数值分析 高斯—勒让德积分公式

Gauss型积分公式摘要求函数在给定区间上的定积分，在微积分学中已给出了许多计算方法，但是，在实际问题计算中，往往仅给出函数在一些离散点的值，它的解析表达式没有明显的给出，或者，虽然给出解析表达式，但却很难求得其原函数。

这时我们可以通过数值方法求出函数积分的近似值。

当然再用近似值代替真实值时，误差精度是我们需要考虑因素，但是除了误差精度以外，还可以用代数精度来判断其精度的高低。

已知n+1点的Newton-Cotes型积分公式，当n为奇数时，其代数精度为n；当n 为偶数时，其代数精度达到n+1。

若对随机选取的n+1个节点作插值型积分公式也仅有n次代数精度。

如何选取适当的节点，能使代数精度提高？Gauss型积分公式可是实现这一点，但是Gauss型求积公式，需要被积函数满足的条件是正交，这一条件比较苛刻。

因此本实验将针对三种常用的Gauss型积分公式进行讨论并编程实现。

关键词：Newton-Cotes型积分公式正交多项式代数精度1、实验目的1)通过本次实验体会并学习Gauss型积分公式，在解决如何取节点能提高代数精度这一问题中的思想方法。

2)通过对Gauss型积分公式的三种常见类型进行编程实现，提高自己的编程能力。

3)用实验报告的形式展现，提高自己在写论文方面的能力。

2、算法流程下面介绍三种常见的Gauss型积分公式1)高斯-勒让德（Gauss-Legendre）积分公式勒让德（Legendre）多项式如下定义的多项式称作勒让德多项式。

由于是次多项式，所以是n次多项式，其最高次幂的系数与多项式的系数相同。

也就是说n次勒让德多项式具有正交性即勒让德多项式是在上带的n次正交多项式，而且这时Gauss型积分公式的节点就取为上述多项式的零点，相应的Gauss型积分公式为此积分公式即成为高斯-勒让德积分公式。

其中Gauss-Legendre求积公式的系数1其中k的取值范围为Gauss点和系数不容易计算，但是在实际计算中精度要求不是很高，所以给出如下表所示的部分Gauss点和系数，在实际应用中只需查表即可。

