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半角模型互动精讲【知识梳理】半角模型（内夹补短，外夹截长；先证小全等，再证大全等。
）1、90° 夹45°（1）内夹（90°角完全包含45°角）角）（2）外夹（90°角不完全包含45°（1）内夹（120°角完全包含60°角）角）（2）外夹（120°角不完全包含60°A【例题精讲】例1、正方形ABCD中，M, N分别是直线CB、DC上的动点，ZMAN=45°。
(1)当ZMAN交边CB、DC于点H、N (如图①)时，线段B\I、DN和MN之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明；(2)当ZMAN分别交边CB, De的延长线于点M/N时(如图②)，线段BH, DN和MN 之间的乂有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明。
MΛr(2)DN一BAI = MN.理由如下：如图，在DC上截取DF = BM ,连接AF.VAB=AD,Bxf =^ADF = 90ΛI・・・ ^ABM^^ADF(SAS)：.AM = AF t ZAfAB = ZFAD・・・.ΔMA13 + ZZ?/IF = ΔFAD ^BAF = 9O c .即 ZMAF = ZBAD = 9(『・又 ZMTIN = 45。
，.∖^NAF = ΛMAN = 45∖・・・AN = AN J・・・ΔFAN・・・.MN = FN I即 MN = DN 一DF = DN- BM；在厶MDN 与厶EDy 中： (D-W = DE< ZΛ∕D.V 二 AEDN t I DN = DN 所以V 空I)X(SAS)-所以对.\「= NE = .VC+ 〃対・ Δ.43∕.V 的周长 Q = AM + AN + MN=AM + AN + (NC+ ΠM)=(∕LV/ + BM) + (/LV + NC) =AB+AC =2A1L而等边△ ABCm 长L = 3.4B.因为= CD I S. DC = 120°所以 ZDBC =厶 DCB = 30° 又因为Δ.1BC 是等边三角形， 所以 ΛMΓ3D= ZLNCD = 90°.在厶MBD 与厶ECD 中：(BM = CE< Δ∖il3D - AECUI BD = Dc所以△ MliL) ≤ ^ECD(SAS)- 所以 D.” = DE^BDM = ACDE 1 所以ZEZZY =乙BDC-ZA/P.V = 60°例2、在等边AABC 的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、X, D 为AABC 外一 点，且ZMDN 二60° , ZBDC=I20o, BD=DC.探究：当M 、N 分别在直线AB 、AC 上移 动时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系及AAMN 的周长Q 与等边AABC 的周长L 的关 系. (I) 如图1,当点M 、N 边AB 、Ae 上，且DM 二DN 时，BM 、NC. MN 之间的数量关 系是 _______ ; 此时—= ____________ ; L (II) 如图2,点M 、\边AB 、AC ±,且当DM≠DN 时，猜想(I)问的两个结论 还成立吗？写出你的猜想并加以证明; (IlI)如图3,当M 、N 分别在边AB 、CA 的延长线上时，若AN=Λ,则Q 二(用八L 表示)•(3)如图,当M-V 分别在AB. CT 的延长线上时,若.LV = z,SMQ = 2了+話(用八Z 表示)・3解:⑴如图,BAf 、NC 、M 之间的数屋关系DM + NC =此时Q=?L 3(2)猜想:结论仍然成立.证明:如图,延长.1C 至&使CE= I3M.连接DE【课堂练习】1、如图，正方形ABCD 中，E 和F 分别是边BC 和CD 上的点，AG 丄EF 于G,若Z EAF=45o ,求证：AG=ADO延长CD 到使DM=BE I 连接AM I ∙.∙四边形ABCD^AE 方形，・•・ AB=AD y ΔB= ZADF = ^ADM = ZBAD = 90° r ・・・ZEAF = 45° . .∖ΛBAE+^DAF = 45QT在MBE 和ZXADF 中AB=AD^B=ΔADF BE=DF.∖ΔABE 丝 ΔADF I••• ZDAM = ZBAE t AE = AM ,・•・ ZFAM = ZDAF + ZDAM = ZjDAF + ΔBAE = 45° = Z.EAF^ΔEAF 和 ZkMAF 中 AE=AMLEAF = AMAF AF=AF.∖ΔEAF ^ΔMAF t.∙∙ EF = MF, SbEAF= SIMAFF{{.∖^EF×AG≈^MF× AD t Z 厶.∖AG=AD.2、已知：∆ABC 是等边三角形，ΔBDC 是等腰三角形，其中ZBDC=I20° ,过点 D 作ZEDF=60° ,分别交AB 于E,交AC 于F,连接EF.(1) 若BE 二CF,求证：①Z ∖DEF 是等边三角形；②BE+CF 二EF.(2) 若BE≠CF,即E 、F 分别是线段AB, AC 上任意一点，BE+CF=EF 还会成立吗？ΛA NBD^∙FCD (SAS), /-DN=DF r ZNDB=ZFDC r ∙.zEDB=ZFDC ZΛZ EDB=Z BDN=Z FDC,∙.zBDC=120o f ZEDF=60%ΛZ EDB÷Z FDC=60% ΛZ EDB÷Z BDN=60% 即ZEDF=ZEDN, 在AEDN 和、ED F 中ΛΔ∈D N^EDF (SAS),.∙.EF=EN=BE+BN=BE+CF,请说明理山.IZNBD = ZFCD = 90°BN = CFBD = DC(1)证明：延长AB到N•使BN=CF Z连接DN,VMBC是等边三角形，∙∙.Z ABC=ZACB=60。
