新教材高中数学第五章函数应用微专题集训(五)函数的综合应用一课一练(含解析)北师大版必修一

高一数学(必修一)《第五章 函数y=Asin （ωx φ）》练习题及答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、解答题1．已知函数()2sin(2)16f x x a π=+++，且当[0,]2x π∈时()f x 的最小值为2.（1）求a 的值；（2）先将函数()y f x =的图像上点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的12，再将所得的图像向右平移12π个单位，得到函数()y g x =的图像，求方程()4g x =在区间[0,]2π上所有根之和.2．写出将sin y x =的图像变换后得到2sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像的过程，并在同一个直角坐标平面内画出每一步变换对应的函数一个周期的图像（保留痕迹）． 3．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜2π)的部分图象如图所示．（1）求函数f (x )的解析式；（2）如何由函数y ＝sin x 的图象通过相应的平移与伸缩变换得到函数f (x )的图象，写出变换过程． 4．用“五点法”画出函数2sin y x =在区间[]0,2π上的图象． 5．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(0A >，0>ω与2πϕ<)，在同一个周期内，当4x π=时，则y 取最大值1，当712x π=时，则y 取最小值-1． (1)求函数()f x 的解析式．(2)函数sin y x =的图象经过怎样的变换可得到()y f x =的图象 (3)求方程()()01f x a a =<<在[]0,2π内的所有实数根之和． 6．已知函数()2cos 44f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭. (1)求函数()f x 图象的对称轴；(2)将函数()f x 图象上所有的点向左平移1个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()y g x k =+在()2,4-上有两个零点，求实数k 的取值范围.7．2021年12月9日15时40分，神舟十三号“天宫课堂”第一课开讲！受“天宫课堂”的激励与鼓舞，某同学对航天知识产生了浓厚的兴趣．通过查阅资料，他发现在不考虑气动阻力和地球引力等造成的影响时，则火箭是目前唯一能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地 球引力，进入宇宙空间的运载工具．早在1903年齐奥尔科夫斯基就推导出单级火箭的最大理想速度公式： 0lnkm v m ω=，被称为齐奥尔科夫斯基公式，其中ω为发动机的喷射速度，0m 和k m 分别是火箭的初始质量和发动机熄火（推进剂用完 ）时的质量．0km m 被称为火箭的质量比．(1)某单级火箭的初始质量为160吨，发动机的喷射速度为2千米/秒，发动机熄火时的质量为40吨，求该单级火箭的最大理想速度（保留2位有效数字）；(2)根据现在的科学水平，通常单级火箭的质量比不超过10．如果某单级火箭的发动机的喷射速度为2千米/秒，请判断该单级火箭的最大理想速度能否超过第一宇宙速度7.9千米/秒，并说明理由．（参考数据：ln20.69≈，无理数e 2.71828=）二、单选题8．为了得到函数3sin 2y x =的图象，只要将函数3sin(21)y x =-的图象（ ） A ．向左平移1个单位长度 B ．向左平移12个单位长度C ．向右平移1个单位长度D ．向右平移12个单位长度9．函数sin3y x =的图象可以由函数cos3y x =的图象（ ） A ．向右平移6π个单位得到 B ．向左平移6π个单位得到 C ．向右平移3π个单位得到 D ．向左平移3π个单位得到 10．要得到函数()2cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，只需将cos2y x =的图像（ ）A ．向左平移3π个单位长度B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移23π个单位长度 D ．向右平移23π个单位长度 11．为了得到函数3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需把函数3sin y x =图像上所有点（ ）A ．向左平行移动3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12B ．向左平行移动3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍 C ．向左平行移动6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12D ．向右平行移动3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12 12．要得到函数π3sin 25y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，需（ ）A ．将函数3sin π5y x =⎛⎫+ ⎪⎝⎭图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）B ．将函数π3sin 10y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）C ．将函数3sin 2y x =图像上所有点向左平移π5个单位长度D ．将函数3sin 2y x =图像上所有点向左平移π10个单位长度13．为了得到函数2cos2y x =的图象，只需把函数2cos 2y x x =+的图象（ ） A ．向左平移3π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度三、填空题14．将函数()f x 的图象向左平移π6个单位长度后得到()()sin y g x A x ωϕ==+（0A >，0>ω与π2ϕ≤）的图象如图，则()f x 的解析式为_____．15．彝族图案作为人类社会发展的一种物质文化，有着灿烂历史．按照图案的载体大致分为彝族服饰图案、彝族漆器图案、彝族银器图案等，其中蕴含着丰富的数学文化，如图1，漆器图案中出现的“阿基米德螺线”，该曲线是由一动点匀速离开一个固定点的同时又以固定的角速度绕该固定点转动所形成的轨迹．这些螺线均匀分布，将其简化抽象为图2，若2OA =，则AOB ∠所对应的弧长为______．参考答案与解析1．（1）2a =；（2）3π. 【分析】（1）由于当[0,]2x π∈时()f x 的最小值为2，所以min ()112f x a =-++=，从而可求出a 的值；（2）由图像变化可得()2sin(4)36g x x π=-+，由()4g x =得1sin(4)62x π-=，从而可求出x 的值【详解】（1）()2sin(2)16f x x a π=+++，∵[0,]2x π∈，∴72[,]666x πππ+∈∴min ()112f x a =-++=，∴2a =；（2）依题意得()2sin(4)36g x x π=-+，由()4g x =得1sin(4)62x π-=∴4266x k πππ-=+(k Z ∈)或54266x k πππ-=+(k Z ∈) ∴212k x ππ=+或24k x =+ππ，解得12x π=或4x π= ∴所有根的和为1243πππ+=.【点睛】此题考查三角函数的图像和性质，考查三角函数的图像的变换，考查转化能力和计算能力，属于基础题2．答案见解析．图像见解析【分析】由三角函数图像中的相位变换、周期变换、振幅变换叙述变换过程，然后作出图像变换的过程即可.【详解】先将sin y x =的图像上各点向右平移4π个单位得到函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像再将函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图像上的每一个点保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半，得到函数sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像.再将函数sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图像上的每一个点保持横坐标不变，纵坐标扩大到原来的2倍，得到函数2sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像.3．（1）f (x )＝sin (2)6x π+ ；（2） 答案见解析.【分析】（1）由图像可得A ＝1，51264Tππ-=结合2T πω=可求出ω的值，然后将点(,1)6π代入解析式可求出ϕ的值，从而可求出函数f (x )的解析式； （2）利用三角函数图像变换规律求解【详解】(1)由图像知A ＝1.f (x )的最小正周期T ＝4×5()126ππ-＝π，故ω＝2Tπ＝2 将点(,1)6π代入f (x )的解析式得sin ()3πϕ+＝1又|φ|＜2π，∴φ＝6π.故函数f (x )的解析式为f (x )＝sin (2)6x π+.(2)变换过程如下：y ＝sin x 图像上的所有点的横坐标缩小为原来的一半，纵坐标不变，得到y ＝sin 2x 的图像，再把y ＝sin 2x 的图像,向左平移12π个单位y ＝sin (2)6x π+的图像． 4．答案见解析【分析】利用五点作图法，列表、描点、连线可作出函数sin y x =在区间[]0,2π上的图象. 【详解】解：按五个关键点列表如下：描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示．5．(1)()sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2)答案见解析 (3)112π【分析】(1)结合已知条件可求出A ，最小正周期T ，然后利用最小正周期公式求ω，通过代值求出ϕ即可；(2)利用平移变换和伸缩变换求解即可；(3)利用正弦型函数的对称性求解即可. (1)设()()sin f x A x ωϕ=+的最小正周期为T 由题意可知，1A =，1721243T πππ=-=即223T ππω== ∴3ω=，即()()sin 3f x x φ=+∵3sin 14πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭∴3242k ππϕπ+=+ k Z ∈ 又2πϕ<，∴4πϕ=-∴()sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．(2)利用平移变换和伸缩变换可知，sin y x =的图象向右平移4π个单位长度，得到sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象再将sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标缩短为原来的13，纵坐标不变，得到sin 34y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象．(3)∵()sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为23π∴()sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[]0,2π内恰有3个周期故所有实数根之和为1119112662ππππ++=． 6．(1)14x k =+ k ∈Z (2)()2,0-.【分析】（1）求出()2sin 44f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解方程442x k ππππ+=+，k ∈Z 即得解；（2）求出()2cos 4g x x π=，即函数()y g x =的图象与直线y k =-在()2,4-上有两个交点，再利用数形结合分析求解. （1）解：因为()2cos 44f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()2sin 44f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.令442x k ππππ+=+，k ∈Z ，解得14x k =+ k ∈Z 所以函数()f x 图象的对称轴为直线14x k =+ k ∈Z . （2）解：依题意，将函数()f x 的图象向左平移1个单位长度后，得到的图象对应函数的解析式为()()2sin 12cos 444g x x x πππ⎡⎤=++=⎢⎥⎣⎦.函数()y g x k=+在()2,4-上有两个零点即函数()y g x =的图象与直线y k =-在()2,4-上有两个交点，如图所示所以02k <-<，即20k -<< 所以实数k 的取值范围为()2,0-. 7．(1)2.8千米/秒(2)该单级火箭最大理想速度不可以超过第一宇宙速度7.9千米/秒，理由见解析【分析】（1）明确0k m m ω、、各个量的值，代入即可;（2）求出最大理想速度max v ，利用放缩法比较max 2ln10v =与7.9的大小即可. （1）2ω=，0160m =和40k m =0lnk m v m ω∴=21602ln 2ln 42ln 24ln 2 2.7640=⨯===≈ ∴该单级火箭的最大理想速度为2.76千米/秒.（2）10km M ≤ 2ω= 0max ln km v m ω∴=2ln10= 7.97.97128e22>>=7.97.9ln ln128ln1002ln10e ∴=>>=max v ∴2ln107.9=<.∴该单级火箭最大理想速度不可以超过第一宇宙速度7.9千米/秒.8．B【分析】根据已知条件，结合平移“左加右减”准则，即可求解．【详解】解：()13sin 213sin 22y x x ⎛⎫=-- ⎪⎝=⎭∴把函数13sin 22x y ⎛⎫- ⎝=⎪⎭的图形向左平移12个单位可得到函数3sin 2y x =．故选：B ． 9．A【分析】化简函数sin 3cos[3()]6y x x π==-，结合三角函数的图象变换，即可求解.【详解】由于函数3sin 3cos(3)cos(3)cos[3()]226y x x x x πππ==+=-=- 故把函数cos3y x =的图象向右平移6π个单位，即可得到cos3sin 36y x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭的图象.故选：A. 10．B【分析】直接由三角函数图象的平移变换求解即可. 【详解】将cos2y x =的图像向右平移3π个单位长度可得2cos2cos 233y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：B. 11．A【分析】利用三角函数图象变换规律求解即可【详解】将3sin y x =向左平移3π长度单位，得到3sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再把所得的各点的横坐标缩短到原来的12，可得3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象 故选：A 12．D【分析】根据三角函数的图像变换逐项判断即可.【详解】解：对于A ，将3sin π5y x =⎛⎫+ ⎪⎝⎭图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到1π3sin 25y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，错误；对于B ，将π3sin 10y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到1π3sin 210y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，错误；对于C ，将3sin 2y x =图像上所有点向左平移π5个单位长度后，得到2π3sin 25y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，错误；对于D ，将3sin 2y x =图像上所有点向左平移π10个单位长度后，得到π3sin 25y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，正确.故选:D. 13．C【分析】化简2cos 2y x x =+，再根据三角函数图象平移的方法求解即可【详解】12cos 22cos 222cos 223y x x x x x π⎛⎫⎛⎫+==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为2cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭向左平移6π个单位长度得到2cos 22cos263ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦y x x故选：C14．()2π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【分析】由图像可知，函数的最值、最小正周期，可得,A ω的值，代入点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭，进而解得ϕ的值，根据函数的图像变换规律，可得答案.【详解】由题图可知()max 2A g x ==，函数()g x 的最小正周期为45πππ3123T ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以2π2T ω==，所以()()2sin 2g x x ϕ=+．又5π5π2sin 2126g ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以5πsin 16ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以5ππ2π62k ϕ+=+（k ∈Z ），解得π2π3k ϕ=-（k ∈Z ）． 因为π2ϕ≤，所以π3ϕ=-，所以()π2sin 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．将函数()g x 的图象向右平移π6个单位长度后可得到函数()f x 的图象故()ππ2π2sin 22sin 2633f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故答案为：()2π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭15．4π9【分析】根据题意得到圆心角2π9AOB α=∠=，结合弧长公式，即可求解.第 11 页 共 11 页 【详解】由题意，可知圆心角2π9AOB α=∠=，半径2r OA == 所以AOB ∠所对应的弧长为2π4π299l r α==⨯=． 故答案为：4π9.。

