2017-2018学年北京市西城区北京师范大学附属中学高一上学期期末数学试卷解析

2017-2018学年北京师大附中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.如果cosθ＜0，且tanθ＞0，则θ是（）A. 第一象限的角B. 第二象限的角C. 第三象限的角D. 第四象限的角2.下列函数中，在R上为奇函数的是（）A. B. C. D.3.函数的一个对称中心是（）A. B. C. D.4.设全集U=R，集合＜＜，B={x|ln x＞0}，则A∩B=（）A. B. C. D.5.已知a=2log32，b=log35，，则（）A. B. C. D.6.已知＜＜，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.把函数的图象经过怎样的平移可得到函数y=cos3x的图象（）A. 向左平行移动个单位B. 向右平行移动个单位C. 向左平行移动个单位D. 向右平行移动个单位8.设f（x）是定义在R上的函数，且对任意实数x，有f（x+7）•f（x）=-1．当0≤x＜7时，f（x）=log2（9-x），则f（-100）的值为（）A. B. C. D. 2二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.计算：=______．10.当，时，函数f（x）=tan x的值域为______．11.角α终边上一点的坐标为（1，2），则tan2α=______．12.已知a＞0，则不等式ax2+（1-a）x-1＜0的解集为______．13.若存在x＞0，使得＜，则实数a的取值范围是______．14.已知函数y=f（x）是定义在区间[a，b]上的增函数，其中a，b R，且0＜b＜-a．设函数F（x）=|f（x）|-|f（-x）|，且F（x）不恒等于0，则下列命题中正确的是______（写出所有正确命题的序号）①F（x）的定义域为[-b，b]；②F（x）是奇函数；③F（x）的最小值为0；④F（x）在定义域内单调递增．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知，且α（0，π）．（Ⅰ）求cosα；（Ⅱ）求的值．16.已知函数．（Ⅰ）求；（Ⅱ）当，时，求函数f（x）的最值及对应x的值．17.已知函数＞，＞，＜的部分图象如图所示，N为f（x）图象的一个最高点，M、Q为f（x）图象与x轴的交点．（Ⅰ）若，，，，求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅲ）若△MNQ为直角三角形，求A•ω的值．18.m）是时间t（0≤t≤24，单位：h）的函数，下面是该港口的水深表：经过长时间的观察，描出的曲线如图所示，已知该曲线可近似的看成函数y=A sinωt+B的图象．（Ⅰ）试根据水深表和曲线，求A，ω，B的值；（Ⅱ）一般情况下，船舶航行时船底同海底的距离不少于4.5m时是安全的．如果某船的吃水深度（船底与水面的距离）为7m，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？（忽略离港所用的时间）请说明理由．19.已知函数．（Ⅰ）若f（a）=1，求a的值；（Ⅱ）试判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（Ⅲ）写岀方程f（x）=sin x+2根的个数（不需证明）．20.给定函数f（x），对于实数t，若存在a＞0，b＞0，满足：对任意的x[t-a，t+b]，|f（x）-f（t）|≤2，则记a+b的最大值为H（t）．（Ⅰ）是否存在函数f（x），使得H（t）是R上的常值函数？试说明理由；（Ⅱ）若f（x）=x2，当t[l，2]时，①求函数H（t）的解析式；②求函数H（t）的值域．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵cosθ＜0，∴θ是第二、第三象限角或x负半轴角，又tanθ＞0，∴θ是第一或第三象限角，∴θ是第三象限角．故选：C．根据三角函数的符号，判断θ是哪一象限角即可．本题考查了根据三角函数值判断三角函数符号的应用问题，是基础题目．2.【答案】B【解析】解：对于A，f（x）是偶函数，对于B，f（x）是奇函数，对于C，D，f（x）是非奇非偶函数，故选：B．根据函数的奇偶性的定义判断即可．本题考查了函数的奇偶性，熟练掌握函数的单调性的定义是解题的关键．3.【答案】B【解析】解：令x-=kπ，k Z，求得x=kπ+，故函数的对称中心为（kπ+，0），令k=0，可得函数的一个对称中心是（，0），故选：B．利用正弦函数的图象的对称性，求得函数的一个对称中心．本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：∵=（-1，3），B={x|lnx＞0}=（1，+∞），∴A∩B=（1，3）．故选：C．求解指数不等式和对数不等式化简A，B，再由交集运算得答案．本题考查指数不等式与对数不等式的解法，考查交集运算，是基础题．5.【答案】D【解析】解：∵1=log33＜a=2log32=log34＜b=log35＜log39=2，＜（）0=1，∴c＜a＜b．故选：D．利用对数函数、指数函数的单调性直接求解．本题考查三个数的大小的比较，考查对数函数、指数函数的单调性等基础知识，是基础题．6.【答案】C【解析】解：∵，∴＜＜，又“”∴α+=，解得α=．∴“”是“”的充要条件．故选：C．由，知＜＜，又可得α+=，解得α．即可判断出结论．本题考查了三角函数求值、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：把函数的图象向左平行移动个单位，可得函数y=cos（3x+3•-）=cos3x的图象，故选：C．由题意利用y=Asin（ωx+φ）的图象的变换规律，得出结论．本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象的变换规律，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：∵对任意实数x，有f（x+7）•f（x）=-1．∴对任意实数x，有f（x+7）•f（x+14）=-1．即f（x）=f（x+14），即函数是周期为14的周期函数，故f（-100）=f（-2），∵当0≤x＜7时，f（x）=log2（9-x），∴f（5）=2，∵f（-2）•f（5）=-1．，故f（-100）=f（-2）=-，故选：A．先由已知得到函数是周期为14的周期函数，进而得到答案．本题考查的知识点是函数的周期性，函数求值，对数运算，难度不大，属于基础题．9.【答案】2【解析】解：=-2+4=2．故答案为：2．利用指数、对数的性质、运算法则直接求解．本题考查指数式、对数式的化简求值，考查指数、对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．10.【答案】（，+∞）【解析】解：当时，函数f（x）=tanx单调递增，故：当时，函数在x=时，函数存在最小值，即：y=．所以f（x）的值域为：．故答案为：直接利用正切函数的性质求出结果．本题考查的知识要点：正切函数的性质的应用．11.【答案】【解析】解：角α终边上一点的坐标为（1，2），则tanα=2，tan2α===-．故答案为：．求出角的正切函数值，然后利用二倍角公式求解即可．本题考查任意角的三角函数以及二倍角公式的应用，考查计算能力．12.【答案】，【解析】解：不等式ax2+（1-a）x-1＜0，即（ax+1）（x-1）＜0，∵a＞0，∴，不等式ax2+（1-a）x-1＜0的解集为：故答案为：利用因式分解，结合二次函数的性质即可求解．本题考查不等式的解法，主要考查二次不等式，考查运算能力，属于基础题．13.【答案】a＞2【解析】解：存在x＞0，使得，则a＞x+，∵x+≥2=2，当且仅当x=时取等号，∴a＞2，故答案为：．分离参数则a＞x+，求出x+的最小值即可得到a的取值范围．本题考查了基本不等式的应用，属于基础题14.【答案】①②【解析】解：根据题意，依次分析4个命题：对于①，对于F（x）=f2（x）-f2（-x），有a≤x≤b，a≤-x≤b，而又由0＜b＜-a，则F（x）=f2（x）-f2（-x）中，x的取值范围是-b≤x≤b，即其定义域是[-b，b]，则①正确；对于②，F（-x）=f2（-x）-f2（x）=-F（x），且其定义域为[-b，b]，关于原点对称，则F（x）为奇函数，②正确；对于③，由y=f（x）无零点，假设f（x）=2x，F（x）=22x-2-2x=22x-无最小值，故③错误；对于④，由于F（x）是奇函数，则F（x）在[-b，0]上与[0，b]上的单调性相同，故F（x）在其定义域内不一定单调递增，④错误；故答案为：①②对于①，根据F（x）的解析式以及f（x）的定义域，可得a≤x≤b，a≤-x≤b，又由0＜b＜-a，可得F（x）定义域，可得①正确；对于②，先求出F（-x），可得F（-x）=-F（x），再结合F（x）的其定义域，可得F（x）为奇函数，②正确；对于③，举出反例，当f（x）＞1时，可得F（x）的最小值不是0，故③错误；对于④，由于F（x）是奇函数，结合奇函数的性质，可得④错误；综合可得答案本题考查函数的性质，涉及函数的定义域、奇偶性、单调性、最值等性质，判断②时，注意要结合函数F（x）的定义域．