4章数值积分与数值微分4.1 引言4.1.1 数值求积的基本思想实际问题当中常常需要计算积分．有些数值方法，如微分方程和积分方程的求解，也都和积分计算相联系．依据人们所熟知的微积分基本定理，对于积分．只要找到被积函数的原函数，便有下列牛顿－莱布尼兹(Newton-Leibniz)公式：但实际使用这种积分方法往往有困难，因为大量的被积函数，诸如等等，我们找不到用初等函数表示的原函数；另外，当是由测量或数值计算给出的一张数据表时，牛顿－莱布尼兹公式也不能直接使用．因此有必要研究积分的数值计算问题．积分中值定理告诉我们，在积分区间内存在一点，成立就是说，底为而高为的矩形面积恰等于所求曲边梯形的面积（图４－１）．问题在于点的具体位置一般是不知道的，因而难准确算出的值．我们将称为区间上的平均高度．这样，只要对平均高度提供一种算法，相应地便获得一种数值求积方法．如果我们用两端点“高度”和的算术平均平均作为平均高度的近似值，这样导出的求积公式（4.1.1）便是我们所熟悉的梯形公式（几何意义参看图４－２）．而如果改用区间中点的“高度”近似地取代平均高度，则又可导出所谓中矩形公式（今后简称矩形公式）（4.1.2）更一般地，我们可以在区间上适当选取某些节点，然后用加权平均得到平均高度的近似值，这样构造出的求积公式具有下列形式：（4.1.3）式中称为求积节点；称为求积系数，亦称伴随节点的权．权仅仅与节点的选取有关，而不依赖于被积函数的具体形式．这类数值积分方法通常称为机械求积，其特点是将积分求值问题归结为函数值的计算，这就避开了牛顿－莱布尼兹公式需要求原函数的困难．4.1.2 代数精度的概念数值求积方法是近似方法，为要保证精度，我们自然希望求积公式能对“尽可能多”的函数准确地成立，这就提出了所谓代数精度的概念．定义１如果某个求积公式对于次数不超过的多项式均能准确地成立，但对于次多项式就不准确成立，则称该求积公式具有次代数精度．不难验证，梯形公式（4.1.1）的矩形公式（4.1.2）均具有一次代数精度．一般地，欲使求积公式（4.１.３）具有次代数精度，只要令它对于都能精确成立，这就要求(4.1.4)为简洁起见，这里省略了符号中的上下标．如果我们事先选定求积节点，臂如，以区间的等距分点作为节点，这时取求解方程组(4.1.4)即可确定求积系数，而使求积公式(4.1.3)至少具有次代数精度．本章第２节介绍这样一类求积公式，梯形公式是其中的一个特例．为了构造出形如(4.1.3)的求积公式，原则上是一个确定参数和的代数问题．4.1.3 插值型的求积公式设给定一组节点且已知函数在节点上的值，作插值函数（参见第２章(2.9)式）．由于代数多项式的原函数是容易求出的，我们取作为积分的近似值，这样构造出的求积公式(4.1.5)称为是插值型的，式中求积系数通过插值基函数的积分得出(4.1.6)由插值余项定理（第２章的定理２）即知，对于插值型的求积公式(4.1.5)，其余项(4.1.7)式中与变量有关，．如果求积公式(4.1.5)是插值型的，按式(4.1.7)，对于次数不超过的多项式，其余项等于零，因而这时求积公式至少具有次代数精度．反之，如果求积公式(4.1.5)至少具有次代数精度，则它必定是插值型的．事实上，这时公式(4.1.5)对于插值基函数应准确成立，即有注意到，上式右端实际上即等于，因而式(4.1.6)成立．综上所述，我们的结论是：定理１形如(4.1.5)的求积公式至少具有次代数精度的充分必要条件是，它是插值型的．4.1.4 求积公式的收敛性与稳定性定义２在求积公式(4.1.3)中，若．其中，则称求积公式(4.1.3)是收敛的．在求积公式(4.1.3)中，由于计算可能产生误差，实际得到，即．记．如果对任给小正数，只要误差充分小就有，(4.1.8)它表明求积公式(4.1.3)计算是稳定的，由此给出：定义３在任给，若，只要就有(4.1.8)成立，则称求积公式(4.1.3)是稳定的．定理２若求积公式(4.1.3)中系数，则此求积公式是稳定的．证明对任给，若取，对都有，则有由定义３可知求积公式(4.1.3)是稳定的．证毕．定理２表明只要求积系数，就能保证计算的稳定性．4.2 牛顿－4.3 柯特斯公式4.2.1 柯特斯系数设将积分区间划分为等分，步长，选取等距节点构造出的插值型求积公式(4.2.1)称为牛顿－柯特斯(Newton-Cotes)公式，式中称为柯特斯系数．按(4.1.6)式，引进变换，则有(4.2.2)由于是多项式的积分，柯特斯系数的计算不会遇到实质性的困难．当时，这时的求积公式就是我们所熟悉的梯形公式(4.1.1)．当时，按(4.2.2)式，这时柯特斯系数为相应的求积公式是下列辛普森(Simpson)公式，(4.2.3)而当的牛顿－柯特斯公式则特别称为柯特斯公式，其形式是(4.2.4)为里．下表列出柯特斯系数表开头的一部分．12345678从表中看到时，出现负值，于是有，特别地，假定，且，则有它表明初始数据误差将会引起计算结果误差增大，即计算不稳定，故时的牛顿－柯特斯公式是不用的．4.2.2 偶阶求积公式的代数精度作为插值型的求积公式，阶的牛顿－柯特斯公式至少具有次代数精度（定理１）．实际的代数精度能否进一步提高呢？先看辛普森公式(4.2.3)，它是二阶牛顿－柯特斯公式，因此至少具有二次代数精度．进一步用进行检验，按辛普森公式计算得另一方面，直接求积得．这时有，即辛普森公式即对次数不超过三次的多项式均能准确成立，又容易验证它对通常是不准确的，因此，辛普森公式实际上具有三次代数精度．一般地，我们可以证明下述论断：定理３当阶为偶数时，牛顿－柯特斯公式(4.2.1)至少具有次代数精度．证明我们只要验证，当为偶数时，牛顿－柯特斯公式对的余项为零．按余项公式(4.1.7)，由于这里，从而有．引进变换，并注意到，有，若为偶数，则为整数，再令，进一步有，据此可以断定，因为被积函数是个奇函数．证毕．4.2.3 几种低阶求积公式的余项首先考虑梯形公式，按余项公式(4.1.7)，梯形公式(4.1.1)的余项，这里积分的核函数在区间上保号（非正），应用积分中值定理，在内存在一点，使．(4.2.5)再研究辛普森公式(4.2.3)的余项．为此构造次数不超过３的多项式，使满足(4.2.6)这里．由于辛普森公式具有三次代数精度，它对于构造出的三次多项式是准确的，即，而利用插值条件(4.2.6)知，上式右端实际上等于按辛普森公式(4.2.3)求得的积分值Ｓ，因此积分余项．对于满足条件(4.2.6)的多项式，其插值余项由第２章(2.5.11)得，故有．这时积分的核函数在上保号（非正），再用积分中值定理有．