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或{ a4 90 °k?360 °v av k?360 ° k € Z}(象间角)：当角的终边与坐标轴重合时叫轴上角，它不属于任何一a 终边相同的角，连同角a 在内，可构成一个集合 S={ 33= a + k?360 ° k € Z}，即任一与角 a 终边相同的角，都可以表示成角 a 与整个周角的和.3•几种特殊位置的角: (1) 终边在x 轴上的非负半轴上的角： a =k?360°, k € Z ; (2)终边在x 轴上的非正半轴上的角： a =180° +?360° k € Z ;(3) 终边在x 轴上的角：a = k?180° k € Z ; (4) 终边在y 轴上的角：«=90°+ k?180° k € Z ; (5)终边在坐标轴上的角： a k?90°, k € Z ;(6) 终边在 y=x 上的角：«=45°+ k?180° k € Z ;(7) 终边在 y= — x 上的角：a = — 45°+ k?180° k € Z 或 a=135°+ k?180° k € Z ; (8)终边在坐标轴或四象限角平分线上的角： a k?45° k €Z .例1已知a 为锐角，那么2 %是( ).A .小于180。
的正角B .第一象限的角C .第二象限的角D .第一或第二象限的角 答案：A解析：•/ a 为锐角，••• 0°v av 90° A 0°v 2 aV 180° 故选 A .例2射线OA 绕端点0逆时针旋转120°到达OB 位置，由0B 位置顺时针旋转 270°到达OC 位置,、任意角 广义角正角:f 按边旋转的方向分零角: 负角:按终边的位置分第一章三角函数按逆时针方向旋转形成的角叫做正角. 如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角. 按顺时针方向旋转形成的角叫做负角. 第一象限角 第二象限角 「第三象限角第四象限角 { a k?360°v av 90°+k?360° , k € Z} { o|90 +k?360°v av 180°+k?360° k € Z} { o|180 +k?360°v av 270° + k?360° k € Z}{ o|270 +k?360 °v av 360 °+ k?360 ° k € Z} 个象限.轴上角 2.终边相同角的表示：所有与角则/ AOC =( )A. 150° B .— 150° C . 390° D390°答案：B解析：各角和的旋转量等于各角旋转量的和 ，「.120°+ （— 270°） =— 150°. 例3如图所示，终边落在阴影部分的角的集合是（）A . { a — 45 °< a< 120 °B . {切120 ° a< 315 °C . { a k?360 °— 45 °w aW k?360 °+ 120 °, k € Z}D . { M k?360 °+ 120 °< a< k?360 °+ 315 °, k € Z} 答案：C解析：由如图所知，终边落在阴影部分的角的取值是 k?360° — 45° < a< k?360° + 120° k € Z ,故选C .、弧度制1•弧度：在圆中，把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做2. 一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是 3•如果半径为r 的圆的圆心角 a 所对弧的长为I ，那么，角a 的弧度数的绝对值是1804.角度制与弧度制的换算：（1） 1 = rad ;（ 2） 1rad =（）.180例1扇形的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角是（）弧度.答案：C1弧度的角，用符号rad 表示.相关公式：（1） ln r 180(2) S 」lr22n r360r 27t解析：•••圆心角所对的弦长等于半径，.••该圆心角所在的三角形为正三角形，.••圆心角是 n 弧度.3 例2在直角坐标系中，若角a 与角B 终边关于原点对称，则必有()•答案：D解析：将a 旋转n 的奇数倍得3 .例3在半径为3cm 的圆中，60°的圆心角所对的弧的长度为( ). n3 n 2 n A . 3cm B . n cmC . qcmD . ycm答案：B解析：由弧长公式得，1 =|a|r = n<3 = n (cm ).三、三角函数定义a 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P (x , y ),那么:(1) y 叫做a 的正弦，记作sin a,即sin a =y ;(2) x 叫做a 的余弦，记作 cos a,即cos a =x ; (3) —叫做a 的正切，记作tan a,即tan a =)(X M 0).xx3. 同角三角函数的基本关系商的关系：当 a k n+n (k € Z )时，tan .2cos例1已知角a 的终边经过点(一4, 3),则cos a=()4 33 A. 5 B. 3C. —3答案：D解析：由条件知：x =-4, y = 3,则 r = 5，二 cos a= : =-4.例 2 若 sin 0?cos (X 0，则 9在( )答案：D解析：■/ sin 0cos 0< 0,二 sin (, cos 0异号.当 sin (>0, cos 0< 0 时，(在第二象限；当 sin (v 0, cos 0B . a=— 2k n±( k € Z )C . a= n+ 3D . a= 2k n~ n+ 3( k1 .单位圆：在直角坐标系中，我们称以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆.2.利用单位圆定义任意角的三角函数：设 平方关系： sin 2cos 1sin 1 cos ; cos 1 sin 2A .第一、二象限B. 第一、三象限C. 第一、四象限D. 第二、四象限2 .5> 0时，B 在第四象限.4例3已知角a 的终边经过点 P (- b , 4)，且sin a=，贝y b 等于()5 A . 3 B 3 C . ±3 D . 