆形喷水池，小玲学习了二次函数后，受到该图启发设计了一种新的喷水池，它的截面示意图如图2所示，为水池中心，喷头、之间的距离为米，喷射水柱呈抛物线形，水柱距水池中心处达到最高，高度为．水池中心处有一个圆柱形蓄水池，其高为米．（1）在图2中，以点为坐标原点，水平方向为轴建立直角坐标系，并求右边这条抛物线的函数解析式．（2）如图3，拟在圆柱形蓄水池中心处建一喷水装置，从点向四周喷射抛物线形水柱且满足以下四个条件：不能碰到图2中的水柱；落水点，的间距为；水柱的最高点与点的高度差为；从点向四周喷射与图2中形状相同的抛物线形水柱．①在建立的坐标系中，求落水点的坐标；②求出喷水装置的高度．20．如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度(喷水头距喷灌架底部的距离)是1米，当喷射出的水流与喷灌架的水平距离为10米时，达到最大高度6米，现将喷灌架置于坡地底部点O处，草坡上距离O的水平距离为15米处有一棵高度为1.2米的小树AB，AB垂直水平地面且A点到水平地面的距离为3米．（1）计算说明小树是否会对水流浇灌到树后面的草坪造成影响?（2）求水流的高度与斜坡铅垂高度差的最大值．。

课时跟踪检测（九）A 组——12＋4提速练一、选择题1.如图为一个几何体的侧视图和俯视图，则它的正视图为( )解析：选B 根据题中侧视图和俯视图的形状，判断出该几何体是在一个正方体的上表面上放置一个四棱锥(其中四棱锥的底面是边长与正方体棱长相等的正方形、顶点在底面上的射影是底面一边的中点)，结合选项知，它的正视图为B.2．(2017·全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( )A ．10B ．12C ．14D ．16解析：选B 由三视图可知该多面体是一个组合体，下面是一个底面是等腰直角三角形的直三棱柱，上面是一个底面是等腰直角三角形的三棱锥，等腰直角三角形的腰长为2，直三棱柱的高为2，三棱锥的高为2，易知该多面体有2个面是梯形，这些梯形的面积之和为＋2×2＝12，故选B.3．(2017·合肥质检)若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥中与平面α平行的棱有( )A ．0条B ．1条C ．2条D ．0条或2条解析：选C 因为平行于三棱锥的两条相对棱的平面截三棱锥所得的截面是平行四边形，所以该三棱锥中与平面α平行的棱有2条，故选C.4．(2017·成都模拟)已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m ⊂α，n ⊂β.有下列命题：①若α∥β，则m ，n 可能平行，也可能异面； ②若α∩β＝l ，且m ⊥l ，n ⊥l ，则α⊥β； ③若α∩β＝l ，且m ⊥l ，m ⊥n ，则α⊥β. 其中真命题的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B 对于①，直线m ，n 可能平行，也可能异面，故①是真命题；对于②，直线m ，n 同时垂直于公共棱，不能推出两个平面垂直，故②是假命题；对于③，当直线n ∥l 时，不能推出两个平面垂直，故③是假命题．故真命题的个数为1.故选B.5．(2017·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A.π2＋1 B.π2＋3 C.3π2＋1 D.3π2＋3 解析：选A 由几何体的三视图可得，该几何体是一个底面半径为1，高为3的圆锥的一半与一个底面为直角边长为2的等腰直角三角形，高为3的三棱锥的组合体，故该几何体的体积V ＝13×12π×12×3＋13×12×2×2×3＝π2＋1. 6．(2017·郑州质检)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．80B ．160C ．240D ．480解析：选B 如图所示，题中的几何体是从直三棱柱ABC ­A ′B ′C ′中截去一个三棱锥A ­A ′B ′C ′后所剩余的部分，其中底面△ABC 是直角三角形，AC ⊥AB ，AC ＝6，AB ＝8，BB ′＝10.因此题中的几何体的体积为⎝ ⎛⎭⎪⎫12×6×8×10－13×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12×6×8×10＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×6×8×10＝160，故选B.7．(2017·合肥质检)一个几何体的三视图如图所示(其中正视图的弧线为四分之一圆周)，则该几何体的表面积为( )A ．72＋6πB ．72＋4πC ．48＋6πD ．48＋4π解析：选 A 由三视图知，该几何体由一个正方体的34部分与一个圆柱的14部分组合而成(如图所示)，其表面积为16×2＋(16－4＋π)×2＋4×2×2＋14×2π×2×4＝72＋6π，故选A.8．某几何体的三视图如图所示，则其体积为( )A ．207B ．216－9π2C ．216－36πD ．216－18π解析：选B 由三视图知，该几何体是一个棱长为6的正方体挖去14个底面半径为3，高为6的圆锥而得到的，所以该几何体的体积V ＝63－14×13×π×32×6＝216－9π2，故选B.9．(2017·贵阳检测)三棱锥P ­ABC 的四个顶点都在体积为500π3的球的表面上，底面ABC 所在的小圆面积为16π，则该三棱锥的高的最大值为( )A ．4B ．6C ．8D ．10解析：选C 依题意，设题中球的球心为O ，半径为R ，△ABC 的外接圆半径为r ，则4πR33＝500π3，解得R ＝5，由πr 2＝16π，解得r ＝4，又球心O 到平面ABC 的距离为R 2－r 2＝3，因此三棱锥P ­ABC 的高的最大值为5＋3＝8，故选C.10．(2017·洛阳统考)已知三棱锥P ­ABC 的四个顶点均在某球面上，PC 为该球的直径，△ABC 是边长为4的等边三角形，三棱锥P ­ABC 的体积为163，则此三棱锥的外接球的表面积为( )A.16π3 B.40π3 C.64π3D.80π3解析：选D 依题意，记三棱锥P ­ABC 的外接球的球心为O ，半径为R ，点P 到平面ABC 的距离为h ，则由V P ­ABC ＝13S △ABC h ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫34×42×h ＝163得h ＝433.又PC 为球O 的直径，因此球心O 到平面ABC 的距离等于12h ＝233.又正△ABC 的外接圆半径为r ＝AB 2sin 60°＝433，因此R 2＝r 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＝203，所以三棱锥P ­ABC 的外接球的表面积为4πR 2＝80π3，故选D. 11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.15π2 B ．8π C.17π2D ．9π解析：选B 依题意，题中的几何体是由两个完全相同的圆柱各自用一个不平行于其轴的平面去截后所得的部分拼接而成的组合体(各自截后所得的部分也完全相同)，其中一个截后所得的部分的底面半径为1，最短母线长为3、最长母线长为5，将这两个截后所得的部分拼接恰好形成一个底面半径为1，母线长为5＋3＝8的圆柱，因此题中的几何体的体积为π×12×8＝8π，故选B.12．(2018届高三·湘中名校联考)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.1603 B ．32 C.323D ．3523解析：选A 由三视图可知， 该几何体是由底面为等腰直角三角形(腰长为4)、高为8的直三棱柱截去一个等底且高为4的三棱锥而得到的，所以该几何体的体积V ＝12×4×4×8－13×12×4×4×4＝1603，故选A.二、填空题13．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为________．解析：设圆柱高为h ，底面圆半径为r ，周长为c ，圆锥母线长为l .由图得r ＝2，h ＝4，则c ＝2πr ＝4π，由勾股定理得：l ＝22＋32＝4，则S 表＝πr 2＋ch ＋12cl ＝4π＋16π＋8π＝28π.答案：28π14．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为________．解析：由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥．设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为V 1＝13×12×1×1×1＝16，剩余部分的体积V 2＝13－16＝56.所以V 1V 2＝1656＝15. 答案：1515．高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的________．解析：由侧视图、俯视图知该几何体是高为2、底面积为 12×2×(2＋4)＝6的四棱锥，其体积为13×6×2＝4.而直三棱柱的体积为12×2×2×4＝8，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的12. 答案：1216．(2017·兰州诊断考试)已知球O 的半径为13，其球面上有三点A ，B ，C ，若AB ＝123，AC ＝BC ＝12，则四面体OABC 的体积为________．解析：如图，过点A ，B 分别作BC ，AC 的平行线，两线相交于点D ，连接CD ，∵AC ＝BC ＝12，AB ＝123，在△ABC 中，cos ∠ACB ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝－12，∴∠ACB ＝120°，∴在菱形ACBD 中，DA ＝DB ＝DC ＝12，∴点D 是△ABC 的外接圆圆心，连接DO ，在△ODA 中，OA 2＝DA 2＋DO 2， 即DO 2＝OA 2－DA 2＝132－122＝25，∴DO ＝5，又DO ⊥平面ABC ，∴V O ­ABC ＝13×12×12×12×32×5＝60 3.答案：60 3B 组——能力小题保分练1．(2017·石家庄质检)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A ．16B ．20C ．52D ．60解析：选B 由三视图知，该几何体由一个底面为直角三角形(直角边分别为3,4)，高为6的三棱柱截去两个等体积的四棱锥所得，且四棱锥的底面是矩形(边长分别为2,4)，高为3，如图所示，所以该几何体的体积V＝12×3×4×6－2×13×2×4×3＝20，故选B.2．(2017·成都模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥外接球的表面积为( )A ．136πB ．34πC ．25πD ．18π解析：选B 由三视图知，该四棱锥的底面是边长为3的正方形，高为4，且有一条侧棱垂直于底面，所以可将该四棱锥补形为长、宽、高分别为3,3,4的长方体，该长方体外接球的半径R 即为该四棱锥外接球的半径，所以2R ＝32＋32＋42，解得R ＝342，所以该四棱锥外接球的表面积为4πR 2＝34π，故选B.3．(2018届高三·湖南五市十校联考)如图，小方格是边长为1的正方形，一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．45π＋96B ．(25＋6)π＋96C ．(45＋4)π＋64D ．(45＋4)π＋96解析：选D 由三视图可知，该几何体为一个圆锥和一个正方体的组合体，正方体的棱长为4，圆锥的高为4，底面半径为2，所以该几何体的表面积为S ＝6×42＋π×22＋π×2×42＋22＝(45＋4)π＋96.4．(2017·石家庄质检)四棱锥P ­ABCD 的底面ABCD 是边长为6的正方形，且PA ＝PB ＝PC ＝PD ，若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高为( )A ．6B ．5C.92D.94解析：选D 过点P 作PH ⊥平面ABCD 于点H .由题知，四棱锥P ­ABCD 是正四棱锥，内切球的球心O 应在四棱锥的高PH 上．过正四棱锥的高作组合体的轴截面如图，其中PE ，PF 是斜高，M 为球面与侧面的一个切点．设PH ＝h ，易知Rt △PMO ∽Rt △PHF ，所以OM FH ＝PO PF ，即13＝h －1h 2＋32，解得h ＝94，故选D.5．(2017·云南模拟)某几何体的三视图如图所示，若这个几何体的顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积是( )A ．2πB ．4πC ．5πD ．20π解析：选C 由三视图知，该几何体为三棱锥，其中边长为1的侧棱与底面垂直，底面为底边长为2的等腰直角三角形，所以可以将该三棱锥补形为长、宽、高分别为2，2，1的长方体，所以该几何体的外接球O的半径R＝22＋22＋122＝52，则球O的表面积S＝4πR2＝5π，故选C.6．(2017·武昌调研)在矩形ABCD中，AB<BC，现将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折的过程中，给出下列结论：①存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直；②存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直；③存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直．其中正确结论的序号是________．解析：①假设AC与BD垂直，过点A作AE⊥BD于点E，连接CE，如图所示，则AE⊥BD，BD⊥AC.又AE∩AC＝A，所以BD⊥平面AEC，从而有BD⊥CE，而在平面BCD中，CE与BD不垂直，故假设不成立，①错误．②假设AB⊥CD，∵AB⊥AD，AD∩CD＝D，∴AB⊥平面ACD，∴AB⊥AC，由AB<BC可知，存在这样的直角三角形BAC，使AB⊥CD，故假设成立，②正确．③假设AD⊥BC，∵DC⊥BC，AD∩DC＝D，∴BC⊥平面ADC，∴BC⊥AC，即△ABC为直角三角形，且AB为斜边，而AB<BC，故矛盾，假设不成立，③错误．答案：②。

