2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：随堂巩固训练50
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随堂巩固训练(50)
1. 抛物线y＝12x2的焦点坐标为 0，12 .
解析：将抛物线y＝12x2化为x2＝2y，所以p＝1，p2＝12，则焦点坐标为0，12.
2. 在给定的椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为
22 .
解析：设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，则有2b2a＝2且a2c－c＝1，解得e＝22.
3. 两条对称轴与坐标轴重合，离心率e＝0.8，焦点与相应准线的距离等于94的椭圆的方程是 x225＋y29＝1或y225＋x29＝1 .
解析：因为e＝0.8，所以ca＝45.又焦点到相应准线的距离为a2c－c＝94，所以54c2c－c＝94，解得c＝4，则a＝54c＝5，b2＝a2－c2＝25－16＝9，所以所求椭圆方程为x225＋y29＝1或y225＋x29＝1.
4. 已知双曲线C：x216－y2b2＝1(b>0)的渐近线方程为3x±4y＝0，则双曲线C的准线方程为 x＝±165 .
解析：由题意可知b4＝34，解得b＝3，则c2＝a2＋b2＝25，c＝5，故双曲线C的准线方程为x＝±165.
5. 已知椭圆x25＋y24＝1的中心为A，右准线为l，则以A为顶点，l为准线的抛物线方程为 y2＝－20x .
解析：椭圆的中心为原点，右准线方程为x＝5，从而p2＝5，p＝10.由题意可知，抛物线开口向左，故抛物线的标准方程为y2＝－20x.
6. 已知F为抛物线y2＝4x的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A到其准线的距离为5，则直线AF的斜率为
43 .
解析：设点A(xA，yA)，由题意得xA＋p2＝5，所以xA＝4，所以yA＝4，即点A(4，4)，所以直线AF的斜率为4－04－1＝43.
7. 若双曲线x2m－y2＝1上的点到左准线的距离是到左焦点距离的13，则m＝
18 . Earlybird
解析：由题意可得e＝m＋1m，由双曲线的第二定义知，e＝m＋1m＝3，解得m＝18.
8. 若双曲线mx2－2my2＝4的一条准线是y＝1，则实数m＝
－23 .
解析：由题意得双曲线的实轴在y轴上，则m<0，所以－2m－6m＝1，解得m＝－23.
9. 平面内有一长度为4的线段AB，动点P满足PA＋PB＝6，则PA的取值范围是 [1，5] .
解析：由题意得，动点P在以A，B为焦点，长轴长为6的椭圆上，所以a＝3，c＝2，所以PA的最小值为a－c＝1，最大值为a＋c＝5，所以PA的取值范围是[1，5].
10. 已知椭圆C：x22＋y2＝1的右焦点为F，右准线为l，点A在直线l上，线段AF与椭圆C交于点B.若|FA→|＝3|FB→|，求|AF→|的值.
解析：由题设知F(1，0)，直线l的方程为x＝2，离心率e＝22.
设点B到直线l的距离为d，则FB＝22d，所以AF＝322d.
由三角形相似得d1＝23，即d＝23，所以|AF→|＝2.
11. 已知P是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上的点，点P与两焦点F1，F2的连线互相垂直，且点P到两准线的距离分别为d1＝6，d2＝12，求椭圆的方程.
解析：由圆锥曲线的定义知PF1＝ed1，PF2＝ed2.
因为PF21＋PF22＝F1F22，所以e2d21＋e2d22＝(2c)2，
所以c2a2(62＋122)＝4c2，即a2＝45.
又PF1＋PF2＝2a，所以PF21＋PF22＋2PF1·PF2＝4a2，
即4c2＋2e2d1d2＝4a2，即4c2＋144c2a2＝4a2＝4×45，
解得c2＝45281＝25，b2＝a2－c2＝20，所以椭圆方程为x245＋y220＝1.
12. 已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心离为12，右焦点为F，且椭圆E上的点到点F距离的最小值为2.
(1) 求椭圆E的方程；
(2) 设椭圆E的左、右顶点分别为A，B，过点A的直线l与直线x＝8交于点N，当过A，F，N三点的圆半径最小时，求这个圆的方程.
解析：(1) 由题意知ca＝12，a－c＝2，所以a＝4，c＝2，所以b2＝a2－c2＝12，
所以椭圆E的方程为x216＋y212＝1. Earlybird
(2) 设点N(8，t)，圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
因为圆过点A(－4，0)，F(2，0)，N(8，t)，
所以联立方程组（－4）2－4D＋F＝0，22＋2D＋F＝0，82＋t2＋8D＋tE＋F＝0，解得D＝2，E＝－72＋t2t，F＝－8，所以圆的方程为x2＋y2＋2x－(t＋72t)y－8＝0，即(x＋1)2＋[y－12(t＋72t)]2＝9＋14t＋72t2.
因为t＋72t2≥(272)2，当且仅当t＝72t，即t＝±62时取等号，圆的半径最小，
故所求圆的方程为x2＋y2＋2x±122y－8＝0. Earlybird