5答案：C解析：r = |0P|=、/b 2+ 16, sin a= )4= 4,-b= ±3.V^b 2+ 16 5四、三角函数的诱导公式 公式一公式二公式三公式四 sin k 2 sin sin sin sin sin sin sincos k 2coscos cos cos cos cos cos tank 2 tantantantantantantan【注】其中k Z公式一到四可以概括如下： k 2 k Z , , 的三角函数值， 等于的同名函数值,前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号.公式五公式六加上一个把看成锐角时原函数值的符号（奇变偶不变，符号看象限）例 1 sin600 =( )答案：Csin600 = sin (360°+ 240° = sin240 = sin (180° + 60° =— sin60 =— 例2已知角B 的终边过点（4，— 3），则cos （ n — 9）=（）答案：Bsin —cos sin —cos 2 2cos —sincos —sin22tan — cottan —cot222的正弦（余弦）函数值，分别等于余弦（正弦）函数值，前面解析: 公式五、六可以概括如下:x 4 4解析：由题意、，知cos B=-=二，…cos ( n- 0) = —cos 0=——r 5 5例3下列各三角函数值：① sin 1125 ° ② tan37nn Sin3^;③:④ sin 1 - cosl.12 12 tan3其中为负值的个数是（）.A . 1B . 2 个C. 3 个 D . 4 个答案：B解析：1125°= 1080°+ 45°贝U 1125°是第一象限的角，所以sin 1125 °> 0;因37n= 2 n+瑕n则話n 是第三象限角，所以tan37n>0, sin^nV 0，故tan^n sin^nV 0;因3弧度的角在第二象限，则sin3 n nsin3>0. tan3v0，故:―V 0；因匚< 1 V n,贝V sin1—cos1>0.二②③为负数•因此选 B .' ta n3 4 2注意：y sinx周期为2n；y |sinx|周期为n y |sinx k|周期为2n；y sin|x|不是周期函数.例1函数y= sin （x —今的一条对称轴可以是直线（）•4n 7 n 3 n nA • x= 2 B• x= —C. x=——D• x =-答案：B解析：解法一：令x—n= k n+ n, k€ Z,「. x= k n+ k€ Z.当k= 1 时，x=今，故选 B .解法4 2 4 4二：当x= 寸，y= sin （今一= sin^^—1，二x=今是函数y= sin （x—T）的一条对称轴.4 4 4 2 4 4例2函数y= sin2x的单调减区间是（).n 3A . 2+ 2k n 2 n+ 2k n ( k€ Z)B .nk n+ 4,3k n+_ n4(k€ Z)C. [ n+ 2k n, 3 n+ 2k n]( k€ Z) D .n k n—~,4k n+n4(k€ Z)答案：Bn 3 n 3解析：由2k n+ 2三2x W 2k n+ 2 n, k€ Z 得y = sin2x 的单调减区间是[k n+ 4, k n+ ^4 n ] ] k € Z）3例3已知函数y= 1 + sinx, x€ [0, 2n,则该函数图象与直线y = ?交点的个数是（）.A . 0B . 1C . 2D . 3答案：C3解析：分别作出函数y= 1+ sinx, x€ [0 , 2n与直线y = ?的图象，如下图所示：3由图可知，函数y= 1 + sinx, x€ [0, 2 n与直线y=号有两个交点，故选C.例 4 已知函数 f (x)= iog1(lsin2x).2 2(1)求f (x)的定义域、值域和单调区间；(2)判断f (x)的奇偶性.解：(1)要使函数有意义，须sin2x> 0,••• 2k n< 2x v 2k n+ nn• k nV X V k n+ ( k€ Z),• f (x)定义域为(k k ), k€ Z .， 21 1T O v sin2x w 1, • 0V尹n2x w ?，1•• log1 (-sin 2x)》1即值域为[1，+ m).2 2令y= sin2x,则函数y= sin2x的增区间即为函数 f (x)的减区间，函数y= sin2x的减区间即为函数f (x)的增区间.•函数f (x)的单调递减区间为k k 一 (k€ Z),， 4n n单调递增区间为k n+ 4，k n+ n( k€ Z).(2)定义域关于原点不对称，故既不是奇函数，也不是偶函数.六、函数y Asin( x )1 .得到函数y Asin( x )图像的方法:答案：B 解析： 由 2k n2X + 詐竽+ 2k n(k € Z )得右+ X x w 伊 k n(k € Z ),.••选 B .例4已知函数f (x )= 2sin ( wx+ 0)的图象如图所示，贝U f ( —) = ______________12①y sinx 平移变换sin(x )周期变换sin( x )振幅变换Asin( xy=s inx周期变换sin 向左或向右平移丨个单位y sin( x振幅变换y Asi n(2•函数 y A sin0, 0的性质:①振幅: A ;②周期: :③频率: :④相位::⑤初相:函数yA sinB ,当x x 1时，取得最小值为ymin ；X 2时，取得最大值为ymax ,例1函数 ymaxymin_ 1B 2 ymax yminTX 2 X i X i2y = 5sin 尹+ 的最小正周期是().答案：C B . |n例2 曲线5 n A .- "12答案:D例3 函数 (2x +n )的一条对称轴是(65 nB . x = 12C . ).7nx =— 67_nx= 6n2x + 3在区间［0, n ］的一个单调递减区间是(B. 12， 125 n 11 nC .12， 12y = sin y = sin2 n解析：T =--I "答案：0 解析：由图象知，T =弩，■/ f(-) = 0，二 f (^―) = f (一 一) f (一 T )3 4 12 4 3 4 2例5已知函数y = Asin （ »+ 0） （A >0, w >0, 才）的图象的一个最高点为（ 个最高点到相邻最低点，图象与 x 轴交于点（6, 0）,试求这个函数的解析式. 解：已知函数最高点为 （2, 2.2）,A A = 2 2.又由题意知从最高点到相邻最低点，图象与x 轴相交于点（6, 0）,而最高点与此交点沿横轴/• y = 2<2sinsin ( 3n+ o )= 0，又••• n n•••函数的解析式为 y = 2 ,2sin (T X +T) 8 42, 2 2），由这 方向的距离正好为 1 4个周期长度，••• T =6-2=4，即 T =16 将点（6, 0） 的坐标代入，有 2 ,2sin (n ><6 + ® = 0, 8。