新高考高三数学（文）二轮复习课时跟踪训练(六十一)[基础巩固]1．(2016·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝sin α，(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2.(1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标．[解] (1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1.C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.(2)由题意，可设点P 的坐标为(3cos α，sin α)．因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值，d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－2. ∴当sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝1时，d 的最小值为2，此时α＝π6＋2k π，k ∈Z ，∴P 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫32，12.2．(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t(t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程； (2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .[解] (1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2，C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ. 若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0， 由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0， 从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)，a ＝1. a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上， 所以a ＝1.3．(2018·湖北七市联考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α(t 是参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3. (1)求曲线C 2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线； (2)若曲线C 1与曲线C 2交于A ，B 两点，求|AB |的最大值和最小值．[解] (1)对于曲线C 2有ρ＝8cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3，即ρ2＝4ρcos θ＋43ρsin θ，因此曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x －43y ＝0，其表示一个圆．(2)联立曲线C 1与曲线C 2的方程可得t 2－23sin α·t －13＝0，|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝(23sin α)2－4×(－13)＝12sin 2α＋52，因此|AB |的最小值为213，最大值为8.4．(2017·东北三省四市二模)已知在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝1－255t ，y ＝1＋55t(t 为参数)．(1)求曲线C 1的直角坐标方程及直线l 的普通方程；(2)若曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝sin α(α为参数)，曲线C 1上的点P 的极角为π4，Q 为曲线C 2上的动点，求PQ 的中点M 到直线l 的距离的最大值．[解] (1)由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，又x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以曲线C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0，由直线l 的参数方程消去参数t 得直线l 的普通方程为x ＋2y －3＝0.(2)因为点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4，直角坐标为(2,2)， 点Q 的直角坐标为(2cos α，sin α)， 所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos α，1＋12sin α，点M 到直线l 的距离d ＝|1＋cos α＋2＋sin α－3|5＝105⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4， 当α＋π4＝π2＋k π(k ∈Z )，即α＝π4＋k π(k ∈Z )时，点M 到直线l 的距离d 的最大值为105.5．(2017·西宁统一测试)已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)． (1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值．[解] (1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|，则|P A |＝d sin30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43. 当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |取得最大值，最大值为2255. 当sin(θ＋α)＝1时，|P A |取得最小值，最小值为255.[能力提升]6．(2017·陕西西安地区高三八校联考)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，θ∈[0,2π]．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)在曲线C 上求一点D ，使它到直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ＋3，y ＝－3t ＋2(t 为参数)的距离最短，并求出点D 的直角坐标．[解] (1)由ρ＝2sin θ，θ∈[0,2π]，可得ρ2＝2ρsin θ. 因为ρ2＝x 2＋y 2，ρsin θ＝y ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0(或x 2＋(y －1)2＝1)．(2)因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ＋3，y ＝－3t ＋2(t 为参数)，消去t 得直线l 的普通方程为y ＝－3x ＋5.因为曲线C ：x 2＋(y －1)2＝1是以G (0,1)为圆心、1为半径的圆，(易知C 、l 相离)设点D (x 0，y 0)，且点D 到直线l ：y ＝－3x ＋5的距离最短， 所以曲线C 在点D 处的切线与直线l ：y ＝－3x ＋5平行． 即直线GD 与l 的斜率的乘积等于－1，即y 0－1x 0×(－3)＝－1，又x 20＋(y 0－1)2＝1，可得x 0＝－32(舍去)或x 0＝32，所以y 0＝32，即点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.7．(2017·湖南五市十校高三联考)在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，直线l 与曲线C ：⎩⎨⎧x ＝1cos θ，y ＝tan θ(θ为参数)相交于不同的两点A ，B .(1)若α＝π3，求线段AB 的中点的直角坐标；(2)若直线l 的斜率为2，且过已知点P (3,0)，求|P A |·|PB |的值． [解](1)由曲线C ：⎩⎨⎧x ＝1cos θ，y ＝tan θ(θ为参数)，可得曲线C 的普通方程是x 2－y 2＝1.当α＝π3时，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，代入曲线C 的普通方程，得t 2－6t －16＝0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝6，所以线段AB 的中点对应的t ＝t 1＋t 22＝3，故线段AB 的中点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫92，332. (2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，化简得 (cos 2α－sin 2α)t 2＋6t cos α＋8＝0，则|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪8cos 2α－sin 2α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪8(1＋tan 2α)1－tan 2α， 由已知得tan α＝2，故|P A |·|PB |＝403.8．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)，其中a >b >0.以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2cos θ，射线l ：θ＝α(ρ≥0)．若射线l 与曲线C 1交于点P ，射线l 与曲线C 2交于点Q ，当α＝0时，|PQ |＝1；当α＝π2时，|OP |＝ 3.(1)求曲线C 1的普通方程；(2)设直线l ′：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－t ，y ＝3t (t 为参数，t ≠0)与曲线C 2交于点R ，若α＝π3，求△OPR 的面积．[解] (1)因为曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)，且a >b >0，所以曲线C 1的普通方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，而其极坐标方程为ρ2cos 2θa 2＋ρ2sin 2θb 2＝1.将θ＝0(ρ≥0)代入ρ2cos 2θa 2＋ρ2sin 2θb 2＝1，得ρ＝a ，即点P 的极坐标为(a,0)，将θ＝0(ρ≥0)代入ρ＝2cos θ，得ρ＝2，即点Q 的坐标为(2,0)． 因为|PQ |＝1，所以|PQ |＝|a －2|＝1，所以a ＝1或a ＝3. 将θ＝π2(ρ≥0)代入ρ2cos 2θa 2＋ρ2sin 2θb 2＝1，得ρ＝b ，即点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，π2，因为|OP |＝3，所以b ＝3，因为a >b >0，所以a ＝3， 所以曲线C 1的普通方程为x 29＋y 23＝1.(2)因为直线l ′的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－t ，y ＝3t(t 为参数，t ≠0)，所以直线l ′的普通方程为y ＝－3x (x ≠0)，而其极坐标方程为θ＝－π3(ρ∈R ，ρ≠0)，所以将直线l ′的方程θ＝－π3代入曲线C 2的方程ρ＝2cos θ，得ρ＝1，即|OR |＝1.因为将射线l 的方程θ＝π3(ρ≥0)代入曲线C 1的方程ρ2cos 2θ9＋ρ2sin 2θ3＝1，得ρ＝3105，即|OP |＝3105，所以S △OPR ＝12|OP ||OR |·sin ∠POR ＝12×3105×1×sin π3＝33020.。

