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实变函数课件

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推荐实变函数全总结课件

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k 1
k 1
g
g
又B ~ A*, 所以B \ Bk ~ A* \ Ak1
3 对等与基数
1）设A,B是两非空集合，若存在着A到B的 一一映射（既单又满），则称A与B对等,
记作 A ~ B 约定 ~
注：称与A对等的集合为与A有相同的 势（基数），记作
A
势是对有限集元素个数概念的推广
2)性质
1)自反性：A ~ A;
2)对称性：A ~ B B ~ A;
3)传递性：A ~ B, B ~ C A ~ C;
基数的大小比较
1)若A ~ B,则称A B；
2)若A ~ B1 B,则称A B； 相当于：A到B有一个单射，也相当于B到A有一个满射
3)若A B,且A B，则称A B 注：不能用A与B的一个真子集对等描述
如：(1,1) ~ (1,1) (, )
4 Bernstein定理
设A, B是两个集，若有A的子集A*，使B ~ A*, 及B的子集B*，使A ~ B*,则A ~ B.
]
1
2
]
3
4
limAn(limsup An)
n
n
{x : N, n N,使x An}
An
N 1n N
limAn(liminf An)
n
n
{x : N,n N,有x An}
An
N 1nN
（补充）例1
{x : lim n
fn (x)
f
(x)}
{x :|
fn (x)
4.上、下极限集
设A1, A2,, An ,是一个集合序列
上极限集
limAn (或lim supAn )
n
n

实变函数论课件5 开集、闭集、完备集

实变函数论课件5 开集、闭集、完备集

命题 3 （ii）E 是闭集。
O( x', ')
利用 ( E )' ( E E ' )' E ' ( E ' )' E ' E ' E ' E 可得 E为闭集
E
命题 3 （i）E 是闭集。（ii）E 是闭集。
证明
（i）设 x0 (E), 则对 0, 点 x1 U (x0, ) s.t. x1 E. 由第一节命题 3 知, 0 , 使U( x1, ) U( x0, ).
（ii） 只须证两个开集 G1、G2 的交 G1 G2 是开集.
设x0 G1 G2 , 则 x0 G1 且 x0 G2 , 从而存在正数 1、
2 使 U (x0 ,1 ) G1、U (x0 , 2 ) G2 .
由第一节命题 （3 iii）, 存在 0 使 U (x0 , ) U (x0 , i ) （i 1,2）, 从而U (x0 , ) G（i i 1,2）, U (x0 , ) G1 G2 ,
故 x0 是G1 G2 的内点, 所以 G1 G2 是开集.
（iii）设
x0
I
G
,则存在 0

I
使
x0
G0 .由G0
是
开集知存在 0 使U (x0 , ) G0 , 从而U (x0 , )
G ,故
I
x0
是 I
G
的内点. 所以 G I
i.e., 没有孤立点的集合就是自密集。
定义5 设 E 是 RN 中的点集, 若 E E, 就称 E 是完备集。
因此, 完备集就是自密的闭集 (E E,E E ). i.e., 没有孤立点的闭集就是完备集。

实变函数论第三版PPT课件

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N 1 n N n 1

n
24
单调减集列极限分析
lim A (lim inf
n n n
An )
lim A (lim sup A )
n n n n
{x : N , n N , 有x An } An
N 1 n N
{x : N , n N , 使x An } An
limA
n
n
A
22
单调增集列极限
若集列 {An }满足An An1 (n N ),则称{An }为单调增加 ; 若集列 {An }满足An An1 (n N ),则称{An }为单调减少 ;
定理 9 ：单调集列是收敛的
1)若{ An }单调增加, 则 lim An An ;
1．集合的几种表示法
我们在诸如《数学分析》等前期课程中已接触 过集合这个概念，所谓集合，指的是具有某种 特定性质的对象的全体，通常用大写英文字母 A，B，X，Y…等表示；集合中的每个对象称 为该集合的元素。一般说来，我们总用小写字 母a,b,x,y…表示集合中的元素。
3
集合及其运算
对于集合 A ，某一对象 x 如果是 A 的元素，则称 x 属于A，记作 x A ；如果x不是A的元素，则称x 不属于A，记
{x : N , n N , 有x An } An
N 1 n N
26