(4.2.7)关于柯特斯公式(4.2.4)的积分余项，这里不再具体推导，仅列出结果如下：．(4.2.8)4.3 复4.4 化求积公式前面已经指出高阶牛顿－柯特斯求公式不稳定的，因此，不可能通过提高阶的方法来提高求积精度．为了提高精度通常可把积分区间分成若干子区间（通常是等分），再在每个子区间上用低阶求积公式．这种方法称为复化求积法．本节讨论复化梯形公式与复化辛普森公式．4.4.1 复4.4.2 化梯形公式将区间划分为等分，分点，在每个子区间上采用梯形公式(4.1.1)，则得(4.3.1)记，(4.3.2)称为复化梯形公式，其余项可由(4.2.5)得．由于，且．所以使．于是复化梯形公式余项为．(4.3.3)可以看出误差是阶，且由(4.3.3)立即得到，当，则，即复化梯形公式是收敛的．事实上只要设，则可得到收敛性，因为只要把改写为．当时，上式右端括号内的两个和式均收敛到积分，所以复化梯形公式(4.3.2)收敛．此外，的求积系数为正，由定理２知复化梯形公式是稳定的．4.4.3 复4.4.4 化辛普森求积公式将区间分为等分，在每个子区间上采用辛普森公式(4.2.3)，若记，则得(4.3.4)记(4.3.5)称为复化辛普森求积公式．其余项由(4.2.7)得，于是当时，与复化梯形公式相似有．(4.3.6)由(4.3.6)看出，误差阶为，收敛性是显然的，实际上，只要则可得收敛性，即此外，由于中求积系数均为正数，故知复化辛普森公式计算稳定．例１对于函数，给出的函数表（见表４－２），试用复化梯形公式(4.3.2)及复化辛普森公式(4.3.5)计算积分，并估计误差．解 将积分区间[0,1]划分为８等分，应用复化梯形法求得；而如果将[0,1]分为４等分，应用复化辛普森法有．比较上面两个结果和，它们都需要提供９个点上的函数值，计算量基本相同，然而精度却差别很大，同积分的准确值I=0.9460831比较，复化梯形公式的结果只有两位有效数字，而复化辛普森的结果却有六位有效数字．为了利用余项公式估计误差，要求的高阶导数，由于，所以有，于是．由(4.3.3)得复化梯形公式的误差．对复化辛普森公式误差，由(4.3.6)得．4.5 高斯求积公式 4.5.1 一般理论形如(1.3)的机械求积公式0 1/8 1/4 3/8 1/2 5/8 3/4 7/8 110.9973978 0.9896158 0.9767267 0.9588510 0.9361556 0.9088516 0.8771925 0.8414709含有个待定参数．当为等距节点时得到的插值求积公式其代数精度至少为次，如果适当选取，有可能使求积公式具有次代数精度，这类求积公式称为高斯(Gauss)求积公式．为使问题更具有一般性，我们研究带权积分，这里为权函数，类似(4.1.3)，它的求积公式为，(4.5.1)为不依赖于的求积系数，为求积节点，可适当选取及使(4.5.1)具有次代数精度．定义４如果求积公式(4.5.1)具有次代数精度，则称其节点为高斯点，相应公式(4.5.1)称为高斯求积公式．根据定义要使使(4.5.1)具有次代数精度，只要取，对，(4.5.1)精确成立，则得．(4.5.2)当给定权函数，求出右端积分，则可由(4.5.2)解得及．例５试构造下列积分的高斯求积公式：．(4.5.3)解令公式(4.5.3)对于准确成立，得(4.5.4)由于，利用(4.5.4)的第１式，可将第２式化为．同样地，利用第２式化第３式，利用第３式化第４式，分别得到从上面三式子消去，有进一步整理得由此解出，从而求出于是形如(4.5.3)的高斯求积公式是．从此例看到求解非线性方程组(4.5.2)较为复杂，通常就很难求解．故一般不通过求解方程(4.5.2)求及，而从分析高斯点的特性来构造高斯求积公式．定理５插值型求积公式(4.5.1)的节点是高斯点的充分必要条件是以这些节点为零点的多项式与任何次数不超过的多项式带权正交，即．(4.5.5)证明必要性．设，则，因此，如果是高斯点，则求积公式(4.5.1)对于精确成立，即有．因，故(4.5.5)成立．再证充分性．对于，用除，记商为，余式为，即，其中．由(4.5.5)可得．(4.5.6)由于所给求积公式(4.5.1)是插值型的，它对于是精确的，即．再注意到，知，从而由(4.5.6)有．可见求积公式(4.5.1)对一切次数不超过的多项式均精确成立．因此，为高斯点．证毕．定理表明在上带权的次正交多项式的零点就是求积公式(4.5.1)的高斯点，有了求积节点，再利用(4.5.2)对成立，则得到一组关于求积系数的线性方程．解此方程则得．也可以直接由的插值型多项式求出求积系数．下面讨论高斯求积公式(4.5.1)的余项．利用在节点的埃尔米特插值，即．于是两端乘，并由到积分，则得．(4.5.7)其中右端第一项积分对次多项式精确成立，故．由于，故由积分中值定理得(4.5.1)的余项为．(4.5.8)下面讨论高斯求积公式的稳定性与收敛性．定理６高斯求积公式(4.5.1)的求积系数全是正的．证明考察，它是次多项式，因而是次多项式，故高斯求积公式(4.5.1)对于它能够准确成立，即有．注意到，上式右端实际上即等于，从而有．定理得证．由本定理及定理２，则得推论高斯求积公式(4.5.1)是稳定的．定理７设，则高斯求积公式(4.5.1)是收敛的，即．证明见［１］．4.5.2 高斯－4.5.3 勒让德求积公式在高斯求积公式(4.5.1)中，若取权函数，区间为，则得公式．(4.5.9)我们知道勒让德多项式(参见式(3.2.5))是区间上的正交多项式，因此，勒让德多项式的零点就是求积公式(4.5.9)的高斯点．形如(4.5.9)的高斯公式特别地称为高斯－勒让德求积公式．若取的零点做节点构造求积公式．令它对准确成立，即可定出．这样构造出的一点高斯－勒让德求积公式是中矩形公式．再取的两个零点构造求积公式，令它对都准确成立，有．由此解出，从而得到两点高斯－勒让德求积公式．三点高斯－勒让德求积公式的形式是．表４－７列出高斯－勒让德求积公式(4.5.9)的节点和系数．表４－７0 0.0000000 2.00000001 0.5773503 1.000000020.77459670.00000000.55555560.888888930.86113630.33998100.34785480.652145240.90617980.53846930.00000000.23692690.47862870.5688889公式(4.5.9)的余项由(4.5.8)得，这里是最高项系数为１的勒让德多项式，由(3.2.6)及(3.2.7)得．