2012届高三数学理科摸底试题

2012数学高考模拟题理科(一)2012高考数学模拟试题（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 参考公式：三角函数和差化积公式 2cos2sin2sin sin ϕθϕθϕθ-+=+ 2sin2cos2sin sin ϕθϕθϕθ-+=- 2cos2cos2cos cos ϕθϕθϕθ-+=+2sin 2sin 2cos cos ϕθϕθϕθ-+-=-第Ⅰ卷（选择题60分）一、选择题：本大题共14小题；第（1）—（10）题每小题4分，第（11）—（14）题每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.每小题选出答案后，用铅笔在下表中将对应答案标号涂黑.（1）若圆台的高为4，母线长为5，侧面积是45π，则圆台的体积是（ ）.（A ）252π （B ）84π （C ）72π （D ）63π（2）若曲线x 2+y 2+a 2x+ (1–a 2)y –4=0关于直线y –x=0的对称曲线仍是其本身，则实数a=（ ）.（A ）21± （B ）22± （C ）2221-或 （D ）2221或-（3）设22παπ<<-，22πβπ<<-.tg α，tg β是方程04332=+-x x 的两个不等实根.则α+β的值为（ ）.（A ）3π（B ）3π- （C ）32π （D ）323ππ--或（4）等边ΔABC 的顶点A 、B 、C 按顺时针方向排列，若在复平面内，A 、B 两点分别对应 的复数为i 321+-和1，则点C 对应的复数为（ ）.（A ）32- （B ）3- （C ）i 322-- （D ）–3（5）对于每一个实数x ，f(x)是y=2–x 2和y=x 这两个函数中的较小者，则f(x)的最大值是（ ）. （A ）1 （B ）2 （C ）0 （D ）–2 （6）已知集合A={(x,y)|y=sin(arccosx)}.B={(x,y)|x=sin(arccosy)有一动点P ，Q 满足A 1P=BQ ，过P 、Q 、C 三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为（ ）.（A ）3:1 （B ）2:1 （C ）4:1 （D ）3:1（11）中心在原点，焦点坐标为（0，25±）的椭圆被直线3x –y –2=0截得的弦的中点的 横坐标为21，则椭圆方程为（ ）. （A ）175225222=+y x （B ）125275222=+y x（C ）1752522=+y x （D ）1257522=+y x（12）已知定义域为R 的偶函数f(x)在[0，+∞）上是增函数，且021(=f ，则不等式 f(log 4x)>0的解集为（ ）.（A ）{x | x>2} （B ）{x | 0<x<21} （C ）{x | 0<x<21或x>2} （D ）{x | 21<x<1或x>2}（13）如图，将边长为5+2的正方形，剪去阴影部分后，得到圆锥的侧面和底面的展 开图，则圆锥的体积是（ ）. （A ）π3302 （B ）π362 （C ）π330 （D ）π360（14）一批货物随17列货车从A 市以V 千米/小时匀速直达B 市，已知两地铁路线长为400 千米，为了安全，两列货车的间距不得小于220⎪⎭⎫ ⎝⎛V 千米，那么这批物质全部运到B市，最快需要（ ）（A ）6小时 （B ）8小时 （C ）10小时 （D ）12小时第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上. （15）函数23cos 3cos sin 2-+=x x x y 的最小正周期是（16）参数方程 （θ是参数）所表示的曲线的焦点坐标是__________.（17）（1+x ）6（1–x ）4展开式中x 3的系数是__________.（18）已知m ，n 是直线，α.β. γ是平面，给出下列命题：①若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β； ②若n ⊥α,n ⊥β,则α∥β； ③若α内不共线的三点到β的距离都相等，则α∥β；④若n ⊂α，m ⊂α且n ∥β,m ∥β，则α∥β⑤若m ，n 为异面直线，且n ⊂α，n ∥β，m ⊂β，m ∥α，则α∥β则其中正确的命题是_________.（把你认为正确的命题序号都填上）.三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 （19）（本小题满分12分） 在ΔABC 中，求2sin 2sin 2sin222CB A ++的最小值.并指出取最小值时ΔABC 的形状，并说明理由.（20）（本小题满分12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BAD=60°，，AD=2，侧棱PB=15，PD=3.（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAD；（Ⅱ）若PD与底面ABCD成60°的角，试求二面角P—BC—A的大小.（21）（本小题满分12分）已知F(x)=f(x)–g(x)，其中f(x)=log a(x–1)，并且当且仅当点（x0，y0）在f(x)的图像上时，点（2x0，2y0）在y=g (x)的图像上.