必修4 第一章§4-1任意角及任意角的三角函数【课前预习】阅读教材217P -完成下面填空 1．任意角（正角、负角、零角、锐角、钝角、区 间角、象限角、终边相同角等）的概念；终边 相同的角定义。
2．把长度等于 的弧所对圆心角叫1弧度角；以弧度作为单位来度量角的单位制叫做 ．1︒= rad, 1 rad=o。
3．任意角的三角函数的定义：设α是一个任意角，(,)P x y 是α终边上的任一异于原点的点，则=αsin ，=αcos ，=αtan 。
4．角α的终边交单圆于点P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则角α的正弦线用有向线段 表示，余弦线用 表示，正切线用什么表示呢？ 5．（1）终边落在第一象限的角的集合可表示为 ；（2）终边落在X 轴上的角的集合可表示为 。
6．sin α的值在第 象限及 为正；cos α在第 象限及 为正值；tan α 在第 象限及 象限为正值． 7．扇形弧长公式l = ; 扇形面积公式S= 。
【课初5分钟】课前完成下列练习，课前5分钟回答下列问题 1．0570- = 弧度，是第___ _象限的角；=π53度，与它有相同终边的角的集合为__________，在[－2π，0]上的角是 。
2．3tan 2cos 1sin ⋅⋅的结果的符号为 。
3．已知角α的终边过点)3,4(-P ,则a sin =_______,a cos =_______,a tan =_______。
4．函数|tan |tan cos |cos ||sin |sin x xx x x x y ++=的 值域是 。
5．已知扇形的周长是6cm ，面积是22cm ，则扇形的中心角θ的弧度数是 。
【课中35分钟】 边听边练边落实6.．已知α是第二象限的角,问：(1)α2是第几象限的角？(2)2α是第几象限的角？7．已知角α的终边过点(,2)(0)P a a a -≠，求：(1)tan α；(2)sin cos αα+。
教师用书配套课性1.4.2正弦函数、余弦函数的性质（二）a竺基础预习点拨正弦函数、余弦函数的图象和性质正弦函数余弦函数图象1•…公“…小…・・TV .99 999 9 X・1材12护值域[—1,1][-1,1]单调性在■7TT.■在3兀T.■2kn—, 2^71 +■aez)上递增,■2虹+于,2&+aez)±递减.在一2纭一兀,2丘_(k 6 Z)上递增，在［2如r, 2& +兀］辅€ Z)上递减.础梳理S)I 知识点拨紗1 •解读正弦.余弦函数的单调性⑴理解正弦函数、余弦函数的单调性,通常作函数y=（2） 单调区间要在定义域内求解.（3） 求解或判断正弦函数、余弦函数的单调区间（或单调 性）是求与之相关的复合函数值域（最值）关键的一步.（4） 确定含有正弦函数或余弦函数的较复杂函数的单调 性时,要注意使用复杂函数的判断方法来判断.siruzW7T 3nT，y = co sur G [—兀用的简图.2.解析正弦函数、余弦函数的最值(1)明确正弦、余弦函数的有界性，即I sinr |<1, | COSJC <1.(2)对冇些函数，其最值不一定就是1或一1,要依据函数的定义域来决定.(3)形如j/ = Asin (CUT 4-(A〉0,®〉0)的函数求最值时，通常利用“整体代换”，即令皿+厂z,将函数转化为y=Asim的形式求最值*卫皿要点探究归纳［类型F哼除弦函数的单调性问题【典例1】(建议教师以第(2)题为例重点讲解)(A)y=siru・(C)y=sin2 工(B)j/=cosi- (I))J/=COS2J ：(1)下列函数在7CT兀上是增函数的是⑵求函数严2sin(乎p)的单调递增区间.【解析】⑴选D.y=cos2工在0, j 上为减函数，在■ ■于，兀上为增函数.(2)解题流程:所以却XzW芋+2饥(定Z), 即号+2MWx-乎冬乎+2加曲).［求解)-所以芋+2炕W XW¥+2R讹EZ).:固翩＞在求解第(2)题时易出现什么样的失谋？:H II提示:此题易出现不先对函数式变形而直接由2紅一【»I:亍W寸一航十亍(绘ZJ侍出早调区间的错彘【规律方法】与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧(1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间.⑵确定函教y=Asin(g+¥)(A〉O,e〉O)单调区间的方法:采用“换元”法整体代换，将血丫+甲看作一个整体，可令6i z=a)x+0',即通过求的单调区间而求出函数的单调区间.若⑴＜0,则可利用诱导公式将x的系数转变为正数.駁薛^【变式训练】函数丿=—吕cosx,工€ （0,2兀）,其单调性是（A）在（0江）上是增函数，在［兀,2兀）上是减函数（13）在（0,今上是减函数（C）在［兀,2兄上是增函数，在（0,总上是减函数（D）在［于劃上是增函数，在（0,专］，［警，2』上是减函数9【解析】选A. y~ —- cosz在（0山）上是增函数9在［心2兀）上是减函数.比较三角函数值的大小【典例2】(建议教师以第(2)题为例重点讲解)(1)已知⑺/?为锐角三角形的两个内角,则以下结论正确的是()(A) sim<sin/? (B) cosa<sin/?(C) cosa<cos/3 (D) cos«>cos/3(2)比较下列各组数的大小：①cos(—£j与cos#兀②cosl 与sinh7【解析】⑴选Ba 申为锐角三角形的两个内角现a+p而 cos *□=—COS 专，因为 ,所以 COS —>COS —9 所以一COS —< —COS —,8 o 8o所以sinr在0,y上单调递增弓所以即cosKsinl.