湖北省武汉市华师一附中2019-2020 学年度下学期 高一 期中数学检测

华师一附中2019-2020学年度下学期高一期中诚信检测数学试题Ⅰ卷（共16小题，满分80分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知向量(1,1)a =-r，(,3)b x =r 且a b ⊥r r ，则||a b +r r 的值为（ ） A.B.C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由a b ⊥r r可求出x 的值，从而可得到a b +r r 的坐标，然后可求出模.【详解】解：因为向量(1,1)a =-r ，(,3)b x =r 且a b ⊥r r，所以1(1)30x ⋅+-⨯=，解得3x =，所以(3,3)b =r ，所以(4,2)a b +=r r，所以||a b +=r r故选：D【点睛】此题考查向量的坐标运算，向量垂直，向量的模，属于基础题. 2.已知2(2),(1)(3)M a a N a a =-=+-，则,M N 的大小关系是（ ） A. M N > B. M N ≥ C. M N < D. M N ≤【答案】A 【解析】 【分析】通过作差得到M N -，根据判别式∆和开口方向可知0M N ->，从而得到结果. 【详解】()()()2221323M N a a a a a a -=--+-=-+4120∆=-< 2230a a ∴-+>，即M N >本题正确选项：A【点睛】本题考查作差法判断大小问题，关键是通过作差得到二次函数，根据判别式和开口方向得到符号. 3.一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A B O '''，若1O B ''=，那么原ABO ∆的面积是( )A.12 B.2C.D.【答案】C 【解析】试题分析：由斜二测直观图还原原图形如图，因为边O ′B ′在x ′轴上，所以，在原图形中对应的边应在x 轴上，且长度不变， O ′A ′在y ′轴上，所以，在原图形中对应的边应在y 轴上，且长度增大到2倍，因O′B′=1，所以O ′A ′，则．则S △ABO =12OB ⨯OA=12考点：斜二测画法．4.已知等比数列{}n a 中，51183a a a =，数列{}n b 是等差数列，且68b a =，则48b b +=（ ） A. 3 B. 6C. 9D. 12【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的性质可将51183a a a =转化为8283a a =，从而得83a =，所以63b =，再由等差数列的性质可求出48626b b b +==.【详解】解：因为数列{}n a 为等比数列，51183a a a =，所以8283a a =，解得83a =，因68b a =，所以63b =，因为数列{}n b 是等差数列， 所以48626b b b +==， 故选：B【点睛】此题考查的是等差数列和等比数列的性质，属于基础题.5.已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos cos a B b A +=，1a =，b =则c =（ ）A.B. 1C.D.【答案】B 【解析】 【分析】先由正弦定理将cos cos a B b A +=中的边转化为角，可得sin()A B +=，可求出角6C π=，再利用余弦定理可求得结果.【详解】解：因为cos cos 2cos a B b A C+=，所以正弦定理得，sin cos sin cos 2cos CA B B A C+=所以sin()A B +=sin C =因为sin 0C ≠，所以cos C =，又因为(0,)C π∈，所以6C π=，因为1a =，b =所以由余弦定理得，2222cos 13211c a b ab C =+-=+-⨯=， 所以1c = 故选：B【点睛】此题考查的是利用正、余弦定理解三角形，属于中档题.6.《九章算术》第三章“衰分”介绍了比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配意思，通常称递减的比例为“衰分比”.如：已知,,A B C 三人分配奖金的衰分比为10%，若A 分得奖金1000元，则,B C 所分得奖金分别为900元和810元.某科研所四位技术人员甲、乙、丙、丁攻关成功，共获得奖金59040元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配奖金，且甲与丙共获得奖金32800元，则“衰分比”与丙所获得的奖金分别为（ ） A. 20%，12800元 B. 10%，12800元 C. 20%，10240元 D. 10%，10240元【答案】A 【解析】 【分析】由题意得甲、乙、丙、丁获得奖金组成等比数列{}n a ，设“衰分比”为m ，则数列的公比为1m -，而由题意可知1234135904032800a a a a a a +++=⎧⎨+=⎩，进而计算可得3,m a 的值.【详解】解：由题意设，甲、乙、丙、丁获得奖金组成等比数列{}n a ，设“衰分比”为m ，则数列的公比为1m -，则有1234135904032800a a a a a a +++=⎧⎨+=⎩ 则有2426240a a +=，13(1)()26240m a a -+=， 解得 10.8m -=，则0.220%m ==， 因为1332800a a += 所以332328000.8a a +=，解得312800a = 的故选：A【点睛】此题考查等比数列的通项公式的应用，属于基础题. 7.若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为 A. 1∶2 B. 1C. 1D.∶2【答案】C 【解析】 【分析】由已知，求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的底面面积和侧面积，可得答案 【详解】设圆锥底面半径为r ，则高h ＝2r ＝∴其母线长l ＝r ＝∴S 侧＝πrl ＝πr 2＝S 底＝πr 故选C＝【点睛】本题考查的知识点是旋转体，圆锥的表面积公式，属于基础题．8.在ABC ∆中，D ，E 分别为BC ，AC 边上的点，且2BD DC =u u u r u u u r，若34BE AB AD λ=+u u u r u u u r u u u r ，则λ=（ ） A. 54-B. 43-C. 45-D. 34-【答案】A 【解析】 【分析】可设AE xAC =u u u r u u u r，然后根据向量减法、加法的几何意义，以及向量的数乘运算即可得出3(1)22x x BE AB AD =-++u u u r u u u r u u u r ，从而根据平面向量基本定理即可得出(1)23324x x λ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解出λ即可．【详解】解：如图，设AE xAC =u u u r u u u r，且2BD DC =u u u r u u u r，则：BE AE AB =-u u u r u u u r u u u rxAC AB =-u u u r u u u r ()x AD DC AB =+-u u u r u u u r u u u r 1()2x AD BD AB =+-u u u r u u u r u u u r ()2x xAD AD AB AB=+--u u u r u u u r u u u r u u u r 3(1)22xx AB AD =-++u u u r u u u r ，Q 34BE AB AD λ=+u u u r u u u r u u u r ，∴(1)23324x x λ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得54λ=-，故选：A ．【点睛】本题主要考查向量加法和减法的几何意义，向量的数乘运算，平面向量基本定理，考查了计算能力，属于基础题． 9.若正数a,b 满足a+b=2,则1411a b +++ 的最小值是( ) A. 1 B. 94C. 9D. 16【答案】B 【解析】 分析】 由2a b +=可得()()114a b +++=＝所以可得()()()411411411111411411411a b a b a b a b a b ⎡⎤++⎛⎫⎡⎤+=++++=+++⎢⎥ ⎪⎣⎦++++++⎝⎭⎣⎦＝由基本不等式可得结果. 【详解】∵2a b +=，∴()()114a b +++=，又∵0a >，0b >， ∴()()141141111411a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+=++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭()()411119145441144a b a b ⎡⎤++=+++≥⨯+=⎢⎥++⎣⎦， 当且仅当()41111a b a b ++=++， 即13a =，53b =时取等号,【1411a b +++ 的最小值是94,故选B.【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.10.对于实数,[]x x 表示不超过x 的最大整数.已知正项数列{}n a 满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和，则[][][]1240S S S +++=L （ ） A. 135 B. 141C. 149D. 155【答案】D 【解析】 【分析】利用已知数列的前n 项和求其n S 得通项，再求[]n S【详解】解：由于正项数列{}n a 满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈，所以当1n =时，得11a =，当2n ≥时，111111[()]22n n n n n n n S a S S a S S --⎛⎫=+=-+⎪-⎝⎭ 所以111n n n n S S S S ---=-，所以2=n S n ，因为各项为正项，所以=n S因为[][][]1234851,1,[]1,[][]2S S S S S S =======L ,[]05911[][]3S S S ====L ,[]161724[][]4S S S ====L ,[]252635[][]5S S S ====L , []363740[][]6S S S ====L .所以[][][]1240S S S +++=L 13+25+37+49+511+65=155⨯⨯⨯⨯⨯⨯， 故选：D【点睛】此题考查了数列的已知前n 项和求通项，考查了分析问题解决问题的能力，属于中档题. 11.已知点C 为线段AB 上一点，P 为直线AB 外一点，PC 是APB ∠的角平分线，I 为PC 上一点，满足BI BA =+u u v u u u vAC AP AC AP λ⎛⎫⎪+ ⎪⎝⎭u u u v u u u v u u u v u u u v (0)λ>，4PA PB -=u u u v u u u v ，10PA PB -=u u u v u u u v ，则BI BA BA ⋅u u v u u u v u u uv 的值为（ ） A. 2 B. 3C. 4D. 5【答案】B 【解析】 【分析】由题意结合向量的运算法则可得点I 为三角形内切圆的圆心，结合三角形内切圆与边长关系的公式和向量的数量积运算公式整理计算即可确定BI BA BA⋅u u v u u u vu u u v 的值. 【详解】由BI BA u u v u u u v=+||||AC AP AC AP λ⎛⎫+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u ur u u u r (0)λ>可得||||AC AP AI AC AP λ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u ru u r u u u r u u u r ， 所以I 在∠BAP角平分线上，由此得I 是△ABP 的内心，过I 作IH ⊥AB 于H ，I 为圆心，IH 为半径，作△PAB 的内切圆，如图，分别切PA ，PB 于E ，F ，||||4,||10PA PB PA PB -=-=u u u r u u u r u u u r u u u rQ ，则10AB =u u u r ，11||||(||||||)[||(||||)223 ]BH BF PB AB PA AB PA PB ==+-=--=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r ，在直角三角形BIH 中,||cos ||BH IBH BI ∠=u u u r u u r ， 所以||cos 3||BI BA BI IBH BH BA ⋅=∠==u u r u u u ru ur u u u r u u u r . 故选B.【点睛】本题主要考查向量的运算法则，内切圆的性质，向量数量积的定义与应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.的12.设数列{}n a 的前n 项和为n S 已知()*123n n a a n n N++=+∈且1300nS=，若23a <，则n 的最大值为（ ） A. 49 B. 50 C. 51 D. 52【答案】A 【解析】 【分析】对n 分奇偶性分别讨论，当n 为偶数时，可得2+32n n nS =，发现不存在这样的偶数能满足此式，当n 为奇数时，可得21+342n n n S a -=+，再结合23a <可讨论出n 的最大值.【详解】当n 为偶数时，12341()()()n n n S a a a a a a -=++++⋅⋅⋅++(213)(233)[2(1)3]n =⨯++⨯++⋅⋅⋅+-+ 2[13(1)]32n n =⨯++⋅⋅⋅+-+⨯2+32n n=，因为22485048+348503501224,132522S S ⨯+⨯====，所以n 不可能为偶数；当n 为奇数时，123451()()()n n n S a a a a a a a -=+++++⋅⋅⋅++1(223)(243)[2(1)3]a n =+⨯++⨯++⋅⋅⋅+-+21342n n a +-=+因为2491149349412722S a a +⨯-=+=+，2511151351413752S a a +⨯-=+=+，又因为23a <，125a a +=，所以 12a > 所以当1300n S =时，n 的最大值为49 故选：A【点睛】此题考查的是数列求和问题，利用了并项求和的方法，考查了分类讨论思想，属于较难题.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案写在答题纸上的相应位置.）13.设, , a b c 为实数，且0a b <<，则下列不等式正确的是______.（仅填写正确不等式的序号） ①11a b <；＝22ac bc <；＝b a a b >；④b a a b <；⑤2211a b< 【答案】④⑤ 【解析】 【分析】利用不等式的性质分别进行验证即可得答案. 【详解】因为, , a b c 为实数，且0a b <<， 对于①因为0a b <<，所以0ab > 所以a b ab ab <，即11b a<，所以①不正确； 对于＝当0c =时，结论不成立，所以＝不正确； 对于＝④因为0a b <<，所以22a b >因为0ab >，所以22a b ab ab>，即a b b a >，所以＝不正确，④正确； 对于⑤因为220a b >>，所以2211a b <，所以⑤正确 故答案为：④⑤【点睛】此题考查了不等式的基本性质及应用，考查了推理论证的能力，属于基础题.14.已知向量,a b r r 是平面内的一组基底，若m xa yb =+u r r r，则称有序实数对(,)x y 为向量m u r 在基底,a b r r下的坐标.给定一个平面向量p u r ，已知p u r 在基底,a b r r 下的坐标为(1,2)，那么p u r 在基底a b -r r，a b +r r 下的坐标为______. 【答案】13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】由题可知2p a b =+u r r r ，若将a b -r r，a b +r r 作为基底，则设()()p m a b n a b =-++u r r r r r ，然后展开化简得，()()p m n a n m b =++-u r r r ，从而得12m n n m +=⎧⎨-=⎩，解出,m n 的值就得到所求的坐标【详解】解：由p u r 在基底,a b r r 下的坐标为(1,2)，得2p a b =+u r r r ，设p u r 在基底a b -r r ，a b +r r 下的坐标为(,)m n ，则()()p m a b n a b =-++u r r r r r所以()()p m n a n m b =++-u r r r所以12m n n m +=⎧⎨-=⎩解得1232m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以p u r 在基底a b -r r ，a b +r r 下的坐标为13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭， 故答案为：13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【点睛】此题考查的平面向量基本定理及应用，属于基础题15.已知函数()1ee xf x x =+（e 是自然对数的底数），设(),2020,1,2020,4041n f n n a f n n ≤⎧⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪-⎝⎭⎩，*n N ∈，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则4039S 的值是______. 【答案】40392【解析】【分析】由题意可得， 1()11()111()e e e x f x x x==++，且11(1)112f ==+，进而可得1()()1f x f x+=，结合数列的通项公式可得4039111(1)(2)(2020)()()()202020192f f f f f S f =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+ 111(1)[(2)()][(3)()](2020)()232020f f f f f f f =+++++⋅⋅⋅++， 从而可得答案.【详解】根据题意，因为()1e ex f x x =+，所以1()11()111()e e e x f x x x==++，11(1)112f ==+， 所以1()()1f x f x+=， 因为(),2020,1,2020,4041n f n n a f n n ≤⎧⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪-⎝⎭⎩ 所以4039111(1)(2)(2020)()()()202020192f f f f f S f =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+ 111(1)[(2)()][(3)()](2020)()232020f f f f f f f =+++++⋅⋅⋅++ 14039201922=+= 故答案为：40392 【点睛】此题考查数列的求和以及数列与函数的关系，关键是分析1()()1f x f x+=，属于中档题. 16.如图，在平面四边形ABCD 中，135A ∠=︒，75B C ∠=∠=︒，2BC =，则CD 的取值范围是_____.【答案】【解析】【分析】如图，延长,BA CD 交于点E ，设1,,,22AD x DE x AE x AB m ====，求出+x m CD 的取值范围. 【详解】解：如图，延长,BA CD 交于点E ，则在ADE ∆中，105,45,30ADE DAE E ∠=︒∠=︒∠=︒,所以设1,,,224AD x DE x AE x AB m ====， 因为2BC =，所以()sin1514x m +︒=，+x m 所以04x <<，因为CD x m x x =+-=，所以CD 的取值范围为，故答案为：【点睛】此题考查三角形中的几何计算，考查学生的计算能力，属于中档题.Ⅱ卷（共6小题，满分70分）三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请将答案写在答题纸上的相应位置.）17.已知向量3x ka b =-r r r 和y a b =+u r r r ，其中(1,3)a =-r ，(4,2)b =r ，k ∈R（1）当k 为何值时，有x r 、y u r平行； （2）若向量x r 与y u r 的夹角为钝角，求实数k 的取值范围.【答案】（1）3k =-，（2）112k <且3k ≠- 【解析】【分析】（1）根据题意，设x t y =r u r ，则有3()ka b t a b -=+r r r r ，再结合(1,3)a =-r ，(4,2)b =r ，可求出k 的值；（2）根据题意，若向量x r 与y u r 的夹角为钝角，则有0x y ⋅<r u r，由数量积的计算公式可得3(12)5(36)0x y k k ⋅=--+-<r u r ，再结合向量不共线分析可得答案.【详解】解：（1）因为x r 、y u r 平行，所以设x t y =r u r ，所以3()ka b t a b -=+r r r r ，即()(3)k t a t b -=+r r因为(1,3)a =-r ，(4,2)b =r ，得a r 与b r不共线，所以30k t t -=+=，得3k =-， （2）因为向量x r 与y u r 的夹角为钝角，所以0x y ⋅<r u r ，因为向量3x ka b =-r r r 和y a b =+u r r r ，其中(1,3)a =-r ，(4,2)b =r所以(12,36)x k k =---r ，(3,5)y =u r ，所以 3(12)5(36)0k k --+-<，解得112k <， 又因为向量x r 与y u r 不共线，所以由（1）可知3k ≠- 所以112k <且3k ≠- 【点睛】此题考查向量的数量积运算，涉及向量平行的判定，关键是掌握向量数量积与向量夹角的关系，属于中档题.18.在数列{}n a ，{}n b 中，111a b ==，1421n n n a b a n +=-+-，*1421,n n n b a b n n N +=--+∈.等差数列{}n c 的前两项依次为23,a b .（1）求{}n c 的通项公式；（2）求数列(){}n n n a b c +的前n 项和n S .【答案】（1）73n c n =-，（2）(1413)3132n n n S -+= 【解析】【分析】（1）由已知递推式可得23,a b ，即为12,c c ，由等差数列的定义可得公差，从而得到所求的通项公式；（2）由1421n n n a b a n +=-+-，1421n n n b a b n +=--+，.两式相加，结合等比数列的定义可得n n a b +，从而可得数列(){}n n n a b c +的通项公式，再由数列的错位相减法求和即可【详解】解：（1）因为111a b ==，1421n n n a b a n +=-+-，*1421,n n n b a b n n N +=--+∈，可得21142114a b a =-+⨯-=，21142112b a b =--⨯+=，所以322422111b a b =--⨯+=，所以124,11c c ==，等差数列{}n c 的公差为7所以47(1)73n c n n =+-=-（2）因为1421n n n a b a n +=-+-，1421n n n b a b n +=--+，所以两式相加得，113()n n n n a b a b +++=+，所以数列{}n n a b +是以3为公比，2为首项的等比数列，所以123n n n a b -=⨯+，所以11)23(73)(1)3(46n n n n n c n n a b --=⨯⨯-=-⨯+，所以0122183223363(1420)3(146)3n n n n n S --=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯，123183223363(1420)3(14633)n n n n S n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯，两式相减得，123181431431431432(146)3n n n n S -=+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯--⨯-1231814(3333)(146)3n n n -=++++⋅⋅⋅+--⨯13(1413)3n n =--- 所以(1413)3132n n n S -+= 【点睛】此题考查等差数列的通项公式和等比数列的定义和通项公式，求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，化简运算能力，属于中档题19.如图，已知在东西走向上有甲、乙两座小山，一辆测量车在甲山山底M 的正南方向的P 点处测得山顶A的仰角为30°，该测量车在水平面上向北偏西60︒方向行驶后到达点Q ，在点Q 处测得乙山山顶B 的仰角为θ，且BQA θ∠=，经计算，tan 2θ=，若甲、乙山高分别为100m 、200m ，求两山山顶,A B 之间的距离.【答案】【解析】【分析】先在Rt AMP ∆中，利用已知条件求得PM ，进而连接QM ，在PQM ∆中，60QPM ∠=︒，求得PQ ，可推断出PQM ∆为等边三角形，进而求出QM ，从而在Rt AMQ ∆中利用勾股定理求得AQ ，Rt BNQ ∆中，利用tan 2θ=，200BN =，求得BQ ，最后在BQA ∆中，利用余弦定理求得BA【详解】解：在Rt AMP ∆中，30,100APM AM ∠=︒=，所以PM =连接QM ，在PQM ∆中，60QPM ∠=︒，PQ =，所以PQM ∆为等边三角形，所以QM =在Rt AMQ ∆中，由222AQ AM QM =+，得200AQ =，在Rt BNQ ∆中，tan 2θ=，200BN =，得BQ =在BQA ∆中，22222cos BA BQ AQ BQ AQ θ=+=⋅=所以BA =【点睛】此题考查了解三角形的实际应用，考查了学生解决实际际问题的能力，属于中档题20.