（Ⅰ）求y=g(x)的函数解析式；（Ⅱ）当x在什么范围时，F(x)≥0？（22）（本小题满分12分）某公司欲将一批不易存放的蔬菜，急需从A 地运到B地，有汽车、火车、直升飞机三种运输工具可供选择，三种运输工具的主要参考数据如下：运输工具途中速度途中费用装卸时间装卸费用（千米/小时）（元/千米）（小时）（元）汽车50 8 2 1000火车100 4 4 2000飞机200 16 2 1000若这批蔬菜在运输过程（含装卸时间）中的损耗为300元/小时，问采用哪种运输工具比较好，即运输过程中的费用与损耗之和最小.（23）（本小题满分13分）已知抛物线C的对称轴与y轴平行，顶点到原点的距离为5.若将抛物线C向上平移3个单位，则在x轴上截得的线段为原抛物线C在x 轴上截得的线段的一半；若将抛物线C向左平移1个单位，则所得抛物线过原点，求抛物线C 的方程.（24）（本小题满分13分）已知a>0，a≠1，数列{a n}是首项为a，公比也为a的等比数列，令b n=a n lga n（n∈N）（Ⅰ）求数列{b n}的前n项和S n；（Ⅱ）当数列{b n}中的每一项总小于它后面的项时，求a的取值范围.2012高考数学试题（理科）评分参考标准2000．6一、选择题（1）B；（2）B；（3）C；（4）D；（5）A；（6）D；（7）A；（8）A；（9）D；（10）B；（11）C；（12）C；（13）A；（14）B.二、填空题（15）π； （16）)21,3(-； （17）–8； （18）②，⑤. 三、解答题 （19）解：令2sin 2sin 2sin 222CB A y ++=2cos 12cos 12cos 1CB A -+-+-=……………………………………1分)cos cos (cos 2123C B A ++-=)2sin 212cos 2cos 2(21232B C A C A -+-+-= (3)分∵在ΔABC 中，222BC A -=+π，∴2sin 2cosBC A =+…………………4分又12cos ≤-CA . ∴)2sin 212sin 2(21232B B y -+-≥…………………………………………6分12sin 2sin 2+-=BB43)212(sin2+-=B …………………………………………………………8分12cos=-CA ，当 时，y 取得最小值43.…………………………………9分 212sin =B由12cos=-CA 知A=C ，………………………………………………………10分 由212sin =B 知︒=302B，B=60°.……………………………………………11分故A=B=C=60°，即y 取最小值43时，ΔABC 的形状为等边三角形.…………………………12分 （20）（1）证：由已知AB=4，AD=2，∠BAD=60°，故BD2=AD2+AB2–2AD •ABcos60°1=12.……=4+16–2×2×4×2…………………………………1 分又AB2=AD2+BD2，∴ΔABD是直角三解形，∠ADB=90°，即AD⊥BD.……………………………3分在ΔPDB中，PD=3，PB=15，BD=12，∴PB2=PD2+BD2，故得PD⊥BD.……………………………………………5分又PD∩AD=D，∴BD⊥平面PAD.…………………………………………6分（2）由BD⊥平面PAD，BD⊂平面ABCD.∴平面PAD⊥平面ABCD.……………………………………………………7分作PE⊥AD于E，又PE⊂平面PAD.∴PE ⊥平面ABCD.∴∠PDE 是PD 与底面ABCD 所成的角，∴∠PDE=60°………………8分 ∴PE=PDsin60°=23233=⋅.作EF ⊥BC 于F ，连PF ，则PF ⊥BC. ∴∠PFE 是二面角P —BC —A 的平面角.……………………………………10分 又EF=BD=12，在ΔRt ΔPEF 中，433223===∠EF PE PFE tg .故二面角P —BC —A 的大小为43arctg.…………………………………12分（21）解：（1）由点（x 0，y 0）在y=log a （x –1）的图像上，y 0=log a （x 0–1），…………1分 令2x 0=u ，2y 0=v ，则2,200vy u x ==， ∴)12(log 2-==v u a ，即)12(log 2-=v u a .…………………………3分由（2x 0，2y 0）在y=g （x ）的图像上，即（u ，v ）在y=g （x ）的图像上. ∴)12(log 2)(-==xx g y a .……………………………………………4分（2）)12(log 2)1(log)()()(---=-=xx x g x f x F aa .由F(x)≥0，即0)12(log 2)1(log ≥---xx aa①…………………5分当a>1时，不等式①等价于不等式组2)12(1-≥-xxx –1>0012>-x……………………………………………………………6分x 2–8x+8≤0224≤≤-x x>2x>22242+≤<⇒x .………………………………………………………8分当0<a<1时，不等式①等价于不等式组2)12(1-≤-xxx>112>x ………………………………………………………………………9分8x+8≥0 x ≤4–22或x 22x>2 x>2224+≥⇒x .…………………………………………………………11分故当a>1，2<x ≤224+时，F(x)≥0；当0<a<1， x ≥224+时，F(x)≥0.