第五章函数应用课后练习1、利用函数性质判定方程解的存在性........................................................................ - 1 -2、利用二分法求方程的近似解.................................................................................... - 6 -3、实际问题的函数刻画.............................................................................................. - 11 -4、用函数模型解决实际问题...................................................................................... - 18 -1、利用函数性质判定方程解的存在性提升练习1.已知函数f(x)=则函数f(x)的零点为( )A.,0B.-2,0C. D.0【解析】选D.当x≤1时,由f(x)=0,得2x-1=0,所以x=0.当x>1时,由f(x)=0,得1+log2x=0,所以x=,不成立,所以函数的零点为0.2.函数f(x)=x2+ln x-4的零点所在的区间是( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【解析】选B.因为f(1)=12+ln 1-4=-3<0,f(2)=22+ln 2-4=ln 2>0,又函数f(x)在定义域内单调递增,所以f(x)的零点在(1,2)内.3.函数f(x)=x3-的零点个数是()A.0B.1C.2D.无数个【解析】选B.作出y=x3与y=的图象,如图所示,两个函数的图象只有一个交点,所以函数f(x)只有一个零点.4.若函数f(x)=ax2-x+2只有一个零点,则实数a的取值集合是.【解析】当a=0时,f(x)=-x+2,令f(x)=0,解得x=2,所以函数只有一个零点2,符合题意;当a≠0时,由函数只有一个零点可得Δ=(-1)2-4×a×2=0,即1-8a=0,解得a=.综上a=或a=0.答案:5.判断方程log2x+x2=0在区间上有没有实数根?为什么?【解析】设f(x)=log2x+x2,f=log2+=-1+=-<0,f(1)=log21+1=1>0,即f·f(1)<0,函数f(x)=log2x+x2的图象在区间上是连续的,因此,f(x)在区间上有零点,即方程log2x+x2=0在区间上有实根.提升练习一、单选题(每小题5分,共15分)1.若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)·(x-a)的两个零点分别位于区间( )A.(b,c)和(c,+∞)内B.(-∞,a)和(a,b)内C.(a,b)和(b,c)内D.(-∞,a)和(c,+∞)内【解析】选C.因为a<b<c,所以f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0, 所以f(x)的零点分别位于(a,b)和(b,c)内.2.(2020·浙江高考)已知a,b∈R且ab≠0,若(x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0在x≥0上恒成立,则( )A.a<0B.a>0C.b<0D.b>0【解析】选C.由于ab≠0则a≠0且b≠0,根据y=(x-a)(x-b)(x-2a-b)的零点为a,b,2a+b的情况可确定是否满足(x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0在x≥0上恒成立.若a<0,b<0,则2a+b<0,满足;若a<0,b>0,则b≠2a+b,不满足;若a>0,b>0,则2a+b>0,不满足;若a>0,b<0,则a=2a+b即a+b=0时满足,综上,只有选项C符合.3.(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是( )A.[-1,0)B.[0,+∞)C.[-1,+∞)D.[1,+∞)【解析】选C.函数g(x)=f(x)+x+a存在2个零点,即关于x的方程f(x)=-x-a有2个不同的实根,即函数f(x)的图象与直线y=-x-a有2个交点,作出直线y=-x-a与函数f(x)的图象,如图所示,由图可知,-a≤1,解得a≥-1.【补偿训练】已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=k有两个不等的实根,则实数k的取值范围是( )A.(0,+∞)B.(0,1]C.(1,+∞)D.(-∞,1)【解析】选B.作出函数f(x)的图象,由图象知,当0<k≤1时, y=k与y=f(x)的图象有两个交点,此时方程f(x)=k有两个不等实根,所以0<k ≤1.二、多选题(共5分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)4.已知x0是函数f(x)=2x+的一个零点.若x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),则( )A.f(x1)>0B.f(x1)<0C.f(x2)>0D.f(x2)<0【解析】选BC.在同一平面直角坐标系中画出函数y=2x和函数y=的图象,如图所示,由图可知函数y=2x和函数y=的图象只有一个交点,即函数f(x)=2x+只有一个零点x0,且x0>1.因为x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),所以由函数图象可知,f(x1)<0,f(x2)>0.三、填空题(每小题5分,共10分)5.若方程|x2-4x|-a=0有四个不相等的实根,则实数a的取值范围是.【解析】由|x2-4x|-a=0,得a=|x2-4x|,作出函数y=|x2-4x|的图象,则由图象可知,要使方程|x2-4x|-a=0有四个不相等的实根,则0<a<4.答案:(0,4)【补偿训练】设函数f(x)=若函数f(x)有且仅有1个零点,则实数a的取值范围是.【解析】当x>0时,f(x)=3x+1>1,函数无零点;要使函数f(x)有且仅有1个零点,则f(x)=a-2x 在(-∞,0]上有且仅有1个零点.画出函数y=a与函数y=2x(x≤0)的图象,如图所示.因为当x≤0时,2x∈(0,1],所以a∈(0,1].答案:(0,1]6.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,-2是它的一个零点,且在(0,+∞)上是增函数,则该函数有个零点,这几个零点的和等于.【解析】因为函数f(x)是定义域为R的奇函数,且在(0,+∞)上是增函数,所以f(0)=0.又因为f(-2)=0,所以f(2)=-f(-2)=0,故该函数有3个零点,这3个零点之和等于0.答案:3 0四、解答题7.(10分)已知函数f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+(x>0).(1)若g(x)=m有零点,求m的取值范围;(2)试确定m的取值范围,使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根.【解析】(1)作出g(x)=x+(x>0)的图象如图:可知若g(x)=m有零点,则有m≥2e.故m的取值范围为{m|m≥2e}.(2)g(x)-f(x)=0有两个相异实根,即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点.在同一平面直角坐标系中,作出g(x)=x+(x>0)和f(x)的图象,如图.因为f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2,其图象的对称轴为直线x=e,开口向下,最大值为m-1+e2,故当m-1+e2>2e,即m>-e2+2e+1时, g(x)与f(x)有两个不同的交点,即g(x)-f(x)=0有两个相异实根,所以m的取值范围是m>-e2+2e+1.2、利用二分法求方程的近似解基础练习1.下列函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求图中函数零点的是( )【解析】选B.利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号.在B中,不满足f(a)·f(b)<0,不能用二分法求零点,由于A,C,D中零点两侧函数值异号,故可采用二分法求零点.2.若函数f(x)在[a,b]上的图象为一条连续不断的曲线,且同时满足f(a)f(b)<0,f(a)f>0,则( )A.f(x)在上有零点B.f(x)在上有零点C.f(x)在上无零点D.f(x)在上无零点【解析】选B.由f(a)f(b)<0,f(a)f>0可知f f(b)<0,根据零点存在定理可知f(x)在上有零点,在上有无零点无法判断.3.用二分法求关于x的方程ln x+2x-6=0的近似解时,能确定为解所在的初始区间的是( )A.(2,3)B.(0,2)C.(1,2)D.(0,+∞)【解析】选A.令函数f(x)=ln x+2x-6,可判断在(0,+∞)上单调递增,所以f(1)=-4<0,f(2)=ln 2-2<0,f(3)=ln 3>0,所以根据函数的零点存在定理可得:零点在(2,3)内,即方程ln x+2x-6=0的近似解在(2,3)内.4.已知函数f(x)=x3-x2+1.(1)证明方程f(x)=0在区间[0,2]内有实数解;(2)使用二分法,取区间的中点三次,指出方程f(x)=0(x∈[0,2])的实数解x0在哪个较小的区间内.【解析】(1)因为f(0)=1>0,f(2)=-<0,所以f(0)·f(2)<0,由函数的零点存在定理可得方程f(x)=0在区间[0,2]内有实数解.(2)取x1=(0+2)=1,得f(1)=>0,由此可得f(1)·f(2)<0,下一个有解区间为(1,2).再取x2=(1+2)=,得f=-<0,所以f(1)·f<0,下一个有解区间为.再取x3==,得f=>0,所以f·f<0,下一个有解区间为.综上所述,所求的实数解x0在区间内.创新练习一、单选题(每小题5分,共15分)1.下列关于函数y=f(x),x∈[a,b]的叙述中,正确的个数为( )①若x0∈[a,b]且满足f(x0)=0,则(x0,0)是f(x)的一个零点;②若x0是f(x)在[a,b]上的零点,则可用二分法求x0的近似值;③函数f(x)的零点是方程f(x)=0的根,但f(x)=0的根不一定是函数f(x)的零点.A.0B.1C.2D.3【解析】选A.①中x0∈[a,b]且f(x0)=0,所以x0是f(x)的一个零点,而不是(x0,0),故①错误;②由于x0两侧函数值不一定异号,故②错误;③方程f(x)=0的根一定是函数f(x)的零点,故③错误.2.下列函数不宜用二分法求零点的是( )A.f(x)=x3-1B.f(x)=ln x+3C.f(x)=x2+2x+2D.f(x)=-x2+4x-1【解析】选C.因为f(x)=x2+2x+2=(x+)2≥0,不存在小于0的函数值,所以不能用二分法求零点.3.用二分法求方程ln(2x+6)+2=3x的根的近似值时,令f(x)=ln(2x+6)+2-3x,并用计算器得到表格:x 1.00 1.25 1.375 1.50f(x) 1.079 4 0.191 8 -0.360 4 -0.998 9则由表中的数据,可得方程ln(2x+6)+2=3x的一个近似解(精确度为0.1)为( )A.1.125B.1.312 5C.1.437 5D.1.468 75【解析】选B.因为f(1.25)·f(1.375)<0,故根据二分法的思想,知函数f(x)的零点在区间(1.25,1.375)内,但区间(1.25,1.375)的长度为0.125>0.1,因此需要取(1.25,1.375)的中点1.312 5,两个区间(1.25,1.312 5)和(1.312 5,1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相异,又区间的长度为0.062 5<0.1,因此1.312 5是一个近似解.【补偿训练】某同学在借助计算器求“方程lg x=2-x的近似解(精确度为0.1)”时,设f(x)=lg x+x-2,算得f(1)<0,f(2)>0;在以下过程中,他用二分法又取了4个x的值,计算了其函数值的正负,并得出判断:方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是.【解析】第一次用二分法计算得区间(1.5,2),第二次得区间(1.75,2),第三次得区间(1.75,1.875),第四次得区间(1.75,1.812 5).答案:1.5,1.75,1.875,1.812 5二、多选题(共5分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)4.函数f(x)=x+x-4的零点所在的区间为( )A.(0,1)B.(1,3)C.(3,4)D.(4,8)【解析】选AD.设y1=lo x,y2=4-x,则f(x)的零点个数,即函数y1与y2的图象的交点个数,作出两函数图象如图.由图知y1与y2在区间(0,1)内有一个交点,当x=4时,y1=-2,y2=0;当x=8时,y1=-3,y2=-4,所以在(4,8)内两曲线又有一个交点.即函数f(x)=x+x-4的零点所在的区间为(0,1)和(4,8).三、填空题(每小题5分,共10分)5.函数f(x)=x2+ax+b有零点,但不能用二分法求出,则a,b的关系是.【解题指南】函数有零点,但不能用二分法,说明函数在零点两侧同号,结合二次函数的性质,说明函数f(x)的图象与x轴只有一个交点.【解析】因为函数f(x)=x2+ax+b有零点,但不能用二分法,所以函数f(x)=x2+ax+b的图象与x 轴只有一个交点,所以Δ=a2-4b=0,所以a2=4b.答案:a2=4b6.用二分法研究函数f(x)=x3+3x-1在区间[0,1]内的零点时,第一次经计算得f(0)<0,f(0.5)>0,f(1)>0,可得其中一个零点x0∈,第二次应计算.【解析】因为f(0)<0,f(0.5)>0,所以f(0)·f(0.5)<0,故f(x)的一个零点x0∈(0,0.5),利用二分法,则第二次应计算f=f(0.25).答案:(0,0.5) f(0.25)四、解答题7.(10分)已知函数f(x)=3ax2+2bx+c,a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0,证明a>0,并利用二分法证明方程f(x)=0在区间[0,1]内有两个实根.【证明】因为f(1)>0,所以3a+2b+c>0,即3(a+b+c)-b-2c>0.因为a+b+c=0,所以-b-2c>0,则-b-c>c,即a>c.因为f(0)>0,所以c>0,则a>0.在区间[0,1]内选取二等分点,则f=a+b+c=a+(-a)=-a<0.因为f(0)>0,f(1)>0,所以函数f(x)在区间和上各有一个零点.又f(x)最多有两个零点,从而f(x)=0在[0,1]内有两个实根.3、实际问题的函数刻画基础练习1.某同学家门前有一笔直公路直通长城,星期天,他骑自行车匀速前往,他先前进了a km,觉得有点累,就休息了一段时间,想想路途遥远,有些泄气,就沿原路返回骑了b km(b<a),当他想起“不到长城非好汉”时,便调转车头继续前进,则该同学离起点的距离与时间的函数关系图象大致为( )【解析】选C.由题意可知,前进a km时,s是关于时间t的一次函数,所以其图象特征是直线上升.由于中间休息了一段时间,该段时间的图象应是平行于横轴的一条线段.然后原路返回b km,图象下降且时间增加,再调转车头继续前进,则直线上升.C选项图象符合题意.2.甲、乙、丙、丁四辆玩具赛车同时从起点出发并做匀速直线运动,丙车最先到达终点.丁车最后到达终点.若甲、乙两车的图象如图所示,则对于丙、丁两车的图象所在区域,判断正确的是( )A.丙在Ⅲ区域,丁在Ⅰ区域B.丙在Ⅰ区城,丁在Ⅲ区域C.丙在Ⅱ区域,丁在Ⅰ区域D.丙在Ⅲ区域,丁在Ⅱ区域【解析】选A.由题图可得相同时间内丙车行驶路程最远,丁车行驶路程最近,即丙在Ⅲ区域,丁在Ⅰ区域.3.图A表示某年12个月中每月的平均气温,一般地,家庭用电量(kW·h)与气温(℃)有一定关系.图B表示某家庭在此年12个月的用电量.根据这些信息,以下关于该家庭用电量与气温间关系的叙述中,正确的是( )A.气温最高时,用电量最多B.气温最低时,用电量最少C.5月～7月用电量随气温增加而增加D.8月～12月用电量随气温降低而增加【解析】选C.逐月分析图象的升降趋势和变化率,排除干扰选项便能确定答案.比较题干中的两图可以发现,2月份用电量最多,而2月份气温不是最高,因此排除A.同理可排除B.8月至12月份气温一直下降,但用电量有增有减,排除D.由5,6,7三个月的气温和用电量可得出C正确.4.为了了解“环保型纸质饭盒”的使用情况,某研究性学习小组对本地区2005年至2007年使用纸质饭盒的所有快餐公司进行了调查,根据表格及图象提供的信息,可以得出这三年该地区每年平均消耗纸质饭盒万个.年份快餐公司数2005 302006 452007 90【解析】结合题中两个图表可得2005年消耗纸质饭盒总数=1×30=30(万个);2006年消耗纸质饭盒总数=2×45=90(万个);2007年消耗纸质饭盒总数=1.5×90=135(万个);故每年平均消耗纸质饭盒总数=(30+90+135)÷3=85(万个).答案:855.如图所示,已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀,其中AE=4米,CD=6米.为了合理利用这块钢板,在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM,使点P在边DE上.(1)设MP=x米,PN=y米,将y表示成x的函数,求该函数的解析式及定义域;(2)求矩形BNPM面积的最大值.【解析】(1)如图所示,延长NP交AF于点Q,所以PQ=(8-y)米,EQ=(x-4)米.在△EDF中,=,所以=.所以y=-x+10,定义域为[4,8].(2)设矩形BNPM的面积为S,则S=xy=x=-(x-10)2+50.又x∈[4,8],所以当x=8时,S取最大值48.提升练习一、单选题(每小题5分,共20分)1.李明放学回家的路上,开始和同学边走边讨论问题,走得比较慢;然后他们索性停下来将问题彻底解决;最后他快速地回到了家.下列图象中与这一过程吻合得最好的是( )【解析】选D.根据实际情况较吻合的应为D.2.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系,如图所示,由图中给出的信息可知,营销人员没有销售量时的收入是( )A.310元B.300元C.290元D.280元【解析】选B.由题意可知,收入y是销售量x的一次函数,设y=ax+b(a≠0),将(1,800),(2,1 300)代入得a=500,b=300.当销售量x=0时y=300.3.某厂生产中所需一些配件可以外购,也可以自己生产.如果外购,每个配件的价格是1.10元;如果自己生产,则固定成本将增加800元,并且生产每个配件的材料和劳力需0.60元,则决定此配件外购或自产的转折点(即生产多少件以上自产合算)是( )A.1 000件B.1 200件C.1 400件D.1 600件【解析】选D.设生产x件时自产合算,由题意得1.1x≥800+0.6x,解得x≥1 600.4.拟定从甲地到乙地通话m min的电话费f(m)=1.06·(0.50[m]+1),其中m>0,[m]是大于或等于m的最小整数(如[3]=3,[3.7]=4,[5.2]=6),则从甲地到乙地通话时间为5.5 min的通话费为( )A.3.71B.3.97C.4.24D.4.77【解析】选C.5.5 min的通话费为f(5.5)=1.06×(0.50×[5.5]+1)=1.06×(0.50×6+1)=1.06×4=4.24.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元,某食品加工厂对饼干采用两种包装,其包装费用、销售价格如表所示:型号小包装大包装重量100克300克包装费0.5元0.7元销售价格 3.00元8.4元则下列说法正确的是( )A.买小包装实惠B.买大包装实惠C.卖3小包比卖1大包盈利多D.卖1大包比卖3小包盈利多【解析】选BD.大包装300克8.4元,则等价为100克2.8元,小包装100克3元,则买大包装实惠,故B正确,卖1大包盈利8.4-0.7-1.8×3=2.3(元),卖1小包盈利3-0.5-1.8=0.7(元),则卖3小包盈利0.7×3=2.1(元),则卖1大包比卖3小包盈利多,故D正确.6.某工厂8年来的产品年产量y与时间t(单位:年)的函数关系如图所示,则下面四个结论,正确的是( )A.前3年的年产量增长速度越来越快B.前3年的年产量增长速度越来越慢C.3年后,这种产品停止生产D.3年后,这种产品年产量保持不变【解析】选AD.由题干图可知,前3年中,年产量的增长速度越来越快,后5年的年产量是不变的,所以AD正确.三、填空题(每小题5分,共10分)7.已知直角梯形ABCD,如图(1)所示,动点P从点B出发,由B→C→D→A沿边运动,设点P运动的路程为x,△ABP的面积为f(x).如果函数y=f(x)的图象如图(2)所示,则△ABC的面积为.【解析】由题中图象可知BC=4,CD=5,DA=5,所以AB=5+=5+3=8,所以S△ABC=×8×4=16.答案:16【补偿训练】生活经验告诉我们,当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时,水的高度随着时间的变化而变化,在下图中请选择与容器相匹配的图象,A对应;B对应;C对应;D对应.【解析】A容器下粗上细,水高度的变化先慢后快,故与(4)对应;B容器为球形,水高度变化为快—慢—快,应与(1)对应;C,D容器都是柱形的,水高度的变化速度都应是直线型,但C容器细,D容器粗,故水高度的变化为:C容器快,与(3)对应,D容器慢,与(2)对应.答案:(4) (1) (3) (2)8.某商人将手机先按原价提高40%,然后“八折优惠”,结果是每部手机比原价多赚144元,那么每部手机原价是元,实际售价为元.【解析】设每部手机原价是x元,由题意可得(1+40%)x·0.8-x=144,解得x=1 200.实际售价为1200+144=1 344(元).答案:1 200 1 344四、解答题(每小题10分,共20分)9.某电信公司推出两种手机收费方式:A种方式是月租20元,B种方式是月租0元.一个月本地网内打出的电话时间t(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系如图所示,当打出电话150分钟时,这两种方式话费相差多少元?【解析】设A种方式对应的函数解析式为s=k1t+20,B种方式对应的函数解析式为s=k2t.当t=100时,100k1+20=100k2,所以k2-k1=.当t=150时,150k2-150k1-20=150×-20=10.答:这两种方式话费相差10元.10.某地上年度电价为0.8元/度,年用电量为1亿度.本年度计划将电价调至0.55～0.75元/度之间(包含0.55元/度和0.75元/度),经测算,若电价调至x元/度,则本年度新增用电量y(亿度)与(x-0.4)(元/度)成反比,且当x=0.65时,y=0.8.(1)求y与x之间的函数关系式;(2)若每度电的成本为0.3元,则电价调至多少时,电力部门本年度的收益将比上一年增加20%? [收益=用电量×(实际电价-成本价)]【解析】(1)因为y与(x-0.4)成反比,所以可设y=(k≠0),把x=0.65,y=0.8代入上式,得0.8=,解得k=0.2,所以y==,所以y与x之间的函数关系式为y=(0.55≤x≤0.75).(2)根据题意,得(x-0.3)=1×(0.8-0.3)×(1+20%),整理得x2-1.1x+0.3=0,解得x1=0.5(舍去)或x2=0.6,所以当电价调至0.6元/度时,电力部门本年度的收益将比上一年增加20%.4、用函数模型解决实际问题基础练习1.一等腰三角形的周长为20,底边y是关于腰长x的函数,它的解析式为( )A.y=20-2x(x≤10)B.y=20-2x(x<10)C.y=20-2x(5≤x≤10)D.y=20-2x(5<x<10)【解析】选D.由y+2x=20得y=20-2x.又得5<x<10.2.一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车,当他离汽车25米时,交通灯由红变绿,汽车以1米/秒2的加速度匀加速开走,那么( )A.人可在7秒内追上汽车B.人可在10秒内追上汽车C.人追不上汽车,其间距最少为5米D.人追不上汽车,其间距最少为7米【解析】选D.设汽车经过t秒行驶的路程为s米,则s=t2,车与人的间距d=(s+25)-6t=t2-6t+25=(t-6)2+7,当t=6时,d取得最小值7.3.今有一组试验数据如表所示:t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12u 1.5 4.04 7.5 12 18.01则能体现这些数据关系的函数模型是( )A.u=log2tB.u=2t-2C.u=D.u=2t-2【解析】选C.可以先描出各点(如图),并利用数据点直观地认识变量间的关系,选择合适的函数模型来刻画它.由图可知,图象不是直线上的点,排除选项D;图象不符合对数函数的图象特征,排除选项A;当t=3时2t-2=23-2=6,==4,由题干中表格知当t=3时,u=4.04,模型u=能较好地体现这些数据关系.4.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,如图,为降低消耗,开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁皮(如图中阴影部分)备用.当截取的矩形面积最大时,矩形的两边长x,y分别为.【解析】由三角形相似,即=,得x=×(24-y),所以S=xy=-(y-12)2+180,故当y=12时,S有最大值,此时x=15.答案:15,125.某市居民生活用水收费标准如下:用水量x/t 每吨收费标准/元不超过2 t部分m超过2 t不超过4 t部分 3超过4 t部分n已知某用户1月份用水量为8 t,缴纳的水费为33元;2月份用水量为6 t,缴纳的水费为21元.设用户每月缴纳的水费为y元.(1)写出y关于x的函数解析式;(2)若某用户3月份用水量为3.5 t,则该用户需缴纳的水费为多少元?(3)若某用户希望4月份缴纳的水费不超过24元,求该用户最多可以用多少吨水.【解析】(1)由题设可得y=当x=8时,y=33;当x=6时,y=21,代入得解得所以y关于x的函数解析式为y=(2)当x=3.5时,y=3×3.5-3=7.5.故该用户3月份需缴纳的水费为7.5元.(3)令6x-15≤24,解得x≤6.5.故该用户最多可以用6.5 t水.提升练习一、单选题(每小题5分,共25分)1.某厂原来月产量为a,一月份增产10%,二月份比一月份减产10%,设二月份产量为b,则( )A.a=bB.a>bC.a<bD.无法比较a,b的大小【解析】选B.因为b=a(1+10%)(1-10%),所以b=a[1-(10%)2]=a,所以b=a×,所以a>b.2.用长度为24的材料围成一个矩形场地,中间有两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为( )A.3B.4C.6D.12【解析】选A.设隔墙长度为x,如图所示,则与隔墙垂直的边长为=12-2x,所以矩形面积S=x·(12-2x)=-2x2+12x=-2(x-3)2+18,0<x<6,所以当x=3时,S max=18.3.据调查,某自行车存车处在某星期日的存车量为2 000辆次,其中变速车存车费是每辆一次0.8元,普通车存车费是每辆一次0.5元,若普通车存车数为x辆次,存车费总收入为y元,则y 关于x的函数关系式是( )A.y=0.3x+800(0≤x≤2 000)B.y=0.3x+1 600(0≤x≤2 000)C.y=-0.3x+800(0≤x≤2 000)D.y=-0.3x+1 600(0≤x≤2 000)【解析】选D.依题意存车费总收入:y=0.5x+0.8(2 000-x)=-0.3x+1 600.4.我国工农业总产值计划从2000年到2020年翻两番,设平均每年增长率为x,则( )A.(1+x)19=4B.(1+x)20=3C.(1+x)20=2D.(1+x)20=4【解析】选D.翻两番,即从1变成4,从2000年到2020年共经过20年,即(1+x)20=4.【误区警示】翻番问题,要特别注意翻一番是由1变为2,翻两番是由1变为4.5.(2020·全国卷Ⅲ)Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t)=,其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为(ln 19≈3) ( )A.60B.63C.66D.69【解析】选C.因为I(t)=,所以I(t*)==0.95K,则=19,所以0.23(t*-53)=ln 19≈3,解得t*≈+53≈66.二、多选题(共5分,全部选对的得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)6.甲乙两人在一次赛跑中,路程s与时间t的函数关系如图所示,则下列说法正确的是( )A.甲比乙先出发B.甲比乙跑得快C.甲、乙两人的速度相同D.甲先到达终点【解析】选BD.由题图可知两人跑的路程相同,甲比乙跑的时间少,甲比乙跑得要快,比乙先到达终点.三、填空题(每小题5分,共10分)7.四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如表:关于x呈指数型函数变化的变量是.【解析】以爆炸式增长的变量呈指数函数变化.从表格中可以看出,四个变量y1,y2,y3,y4均是从2开始变化,且都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,画出它们的图象(图略),可知变量y2关于x呈指数型函数变化.答案:y28.(2019·北京高考)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.(1)当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付元;(2)在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为.【解析】(1)顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,原价应为60+80=140(元),超过了120元可以优惠,所以当x=10时,顾客需要支付140-10=130(元).(2)由题意知,当x确定后,顾客可以得到的优惠金额是固定的,所以顾客支付的金额越少,优惠的比例越大.而顾客要想得到优惠,最少要一次购买2盒草莓,此时顾客支付的金额为(120-x)元,所以(120-x)×80%≥120×0.7,所以x≤15.即x的最大值为15.答案:(1)130 (2)15四、解答题(每小题10分,共20分)9.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,公司经历了从亏损到盈利的过程,如图的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润S(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和S与t之间的关系).根据图象提供的信息解答下列问题:(1)由已知图象上的三点坐标,求累积利润S(万元)与时间t(月)之间的函数关系式;(2)求截至第几月末公司累积利润可达到30万元;(3)求第八个月公司所获得的利润是多少万元.【解析】(1)可设S与t的函数关系式为S=at2+bt+c.由题意,得或或无论哪个均可解得a=,b=-2,c=0,所以所求函数关系式为S=t2-2t.(2)把S=30代入,得30=t2-2t,解得t1=10,t2=-6(舍去),所以截至第10个月末公司累积利润可达到30万元.(3)把t=7代入,得S=×72-2×7==10.5(万元),把t=8代入,得S=×82-2×8=16(万元),则第八个月获得的利润为16-10.5=5.5(万元),所以第八个月公司所获利润为5.5万元.10.某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP在0.5～8千美元的地区销售该公司A饮料的情况调查时发现:该饮料在人均GDP处于中等的地区人均A饮料销售量最多,然后向两边递减.(1)下列几个模拟函数中:①y=ax2+bx;②y=kx+b;③y=log a x+b;④y=a x+b(x表示人均GDP,单位:千美元,y表示年人均A饮料的销售量,单位:L).用哪个模拟函数来描述人均A饮料销售量与地区的人均GDP关系更合适?说明理由;(2)若人均GDP为1千美元时,年人均A饮料的销售量为2 L,人均GDP为4千美元时,年人均A 饮料的销售量为5 L,把(1)中你所选的模拟函数求出来,并求出各个地区中,年人均A饮料的销售量最多是多少?【解析】(1)用①来模拟比较合适.因为该饮料在人均GDP处于中等的地区人均A饮料销售量最多,然后向两边递减.而②,③,④表示的函数在区间上是单调函数,所以②,③,④都不合适,故用①来模拟比较合适.(2)因为人均GDP为1千美元时,年人均A饮料的销售量为2 L;人均GDP为4千美元时,年人均A饮料的销售量为5 L,把x=1,y=2;x=4,y=5代入y=ax2+bx,得解得a=-,b=,所以函数解析式为y=-x2+x(x∈[0.5,8]).因为y=-x2+x=-+,所以当x=时,年人均A饮料的销售量最多是L.创新练习1.把物体放在冷空气中冷却,如果物体原来的温度是T1(℃),空气的温度是T0(℃),经过t分钟后物体的温度T(℃)可由公式T=T0+(T1-T0)e-0.25t求得.把温度是90 ℃的物体,放在10 ℃的空气中冷却t分钟后,物体的温度是50 ℃,那么t的值约等于(参考数据:ln 3≈1.099,ln 2≈0.693) ( )A.1.78B.2.77C.2.89D.4.40【解析】选B.由题意可知50=10+(90-10)·e-0.25t,整理得e-0.25t=,即-0.25t=ln =-ln 2≈-0.693,解得t≈2.77.2.某校学生研究性学习小组发现,学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化,老师讲课开始时,学生的兴趣激增;接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间,随后学生的注意力开始分散.设 f(x)表示学生注意力指标,该小组发现f(x)随时间x(分钟)的变化规律(f(x)越大,表明学生的注意力越集中)如下:f(x)=(a>0,a≠1),若上课后第5分钟时的注意力指标为140,回答下列问题:(1)求a的值;(2)上课后第5分钟时和下课前5分钟时比较,哪个时间注意力更集中?并请说明理由;(3)在一节课中,学生的注意力指标至少达到140的时间能保持多长?【解析】(1)由题意得,当x=5时,f(x)=140,即100·-60=140,解得,a=4.(2)f(5)=140,f(35)=-15×35+640=115,由于f(5)>f(35),故上课后第5分钟时比下课前5分钟时注意力更集中.(3)①当0≤x≤10时,由(1)知,f(x)≥140的解集为[5,10];②当10<x≤20时,f(x)=340>140,成立;③当20<x≤40时,-15x+640≥140,。