15.【答案】解：（Ⅰ）∵，∴可得：sinα=cosα+，∵sin2α+cos2α=1，∴（cosα+）2+cos2α=1，可得：8cos2α+4cosα-3=0，∴cosα=，∵α（0，π）．cosα=sinα-（-，），∴cosα=．（Ⅱ）∵cosα=，sinα=．∴sin2α=2sinαcosα=，cos2α=2cos2α-1=-，∴===．【解析】（Ⅰ）由已知及同角三角函数基本关系式可得8cos2α+4cosα-3=0，结合范围α（0，π）．可求cosα的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）利用同角三角函数基本关系式，二倍角公式可求sinα，sin2α，cos2α的值，利用两角和的正弦函数公式化简所求即可计算得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了运算求解能力和转化思想，属于中档题．16.【答案】解：（Ⅰ）函数．那么=（sin）2+sin cos==；（Ⅱ）由函数=cos2x+sin2x=sin（2x-）+，∵，时，∴2x-[，]，∴当2x-=，即x=0时，有最小值为0，当2x-=，即时，有最大值．【解析】（Ⅰ）将x=带入计算即可；（Ⅱ）利用二倍角和辅助角化简，时，求解内层函数范围，结合三角函数的性质可得最值及对应x的值．本题考查三角函数的最值的求解，考查转化思想以及计算能力．属于基础题．17.【答案】解：（Ⅰ）若，，，，则A=3，=-==，即周期T=π，又=π，则ω=2，则f（x）=3sin（2x+φ），∵f（）=3sin（2×+φ）=3，∴sin（+φ）=1，即+φ=+kπ，k Z，则φ=-+kπ，∵|φ|＜，∴当k=0时，φ=-，则f（x）=3sin（2x-）．（2）由2kπ+≤2x-≤2kπ+，k Z，得kπ+≤x≤kπ+，k Z即函数的单调递减区间为，，k Z．（Ⅲ）设M，Q的中点是P，若△MNQ为直角三角形，则AP=MP，即△MNP是等腰三角形，则=，即A2==，则A=T=，则．【解析】（Ⅰ）根据M，N的坐标，找出A，T之间的关系求出A，ω和φ的值即可求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）利用三角函数单调性的性质即可求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅲ）若△MNQ为直角三角形，结合勾股定理建立方程进行求解即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件求出函数的解析式是解决本题的关键．考查学生的运算和转化能力．18.【答案】解：（Ⅰ）由题意，．可知A==3，B==10．图象过（3，13）即可求解ω．那么：13=3sin3ω+10，可得：sin3ω=1，∴ω=故得：A=3，，B=10．（Ⅱ）航行时船底同海底的距离不少于4.5m时是安全的．如果某船的吃水深度（船底与水面的距离）为7m，那么水深y≥11.5，即y=3sin t+10≥11.5，∴sin t≥，∵0≤t≤24，∴1≤t≤5或13≤t≤17．故：该船在凌晨1点-5点，或13点-17点能够安全进港；若该船当天港内停留的时间最长，应从凌晨1点进港，17点前离港，最长停留时间为16小时．【解析】（Ⅰ）由题意提供函数y=Asinωt+B的图象．可知A==3，B==10．图象过（3，13）即可求解ω．（Ⅱ）航行时船底同海底的距离不少于4.5m时是安全的．如果某船的吃水深度（船底与水面的距离）为7m，那么水深y≥11.5，结合三角函数的性质即可求解；本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键．要求熟练掌握函数图象之间的变化关系19.【答案】解：（Ⅰ）由f（a）=ln=1，即=e，解得a=；（Ⅱ）函数f（x）为奇函数．由＞0，解得x＞2或x＜-2，故函数f（x）的定义域是（-∞，-2）∪（2，+∞），关于原点对称，而f（-x）=ln=ln=-ln=-f（x），故函数是奇函数；（Ⅲ）1个．【解析】（Ⅰ）由f（a）=1，结合对数的定义，解方程可得a的值；（Ⅱ）函数f（x）为奇函数．运用函数的奇偶性的定义，结合对数的运算性质可得；（Ⅲ）结合f（x）的图象和y=sinx+2的图象，可得根的个数．本题考查函数的奇偶性和方程的根的个数，考查运算能力，属于中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）存在一次函数f（x）=kx+m（k≠0），使得H（t）是R上的常值函数．事实如下：当f（x）=kx+m时，由|f（x）-f（t）|≤2，得|kx+m-kt-m|≤2，即|k|•|x-t|≤2，解得t≤x≤t+，则a=，b=，∴H（t）=a+b=0为R上的常值函数；（Ⅱ）①由|f（x）-f（t）|≤2，得f（t）-2≤f（x）≤f（t）+2，即t2-2≤x2≤t2+2，（*）当时，解（*）得：，此时；当＜t≤2时，解（*）得：，此时．综上，有H（t）=．＜②由函数单调性可得H（t），∪，．∴函数H（t）的值域为，∪，．【解析】（Ⅰ）根据题意，当f（x）=kx+m（k≠0）时，由不等式|f（x）-f（t）|≤2可得t≤x≤t+，则a=，b=，得出H（t）为常值函数；（Ⅱ）①根据题意，当f（x）=x2且t[1，2]时，不等式|f（x）-f（t）|≤2化为|x2-t2|≤2，利用不等式的性质求出x的取值范围，写出函数H（t）的解析式；②由函数的单调性求解H（t）的值域．本题考查了新定义函数的性质与应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题，是中档题．。

2018北京市西城区高一（上）期末数 学 2018.1一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1.已知sin 0α<，且tan 0α>，则α的终边所在的象限是（） （A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限2.函数()sin 2f x x =的最小正周期为（） （A ）2π （B ）π （C ）2π （D ）4π3.如果向量(1,2)=a ，(3,4)=b ，那么2-=a b （） （A ）(-1,0)（B ）(-1,-2)（C ）(1,0)（D ）(1,-2)4.计算sin()sin()ααπ-+π+=（） （A ）0（B ）1（C ）sin α2（D ）2sin α-5.如图，在矩形ABCD 中，AO OB AD ++=（）（A ）AB（B ）AC（C ）AD（D ）BD 6.已知向量,a b 满足2=a ，1=b ，2⋅=-a b ，则向量,a b 的夹角为（）（A ）4π-（B ）4π （C ）32π （D ）34π 7.已知m 是函数()cos f x x =图象一个对称中心的横坐标，则()f m =（） （A ）1-（B ）0（C ）21 （D ）18.要得到函数sin(2)3y x π=+的图象，只需将函数sin 2y x =的图象（）（A ）向左平移3π个单位长度 （B ）向右平移3π个单位长度 （C ）向左平移6π个单位长度（D ）向右平移6π个单位长度ABCDO9.函数()sin f x A x =（0A >）的图象如图所示，,P Q 分别为图象的最高点和最低点，O 为坐标原点，若OP OQ ⊥，则A =（）（A ）3（B ）32π （C ）33π（D ）1 10.已知在直角三角形ABC 中，A 为直角，1AB =，2BC =，若AM 是BC 边上的高，点P 在△ABC 内部或边界上运动，则AM BP ⋅的取值范围是（） （A ）[1,0]- （B ）1[,0]2-（C ）31[,]42-（D ）3[,0]4-二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上. 11.7sin6π=_____. 12.已知向量(1,2)=a ，(,2)x =-b ，若//a b ，则实数x =______.13.角θ的始边与x 轴正半轴重合，终边上一点坐标为(1,2)-，则tan θ=______. 14.函数()sin cos f x x x =+的最大值为______.15. 