2020年东莞市虎门中考数学一模试题有答案精析

广东省2020年东莞市中考数学模拟试题含答案一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）1．﹣2的相反数是（）A. 2B.-2C.12D.122．下列“慢行通过，禁止行人通行，注意危险，禁止非机动车通行”四个交通标志图（黑白阴影图片）中为轴对称图形的是（）A B C D3．某种细胞的直径是0.000067厘米，将0.000067用科学记数法表示为（）A. 0.67×10-5B. 67×10-6C.6.7×10-6D.6.7×10-54．下列运算正确的是（）A. 2a+3b=5abB. 5a﹣2a=3aC. a2•a3=a6D. （a+b）2=a2+b2 5．一组数据6，﹣3，0，1，6的中位数是（）A. 0B. 1C.2D. 66．如图，已知AB∥CD，∠C=70°，∠F=30°，则∠A的度数为（）A. 30°B. 35°C. 40°D. 45°7．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A B C D8．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（）A. 三棱锥B. 三棱柱C. 圆柱D. 长方体9．如图，在⊙O 中，=，∠AOB=50°，则∠ADC 的度数是（ ）A ．50°B ．40°C ．30°D ．25°10．已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如下面左图所示，则一次函数c ax y +=的图象大致 是（ ）二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分） 11．在函数y=中，自变量x 的取值范围是______________．12．分解因式：2a 2﹣4a+2= ． 13．计算：18−212等于 ． 14．圆心角为120°的扇形的半径为3，则这个扇形的面积为 。

15．如果关于x 的方程x 2－2x ＋k ＝0（k 为常数）有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是 ． 16．如图所示，双曲线ky x=经过Rt △BOC 斜边上的点A,且满足23AO AB =，与BC 交于点D, 21BOD S ∆=，求k= 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）17．解方程组．18．先化简，再求值：÷（+ 1），其中x 满足022=--x x19．如图，BD 是矩形ABCD 的一条对角线．（1）作BD 的垂直平分线EF ，分别交AD 、BC 于点E 、F ，垂足为点O ．（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）求证：DE=BF ．四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）20．某中学在全校学生中开展了“地球—我们的家园”为主题的环保征文比赛，评选出一、二、三等奖和优秀奖。

2020年广东省东莞市虎门五中中考数学一模试卷一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）8-的立方根的相反数是( ) A ．2B ．2-C ．4D ．4-2．（3分）每年4月，安徽合肥植物园数十万株郁金香竞相怒放，吸引了众多市民前来观赏．郁金香花粉的直径约0.000000031米，这里“0.000000031”用科学记数法表示为( ) A ．70.3110-⨯B ．73.110-⨯C ．83.110-⨯D ．93110-⨯3．（3分）下列银行标志中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．4．（3分）如图，ACD ∠是ABC ∆的外角，CE 平分ACD ∠，若60A ∠=︒，40B ∠=︒，则ECD ∠等于( )A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．55︒5．（3分）下列计算正确的是( ) A ．22532a a -=B ．236(2)6a a -=-C ．32a a a ÷=D ．222()a b a b +=+6．（3分）已知三角形两边的长分别是 4 和 10 ，则此三角形第三边的长可能是( ) A ． 5B ． 6C ． 11D ． 167．（3分）如果一个多边形的内角和是其外角和的两倍，那么这个多边形是( ) A ．六边形B ．五边形C ．四边形D ．三角形8．（3分）给出下列命题：（1）平行四边形的对角线互相平分；（2）对角线相等的四边形是矩形； （3）菱形的对角线互相垂直平分； （4）对角线互相垂直的四边形是菱形． 其中，真命题的个数是( ) A ．4B ．3C ．2D ．19．（3分）已知点1(2,)A y -，2(2,)B y 是反比例函数(0)k y k x=<图象上的两点，则有( )A ．120y y <<B ．210y y <<C ．120y y <<D ．210y y <<10．（3分）菱形ABCD 中，AE BC ⊥于E ，交BD 于F 点，下列结论： ①BF 为ABE ∠的角平分线； ②2DF BF =； ③22AB DF DB =； ④sin EFBAE AF∠=．其中正确的为( )A ．①③B ．①②④C ．①④D ．①③④二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分） 11．（4分）因式分解：2x y y -= ． 12．（4分）代数式8x +有意义时，x 应满足的条件是 ．13．（4分）在一个不透明的袋子里装有16个红球和若干个白球，这些球除颜色不同外无其它差别（每次从袋子里摸出一个球记录下颜色后再放回，经过大量的重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.6，则袋中白球的个数是 ．14．（4分）如图，A 、B 、C 在O 上，OA ，OB 是圆的半径，连接AB ，BC ，AC ．若55ABO ∠=︒，则ACB ∠的度数是 ．15．（4分）如图，等边ABC ∆的边长为3，P 为BC 上一点，且1BP =，D 为AC 上一点，若60APD ∠=︒，则CD 的长为 ．16．（4分）五一期间，青年旅行社组织一个团；老师和学生共50人组成的旅行团到凤凰古城旅游，景区门票售票标准是：成人门票50元/张，学生门票20元/张，该旅行团购买门票共花费1800元，若设该团购买成人门票x 张，则可列方程为： ．17．（4分）如图，在Rt ABC ∆中，已知：90C ∠=︒，60A ∠=︒，3AC cm =，以斜边AB 的中点P 为旋转中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90︒得到Rt △A B C '''，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积为 2cm ．三、解答题（一）（共3小题，每小题6分，满分18分） 18．（620127()3tan 60(2)2π---︒+19．（6分）先化简，再求值：2222441242x x x x x x x--+÷-+-，其中5x = 20．（6分）如图，已知Rt ABC ∆中90C ∠=︒，10AB =，8AC =．（1）作AB 的垂直平分线DE ，交AB 于点D ，交AC 于点E ．（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）求AE 的长．四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）21．（8分）某中学为丰富综合实践活动，开设了四个实验室如下：A．物理；B．化学；C．信息；D．生物．为了解学生最喜欢哪个实验室，随机抽取了部分学生进行调查，每位被调查的学生都选择了一个自己最喜欢的实验室，调查后将调查结果绘制成了如图统计图，请根据统计图回答下列问题（1）求这次被调查的学生人数．（2）请将条形统计图补充完整．（3）求出扇形统计图中B对应的圆心角的度数．22．（8分）根据道路交通法规规定：普通桥梁一般限速40/km h．为了安全，交通部门在桥头竖立警示牌：“请勿超速”，并监测摄像系统监控，如图，在某直线公路L路桥段BC内限速40/L米旁的A处设立了观测点，从观测km h，为了检测车辆是否超速，在距离公路500点A测得一小车从点B到达点C行驶了30秒钟，已知45ACL∠=︒，此车超∠=︒，30ABL≈速了吗？请说明理由．（参考数据：2 1.41≈，3 1.73)23．（8分）如图，在直角坐标平面内，函数(0my x x=>，m 是常数）的图象经过(1,4)A ，(,)B a b ，其中1a >．过点A 作x 轴垂线，垂足为C ，过点B 作y 轴垂线，垂足为D ，连接AD ，DC ，CB ．（1）求反比例函数的解析式；（2）若ABD ∆的面积为4，求点B 的坐标； （3）求证：//DC AB ．五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）24．（10分）如图，ABC ∆是O 的内接三角形，直径AB 垂直于弦CG ，垂足为点H ，过点C 作ED CG ⊥，交O 于点E ，且CBD A ∠=∠，连接BE ，交CG 于点F ． （1）求证：BD 是O 的切线； （2）求证：2BC BF BE =；（3）若8CG =，10AB =，求sin E 的值．25．（10分）如图，抛物线2y x bx c =++过点(3,0)A ，(1,0)B ，交y 轴于点C ，点P 是该抛物线上一动点，点P 从C 点沿抛物线向A 点运动（点P 不与A 重合），过点P 作//PD y 轴交直线AC 于点D ． （1）求抛物线的解析式；（2）求点P 在运动的过程中线段PD 长度的最大值；（3）APD ∆能否构成直角三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点P 坐标；若不能，请说明理由．2020年广东省东莞市虎门五中中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）8-的立方根的相反数是( ) A ．2B ．2-C ．4D ．4-【解答】解：8-的立方根为2-， 则2-的相反数是：2． 故选：A ．2．（3分）每年4月，安徽合肥植物园数十万株郁金香竞相怒放，吸引了众多市民前来观赏．郁金香花粉的直径约0.000000031米，这里“0.000000031”用科学记数法表示为( ) A ．70.3110-⨯B ．73.110-⨯C ．83.110-⨯D ．93110-⨯【解答】解：0.000000031用科学记数法表示为83.110-⨯． 故选：C ．3．（3分）下列银行标志中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：A 中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，∴选项A 不正确；B 中的图形既不是中心对称图形也不是轴对称图形，∴选项B 正确；C 中的图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，∴选项C 不正确；D 中的图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，∴选项D 不正确．故选：B ．4．（3分）如图，ACD ∠是ABC ∆的外角，CE 平分ACD ∠，若60A ∠=︒，40B ∠=︒，则ECD ∠等于( )A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．55︒【解答】解：60A ∠=︒，40B ∠=︒， 100ACD A B ∴∠=∠+∠=︒， CE 平分ACD ∠， 1502ECD ACD ∴∠=∠=︒，故选：C ．5．（3分）下列计算正确的是( ) A ．22532a a -=B ．236(2)6a a -=-C ．32a a a ÷=D ．222()a b a b +=+【解答】A 、2225322a a a -=≠，故选项错误；B 、2366(2)86a a a -=-≠-，故选项错误；C ，32a a a ÷=，故选项正确；D ，222()a b a b +≠+，故选项错误．故选：C ．6．（3分）已知三角形两边的长分别是 4 和 10 ，则此三角形第三边的长可能是( ) A ． 5B ． 6C ． 11D ． 16【解答】解： 设此三角形第三边的长为x ，则104104x -<<+，即614x <<，四个选项中只有 11 符合条件 ．故选：C ．7．（3分）如果一个多边形的内角和是其外角和的两倍，那么这个多边形是( ) A ．六边形B ．五边形C ．四边形D ．三角形【解答】解：设这个多边形是n 边形， 根据题意得，(2)1802360n -︒=⨯︒， 解得6n =． 故选：A ．8．（3分）给出下列命题：（1）平行四边形的对角线互相平分；（2）对角线相等的四边形是矩形； （3）菱形的对角线互相垂直平分； （4）对角线互相垂直的四边形是菱形． 其中，真命题的个数是( ) A ．4B ．3C ．2D ．1【解答】解：平行四边形的对角线互相平分，所以（1）正确； 对角线相等的平行四边形是矩形，所以（2）错误； 菱形的对角线互相垂直平分，所以（3）正确； 对角线互相垂直平分的四边形是菱形，所以（4）错误． 故选：C ．9．（3分）已知点1(2,)A y -，2(2,)B y 是反比例函数(0)k y k x=<图象上的两点，则有( )A ．120y y <<B ．210y y <<C ．120y y <<D ．210y y <<【解答】解：1(2,)A y -，2(2,)B y 是反比例函数(0)ky k x=<图象上的点， 11022k y k ∴==->-，202ky =<， 210y y ∴<<．故选：B ．10．（3分）菱形ABCD 中，AE BC ⊥于E ，交BD 于F 点，下列结论： ①BF 为ABE ∠的角平分线； ②2DF BF =； ③22AB DF DB =；④sin EFBAE AF∠=．其中正确的为( )A ．①③B ．①②④C ．①④D ．①③④【解答】解：①四边形ABCD 是菱形，BF ∴为ABE ∠的角平分线，故①正确；②连接AC 交BD 于点O ， 四边形ABCD 是菱形， AB BC AD ∴==，∴当60ABC ∠=︒时，ABC ∆是等边三角形，即AB AC =， 则2DF BF =， ABC ∠的度数不定，DF ∴不一定等于2BF ；故②错误； ③AE BC ⊥，//AD BC ，AE AD ∴⊥，90FAD ∴∠=︒，四边形ABCD 是菱形， AC BD ∴⊥，12OB OD DB ==，AD AB =， 90AOD FAD ∴∠=∠=︒， ADO FDA ∠=∠， AOD FAD ∴∆∆∽， ::AD DF OD AD ∴=，2AD DF OD ∴=，212ABDF DB ∴=， 即22AB DF DB =；故③正确；④连接CF ，在ABF ∆和CBF ∆中，AB CB ABF CBF BF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABF CBF SAS ∴∆≅∆，BCF BAE ∴∠=∠，AF CF =，在Rt EFC ∆中，sin EF EF ECF CF AF∠==， sin EF BAE AF ∴∠=． 故④正确．故选：D ．二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）11．（4分）因式分解：2x y y -= (1)(1)y x x +- ．【解答】解：原式2(1)(1)(1)y x y x x =-=+-，故答案为：(1)(1)y x x +-．12．（48x +x 应满足的条件是 8x >- ．【解答】解：由题意得：80x +>，解得：8x >-，故答案为：8x >-．13．（4分）在一个不透明的袋子里装有16个红球和若干个白球，这些球除颜色不同外无其它差别（每次从袋子里摸出一个球记录下颜色后再放回，经过大量的重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.6，则袋中白球的个数是 24 ． 【解答】解：设袋子中白球的个数为x ，根据题意，得：0.616x x=+， 解得：24x =，经检验：24x =是分式方程的解，所以袋子中白球的个数是24，故答案为：24．14．（4分）如图，A 、B 、C 在O 上，OA ，OB 是圆的半径，连接AB ，BC ，AC ．若55ABO ∠=︒，则ACB ∠的度数是 35︒ ．【解答】解：OA OB =，55OAB OBA ∴∠=∠=︒，18025570AOB ∴∠=︒-⨯︒=︒，1352ACB AOB ∴∠=∠=︒， 故答案为：35︒．15．（4分）如图，等边ABC ∆的边长为3，P 为BC 上一点，且1BP =，D 为AC 上一点，若60APD ∠=︒，则CD 的长为 23．【解答】解：ABC ∆是等边三角形，3AB BC AC ∴===，60B C ∠=∠=︒，18060120BAP APB ∴∠+∠=︒-︒=︒，60APD ∠=︒，18060120APB DPC ∴∠+∠=︒-︒=︒，BAP DPC ∴∠=∠，即B C ∠=∠，BAP DPC ∠=∠，BAP CPD ∴∆∆∽， ∴AB BP CP CD =， 3AB BC ==，312CP BC BP =-=-=，1BP =，即3131CD=-， 解得：23CD =， 故答案为：23． 16．（4分）五一期间，青年旅行社组织一个团；老师和学生共50人组成的旅行团到凤凰古城旅游，景区门票售票标准是：成人门票50元/张，学生门票20元/张，该旅行团购买门票共花费1800元，若设该团购买成人门票x 张，则可列方程为： 5020(50)1800x x +-= ．【解答】解：设该团购买成人门票x 张，由题意得：5020(50)1800x x +-=，故答案为：5020(50)1800x x +-=．17．（4分）如图，在Rt ABC ∆中，已知：90C ∠=︒，60A ∠=︒，3AC cm =，以斜边AB 的中点P 为旋转中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90︒得到Rt △A B C '''，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积为 942cm ．【解答】解：设A B ''交BC 于D ，在直角DPB ∆中，3BP AP AC ===，60A ∠=︒设PD x =，则2BD x =，222DP BP BD +=，2223(2)x x ∴+=，3DP x ∴==， B P BP '=，B B ∠=∠'，90B PH BPD ∠'=∠=︒，∴△B PH BPD '≅∆，3PH PD ∴==，在直角BGH ∆中，33BH =+，33GH +∴=，3(33)BG =+， 1333639(33)2BGH S ∆++∴=⨯⨯+=，133332BDP S ∆=⨯⨯=， 26393394DGHP S cm +∴=-=．三、解答题（一）（共3小题，每小题6分，满分18分）18．（620127()3tan 60(2)2π---︒+ 【解答】解：原式3343315=-=．19．（6分）先化简，再求值：2222441242x x x x x x x--+÷-+-，其中5x = 【解答】解：原式22(2)(2)1(2)(2)2x x x x x x x--+=-+- 112x x =- 12x=． 20．（6分）如图，已知Rt ABC ∆中90C ∠=︒，10AB =，8AC =．（1）作AB 的垂直平分线DE ，交AB 于点D ，交AC 于点E ．（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）求AE 的长．【解答】解：（1）如图所示，DE 即为所求；（2）如图，连接BE ， DE 垂直平分AB ，AE BE ∴=，设AE x =，则BE x =，8CE x =-，Rt ABC ∆中90C ∠=︒，10AB =，8AC =，6BC ∴=．Rt BCE ∆中，222BC CE BE +=，2226(8)x x ∴+-=， 解得254x =， 254AE ∴=．四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）21．（8分）某中学为丰富综合实践活动，开设了四个实验室如下：A ．物理；B ．化学；C ．信息；D ．生物．为了解学生最喜欢哪个实验室，随机抽取了部分学生进行调查，每位被调查的学生都选择了一个自己最喜欢的实验室，调查后将调查结果绘制成了如图统计图，请根据统计图回答下列问题（1）求这次被调查的学生人数．（2）请将条形统计图补充完整．（3）求出扇形统计图中B对应的圆心角的度数．【解答】解：（1）14028%500÷=（人)．∴这次被调查的学生人数为500人．（2）A项目的人数为500(75140245)40-++=（人)，补全图形如下：（3）7536054 500⨯︒=︒．∴扇形统计图中B对应的圆心角的度数为54︒．22．（8分）根据道路交通法规规定：普通桥梁一般限速40/km h．为了安全，交通部门在桥头竖立警示牌：“请勿超速”，并监测摄像系统监控，如图，在某直线公路L路桥段BC内限速40/km h，为了检测车辆是否超速，在距离公路500L米旁的A处设立了观测点，从观测点A 测得一小车从点B 到达点C 行驶了30秒钟，已知45ABL ∠=︒，30ACL ∠=︒，此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：2 1.41≈，3 1.73)≈【解答】解：此车已超速．理由如下：过A 作AD BC ⊥，垂足为D ，则500AD =，45ABL ∠=︒，90ADB ∠=︒，500tan 45BD∴︒= 500BD ∴=．又30ACL ∠=︒，60CAD ∴∠=︒500tan 60500BC +∴︒= 5003500366BC ∴=-≈．∴车速为36612.2/30m s =． 10040/11.1(/)9km h m s =≈， 又12.211.1>，∴此车已超速．23．（8分）如图，在直角坐标平面内，函数(0m y x x=>，m 是常数）的图象经过(1,4)A ，(,)B a b ，其中1a >．过点A 作x 轴垂线，垂足为C ，过点B 作y 轴垂线，垂足为D ，连接AD ，DC ，CB ．（1）求反比例函数的解析式；（2）若ABD ∆的面积为4，求点B 的坐标；（3）求证：//DC AB ．【解答】（1）解：函数(0m y x x=>，m 是常数）图象经过(1,4)A ， 4m ∴=，4y x ∴=，（2）设BD ，AC 交于点E ，据题意，可得B 点的坐标为4(,)a a ，D 点的坐标为4(0,)a ，E 点的坐标为4(1,)a，1a >，DB a ∴=，44AE a=-． ABD ∆的面积为4，∴14(4)42a a-=， 解得3a =，∴点B 的坐标为4(3,)3；（3）证明：据题意，点C 的坐标为(1,0)，1DE =，1a >，4EC a ∴=，1BEa =-， ∴111BE a a DE -==-，4414AE a a CE a -==-． ∴BE AE DE CE =， AEB CED ∠=∠，AEB CED ∴∆∆∽，ABE CDE ∴∠=∠，//DC AB ∴；五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）24．（10分）如图，ABC ∆是O 的内接三角形，直径AB 垂直于弦CG ，垂足为点H ，过点C 作ED CG ⊥，交O 于点E ，且CBD A ∠=∠，连接BE ，交CG 于点F ．（1）求证：BD 是O 的切线；（2）求证：2BC BF BE =；（3）若8CG =，10AB =，求sin E 的值．【解答】（1）证明：AB 是O 的直径，90ACB ∴∠=︒，90A ABC ∴∠+∠=︒，CBD A ∠=∠，90CBD ABC ∴∠+∠=︒， 即90ABD ∠=︒，BD OB ∴⊥，又OB 是O 的半径，BD ∴是O 的切线；（2）证明：AB CG ⊥，BD AB ⊥，//CG BD ∴， CBD BCF ∴∠=∠，CBD A ∠=∠，BCF A ∴∠=∠，E A ∠=∠，BCF E ∴∠=∠，又CBF EBC ∠=∠，CBF EBC ∴∆∆∽，::BC BE BF BC ∴=，2BC BF BE ∴=；（3）解：连接OC ，如图所示：AB CG ⊥， 142CH CG ∴==， 10AB =，152OC OA AB ∴===， 2222543OH OC CH ∴=-=-=， 8AH OA OH ∴=+=，22224845AC CH AH ∴=+=+=， E A ∠=∠，5sin sin 45CH E A AC ∴====．25．（10分）如图，抛物线2y x bx c =++过点(3,0)A ，(1,0)B ，交y 轴于点C ，点P 是该抛物线上一动点，点P 从C 点沿抛物线向A 点运动（点P 不与A 重合），过点P 作//PD y 轴交直线AC 于点D ．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P 在运动的过程中线段PD 长度的最大值；（3）APD ∆能否构成直角三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点P 坐标；若不能，请说明理由．【解答】解：（1）抛物线2y x bx c =++过点(3,0)A ，(1,0)B ， ∴93010b c b c ++=⎧⎨++=⎩， 解得43b c =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线解析式为243y x x =-+；（2）令0x =，则3y =，∴点(0,3)C ，则直线AC 的解析式为3y x =-+，设点2(,43)P x x x -+，//PD y 轴，∴点(,3)D x x -+，22239(3)(43)3()24PD x x x x x x ∴=-+--+=-+=--+， 10a =-<，∴当32x =时，线段PD 的长度有最大值94； （3）①APD ∠是直角时，点P 与点B 重合，此时，点(1,0)P ，②2243(2)1y x x x =-+=--， ∴抛物线的顶点坐标为(2,1)-， (3,0)A ，∴点P 为在抛物线顶点时，454590PAD ∠=︒+︒=︒， 此时，点(2,1)P -，综上所述，点(1,0)P 或(2,1)-时，APD ∆能构成直角三角形．。