已知ABC V 的内角、、A B C 所对应的边分别为a b c 、、，(sin sin )1R A B +=（其中R 为ABC V 的外接圆的半径）且ABC V 的面积22()S c a b =--.（1）求tan C 的值；（2）求ABC V 的面积S 的最大值.【答案】（1）815，（2）417【解析】【分析】 （1）利用三角形面积计算公式、余弦定理、倍角公式可得，（2）利用正弦定理、三角形面积计算公式、基本不等式的性质即可得出【详解】解：（1）因为22()S c a b =--， 所以2221sin 222cos 2ab C c a b ab ab ab C =--+=-， 所以1sin 2(1cos )2C C =- 2sin cos 4sin 222C C C =， 因为sin 02C ≠，所以cos 4sin 22C C =， 所以1tan 24C =， 所以22tan 82tan 151tan 2CC C ==- （2）因为(sin sin )1R A B +=，所以由正弦定理得，2a b +=， 由8tan 15C =，得8sin 17C =， 所以21444sin 21717217a b S ab C ab +⎛⎫==≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1a b ==时，取等号， 所以ABC V 的面积S 的最大值为417【点睛】此题考查了三角形面积计算公式、余弦定理、倍角公式、正弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题21.如图，在△ABC 中，已知CA=1，CB=2，∠ACB=60°．（1）求|AB u u u v |；（2）已知点D 是AB 上一点，满足AD uuu v =λAB u u u v ，点E 是边CB 上一点，满足BE u u u v =λBC uuu v ．①当λ=12时，求AE u u u v •CD uuu v ； ②是否存在非零实数λ，使得AE u u u v ⊥CD uuu v ？若存在，求出的λ值；若不存在，请说明理由．【答案】（1（2）①14② 23 【解析】【分析】（1）利用余弦定理求出AB 的长即得|AB u u u v |；（2）①12λ= 时，D E 、分别是BC AB ，的中点，表示出AE u u u v ，CD uuu v ，利用向量的数量积计算即可； ②假设存在非零实数λ，使得AE u u u v ⊥CD uuu v ，利用 C B CA u u u v u u u v 、分别表示出CD uuu r 和 AE u u u v ，求出 0AE CD ⋅=u u u v u u u v 时的λ值即可．【详解】（1）AB CB CA =-u u u v u u u v Q u u u v 且22=4=1=21cos60=1CB CA CB CA ⋅⨯⨯o u u u v u u u v u u u v u u u v ，，AB CB CA ∴=-==u u u v u u u v u u u v （2）①λ=时， =， =， ⊥D 、E 分别是BC ，AB 的中点，⊥=+=+，=（+）， ⊥•=（+）•（+） =•+•+•+=﹣×12+×1×2×cos120°+×2×1×cos60°+×22 =； ②假设存在非零实数λ，使得⊥， 由=λ，得=λ（﹣），⊥=+=+λ（﹣）=λ+（1﹣λ）； 又=λ， ⊥=+=（﹣）+λ（﹣）=（1﹣λ）﹣； ⊥•=λ（1﹣λ）﹣λ•+（1﹣λ）2•﹣（1﹣λ）=4λ（1﹣λ）﹣λ+（1﹣λ）2﹣（1﹣λ）=﹣3λ2+2λ=0，解得λ=23或λ=0（不合题意，舍去）； 即存在非零实数λ=23，使得⊥． 【点睛】本题考查了平面向量的线性表示与数量积的应用问题，也考查了余弦定理的应用问题，是综合性题目．22.已知数列{}n a 满足1133n n n a a a +≤≤，*n N ∈，11a =.（1）若23a =，3a x =，46a =，求x 的取值范围；（2）若{}n a 是公比为q 的等比数列，12n n S a a a =+++L ，1133n n S S S +≤≤，*n N ∈，求q 的取值范围； （3）若12,,,k a a a L 成等差数列，且122020k a a a ++⋯+=，求正整数k 的最大值.【答案】（1）92x ≤≤，（2）123q ≤≤，（3）4039 【解析】【分析】（1）由题意得232133a a a ≤≤，又343133a a a ≤≤，将已知代入可求出x 的范围；（2）先求出通项1n n a q -=，由121133a a a ≤≤求出133q ≤≤，对q 分类讨论求出n S ，分别代入不等式1133n n n S S S +≤≤，得到关于q 的不等式组，解不等式组求出q 的范围；（3）由题意得到关于k 的不等式，得出k 的最大值，并得出k 取最大值时12,,,k a a a L 的公差【详解】解：（1）由题意得，232133a a a ≤≤，所以19x ≤≤， 又因为343133a a a ≤≤，所以1633x x ≤≤，得218x ≤≤， 综上所述，92x ≤≤（2）由已知得，1n n a q-=，121133a a a ≤≤ 所以133q ≤≤， 当1q =时，n S n =，1133n n n S S S +≤≤，即1133n n n ≤+≤，成立， 当13q <≤时，11n n q S q -=-，1133n n n S S S +≤≤，即1111133111n n n q q q q q q +---⋅≤≤⋅---， 111331n n q q +-≤≤-，得11320320n n n n q q q q ++⎧--≥⎨-+≤⎩， 因为1q >，故132(31)2220n n n n qq q q q +--=-->->， 对于不等式1320n n q q +-+≤，令1n =，得2320q q -+≤， 解得12q ≤≤，又当12q ≤≤，30q -<，所以132(3)2(3)2(1)(2)0n n n q q q q q q q q +-+=-+≤-+=--≤成立 所以12q <≤， 当113q ≤<时，11n n q S q -=-，1133n n n S S S +≤≤， 即1111133111n n nq q q q q q+---⋅≤≤⋅---， 所以11320320n n n n q q q q ++⎧--≤⎨-+≥⎩， 因为310,30q q ->-<，所以132(31)2220n n n n q q q q q +--=--<-<，132(3)2(3)2(1)(2)0n n n q q q q q q q q +-+=-+≥-+=-->， 所以当113q ≤<时，不等式恒成立， 综上所述，q 的取值范围为123q ≤≤ （3）设12,,,k a a a L 的公差为d ，由1133n n n a a a +≤≤，且11a =， 得1[1(1)]13[1(1)],1,2,3,,13n d nd n d n k +-≤+≤+-=⋅⋅⋅-， 即(21)2,1,2,,1(23)2n d n k n d +≥-⎧=⋅⋅⋅-⎨-≥-⎩， 当1n =时，223d -≤≤， 当2,,1n k =⋅⋅⋅-时，由222123n n -->+-，得221d n -≥+， 所以22213d k -≥≥--， 所以1(1)(1)220202221k k k k ka d k k ---=+≥+⋅-， 即2404020200k k -+≤，得4039k ≤，所以k 的最大值为4039【点睛】此题考查等比数列的通项公式及前n 项和的求法，考查不等式组的解法，属于难题。

湖北省武汉市部分重点中学2019-2020学年度下学期高一年级期中测试数 学 试 卷（理科）全卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共６０分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1． 已知向量a =(－１ ,２)，且向量,b a ⊥ 则b 等于（ ）A. (２，１)B. (－１，２)C. (－２，１)D.(－２，－２)2．设ABC ∆的内角Ａ,Ｂ,Ｃ所对的边分别为a, b, c ；且三内角Ａ,Ｂ,Ｃ依次成等差数列， 三边a, b, c 依次成等比数列，则ABC ∆ 的形状为（ ）A.正三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形3． 已知数列{a n }和{n b }均为等差数列，其前n 项和分别为Ｓn 和Ｔn ，并且37n n S n T n +=，则55a b 等于（ ）A.17B.421C.835D.324．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ；且a=3,c=45O．则角Ｂ等于（ ） A.600B. 600或1200C.150D.150或7505．设12345,,,,A A A A A 是平面中给定的5个不同的点，则同一平面内使123450MA MA MA MA MA ++++=成立的点M 的个数为（ ）A.0B.1C.5D.106．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b （０<a<b ），其全程的平均时速为v ，则（ ）<v<2a b+ D. v=2a b+ 7. 设点Ｏ在ABC ∆的内部，且有230OA OB OC ++= ，则ABC ∆的面积与ABC ∆的面积之比为（ ）A.32B.53C.2 D ．38．已知数列{a n }为等差数列，若13121a a <- 且它的前n 项和n S 有最大值，那么n S 取最小正数时n 的值是（ ）A.22B.23C.24D.259．已知的平面向量a 和b ，且≠0a ，a ≠ b ，1b =，a 和b －a 夹角为1３5o ，则a 的取值范围为( )A.0,1⎡⎤⎣⎦B.()1,2C.(D.,12⎤⎥⎢⎥⎣⎦10．已知函数(x)xf e x =+，对于曲线y=f （x ）上横坐标成等差数列的三个点A,B,C ，给出以下判断：①△ABC 一定是钝角三角形； ②△ABC 可能是直角三角形 ③△ABC 可能是等腰三角形； ④△ABC 不可能是等腰三角形其中，正确的判断是（ ） A.①④B.②③C.①③D.②④11．设a + b = 2, b >0，则1||2||a a b+的最小值为（ ） A.12B.34C.1D.5412．设a 是已知的平面向量且≠0a ，关于向量a 的分解，有如下四个命题： ①给定向量b ，总存在向量c ，使=+a b c ；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使λμ=+a b c ；③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使λμ=+a b c ； ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使λμ=+a b c ； 上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是 A.4B.3C ．2D.1第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(23)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共２０分，把答案写在题中横线上) 13．如图4，在平行四边形ABCD 中 ，AP ⊥BD ，垂足为P ，=AP =14．已知Ｏ为坐标原点，向量(sin ,1)OA θ=,(cos ,0)OB θ=，(sin ,2)OC θ=-,()02cos sin ,1P αα=--．若Ｏ,Ｐ,Ｃ三点共线，求得OA OB + 的值为 .15．已知数列{n b }的通项公式为12,n n b -= 数列{a n }(n N *∈)满足222,,na nb b b + 成等比数列，若12340m a a a a a ++++≤ ，则m 的最大值是 ．16．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ；则下列命题正确的序号是 ①若cos ２Ａcos ２Ｂ≤ ，则b a ≤； ②若sinA cosB,=，则＝２πC ；③若sin sin ２Ａ２Ｂ=；则ＡＢ= ； ④若2ab c >，则3C π< ；⑤若(3n)+=≤nnna b c ，则ABC ∆为锐角三角形． 三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.（本小题满分12分）已知()f x 是定义域为R 的偶函数，()00,f = 当0≤x 时，2()0＋b =+≤f x x x c 的解集为4,0x ⎡⎤∈-⎣⎦(Ⅰ)求()f x 的解析式；(Ⅱ) 求不等式(x 1)5+≤f 的解集．18．（本小题满分12分）如图，A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B ，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。

湖北省武汉市部分重点中学2019-2020学年度下学期高一年级期中考试数 学 试 卷（文科）命题人：武汉市第四中学 审题人：武汉市第四十九中全卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共６０分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)１. 已知向量a =(－１ ,２)，且向量,b a ⊥ 则b 等于（ ）A. (２，１)B. (－１，２)C.(－２，１)D.(－２，－２)２. 如图，正六边形ABCDEF 中， BA CD EF ++=（ ）A ．０B ．BEC ．AD D ．CF3．实数b 是２和８的等比中项，则b 的值为（ ）A.4B.－4C.±4D.164 ．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ；且三内角Ａ,Ｂ,Ｃ依次成等差数列， 三边,,a b c 依次成等比数列，则ABC ∆ 的形状为（ ）A.正三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形5．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ；且,c=0．则角Ｂ等于（ ） A ．600B.600或120C.15D. 150或7506．已知数列{a n }和{ b n }均为等差数列，其前n 项和分别为Ｓn 和Ｔn ，并且37n n S n T n +=，则55a b 等于（ ）A. 17B.421C.835D.327. 设点Ｏ在ABC ∆ 的内部，且有230OA OB OC ++= ，则ABC ∆的面积与的面积之比为（ ）A.32B.53C.2D.38．已知数列{a n }为等差数列，若13121a a <- 且它的前n 项和n S 有最大值，那么n S 取最小正数时n 的值是（ ）A.12B.22C.23D.259．设12345,,,,A A A A A 是平面中给定的5个不同的点，则同一平面内使123450MA MA MA MA MA ++++=成立的点M 的个数为（ ）A.5个B.0个C.1个D.10个10已知函数(x)xf ex =+，对于曲线y=f （x ）上横坐标成等差数列的三个点A,B,C ，给出以下判断：①△ABC 一定是钝角三角形； ②△AB C 可能是直角三角形 ③△ABC 可能是等腰三角形； ④△ABC 不可能是等腰三角形 其中，正确的判断是（ ） A.①③ B.①④ C.②③ D.②④11．设a + b = 2, b >0, 则1||2||a a b+的最小值为（ ） A.12B.34C.1D.5412．．设a 是已知的平面向量且≠0a ，关于向量a 的分解，有如下四个命题： ①给定向量b ，总存在向量c ，使=+a b c ；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使λμ=+a b c ；③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使λμ=+a b c ； ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使λμ=+a b c ； 上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是 A.1B.2C.3D.4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(23)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共２０分，把答案写在题中横线上) 13．如图4，在平行四边形ABCD 中 ，AP ⊥BD ，垂足为P ，=AP =14．已知数列{n b }的通项公式为12,n n b -= 数列{a n }(n N *∈)满足222,,na nb b b + 成等比数列，求数列{a n }的通项公式a n＝(n N *∈)．15．已知Ｏ为坐标原点，向量(sin ,1)OA θ=,(cos ,0)OB θ=，(sin ,2)OC θ=-,()02cos sin ,1P αα=-- ．若Ｏ,Ｐ,Ｃ三点共线，求得OA OB + 的值为 .16．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ；则下列命题正确的序号是 ①若cos ２Ａcos ２Ｂ≤ ，则b a ≤； ②若sinA cosB,=，则＝２πC ；③若sin sin ２Ａ２Ｂ=；则ＡＢ= ； ④若2ab c >，则3C π< ；⑤若３３３+=a b c ，则ABC 为锐角三角形．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（本小题满分12分）已知()f x 是定义域为R 的偶函数，()00,f =当0≤x 时，2()0＋b =+≤f x x x c 的解集为4,0x ⎡⎤∈-⎣⎦(Ⅰ)求()f x 的解析式；(Ⅱ) 求不等式(x)5≤f 的解集．18．（本小题满分12分）如图，A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B ，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。

湖北省武汉市部分重点中学2019-2020学年度下学期高一年级期中考试数 学 试 卷（文科）命题人：武汉市第四中学 审题人：武汉市第四十九中全卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共６０分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)１. 已知向量a =(－１ ,２)，且向量,b a ⊥ 则b 等于（ ）A. (２，１)B. (－１，２)C.(－２，１)D.(－２，－２)２. 如图，正六边形ABCDEF 中， BA CD EF ++=（ ）A ．０B ．BEC ．AD D ．CF3．实数b 是２和８的等比中项，则b 的值为（ ）A.4B.－4C.±4D.164 ．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ；且三内角Ａ,Ｂ,Ｃ依次成等差数列， 三边,,a b c 依次成等比数列，则ABC ∆ 的形状为（ ）A.正三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形5．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ；且,c=0．则角Ｂ等于（ ） A ．600B.600或120C.15D. 150或7506．已知数列{a n }和{ b n }均为等差数列，其前n 项和分别为Ｓn 和Ｔn ，并且37n n S n T n +=，则55a b 等于（ ）A. 17B.421C.835D.327. 设点Ｏ在ABC ∆ 的内部，且有230OA OB OC ++= ，则ABC ∆的面积与的面积之比为（ ）A.32B.53C.2D.38．已知数列{a n }为等差数列，若13121a a <- 且它的前n 项和n S 有最大值，那么n S 取最小正数时n 的值是（ ）A.12B.22C.23D.259．设12345,,,,A A A A A 是平面中给定的5个不同的点，则同一平面内使123450MA MA MA MA MA ++++=成立的点M 的个数为（ ）A.5个B.0个C.1个D.10个10已知函数(x)xf ex =+，对于曲线y=f （x ）上横坐标成等差数列的三个点A,B,C ，给出以下判断：①△ABC 一定是钝角三角形； ②△AB C 可能是直角三角形 ③△ABC 可能是等腰三角形； ④△ABC 不可能是等腰三角形 其中，正确的判断是（ ） A.①③ B.①④ C.②③ D.②④11．设a + b = 2, b >0, 则1||2||a a b+的最小值为（ ） A.12B.34C.1D.5412．．设a 是已知的平面向量且≠0a ，关于向量a 的分解，有如下四个命题： ①给定向量b ，总存在向量c ，使=+a b c ；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使λμ=+a b c ；③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使λμ=+a b c ； ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使λμ=+a b c ； 上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是 A.1B.2C.3D.4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(23)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共２０分，把答案写在题中横线上) 13．如图4，在平行四边形ABCD 中 ，AP ⊥BD ，垂足为P ，=AP =14．已知数列{n b }的通项公式为12,n n b -= 数列{a n }(n N *∈)满足222,,na nb b b + 成等比数列，求数列{a n }的通项公式a n＝(n N *∈)．15．已知Ｏ为坐标原点，向量(sin ,1)OA θ=,(cos ,0)OB θ=，(sin ,2)OC θ=-,()02cos sin ,1P αα=-- ．若Ｏ,Ｐ,Ｃ三点共线，求得OA OB + 的值为 .16．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ；则下列命题正确的序号是 ①若cos ２Ａcos ２Ｂ≤ ，则b a ≤； ②若sinA cosB,=，则＝２πC ；③若sin sin ２Ａ２Ｂ=；则ＡＢ= ； ④若2ab c >，则3C π< ；⑤若３３３+=a b c ，则ABC 为锐角三角形．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（本小题满分12分）已知()f x 是定义域为R 的偶函数，()00,f =当0≤x 时，2()0＋b =+≤f x x x c 的解集为4,0x ⎡⎤∈-⎣⎦(Ⅰ)求()f x 的解析式；(Ⅱ) 求不等式(x)5≤f 的解集．18．（本小题满分12分）如图，A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B ，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。