课时跟踪检测（四） 一元二次不等式及其解法一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·浙江名校联考)已知集合A ＝{y |y ＝x ＋1}，B ＝{x |x 2－x －6＞0}，则A ∩∁R B ＝( )A ．[1,2]B ．[1,3]C ．[1,2)D ．[1,3)解析：选B 由题意知A ＝[1，＋∞)，B ＝(－∞，－2)∪(3，＋∞)，故∁R B ＝[－2,3]，A ∩∁RB ＝[1,3]．2．(2018·台州模拟)不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1,4]B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D ．[－2,5]解析：选A x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4.3．(2018·镇海中学月考)不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |2＜x ＜3}，则不等式ax 2－bx ＋c ＞0的解集为________．解析：令f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，其图象如下图所示，再画出f (－x )的图象即可，所以不等式ax 2－bx ＋c ＞0的解集为{x |－3＜x ＜－2}． 答案：{x |－3＜x ＜－2}4．(2018·金华十校联考)若不等式2x －1＞m (x 2－1)对满足|m |≤2的所有m 都成立，则x 的取值范围为___________．解析：原不等式化为(x 2－1)m －(2x －1)＜0. 令f (m )＝(x 2－1)m －(2x －1)(－2≤m ≤2)．则⎩⎪⎨⎪⎧f －＝－x 2－－x －＜0，f＝x 2－－x －＜0.解得－1＋72＜x ＜1＋32，故x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋72，1＋32.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋72，1＋325．(2018·湖州五校联考)已知实数x ，y 满足x 2＋2y 2＋12≤x (2y ＋1)，则x ＝________，y ＝________，2x ＋log 2y ＝________.解析：法一：由已知得2x 2＋4y 2－4xy －2x ＋1≤0，即(x －1)2＋(x －2y )2≤0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝0，x －2y ＝0，解得x ＝1，y ＝12，2x ＋log 2y ＝2＋log 212＝2－1＝1.法二：由已知得，关于x 的不等式x 2－(2y ＋1)x ＋2y 2＋12≤0(*)有解，所以Δ＝[－(2y＋1)]2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫2y 2＋12≥0，即Δ＝－(2y －1)2≥0，所以2y －1＝0，即y ＝12，此时不等式(*)可化为x 2－2x ＋1≤0，即(x －1)2≤0，所以x ＝1,2x＋log 2y ＝2＋log 212＝2－1＝1.答案：1 1211．已知不等式x 2－2x －3＜0的解集为A ，不等式x 2＋x －6＜0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为A ∩B ，则a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．3解析：选A 由题意得，A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－3＜x ＜2}，∴A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}，由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3.2．若a ＜0，则关于x 的不等式x 2－4ax －5a 2＞0的解集是( ) A ．(－∞，－a )∪(5a ，＋∞) B ．(－∞，5a )∪(－a ，＋∞) C ．(5a ，－a ) D ．(a ，－5a )解析：选B 由x 2－4ax －5a 2＞0，得(x －5a )(x ＋a )＞0， ∵a ＜0，∴x ＜5a 或x ＞－a .3．(2018·丽水五校联考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x ＞0，x 2＋bx ＋c ，x ≤0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝0，则关于x 的不等式f (x )≤1的解集为( )A ．(－∞，－3]∪[－1，＋∞)B ．[－3，－1]C ．[－3，－1]∪(0，＋∞)D ．[－3，＋∞)解析：选C 因为f (－4)＝f (0)，所以当x ≤0时，f (x )的对称轴为x ＝－2，又f (－2)＝0，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x ＞0，x ＋2，x ≤0，不等式f (x )≤1的解为[－3，－1]∪(0，＋∞)，故选C.4．(2018·宁波四校联考)设二次函数f (x )＝x 2－x ＋a (a ＞0)，若f (m )＜0，则f (m －1)的值为( )A ．正数B ．负数C ．非负数D ．正数、负数和零都有可能解析：选A 设f (x )＝x 2－x ＋a ＝0的两个根为α，β，由f (m )＜0，则α＜m ＜β， 由于二次函数f (x )＝x 2－x ＋a 的对称轴为x ＝12，且f (0)＝a ＞0，则|α－β|＜1，f (m－1)＞0，故选A.5．若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值范围是( ) A ．[－4,1] B ．[－4,3] C ．[1,3]D ．[－1,3]解析：选B 原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a ＜1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a ＜1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a ＞1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1＜a ≤3.综上可得－4≤a ≤3.6．不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集， ∴Δ＝a 2－4×4＞0，即a 2＞16. ∴a ＞4或a ＜－4.答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)7．若关于x 的不等式ax ＞b 的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，15，则关于x 的不等式ax 2＋bx －45a ＞0的解集为________．解析：由已知ax ＞b 的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，15，可知a ＜0，且b a ＝15，将不等式ax 2＋bx －45a＞0两边同除以a ，得x 2＋b a x －45＜0，即x 2＋15x －45＜0，即5x 2＋x －4＜0，解得－1＜x ＜45，故所求解集为⎝⎛⎭⎪⎫－1，45. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫－1，45 8．(2018·萧山月考)不等式x2＋ax ＋b ＞0(a ，b ∈R)的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠－12a ，x ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ＜c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．解析：因为不等式x 2＋ax ＋b ＞0(a ，b ∈R)的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠－12a ，x ∈R ，所以x 2＋ax ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12a 2＝0，那么不等式x 2＋ax ＋b ＜c ， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12a 2＜c ，所以c ≥0， 所以－c －12a ＜x ＜c －12a ，又m ＜x ＜m ＋6，c －12a －⎝⎛⎭⎪⎫－c －12a ＝m ＋6－m ，即2c ＝6，所以c ＝9. 答案：99．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)＞0；(2)若不等式f (x )＞b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值． 解：(1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6， ∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3， ∴原不等式可化为a 2－6a －3＜0， 解得3－23＜a ＜3＋2 3.∴原不等式的解集为{a |3－23＜a ＜3＋23}．(2)f (x )＞b 的解集为(－1,3)等价于方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3，等价于⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝a －a3，－1×3＝－6－b3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.10．关于x 的不等式⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，2x 2＋k ＋x ＋5k ＜0的整数解的集合为{－2}，求实数k的取值范围．解：由x 2－x －2＞0可得x ＜－1或x ＞2.∵⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，2x 2＋k ＋x ＋5k ＜0，的整数解为x ＝－2，又∵方程2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k ＝0的两根为－k 和－52.①若－k ＜－52，则不等式组的整数解集合就不可能为{－2}； ②若－52＜－k ，则应有－2＜－k ≤3.∴－3≤k ＜2.综上，所求k 的取值范围为[－3,2)． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．若关于x 的不等式x 2－4x －2－a ＞0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．(－2，＋∞)C ．(－6，＋∞)D ．(－∞，－6)解析：选A 不等式x 2－4x －2－a ＞0在区间(1,4)内有解等价于a ＜(x 2－4x －2)max ，令g (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1,4)，∴g (x )＜g (4)＝－2，∴a ＜－2.2．设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若f (1)＝72，问是否存在a ，b ，c ∈R ，使得不等式x 2＋12≤f (x )≤2x 2＋2x ＋32对一切实数x 都成立，证明你的结论．解：由f (1)＝72，得a ＋b ＋c ＝72.令x 2＋12＝2x 2＋2x ＋32，解得x ＝－1.由f (x )≤2x 2＋2x ＋32推得f (－1)≤32，由f (x )≥x 2＋12推得f (－1)≥32，∴f (－1)＝32.∴a －b ＋c ＝32.故a ＋c ＝52且b ＝1.∴f (x )＝ax 2＋x ＋52－a .依题意ax 2＋x ＋52－a ≥x 2＋12对一切x ∈R 都成立，即(a －1)x 2＋x ＋2－a ≥0对一切x ∈R 都成立． ∴a ≠1且Δ＝1－4(a －1)(2－a )≤0. 即(2a －3)2≤0，∴(2a －3)2＝0， 由a －1＞0得a ＝32.∴f (x )＝ 32x 2＋x ＋1.证明如下：32x 2＋x ＋1－2x 2－2x －32＝－12x 2－x －12＝－12(x ＋1)2≤0.∴32x 2＋x ＋1≤2x 2＋2x ＋32对x ∈R 都成立． 32x 2＋x ＋1－x 2－12＝12x 2＋x ＋12＝12(x ＋1)2≥0， ∴x 2＋12≤32x 2＋x ＋1对x ∈R 都成立．∴存在实数a ＝32，b ＝1，c ＝1，使得不等式x 2＋12≤f (x )≤2x 2＋2x ＋32对一切x ∈R 都成立．。