已知点(0,4)A ，(2,0)B ，如果2AB BC =，那么点C 的坐标为______； 设点(3,)P t ，且APB ∠是钝角，则t 的取值范围是______. 16.已知函数()sin tan f x x x =. 给出下列结论：①函数()f x 是偶函数；②函数()f x 在区间(,0)2π-上是增函数；③函数()f x 的最小正周期是2π； ④函数()f x 的图象关于直线x =π对称.其中正确结论的序号是_____.（写出所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知(,)2απ∈π，且3cos 5α=-.（Ⅰ）求tan α的值；（Ⅱ）求cos2sin 21αα+的值.18．（本小题满分12分）已知函数π()sin(2)6f x x =+.（Ⅰ）请用“五点法”画出函数()f x 在一个周期上的图象；（Ⅱ）求()f x 在区间[,]122ππ上的最大值和最小值； （Ⅲ）写出()f x 的单调递增区间.19．（本小题满分12分）如图，已知AB BC ⊥，33AB BC a ==，[1,3]a ∈，圆A 是以A 为圆心、半径为2的圆，圆B 是以B 为圆心、半径为1的圆，设点E 、F 分别为圆A 、圆B 上的动点，//AE BF （且AE 与BF 同向），设BAE θ∠=（[0,]θ∈π）. （Ⅰ）当3a =，且6θπ=时，求AE AC ⋅的值； （Ⅱ）用,a θ表示出CE CF ⋅，并给出一组,a θ的值，使得CE CF ⋅最小.BAFE COx y1-12ππ23π2π-B 卷 [学期综合]本卷满分：50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上. 1．设全集U =R ，集合{|0}A x x =<，{|1}B x x =>，则()U A B =ð_____．2．函数()28x f x =-的定义域为_____.3．已知函数122,1,()log ,01,x x f x x x ⎧>⎪=⎨<≤⎪⎩则1(())4f f =_____；若()1f x =，则x =_____．4．sin 2，13log 2，121log 3三个数中最大的是_____． 5．某购物网站在2017年11月开展“买三免一”活动，规则是“购买3件商品，最便宜的一件商品免费”，比如如下结算案例：如果在此网站上购买的三件商品价格如下图所示，按照“买三免一”的规则，购买这三件商品的实际折扣为______折.在这个网站上购买3件商品，按照“买三免一”的规则，这3件商品实际折扣力度最大约为_______折（保留一位小数）.二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6．（本小题满分10分）已知函数21()f x ax x =+是偶函数. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）判断函数()f x 在区间(0,)+∞上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论.7．（本小题满分10分）设a 为实数，函数2()1f x x x a =--+，x ∈R .（Ⅰ）当0a =时，求()f x 在区间[0,2]上的最大值和最小值； （Ⅱ）求函数()f x 的最小值.8．（本小题满分10分）若函数()f x 满足：对于,[0,)s t ∈+∞，都有()0f s ≥，()0f t ≥，且()()()f s f t f s t +≤+，则称函数()f x 为“T 函数”.（Ⅰ）试判断函数21()f x x =与2()lg(1)f x x =+是否是“T 函数”，并说明理由； （Ⅱ）设()f x 为“T 函数”，且存在0[0,)x ∈+∞，使00(())f f x x =，求证：00()f x x =； （Ⅲ）试写出一个“T 函数”()f x ，满足(1)1f =，且使集合{|(),01}y y f x x =≤≤中元素 的个数最少.（只需写出结论）数学试题答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 1.C2.B 3.A 4.A 5.B 6.D 7.B8.C 9.B 10.D.二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 11.12-12.1-13.2-14.215.(3,2)-；(1,3)16.①③④ 注：第15题每空2分.第16题少选得2分，多选、错选不得分.三、解答题：本大题共3小题，共36分. 17.（本小题满分12分）解：解：（Ⅰ）因为(,)2απ∈π，3cos 5α=-，所以2sin 1cos αα=-………………3分2341()55=--=. ………………4分所以sin 4tan cos 3ααα==-.………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）4sin 5α=，3cos 5α=-，所以4324sin 22sin cos 2()5525ααα==⨯⨯-=-. ………………9分2237cos22cos 12()1525αα=-=⨯--=-. ………………11分 所以7cos 225724sin 21125αα-==-+-+. ………………12分 18.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）()f x 在[,]1212π11π-上的图象如图所示. ………………5分说明：其它周期上的图象同等给分； O x y 1 -112π-6π125π1211π 32π个别关键点错误酌情给分.（Ⅱ）π()sin(2)6f x x =+．因为122x ππ≤≤，所以ππ7π2366x ≤+≤，………………7分当π262x π+=，即π6x =时，πsin(2)6x +最大值等于1，即()f x 的最大值等于1；………………8分当π266x 7π+=，即π2x =时，πsin(2)6x +最小值等于12-，即()f x 的最小值等于21-.………………9分所以()f x 在区间[,]122ππ上的最大值为1，最小值为21-.注：根据图象求出最大、最小值相应给分.（Ⅲ）函数()f x 的单调递增区间为[,]36k k ππ-+π+π（k ∈Z ）.………………12分19.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）如图，以点A 为原点，AB 所在直线为x 轴，与AB 垂直的直线为y 轴建立平面直角坐标系.则(0,0)A ，(3,3)C -，(3,1)E ，………………2分(3,1)(3,3)23AE AC ⋅=⋅-=. ………………4分（Ⅱ）(0,0)A ，(3,)C a a -，(2cos ,2sin )E θθ，(3cos ,sin )F a θθ+，………………7分(2cos 3,2sin )(cos ,sin )CE CF a a a θθθθ⋅=-+⋅+223sin()26a a θπ=+⋅-+………………9分22[3sin()]23sin ()66a θθππ=+-+--因为[0,]θ∈π，所以1sin()[,1]62θπ-∈-，以a 为变量的二次函数的对称轴33sin()[3,]62θπ--∈-.因为[1,3]a ∈，所以当1a =时，CE CF ⋅的最小值为323sin()6θπ+-，………10分又1sin()[,1]62θπ-∈-，所以CE CF ⋅的最小值为33-，此时0θ=.所以，当1a =，0θ=时，CE CF ⋅的最小值为33-. ………………12分B 卷 [学期综合] 满分50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 1.{1}x x ≤ 2.[3,)+∞ 3.4；124.121log 35.7.5；6.7.注：第3题、第5题每空2分.BAFECxy二、解答题：本大题共3小题，共30分. 6.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞.由()()f x f x -=得2211ax ax x x-=+.………………3分所以0ax =.因为0ax =对于定义域中任意的x 都成立，所以0a =.………………5分 （Ⅱ）函数21()f x x=在区间(0,)+∞上是减函数.………………7分证明：在(0,)+∞上任取1x ，2x ，且12x x <，则12211222221212()()11()()x x x x f x f x x x x x +--=-=， ………………9分由120x x <<，得120x x +>，210x x ->，22120x x >，于是12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >.所以函数21()f x x =在区间(0,)+∞上是减函数. ………………10分7.