华中师大一附中2020～2021学年度下学期期中检测高一年级数学试题试卷总分：150分 考试时间：120分钟命题人：张芬菊审题人：黄进林一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.复数31()1i z i−=+(i 为虚数单位)，则其共轭复数z 的虚部为A.1−B.i −C.1D.i 2.已知向量(2,0)a =，(1,1)b =，若向量a 与向量a b λ−垂直，则实数λ= A.12B.1C.2D.3 3.《掷铁饼者》是希腊雕刻家米隆于约公元前450年雕刻的青铜雕像，它取材于现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的每只手臂长约4m π，肩宽约为8m π，“弓”所在圆的半径约为1.25m ，则如图掷铁饼者双手之间的距离约为A.2m πB.524mC.58m πD.2m 4.若ABC ∆内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且3450OA OB OC ++=，则OA AC =A.85−B.85C.45− D.455.设ABC ∆内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知4b =，3c =，3A π=，BAC ∠的平分线交边BC 于点D ，则线段AD 的长度为A.937B.1237C.637 D.53146.《九章算术》是中国古代的第一部自成体系的数学专著.其中卷五记载：“今有刍甍，下广三丈，表四丈，上袤二丈，无广，高一丈.问积几何？”问题即为：今有如图所示的屋脊状楔体PQ ABCD −，下底面ABCD 是矩形，假设屋脊没有歪斜，即PQ 中点R 在底面ABCD 上的投影为矩形ABCD 的中心O ，PQ //AB ，AB =4，AD =3，PQ =2，OR =1(长度单位：丈).则楔体PQ ABCD −的体积为(体积单位：立方丈) A.10 B.8 C.6 D.57.在劳动技术课上，某同学欲将一个底面半径为4，高为6的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内，若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大体积是 A.6427π B.12827π C.649π D.1289π8.已知,D E 分别为ABC ∆的边,AB AC 上的点，线段BE 和线段CD 相交于点P ，若2AD DB =，且DP PC λ=，CE EA μ=，其中0,0λμ>>，则11λμ+的最小值为A.B.4C.D.6二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.在复平面内，复数12,z z 对应的向量分别是,OA OB ，其中O 是原点，i 为虚数单位，则下列判断中正确的有A.若12z z =，则OA OB =B.若OA OB =，则12z z =C.若12z z i =，则0OA OB =D.若0OA OB =，则12z z i =10.已知向量sin(),3sin 6a =x x π⎛⎫− ⎪⎝⎭，cos(),sin 6b x x π⎛⎫=−− ⎪⎝⎭，函数3(),2f x a b x R =+∈，则下列结论正确的为A.()()33f x f x ππ−=−+B.()f x 的最小正周期为πC.()f xD.()f x 的图象关于直线12x π=对称 11.“阿基米德多面体”也称为半正多面体(semi-regularsolid)，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体.已知AB =，则关于如图半正多面体的下列说法中，正确的有A.该半正多面体的体积为203B.该半正多面体过,,A B CC.该半正多面体外接球的表面积为8πD. 该半正多面体的顶点数V 、面数F 、棱数E 满足关系式2V F E +−=12.已知ABC ∆的内角分别为,,A B C ，满足sin :sin :sin ln2:ln4:ln (0)A B C t t =>，且2CA CB mAB =()m R ∈，则以下说法中正确的有A.若ABC ∆为直角三角形，则t =；B.若18m =，则ABC ∆为等腰三角形；C.若4t =，则ABC ∆22； D.若2C π>，则209m −<<. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知||3a =，(1,0)e =，向量a 与向量e 的夹角为23π，则向量a 在向量e 方向上的投影向量的坐标为____________.14. 设复数(cos sin )(0,02)z r i r θθθπ=+>≤<，其中i 为虚数单位，若z 满足210z z ++=，则tan θ=____________.A 1D CBAC 1D 1 15. 轴截面是等边三角形的圆锥，即底面圆直径与母线相等的圆锥叫做等边圆锥(Equilateralcone)，它外观看着舒适，且具有稳定的性质，生活中应用广泛，例如冰激凌、沙漏等呈等边圆锥状.已知一等边圆锥的底面圆直径为6，在该圆锥内放置一个棱长为a 的正四面体，且正四面体在该圆锥内可以任意转动，则a 的最大值为 ____________.16.已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2222a b c +=，则cos C 的取值范围为____________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)设1z 是虚数，2111z z z =+是实数，且21z ≤.(1)求1z 的值；(2)求1z 的实部的取值范围.18.(12分)在①cos 3sin 0a C a C b c +−−=；②22(sin sin )sin sin sin B C A B C −=−；③2cos (cos A c B cos )b C a +=这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并加以解答.问题：ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足. (1)求A ；(2)若3a =，且向量(1,sin )m B =与(2,sin )n C =共线，求ABC ∆的周长. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分.19.(12分)已知长方体1111ABCD A B C D −全部棱长的和为28，其外接球的表面积为17π，过1A 、1C 、B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体111ABCD AC D −，且这个几何体的体积为10.(1)求棱1AA 的长；(2)求几何体111ABCD AC D −的表面积.20.(12分)如图，在正方形ABCD 中，2AB =，12AE AB =，P 为以A 为圆心、AB 为半径的圆弧BD 上的任意一点(包括,B D 两点).(1)求AP PB 的最大值；(2)设向量(0,0)AC DE AP λμλμ=+>>，若2λμ+=，求凸四边形PABC 的面积.21.(12分)“精准扶贫，修路先行”，为解决城市A 和山区B 的物流运输问题，方便B 地的农产品运输到城市A 交易，计划在铁路AD 间的某一点C 处修建一条笔直的公路到达B 地.示意图如图所示，AB =BD =45BDA ∠=︒.已知农产品的铁路运费为每千米1百元，公路运费为每千米2百元，农产品从B 到A 的总运费为y 百元.为了求总运费y 的最小值，现提供两种方案建立函数关系，方案1：设AC x =千米；方案2：设BCD θ∠=.(1)试将y 分别表示为关于x 、θ的函数关系式()y f x =和()y g θ=； (2)请只选择一种方案，求出总运费y 的最小值以及此时AC 的长度.22.(12分)已知函数()()sin f x x ωϕ=+(0,2πωϕ><).(1)若()f x 满足()()44f x f x ππ−=−+，()()2f x f x π−−=，且()f x 在区间(0,)8π上为单调函数，试求ω的最大值；(2)若直线y ω=(01ω<<)与()f x 的图象相交，将其中三个相邻的交点从左到右依次记为,,A B C ，且满足AC nBC =(n *∈N ).当8πϕ=时，函数()f x 在区间[,]11ππωω−++上单调递增，试求ω的取值范围.华中师大一附中2020～2021学年度下学期期中检测高一年级数学试题参考答案三、填空题13.3(,0)2−14.15.16.1[2四、解答题17.(1)设1i(,,0)z a b a b b=+∈≠R，则212222111i()()iia bz z a b a bz a b a b a b=+=++=++−+++∵z2是实数，且0b≠，∴22bba b−=+，得221a b+=，∴1||1z=……………6分(2)由(1)知22z a=，则121a−≤≤，即1122a−≤≤∴z1的实部取值范围为11[,]22−…………10分18.(1)选择①，由正弦定理，得sin cos sin sin sinA C A CB C+=+sin cos sin sinA C A C C=+，又sin0C≠cos1A A−=∴1sin()62Aπ−=，又0Aπ<<，∴66Aππ−=，得3Aπ=选择②，由正弦定理，得22()b c a bc−=−，整理得，222b c a bc+−=，又2221cos22b c aAbc+−==，0Aπ<<，∴3Aπ=选择③，由正弦定理，得2cos(sin cos cossin)sinA CBC B A+=，∴2cos sin()sinA B C A+=，又sin0A≠，∴1cos2A=，0Aπ<<，∴3Aπ=……………………6分(2)∵//m c，∴sin2sinC B=，由正弦定理得，2c b=由余弦定理，2221cos22b c aAbc+−==，得222b c a bc+−=又3a=，∴23b=，b=c=∴△ABC周长为3+……………………12分19.(1)设AB a=，BC b=，1AA c=，则4()28a b c++=，∴7a b c++=①又22224(a b c R R++=为长方体外接球半径)，∴22217a b c++=②又11115106ABCD A B C D V abc −==，∴12abc =③由①②③，解得223a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩或232a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩或322a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴棱长AA 1为2或3 ………………6分(2)由(1)知，1111111132()()1622ABCD A C D A BC A BC S ab bc ca ab bc ca S S −∆∆=++−+++=⨯+若2a b ==，3c =，则1112A BC S ∆=⨯=其他情况，同理∴111316242ABCD A C D S −=⨯= ………………12分20.以A 为坐标原点，直线AB ，AD 分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系xOy(1)设(2cos ,2sin )P θθ，[0,]2πθ∈(2cos ,2sin )AP θθ=，(22cos ,2sin )PB θθ=−−224cos 4cos 4sin 4cos 4AP PB θθθθ⋅=−−=−∵02πθ≤≤，∴0cos 1θ≤≤，∴AP PB ⋅的最大值为0 ………………5分(2)由AC DE AP λμ=+，得(2,2)(1,2)(2cos ,2sin )λμθθ=−+∴2cos 222sin 2λμθλμθ+=⎧⎨−+=⎩，∴2sin 2cos sin 2cos 3sin 2cos θθλθθμθθ−⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，则2(sin cos )32sin 2cos θθλμθθ−++==+ ∴1cos 2θ=，又02πθ≤≤，∴sin θP4PAB S ∆==，1PBC S ∆=，∴四边形P ABC的面积为1 ……………12分另解：以A 为坐标原点，直线AB ，AD 分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系xOy ，设(,)P x y ，224x y +=，且02,02x y ≤≤≤≤(1)02x ≤≤，∴(,)(2,)240AP PB x y x y x =−−=−≤，∴AP PB ⋅的最大值为0(2)由(2,2)(1,2)(,)x y λμ=−+，得222x y λμλμ−⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，代入224x y +=，得225484λλμ++=，又2λμ+=，解得1μ=11622(2)2321122S y x y x λμμ=⨯+⨯−=+−=+=−=+21.(1)在△ABD 中，由余弦定理得，2222cos45AD AD =+−⨯⨯︒ 得26090080AD AD −−⨯=，120AD =或60−(舍去)方案①：在△ABDsin A =，得sin A = (0,)2A π∈，cos A =在△ABC 中，设AC x =，由余弦定理，22222cos 1809000BC x x A x x =+−⨯⋅=−+∴()2120)f x AC BC x x =+=+<<方案②：在△BCD 中，由正弦定理，sin 45BC =︒，得30sin BC θ= 又sin 45sin(135)BC CDθ=︒︒−，得30(sin cos )sin CD θθθ+=，30cos 12090sin AC CD θθ=−=−∴6030cos ()290(0135)sin g AC BC θθθθ−=+=+︒<<︒…………………6分(2)若选择方案①，令y x =+，得22()4(1809000)y x x x −=−+整理得，2232(360)490000x y x y +−+⨯−=由0∆≥得，218090600y y −+⨯≥，得90y ≥+90y ≤−舍)∴min 90y =+360903yx −==−即90AC =−90+若选择方案②，令2cos sin y θθ−=，则sin cos 2y θθ+=2)2θϕ+=，sin()1θϕ+=≤，得23y ≥，又0y >，∴y令2cos sin θθ−=，得sin(30)1θ+︒=，0135θ︒<<︒，60θ=︒时，min y =此时min ()90g θ=+90AC =−千米总运费的最小值为90+百元……………………12分22.(1)依题意，()f x 关于点(,0)4π对称且关于直线4x π=−对称，则()f x 的周期2T πω=满足,242T Tm m π=+⋅∈Z ，∴21,m m ω=+∈Z ①又()f x 在(0,)8π上为单调函数，则1228ππω⋅≥，∴8ω≤②由①②知，当7ω=时，()sin(7)f x x ϕ=+，当4x π=−时，7,42k k ππϕπ−+=+∈Z 又||2πϕ<，得(2)4k πϕ==−，此时，()sin(7)4f x x π=+当08x π<<时，97448x πππ<+<，此时()f x 不单调，不满足题意当5ω=时，()sin(5)f x x ϕ=+，当4x π=−时，5,42k k ππϕπ−+=+∈Z 又||2πϕ<，得(2)4k πϕ=−=−，此时，()sin(5)4f x x π=−当08x π<<时，35448x πππ−<−<，满足条件∴ω的最大值为5 ………………………6分(2)不妨设()1,A x ω，()2,B x ω，()3,C x ω，且线段AB 的中点为()0,M x ω，显然有312x x πω−=，1202x x x +=，且()f x 的图象关于直线0x x =对称，∵AC nBC =(n *∈N )，∴1AB n n AC−=(n *∈N )， ∴()2121n x x n πω−−=，即()2121n x x nπωω−−=，①∵01ω<<，且n *∈N ，∴由正弦曲线的图像可知，022x k πωϕπ+=−(k ∈Z )，∴12222x x k πωϕπ+⋅+=−(k ∈Z )，即2142x x k ωωππϕ+=−−，② 由①②可得1322x k n ππωϕπ+=−+，∴3sin 22k n πππω⎛⎫−+= ⎪⎝⎭，即cos n πω=， ∵()cos 0,1nπω=∈，且n *∈N ，∴3n ≥，且1[,1)2ω∈，当8πϕ=时，且()f x 在区间,11ππωω⎡⎤−⎢⎥++⎣⎦上单调递增， ∴182182πππωωπππωω⋅+≤+⎛⎫⋅−+≥− ⎪+⎝⎭⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得35ω≤，又∵1[,1)2ω∈，∴1325ω≤≤.…………12分。

数学试卷试卷满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题卡上.) 1. 数列{}n a 是等差数列，23a =，59a =，则6S =（ ）． A ．12B ．24C ．36D ．722.若向量a v ，b v 满足()5a a b ⋅-=vv v ，||2a =v ，1b =v ，则向量a v ，b v 的夹角为（ ）A ．6π B ．3πC ． 23πD ． 56π3.在ABC ∆中，4a b B π===，则A 等于 （ ）A ．6πB ．3πC ．3π或23πD ．6π或56π4. 在ABC V 中，12BD DC =u u u r u u u r，则AD u u u r =（ ）A ．1344AB AC +u u u r u u u r B ．2133AB AC +u u u r u u u r C ．1233AB AC +u u u r u u u rD ．2133AB AC -u u ur u u u r5. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，此日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见此日行数里，请公仔细算相还”，其意思为：“有一个人要去378里外的地方，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问第四天走了（ ） A. 96里B. 24里C. 192 里D. 48里6. 已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 是等差数列，若1598a a a ⋅⋅=-，2583b b b π++=，则4637sin1b b a a +-的值是（ ）A.12 B.12-D.-7. 钝角三角形ABC 2AB =，3BC =，则AC = ( )B.C.D.8.已知ABC V 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos a B c =，则该三角形一定是（ ） A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形9.如图，已知等腰ABC V 中，3AB AC ==，4BC =，点P 是边BC 上的动点，则()AP AB AC ⋅+u u u r u u u r u u u r( )A ．为定值10B ．为定值6C ．最大值为18D ．与P 的位置有关（第9题图）10.在ABC V 中，三边长可以组成公差为1的等差数列，最大角的正弦值为32，则这个三角形的面积为( ) A ．1516 B ．153 C ．154D ．15311.如图所示，为了测量A 、B 处岛屿的距离，小明在D 处观测，A 、B 分别在D 处的北偏西15o 、北偏东45o 方向，再往正东方向行驶10海里至C 处，观测B 在C 处的正北方向，A 在C 处的北偏西60o 方向，则A 、B 两岛屿的距离为（ ）海里.A ．56B ．106C ．102D ．202（第11题图）12.数列{}n a 的前n 项和为n S ，()()1211n n n n a a n +++=⋅-，20211001S =，则2a 的值为（ ）A ．9-B ．8C ．1019-D ．1018 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填在答题卡相应位置上.)13.已知a r ，b r 均为单位向量，它们的夹角为23π，则a b -=r r ．14.在数列{}n a 中，13a =，212n n n a a +=+，则n a =15.设等比数列{}n a 满足1330a a +=，2410a a +=，则123n a a a a ⋅⋅⋅……的最大值为 16. 已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，3c =且(sin sin )(3)()sin C B b a b A -+=+，则ABC ∆面积的最大值为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，已知()1,2a =-r ，()3,4b =r.（Ⅰ）若()()3a b a kb -+r r r r∥，求实数k 的值；（Ⅱ）若()a tb b -⊥r r r，求实数t 的值.18.（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等差数列，1=10a -，公差0d ≠，且245,,a a a 是等比数列； （Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）求数列{}||n a 的前n 项和n T ．19.（本小题满分12分）在四边形ABCD 中，90ADC ∠=o，45A ∠=o，1AB =，3BD =． （Ⅰ）求cos ADB ∠；（Ⅱ）若DC =，求BC ．20.（本小题满分12分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知17a =-，公差d 为整数，且4n S S ≥； （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .21.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222cos sin sin cos sin A A B C B +=+.（Ⅰ）求角C ； （Ⅱ）若c =ABC ∆的面积是，求ABC ∆的周长.22.（本小题满分12分）设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：24a =，21444n n a S n +=++，n N *∈.（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）若正项等比数列{}n b 满足11b a =，34b a =，且1nn n c a b +=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，若对任意n N *∈，均有2828n T m n n ⋅≥-恒成立，求实数m 的取值范围．高一数学试题答案14. n 453+15. 729 16. 三、解答题：本大题共6小题，共70分 17.（本题10分）（Ⅰ）()1,2a =-rQ ，()3,4b =r ，()()()331,23,40,10a b ∴-=--=-r r ， ()()()1,23,431,42a kb k k k +=-+=+-r r，()()3//a b a kb -+r r r r Q ，()10310k ∴-+=，解得13k =-……………………………5分（Ⅱ）()()()1,23,413,24a tb t t t -=--=---r r，()a tb b -⊥r r r Q ，()()()3134242550a tb b t t t ∴-⋅=⨯-+⨯--=--=r r r，解得15t =-. ……………………………………………………………………………10分18.（本小题满分12分） （Ⅰ）由题意：()()()210104103d d d -+-+=-+ 计算得：()20d =或0舍去所以212n a n =-；………………………………………………………6分（Ⅱ）当16n ≤≤时，0n a ≤，即有211n n T S n n =-=-； 当7n ≥时，0n a >，6621160n n T S S S n n =--=-+，即有2211,161160,7n n n n T n n n ⎧-≤≤=⎨-+≥⎩．………………………………………………12分19.（本小题满分12分）（Ⅰ）在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠．由题设知，31sin 45sin ADB=︒∠，所以sin ADB ∠=．由题设知，90ADB ∠<︒，所以cos 6ADB ∠==．…………6分（Ⅱ）由题设及(1)知，cos sin 6BDC ADB ∠=∠=． 在BCD △中，由余弦定理得2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠92236=+-⨯9=． 所以3BC =．………………………………………………………………12分20.（本小题满分12分）(1) 由 等差数列{}n a 的前n 项n S 满足4n S S ≥，170a =-<， 得 a 4≤0，a 5≥0，于是-7＋3d ≤0，-7＋4d ≥0， 解得74≤d ≤73，因为公差d 为整数， 因此d ＝2.故数列{a n }的通项公式为29n a n =- ……………………………………6分 (2) ()()1111292722927n b n n n n ⎛⎫==- ⎪----⎝⎭,于是12n n T b b b =+++……1111111275532927n n ⎛⎫=⨯-+-++- ⎪------⎝⎭…… ()1112727727nn n ⎛⎫=--=- ⎪--⎝⎭ ∴n T =()727nn --…………………………………………………………12分21.（本小题满分12分）（1）由222cos sin sin cos sin A A B C B +=+，得21sin sin sin A A B -+221sin sin C B =-+，即2sin sin sin C A B +22sin sin A B =+. 由正弦定理可得222a b c ab +-=， 由余弦定理可得cos 12C =， ∵C ∈（0，π）， 所以3C π=. ………………………………………………6分（2）1sin 2ABC S ab C ∆===20ab =，因为222c a b ab =+-，c =2241a b +=，()2222414081a b a ab b +=++=+=，9a b +=所以ABC ∆的周长为9……………………………………………………12分22.（本小题满分12分）（1）因为21444n n a S n +=++，所以()214414n n a S n -=+-+（n ≥2），两式相减得：a n +12﹣a n 2＝4a n +4，即a n +12＝（a n +2）2（n ≥2）， 又因为数列{a n }的各项均为正数，所以a n +1＝a n +2（n ≥2）， 又因为a 2＝4，16＝a 12+4+4，可得a 1＝2，所以当n ＝1时上式成立，即数列{a n }是首项为1、公差为2的等差数列， 所以a n ＝2+2（n ﹣1）＝2n ；……………………………………………………4分 （2）由（1）可知b 1＝a 1＝2，b 3＝a 4＝8，所以b n ＝2n；c n ＝()112n n ++⋅．()2312232212n n n T n n +=⋅+⋅++⋅++⋅……① ()341222232212n n n T n n ++=⋅+⋅++⋅++⋅……②① —②得：()3412822212n n n T n ++-=++++-+⋅……()()()()232122242232124421122n n nn n n n n ++++=+++++-+⋅=+--+⋅=-⋅……22n n T n +=⋅…………………………………………………………………………8分2828n T m n n ⋅≥-恒成立，等价于()2247n n m n n +⋅≥-恒成立，所以272nn m -≥恒成立， 设k n ＝272n n -，则k n +1﹣k n ＝1252n n +-﹣272nn -＝1922n n +-， 所以当n ≤4时k n +1＞k n ，当n ＞4时k n +1＜k n ， 所以123456k k k k k k <<<<>>……所以当k n 的最大值为k 5＝332，故m ≥332， 即实数m 的取值范围是：[332，+∞）．…………………………………………12分。