【规律方法】比较三角函数值大小的策略(1)利用诱导公式，对于正弦函数来说，一般将两个角转化到一■或专，书内;对于余弦函数来说,一般将两个角转化到［—兀,0］或［0川］内.(2)不同名的函数化为同名的函数.(3)自变量不在同一单调区间内的转化到同一单调区间内，借助正弦、余弦函数的单调性来比较大小.【变式训练】cosl, cos2, cos3的大小关系是_______ •（用“〉”连接）【解题指南】本题首先要观察角之间的关系，然后借助余弦函数的单调性比较大小.【解析】由于0<1<2<3<?1?而y=COST在［0,兀）上单调递减，所以cosl>cos2>cos3,答案:cosl>cos2>cos3【类型目正弦、余弦函数的最值问题【典例3】（建议教师以第（2）题为例重点讲解）⑴尸siru、，疋一~普的值域为 __________ .（2）已知函数/（.r） = sin （2北+彳）+* +m的图象过①求实数加的值及/&）的周期及单调递增区间;②若工0,于，求才（工）的值域.€【解析】（1）尸Sim在［一于，于j上为增函数, 在［于，警］上为减函数.尸—~时专=sinr有最小值一普；z=y时，尸sinr有最大值1,所以值域为一書,1以m=—-，所以.f（、T）=sin（2z+*）. T= —=y = 兀.由一于+ 2紅€2彳+专g专■+ 2hr（b € Z）,解得: —-y +&£丄£~|_+&,所以/（工）的单调递增区间为②因为0〈态寺所以040,所以尹2工+詐牛于是* Wsin （2丁+专）W19所以/（、丁）的值域「 1 1为［plj【规律方法】求三角函数值域或最值的常用方法（1）可化为单一函数少=Asin （+ p）+怡或y =A COS C OKE+妨+〃的最大值为|A| +〃,最小值为一|A| +虹其申Ask呷为常数朋工（W0）.⑵可化为y~Asiir.r+Bsinr+C 或y~Acos2T+Bcos<r +C （A#0）,最大值、最小值可利用二次函数在区间[—1,1]上的最大值、最小值的求法来求.（换元法）（屮+&工0）的小、也儿Asinz+B^ Acosz+B⑶形如尸瓯丙或严阪丙最大值、最小值,可解岀sinr或COST后利用其有界性来求.答甌思施规范—【审题指导】（1）要求/&）的最小正周期可直接利用公式:方，要求心』，关键是确定函数/（小何时取得最大值及最大值是多少.（2）要求/'（才）在区间一于，专上的最大（小）值，先要求出2.T — -y的取值范阖9再结合正弦函数的图象9 求代X）的最大（小）值.【规范解答】（1）/&）的最小正周期7 = J = TT , ......................................................................... 2分当 lx —~ =2&+专时,sin （2z —■ ）—1. /Lr ）取得最大值2.此时2—&+寻上€ Z. ........... 4分结合图象可知,如=器，沖=2. ............................. 6分失分警示：若得 不到此处结论则 求耳容易出错, 出错扌口掉(2)由无€所以当7T 兀4 9 6 19得2文--G -臥0厂・・7sin ( Zx) =_］，/(攵)取得最小值一2. ........ 9分当2工—■Y =09即X— -y时9sin(2z—•) =0 9/(疋)取得最大值综上可知，/&)在区间小值为一2.十诗上的最大值为0,最12分【题后悟道】1.明确函数的单调性求y=Asin(g +卩)+b型函数的最值通常有以下三步：(1)求卩=原+ (p的取值范围.(2)求£=沁的取值范围.(3)求y=At^rb的最值，关键是明确以上三个函数的单调性.如本例中“=2工一专在［-于，钊上为增函数t = sin/z在一号9一-壬上为减函数，在一于，0」上为增函＜^=2/在R上为增函数.知能达标演练¥ v 2.注意函数图象的应用（小）值•如本例由2攵—~ —y>0，求sin（Zx—1•函数y=cosx-l的最小值是()(A)0 (B)l (0-2 (1))-1【解析】选C. cosz€[ —1,1],所以3；= COST—1的最小值为—2.2.函数_y= — cosz在区间一环于上是（）（A）增函数（E）减函数（C）先减后增函数（D）先增后减函数知能达标演练¥ v【解析】选y = — cosx在一号＞0上单调递减°在0,号］上单调递增，故选C.3.___________________________________ 已知函数）=3cosG—z）,则当x= ___________________ 时,函数取得最大值.【解析］j=3cos（7t—j'） = — 3cosz,所以工=2旨+兀（疋Z）时，函数取得最大值.答案：2血+讹€另）因为0＜专今令，尸sinx在O,J 上单调递增, 所以sin-|-<sin^，即sin(—^)<sin答案：〉If.鳴—絶网徹蕪的和彳帔一八V ] II 吒J mr 匸一匝盘（Z 》円Z +匹/丁 帀—工沪羽+£甲【#熾】 迪「XI 灌鮒惊圳丁「卩£一]菲待一"）叩'=滋刚系* 北巧1.4.2正弦函教、余弦函数的性质（二）（30分钟50分）一、选择题(每小题4分，共16分)1.函数尸sin(—■久一■)的减区间是(A)—警+2怡沢，于+2力兀(kWZ)(B)—普+4人兀,于+4怡兀(bGZ)(C)-亨+2&,-普+2& (&WZ)(D)—身+4&今—甲+4虹(妊Z)屜A 【解题指南】先化简函数，再根据正弦函数的单 调性求函数的单调区间.*工_■ ) = -sin(*y+于)的增区间，所以一+2虹£*北+于W 专+ 2尿【解析】选li 因为尸sin 所以所求函数的减区间是函数y=sin【变式训练】函数y=sin七」兀的单调增区间是() (A)[4 虹，(報+1)TT](*Z)(B)[碌，碌+2]aez)【变式训练】函数y=sin七」兀的单调增区间(C)[2 亦，⑵+2)TT]4CZ)(D)[2b,2b+2]Q€Z)【聲『】样 B. y=sin^-冷 s i n (-l3l 5) “ ——5 十2rA-la ——5A5-F2r (E C Z )" 2r A -lfi /An2.函数尸2sin(罟-寺)(00£9)的最大值与最小值之和为()(A)2-A/3(B)0 (C)-l (1))-1 -/3【解题指南】本题考查三角函数的性质，可利用整体代入法求出最大值和最小值，【解析】选A•因为应割所以环©，所以-73<2sin(j^-y)C2.