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）当0a =，[0,2]x ∈时，函数2()1f x x x =-+，………………2分因为()f x 的图象抛物线开口向上，对称轴为12x =，所以，当12x =时，()f x 值最小，最小值为34；当2x =时，()f x 值最大，最大值为3. ………………4分（Ⅱ）①当x a ≤时，函数2213()1()24f x x x a x a =+-+=+-+.若12a ≤-，则()f x 在(,]a -∞上单调递减，在(,]a -∞上的最小值为2()1f a a =+；若12a >-，则函数()f x 在(,]a -∞上的最小值为13()24f a -=-；………………6分②当x a >时，2213()1()24f x x x a x a =-++=-++.若12a <，则()f x 在[,)a +∞上的最小值为13()24f a =+；若12a ≥，则()f x 在[,)a +∞上单调递增，2()()1f x f a a >=+.………………7分所以，当12a ≤-时，22311()()042a a a +-+=-≥，()f x 的最小值为34a +.当12a ≥时，22311()()042a a a +--=+≥，()f x 的最小值为34a -.当1122a -<<时，()f x 的最小值为34a +与34a -中小者. 所以，当102a -<<时，()f x 的最小值为34a +；当102a ≤<时，()f x 的最小值为34a -.………………9分综上，当0a <时，()f x 的最小值为34a +；当0a ≥时，()f x 的最小值为34a -.………………10分8.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）对于函数21()f x x =，当,[0,)s t ∈+∞时，都有1()0f s ≥，1()0f t ≥，又222111()()()()20f s f t f s t s t s t st +-+=+-+=-≤，所以111()()()f s f t f s t +≤+.所以21()f x x =是“T 函数”.………………2分对于函数2()lg(1)f x x =+，当2s t ==时，22()()lg9f s f t +=，2()lg5f s t +=， 因为lg9lg5>，所以222()()()f s f t f s t +>+.所以2()lg(1)f x x =+不是“T 函数”. ………………4分 （Ⅱ）设12,[0,)x x ∈+∞，21x x >，21x x x =+∆，0x ∆>.则211111()()()()()()0f x f x f x x f x f x x x f x -=+∆-≥+∆-=∆≥所以，对于12,[0,)x x ∈+∞，12x x <，一定有12()()f x f x ≤. ………………6分 因为()f x 是“T 函数”，0[0,)x ∈+∞，所以0()0f x ≥. 若00()f x x >，则000(())()f f x f x x ≥>，不符合题意. 若00()f x x <，则000(())()f f x f x x ≤<，不符合题意. 所以00()f x x =. ………………8分（Ⅲ）20,[0,1),(),[1,).x f x x x ∈⎧⎪=⎨∈+∞⎪⎩（注：答案不唯一）………………10分。

北京师大附中2017-2018学年度第一学期期末考试高一数学试卷一、选择题:共8小题,每小题5分,共40分.1.如果cos θ<0,且tan θ>0,则θ是（ ）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角2.下列函数中,在R 上为奇函数的是（ ）A. f(x)=cosxB. f(x)=sinxC. f(x)=e xD. f(x)=lgx3.函数f(x)=sin(x-4π)的一个对称中心是（ ） A.(2π,0) B (4π,0) C. (-4π,0) D.(-2π,0) 4.设全集U=R,集合A={x|21<2x <8},B={x|lnx>0},则A ∩B=（ ） A(-1,+∞) B.(-1,3) C.(1,3) D(1+∞)5.已知a=2log 32,b=log 35,c=(31)0.2,则（ ） A.c<b<a B. a<b<c C.b<a<c D. c<a<b6、已知3π<α<π,则“α=2π”是“sin(α+6π)=23”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.把函数y=cos(3x-4π)的图像经过怎样的平移可得到函数y=cos3x 的图像（ ） A.向左平行移动一个单位 B.向右平行移动一个单位C.向左平行移动一个单位D.向右平行移动一个单位8.设f(x)是定义在R 上的函数,且对任意实数x,有f(x)+xf(x)=-1.当0≤x<7时,f(x)=log 2(9-x),则f(-100)的值为（ ）A. −21B. 21 C. −2 D.2 二、填空题:共6小题,每小题5分,共30分 9.计算:log 214+(-8)32= _______10.当x ∈(3π,2π)时,函数f(x)=tanx 的值域为___________ 11.角a 终边上一点的坐标为(1,2),则tan2a=____________12.已知a>0,则不等式ax 2+(1-a)x-1<0的解集为____________13.若存在x>0,使得x+x2-a<0,则实数a 的取值范围是____________ 14.已知函数y=f(x)是定义在区间[a,b]上的增函数,其中a,b ∈R,且0<b<-a.设函数F(x)=|f(x)|-|f(-x)|,且F(x)不恒等于0,则下列命题中正确的是_____________(写出所有正确命题的序号)①F(x)的定义域为[-b,b]②F(x)是奇函数③F(x)的最小值为0④F(x)在定义域内单调递增三、解答题:共6个小题,共80分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程15.已知 sin α−cos α=且α∈(0,π)(I)求cos α;(II)求12cos 2sin )4sin(+++ααπα的值.16.已知函数f(x)=sin 2x+3 sin x cos x(I)求f (43π); (II)当x ∈[0,2π]时,求函数f(x)的最值及对应x 的值.17.已知函数f(x Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<2π)的部分图像如图所示,N 为图像的一个最高点,M 、Q 为f(x)图像与x 轴的交点(I)若M(6π,0),N(π125,3),求函数f(x)的解析式; (Ⅱ)在(I)的条件下,求函数f(x)的单调递减区间(Ⅲ)若△MNQ 为直角三角形,求A ·ω的值18.某港口水的深度 y（米）是时间t（0≤t≤24，单位：时）的函数，记作y=f（t），下面是某日水深的数据：经长期观察，y=f（t）的曲线可以近似地看成函数y=Asinωt+b的图象．（Ⅰ）试根据以上数据，求出函数y=f（t）的近似表达式；（Ⅱ）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可），某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米．如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需的时间）．。