(4.5.10)当时，有．它比辛普森公式余项还小，且比辛普森公式少算一个函数值．当积分区间不是[－１，１]，而是一般的区间时，只要做变换可将化为［－１，１］，这时．(4.5.11)对等式右端的积分即可使用高斯－勒让德求积公式．例６用４点()的高斯－勒让德求积公式计算．解先将区间化为［－１，１］，由(4.5.11)有．根据表４－７中的节点及系数值可求得（准确值）．4.5.4 高斯－4.5.5 切4.5.6 比雪夫求积公式若，且权函数，则所建立的高斯求积公式为．(4.5.12)特别地称为高斯－切比雪夫求积公式．由于区间［－１，１］上关于权函数的正交多项式是切比雪夫多项式（参见3.2节），因此求积公式(4.5.12)的高斯点是次切比雪夫多项式的零点，即为．通过计算可知(4.5.12)的系数，使用时将个节点公式改为个节点，于是高斯－切比雪夫求积公式写成．(4.5.13)公式余项由(4.5.9)可算得．(4.5.14)带权的高斯求积公式可用于计算奇异积分．例７用５点(n=5)的高斯－切比雪夫求积公式计算积分．解这里，当时由公式(4.5.13)可得．由余项(4.5.14)可估计得．4.6 数值微分4.6.1 中点方法与误差分析数值微分就是用函数值的线性组合近似函数在某点的导数值．按导数定义可以简单地用差商近似导数，这样立即得到几种数值微分公式（６．１）其中为一增量，称为步长．后一种数值微分方法称为中点方法，它其实是前两种方法的算术平均．但它的误差阶却由提高到了．上面给出的三个公式是很实用的．尤其是中点公式更为常用．为要利用中点公式计算导数的近似值，首先必须选取合适的步长，为此需要进行误差分析．分别将在处做泰勒展开有代入上式得由此可知，从截断误差的角度看，步长越小，计算结果越准确．且其中．再考虑舍入误差．按中点公式计算，当很小时，因和很接近，直接相减会造成有效数字的严重损失（参看第１章第４节）．因此，从舍入误差的角度来看，步长是不宜太小的．例如，用中点公式求在处的一阶导数设取４位数字计算．结果见表４－８（导数的准确值）．表４－８h G(h) h G(h) hG(h)1.0 0.5 0.1 0.36600.35640.35350.050.010.0050.35300.35000.35000.0010.00050.00010.35000.30000.3000从表４－８中看到的逼近效果最好，如果进一步缩小步长，则逼近效果反而越差．这是因为当和分别有舍入误差和．若令，则计算的舍入误差上界为它表明越小，舍入误差越大，故它是病态的．用中点公式(4.6.1)计算的误差上界为要使误差最小，步长不宜太大，也不宜太小．其最优步长为．4.6.2插值型的求导公式对于列表函数：运用插值原理，可以建立插值多项式作这［经的的似．由于多项式的求导比较容易，我们取的值作为的近似值，这样建立的数值公式(4.6.3)统称为插值型的求导公式．必须指出，即使与值相差不多，导数的近似值与导数的真值仍然可能差别很大，因而在使用求导公式(4.6.3)时应该特别注意误差的分析．依据插值余项定理，求导公式(4.6.3)的余项为，式中．在这一余项公式中，由于是的未知函数，我们无法对它的第二项做出进一步的说明．因此，对于随意给出的点，误差是无法预估的．但是，如果我们限定求某个节点上的导数值，那么上面的第二项因式变为零，这时有余项公式．(4.6.4)下面我们仅仅考察节点处的导数值．为简化讨论，假定所给的节点是等距的．１．两点公式设已给出两个节点上的函数值，做线性插值得公式．对上式两端求导，记，有于是有下列求导公式：而利用余项公式(4.6.4)知，带余项的两个点公式是２．三点公式设已给出三个节点上的函数值，做二次插值．令，上式可表示为．两端对求导，有．(4.6.5)这里撇号表示对变量求导数．上式分别取，得到三种三点公式：而带余项的三点求导公式如下：(4.6.6)其中的公式(4.6.6)是我们所熟悉的中点公式．在三点公式中，它由于少用了一个函数值而引人注目．用插值多项式作为的近似函数，还可以建立高阶数值微分公式：，k=1,2,…例如，将式(4.6.5)再对求导一次，有，于是有．而带余项的二阶三点公式如下：．(4.6.7)4.6.3利用数值积分求导微分是积分的逆运算，因此可利用数值积分的方法来计算数值微分．设是一个充分光滑的函数，设，则有，(4.6.8)对上式右边积分采用不同的求积公式就可得到不同的数值微分公式．例如，对用中矩形公式(4.1.2)，则得．从而得到中点微分公式．若对(4.6.8)右端积分用辛普森求积公式，则有上式略去余项，并记的近似值为，则得到辛普森数值微分公式．这是关于这＋１个未知量的－１个方程组，若，已知，则可得(4.6.9)这是关于的三对角方程组，且系数矩阵为严格对角占优的，可用追赶法求解（见第５章５.４节）．如果端点导数数值不知道，那么对(4.6.3)中第１个和第n-1个方程可分利用及的中点微分公式近似，即取．然后求即为的近似值．例８给定的一张数据表（表４－９左部），并给定及的值（见表４－９）．利用辛普森数值微分公式求在上的一阶导数．解根据(4.6.9)有,解之得，结果见表４－９．表４－９０１２３４５10010110210310410510.0000000010.0498756210.0995049410.1488915710.1980390310.246950770.050000000.0497518590.0495073770.0492664330.0490290330.0487950030.049751860.0495073760.0492664630.0490290334..6.4三次样条求导三次样条函数作为的近似，不但函数值很接近，导数值也很接近，并有．(4.6.10)（见第２章定理４），因此利用三次样条函数S(x)直接得到．根据第２章（2.7.8），(2.7.9)可求得，．这里为一阶均差．其误差由(4.6.10)可得4.6.5 数值微分的外推算法利用中点公式计算导数值时．对在点做泰勒级数展开有，其中与无关，利用理查森外推（见本章第４节）对逐次分半，若记，则有．(4.6.11)公式(4.6.11)的计算过程见表４－１０，表中为外推步数．根据理查森外推方法，(4.6.11)的误差为．由此看出当较大时，计算是很精确的．考虑到舍入误差，一般不能取太大．例９用外推法计算在的导数．解令，当时，由外推法表４－１０可算得的精确值为0.454897994，可见当时用中点微分公式只有３位有效数字，外推一次达到５位有效数字，外推两次达到９位有效数字．。