例
1 1 1 设A2n1 [ 1 , 4 ], A [ , 1 2n n n n n ], n N , 则
A [0,4) n lim
n
limA
n
n
(0,1]
x A或x A

实变函数论PPT课件

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VS
牛顿-莱布尼兹公式
对于任何给定的连续函数，在区间上的定 积分都可以通过求和的方式计算，该求和 公式称为牛顿-莱布尼兹公式。
微分与积分的应用举例
微分的应用
积分的应用
在物理学中，微分被广泛应用于计算速度、 加速度、位移等物理量；在经济学中，微分 被用于计算边际成本、边际收益等经济指标。
在物理学中，积分被广泛应用于计算面积、 体积、能量等物理量；在经济学中，积分被 用于计算总成本、总收入等经济指标。
实数集合R在通常的度量下是连 续的，即任意两个不同的实数之 间都存在其他实数。
在实数集合R中，任意两个不同 的实数之间都存在无限多的其他 实数。
实数的运算性质
加法性质
实数的加法满足交换律和结合律，即对任意实数x、y和z， 有x+y=y+x、(x+y)+z=x+(y+z)。
01
乘法性质
实数的乘法满足结合律，即对任意实数 x、y和z，有(x*y)*z=x*(y*z)。
有限覆盖定理
如果E是一个闭区间，{[a(n),b(n)}是一个开区间族，且E被 {[a(n),b(n)}覆盖，那么存在一个有限的子集族 {[a(n_i),b(n_i)}使得E被它覆盖。
03
集合论基础
集合的定义与性质
总结词
集合的基本概念和性质
详细描述
集合是由某些确定的元素所组成的，具有明确的概念和性质。集合可以通过列举法或描述法进行定义，并具有确 定性、互异性和无序性等基本性质。
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目录
• 引言 • 实数理论 • 集合论基础 • 测度论基础 • 可测函数与积分理论 • 微分与积分定理 • 实变函数论的应用

实变函数论课件13

实变函数论课件13

第13讲 Lusin定理 13讲 Lusin定理
充分接近mE的闭子集上相等？由定理 1，这等价于说，闭集 Fε上的连续函数可 不可以连续地延拓到 Rn 上？下面我们对情 形 n = 1 来讨论这个问题。 （2） Lusin定理（第二形式）的叙述 R1 *定理3 设E是 中的有界可测集， f (x) 是 E上几乎处处有限的可测函数，则对
第13讲 Lusin定理 13讲 Lusin定理
任意 ε > 0 ，存在闭集 Fε ⊂ E 及 R1上连续 函数 g(x) ，使 (i) f |F = g |F，即任意 x∈Fε，有 f ( x) = g( x)； ∈
(ii) m(E − Fε ) < ε。
ε ε
∈ 此外，若| f ( x) |≤ M （任意 x∈ R）,则还可 ∈ 以要求 | g( x) |≤ M ，（任意 x∈ E ）。 （3） Lusin定理（第二形式）的证明
m(E − Fε ) ≤ m(E − Eε ) + m(Eε − Fε ) < ε
第13讲 Lusin定理 13讲 Lusin定理
续的。为此，我们先来定义一般可测集上 连续函数的概念。 （2） 一般可测集上连续函数的定义。 问题1 如何修改区间上连续函数的定义， 问题1：如何修改区间上连续函数的定义， 使其适合一般可测集？ 使其适合一般可测集？
E φ 设 f ( x) = ci，任意 x∈ Ei ， i I Ej = （任 ∈ n 意 i ≠ j ）， = U Ei 。对每个 Ei，可以找到 E i=1 ε 闭集 Fi ⊂ Ei ，使 m(Ei − Fiε ) < ε / n ，令
Fε = UF ，则 Fε 仍是闭集，且
n i=1 ε i
第1ห้องสมุดไป่ตู้讲 Lusin定理 13讲 Lusin定理