5．1.2 导数的概念及其几何意义第1课时 导数的概念A 级——基础过关练1．(2024年昭通期末)已知函数f (x )在x ＝x 0处的导数为f ′(x 0)，则lim Δx →0f (x 0＋3Δx )－f (x 0)Δx＝( ) A ．－13f ′(x 0)B ．－3f ′(x 0)C ．3f ′(x 0)D ．13f ′(x 0) 【答案】C 【解析】依据题意，lim Δx →0f (x 0＋3Δx )－f (x 0)Δx ＝3lim Δx →0f (x 0＋3Δx )－f (x 0)3Δx＝3f ′(x 0).故选C.2．已知f (x )＝－x 2＋10，则f (x )在x ＝32处的瞬时改变率是( )A ．3B ．－3C ．2D ．－2【答案】B 3．若lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝k ，则lim Δx →0f (x 0＋2Δx )－f (x 0)Δx＝( ) A ．2k B ．kC ．12kD ．以上都不对【答案】A4．(2024年东北师大附中月考)甲、乙两人走过的路程s 1(t )，s 2(t )与时间t 的关系如图所示，则在[0，t 0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v 甲，v 乙的关系是 ( )A.v 甲＞v 乙 B ．v 甲＜v 乙 C ．v 甲＝v 乙 D ．大小关系不确定【答案】B 【解析】设直线AC ，BC 的斜率分别为k AC ，k BC ，由平均改变率的几何意义知，s 1(t )在[0，t 0]上的平均改变率v 甲＝k AC ，s 2(t )在[0，t 0]上的平均改变率v 乙＝k BC .因为k AC＜k BC ，所以v 甲＜v 乙．5．(多选)在x ＝1旁边，取Δx ＝0.3，关于下列说法正确的有 ( )A ．函数y ＝x 的平均改变率为1B ．函数y ＝x 2的平均改变率为2.3C ．函数y ＝x 3的平均改变率为3.99 D ．函数y ＝1x的平均改变率为1【答案】ABC 【解析】依据平均改变率的计算公式，可得Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx，所以在x ＝1旁边取Δx ＝0.3，则平均改变率的公式为Δy Δx ＝f (1.3)－f (1)0.3. 下面逐项判定，对于A ，函数y ＝x ，则Δy Δx ＝f (1.3)－f (1)0.3＝1.3－10.3＝1，正确；对于B ，函数y ＝x 2，则Δy Δx ＝f (1.3)－f (1)0.3＝1.32－10.3＝0.690.3＝2.3，正确；对于C ，函数y ＝x 3，则Δy Δx ＝f (1.3)－f (1)0.3＝1.33－10.3＝1.1970.3＝3.99，正确；对于D ，函数y ＝1x ，则Δy Δx ＝f (1.3)－f (1)0.3＝11.3－10.3＝－11.3≠1，错误．故选ABC.6．物体的运动方程为s ＝6t ＋7t 2(s 的单位：米，t 的单位：秒)，则此物体在t ＝10的瞬时速度是________．【答案】146米/秒 【解析】设此物体在t ＝10的瞬时速度v ＝lim Δt →0s (10＋Δt )－s (10)Δt＝lim Δt →06(10＋Δt )＋7(10＋Δt )2－60－700Δt ＝lim Δt →0146Δt ＋7(Δt )2Δt ＝lim Δt →0 (146＋7Δt )＝146(米/秒).7．设函数f (x )＝ax 3＋2，若f ′(－2)＝24，则a ＝________．【答案】2 【解析】因为f ′(x )＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0a (x ＋Δx )3＋2－(ax 3＋2)Δx＝lim Δx →0[3ax 2＋a (Δx )2＋3ax Δx ]＝3ax 2，∴f ′(－2)＝12a ＝24，∴a ＝2.8．(2024年青岛月考)设f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a ＝________．【答案】2 【解析】∵f ′(1)＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝lim Δx →0a (1＋Δx )＋4－(a ＋4)Δx＝a ，∴a ＝2.9．(2024年武汉月考)2024年2月，第24届冬季奥林匹克运动会在北京隆重实行，中国代表团获得了9金4银2铜的优异成果，彰显了我国体育强国的底蕴和综合国力．设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程l (单位：m)与时间t (单位：s)之间的关系为l (t )＝2t 2＋32t ，则当t ＝3 s 时，该运动员的滑雪瞬时速度为________m/s.【答案】272 【解析】l (3＋Δt )－l (3)＝2(3＋Δt )2＋32(3＋Δt )－2×32－92＝2(Δt )2＋272Δt ，所以该运动员在 3 s 时的滑雪瞬时速度为l ′(3)＝lim Δt →0l (3＋Δt )－l (3)Δt＝lim Δt →0⎝ ⎛⎭⎪⎫2Δt ＋272＝272(m/s).10．求函数y ＝x 2在x ＝1，2，3旁边的平均改变率，取Δx 的值为13，哪一点旁边的平均改变率最大？解：在x ＝1旁边的平均改变率为k 1＝(1＋Δx )2－1Δx ＝2＋Δx ；在x ＝2旁边的平均改变率为k 2＝(2＋Δx )2－22Δx ＝4＋Δx ；在x ＝3旁边的平均改变率为k 3＝(3＋Δx )2－32Δx ＝6＋Δx .若Δx ＝13，则k 1＝2＋13＝73，k 2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193.由于k 1<k 2<k 3，所以在x ＝3旁边的平均改变率最大．B 级——实力提升练 11．(2024年南通期末)函数f (x )＝x 2－sin x 在[0，π]上的平均改变率为 ( )A ．1B ．2C ．πD ．π2【答案】C 【解析】依据题意，f (x )＝x 2－sin x ，则f (0)＝0，f (π)＝π2－sin π＝π2，则f (x )在[0，π]上的平均改变率为Δy Δx ＝f (π)－f (0)π－0＝π2－0π－0＝π.12．(多选)已知函数f (x )的定义域为R ，其导函数f ′(x )的图象如图所示，则对于随意x 1，x 2∈R (x 1≠x 2)，下列结论正确的是 ( )A ．()x 1－x 2[]f ()x 1－f ()x 2<0B ．()x 1－x 2[]f ()x 1－f ()x 2>0C ．f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>f ()x 1＋f ()x 22D ．f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f ()x 1＋f ()x 22【答案】AD 【解析】由题中图象可知，导函数f ′(x )的图象在x 轴下方，即f ′(x )<0，且其肯定值越来越小，因此过函数f (x )图象上任一点的切线的斜率为负，并且从左到右切线的倾斜角是越来越大的钝角，由此可得f (x )的大致图象如图所示．由图象可知x 1－x 2与f (x 1)－f (x 2)异号，故A 正确，B 不正确；f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22表示x 1＋x 22对应的函数值，即图中点B 的纵坐标，f (x 1)＋f (x 2)2表示当x ＝x 1和x ＝x 2时所对应的函数值的平均值，即图中点A 的纵坐标，明显有f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f (x 1)＋f (x 2)2，故C 不正确，D 正确．故选AD.13．(2024年北京期末)日常生活中的饮用水通常是经过净化的．随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断増加．已知将1吨水净化到纯净度为x %时所需费用(单位：元)为c (x )＝5 284100－x(80<x <100)，则净化到纯净度为99%时所需费用的瞬时改变率是净化到纯净度为95%时所需费用的瞬时改变率的________倍，这说明，水的纯净度越高，净化费用增加的速度越________(填“快”或“慢”).【答案】25 快 【解析】由题意，可知净化所需费用的瞬时改变率为c ′(x )＝5 284×[－(100－x )-2×(－1)]＝ 5 284(100－x )2，所以c ′(95)＝ 5 284(100－95)2＝5 28425，c ′(99)＝ 5 284(100－99)2＝5 284，所以c ′(99)c ′(95)＝5 2845 28425＝25，所以净化到纯净度为99%时所需费用的瞬时改变率是净化到纯净度为95%时所需费用的瞬时改变率的25倍．因为c ′(99)>c ′(95)，可知水的纯净度越高，净化费用增加的速度越快．14．(2024年承德月考)某人服药后，人汲取药物的状况可以用血液中药物的浓度c (单位：mg/mL)来表示，它是时间t (单位：min)的函数，表示为c ＝c (t )，下表给出了c (t )的一些函数值．【答案】－0.002 【解析】c (70)－c (30)70－30＝0.90－0.9840＝－0.002.15．(2024年长沙月考)设函数f (x )在x 0处可导，求下列各式的值．(1)lim Δx →0 f (x 0－m Δx )－f (x 0)Δx ； (2)lim Δx →0 f (x 0＋4Δx )－f (x 0＋5Δx )Δx. 解：(1)lim Δx →0f (x 0－m Δx )－f (x 0)Δx＝－m lim Δx →0f (x 0－m Δx )－f (x 0)－m Δx＝－mf ′(x 0). (2)lim Δx →0f (x 0＋4Δx )－f (x 0＋5Δx )Δx＝lim Δx →0f (x 0＋4Δx )－f (x 0)－[f (x 0＋5Δx )－f (x 0)]Δx＝lim Δx →0f (x 0＋4Δx )－f (x 0)Δx －lim Δx →0f (x 0＋5Δx )－f (x 0)Δx＝4limΔx→0f(x0＋4Δx)－f(x0)4Δx－5limΔx→0f(x0＋5Δx)－f(x0)5Δx＝4f′(x0)－5f′(x0)＝－f′(x0).。