2020年中考数学第一次模拟考试【广东卷】数学·全解全析1．【答案】D【解析】（1）由平方根的性质可以得知，负有理数没有平方根，0的平方根是0，∴A错误．（2）∵任何实数都有立方根，∴B答案错误．（3）∵无理数的定义是无限不循环小数叫做无理数，∴C答案错误．∴D答案正确．故选D．2．【答案】C【解析】A、B、D都是中心对称也是轴对称图形，C、是轴对称，但不是中心对称．故选C．3．【答案】C【解析】将100亿用科学记数法表示为：1×1010．故选C．4．【答案】C【解析】A、两边都加c不等号的方向不变，故A不符合题意；B、两边都减c不等号的方向不变，故B不符合题意；C、c=0时，ac2=bc2，故C符合题意；D、a>b，则1+a>b+1>b-1，故D不符合题意；故选：C．5．【答案】D【解析】众数是一组数据中出现次数最多的数，在这一组数据中5.0是出现次数最多的，故众数是5.0；而将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的那两个数的是4.9和4.9，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是4.9．故选：D．6．【答案】A【解析】从左边看第一层一个小正方形，第二层一个小正方形， 故选：A ． 7．【答案】C 【解析】如图，∵AB ∥CD ， ∴∠3=∠2， ∴∠3=∠1+30°， ∵∠1=20°， ∴∠3=∠2=50°； 故选：C ． 8．【答案】C【解析】∵关于x 的一元二次方程x 2-（m +3）x +m +2=0有两个不相等的实数根， ∴△=（m +3）2-4（m +2）=（m +1）2>0 ∴m ≠-1 故选C ． 9．【答案】C【解析】①由图象可知：a <0，c >0， 由对称轴可知：2ba->0， ∴b >0，∴abc <0，故①正确； ②由对称轴可知：2ba-=1， ∴b =-2a ，∵抛物线过点（3，0）， ∴0=9a +3b +c ，∴9a-6a+c=0，∴3a+c=0，故②正确；③当x=1时，y取最大值，y的最大值为a+b+c，当x取全体实数时，ax2+bx+c≤a+b+c，即ax2+bx≤a+b，故③正确；④（-0．5，y1）关于对称轴x=1的对称点为（2．5，y1）：∴y1=y2，故④错误；故选：C．10．【答案】B【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，AB∥CD，OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，∴∠BAG=∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD，∵CD=DE，∴AB=DE，在△ABG和△DEG中，BAG EDGAGB DGE AB DE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABG≌△DEG（AAS），∴AG=DG，∴OG是△ACD的中位线，∴OG=12CD=12AB，①正确；∵AB∥CE，AB=DE，∴四边形ABDE是平行四边形，∵∠BCD=∠BAD=60°，∴△ABD、△BCD是等边三角形，∴AB=BD=AD，∠ODC=60°，∴OD=AG，四边形ABDE是菱形，④正确；∴AD⊥BE，由菱形的性质得：△ABG≌△BDG≌△DEG，在△ABG 和△DCO 中，60OD AG ODC BAG AB DC ︒=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩∴△ABG ≌△DCO （SAS ），∴△ABO ≌△BCO ≌△CDO ≌△AOD ≌△ABG ≌△BDG ≌△DEG ，②不正确； ∵OB =OD ，AG =DG ， ∴OG 是△ABD 的中位线， ∴OG ∥AB ，OG =12AB ， ∴△GOD ∽△ABD ，△ABF ∽△OGF ， ∴△GOD 的面积=14△ABD 的面积，△ABF 的面积=△OGF 的面积的4倍，AF ：OF =2：1， ∴△AFG 的面积=△OGF 的面积的2倍，又∵△GOD 的面积=△AOG 的面积=△BOG 的面积， ∴S 四边形ODGF =S △ABF ；不正确； 正确的是①④． 故选B ． 11．【答案】y （x -1）【解析】∵代数式xy -y 的公因式是y ， ∴xy -y =y （x -1）． 故答案为：y （x -1）． 12．【答案】y =2x +1【解析】直线y =2x +4经过点（0，4），将直线下平移3个单位，则点（0，4）也向下平移了3个单位，则平移后的直线经过点（0，1）， ∵平移后的直线与原直线平行， ∴平移后的直线设为y =2x +k ，∵y =2x +k 过点（0，1），代入点（0，1）得k =1， ∴新直线为y =2x +1 故答案为：y=2x +1 13．【答案】-4【解析】作AC ⊥x 轴于点C ，作BD ⊥x 轴于点D ．则∠BDO =∠ACO =90°， 则∠BOD +∠OBD =90°， ∵OA ⊥OB ，cos A =33， ∴∠BOD +∠AOC =90°，tan A =2， ∴∠BOD =∠OAC ， ∴△OBD ∽△AOC ，∴OBD AOC S S V V =（OB OA）2=（tan A ）2=2， 又∵S △AOC =12×2=1， ∴S △OBD =2， ∴k =-4． 故答案为-4． 14．【答案】7【解析】将方程两边同除以x ，则有：x -3+1x =0，即x +1x =3；因此（x +1x ）2=x 2+21x +2=9，所以x 2+21x=7 15．【答案】8233π-【解析】连接,CE∵四边形ABCD 是矩形，4,2,90AD BC CD AB BCD ADC ∴====∠=∠=o ，∴CE =BC =4， ∴CE =2CD ， 30DEC ∴∠=o ， 60DCE ∴∠=o ，由勾股定理得：23DE =，∴阴影部分的面积是S =S 扇形CEB ′−S △CDE 260π4218223π2 3.36023⨯=-⨯⨯=-故答案为8π2 3.3- 16．【答案】m >2且3m ≠【解析】方程两边同乘以x -1，得，m -3=x -1， 解得x =m -2， ∵分式方程3111m x x+=--的解为正数， ∴x =m -2>0且x -1≠0， 即m -2>0且m -2-1≠0， ∴m >2且m ≠3， 故答案为m >2且m ≠3． 17．【答案】40°或100°或70°【解析】∵△BCP 恰为轴对称图形， ∴△BCP 是等腰三角形， 如图1，连接AP ，∵O 为斜边中点，OP =OA ， ∴BO =OP =OA ，∴∠APB=90°，当BC=BP时，∴∠BCP=∠BPC，∴∠BCP+∠ACP=∠BPC+∠APC=90°，∴∠ACP=∠APC，∴AC=AP，∴AB垂直平分PC，∴∠ABP=∠ABC=20°，∴θ=2×20°=40°，当BC=PC时，如图2，连接CO并延长交PB于H，∵BC=CP，BO=PO，∴CH垂直平分PB，∴∠CHB=90°，∵OB=OC，∴∠BCH=∠ABC=20°，∴∠CBH=70°，∴∠OBH=50°，∴θ=2×50°=100°；当PB=PC时，如图3，连接PO 并延长交BC 于G ，连接OC ， ∵∠ACB =90°，O 为斜边中点， ∴OB =OC ， ∴PG 垂直平分BC ， ∴∠BGO =90°， ∵∠ABC =20°， ∴θ=∠BOG =70°，综上所述：当△BCP 恰为轴对称图形时，θ的值为40°或100°或70°， 故答案为40°或100°或70°． 18．【解析】（-13）-32|-（π-3．14）0+2sin60°=-43+231+2×32=-13-33 =-1319．【解析】原式=211(2)(11(1)a a a a a a ---÷---） =22(1)•1(2)a a a a a ---- =2aa - 当a 2原式=2+221 2+22=+-．20．【解析】（1）射线BD即为所求；（2）∵∠A=90°，∠C=30°，∴∠ABC=90°-30°=60°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=12∠ABC=30°，∴∠C=∠CBD=30°，∴DC=D B．21．【解析】（1）依题可得：∠A=45°，∠PBC=60°，∠QBC=30°，AB=10m，在Rt△PBC中，∵∠PBC=60°，∠PCB=90°，∴∠BPQ=30°；（2）设CQ=x，在Rt△QBC中，∵∠QBC=30°，∠QCB=90°，∴BQ=2x，BC3，又∵∠PBC=60°，∠QBC=30°，∴∠PBQ=30°，由（1）知∠BPQ=30°，∴PQ=BQ=2x，∴PC=PQ+QC=3x，AC=AB+BC3x，又∵∠A=45°，∴AC=PC，即3x=10+3x，解得：x=()5333⨯+，∴PQ=2x=()10333⨯+≈15.8（m），答：树PQ的高度约为15.8m．22．【解析】（1）根据题意得：王老师一共调查学生：（2+1）÷15%=20（名）；故答案为20；（2）∵C类女生：20×25%-2=3（名）；D类男生：20×（1-15%-50%-25%）-1=1（名）；如图：（3）列表如下：A类中的两名男生分别记为A1和A2，男A1男A2女A 男D男A1男D男A2男D女A男D女D男A1女D男A2女D女A女D共有6种等可能的结果，其中，一男一女的有3种，所以所选两位同学恰好是一位男生和一位女生的概率为：3162=．23．【解析】（1）设商品每件进价x元，乙商品每件进价y元，得32402130x yx y+=⎧⎨+=⎩解得：3070xy=⎧⎨=⎩，答：甲商品每件进价30元，乙商品每件进价70元；（2）设甲商品进a件，乙商品（100-a）件，由题意得，a≥4（100-a），a≥80，设利润为y元，则，y=10a+20（100-a）=-10a+2000，∵y随a的增大而减小，∴要使利润最大，则a取最小值，∴a=80，∴y=2000-10×80=1200，答：甲商品进80件，乙商品进20件，最大利润是1200元．24．【解析】（1）∵BC⊥AM，CD⊥AB，∴∠ENC=∠EF A=90°．∵∠AEF=∠CEN，∴∠BAM=∠BC D．∵AM是⊙O直径，弦BC⊥AM，∴BN=CN，∴EB=EC，∴∠EBC=∠BCD，∴∠BED=2∠BCD=2∠BAM；（2）连接AC，如图2，∵AM 是⊙O 直径，弦BC ⊥AM ，∴·BM=·CM ∴∠BAM =∠CAM ，∴∠BDC =∠BAC =2∠BAM =∠BED ， ∴BD =BE ．在△ABE 和△CDB 中，,BAE DCBABE CDB BE DB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△CDB ， ∴AE =CB ． ∵BN =CN ， ∴AE =CB =2CN ；（3）过点O 作OP ⊥AB 于P ，作OH ⊥BE 于H ，作OQ ⊥CD 于Q ，连接OC ，如图3，则有1122AP BP AB CQ DQ CD ====，．∵AB =CD ， ∴AP =CQ ，∴2222OP OA AP OC CQ OQ =-=-=． ∵AM 垂直平分BC ， ∴EB =EC ，∴∠BEA =∠CE A ． ∵OH ⊥BE ，OQ ⊥CD ， ∴OH =OQ ， ∴OP =OQ =OH ，∴172.142ABO EBOAB OPS AB CD S BE BE BE OH ⋅====⋅V V又∵.ABO EBO S AOS EOV V = ∴7,4AO EO = 设AO =7k ，则EO =4k ， ∴AE =AO +EO =11k =11， ∴k =1，∴AO =7，EO =4， ∴AM =2AO =14， ∴EM =AM -AE =14-11=3．25．【解析】（1）∵点A 是直线与抛物线的交点，且横坐标为-2，21(2)14y =⨯-=，A 点的坐标为（-2，1），设直线的函数关系式为y =kx +b ， 将（0，4），（-2，1）代入得421b k b =⎧⎨-+=⎩，解得324k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴y =32x ＋4 ∵直线与抛物线相交，231424x x ∴+= 解得：x =-2或x =8，当x =8时，y =16，∴点B 的坐标为（8，16）； （2）存在．∵由A （－2，1），B （8，16）可求得AB 2=22(82)(161)++-=325．设点C （m ，0），同理可得AC 2=（m ＋2）2＋12=m 2＋4m ＋5， BC 2=（m －8）2＋162=m 2－16m ＋320，①若∠BAC =90°，则AB 2＋AC 2=BC 2，即325＋m 2＋4m ＋5=m 2－16m ＋320，解得m =－12； ②若∠ACB =90°，则AB 2=AC 2＋BC 2，即325=m 2＋4m ＋5＋m 2－16m ＋320，解得m =0或m =6； ③若∠ABC =90°，则AB 2＋BC 2=AC 2，即m 2＋4m ＋5=m 2－16m ＋320＋325，解得m =32， ∴点C 的坐标为（－12，0），（0，0），（6，0），（32，0） （3）设M （a ，14a 2），则MN 2114a =+， 又∵点P 与点M 纵坐标相同， ∴32x ＋4=14a 2， ∴x =2166a -，∴点P 的横坐标为2166a -，∴MP =a －2166a -，∴MN ＋3PM =14a 2＋1＋3（a －2166a -）=－14a 2＋3a ＋9=－14（a －6）2＋18，∵－2≤6≤8，∴当a =6时，取最大值18，∴当M 的横坐标为6时，MN ＋3PM 的长度的最大值是18．。

2020年广东省东莞市虎门五中中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.8的相反数的立方根是()A. 2B. 12C. −2 D. −122.百合花的花粉的直径约0.000000087米，这里0.000000087用科学记数法表示为()A. 8.7×10−7B. 8.7×10−8C. 8.7×10−9D. 0.87×10−83.下列银行标志中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是()A. B. C. D.4.如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B=35°，∠ACE=60°，则∠A=()A. 35°B. 95°C. 85°D. 75°5.下列计算正确的是()A. a+a=a2B. (2a)3=6a3C. (a−1)2=a2−1D. a3÷a=a26.已知三角形两边的长分别是1和5，则此三角形第三边的长可能是：A. 4B. 5C. 6D. 77.如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，那么这个多边形是( )A. 四边形B. 六边形C. 八边形D. 十边形8.下列命题中，是真命题的有()个．①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②对角线相等的四边形是矩形；③对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；④对角线互相垂直平分的四边形是菱形．A. 1B. 2C. 3D. 4(k>0)的图象上，且x1=−x2，则()9.若点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)在反比例函数y=kxA. y1<y2B. y1=y2C. y1>y2D. y1=−y210.如图，B是线段AP的中点，以AB为边构造菱形ABCD，连结PD.，AB=13，则BD的长为()若tan∠BDP=12A. 5√132B. 3√13C. 7√132D. 4√13二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）11.因式分解：m2−16=______ ；2x2−8xy+8y2=______ ．12.代数式1有意义的条件是______ ．√x+213.在一个不透明的袋子里装有若干个白球和5个红球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过很多次重复试验，发现红球摸到的频率稳定在0.25，则袋中白球有_________个．14.如图，在⊙O中，A，B是圆上的两点，已知∠AOB=40∘，直径CD//AB，连接AC，则∠BAC的度数为____________．15.如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP=1，D为AC上一点，若∠APD=60°，则CD的长为________．16.某校为学生购买名著《三国演义》100套、《西游记》80套，共用了12000元，《三国演义》每套比《西游记》每套多16元，求《三国演义》和《西游记》每套各多少元？设西游记每套x元，可列方程为______．17.如图，△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，BC=12cm，把△ABC绕着它的斜边中点P逆时针旋转90°至△DEF的位置，DF交BC于点H.△ABC与△DEF重叠部分的面积为______ cm2．三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）18.如图，已知平行四边形OBDC的对角线相交于点E，其中O(0,0)，(k≠0)的图象经过点B．B(3,4)，C(m,0)，反比例函数y=kx(1)求反比例函数的解析式；(2)若点E恰好落在反比例函数y=k上，求平行四边形OBDC的面x积．四、解答题（本大题共7小题，共54.0分）)−2−(π−√7)0+|√3−2|+6tan30°．19.计算：(1320.先化简，再求值：x2−2x+1x2−x ÷(x−1x)，其中x=√2−1．21.已知，如图，四边形ABCD，∠A=∠B=90°．(1)尺规作图，在线段AB上找一点E，使得EC=ED，连接EC，ED(不写作法，保留作图痕迹)；(2)在(1)在图形中，若∠ADE=∠BEC，且CE=3，BC=√5，求AD的长．22.某中学的“周末远道生管理”是学校的一大特色，为了增强远道生的体质，丰富远道生的周末生活，学校决定开设以下体育活动项目：A.篮球；B.乒乓球；C.羽毛球；D.足球；为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：(1)这次被调查的学生共有______人；(2)请你将条形统计图2补充完整；(3)求条形统计图中C项目对应的扇形圆心角的度数．23.“为了安全，请勿超速”.如图，一条公路建成通车，在某直线路段MN上限速60千米/时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN= 45°，∠CBN=60°，BC=200米，此车超速了吗？请说明理由．24.如图，在△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于点E，交AC的延长线于点D，连接ED交BC于点G，过点E作EF⊥AD，垂足为点F(1)求证：EF是⊙O的切线；(2)若DCCF =32，求EGDG的值；(3)若DC=DG=2，求⊙O的半径．25.如图，抛物线y=ax2+bx+2√3经过点A(−√3,0)，B(2√3,0)，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P是直线BC上方的抛物线上的动点，过点P作PE平行于x轴，交直线BC于点E，当线段PE取得最大值时，求点P的坐标；(3)点Q是抛物线上的动点，且满足∠QCB=15°，请直接写出符合条件的点O的坐标．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：8的相反数是−8，−8的立方根是−2，则8的相反数的立方根是−2，故选：C．根据相反数的定义、立方根的概念计算即可．本题考查的是实数的性质，掌握相反数的定义、立方根的概念是解题的关键．2.答案：B解析：本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．解：0.000000087用科学记数法表示为8.7×10−8．故选：B．3.答案：D解析：解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故A选项不合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不合题意；C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故C选项不合题意；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D选项符合题意；故选：D．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合．4.答案：C解析：本题考查了三角形外角性质，角平分线定义的应用，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．根据三角形角平分线的性质求出∠ACD，根据三角形外角性质求出∠A即可．解：∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∠ACE=60°，∴∠ACD=2∠ACE=120°，∵∠ACD=∠B+∠A，∴∠A=∠ACD−∠B=120°−35°=85°，故选C．5.答案：D解析：解：A，a+a=2a≠a2，故该选项错误；B，(2a)3=8a3≠6a3，故该选项错误C，(a−1)2=a2−2a+1≠a2−1，故该选项错误；D，a3÷a=a2，故该选项正确，故选：D．根据合并同类项运算法则和积的乘方法则、完全平方公式以及同底数幂的除法法则逐项计算即可．本题考查了并同类项运算法则和积的乘方法则、完全平方公式以及同底数幂的除法法则，解题的关键是熟记以上各种运算法则．6.答案：B解析：本题考查三角形三边关系．三角形三边中，任意两边之和大于第三边，任意两边差小于第三边．设此三角形第三边的长为x，根据三角形的三边关系求出x的取值范围，找出符合条件的x的值即可．解：设此三角形第三边的长为x，则5−1<x<5+1，即4<x<6，四个选项中只有5符合条件．故选B．7.答案：C解析：此题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°，根据多边形的内角和公式(n−2)⋅180°与外角和定理列出方程，然后求解即可．解：设这个多边形是n边形，根据题意得，(n−2)⋅180°=3×360°，解得n=8．故选C．8.答案：B解析：④本题主要考查命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题.