高斯-勒让德积分公式
作为代数学的一部分内容，高斯-勒让德积分公式具有重要价值。

高斯-勒让德积分公式又称椭圆积分，是一种特殊的积分形式，由德国数学家高斯（Gauss）和法国数学家勒让德（Legendre）两人独立发现并推导得出。

高斯-勒让德积分公式的一般形式为∫(dx/√(a^2x^2-b^2c^2))，其中a、b、c都是常数，x是变量。

在现实中，我们会看到许多这样的公式出现在物理，工程和其他科学领域的计算中，比如椭圆轨道的面积计算，以及电学和磁学中的一些问题。

此外，高斯-勒让德积分公式还有一种等价的形式，即通常所说的椭圆积分，形式为∫(dx/√(1-k^2sin^2φ))，其中φ是角度，k是偏度参数，也是一个常数。

根据高斯-勒让德积分公式，我们可以推导出其他一些重要的积分公式和恒等式，这在数学研究和实际应用中具有重要的作用。

例如，可以通过积分变换将其转化为某些特殊函数的积分，进一步计算出所需的结果。

需要指出的是，不同的场合，高斯-勒让德积分公式需要配合相应的推导方式来求解。

在使用的过程中，需要具备一定的数学技巧和知识。

总的来说，高斯-勒让德积分公式以其独特的形式，为解决复杂问题提供了有效的工具，具有广泛的应用价值。

高斯—勒让德积分公式摘要：高斯—勒让德积分公式可以用较少节点数得到高精度的计算结果,是现在现实生活中经常运用到的数值积分法。

然而，当积分区间较大时，积分精度并不理想。

T he adva ntage of Gauss-Legendre integral formula is tend to get high-precision calculational result by using fewer Gauss-points, real life is now often applied numerical integration method. But the precision is not good when the length of integral interval is longer.关键字：积分计算，积分公式，高斯—勒让德积分公式，MATLABKeyword:Integral Calculation , Integral formula ,Gauss-Legendre integral formula, Matlab 引言：众所周知，微积分的两大部分是微分与积分。

微分实际上是求一函数的导数，而积分是已知一函数的导数，求这一函数。

所以，微分与积分互为逆运算。

实际上，积分还可以分为两部分。

第一种，是单纯的积分，也就是已知导数求原函数，称为不定积分。

相对而言，另一种就是定积分了，之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数，而不是一个函数。

计算定积分的方法很多，而高斯—勒让德公式就是其中之一。

高斯积分法是精度最高的插值型数值积分，具有2n+1阶精度，并且高斯积分总是稳定。

而高斯求积系数，可以由Lagrange多项式插值系数进行积分得到。

高斯—勒让德求积公式是构造高精度差值积分的最好方法之一。

他是通过让节点和积分系数待定让函数f(x)以此取i=0,1,2....n次多项式使其尽可能多的能够精确成立来求出积分节点和积分系数。

一、 引言介绍高斯型求积公式，并使用其求积分⎰=1sin I xdx 。

要求：数值实验结果要体现出随高斯点的增加误差的变化。

我们知道,求积公式⎰∑=≈bani i ix f Adx x f 0)()( （1.1）含有22+n 个待定常数i x 及),,2,1,0(n i A i =,如果它具有n 次代数精确度,则它应使1+m 个方程mk dx x x A bakni ki i ,,2,1,0,==⎰∑= (1.2)精确成立。

作为插值型求积公式(1.1)它至少具有n 次代数精确度；另一方面,令)())(()(101n n x x x x x x x ---=+ ω,则对22+n 次多项式)()(21x x f n +=ω而言，(7.5.1)右端为零,而左端严格大于零,即(7.5.1)式对22+n 次多项式)(21x n +ω不准确成立。

但要确定方程组(7.5.2)中的22+n 个待定常数i x 与i A ,最多需要给出22+n 个独立条件,所以m最大取12+n 。

因此,插值型求积公式(1.1)的代数精确度最小是n ,最大是12+n ．由此可见，高斯公式的代数精度比牛顿-科特斯公式高，求解高斯求积公式的关键就是解出上述2n+2个待定常数。

为解决上述问题，首先要先给出三个定理：定理一：以n x x x ,,,10 为节点的插值型求积公式(7.5.1)具有12+n 次代数精确度的充要条件是以这些节点为零点的多项式)())(()(101n n x x x x x x x ---=+ ω与任意次数不超过n 的多项式)(x P 均在区间],[b a 上正交,即⎰=+ban dx x x P 0)()(1ω (1.3)定理二：高斯公式(1.1)的求积系数k A 全为正,且nk dx x l dx x l A bak bak k ,1,0,)()(2===⎰⎰(1.4)定理三：对于高斯公式(1.1),其余项为dxx fn f R ban n ⎰+++=)()()!22(1)(21)22(ωη (1.5)其中).())(()(],,[101n n x x x x x x x b a ---=∈+ ωη证明 以n x x x ,,,10 为节点构造)(x f 的埃尔米特插值多项式)(x H),()(i i x f x H = ni x f x H i i ,1,0),()(='='因为)(x H 是12+n 次多项式,而它的余项是)()()!22(1)()(21)22(x fn x H x f n n +++=-ωξ所以高斯公式(7.5.1)对)(x H 能准确成立,即∑∑⎰====ni i in i iibax f Ax H A dx x H 0)()()(从而dxx fn dxx H dx x f x f A dx x f f R n ban babani i i ba)()()!22(1)()()()()(21)22(0++=⎰⎰⎰∑⎰+=-=-=ωξ若)()22(x fn +在区间],[b a 上连续,由于)(21x n +ω在],[b a 上不变号,故应用积分中值定理可得],[,)()()!22(1)(21)22(b a dx x fn f R ban n ∈+=⎰++ηωη上述定理说明,与牛顿—科兹公式进行比较,高斯公式不但具有高精度,而且它还是数值稳定的,但是节点和求积系数的计算比较麻烦。