……………………………………………………12分（22）解：设A 、B 两地的距离为S 千米，则采用三种运输工具运输（含装卸）过程中的费用 和时间可用下表给出：运输工具 途中及装卸费用 途中时间 汽车 8S+1000 250+S火车 4S+2000 4100+S飞机16S+1000 2200+S分别用F 1，F 2，F 3表示用汽车、火车、飞机运输时的总支出，则有 F 1=8S+1000+（250+S）×300=14S+1600，…………………………………2分F 2=4S+2000+（4100+S）×300=7S+3200，…………………………………4分F 3=16S+1000+（2200+S）×300=17.5S+1600.……………………………6分 ∵S>0，∴F 1<F 3恒成立.………………………………………………………7分而F 1–F 2<0的解为71600<S ，………………………………………………8分F 2–F 3<0的解为213200>S ，…………………………………………………9分则，（1）当71600<S （千米）时，F 1<F 2，F 1<F 3，此时采用汽车较好；…………………………………………………………………………………10分（2）当71600=S （千米）时，F 1=F 2<F 3，此时采用汽车或火车较好；………………………………………………………………………………11分（3）当71600>S （千米）时，F 1>F 2，并满足F 3>F 2，此时采用火车较好；……………………………………………………………………………12分（23）解：设所求抛物线方程为(x –h)2=a(y –k) (a∈R ，a ≠0) ①…………………………1分由①的顶点到原点的距离为5，则522=+k h ②…………………………2分在①中，令y=0，得x 2–2hx+h 2+ak=0.设方程二根为x 1，x 2，则|x 1–x 2| =ak -2.……………………………………………………3分将抛物线①向上平移3个单位，得抛物线的方程为（x –h ）2=a （y –k –3），……………………………………………………4分令y=0，得x 2–2hx+h 2+ak+3a=0.设方程二根为x 3，x 4，则|x 3–x 4| =a ak 32--.…………………………………………………5分 依题意得a ak 32--=ak -⋅221，即 4（ak+3a ）=ak③ …………………6分将抛物线①向左平移1个单位，得（x –h+1）2=a （y –k ）， …………………7分由过原点，得(1–h)2=–ak ④ …………………8分由②③④解得a=1，h=3，k=–4或a=4，h=–3，k=–4 …………………11分所求抛物线方程为（x –3）2=y+4，或（x+3）2=4（y+4）. ………………………………………………13分（24）解：（Ⅰ）由题意知a n =a n ，b n =na n lga. ………………………………………………2分∴S n =（1 • a+2 • a 2+3 • a 3+……+n • a n ）lga.a S n =（1 • a 2+2 • a 3+3 •a 4+……+n • a n+1）lga.以上两式相减得（1–a ）S n =（a+a 2+a 3+……+a n –n • a n+1）lga ……………………………4分a a n a a a n n lg ]1)1([1+⋅---=.∵a ≠1，∴])1(1[)1(lg 2n n a na n a a a S -+--=. ………………………6分（Ⅱ）由b k+1–b k =(k+1)a k+1lga –ka k lga=a k lga[k(a –1)+a]. ………………………………………………7分由题意知b k+1–b k >0，而a k >0， ∴lga[k(a –1)+a]>0. ①……………………………………………8分（1）若a>1，则lga>0，k(a –1)+a>0，故a>1时，不等式①成立；……………………………………………………………………10分（2）若0<a<1，则lga<0， 不等式①成立0)1(<+-⇔a a k 10+<<⇔k k a 恒成立21)1(0min =+<<⇔k k a .……………………12分综合（1）、（2）得a 的取值范围为),1()21,0(+∞⋃. ………………13分。

北京市通州区2012届高三上学期期末摸底考试数学（理科）试卷2012年1月本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，第I 卷第1至2页，第II 卷2至4页，共150分．考试时间长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试题卷上作答无效．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷 （选择题 共40分）一、本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．把正确答案选项的标号填涂在答题卡上．1．已知集合{} |10A x x =-<，{} |1,2B x x x =<->或，那么A B 等于 A ．{}1x x <-B ．{}1x x <C ．{}|1,2x x x <->或D ．