许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理.根据平行线四边形的判定方法对①进行判定；根据矩形的判定方法，对角线相等的平行四边形是矩形，则可对②进行判定；根据菱形的判定方法，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，则可对④进行判定；根据正方形的判定方法，对角线互相垂直的矩形是正方形，则可对对③进行判定．解：①对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以①选项为真命题；②对角线相等的平行四边形是矩形，所以②选项为假命题；③对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以③选项为假命题．④对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以④选项为真命题；故选B．9.答案：D解析：解：∵点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)在反比例函数y=kx(k>0)的图象上，∴y1=kx1，y2=kx2，∵x1=−x2，∴y1=kx1=−kx2∴y1=−y2．故选：D．根据反比例函数图象上点的坐标特征得到y1=kx1，y2=kx2，根据x1=−x2解得y1=kx1=−kx2，从而求得y1=−y2．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=kx(k为常数，k≠0)的图象是双曲线，图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．10.答案：D解析：本题考查菱形的性质，三角形相似的判定和性质，三角函数的定义及勾股定理等知识，正确的识别图形是解题的关键．证明△CED∽△AEP，根据相似三角形对应边成比例得：CDAP =CEAE，设CE=x，得AE=2x，由三角函数得tan∠BDP=tan∠ODE=OEOD =12，得OD=x=OB，由勾股定理列方程可得结论．【详解】解：如图，∵四边形ABCD是菱形，∴CD//AP，AC⊥BD，CD=AB，∴△CED∽△AEP，∴CDAP =CEAE，设CE=x，∵B是AP的中点，∴AP=2AB=2CD，∴CEAE =12，∴AE=2x，∴AC=3x，∴AO=OC=32x，∴OE=32x−x=12x，∵AC⊥BD，∴∠DOE=90°，tan∠BDP=tan∠ODE=OEOD =12，∴OD=x=OB，Rt△AOB中，由勾股定理得：AB2=AO2+OB2，132=x2+(3x)2，2x=2√13，∴BD=4√13．故选D．11.答案：(m−4)(m+4)；2(x−2y)2解析：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．利用平方差公式分解因式即可；先提取公因式2，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：a2−2ab+b2=(a−b)2．解：m2−16=(m−4)(m+4)；2x2−8xy+8y2=2(x2−4xy+4y2)=2(x−2y)2．故答案为：(m−4)(m+4)；2(x−2y)2．12.答案：x>−2解析：解：由题意得，x+2>0，解得x>−2．故答案为：x>−2．根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．本题考查了二次根式的意义和性质，性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义，分式的分母不等于0．13.答案：15解析：本题主要考查的是概率的计算法则，属于基础题型．理解概率的计算法则是解决这个问题的关键．设白球的数量为x个，根据概率列出方程，从而得出答案．解：设白球的数量为x个，根据题意可得：5=0.25，5+x解得：x=15．故答案为15．14.答案：35°解析：本题考查的是圆周角定理有关知识，先根据等腰三角形的性质求出∠ABO的度数，再由平行线的性质求出∠BOC的度数，根据圆周角定理即可得出结论．解：∵∠AOB=40°，OA=OB，=70°．∴∠ABO=180°−40°2∵直径CD//AB，∴∠BOC=∠ABO=70°，∠BOC=35°．∴∠BAC=12故答案为35°．15.答案：23解析：本题考查等边三角形性质及相似三角形的判定与性质，属于一般题．根据等边三角形性质得出AB=BC=AC=3，∠B=∠C=60°，推出∠BAP=∠DPC，证△BAP∽△CPD，得出ABCP =BPCD，代入求出即可．解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=3，∠B=∠C=60°，∴∠BAP+∠APB=180°−60°=120°，∵∠APD=60°，∴∠APB+∠DPC=180°−60°=120°，∴∠BAP=∠DPC，即∠B=∠C，∠BAP=∠DPC，∴△BAP∽△CPD，∴ABCP =BPCD，∵AB=BC=3，CP=BC−BP=3−1=2，BP=1，∴32=1CD，解得：CD=23，故答案为：23．16.答案：100(x+16)+80x=12000解析：解：设《西游记》每套x元，则《三国演义》每套(x+16)元，根据题意得：100(x+16)+80x=12000．故答案为：100(x+16)+80x=12000．设《西游记》每套x元，则《三国演义》每套(x+16)元，根据总价=单价×购买数量，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．17.答案：9解析：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．如图，由点P为斜边BC的中点得到PC=12BC=6，再根据旋转的性质得PF=PC=6，∠FPC=90°，∠F=∠C=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系，在Rt△PFH中计算出PH=√33PF=2√3；在Rt△CPM中计算出PM=√33PC=2√3，且∠PMC=60°，则∠FMN=∠PMC=60°，于是有∠FNM=90°，FM=PF−PM=6−2√3，则在Rt△FMN中可计算出MN=12FM=3−√3，FN=√3MN=3√3−3，然后根据三角形面积公式和利用△ABC与△DEF重叠部分的面积=S△FPH−S△FMN进行计算即可．解：如图，∵点P为斜边BC的中点，∴PB=PC=12BC=6，∵△ABC绕着它的斜边中点P逆时针旋转90°至△DEF的位置，∴PF=PC=6，∠FPC=90°，∠F=∠C=30°，在Rt△PFH中，∵∠F=30°，∴PH=√33PF=√33×6=2√3，在Rt△CPM中，∵∠C=30°，∴PM=√33PC=√33×6=2√3，∠PMC=60°，∴∠FMN=∠PMC=60°，∴∠FNM=90°，而FM=PF−PM=6−2√3，在Rt△FMN中，∵∠F=30°，∴MN=12FM=3−√3，∴FN=√3MN=3√3−3，∴△ABC与△DEF重叠部分的面积=S△FPH−S△FMN=12×6×2√3−12(3−√3)(3√3−3)=9(cm2).故答案为9．18.答案：解：(1)把B坐标代入反比例解析式得：k=12，则反比例函数解析式为y=12x；(2)∵B(3,4)，C(m,0)，∴边BC的中点E坐标为(m+32,2)，将点E 的坐标代入反比例函数得2=12m+32，解得：m =9， 则平行四边形OBCD 的面积=9×4=36．解析：(1)把B 坐标代入反比例解析式求出k 的值，即可确定出反比例解析式；(2)由B 与C 坐标，表示出中点E 坐标，把E 坐标代入反比例解析式求出m 的值，即可确定出平行四边形的面积．此题考查了待定系数法求反比例解析式，反比例函数k 的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，以及平行四边形的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．19.答案：解：(13)−2−(π−√7)0+|√3−2|+6tan30°=9−1+2−√3+6×√33 =10−√3+2√3=10+√3．解析：直接利用负整数指数和零指数幂的性质以及绝对值的性质和特殊角的三角函数值分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．20.答案：解：当x =√2−1时，原式=(x−1)2x(x−1)÷x 2−1x=x −1x ⋅x (x +1)(x −1) =1x +1 =1√2 =√22．解析：本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型． 根据分式的运算法则即可求出答案．21.答案：解：(1)如图所示，作CD 的垂直平分线交AB 于点E ，点E 即为所求，(2)由(1)知EC=ED，又∵∠A=∠B=90°，∠ADE=∠BEC，∴△ADE≌△BEC(AAS)，∴AD=BE，在Rt△BEC中，BE=√CE2−BC2=√9−5=2，∴AD=BE=2．解析：本题主要考查了基本作图，线段垂直平分线及勾股定理，解题的关键是熟记作线段垂直平分线的方法．(1)利用作线段垂直平分线的方法，即可确定点E．(2)先利用△ADE≌△BEC，得出AD=BE，再利用勾股定理求出BE的长，即可求出AD的长．22.答案：(1)200；(2)C项目人数为200−(20+80+40)=60人，补全条形图如下：=108°．(3)扇形统计图中C项目对应的扇形圆心角的度数为360°×60200解析：解：(1)这次被调查的学生共有20÷36°360∘=200人，故答案为：200；(2)见答案；(3)见答案．(1)用喜欢篮球的人数除以喜欢篮球的人数所占的百分比，即可求出这些被调查的学生数；(2)用总人数减去喜欢篮球、乒乓球和足球的人数，即可求出喜欢羽毛球的人数，从而补全统计图；(3)用360°乘以样本中羽毛球人数所占比例可得．本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．23.答案：解：此车没有超速．理由：过C作CH⊥MN于H，∵∠CBN=60°，BC=200米，∴∠HCB=30°，∴BH=12BC=12×200=100(米)，CH2=BC2−BH2=2002−1002=30000，即CH=100√3(米)，∵∠CAN=45°，∴AH=CH=100√3米，∴AB=100√3−100≈73(m)，∵60千米/小时=503m/s，∴735=14.6(m/s)<503≈16.7(m/s)，∴此车没有超速．解析：此题考查了解直角三角形的应用，得出AB的长是解题关键．根据题意结合锐角三角函数关系得出BH，CH，AB的长进而求出汽车的速度，进而得出答案．24.答案：证明：(1)如图，连接OE，∵AC=BC，∴∠ABC=∠A，∵OE=OB，∴∠ABC=∠OEB，∴∠A=∠OEB，∵EF⊥AD，∴∠A+∠AEF=90°，∴∠OEB+∠AEF=90°，∴∠OEF=90°，且OE是半径∴EF是⊙O的切线(2)连接CE，∵∠A=∠ABC=∠ADE∴AE=DE，且EF⊥AD，∴AF=DF，∵DCCF =32，∴设DC=3x，CF=2x，∴AF=DF=5x，∴AC=7x，∵CB是直径∴∠CEB=90°，且AC=BC，∴AE=BE，且CO=BO，∴OE//AC，OE=12AC=72x，∴EGDG=EOCD=72x3x=76(3)如图，∵∠A=∠ABC=∠ADE ∴AE=DE，且EF⊥AD，∴AF=DF，∵CB是直径∴∠CEB=90°，且AC=BC，∴AE=BE，且CO=BO，∴OE//AC，OE=12AC，设CF=a，∴DF=CD+CF=2+a，∴AF=2+a，∴AC=AF+CF=2+2a，∴OE=12AC=1+a=OB=OC，∵CD=DG，∴∠DCG=∠DGC，∵OE//AD，∴∠CDE=∠GEO，∠EOC=∠DCG，∴∠DCG=∠DGC=∠EGO=∠EOC，∴EG=EO=a+1，∵OE//AD∴CDEO =CGOG，即2a+1=CGOG∴2a+1+1=OCOG=a+1OG∴OG=(a+1)2a+3∵∠ADE=∠ABC=∠GEO，且∠EGB=∠EGB，∴△EGO∽△BGE，∴EGOG =BGEG，∴EG2=OG×BG，∴(1+a)2=(1+a)2a+3×[(1+a)+(a+1)2a+3]，∴a=√5∴EO=1+√5，∴⊙O的半径为1+√5解析：(1)连接OE，根据等腰三角形的性质可得∠A=∠OEB，可得∠OEB+∠AEF=90°，即可证EF是⊙O的切线；(2)根据等腰三角形的性质可得AF=DF，设DC=3x，CF=2x，可得AF=DF=5x，AC=7x，根据三角形中位线定理可得OE//AC，OE=12AC=72x，根据平行线分线段成比例可得EGDG的值；(3)设CF=a，用字母a表示AC，EO，BO，EG，OG的长，通过证明△EGO∽△BGE，可求a的值，即可求⊙O的半径．本题是圆的综合题，考查了切线的性质和判定，等腰三角形的性质，圆周角的定理，相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．25.答案：解：(1)已知抛物线与y轴交点为C，易知C的坐标为(0,2√3)；又已知抛物线经过点A(−√3,0)，B(2√3,0)，所以抛物线解析式可表示为：y=a(x+√3)(x−2√3)；代入C(0,2√3)，解得a=−√33，b=1;∴抛物线的解析式为y=−√33x2+x+2√3．(2)过P点作平行于y轴的直线，与BC相较于点D，如图所示：∵EP//OB，∴易得∠EPD=90°，∵OB=OC=2√3，∴∠OBC=∠OCB=45°，∴易知RtΔEPD中，∠PED=∠PDE=45°，∴PD=PE，所以求PE最大值也就转化为求PD最大值。

中考数学一模试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.-2020的倒数是（）A. 2020B. -2020C.D. -2.据民政部网站消息截至2018年底，我国60岁以上老年人口巳经达到2.56亿人．其中2.56亿用科学记数法表示为（）A. 2.56×107B. 2.56×108C. 2.56×l09D. 2.56×l0103.如图是由几个相同的小正方体堆砌成的几何体，它的左视图是（）A.B.C.D.4.已知一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是（）A. 五边形B. 六边形C. 七边形D. 八边形5.下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A. 等边三角形B. 正六边形C. 正方形D. 圆6.不等式组的解为（）A. x≥5B. x≤-1C. -1≤x≤5D. x≥5或x≤-17.如图，已知直线l1∥l2，一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠2=35°，则∠1等于（）A. 25°B. 35°C. 40°D. 45°8.关于x的一元二次方程（m-2）x2+5x+m2-4=0的常数项是0，则（）A. m=4B. m=2C. m=2或m=-2D. m=-29.在△ABC中，DE∥BC，AE：EC=2：3，则S△ADE：S四边形BCED的值为（）A. 4：9B. 4：21C. 4：25D. 4：510.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=3cm，动点P从点A出发，以cm/s的速度沿AB方向运动到点B，动点Q同时从点A出发，以1cm/s的速度沿折线AC→CB方向运动到点B．设△APQ的面积为y（cm2），运动时间为x（s），则下列图象能反映y与x之间关系的是（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）11.若分式有意义，则x的取值范围为______．12.同时抛掷两枚硬币，恰好均为正面向上的概率是______．13.分解因式：2a2-4a+2=______．14.如图，⊙O的弦AC与半径OB交于点D，BC∥OA，AO=AD，则∠C的度数为______°．15.已知|x-2y|+（y-2）2=0，则x y=______．16.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，在以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立的平面直角坐标系中，将△ABC绕点B顺时针旋转，使点A旋转至y轴正半轴上的A′处，则图中阴影部分面积为______．17.将一些形状相同的小五角星如下图所示的规律摆放，据此规律，第10个图形有______个五角星．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）18.先化简，再求值：÷（-），其中a=+2．四、解答题（本大题共7小题，共56.0分）19.计算：+（π-2019）0-（-）-2-4cos30°20.如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=16．点D在边BC上，且点D到边AB和边AC的距离相等．（1）用直尺和圆规作出点D（不写作法，保留作图痕迹，在图上标注出点D）；（2）求点D到边AB的距离．21.某校积极开展“阳光体育”活动，并开设了跳绳、足球、篮球、跑步四种运动项目，为了解学生最喜爱哪一种项目，随机抽取了部分学生进行调查，并绘制了如下的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）．（1）求本次被调查的学生人数；（2）补全条形统计图；（3）该校共有3000名学生，请估计全校最喜爱篮球的人数比最喜爱足球的人数多多少？22.如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠后，使得点D落在点H的位置上，点C恰好落在边AD上的点G处，连接EG．（1）△GEF是等腰三角形吗？请说明理由；（2）若CD=4，GD=8，求HF的长度．23.六•一前夕，某幼儿园园长到厂家选购A、B两种品牌的儿童服装，每套A品牌服装进价比B品牌服装每套进价多25元，用2000元购进A种服装数量是用750元购进B种服装数量的2倍．（1）求A、B两种品牌服装每套进价分别为多少元？（2）该服装A品牌每套售价为130元，B品牌每套售价为95元，服装店老板决定，购进B品牌服装的数量比购进A品牌服装的数量的2倍还多4套，两种服装全部售出后，可使总的获利超过1200元，则最少购进A品牌的服装多少套？24.如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点G，OA⊥CD于点E，过点B的直线与CD的延长线交于点F，AC∥BF．（1）若∠FGB=∠FBG，求证：BF是⊙O的切线；（2）若tan∠F=，CD=a，请用a表示⊙O的半径；（3）求证：GF2-GB2=DF•GF．25.已知二次函数y=ax2+bx-3a经过点A（-1，0）、C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．（1）求此二次函数解析式；（2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：-2020的倒数是，故选：D．乘积是1的两数互为倒数．依据倒数的定义回答即可．本题主要考查的是倒数的定义，掌握倒数的定义是解题的关键．2.【答案】B【解析】解：将2.56亿用科学记数法表示为2.56×108．故选：B．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.【答案】A【解析】解：它的左视图是故选：A．从左边看有2列，左数第1列有两个正方形，第2列有1个正方形，据此可得．考查三视图的知识；左视图是从几何体左面看得到的平面图形．4.【答案】C【解析】解：设这个多边形是n边形，则（n-2）•180°=900°，解得：n=7，即这个多边形为七边形．故选：C．设这个多边形是n边形，内角和是（n-2）•180°，这样就得到一个关于n的方程，从而求出边数n的值．根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．5.【答案】A【解析】解：等边三角形是轴对称图形但不是中心对称图形，A正确；正六边形是轴对称图形，也是中心对称图形，B错误；正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，C错误；圆是轴对称图形，也是中心对称图形，D错误；故选：A．根据中心对称图形与轴对称图形的概念判断即可．本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．6.【答案】C【解析】解：解不等式2-x≥-3，得：x≤5，解不等式x-1≥-2，得：x≥-1，则不等式组的解集为-1≤x≤5，故选：C．先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，就是不等式组的解集．本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于两数之间．7.【答案】A【解析】解：过C作CM∥直线l1，∵直线l1∥l2，∴CM∥直线l1∥直线l2，∵∠ACB=60°，∠2=35°，∴∠2=∠ACM=35°，∴∠1=∠MCB=∠ACB-∠ACM=60°-35°=25°，故选：A．过C作CM∥直线l1，求出CM∥直线l1∥直线l2，根据平行线的性质得出∠1=∠MCB，∠2=∠ACM，即可求出答案．本题考查了平行线的性质，能正确作出辅助线是解此题的关键．8.【答案】D【解析】解：根据题意知，解得m=-2，故选：D．根据常数项为0可得m2-4=0，同时还要保证m-2≠0，再解即可．此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．9.【答案】B【解析】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=（）2，∵，∴=，∴=，∴=，故选：B．根据相似三角形的判定与性质即可求出答案．本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定与性质，本题属于中等题型．10.【答案】D【解析】解：（1）过点Q作QD⊥AB于点D，①如图1，当点Q在AC上运动时，即0≤x≤3，由题意知AQ=x、AP=x，∵∠A=45°，∴QD=AQ=x，则y=•x•x=x2；②如图2，当点Q在CB上运动时，即3＜x≤6，此时点P与点B重合，由题意知BQ=6-x、AP=AB=3，∵∠B=45°，∴QD=BQ=（6-x），则y=×3×（6-x）=-x+9；故选：D．作QD⊥AB，分点Q在AC、CB上运动这两种情况，由直角三角形的性质表示出QD的长，利用三角形面积公式得出函数解析式即可判断．本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是根据题意弄清两点的运动路线，据此分类讨论并得出函数解析式．11.【答案】x≥-1且x≠2【解析】解：由题意得：x+1≥0，且x-2≠0，解得：x≥-1且x≠2，故答案为x≥-1且x≠2．根据二次根式和分式有意义的条件，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．本题考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，用到的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．12.【答案】【解析】解：画树状图为：共有4种等可能的结果数，其中两枚硬币全部正面向上的结果数为1，∴恰好均为正面向上的概率是，故答案为：．画树状图展示所有4种等可能的结果数，再找出两枚硬币全部正面向上的结果数，然后根据概率公式求解．此题主要考查了列表法与树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．13.【答案】2（a-1）2【解析】解：原式=2（a2-2a+1）=2（a-1）2．故答案为：2（a-1）2．原式提取2，再利用完全平方公式分解即可．此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．14.【答案】36【解析】解：∵BC∥OA，AO=AD，∴∠AOD=∠ODA，∠AOD=∠B，∵∠BDC=∠ODA，∴∠B=∠BDC，∵∠AOD=2∠C，∴∠B=∠BDC=2∠C，∵△BDC的内角和是180°，∴2∠C+2∠C+∠C=180°，解得：∠C=36°，故答案为：36°．