摘要求函数在给定区间上的定积分，在微积分学中已给出了许多计算方法，但是，在实际问题计算中，往往仅给出函数在一些离散点的值，它的解析表达式没有明显的给出，或者，虽然给出解析表达式，但却很难求得其原函数。

这时我们可以通过数值方法求出函数积分的近似值。

当然再用近似值代替真实值时，误差精度是我们需要考虑因素，但是除了误差精度以外，还可以用代数精度来判断其精度的高低。

已知n+1点的Newton-Cotes型积分公式，当n为奇数时，其代数精度为n；当n为偶数时，其代数精度达到n+1。

若对随机选取的n+1个节点作插值型积分公式也仅有n次代数精度。

如何选取适当的节点，能使代数精度提高？Gauss型积分公式可是实现这一点，但是Gauss型求积公式，需要被积函数满足的条件是正交，这一条件比较苛刻。

因此本实验将针对三种常用的Gauss型积分公式进行讨论并编程实现。

关键词：Newton-Cotes型积分公式正交多项式代数精度1、实验目的1)通过本次实验体会并学习Gauss型积分公式，在解决如何取节点能提高代数精度这一问题中的思想方法。

2)通过对Gauss型积分公式的三种常见类型进行编程实现，提高自己的编程能力。

3)用实验报告的形式展现，提高自己在写论文方面的能力。

2、算法流程下面介绍三种常见的Gauss型积分公式1)高斯-勒让德（Gauss-Legendre）积分公式勒让德（Legendre）多项式如下定义的多项式L n(x)=12n n!d ndx n(x2−1)n,x∈[−1,1],n=0,1,2⋯称作勒让德多项式。

由于(x2−1)n是2n次多项式，所以L n(x)是n次多项式，其最高次幂的系数A n与多项式1 2n n!d ndx n(x(2n))=12n n!2n(2n−1)(2n−2)⋯(n+1)x n的系数相同。

也就是说n次勒让德多项式具有正交性即勒让德多项式L n(x)是在[−1,1]上带ρ(x)=1的n次正交多项式，而且(L m,L n)=∫L m(x)L n(x)dx1−1={0, m≠n22n+1, m=n这时Gauss型积分公式的节点就取为上述多项式L n(x)的零点，相应的Gauss型积分公式为∫f(x)dx 1−1≈∑A k f(x k) nk=1此积分公式即成为高斯-勒让德积分公式。

数值逼近实习题目二重积分的复化梯形公式专业信息与计算科学班级计算092学号3090811072学生薛藏朋指导教师秦新强2011 年一、实验目的1.利用Gauss-Legendre 公式计算积分2.比较计算误差与实际误差二、数学模型⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈--=++≈⎰∑-=),(),(12)(][)]()(2)([2)(''211b a f h a b f R b f x f a f h dx x f n b a n k k ηη 三、算法Step 1:输入等分数nStep2:输入积分上下限；Step3: 求出步长及对应个点;Step4: 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈--=++≈⎰∑-=),(),(12)(][)]()(2)([2)(''211b a f h a b f R b f x f a f h dx x f n b a n k k ηη计算积分结果 Step5:将积分结果输出；四、程序#include<iostream>using namespace std;#include"math.h"#define N 10double f(double x){double z;z=cos(x);return(z);}int main(){int i, n,m;double X[N],A[N],F=0;cout<<"请输入代数精度n"<<endl;cin>>n;m=(n+1)/2;switch(m){case 1:X[1]=0;A[1]=2; break;case2:X[1]=0.5773502692;X[2]=-X[1];A[1]=A[2]=1;break ;case3:X[1]=0.77459666920;X[2]=-X[1];X[3]=0;A[1]=A[2] =0.5555555556;A[3]=0.8888888889;break;case4:X[1]=0.8611363116;X[2]=-X[1];X[3]=0.3399810436; X[4]=-X[3];A[1]=A[2]=0.3478548451;A[3]=A[4]=0.6521451549; break;case5:X[1]=0.9061798459;X[2]=-X[1];X[3]=0.5384693101 0;X[4]=-X[3];X[5]=0;A[1]=A[2]=0.2369268851;A[3]=A[4]=0.4786286705;A[5]=0.5688888889; break;case6:X[1]=0.9324695142;X[2]=-X[1];X[3]=0.6612093865 ;X[4]=-X[3];X[5]=0.12386191816;X[6]=-X[5];A[1]=A[2]=0.1713244924;A[3]=A[4]=0.3607615730;A [5]=A[6]=0.4679139346; break;case7:X[1]=0.9491079123;X[2]=-X[1];X[3]=0.7415311856 ;X[4]=-X[3];X[5]=0.40584515140;X[6]=-X[5];X[7]=0;A[1]=A[2]=0.1294849662;A[3]=A[4]=0.2797053915;A [5]=A[6]=0.3818300505;A[7]=0.4179591834; break;case8:X[1]=0.9602898565;X[2]=-X[1];X[3]=0.7966664774 ;X[4]=-X[3];X[5]=0.5255324099;X[6]=-X[5];X[7]=0.1 834346425;X[8]=-X[7];A[1]=A[2]=0.1012285363;A[3]=A[4]=0.22 23810345;A[5]=A[6]=0.3137066459;A[7]=A[8]=0.362 6837834; break;default:printf("error\n");}for(i=1;i<=m;i++){F=F+f(X[i])*A[i];}cout<<"具有"<<n<<"次精度的高斯—勒让德积分F(x)="<<F<<endl;return 0;}五、数值算例六、参考文献[1]秦新强，数值逼近，西安：西安理工大学印刷厂，2010.[2]秦新强，数值逼近学习指导，西安：西安理工大学印刷厂，2010.。