2017-2018学年北京市首师大附中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共32.0分）1.已知集合A={1，3，5}，B={x|（x-1）（x-3）=0}，则A∩B=（）A. B. C. D.2.=（）A. B. C. D.3.若幂函数y=f（x）的图象经过点（-2，4），则在定义域内（）A. 为增函数B. 为减函数C. 有最小值D. 有最大值4.下列函数为奇函数的是（）A. B. ，C. D.5.如图，在平面内放置两个相同的三角板，其中∠A=30°，且B，C，D三点共线，则下列结论不成立的是（）A. B.C. 与共线D.6.函数f（x）的图象如图所示，为了得到y=2sin x函数的图象，可以把函数f（x）的图象（）A. 每个点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，再向左平移个单位B. 每个点的横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变，再向左平移个单位C. 先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变D. 先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变7.已知，若实数a，b，c满足，且，实数满足，那么下列不等式中，一定成立的是A. B. C. D.8.如图，以AB为直径在正方形内部作半圆O，P为半圆上与A，B不重合的一动点，下面关于的说法正确的是（）A. 无最大值，但有最小值B. 既有最大值，又有最小值C. 有最大值，但无最小值D. 既无最大值，又无最小值二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）9.已知向量=（1，2），写出一个与共线的非零向量的坐标______．10.已知角θ的终边经过点（3，-4），则cosθ=______．11.已知向量，在边长为1 的正方形网格中的位置如图所示，则=______．12.函数，，＜＜（t＞0）是区间（0，+∞）上的增函数，则t的取值范围是______．13.有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨，2016年的年增长率为50%．有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从______年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨．（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）14.函数f（x）=sinωx在区间，上是增函数，则下列结论正确的是______（将所有符合题意的序号填在横线上）①函数f（x）=sinωx在区间，上是增函数；②满足条件的正整数ω的最大值为3；③．三、解答题（本大题共4小题，共44.0分）15.已知向量=（sin x，1），=（1，k），f（x）=．（Ⅰ）若关于x的方程f（x）=1有解，求实数k的取值范围；（Ⅱ）若且α（0，π），求tanα．16.已知二次函数f（x）=x2+bx+c满足f（1）=f（3）=-3．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）若函数g（x）是奇函数，当x≥0时，g（x）=f（x），（ⅰ）直接写出g（x）的单调递减区间：______；（ⅱ）若g（a）＞a，求a的取值范围．17.某同学用“五点法”画函数f（x）=A sin（ωx+φ）＞，＞，＜在某一个周期内的图象时，列表并填（Ⅰ）请将上表数据补充完整，函数（）的解析式为（）（直接写出结果即可）；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）求函数f（x）在区间，上的最大值和最小值．18.定义：若函数f（x）的定义域为R，且存在非零常数T，对任意x R，f（x+T）=f（x）+T恒成立，则称f（x）为线周期函数，T为f（x）的线周期．（Ⅰ）下列函数，①y=2x，②y=log2x，③y=[x]，（其中[x]表示不超过x的最大整数），是线周期函数的是______ （直接填写序号）；（Ⅱ）若g（x）为线周期函数，其线周期为T，求证：函数G（x）=g（x）-x为线周期函数；（Ⅲ）若φ（x）=sin x+kx为线周期函数，求k的值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵B={x|（x-1）（x-3）=0}={1，3}，∴A∩B={1，3}，故选：D．根据集合的交集的定义进行计算即可．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2.【答案】A【解析】解：=-sin=-．故选：A．利用诱导公式化简求解即可．本题考查诱导公式的应用，特殊角的三角函数取值，是基本知识的考查．3.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查幂函数的解析式和性质，利用待定系数法是解决本题的关键．利用待定系数法求出函数的解析式，结合幂函数的性质进行判断即可．【解答】解：设幂函数f（x）=xα，由f（-2）=4，得（-2）α=4=（-2）2，在α=2，即f（x）=x2，则在定义域内有最小值0，故选C．4.【答案】C【解析】解：y=2x为指数函数，没有奇偶性；y=sinx，x[0，2π]，定义域不关于原点对称，没有奇偶性；y=x3定义域为R，f（-x）=-f（x），为奇函数；y=lg|x|的定义域为{x|x≠0}，且f（-x）=f（x），为偶函数．故选：C．运用奇偶性的定义和常见函数的奇偶性，即可得到结论．本题考查函数的奇偶性的判断，注意运用定义法和常见函数的奇偶性，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：设BC=DE=m，∵∠A=30°，且B，C，D三点共线，则CD═AB=，AC=EC=2m，∴∠ACB=∠CED=60°，∠ACE=90°，∴，，故A、B、C成立；故选：D．根据直角三角形的性质、向量的线性运算，即可判定．本题考查了直角三角形的性质，向量线性运算，属于中档题．6.【答案】C【解析】解：根据函数f（x）的图象，设f（x）=Asin（ωx+φ），可得A=2，=-，ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=0，φ=-，f（x）=2sin（2x-），故可以把函数f（x）的图象先向左平移个单位，得到y=2sin（2x+-）=2sin2x的图象，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），即可得到y=2sinx函数的图象，故选：C．由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f（x）的解析式，再利用y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值．y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：∵f（x）=log2x-（）x在（0，+∞）上是增函数，0＜a＜b＜c，且f（a）f（b）f（c）＜0，∴f（a）、f（b）、f（c）中一项为负，两项为正数；或者三项均为负数；即：f（a）＜0，0＜f（b）＜f（c）；或f（a）＜f（b）＜f（c）＜0；由于实数x0是函数y=f（x）的一个零点，当f（a）＜0，0＜f（b）＜f（c）时，a＜x0＜b，当f（a）＜f（b）＜f（c）＜0时，x0＞a，故选：B．结合f（x0）=0，可得当x＜x0时，f（x）＞0，当x＞x0时，f（x）＜0，由此可得x0＞a一定成立．本题考查函数零点判定定理，考查函数单调性的性质，是中档题．8.【答案】A【解析】解：设正方形的边长为2，如图建立平面直角坐标系，则D（-1，2），P（cosθ，sinθ），（其中0＜θ＜π）C（1，2）+=2+=（-2cosθ，-2sinθ）+（-1-cosθ，2-sinθ）+（1-cosθ，2-sinθ）=（-4cosθ，4-4sinθ）∴==∵cosθ（0，1]，∴[0，4）故选：A设正方形的边长为2，如图建立平面直角坐标系，则D（-1，2），P（cosθ，sinθ），（其中0＜θ＜π）=2+=（-2cosθ，-2sinθ）+（-1-cosθ，2-sinθ）=（-1-3cosθ，-3sinθ）即可求得．本题考查了向量的坐标运算，属于中档题．9.【答案】（2，4）【解析】解：向量=（1，2），与共线的非零向量的坐标纵坐标为横坐标2倍，例如（2，4）．故答案为：（2，4）．答案不唯一，纵坐标为横坐标2倍即可．本题考查向量的坐标的求法，考查共线向量等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．10.【答案】【解析】解：∵角θ的终边经过点（3，-4），∴x=3，y=-4，r=5，则cosθ==．故答案为：．根据任意角的三角函数的定义，求得cosθ的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．11.【答案】3【解析】解：由题意可知：=（3，0），=（1，1），则=3×1+1×0=3．故答案为：3．向量坐标，利用向量的数量积求解即可．本题考查平面向量的数量积是定义域，平面向量的坐标运算，考查计算能力．12.【答案】[1，+∞）【解析】解：函数（t＞0）的图象如图：函数（t＞0）是区间（0，+∞）上的增函数，所以t≥1．故答案为：[1，+∞）．画出分段函数的图象，即可判断t的取值范围．本题考查函数的图象的画法，分段函数的应用，函数的单调性的应用，考查数形结合以及计算能力．13.