数学试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题卡上．) 1.数列{}n a 是等差数列，23a =，59a =，则6S =（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 72【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的下标性质，结合等差数列的前n 项和公式进行求解即可. 【详解】16256()6()6(39)636222a a a a S +⋅+⋅+⨯====.故选：C【点睛】本题考查了等差数列的下标性质，考查了等差数列的前n 项和公式，考查了数学运算能力.2.若向量a →，b →满足()5a a b →→→⋅-=，||2a →=，1b →=，则向量a →，b →的夹角为（ ） A.6π B.3πC.23π D.56π 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的运算性质和定义，对等式()5a a b →→→⋅-=进行变形，最后结合平面向量的夹角定义和特殊角的三角函数值进行求解即可. 【详解】222()55cos 5221cos 5a a b a a b a a b a b a b →→→→→→→→→→→→→⋅-=⇒-⋅=⇒-⋅⋅〈⋅〉=⇒-⋅⋅〈⋅〉=，即12cos ,[0,],23a b a b a b ππ→→→→→→〈⋅〉=-〈⋅〉∈∴〈⋅〉=-.故选：C【点睛】本题考查了求平面向量的夹角，考查了平面向量的数量积的运算性质和定义，考查了数学运算能力.3.在ABC ∆中，4a b B π===，则A 等于（ ）A.6π B.3πC.6π或56π D.3π或23π 【答案】D 【解析】由正弦定理得sin sin a b A B =，所以sin sin sin a B A b π===，又a b >，所以4A π>，所以3A π=或23A π=．选D ． 点睛：已知三角形的两边和一边对角解三角形时，需利用正弦定理求另一边的对角，解题时要注意讨论该角的个数，这是解题的难点，应引起注意． 4.在ABC ∆中，12BD DC =，则AD =（ ） A.1344AB AC B. 2133AB AC +C.1233AB AC + D.2133AB AC - 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理，结合平面向量共线向量的性质和平面向量加法的几何意义进行求解即可. 【详解】11121()().33333AD AB BD AB BC AB BA AC AB AB AC AB AC =+=+=++=+-+=+故选：B【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用，考查了平面向量加法的几何意义，考查了共线向量的性质，属于基础题.5.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，此日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见此日行数里，请公仔细算相还”，其意思为：“有一个人要去378里外地方，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问第四天走了（ ） A. 96里B. 24里C. 192 里D. 48里【解析】 【分析】根据题意，结合等比数列的定义、等比数列的前n 项和公式、等比数列的通项公式进行求解即可.【详解】由题意可知：每天走的路程构成12为公比的等比数列，设为{}{}(1,2,3,4,5,6)n a n ∈，所以第一天走的路程为1a ，设6天共走的路程为6S ，则有61611[1()]2378192112a S a -==⇒=-，因此第4天走的路程为：34111()1922428a a =⋅=⨯=.故选：B【点睛】本题考查了数学建模能力，考查了等比数列的前n 项和公式、等比数列的通项公式，考查了数学运算能力和数学阅读能力.6.已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 是等差数列，若1598a a a ⋅⋅=-，2583b b b π++=，则4637sin1b b a a +-的值是（ ）A.12 B. 12-D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列和等比数列的下标性质，结合诱导公式、特殊角的正弦值进行求解即可. 【详解】因为数列{}n a 是等比数列，所以由23159********()8882a a a a a a a a a a ⋅⋅=-⇒⋅⋅=-⇒⋅=-⇒=-⇒=-，又因为数列{}n b 是等差数列，所以由2582855555332333b b b b b b b b b b πππππ++=⇒++=⇒+=⇒=⇒=，46523752222sinsin sin sin()sin sin()sin 11143333b b b a a a ππππππ+∴===-=-=--=-=---【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的下标性质，考查了特殊角的正弦值，考查了诱导公式的应用，考查了数学运算能力.7.钝角三角形ABC 的面积是2，2AB =，3BC =，则AC =（ ）【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的面积公式，结合余弦定理和已知三角形是钝角三角形进行求解即可.【详解】因为钝角三角形ABC 的面积是，所以有1sin sin 2AB BC B B ⋅⋅=⇒=， 因为(0,)B π∈，所以3B π=或23B π=.当3B π=时，AC ===2AB =，3BC =，所以最长边为BC ，于是有222cos 02AB AC BC A AB AC +-===>⋅，因此三角形ABC 的最大内角A 是锐角，这与已知三角形ABC 不符合，故舍去；当23B π=时，AC ===. 故选：D【点睛】本题考查了三角形面积公式的应用，考查了余弦定理的应用，考查了钝角三角形的性质，考查了数学运算能力.8.已知ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，若2cos aB c=，则该三角形一定是（ ） A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角【答案】A 【解析】 【分析】根据余弦定理得到三边间的关系后可得三角形的形状．【详解】由2cos a B c =及余弦定理得22222222a c b a c b aac ac c+-+-⨯==，整理得22c b =， ∴b c =，∴ABC ∆为等腰三角形． 故选A ．【点睛】根据正弦定理、余弦定理判断三角形的形状时，常用的方法有两种，一是把边化成角后进行判断，另一种方法是把角化为边后再进行判断，解题时注意对两种方法的选择． 9.如图，已知等腰ABC ∆中，3AB AC ==，4BC =，点P 是边BC 上的动点，则()AP AB AC ⋅+（ ）A. 为定值10B. 为定值6C. 最大值为18D. 与P 的位置有关【答案】A 【解析】 【分析】设(01)BP BC λλ=≤≤，根据平面向量数量积运算性质，结合平面向量的加法的几何意义、余弦定理、平面向量的数量积的定义进行求解即可. 【详解】设(01)BP BC λλ=≤≤.()()()2()AP AB AC AB BP AB AC AB AB AC BC AB AC λ⋅+=+⋅+=+⋅+⋅+，因为()()()()22BC AB AC BA AC AB AC AC ABλλλ⋅+=+⋅+=-=，22299161cos 22339AB AC BC A AB AC +-+-===⋅⨯⨯，所以()22333cos 10AP AB AC AB AB AC A ⋅+=+⋅=+⨯⋅=. 故选：A【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算性质，考查了平面向量数量积的定义，考查了平面向量的加法的几何意义，考查了数学运算能力.10.在ABC ∆中，三边长可以组成公差为1形的面积为（ ）A.1516B.16C.154D.4【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的大边对大角的性质，结合特殊角的三角函数值、余弦定理、三角形面积公式进行求解即可.【详解】设ABC ∆最小边的边长为a ，由题意可知，另个二个边的边长分别为：1,2a a ++，显然三边不相等，且边长为2a +的边为最长边，它所对的角为最大角，设为α. 因为最大角sin (0,),ααπ=∈∴3πα=或23πα=. 当3πα=时，因为最大角为3π，所以由三角形内角和可知，这样不构成三角形，故舍去； 当23πα=时，由余弦定理可知：22222(2)(1)2(1)cos2303a a a a a a a π+=++-+⇒--=，解得32a =或1a =-（舍去），因此三边长分别为：357,,222，因此三角形面积为：135222⨯⨯=. 故选：B【点睛】本题考查了三角形面积公式，考查了余弦定理的应用，考查了三角形的性质，考查了数学运算能力.11.如图所示，为了测量A 、B 处岛屿的距离，小明在D 处观测，A 、B 分别在D 处的北偏西15、北偏东45方向，再往正东方向行驶10海里至C 处，观测B 在C 处的正北方向，A 在C 处的北偏西60方向，则A 、B 两岛屿的距离为（ ）海里．A. 56B. 106C. 102D. 202【答案】A 【解析】 【分析】连接AB ，根据题意得出相应角的大小，分别在ADC ∆、BCD ∆、ABD ∆使用正弦定理、锐角三角函数定义、余弦定理进行求解即可. 【详解】连接AB ，由题意可知：10,105,45,90,30CD ADC BDC BCD ACD ︒︒︒︒=∠=∠=∠=∠=，所以有45,60DAC ADB ︒︒∠=∠=.在ADC ∆中，由正弦定理可知：52sin sin AD CDAD ACD CAD =⇒=∠∠.在Rt BCD ∆中，cos 102CDBDC BD BD∠=⇒=. 在ABD ∆中，由余弦定理可知：222cos 56AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠=.故选：A【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，考查了方位角的定义，考查了数学运算能力.12.数列{}n a 的前n 项和为n S ，()()1211n n n n a a n +++=⋅-，20211001S =，则2a 的值为（ ）A. 9-B. 8C. 1019-D. 1018【答案】B 【解析】 【分析】 分别令1,2,3,4,,2019,2020n =代入等式()()1211n n n n a a n +++=⋅-中，得到2020个等式，把2020个等式相加，再根据这些等式，求出2020S 的表达式，最后结合已知20211001S =进行求解即可.【详解】因为()()1211n n n n a a n +++=⋅-，所以有：121,(1),a a +=-，2334452,(2),3,(3),4,(4),,a a a a a a +=-+=+=201920202019,(2019)a a += 202020212020,(2020)a a +=，(1)(2)(3)(4)(2019)(2020)++++++，得：20202021120202021150542020S S a S S a +-=⨯⇒+-=，(1)(3)(2019)+++，得：20201010S =，因此12021202020201001101020209a S S =+-=+-=-，而121a a +=-，因此2118a a =--=. 故选：B【点睛】本题考查了数列递推公式的应用，考查了数学运算能力，考查了转化与化归思想，属于基础题.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填在答题卡相应位置上．)13.已知,a b 为单位向量，其夹角为120︒，则a b -=______. 【解析】 【分析】 由公式2||a a =将a b -看成一个整体，即2||()a b a b -=-直接进行运算.【详解】由题意得：2221||()222()2a b a b a a b b -=-=-⋅+=-⋅-=.【点睛】本题考查向量模的求解、数量积的运算，考查运算求解能力，求解时注意夹角为120︒余弦值为12-，不能符号弄错. 14.在数列{}n a 中，13a =，212n n n a a +=+，则n a =_________．【答案】n 453+【解析】 【分析】运用累加法，结合等比数列的前n 项和公式进行求解即可.【详解】当2n ≥时，2(1)11124n n n n n a a a ----=+=+，所以有： 121122111()()()44434(14)453,143n n n n n n n n n a a a a a a a a ------=-+-++-+=++++-+=+=-当1n =时，也上适合上式，所以n a =n 453+.故答案为：n 453+【点睛】本题考查了应用累加法求数列的通项公式，考查了等比数列的前n 项和公式，考查了数学运算能力.15.若等比数列*{}()n a n N ∈满足1330a a +=，2410a a +=，则12...n a a a ⋅⋅⋅的最大值为____． 【答案】729 【解析】 【分析】求出基本量1a ，q 后可得数列的通项，判断1n a ≥、01n a <<何时成立可得n 取何值时有12...n a a a ⋅⋅⋅的最大.【详解】设公比为q ，因为1330a a +=，2410a a +=，所以241313a a q a a +==+，所以111309a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得127a =，所以1412733n n n a --⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭， 当14n ≤≤时，1n a ≥；当5n ≥时，01n a <<，故12...n a a a ⋅⋅⋅最大值为32106123123433729a a a a a a a +++⋅⋅=⋅⋅⋅===，故填729. 【点睛】正项等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，其公比为q （1,0q q ≠>）（1）若101a <<，则当1q >时，n T 有最小值0n T 无最大值，且0011,1n n a a +≤≥；当01q <<时，n T 有最大值1T ，无最小值.（2）若11a >，则当01q <<时，n T 有最大值0n T 无最小值，且0011,1n n a a +≥≤；当1q >时，n T 有最小值1T ，无最大值.16.已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，3c =且(sin sin )(3)()sin C B b a b A -+=+，则ABC ∆面积的最大值为_________．【答案】4【解析】 【分析】根据正弦定理化简等式，再根据余弦定理求出C 的大小，最后根据基本不等式和三角形面积公式进行求解即可. 【详解】根据正弦定理，由(sin sin )(3)()sin ()(3)()(3)(3)(),C B b a b A c b b a b a b b a b a -+=+⇒-+=+⇒-+=+化简得：229a b ab ++=，而由余弦定理可知；22292cos c a b ab C ==+-⋅，因此12cos ,(0,),23C C C ππ=-∈∴=.222a b ab +≥（当且仅当a b =时，取等号），923ab ab ab -≥⇒≤.设ABC ∆面积为S ，于是有112sin sin 22344S ab C ab ab π===≤.【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，考查了基本不等式的应用，考查了三角形面积公式，考查了数学运算能力.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.在平面直角坐标系中，已知()1,2a =-，()3,4b =.（Ⅰ）若()()3//a b a kb -+，求实数k 的值；（Ⅱ）若()a tb b -⊥，求实数t 的值.【答案】（Ⅰ）13-；（Ⅱ）15-. 【解析】 【分析】（Ⅰ）求出向量3a b -和a kb +的坐标，然后利用共线向量的坐标表示得出关于k 的方程，解出即可；（Ⅱ）由()a tb b -⊥得出()0a tb b -⋅=，利用向量数量积坐标运算可得出关于实数t 的方程，解出即可. 【详解】（Ⅰ）()1,2a =-，()3,4b =，()()()331,23,40,10a b ∴-=--=-，()()()1,23,431,42a kb k k k +=-+=+-，()()3//a b a kb -+，()10310k ∴-+=，解得13k =-； （Ⅱ）()()()1,23,413,24a tb t t t -=--=---，()a tb b -⊥，()()()3134242550a tb b t t t ∴-⋅=⨯-+⨯--=--=，解得15t =-. 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查利用共线向量和向量垂直求参数，考查计算能力，属于基础题.18.已知数列{}n a 是等差数列，1=10a -，公差0d ≠，且245,,a a a 是等比数列； （Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）求数列{}||n a 的前n 项和n T ．【答案】（Ⅰ）212n a n =-；（Ⅱ）2211,161160,7n n n n T n n n ⎧-≤≤=⎨-+≥⎩．【解析】 【分析】（Ⅰ）根据等比数列的性质，结合等差数列的通项公式进行求解即可； （Ⅱ）根据n a 的正负性，结合等差数列的前n 项和公式进行求解即可.【详解】（Ⅰ）由题意：245,,a a a 是等比数列，所以有()()()210104103d d d -+-+=-+ 解得：2d =或0（舍去）， 所以212n a n =-；（Ⅱ）当16n ≤≤时，0n a ≤，即有2(10212)112n n n nT S n n -+-=-=-=-；当7n ≥时，0n a >，662(10212)(100)62116022n n n n T S S S n n -+--+⨯=--=-⨯=-+，即有2211,161160,7n n n n T n n n ⎧-≤≤=⎨-+≥⎩．【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了求等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n 项和公式的应用，考查了数学运算能力19.在四边形ABCD 中，90ADC ∠=，45A ∠=，1AB =，3BD =． （Ⅰ）求cos ADB ∠；（Ⅱ）若DC =BC ．【答案】；（Ⅱ）3BC =． 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用正弦定理，结合同角的三角函数关系式进行求解即可； （Ⅱ）根据诱导公式，结合余弦定理进行求解即可. 【详解】（Ⅰ）在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠．由题设知，31sin 45sin ADB =︒∠，所以sin 6ADB ∠=．由题设知，90ADB ∠<︒，所以cos ADB ∠==（Ⅱ）由题设及（1）知，cos sin 6BDC ADB ∠=∠= 在BCD ∆中，由余弦定理得2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠92236=+-⨯9=． 所以3BC =．【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，考查了同角的三角函数关系式，考查了诱导公式，考查了数学运算能力.20.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知17a =-，公差d 为整数，且4n S S ≥； （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】（Ⅰ）29n a n =-；（Ⅱ）n T =()727nn --．【解析】【分析】（Ⅰ）根据等差数列{}n a 的前n 项n S 最值的性质，结合等差数列的通项公式进行求解即可； （Ⅱ）利用裂项相消法进行求解即可.【详解】（Ⅰ）由等差数列{}n a 的前n 项n S 满足4n S S ≥，170a =-<， 得 a 4≤0，a 5≥0，于是7-＋3d ≤0，7-＋4d ≥0， 解得74≤d ≤73，因为公差d 为整数，因此d ＝2．故数列{a n }的通项公式为29n a n =- （2） ()()1111292722927n b n n n n ⎛⎫==- ⎪----⎝⎭，于是12n n T b b b =+++……1111111275532927n n ⎛⎫=⨯-+-++- ⎪------⎝⎭…… ()1112727727nn n ⎛⎫=--=- ⎪--⎝⎭ ∴n T =()727nn --【点睛】本题考查了等差数列的通项公式的求解，考查了裂项相消法的应用，考查了数学运算能力.21.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222cos sin sin cos sin A A B C B +=+．（Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）若c =ABC ∆的面积是，求ABC ∆的周长．【答案】（Ⅰ）3C π=；（Ⅱ）9+．【解析】 【分析】（Ⅰ）根据同角的三角函数关系式，结合正弦定理、余弦定理进行求解即可；（Ⅱ）根据三角形面积公式，结合完全平方和公式和（Ⅰ）中结论进行求解即可. 【详解】（Ⅰ）由222cos sin sin cos sin A A B C B +=+，得21sin sin sin A A B -+221sin sin C B =-+，即2sin sin sin C A B +22sin sin A B =+． 由正弦定理可得222a b c ab +-=，由余弦定理可得222cos 122a b c C ab +-==，(0,),3C C ππ∈∴=；（2）1sin 2ABC S ab C ∆=4ab ==20ab =，因为222c a b ab =+-，c =，所以2241a b +=，()2222414081a b a ab b +=++=+=，9a b +=所以ABC ∆的周长为9+【点睛】本题考查了同角的三角函数关系式的应用，考查了正弦定理、余弦定理的应用，考查了数学运算能力.22.设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：24a =，21444n n a S n +=++，n *∈N ．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若正项等比数列{}n b 满足11b a =，34b a =，且1nn n c a b +=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，若对任意n *∈N ，均有2828n T m n n ⋅≥-恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（Ⅰ）a n ＝2n ；（Ⅱ）[332，+∞）． 【解析】 【分析】（Ⅰ）对递推关系21444n n a S n +=++再递推一步，两式相减，最后结合等差数列的定义进行求解即可；（Ⅱ）根据等差数列的通项公式结合已知求出等比数列的通项公式，最后利用错位相减法、判断数列的单调性进行求解即可.【详解】（Ⅰ）因为21444n n a S n +=++，所以()214414n n a S n -=+-+（n ≥2），两式相减得：a n +12﹣a n 2＝4a n +4，即a n +12＝（a n +2）2（n ≥2）， 又因为数列{a n }的各项均为正数，所以a n +1＝a n +2（n ≥2）， 又因为a 2＝4，16＝a 12+4+4，可得a 1＝2，所以当n ＝1时上式成立，即数列{a n }是首项为2、公差为2的等差数列， 所以22(1)2na n n =+-=；（Ⅱ）由（1）可知b 1＝a 1＝2，b 3＝a 4＝8，所以正项等比数列{}n b的公比为：2q ==， 因此b n ＝2n ；c n ＝()112n n ++⋅．()2312232212n n n T n n +=⋅+⋅++⋅++⋅……① ()341222232212n n n T n n ++=⋅+⋅++⋅++⋅……②① —②得：()3412822212n n n T n ++-=++++-+⋅……()()()()232122242232124421122n n nn n n n n ++++=+++++-+⋅=+--+⋅=-⋅……22n n T n +=⋅2828n T m n n ⋅≥-恒成立，等价于()2247n n m n n +⋅≥-恒成立，所以272n n m -≥恒成立， 设k n ＝272n n -，则k n +1﹣k n ＝1252n n +-﹣272n n -＝1922n n +-， 所以当n ≤4时k n +1＞k n ，当n ＞4时k n +1＜k n ， 所以123456k k k k k k <<<<>>……所以当k n 的最大值为k 5＝332，故m ≥332， 即实数m 的取值范围是：[332，+∞）．【点睛】本题考查了由递推关系求等差数列的通项公式，考查了错位相减法求数列的和，考查了数列恒成立问题，考查了数列的单调性，考查了数学运算能力.。