由BC∥OA，AO=AD，根据平行线的性质、等腰三角形的性质以及圆周角定理，可得出∠C与∠B的关系，然后由三角形内角和的求得答案．此题考查了圆周角定理以及平行线的性质．注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是关键．15.【答案】16【解析】解：根据题意得，x-2y=0，y-2=0，解得x=4，y=2，所以，x y=42=16．故答案为：16．根据非负数的性质列式求出x、y，然后相乘即可得解．本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．16.【答案】【解析】【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，表示出阴影部分的面积等于两个扇形的面积的差是解题的关键，难点在于求出旋转角的度数．根据等腰直角三角形的性质求出AB，再根据旋转的性质可得A′B=AB，然后求出∠OA′B=30°，再根据直角三角形两锐角互余求出∠A′BA=60°，即旋转角为60°，再根据S阴影=S扇形ABA′+S△A′BC′-S△ABC-S扇形CBC′=S扇形ABA′-S扇形CBC′，然后利用扇形的面积公式列式计算即可得解．【解答】解：∵∠ACB=90°，AC=BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB=2OA=2OB=AC=2，∵△ABC绕点B顺时针旋转点A在A′处，∴BA′=AB，∴BA′=2OB，∴∠OA′B=30°，∴∠A′BA=60°，即旋转角为60°，S阴影=S扇形ABA′+S△A′BC′-S△ABC-S扇形CBC′=S扇形ABA′-S扇形CBC′=-=π-π=π．故答案为π．17.【答案】120【解析】解：第1个图形中小五角星的个数为3；第2个图形中小五角星的个数为8；第3个图形中小五角星的个数为15；第4个图形中小五角星的个数为24；则知第n个图形中小五角星的个数为n（n+1）+n．故第10个图形中小五角星的个数为10×11+10=120个．故答案为120．分析数据可得：第1个图形中小五角星的个数为3；第2个图形中小五角星的个数为8；第3个图形中小五角星的个数为15；第4个图形中小五角星的个数为24；则知第n个图形中小五角星的个数为n（n+1）+n．故第10个图形中小五角星的个数为10×11+10=120个．本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，并从已知的特殊个体推理得出一般规律．即可解决此类问题．18.【答案】解：÷（-），=÷，=÷，=•，=．当a=+2时，原式==1+2．【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将a的值代入计算即可求出值．此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19.【答案】解：原式=2+1-9-2=-8【解析】根据二次根式的性质，零指数幂，负指数幂，特殊角的三角函数值计算即可．本题考查二次根式的性质，零指数幂，负指数幂，特殊角的三角函数值等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．20.【答案】解：（1）作∠A的角平分线（或BC的垂直平分线）与BC的交点即为点D．（2）∵AB=AC，AD是∠A角平分线∴AD⊥BC，垂足为D，∵BC=16，∴BD=CD=8，∵AB=10，在Rt△ABD中，∴根据勾股定理得AD=6，设点D到AB的距离为h，则×10h=8×6×，解得h=4.8，所以点D到边AB的距离为4.8．【解析】（1）作∠A的角平分线（或BC的垂直平分线）与BC的交点即为点D．（2）利用三角形的面积公式构建方程即可解决问题．本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21.【答案】解：（1）观察条形统计图与扇形统计图知：喜欢跳绳的有10人，占25%，故总人数有10÷25%=40人；（2）喜欢足球的有40×30%=12人，喜欢跑步的有40-10-15-12=3人，故条形统计图补充为：（3）全校最喜爱篮球的人数比最喜爱足球的人数多3000×=225人．【解析】（1）用喜欢跳绳的人数除以其所占的百分比即可求得被调查的总人数；（2）用总人数乘以足球所占的百分比即可求得喜欢足球的人数，用总数减去其他各小组的人数即可求得喜欢跑步的人数，从而补全条形统计图；（3）用样本估计总体即可确定最喜爱篮球的人数比最喜爱足球的人数多多少．本题考查了扇形统计图、条形统计图及用样本估计总体的知识，解题的关键是能够读懂两种统计图并从中整理出进一步解题的有关信息，难度不大．22.【答案】解：（1）∵长方形纸片ABCD，∴AD∥BC，∴∠GFE=∠FEC，∵∠FEC=∠GEF，∴∠GFE=∠GEF，∴△GEF是等腰三角形．（2）∵∠C=∠H=90°，HF=DF，GD=8，设HF长为x，则GF长为（8-x），在Rt△FGH中，x2+42=（8-x）2，解得x=3，∴HF的长为3．【解析】（1）依据平行线的性质以及折叠的性质，即可得到∠GFE=∠GEF，进而得出△GEF 是等腰三角形．（2）设HF长为x，则GF长为（8-x），在Rt△FGH中，依据勾股定理可得x2+42=（8-x）2，即可得到HF的长度．本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，掌握翻折的性质是解题的关键．23.【答案】解：（1）设A品牌服装每套进价为x元，则B品牌服装每套进价为（x-25）元，由题意得：=×2，解得：x=100，经检验：x=100是原分式方程的解，x-25=100-25=75，答：A、B两种品牌服装每套进价分别为100元、75元；（2）设购进A品牌的服装a套，则购进B品牌服装（2a+4）套，由题意得：（130-100）a+（95-75）（2a+4）＞1200，解得：a＞16，答：至少购进A品牌服装的数量是17套．【解析】本题考查了分式方程组的应用和一元一次不等式的应用，弄清题意，表示出A、B两种品牌服装每套进价，根据购进的服装的数量关系列出分式方程，求出进价是解决问题的关键.（1）首先设A品牌服装每套进价为x元，则B品牌服装每套进价为（x-25）元，根据关键语句“用2000元购进A种服装数量是用750元购进B种服装数量的2倍．”列出方程，解方程即可；（2）首先设购进A品牌的服装a套，则购进B品牌服装（2a+4）套，根据“可使总的获利超过1200元”可得不等式（130-100）a+（95-75）（2a+4）＞1200，再解不等式即可.24.【答案】（1）证明：∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，∵OA⊥CD，∴∠OAB+∠AGC=90°，又∵∠FGB=∠FBG，∠FGB=∠AGC，∴∠FBG+∠OBA=90°，即∠OBF=90°，∴OB⊥FB，∵AB是⊙O的弦，∴点B在⊙O上，∴BF是⊙O的切线；（2）解：∵AC∥BF，∴∠ACF=∠F，∵OA⊥CD，CD=a，∴CE=CD=a，∵tan F=，∴tan∠ACF==，即=，解得AE=a，连接OC，设圆的半径为r，则OE=r-a，在Rt△OCE中，CE2+OE2=OC2，即（a）2+（r-a）2=r2，解得r=a；（3）证明：连接BD，∵∠DBG=∠ACF，∠ACF=∠F（已证），∴∠DBG=∠F，又∵∠FGB=∠BGF，∴△BDG∽△FBG，∴=，即GB2=DG•GF，∴GF2-GB2=GF2-DG•GF=GF（GF-DG）=GF•DF，即GF2-GB2=DF•GF．（1）根据等边对等角可得∠OAB=∠OBA，然后根据OA⊥CD得到∠OAB+∠AGC=90°【解析】推出∠FBG+∠OBA=90°，从而得到OB⊥FB，再根据切线的定义证明即可；（2）根据两直线平行，内错角相等可得∠ACF=∠F，根据垂径定理可得CE=CD=a，连接OC，设圆的半径为r，表示出OE，然后利用勾股定理列式计算即可求出r；（3）连接BD，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等可得∠DBG=∠ACF，然后求出∠DBG=∠F，从而求出△BDG和△FBG相似，根据相似三角形对应边成比例列式表示出BG2，然后代入等式左边整理即可得证．本题是圆的综合题型，主要考查了切线的证明，解直角三角形，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，作辅助线构造出直角三角形与相似三角形是解题的关键，（3）的证明比较灵活，想到计算整理后得证是解题的关键．25.【答案】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx-3a经过点A（-1，0）、C（0，3），∴根据题意，得，解得，∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3．（2）由y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4得，D点坐标为（1，4），定义抛物线y=-x2+2x+3．令y=0，-x2+2x+3=0，解得x=-1或3，∴A（-1，0），B（3，0），∴CD==，BC==3，BD==2，∵CD2+BC2=（）2+（3）2=20，BD2=（2）2=20，∴CD2+BC2=BD2，∴△BCD是直角三角形；（3）存在．y=-x2+2x+3对称轴为直线x=1．①若以CD为底边，则P1D=P1C，设P1点坐标为（x，y），根据勾股定理可得P1C2=x2+（3-y）2，P1D2=（x-1）2+（4-y）2，因此x2+（3-y）2=（x-1）2+（4-y）2，即y=4-x．又P1点（x，y）在抛物线上，∴4-x=-x2+2x+3，即x2-3x+1=0，解得x1=，x2=＜1，应舍去，∴x=，∴y=4-x=，即点P1坐标为（，）．②若以CD为一腰，∵点P2在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P2与点C关于直线x=1对称，此时点P2坐标为（2，3）．∴符合条件的点P坐标为（，）或（2，3）．【解析】（1）将A（-1，0）、B（3，0）代入二次函数y=ax2+bx-3a求得a、b的值即可确定二次函数的解析式；（2）分别求得线段BC、CD、BD的长，利用勾股定理的逆定理进行判定即可；（3）分以CD为底和以CD为腰两种情况讨论．运用两点间距离公式建立起P点横坐标和纵坐标之间的关系，再结合抛物线解析式即可求解．此题是一道典型的“存在性问题”，结合二次函数图象和等腰三角形、直角梯形的性质，考查了它们存在的条件，有一定的开放性．。

）21212注意事项：2019-2020 学年东莞联考第二学期初三第一次模拟考试数学试卷1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2. 请将答案正确填写在答题卡上第 I 卷（选择题)一、单选题（每小题 3 分，共 30 分） 1．下列四个实数中，最小的实数是（ ） A ． 0.001B ．﹣C ．0D ．﹣22．下列图形是轴对称又是中心对称图形的是 ()AB C D3. 下列因式分解正确的是（）A ．x 2﹣1=(x ﹣1)2B ．x 2﹣9y 2=(x ﹣9y )(x +9y )C ． a 2 - a = a (a - 1)D ． a 2 + 2a + 1 = a (a + 2) + 14. 某班数学兴趣小组 10 名同学的年龄情况如下表：则这 10 名同学年龄的平均数和中位数分别是（）A ．13.5，13.5B ．13.5，13C ．13，13.5D ．13，145. 一个多边形的每个外角都等于 45°，则这个多边形的边数是（ ） A ．11B ．10C ．9D ．86. 能判定四边形 ABCD 为平行四边形的条件是（）A ．AB ∥CD ，AD =BC B ．∠A =∠B ，∠C =∠D C ．AB =CD ，AD =BC D ．AB =AD ，CB =CD7. 如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条 AB ，AC 夹角为 150°，AB 的长为 36cm ，BD 的长为 18cm ，则的长为（ ）cm15 A.πB ．15πC ．18πD ．36π48. 若关于 x 的一元二次方程 x 2+6x -a =0 无实数根，则 a 的值可以是下列选项中的（A ．-10B ．-9C ．9D ．109. 等腰三角形的一边长为 5，周长为 20．则这个等腰三角形的底边长为（）A ．5B ．10C ．5 或 10D ．5 或 7.510. 如图，函数 y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，且 a ≠0）经过点（-1，0）、（m ，0），且 1<m <2，下列结论：①ab <0；②0< -b < 1；③若点 A （-2，y ），B （2，y ）在抛物线上，则 y <y ；2a 2④a (m -1)+b =0．其中结论正确的有（）个A ．1B ．2C ．3D ．4年龄（岁） 12 13 14 15 人数1441⎨1- x 投石子的总次数 50 次 150 次 300 次 600 次 石子落在空白 区域内的次数 14 次85 次199 次400 次石子落在空白区域内的频率7 25 17 30 199 300 2 3二、填空题（每小题 4 分，共 28 分）11. 计算 (3x )3÷ 2x 的结果为 ．12. 根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约 4 400 000 000 人，这个数用科学记数法表示为．⎧x + 4 < 313.不等式组⎪≤ 1的解集是．⎩⎪ 314. 已知在半径为 3 的⊙O 中，弦 AB 的长为 4，那么圆心 O 到 AB 的距离为 ． 15．设 a 为一元二次方程 2x 2+3x ﹣2020=0 的一个实数根，则 4a 2+6a +2 =．16. 如图，小明在操场上做游戏，他在沙地上画了一个面积为 15 的矩形，并在四个角画上面积不等的扇形，在不远处的固定位置向矩形内部投石子，记录如下（石子不会落在矩形外面和各区域边缘）： 请根据表格中的数据估计矩形中空白部分的面积是．17. 如图，在菱形 ABCD 中，∠BAD =60°，AC 与 BD 交于点 O ，E 为 CD 延长线上的一点，且 CD =DE ，连接BE 分别交 AC ，AD 于点 F ，G ，连接 OG ，则下列结论中一定成立的是 ．1①OG = 2AB ；②与△EGD 全等的三角形共有 5 个；③S 四边形 ODGF >S △ABF ；④由点 A 、B 、D 、E 构成的四边形是菱形.三、解答题（每小题 6 分，共 18 分） 18．计算： (1- 3 8)0- 2 cos 45︒+ |1-| -( 1 )-1 4第 17 题图a 2 -119.先化简，再求值： - a 2- 2a +1 a 2 - 2a a - 2÷ a ，其中 a = +1 .20．如图，已知△ABC 中，∠BAC =20°，∠BCA =125°．（1） 尺规作图：作 AC 的垂直平分线，交 BC 的延长线于点 D （不写作法，保留作图痕迹）（2） 连接 AD ，求∠BAD 的度数．2 22 21. 某中学八年级学生在寒假期间积极抗击疫情，开展老师“在你身边”评星活动，学生可以从“自理星” 、“ 读书星”、“健康星”、“孝敬星”、“ 劳动星”等中选一个项目参加争星竞选，根据该校八年级学生的“争星”报名情况，绘制成了如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息回答下列问题：（1）参加年级评星的学生共有人；将条形统计图补充完整；（2） 扇形统计图中“读书星”对应的扇形圆心角度数是；（3） 若八年级 1 班准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的 2 名代表班级参加学校的“劳动星” 报名，请用表格或树状图分析甲和乙同学同时被选中的概率．22.某工厂准备今年春季开工前美化厂区，计划对面积为 2000m 2 的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成． 已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的 2 倍，并且在独立完成面积为 480m 2 区域的绿化时，甲队比乙队少用 6 天．（1） 求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少 m 2？（2） 若工厂每天需付给甲队的绿化费用为 0.4 万元，乙队为 0.5 万元，要使这次的绿化总费用不超过 10 万元，至少应安排甲队工作多少天？23.如图，两个全等的等腰直角三角形放置在平面直角坐标系中，OA 在 x 轴上，∠COD =∠OAB =90°，OC = ， k反比例函数 y = 的图象经过点 B ．x（1） 求反比例函数的解析式；k （2） 把△OCD 沿射线 OB 移动，当点 D 落在 y =x求点 D ′的坐标．图象上的 D ′ 时，24.如图，AB 为⊙O 的直径，CD⊥AB 于点E，F 是CD 上一点，且BF=DF，延长FB 至点P，连接CP，使PC=PF，延长BF 与⊙O 交于点G，连结BD，GD．（1）连结BC，求证：CD=GB；（2）求证：PC 是⊙O 的切线；1（3）若tan G=3，且AE﹣BE=3，求FD 的值．25.如图，抛物线y=x2+bx+c的与x轴交于点A（-1，0），与y轴交于点C（0，-3），（1）求该抛物线的解析式及顶点的坐标；（2）若P 是线段OB 上一动点，过P 作y 轴的平行线交抛物线于点H，交BC 于点N，设OP= t 时，△BCH 的面积为S．求S 关于t 的函数关系式；若S 有最大值，请求出S 的最大值，若没有，请说明理由；（3）若P 是x 轴上一个动点，过P 作射线PQ∥AC 交抛物线于点Q，随着P 点的运动，在x 轴上是否存在这样的点P，使以A、P、Q、C 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．8 35 2019-2020 学年第二学期初三第一次模拟考试答案及评分标准1． D2． C3．C4．A5．D6．C7. B8．A9．A10．C11．27x22或 13.5x 212． 4.4⨯10913．-2 ≤ x <-1 14． 15. 404216. 1017.①④18．解：原式=1- 2 ⨯2+2-1- 44 分= - 46 分19 （a +1)(a-1)a (a - 2).解：原式=(a -1)2- a - 2÷ a…………2 分= a +1 -1 a -1= a +1 -a -1…………3 分当a=+1 时， a -1 a -1=a +1- a +1a -1原式=2= 2 =2 +1-1 2…………6 分2=a -1…………4 分20．解：（1）如图，点 D 为所求； ......................................................... 3 分（2）∵∠BCA =125°，∴∠ACD =180°-∠BCA =180°-125°=55°， ......... 4 分∵ED 垂直平分 AC ，∴DC =AD ， .................................. 5 分 ∴∠ACD =∠CAD =55°，∴∠BAD ＝∠BAC +∠CAD=20°+55°=75°． ..... 6 分21．解：（1）50，.....1 分补全条形统计图如下：..... 2 分（2） 72°；……3 分2 222 22 （3）树状图为：……….4 分共有 12 种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有 2 种………. 6 分∴P(甲和乙同学同时被选中)= 2 =1……….8 分12 622. 解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是 x （m 2），根据题意得：1 分480- 480= 6 2 分x 2x解得：x =40，3 分经检验：x =40 是原方程的解，4 分则甲工程队每天能完成绿化的面积是 40×2=80答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是 80m 2、40m 2； 5 分 （2）设应安排甲队工作 y 天，根据题意得：6 分0.4 y +2000 - 80 y⨯ 0.5 ≤ 107 分40解得：y ≥25，答：至少应安排甲队工作 25 天．8 分23. 解：（1）∵△AOB 和△COD 为全等的等腰直角三角形，OC = ，∴AB =OA =OC =OD =，∴点 B 坐标为（， ）， …… 1 分代入 y =k得，k = 2 ⨯ x∴反比例函数解析式为y =2x=2；……………. 2 分…………….3 分（2）依题意，得 DD ′∥OB ，过 D ′作 D ′E ⊥x 轴于点 E ，交 DC 于点 F ，设 CD 交 y 轴于点 M ， (4)分∵OC =OD =，∠AOB =∠COM =45°，∴OM =MC =MD =1，……5 分∴点 D 坐标为（-1，1），设 D ′横坐标为 t ，则 OE =MF =t ，……. 6 分2 2 2∴D ′F =DF =t +1，∴D ′E =D ′F +EF =t +2，∴D ′（t ，t +2）， ∵D ′在反比例函数图象上，∴t (t +2)=2，解得t 1 =-1+，t 2 = -1- （舍去）， .................... 7 分∴D ′（ ﹣1，+1） ................... 8 分24．解：（1）证明：∵BF =DF ，∴∠FBD =∠FDB ，…..1 分∴∠BCD =∠DGB ∵ BD =DB∴△BCD ≌△DGB （AAS ）…..2 分∴CD =GB ...................... 3 分（2） 证明：连接 OC ． .................... 4 分∵ ∴∠COB =2∠EDB∵∠PFC =∠FDB +∠FBD =2∠FDB ，∴∠COB =∠PFC ， ∵PF =PC ，∴∠PFC =∠PCF ，∴∠PCF =∠COB ， ...................... 5 分∵AB ⊥CD ，∴∠COB +∠OCE =90°，∴∠OCE +∠PFC =90°，即∠OCP =90°，∴OC ⊥PC ， ……6 分∴PC 是圆 O 的切线． .................. 7 分（3） 连接 AC ，∵直径 AB ⊥弦 CD 于 E ， ∴，CE =DE ，∴∠BCD =∠BDC=∠A =∠G ，∵tan G= 1 ， ∴tan ∠BCD=BE =1，tan A=CE = 13CE 3AE 3设 BE =x ，则 CE =3x ，AE =9x∵ AE ﹣BE = 8 33∴9x -x =8 33解得 x=3 ， .. 8 分3∴BE=∴BC= 3，CE = 3== 30 ，CD =2CE =2330，∵∠FBD =∠FDB ，∠BDC =∠BCD ，∴∠FBD =∠BCD∵ 3 33CE 2 + BE 2( 3)2+ ( 3 )2 3 33 33∵∠FDB=∠BDC ∴△DFB △DBC，....... 9 分分 5 分 6 分 ⎨ ⎨⎩ ⎩ - 3 2 30 即 3 = DF DB = DF ∴FD=5 3……………10 分2 3 30 DC DB9325. 解：（1）将 A （-1，0），C （0，-3）代入 y=x 2+bx +c ，得⎧1- b + c = 0⎩c = -3……………1 分解得⎧b = -2 ， ∴抛物线的表达式为：y =x 2﹣2x ﹣3=（x -1)2- 4 ； ........ 2 分⎩c = -3∴顶点坐标为（1，﹣4）． .......................................................................... 3 分（2）如图 1，连接 BC 、CH 、BH ，设 H (t ， t 2﹣2t ﹣3)；设直线 BC 解析式为 y = kx + m ，代入 B ( 3， 0 ）， C ( 0，-3)，得⎧3k + m =⎨m = -3⎧k = 1 ， 解得⎨m = -3∴直线 BC 的解析式为 y =x ﹣3； ............................ 4 ∴N (t ，t ﹣3)∴S △1 BCH=2 • N H •OB = 1 2 •( t ﹣3 - t 2+2t +3) •3= （t - 3t ) …… 2 则当t = 3 时，S 有最大值，最大值是 27…..2 8（3）存在，………7 分P （1，0），（2+，0），（2- ，0） …….10 分理由如下：①如图 2，当 Q 在 x 轴下方时，作 QE ⊥x 轴于 E ，∵PQ ∥AC∴当 PQ =AC 时，四边形 ACQP 为平行四边形， ∴△PEQ ≌△AOC ， ∴EQ =OC =3，∴-(x 2-2x -3)=3，77∴P（1，0）．……… 8 分7 7 ②如图 3，当 Q 在 x 轴上方时，作 QF ⊥x 轴于 F ，∵PQ ∥AC∴当 PQ =AC 时，四边形 ACQP 为平行四边形， ∴△PFQ ≌△AOC ，∴FQ =OC =3， ∴x 2﹣2x ﹣3=3，解得 x =1+ 或 x =1﹣ ，∴P （2+ ，0），（2- ，0）．综上所述，P 点为（1，0），（2+ 7 7 7 7Q P，0），（2-，0）．…….10 分。