2023年焊工（技师）高频考点训练3卷合壹（带答案）（图片大小可自由调整）全文为Word可编辑，若为PDF皆为盗版，请谨慎购买！卷I一.全能考点(共100题)1.【判断题】元广建设集团是一大型建筑公司，根据《中华人民共和国安全生产法》和《中华人民共和国安全许可证条例》的有关规定应领取安全生产许可证，请判断下列论述是否正确：（2）安全生产许可证的有效期为5年。

（）参考答案：×2.【单选题】在机械制图中，三视图的投影规律是()宽相等。

A、主视图与左视图B、主视图与俯视图C、俯视图与左视图D、主视图与右视图参考答案：C3.【单选题】()的对接接头的弯曲试验不能用焊接接头弯曲试验国家标准进行。

A、电阻焊B、CO2气体保护焊C、烙铁钎焊D、钨极氩弧焊参考答案：C4.【判断题】()斜Y形坡口对接裂纹试验的试件坡口加工可采用气割完成。

参考答案：×5.【单选题】由于铝及铝合金熔点低、高温强度低、熔化时没有显著的颜色变化，因此焊接时容易产生()缺陷。

A、气孔B、接头不等强C、热裂纹D、塌陷参考答案：D6.【单选题】强夯地基承载力检验，应在施工结束后间隔一定时间进行，对于碎石土和砂土地基，间隔时间宜为（）；粉土和黏性土地基，间隔时间宜为14d-28d；强夯置换、半置换地基，其间隔时间可取28d。

A、7d-14dB、8d-16dC、10d-24dD、14d-28d参考答案：A7.【多选题】班前活动的安全交底主要内容是（）。

A、当天的作业环境B、气候情况C、工酬D、各个环节的操作安全要求E、与特殊工种的配合参考答案：ABDE8.【单选题】梁和柱焊接时，()不是减小和预防焊接变形的措施。

A、正确的焊接顺序B、刚性固定法C、焊后锤击焊缝D、减小焊缝尺寸参考答案：C9.【判断题】（）由于工装夹具是焊接电源二次回路的一个组成部分，因此耐高温性能是必须要注意的问题。

参考答案：×10.【单选题】采用机械切削加工方法加工斜Y形坡口对接裂纹试件坡口，目的之一是为了()。

课时跟踪练(四十二)A 组　基础巩固1．用数学归纳法证明：“1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝(a ≠1，n1－an ＋21－a∈N *)”，在验证n ＝1时，左端计算所得的项为( )A ．1B ．1＋aC ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 3解析：当n ＝1时，把n ＝1代入左端，计算得1＋a ＋a 1＋1＝1＋a ＋a 2.故正确答案为C.答案：C2．一个关于自然数n 的命题，如果验证当n ＝1时命题成立，并在假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时命题成立的基础上，证明了当n ＝k ＋2时命题成立，那么综合上述，对于( )A ．一切正整数命题成立B ．一切正奇数命题成立C ．一切正偶数命题成立D ．以上都不对解析：本题证的是对n ＝1，3，5，7，…命题成立，即命题对一切正奇数成立．答案：B3．在数列{a n }中，a 1＝，且S n ＝n (2n －1)a n ，通过求a 2，a 3，a 4，13猜想a n 的表达式为( )A. B.1（n －1）（n ＋1）12n （2n ＋1）C. D.1（2n －1）（2n ＋1）1（2n ＋1）（2n ＋2）解析：由a 1＝，S n ＝n (2n －1)a n 求得a 2＝＝，a 3＝＝1311513×5135，a 4＝＝.猜想a n ＝.15×716317×91（2n －1）（2n ＋1）答案：C4．对于不等式＜n ＋1(n ∈N *)，某同学用数学归纳法证明n 2＋n 的过程如下：(1)当n ＝1时，＜1＋1，不等式成立．12＋1(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式＜k ＋1成立，当n ＝k ＋1k 2＋k 时，＝＜（k ＋1）2＋k ＋1k 2＋3k ＋2（k 2＋3k ＋2）＋（k ＋2）＝(k ＋1)＋1.（k ＋2）2所以当n ＝k ＋1时，不等式成立，则上述证法( )A ．过程全部正确B ．n ＝1验得不正确C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确解析：当n ＝k ＋1时，没有应用当n ＝k 时的假设，不是数学归纳法．答案：D5．(2019·岳阳模拟)用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋121412n －1>(n ∈N *)成立，其初始值至少应取( )12764A ．7B ．8C ．9D ．10解析：左边求和可得1＋＋＋…＋＝＝2－，121412n －11－12n1－1212n －1右边＝＝2－，故2－>2－，1276416412n －1164即<＝，所以2n －1>26，解得n >7.12n －1164126所以初始值至少应取8.答案：B6．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝，则当n ＝k ＋1n4＋n 22时左端应在n ＝k 的基础上加上的项为________．解析：当n ＝k 时左端为1＋2＋3＋…＋k ＋(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋k 2，则当n ＝k ＋1时，左端为1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2，故增加的项为(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2.答案：(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)27．数列{a n }中，已知a 1＝2，a n ＋1＝(n ∈N *)，依次计算出a 2，a n3a n ＋1a 3，a 4，猜想a n ＝________．解析：a 1＝2，a 2＝＝，a 3＝＝，23×2＋127273×27＋1213a 4＝＝.2133×213＋1219由此猜想a n 是以分子为2，分母是以首项为1，公差为6的等差数列，所以a n ＝.26n －5答案：26n －58．凸n 多边形有f (n )条对角线．则凸(n ＋1)边形的对角线的条数f (n ＋1)与f (n )的递推关系式为________．解析：f (n ＋1)＝f (n )＋(n －2)＋1＝f (n )＋n －1.答案：f (n ＋1)＝f (n )＋n －19．用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋<2－(n ∈N *，n ≥2)．1221321n 21n 证明：(1)当n ＝2时，1＋＝<2－＝，命题成立．122541232(2)假设当n ＝k 时命题成立，即1＋＋＋…＋<2－.1221321k 21k当n ＝k ＋1时，1＋＋＋…＋＋<2－＋1221321k 21（k ＋1）21k 1（k ＋1）2<2－＋＝2－＋－＝2－，命题成立．1k 1k （k ＋1）1k 1k 1k ＋11k ＋1由(1)(2)知，原不等式在n ∈N *，n ≥2时均成立．10．已知点P n (a n ，b n )满足a n ＋1＝a n ·b n ＋1，b n ＋1＝(n ∈N *)，b n 1－4a 且点P 1的坐标为(1，－1)．(1)求过点P 1，P 2的直线l 的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于n ∈N *，点P n 都在(1)中的直线l 上．(1)解：由题意得a 1＝1，b 1＝－1，b 2＝＝，a 2＝1×＝，－11－4×1131313所以P 2.(13，13)所以直线l 的方程为＝，y ＋113＋1x －113－1即2x ＋y ＝1.(2)证明：①当n ＝1时，2a 1＋b 1＝2×1＋(－1)＝1成立．②假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时，2a k ＋b k ＝1成立．当n ＝k ＋1时，2a k ＋1＋b k ＋1＝2a k ·b k ＋1＋b k ＋1＝·(2a k ＋1)＝b k1－4a ＝＝1，b k1－2a k 1－2a k 1－2ak 所以当n ＝k ＋1时，2a k ＋1＋b k ＋1＝1也成立．由①②知，对于n ∈N *，都有2a n ＋b n ＝1，即点P n 在直线l 上．B 组　素养提升11．平面内有n 条直线，最多可将平面分成f (n )个区域，则f (n )的表达式为( )A ．n ＋1B ．2n C.D ．n 2＋n ＋1n 2＋n ＋22解析：1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；…；n 条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n )＝1＋＝个区域．n （n ＋1）2n 2＋n ＋22答案：C12．已知f (n )＝(2n ＋7)·3n ＋9，存在正整数m ，使得对任意n ∈N *，f (n )都能被m 整除，则m 的最大值为( )A ．18B ．36C ．48D ．54解析：由于f (1)＝36，f (2)＝108，f (3)＝360都能被36整除，猜想f (n )能被36整除，即m 的最大值为36.当n ＝1时，可知猜想成立．假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，猜想成立，即f (k )＝(2k ＋7)·3k ＋9能被36整除；当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝(2k ＋9)·3k ＋1＋9＝(2k ＋7)·3k ＋9＋36(k ＋5)·3k －2，因此f (k ＋1)也能被36整除，故所求m 的最大值为36.故选B.答案：B13．设平面内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f (n )表示这n 条直线交点的个数，则f (4)＝________；当n ＞4时，f (n )＝________(用n 表示)．解析：f (3)＝2，f (4)＝f (3)＋3＝2＋3＝5，f (n )＝f (3)＋3＋4＋…＋(n －1)＝2＋3＋4＋…＋(n －1)＝(n ＋121)(n －2)(n ≥3)．答案：5　(n ＋1)(n －2)(n ≥3)1214．(2019·广州模拟)已知函数f (x )＝ax －x 2的最大值不大于，3216又当x ∈时，f (x )≥.[14，12]18(1)求a 的值；(2)设0<a 1<，a n ＋1＝f (a n )，n ∈N *，证明：12a n <.1n ＋1(1)解：由题意，知f (x )＝ax －x 2＝－＋.3232(x －a 3)2 a 26又f (x )max ≤，所以f (x )max ＝f ＝≤.16(a 3)a 2616所以a 2≤1.又当x ∈时，f (x )≥，[14，12]18所以即{f (12)≥18，f(14)≥18，){a 2－38≥18，a 4－332≥18，)解得a ≥1.又因为a 2≤1，所以a ＝1.(2)证明：用数学归纳法证明如下：①当n ＝1时，0<a 1<，显然结论成立．12因为当x ∈时，0<f (x )≤，(0，12)16所以0<a 2＝f (a 1)≤<.1613故当n ＝2时，原不等式也成立．②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式0<a k <成立．1k ＋1由(1)知a ＝1，f (x )＝x －x 2，32因为f (x )＝x －x 2的对称轴为直线x ＝，3213所以当x ∈时，f (x )为增函数．(0，13]所以由0<a k <≤，得0<f (a k )<f .1k ＋113(1k ＋1)于是，0<a k ＋1＝f (a k )<－·＋－＝－1k ＋1321（k ＋1）21k ＋21k ＋21k ＋2<.k ＋42（k ＋1）2（k ＋2）1k ＋2所以当n ＝k ＋1时，原不等式也成立．由①②知，对任意n ∈N *，不等式a n <成立．1n ＋1。