{} |1,2x x x <>或 2．复数11ii-+等于 A ．1- B ．i - C ．1 D ．i3．已知向量()1,2=-a ，(),4m =b ，且//a b ，那么2-a b 等于 A ．()4,0 B ．()0,4 C ．()4,8-D ．()4,8-4．已知右图中的三个直角三角形是一个几何体的三视图，那么这个几何体的体积等于A ．30B ．20C ．15D ．105．已知,a b ∈R ，那么“1122log log a b >”是 “33ab<”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．如右图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，45ACB ∠=︒，105CAB ∠=︒后，就可以计算出A ，B两点的距离为（其中2 1.414=⋅⋅⋅，3 1.732=⋅⋅⋅，精确到0.1） A ．70.7mB ．78.7mC ．86.6mD ．90.6m7．过圆()()22125x y -++=上一点()3,1M -的切线方程是 A ．270x y --= B ．250x y +-= C．210x y +-=D ．250x y --=8．当()3,4x ∈时，不等式()()2log 230a x x -+-<恒成立，则实数a 的取值范围是 A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．(]1,2D ．[)2,+∞第Ⅱ卷 （非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡相应的位置上.9．在二项式61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，含4x 的项的系数是___________.10．已知x ，y 满足不等式组 3,1,30,x y x y x +⎧⎪--⎨⎪-⎩≥≥≤ 那么2z x y =+的最小值是___________.11．如图，已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于点B ，4PA =，圆O 的半径是23，那么__________.PB =12．已知数列{n a } 是公差为正数的等差数列，且121a a +=，2310a a ⋅=，那么数列{n a }的前5项的和5__________.S = 13．下面四个命题：①已知函数(),0,,0,x x f x x x ⎧⎪=⎨-<⎪⎩≥ 且()()44f a f +=，那么4a =-；②一组数据18，21，19，a ，22的平均数是20，那么这组数据的方差是2；③已知奇函数()f x 在(0,)+∞为增函数，且(1)0f -=，则不等式()0f x <的解集{}1x x <-；④在极坐标系中，圆4cos ρθ=-的圆心的直角坐标是()2,0-. 其中正确的是___________________.14．直线l 与椭圆()222210x y a b a b+=>>交于不同的两点M ，N ，过点M ，N 作x 轴的垂线，垂足恰好是椭圆的两个焦点，已知椭圆的离心率是22，直线l 的斜率存在且不为0，那么直线l 的斜率是___________.三、解答题：本大题共6个小题，共80分.解答题写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15．（本小题共13分）已知函数()()2sin 22cos 1f x x x =π-+-.（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和最大值； （Ⅱ）求函数()f x 在区间3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 16．（本小题共13分）如图，四边形ABCD 是矩形，BC ⊥平面ABEF ，四边形ABEF是梯形，90EFA FAB ∠=∠=︒，EF FA ==112AD AB ==，点M 是DF 的中点. （Ⅰ）求证：//BF 平面AMC ； （Ⅱ）求二面角B AC E --的余弦值.17．（本小题共13分）有甲、乙等7名选手参加一次讲演比赛，采用抽签的方式随机确定每名选手的演出顺序（序号为1，2，…，7）. （Ⅰ）甲选手的演出序号是1的概率；（Ⅱ）求甲、乙两名选手的演出序号至少有一个为奇数的概率； （Ⅲ）求甲、乙两名选手之间的演讲选手个数X 的分布列与期望.18．（本小题共13分）已知函数x ax x f ln )(=，在点))(,(e f e 处的切线与直线40x y -=平行.（Ⅰ）求函数)(x f 的解析式；（Ⅱ）求函数()f x 在[](),20m m m +>上的最小值.19．（本小题共14分）已知数列{}n a 中，1a a =，22a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且()123n n S n a a =+，n N *∈.（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）若()()1221,82,n n n n b n a a++=⎧⎪=⎨⎪⋅⎩≥ n T 是数列{}n b 的前n 项和， 且2222n n n a T m a ++⋅<⋅+对一切n N *∈都成立，求实数m 取值范围.20．