2020年广东省东莞中学中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.−6的倒数是()A. −16B. 16C. −6D. 62.截至2014度，我国人口已超过13亿人．数据“13亿”用科学记数可表示为()A. 1.3×108B. 13×108C. 13×109D. 1.3×1093.如图所示的几何体是由六个小正方体组合而成的，它的左视图是()A.B.C.D.4.一个多边形每个内角都是135°，则这个多边形的边数为()A. 6B. 7C. 8D. 95.下列各图是中心对称图形但不是轴对称的是()A. 一般平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 正方形6.不等式组{3x>12−1−x2+3≥0的解为()A. 4<x≤5B. 3<x≤4C. 4<x≤6D. 4<x<57.如图，直线AB//CD，∠C=48°，∠E为直角，则∠1的度数为()A. 136°B. 130°C. 132°D. 138°8.若关于x的一元二次方程(a+1)x2+4x+a2−1=0的常数项为0，则a的值等于()A. 1或−1B. 2C. 1D. 09.如图，在△ABC中，EF//BC，AB=3AE.若S四边形BCFE=8，则S△ABC的值为()A. 8B. 9C. 10D. 1210.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，DC⊥BC，DC=4cm，BC=6cm，AD=3cm，动点P，Q同时从点B出发，点P以2cm/s的速度沿折线BA−AD−DC运动到点C，点Q以1cm/s的速度沿BC运动到点C，设P，Q同时出发xs时，△BPQ的面积为ycm2.则y与x的函数图象大致是()A. B. C. D.二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）11.若分式有意义，则x的取值范围是________．√x+112.把一枚均匀的硬币连续抛掷三次，三次正面朝上的概率是______．13.分解因式：mn2−2mn+m=______．14.如图，点A、B、C在⊙O上，AO//BC，∠AOB=50°，则∠OAC的度数是_________．15. 已知|x +1|+(2−y)2=0，则x y 的值是______．16. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，AB =2.将△ABC 绕顶点A 顺时针方向旋转至△AB′C′的位置，B ，A ，C′三点共线，则线段BC 扫过的区域面积为______．17. 如图，是用大小相等的小正方形按一定规律拼成的，则第10个图形是______个小正方形，第n个图形是______个小正方形．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）18. 先化简，再求值：(2−a a+1)÷a 2−4a+1，其中a =√2+2．四、解答题（本大题共7小题，共56.0分）19. 计算：√8cos45°−(π−2018)0+(12)−1．20.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AB边上且点D到点A的距离与点D到点C的距离相等．(1)利用尺规作图作出点D，不写作法但保留作图痕迹．(2)连接CD，若CD=CB，求∠B的度数．21.某校根据课程设置要求，开设了数学类拓展性课程，为了解学生最喜欢的课程内容，随机抽取了部分学生进行问卷调查(每人必须且只选其中一项)，并将统计结果绘制成如下统计图(不完整).请根据图中信息回答问题：(1)求m，n的值．(2)补全条形统计图．(3)该校共有1200名学生，试估计全校最喜欢“数学史话”的学生人数．22.如图，矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，求(1)CE的长；(2)AB的长．23.某书店在图书批发中心选购A、B两种科普书，A种科普书每本进价比B种科普书每本进价多25元，若用2000元购进A种科普书的数量是用750元购进B种科普书数量的2倍．(1)求A、B两种科普书每本进价各是多少元；(2)该书店计划A种科普书每本售价为130元，B种科普书每本售价为95元，购进A种科普书还少4本，若A、B两种科普书全部售出，使总获利超过1240的数量比购进B种科普书的数量的13元，则至少购进B种科普书多少本？24.如图，AB为⊙O的直径，C，G是⊙O上两点，过点C的直线CD⊥BG，交BG的延长线于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F，且BC平分∠ABD．(1)求证：CD是⊙O的切线．(2)若OFFD =23，求∠E的度数．(3)连接AD，在(2)的条件下，若CD=2√3，求AD的长．25.如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y=x+1相交于A，B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2，连接AM，BM．(1)求抛物线的函数解析式；(2)判断△ABM的形状，并说明理由．【答案与解析】1.答案：A解析：本题主要考查的是倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．根据倒数的定义，即可得解．．解：−6的倒数是−16故选A．2.答案：D解析：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．由科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数⩾10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．13亿=1300000000=1.3×109．故选D．3.答案：C解析：此题考查了三视图的知识，属于基础题，解答本题的关键是知道左视图的观察位置．左视图是从左边观看得到的图形，结合选项判断即可．解：从左边看得到的图形，有两列，第一列有两个正方形，第二列有一个正方形，故选C．4.答案：C解析：此题考查多边形内角和定理，解决的关键是熟练掌握多边形内角和定理．解：设这个多边形为n边形，根据题意，，解得n=8，故选C．5.答案：A解析：此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意．故选A．6.答案：A解析：此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．分别求得各不等式的解集，然后求出公共部分即可．解：{3x>12①−1−x2+3≥0②，由①得：x>4，由②得：x≤5，则不等式组的解集为4<x≤5．故选A．7.答案：D解析：解：过E作EF//AB，∵AB//CD，∴AB//CD//EF，∴∠C=∠FEC，∠BAE=∠FEA，∵∠C=48°，∠AEC为直角，∴∠FEC=48°，∠BAE=∠AEF=90°−48°=42°，∴∠1=180°−∠BAE=180°−42°=138°．故选：D．过E作EF//AB，求出AB//CD//EF，根据平行线的性质得出∠C=∠FEC，∠BAE=∠FEA，求出∠BAE，即可求出答案．本题考查了平行线的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键．8.答案：C解析：本题主要考查了一元二次方程的概念以及一元二次方程一般形式的理解，熟练掌握这部分知识是解决本题的关键．依据题意，由a2−1=0，以及a+1≠0即可求解．解：∵一元二次方程(a+1)x2+4x+a2−1=0的常数项为0，∴a+1≠0且a2−1=0，解得a=1，故选C．9.答案：B解析：解：∵EF//BC ∴△AEF∽△ABC∴S△AEFS△ABC =(AEAB)2=19，∴S△ABC=9S△AEF，∴S四边形BCFE=8=S△ABC−S△AEF=8S△AEF，∴S△AEF=1，∴S△ABC=9故选：B．通过证明△AEF∽△ABC，可得S△AEFS△ABC =(AEAB)2=19，可得S△ABC=9S△AEF，由面积和差关系可求解．本题考查了相似三角形的判定和性质，利用相似三角形的性质求出S△AEF=1是本题的关键．10.答案：B解析：本题考查了函数的图象，要能结合实际意义得到正确的结论．根据y随x的变化而变化的趋势，列出相关函数表达式，即可得出图中能正确表示整个运动中y关于x的函数关系的大致图象．解：作AE⊥BC于E，根据已知可得，AB2=42+(6−3)2，解得，AB=5cm．当0≤x≤2.5时：P点由B到A，△BPQ的面积从小到大，设△BPQ的高为h，则ℎ=BP·sinB=BP·45，y=12BE·ℎ=12x·2x·45=45x2，且达到最大时面积=12×2.5×4=5cm2．当2.5<x≤4时，即P点在AD上时，y=12x×4=2x，且最大值为：12×4×4=8cm2；x⋅(12−2x)=−x2+6x．当4<x≤6时，即P点从D到C时，y=12故符合y与x的函数图象大致是B．故选B．11.答案：x>−1解析：本题考查了分式和二次根式有意义的条件．二次根式有意义，被开方数为非负数，分式有意义，分母不为0．有意义，必有x+1>0，可解得x的范围．要使分式√x+1解：根据题意得：x+1>0，解得：x>−1．故答案是x>−1．12.答案：18解析：首先根据题意画出树状图，然后根据树状图求得所有等可能的结果与三次都是正面朝上的情况，再利用概率公式即可求得答案．此题考查的是概率的知识，注意树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．解：画树状图得：∵共有8种等可能的结果，三次落地后都是正面朝上的只有1种情况，∴三次落地后都是正面朝上的概率为：1．8．故答案为1813.答案：m(n−1)2解析：解：原式=m(n2−2n+1)=m(n−1)2，故答案为：m(n−1)2原式提取m，再利用完全平方公式分解即可．此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．14.答案：25°解析：【试题解析】本题考查圆周角定理及平行线的性质．先求出∠ACB的度数，圆周角∠ACB等于圆心角∠AOB的一半，再根据平行，得到内错角∠OAC=∠ACB 即可求得结果．解：∵AO//BC，∴∠OAC=∠ACB．又∠AOB与∠ACB都是弧AB所对的角，∴∠ACB=1∠AOB=25°，2∴∠OAC的度数是25°．故答案为25°．15.答案：1解析：本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．根据非负数的性质列方程求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．解：由非负数的性质得，x+1=0，2−y=0，解得x=−1，y=2，所以，x y=(−1)2=1．故答案为：1．16.答案：5π12解析：解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，AB=2，∴BC=12AB=12×2=1，AC=2×√32=√3，∴∠BAB′=150°，∴S阴影=AB扫过的扇形面积−AC扫过的扇形面积=150×π×22360−150×π×(√3)2360=5π12．故答案为：5π12．先根据Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，AB=2求出BC及AC的长，再根据题意得出S阴影=AB 扫过的扇形面积−AC扫过的扇形面积．本题考查的是扇形的面积公式，根据题意得出S阴影=AB扫过的扇形面积−AC扫过的扇形面积是解答此题的关键．17.答案：120；(n+1)2−1解析：本题主要考查图形的变化规律，解决此类题目的方法是：从变化的图形中发现不变的部分和变化的部分及变化部分的特点是解题的关键．由第1个图形中小正方形的个数是22−1、第2个图形中小正方形的个数是32−1、第3个图形中小正方形的个数是42−1，可知第n个图形中小正方形的个数是(n+1)2−1，再将n=10代入求得第10个图形中小正方形的个数．解：∵第1个图形中，小正方形的个数是：22−1=3；第2个图形中，小正方形的个数是：32−1=8；第3个图形中，小正方形的个数是：42−1=15；…∴第n个图形中，小正方形的个数是：(n+1)2−1，第10个图形中小正方形的个数是：(10+1)2−1=120；故答案为120，(n+1)2−1．18.答案：解：原式=2a+2−aa+1⋅a+1(a+2)(a−2)=1a−2，当a=√2+2时，原式=√22．解析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19.答案：解：原式=2√2×√22−1+2=2−1+2=3．解析：直接利用负指数幂的性质以及特殊角的三角函数值和零指数幂的性质分别化简各数得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．20.答案：解：(1)如图，点D即为所求．(2)由(1)知AD=CD，∴∠A=∠ACD，设∠A=x，∴∠ACD=x，∴∠BDC=∠A+∠ACD=2x，∵CD=CB，∴∠B=∠BDC=2x，∵AB=AC，∴∠ACB=∠B=2x，∵∠A+∠B+∠ACB=180°，即x+2x+2x=180°，解得：x=36°，∴∠B=2x=72°．解析：【试题解析】本题考查基本作图，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．(1)作线段AC的垂直平分线交AB于点D，点D即为所求．(2)根据等腰三角形的性质和三角形的内角和解答即可．21.答案：解：(1)观察条形统计图与扇形统计图知：选A的有12人，占20%，故总人数有12÷20%=60人，∴m=15÷60×100%=25%n=9÷60×100%=15%；(2)选D的有60−12−15−9−6=18人，故条形统计图补充为：(3)全校最喜欢“数学史话”的学生人数为：1200×25%=300人．解析：本题考查了扇形统计图、条形统计图及用样本估计总体的知识，解题的关键是能够读懂两种统计图并从中整理出进一步解题的有关信息，难度不大．(1)先用选A的人数除以其所占的百分比即可求得被调查的总人数，然后根据百分比=其所对应的人数÷总人数分别求出m、n的值；(2)用总数减去其他各小组的人数即可求得选D的人数，从而补全条形统计图；(3)用样本估计总体即可确定全校最喜欢“数学史话”的学生人数．22.答案：解：(1)∵四边形ABCD是矩形，AD=8，∴BC=8，∵△AEF是△AEB翻折而成，∴BE=EF=3，AB=AF，△CEF是直角三角形，∴CE=8−3=5，(2)∵△CEF是直角三角形，∴在Rt△CEF中，CF=√CE2−EF2=√52−32=4，设AB=x，在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即(x+4)2=x2+82，解得x=6，即AB的长度是6．解析：本题考查的是翻折变换及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．(1)先根据矩形的特点求出BC的长，再由翻折变换的性质得出EC的长；(2)由翻折变换的性质得出△CEF是直角三角形，利用勾股定理即可求出CF的长，再在△ABC中利用勾股定理即可求出AB的长．23.答案：解：(1)设B种科普书每本的进价为x元，则A种科普书每本的进价为(x+25)元，根据题意得：2000x+25=2×750x，解得：x=75，经检验，x=75是所列分式方程的解，∴x+25=100．答：A种科普书每本的进价为100元，B种科普书每本的进价为75元．(2)设购进B种科普书m本，则购进A种科普书(13m−4)本，根据题意得：(130−100)(13m−4)+(95−75)m>1240，解得：m>4513，∵m为正整数，且13m−4为正整数，∴m为3的倍数，∴m的最小值为48．答：至少购进B种科普书48本．解析：本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，属于中档题．(1)设B种科普书每本的进价为x元，则A种科普书每本的进价为(x+25)元，根据数量=总价÷单价结合用2000元购进A种科普书的数量是用750元购进B种科普书数量的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验即可得出结论；(2)设购进B种科普书m本，则购进A种科普书(13m−4)本，根据总利润=每本利润×购进数量结合总获利超过1240元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之结合m，13m−4均为正整数，即可得出m的最小值，此题得解．24.答案：(1)证明：连接OC．∵BC平分∠ABD，∴∠CBO=∠CBD，∵OB=OC，∴∠CBO=∠OCB，∴∠OCB=∠CBD，∴OC//BD．∵BD⊥DE于D，∴OC⊥DE于C．又∵OC是⊙O的半径．∴CD是⊙O的切线．(2)解：∵OC//BD，∴△OCF∽△DBF，△EOC∽△EBD，∴OCBD =OFFD，OCBD=EOEB，∴EOEB =OFFD=23．设⊙O的半径为r，则OA=OB=OC=r．∴EA+rEA+2r =23，∴EA=r．在△EOC中，∠ECO=90°，∴sinE=COEO =r2r=12，∴∠E=30°．(3)解：∵∠E=30°，CD⊥BD于D.∴∠DBE=60°．∵BC平分∠DBE，∴∠CBD=30°．在Rt△CBD中，tan∠CBD=CDBD，∴BD=2√3tan30=6．∵OCBD =OFFD=23，∴OC=4，AB=8．连接AG，∵AB是⊙O的直径，∴∠AGB=90°．∴BG=ABcos60∘=8×12=4，AG=ABsin60∘=8×√32=4√3，∴DG=BD−BG=2，在Rt△ADG中，AD=√AG2+DG2=√(4√3)2+22=2√13．解析：本题考查了切线的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理相似三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．(1)如图1，连接OC，AC，CG，由圆周角定理得到∠ABC=∠CBG，根据同圆的半径相等得到OC=OB，于是得到∠OCB=∠OBC，等量代换得到∠OCB=∠CBG，根据平行线的判定得到OC//BG，即可得到结论；(2)由OC//BD，得到△OCF∽△DBF，△EOC∽△EBD，得到OCBD =OFDF=23，OCBD=OEBE=23，根据直角三角形的性质即可得到结论；(3)如图2，过A作AH⊥DE于H，解直角三角形得到BD=6，DE=6√3，BE=12，在Rt△DAH中，AD=√AH2+DH2=√22+(4√3)2=2√13．25.答案：解：(1)∵A点为直线y=x+1与x轴的交点，∴A(−1,0)，又B点横坐标为2，代入y=x+1可求得y=3，∴B(2,3)，∵抛物线顶点在y轴上，∴可设抛物线解析式为y=ax2+c，把A 、B 两点坐标代入可得{a +c =04a +c =3，解得{a =1c =−1, ∴抛物线解析式为y =x 2−1；(2)△ABM 为直角三角形．理由如下：由(1)抛物线解析式为y =x 2−1，可知M 点坐标为(0,−1)，∴AM 2=12+12=2，AB 2=(2+1)2+32=18，BM 2=22+(3+1)2=20，∴AM 2+AB 2=2+18=20=BM 2，∴△ABM 为直角三角形．解析：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，勾股定理及其逆定理等知识点．在(1)中确定出A 、B 两点的坐标是解题的关键，在(2)中分别求得AB 、AM 、BM 的长是解题的关键．本题考查知识点较为基础，难度适中．(1)由条件可分别求得A 、B 的坐标，设出抛物线解析式，利用待定系数法可求得抛物线解析式；(2)结合(1)中A 、B 、C 的坐标，根据勾股定理可分别求得AB 、AM 、BM ，可得到AB 2+AM 2=BM 2，可判定△ABM 为直角三角形．。

2020年广东省东莞市虎门外语学校中考数学一模试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）﹣8的相反数是（）A．﹣8B．8C．D．2．（3分）下列计算正确的是（）A．（a3）2＝a5B．a6÷a2＝a3C．a3•a2＝a6D．a3+a3＝2a3 3．（3分）如图所示的几何体的主视图是（）A．B．C．D．4．（3分）2020年是全面打赢脱贫攻坚战收官之年，现有贫困人口5510000人今年脱贫，将数据5510000用科学记数法表示为（）A．5.51×106B．55.1×105C．0.551×107D．5.51×107 5．（3分）在新冠肺炎疫情防控时期，国家倡导全民减少外出，如表是从某小区随机调查的100名居民在一周中外出次数的统计表：外出次数012345人数51510253015则这组数据的众数和中位数分别是（）A．4，2.5B．4，3C．30，17.5D．30，156．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．7．（3分）已知一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数是（）A．3B．4C．5D．68．（3分）将点A（2，3）向左平移2个单位长度得到点A'，点A'关于x轴的对称点是A''，则点A''的坐标为（）A．（0，﹣3）B．（4，﹣3）C．（4，3）D．（0，3）9．（3分）如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE．若AB的长为2，则FM的长为（）A．2B．C．D．110．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动，记P A＝x，点D到直线P A的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）11．（4分）因式分解：xy2﹣4xy+4x＝．12．（4分）如图，AB∥CD，若∠E＝34°，∠D＝20°，则∠B的度数为．13．（4分）关于x的不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则此不等式组的解集为．14．（4分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．15．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，分别以AC、BC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）．16．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F，且AF＝4，EF＝，则AC＝．17．（4分）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…．若点A（，0），B（0，2），则点B2020的坐标为．三、解答题（一）（共3小题，满分18分）18．（6分）计算：（1﹣）0+|﹣|﹣2cos45°+（）﹣119．（6分）先化简，再求值：，其中a是方程a2+a﹣6＝0的解．20．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝28°．（1）作AC边上的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E（用直尺和圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）；（2）连接CE，求∠BCE的度数．