考点跟踪训练方案设计
型问题
文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-MG129]
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考点跟踪训练42方案设计型问题
一、选择题
1．一宾馆有双人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团20人准备同时租用这三种客房共7间(每种房间至少有一间)，如果每个房间都住满，租房方案有( )
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
答案A
解析分类讨论：二人间、三人间、四人间分别为(1,2,3)、(2,4,1)、(3,2,2)、(5,2,1)，有4种租房方案．
2．(2010·乌鲁木齐)有若干张面积分别为a2、b2、ab的正方形和长方形纸片，阳阳从中抽取了1张面积为a2的正方形纸片，4张面积为ab的长方形纸片，若他想拼成一个大正方形，则还需要抽取面积为b2的正方形纸片( ) A．2张 B．4张 C．6张 D．8张
答案B
解析要想拼成一个大正方形，即所用的正方形纸片与长方形纸片的面积需构成一个正方形，由完全平方公式，a2＋4ab＋4b2＝(a＋2b)2，还需4张面积为b2的正方形．
3．在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1,1)，点B的坐标为(11,1)，点C到直线AB的距离为4，且△ABC是直角三角形，则满足条件的点C有( ) A．4个 B．6个 C．8个 D．10个
答案C。

最新人教A版高中数学必修二全册同步课时跟踪练习棱柱、棱锥、棱台的结构特征圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征中心投影与平行投影及空间几何体的三视图空间几何体的直观图柱体、锥体、台体的表面积与体积球的体积和表面积平面空间中直线与直线之间的位置关系空间中直线与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系直线与平面、平面与平面平行的判定直线与平面、平面与平面平行的性质直线与平面垂直的判定平面与平面垂直的判定直线与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质倾斜角与斜率两条直线平行与垂直的判定直线的点斜式方程直线的两点式方程直线的一般式方程两条直线的交点坐标、两点间的距离点到直线的距离、两条平行线间的距离圆的标准方程圆的一般方程直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系直线与圆的方程的应用空间直角坐标系棱柱、棱锥、棱台的结构特征一、题组对点训练对点练一棱柱的结构特征1．下面没有体对角线的一种几何体是()A．三棱柱B．四棱柱C．五棱柱D．六棱柱解析：选A三棱柱只有面对角线，没有体对角线．2．关于如图所示的4个几何体，说法正确的是()A．只有②是棱柱B．只有②④是棱柱C．只有①②是棱柱 D.只有①②④是棱柱解析：选D解决这类问题，要紧扣棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行．图①②④满足棱柱的定义，正确；图③不满足侧面都是平行四边形，不正确．3．如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体的形状是________．解析：由于倾斜角度较小，所以倾斜后水槽中水形成的几何体的形状应为四棱柱．答案：四棱柱对点练二棱锥、棱台的结构特征4．三棱锥的四个面中可以作为底面的有()A．1个B．2个C．3个 D.4个解析：选D三棱锥的每一个面均可作为底面，应选D.5．下面说法中，正确的是()A．上下两个底面平行且是相似四边形的几何体是四棱台B．棱台的所有侧面都是梯形C．棱台的侧棱长必相等D．棱台的上下底面可能不是相似图形解析：选B由棱台的结构特点可知，A、C、D不正确．6．下列四个几何体为棱台的是()解析：选C棱台的底面为多边形，各个侧面为梯形，侧棱延长后又交于一点，只有C 项满足这些要求．对点练三多面体的表面展开图7．下列图形中，不是三棱柱展开图的是()解析：选C本题考查三棱柱展开图的形状．显然C无法将其折成三棱柱，故选C.8．如图所示，不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是()A．①③B．②④C．③④ D.①②解析：选C可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现①②可折成正四面体，③④不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体．9．如图，这是一个正方体的表面展开图，若把它再折回成正方体后，有下列命题：①点H与点C重合；②点D，M，R重合；③点B与点Q重合；④点A与点S重合．其中正确命题的序号是________(把你认为正确命题的序号都填上)．解析：将正方体的六个面分别用“前”“后”“左”“右”“上”“下”标记，若记面NPGF为“下”，面PSRN为“后”，则面PQHG，MNFE，EFCB，DEBA分别为“右”“左”“前”“上”．按各面的标记折成正方体，则点D，M，R重合；点G，C重合；点B，H重合；点A，S，Q重合．故②④正确，①③错误．答案：②④二、综合过关训练1．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是()解析：选D A、B、C中底面边数与侧面个数不一致，故不能围成棱柱．2．以下有三个结论：①有两个面互相平行，其余各面都是四边形的多面体一定是棱柱；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体一定是棱锥；③侧面都是矩形的棱柱是长方体．正确的个数是()A．0 B．1C．2 D.3解析：选A由棱柱、棱锥定义知①②错；侧面都是矩形的棱柱可能是斜棱柱，故③错．3．某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒(如图)，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为()解析：选A两个☆不能并列相邻，B、D错误；两个※不能并列相邻，C错误，故选A.也可通过实物制作检验来判定．4．下列说法正确的是()A．有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台B．多面体至少有3个面C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形解析：选D选项A错误，反例如图1；一个多面体至少有4个面，如三棱锥有4个面，不存在有3个面的多面体，所以选项B错误；选项C错误，反例如图2，上、下底面是全等的菱形，各侧面是全等的正方形，它不是正方体；根据棱柱的定义，知选项D正确．5．若一个棱台共有21条棱，则这个棱台是________棱台．解析：由棱台的概念可知，棱台的上下底面为相似多边形，边数相同；侧面为梯形，侧面个数与底面多边形边数相同，可知该棱台为七棱台．答案：七6．如图所示平面图形沿虚线折起后，(1)为________，(2)为________，(3)为________．解析：结合棱柱、棱锥的概念可知，(1)是四棱柱，(2)是三棱锥，(3)是四棱锥．答案：四棱柱三棱锥四棱锥7．观察下列四张图片，结合所学知识说出这四个建筑物主要的结构特征．解：(1)是上海世博会中国馆，其主体结构是四棱台．(2)是法国卢浮宫，其主体结构是四棱锥．(3)是国家游泳中心“水立方”，其主体结构是四棱柱．(4)是美国五角大楼，其主体结构是五棱柱．8．如图在以O为顶点的三棱锥中，过O的三条棱两两夹角都是30°，在一条棱上取A、B两点，OA＝4 cm，OB＝3 cm，以A、B为端点用一条绳子紧绕三棱锥的侧面一周(绳和侧面无摩擦)，求此绳在A、B两点间的最短绳长．解：作出三棱锥的侧面展开图，如图A、B两点间最短绳长就是线段AB的长度．在△AOB中，∠AOB＝30°×3＝90°，OA＝4 cm，OB＝3 cm，所以AB＝OA2＋OB2＝5 cm.所以此绳在A、B两点间的最短绳长为5 cm.圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征一、题组对点训练对点练一旋转体的结构特征1．下列几何体中是旋转体的是()①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体．A．①和⑤B．①C．③和④ D.①和④解析：选D根据旋转体的概念可知，①和④是旋转体．2．下面几何体的轴截面(过旋转轴的截面)是圆面的是()A．圆柱B．圆锥C．球 D.圆台解析：选C圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形，只有球的轴截面是圆面．3．有下列说法：①球的半径是球面上任意一点与球心的连线；②球的直径是球面上任意两点间的连线；③用一个平面截一个球，得到的是一个圆．其中正确说法的序号是________．解析：利用球的结构特征判断：①正确；②不正确，因为直径必过球心；③不正确，因为得到的是一个圆面．答案：①对点练二简单组合体4．下列几何体是简单组合体的是()解析：选D A选项中的几何体是圆锥，B选项中的几何体是圆柱，C选项中的几何体是球，D选项中的几何体是一个圆台中挖去一个圆锥，是简单组合体．5．以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体是()A．两个圆锥拼接而成的组合体B．一个圆台C．一个圆锥D．一个圆锥挖去一个同底的小圆锥解析：选D如图以AB为轴所得的几何体是一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥．6．指出如图(1)(2)所示的图形是由哪些简单几何体构成的．解：分割图形，使它的每一部分都是简单几何体．图(1)是由一个三棱柱和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．图(2)是由一个圆锥和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．对点练三有关几何体的计算7．用长为4，宽为2的矩形作侧面围成一个圆柱，此圆柱轴截面面积为()A．8 B.8π C.4π D.2π解析：选B由题意可知，假设围成的圆柱底面周长为4，高为2，设圆柱底面圆的半径为r，则2πr＝4，所以r＝2π，所以截面是长为2，宽为4π的矩形，所以截面面积为2×4π＝8π.