（本小题共14分）已知抛物线()2:0C x ay a =>，斜率为k 的直线l 经过抛物线的焦点F ，交抛物线于A ，B 两点，且抛物线上一点(22,)(1)M m m >到点F 的距离是3.（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若k > 0，且3AF FB =，求k 的值.（Ⅲ）过A ，B 两点分别作抛物线的切线，这两条切线的交点为点Q ，求证：0AB FQ =.(考生务必将答案答在答题卡上,在实体卷上作答无效)摸底考试参考答案2012、1 一、选择题1． D 2． B 3．C 4． D 5． A 6．A 7．B 8． B二、填空题9． 6 10．3 11．2 12．25 13．②，④ 14．22± 三、解答题15． 解：（Ⅰ）因为()()2sin 22cos 1f x x x π=-+-，所以()sin 2cos2f x x x =+2sin 24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. …………………………..3分 所以2.2πωπ== ………………………….. 5分又因为1sin 214x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭， 所以()22f x -≤≤.所以函数()f x 的最小正周期是π；最大值是2. ………………………….. 7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知()f x 2sin 24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.因为344x ππ≤≤， 所以372444x πππ≤+≤. ………………………….. 9分所以当3244x ππ+=，即4x π=时，函数()f x 有最大值是1；当3242x ππ+=，即58x π=时，函数()f x 有最小值是2-.所以函数()f x 在区间3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是1，最小值是2-. ………………………. 13分16． （Ⅰ）证明：连结BD ，交AC 于点G ，∴点G 是BD 的中点. ∵点M 是DF 的中点，∴MG 是BDF ∆的中位线. ∴//.BF MG ∵MG ⊂平面AMC ，BF ⊄平面AMC ， ∴//BF 平面A. ………………………….. 5分（Ⅱ）解：以A 为原点，以AF ，AB ，AD 分别为x ， y ，z 轴建立空间直角坐标系. ……………….. 4分∴()0,0,0A ，()0,2,1C ，()1,1,0E ，()1,0,0F ，∴()0,2,1AC = ，()1,1,0AE = ，()1,0,0AF =. 设平面ACE 的法向量(),,n x y z =， ∴0n AC ⋅= ，0n AE ⋅=.∴ 20,0.y z x y +=⎧⎨+=⎩令1x =，则1y =-，2z =.∴()1,1,2n =-.又AF是平面ACB 的法向量，∴cos ,n AF n AF n AF⋅=⋅16.661==⨯ 如图所示，二面角B AC E --为锐角.∴二面角B AC E --的余弦值是6.6………………………….. 13分17．解：（Ⅰ）设A 表示“甲选手的演出序号是1”， 所以()1.7P A =所以甲选手的演出序号是1的概率为1.7………………………….. 3分（Ⅱ）设B 表示“甲、乙两名选手的演出序号至少有一个为奇数”，B 表示“甲、乙两名选手的演出序号都是偶数”.所以()()2327611.7A PB P B A =-=-=所以甲、乙两名选手的演出序号至少有一个为奇数的概率为6.7……………………….. 6分（Ⅲ）X 的可能取值为0，1，2，3，4，5， ……………………….. 7分所以()2712207P X A ===，()27105121P X A ===，()2784221P X A ===， ()276137P X A ===，()2742421P X A ===，()2721521P X A ===. ……………………….. 10分所以X 的分布列为X 0 1 2 3 4 5P27 521 421 17 221 121………………….. 12分 所以2541210123457212172121EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯5.3= …………………..13分18．解：（Ⅰ）因为函数x ax x f ln )(=，所以定义域为()0,+∞，()'()ln 1f x a x =+. ………………………..2分因为在点))(,(e f e 处的切线与直线40x y -=平行，所以'()4f e =，即()ln 14a e +=. ………………………..4分 所以 2.a =所以()2ln .f x x x = ……………………….. 5分（Ⅱ）由（Ⅰ）()'()2ln 1f x x =+，令'()0f x =，得1x e=. 当1(0,)x e∈时，'()0f x <，所以函数()f x 在1(0,)e上单调递减；当),1(+∞∈e x 时，0)('>x f ，所以函数),1()(+∞e x f 在上单调递增.