2019-2020学年湖北省武汉市部分重点中学高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.在数列中，，，则的值为A. B. C. 5 D. 以上都不对2.向量，，若的夹角为钝角，则t的范围是A. B.C. 且D.3.在中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，若，则的形状为A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形4.九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”“钱”是古代的一种重量单位这个问题中，甲所得为A. 钱B. 钱C. 钱D. 钱5.已知平面向量是非零向量，，，则向量在向量方向上的投影为A. 1B.C. 2D.6.已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，若，则的外接圆面积为A. B. C. D.7.已知数列中，且单调递增，则k的取值范围是A. B. C. D.8.在中，已知，，，如果有两组解，则x的取值范围是A. B. C. D.9.一艘海轮从A处出发，以每小时60海里的速度沿南偏东的方向直线航行，20分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察此灯塔，其方向是南偏东，在B处观察，灯塔在其正东方向，那么两点间的距离是A. 海里B. 海里C. 海里D. 海里10.，，，点C在内，且，设、，则等于A. B. 3 C. D.11.若等差数列的公差，前n项和为，若，都有，则A. B. C. D.12.给定两个单位向量，，且，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，，则的最小值为A. B. C. D. 0二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.下列命题中正确的有______填序号两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；若，则；若，则A，B，C，D四点构成平行四边形；在平行四边形ABCD中，一定有；若，，则；若，，则14.的内角A，B，C的对边分别为a，b，若的面积为，则______．15.设是数列的前n项和，且，，______．16.在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，的面积为，则当的值最小时的周长为______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.已知，，是同一平面内的三个向量，其中．若，且，求的坐标；若，且与垂直，求与的夹角．18.在中，a、b、c分别是角A，B，C的对边，且．求角B的大小；若，，求的面积．19.设为等差数列的前n项和，，．求数列的通项公式：求的最大值及此时n的值．20.已知向量，且．求及；若，求的最大值和最小值．21.在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．求角A的大小；若，求的取值范围．22.已知数列各项均为正数，为其前n项的和，且，，成等差数列．写出、、的值，并猜想数列的通项公式；证明中的猜想；设，为数列的前n项和，求．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：，，，，，，则，即，即数列是周期为3的周期数列，，，故选：B．根据数列递推关系，求出数列具备周期性，利用数列的周期性进行求解即可．本题主要考查递推数列的应用，利用条件推出数列的周期性是解决本题的关键．2.答案：C解析：解：；与的夹角为钝角；，且不平行；；，且．故选：C．可先求出，根据，的夹角为钝角即可得出，且不平行，从而得出，解出t的范围即可．考查向量数量积的计算公式，向量夹角的概念，向量坐标的数量积运算，以及平行向量的坐标关系．3.答案：D解析：【分析】本题考查三角形的形状判断，着重考查正弦定理的应用，属于基础题．由正弦定理将已知化简为三角函数关系式，可得，从而可得或或舍去．【解答】解：，，由正弦定理得：，，，，或，或或舍去，故选：D．4.答案：B解析：【分析】本题考查等差数列的应用，是基础题．依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为，，a，，，由题意求得，结合，求得，则答案可求．【解答】解：依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为，，a，，，则由题意可知，，即，又，，则．故选B．5.答案：B解析：【分析】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，考查向量垂直，属基础题．先根据向量垂直，得到，再根据投影公式即可求出．【解答】解：平面向量是非零向量，，，，即，即，向量在向量方向上的投影为．故选B．6.答案：D解析：【分析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．由已知利用余弦定理可求cos B的值，结合B的范围可求B的值，利用正弦定理可求三角形的外接圆的半径即可计算得解的外接圆面积．【解答】解：，若，，可得：，，由，可得：，设的外接圆半径为R，由正弦定理可得：，解得，可得的外接圆面积为．故选D．7.答案：B解析：解：数列中，且单调递增对于恒成立即对于恒成立对于恒成立，即故选：B．该题需注意变量n的特殊性，根据函数的单调性可得对于恒成立，建立关系式，解之即可求出k的取值范围．本题主要考查了数列的性质，本题易错误地求导或把它当成二次函数来求解，注意n的取值是解题的关键，属于易错题．8.答案：A解析：解：在中，当时，三角形ABC有两组解，所以，，，如果三角形ABC有两组解，那么x应满足，即．故选：A．有两组解，所以，代入数据，求出x的范围．本题是基础题，考查三角形的应用，计算能力，注意基本知识的应用，是解题的关键，常考题型．9.答案：C解析：解：根据题意画出图形，如图所示；易知在中，海里，，，根据正弦定理得，解得海里．故选：C．由题意画出图形，利用正弦定理直接求解即可．本题考查了正弦定理的实际应用问题，关键是转化出条件，是基础题．10.答案：B解析：解：法一：如图所示：，设，则．．法二：如图所示，建立直角坐标系．则，，，，．故选：B．将向量沿与方向利用平行四边形原则进行分解，构造出三角形，由题目已知，可得三角形中三边长及三个角，然后利用正弦定理解三角形即可得到答案．此题如果没有点C在内的限制，应该有两种情况，即也可能为OC在OA顺时针方向角的位置，请大家注意分类讨论，避免出错．对一个向量根据平面向量基本定理进行分解，关键是要根据平行四边形法则，找出向量在基底两个向量方向上的分量，再根据已知条件构造三角形，解三角形即可得到分解结果．11.答案：D解析：解：等差数列的公差，，都有，，，．故选：D．由，都有，可得，，，再根据等差数列的性质即可判断．本题考查等差数列的性质、求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12.答案：B解析：解：给定两个单位向量，，且，则，建立如图所示的坐标系，则，，即，设，，则，因为，则，，所以，因为，，，，所以有最小值．故选：B．建立坐标系，得出点的坐标，进而可得向量的坐标，化已知问题为三角函数的最值求解，可得答案．本题考查平面向量基本定理，建立坐标系是解决问题的关键，属中档题．13.答案：解析：解：两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点，故不正确；，由于与方向不确定，所以与不一定相等，故不正确；，可能有A，B，C，D在一条直线上的情况，所以不正确；在平行四边形ABCD中，，，所以一定有，所以正确；显然正确；零向量与任一向量平行，故，时，若，则与不一定平行，故不正确．故答案为：．根据向量的相等，向量共线的概念，可得答案．本题考查向量相等，向量共线的概念，关键在于从向量的方向和向量的大小两个方面考虑，对于向量共线，注意零向量与任何向量共线，属于基础题．14.答案：解析：解：由余弦定理可得，的面积为，又因为，所以，由可得．故答案为：由已知结合余弦定理及三角形的面积公式进行化简即可求解．本题主要考查了余弦定理及三角形的面积公式的简单应用，属于基础试题．15.答案：解析：解：，，，数列是首项为1，公差为1的等差数列，，，，故答案为：．利用数列的递推式得到，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以，从而求出结果．本题主要考查了数列的递推式，是中档题．16.答案：解析：【分析】本题考查当三角形两边和最小时三角形周长的求法，考查余弦定理、三角形面积等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．推导出，由余弦定理求出，由的面积为，求出，当且仅当时，取最小值，由此能求出当的值最小时的周长．【解答】解：在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，因为，由正弦定理可得：，，，解得，的面积为，，解得，，由对勾函数的性质可知，当时，，此时，当的值最小时的周长为：．故答案为：．17.答案：解：设，，，，解得或，或．与垂直，，即，，，与的夹角为．解析：设，根据条件列方程组解出即可；令求出，代入夹角公式计算．本题考查了平面向量的数量积运算，平面向量平行与垂直，属于中档题．18.答案：解：由正弦定理得：，，，将上式代入得，即，即，，，，即，，，为三角形的内角，．将，，代入余弦定理得：，即即，，．解析：根据正弦定理表示出a，b及c，代入已知的等式，利用两角和的正弦函数公式及诱导公式变形后，根据sin A不为0，得到cos B的值，由B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出角B的度数；由中得到角B的度数求出sin B和cos B的值，根据余弦定理表示出b2，利用完全平方公式变形后，将b，及cos B的值代入求出ac的值，然后利用三角形的面积公式表示出的面积，把ac与sin B的值代入即可求出值．本题主要考查正弦定理，余弦定理及三角函数的恒等变形．熟练掌握定理及公式是解本题的关键．属于中档题．19.答案：解：设的公差为d，由可得，由，可得，所以，所以；由，解得，所以当时，有最大值，此时最大值为．解析：根据已知条件列出关于，d的方程组，求解出，d即可求出通项公式；利用对应为递减等差数列，根据确定出n的取值，从而的最大值以及取最大值时n的值都可求．本题考查等差数列通项公式以及前n项和的综合应用，难度较易．其中第二问还可以先将的表达式求解出来，然后根据二次函数的对称轴以及开口方向亦可确定出的最大值以及取最大值时n的值，属于基础题．20.答案：解：，，，，．由知：，，，，，解析：利用已知条件通过向量的数量积化简求解，通过向量的模化简求解即可．利用的结果，利用两角和与差的三角函数化简，通过x的范围求解相位的范围，借助三角函数的有界性求解即可．本题考查向量的数量积以及向量的模的求法，两角和与差的三角函数以及三角函数的有界性的应用，考查计算能力．21.答案：解：，，，，B，C为锐角，可得：，，，可得：，又，可得：．当时，，由题意得，．由，得，，，为锐角三角形，，，，的取值范围是．解析：利用三角函数恒等变换的应用可求，结合角的范围及三角形内角和定理即可求出角A的大小．先求得，根据B、C都是锐角求出B的范围，由正弦定理得到，，根据及B的范围，利用正弦函数的性质即可得到的范围．本题考查三角函数恒等变换的应用及正弦定理在解三角形中的综合应用，其中判断的取值范围是本题的难点，属于中档题．22.答案：解：依题意，由，，成等差数列，可得．当时，，解得舍去，或，当时，，解得舍去，或，当时，，解得舍去，或，，，，猜想：数列的通项公式，．证明：当时，满足猜想，当时，由，可得，化简整理，得，，则，，即，数列是以1为首项，1为公差的等差数列，，即猜想成立．解：由知，，故数列是以8为首项，为公差的等差数列．令，，即，解得，令，，即，解得，当时，；当时，，当时，，当时，，综上所述，可得．解析：本题第题由，，成等差数列，可得，然后依次将、2、3代入表达式进行计算可得、、的值，并由此可猜想出数列的通项公式；第题可应用公式证明中的猜想；第题先根据第题的结果计算出数列的通项公式并进行转化可发现数列是以8为首项，为公差的等差数列，然后对数列的正负性进行分析可得数列的通项公式，即当时，，；当时，，然后根据分和两种情况分别求和，根据等差数列的求和公式可计算出的表达式，最后综合可得结果．本题主要考查运用归纳猜想再加以证明的方法求得数列的通项公式，以及绝对值数列的求和问题．考查了转化与化归思想，方程思想，分类讨论思想，等差数列的判别及求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属综合性较强的中档题．。

2023-2024学年湖北省武汉市华中师大一附中高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数z 满足z(1−i)=|1+i |2，则z =( )A. 1−iB. 1+iC. −1−iD. −1+i2.下列说法正确的是( )A. 空间中两直线的位置关系有三种：平行、垂直和异面B. 若空间中两直线没有公共点，则这两直线异面C. 和两条异面直线都相交的两直线是异面直线D. 若两直线分别是正方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则这两直线可能相交，也可能异面3.已知a ,b ,c 均为单位向量，且2a =3b +4c ，则a 与b 的夹角的余弦值为( )A. 13B. −13C. 14D. −144.毡帐是蒙古族牧民居住的一种房子，内部木架结构，外部毛毡围拢，建造和搬迁都很方便，适合牧业和游牧生活.如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与一个圆柱的组合体，下半部分圆柱的高为2.5米；上半部分圆锥的母线长为2 3米，轴截面(过圆锥轴的截面)是面积为33平方米的等腰钝角三角形，则建造该毡帐(不含底面)需要毛毡( )平方米．A. (63+15)π B. (53+6)π C. (123+15)π D. (103+6)π5.设复数z 1，z 2对应的向量分别为OZ 1,OZ 2,O 为坐标原点，且z 1=− 2+2i ，若把OZ 1绕原点顺时针旋转3π4，把OZ 2绕原点逆时针旋转4π3，所得两向量的终点重合，则z 2=( )A. 1−3iB. −1+3iC.3−iD. −3+i6.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c,B =π6,c =6，若△ABC 有两解，则b 的取值范围是( )A. (3,6)B. (3 3,63)C. (33,6)D. (3,63)7.如图，在四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，∠BAD =∠BCD =π3，AB =8，AD =16，点E 在边AD 上，且BE ⊥AD ，点F 为边BC(含端点)上一动点，则DF ⋅EF 的最小值为( )A. 36B. 39C. 45D. 488.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c b +2b c =3cosA ，1tanA +1tanC =2tanB ，则sinB =( )A.64B.105C.156D.217二、多选题：本题共3小题，共18分。

2019-2020学年湖北省部分重点中学高一下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 是平面上的三个单位向量，且a ⃗ ⋅b ⃗ =12，则(2a ⃗ +c ⃗ )⋅(b ⃗ −c ⃗ )的最小值是( ) A. −2 B. −1 C. −√3 D. 02. 已知点P(x,y)在直线x +2y =3上移动，当2x +4y 取最小值时，过P 点(x,y)引圆C ：(x −12)2+(y +54)2=1的切线，则此切线长等于( )A. 1B. √2C. √3D. 23. 若非零向量满足//，且，则( )A. 4B. 3C. 2D. 04. 设x >0，y >0，A 、B 、P 三点共线且向量OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则1x +4y的最小值( ) A. 4 B. 2 C. 9 D. 105. 在△ABC 中，A ：B ：C =2：0.5：0.5，则a ：b ：c =( )A. 2：0.5：0.5B. √2：1：1C. √3：1：1D. 120：30：306. 设A 、B 、C 、D 是球面上的四点，AB 、AC 、AD 两两互相垂直，且AB =3，AC =4，AD =√11，则球的表面积为( )A. 36πB. 64πC. 100πD. 144π7. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若2ccosC =bcosA +acosB ，则∠C 的值为( )A. 2π3B. 5π6C. π6D. π38. 设a >0，且a ≠1，则函数f(x)=a x +log a (x +1)+1恒过定点( )A. (0,1)B. (0,2)C. (1,1)D. (1,2)9. 在区间[−1,5]上随机地取一个实数a ，则方程x 2−2ax +4a −3=0有两个正根的概率为( )A. 23B. 12C. 38D. 1310. △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若b 是a 、c 的等比中项，且c =2a ，则cosB =( )A. 14B. 34C. √24 D. √2311. 已知△ABC 中，a =4，b =4，∠A =30°，则∠B 等于( )A. 30°B. 30°或150°C. 60°D. 60°或120°12. 已知向量，，如果向量与垂直，则的值为( )A.B.C.D.二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 某四面体的三视图如图所示，则此四面体的四个面中面积最大的面的面积等于______ ．14. 已知O 是边长为1正四面体ABCD 内切球的球心，且AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +z AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (x,y ，z ∈R)，则x +y +z = ______ ．AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ．15. 若2−m 与m −3同号，则实数m 的取值范围是______ ． 16. 如图，已知圆，四边形为圆的内接正方形，分别为的中点，当正方形绕圆心转动，的最大值是__三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 已知向量a ⃗ =(√3,−1)，b ⃗ =(12,√32)，(1)求证：a ⃗ ⊥b ⃗ ；(2)若存在不同时为零的实数k 和t ，使x ⃗ =a ⃗ +(t 2−3)b ⃗ ，y ⃗ =−k a ⃗ +t b ⃗ 互相垂直，试求函数关系式k =f(t)．18.曲柄连杆机构示意图如图所示．当曲柄OA在水平位置OB时，连杆端点P在Q的位置．当OA自OB按顺时针方向旋转α角时，P和Q之间的距离是xcm.已知CA=25cm，AP=125cm，根据下列条件．求x的值(精确到0.1cm)：(l)α=50°；(2)α=135°．19.如图：PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=1，AD=√3，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．(Ⅰ)求三棱锥E−PAD的体积；(Ⅱ)当点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；(Ⅲ)证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF．20.已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，其中c=2b−2acosC．(1)求A；(2)当a=2时，求△ABC面积的最大值．21.(12分)设的导数为，若函数的图像关于直线对称，且．(Ⅰ)求实数的值(Ⅱ)求函数的极值(m>0且m≠1)，22.已知函数f(x)=log m x−3x+3(I)判断f(x)的奇偶性并证明；(II)若m=1，判断f(x)在(3,+∞)的单调性(不用证明)；2(III)若0<m<1，是否存在β>α0，使f(x)在[α,β]的值域为[log m m(β−1),log m(α−1)]？若存在，求出此时m的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案与解析】1.答案：C解析：本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，属于基础题．由题意可得(2a⃗+c⃗ )⋅(b⃗ −c⃗ )=−c⃗·(2a⃗−b⃗ )≥−√3当且仅当c⃗与(2a⃗−b⃗ )方向相同时，取等号，即可得出答案．解：∵a⃗，b⃗ ，c⃗是平面上的三个单位向量，且a⃗⋅b⃗ =12，∴(2a⃗+c⃗ )⋅(b⃗ −c⃗ )=2a⃗⋅b⃗ −2a⃗⋅c⃗+c⃗⋅b⃗ −c⃗2=2×12−c⃗·(2a⃗−b⃗ )−1=−c⃗·(2a⃗−b⃗ )=−|c⃗|√4|a⃗|2−4a⃗·b⃗ +|b⃗ |2·cos<c⃗,2a⃗−b⃗ >≥−1⋅√3=−√3，∴当且仅当c⃗与(2a⃗−b⃗ )方向相同时，取等号，故选C．2.答案：D解析：解：∵x+2y=3，2x+4y=2x+22y≥2√2x+2y=4√2，当且仅当x=2y=32时，等号成立，∴当2x+4y取最小值4√2时，P点的坐标为(32,34 )，点P到圆心C的距离为CP=√(32−12)2+(34+54)2=√5，大于圆的半径1，故切线长为√CP2−R2=√5−1=2，故选：D．由条件利用基本不等式可得当2x+4y取最小值时，P点的坐标为(32,34)，再根据CP=√(32−12)2+(34+54)2=√5，大于圆的半径1，由此求得圆的切线长为√CP2−R2的值．本题主要考查基本不等式的应用，点到直线的距离公式，直线和圆相切的性质，属于基础题．3.答案：D解析：试题分析：非零向量//，若所以存在实数使得.又，所以．考点：共线向量基本定理、向量的数量积4.答案：C解析：解：∵A 、B 、P 三点共线且向量OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴x +y =1， ∵x >0，y >0，∴1x+4y=(1x+4y)(x +y)=5+yx+4x y≥5+2√y x⋅4x y=9，当且仅当y x =4x y，即y =2x 时，取等号，∴1x +4y 的最小值为9．故选C ．利用三点共线，可得x +y =1，再利用“1”的代换，结合基本不等式，即可得出结论． 本题考查三点共线，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，确定x +y =1是关键．5.答案：C解析：本题主要考查正弦定理的应用，根据条件求出A ，B ，C 的大小是解决本题的关键． 根据角之间的关系求出A ，B ，C 的大小，利用正弦定理即可求出边之间的关系． 解：∵A ：B ：C =2：0.5：0.5， ∴A =120°，B =C =30°，∴根据正弦定理可知a ：b ：c =sinA ：sin B ：sinC =sin120°：sin30°：sin30°=√32：12：12=√3：1：1．故选C ．6.答案：A解析：解：∵A 、B 、C 、D 是球面上的四点，AB 、AC 、AD 两两互相垂直，且AB =3，AC =4，AD =√11， ∴可以判断：以AB 、AC 、AD 为棱长的长方体，∴体对角线长为√32+42+11=√36=6，外接球的直径为6，半径为3，∴球的表面积为4π×32=36π，故选：A以AB、AC、AD为棱长的长方体，内接于球，根据体对角线长为外接球的直径，得出半径，求解面积．本题考查了空间几何体的性质，运用求解体积，面积，属于中档题．7.答案：D解析：解：因为2ccosC=bcosA+acosB，由正弦定理可得，2sinCcosC=sinBcosA+sinAcosB=sin(A+B)=sinC，，所以cosC=12∵0<C<π，π．∴C=13故选：D．由已知结合正弦定理进行化简可求cos C，进而可求C．本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的应用，属于基础试题．8.答案：B解析：解：令x=0，则f(0)=1+0+1=2，故函数f(x)=a x+log a(x+1)+1恒过定点(0,2)，故选：B．根据指数函数和对数函数的图象与性质，即可求出f(x)所过的定点坐标．本题考查了指数函数和对数函数图象与性质的应用问题，是基础题．9.答案：C解析：本题主要考查几何概型的概率的计算，根据二次函数根与系数之间的关系求出a的取值范围是解决本题的关键．根据根与系数之间的关系，求出a 的取值范围，结合几何概型的概率公式进行计算即可． 解：若方程x 2−2ax +4a −3=0有两个正根， 则满足{△=4a 2−4(4a −3)=4(a 2−4a +3)≥04a −3>02a >0, 即{a ≥3或a ≤1a >34a >0，得34<a ≤1或a ≥3，∵−1≤a ≤5则对应的概率P =1−345−(−1)+5−35−(−1)=124+13=38， 故选C ．10.答案：B解析：解：∵a ，b ，c 成等比数列， ∴b 2=ac ， 又c =2a ， ∴b 2=2a 2， 则cosB =a 2+c 2−b 22ac=a 2+4a 2−2a 22a×2a=34．故选：B ．由等比数列的性质可得b 2=ac ，又c =2a ，可得b 2=2a 2，利用余弦定理即可得出答案． 本题考查了等比数列的性质、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.