实变函数论课件14

实变函数论课件14

问题1 Lebesgue定理中 定理中E 问题 1 ： Lebesgue 定理中 E 为有限测度集 的条件可否去掉？为什么？ 的条件可否去掉？为什么？
第14讲 依测度收敛 14讲
问题2 Lebesgue定理的逆是否成立 定理的逆是否成立？ 问题 2 ： Lebesgue 定理的逆是否成立 ？ 举 例说明。 例说明。 （3）反例 定理4的逆一般是不对的，即依测度收 敛不一定意味着几乎处处收敛，下面的 例子说明了这一点。
证明：因为
| f ( x) − g( x) |≤| f ( x) − fn ( x) | + | fn ( x) − g( x) |
所以对任意正整数k，有
第14讲 依测度收敛 14讲
1 E{x || f ( x) − g( x) |≥ } ⊂ k 1 E{x || f ( x) − g( x) |≥ } 2k 1 ∪ E{x || fn ( x) − g( x) |≥ } 1 2k lim mE{x || f ( x) |≥ } n→∞ 2k
j j j
j
第14讲 依测度收敛 14讲
1 ≤ ∑mE{x || fn ( x) − f ( x) |≥ } k i =N 1 (N > k) < N−1 , 2
j
∞
1 lim ∪ 因此 N→∞ mi=N E{x || fn ( x) − f ( x) |≥ k} = 0 ∞ ∞ 1 进而 m[ ∩ ∪ E{x || fn ( x) − f ( x) |≥ } = 0 k N=1 i =N
j
∞
∞
第14讲 依测度收敛 14讲
1 1 特别地 mE{x || fn ( x) − f ( x) ≥ } < i k 2 由于此处i, k都是任意的，所以在上述不等 式中可以取 i = k，即 1 1 mE{x || fn ( x) − f ( x) ≥ } < i i 2 如果必要，还可以使 ni 满足

实变函数课件

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CHAPTER
实变函数在物理学中的应用
描述电磁场
通过实变函数，可以精确地描述电磁场的 分布和变化，为电磁学的研究提供数学工
具。
解决偏微分方程
实变函数可用于解决物理学中的偏微分方 程，如波动方程、热传导方程等，从而揭 示物理现象的数学规律。
量子力学
在量子力学中，实变函数被用于描述粒子 的波函数，揭示微观粒子的运动规律。
微观经济学
实变函数可用于描述消费者的 效用函数和生产者的成本函数 ，揭示微观经济行为的数学规
律。
宏观经济学
通过实变函数，可以建立宏观 经济模型，分析经济增长、通 货膨胀等宏观经济现象的数学
机制。
金融数学
实变函数在金融数学中有广泛 应用，如期权定价、投资组合 优化等，为金融市场的分析和
决策提供支持。
谢谢
积分的不等式与估计
介绍积分不等式和估计的基本方法，如Holder不等式、 Minkowski不等式、Chebyshev不等式等，并举例说明其应用。
05 实变函数的微分学
CHAPTER
导数与微分的概念
导数定义
详细阐述实变函数导数的定义及其几 何意义，包括左导数、右导数和导函
数等概念。
可导性判定
介绍判断函数在某点是否可导的方法 ，包括利用定义、导函数连续性等。
与连续性的区别
一致连续性是函数在整个区间上的性质，而连续性是函数在一点或一些点上的性质。一致连续的函数在整个区间上具 有“均匀”的连续性，即函数值的变化不会太快或太慢。
性质
一致连续的函数具有有界性、可积性等性质。
04 可测函数与积分
CHAPTER
可测函数的概念与性质
可测函数的定义
详细解释可测函数的定义，包括在给定集合上 的函数及其相关性质。

实变函数论ppt课件

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21
第27讲 Lp-空间简介
| f (x) g(x) || f (x) | | g(x) | a.e.[E]
这意味着 f (x) 与 g (x) 的符号在E上几乎处处
1
相 同， 从而由 | f (x) | c p | g(x) | a.e.[E] 得
1
1
f (x) c p g (x) a.e.[E] 所以 f (x) c p g(x) a.e.[E] ，
由上面的讨论，显见对任意 f , g Lp (E，) 有
0 ( f , g)
7
第27讲 Lp-空间简介
即 是Lp (E) Lp (E) 上非负的有限函数。它是不是Lp (E) 上的距离呢？为此，设 ( f , g) 0 ，则得
1
[ | f (x) g(x) |p dx] p 0 ， E
则显然有 [ f ] [g] 。这样， 作为 Lp (E) Lp (E)
上的函数的确满足距离定义中的（i），至于（ii）则是
显而易见的，所以只需验证它是否满足（iii）。
10
第27讲 Lp-空间简介
为方便起见，以后也用 f 记 [ f ]，只要说f Lp (E)
则指的就是与 f 几乎处处相等的函数类[ f ] ，若
证毕。
由定理2不难看到 Lp (E) Lp (E上) 的函数
满足三角不等式，即对任意 f , g, h Lp (E) ，
22
第27讲 Lp-空间简介
有 ( f , g) ( f , h) (h, g) 。 1
事实上， ( f , g) [ |f (x) g(x) |p dx] p 1
|f g |p dx 0 ，且
p 1
，注意到
p