所以①若()1,2m m e ∈+时，函数()f x 的最小值是12()f e e =-；②若12m m e≤<+时，函数()[,2]f x m m +在上单调递增，所以函数()f x 的最小值是()2ln .f m m m = ………………….. 13分19．解：（Ⅰ）因为()123n n S n a a =+，11S a a ==，所以0.a = …………………….. 3分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 2n n na S =， 所以()111.2n n n a S +++=所以()1111.22n n n n n n a na a S S ++++=-=-所以()11.n n n a na +-=所以当2n ≥时，1.1n n a na n +=- 所以11n n a n a n +=-112n n a n a n --=-，，⋅⋅⋅，3221a a =， 所以12.n a n a += 所以()21n a n =-，2n ≥. 因为10a a ==满足上式，所以()21n a n =-，n N *∈. ………………………….. 6分（Ⅲ）当2n ≥时，()()82112.22111n b n n n n n n ⎛⎫===- ⎪⋅+++⎝⎭…………………………..7分又12b =， 所以12n n T b b b =++⋅⋅⋅+1111222231n n ⎛⎫⎛⎫=+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭………………………….. 9分112221n ⎛⎫=+- ⎪+⎝⎭311n n +=+ 所以31.1n n T n +=+ ……………………….. 10分因为2222n n n a T m a ++⋅<⋅+对一切n N *∈都成立， 即()()231214121n n m n n ++⋅<⋅+++对一切n N *∈都成立.所以2331..122122n m n n n n>=++++. ……………………….. 12分因为12n n+≥，当且仅当1n n =，即1n =时等号成立.所以124n n ++≥.所以11142n n ≤++所以3.8m > ……………………..14分20．解：（Ⅰ）因为点()22,M m 在抛物线()2:0C x ay a =>上，所以8am =.因为点()22,M m 到抛物线的焦点F 的距离是3，所以点()22,M m 到抛物线的准线4ay =-的距离是3.所以 3.4am += 所以8 3.4aa +=所以4a =，或8.a = ……………………….. 3分 因为1m >，所以4a =. .. 4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知24.x y =因为直线l 经过点()0,1T ，3AF FB =所以直线l 的斜率一定存在，设直线l 的斜率是k . 所以直线l 的方程是1y kx =+，即10kx y -+=.所以联立方程组210,4,kx y x y -+=⎧⎨=⎩ 消去y ，得2440.x kx --= ………………………..5分所以221,24161622 1.2k k x k k ±+==±+ 因为3AF FB = ，且0k > 所以()222213212.k k k k ++=⋅+- …………………….. 7分 所以212.k k += 所以21.3k = 所以33k =（舍负） 所以k 的值是3.3 ………………….. 8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，方程组210,4,kx y x y -+=⎧⎨=⎩ 得2440.x kx --= 设()11,A x y ，()22,B x y ， 所以()()()21212121,,.AB x x y y x x k x x =--=-- …………………….. 9分由24x y =，所以21.4y x = 所以1.2y x '= 所以切线QA 的方程是()11112y y x x x -=-， 切线QB 的方程是()2221.2y y x x x -=- ………………………….. 11分所以点Q 的坐标是()2,1k -，所以()2,2.FQ k =-所以0.AB FQ ⋅= …………………………..14分。

2012届高三质量调查试卷（一）数学试题（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

1．每题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答在试卷上无效。