高斯公式1. 简介高斯公式，又称为高斯-勒让德公式（Gauss-Legendre Formula），是数学上用于计算曲线围成的面积或曲面闭合的体积的公式。

该公式最早由德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯在19世纪提出，之后法国数学家阿道夫·勒让德对其进行了推广和应用。

高斯公式在数学、物理学等领域都有着广泛的应用。

它不仅适用于计算平面图形的面积，还可以用于计算球体、圆锥体、圆柱体、球面等的体积。

2. 高斯公式的数学表达高斯公式的数学表达可以表示为：∮ P(x, y) dx + Q(x, y) dy = ∬(∂Q/∂x - ∂P/∂y) dxdy其中，P(x, y)和Q(x, y)是二元函数，表示平面上的向量场。

左侧的积分表示沿着曲线的环绕积分，右侧的积分表示沿着曲线围成的区域的面积。

3. 高斯公式的应用举例3.1 计算平面图形的面积高斯公式可以用于计算平面图形的面积。

假设有一个简单闭合曲线C，可以将其分解为若干小曲线段，然后利用高斯公式求得每个小曲线段上的向量场P和Q，并对整个曲线C进行积分。

根据高斯公式的等式关系，左侧的积分将等于右侧的面积积分，从而得到该平面图形的面积。

3.2 计算球体的体积高斯公式还可以用于计算球体的体积。

以球心为原点建立球坐标系，设球面的方程为r = f(θ, φ)，其中r为球面上一点到球心的距离，θ和φ为球坐标系下的两个参数。

然后利用高斯公式对球面的方程进行积分，即可得到球体的体积。

3.3 计算圆锥体的体积高斯公式也可以用于计算圆锥体的体积。

以圆锥体的顶点为原点建立柱坐标系，设圆锥面的方程为z = f(θ, r)，其中z为圆锥面上一点到圆锥顶点的距离，θ和r为柱坐标系下的两个参数。

然后利用高斯公式对圆锥面的方程进行积分，即可得到圆锥体的体积。

4. 总结高斯公式是数学上用于计算曲线围成的面积或曲面闭合的体积的重要公式。

它有着广泛的应用领域，可以用于计算平面图形的面积、球体的体积、圆锥体的体积等。

Gauss型积分公式摘要求函数在给定区间上的定积分，在微积分学中已给出了许多计算方法，但是，在实际问题计算中，往往仅给出函数在一些离散点的值，它的解析表达式没有明显的给出，或者，虽然给出解析表达式，但却很难求得其原函数。

这时我们可以通过数值方法求出函数积分的近似值。

当然再用近似值代替真实值时，误差精度是我们需要考虑因素，但是除了误差精度以外，还可以用代数精度来判断其精度的高低。

已知n+1点的Newton-Cotes型积分公式，当n为奇数时，其代数精度为n；当n 为偶数时，其代数精度达到n+1。

若对随机选取的n+1个节点作插值型积分公式也仅有n次代数精度。

如何选取适当的节点，能使代数精度提高？Gauss型积分公式可是实现这一点，但是Gauss型求积公式，需要被积函数满足的条件是正交，这一条件比较苛刻。

因此本实验将针对三种常用的Gauss型积分公式进行讨论并编程实现。

关键词：Newton-Cotes型积分公式正交多项式代数精度1、实验目的1)通过本次实验体会并学习Gauss型积分公式，在解决如何取节点能提高代数精度这一问题中的思想方法。

2)通过对Gauss型积分公式的三种常见类型进行编程实现，提高自己的编程能力。

3)用实验报告的形式展现，提高自己在写论文方面的能力。

2、算法流程下面介绍三种常见的Gauss型积分公式1)高斯-勒让德（Gauss-Legendre）积分公式勒让德（Legendre）多项式如下定义的多项式称作勒让德多项式。

由于是次多项式，所以是n次多项式，其最高次幂的系数与多项式的系数相同。

也就是说n次勒让德多项式具有正交性即勒让德多项式是在上带的n次正交多项式，而且这时Gauss型积分公式的节点就取为上述多项式的零点，相应的Gauss型积分公式为此积分公式即成为高斯-勒让德积分公式。

其中Gauss-Legendre求积公式的系数1其中k的取值范围为Gauss点和系数不容易计算，但是在实际计算中精度要求不是很高，所以给出如下表所示的部分Gauss点和系数，在实际应用中只需查表即可。

gauss-legendre求积公式
高斯-勒让德求积公式是指利用勒让德多项式的零点来求解定积分的数值近似方法。

它是一种高精度、高效率的积分数值求解方法。

具体地，用勒让德多项式的根来代替单位区间上的等距节点，再用适当的权系数乘以函数值，然后把结果求和，便得到积分的数值近似值。

高斯-勒让德求积公式可以表示为：
$\int_{-1}^{1}f(x)dx≈\sum_{i=0}^{n}w_if(x_i)$。

其中，$f(x)$为被积函数，$x_i$为勒让德多项式的$n$个零点，$w_i$为相应的权系数。

当$n$越大时，数值近似的精度越高。

高斯-勒让德求积公式的主要优点在于可以在任何有限区间内求解积分。

此外，它还具有收敛速度快、精度高、有理权系数等优点。

但是，它的缺点也是显而易见的，主要在于它只适用于比较光滑的函数，对于函数间断点、壁垒等特殊情况不太适用。

一、概述高斯勒让德积分（Gauss-Legendre integration）是数值分析中常用的一种数值积分方法，其基本思想是利用插值多项式近似被积函数，通过求解多项式的根和系数来计算积分值。