实变函数论课件6

实变函数论课件6

第6讲 直线上的点集
问题3 问题3：能否在直线上找到既完备有是疏朗的 集合？ 集合？
第6讲 直线上的点集
Cantor集的构造: 将[0，1]均分为三段，删去中间的开区间
2 三等分，删去中间的两个区间即 1 , 9 , 7 , 8 。 9 9 9
1 2 , ，将剩下的两个区间 3 3
(α, β) − F = U(αi , βi ) ，从而
证毕。 证毕。
F = [α, β] − U(αi , βi ) = I([α, β] − (αi , βi )) 。
i i
i
第6讲 直线上的点集
问题8 直线上什么样的闭集是完备的？ 问题8：直线上什么样的闭集是完备的？所有 的完备集都是这样的吗？ 的完备集都是这样的吗？
。如
果 αx ∈G ，则存在 α, β ，使 αx ∈(α, β) ⊂ G， 显然 (α, βx ) ⊂ (α, β) U (αx , βx ) ⊂ G，这与αx的 定义矛盾。因此 αx ∉G 。同理可证 βx ∉G 。
第6讲 直线上的点集
(i)证完。 再证（ii），对任意 x, y ，若
(αx , βx ) ≠ (αy , βy ) ， (αx , βx ) I(αy , βy ) ≠ ∅ ，
x 必然在删去的区间内，即 x∉G 。因此，除了分 必然在删去的区间内， 因此，
点外， 中当且仅当其三进制表示中不出现数1 点外，x 在 G中当且仅当其三进制表示中不出现数1。 注意挖去的区间是可数的， 也可数， 注意挖去的区间是可数的，故分点集 G0 的区间是可数的 也可数，因此
第6讲 直线上的点集
存在开区间 (α, β ) ，使 x ∈(α, β ) ⊂ G 。 不难看到， 中开区间有无穷多个， 不难看到，包含 x 的 G 中开区间有无穷多个，记

实变函数论课件3 可数集和不可数集

实变函数论课件3 可数集和不可数集

P0 ~ Z Pn ~ ( Z {0}) Z Z Z （有限个可数集作卡氏积） (n个Z 相乘)为可数集(n 1)
定义 不是可列集的无限集称为不可列集或不可数集。
P Pn为可数集（可数个可数集的并）
n 0

[ 0
][ 1/3
][ 2/3
1
]
由区间套定理，存在唯 一点 x 0 I n [0,1],
n 1

{x1 , x2 , , xn , } 将[0， 1]三等分，取其中一个不含点x1的闭区间，记为I1 , 再将I1三等分，取其中一个不含点x2的闭区间，记为I 2 , 这样继续下去得到一个 闭区间套： [0,1] I1 I 2 I n | I n | 1 , xn I n , ( n 1,2, ) 3n
1 2
, a , a , a , a
1 3
, a
1 4
， ，
说明: •与Hilbert 旅馆问题比较 ; •如何把无限集分解成无 限个无限集合的并 ?
2 1
2 2
2 3
, a , a , a
2 4
•有限集与可数集的并仍为可数集 •有限个可数集的并仍为可数集 •可数个可数集的并仍为可数集
3 1
2016-9-16
一．可数集合 目的：熟悉常见的两类集合的势，掌握其 基本性质。 重点与难点：可数集合的性质，连续势的 性质。 定义 凡是与自然数对等的集称为可数集 或可列集，凡与 R1对等的集称为具有连续势。
显然一个集是可列集当 且仅当它的所有元素可 排列 成一个无穷序列。
可列集当然是无限集。
1、空集 的基数记作 0, 2、具有 n ( n 为自然数)个元素的集的基数就记作 n, 3、可列集的基数通常记作 0，还往往用a 表示. 4、与实数集 R1 对等的集的基数又称为连续基数或连续势, 通常记作, 还往往用 c 表示. 注：诸无限集所具有的基数远非仅仅 a 与 c.