所以函数夕= 2sin(y—~ )(0€工冬9)的最大值与最小值之和为 2 —y/3.（肌〉b⑴皿〉臣 【解析】选A.因为《&</?<于，所以于<幺+*<0j<y^正弦函数尸曲在0,y 上是增函数,所以 sin （a+于）<sin （p+予），故 a<I ）.3•若 0 <a<^<j,a=^/2（A ）4.(易错题)函数y = siar的定义域为[a"],值域为[-4]，则b—Q的最大值和最小值之和等于(A)y (B)y (C)2TT (D)4TT【解析】选C・当.y=sinr在a 上单调时』一Q取最小9当j/=sinr在上不单调时,b~ci取最大值耍弓所以它们的和是2兀二、填空题侮小题4分，共8分)5.函数j/=cos.r在区间［一兀,訂上为增函数，则a的取值范围是______ .【解析】》=cos7在［一冗,0］上为增函数，在［0,兀］上为减函数，所以tzG ( —7T,0］.答案:(_7t,0］6.将cosl50°,sin470°,cos760°按从小到大排列为__ .【解析】cos!50° < 0, sin470° = sinll0° = cos20° > 0, cos760°=cos40°>0 且cos20°>cos40\ 所以cos!50°< cos760°<sin470°.答案:cosl50°<cos760o<sin470°三、解答题（每小题8分，共16分）7.求函数丿=1 一血2工的单调区间.【解析】求函数y = 1 — sm加的单调区间,转化为求函数尸sin2/的单调区间，要注意负号的影响.由于+ 2虹€2尤€乎+怡€ 厶得于+怡兀冬広€普+怡心怡€ 厶即函数的单调递增区间是于+&，¥+& （圧Z）. 同理可求得函数的单调递减区间是-~ +&兀，于+虹］4€Z）.缠A【规律方法】揭秘三角函数的单调区间该类问题常以客观题和解答题的形式出现，主要考查求三角函数的单调区间，或利用单调性解决其他问题. 具体地,求形如_y=Asin(&A：r+0,y=Acos(g+妨或y =A tan(皿+妨(其中AHO Q0)的函数的单调区间, 可以通过解不等式的方法去解答,列不等式的原则是：①把“近+以心＞0) ”视为一个“整体”;②A〉O(A＜O) 时,所列不等式与y = sinr(x6R)?= cosj'(x6R)的单调区间对应的不等式相同(反).例如，求函数》= 3sin(2^—|)的单调递增区间，可以通过不等式2丘—子＜2厂专冬2虹+于XZ)求解.又如，求函数y = -cos(2x+1)的单调递减区间，可以通过不等式2& —兀£2王+1£2怡兀(怡€ Z)求解.&已知函数/&)=血(2北+卩),其巾卩为实数，若/&) <。
第一章三角函数复习课一.伍意角的三角窗叙1、角的概念的推广的终边正角II »■X负角y的终边零角2、角度与弧度的互化特殊角的角度数与弧度数的对应表弧长公式与扇形面积公式1、弧长公式:2、扇形面积公式:已知扇形的半径为R,所对圆心角为该扇形的周长为定值c,求该扇形面积的最大值。
已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2, 则这个圆心角所对的弧长是(B、A. 2B. 2sinlC. 2sin 1D. sin 2三角函数复习终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同。
二、象限角与区间角的区别三、角的终边落在“射线上”、“直线上”及“互相垂直的两条直线上”的一般表示式3、任意角的三角函数定义定义：三角函数值的符号：“一全正，二正弦，三两切，四余弦4、同角三角函数的基本关系式商关系：平方关系:5、诱导公式:（即把看作是锐角）例:二.鬲角和鸟差的三角為叙1、两角和与差的三角函数J］公式变形2、倍角公式注：正弦与余弦的倍角公式的逆用实质上就是降幕的过程。
特别三角函数复习二倍角的三角函数三.三角為叙的图彖和徃质1、正弦、余弦函数的图象与性质2、函数的图象(A>0, >0 )例：f^y=sin2x的图像三角函数复习…三角函数的图象和性质3、正切函数的图象与性质四、麦要龜媲例1:已知是第三象限角，且，求解：应用：三角函数值的符号；同角三角函数的关系;例2：已知,计算⑴(2)应用：关于的齐次式解:⑴⑵_ tanatan 2a + 1例3：已知解:应用：找出已知角与未知角之间的关系例4：解：己知应用：化简求值2(A)1・-sin （X2/_2>(C)1・-sin f2x(B) 2—U 2丿(D) 2sin丿2x——k 2例题5:若歹二/（兀）的图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），然后把图象向左平移尹单位，再把图象上所有点的纵坐标缩短到原来的扣（横坐标不变），这样得到的图象与= S inx 的图象相同，则/（刃等于■若点P（2,41）是曲线歹二/sin（c°x + 0）（兀\/l>0,fi>>0,|^|<—上的一个最高点，卩与其< 2丿相邻的一个最低点0之间的曲线交兀轴于点7?（6,0）,求这个函数的解析式。
第二课 三角函数的图象与性质及其应用[核心速填]1．三角函数的性质( 1 )正弦函数:定义域为R ,值域为[－1,1],奇函数,单调增区间:⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π( k ∈Z );单调减区间:⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π( k ∈Z ) ( 2 )余弦函数:定义域为R ,值域为[－1,1],偶函数,单调增区间:[－π＋2k π,2k π]( k ∈Z );单调减区间:[2k π,π＋2k π]( 3 )正切函数:定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z;值域为R ,奇函数,单调增区间:⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π2．函数y ＝A sin( ωx ＋φ )的图象及简单应用A ,ω,φ对函数y ＝A sin( ωx ＋φ )图象的影响．