2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P B P A P B ⋃=+ ()()()P AB P A P B =⋅圆柱的体积公式V Sh = 棱锥的体积公式13V Sh =其中S 表示圆柱的底面积 其中S 表示棱锥的底面积 h 表示圆柱的高h 表示棱锥的高一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．i 是虚数单位，复数22(1)i i ++等于（ ） A ．12i -+ B ．12i -- C ．12i + D ．12i -2．已知向量(1,2),(cos ,sin ),//,tan()4a b a b πααα==+= 且则（ ） A ．-3 B ．3C ．13-D ．13 3．下列说法正确的是（ ）A ．命题“若lg lg ,a b a b >>则”的逆命题是真命题B ．命题“,20x x R ∀∈>”的否定是“00,20x x R ∃∈≤”C ．若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则命题“p q ∧”为真命题D ．“12s i n α=”是“6πα=”的充分不必要条件4．阅读右边的程序框图，若输出S 的值为52，则判断框内可填写（ ）A ．10?i ≤B ．10?i <C ．9?i ≤D ．9?i <5．已知{}n a 是首项为1的等比数列，且1234,2,a a a 成等差数列，则数列1{}n a 的前5项的和为 （ ）A ．31B ．32C ．3116D ．3132 6．设点P 是双曲线22221(0,0)xy a b a b -=>>与圆2222x y a b +=+在第一象限的交点，其中F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点，且12||2||PF PF =，则双曲线的离心率为 （ ）A ．2B ．C ．2D 7．设函数244,1()43,1x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩，则函数2()()l o g g x f x x =-的零点个数为 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个8．已知函数2221,0,()21,0.x x x f x x x x ⎧+-≥⎪=⎨--<⎪⎩则对任意1221,,||||0x x R x x ∈>>若，下列不等式成立的是（ ）A ．12()()0f x f x +>B ．12()()0f x f x +<C ．12()()0f x f x ->D ．12()()0f x f x -<第Ⅱ卷请在答题卡指定区．．．．．．域．内作答，答在试卷上的无效，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2012届高三摸底考试数学试题(理科)本卷分选择题非选择题两部分，共4页，满分150分.考试用时间120分钟. 注意事项：1． 考生务必将自己的姓名、班级、学校用蓝、黑墨水钢笔签字笔写在答题卷上；2． 选择题、填空题每小题得出答案后，请将答案填写在答题卷相应指定位置上。

答在试题卷上不得分；3．考试结束，考生只需将答题卷交回.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分。

满分40分．在每小题给出的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的1. 已知全集U R =，集合{}2|1P x x =≤，那么U C P =( )A.(),1-∞-B. ()1,+∞C. ()1,1-D. ()(),11,-∞-+∞2. 设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,33.若12ω=-,则等于21ωω++=( ) A ．1 B ．0 C．3 D．1- 4. 若平面向量与向量)1,2(=平行，且52||=，则=( )A ．)2,4(B ．)2,4(--C ．)3,6(-D ．)2,4(或)2,4(-- 5. 若f (x )＝x 2－x ＋a ，f (－m )＜0，则f (m ＋1)的值( )A ．正数B ．负数C ．非负数D ．与m 有关6. 如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12．则该几何体的俯视图可以是（ ）7. 设,x y 满足约束条件04312x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则221y x ++的最大值是（ ）A. 5B. 6C. 8D.10D ．8. 定义在R 上的周期函数f(x),周期T=2，直线x=2是它的图象的一条对称轴，且f(x)在 [-3，-2]上是减函数，如果A 、B 是锐角三角形的两个内角，则（ ） A (sin )(cos )f A f B > B (cos )(sin )f B f A > C (sin )(sin )f A f B > D (cos )(cos )f B f A >二、填空题：本大题共6小题，每小题5分．满分30分.9. 函数y =的定义域是____________10. 等比数列n a 中，44a =，则26a a ⋅等于____________11. 曲线211y x =+在点1x =处的切线与y 轴交点的纵坐标是__________12. 函数()f x 的定义域为A ，若12,x x A ∈且()()12f x f x =时总有12x x =，则称()f x 为单函数．例如，函数()()21f x x x R =+∈是单函数.下列命题中是真命题有____________．（写出所有真命题的编号）①函数()()2f x x x R =∈是单函数； ②指数函数()()2x f x x R =∈是单函数；③若()f x 为单函数,12,x x A ∈且12x x ≠，则()()12f x f x ≠； ④在定义域是单调函数的函数一定是单函数．