四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）21．（8分）由于新冠肺炎疫情爆发，某公司根据市场需求代理A、B两种型号的空气净化器，每台A型净化器比每台B型净化器进价多200元，用5万元购进A型净化器与用4.5万元购进B型净化器的数量相等．（1）求每台A型、B型净化器的进价各是多少元？（2）公司计划购进A、B两种型号的净化器共50台进行试销，其中A型净化器为m台，购买资金不超过9.8万元．试销时A型净化器每台售价2500元，B型净化器每台售价2180元．公司决定从销售A型净化器的利润中按每台捐献75元作为公司帮扶疫区贫困居民，设公司售完50台净化器并捐献扶贫资金后获得的利润为W，求W的最大值．22．（8分）央行今年推出数字货币，支付方式即将变革，调查结果显示，目前支付方式有：A微信、B支付宝、C现金、D其他．调查组对某超市一天内购买者的支付方式进行调有统计：得到如图两幅不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）本次一共调查了名购买者；（2）请补全条形统计图．在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角为度．（3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“现金”三种付款方式中选一种方式进行付款，请用树状图或列表法求出两人恰好选择同一种付款方式的概率．23．（8分）如图，反比例函数y＝（k≠0）的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于A（1，a），B两点，点C在第四象限，CA∥y轴，连接BC．（1）求k的值及点B的坐标；（2）求tan A的值；（3）当△ABC是直角三角形时，求点C的坐标．五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）24．（10分）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，且对角线AC为直径，AD＝BC，过点D作DG⊥AC，垂足为E，DG分别与AB，⊙O及CB延长线交于点F、G、M．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）若N为MF中点，求证：NB是⊙O的切线；（3）若F为GE中点，且DE＝6，求⊙O的半径．25．（10分）如图，二次函数y＝x2﹣5x+4的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），顶点为C，有一个动点E从点B出发以每秒一个单位向点A运动，过E作y轴的平行线，交△ABC的边BC或AC于点F，以EF为边在EF右侧作正方形EFGH，设正方形EFGH 与△ABC重叠部分面积为S，E点运动时间为t秒．（1）求顶点C的坐标和直线AC的解析式；（2）求当点F在AC边上，G在BC边上时t的值；（3）求动点E从点B向点A运动过程中，S关于t的函数关系．2020年广东省东莞市虎门外语学校中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）﹣8的相反数是（）A．﹣8B．8C．D．【分析】直接根据相反数的定义进行解答即可．【解答】解：由相反数的定义可知，﹣8的相反数是﹣（﹣8）＝8．故选：B．【点评】本题考查的是相反数的定义，即只有符号不同的两个数叫做互为相反数．2．（3分）下列计算正确的是（）A．（a3）2＝a5B．a6÷a2＝a3C．a3•a2＝a6D．a3+a3＝2a3【分析】根据合并同类项法则，积的乘方和幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法分别求出每个式子的值，再得出选项即可．【解答】解：A、（a3）2＝a6，故本选项不符合题意；B、a6÷a2＝a4，故本选项不符合题意；C、a3•a2＝a5，故本选项不符合题意；D、a3+a3＝2a3，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了合并同类项法则，积的乘方和幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法等知识点，能正确求出每个式子的值是解此题的关键．3．（3分）如图所示的几何体的主视图是（）A．B．C．D．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，故选：D．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．4．（3分）2020年是全面打赢脱贫攻坚战收官之年，现有贫困人口5510000人今年脱贫，将数据5510000用科学记数法表示为（）A．5.51×106B．55.1×105C．0.551×107D．5.51×107【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将数据5 510 000用科学记数法表示应为5.51×106，故选：A．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5．（3分）在新冠肺炎疫情防控时期，国家倡导全民减少外出，如表是从某小区随机调查的100名居民在一周中外出次数的统计表：外出次数012345人数51510253015则这组数据的众数和中位数分别是（）A．4，2.5B．4，3C．30，17.5D．30，15【分析】根据众数和中位数的概念求解．【解答】解：在这组数据中，4次有30人，最多，则众数是4；把这组数据按照从小到大的顺序排列起来，则中位数是（3+3）÷2＝3．故选：B．【点评】本题考查了众数和中位数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．6．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行解答．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了中心对称图形和轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．7．（3分）已知一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数是（）A．3B．4C．5D．6【分析】多边形的外角和是360°，内角和是它的外角和的2倍，则内角和是2×360＝720度．n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数【解答】解：设这个多边形的边数为n，∵n边形的内角和为（n﹣2）•180°，多边形的外角和为360°，∴（n﹣2）•180°＝360°×2，解得n＝6．∴此多边形的边数为6．故选：D．【点评】本题主要考查了根据正多边形的外角和求多边形的边数，这是常用的一种方法，需要熟记．8．（3分）将点A（2，3）向左平移2个单位长度得到点A'，点A'关于x轴的对称点是A''，则点A''的坐标为（）A．（0，﹣3）B．（4，﹣3）C．（4，3）D．（0，3）【分析】直接利用平移规律结合关于x轴对称点的性质得出对应点坐标．【解答】解：∵点A（2，3）沿向左平移2个单位长度得到点A′，∴A′（0，3），∴点A′关于x轴对称的点的坐标是：（0，﹣3）．故选：A．【点评】此题主要考查了平移变换以及轴对称变换，正确得出对应点位置是解题关键．9．（3分）如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE．若AB的长为2，则FM的长为（）A．2B．C．D．1【分析】根据翻折不变性，AB＝FB＝2，BM＝1，在Rt△BFM中，可利用勾股定理求出FM的值．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，AB＝2，过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，∴FB＝AB＝2，BM＝1，则在Rt△BMF中，FM＝，故选：B．【点评】此题考查了翻折变换的性质，适时利用勾股定理是解答此类问题的关键．10．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动，记P A＝x，点D到直线P A的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．【分析】①点P在AB上时，点D到AP的距离为AD的长度，②点P在BC上时，根据同角的余角相等求出∠APB＝∠P AD，再利用相似三角形的对应边成比例的性质列出比例式整理得到y与x的关系式，从而得解．【解答】解：①点P在AB上时，0≤x≤3，点D到AP的距离为AD的长度，是定值4；②点P在BC上时，3＜x≤5，∵∠APB+∠BAP＝90°，∠P AD+∠BAP＝90°，∴∠APB＝∠P AD，又∵∠B＝∠DEA＝90°，∴△ABP∽△DEA，∴＝，即＝，∴y＝，纵观各选项，只有B选项图形符合．故选：B．【点评】本题考查了动点问题函数图象，主要利用了相似三角形的判定与性质，难点在于根据点P的位置分两种情况讨论．二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）11．（4分）因式分解：xy2﹣4xy+4x＝x（y﹣2）2．【分析】先提取公因式x，再根据完全平方公式进行二次分解．【解答】解：xy2﹣4xy+4x＝x（y2﹣4y+4）＝x（y﹣2）2．故答案为：x（y﹣2）2．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式．注意提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，分解要彻底．12．（4分）如图，AB∥CD，若∠E＝34°，∠D＝20°，则∠B的度数为54°．【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，求出∠BCD，再根据两直线平行，内错角相等进行解答即可．【解答】解：如图，∵∠E＝34°，∠D＝20°，∴∠BCD＝∠D+∠E＝20°+34°＝54°，∵AB∥CD，∴∠B＝∠BCD＝54°．故答案为：54°．【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．13．（4分）关于x的不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则此不等式组的解集为﹣1≤x＜2．【分析】数轴的某一段上面，表示解集的线的条数，与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，＞向右＜向左．两个不等式的公共部分就是不等式组的解集．【解答】解：由图示可看出，从﹣1 出发向右画出的线且﹣1 处是实心圆，表示x⩾﹣1；从2 出发向左画出的线且2 处是空心圆，表示x＜2，不等式组的解集是指它们的公共部分．所以这个不等式组的解集是﹣1⩽x＜2．【点评】本题考查了不等式的解集．不等式的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，⩾向右画；＜，⩽向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“⩾”，“⩽”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．14．（4分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是m＜3．【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，∴△＝（﹣2）2﹣4×1×m＞0，∴m＜3．故答案为：m＜3．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．15．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，分别以AC、BC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为π﹣4（结果保留π）．【分析】图中阴影部分的面积为两个半圆的面积﹣三角形的面积，然后利用三角形的面积计算即可．【解答】解：设各个部分的面积为：S1、S2、S3、S4、S5，如图所示，∵两个半圆的面积和是：S1+S5+S4+S2+S3+S4，△ABC的面积是S3+S4+S5，阴影部分的面积是：S1+S2+S4，∴图中阴影部分的面积为两个半圆的面积减去三角形的面积．即阴影部分的面积＝π×4+π×1﹣4×2÷2＝π﹣4．【点评】此题的关键是看出图中阴影部分的面积为两个半圆的面积﹣三角形的面积．16．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F，且AF＝4，EF＝，则AC＝．【分析】先求出∠EFG＝45°，进而利用勾股定理即可得出FG＝EG＝1，进而求出AE，最后判断出△AEF∽△AFC，即可得出结论．【解答】解：如图，过点E作EG⊥AD于G，连接CF，∵AD，BE是分别是∠BAC和∠ABC的平分线，∴∠CAD＝∠BAD，∠CBE＝∠ABE，∵∠ACB＝90°，∴2（∠BAD+∠ABE）＝90°，∴∠BAD+∠ABE＝45°，∴∠EFG＝∠BAD+∠ABE＝45°，在Rt△EFG中，EF＝，∴FG＝EG＝1，∵AF＝4，∴AG＝AF﹣FG＝3，根据勾股定理得，AE＝＝，∵AD平分∠CAB，BE平分∠ABC，∴CF是∠ACB的平分线，∴∠ACF＝45°＝∠AFE，∵∠CAF＝∠F AE，∴△AEF∽△AFC，∴，∴AC＝＝＝，故答案为．【点评】此题主要考查了角平分线定义，勾股定理，相似三角形的判定和性质，求出AE 是解本题的关键．17．（4分）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…．若点A（，0），B（0，2），则点B2020的坐标为（6060，2）．【分析】首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，B、B2、B4…每偶数之间的B相差6个单位长度，根据这个规律可以求得B2020的坐标．【解答】解：∵点A（，0），B（0，2），∴AO＝，BO＝2，∴AB＝＝＝，∴OA+AB1+B1C2＝++2＝6，∴B2的横坐标为：6，且B2C2＝2，∴B4的横坐标为：2×6＝12，∴点B2020的横坐标为：1010×6＝6060．∴点B2020的纵坐标为：2．故点B2020的坐标为（6060，2）．故答案为：（6060，2）．【点评】此题考查了点的坐标规律变换，通过图形旋转，找到所有B点之间的关系是本题的关键．题目难易程度适中，可以考察学生观察、发现问题的能力．三、解答题（一）（共3小题，满分18分）18．（6分）计算：（1﹣）0+|﹣|﹣2cos45°+（）﹣1【分析】直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质、绝对值的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．【解答】解：原式＝1+﹣2×+4＝1+﹣+4＝5．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．19．（6分）先化简，再求值：，其中a是方程a2+a﹣6＝0的解．【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后由方程a2+a﹣6＝0可以求得a的值，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题，注意代入a的值必须使得原分式有意义．【解答】解：＝＝＝＝，由a2+a﹣6＝0，得a＝﹣3或a＝2，∵a﹣2≠0，∴a≠2，∴a＝﹣3，当a＝﹣3时，原式＝＝．【点评】本题考查分式的化简求值、一元二次方程的解，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．20．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝28°．（1）作AC边上的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E（用直尺和圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）；（2）连接CE，求∠BCE的度数．【分析】（1）利用基本作图，作DE垂直平分AC；（2）根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EC，则根据等腰三角形的性质得到∠ECA＝∠A＝28°．然后利用互余计算∠BCE的度数．【解答】解：（1）如图，DE为所求；（2）∵DE垂直平分AC，∴EA＝EC，∴∠ECA＝∠A＝28°．∴∠BCE＝90°﹣∠ECA＝90°﹣28°＝62°．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）21．（8分）由于新冠肺炎疫情爆发，某公司根据市场需求代理A、B两种型号的空气净化器，每台A型净化器比每台B型净化器进价多200元，用5万元购进A型净化器与用4.5万元购进B型净化器的数量相等．（1）求每台A型、B型净化器的进价各是多少元？（2）公司计划购进A、B两种型号的净化器共50台进行试销，其中A型净化器为m台，购买资金不超过9.8万元．试销时A型净化器每台售价2500元，B型净化器每台售价2180元．公司决定从销售A型净化器的利润中按每台捐献75元作为公司帮扶疫区贫困居民，设公司售完50台净化器并捐献扶贫资金后获得的利润为W，求W的最大值．【分析】（1）设每台B型净化器的进价是x元，则每台A型净化器的进价是（x+200）元，根据数量＝总价÷单价结合用5万元购进A型净化器与用4.5万元购进B型净化器的数量相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）由总价＝单价×数量结合购买资金不超过9.8万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，根据总利润＝每台的利润×销售数量，即可得出W 关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．【解答】解：（1）设每台B型净化器的进价是x元，则每台A型净化器的进价是（x+200）元，依题意，得：＝，解得：x＝1800，经检验，x＝1800是原方程的解，且符合题意，∴x+200＝2000．答：每台A型净化器的进价是2000元，每台B型净化器的进价是1800元．（2）∵购进A型净化器m台，∴购进B型净化器（50﹣m）台，又∵购买资金不超过9.8万元，∴2000m+1800（50﹣m）≤98000，∴m≤40．依题意：获得的利润W＝（2500﹣2000﹣75）m+（2180﹣1800）（50﹣m）＝45m+19000，∵45＞0，∴W随m的增大而增大，∴当m＝40时，W取得最大值，最大值＝45×40+19000＝20800．答：W的最大值为20800元．【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式及一次函数关系式．22．（8分）央行今年推出数字货币，支付方式即将变革，调查结果显示，目前支付方式有：A微信、B支付宝、C现金、D其他．调查组对某超市一天内购买者的支付方式进行调有统计：得到如图两幅不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）本次一共调查了200名购买者；（2）请补全条形统计图．在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角为108度．（3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“现金”三种付款方式中选一种方式进行付款，请用树状图或列表法求出两人恰好选择同一种付款方式的概率．【分析】（1）根据B的人身和所占的百分比可以求得本次调查的购买者的人数；（2）根据统计图中的数据可以求得选择A和D的人数，从而可以将条形统计图补充完整；用360°乘以A种支付方式所占的百分比即可得出在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角的度数；（3）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合题意的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解答】解：（1）本次一共调查的购买者有：56÷28%＝200（名）；故答案为：200；（2）D方式支付的有：200×20%＝40（人），A方式支付的有：200﹣56﹣44﹣40＝60（人），补全的条形统计图如图所示：在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角为：360°×＝108°；故答案为：108；（3）根据题意画图如下：共有9种等可能的情况数，其中两人恰好选择同一种付款方式的有3种，则两人恰好选择同一种付款方式的概率是＝．【点评】本题考查扇形统计图、条形统计图以及用列树状图法求概率，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．23．（8分）如图，反比例函数y＝（k≠0）的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于A（1，a），B两点，点C在第四象限，CA∥y轴，连接BC．（1）求k的值及点B的坐标；（2）求tan A的值；（3）当△ABC是直角三角形时，求点C的坐标．【分析】（1）根据点A（1，a）在y＝2x上，可以求得点A的坐标，再根据反比例函数y ＝（k≠0）的图象与反比例函数y＝2x的图象相交于A（1，a），B两点，即可求得k 的值和点B的坐标；（2）根据点A的坐标即可求得tan A的值；（3）根据题意和函数图象，利用分类讨论的方法可以求得点C的坐标．【解答】解：（1）∵点A（1，a）在直线y＝2x上，∴a＝2×1＝2，即点A的坐标为（1，2），∵点A（1，2），点B是反比例函数y＝（k≠0）的图象与正比例函数y＝2x图象的交点，∴k＝1×2＝2，点B的坐标为（﹣1，﹣2），即k的值是2，点B的坐标为（﹣1，﹣2）；（2）∵点A（1，2），∴tan A＝；（3）∵点C在第四象限，CA∥y轴，点A（1，2），点B（﹣1，﹣2），∴当△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°时，点C的坐标为（1，﹣2）；当△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°时，设点C的坐标为（1，c），cos A＝，∵点A（1，2），点B（﹣1，﹣2），∴AB＝2，AC＝2﹣c，∴，解得，c＝﹣3，即点C的坐标为（1，﹣3），由上可得，当△ABC是直角三角形时，点C的坐标是（1，﹣2）或（1，﹣3）．【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）24．（10分）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，且对角线AC为直径，AD＝BC，过点D作DG⊥AC，垂足为E，DG分别与AB，⊙O及CB延长线交于点F、G、M．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）若N为MF中点，求证：NB是⊙O的切线；（3）若F为GE中点，且DE＝6，求⊙O的半径．