( 1 )φ对y ＝sin( x ＋φ ),x ∈R 的图象的影响:( 2 )ω( ω＞0 )对y ＝sin( ωx ＋φ )的图象的影响:( 3 )A ( A ＞0 )对y ＝A sin( ωx ＋φ )的图象的影响:[体系构建][题型探究]三角函数图象的画法和详细解析式的确定( 1 )函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3在一个周期内的图象是( )( 2 )已知函数f ( x )＝A sin( ωx ＋φ )⎝ ⎛⎭⎪⎫其中x ∈R ，A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图13所示．图13①求f ( x )的详细解析式;②请写出g ( x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的表达式,并求出函数y ＝g ( x )的图象的对称轴和对称中心.【2150】( 1 )A [( 1 )y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3的周期T ＝π12＝2π,排除B,D当x ＝0时,tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－ 3.故选A.] ( 2 )①由图可知A ＝3,T 4＝7π12－π3,∴T ＝π⇒ω＝2,f ( x )＝3sin( 2x ＋φ ),∴2π3＋φ＝π2,φ＝－π6,∴f ( x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.②由( 1 )知g ( x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝3cos 2x ,令2x ＝k π( k ∈Z ),∴所求的对称轴为直线x ＝k π2( k ∈Z ),令2x ＝π2＋k π( k ∈Z ),x ＝k π2＋π4( k ∈Z ),∴所求的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π4，0( k ∈Z )． [规律方法]1“五点法”作图中的五点分别为图象的最高点、最低点及与x 轴的交点,描点作图并向左或向右平移即得正弦曲线和余弦曲线.2y ＝sin x 的图象的对称轴方程为x ＝k π＋π2,k ∈Z ,对称中心为k π,0,k ∈Z ,y ＝cos x 的图象的对称轴方程为x ＝k π,k ∈Z ,对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0,k ∈Z ,y ＝tan x 的图象的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2，0,k ∈Z .3由已知条件确定函数y ＝A sin ωx ＋φ的详细解析式,需要确定A ,ω,φ,其中A ,ω易求,下面介绍求φ的几种方法.①平衡点法由y ＝A sin ωx ＋φ＝A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎫x ＋φω知它的平衡点的横坐标为－φω,所以我们可以找与原点相邻的且处于递增部分的平衡点,令其横坐标为x 1＝－\f( φ,ω ),则可求φ.②确定最值法这种方法避开了“伸缩变换”且不必牢记许多结论,只需解一个特殊的三角方程. ③利用单调性 将函数y ＝A sinωx ＋φ的图象与y ＝sin x 的图象比较,选取它们的某一个单调区间得到一个等式,解答即可求出φ.[跟踪训练]1．已知函数y ＝A sin( ωx ＋φ )( ω＞0 )的振幅为4,周期为6π,初相为－π3.( 1 )写出这个函数的详细解析式;( 2 )用“五点法”在所给坐标系中作出这个函数在一个周期内的图象． [详细解析] ( 1 )由已知得A ＝4,ω＝2πT ＝13,φ＝－π3,因此这个函数的详细解析式为y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π3.( 2 )列表:xπ 5π2 4π 11π2 7π 13x －π30 π2 π 3π2 2π y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π34－4描点画图,其图象如图所示:三角函数的图象变换问题( 1 )已知曲线C 1:y ＝cos x ,C 2:y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3,则下面结论正确的是( )A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C 2( 2 )将函数y ＝sin( 2x ＋φ )的图象沿x 轴向左平移π8个单位长度后,得到一个偶函数的图象,则φ的一个可能取值为( )A ．π2B ．π4C ．0D ．－π4( 1 )D ( 2 )B [( 1 )因为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3－π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6,所以曲线C 1:y ＝cos x 上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,得到曲线y ＝cos 2x ,再把得到的曲线y ＝cos 2x 向左平移π12个单位长度,得到曲线y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 故选D.( 2 )y ＝sin( 2x ＋φ )的图象沿x 轴向左平移π8个单位后得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋φ.若该函数为偶函数,则π4＋φ＝k π＋π2,k ∈Z ,故φ＝k π＋π4.当k ＝0时φ＝π4.故选B.] [规律方法]1．函数y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin( ωx ＋φ ),x ∈R 图象的两种方法2．