【答案】2021【解析】解：设快递行业产生的包装垃圾为y万吨，n表示从2015年开始增加的年份的数量，由题意可得y=400×（1+50%）n=400×（）n，由于第n年快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨，∴4000=400×（）n，∴（）n=10，两边取对数可得n（lg3-lg2）=1，∴n（0.4771-0.3010）=1，解得0.176n=1，解得n≈6，∴从2015+6=2021年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨，故答案为：2021．快递行业产生的包装垃圾为y万吨，n表示从2015年开始增加的年份的数量，由题意可得y=400×（1+50%）n=400×（）n，代值计算即可求出答案．本题考查了对数的运算和性质在实际生活中的应用，属于中档题．14.【答案】①②③【解析】解：函数f（x）=sinωx在区间上是增函数，由f（-x）=sin（-ωx）=-sinωx=-f（x），可得f（x）为奇函数，则①函数f（x）=sinωx在区间上是增函数，正确；由ω≤，可得∅≤3，即有满足条件的正整数ω的最大值为3，故②正确；由于+==2×，由题意可得对称轴x≥，即有f（）≤f（），故③正确．故答案为：①②③．运用函数的奇偶性和单调性可判断①；由单调性可得ω≤，即可判断②；运用正弦函数的对称性，即可判断③．本题考查正弦函数的图象和性质，主要是对称性和单调性的运用，考查运算能力，属于中档题．15.【答案】解：（Ⅰ）∵向量a=（sin x，1），b=（1，k），f（x）=，∴f（x）==sin x+k．--------------------------（2分）关于x的方程f（x）=1有解，即关于x的方程sin x=1-k有解．--------------------------（3分）∵sin x[-1，1]，∴当1-k[-1，1]时，方程有解．--------------------------（4分）则实数k的取值范围为[0，2]．--------------------------（5分）（Ⅱ）因为，所以，即．--------------------------（6分）当，时，，．---------------------（8分）当，时，，．-------------------------（10分）【解析】（Ⅰ）利用向量的数量积化简函数的解析式，利用三角函数的有界性，方程f（x）=1有解，即可求实数k 的取值范围；（Ⅱ）利用方程求出正弦函数的值，利用同角三角函数基本关系式求解即可．本题考查向量的数量积的应用，三角函数的化简求值，考查转化思想以及计算能力．16.【答案】[-2，2]【解析】解：（Ⅰ）二次函数f（x）=x2+bx+c满足f（1）=f（3）=-3，∴解的b=-4；c=0．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=x2-4x，∵函数g（x）是奇函数，∴g（-x）=-g（x），假设x＜0，则-x＞0，则g（-x）=f（-x）=x2+4x，∴g（x）=-x2-4x，∴g（x）=，（i）g（x）的单调减区间为[-2，2]．故答案为：[-2，2]．（ⅱ）若g（a）＞a，则或解得a＞5或-5＜a＜0．综上，a的取值范围为a＞5或-5＜a＜0．（Ⅰ）代值计算即可，（Ⅱ）先根据函数的奇偶性求出g（x）的解析式，（i）根据函数的解析式和二次函数的性质即可求出函数的单调减区间，（ii）根据函数单调性性质可得或解得即可本题考查了二次函数的性质和函数的奇偶性的性质，属于中档题17.【答案】f（x）=2sin（2x+）【解析】根据表格可得=-，∴ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=，∴φ=，故函数的解析式为：．（Ⅱ）令2kπ-≤2x+≤2kπ+，求得kπ-≤x≤kπ+，可得函数f（x）的单调递增区间为，k Z．（Ⅲ）因为，所以，故有．所以，当即时，f（x）在区间上的最小值为-2．当即x=0时，f（x）在区间上的最大值为1．（Ⅰ）由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．（Ⅱ）利用正弦函数的单调性，求得函数f（x）的单调递增区间．（Ⅲ）利用正弦函数的定义域、值域，求得函数f（x）在区间上的最大值和最小值．本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的单调性以及定义域、值域，属于基础题．18.【答案】③【解析】解：（Ⅰ）对于①f（x+T）=2x+T=2x2T=f（x）2T，故不是线周期函数对于②f（x+T）=log2（x+T）≠f（x）+T，故不是线周期函数对于③f（x+T）=[x+T]=[x]+T=f（x）+T，故是线周期函数故答案为：③（Ⅱ）证明：∵g（x）为线周期函数，其线周期为T，∴存在非零常数T，对任意x R，g（x+T）=g（x）+T恒成立．∵G（x）=g（x）-x，∴G（x+T）=g（x+T）-（x+T）=g（x）+T-（x+T）=g（x）-x=G（x）．∴G（x）=g（x）-x为周期函数．（Ⅲ）∵φ（x）=sinx+kx为线周期函数，∴存在非零常数T，对任意x R，sin（x+T）+k（x+T）=sinx+kx+T．∴sin（x+T）+kT=sinx+T．令x=0，得sinT+kT=T；令x=π，得-sinT+kT=T；①②两式相加，得2kT=2T．∵T≠0，∴k=1检验：当k=1时，φ（x）=sinx+x．存在非零常数2π，对任意x R，φ（x+2π）=sin（x+2π）+x+2π=sinx+x+2π=φ（x）+2π，∴φ（x）=sinx+x为线周期函数．综上，k=1．（Ⅰ）根据新定义判断即可，（Ⅱ）根据新定义证明即可，（Ⅲ）φ（x）=sinx+kx为线周期函数，可得存在非零常数T，对任意x R，sin（x+T）+k（x+T）=sinx+kx+T．即可得到2kT=2T，解得验证即可．本题考查了学生对新定义的接受与应用能力，同时考查了恒成立问题，属于中档题．。

（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学必修四上学期期末检测 高一数学(甲卷)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

共21小题．共150分。

共4页，考试时间120分钟，考生作答时将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

注意事项：1、答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡上。

2、请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。

3、请保持卡面清洁，不折叠、不破损。

第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

)1. 已知角α的终边经过点(0,4)P -，则tan α=A ． 0B ．4-C ．4D ． 不存在 2.已知向量2(1,1),(,2),x x ==+a b 若,a b 共线,则实数x 的值为A.1-B.2C. 1-或2D. 1或2- 3. 已知|a|=3，|b|=32,a ·b=－3，则a 与b 的夹角是A ．150︒B ．120︒C ．60︒D ．30︒4.代数式sin120cos210的值为A.34-B.34C.32-D.145.已知3tan -=α，παπ<<2，那么ααsin cos -的值是A.231+-B.231+-C. 231-D.231+ 6. 若14tan(),tan 33αββ-==,则等于tan α A ．3- B ．13-C ．3D ．137. 如图所示,矩形ABCD 中,4,AB = 点E 为AB 中点, 若DE AC ⊥,则||DE =A.52B. 23C.3D.22 8.三个数sin1a =，sin 2b =，ln0.2c =之间的大小关系是A ．c b a << B. c a b << C.b a c << D.a c b << 9.函数)2||,0,0)(sin()(πφωφω<>>+=A x A x f 的部分图象如图示，则将()y f x =的图象向右平移6π个单位后，得到的图象解析式为 A ．x y 2sin = B. x y 2cos = C. )322sin(π+=x y D. )62sin(π-=x y 10. 2(0)()(0)x x f x x a x ⎧≥=⎨+<⎩是R 上的增函数，则a 的范围是A. (],2-∞B. (],1-∞C. [1,)+∞D. [2,)+∞ 11.设函数()sin(),(0.0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+≠><的图象关于直线23x π=对称，它的周期是π，则EDCBAA ．()f x 的图象过点1(0,)2B ．()f x 在52[,]123ππ上是减函数 C ．()f x 的一个对称点中心是5(,0)12πD ．()f x 的最大值是A 12.已知向量()1,0=a ，(cos ,sin )θθ=b ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,2ππθ，则+a b 的取值范围是A ．[0，2] B ．[0，2] C ．[1，2] D ．[2，2]第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4个小题．每小题5分．共20分)13.若1=a ，2=b ，()0-⋅=a b a ，则a 与b 的夹角为 。