同理，当围成的圆柱底面周长为2，高为4时，截面面积为8π.8．一个圆锥的母线长为20 cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为________cm.解析：h＝20 cos 30°＝103(cm)．答案：10 3二、综合过关训练1．如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为()A．一个球体B．一个球体中间挖出一个圆柱C．一个圆柱D．一个球体中间挖去一个长方体解析：选B圆旋转一周形成球，圆中的矩形旋转一周形成一个圆柱，所以选B.2．下列说法中正确的个数是()①用一个平面去截一个圆锥得到一个圆锥和一个圆台；②圆锥中过轴的截面是一个等腰三角形；③分别以矩形(非正方形)的长和宽所在直线为旋转轴，旋转一周得到的两个几何体是两个不同的圆柱．A．0 B．1 C．2 D.3解析：选C①中，必须用一个平行于底面的平面去截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，故①说法错误；显然②③说法正确．故说法正确的有2个．3.若圆柱体被平面截成如图所示的几何体，则它的侧面展开图是()解析：选D结合几何体的实物图，从截面最低点开始高度增加缓慢，然后逐渐变快，最后增加逐渐变慢，不是均衡增加的，所以A、B、C错误．4．两平行平面截半径为5的球，若截面面积分别为9 π和16 π，则这两个平面间的距离是()A．1B．7C．3或4 D.1或7解析：选D如图(1)所示，若两个平行平面在球心同侧，则CD＝52－32－52－42＝1.如图(2)所示，若两个平行截面在球心两侧，则CD＝52－32＋52－42＝7.5．给出下列说法：①圆柱的底面是圆面；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③圆台的任意两条母线的延长线，可能相交，也可能不相交；④夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体，其中说法正确的是________．解析：①正确，圆柱的底面是圆面；②正确，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③不正确，圆台的母线延长一定相交于一点；④不正确，夹在圆柱的两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．答案：①②6．已知圆锥的底面半径为1 cm，高为 2 cm，其内部有一个内接正方体，则这个内接正方体的棱长为________．解析：设正方体的棱长为a，则a2＝1－22a1，即a＝2 2.答案：22cm7.如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，且AD<BC，当梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周时，其他各边旋转围成了一个几何体，试描述该几何体的结构特征．解：如图所示，旋转所得的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分构成的简单组合体．8．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm2，母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和两底面半径．解：圆台的轴截面如图所示，设圆台上、下底面半径分别为x cm,3x cm，延长AA1交OO1的延长线于S，在Rt△SOA中，∠ASO＝45°，则∠SAO＝45°，所以SO＝AO＝3x，SO1＝A1O1＝x，所以OO1＝2x.又S轴截面＝12(6x＋2x)·2x＝392，所以x＝7.所以圆台的高OO1＝14 (cm)，母线长l＝2OO1＝142(cm)，两底面半径分别为7 cm,21 cm.中心投影与平行投影及空间几何体的三视图一、题组对点训练对点练一平行投影和中心投影1．直线的平行投影可能是()A．点B．线段C．射线 D.曲线解析：选A直线的平行投影可能是直线也可能是点，故选A.2．下列的四个图形中采用中心投影画法的是()解析：选A根据平行投影和中心投影的画法规则，B、C、D选项中的图形均为平行投影下的图形，而A选项中的图形采用的是中心投影画法．3.如图，E，F分别是正方体ABCD-AB1C1D1的面ADD1A1和面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的正投影可能是________(把所有可能图形的序号都填上)．解析：图②是在平面DCC1D1或平面ABCD上的正投影；图③是在平面BCC1B1上的正投影．图①④均不符合．答案：②③对点练二简单几何体的三视图4．已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的组成为()A．上面为棱台，下面为棱柱B．上面为圆台，下面为棱柱C．上面为圆台，下面为圆柱 D.上面为棱台，下面为圆柱解析：选C结合三视图，易知该几何体上面为圆台，下面为圆柱．5．如图所示的几何体中，正视图与侧视图都是长方形的是________．解析：(2)的侧视图是三角形，(5)的正视图和侧视图都是等腰梯形，其余的都符合条件．答案：(1)(3)(4)6．如图所示的螺栓是由棱柱和圆柱构成的组合体，试画出它的三视图．解：三视图如图所示．对点练三由三视图还原空间几何体7.(2018·全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为() A．217 B．2 5C．3 D.2解析：选B先画出圆柱的直观图，根据题图的三视图可知点M，N的位置如图①所示．圆柱的侧面展开图及M，N的位置(N为OP的四等分点)如图②所示，连接MN，则图中MN即为M到N的最短路径．∵ON＝14×16＝4，OM＝2，∴MN＝OM2＋ON2＝22＋42＝2 5.8．如图是一个几何体的三视图，则可以判断此几何体是________．解析：由三视图可知，此几何体为一个正四棱锥．答案：正四棱锥9．如图，图(1)、(2)、(3)是图(4)表示的几何体的三视图，其中图(1)是________，图(2)是________，图(3)是________(写出视图名称)．解析：由几何体的位置知，(1)为正视图，(2)为侧视图，(3)为俯视图．答案：正视图侧视图俯视图二、综合过关训练1．下列命题中正确的是()A．矩形的平行投影一定是矩形B．梯形的平行投影一定是梯形C．两条相交直线的投影可能平行D．一条线段的中点的平行投影仍是这条线段投影的中点解析：选D矩形的平行投影可能是线段，平行四边形或矩形，梯形的平行投影可能是线段或梯形，两条相交直线的投影是两条相交直线或是一条直线．因此A、B、C均错，故D 正确．2．沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为()解析：选B依题意，侧视图中棱的方向从左上角到右下角，故选B.3.某个游戏环节，玩家需按墙上的空洞造型摆出相同姿势，才能穿墙而过，否则会被墙推入水池．类似地，有一个几何体恰好无缝隙地以三个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的三个空洞，则该几何体为()解析：选A由题意知，图中正方形、圆形、三角形对应某几何体的三视图，结合选项中给出的图形分析可知，A中几何体满足要求．故选A.4．在一个几何体的三视图中，正视图和侧视图是两个完全相同的图形，如图所示，则相应的俯视图可以为()A．①②B．②③C．③④ D.②④解析：选D若俯视图为图①，则该几何体的正视图的上方三角形应该没有高线，故俯视图不可能为图①，排除选项A；若俯视图为图③，则该几何体的侧视图的上方应该没有左边小三角形，故俯视图不可能为图③，排除选项B、C；若俯视图为图②，则该几何体是由上面是正四棱锥，下面是正方体组合而成的简单组合体；若俯视图为图④，则该几何体是由上面是正四棱锥，下面是圆柱组合而成的简单组合体．故选D.5．由小正方体木块搭成的几何体的三视图如图所示，则该几何体由________块小正方体木块搭成．解析：小木块的排列方式如图所示．由图知，几何体由7块小正方体木块搭成．答案：76．若一个正三棱柱(底面为正三角形，侧面为矩形的棱柱)的三视图如图所示，则这个正三棱柱的侧棱长和底面边长分别为________、________.解析：侧视图中尺寸2为正三棱柱的侧棱长，尺寸23为俯视图正三角形的高，所以正三棱柱的底面边长为4.答案：2 47．某组合体的三视图如图所示，试画图说明此组合体的结构特征．解：该三视图表示的几何体是由一个四棱柱和一个四棱台拼接而成的组合体(如图所示)．8.如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝2，点P是平面A1B1C1D1内的一个动点，求三棱锥P -ABC 的正视图与俯视图的面积的比值的最大值．解：点P 是平面A 1B 1C 1D 1内的一个动点，则三棱锥P -ABC 的正视图始终是一个底为1，高为2的三角形， 其面积S 1＝12×1×2＝1.当点P 在底面ABCD 内的投影点在△ABC 的内部或边界上时，其俯视图的面积最小， 最小面积S 2＝12×1×1＝12，所以三棱锥P -ABC 的正视图与俯视图的面积的比值的最大值为S 1S 2＝2.空间几何体的直观图一、题组对点训练 对点练一 斜二测画法1．用斜二测画法画水平放置的△ABC 时，若∠A 的两边分别平行于x 轴、y 轴，且∠A ＝90°，则在直观图中∠A ′＝( )A ．45°B ．135°C ．45°或135°D.90°解析：选C 在画直观图时，∠A ′的两边依然分别平行于x ′轴、y ′轴，而∠x ′O ′y ′＝45°或135°.2．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是( ) A ．原来相交的仍相交 B ．原来垂直的仍垂直 C ．原来平行的仍平行 D ．原来共点的仍共点解析：选B 根据斜二测画法，原来垂直的未必垂直． 3．关于斜二测画法所得直观图的说法正确的是( ) A ．直角三角形的直观图仍是直角三角形 B ．梯形的直观图是平行四边形 C ．正方形的直观图是菱形D ．平行四边形的直观图仍是平行四边形解析：选D 由斜二测画法规则可知，平行于y 轴的线段长度减半，直角坐标系变成斜坐标系，而平行性没有改变，故只有选项D 正确．4．如图，已知等腰三角形ABC ，则如图所示的四个图中，可能是△ABC 的直观图的是 ( )A．①②B．②③C．②④ D.