对称变换( 1 )y ＝f ( x )的图象――――→关于x 轴对称y ＝－f ( x )的图象( 2 )y ＝f ( x )的图象――――→关于y 轴对称y ＝f ( －x )的图象( 3 )y ＝f ( x )的图象――――→关于0对称y ＝－f ( －x )的图象[跟踪训练]2．将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后,所得图象对应的函数为( ) 【2151】A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 D [函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的周期为π,将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期即π4个单位长度,所得图象对应的函数为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3,故选D.]三角函数的性质( 1 ),则f ( x )在[0,π]上的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，π( 2 )已知函数f ( x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1( 其中a 为常数 )． ①求f ( x )的单调区间;②若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时,f ( x )的最大值为4,求a 的值. 【2152】[思路探究] ( 1 )先根据函数f ( x )是偶函数,求θ,再依据单调性求增区间,最后与[0,π]求交集．( 2 )①由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2,k ∈Z 求增区间由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2,k ∈Z 求减区间②先求f ( x )的最大值,得关于a 的方程,再求a 的值．( 1 )B [( 1 )因为函数f ( x )＝3sin( 2x ＋θ )( 0＜θ＜π )是偶函数, 所以φ＝π2,f ( x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝3cos 2x ,令2k π－π≤2x ≤2k π,得k π－π2≤x ≤k π,可得函数f ( x )的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π,k ∈Z , 所以f ( x )在[0,π]上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π.]( 2 )①由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π,k ∈Z ,解得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π,k ∈Z ,∴函数f ( x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π( k ∈Z ),由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π,k ∈Z , 解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π,k ∈Z ,∴函数f ( x )的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π( k ∈Z )． ②∵0≤x ≤π2,∴π6≤2x ＋π6≤7π6,∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1,∴f ( x )的最大值为2＋a ＋1＝4,∴a ＝1.母题探究:1.求本例( 2 )中函数y ＝f ( x ),x ∈R 取最大值时x 的取值集合． [详细解析] 当f ( x )取最大值时,2x ＋π6＝π2＋2k π,∴2x ＝π3＋2k π,∴x ＝π6＋k π,k ∈Z .∴当f ( x )取最大值时,x 的取值集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝π6＋k π，k ∈Z. 2．在本例( 2 )的条件下,求不等式f ( x )＜1的解集． [详细解析] 由f ( x )＜1得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2＜1,所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＜－12所以2k π－5π6＜2x ＋π6＜2k π－π6,k ∈Z .解得k π－π2＜x ＜k π－π6,k ∈Z .所以不等式f ( x )＜1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪k π－π2＜x ＜k π－π6，k ∈Z .三角函数的实际应用( 1 )如图14,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k .据此函数可知,这段时间水深( 单位:m )的最大值为________．图14( 2 )如图15,点P 是半径为r cm 的砂轮边缘上的一个质点,它从初始位置P 0开始,按逆时针方向以角速度ω rad/s 做圆周运动,求点P 的纵坐标y 关于时间t 的函数关系,并求点的运动周期和频率.【2153】图15( 1 )8 [( 1 )根据图象得函数最小值为2,有－3＋k ＝2,k ＝5,最大值为3＋k ＝8.] ( 2 )当质点P 从点P 0转到点P 位置时,点P 转过的角度为ωt ,则∠POx ＝ωt ＋φ. 由任意角的三角函数得点P 的纵坐标为y ＝r sin( ωt ＋φ ),即为所求的函数关系式, 点P 的运动周期为T ＝2πω,频率为f ＝1T ＝ω2π.[规律方法] 三角函数模型构建的步骤1收集数据,观察数据,发现是否具有周期性的重复现象. 2制作散点图,选择函数模型进行拟合. 