答案：D解析：试题分析：解：∵a =4，b =4，∠A =30°，∴根据正弦定理，，又B 为锐角，则∠B =60°或120°；故选D考点：正弦定理点评：此题考查了正弦定理，等腰三角形的判定，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键12.答案：C解析：试题分析：，，，由于向量与垂直，所以，故选C ．考点：1.平面向量垂直；2.平面向量的坐标运算13.答案：2√3解析：解：由三视图知该几何体为棱锥S −ABD ，其中SC ⊥平面ABCD ； 几何体的直观图如下所示：四面体S −ABD 的四个面中SBD 面的面积最大， 三角形SBD 是边长为2√2的等边三角形，所以此四面体的四个面中面积最大的为√34×8=2√3．故答案为：2√3由已知画出几何体的直观图，分析出四个面中的最大值，求出面积可得答案． 本题考查的知识点是棱锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档．14.答案：34；12解析：解：设正四面体的高为AM ，延长DM 交BC 于E ，则E 为BC 的中点． ∴DE =√32，DM =23DE =√33，∴AM =√AD 2−DM 2=√63． 设内切球半径为r ，则V A−BCD =13S △BCD ⋅AM =4×13×S △BCD ⋅r ．∴r =AM 4=√612.∴OM =√612 以M 为原点，建立如图所示的空间坐标系M −xyz ， 则A(0,0，√63)，B(12,−√36,0)，C(−12,−√36,0)，D(0,√33,0)，O(0,0，√612). ∴AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0，−√64)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,−√36,−√63)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,−√36,−√63)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√33,−√63). ∵AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +z AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴{ 12x −12y =0−√36x −√36y +√33z =0−√63x −√63y −√63z =−√64，解得x =y =z =14． ∴x +y +z =34．AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =√64×√63=12． 故答案为：34，12．根据正四面体的性质求出棱锥的高，根据等体积法求出内切球的半径，建立坐标系，求出各向量的坐标，代入坐标运算即可解出．本题考查了平面向量在几何中的应用，属于中档题． 15.答案：(2,−3)解析：解：当2−m 与m −3同号时，(2−m)(m −3)>0，即(m −2)(m −3)<0，解得2<m <3；∴实数m 的取值范围是(2,−3)．故答案为：(2,−3)．又2−m 与m −3同号，得出(2−m)(m −3)>0，求出解集即可．本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题目．16.答案：6.解析：解：由题意可得， ∵ME ⊥MF ，，由题意可得，圆M的半径为2，故正方形ABCD的边长为故答案为6．17.答案：证明：(1)∵a⃗⋅b⃗ =√3×12−1×√32=0，∴a⃗⊥b⃗ ．解：(2)∵x⃗ ⊥y⃗，∴(a⃗+(t2−3)b⃗ )⋅(−k a⃗+t b⃗ )=0，∴−k a⃗2+t(t2−3)b⃗ 2=0．∵a⃗2=4，b⃗ 2=1，∴−4k+t(t2−3)=0，即k=t3−3t4．∴f(t)=t3−3t4．解析：(1)计算数量积，观察数量积是否为0．(2)令x⃗ ⋅y⃗=0，整理出k关于t的函数．本题考查了向量垂直与数量积的关系，属于基础题．18.答案：解：由题意，PQ=x=OQ−OP=OA+AP−OP=150−OP．∴在三角形APO中利用余弦定理得：AP2=OA2+OP2−OA⋅OPcosα，∴1252=252+OP2−2×25⋅OPcosα①，(1)α=50°时，将α=50°代入①式得OP≈139.6，∴x≈10.4cm．(2)α=135°时，将α=135°代入①式得OP≈106.1，∴x≈43.9cm．解析：经分析，PQ=x=OQ−OP=OA+AP−OP=150−OP，然后根据给的条件在三角形APO 中利用余弦定理列出关于x的方程，解出方程即可．本题考查了余弦定理在实际问题中的应用，将已知条件边角化，集中在一个三角形中求解是此类问题的一般思路．19.答案：解：(Ⅰ)三棱锥E−PAD的体积V=13PA⋅S△ADE=13PA⋅(12AD⋅AB)=√36.(4分)(Ⅱ)当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行．(5分)∵在△PBC中，E、F分别为BC、PB的中点，∴EF//PC，又EF⊄平面PAC，而PC⊂平面PAC，∴EF//平面PAC.(8分)(Ⅲ)证明：∵PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，∴EB⊥PA，又EB⊥AB，AB∩AP=A，AB，AP⊂平面PAB，∴EB⊥平面PAB，又AF⊂平面PAB，∴AF⊥BE.(10分)又PA=AB=1，点F是PB的中点，∴AF⊥PB，又∵PB∩BE=B，PB，BE⊂平面PBE，∴AF⊥平面PBE．∵PE⊂平面PBE，∴AF⊥PE.(12分)解析：本题考查了空间几何体的体积、线面位置关系的判定、线面垂直等知识点，(Ⅰ)利用换底法求V P−ADE即可；(Ⅱ)利用三角形的中位线及线面平行的判定定理解决；(Ⅲ)通过证明AF⊥平面PBE即可解决．无论是线面平行(垂直)还是面面平行(垂直)，都源自于线与线的平行(垂直)，这种“高维”向“低维”转化的思想方法，在解题时非常重要，在处理实际问题的过程中，可以先从题设条件入手，分析已有的平行(垂直)关系，再从结论入手分析所要证明的平行(垂直)关系，从而架起已知与未知之间的桥梁．20.答案：解：(1)∵c=2b−2acosC，∴由正弦定理可得：sinC=2sinB−2sinAcosC，∵sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，∴sinC=2cosAsinC，又∵sinC≠0，∴cosA=12，∵A∈(0,π)，∴A=π3．(2)∵cosA=12=b2+c2−42bc，∴b2+c2=bc+4，又∵b2+c2=bc+4≥2bc，即：bc≤4，(当且仅当b=c=2时取等号)∴S△ABC=12bcsinA=√34bc≤√3，可得△ABC面积的最大值为√3．解析：本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．(1)由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sinC=2cosAsinC，结合sinC≠0，可求cosA=12，由范围A∈(0,π)，可得A的值．(2)由余弦定理，基本不等式可求bc≤4，进而利用三角形面积公式可求△ABC面积的最大值．21.答案：解：(Ⅰ)因f(x)=2x3+ax2+bx+1，故f′(x)=6x2+2ax+b，从而，从而由条件可知，解得a=3，又由于f′(1)=0，即6+2a+b=0，解得b=−12．(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=2x3+3x2−12x+1，f′(x)=6x2+6x−12=6(x−1)(x+2)，令f′(x)=0，得x=1或x=−2，当x∈(−∞,−2)时，f′(x)>0，f(x)在(−∞,−2)上是增函数；当x ∈(−2,1)时，f′(x)<0，f(x)在(−2,1)上是减函数；当x ∈(1,+∞)时，f′(x)>0，f(x)在(1,+∞)上是增函数．从而f(x)在x =−2处取到极大值f(−2)=21，在x =1处取到极小值f(1)=−6．解析：本题考查函数的对称性、函数的单调区间和极值，考查运算能力．(Ⅰ)先对f(x)求导，f(x)的导数为二次函数，由对称性可求得a ，再由f′(1)=0即可求出b ； (Ⅱ)对f(x)求导，分别令f′(x)大于0和小于0，即可解出f(x)的单调区间，继而确定极值．22.答案：解：(Ⅰ)f(x)是奇函数；证明如下：由x−3x+3>0解得x <−3或x >3，所以f(x)的定义域为(−∞,−3)∪(3,+∞)，关于原点对称．∵f(−x)=log m −x−3−x+3=log m x+3x−3=log m (x+3x−3)−1=−f(x)，故f(x)为奇函数/(Ⅱ)任取x 1，x 2∈(3,+∞)且x 1<x 2，f(x 1)−f(x 2)=log m x 1−3x 1+3−log m x 2−3x 2+3=log m (x 1−3)(x 2+3)(x 1+3)(x 2−3)，∵(x 1−3)(x 2+3)−(x 1+3)(x 2−3)<0，∴(x 1−3)(x 2+3)<(x 1+3)(x 2−3)，即(x 1−3)(x 2+3)(x 1+3)(x 2−3)<1，当m =12时，log 12(x 1−3)(x 2+3)(x 1+3)(x 2−3)<0，即f(x 1)<f(x 2). 故f(x)在(3,+∞)上单调递减．(Ⅲ)由(Ⅱ)知，当0<m <1时，f(x)在[α,β]上单调递减．假设存在β>α>0，使f(x)在[α,β]的值域为[log m m(β−1),log m (α−1)]．则有{log m α−3α+3=log m m(α−1)log m β−3β+3=log m m(β−1)，∴{α−3α+3=m(α−1)β−3β+3=m(β−1)． 所以α，β是方程x−3x+3=m(x −1)的两正根，整理得mx 2+(2m −1)x −3m +3=0在(0,+∞)有2个不等根α和β．令ℎ(x)=mx 2+(2m −1)x −3m +3，则ℎ(x)在(0,+∞)有2个零点，{ 0<m <1．ℎ(0)>0,−2m−12m >0,ℎ(−2m−12m )<0,解得0<m <2−√34，故m 的取值范围为(0,2−√34)．解析：(Ⅰ)先判断函数的奇偶性，再利用函数奇偶性的定义证明；(Ⅱ)根据函数单调性的定义判断；(Ⅲ)先假设存在，然后根据函数的单调性建立方程组，将其转化为二次函数根的分布问题来求解． 本题主要考查函数的奇偶性、单调性、值域、零点等问题，属于中档题目．。

湖北省武汉市部分重点中学2019-2020学年度下学期高一年级期中考试数 学 试 卷（文科）命题人：武汉市第四中学 审题人：武汉市第四十九中全卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共６０分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)１. 已知向量a =(－１ ,２)，且向量,b a ⊥ 则b 等于（ ）A. (２，１)B. (－１，２)C.(－２，１)D.(－２，－２)２. 如图，正六边形ABCDEF 中， BA CD EF ++=（ ）A ．０B ．BEC ．AD D ．CF3．实数b 是２和８的等比中项，则b 的值为（ ）A.4B.－4C.±4D.164 ．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ；且三内角Ａ,Ｂ,Ｃ依次成等差数列， 三边,,a b c 依次成等比数列，则ABC ∆ 的形状为（ ）A.正三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形5．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ；且a=3,c=,A=450．则角Ｂ等于（ ） A ．600 B.600或1200C.150D. 150或7506．已知数列{a n }和{ b n }均为等差数列，其前n 项和分别为Ｓn 和Ｔn ，并且37n n S n T n +=，则55a b 等于（ ）A. 17B.421C.835D.327. 设点Ｏ在ABC ∆ 的内部，且有230OA OB OC ++= ，则ABC ∆的面积与的面积之比为（ ） A.32B.53C.2D.38．已知数列{a n }为等差数列，若13121a a <- 且它的前n 项和n S 有最大值，那么n S 取最小正数时n 的值是（ ）A.12B.22C.23D.259．设12345,,,,A A A A A 是平面中给定的5个不同的点，则同一平面内使123450MA MA MA MA MA ++++=成立的点M 的个数为（ ）A.5个B.0个C.1个D.10个10已知函数(x)xf ex =+，对于曲线y=f （x ）上横坐标成等差数列的三个点A,B,C ，给出以下判断：①△ABC 一定是钝角三角形； ②△AB C 可能是直角三角形 ③△ABC 可能是等腰三角形； ④△ABC 不可能是等腰三角形 其中，正确的判断是（ ） A.①③ B.①④ C.②③ D.②④11．设a + b = 2, b >0, 则1||2||a a b+的最小值为（ ） A.12B.34C.1D.5412．．设a 是已知的平面向量且≠0a ，关于向量a 的分解，有如下四个命题： ①给定向量b ，总存在向量c ，使=+a b c ；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使λμ=+a b c ；③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使λμ=+a b c ； ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使λμ=+a b c ； 上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是 A.1B.2C.3D.4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(23)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共２０分，把答案写在题中横线上) 13．如图4，在平行四边形ABCD 中 ，AP ⊥BD ，垂足为P ，=AP =14．已知数列{n b }的通项公式为12,n n b -= 数列{a n }(n N *∈)满足222,,na nb b b + 成等比数列，求数列{a n }的通项公式a n＝(n N *∈)．15．已知Ｏ为坐标原点，向量(sin ,1)OA θ=,(cos ,0)OB θ=，(sin ,2)OC θ=-,()02cos sin ,1P αα=-- ．若Ｏ,Ｐ,Ｃ三点共线，求得OA OB + 的值为 .16．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ；则下列命题正确的序号是 ①若cos ２Ａcos ２Ｂ≤ ，则b a ≤； ②若sinA cosB,=，则＝２πC ；③若sin sin ２Ａ２Ｂ=；则ＡＢ= ； ④若2ab c >，则3C π< ；⑤若３３３+=a b c ，则ABC 为锐角三角形．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（本小题满分12分）已知()f x 是定义域为R 的偶函数，()00,f =当0≤x 时，2()0＋b =+≤f x x x c 的解集为4,0x ⎡⎤∈-⎣⎦(Ⅰ)求()f x 的解析式； (Ⅱ) 求不等式(x)5≤f 的解集．18．（本小题满分12分）如图，A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B ，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。

2019-2020学年湖北省武汉市华中师大一附中高一第二学期期中数学试卷一、选择题（共12小题）.1．已知向量，且，则的值为（）A．B．C．D．2．设M＝2a（a﹣2），N＝（a+1）（a﹣3），则有（）A．M＞N B．M≥N C．M＜N D．M≤N3．如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A'B'O'，若O'A'＝1，那么原三角形ABO面积是（）A．B．C．D．4．已知等比数列{a n}中，a5a11＝3a8，数列{b n}是等差数列，且b6＝a8，则b4+b8＝（）A．3B．6C．9D．125．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，a＝1，，则c＝（）A．B．1C．D．6．《九章算术》第三章“衰分”介绍了比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”．如：已知A，B，C三人分配奖金的衰分比为10%，若A分得奖金1000元，则B，C所分得奖金分别为900元和810元．某科研所四位技术人员甲、乙、丙、丁攻关成功，共获得奖金59040元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配奖金，且甲与丙共获得奖金32800元，则“衰分比”与丙所获得的奖金分别为（）A．20%，12800元B．10%，12800元C．20%，10240元D．10%，10240元7．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为（）A．1：2B．1：C．1：D．：28．在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的点，且，若，则λ＝（）A．B．﹣C．﹣D．﹣9．若正数a，b满足a+b＝2，则+的最小值是（）A．1B．C．9D．1610．对于实数x，[x]表示不超过x的最大整数．已知正项数列{a n}满足，n∈N*，其中S n为数列{a n}的前n项和，则[S1]+[S2]+…+[S40]＝（）A．135B．141C．149D．15511．已知点C为线段AB上一点，P为直线AB外一点，PC是∠APB角的平分线，I为PC 上一点，满足＝+λ（+）（λ＞0），，，则的值为（）A．2B．3C．4D．512．设数列{a n}的前n项和为S n，已知a n+1+a n＝2n+3（n∈N*）且S n＝1300，若a2＜3，则n的最大值为（）A．49B．50C．51D．52二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案写在答题纸上的相应位置．）13．设a，b，c为实数，且a＜b＜0，则下列不等式正确的是．（仅填写正确不等式的序号）①；②ac2＜bc2；③；④；⑤14．已知向量是平面内的一组基底，若，则称有序实数对（x，y）为向量在基底下的坐标．给定一个平面向量，已知在基底下的坐标为（1，2），那么在基底，下的坐标为．15．已知函数（e是自然对数的底数），设，n∈N*，数列{a n}的前n项和为S n，则S4039的值是．16．如图，在平面四边形ABCD中，∠A＝135°，∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则CD的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸上的相应位置．）17．已知向量和，其中，，k∈R．（1）当k为何值时，有、平行；（2）若向量与的夹角为钝角，求实数k的取值范围．18．在数列{a n}，{b n}中，a1＝b1＝1，a n+1＝4b n﹣a n+2n﹣1，．等差数列{c n}的前两项依次为a2，b3．（1）求{c n}的通项公式；（2）求数列{（a n+b n）c n}的前n项和S n．19．如图，已知在东西走向上有甲、乙两座小山，一辆测量车在甲山山底M的正南方向的P点处测得山顶A的仰角为30°，该测量车在水平面上向北偏西60°方向行驶后到达点Q，在点Q处测得乙山山顶B的仰角为θ，且∠BQA＝θ，经计算，tanθ＝2，若甲、乙山高分别为100m、200m，求两山山顶之间的距离．20．已知△ABC的内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，R（sin A+sin B）＝1（其中R 为△ABC的外接圆的半径）且△ABC的面积S＝c2﹣（a﹣b）2．（1）求tan C的值；（2）求△ABC的面积S的最大值．21．如图，在△ABC中，已知CA＝1，CB＝2，∠ACB＝60°．（1）求||；（2）已知点D是AB上一点，满足＝λ，点E是边CB上一点，满足＝λ．①当λ＝时，求•；②是否存在非零实数λ，使得⊥？若存在，求出的λ值；若不存在，请说明理由．22．已知数列{a n}满足，n∈N*，a1＝1．（1）若a2＝3，a3＝x，a4＝6，求x的取值范围；（2）若{a n}是公比为q的等比数列，S n＝a1+a2+…+a n，≤3S n，n∈N*，求q 的取值范围；（3）若a1，a2，…，a k成等差数列，且a1+a2+…+a k＝2020，求正整数k的最大值．参考答案一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知向量，且，则的值为（）A．B．C．D．解：∵，∴，∴x＝3，，，∴．故选：D．2．设M＝2a（a﹣2），N＝（a+1）（a﹣3），则有（）A．M＞N B．M≥N C．M＜N D．M≤N解：∵M﹣N═2a（a﹣2）﹣（a+1）（a﹣3）＝（a﹣1）2+2＞0，∴M＞N．故选：A．3．如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A'B'O'，若O'A'＝1，那么原三角形ABO面积是（）A．B．C．D．解：由斜二测直观图还原原图形如图所示，因为边O′B′在x′轴上，所以在原图形中对应的边应在x轴上，且长度不变；O′A′在y′轴上，所以在原图形中对应的边应在y轴上，且长度增大到2倍；因为O′A′＝1，所以O′B′＝，所以OA＝2，OB＝；所以△AOB的面积为S△ABC＝×OB×OA＝××2＝．故选：B．4．已知等比数列{a n}中，a5a11＝3a8，数列{b n}是等差数列，且b6＝a8，则b4+b8＝（）A．3B．6C．9D．12解：在等比数列{a n}中，由等比数列的性质可得a5a11＝，又a5a11＝3a8，∴，∵a8≠0，∴a8＝3．又数列{b n}是等差数列，∴b4+b8＝2b6＝2a8＝6．故选：B．5．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，a＝1，，则c＝（）A．B．1C．D．解：∵，∴由正弦定理得：sin A•cos B+sin B•cos A＝，∴sin（A+B）＝sin C＝，∵A+B+C＝π，A、B、C∈（0，π），∴sin（A+B）＝sin C＞0，∴2cos C＝，即cos C＝，∵a＝1，b＝，∴由余弦定理可得：c＝＝＝1．故选：B．6．《九章算术》第三章“衰分”介绍了比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”．如：已知A，B，C三人分配奖金的衰分比为10%，若A分得奖金1000元，则B，C所分得奖金分别为900元和810元．某科研所四位技术人员甲、乙、丙、丁攻关成功，共获得奖金59040元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配奖金，且甲与丙共获得奖金32800元，则“衰分比”与丙所获得的奖金分别为（）A．20%，12800元B．10%，12800元C．20%，10240元D．10%，10240元解：由题意，可知甲、乙、丙、丁分配的奖金构成等比数列，设此等比数列为{a n}，且公比为q，设甲、乙、丙、丁按照的“衰分比”的值为x，则x＝1﹣q．依题意，a1+a2+a3+a4＝59040，a1+a3＝32800，则a2+a4＝59040﹣32800＝26240，∴q＝＝＝0.8，∴“衰分比”的值x＝1﹣0.8＝0.2＝20%，∵a1+a3＝a1+a1q2＝a1（1+q2）＝a1（1+0.82）＝1.64a1＝32800，∴a1＝＝20000，∴a3＝a1q2＝20000×0.82＝12800，∴丙所获得的奖金为12800元．故选：A．7．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为（）A．1：2B．1：C．1：D．：2解：若圆锥的高等于底面直径，则h＝2r，则母线l＝＝r，而圆锥的底面面积为πr2，圆锥的侧面积为πrl＝πr2，故圆锥的底面积与侧面积之比为1：，故选：C．8．在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的点，且，若，则λ＝（）A．B．﹣C．﹣D．﹣解：如图，设，且，则：＝＝＝＝＝，∵，∴，解得．故选：A．9．若正数a，b满足a+b＝2，则+的最小值是（）A．1B．C．9D．16解：∵正数a，b满足a+b＝2，∴（a+1）+（b+1）＝4∴+＝（+）[（a+1）+（b+1）]＝[5++]≥（5+2）＝当且仅当＝即a＝且b＝时取等号．故选：B．10．对于实数x，[x]表示不超过x的最大整数．已知正项数列{a n}满足，n∈N*，其中S n为数列{a n}的前n项和，则[S1]+[S2]+…+[S40]＝（）A．135B．141C．149D．155解：由，令n＝1，得a1＝S1＝（a1+），∵a n＞0，得a1＝1．当n≥2时，S n＝（a n+）＝（S n﹣S n﹣1+），即S n2﹣S n﹣12＝1，因此，数列{S n2}是首项为1，公差为1的等差数列，∴S n2＝n，即S n＝，[S1]＝1，[S2]＝1，[S3]＝1，[S4]＝…＝[S8]＝2，[S9]＝…＝[S15]＝3，…，[S36]＝…＝[S40]＝6，则[S1]+[S2]+…+[S40]＝1×3+2×5+3×7+4×9+5×11+6×5＝155．故选：D．11．已知点C为线段AB上一点，P为直线AB外一点，PC是∠APB角的平分线，I为PC 上一点，满足＝+λ（+）（λ＞0），，，则的值为（）A．2B．3C．4D．5解：∵，PC是∠APB角的平分线，又满足＝+λ（+）（λ＞0），即＝λ，所以I在∠BAP的角平分线上，由此得I是△ABP的内心，过I作IH⊥AB于H，I为圆心，IH为半径，作△PAB的内切圆，如图，分别切PA，PB于E、F，∵，，＝＝＝＝3，在直角三角形BIH中，cos∠IBH＝，所以＝cos∠IBH＝＝3．