③④解析：选D原等腰三角形画成直观图后，原来的腰长不相等，③④两图分别是∠x′O′y′成135°和45°的坐标系中的直观图．5.画出水平放置的四边形OBCD(如图所示)的直观图．解：(1)过点C作CE⊥x轴，垂足为E，如图(1)所示，画出对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.(2)如图(2)所示，在x′轴上取点B′，E′，使得O′B′＝OB，O′E′＝OE；在y′轴上取一点D，使得O′D′＝12OD；过E′作E′C′∥y′轴，使E′C′＝12EC.(3)连接B′C′，C′D′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图(3)所示，四边形O′B′C′D′就是所求的直观图．对点练二由直观图还原平面图形6.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是()解析：选A由直观图的画法可知，落在y轴上的对角线的长为22，结合各选项可知选A.7.如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是()A．AB B．ACC．BC D.AD解析：选B由直观图可知△ABC是以∠B为直角的直角三角形，所以斜边AC最长．8.如图所示，Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，直角边O′B′＝1，则这个平面图形的面积是()A．2 2 B．1C. 2D.4 2解析：选C在△AOB中，OB＝O′B′＝1，OA＝2O′A′＝22，且∠AOB＝90°，S△AOB＝12OA·OB＝12×1×22＝ 2.二、综合过关训练1．已知一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，长方体的长、宽、高分别为20 m，5 m,10 m，四棱锥的高为8 m，如果按1∶500的比例画出它的直观图，那么在直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为() A．4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cmB．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cmC．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cmD．4 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm解析：选C直观图中长、宽、高应分别按原尺寸的1500，11 000，1500计算，最后单位转化为cm.2.如图所示的正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是()A．6 cm B．8 cmC．(2＋32) cm D.(2＋23) cm解析：选B直观图中，O′B′＝2，原图形中OC＝AB＝(22)2＋12＝3，OA＝BC ＝1，∴原图形的周长是2×(3＋1)＝8.3．如图是利用斜二测画法画出的△ABO的直观图，已知O′B′＝4，A′B′∥y′轴，且△ABO的面积为16，过A′作A′C′⊥x′轴，则A′C′的长为()A．2 2 B. 2C．16 2 D.1解析：选A 因为A ′B ′∥y ′轴，所以在△ABO 中，AB ⊥OB .又△ABO 的面积为16，所以12AB ·OB ＝16.所以AB ＝8，所以A ′B ′＝4.如图，作A ′C ′⊥O ′B ′于点C ′，所以B ′C ′＝A ′C ′，所以A ′C ′的长为4sin 45°＝2 2.4．已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm ，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm ，则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )A ．2 cmB ．3 cmC ．2.5 cmD ．5 cm解析：选D 圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间距离为2＋3＝5 cm ，在直观图中与z 轴平行的线段长度不变，仍为5 cm.5．有一个长为5，宽为4 的矩形，则其直观图的面积为________． 解析：由于该矩形的面积为S ＝5×4＝20，所以由公式S ′＝24S ，得其直观图的面积为S ′＝24S ＝5 2. 答案：5 26.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD ，如图所示，∠ABC ＝45°，AB ＝AD ＝1，DC ⊥BC ，则原平面图形的面积为________．解析：过A 作AE ⊥BC ，垂足为E .∵DC ⊥BC 且AD ∥BC ，∴ADCE 是矩形，∴EC ＝AD ＝1.由∠ABC ＝45°，AB ＝AD ＝1知BE ＝22，∴原平面图形是梯形且上、下两底边长分别为1和1＋22，高为2， ∴原平面图形的面积为12×⎝⎛⎭⎫1＋1＋22×2＝2＋22.答案：2＋227.如图，四边形A ′B ′C ′D ′是边长为1的正方形，且它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，请画出该四边形的原图形，并求出原图形的面积．解：画出平面直角坐标系xOy ，使点A 与O 重合， 在x 轴上取点C ，使AC ＝2， 再在y 轴上取点D ，使AD ＝2， 取AC 的中点E ，连接DE 并延长至点B ， 使DE ＝EB ，连接DC ，CB ，BA ，则四边形ABCD 为正方形A ′B ′C ′D ′的原图形(也可以过点C 作BC ∥y 轴，且使CB ＝AD ＝2，然后连接AB ，DC )，如图所示．易知四边形ABCD 为平行四边形，∵AD ＝2，AC ＝2，∴S ▱ABCD ＝2×2＝2 2. 8．如图为一几何体的展开图：沿图中虚线将它们折叠起来，请画出其直观图．解：由题设中所给的展开图可以得出，此几何体是一个四棱锥，其底面是一个边长为2的正方形，垂直于底面的侧棱长为2，其直观图如图所示．柱体、锥体、台体的表面积与体积一、题组对点训练对点练一 柱体、锥体、台体的侧面积与表面积 1．棱长为3的正方体的表面积为( ) A ．27 B ．64 C ．54D.36解析：选C 根据表面积的定义，组成正方体的面共6个，且每个都是边长为3的正方形．从而，其表面积为6×32＝54.2．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为( ) A ．1∶2 B ．1∶ 3 C ．1∶ 5D.3∶2解析：选C 设圆锥底面半径为r ，则高h ＝2r ，∴其母线长l ＝5r .∴S 侧＝πrl ＝5πr 2，S 底＝πr 2.则S 底∶S 侧＝1∶ 5.3．已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )A.81π4B ．16πC ．9πD.27π4解析：选A 如图，设球心为O ，半径为r ，则在Rt △AOF 中，(4－r )2＋(2)2＝r 2，解得r ＝94，所以该球的表面积为4πr 2＝4π×⎝⎛⎭⎫94 2＝81π4.4．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )A ．7B ．6C ．5D.3解析：选A 设圆台较小底面半径为r ，则另一底面半径为3r .由S ＝π(r ＋3r )·3＝84π，解得r ＝7.5．一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为________．解析：由底面周长为2π可得底面半径为1.S 底＝2πr 2＝2π，S 侧＝2πr ·h ＝4π，所以S 表＝S底＋S 侧＝6π. 答案：6π对点练二 柱体、锥体、台体的体积6．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A ．2B ．4C ．6D.8解析：选C 由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，直角梯形的两底边长分别为1,2，高为2，∴该几何体的体积为V ＝12×(2＋1)×2×2＝6.7．若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是________．解析：易知圆锥的母线长为2，设圆锥的底面半径为r ，则2πr ＝12×2π×2，∴r ＝1，则高h ＝l 2－r 2＝ 3.∴V 圆锥＝13πr 2· h ＝13π×3＝3π3.答案：3π38．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，正视图和侧视图中的两条虚线都互相垂直且相等，则该几何体的体积是________．解析：几何体的直观图为正方体去掉以正方体中心为顶点，上底面为底面的四棱锥，其体积为2×2×2－13×1×22＝203.答案：203对点练三 求几何体体积的方法9.如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ＝4，AA 1＝6.若E ，F 分别是棱BB 1，CC 1上的点，则三棱锥A -A 1EF 的体积是________．解析：因为在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1∥BB 1，AA 1⊂平面AA 1C 1C ，BB 1⊄平面AA 1C 1C ，所以BB 1∥平面AA 1C 1C ，从而点E 到平面AA 1C 1C 的距离就是点B 到平面AA 1C 1C 的距离，作BH ⊥AC ，垂足为点H ，由于△ABC 是正三角形且边长为4，所以BH ＝23，从而三棱锥A -A 1EF 的体积VA -A 1EF ＝VE -A 1AF ＝13S △A 1AF ·BH ＝13×12×6×4×23＝8 3.答案：8 3 二、综合过关训练1．如图，ABC -A ′B ′C ′是体积为1的棱柱，则四棱锥C -AA ′B ′B 的体积是( )A.13 B.12 C.23D.34解析：选C ∵V C -A ′B ′C ′＝13V 棱柱＝13，∴V C -AA ′B ′B ＝1－13＝23. 2．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是( )A.1＋2π2πB.1＋4π4πC.1＋2ππD.1＋4π2π解析：选A 设圆柱的底面半径为r ，高为h ，。