习题课——函数的单调性的应用课后训练巩固提升A组1.若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数,则实数m的取值范围是()A. B.C. D.解析:由单调性可知函数的导数在R上恒非负或恒非正,且不恒等于0.当y'=3x2+2x+m≥0对所有x ∈R成立时,此时应满足Δ=44×3m≤0,解得m≥.因为3>0,所以抛物线y'=3x2+2x+m开口向上,所以y'≤0不可能恒成立.因此满足条件的m的取值范围是.答案:C2.已知函数f(x)=x3+ax+4,则“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:f'(x)=x2+a,当a>0时,f'(x)>0在R上恒成立,所以当a>0时,函数f(x)在R上单调递增.若函数f(x)在R上单调递增,则f'(x)=x2+a≥0在R上恒成立,即a≥x2恒成立,从而a≥0.故“a>0”是“函数f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件.答案:A3.若函数f(x)=kx ln x在区间(1,+∞)上单调递增,则k的取值范围是()A.(∞,2]B.(∞,1]C.[2,+∞)D.[1,+∞)解析:因为f(x)=kx ln x,所以函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=k.因为函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增,所以当x>1时,f'(x)=k≥0恒成立,即k≥在区间(1,+∞)上恒成立.因为x>1,所以0<<1,所以k≥1.故选D.答案:D4.已知函数f(x)在定义域R上可导,若f(x)=f(2x),且当x∈(∞,1)时,(x1)f'(x)<0,设a=f(0),b=f,c=f(3),则()A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<c<a解析:由题意得,当x<1时,f'(x)>0,所以f(x)在区间(∞,1)上单调递增.由题意得f(3)=f(1),且1<0<<1,因此f(1)<f(0)<f,即f(3)<f(0)<f,所以c<a<b.答案:C5.若函数f(x)=x3+bx2+cx+d的单调递增区间为(∞,1)和(2,+∞),则b=,c=.解析:f'(x)=3x2+2bx+c,由题意知x<1或x>2是不等式3x2+2bx+c>0的解集,即1,2是方程3x2+2bx+c=0的两个根,则1+2=,1×2=,解得b=,c=6.答案: 66.若函数f(x)=x++ln x在区间[1,2]上单调递增,则实数k的取值范围是.解析:∵函数f(x)=x++ln x在区间[1,2]上单调递增,∴f'(x)=≥0在区间[1,2]上恒成立,∴k≥x2x+3对x∈[1,2]恒成立.设g(x)=x2x+3,则函数g(x)图象的对称轴为直线x=2,∴g(x)=x2x+3在区间[1,2]上单调递减.∴在区间[1,2]上,g(x)max=1+3=.∴k≥.答案:7.若函数f(x)=x3kx在区间(3,1)上不单调,则实数k的取值范围是.解析:f'(x)=3x2k,当k≤0时,对x∈R,不等式f'(x)≥0恒成立,则f(x)在R上单调递增,不符合题意,所以k>0.令f'(x)=0,得x=±.因为函数f(x)在区间(3,1)上不单调,所以3<<1,即3<k<27.答案:(3,27)8.已知函数f(x)=ax3+x在R上有三个单调区间,则a的取值范围是.解析:f(x)的导数f'(x)=3ax2+1.若a>0,则f'(x)>0对x∈R恒成立,此时,f(x)只有一个单调区间,与已知矛盾;若a=0,则f(x)=x,此时,f(x)也只有一个单调区间,亦与已知矛盾;若a<0,则f'(x)=3a··,f(x)有三个单调区间.故a<0.答案:(∞,0)9.已知函数f(x)=x2+(x≠0,常数a∈R),若函数f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,求a的取值范围.解:f'(x)=2x.若函数f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,则f'(x)≥0当x∈[2,+∞)时恒成立,即2x3a≥0当x∈[2,+∞)时恒成立,∴a≤2x3当x∈[2,+∞)时恒成立.∵y=2x3在区间[2,+∞)上单调递增,∴(2x3)min=16.∴a≤16.当a=16时,只有f'(2)=0.∴a的取值范围是(∞,16].10.已知函数f(x)=x3ax1.(1)若f(x)在R上单调递增,求实数a的取值范围.(2)是否存在实数a,使f(x)在区间(1,1)内单调递减?若存在,请求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.解:(1)由已知得f'(x)=3x2a.∵函数f(x)在R上单调递增,∴f'(x)=3x2a≥0在R上恒成立,即a≤3x2对x∈R恒成立.∵3x2≥0,∴a≤0.∴实数a的取值范围是(∞,0].(2)存在.证明如下:若函数f(x)在区间(1,1)内单调递减,则对x∈(1,1),不等式f'(x)=3x2a≤0恒成立,即a≥3x2对x∈(1,1)恒成立.当x∈(1,1)时,3x2<3,∴a≥3.∴存在实数a,使函数f(x)在区间(1,1)内单调递减,实数a的取值范围是[3,+∞).B组1.若函数f(x)=x3ax2x+6在区间(0,1)内单调递减,则实数a的取值范围是()A.a≥1B.a=1C.a≤1D.0<a<1解析:f'(x)=3x22ax1,∵函数f(x)在区间(0,1)内单调递减,∴不等式f'(x)=3x22ax1≤0对x∈(0,1)恒成立.∴f'(0)≤0,且f'(1)≤0,解得a≥1.故选A.答案:A2.设函数f(x)的导函数为f'(x),且当x∈时,f'(x)cos x+f(x)sin x<0,f(0)=0,则下列判断正确的是()A.f>2fB.fC.f(ln 2)>0D.f解析:设g(x)=,则g'(x)=<0,∴g(x)在区间上单调递减.∴=g(ln2)<g(ln1)=g(0)=0.∴f(ln2)<0.∵0<,∴0>,即0>>2f.∴f,f<0,f<0.∴f>2f,f,即f.故选A.答案:A3.已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)=1,且f(x)的导函数f'(x)<,则不等式f(x)<的解集为()A.{x|1<x<1}B.{x|x<1}C.{x|x<1或x>1}D.{x|x>1}解析:设g(x)=f(x),则g'(x)=f'(x)<0,故g(x)在R上为减函数.∵f(1)=1,∴g(1)=f(1)=0,∴g(x)=f(x)<0=g(1)的解集为{x|x>1}.故选D.答案:D4.(多选题)若函数e x f(x)(e为自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M 性质.给出下列函数,不具有M性质的为()A.f(x)=ln xB.f(x)=x2+1C.f(x)=sin xD.f(x)=x3解析:对于A,f(x)=ln x,令g(x)=e x ln x,则g'(x)=e x,令h(x)=ln x+,则h'(x)=,则h(x)在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增,故h(x)≥h(1)=1,所以g'(x)>0,从而g(x)在f(x)的定义域(0,+∞)上单调递增,故f(x)=ln x具有M性质;对于B,f(x)=x2+1,令g(x)=e x f(x)=e x(x2+1),则g'(x)=e x(x2+1)+2x e x=e x(x+1)2≥0在R上恒成立,因此g(x)=e x f(x)在f(x)的定义域R上单调递增,则f(x)=x2+1具有M性质;对于C,f(x)=sin x,令g(x)=e x sin x,则g'(x)=e x(sin x+cos x)=e x sin,显然g(x)在f(x)的定义域R上不单调,故f(x)=sin x不具有M性质;对于D,f(x)=x3,令g(x)=e x f(x)=e x x3,则g'(x)=e x x3+3e x x2=e x x2(x+3),当x<3时,g'(x)<0,当x>3时,g'(x)≥0,因此g(x)=e x f(x)在f(x)的定义域R上先单调递减后单调递增,故f(x)=x3不具有M性质.故选CD.答案:CD5.已知函数f(x)=x3+ax2+(2a3)x1.(1)若f(x)的单调递减区间为(1,1),则a的取值集合为;(2)若f(x)在区间(1,1)内单调递减,则a的取值范围为.解析:函数f(x)的导数f'(x)=3x2+2ax+2a3=(x+1)(3x+2a3).(1)∵函数f(x)的单调递减区间为(1,1),∴1和1是方程f'(x)=0的两根,将x=1代入3x+2a3=0,解得a=0,∴a的取值集合为{0}.(2)∵f(x)在区间(1,1)内单调递减,∴f'(x)≤0对x∈(1,1)恒成立.又二次函数y=f'(x)的图象开口向上,一个零点为1,∴≥1,解得a≤0.∴a的取值范围为{a|a≤0}.答案:(1){0}(2){a|a≤0}6.设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(1)=0,当x>0时,xf'(x)f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是.解析:∵f(x)(x∈R)为奇函数,且f(1)=0,∴f(0)=0,f(1)=f(1)=0.当x≠0时,令g(x)=,则g(x)为偶函数,g(1)=g(1)=0.∵当x>0时,xf'(x)f(x)<0,∴g'(x)='=<0,∴g(x)在区间(0,+∞)上单调递减,在区间(∞,0)上单调递增.∴当x>0时,要使f(x)>0,则g(x)>0,故0<x<1;当x<0时,要使f(x)>0,则g(x)<0,故x<1.综上,使得f(x)>0成立的x的取值范围是(∞,1)∪(0,1).答案:(∞,1)∪(0,1)7.若函数f(x)=x2a ln x在其定义域内的一个子区间(a2,a+2)上不单调,则实数a的取值范围是.解析:函数f(x)的定义域是(0,+∞),故a2≥0,解得a≥2,而f'(x)=x,令x=0,解得x=.由题意得a2<<a+2,解得0≤a<4.因此,a∈[2,4).答案:[2,4)8.已知函数f(x)=2axx3,x∈(0,1],a>0,若f(x)在区间(0,1]上是增函数,则a的取值范围是.解析:由题意知f'(x)=2a3x2≥0对x∈(0,1]恒成立,所以a≥x2对x∈(0,1]恒成立.因为x∈(0,1],所以x2∈.所以a≥.故a的取值范围是.答案:9.已知函数f(x)=2x2+ln x(a≠0)在区间[1,2]上为单调函数,求a的取值范围.解:函数f(x)的导数f'(x)=4x+(a≠0).若函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数,则当x∈[1,2]时,f'(x)=4x+≥0或f'(x)=4x+≤0,即≥4x≤4x对x∈[1,2]恒成立.设h(x)=4x,则h'(x)=4+.因为h'(x)=4+>0对x∈[1,2]恒成立,所以函数h(x)在区间[1,2]上单调递增.所以≥h(2)或≤h(1),即≤3,解得a<0或0<a≤或a≥1.故a的取值范围是(∞,0)∪∪[1,+∞).10.已知函数f(x)=ln x,g(x)=ax2+2x(a≠0).(1)若函数h(x)=f(x)g(x)存在单调递减区间,求a的取值范围;(2)若函数h(x)=f(x)g(x)在区间[1,4]上单调递减,求a的取值范围.解:(1)h(x)=ln x ax22x(a≠0),则定义域为(0,+∞),h'(x)=ax2.因为h(x)在定义域(0,+∞)上存在单调递减区间,所以h'(x)<0在区间(0,+∞)上有解,即ax2+2x1>0在区间(0,+∞)上有解.当a>0时,显然不等式有解;当a<0时,因为抛物线的对称轴x=>0,所以只需满足Δ=4+4a>0,得a>1.因此a的取值范围为(1,0)∪(0,+∞).(2)因为h(x)在区间[1,4]上单调递减,所以当x∈[1,4]时,h'(x)=ax2≤0恒成立,即a≥恒成立.设φ(x)=1.因为x∈[1,4],所以.所以当时,φ(x)max=φ(4)=.所以a≥.又因为a≠0,所以a的取值范围是∪(0,+∞).。

第五章函数应用§1方程解的存在性及方程的近似解 1.1利用函数性质判定方程解的存在性知识点1 函数的零点1.☉%310#2@￥*%☉下列图像表示的函数中没有零点的是( )。

图5-1-1-1答案：A解析：观察图像可知,A 选项中图像表示的函数没有零点。

故选A 。

2.☉%7#1@￥67#%☉函数f (x )=2x -3的零点为( )。

A.(32,0) B.(0,32) C.32D.23答案：C解析：由f (x )=0,得2x -3=0,解得x =32,所以函数f (x )=2x -3的零点为32。

故选C 。

3.☉%31@9@#1#%☉(2020·玉溪一中期中)下列函数不存在零点的是( )。

A.y =x -1x B.y =√2x 2-x -1C.y ={x +1(x ≤0),x -1(x >0)D.y ={x +1(x ≥0),x -1(x <0)答案：D解析：令y =0,得选项A 和C 中函数的零点均为1和-1;B 中函数的零点为-12和1;只有D 中函数无零点。

故选D 。

4.☉%9#*1#18*%☉(2020·辽宁省实验中学期中)若y =f (x )是奇函数且x 0(x 0≠0)是y =f (x )+e x的一个零点,则-x 0一定是下列哪个函数的零点?( )。

A.y =f (-x )e x -1B.y =f (-x )e -x+1C.y =f (x )e x -1D.y =f (x )e x+1 答案：C解析：因为f (x )是奇函数,所以f (-x 0)=-f (x 0),而x 0是y =f (x )+e x的一个零点,所以f (x 0)+e x 0=0。