故选：B．12．设数列{a n}的前n项和为S n，已知a n+1+a n＝2n+3（n∈N*）且S n＝1300，若a2＜3，则n的最大值为（）A．49B．50C．51D．52解：a n+1+a n＝2n+3（n∈N*），可得数列{a n}中，每隔两项求和是首项为5，公差为4的等差数列，则S48＝5×24+×24×23×4＝1224＜1300，又S50＝5×25+×25×24×4＝1325＞1300，则n的最大值可能为49．由a n+1+a n＝2n+3（n∈N*），可得a n+2+a n+1＝2n+5，两式相减可得a n+2﹣a n＝2，可得数列{a n}中的奇数项和偶数项均为公差为2的等差数列，若S49＝1300，可得a49＝1300﹣1224＝76，由a2＜3，可得a1＞2，则a49＝a1+2×24＞50，故n的最大值为49．故选：A．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案写在答题纸上的相应位置．）13．设a，b，c为实数，且a＜b＜0，则下列不等式正确的是④⑤．（仅填写正确不等式的序号）①；②ac2＜bc2；③；④；⑤解：（1）由于a＜b＜0，所以b﹣a＞0，ab＞0，，所以，整理得，故，所以①错误．（2）当c＝0时，ac2＝bc2，故②错误．（3）由（1）知：，且a＜b＜0，所以，﹣a＞﹣b＞0，则，故③错误④正确．（4）由（1）知：，且a＜b＜0，所以，所以，故⑤正确．故答案为：④⑤14．已知向量是平面内的一组基底，若，则称有序实数对（x，y）为向量在基底下的坐标．给定一个平面向量，已知在基底下的坐标为（1，2），那么在基底，下的坐标为（）．解：由已知：＝，∵，．∴，所以在基底，下的坐标为（）．故答案为：（）．15．已知函数（e是自然对数的底数），设，n∈N*，数列{a n}的前n项和为S n，则S4039的值是．解：根据题意，函数，则f（）＝＝，且f（1）＝＝，则有f（x）+f（）＝+＝1，又由则S4039＝f（1）+f（2）+……+f（2020+f（）+f（）+……+f（）＝f（1）+[f（2）+f（）]+[f（3）+f（）]+……+f（2020）+f（）＝+2019＝．故答案为：．16．如图，在平面四边形ABCD中，∠A＝135°，∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则CD的取值范围是（）．解：根据题意延长BA，CD交于点E，如图所示：则：在△ADE中，∠ADE＝105°，∠DAE＝45°，∠E＝30°，所以：设AD＝，DE＝，AE＝，AB＝m，由于BC＝2，所以（）sin15°＝1，整理得：，所以0＜x＜4，由于CD＝x+m﹣＝所以：CD的取值范围是（）．故答案为：（）三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸上的相应位置．）17．已知向量和，其中，，k∈R．（1）当k为何值时，有、平行；（2）若向量与的夹角为钝角，求实数k的取值范围．解：（1），，所以：＝（﹣k，3k）﹣（12，6）＝（﹣k﹣12，3k﹣6）．＝（﹣1，3）+（4，2）＝（3，5）．由于共线，所以5（﹣k﹣12）﹣3（3k﹣6）＝0，解得k＝﹣3．（2）向量与的夹角为钝角所以，即：3×（﹣k﹣12）+5×（3k﹣6）＜0，解得．由于方向相反时，即：cos＜，＞＝，解得，即当k＝时，方向相反，此时不合题意．故实数k的取值范围（﹣）．18．在数列{a n}，{b n}中，a1＝b1＝1，a n+1＝4b n﹣a n+2n﹣1，．等差数列{c n}的前两项依次为a2，b3．（1）求{c n}的通项公式；（2）求数列{（a n+b n）c n}的前n项和S n．解：（1）由题意，可知：a2＝4b1﹣a1+2×1﹣1＝4﹣1+2﹣1＝4，b2＝4a1﹣b1﹣2×1+1＝4﹣1﹣2+1＝2，则b3＝4a2﹣b2﹣2×2+1＝4×4﹣2﹣4+1＝11，设等差数列{c n}的公差为d，则：c1＝a2＝4，d＝b3﹣a2＝11﹣4＝7，故c n＝4+7（n﹣1）＝7n﹣3，n∈N*．（2）由题意，将a n+1＝4b n﹣a n+2n﹣1与b n+1＝4a n﹣b n﹣2n+1相加，可得：a n+1+b n+1＝4b n﹣a n+2n﹣1+4a n﹣b n﹣2n+1＝3（a n+b n），∵a1+b1＝1+1＝2，∴数列{a n+b n}是以2为首项，3为公比的等比数列，∴a n+b n＝2•3n﹣1，∴（a n+b n）c n＝2（7n﹣3）•3n﹣1，∴S n＝（a1+b1）c1+（a2+b2）c2+（a3+b3）c3+…+（a n﹣1+b n﹣1）c n﹣1+（a n+b n）c n＝2•4•1+2•11•31+2•18•32+…+2•（7n﹣10）•3n﹣2+2•（7n﹣3）•3n﹣1，则3S n＝2•4•31+2•11•32+…+2•（7n﹣10）•3n﹣1+2•（7n﹣3）•3n，两式相减，可得：﹣2S n＝2•4•1+2•7•31+2•7•32+…+2•7•3n﹣1﹣2•（7n﹣3）•3n＝8+14•（31+32+…+3n﹣1）﹣2•（7n﹣3）•3n＝8+14•﹣2•（7n﹣3）•3n＝8+7（3n﹣3）﹣2•（7n﹣3）•3n＝﹣（14n﹣13）•3n﹣13∴S n＝•3n+．19．如图，已知在东西走向上有甲、乙两座小山，一辆测量车在甲山山底M的正南方向的P点处测得山顶A的仰角为30°，该测量车在水平面上向北偏西60°方向行驶后到达点Q，在点Q处测得乙山山顶B的仰角为θ，且∠BQA＝θ，经计算，tanθ＝2，若甲、乙山高分别为100m、200m，求两山山顶之间的距离．解：在Rt△AMP中，∠APM＝30°，AM＝100，所以PM＝100；连接QM，在△PQM中，∠QPM＝60°，又PQ＝100，所以△PQM为等边三角形，所以QM＝100 ；在Rt△AMQ中，由AQ2＝AM2+QM2得AQ＝200又在Rt△BNQ中，tanθ＝2，BN＝200，所以BQ＝100；在△BQA中，BA2＝BQ2+AQ2﹣2BQ•AQ cosθ＝50000+40000﹣2×100×200×＝50000；解得BA＝100．所以A，B两山顶间的距离是100m．20．已知△ABC的内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，R（sin A+sin B）＝1（其中R 为△ABC的外接圆的半径）且△ABC的面积S＝c2﹣（a﹣b）2．（1）求tan C的值；（2）求△ABC的面积S的最大值．解：（1）∵，∴a＝2R sin A，b＝2R sin B．代入R（sin A+sin B）＝1整理后得a+b＝2．由面积S＝c2﹣（a﹣b）2＝得，两边同除以2ab得：，代入sin2C+cos2C＝1得，因为sin C≠0，所以．∴，∴．（2）由（1）得，当且仅当a＝b＝1时取等号．∴．所以面积的最大值为．21．如图，在△ABC中，已知CA＝1，CB＝2，∠ACB＝60°．（1）求||；（2）已知点D是AB上一点，满足＝λ，点E是边CB上一点，满足＝λ．①当λ＝时，求•；②是否存在非零实数λ，使得⊥？若存在，求出的λ值；若不存在，请说明理由．解：（1）△ABC中，CA＝1，CB＝2，∠ACB＝60°，由余弦定理得，AB2＝CA2+CB2﹣2CA•CB•cos∠ACB＝12+22﹣2×1×2×cos60°＝3，∴AB＝，即||＝；（2）①λ＝时，＝，＝，∴D、E分别是BC，AB的中点，∴＝+＝+，＝（+），∴•＝（+）•（+）＝•+•+•+＝﹣×12+×1×2×cos120°+×2×1×cos60°+×22＝；②假设存在非零实数λ，使得⊥，由＝λ，得＝λ（﹣），∴＝+＝+λ（﹣）＝λ+（1﹣λ）；又＝λ，∴＝+＝（﹣）+λ（﹣）＝（1﹣λ）﹣；∴•＝λ（1﹣λ）﹣λ•+（1﹣λ）2•﹣（1﹣λ）＝4λ（1﹣λ）﹣λ+（1﹣λ）2﹣（1﹣λ）＝﹣3λ2+2λ＝0，解得λ＝或λ＝0（不合题意，舍去）；即存在非零实数λ＝，使得⊥．22．已知数列{a n}满足，n∈N*，a1＝1．（1）若a2＝3，a3＝x，a4＝6，求x的取值范围；（2）若{a n}是公比为q的等比数列，S n＝a1+a2+…+a n，≤3S n，n∈N*，求q 的取值范围；（3）若a1，a2，…，a k成等差数列，且a1+a2+…+a k＝2020，求正整数k的最大值．解：（1）由题意可得a2≤a3≤3a2，a3≤a4≤3a3，又a2＝3，a3＝x，a4＝6，即有1≤x≤9，x≤6≤3x，即2≤x≤18，可得2≤x≤9；（2）a n＝q n﹣1，由a1≤a2≤3a1，可得≤q≤3，当q＝1时，S n＝n，≤3S n，即n≤n+1≤3n，成立；当1＜q≤3时，S n＝，≤3S n，即•≤≤3•，即≤≤3，可得，由q＞1可得3q n+1﹣q n﹣2＝q n（3q﹣1）﹣2＞2q n﹣2＞0，对于不等式q n+1﹣3q n+2≤0，令n＝1，可得q2﹣3q+2≤0，解得1≤q≤2，又当1≤q≤2，q﹣3＜0，所以q n+1﹣3q n+2＝q n（q﹣3）+2≤q（q﹣3）+2＝（q﹣1）（q ﹣2）≤0成立，所以1＜q≤2；当≤q＜1时，S n＝，≤3S n，即•≤≤3•，可得≤≤3，所以，因为3q﹣1＞0，q﹣3＜0，所以3q n+1﹣q n﹣2＝q n（3q﹣1）﹣2＜2q n﹣2＜0，q n+1﹣3q n+2＝q n（q﹣3）+2≥q（q﹣3）+2＝（q﹣1）（q﹣2）＞0成立，所以当≤q ＜1时，不等式恒成立，综上所述，q的取值范围是[，2]；（3）设a1，a2，…，a k成公差为d的等差数列，由a n≤a n+1≤3a n，且a1＝1，可得[1+（n﹣1）d]≤1+nd≤3[1+（n﹣1）d]，n＝1，2，…，k﹣1，即，n＝1，2，…，k﹣1，当n＝1时，﹣≤d≤2，当n＝2，3，…，k﹣1时，由＞，可得d≥，所以d≥≥﹣，所以2020＝ka1+•≥k+•，即k2﹣4040k+2020≤0，解得k≤4039，所以k的最大值为4039．。

2019-2020学年武汉市华科附中高一下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 如图，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC ⇀=λAM ⇀+μBD ⇀，则λ+μ=A. 43 B. 53 C. 158 D. 22. 等差数列中，已知，使得的最大正整数为( )A.B.C. D.3. 《张丘建算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中卷上第二十三问：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈．问半月积几何？”其意思为“有个女子织布，每天比前一天多织相同量的布，第一天织五尺，一个月(按30天计)共织布9匹3丈．问：前半个月(按15天计)共织多少布？”已知1匹=4丈，1丈=10尺，可估算出前半个月一共织的布约有( )A. 195尺B. 133尺C. 130尺D. 135尺4. 4.在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 若则b 等于A.B.C.D.5. 在△ABC 中，D 是BC 边上一点，∠BAD =∠CAD =60°，BD =2CD =4，则tan∠ABC =( )A. √35B. √33C. 4−√313D. 4+√3136. 已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为60°，且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数λ的值为( )A. 12B. 1C. 2D. −127. 已知甲乙两车间的月产值在2011年元月份相同，甲以后每个月比前一个月增加相同的产值，乙以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同．到2011年7月份发现两车间的月产值又相同，比较甲乙两个车间2011年4月月产值的大小，则有( )A. 甲大于乙B. 甲等于乙C. 甲小于乙D. 不确定8. 已知向量a ⃗ ,b ⃗ 满足a ⃗ ⋅b ⃗ =1,|b ⃗ |=2，则(3a ⃗ −2b ⃗ )⋅b ⃗ =( )A. 5B. −5C. 6D. 69. 已知向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 、OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 满足OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，点C 在∠AOB 内，且∠AOC =30°，设OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (m,n ∈R)，若|OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12，则mn =( ) A. √36B. 4C. 2√3D. 1410. 若等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为A n ，B n ，且AnB n=7n+14n+27，则a6b 6等于( )A. 43B. 74C. 32D. 787111. 已知向量a ⃗ =(1,3)，b ⃗ =(3,x)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则实数x 的值为( )A. 9B. −9C. 1D. −112. 在△ABC 中，两直角边和斜边分别为a ，b ，c ，若a +b =cx ，试确定实数x 的取值范围( )A. (1,√2]B. (0,√2]C. [√2,2)D. [√2,√3]二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设向量a ⃗ =(2,−6)，b ⃗ =(1,m)，若a ⃗ //b ⃗ ，则实数m 的值为______．14. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若C =π3，且acosA =bcosB ，则角A = ______ ． 15. 设数列{a n }的前n 项和S n ，满足S n =2a n −3(n ∈N ∗)，则数列{a n }通项为a n =______． 16. 若数列{a n }各项均不为零，前n 项和为S n ，且a 1=2，2S n =a n ⋅a n+1，则S 2n−1=______ 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. (本小题满分12分)已知、、是同一平面内的三个向量，其中．(1)若，且 //，求的坐标；(2)若| |=且 +2与垂直，求与的夹角．18.已知数列{a n}的前n项和为S n，对一切正整数n，点P n(n,S n)都在函数f(x)=x2+2x的图象上．(1)求a1，a2；并求数列{a n}的通项公式；(2)若b n=1a n a n+1a n+2=k(1a n a n+1−1a n+1a n+2)，求k，(3)证明数列{b n}的前n项和T n<160．19.已知m⃗⃗⃗ =(cos(π3+x),0)，n⃗=(cos(π3−x),2)，函数f(x)=m⃗⃗⃗ ⋅n⃗，g(x)=12sin2x−14．(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期；(Ⅱ)求函数ℎ(x)=f(x)−g(x)的最大值，并求使ℎ(x)取得最大值的x的集合．20.海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：)来近似描述这个港口的水深和时间(1)若用函数f(t)=Asin(ωt+φ)+ℎ(A>0,ω>0,|φ|<π2之间的对应关系，根据表中数据确定函数表达式；(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米，安全条例规定要有2.25米的安全间隙(船底与洋底的距离)，该船何时能进入港口？21.若a⃗、b⃗ 是两个不共线的非零向量，t∈R．(a−+b⃗ )三向量的终点在条直线上？(1)若a⃗、b⃗ 起点相同，t为何值时，a⃗、t b⃗ 、13(2)若|a⃗|=|b⃗ |且a⃗与b⃗ 的夹角为60°，t为何值时，|a⃗−t b⃗ |的值最小，并求出最小值(用含|a⃗|的式子表示)．22.已知数列{a n}的前n项和为S n.已知a1=2，S n+1=4a n+2．(1)求a2的值；(2)设b n=a n+1−2a n，数列{b n}的通项公式．【答案与解析】1.答案：B解析：本题考查向量加法、减法，及数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，相等向量的概念，平面向量基本定理．根据向量加法、减法及数乘的几何意义便可得出．AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，带入AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μBD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 并进行向量的数乘运算便可得出AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ−μ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(λ2+μ)AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，而AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，这样根据平面向量基本定理即可得出关于λ，μ的方程组，解出λ，μ便可得出λ+μ的值． 解：AC⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ； ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μBD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+μ(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(λ−μ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(λ2+μ)AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； ∴由平面向量基本定理得：{λ−μ=1λ2+μ=1；解得λ=43,μ=13； ∴λ+μ=53． 故选B ．2.答案：A解析：试题分析：由，设公差为，则有，解得，所以，由，故的最大正整数为6，选A ．考点：1.等差数列的通项公式及其前项和公式；2.一次不等式．3.答案：B解析：解：9匹3丈为390尺，每天的织布数成等差数列，首项a 1=5，记公差为d ， 则S 30=5×30+30×292d =390，所以d =1629， 所以S 15=15×5+15×142×1629=75+105×1629≈132.9故选：B ．由已知结合等差数列的求和公式可求公差d ，然后代入到求和公式中即可求解． 本题主要考查了等差数列的求和公式在实际问题中的应用，属于基础试题．4.答案：A解析：本题主要考查了正弦定理的应用，先根据三角形内角和求得A ，进而利用正弦定理以及a ，sin A 和sin B 求得b ．解：A =180°−60°−75°=45° 由正弦定理可知，．故选：A ．5.答案：A解析：解：依题意，AD 为∠BAC 的平分线，所以ABAC =BD CD=2，设AC =x ，则AB =2x ，在△ABC 中，由余弦定理得，BC 2=AB 2+AC 2−2AB ⋅ACcos∠BAC ， 即(4+2)2=4x 2+x 2−2⋅2x ⋅xcos120°=7x 2， 解得x =√7.在△ABC 中，由正弦定理得，ACsinB =BC sin∠BAC ， 即√7sinB =6sin120∘，解得sinB =√327， 又0°<B <60°，可得cosB =2√7，所以tanB =sinB cosB =√35． 故选：A ．AD 为∠BAC 的平分线，由角平分线定理可得AB =2AC ，设AC =x ，则AB =2x ，在△ABC 中，运用余弦定理可得x ，在三角形ABC 中运用正弦定理可得sin B ，再由同角的基本关系式可得所求值． 本题考查三角形的正弦定理和余弦定理的运用，考查化简运算能力，属于基础题．6.答案：B解析：解：∵向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为60°，且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2， ∴向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos60°=2×2×12=2， ∵AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 即λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则λAB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0， 即λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 则2λ−4λ+4−2=0， 2λ=2，解得λ=1， 故选：B ．根据向量的数量积以及向量垂直的定义和关系建立方程关系即可得到结论．本题主要考查平面向量的数量积的应用以后平面向量的基本定理的应用，根据向量垂直的等价关系建立方程是解决本题的关键．7.答案：A解析：解：设甲以后每个月比前一个月增加相同的产值a ，乙每个月比前一个月增加产值的百分比为x ，甲乙两车间的月产值在2011年元月份相同为m ，则 由题意得m +6a =m ×(1+x)6 ①，4月份甲的产值为m +3a ，4月份乙的产值为m ×(1+x)3， 由①知，(1+x)6=1+6am，即4月份乙的产值为m√1+6a m=√m 2+6ma ，∵(m +3a)2−(m 2+6ma)=9a 2>0，∴m +3a >√m 2+6ma ，即4月份甲的产值大于乙的产值， 故选A ．设甲、乙两间工厂元月份的产值都是m ，甲以后每个月比前一个月增加相同的产值a ，乙每个月比前一个月增加产值的百分比为x ，由7月份的产值相同列出等式，由此得到4月份乙的产值，将甲、乙两间工厂4月份的产值平方相减得到差值的符号，从而判断甲、乙两间工厂4月份产值的大小． 本题考查指数函数的性质，以及比较两个式子大小的方法，考查等差数列与等比数列的结合，体现了转化的数学思想．8.答案：B解析：解：∵a ⃗ ⋅b ⃗ =1,|b ⃗ |=2，∴(3a ⃗ −2b ⃗ )⋅b ⃗ =3a ⃗ ⋅b ⃗ −2b ⃗ 2=3−2×22=−5， 故选：B ．展开直接求解即可．本题考查向量的数量积运算，属于基础题．9.答案：C解析：解：∵|OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12，∴|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12|OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |， ∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即OA ⊥OB ，故可以OA ，OB 为x 轴，y 轴建立直角坐标系， 设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2)， ∵OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(m,2n)， ∵∠AOC =30°， ∴2n m =tan30°=√33， 则mn =2√3． 故选：C ．由已知可以OA ，OB 为x 轴，y 轴建立直角坐标系，设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2)，然后结合OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 可求C ，结合三角函数可求． 本题主要考查了向量的坐标表示的简单应用，建立直角坐标可以简化基本运算．10.答案：D解析：解：利用等差数列的性质可得：a6b6=11(a1+a11)211(b1+b11)2=A11B11=7×11+14×11+27=7871．故选：D．利用等差数列的性质可得：a6b6=A11B11，即可得出．本题考查了等差数列的性质、求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.答案：D解析：解：∵向量a⃗=(1,3)，b⃗ =(3,x)，a⃗⊥b⃗ ，∴a⃗⋅b⃗ =1×3+3x=0，解得x=−1故选：D由斜率垂直可得数量积为0，解方程可得x值．本题考查向量的数量积和垂直关系，属基础题．12.答案：A解析：由a+b=cx得，x=a+bc ，由正弦定理得a+bc=√2sin(A+45°)，由此能确定实数x的取值范围．本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正弦定理、三角函数性质的合理运用．解：由a+b=cx得，x=a+bc，由题意得在△ABC中，∠C=90°，则∠A+∠B=90°，由正弦定理得：a+bc =sinA+sinBsinC=sinA+sin(90°−A)sin90°=sinA+cosA=√2sin(A+45°)，由A∈(0,90°)得，A+45°∈(45°,135°)，所以sin(A+45°)∈(√22,1]，即√2sin(A+45°)∈(1,√2]，∴a+bc∈(1,√2]，∴x =a +b c∈(1,√2]. 故选A ． 13.答案：−3解析：解：∵a ⃗ //b ⃗ ；∴2m +6=0；∴m =−3．故答案为：−3．根据a ⃗ //b⃗ 即可得出2m +6=0，解出m 即可． 