【分析】（1）根据AC为⊙O直径，得到∠ADC＝∠CBA＝90°，通过全等三角形得到CD＝AB，推出四边形ABCD是平行四边形，根据矩形的判定定理得到结论；（2）根据直角三角形的性质得到NB＝MF＝NF，根据等腰三角形的性质和余角的性质即可得到NB是⊙O的切线；（3）根据垂径定理得到DE＝GE＝6，根据四边形ABCD是矩形，得到∠BAD＝90°，根据余角的性质得到∠F AE＝∠ADE，推出△AEF∽△DEA，根据相似三角形的性质列比例式得到AE＝3，连接OD，设⊙O的半径为r，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵AC为⊙O直径，∴∠ADC＝∠CBA＝90°，在Rt△ADC与Rt△CBA中，，∴Rt△ADC≌Rt△CBA，∴CD＝AB，∵AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠CBA＝90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）连接OB，∵∠MBF＝∠ABC＝90°，∴NB＝MF＝NF，∴∠1＝∠2，∵∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∵OB＝OA，∴∠5＝∠4，∵DG⊥AC，∴∠AEF＝90°，∴∠3+∠4＝90°，∴∠1+∠5＝90°，∴OB⊥NB，∴NB是⊙O的切线；（3）∵AC为⊙O直径，AC⊥DG，∴DE＝GE＝6，∵F为GE中点，∴EF＝GF＝3，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，∴∠F AE+∠DAE＝90°，∵∠ADE+∠DAE＝90°，∴∠F AE＝∠ADE，∵∠AEF＝∠DEA＝90°，∴△AEF∽△DEA，∴，∴AE＝3，连接OD，设⊙O的半径为r，∴OA＝OD＝r，OE＝r﹣3，∵OE2+DE2＝OD2，∴（r﹣3）2+62＝r2，∴r＝，∴⊙O的半径是．【点评】本题考查了圆周角定理，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，证得AEF∽△DEA是解决（3）的关键．25．（10分）如图，二次函数y＝x2﹣5x+4的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），顶点为C，有一个动点E从点B出发以每秒一个单位向点A运动，过E作y轴的平行线，交△ABC的边BC或AC于点F，以EF为边在EF右侧作正方形EFGH，设正方形EFGH 与△ABC重叠部分面积为S，E点运动时间为t秒．（1）求顶点C的坐标和直线AC的解析式；（2）求当点F在AC边上，G在BC边上时t的值；（3）求动点E从点B向点A运动过程中，S关于t的函数关系．【分析】（1）把y＝x2﹣5x+4化成顶点式，求出顶点C的坐标，y＝x2﹣5x+4化成（x﹣1）（x﹣4），求出A、B的坐标，设AC直线为y＝kx+b，把A、C的坐标代入就能求出直线AC的解析式；（2）设直线BC的解析式是y＝ax+c，把B、C的坐标代入就能求出直线BC，点E坐标为（4﹣t，0），点F坐标为（），求出EF＝，FG＝2t﹣3，根据EF ＝FG，即可求出t的值；（3）可分以下几种情况：①点F在BC上时，如图1重叠部分是△BEF2，此时时，点F坐标为（），根据三角形的面积公式即可求出；②I如图2，EB≤EH 时重叠部分是直角梯形EFKB，此时＜t≤，根据三角形的面积公式即可求出；II如图3，EB＞EH，点G在BC下方时，重叠部分是五边形EFKMH，此时，，因为S＝S正方形EFGH﹣S△KMG，根据三角形的面积公式即可求出；Ⅲ．如图4，点G在BC上或BC上方时，重叠部分是正方形EFGH，此时≤t＜3，根据正方形的面积公式求出即可．【解答】（1）解：∵y＝x2﹣5x+4＝，顶点C的坐标为（），∵y＝x2﹣5x+4＝（x﹣1）（x﹣4），∴点A（1，0），B（4，0），设AC直线为y＝kx+b，得，解得：k＝﹣，b＝，∴，答：顶点C的坐标为（），直线AC的解析式是．（2）解：设直线BC的解析式是y＝ax+c，把B（4，0），C（，﹣）代入得：0＝4a+c且﹣＝a+c，解得：a＝，c＝﹣6，直线BC的解析式为，当F在AC边上，G在BC边上时，点E坐标为（4﹣t，0），点F坐标为（），得EF＝，而EF＝FG，∵抛物线的对称轴和等腰△ABC的对称轴重合，∴FG＝，＝2t﹣3，∴＝2t﹣3，解得，答：当点F在AC边上，G在BC边上时t的值是．（3）解：点E坐标为（4﹣t，0）随着正方形的移动，重叠部分的形状不同，可分以下几种情况：。

2020年广东省东莞市中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.计算的结果是A. 2B.C.D.2.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是A. B. C. D.3.我市2019年参加中考的考生人数约为52400人，将52400用科学记数法表示为A. B. C. D.4.下列运算正确的是A. B.C. D.5.函数中自变量x的取值范围是A. 且B.C.D.6.如图，PA、PB分别与相切于A、B两点，若，则的度数为A.B.C.D.7.某学校九年级一班十名同学定点投篮测试，每人投篮六次，投中的次数统计如下：5，4，3，5，5，2，5，3，4，1，则这组数据的中位数，众数分别为A. 4，5B. 5，4C. 4，4D. 5，58.一个多边形每个外角都等于，这个多边形是A. 六边形B. 正八边形C. 正十边形D. 正十二边形9.如图在同一个坐标系中函数和的图象可能的是A. B.C. D.10.如图，在等腰中，，，点P从点B出发，以的速度沿BC方向运动到点C停止，同时点Q从点B出发，以的速度沿方向运动到点C 停止，若的面积为，运动时间为，则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是A. B.C. D.二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）11.实数81的平方根是______．12.分解因式：______．13.抛物线的顶点坐标为______．14.如图，中，，，，AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于D，E两点，则CD的长为______．15.如图，AB是的直径，点C、D在圆上，，则等于______度．16.已知一副直角三角板如图放置，其中，，把的三角板向右平移，使顶点B落在的三角板的斜边DF上，则两个三角板重叠部分阴影部分的面积为______．17.二次函数的图象如图，对称轴是直线，有以下结论：；；；；其中正确的结论有______．三、计算题（本大题共2小题，共14.0分）18.计算：．19.如图，在中，点D，E分别在边AB，AC上，，线段AG分别交线段DE，BC于点F，G，且．求证：∽；若，求的值．四、解答题（本大题共6小题，共48.0分）20.先化简：，请在，0，1，2，3当中选一个合适的数a代入求值．21.如图，在中，．用尺规作图法作AB边上的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点保留作图痕迹，不要求写作法和证明；连结BD，若BD平分，求的度数．22.央视“经典咏流传”开播以来受到社会广泛关注我市某校就“中华文化我传承--地方戏曲进校园”的喜爱情况进行了随机调查．对收集的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．请你根据统计图所提供的信息解答下列问题：图中A表示“很喜欢”，B表示“喜欢”、C表示“一般”，D表示“不喜欢”．被调查的总人数是______人，扇形统计图中C部分所对应的扇形圆心角的度数为______；补全条形统计图；若该校共有学生1800人，请根据上述调查结果，估计该校学生中A类有______人；在抽取的A类5人中，刚好有3个女生2个男生，从中随机抽取两个同学担任两角色，用树形图或列表法求出被抽到的两个学生性别相同的概率．23.草莓是云南多地盛产的一种水果，今年某水果销售店在草莓销售旺季试销售成本为每千克18元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元．经试销发现，销售量与销售单价元符合一次函数关系，如图是y与x的函数关系图象．求y与x的函数解析式；设该水果销售店试销草莓获得的利润为W元，求W的最大值．24.如图，在中，，AE是的平分线，的平分线BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交AB于点F．求证：AE为的切线；当，时，求的半径；在的条件下，求线段BG的长．25.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点C的坐标为，，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M、点M在点N的上方．求A、B两点的坐标；设的面积为S，直线l运动时间为t秒，求S与t的函数表达式；在的条件下，t为何值时，S最大？并求出S的最大值．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：的结果是2．故选：A．根据负数的绝对值是它的相反数，可得答案．本题考查了绝对值，利用了负数的绝对值它的相反数是解题关键．2.答案：C解析：解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：C．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3.答案：C解析：解：，故选：C．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n 是正数；当原数的绝对值时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4.答案：B解析：解：A、，故错误；B、正确；C、，故错误；D、，故错误；故选：B．根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解．本题考查同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方很容易混淆，一定要记准法则才能做题．5.答案：A解析：解：根据题意得到：，解得且，根据分式的分母不为0；偶次根式被开方数大于或等于0；当一个式子中同时出现这两点时，应该是取让两个条件都满足的公共部分．本题考查了函数自变量的取值范围问题，判断一个式子是否有意义，应考虑分母上若有字母，字母的取值不能使分母为零，二次根号下字母的取值应使被开方数为非负数．易错易混点：学生易对二次根式的非负性和分母不等于0混淆．6.答案：C解析：解：、PB是的切线，，，，又，则．故选：C．由PA与PB都为圆O的切线，利用切线的性质得到OA垂直于AP，OB垂直于BP，可得出两个角为直角，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由已知的度数求出的度数，在四边形PABO中，根据四边形的内角和定理即可求出的度数．本题主要考查了切线的性质，四边形的内角与外角，以及圆周角定理，熟练运用性质及定理是解本题的关键．7.答案：A解析：解：将数据从小到大排列为：1，2，3，3，4，4，5，5，5，5，这组数据的众数为：5；中位数为：4．故选：A．根据众数及中位数的定义，结合所给数据即可作出判断．本题考查了众数、中位数的知识，解答本题的关键是掌握众数及中位数的定义．8.答案：D解析：解：多边形的外角和为，，这个多边形是正十二边形，故选：D．根据多边形的外角和为，而多边形每个外角都等于，可求多边形外角的个数，确定多边形的边数．本题考查了多边形内角与外角．关键是利用多边形的外角和为的性质，求多边形的边数．9.答案：C解析：解：当时，函数的图象经过一、三、四象限；函数的开口向上，对称轴在y轴上；当时，函数的图象经过二、三、四象限；函数的开口向下，对称轴在y轴上，故C正确．故选：C．分与两种情况进行讨论即可．本题考查了一次函数、二次函数的图象和系数的关系，是基础知识要熟练掌握．解析：解：作于H，，，，，，，点P运动的速度为，Q点运动的速度为，点P从B点运动到C需4s，Q点运动到C需8s，当时，作于D，如图1，，，在中，，，当时，作于D，如图2，，在中，，，综上所述，．故选：D．作于H，根据等腰三角形的性质得，利用可计算出，，则，利用速度公式可得点P从B点运动到C需4s，Q点运动到C需8s，然后分类讨论：当时，作于D，如图1，，，，利用三角形面积公式得到；当时，作于D，如图2，，，，利用三角形面积公式得，于是可得时，函数图象为抛物线的一部分，当时，函数图象为线段，则易得答案为D．本题考查了动点问题的函数图象：通过分类讨论，利用三角形面积公式得到y与x的函数关系，然后根据二次函数和一次函数图象与性质解决问题．11.答案：解析：【分析】此题主要考查了平方根的性质，要注意区分平方根、算术平方根的概念．首先根据平方根的定义可以求得结果．解：实数81的平方根是：．故答案为：．12.答案：解析：解：--提取公因式．注意将提取公因式与乘法公式综合应用，将整式提取公因式后再次利用公式分解．本题考查的是提公因式法与公式法分解因式的综合运用．分解因式时，有公因式的，先提公因式，再考虑运用何种公式法来分解．13.答案：解析：解：，把代入得：．则顶点的坐标是．故答案是：．利用顶点的公式首先求得横坐标，然后把横坐标的值代入解析式即可求得纵坐标．本题考查了二次函数的顶点坐标的求解方法，可以利用配方法求解，也可以利用公式法求解．14.答案：解析：解：是AC的垂直平分线，，，设，则，在中，，即，解得．故答案为：．先根据线段垂直平分线的性质得出，故AB，设，则，在中根据勾股定理求出x的值即可．本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．15.答案：23解析：解：由圆周角定理得，，是的直径，，，故答案为：23．根据圆周角定理得到、，根据直角三角形的性质计算，得到答案．本题考查的是圆周角定理、直角三角形的性质，掌握在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．16.答案：解析：解：在直角中，，，．又，则．在直角中，，，，则，，，阴影部分的面积为：．故答案是：．根据特殊角的锐角三角函数值，求出EC、EG、AE的长，得到阴影部分的面积．本题考查的是平移的性质，需要正确运用锐角三角函数和特殊角的三角函数值．17.答案：解析：解：由图象可知：，，又对称轴是直线，根据对称轴在y轴左侧，a，b同号，可得，，故正确；抛物线与x轴有两个交点，，，故正确；对称轴是直线，，，，故正确；当时，，，故正确；对称轴是直线，且由图象可得：当时，，当时，，，故错误．综上，正确的有．故答案为：．由图象可知：，，根据对称轴及a与b的符号关系可得，则可判断的正误；根据抛物线与x轴有两个交点，可得，则可判断的正误；由对称轴是直线，可判断的正误；由当时，，可判断的正误；由当时，，可判断的正误．本题考查了二次函数与不等式的关系，数形结合并明确二次函数的相关性质是解题的关键．18.答案：解：原式．解析：原式第一项利用负指数幂法则计算，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项化为最简二次根式，计算即可得到结果．此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19.答案：证明：，，∽，，又，∽；解：∽，，，，．解析：由、利用相似三角形的判定即可证出∽；根据相似三角形的性质再得出，即可证出∽；由的结论以及相似三角形的性质即可求出答案．本题考查相似三角形的性质和判定，记住相似三角形的判定方法是解决问题的关键，属于基础题．20.答案：解：原式，当，0，1时，分式无意义，故当时，原式．解析：直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案．此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算是解题关键．21.答案：解：如图所示，DE为所求作的垂直平分线；是AB边上的垂直平分线，，，平分，，，，．解析：直接利用线段垂直平分线的作法得出即可；利用线段垂直平分线的性质得出，再利用角平分线的性质求出即可．此题主要考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质与作法，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．22.答案：；见解析；解析：解：被调查的总人数为人，扇形统计图中C部分所对应的扇形圆心角的度数为，故答案为：50、；类别人数为人，补全图形如下：估计该校学生中A类有人，故答案为：180；列表如下：女女女男男女---女女女女男女男女女女女---女女男女男女女女女女女---男女男女男女男女男女男---男男男女男女男女男男男---所有等可能的结果为种，其中被抽到的两个学生性别相同的结果数为8，被抽到的两个学生性别相同的概率为．由A类别人数及其所占百分比可得总人数，用乘以C部分人数所占比例可得；总人数减去其他类别人数求得B的人数，据此即可补全条形图；用总人数乘以样本中A类别人数所占百分比可得；用树状图或列表法即可求出抽到性别相同的两个学生的概率．此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图的应用．解题时注意：概率所求情况数与总情况数之比．一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．23.答案：解：设，将、和、代入，得：，解得：，；根据题意，得：，，当时，W随x的增大而增大，在中，当时，W取得最大值，最大值为8548．解析：利用待定系数法求解可得；根据总利润每千克的利润销售量列出函数解析式，并配方成顶点式，再利用二次函数的性质求解可得．本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，并根据总利润每千克的利润销售量的数量关系列出函数解析式，熟练掌握二次函数的性质．24.答案：证明：连接OM，如图1，是的平分线，，，，，，，AE是的平分线，，，为的切线；解：设的半径为r，，AE是的平分线，，，∽，，即，解得，即设的半径为；解：作于H，如图，，，四边形OHEM为矩形，，，，，．解析：连接OM，如图1，先证明，再根据等腰三角形的性质判断，则，然后根据切线的判定定理得到AE为的切线；设的半径为r，利用等腰三角形的性质得到，再证明∽，则利用相似比得到，然后解关于r的方程即可；作于H，如图，易得四边形OHEM为矩形，则，所以，再根据垂径定理得到，所以．本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、切线的判定和等腰三角形的性质；会运用相似三角形的判定与性质计算线段的进行几何计算．25.答案：解：过点A作于D，四边形OABC为菱形，点C的坐标为，．，，．，；直线l从y轴出发，沿x轴正方向运动与菱形OABC的两边相交有三种情况：时，直线l与OA、OC两边相交，如图．，．；当时，直线l与AB、OC两边相交，如图．；当时，直线l与AB、BC两边相交，如图．设直线l与x轴交于点H．，；由知，当时，，当时，，当时，当时，综上所述，当时，．解析：过A作于D，在直角三角形OAD中，可根据OA的长和的度数求出OD 和AD的长，即可得出A点坐标，将A的坐标向右平移8个单位即可得出B点坐标．当l过A点时，，因此；当l过C点时，，此时因此本题可分三种情况：当时，直线l与OA、OC两边相交，此时，，根据三角形的面积公式即可得出S，t的函数关系式．当时，直线l与AB、OC两边相交，此时三角形OMN中，NM的长与AD的长相同，而，可得出S，t的函数关系式．当时，直线l与AB、BC两边相交，可设直线l与x轴交点为H，那么三角形OMN可以MN为底，OH为高来计算其面积．OH的长为t，而MN的长可通过来求得，可得出关于S，t的函数关系式．根据中各函数的性质和各自的自变量的取值范围可得出S的最大值及对应的t的值．本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，图形面积的求法，二次函数的应用等知识，利用分类讨论思想和数形结合的数学数形方法解决问题是本题的关键．。

2020年广东省东莞市虎门外语学校中考数学一模试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1. ﹣8的相反数是（）A. 8B. 18C.18D. －8【答案】A【解析】【分析】根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数可得答案．【详解】-8的相反数是8，故选A．【点睛】此题主要考查了相反数，关键是掌握相反数的定义．2. 下列计算正确的是（）A. （a3）2＝a5B. a6÷a2＝a3C. a3•a2＝a6D. a3+a3＝2a3【答案】D【解析】【分析】根据合并同类项法则，积的乘方和幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法分别求出每个式子的值，再得出选项即可．【详解】解：A、（a3）2＝a6，故本选项不符合题意；B、a6÷a2＝a4，故本选项不符合题意；C、a3•a2＝a5，故本选项不符合题意；D、a3+a3＝2a3，故本选项符合题意；故选D．【点睛】本题考查了合并同类项法则，积的乘方和幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法等知识点，能正确求出每个式子的值是解此题的关键．3. 如图所示的几何体的主视图是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【详解】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，故选D．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图及三视图的知识，从正面看得到的图形是主视图．4. 2020年是全面打赢脱贫攻坚战收官之年，现有贫困人口5510000人今年脱贫，将数据5510000用科学记数法表示为（）A.5.51×106 B. 55.1×105 C. 0.551×107 D. 5.51×107【答案】A 【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】将数据5 510 000用科学记数法表示应为5.51×106，故选：A．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5. 在新冠肺炎疫情防控时期，国家倡导全民减少外出，如表是从某小区随机调查的100名居民在一周中外出次数的统计表：外出次数0 1 2 3 4 5 人数 5 15 10 25 30 15则这组数据的众数和中位数分别是（）A. 4，2.5B. 4，3C. 30，17.5D. 30，15【答案】B【解析】【分析】根据众数和中位数的概念求解．【详解】在这组数据中，4次有30人，最多，则众数是4；把这组数据按照从小到大的顺序排列起来，则中位数是（3+3）÷2＝3．故选：B．【点睛】本题考查了众数和中位数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．6. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行解答．【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选：B．【点睛】此题主要考查了中心对称图形和轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．7. 已知一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数是（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了多边形内角与外角．n边形的内角和可以表示成（n-2）•180°，外角和为360°，根据题意列方程求解．【详解】解：设多边形的边数为n，依题意，得（n-2）•180°=2×360°，解得n=6，故选D【点睛】错因分析较易题.失分原因：没有掌握多边形的内角和与外角和公式.逆袭突破多边形的性质，详见逆袭必备P24必备23.8. 将点A(2，3)向左平移2个单位长度得到点A’，点A’关于x轴的对称点是A’’，则点A’’的坐标为（）A.(0，－3)B. (4，－3)C. (4，3)D. (0，3) 【答案】A 【解析】试题解析：∵点A（2，3）向左平移2个单位长度得到点A′，∴点A′的横坐标为2-2=0，纵坐标不变，即点A′的坐标为（0，3）．点A′关于x轴的对称点是A″，则点A″的坐标为（0，-3）. 故选A．9. 如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE，若AB的长为2，则FM的长为( )A. 2B.C.D. 1【答案】B【解析】【分析】【详解】∵四边形ABCD为正方形，AB=2，过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，∴FB=AB=2，BM=1，则在Rt△BMF中，FM=22BF BM-=22-=3，21故选B．