2017-2018学年北京市首师大附中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共32.0分）1.已知集合A={1，3，5}，B={x|（x-1）（x-3）=0}，则A∩B=（）A. ΦB. {1}C. {3}D. {1,3}2.sin(−2π3)=（）A. −32B. −12C. 32D. 123.若幂函数y=f（x）的图象经过点（-2，4），则在定义域内（）A. 为增函数B. 为减函数C. 有最小值D. 有最大值4.下列函数为奇函数的是（）A. y=2xB. y=sin x，x∈[0,2π]C. y=x3D. y=lg|x|5.如图，在平面内放置两个相同的三角板，其中∠A=30°，且B，C，D三点共线，则下列结论不成立的是（）A. CD=3BCB. CA⋅CE=0C. AB与DE共线D. CA⋅CB=CE⋅CD6.函数f（x）的图象如图所示，为了得到y=2sin x函数的图象，可以把函数f（x）的图象（）A. 每个点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向左平移π3个单位B. 每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位C. 先向左平移π6个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)D. 先向左平移π3个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)7.已知f(x)=log2x−(12)x，若实数a，b，c满足0<a<b<c，且f(a)f(b)f(c)<0，实数x0满足f(x0)=0，那么下列不等式中，一定成立的是()A. x0<aB. x0>aC. x0<cD. x0>c8.如图，以AB为直径在正方形内部作半圆O，P为半圆上与A，B不重合的一动点，下面关于|PA+PB+PC+PD|的说法正确的是（）A. 无最大值，但有最小值B. 既有最大值，又有最小值C. 有最大值，但无最小值D. 既无最大值，又无最小值二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）9.已知向量a=（1，2），写出一个与a共线的非零向量的坐标______．10.已知角θ的终边经过点（3，-4），则cosθ=______．11.已知向量a，在边长为1 的正方形网格中的位置如图所示，则a⋅b=______．12.函数f(x)=x2，x≥tx，0＜x＜t（t＞0）是区间（0，+∞）上的增函数，则t的取值范围是______．13.有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨，2016年的年增长率为50%．有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从______年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨．（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）14.函数f（x）=sinωx在区间(0，π6)上是增函数，则下列结论正确的是______（将所有符合题意的序号填在横线上）①函数f（x）=sinωx在区间(−π6，0)上是增函数；②满足条件的正整数ω的最大值为3；③f(π4)≥f(π12)．三、解答题（本大题共4小题，共44.0分）15.已知向量a=（sin x，1），b=（1，k），f（x）=a⋅b．（Ⅰ）若关于x的方程f（x）=1有解，求实数k的取值范围；+k且α∈（0，π），求tanα．（Ⅱ）若f(α)=1316.已知二次函数f（x）=x2+bx+c满足f（1）=f（3）=-3．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）若函数g（x）是奇函数，当x≥0时，g（x）=f（x），（ⅰ）直接写出g（x）的单调递减区间：______；（ⅱ）若g（a）＞a，求a的取值范围．)在某一个周17.某同学用“五点法”画函数f（x）=A sin（ωx+φ）(A＞0，ω＞0，|φ|＜π2期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，函数（）的解析式为（）（直接写出结果即可）；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间；，0]上的最大值和最小值．（Ⅲ）求函数f（x）在区间[−π218.定义：若函数f（x）的定义域为R，且存在非零常数T，对任意x∈R，f（x+T）=f（x）+T恒成立，则称f（x）为线周期函数，T为f（x）的线周期．（Ⅰ）下列函数，①y=2x，②y=log2x，③y=[x]，（其中[x]表示不超过x的最大整数），是线周期函数的是______ （直接填写序号）；（Ⅱ）若g（x）为线周期函数，其线周期为T，求证：函数G（x）=g（x）-x为线周期函数；（Ⅲ）若φ（x）=sin x+kx为线周期函数，求k的值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵B={x|（x-1）（x-3）=0}={1，3}，∴A∩B={1，3}，故选：D．根据集合的交集的定义进行计算即可．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2.【答案】A【解析】解：=-sin=-．故选：A．利用诱导公式化简求解即可．本题考查诱导公式的应用，特殊角的三角函数取值，是基本知识的考查．3.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查幂函数的解析式和性质，利用待定系数法是解决本题的关键．利用待定系数法求出函数的解析式，结合幂函数的性质进行判断即可．【解答】解：设幂函数f（x）=xα，由f（-2）=4，得（-2）α=4=（-2）2，在α=2，即f（x）=x2，则在定义域内有最小值0，故选C．4.【答案】C【解析】解：y=2x为指数函数，没有奇偶性；y=sinx，x∈[0，2π]，定义域不关于原点对称，没有奇偶性；y=x3定义域为R，f（-x）=-f（x），为奇函数；y=lg|x|的定义域为{x|x≠0}，且f（-x）=f（x），为偶函数．故选：C．运用奇偶性的定义和常见函数的奇偶性，即可得到结论．本题考查函数的奇偶性的判断，注意运用定义法和常见函数的奇偶性，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：设BC=DE=m，∵∠A=30°，且B，C，D三点共线，则CD═AB=，AC=EC=2m，∴∠ACB=∠CED=60°，∠ACE=90°，∴，，故A、B、C成立；故选：D．根据直角三角形的性质、向量的线性运算，即可判定．本题考查了直角三角形的性质，向量线性运算，属于中档题．6.【答案】C【解析】解：根据函数f（x）的图象，设f（x）=Asin（ωx+φ），可得A=2，=-，ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=0，φ=-，f（x）=2sin（2x-），故可以把函数f（x）的图象先向左平移个单位，得到y=2sin（2x+-）=2sin2x的图象，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），即可得到y=2sinx函数的图象，故选：C．由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f（x）的解析式，再利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值．