中考冲刺：方案设计与决策型问题—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1.小明中午放学回家自己煮面条吃，有下面几道工序：①洗锅盛水需2分钟；②洗菜需3分钟；③准备面条及佐料需2分钟；④用锅把水烧开需7分钟；⑤用烧开的水煮面条和菜需3分钟．以上各工序除(4)外，一次只能进行一道工序，小明要将面条煮好，最少用( )A．14分钟 B．13分钟 C．12分钟 D．11分钟2．某学校组织340名师生进行长途考察活动，带有行李170件，计划租用甲、乙两种型号的汽车共10辆．经了解，甲车每辆最多能载40人和16件行李，乙车每辆最多能载30人和20件行李．请问可行的租车方案有( )A．2种 B．3种 C．4种 D．5种3．某移动通讯公司提供了A、B两种方案的通讯费用y（元）与通话时间x（分）之间的关系，如图所示，则以下说法错误．．的是（）A．若通话时间少于120分，则A方案比B方案便宜20元B．若通话时间超过200分，则B方案比A方案便宜12元C．若通讯费用为60元，则B方案比A方案的通话时间多D．若两种方案通讯费用相差10元，则通话时间是145分或185分二、填空题4．某蔬菜公司收购到某种蔬菜104吨，准备加工后上市销售.该公司加工该种蔬菜的能力是：每天可以精加工4吨或粗加工8吨.现计划用16天正好完成加工任务，则该公司应安排________天精加工，________天粗加工.5．开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本；小亮用31元买了同样的钢笔2支和笔记本5本．(1)每支钢笔的价格为；每本笔记本的价格为；(2)校运会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有种购买方案？请你一一写出．6.“五·一”假期，梅河公司组织部分员工到A 、B 、C 三地旅游，公司购买前往各地的车票种类、数量绘制成条形统计图，如图．根据统计图回答下列问题：（1）前往A 地的车票有_____张，前往C 地的车票占全部车票的________%；（2）若公司决定采用随机抽取的方式把车票分配给100名员工，在看不到车票的条件下，每人抽取一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），那么员工小王抽到去B 地车票的概率为______.三、解答题7．某家庭装饰厨房需用480块某品牌的同一种规格的瓷砖，装饰材料商场出售的这种瓷砖有大、小两种包装，大包装每包50片，价格为30元；小包装每包30片，价格为20元，若大、小包装均不拆开零售，那么怎样制定购买方案才能使所付费用最少?8.某商场将进价40元一个的某种商品按50元一个售出时，每月能卖出500个.商场想了两个方案来增加利润：方案一：提高价格，但这种商品每个售价涨价1元，销售量就减少10个；方案二：售价不变，但发资料做广告.已知这种商品每月的广告费用m (千元)与销售量倍数p 关系为p =m m 24.02+-；试通过计算，请你判断商场为赚得更大的利润应选择哪种方案？请说明你判断的理由！9.为执行中央“节能减排，美化环境，建设美丽新农村”的国策，我市某村计划建造A 、B 两种型号的沼气池共20个，以解决该村所有农户的燃料问题．两种型号沼气池的占地面积、使用农户数及造价见下表： 型号 占地面积(单位:m 2/个 )使用农户数 (单位:户/个) 造价 (单位: 万元/个) A 1518 2 B 20 303 已知可供建造沼气池的占地面积不超过365m 2，该村农户共有492户．(1)满足条件的方案共有几种?写出解答过程；(2)通过计算判断，哪种建造方案最省钱．10.阅读下列材料：小明遇到一个问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式如图1所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形.他的做法是：按图2所示的方法分割后，将三角形纸片①绕AB的中点O旋转至三角形纸片②处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG.请你参考小明的做法解决下列问题：．．．．．．．．．．．．．．．．（1）现有5个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图3所示.请将其分割后拼接成一个平行四边形.要求：在图3中画出并指明拼接成的平行四边形（画出一个符合条件的平行四边形即可）；（2）如图4，在面积为2的平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，分别连结AF、BG、CH、DE得到一个新的平行四边形MNPQ，请在图4中探究平行四边形MNPQ面积的大小（画图表明探究方法并直接写出结果）.【答案与解析】一、选择题1.【答案】C；【解析】洗锅盛水2分钟，用锅把水烧开7分钟，用烧开的水煮面和菜要3分钟，这样一共是12分钟.而洗菜的3分钟和准备面及佐料的2分钟可以在烧开水的过程中来做.2.【答案】C；【解析】解：设甲车a辆，则乙车（10-a）辆.根据题意：40a+30×（10-a）≥340①16a+20×（10-a）≥170②由①得40a+300-30a≥340，a≥4由②得16a+200-20a≥170，a≤7.5所以4≤a≤7.5a=4，5，6，7所以租车方案有4种.3.【答案】D ；二、填空题4.【答案】6，10；【解析】解：设该公司应安排x 天精加工，y 天粗加工，根据题意得：164+8=104x y x y +=⎧⎨⎩①②， ②-①×4得：4y=40，解得：y=10，将y=10代入①得：x=6，∴方程组的解为6=10x y =⎧⎨⎩， 经检验符合题意，则该公司应安排6天精加工，10天粗加工．5.【答案】（1）3元，5元；（2）5；20，28；21，27；22，26；23，25；24，24．【解析】（1)设每支钢笔x 元，每本笔记本y 元，依题意得：⎩⎨⎧=+=+3152183y x y x 解得：⎩⎨⎧==53y x 所以，每支钢笔3元，每本笔记本5元.(2)设买a 支钢笔，则买笔记本(48－a )本依题意得：⎩⎨⎧≥-≤-+a a a a 48200)48(53，解得：2420≤≤a ，所以，一共有５种方案 即购买钢笔、笔记本的数量分别为：20，28；21，27；22，26；23，25；24，24．6.【答案】（1）30；20．（2）12． 【解析】（1）考查了条形图的知识，解题的关键是识图； （2）让去B 地车票数除以车票总数即为所求的概率；三、解答题7.【答案与解析】解：根据题意，可有三种购买方案； 方案一：只买大包装，则需买包数为：48048505=； 由于不拆包零卖．所以需买10包．所付费用为30×10=300(元) 方案二：只买小包装．则需买包数为：4801630= 所以需买16包，所付费用为16×20＝320(元)方案三：既买大包装．又买小包装，并设买大包装x 包．小包装y 包．所需费用为W 元. 则50304803020x y W x +=⎧⎨=+⎩103203W x =-+ ∵050480x <<，且x 为正整数， ∴x =9时，最小W =290(元)．∴购买9包大包装瓷砖和l 包小包装瓷砖时，所付费用最少．为290元.答：购买9包大包装瓷砖和l 包小包装瓷砖时，所付费用最少为290元.8．【答案与解析】解：设涨价x 元，利润为y 元，则方案一：9000)20(10500040010)10500)(4050(22+--=++-=--+=x x x x x y∴方案一的最大利润为9000元；方案二：10125)25.2(2000900020001000500)4050(22+--=+-=-⨯-=x m m m p y∴方案二的最大利润为10125元；∴选择方案二能获得更大的利润.9．【答案与解析】解:(1)设建造A 型沼气池x 个，则建造B 型沼气池(20－x )个. 依题意得:()()⎩⎨⎧≥-+≤-+492203018365202015x x x x 解得：7≤ x ≤ 9∵x 为整数， ∴ x = 7，8 ，9 ，∴满足条件的方案有三种.(2)设建造A 型沼气池 x 个时，总费用为y 万元，则： y =2x +3(20－x )=－x+ 60∵－1<0，∴y 随x 增大而减小，当x =9 时，y 的值最小，此时y =51(万元)∴此时方案为：建造A 型沼气池9个，建造B 型沼气池11个． 解法②:由(1)知共有三种方案，其费用分别为：方案一:建造A 型沼气池7个，建造B 型沼气池13个， 总费用为:7×2 + 13×3 = 53( 万元 )方案二: 建造A 型沼气池8个， 建造B 型沼气池12个， 总费用为:8×2 + 12×3 = 52( 万元 )方案三: 建造A 型沼气池9个， 建造B 型沼气池11个， 总费用为:9×2 + 11×3 = 51( 万元 )∴方案三最省钱.10．【答案与解析】⑴如图中平行四边形即为所求.⑵如图：平行四边形MNPQ 面积为52.。