对于选项A,f (x 0)e -x 0-1=-1-1=-2≠0,排除A;对于选项B,f (x 0)e x 0+1=-e 2x 0+1≠0,排除B;对于选项C,f (-x 0)e -x 0-1=-f (x 0)·e -x 0-1=1-1=0,C 正确;对于选项D,f (-x 0)e -x 0+1=-f (x 0)e -x 0+1=2≠0,排除D 。

第五章一元函数的导数及其应用5.2 导数的运算 5.2.3 简单复合函数的导数课后篇巩固提升基础达标练1.下列函数不是复合函数的是( ) A .y=-x 3-1x+1 B .y=cos x+π4C .y=1lnxD .y=(2x+3)4不是复合函数,B 、C 、D 均是复合函数,其中B 是由y=cos u ,u=x+π4复合而成;C 是由y=1u,u=ln x 复合而成;D 是由y=u 4,u=2x+3复合而成.2.(2020安徽高二期末)函数f (x )=sin 2x 的导数是 ( )A.2sin xB.2sin 2xC.2cos xD.sin 2xy=sin 2x 写成y=u 2,u=sin x 的形式.对外函数求导为y'=2u ,对内函数求导为u'=cos x ,故可以得到y=sin 2x 的导数为y'=2u cos x=2sin x cos x=sin2x ,故选D .3.(2020福建高二期末)已知函数f (x )=sin2xx,则f'(x )=( )A.xcos2x -sin2xx 2B.xcos2x+sin2xx 2 C.2xcos2x -sin2xx 2D.2xcos2x+sin2xx 2f (x )=sin2xx ,故f'(x )=(sin2x )'x -sin2x ·x 'x 2=2xcos2x -sin2xx 2,故选C .4.(2020山东高三期末)已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a )相切,则a 的值为( ) A.1B .2C .-1D .-2(x 0,x 0+1),依题意有{1x 0+a=1,x 0+1=ln (x 0+a ),由此得x 0+1=0,x 0=-1,a=2.5.(多选)设函数f (x )=cos(√3x+φ)(0<φ<2π),若f (x )+f'(x )是奇函数,则φ的可能取值为( ) A.π6B.5π6C.7π6D.11π6解析f'(x )=-√3sin(√3x+φ),f (x )+f'(x )=cos(√3x+φ)-√3sin(√3x+φ)=2sin √3x+φ+5π6.若f (x )+f'(x )为奇函数,则f (0)+f'(0)=0, 即0=2sin φ+5π6,因此φ+5π6=k π(k ∈Z ).又因为φ∈(0,2π),所以φ=π6或φ=7π6.6.(2020海南中学高二期末)设函数f (x )在(0,+∞)内可导,其导函数为f'(x ),且f (ln x )在x=e 处的导数为1e2,则f'(1)= .g (x )=f (ln x ),由复合函数的求导法则可得g'(x )=1xf'(ln x ).由题意可得g'(e)=1e f'(1)=1e 2,解得f'(1)=1e .故答案为1e .7.若曲线y=x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P 的坐标是 ,切线方程为 .P (x 0,y 0).∵y=x ln x ,∴y'=ln x+x ·1x=1+ln x.∴k=1+ln x 0.又k=2,∴1+ln x 0=2,∴x 0=e .∴y 0=elne=e.∴点P 的坐标是(e,e).故切线方程为y-e =2(x-e),即2x-y-e =0.2x-y-e =08.(2020江苏高三开学考试)已知函数f (x )=m ln x 图象与函数g (x )=2√x 图象在交点处切线方程相同,则m 的值为 .f (x )和g (x )的交点为(x 0,y 0),则由f (x )=m ln x ,得f'(x )=m,∴f (x )在(x 0,y 0)处的切线方程的斜率k 1=m,同理,函数g (x )在(x 0,y 0)处的切线方程的斜率k 2=√x0x 0,∵f (x )和g (x )在交点处切线方程相同, ∴k 1=k 2,即m x 0=√x 0x 0,①又y 0=f (x 0)=m ln x 0,② y 0=g (x 0)=2√x 0,③由①②③解得,m=e .9.求下列函数的导数. (1)y=e 2x+1;(2)y=1(2x -1)3;(3)y=5log 2(1-x );(4)y=sin 3x+sin 3x.函数y=e 2x+1可看作函数y=e u 和u=2x+1的复合函数,∴y x '=y u '·u x '=(e u )'(2x+1)'=2e u =2e 2x+1.(2)函数y=1(2x -1)3可看作函数y=u -3和u=2x-1的复合函数,∴y x '=y u '·u x '=(u -3)'(2x-1)'=-6u -4=-6(2x-1)-4=-6(2x -1)4.(3)函数y=5log 2(1-x )可看作函数y=5log 2u 和u=1-x 的复合函数,∴y x '=y u '·u x '=(5log 2u )'·(1-x )'=-5uln2=5(x -1)ln2.(4)函数y=sin 3x 可看作函数y=u 3和u=sin x 的复合函数,函数y=sin3x 可看作函数y=sin v 和v=3x 的复合函数.∴y x '=(u 3)'·(sin x )'+(sin v )'·(3x )'=3u 2·cos x+3cos v=3sin 2x cos x+3cos3x.能力提升练1.曲线y=e -2x +1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x 围成的三角形的面积为( ) A .13B .12C .23 D .1解析依题意得y'=e -2x ·(-2)=-2e -2x ,y'x=0=-2e-2×0=-2. 曲线y=e -2x +1在点(0,2)处的切线方程是y-2=-2x ,即y=-2x+2.在坐标系中作出直线y=-2x+2、y=0与y=x 的图象,因为直线y=-2x+2与y=x 的交点坐标是23,23,直线y=-2x+2与x 轴的交点坐标是(1,0),结合图象可得,这三条直线所围成的三角形的面积等于12×1×23=13.2.已知点P 在曲线y=4e x +1上,α为曲线在点P 处的切线的倾斜角,则α的取值范围是( ) A.0,π4B.π4,π2C.π2,3π4D.3π4,π 解析因为y=4e x +1,所以y'=-4e x (e x +1)2=-4e x e 2x +2e x +1=-4e x +1ex +2.因为e x >0,所以e x +1e x ≥2,所以y'∈[-1,0),所以tan α∈[-1,0).又因为α∈[0,π),所以α∈3π4,π.3.(多选)(2020江苏镇江中学高二期末改编)直线y=12x+b 能作为下列( )函数的图象的切线. A.f (x )=1x B.f (x )=x 4 C.f (x )=sin x 2D.f (x )=e xf (x )=1x ,得f'(x )=-1x 2=12,无解,故A 排除;由f (x )=x 4,得f'(x )=4x 3=12,故x=12,即曲线在点12,116的切线为y=12x-316,B 正确;由f (x )=sin x 2,得f'(x )=12cos x 2=12,取x=2k π,k ∈Z ,当k=0时,x=0,故曲线在点(0,0)的切线为y=12x ,C 正确;由f (x )=e x ,得f'(x )=e x =12,故x=-ln2,曲线在点-ln2,12的切线为y=12x+12ln2+12,D 正确,故选BCD .4.曲线y=sin 2x 在点(0,0)处的切线方程为 .y=f (x )=sin2x ,∴f'(x )=2cos2x.当x=0时,f'(0)=2,得切线的斜率为2, 所以k=2.所以曲线在点(0,0)处的切线方程为y-0=2(x-0),即y=2x.故答案为2x-y=0.x-y=05.函数y=ln e x1+ex 在x=0处的导数为 .ln e x1+e x =lne x -ln(1+e x )=x-ln(1+e x ),则y'=1-e x1+e x .当x=0时,y'=1-11+1=12.6.已知f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=ln(-x)+3x,则x>0时,f(x)的解析式为,曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是.x>0,则-x<0,f(-x)=ln x-3x,又f(x)为偶函数,所以f(x)=ln x-3x(x>0).当x>0时,f'(x)=1x-3,f'(1)=-2,切线方程为y=-2x-1.(x)=ln x-3x y=-2x-17.(1)已知f(x)=eπx sin πx,求f'(x)及f'12;(2)在曲线y=11+x2上求一点,使过该点的切线平行于x轴,并求切线方程.∵f(x)=eπx sinπx,∴f'(x)=πeπx sinπx+πeπx cosπx=πeπx(sinπx+cosπx).∴f'12=πeπ2sinπ2+cosπ2=πeπ2.(2)设切点的坐标为P(x0,y0),由题意可知y'x=x0=0.又y'=-2x(1+x2)2,∴y'x=x0=-2x0(1+x02)2=0.解得x0=0,此时y0=1.即该点的坐标为(0,1),切线方程为y-1=0.素养培优练用导数的方法求和:1+2x+3x2+4x3+…+2 021x2 020(x≠0,且x≠1).f(x)=1+2x+3x2+4x3+…+2021x2020,g(x)=x+x2+x3+x4+…+x2021,则有f(x)=g'(x).而由等比数列求和公式可得g(x)=x(1-x 2021)1-x =x-x20221-x,于是f(x)=g'(x)=x-x20221-x'=(1-2022x 2021)(1-x)+(x-x2022) (1-x)2=1-2022x 2021+2021x2022 (1-x)2,即1+2x+3x2+4x3+…+2021x2020=1-2022x 2021+2021x2022 (1-x)2.。

章末综合测评(五) 函数应用(满分：150分 时间：120分钟)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数y ＝(x －1)(x 2－2x －3)的零点为( )A ．1，2，3B ．1，－1，3C ．1，－1，－3D ．无零点B [令y ＝0，即(x －1)(x 2－2x －3)＝0，解得x 1＝1，x 2＝－1，x 3＝3.故选B.]2．设f (x )＝3x －x 2，则在下列区间中，使函数f (x )有零点的区间是( )A ．[0，1]B ．[1，2]C ．[－2，－1]D ．[－1，0]D [因为f (－1)＝3－1－1<0，f (0)＝30－0＝1>0，所以f (－1)·f (0)<0.]3．函数y ＝log 2x －x 的图象大致是( )A B C DA [当x ＝4时y ＝log 2x －x ＝0，所以舍去D ；当x ＝16时y ＝log 2x －x ＝0，所以舍去BC ；故选A.]4．当x ∈(2，4)时，下列关系正确的是( )A ．x 2<2xB ．log 2x <x 2C ．log 2x <1xD ．2x <log 2xB [当x ∈(2，4)时，x 2∈(4，16)，2x ∈(4，16)，log 2x ∈(1，2)，1x ∈⎝⎛⎭⎫14，12，显然C ，D 不正确，对于选项A ，若x ＝3时，x 2＝9>23，故A 也不正确．]5．我们定义函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)为“下整函数”；定义y ＝{x }({x }表示不小于x 的最小整数)为“上整函数”；例如[4.3]＝4，[5]＝5；{4.3}＝5，{5}＝5.某停车场收费标准为每小时2元，即不超过1小时(包括1小时)收费2元，超过一小时，不超过2小时(包括2小时)收费4元，以此类推．若李刚停车时间为x 小时，则李刚应付费为(单位：元)( )A ．2[x ＋1]B ．2([x ]＋1)C ．2{x }D ．{2x }C [如x ＝1时，应付费2元，此时2[x ＋1]＝4，2([x ]＋1)＝4，排除A 、B ；当x ＝0.5时，付费为2元，此时{2x}＝1，排除D，故选C.]6．物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是()A B C DB[由题意可知：曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大，选项B中，Q的值随t的变化越来越快．故选B.]7．用二分法判断方程2x3＋3x－3＝0在区间(0，1)内的根(精度为0.25)可以是(参考数据：0.753＝0.421 875，0.6253＝0.244 14)()A．0.25 B．0.375C．0.635 D．0.825C[令f(x)＝2x3＋3x－3，f(0)<0，f(1)>0，f(0.5)<0，f(0.75)>0，f(0.625)<0，∴方程2x3＋3x－3＝0的根在区间(0.625，0.75)内，∵|0.75－0.625|＝0.125<0.25，∴区间(0.625，0.75)内的任意一个值作为方程的近似根都满足题意．]8．我国股市中对股票的股价实行涨停、跌停制度，即每天的股价最大的涨幅或跌幅均为10%.某股票在连续四个交易日中前两日每天涨停，后两日每天跌停，则该股票现在的股价相对于四天前的涨跌情况是()A．跌1.99% B．涨1.99%C．跌0.99% D．涨0.99%A[设四天前股价为a，则现在的股价为a×1.12×0.92＝0.980 1a，跌1.99%.]二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．9．下列函数：①y＝lg x；②y＝2x；③y＝x2；④y＝|x|－1，其中有零点的函数是()A．①B．③C．②D．④ABD[分别作出这四个函数的图象(图略)，其中①y＝lg x，③y＝x2与x轴有一个交点，图象④y ＝|x |－1的图象与x 轴有两个交点，即有2个零点，故选ABD.]10．甲、乙二人同时从A 地赶往B 地，甲先骑自行车到两地的中点再改为跑步，乙先跑步到中点再改为骑自行车，最后两人同时到达B 地．已知甲骑车比乙骑车的速度快，且两人骑车速度均大于跑步速度．现将两人离开A 地的距离s 与所用时间t 的函数关系用图象表示，则下列给出的四个函数图象中，甲、乙的图象选择错误的是( )① ② ③ ④A ．甲是图①，乙是图②B ．甲是图①，乙是图④C ．甲是图③，乙是图②D ．甲是图③，乙是图④ACD [由已知甲先快后慢，且前半程用时要比后半程少，也比乙后半程用时少，故符合①，而由乙的运动知其符合④.]11．若函数f (x )＝a log 2x ＋a ·4x ＋3在区间⎝⎛⎭⎫12，1上有零点，则实数a 的取值范围不可能是( )A ．a <－3B ．－32<a <－34C ．－3<a <－34D ．－32<a <－12ABD [∵函数y ＝log 2x ，y ＝4x 在其定义域上是增加的，∴函数f (x )＝a log 2x ＋a ·4x ＋3在区间⎝⎛⎭⎫12，1上单调且连续，∴由零点存在定理可得f ⎝⎛⎭⎫12·f (1)<0，即(－a ＋2a ＋3)(4a ＋3)<0，解得－3<a <－34.] 12．已知f (x )＝(x －a )(x －b )－2，并且α，β是函数f (x )的两个零点，则实数a ，b ，α，β的大小关系不可能是( )A ．a <α<b <βB ．a <α<β<bC ．α<a <b <βD ．α<a <β<bABD [因为α，β是函数f (x )的两个零点，所以f (α)＝f (β)＝0.又f (a )＝f (b )＝－2<0，结合二次函数的图象(如图所示)可知a ，b 必在α，β之间．]三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上．13．用二分法求方程x 3＋4＝6x 2的一个近似解时，已经将一根锁定在区间(0，1)内，则下一步可断定该根所在的区间为________． ⎝⎛⎭⎫12，1 [设f (x )＝x 3－6x 2＋4，显然f (0)>0，f (1)<0，又f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫123－6×⎝⎛⎭⎫122＋4>0， 所以下一步可断定方程的根所在的区间为⎝⎛⎭⎫12，1.]14．某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝0.1x 2－11x ＋3 000，若每台产品的售价为25万元，则生产者的利润取最大值时，产量x 等于________台．180 [设产量为x 台，利润为S 万元，则S ＝25x －y ＝25x －(0.1x 2－11x ＋3 000)＝－0.1x 2＋36x －3 000＝－0.1(x －180)2＋240， 则当x ＝180时，生产者的利润取得最大值．]15．若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________．(0，2) [由函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点可得|2x －2|＝b 有两个不等的根，从而可得函数y ＝|2x －2|与函数y ＝b 的图象有两个交点，结合函数的图象可得0<b <2.]16.已知函数f (x )＝a |log 2x |＋1(a ≠0)，定义函数F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x ＞0，f （－x ），x <0.给出下列四个命题：①F (x )＝|f (x )|；②函数F (x )是偶函数；③当a <0时，若0<m <n <1，则有F (m )－F (n )<0成立；④当a ＞0时，函数y ＝F (x )－2有4个零点．其中正确命题的序号是________．②③④ [易知F (x )＝f (|x |)，故F (x )＝|f (x )|不正确；②∵F (x )＝f (|x |)，∴F (－x )＝F (x )，∴函数F (x )是偶函数；③当a <0时，若0<m <n <1，则F (m )－F (n )＝－a log 2m ＋1－(－a log 2n ＋1)＝a (log 2n －log 2m )<0；④当a ＞0时，F (x )＝2可化为f (|x |)＝2，即a |log 2|x ||＋1＝2，即|log 2|x ||＝1a，故|x |＝21a 或|x |＝2－1a ，故函数y ＝F (x )－2有4个零点，故②③④正确．]四、解答题(本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)讨论方程4x 3＋x －15＝0在[1，2]内实数解的存在性，并说明理由．[解] 令f (x )＝4x 3＋x －15，∵y ＝4x 3和y ＝x 在[1，2]上都为增函数，∴f (x )＝4x 3＋x －15在[1，2]上为增函数，∵f (1)＝4＋1－15＝－10<0，f (2)＝4×8＋2－15＝19＞0，∴f (x )＝4x 3＋x －15在[1，2]上存在一个零点，∴方程4x 3＋x －15＝0在[1，2]内有一个实数解．18．(本小题满分12分)若二次函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋4a ＋1有一个零点小于－1，一个零点大于3，求实数a 的取值范围．[解] 因为二次函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋4a ＋1的图象开口向下，且在区间(－∞，－1)，(3，＋∞)内各有一个零点，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）>0，f （3）>0， 即⎩⎪⎨⎪⎧－（－1）2＋2a ×（－1）＋4a ＋1>0，－32＋2a ×3＋4a ＋1>0，即⎩⎨⎧2a >0，10a －8>0.解得a >45. 即实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫45，＋∞.19．(本小题满分12分)某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过15万元时，按销售利润的10%进行奖励；当销售利润超过15万元时，若超过部分为A 万元，则超出部分按2log 5(A ＋1)进行奖励，没超出部分仍按销售利润的10%进行奖励．记奖金总额为y (单位：万元)，销售利润为x (单位：万元).(1)写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数表达式；(2)如果业务员老张获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？[解] (1)由题意，得y ＝⎩⎨⎧0.1x ，0<x ≤15，1.5＋2log 5（x －14），x >15. (2)∵当x ∈(0，15]时，0.1x ≤1.5，又y ＝5.5>1.5，∴x >15，∴1.5＋2log 5(x －14)＝5.5，解得x ＝39.即老张的销售利润是39万元．20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－bx ＋3.(1)若f (0)＝f (4)，求函数f (x )的零点；(2)若函数f (x )的一个零点大于1，另一个零点小于1，求b 的范围．[解] (1)因为f (0)＝f (4)，所以3＝16－4b ＋3，即b ＝4，所以f (x )＝x 2－4x ＋3，令f (x )＝0即x 2－4x ＋3＝0得x 1＝3，x 2＝1.所以f (x )的零点是1和3.(2)因为f (x )的一个零点大于1，另一个小于1，如图．需f (1)<0，即1－b ＋3<0，所以b >4.即b 的范围为(4，＋∞).21．(本小题满分12分)对于实数a 和b ，定义运算“*”：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab ，a ≤b ，b 2－ab ，a ＞b ， 设f (x )＝(2x －1)*(x －1)，且关于x 的方程为f (x )＝m (m ∈R )，恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，求x 1x 2x 3的取值范围．[解] 当x ≤0，即2x －1≤x －1时，则f (x )＝(2x －1)*(x －1)＝(2x －1)2－(2x －1)(x －1)＝2x 2－x ，当x ＞0，即2x －1＞x －1时，则f (x )＝(2x －1)*(x －1)＝(x －1)2－(2x －1)(x －1)＝－x 2＋x ，画出大致图象如图，可知当m ∈⎝⎛⎭⎫0，14时，f (x )＝m 恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，其中x 2，x 3是方程－x 2＋x －m ＝0的根，x 1是方程2x 2－x －m ＝0的一个根，则x 2x 3＝m ，x 1＝1－1＋8m 4，所以x 1x 2x 3＝－m （1＋8m －1）4，显然，该式随m 的增大而减小， 因此，当m ＝0时，(x 1x 2x 3)max ＝0；当m ＝14时，(x 1x 2x 3)min ＝1－316. 由以上可知x 1x 2x 3的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－316，0. 22．(本小题满分12分)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)[解] (1)由题意，当0≤x ≤20时，v (x )＝60；当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60， 解得⎩⎨⎧a ＝－13，b ＝2003．故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0≤x ≤20，13（200－x ），20<x ≤200. (2)依题意并结合(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ，0≤x ≤20，13x （200－x ），20<x ≤200. 当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，f (x )在区间[0，20]上取得最大值60×20＝1 200；当20<x ≤200时，f (x )＝13x (200－x )＝－13(x －100)2＋10 0003≤10 0003，当且仅当x ＝100时，等号成立．所以当x ＝100时，f (x )在区间(20，200]上取得最大值10 0003. 综上可得，当x ＝100时，f (x )在区间[0，200]上取得最大值10 0003≈3 333. 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时．。