考点：翻折变换（折叠问题）．10. 如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】①点P在AB上时，点D到AP的距离为AD的长度，②点P在BC上时，根据同角的余角相等求出∠APB=∠PAD，再利用相似三角形的列出比例式整理得到y与x的关系式，从而得解．【详解】①点P在AB上时，0≤x≤3，点D到AP的距离为AD的长度，是定值4；②点P在BC上时，3＜x≤5，∵∠APB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°，∴∠APB=∠PAD，又∵∠B=∠DEA=90°，∴△ABP∽△DEA，∴ABDE=APADAB APDE AD=，即34xy=，∴y=12x，纵观各选项，只有B选项图形符合，故选B．二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）11. 因式分解：xy2﹣4xy+4x＝_____．【答案】x（y﹣2）2【解析】试题分析：先提取公因式x，再根据完全平方公式进行二次分解，即xy2﹣4xy+4x=x（y2﹣4y+4）=x（y ﹣2）2．考点：因式分解．12. 如图，AB∥CD，若∠E＝34°，∠D＝20°，则∠B的度数为_____．【答案】54°【解析】【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，求出∠BCD，再根据两直线平行，内错角相等进行解答即可．【详解】∵∠E＝34°，∠D＝20°，∴∠BCD＝∠D+∠E＝20°+34°＝54°，∵AB∥CD，∴∠B＝∠BCD＝54°．故答案为54°．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．13. 关于x的不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则此不等式组的解集为_____．【答案】﹣1⩽x＜2．【解析】【分析】数轴的某一段上面，表示解集的线的条数，与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，＞向右＜向左．两个不等式的公共部分就是不等式组的解集． 【详解】解：由图示可看出，从﹣1 出发向右画出的线且﹣1 处是实心圆，表示 x ⩾﹣1； 从 2 出发向左画出的线且 2 处是空心圆，表示 x ＜2，不等式组的解集是指它们的公共部分． 所以这个不等式组的解集是﹣1⩽x ＜2．【点睛】本题考查了不等式的解集．不等式的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来 （＞，⩾向右画；＜，⩽向左画 ），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“⩾”，“⩽”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．14. 关于x 的一元二次方程x 2﹣23x +m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是_____． 【答案】m ＜3 【解析】 【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围． 【详解】解：∵关于x 的一元二次方程x 2﹣23x +m ＝0有两个不相等的实数根， ∴△＝（﹣23）2﹣4×1×m ＞0， ∴m ＜3． 故答案为：m ＜3．【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 15. 如图，在Rt ABC △中，90,4,2C AC BC ∠=︒==分别以AC 、BC 为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为_____．（结果保留π）【答案】542π- 【解析】 【分析】图中阴影部分的面积为两个半圆的面积-三角形的面积，然后利用三角形的面积计算即可． 【详解】解： 设各个部分的面积为：S 1、S 2、S 3、S 4、S 5，如图所示，∵两个半圆的面积和是：S 1+S 5+S 4+S 2+S 3+S 4，△ABC 的面积是S 3+S 4+S 5，阴影部分的面积是：S 1+S 2+S 4， ∴图中阴影部分的面积为两个半圆的面积减去三角形的面积． 即阴影部分的面积=12π×4+12π×1-4×2÷2=542π-． 故答案为：542π-． 16. 在Rt ABC ∆中，90C =∠，AD 平分CAB ∠，BE 平分ABC ∠，AD BE 、相交于点F ，且4,2AF EF ==，则AC =__________．【答案】8105【解析】【分析】由已知易得∠AFE=45°，过E 作EG ⊥AD ，垂足为G ，根据已知易得EG=FG=1，再根据勾股定理可得10，过F 分别作FH ⊥AC 垂足为H ， FM ⊥BC 垂足为M ，FN ⊥AB 垂足为N ，易得CH=FH ，根据勾股定理可求出a=105，继而可得CH=105，由AC=AE+EH+HC 即可求得.【详解】如图，∵AD 、BE 分别平分∠CAB 和∠CBA ，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠C=90°，∴∠2+∠3=45°，∴∠AFE=45°， 过E 作EG ⊥AD ，垂足为G ，在Rt △EFG 中，∠EFG=45°，2，∴EG=FG=1， 在Rt △AEG 中，AG=AF-FG=4-1=3，∴2210AG EG +过F 分别作FH ⊥AC 垂足为H ， FM ⊥BC 垂足为M ，FN ⊥AB 垂足为N ，易得CH=FH ， 设EH=a ，则FH 2=EF 2-EH 2=2-a 2， 在Rt △AHF 中，AH 2+HF 2=AF 2， 即()210a ++2-a 2=16，∴a=105， ∴CH=FH=2105， ∴AC=AE+EH+HC=8105， 故答案为8105.【点睛】本题考查了角平分线的性质，勾股定理的应用等，综合性质较强，正确添加辅助线是解题的关键.17. 如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 绕点A 顺时针旋转到△AB 1C 1的位置，点B 、O 分别落在点B 1、C 1处，点B 1在x 轴上，再将△AB 1C 1绕点B 1顺时针旋转到△A 1B 1C 2的位置，点C 2在x 轴上，将△A 1B 1C 2绕点C 2顺时针旋转到△A 2B 2C 2的位置，点A 2在x 轴上，依次进行下去…．若点A （32，0），B （0，2），则点B 2020的坐标为_____．【答案】（6060，2） 【解析】 【分析】首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，B、B2、B4…每偶数之间的B相差6个单位长度，根据这个规律可以求得B2020的坐标．【详解】解：∵点A（32，0），B（0，2），∴AO＝32，BO＝2，∴AB52，∴OA+AB1+B1C2＝32+52+2＝6，∴B2的横坐标为：6，且B2C2＝2，∴B4的横坐标为：2×6＝12，∴点B2020的横坐标为：1010×6＝6060．∴点B2020的纵坐标为：2．故点B2020的坐标为（6060，2）．故答案为：（6060，2）．【点评】本题考查点的坐标规律变换，解题关键是通过图形旋转，找到所有B点之间的关系．题目难易程度适中，可以考察学生观察、发现问题的能力．三、解答题（一）（共3小题，满分18分）18. 计算：（10+|﹣2cos45°+（14）﹣1【答案】5.【解析】【分析】先分别计算0次幂、化简绝对值、特殊角的三角函数值、负指数幂的计算，然后再按运算顺序进行计算即可.【详解】(1112cos454-⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭=1242+⨯+=5.【点睛】本题考查了实数的混合运算，涉及到0次幂、负指数幂的运算，熟练掌握各运算法则是解题的关键.19. 先化简，再求值：2221()4244a a a a a a -÷--++，其中a 是方程a 2+a ﹣6=0的解． 【答案】13. 【解析】【分析】先计算括号里面的，再利用除法化简原式，【详解】22214244a a a a a a ⎛⎫-÷ ⎪--++⎝⎭ ， =()()()()222222a a a a a a -++⋅+- ，=2222a a a a a--+⋅- ， =222a a a a-+⋅-， =2a a +， 由a 2+a ﹣6=0，得a=﹣3或a=2，∵a ﹣2≠0，∴a ≠2，∴a=﹣3，当a=﹣3时，原式=32133-+=-． 【点睛】本题考查了分式的化简求值及一元二次方程的解，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算. 20. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝28°．（1）作AC 边上的垂直平分线DE ，交AC 于点D ，交AB 于点E （用直尺和圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）；（2）连接CE ，求∠BCE 的度数．【答案】（1）详见解析；（2）62°．【解析】【分析】（1）利用基本作图，作DE垂直平分AC；（2）根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EC，则根据等腰三角形的性质得到∠ECA＝∠A＝28°．然后利用两角互余计算∠BCE的度数．【详解】解：（1）如图，DE为所求；（2）∵DE垂直平分AC，∴EA＝EC，∴∠ECA＝∠A＝28°．∴∠BCE＝90°﹣∠ECA＝90°﹣28°＝62°．【点睛】本题考查了作图﹣基本作图，和垂直平分线的性质定理，熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）21. 由于新冠肺炎疫情爆发，某公司根据市场需求代理A、B两种型号的空气净化器，每台A型净化器比每台B型净化器进价多200元，用5万元购进A型净化器与用4.5万元购进B型净化器的数量相等．（1）求每台A型、B型净化器的进价各是多少元？（2）公司计划购进A、B两种型号的净化器共50台进行试销，其中A型净化器为m台，购买资金不超过9.8万元．试销时A型净化器每台售价2500元，B型净化器每台售价2180元．公司决定从销售A型净化器的利润中按每台捐献75元作为公司帮扶疫区贫困居民，设公司售完50台净化器并捐献扶贫资金后获得的利润为W，求W的最大值．【答案】（1）每台A型净化器的进价是2000元，每台B型净化器的进价是1800元；（2）W的最大值为20800元．【解析】【分析】（1）设每台B型净化器的进价是x元，则每台A型净化器的进价是（x+200）元，根据数量＝总价÷单价结合用5万元购进A型净化器与用4.5万元购进B型净化器的数量相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）由总价＝单价×数量结合购买资金不超过9.8万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，根据总利润＝每台的利润×销售数量，即可得出W关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．【详解】（1）设每台B型净化器的进价是x元，则每台A型净化器的进价是（x+200）元依题意，得：50000200x＝45000x解得：x＝1800经检验，x＝1800是原方程的解，且符合题意∴x+200＝2000．∴每台A型净化器的进价是2000元，每台B型净化器的进价是1800元；（2）∵购进A型净化器m台∴购进B型净化器（50-m）台又∵购买资金不超过9.8万元∴2000m+1800（50-m）≤98000∴m≤40依题意：获得的利润W＝（2500-2000-75）m+（2180-1800）（50-m）＝45m+19000；∵45＞0∴W随m的增大而增大∴当m＝40时，W取得最大值，最大值＝45×40+19000＝20800．∴W的最大值为20800元．【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式及一次函数关系式．22. 央行今年推出数字货币，支付方式即将变革，调查结果显示，目前支付方式有：A微信、B支付宝、C 现金、D其他．调查组对某超市一天内购买者的支付方式进行调有统计：得到如图两幅不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）本次一共调查了名购买者；（2）请补全条形统计图．在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角为度．（3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“现金”三种付款方式中选一种方式进行付款，请用树状图或列表法求出两人恰好选择同一种付款方式的概率．【答案】（1）200；（2）108°；（3）1 3【解析】【分析】（1）根据B的人身和所占的百分比可以求得本次调查的购买者的人数；（2）根据统计图中的数据可以求得选择A和D的人数，从而可以将条形统计图补充完整；用360°乘以A 种支付方式所占的百分比即可得出在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角的度数；（3）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合题意的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【详解】解：（1）本次一共调查的购买者有：56÷28%＝200（名）；故答案为：200；（2）D方式支付的有：200×20%＝40（人），A方式支付的有：200﹣56﹣44﹣40＝60（人），补全的条形统计图如图所示：在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角为：360°×60200＝108°；故答案为：108；（3）根据题意画图如下：共有9种等可能的情况数，其中两人恰好选择同一种付款方式的有3种，则两人恰好选择同一种付款方式的概率是39＝13．【点睛】本题考查扇形统计图、条形统计图以及用列树状图法求概率，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．23. 如图，反比例函数y＝kx（k≠0）的图象与反比例函数y＝2x的图象相交于A（1，a），B两点，点C在第四象限，CA∥y轴，连接BC．（1）求k的值及点B的坐标；（2）求tan A的值；（3）当△ABC是直角三角形时，求点C的坐标．【答案】（1）k的值是2，点B的坐标为（﹣1，﹣2）；（2）1tan2A ；（3）点C的坐标是（1，﹣2）或（1，﹣3）．【解析】【分析】（1）代入法，求A的坐标，再求反比例函数的解析式，再求B的坐标；（2）根据正切的定义直接求解；（3）根据直角三角形的性质，结合三角函数，求出各顶点坐标.【详解】解：（1）∵点A（1，a）在直线y＝2x上，∴a＝2×1＝2，即点A的坐标为（1，2），∵点A （1，2），点B 是反比例函数y ＝k x （k ≠0）的图象与反比例函数y ＝2x 图象的交点， ∴k ＝1×2＝2，点B 的坐标为（﹣1，﹣2），即k 的值是2，点B 的坐标为（﹣1，﹣2）；（2）∵点A （1，2），∴tan A ＝12； （3）∵点C 在第四象限，CA ∥y 轴，点A （1，2），点B （﹣1，﹣2），∴当△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°时，点C 的坐标为（1，﹣2）；当△ABC 是直角三角形，∠ABC ＝90°时，设点C 的坐标为（1，c ），cos A ＝22AB AC12=+， ∵点A （1，2），点B （﹣1，﹣2），25,2AB AC c ∴==-222512∴=+解得，c ＝﹣3， 即点C 的坐标为（1，﹣3），由上可得，当△ABC 是直角三角形时，点C 的坐标是（1，﹣2）或（1，﹣3）．【点睛】考核知识点：反比例函数与几何的综合.理解反比例函数和直角三角形的性质是关键.五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）24. 如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，且对角线AC 为直径，AD ＝BC ，过点D 作DG ⊥AC ，垂足为E ，DG 分别与AB ，⊙O 及CB 延长线交于点F 、G 、M ．（1）求证：四边形ABCD 为矩形；（2）若N 为MF 中点，求证：NB 是⊙O 的切线；（3）若F 为GE 中点，且DE ＝6，求⊙O 的半径．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）⊙O 的半径是22．【解析】【分析】（1）根据AC为⊙O直径，得到∠ADC＝∠CBA＝90°，通过全等三角形得到CD＝AB，推出四边形ABCD 是平行四边形，根据矩形的判定定理得到结论；（2）根据直角三角形的性质得到NB＝12MF＝NF，根据等腰三角形的性质和余角的性质即可得到NB是⊙O的切线；（3）根据垂径定理得到DE＝GE＝6，根据四边形ABCD是矩形，得到∠BAD＝90°，根据余角的性质得到∠FAE＝∠ADE，推出△AEF∽△DEA，根据相似三角形的性质列比例式得到AE＝，连接OD，设⊙O的半径为r，根据勾股定理列方程即可得到结论．【详解】解：（1）∵AC为⊙O直径，∴∠ADC＝∠CBA＝90°，在Rt△ADC与Rt△CBA中，AC AC AD BC=⎧⎨=⎩，∴Rt△ADC≌Rt△CBA，∴CD＝AB，∵AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠CBA＝90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）连接OB，∵∠MBF＝∠ABC＝90°，∴NB＝12MF＝NF，∴∠1＝∠2，∵∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∵OB＝OA，∴∠5＝∠4，∵DG⊥AC，∴∠AEF＝90°，∴∠3+∠4＝90°，∴∠1+∠5＝90°，∴OB⊥NB，∴NB是⊙O的切线；（3）∵AC为⊙O直径，AC⊥DG，∴DE＝GE＝6，∵F为GE中点，∴EF＝GF＝3，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，∴∠FAE+∠DAE＝90°，∵∠ADE+∠DAE＝90°，∴∠FAE＝∠ADE，∵∠AEF＝∠DEA＝90°，∴△AEF∽△DEA，∴AE EF DE AE，∴AE＝32，连接OD，设⊙O的半径为r，∴OA＝OD＝r，OE＝r﹣32，∵OE2+DE2＝OD2，∴（r﹣32）2+62＝r2，∴r＝92，∴⊙O的半径是922．【点睛】本题考查了圆周角定理，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，证得AEF∽△DEA是解决（3）的关键．25. 如图，二次函数y＝x2﹣5x+4的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），顶点为C，有一个动点E从点B出发以每秒一个单位向点A运动，过E作y轴的平行线，交△ABC的边BC或AC于点F，以EF 为边在EF右侧作正方形EFGH，设正方形EFGH与△ABC重叠部分面积为S，E点运动时间为t秒．（1）求顶点C的坐标和直线AC的解析式；（2）求当点F在AC边上，G在BC边上时t的值；（3）求动点E从点B向点A运动过程中，S关于t的函数关系．【答案】（1）顶点C的坐标为（59,24-），直线AC的解析式是3322y x=-+；（2）当点F在AC边上，G在BC边上时t的值是157；（3）S＝34t2（0＜t≤32）或S＝﹣94t2+9t﹣274（32＜t≤95）或S＝﹣11116t2+2078t﹣35116（95＜t＜157）或S＝94t2﹣272t+814（157≤t＜3）．【解析】【分析】（1）把y＝x2﹣5x+4化成顶点式，求出顶点C的坐标，y＝x2﹣5x+4化成（x﹣1）（x﹣4），求出A、B的坐标，设AC直线为y＝kx+b，把A、C的坐标代入就能求出直线AC的解析式；（2）设直线BC的解析式是y＝ax+c，把B、C的坐标代入就能求出直线BC，点E坐标为（4﹣t，0），点F坐标为（394,22t t--），求出EF＝9322t-，FG＝2t﹣3，根据EF＝FG，即可求出t的值；（3）可分以下几种情况：①点F在BC上时，如图1重叠部分是△BEF2，此时32t<≤时，点F坐标为（34,2t t--），根据三角形的面积公式即可求出；②I如图2，EB≤EH时重叠部分是直角梯形EFKB，此时3 2＜t≤95，根据三角形的面积公式即可求出；II如图3，EB＞EH，点G在BC下方时，重叠部分是五边形EFKMH，此时91557t<<，9322EF t=-，因为S＝S正方形EFGH﹣S△KMG，根据三角形的面积公式即可求出；Ⅲ．如图4，点G在BC上或BC上方时，重叠部分是正方形EFGH，此时157≤t＜3，根据正方形的面积公式求出即可．【详解】（1）解：∵y＝x2﹣5x+4＝259()24x--，顶点C的坐标为（59,24-），∵y＝x2﹣5x+4＝（x﹣1）（x﹣4），∴点A（1，0），B（4，0），设AC直线为y＝kx+b，得9542k bk b=+⎧⎪⎨-=+⎪⎩，解得：k＝﹣32，b＝32，∴3322y x=-+，答：顶点C的坐标为（59,24-），直线AC的解析式是3322y x=-+．（2）解：设直线BC的解析式是y＝ax+c，把B（4，0），C（52，﹣94）代入得：0＝4a+c且﹣94＝52a+c，解得：a ＝32，c ＝﹣6， 直线BC 的解析式为362y x =-， 当F 在AC 边上，G 在BC 边上时，点E 坐标为（4﹣t ，0），点F 坐标为（394,22t t --）， 得EF ＝9322t -， 而EF ＝FG ，∵抛物线的对称轴和等腰△ABC 的对称轴重合，∴FG ＝52[(4)]232t t --=-， 9322t -＝2t ﹣3， ∴9322t -＝2t ﹣3， 解得157t =， 答：当点F 在AC 边上，G 在BC 边上时t 的值是157． （3）解：点E 坐标为（4﹣t ，0）随着正方形的移动，重叠部分的形状不同，可分以下几种情况：①点F 在BC 上时，如图1重叠部分是△BEF ，此时302t <≤时，点F 坐标为（34,2t t --）， 211332224S EF BE t t t ===，②点F 在AC 上时，点F 坐标为（394,22t t --）又可分三种情况： Ⅰ．如图2，EB ≤EH 时重叠部分是直角梯形EFKB （设FG 与直线BC 交于点K ），此时32＜t ≤95， ∴2193927(23)()922244S t t t t t =+--=-+-， Ⅱ．如图3，EB ＞EH ，点G 在BC 下方时，重叠部分是五边形EFKMH （设FG 与直线BC 交于点K ，GH 与直线BC 交于点M ），此时91557t <<，9322EF t =-， 点H 坐标为（17522t -，0），点M 坐标为（1752715,2244t t --）， 152744HM t =-， 452144GM t =-，15722KG t =-， ∴S ＝S EFGH ﹣S △KMG ＝（3922t -）211574521()()22244t t ---， ＝211120735116816t t -+-， Ⅲ．如图4，点G 在BC 上或BC 上方时，重叠部分是正方形EFGH ，此时157≤t ＜3，∴239()22S t =-＝94t 2﹣272t +814， 答：动点E 从点B 向点A 运动过程中，S 关于t 的函数关系S ＝34t 2（0＜t ≤32）或S ＝﹣94t 2+9t ﹣274（32＜t ≤95）或S ＝﹣11116t 2+2078t ﹣35116（95＜t ＜157）或S ＝94t 2﹣272t +814（157≤t ＜3）． 【点评】本题考查对二次函数与X 轴的交点，用待定系数法求一次函数的解析式，解二元一次方程组，三角形的面积，用十字相乘法分解因式，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，此题是一个拔高的题目，有一定的难度，用的数学思想是分类讨论思想．。