13. 在△ABC 中，若1a b ==，c ，则C ∠= .14. 若关于x 的方程x －1x ＋k ＝0在x ∈(0,1]时没有实数根，则k 的取值范围是________．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答必须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. (本小题满分12分)已知函数2()2sin cos f x x x x =-(1) 求函数的最小正周期及最小值； (2) 求函数()f x 的单调递增区间.16. (本小题满分12分)某批发市场对某种成衣的周销售量（单位：千件）进行统计,最近100周的统计结果如下表所示：(1)根据上面统计结果,求周销售量分别为2千件,3千件和4千件的频率；(2)已知每千件该种成衣的销售利润为2千元,ξ表示该种成衣两周销售利润的和（单位：千元）.若以上述频率作为概率,且各周的销售量相互独立,求ξ的分布列和数学期望.17. (本小题满分14分)如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，11,2AC BC CC ===，点D 、E 分别是1AA 、1CC 的中点.（1）求证：//AE 平面1BC D ； （2）证明：平面1BC D ⊥平面BCD ； （3）求CD 与平面1BC D 所成角的正切值.18. (本小题满分14分)某出版社新出版一本高考复习用书，该书的成本为5元/本，经销过程中每本书需付给代理商m 元（1≤m ≤3）的劳务费，经出版社研究决定，新书投放市场后定价为x 元/本（9≤x ≤11），预计一年的销售量为2)20(x -万本．（1）求该出版社一年的利润L （万元）与每本书的定价x 的函数关系式；（2）当每本书的定价为多少元时，该出版社一年的利润L 最大，并求出L 的最大值)(m R .A 1B 1DA BC图519. (本小题满分14分)已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点F 与抛物线24y x =的焦点重合，且截抛物线45的直线l 过点F . （1）求该椭圆的方程；（2）设椭圆的另一个焦点为1F ，问抛物线x y 42=上是否存在一点M ，使得M 与1F 关于直线l 对称，若存在，求出点M 的坐标，若不存在，说明理由.20. (本小题满分14分)已知数列{}n a ,122a a ==,112(2)n n n a a a n +-=+≥ （1）求数列{}n a 的通项公式n a . （2）当2n ≥时,求证:12111...3na a a +++< （3）若函数()f x 满足：2*1(1),(1)()().()f a f n f n f n n N =+=+∈， 求证：111.()12nk f k =<+∑2012届高三数学摸底试题（理）答案一、选择题： DABDB CDA二、填空题：9.{}|32x x -<< , 10. 16, 11. 10, 12. ②③④. 13.23π 14. (－∞，0)三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答必须写出文字说明、证明过程和演算步骤.15.(本小题满分12分)已知函数2()2sin cos f x x x x =-(1) 求函数的最小正周期及最小值； (2) 求函数()f x 的单调递增区间；解:(1)∵f (x)= 23cos 2x -2sin x cos x -3=3(cos2x +1)-sin2x -3………2分=2cos(2x +6π)…4分 最小正周期为π………6分 当22()62x k k Z πππ+=+∈时，即()6x k k Z ππ=+∈函数有最小值2- ………8分（2） 22 26k x k ππππ-≤+≤ ………10分7,1212k x k k Z ππππ∴-≤≤-∈………12分 函数()f x 的单调递增区间为 7[,],1212k k k Z ππππ--∈………12分 16.(本小题满分12分)解：(1) 周销售量为2千件,3千件和4千件的频率分别为0.2,0.5和0.3. ……….3分 (2)ξ的可能值为8,10,12,14,16,且…………………………………………….5分P （ξ=8）=0.22=0.04,P （ξ=10）=2×0.2×0.5=0.2,P （ξ=12）=0.52+2×0.2×0.3=0.37,P （ξ=14）=2×0.5×0.3=0.3,P （ξ=16）=0.32=0.09.ξ的分布列为E ξ=8×0.04+10×0.2+12×0.37+14×0.3+16×0.09=12.4（千元）…………….12分…………………9分17．(本小题满分14分)如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，11,2AC BC CC ===，点D 、E 分别是1AA 、1CC 的中点.（1）求证：//AE 平面1BC D ； （2）证明：平面1BC D ⊥平面BCD （3）求CD 与平面1BC D 所成角的正切值； （1）证明：在矩形11ACC A 中， 由11//,C E AD C E AD = 得1AEC D 是平行四边形。