第五章单元素养测评限时120分钟 分值150分 战报得分______一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一个正确选项)1．函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1，0) C ．(0，1)D ．(1，2)【解析】选B.显然f (x )在R 上是增函数， 又f (－2)<0，f (－1)<0，f (0)>0，f (1)>0， f (2)>0，所以f (－1)·f (0)<0， 所以函数f (x )在(－1，0)上有零点．2．定义在R 上的函数f (x )的图象是连续不断的曲线，已知函数f (x )在区间(a ，b )上有一个零点x 0，且f (a )·f (b )＜0，用二分法求x 0，当f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 ＝0时，则函数f (x )的零点是( ) A ．(a ，b )外的点 B ．a ＋b 2C ．区间⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ＋b 2 或⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，b 内的任意一个实数D ．a 或b【解析】选B.由二分法的思想，采用二分法得到的零点可能是准确值，也可能是近似值，由题易知，零点是a ＋b2.3．函数f (x )＝x 3－⎝⎛⎭⎫12 x的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．无数个【解析】选B.作出y ＝x 3与y ＝⎝⎛⎭⎫12 x的图象，如图所示，两个函数的图象只有一个交点，所以函数f (x )只有一个零点．4．下列函数中，有零点但不能用二分法求零点近似解的是( ) ①y ＝3x 2－2x ＋5；②y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ≥0，x ＋1，x <0；③y ＝2x ＋1；④y ＝x 3－2x ＋3；⑤y ＝12x 2＋4x ＋8.A ．①②③B ．⑤C ．①⑤D ．①④【解析】选B.⑤中y ＝12x 2＋4x ＋8，Δ＝0，不满足二分法求函数零点的条件．5．用二分法求关于x 的方程ln x ＋2x －6＝0的近似解时，能确定为解所在的初始区间的是( ) A ．(2，3) B ．(0，2) C ．(1，2)D ．(0，＋∞)【解析】选A.令函数f (x )＝ln x ＋2x －6，可判断在(0，＋∞)上单调递增，所以f (1)＝－4<0，f (2)＝ln 2－2<0，f (3)＝ln 3>0，所以根据函数的零点存在定理可得：零点在(2，3)内，即方程ln x ＋2x －6＝0的近似解在(2，3)内．6．在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为( ) A ．⎝⎛⎭⎫－14，0 B ．⎝⎛⎭⎫0，14 C ．⎝⎛⎭⎫14，12D ．⎝⎛⎭⎫12，34【解析】选C.因为f ⎝⎛⎭⎫14 ＝e 14 －2<0，f ⎝⎛⎭⎫12 ＝e 12 －1>0，所以f ⎝⎛⎭⎫14 f ⎝⎛⎭⎫12 <0，又函数y ＝e x是增函数，y ＝4x －3也是增函数，由函数单调性的性质可知函数f (x )＝e x ＋4x －3是增函数，所以函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点在⎝⎛⎭⎫14，12 内．7．一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时，交通灯由红变绿，汽车以1米/秒2的加速度匀加速开走，那么( ) A ．人可在7秒内追上汽车 B ．人可在10秒内追上汽车C ．人追不上汽车，其间距最少为5米D ．人追不上汽车，其间距最少为7米【解析】选D.设汽车经过t 秒行驶的路程为s 米，则s ＝12 t 2，车与人的间距d ＝(s ＋25)－6t ＝12 t 2－6t ＋25＝12(t －6)2＋7，当t ＝6时，d 取得最小值7.8．用二分法求方程ln (2x ＋6)＋2＝3x 的根的近似值时，令f (x )＝ln (2x ＋6)＋2－3x ，并用计算器得到表格：x 为( ) A.1.125B ．1.312 5C.1.437 5D ．1.468 75【解析】选B.因为f (1.25)·f (1.375)＜0，故根据二分法的思想，知函数f (x )的零点在区间(1.25，1.375)内，但区间(1.25，1.375)的长度为0.125＞0.1，因此需要取(1.25，1.375)的中点1.312 5，两个区间(1.25，1.312 5)和(1.312 5，1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相异，又区间的长度为0.062 5＜0.1，因此1.312 5是一个近似解．二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分) 9．已知x 0是函数f (x )＝2x ＋11－x的一个零点．若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)， 则( )A.f(x1)>0 B．f(x1)<0C.f(x2)>0 D．f(x2)<0【解析】选BC.在同一平面直角坐标系中画出函数y＝2x和函数y＝1x－1的图象，如图所示，由图可知函数y＝2x和函数y＝1x－1的图象只有一个交点，即函数f(x)＝2x＋11－x只有一个零点x0，且x0>1.因为x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，所以由函数图象可知，f(x1)<0，f(x2)>0.10．函数f(x)＝log12x＋x－4的零点所在的区间为()A.(0，1) B．(1，3) C．(3，4) D．(4，8)【解析】选AD.设y1＝log12x，y2＝4－x，则f(x)的零点个数，即函数y1与y2的图象的交点个数，作出两函数图象如图．由图知y1与y2在区间(0，1)内有一个交点，当x＝4时，y1＝－2，y2＝0；当x＝8时，y1＝－3，y2＝－4，所以在(4，8)内两曲线又有一个交点．即函数f(x)＝log12x＋x－4的零点所在的区间为(0，1)和(4，8).11．甲乙两人在一次赛跑中，路程s 与时间t 的函数关系如图所示，则下列说法正确的是( )A.甲比乙先出发B.甲比乙跑得快C.甲、乙两人的速度相同D.甲先到达终点【解析】选BD.由题图可知两人跑的路程相同，甲比乙跑的时间少，甲比乙跑得要快，比乙先到达终点．12．已知函数f (x )＝1－x 21＋x 2 ，则下列对于f (x )的性质表述正确的是( )A.f (x )为偶函数B.f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )C.f (x )在[2，3]上的最大值为－35D.g (x )＝f (x )＋x 在区间(－1，0)上至少有一个零点【解析】选ABCD.因为f (x )＝1－x 21＋x 2 ，所以定义域为R ，A 选项f (－x )＝1－（－x ）21＋（－x ）2 ＝1－x 21＋x 2＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，故A 正确；B 选项，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1－⎝⎛⎭⎫1x 21＋⎝⎛⎭⎫1x 2 ＝x 2－1x 2＋1 ＝－f (x )，故B 正确；C 选项，因为f (x )＝1－x 21＋x 2 ＝－1＋21＋x 2 ，当x ∈[2，3]，y ＝1＋x 2单调递增，所以f (x )＝－1＋21＋x 2单调递减，因此f(x)max＝f(2)＝－1＋21＋4＝－35，故C正确；D选项，因为g(x)＝f(x)＋x，所以g(－1)＝f(－1)－1＝－1，g(0)＝f(0)＋0＝1，即g(－1)·g(0)<0，由零点存在定理可得：g(x)＝f(x)＋x在区间(－1，0)上至少存在一个零点，故D正确．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2，4)上的实数根时，取中点x1＝3，则下一个有根区间是________．【解析】设f(x)＝x3－2x－5，则f(2)＜0，f(3)＞0，f(4)＞0，有f(2)f(3)＜0，则下一个有根区间是(2，3).答案：(2，3)14．设函数f(x)＝{a－2x，x≤0，3x＋1，x>0，若函数f(x)有且仅有1个零点，则实数a的取值范围是________．【解析】当x>0时，f(x)＝3x＋1>1，函数无零点；要使函数f(x)有且仅有1个零点，则f(x)＝a－2x在(－∞，0]上有且仅有1个零点．画出函数y＝a与函数y＝2x(x≤0)的图象，如图所示．因为当x≤0时，2x∈(0，1]，所以a∈(0，1].答案：(0，1]15．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1在区间[0，1]内的零点时，第一次经计算得f(0)<0，f(0.5)>0，f(1)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．【解析】因为f(0)<0，f(0.5)>0，所以f(0)·f(0.5)<0，故f(x)的一个零点x0∈(0，0.5)，利用二分法，则第二次应计算f ⎝⎛⎭⎪⎫0＋0.52 ＝f (0.25).答案：(0，0.5) f (0.25)16．已知直角梯形ABCD ，如图(1)所示，动点P 从点B 出发，由B →C →D →A 沿边运动，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为f (x ).如果函数y ＝f (x )的图象如图(2)所示，则△ABC 的面积为________．【解析】由题中图象可知BC ＝4，CD ＝5，DA ＝5，所以AB ＝5＋52－42 ＝5＋3＝8，所以S △ABC ＝12 ×8×4＝16.答案：16四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知函数f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，a ＋b ＋c ＝0，f (0)>0，f (1)>0，证明a >0，并利用二分法证明方程f (x )＝0在区间[0，1]内有两个实根． 【证明】因为f (1)>0，所以3a ＋2b ＋c >0，即3(a ＋b ＋c )－b －2c >0.因为a ＋b ＋c ＝0，所以－b －2c >0，则－b －c >c ，即a >c .因为f (0)>0，所以c >0，则a >0.在区间[0，1]内选取二等分点12，则f ⎝⎛⎭⎫12 ＝34 a ＋b ＋c ＝34 a ＋(－a )＝－14 a <0.因为f (0)>0，f (1)>0，所以函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，12 和⎝⎛⎭⎫12，1 上各有一个零点．又f (x )最多有两个零点，从而f (x )＝0在 [0，1]内有两个实根．18．(12分)某地上年度电价为0.8元/度，年用电量为1亿度．本年度计划将电价调至0.55～0.75元/度之间(包含0.55元/度和0.75元/度)，经测算，若电价调至x 元/度，则本年度新增用电量y (亿度)与(x －0.4)(元/度)成反比，且当x ＝0.65时，y ＝0.8. (1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)若每度电的成本为0.3元，则电价调至多少时，电力部门本年度的收益将比上一年增加20%? [收益＝用电量×(实际电价－成本价)]【解析】(1)因为y 与(x －0.4)成反比，所以可设y ＝k x －0.4 (k ≠0)，把x ＝0.65，y ＝0.8代入上式，得0.8＝k 0.65－0.4 ，解得k ＝0.2，所以y ＝0.2x －0.4 ＝15x －2 ，所以y 与x 之间的函数关系式为y ＝15x －2(0.55≤x ≤0.75). (2)根据题意，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15x －2 (x －0.3)＝1×(0.8－0.3)×(1＋20%)，整理得x 2－1.1x ＋0.3＝0，解得x 1＝0.5(舍去)或x 2＝0.6，所以当电价调至0.6元/度时，电力部门本年度的收益将比上一年增加20%.19．(12分)某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，如图的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润S (万元)与销售时间t (月)之间的关系(即前t 个月的利润总和S 与t 之间的关系).根据图象提供的信息解答下列问题： (1)由已知图象上的三点坐标，求累积利润S (万元)与时间t (月)之间的函数关系式； (2)求截至第几月末公司累积利润可达到30万元； (3)求第八个月公司所获得的利润是多少万元．【解析】(1)可设S 与t 的函数关系式为S ＝at 2＋bt ＋c .由题意，得或或无论哪个均可解得a ＝12 ，b ＝－2，c ＝0，所以所求函数关系式为S ＝12 t 2－2t .(2)把S ＝30代入，得30＝12t 2－2t ，解得t 1＝10，t 2＝－6(舍去)，所以截至第10个月末公司累积利润可达到30万元． (3)把t ＝7代入，得S ＝12 ×72－2×7＝212 ＝10.5(万元)，把t ＝8代入，得S ＝12 ×82－2×8＝16(万元)，则第八个月获得的利润为16－10.5＝5.5(万元)， 所以第八个月公司所获利润为5.5万元．20．(12分)某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x (元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分). (1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？ 【解析】(1)当x ≤6时，y ＝50x －115， 令50x －115＞0，解得x ＞2.3， 因为x 为整数，所以3≤x ≤6，x ∈Z .当x ＞6时，y ＝[50－3(x －6)]x －115＝－3x 2＋68x －115.令－3x 2＋68x －115＞0，有3x 2－68x ＋115＜0，结合x 为整数得6＜x ≤20，x ∈Z .所以f (x )＝(2)对于y ＝50x －115(3≤x ≤6，x ∈Z )， 显然当x ＝6时，y max ＝185； 对于y ＝－3x 2＋68x －115＝－3⎝⎛⎭⎫x －343 2＋8113(6＜x ≤20，x ∈Z )，当x ＝11时y max ＝270.因为270＞185，所以当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．21．(12分)噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题．实践证明， 声音强度D (分贝)由公式D ＝a lg I ＋b (a ，b 为非零常数)给出，其中I (W/cm 2)为声音能量． (1)当声音强度D 1，D 2，D 3满足D 1＋2D 2＝3D 3时，求对应的声音能量I 1，I 2，I 3满足的等量关系式；(2)当人们低声说话，声音能量为10－13W/cm 2时，声音强度为30分贝；当人们正常说话，声音能量为10－12W/cm 2时，声音强度为40分贝．当声音能量大于60分贝时属于噪音，一般人在100～120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪．问声音能量在什么范围时，人会暂时性失聪．【解析】(1)因为D 1＋2D 2＝3D 3，所以a lg I 1＋b ＋2(a lg I 2＋b )＝3(a lg I 3＋b )，所以lg I 1＋2lg I 2＝3lg I 3，所以I 1·I 22 ＝I 33 .(2)由题意得所以所以100＜10lg I ＋160＜120，所以10－6＜I ＜10－4. 当声音能量I ∈(10－6，10－4)时，人会暂时性失聪．22．(12分)某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S 中x %(0<x <100)的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f (x )＝- 11 - (单位：分钟)，而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：(1)当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？(2)求该地上班族S 的人均通勤时间g (x )的表达式；讨论g (x )的单调性，并说明其实际意义．【解析】(1)由题意知，当30<x <100时，f (x )＝2x ＋1 800x －90>40，即x 2－65x ＋900>0， 解得x <20或x >45，所以x ∈()45，100 时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间．(2)当0<x ≤30时，g (x )＝30·x %＋40()1－x % ＝40－x 10 ； 当30<x <100时，g (x )＝⎝⎛⎭⎫2x ＋1 800x －90 ·x %＋40()1－x % ＝x 250 －1310 x ＋58； 所以g (x )＝当0<x <32.5时，g (x )单调递减；当32.5<x <100时，g (x )单调递增；说明该地上班族S 中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少．。