y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：∵f（x）=log2x-（）x在（0，+∞）上是增函数，0＜a＜b＜c，且f（a）f（b）f（c）＜0，∴f（a）、f（b）、f（c）中一项为负，两项为正数；或者三项均为负数；即：f（a）＜0，0＜f（b）＜f（c）；或f（a）＜f（b）＜f（c）＜0；由于实数x0是函数y=f（x）的一个零点，当f（a）＜0，0＜f（b）＜f（c）时，a＜x0＜b，当f（a）＜f（b）＜f（c）＜0时，x0＞a，故选：B．结合f（x0）=0，可得当x＜x0时，f（x）＞0，当x＞x0时，f（x）＜0，由此可得x0＞a一定成立．本题考查函数零点判定定理，考查函数单调性的性质，是中档题．8.【答案】A【解析】解：设正方形的边长为2，如图建立平面直角坐标系，则D（-1，2），P（cosθ，sinθ），（其中0＜θ＜π）C（1，2）+=2+=（-2cosθ，-2sinθ）+（-1-cosθ，2-sinθ）+（1-cosθ，2-sinθ）=（-4cosθ，4-4sinθ）∴==∵cosθ∈（0，1]，∴∈[0，4）故选：A设正方形的边长为2，如图建立平面直角坐标系，则D（-1，2），P（cosθ，sinθ），（其中0＜θ＜π）=2+=（-2cosθ，-2sinθ）+（-1-cosθ，2-sinθ）=（-1-3cosθ，-3sinθ）即可求得．本题考查了向量的坐标运算，属于中档题．9.【答案】（2，4）【解析】解：向量=（1，2），与共线的非零向量的坐标纵坐标为横坐标2倍，例如（2，4）．故答案为：（2，4）．答案不唯一，纵坐标为横坐标2倍即可．本题考查向量的坐标的求法，考查共线向量等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．10.【答案】35【解析】解：∵角θ的终边经过点（3，-4），∴x=3，y=-4，r=5，则cosθ==．故答案为：．根据任意角的三角函数的定义，求得cosθ的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．11.【答案】3【解析】解：由题意可知：=（3，0），=（1，1），则=3×1+1×0=3．故答案为：3．向量坐标，利用向量的数量积求解即可．本题考查平面向量的数量积是定义域，平面向量的坐标运算，考查计算能力．12.【答案】[1，+∞）【解析】解：函数（t＞0）的图象如图：函数（t＞0）是区间（0，+∞）上的增函数，所以t≥1．故答案为：[1，+∞）．画出分段函数的图象，即可判断t的取值范围．本题考查函数的图象的画法，分段函数的应用，函数的单调性的应用，考查数形结合以及计算能力．13.【答案】2021【解析】解：设快递行业产生的包装垃圾为y万吨，n表示从2015年开始增加的年份的数量，由题意可得y=400×（1+50%）n=400×（）n，由于第n年快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨，∴4000=400×（）n，∴（）n=10，两边取对数可得n（lg3-lg2）=1，∴n（0.4771-0.3010）=1，解得0.176n=1，解得n≈6，∴从2015+6=2021年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨，故答案为：2021．快递行业产生的包装垃圾为y万吨，n表示从2015年开始增加的年份的数量，由题意可得y=400×（1+50%）n=400×（）n，代值计算即可求出答案．本题考查了对数的运算和性质在实际生活中的应用，属于中档题．14.【答案】①②③【解析】解：函数f（x）=sinωx在区间上是增函数，由f（-x）=sin（-ωx）=-sinωx=-f（x），可得f（x）为奇函数，则①函数f（x）=sinωx在区间上是增函数，正确；由ω≤，可得∅≤3，即有满足条件的正整数ω的最大值为3，故②正确；由于+==2×，由题意可得对称轴x≥，即有f（）≤f（），故③正确．故答案为：①②③．运用函数的奇偶性和单调性可判断①；由单调性可得ω≤，即可判断②；运用正弦函数的对称性，即可判断③．本题考查正弦函数的图象和性质，主要是对称性和单调性的运用，考查运算能力，属于中档题．15.【答案】解：（Ⅰ）∵向量a=（sin x，1），b=（1，k），f（x）=a⋅b，∴f（x）=a⋅b=sin x+k．--------------------------（2分）关于x的方程f（x）=1有解，即关于x的方程sin x=1-k有解．--------------------------（3分）∵sin x∈[-1，1]，∴当1-k∈[-1，1]时，方程有解．--------------------------（4分）则实数k的取值范围为[0，2]．--------------------------（5分）（Ⅱ）因为f(α)=13+k，所以sinα+k=13+k，即sinα=13．--------------------------（6分）当α∈(0，π2]时，cosα=1−sin2α=223，tanα=sinαcosα=24．---------------------（8分）当α∈(π2，π)时，cosα=− 1−sin2α=−223，tanα=−24．-------------------------（10分）【解析】（Ⅰ）利用向量的数量积化简函数的解析式，利用三角函数的有界性，方程f（x）=1有解，即可求实数k的取值范围；（Ⅱ）利用方程求出正弦函数的值，利用同角三角函数基本关系式求解即可．本题考查向量的数量积的应用，三角函数的化简求值，考查转化思想以及计算能力．16.【答案】[-2，2]【解析】解：（Ⅰ）二次函数f（x）=x2+bx+c满足f（1）=f（3）=-3，∴解的b=-4；c=0．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=x2-4x，∵函数g（x）是奇函数，∴g（-x）=-g（x），假设x＜0，则-x＞0，则g（-x）=f（-x）=x2+4x，∴g（x）=-x2-4x，∴g（x）=，（i）g（x）的单调减区间为[-2，2]．故答案为：[-2，2]．（ⅱ）若g（a）＞a，则或解得a＞5或-5＜a＜0．综上，a的取值范围为a＞5或-5＜a＜0．（Ⅰ）代值计算即可，（Ⅱ）先根据函数的奇偶性求出g（x）的解析式，（i）根据函数的解析式和二次函数的性质即可求出函数的单调减区间，（ii）根据函数单调性性质可得或解得即可本题考查了二次函数的性质和函数的奇偶性的性质，属于中档题17.【答案】f（x）=2sin（2x+π）6【解析】根据表格可得=-，∴ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=，∴φ=，故函数的解析式为：．（Ⅱ）令2kπ-≤2x+≤2kπ+，求得kπ-≤x≤kπ+，可得函数f（x）的单调递增区间为，k∈Z．（Ⅲ）因为，所以，故有．所以，当即时，f（x）在区间上的最小值为-2．当即x=0时，f（x）在区间上的最大值为1．（Ⅰ）由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．（Ⅱ）利用正弦函数的单调性，求得函数f（x）的单调递增区间．（Ⅲ）利用正弦函数的定义域、值域，求得函数f（x）在区间上的最大值和最小值．本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的单调性以及定义域、值域，属于基础题．18.【答案】③【解析】解：（Ⅰ）对于①f（x+T）=2x+T=2x2T=f（x）2T，故不是线周期函数对于②f（x+T）=log2（x+T）≠f（x）+T，故不是线周期函数对于③f（x+T）=[x+T]=[x]+T=f（x）+T，故是线周期函数故答案为：③（Ⅱ）证明：∵g（x）为线周期函数，其线周期为T，∴存在非零常数T，对任意x∈R，g（x+T）=g（x）+T恒成立．∵G（x）=g（x）-x，∴G（x+T）=g（x+T）-（x+T）=g（x）+T-（x+T）=g（x）-x=G（x）．∴G（x）=g（x）-x为周期函数．（Ⅲ）∵φ（x）=sinx+kx为线周期函数，∴存在非零常数T，对任意x∈R，sin（x+T）+k（x+T）=sinx+kx+T．∴sin（x+T）+kT=sinx+T．令x=0，得sinT+kT=T；令x=π，得-sinT+kT=T；①②两式相加，得2kT=2T．∵T≠0，∴k=1检验：当k=1时，φ（x）=sinx+x．存在非零常数2π，对任意x∈R，φ（x+2π）=sin（x+2π）+x+2π=sinx+x+2π=φ（x）+2π，∴φ（x）=sinx+x为线周期函数．综上，k=1．（Ⅰ）根据新定义判断即可，（Ⅱ）根据新定义证明即可，（Ⅲ）φ（x）=sinx+kx为线周期函数，可得存在非零常数T，对任意x∈R，sin（x+T）+k（x+T）=sinx+kx+T．即可得到2kT=2T，解得验证即可．本题考查了学生对新定义的接受与应用能力，同时考查了恒成立问题，属于中档题．。