实变函数课件有界变差函数5

实变函数课件有界变差函数5
x1
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习题选讲（p178）
b
而对于[x1,b]的分划0：x1 b,有 | f (b) f (x1) | V ( f ) M
x1
| f (x1) || f (b) | M
n
| f (xi ) f (xi1) | | f (b) | M | f (a) | M i 1 b
n
V(,g ) |g(xi ) g(xi 1) |
i 1 n
lim
k
|
i 1
g k(xi )
g k(xi 1) |
lim
k
Vab(g
k
)
M
所以Vab(g ) supVab(g k ) ，证毕。 k
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三. 有界变差函数的类型
f
类型1：有界闭区间上的有限单调函数都是有界 变差函数。
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二. 有界变差函数的性质
性质6 设 f 是[a,b]上的有界变差函数，c 是(a,b )内任一数，则(p150Th2(1))
Vab(f ) Vdc(f ) Vcb(f ) 。
证明：由全变差定义，对任意 0，可以 找到分划 1 : a x0 x1 xn c 及分划 2 : c y 0 y1 y m b ，
f (x) g(x) h(x)。 由Lebesgue定理( p143)知增函数g(x)和h(x)存在导数
g ' (x)和h' (x) a.e. 于[a,b]
所以f ' (x) [g ' (x) h' (x)] 存在 a.e. 于[a,b]。
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实变函数课件第四节可数集合

实变函数课件第四节可数集合

第四节 可数集合 1. 定义
定理1 任何无限集合都至少包含一个可数子集
注：可数集合在无限集中有最小的基数
第四节 可数集合 2. 性质
定理2 可数集合的任何无限子集必为可数集合，从而 可数集合的任何子集或者是有限集或者是可数集 证明：板书
定理3 A为可数集合，B为有限集或可数集， 则其并集为可数集
证明：板书
推论 设Ai为有限集或可数集，则其并集也是有限集或 可数集，但如果至少一个为可数集，其并集必为可数集
na aa a a
第四节 可数集合 2. 性质
定理4、Ai (i 1, 2,3, )都是可数集，则 Ai也是可数集 i1 aa aa a a 可数个a
总结：有限集与可数集的并仍为可数集 有限个可数集的并仍为可数集 可数个可数集的并仍为可数集
有限个有限集是否为可数集？
第四节 可数集合 3. 例子
定理5：有理数全体成一可数集合 证明：板书；可数和稠密
定理6、设Ai (i 1, 2,3, n)是可数集，则A1 A2 An是可数集
第四节 可数集合 3. 例子
第四节 可数集合 3. 例子
第四节 可数集合ห้องสมุดไป่ตู้
第四节 可数集合 1. 定义
定义：凡和全体正整数所成集合 Z 对等的集合都 称为可数集合或可列集合，其基数记为 a或0 。
1, 2,3, , n, a1, a2 , a3, , an , 注：A可数当且仅当A可以写成无穷序列的形式 a1, a2 , a3, , an ,
可数集合在无限集合中的地位？？？

实变函数论第三版课件 PPT

实变函数论第三版课件 PPT

当且仅当 xA且 xB 。
对于一簇集合 {A}A，可类似定义其交集，
即
A A { x|对每 A ,有 x 一 A }
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
3.并运算
假设A，B是两个集合，所谓Aபைடு நூலகம்B的并集 （或和集），指的是由A与B中所有元素构成的 集合，记作 AB，换句话说 ，
x A B 当且 x A 或 仅 x B . 当 对于一簇集合{A}A，可类似定义其并集， 即
实变函数论第三版课件
目的：了解集合的表示法；掌握集合的基本运算； 熟悉一些常用集合的符号；准确理解集合序列 的上、下限集。 重点与难点：集合序列的上、下限集。
基本内容： 一．背景 1．Cantor的朴素集合论 2．悖论 3．基于公理化的集合论
二．集合的定义—具有某种特定性质的对 象的全体
1．集合的几种表示法
设 A1,A2,,An, 是一个集合序列
上极限集
limAn(或limsupAn)
n
n
{x: x属于无限多个集合An}
{x : 存在无限多个An，使xAn}
例：设A2n=[0,1] A2n+1=[1,2]; 则上极限集为[0,2］
称为空集，记作 。
集合及其运算
三．集合的运算 1.集合的子集
假设A,B是两个集合，如果A中的元素都是B中 的元素，则称A是B的子集，记作 前A 者B 读或 作B“A A 包含于B中”，后者读着“B包含A”。显然，空
集 是任何集合的子集，任何集合是其自身的子
集。假如要证明A是B的子集，最常用的办法是，
任取 xA,然后设法证 x明 B。
如果A是B的子集，且存在bB,使 bA，则称 A是B的真子集，记作 A B 。