3利用三角函数模型解决实际问题.4根据问题的实际意义,对正确答案的合理性进行检验. [跟踪训练]3．某地昆虫种群数量在七月份1～13日的变化如图16所示,且满足y ＝A sin( ωx ＋φ )＋b ( ω＞0,－π＜φ＜0 )．根据图中数据求函数详细解析式．图16[详细解析] 由图象可知y max ＝900,y min ＝700, 且A ＋b ＝y max ,－A ＋b ＝y min , 所以A ＝y max －y min 2＝900－7002＝100,b ＝y max ＋y min 2＝800,且T ＝12＝2πω,所以ω＝π6,将( 7,900 )代入函数详细解析式得π6×7＋φ＝π2＋2k π,k ∈Z .所以φ＝－23π＋2k π,k ∈Z .因为－π＜φ＜0,所以φ＝－23π,因此所求的函数详细解析式为:y ＝100sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －2π3＋800.。
第1章：三角函数学案§1.1.1 任意角总第 1课时学习目标：1.理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系讨论任意角.2.能在0º到360º范围内，找出一个与已知角终边相同的角，并判定其为第几象限角.3.能写出与任一已知角终边相同的角的集合.学习重点：将0º到360º的角概念推广到任意角.学习难点：终边相同的角用集合和符号语言正确表示出来.学习过程：一、情境设置体操跳水比赛中有“转体720º”，“翻腾转体两周半”这样的动作名称,720º在这里表示什么？二、探究研究问题1：在初中我们是如何定义一个角的？角的范围是什么？问题2：（1）手表慢了5分钟，如何校准，校准后，分针转了几度？（2）手表快了10分钟，如何校准，校准后，分针转了几度？问题3：任意角的定义（通过类比数的正负，定义角的正负和零角的概念）.问题4：能否以以同一条射线为始边作出下列角吗？210º -150º -660º问题5：上述三个角分别是第几象限角，其中哪些角的终边相同.问题6：具有相同终边的角彼此之间有什么关系，你能写出与60º角的终边相同的角的集合吗？三、教学精讲例1：在0º到360º的范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角：（1）650º（2）-150º（3）-990º15¹变式训练：（1）终边落在x轴正半轴上的角的集合如何表示？如终边落在x轴上呢？（2）终边落在坐标轴上的角的集合如何表示？例2:若α与240º角的终边相同（1）写出与α的终边关于直线y=x对称的角β的集合.α是第几象限角.（2）判断2变式训练：若α是第三象限角，则-α，2α，2α分别是第几象限角.例3：如图，写出终边落在阴影部分的角的集合（包括边界）.变式训练：（1）第一象限角的范围________________.（2）第二、四象限角的范围是 _________________.四、巩固练习1、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ） A ．B=A ∩C B ．B ∪C=C C ．A ⊂C D ．A=B=C2、下列结论正确的是（ ）Α．三角形的内角必是一、二象限内的角 B ．第一象限的角必是锐角 C ．不相等的角终边一定不同D ．{}Z k k ∈±⋅=,90360|αα={}Z k k ∈+⋅=,90180| αα3、若角α的终边为第二象限的角平分线，则α的集合为______________________．4、在0°到360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为 ．5、求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角： 五、小结反思：六、自我测评： 1、下列说法中，正确的是（ ）A ．第一象限的角是锐角B ．锐角是第一象限的角C ．小于90°的角是锐角D ．0°到90°的角是第一象限的角x x2、（1）终边相同的角一定相等；（2）相等的角的终边一定相同；（3）终边相同的角有无限多个；（4）终边相同的角有有限多个. 上面4个命题，其中真命题的个数是 （ ） A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个 3、终边在第二象限的角的集合可以表示为： （ ）A ．｛α∣90°<α<180°｝B ．｛α∣90°＋k ·180°<α<180°＋k ·180°，k ∈Z ｝C ．｛α∣－270°＋k ·180°<α<－180°＋k ·180°，k ∈Z ｝D ．｛α∣－270°＋k ·360°<α<－180°＋k ·360°，k ∈Z ｝4、与1991°终边相同的最小正角是_________,绝对值最小的角是_______________．5、在直角坐标系中，若角α和角β的终边互相垂直，则角α和角β之 间的关系是 （ ）A 、 90+=αβB 、)(90360z k k ∈++⋅=αβC 、 90±=αβD 、)(90360z k k ∈+±⋅=αβ6、（1）若角α的终边为第二象限的角平分线，则角α集合是 .（2）若角α的终边为第一、三象限的角平分线，则角α集合是 . 7、将下列落在图示部分的角（阴影部分），用集合表示出来（包括边界）.8、角α，β的终边关于0=+y x 对称，且α=-60°，求角β.§1.1.2 弧度制 总第 2课时执笔: 王计文 王振华 罗鹏旺 授课时间; 年 月 日学习目标：1.理解弧度制的意义，正确地进行弧度制与角度制的换算，熟记特殊角的弧度数. 2.了解角的集合与实数集R 之间可以建立起一一对应关系.3.掌握弧度制下的弧长公式，会利用弧度制、弧长公式解决某些简单的实际问题. 学习重点：进行弧度制与角度制的换算. 学习难点：弧度制的概念. 学习过程：一、情境设置在初中，我们常用量角器量取角的大小，那么角的大小的度量单位为什么？ .x二、探究研究问题1：什么叫角度制？问题2：角度制下扇形弧长公式是什么？扇形面积公式是什么？问题3：分别写出第一象限、第二象限、第三象限、第四象限角的集合.问题4：什么是1弧度的角？弧度制的定义是什么？.问题5：弧度制与角度制之间的换算公式是怎样的？问题6：角的集合与实数集R 之间建立了________对应关系。