半角模型互动精讲【知识梳理】半角模型（内夹补短，外夹截长；先证小全等，再证大全等。
）1、90°夹45°（1）内夹（90°角完全包含45°角）（2）外夹（90°角不完全包含45°角）2、120°夹60°（1）内夹（120°角完全包含60°角）（2）外夹（120°角不完全包含60°角）【例题精讲】例1、正方形ABCD中，M，N分别是直线CB、DC上的动点，∠MAN=45°。
（1）当∠MAN交边CB、DC于点M、N（如图①）时，线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明；（2）当∠MAN分别交边CB，DC的延长线于点M/N时（如图②），线段BM，DN和MN之间的又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明。
例2、在等边△ABC 的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N ，D 为△ABC 外一点，且∠MDN=60°,∠BDC=120°,BD=DC. 探究：当M 、N 分别在直线AB 、AC 上移动时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系及△AMN 的周长Q 与等边△ABC 的周长L 的关系．（I ）如图1，当点M 、N 边AB 、AC 上，且DM=DN 时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是 ； 此时=LQ； （II ）如图2，点M 、N 边AB 、AC 上，且当DM ≠DN 时，猜想（I ）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（III ） 如图3，当M 、N 分别在边AB 、CA 的延长线上时，若AN=x ，则Q= （用x 、L 表示）．【课堂练习】1、如图，正方形ABCD中，E和F分别是边BC和CD上的点，AG⊥EF于G，若∠EAF＝45°，求证：AG＝AD。
2、已知：△ABC是等边三角形，△BDC是等腰三角形，其中∠BDC=120°，过点D作∠EDF=60°，分别交AB于E，交AC于F，连接EF．（1）若BE=CF，求证：①△DEF是等边三角形；②BE+CF=EF．（2）若BE≠CF，即E、F分别是线段AB，AC上任意一点，BE+CF=EF还会成立吗？请说明理由．课堂检测1、（1）如图1、在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF=60°，探究图中的线段BE 、EF 、FD 之间的数量关系（2）如图2，在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠B+∠ADC=180°，且∠EAF=21∠BAD ，探究图中的线段BE 、EF 、FD 之间的数量关系（1）延长FD 至G,使得GD=BE,再连接AG2、如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为BC、DC边上的点，且满足DF＋BE=EF。
《旋转的应用—半角模型》教学设计【教学目标】结合数学课程标准和学科德育一体化要求，围绕“目标—--评价—--教学”一致性原则，确定本课教学目标如下：半角模型的特点，掌握用旋转的方法解决半角问题的一般思路和方法。
2．在解决问题的过程中体会旋转的作用，归纳总结解决半角模型问题的基本方法。
3. 通过讨论交流、合作探究等活动，积累数学活动经验，培养数学学科的严谨思维和理性精神。
【教学重点】明确半角模型的特点，掌握用旋转的方法解决半角问题的一般思路和方法。
【教学难点】在解决问题的过程中体会旋转的作用，归纳总结解决半角模型问题的基本方法。
【教学过程】之前,我们学习过图形的变换主要有哪些形式?平移、旋转和轴对称。
其中旋转式我们解决几何问题的一大利器。
今天我们就来探究如何利用旋转来解决半角模型问题（板书课题）。
教学目标1、认识半角模型，能在复杂的图形当中找到半角模型；2、会利用旋转的知识解决半角模型的相关问题。
知识回顾△ABC为等边三角形，D是△ABC内一点，将△ABD经过逆时针旋转后到△ACP位置，则旋转中是，旋转角等于°AD与AP的夹角是°△ADP是三角形。
设计意图：同学们通过这道题的练习，熟悉旋转的性质，为后续的探究夯实基础。
典例探究在正方形ABCD中，E、F分别是CB、DC上的点，且∠EAF=45°，探究BE、FD、EF三条线段的数量关系。
（1）大胆猜测，独立思考，找出解决问题的方法。
（2）小组讨论，各抒己见，让思维撞击出火花。
（3）集体讨论，质疑问难，探讨解决问题的方案。
（4）几何画板演示旋转的意义所在，教师语言要注意引导半角模型的特点。
设计意图：教育本质是一棵树摇动另一棵树,一朵云推动另一朵云,一个灵魂唤醒另一个灵魂。
通过个人探究、小组讨论和集体讨论，激发学生对问题的深入思考。
几何画板的动态演示直观的展示了旋转的过程中，变与不变的量，变与不变的关系，加深学生对利用旋转解半角模型题目的认知。