考查向量坐标的概念，向量平行时的坐标关系．14.答案：π3解析：解：由题意得a cosA =b cosB ，则acosB =bcosA ，由正弦定理得，sinAcosB =sinBcosA ，则sin(A −B)=0，又A 、B ∈(0,π)，则A −B ∈(−π,π)，所以A −B =0，即A =B ，因为C =π3，所以A =B =π3，故答案为：π3．根据正弦定理和两角差的正弦公式化简式子，根据内角的范围判断A 与B 的关系，结合条件和内角和定理求出A 的值．本题考查正弦定理，两角差的正弦公式，注意内角的范围，属于中档题． 15.答案：3⋅2n−1解析：解：数列{a n }的前n 项和S n ，满足S n =2a n −3①，当n =1时，a 1=3．则：S n+1=2a n+1−3②，②−①得：a n+1=2a n ，即：a n+1a n =2(常数)，所以：数列{a n}是以a1=3为首项，2为公比的等比数列．故：a n=3⋅2n−1．当n=1时，首项符合通项．故：a n=3⋅2n−1．故答案为：3⋅2n−1直接利用递推关系式求出数列的通项公式．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用．16.答案：2n2解析：解：由题意，可知：2S n=a n⋅a n+1，①2S n+1=a n+1⋅a n+2，②②−①，可得：2S n+1−2S n=a n+1⋅a n+2−a n⋅a n+1，即有：2(S n+1−S n)=a n+1⋅(a n+2−a n)，∴2a n+1=a n+1⋅(a n+2−a n)，∵a n+1≠0，∴a n+2−a n=2，∵a1=2，a2=2S1a1=2．∴数列{a n}的奇数项是以2为首项，2为公差的等差数列；数列{a n}的偶数项也是以2为首项，2为公差的等差数列．∴a n={n+1,n为奇数n,n为偶数．∴S2n−1=a1+a2+⋯+a n+a n+1+a n+2+⋯+a2n−1=(a1+a3+⋯+a2n−1)+(a2+a4+⋯+a2n−2)=[2+4+⋯+(2n−2)+2n]+[2+4+⋯+(2n−2)]=2×[2+4+⋯+(2n−2)]+2n=4×[1+2+⋯+(n−1)]+2n=4×n(n−1)2+2n=2n2．故答案为：2n2．本题根据2S n=a n⋅a n+1可得到2S n+1=a n+1⋅a n+2然后两式相减再整理化简发现数列{a n}的奇数项与偶数项分别成等差数列，然后再求和时可奇数项与偶数项分别求和即可得出结果．本题主要考查将递推公式转化为通项公式，并考查了数列的奇偶项分别分析，在求和时可采用奇偶项分别求和的方法．本题属中档题．17.答案：解析：18.答案：(1)解：∵点P n(n,S n)都在函数f(x)=x2+2x的图象上．∴S n=n2+2n,n∈N∗，∴a1=S1=3，(2分)又a 1+a 2=S 2=22+2×2=8，∴a 2=5.(4分)由(1)知，S n =n 2+2n,n ∈N ∗，当n ≥2时，a n =S n −S n−1=2n +1，(6分)由(1)知，a 1=3=2×1+1满足上式，(7分)∴数列{a n }的通项公式为a n =2n +1.(8分)(2)解：由(1)得b n =1(2n+1)(2n+3)(2n+5)=14[1(2n+1)(2n+3)−1(2n+3)(2n+5)]，∵b n =1an a n+1a n+2=k(1a n a n+1−1a n+1a n+2)， ∴k =14． (3)证明：T n =14[13×5−15×7+15×7−17×9+⋯+1(2n+1)(2n+3)−1(2n+3)(2n+5)](12分)=14[13×5−1(2n+3)(2n+5)]=160−14(2n+3)(2n+5)<160． ∴T n <160.(14分)解析：(1)由已知条件得S n =n 2+2n,n ∈N ∗，由此推导出a 1=S 1=3，a 2=5，a n =S n −S n−1=2n +1，由此能求出数列{a n }的通项公式．(2)由(1)得b n =1(2n+1)(2n+3)(2n+5)=14[1(2n+1)(2n+3)−1(2n+3)(2n+5)]，由此能求出k ．(3)利用裂项求和法求出T n =14[13×5−1(2n+3)(2n+5)]=160−14(2n+3)(2n+5)，由此能证明T n <160．本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．19.答案：解：(Ⅰ)由已知，f(x)=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =cos(π3+x)cos(π3−x)=(12cosx −√32sinx)(12cosx +√32sinx)=14cos 2x −34sin 2x =1+cos2x 8−3−3cos2x 8=12cos2x −14，所以f(x)的最小正周期为2π2=π；(Ⅱ)函数ℎ(x)=f(x)−g(x)=12cos2x −12sin2x =√22cos(2x +π4)，当2x +π4=2kπ，k ∈Z 时，ℎ(x)取最大值为√22，此时x =kπ−π8，所以ℎ(x)取最大值时x 的集合为{x|x =kπ−π8,k ∈Z}．解析：(Ⅰ)由已知，利用向量的数量积求出函数f(x)的解析式化简求周期；(Ⅱ)求出函数ℎ(x)=f(x)−g(x)的解析式化简求最值．本题考查了向量的数量积的坐标运算以及三角函数解析式的化简，正确利用两角和与差的关系式以及倍角公式化简解析式为最简形式是关键．20.答案：解：(1)水深和时间之间的对应关系，周期T=12．∴ω=2π12=π6，可知A=7.5−2.52=52，ℎ=7.5+2.52=5．∴f(t)=52sin(ωt+φ)+5．当t=3时f(3)=7.5．即sin(3×π6+φ)=1．∵|φ|<π2，∴φ=0．∴函数表达式为∴f(t)=52sinπ6t+5.(0<t≤24)(2)船底与水面的距离为4米，船底与洋底的距离2.25米，∴y≥6.25，即52sinπ6t+5≥6.25可得sinπ6t≥12．∴5π6+2kπ≥π6t≥π6+2kπ，k∈Z．解得：1≤t≤5或13≤t≤17．故得该船1≤t≤5或13≤t≤17.能进入港口满足安全要求．解析：(1)根据时间与水深关系表，即可计算；(2)船底与水面的距离为4米，船底与洋底的距离2.25米，可知y≥6.25的时间段t，即可求解．本题考查了三角函数在实际问题中的应用，需对题目的理解，属于中档题．21.答案：解：(1)a⃗、t b⃗ 、13(a−+b⃗ )三向量的终点在条直线上，即a⃗−t b⃗ =λ[a⃗−13(a⃗+b⃗ )]，即(1−2λ3)a ⃗ =(t −λ3)b ⃗ ， 又a ⃗ 、b ⃗ 是两个不共线的非零向量，所以{1−2λ3=0t −λ3=0， 解得t =12，故答案为：12(2)|a ⃗ −t b ⃗ |2=a ⃗ 2−2t a ⃗ ⋅b ⃗ +t 2b ⃗ 2=a ⃗ 2(t 2−t +1)=[(t −12)+34]a ⃗ 2， 当t =12时，|a ⃗ −t b ⃗ |2取最小值34a⃗ 2， 故t =12时，|a ⃗ −t b ⃗ |取最小值√32|a ⃗ |，解析：(1)由三点共线得：a ⃗ 、t b ⃗ 、13(a −+b ⃗ )三向量的终点在条直线上，即a ⃗ −t b ⃗ =λ[a ⃗ −13(a ⃗ +b ⃗ )]，即(1−2λ3)a ⃗ =(t −λ3)b ⃗ ，由平面向量基本定理得：因为a ⃗ 、b ⃗ 是两个不共线的非零向量，所以{1−2λ3=0t −λ3=0，解得t =12， (2)由向量模的运算可得：|a ⃗ −t b ⃗ |2=a ⃗ 2−2t a ⃗ ⋅b ⃗ +t 2b ⃗ 2=a ⃗ 2(t 2−t +1)=[(t −12)+34]a ⃗ 2，由二次函数的性质可得：当t =12时，|a ⃗ −t b ⃗ |2取最小值34a ⃗ 2，故t =12时，|a ⃗ −t b ⃗ |取最小值√32|a ⃗ |， 本题考查了三点共线、平面向量基本定理、向量模的运算及二次函数的性质，属中档题． 22.答案：解：(1)∵a 1=2，S n+1=4a n +2．∴a 1+a 2=4a 1+2，即a 2=3×2+2=8．(2)∵S n+1=4a n +2，∴当n ≥2时，S n =4a n−1+2，相减可得：a n+1=4a n +2−(4a n−1+2)，化为a n+1−2a n =2(a n −2a n−1)，∵b n =a n+1−2a n ，∴b n+1=2b n ，b 2=8−2×2=4．∴数列{b n }是等比数列，首项为4，公比为2．∴b n=4×2n−1=2n+1．解析：(1)由a1=2，S n+1=4a n+2.令n=1代入即可得出．(2)由S n+1=4a n+2，可得：当n≥2时，S n=4a n−1+2，相减可得：a n+1−2a n=2(a n−2a n−1)，于是b n+1=2b n，利用等比数列的通项公式即可得出．本题考查了递推关系的应用、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共10小题，共50分）1.设复数满足，则（）A. B. C. D. 2【答案】A【解析】【分析】化简得到，得到模长.【详解】，故.故选：.【点睛】本题考查了复数的化简，复数模，意在考查学生的计算能力.2.已知向量与向量共线，则实数的值是（）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】C【解析】【分析】直接根据向量共线公式得到答案.【详解】向量与向量共线，则，故.故选：.【点睛】本题考查了根据向量平行求参数，意在考查学生的计算能力.3.下列问题中，最适合用简单随机抽样方法抽样的是（）A. 某县从该县中、小学生中抽取200人调查他们的视力情况B. 从15种疫苗中抽取5种检测是否合格C. 某大学共有学生5600人，其中专科生有1300人、本科生3000人、研究生1300人，现抽取样本量为280的样本调查学生利用因特网查找学习资料的情况，D. 某学校兴趣小组为了了解移动支付在大众中的熟知度，要对岁的人群进行随机抽样调查【答案】B【解析】【分析】依次判断每个选项的合适的抽样方法得到答案.【详解】A. 中学，小学生有群体差异，宜采用分层抽样；B. 样本数量较少，宜采用简单随机抽样；C. 中专科生、本科生、研究生有群体差异，宜采用分层抽样；D. 年龄对于移动支付的了解有较大影响，宜采用分层抽样；故选：.【点睛】本题考查了抽样方法，意在考查学生对于抽样方法的掌握情况.4.在中，若，则是（）A. 正三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 有一内角为60°的直角三角形【答案】C【解析】【分析】根据正弦定理得到，，故，得到答案.【详解】根据正弦定理：，故，，即，，故，故.故选：.【点睛】本题考查了利用正弦定理判断三角形形状，意在考查学生的计算能力和应用能力.5.在中，角所对的边分别为．若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据余弦定理得到，再利用正弦定理计算得到答案.【详解】根据余弦定理：，故，根据正弦定理：，即，解得.故选：.【点睛】本题考查了正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力和应用能力.6.甲、乙两名射击运动员分别进行了5次射击训练，成绩（单位：环）如下：甲：7，8，8，8，9 乙：6，6，7，7，10；若甲、乙两名运动员的平均成绩分别用表示，方差分别为表示，则（）A. B.C D.【答案】B【解析】【分析】计算，，，得到答案.【详解】，，故.；，故.故选：B.【点睛】本题考查了平均值和方差的计算，意在考查学生的计算能力和观察能力.7.某单位对某村的贫困户进行“精准扶贫”，若甲、乙贫困户获得扶持资金的概率分别为和，两户是否获得扶持资金相互独立，则这两户中至少有一户获得扶持资金的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】考虑都没有获得扶持资金的情况，再计算对立事件概率得到答案.【详解】根据题意：.故选：.【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.8.抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件为“向上的点数是偶数”，事件为“向上的点数不超过3”，则概率（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】满足向上的点数是偶数或向上的点数不超过3的点数有：五种情况，得到答案.【详解】满足向上的点数是偶数或向上的点数不超过3的点数有：五种情况，故.故选：.【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.9.对某自行车赛手在相同条件下进行了12次测试，测得其最大速度（单位：）的数据如下：27，38，30，36，35，31，33，29，38，34，28，36，则他的最大速度的第一四分位数是（）A. 29B. 29.5C. 30D. 36【答案】B【解析】【分析】数据从小到大排列，，计算得到答案.【详解】数据从小到大排列为：，，故最大速度第一四分位数是.故选：.【点睛】本题考查了分位数，意在考查学生的计算能力和应用能力.10.已知是边长为2的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】计算得到，，计算得到答案.【详解】根据题意：，，故.故选：.【点睛】本题考查了向量的数量积，将向量作为基向量是解题的关键.二、填空题（本大题共9小题，共50分）11.某学院的三个专业共有1500名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为100的样本．已知该学院的专业有700名学生，专业有500名学生，则在该学院的专业应抽取_____________名学生．【答案】【解析】【分析】直接根据分层抽样的比例关系得到答案.【详解】该学院的专业应抽取：.故答案为：.【点睛】本题考查了分层抽样，意在考查学生计算能力和应用能力.12.已知i为虚数单位，复数为纯虚数，则a的值为__________.【答案】2【解析】【分析】首先把复数化简为代数形式，然后根据复数分类求解．【详解】，它为纯虚数，则且，解得．故答案为：2．【点睛】本题考查复数的运算，考查复数的分类，掌握复数的除法运算是解题关键．13.已知向量，满足，，若，则＝_____________．【答案】5【解析】【分析】根据即可得到，再由即可求出，从而可得出的值．【详解】∵；∴，且；∴；∴．故答案为5．【点睛】本题考查向量垂直的充要条件，向量的数量积运算，向量长度的概念．14.从装有2个红球和2个白球口袋内任取2个球，是互斥事件的序号为___________．（1）至少有1个白球；都是白球；（2）至少有1个白球；至少有1个红球；（3）恰有1个白球；恰有2个白球；（4）至少有1个白球；都是红球【答案】（3）（4）【解析】【分析】根据互斥事件的概念依次判断每个选项中是否为互斥事件得到答案.【详解】（1）至少有1个白球，都是白球，都是白球的情况两个都满足，故不是互斥事件；（2）至少有1个白球，至少有1个红球，一个白球一个红球都满足，故不是互斥事件；（3）恰有1个白球，恰有2个白球，是互斥事件；（4）至少有1个白球；都是红球，是互斥事件.故答案为：（3）（4）.【点睛】本题考查了互斥事件，意在考查学生对于互斥事件的理解和掌握.15.袋中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，第二次摸到红球的概率是____________．【答案】【解析】【分析】分为第一次是红球和第一次是黄球两种情况，计算得到答案.【详解】第一次是红球：；第一次是黄球：.故.故答案为：.【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.16.已知点，则向量在上的投影向量的模为___________．【答案】【解析】【分析】计算，，根据投影公式得到答案.【详解】根据题意：，，向量在上的投影向量的模为.故答案为：.【点睛】本题考查了向量的投影，意在考查学生的计算能力和转化能力.17.某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图，如图，估计这次测试中数学成绩的平均分约为______________、众数约为____________、中位数约为__________．（结果不能整除的精确到0.1）【答案】 (1). (2). (3).【解析】【分析】根据平均值，众数，中位数的概念依次计算得到答案.详解】根据频率分布直方图：平均数为：；众数约为；前三个矩形概率和为，设中位数为，则，解得.故答案为：；；.【点睛】本题考查了平均值，众数，中位数的计算，意在考查新学生的计算能力和应用能力.18.甲船在岛处南偏西50°的处，且的距离为10海里，另有乙船正离开岛沿北偏西10°的方向以每小时8海里的速度航行，若甲船要用2小时追上乙船，则速度大小为__________海里．【答案】【解析】【分析】计算，根据余弦定理得到，得到速度.【详解】根据题意知：，，根据余弦定理：，故，故速度为.故答案为：.【点睛】本题考查了余弦定理的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.19.中，角所对的边分别为．已知．则角的大小为___________，若，则的值为___________．【答案】 (1). (2).【解析】【分析】根据正弦定理得到，计算，再利用余弦定理计算得到答案.【详解】，故，，故，即，即，，故.，故.故答案为：；.【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共10小题，共50分）1.设复数满足，则（）A. B. C. D. 2【答案】A【解析】【分析】化简得到，得到模长.【详解】，故.故选：.【点睛】本题考查了复数的化简，复数模，意在考查学生的计算能力.2.已知向量与向量共线，则实数的值是（）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】C【解析】【分析】直接根据向量共线公式得到答案.【详解】向量与向量共线，则，故.故选：.【点睛】本题考查了根据向量平行求参数，意在考查学生的计算能力.3.下列问题中，最适合用简单随机抽样方法抽样的是（）A. 某县从该县中、小学生中抽取200人调查他们的视力情况B. 从15种疫苗中抽取5种检测是否合格C. 某大学共有学生5600人，其中专科生有1300人、本科生3000人、研究生1300人，现抽取样本量为280的样本调查学生利用因特网查找学习资料的情况，D. 某学校兴趣小组为了了解移动支付在大众中的熟知度，要对岁的人群进行随机抽样调查【答案】B【解析】【分析】依次判断每个选项的合适的抽样方法得到答案.【详解】A. 中学，小学生有群体差异，宜采用分层抽样；B. 样本数量较少，宜采用简单随机抽样；C. 中专科生、本科生、研究生有群体差异，宜采用分层抽样；D. 年龄对于移动支付的了解有较大影响，宜采用分层抽样；故选：.【点睛】本题考查了抽样方法，意在考查学生对于抽样方法的掌握情况.4.在中，若，则是（）A. 正三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 有一内角为60°的直角三角形【答案】C【解析】【分析】根据正弦定理得到，，故，得到答案.【详解】根据正弦定理：，故，，即，，故，故.故选：.【点睛】本题考查了利用正弦定理判断三角形形状，意在考查学生的计算能力和应用能力.5.在中，角所对的边分别为．若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据余弦定理得到，再利用正弦定理计算得到答案.【详解】根据余弦定理：，故，根据正弦定理：，即，解得.故选：.【点睛】本题考查了正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力和应用能力.6.甲、乙两名射击运动员分别进行了5次射击训练，成绩（单位：环）如下：甲：7，8，8，8，9 乙：6，6，7，7，10；若甲、乙两名运动员的平均成绩分别用表示，方差分别为表示，则（）A. B.C D.【答案】B【解析】【分析】计算，，，得到答案.【详解】，，故.；，故.故选：B.【点睛】本题考查了平均值和方差的计算，意在考查学生的计算能力和观察能力.7.某单位对某村的贫困户进行“精准扶贫”，若甲、乙贫困户获得扶持资金的概率分别为和，两户是否获得扶持资金相互独立，则这两户中至少有一户获得扶持资金的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】考虑都没有获得扶持资金的情况，再计算对立事件概率得到答案.【详解】根据题意：.故选：.【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.8.抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件为“向上的点数是偶数”，事件为“向上的点数不超过3”，则概率（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】满足向上的点数是偶数或向上的点数不超过3的点数有：五种情况，得到答案.【详解】满足向上的点数是偶数或向上的点数不超过3的点数有：五种情况，故.故选：.【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.9.对某自行车赛手在相同条件下进行了12次测试，测得其最大速度（单位：）的数据如下：27，38，30，36，35，31，33，29，38，34，28，36，则他的最大速度的第一四分位数是（）A. 29B. 29.5C. 30D. 36【答案】B【解析】【分析】数据从小到大排列，，计算得到答案.【详解】数据从小到大排列为：，，故最大速度第一四分位数是.故选：.【点睛】本题考查了分位数，意在考查学生的计算能力和应用能力.10.已知是边长为2的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】计算得到，，计算得到答案.【详解】根据题意：，，故.故选：.【点睛】本题考查了向量的数量积，将向量作为基向量是解题的关键.二、填空题（本大题共9小题，共50分）11.某学院的三个专业共有1500名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为100的样本．已知该学院的专业有700名学生，专业有500名学生，则在该学院的专业应抽取_____________名学生．【答案】【解析】【分析】直接根据分层抽样的比例关系得到答案.【详解】该学院的专业应抽取：.故答案为：.【点睛】本题考查了分层抽样，意在考查学生计算能力和应用能力.12.已知i为虚数单位，复数为纯虚数，则a的值为__________.【分析】首先把复数化简为代数形式，然后根据复数分类求解．【详解】，它为纯虚数，则且，解得．故答案为：2．【点睛】本题考查复数的运算，考查复数的分类，掌握复数的除法运算是解题关键．13.已知向量，满足，，若，则＝_____________．【答案】5【解析】【分析】根据即可得到，再由即可求出，从而可得出的值．【详解】∵；∴，且；∴；∴．故答案为5．【点睛】本题考查向量垂直的充要条件，向量的数量积运算，向量长度的概念．14.从装有2个红球和2个白球口袋内任取2个球，是互斥事件的序号为___________．（1）至少有1个白球；都是白球；（2）至少有1个白球；至少有1个红球；（3）恰有1个白球；恰有2个白球；（4）至少有1个白球；都是红球【答案】（3）（4）根据互斥事件的概念依次判断每个选项中是否为互斥事件得到答案.【详解】（1）至少有1个白球，都是白球，都是白球的情况两个都满足，故不是互斥事件；（2）至少有1个白球，至少有1个红球，一个白球一个红球都满足，故不是互斥事件；（3）恰有1个白球，恰有2个白球，是互斥事件；（4）至少有1个白球；都是红球，是互斥事件.故答案为：（3）（4）.【点睛】本题考查了互斥事件，意在考查学生对于互斥事件的理解和掌握.15.袋中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，第二次摸到红球的概率是____________．【答案】【解析】【分析】分为第一次是红球和第一次是黄球两种情况，计算得到答案.【详解】第一次是红球：；第一次是黄球：.故.故答案为：.【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.16.已知点，则向量在上的投影向量的模为___________．【答案】【解析】【分析】计算，，根据投影公式得到答案.【详解】根据题意：，，向量在上的投影向量的模为.故答案为：.【点睛】本题考查了向量的投影，意在考查学生的计算能力和转化能力.17.某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图，如图，估计这次测试中数学成绩的平均分约为______________、众数约为____________、中位数约为__________．（结果不能整除的精确到0.1）【答案】 (1). (2). (3).【解析】【分析】根据平均值，众数，中位数的概念依次计算得到答案.详解】根据频率分布直方图：平均数为：；众数约为；前三个矩形概率和为，设中位数为，则，解得.故答案为：；；.【点睛】本题考查了平均值，众数，中位数的计算，意在考查新学生的计算能力和应用能力.18.甲船在岛处南偏西50°的处，且的距离为10海里，另有乙船正离开岛沿北偏西10°的方向以每小时8海里的速度航行，若甲船要用2小时追上乙船，则速度大小为__________海里．【答案】【解析】【分析】计算，根据余弦定理得到，得到速度.【详解】根据题意知：，，根据余弦定理：，故，故速度为.故答案为：.【点睛】本题考查了余弦定理的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.19.中，角所对的边分别为．已知．则角的大小为___________，若，则的值为___________．【答案】 (1). (2).【解析】【分析】根据正弦定理得到，计算，再利用余弦定理计算得到答案.【详解】，故，，故，即，即，，故.，故.故答案为：；.【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.。