第五章 §2 2.1A 组·素养自测一、选择题1．某商场售出两台取暖器,第一台提价20%以后按960卖出,第二台降价20%以后按960卖出,这两台取暖器卖出后,该商场( C )A ．不赚不亏B ．赚了80元C ．亏了80元D ．赚了160元[解析] 设第1台原价x 1,第2台原价x 2,则x 1·(1＋20%)＝960得x 1＝800,x 2·(1－20%)＝960,得x 2＝1200,960×2－(800＋1200)＝－80. ∴选C ．2．用长度为24m 的材料围成一矩形场地,如果在中间加两道隔墙,要使矩形面积最大,则隔墙的长度应为( A )A ．3mB ．4mC ．6mD ．12m[解析] 设矩形的长为x ,则宽为14(24－2x ),则矩形的面积为S ＝14(24－2x )x ＝－12(x2－12x )＝－12(x －6)2＋18,所以当x ＝6时,矩形的面积最大,此时隔墙的长度应为3m.3．某生产厂家的生产总成本y (万元)与产量x (件)之间的关系式为y ＝x 2－80x ,若每件产品的售价为25万元,则该厂获得最大利润时,生产的产品件数为( D )A ．52B ．52.5C ．53D ．52或53[解析] 因为利润＝收入－成本,当产量为x 件时(x ∈N ),利润f (x )＝25x －(x 2－80x ),所以f (x )＝105x －x 2＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －10522＋10524,所以x ＝52或x ＝53时,f (x )有最大值．4．某公司招聘员工,面试人数按拟录用人数分段计算,计算公式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4x （1≤x <10，x ∈N ＋），2x ＋10（10≤x <100，x ∈N ＋），1.5x （x ≥100，x ∈N ＋），其中x 代表拟录用人数,y 代表面试人数．若面试人数为60,则该公司拟录用人数为( C )A ．15B ．40C ．25D ．130[解析] 令y ＝60,若4x ＝60,则x ＝15>10,不合题意；若2x ＋10＝60,则x ＝25,满足题意；若1.5x ＝60,则x ＝40<100,不合题意．故拟录用25人．5．如图1,动点P 从直角梯形ABCD 的直角顶点B 出发,沿B →C →D →A 的顺序运动,得到以点P 运动的路程x 为自变量,△ABP 的面积y 为因变量的函数的图象,如图2,则梯形ABCD 的面积是( B )A ．96B ．104C ．108D ．112[解析] 从图2可看出,BC ＝8,CD ＝10,DA ＝10,在图1中,过点D 作AB 的垂线,垂足为E ,可推得AE ＝6,AB ＝16,所以梯形的面积为12(DC ＋AB )·BC ＝12(10＋16)×8＝104,故选B ．6．(福建高考题)要制作一个容积为4m 3,高为1m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是( C )A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元[解析] 设该容器的总造价为y 元,长方体的底面矩形的长为x m,因为无盖长方体的容积为4m 3,高为1m,所以长方体的底面矩形的宽为4xm,依题意,得y ＝20×4＋10⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2×4x ＝80＋20⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ≥160,当且仅当x ＝4x,即x ＝2时,等号成立,y 取得最小值,即y min ＝160.所以该容器的最低总造价为160元．故选C ．二、填空题7．某商人购货,进价已按原价a 扣去25%,他希望对货物订一新价,以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的纯利,则此商人经营这种货物的件数x 与按新价让利总额y 之间的函数关系是__y ＝a4x (x ∈N ＋)__．[解析] 依题意,设新价为b ,则有b (1－20%)－a (1－25%)＝b (1－20%)·25%.化简,得b ＝54a . ∴y ＝b ·20%·x ＝54a ·20%·x ,即y ＝a4x (x ∈N ＋)．8．某工厂生产某种产品的固定成本为200万元,并且生产量每增加一单位产品,成本就增加1万元,又知总收入R 是单位产量Q 的函数：R (Q )＝4Q －1200Q 2,那么总利润L (Q )的最大值是__250__万元,这时产品的产量为__300__．(总利润＝总收入－成本)[解析] L (Q )＝4Q －1200Q 2－(200＋Q )＝－1200(Q －300)2＋250,则当Q ＝300时,总利润L (Q )取最大值250万元．9．某人计划购买一辆A 型轿车,售价为14.4万元,购买后轿车每年的保险费、汽油费、车检费、停车费等约需2.4万元,同时汽车年折旧率约为10%,试问,大约使用__4__年后,用在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元．[解析] 设使用x 年后花费在该车上的费用达到14.4万元,依题意可得14.4(1－0.9x)＋2.4x ＝14.4化简得x －6×0.9x＝0,令f (x )＝x －6×0.9x易得f (x )为递增函数,又f (3)＝－1.374<0,f (4)＝0.0634>0,∴f (x )在(3,4)上有一个零点,故大约使用4年后,用在该车上费用达到14.4万元．三、解答题10．(10分)有l 米长的钢材,要做成如图所示的窗框：上半部分为半圆,下半部分为四个全等的小矩形组成的矩形,则小矩形的长与宽之比为多少时,窗户所透过的光线最多？并求出窗户面积的最大值．[解析] 设小矩形的长为x ,宽为y ,窗户的面积为S , 则由题图可得9x ＋πx ＋6y ＝l ,所以6y ＝l －(9＋π)·x , 所以S ＝π2x 2＋4xy ＝π2x 2＋23x ·[l －(9＋π)·x ]＝－36＋π6x 2＋23lx ＝－36＋π6·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2l 36＋π2＋2l23（36＋π）. 要使窗户所透过的光线最多,只需窗户的面积S 最大． 由6y ＞0,得0＜x ＜l9＋π.因为0＜2l 36＋π＜l9＋π,所以当x ＝2l 36＋π,y ＝l －（9＋π）x 6＝l （18－π）6（36＋π）,即x y ＝1218－π时,窗户的面积S 有最大值,且S max ＝2l23（36＋π）.11．(10分)国庆期间,某旅行社组团去风景区旅游,若旅行团人数在30人或30人以下,每人需交费用为900元；若旅行团人数多于30人,则给予优惠：每多1人,人均费用减少10元,直到达到规定人数75人为止．旅行社需支付各种费用共计15000元．(1)写出每人需交费用y 关于人数x 的函数； (2)旅行团人数为多少时,旅行社可获得最大利润？解：(1)当0＜x ≤30时,y ＝900；当30＜x ≤75,y ＝900－10(x －30)＝1200－10x .即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧900，0＜x ≤30，1200－10x ，30＜x ≤75.(2)设旅行社所获利润为S 元, 则当0＜x ≤30时,S ＝900x －15000；当30＜x ≤75时,S ＝x (1200－10x )－15000＝－10x 2＋1200x －15000.即S ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15000，0＜x ≤30，－10x 2＋1200x －15000，30＜x ≤75. 因为当0＜x ≤30时,S ＝900x －15000为增函数, 所以x ＝30时,S max ＝12000；当30＜x ≤75时,S ＝－10x 2＋1200x －15000＝－10(x －60)2＋21000, 即x ＝60时,S max ＝21000＞12000.所以当旅行团人数为60时,旅行社可获得最大利润．B 组·素养提升一、选择题1．如图所示,从某幢建筑物10m 高的窗口A 处用水管向外喷水,喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在平面与墙面垂直)．如果抛物线的最高点M 离墙1m,离地面403m,则水流落地点B离墙的距离OB 是( B )A ．2mB ．3mC ．4mD ．5m[解析] 以OB 所在直线为x 轴,OA 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系,设抛物线方程是y ＝a (x －1)2＋403,由条件(0,10)在抛物线上,可得10＝a ＋403,a ＝－103,所以y ＝－103(x －1)2＋403,设B (x ,0)(x ＞1),代入方程得：(x －1)2＝4,所以x ＝3.2．某建材商场国庆期间搞促销活动,规定：顾客购物总金额不超过800元,不享受任何折扣；若顾客购物总金额超过800元,则超过800元部分享受一定的折扣优惠,并按下表折扣分别累计计算：若某顾客在此商场获得的折扣金额为50元,则此人购物实际所付金额为( A ) A ．1500元 B ．1550元 C ．1750元D ．1800元[解析] 设该顾客在此商场的购物总金额为x 元,可以获得的折扣金额为y 元． 由题可知,y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0＜x ≤800，0.05（x －800），800＜x ≤1300，0.1（x －1300）＋25，x ＞1300.∵y ＝50＞25,∴x ＞1300,∴0.1(x －1300)＋25＝50,解得x ＝1550.1550－50＝1500(元)．故此人购物实际所付金额为1500元．3．(多选)在某种金属材料的耐高温试验中,温度随着时间变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示．给出下列说法,其中正确的是( BD )A ．前5min 温度增加的速度越来越快B ．前5min 温度增加的速度越来越慢C ．5min 以后温度保持匀速增加D ．5min 以后温度保持不变E ．温度随时间的变化情况无法判断[解析] 温度y 关于时间t 的图象是先凸后平,即5min 前每当t 增加一个单位增量Δt ,则y 相应的增量Δy 越来越小,而5min 后y 关于t 的增量保持为0,则BD 正确．4．某单位准备印制一批证书,现有两个印刷厂可供选择,甲厂费用为制版费和印刷费两部分,先收取固定的制版费,再按印刷数量收取印刷费,乙厂直接按印刷数量收取印刷费．甲厂的总费用y 1(千元)、乙厂的总费用y 2(千元)与印制证书数量x (千个)的函数关系图分别如图中甲、乙所示,则( ABC )A ．甲厂的制版费为1千元,印刷费平均每个为0.5元B ．甲厂的费用y 1与证书数量x 之间的函数关系式为y 1＝0.5x ＋1C ．当印制证书数量不超过2千个时,乙厂的印刷费平均每个为1.5元D ．若该单位需印制证书数量为8千个,则该单位选择甲厂更节省费用[解析] 由题图知甲厂制版费为1千元,印刷费平均每个为0.5元,甲厂的费用y 1与证书数量x 满足的函数关系为y 1＝0.5x ＋1,故A 、B 正确；当印制证书数量不超过2千个时,乙厂的印刷费平均每个为3÷2＝1.5元,故C 正确；当x ＝8时,y 1＝0.5×8＋1＝5,y 2＝14×8＋52＝92,因为y 1＞y 2,所以当印制8千个证书时,选择乙厂更节省费用,故D 不正确． 二、填空题5．某零售商购买某种商品的进价P (单位：元/千克)与数量x (单位：千克)之间的函数关系的图象如图所示．现此零售商仅有现金2700元,他最多可购买这种商品__90__千克．[解析] 由题意得,购买这种商品所需费用y (单位：元)与数量x (单位：千克)之间的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧37x ，0＜x ≤10，32x ，10＜x ≤50，30x ，50＜x ≤100，27x ，100＜x ≤150，25x ，x ＞150，从而易得30×50＜2700＜30×100,即该零售商购买这种商品的数量应在50千克与100千克之间,故最多可购买这种商品270030＝90(千克)．6．甲工厂八年来某种产品的年产量y 与年份代号x 的函数关系如图所示．现有下列四种说法：①前三年该产品的年产量增长速度越来越快； ②前三年该产品的年产量增长速度越来越慢； ③第三年后该产品停止生产； ④第三年后该产品的年产量保持不变． 其中说法正确的是__②④__．[解析] 设年产量y 与年份代号x 的关系为f (x ),由图,可知前三年该产品的年产量的增长速度越来越慢,故①错误,②正确；由图,可知从第四年开始该产品的年产量不发生变化,且f (4)≠0,故③错误,④正确．7．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的关系式为y＝5x＋4000,而手套出厂价格为每副10元,则该厂为了不亏本,日产手套至少为__800__副．[解析]由5x＋4000≤10x,解得x≥800,即日产手套至少为800副时才不亏本．三、解答题8．某种商品进价为每个80元,零售价为每个100元,为了促销,采用买一个这种商品赠送一个小礼品的办法．实践表明：礼品的价格为1元时,销售量增加10%,且在一定范围内,礼品价格为(n＋1)元时比礼品价格为n(n∈N＋ )元时的销售量增加10%.设未赠送礼品时的销售量为m件．(1)写出礼品价格为n元时,利润y n(单位：元)与n(单位：元)的函数关系式；(2)请你设计礼品的价格,以使商店获得最大利润．[解析](1)当礼品价格为n元时,销售量为m(1＋10%)n件,故利润y n＝(100－80－n)·m(1＋10%)n＝m(20－n)·1.1n(0<n<20,n∈N＋)．(2)令y n＋1－y n≥0,即m(19－n) ·1.1n＋1－m(20－n)·1.1n≥0,解得n≤9.所以y1<y2<y3<…<y9＝y10.令y n＋1－y n＋2≥0,即m(19－n)·1.1n＋1－m(18－n)·1.1n＋2≥0,解得n≥8.所以y9＝y10>y11>y12>y13>…>y19.所以礼品价格为9元或10元时,商店获得最大利润．9．某创业团队拟生产A,B两种产品,根据市场预测,A产品的利润与投资额成正比(如图1),B产品的利润与投资额的算术平方根成正比(如图2)．(注：利润与投资额的单位均为万元)(1)分别将A,B两种产品的利润f(x),g(x)表示为投资额x的函数；(2)该团队已筹到10万元资金,并打算全部投入A,B两种产品的生产,问：当B产品的投资额为多少万元时,生产A,B两种产品能获得最大利润,最大利润为多少？解析：(1)由题意可设f(x)＝k1x,g(x)＝k2x,则f(1)＝k1＝0.25,g(4)＝2k2＝2.5,k2＝1.25.所以f(x)＝0.25x(x≥0),g (x )＝1.25x (x ≥0)．(2)设B 产品的投资额为x 万元,则A 产品的投资额为(10－x )万元．y ＝f (10－x )＋g (x )＝0.25(10－x )＋1.25x (0≤x ≤10),令t ＝x ,则y ＝－0.25t 2＋1.25t ＋2.5,所以当t ＝2.5,即x ＝6.25时,收益最大,y max ＝6516万元．答：投资B 产品6.25万元,A 产品3.75万元时,能获得最大利润,最大利润为6516万元．。