实变函数直播课程课件

实变函数直播课程课件

设X是 一 个 无 限 集 取 ，x1, x2 ,L,
xn ,L X是 互 不 相 同 的 元 素 。
令X 0 {x1 , x2 ,L, xn ,L}。作 映 射 f : X X \ {x1}，
f
(
x)


xn1 x,
,
当x x（n n 1,2,3,L） 时 ，
当x

X
3,L, xn x,则x A A A' A。 ： 设x A',则 存 在xn A, n 1,2, 3,L, xn x， 从 而x A, 因 此 A' A,故A是 闭 集 。
第三章测 度 论
主要内容 外测度及其性质。 Lebesgue 可测集及其性质。
3 理解开集、闭集、完备集的意义，掌 握其性质。
4 理解直线上开集、闭集、完备集的构 造。
5 理解康托集的构造、特性。
例1
已 知 某 一 平 面 点 集E， 其 所 有 相 异 两 点 的 距 离 的 下 确界 是 正 的 ， 则E没 有 极 限 点 。
设r inf{d( x, y) | x y, x, y E} 0。
直播课程二
例4：
设A为 平 面 上 以 有 理 点 为 中心 ， 以 有 理 数 为 半 径 的 圆 组成 的 集 合 。 则A为 可 数 集 。
O A,O O(a,b, r)
{ } ( x, y) R2 | ( x a)2 ( y b)2 r 2
其中a,b, r Q。
十九世纪初，曾经有人试图证明任 何连续函数除个别点外总是可微的。 后来，德国数学家维尔斯特拉斯提出 了一个由级数定义的函数，这个函数 是连续函数，但是维尔斯特拉斯证明 了这个函数在任何点上都没导数，这 个证明使许多数学家大为吃惊。

实变函数论课件7

实变函数论课件7

习题一
26. 设 {Fλ | λ ∈ A 是具有有限交性质的一簇 } 有界闭集， 那么 IFλ ≠ ∅。 27. 试用Borel有限覆盖定理证明BolzanoWeirstrass定理。
λ∈A
习题一
28.
n 上的实函数 R
f (x) 称为下半连续的，如
inf
果对 ∀x∈ R1 都有 f (x) ≤ lim f (Y) = lim
证明： （i） E{x | f (x) > a} = U （ii）E{x | f (x) ≥ a} = I
n=1
∞
n=1 ∞
1 E{x | f (x) ≥ a + } n 1 E{x | f (x) > a − } n
习题一
7. 设 是E上的实函数列，具有极限
习题一
3. 等式
( A− B) UC = A− (B − C) 成立的充要
条件是什么？ 4. 对于集合
假设
A ，定义 A 的特征函数为 1 x ∈ A χA(x) = 0 x ∈ A A , A2 ,L, An ,L 是一集列，证明 1
习题一
（i）
χlim inf
n
n
（ii） χlim sup An (x) = limsup χAn (x)
习题一
31. 假设 A⊂ R1 ,且对任意 x∈ R1,存在 最多只有可数个点,证明 集。 32. 若集合 E的聚点 x0 不属于 E，则 x0 是 E 的 边界点。
x的一个
邻域 (x −δ , x +δ ) ,使得 (x −δ , x +δ ) I A
A必是有限集或可数
习题一
33. 证明下列陈述相互等价： （1） （2） （3） （4） 是无处稠密集； A 不包含任何非空开集； A 是无处稠密集； A 的余集 CA 是稠密集 A
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E[ f a] E[a f a n] ,
n 1