在本文中，我们将重点讨论四点高斯勒让德积分公式中的节点与系数。

二、四点高斯勒让德积分公式四点高斯勒让德积分公式是指利用4个节点来进行数值积分的方法，在区间[-1, 1]上的积分公式可以表示为：\[ \int_{-1}^{1} f(x) dx \approx \frac{h}{2} \sum_{i=1}^{4} w_if(x_i) \]其中，\(h\)为步长，\(w_i\)为各节点处的权重，\(x_i\)为各节点的值。

三、节点的选择在四点高斯勒让德积分公式中，节点的选择需要满足Legendre多项式的根的要求，通常可以通过求解Legendre多项式的根来确定节点的值。

Legendre多项式的根可以通过高斯求积公式来确定，根据高斯求积的性质，可知取得高斯求积最高准确度的3次多项式的根为：\[ x_1 = -0.xxx \]\[ x_2 = -0.xxx \]\[ x_3 = 0.xxx \]\[ x_4 = 0.xxx \]四、系数的计算系数的计算是通过数值积分公式中的权重来确定的。

在四点高斯勒让德积分公式中，系数的计算可以通过一定的数值方法来求解，通常可以利用数值积分的加权残差来确定。

在四点高斯勒让德积分中，对于权重的计算有一定的推导方法，最终可以得到四个权重的值为：\[ w_1 = 0.xxx \]\[ w_2 = 0.xxx \]\[ w_3 = 0.xxx \]\[ w_4 = 0.xxx \]五、总结四点高斯勒让德积分公式的节点与系数的选择对于数值积分的精度和稳定性具有重要影响。

通过合适的节点选择和权重计算，可以有效地提高数值积分的准确性，适用于更广泛的数值计算领域。

希望本文对于四点高斯勒让德积分公式的节点与系数有一定的参考价值。

高斯求积公式（2）摘要数值积分一直都是数值计算领域一个重要的分支，很多工程问题都要运用数值积分的相关知识，而高斯求积公式是又是一种重要的数值积分的方法，对比于牛顿-科特斯公式，高斯公式不但是高精度的，而且是数值稳定的、收敛的。

高斯-勒让德求积公式又是在高斯公式的基础上发展而来的，是高斯公式的补充与完善。

本文就重点介绍基于MATLAB软件下高斯求积公式的求解,通过MATLAB数学软件我们不仅能够比较精确的解决高斯公式的求积问题,还可以比较形象易懂地反映出随着高斯点的增加误差的变化。

关键字：数值积分高斯公式稳定精确度MATLABGAUSSIAN QUADRATURE FORMULAABSTRACTNumerical integration is always a very important branch of Numerical calculus fileds,many projects problem need use the related knowledge of Numerical calculus,and , the Gaussian quadrature formula is an important way of Numerical Cauculus, Contrast in the Newton – Ctoes Tess formula, Gaussian quadrature formula is not only high accuracy,but also the value is stable and restraining. Gauss - Legendre quadrature formula develops in the function of the Gaussian quadrature formula,and it is the supplement and consummation Gaussian quadrature formula. This article introduced on the key point of based on the MATLAB Gaussian quadrature formula solution,Through the mathematics software of MAMTLAB,we ont only can compared with precisely the problem of Gaussian quadrature formula,but also can understand easily reflect the change with the increase of the Gauss node.The key words: Numerical integration Gaussian quadrature formula Stable Precision MATLAB目录一、引言 (1)二、方法描述 (2)2.1、高斯—勒让德（Gauss-Legendre）公式………………………………2.2、高斯-切比雪夫（Gauss-Chebyshev）求积公式………………………三、数值实验 (3)四、参考文献……………………………………………………………………. 附录:…………………………………………………………………………………。

高等数学高斯公式
高斯公式是数学中的一项重要公式，它是数学家高斯（Carl Friedrich Gauss）在18世纪初提出的。

这个公式在数学、物理和工程等领域中有广泛的应用，尤其是在概率论和统计学中起到了重要的作用。

高斯公式的全称是高斯-勒让德公式（Gauss-Legendre Formula），它用于计算定积分的近似值。

定积分是微积分中的重要概念，用于求解曲线下面的面积或者曲线与坐标轴之间的有界区域的面积。

而高斯公式则可以通过一系列的近似计算来得到定积分的近似值，从而解决实际问题。

高斯公式的表达形式如下：
∫(a,b) f(x)dx ≈ Σ[w(i) * f(x(i))]
其中，∫(a,b) f(x)dx表示在区间[a,b]上的函数f(x)的定积分，Σ表示求和，w(i)和x(i)分别表示权重和节点。

通过选择合适的权重和节点，可以使得高斯公式的近似值更加精确。

高斯公式的核心思想是将定积分转化为一系列的加权求和。

通过选择合适的权重和节点，可以使得近似值的误差最小化。

在实际应用中，通常使用数值计算方法来计算高斯公式的近似值。

高斯公式的优点在于它的收敛速度较快，可以在相对较少的节点上得到较高的精度。

这使得高斯公式成为计算定积分的一种重要工具。

在数值积分领域中，高斯公式有很多变种，如高斯-勒让德公式、高斯-拉盖尔公式、高斯-赫尔米特公式等。