高一数学(必修一)《第五章 三角函数的应用》练习题及答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．如图，弹簧挂着一个小球作上下运动，小球在t 秒时相对于平衡位置的高度h （厘米）由如下关系式确定2sin 6h t πφ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，[)0,t ∈+∞和(),φππ∈-.已知当2t =时，则小球处于平衡位置，并开始向下移动，则小球在0=t 秒时h 的值为（ ）A ．-2B ．2C ．D 2．小明给学校设计数学文化长廊，计划将长廊的顶部遮雨棚设计成如图所示横截面为正弦曲线的形状（雨棚的厚度忽略不计），已知入口高度AB 和出口处高度CD 均为H ，为使参观者行走方便，要求雨棚的最低点到地面的距离不小于雨棚的最高点到地面距离的23，则雨棚横截面正弦曲线振幅的最大值为（ ）A ．3H B ．4H C ．5H D ．6H 3．如图为函数()sin ,()f x x x αα=⋅∈R 的部分图象，则α的值可能是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．14．健康成年人的收缩压和舒张压一般为120140mmHg ～和6090mmHg ～．心脏跳动时，则血压在增加或减小，血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80mmHg 为标准值．高三同学在参加高考之前需要参加统一的高考体检，其中血压、视力等对于高考报考有一些影响．某同学测得的血压满足函数式()sin (0)p t a b t ωω=+>，其中()p t 为血压(mmHg)t ，为时间(min)，其函数图像如上图所示，则下列说法错误．．的是（ ）A ．收缩压为120mmHgB ．80ωπ=C ．舒张压为70mmHgD ．95a =5．在两个弹簧上各挂一个质量分别为M 1和M 2的小球，它们做上下自由振动．已知它们在时间t （s ）时离开平衡位置的位移s 1(cm)和s 2(cm)分别由下列两式确定：s 1＝5sin 26t π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，s 2＝5cos 23t π⎛⎫- ⎪⎝⎭．则在时间t ＝23π时，则s 1与s 2的大小关系是（ ） A ．s 1＞s 2 B ．s 1＜s 2 C ．s 1＝s 2D ．不能确定6．红河州个旧市是一个风景优美的宜居城市，如图是个旧宝华公园的摩天轮，半径为20米，圆心O 距地面的高度为25米，摩天轮运行时按逆时针匀速旋转，转一周需要10分钟.摩天轮上的点P 的起始位置在最低点处.若游客在距离地面至少35米的高度能够将个旧市区美景尽收眼底，则摩天轮转动一周内具有最佳视觉效果的时间长度（单位：分钟）为（ ）A ．83B ．3C ．103D ．1137．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．假设在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动．现将筒车抽象为一个几何图形，如图所示，圆O 的半径为4米，盛水筒M 从点0P 处开始运动， 0OP 与水平面的所成角为30，且每分钟恰好转动1圈，则盛水筒M 距离水面的高度H （单位；m ）与时间t （单位： s ）之间的函数关系式的图象可能是A ．B ．C ．D ．8．一观览车的主架示意图如图所示，其中O 为轮轴的中心，距地面32m （即OM 长），巨轮的半径长为30m ，2AM BP m ==，巨轮逆时针旋转且每12分钟转一圈，若点M 为吊舱P 的初始位置，经过t 分钟，该吊舱P距离地面的高度为（ ）A ．30sin 30122t ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭B ．30sin 3062t ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭C ．30sin 3262t ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭D ．30sin 62t ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭二、双空题9．函数()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭最小正周期T =______，函数()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图像向左平移t 个单位（()0,t π∈）得到函数()f x 图像，则实数t =______.三、填空题10．某星星的亮度变化周期为10天，此星星的平均亮度为3.8星等，最高亮度距离平均亮度0.2星等，则可近似地描述此星星的亮度与时间之间关系的一个三角函数为________．11．如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数sin()(0,0)y A x b A ωϕω=++>>，则8时的温度大约为________C （精确到1C ）．12．已知某海浴场的海浪高度(m)y 是时间t （其中024t ≤≤，单位：时）的函数，记作()y f t =，下表是某日各时的浪高数据：经长期观测，曲线()y f t =可近似地看成是函数cos (0,0)A t b A y ωω+>>=的图象，根据以上数据，函数的解析式为________．13．如图所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度y （单位：m ）在某天24小时内的变化情况，则水面高度y 关于从夜间0时开始的时间x 的函数关系式为________．14．已知函数()sin()0,,2f x x πωϕωϕπ⎛⎫⎛⎫=+>∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的部分图象如图所示，则()2021f =______.四、解答题15．如图所示，摩天轮的直径为100m ，最高点距离地面高度为110m ，摩天轮的圆周上均匀地安装着24个座舱，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周大约需要12min ．(1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动min t 后距离地面的高度为m H ，求在转动一周的过程中H 关于t 的函数解析式；(2)在甲进座舱后间隔3个座舱乙游客进座舱（如图所示，此时甲、乙分别位于P 、Q 两点，本题中将座舱视为圆周上的点），以乙进座舱后开始计时，则在运行一周的过程中求两人距离地面的高度差h （单位：m ）关于t 的函数解析式，并求出25≥h 时t 的取值范围．16．在ABC 中内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()tan cos cos B c A a C +. (1)求角B 的大小；(2)若ABC 是锐角三角形，且b =ABC 面积的取值范围.五、多选题17．已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．参考答案与解析1．D【分析】根据当2t =时，则小球处于平衡位置，并开始向下移动可求得φ，进而求得h 的解析式，再代入0=t 求解即可【详解】因为当2t =时，则小球处于平衡位置，并开始向下移动，故()22,Z 6k k πφππ⨯+=+∈，即()22,Z 3k k πφπ=+∈，又(),φππ∈-，故23πφ=，故22sin 63h t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故当0=t 时，则22sin3h π==故选：D 2．C【分析】根据正弦曲线振幅的意义及雨棚的最低点到地面的距离不小于雨棚的最高点到地面距离的23建立不等式可求解.【详解】雨棚横截面正弦曲线振幅为A ，则雨棚的最低点到地面的距离为H A -,雨棚的最高点到地面的距离为H A +，由题意有2()3H A H A -≥+，解得5HA ≤，所以横截面正弦曲线振幅的最大值为5H . 故选：C 3．D【分析】根据图象判断函数的奇偶性，代入特殊值，判断函数值的大小，利用排除法求解即可.【详解】解析：由图可知()f x 为偶函数，因为sin x 为奇函数，所以x α也为奇函数，排除A 和C ，如果3α=，即3()sin f x x x =⋅，则3222f ππ⎛⎫⎛⎫=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，与图不符，所以不能取3，故排除B 项.故选：D ． 4．B【分析】通过观察图象得到该人的收缩压和舒张压， 通过图象求出,a b ，T ，利用周期公式求出ω得解． 【详解】由图象可知，函数的最大值为120，最小值为70，所以收缩压为120mmHg ，舒张压为70mmHg ，所以选项AC 正确； 周期121,8080T πω==由，知160ωπ=，所以选项B 错误； 由题得12070a b a b +=⎧⎨-=⎩，所以95,25.a b ==所以选项D 正确.故选：B【点睛】方法点睛：求三角函数sin()+y A x B ωϕ=+的解析式，常用待定系数法，一般根据函数的最值求出,A B 的值，根据周期求出ω的值，根据特殊点求出ϕ的值.5．C【解析】将t ＝23π代入求值，可得s 1＝s2 【详解】当t ＝23π时，则s 1＝5sin 2236ππ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭－5，s 2＝5cos 2233ππ⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭－5，∴s 1＝s2 故选：C 6．C【分析】先设出高度h 与时间t 的函数解析式为()sin h A t b ωϕ=++，利用三角函数的性质及特殊点求出解析式，通过解三角函数不等式得到答案.. 【详解】设点P 距离地面高度h 与时间t 的函数 解析式为()sin h A t b ωϕ=++ 由题意得20A =，25b =和10T =所以2ππ5T ω== 又因为()05f =，所以π2ϕ=-所以()πππ20sin 252520cos 0525h t t t ⎛⎫=-+=-≥ ⎪⎝⎭令35010h t ≥⎧⎨≤≤⎩，即π1cos 52010t t ⎧≤-⎪⎨⎪≤≤⎩ 故102033t ≤≤，即在摩天轮转动的一圈内 有201010333-=分钟会有这种最佳视觉效果. 故选：C. 7．D【解析】先根据题意建立坐标系，写出盛水筒M 距离水面的高度H 与时间t 之间的函数关系式，再根据关系式即可判断.【详解】解：以O 为圆心，过点O 的水平直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系：0306xOP π∠==OP ∴在()t s 内转过的角为：26030t t ππ= ∴以x 轴正半轴为始边，以OP 为终边的角为：306t ππ-P ∴点的纵坐标为：4sin 306t ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ H ∴与t 之间的函数关系式为：4sin 2306H t ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭ 当sin 1306t ππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，则max 426H =+=当sin 1306t ππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭时，则max 422H =-+=-对A ，B ，由图像易知max min H H =-故A ，B 错误； 对C ，max min H H <-故C 错误； 对D ，max min H H >-故D 正确. 故选：D.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是理解题意，根据题意写出H 与t 之间的函数关系式. 8．B【解析】先通过计算得出转动的角速度，然后利用三角函数模型表示在转动的过程中点B 的纵坐标满足的关系式，则吊舱到底面的距离为点B 的纵坐标减2.【详解】如图所示，以点M 为坐标原点，以水平方向为x 轴，以OM 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系.因为巨轮逆时针旋转且每12分钟转一圈，则转动的角速度为6π每分钟 经过t 分钟之后，转过的角度为6BOA t π∠=所以，在转动的过程中点B 的纵坐标满足：3230sin 30sin 322662y t t ππππ⎛⎫⎛⎫=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则吊舱距离地面的距离30sin 32230sin 306262h t t ππππ⎛⎫⎛⎫=-+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B ．【点睛】建立三角函数模型解决实际问题的一般步骤： （1）审题：审清楚题目条件、要求、理解数学关系； （2）建模：分析题目变化趋势，选择合适的三角函数模型； （3）求解：对所建立的数学模型进行分析研究，从而得到结论.9． π 12π【分析】第一空直接用2||T πω=求得，第二空则由()2sin 26g x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭变换得()2sin 212f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，故向左平移12π个单位. 【详解】由2|2|T ππ==-，又()2sin 212f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ()2sin 26g x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 由()g x 变换到()f x ，则()()12612πππ---=，故向左平移12π个单位，即12t π=.故答案为：π12π【点睛】本题考查了正弦型函数最小正周期的求法，三角函数图象的相位变换，属于容易题. 10．0.2sin 3.85y t πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭【分析】利用周期计算公式求出ω，由最高亮度距离平均亮度0.2星等可求出A ，由平均亮度可求出b ，即可写出三角函数模型.【详解】设所求函数为sin()y A t b ωϕ=++，由题意得10T =，即5πω=，0.2A =和 3.8b =，故0.2sin 3.85y t πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．故答案为： 0.2sin 3.85y t πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查()sin y A x b ωϕ=++模型在实际问题中的应用，属于基础题. 11．13【分析】由图像可得最大值为30，最小值为10，从而可求出A ，b 的值，最高点和最低点的横坐标的差为半个周期，从而可求出 ω的值，再代入一个点的坐标可求出ϕ的值，从而可求出函数关系式，再把8x =代入函数中可得结果.【详解】解：由图像可得20b =，10A =和114682T =-=∴2168T ππωω==⇒= 10sin 208y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭． ∵最低点坐标为(6,10)∴l0sin 620108πϕ⎛⎫⨯++= ⎪⎝⎭，得3sin 14πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ 于是332()42k k Z πϕππ+=+∈，∴32()4k k Z ϕππ=+∈，取34ϕπ= ∴310sin 2084y x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．当8x =时，则310sin 2020134y ππ⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭．故答案为：13【点睛】此题考查三角函数模型的应用，掌握五点法是解题的关键，属于基础题.12．1cos 126y t π=+ 【分析】由表中的数据可知，函数的最大值为1.5，最小值为0.5，从而可求出A b ，的值，再由表中的数据可得其最小正周期为12，从而可求出ω的值.【详解】解：由题意得， 1.5A b +=和0.5A b -+= ∴12A =和1b =．又12T =，∴26T ππω==． 从而1cos 126y t π=+． 故答案为：1cos 126y t π=+ 【点睛】此题考查了三角函数模型的应用，掌握五点法是解题的关键，属于基础题.13．6sin (024)6y x x π=-≤≤【分析】由图设sin()y A x ωϕ=+(024)x ≤≤，由图象可知6A =和12T =，再求出6π=ω，将(9,6)代入函数的解析式得ϕπ=，即得解.【详解】由图设sin()y A x ωϕ=+(024)x ≤≤．由图象可知6A =，12T =所以26T ππω== 所以6sin()(024)6y x x πϕ=+≤≤ 将(9,6)代入函数的解析式得366sin()2πϕ=+ 所以3sin()1cos 12πϕϕ+=∴=-， 所以ϕπ=． 所以函数关系式为6sin 6sin (024)66y x x x πππ⎛⎫=+=-≤≤ ⎪⎝⎭． 故答案为：6sin (024)6y x x π=-≤≤ 【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求法，考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14．【分析】由(0)f =,2πϕπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得ϕ的值，将点3,14⎛⎫- ⎪⎝⎭代入()f x 的表达式可得ω的值，即可得()f x 的解析式，将2021x =代入解析式利用诱导公式即可求解.【详解】由图知：(0)sin f ϕ==因为,2πϕπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以34ϕπ= 所以3()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为333sin 1444f πω⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()3332442k k Z ππωπ+=+∈ 所以()83k k Z πωπ=+∈ 由图知：344T >，所以23T πω=<，可得23πω> 所以取0k =和 ωπ=，所以3()sin 4f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以3(2021)sin 2021sin 442f πππ⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：15．(1)π50cos 60,0126H t t =-+≤≤ (2)ππ50sin 66h t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ [0,4][6,10]∈⋃t【分析】（1）建立合适的坐标系，求出H 关于t 的函数解析式；（2）在第一问的基础上，列出不等关系，用三角恒等变换化简，解出解集.(1)如图以摩天轮中心O 为原点，与地面平行的直线为x 轴，建立直角坐标系．由题意摩天轮的角速度2ππrad /min 126ω== 所以甲所在的位置的纵坐标ππ50sin 62y t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭甲 则πππ50sin 6050cos 60,012626H t t t ⎛⎫=-+=-+≤≤ ⎪⎝⎭ (2)令甲、乙两位游客距离地面的高度为1H 和2H ，则12πππ50cos 6050cos 60636h H H t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-++--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππππ1π50cos 50cos cos 636626t t t t ⎛⎫=-++=+ ⎪⎝⎭ ππ50sin 66t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ [0,12]t ∈ 令ππ50sin 2566t ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，得ππ1sin 662t ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭或ππ1sin 662t ⎛⎫+≤- ⎪⎝⎭ 解得：[0,4][6,10]∈⋃t ．16．(1)3π；(2)【分析】（1）先由正弦定理及和角公式得sin()A C B +=，进而求得tan B =（2）由正弦定理得2sin sin a c A C ==，结合三角恒等变换得2sin(2)16ac A π=-+，由角A 的范围求出ac 的范围，再由面积公式即可求得面积的范围.(1)由正弦定理得：cos sin tan (sin )cos in A A C B B C +=，所以sin()A C B +=又因为A C B π+=-，所以sin B B =和tan B =0B π<<，所以3B π=. (2)由（1）知3B π=，又ABC 是锐角三角形，所以62A ππ<<，由正弦定理得sin sin sin 2a c b A C B ====得sin sin s 244i sin()3n A C A ac A π==-21422sin 2sin sin A A A A A ⎤⎥+⎦=⎣=+2cos 212sin(2)16A A A π=-+=-+因为62A ππ<<，所以52666A πππ<-<，所以ac 的取值范围为(]2,3，因为1sin 4ABC S ac B ==△所以ABC 面积的取值范围为. 17．ABD 【解析】根据a 的取值分类讨论，估计函数的周期，确定正确选项．【详解】0a =时，则()1f x =，图象为B若0a <，则()1()sin()f x a ax =+--，此时0a ->．因此不妨设0a >，1a >则22T a ππ=<，max ()2f x >图象可能为D 若01a <<，则22T aππ=>，max ()2f x <图象可能为A ． 故选：ABD ．【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的图象与性质，解题时可通过确定函数的周期，最值，对称性，单调性确定图象的可能性．如果是单选题，则利用排除法得出结论．。