所以 E [ f a ] 是可测集．
2018年8月8日9时18分
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推论 设 f 在 E 上可测，则 E [ f = a ] 可测，不论
a 是有限实数或±∞ ．
证 因为
E[ f a] E[ f a] E[ f a]
2 可测的充要条件 定理1 设 f 是定义在可测集 E 上的实函数．下列
任一条件都是 f 在 E 上可测的充要条件：
⑴ 对任何实数 a , E [ f a ] 都可测； ⑵ 对任何实数 a , E [ f < a ] 都可测；
⑶ 对任何实数 a , E [ f a ] 都可测； ⑷ 对任何实数 a , b ( a < b ), E [ a f < b ] 都可测 （充分性要假定 | f (x ) | < ）． 证 只需证明条件 ⑴ ， ⑷ 的充要性．
{ x [a, b] | f ( x ) c }
下午9时18分43秒
2018年8月8日9时18分
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2018年8月8日9时18分
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下午9时18分43秒
下午9时18分43秒
1 可测函数的定义
2 可测的充要条件 3 函数可测的充分条件 4 可测函数的四则运算 5 可测函数列的性质 6 可测函数与简单函数的关系 7 几乎处处问题
所以, m E[ f a] 0. 即E[ f a]为零测度集，从而可测 。 由函数可测的定义知， f ( x)在E上可测。
2018年8月8日9时18分
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例2
定义在可测集上的任何常数函数都是
可测函数．
证明： 设E可测，f ( x) c, 对任意的x E成立。
E[ f ] E[ f n] E[ f ] E[ f n]
n 1 n 1

所以结论成立．
2018年8月8日9时18分
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3 函数可测的充分条件 例 3 [a , b ] 上的连续函数及单调函数都是 可测函数． 证 设 f 在 [ a , b ] 连续，则对任何实数 c ，点集
() () () () () () () () 0 () () 0 0
2018年8月8日9时18分
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下列表达式是无意义的：
(± ) － (±)，(+ ) + ( )， () + (+ )
则对任意的实数 a, 当a c时，E[ f a] ，mE[ f a] 0.
当a c时，E[ f a] E.所以, E[ f a]可测.
由函数可测的定义知， f ( x)在E上可测。 (参见教材p80定义3之后的例）
2018年8月8日9时18分
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下午9时18分43秒
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实变函数中研究的函数可以取无穷大的值， ± 也称为非真正的实数，通常的实数则称为有限 实数，函数值都是有限实数的函数称为有限函数． 对包含± 在内的实数运算作如下规定： + 是全体有限实数的上确界，－ 是全体有限实 数的下确界．从而对递增无上界的数列 { an } ，总 有 lim a
n n
a n 对递减无下界的数列 { an } ，有 lim n
2018年8月8日9时18分
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对任何有限实数 a , a + (± ) = (± ) + a = (± ) a = ± a (± ) + ( ± ) = ± ) ( ) a a
所以 E [ f a ] 是可测集． 反之，若对任何实数 a , E [ f a ] 都可测，由于

1 E[ f a ] E[ f a ] n n 1
所以 E [ f > a ] 是可测集．
2018年8月8日9时18分

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下面证明：条件 ⑴ 和条件 ⑷ 等价． 若 ⑴ 成立，即对任何实数 a ， E [ f a ] 都可测， 由于对任何实数 a , b ( a < b ), 有 E[a f b] E[ f a] E[ f b] , 所以，E [ a f < b ] 是可测集． 反之，若 ⑷ 成立且 | f (x ) | < ∞ ，即对任何实数 a , b ( a < b ), E [ a f < b ] 都可测，由于
n
函数． 若对任何实数 a , E [ f > a ] 都是可测集， 则称 f 是 E 上的可测函数，或称 f 在 E 上可测．
2018年8月8日9时18分
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例1
零测度集上的任何函数都是可测函数．
证明： 设m E 0, 则对任意的实数 a, m E[ f a] m E 0.
,
,
, 0
a . 0
2018年8月8日9时18分
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1 可测函数的定义
n 设 f ( x ) 是定义在集 E R 上的实函数，记
E[ f a] { x | x E , f ( x ) a } .
定义 1 设 f ( x ) 是定义在可测集 E R 上的实
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2018年8月8日9时18分
f 在 E 上可测的充要条件是 ⑴ 对任何实数 a , E [ f a ] 都可测； 设 f 在 E 上可测，则对任何实数 a ， E [ f > a ]是
可测集，因为有 E[ f a] E[ f a 1 ] n n 1